Fisicamente

di Roberto Renzetti


Gustavo Avitabile*, Rossana Valenti§

Università Federico II di Napoli
*Dipartimento di Chimica    § Dipartimento di Filologia Classica

http://www.dichi.unina.it/~avitabil/leibital.htm

G.W. Leibniz
Dynamica de Potentia et Legibus Naturae Corporeae
in Die mathematische Schriften, ed. G.J. Gerhardt, Berlin-Halle, 1849-63,
(rist. anast. Hildesheim 1980), vol. II, pp. 488-507

    La dinamica di Leibniz è stata recentemente rivalutata come significativa studiando tre inediti scritti negli anni dopo il 1690. Leibniz ha anche scritto un libro sulla meccanica, il Dynamica de Potentia, che però è stato rimaneggiato molte volte e di cui manca una traduzione in Italiano. Di esso non esistono edizioni critiche che indichino il significato fisico del testo.
    Presentiamo una traduzione dal latino di una delle parti più significative, Sectio III 1-18, che tratta dell’urto, che per Leibniz è il fenomeno fondamentale di tutta la fisica. La traduzione cerca di rispettare la terminologia di Leibniz, che non sempre e’ perfettamente coerente, e di rendere il significato fisico del testo, che ha spesso una rispondenza sorprendente con i concetti moderni.

SEZIONE TERZA

DELL’URTO DEI CORPI

La traduzione è limitata alle Proposizioni 1-18 della Sezione terza

Proposizione 1

    Se un numero qualunque di corpi si urtano in qualunque modo, rimane sempre uguale la potenza assoluta, cioè la somma dei prodotti dei pesi, o quantità di materia, di ciascun corpo, per le altezze, a cui possono salire per effetto delle loro velocità; ossia il prodotto del peso, o quantità di materia di tutti presi insieme, per l’altezza del centro di gravità comune, alla quale esso potrebbe salire per effetto delle velocità presenti nei corpi in questione.
    Quanto alla somma dei prodotti del peso o massa per le altezze questo già risulta da quanto dimostrato nel capitolo su Causa ed Effetto. Infatti per la prop. 7 di detto cap. la potenza rimane costante nei corpi che senza interventi esterni agiscono l’uno sull’altro. Le potenze poi stanno nel rapporto della prima potenza dei pesi e della seconda delle velocità, ossia in quello dei pesi e delle altezze suddette ( per la prop. 15 ibid.). Inoltre rimane costante la somma dei prodotti degli innalzamenti moltiplicati per i pesi dei singoli corpi, e del prodotto dell’innalzamento del centro di gravità moltiplicato per la somma dei pesi dei  corpi, per la prop. 14 cap. 2 Sez. 1 Part. II, perché le altezze si devono intendere in verticale e quindi parallele fra loro. Non prendo in considerazione che cosa avverrebbe se durante l’urto si aggiungesse l’azione della gravità o qualunque altra azione oltre quella ricevuta in precedenza dai corpi e oltre quella che essi esercitano nell’urto stesso.

Proposizione 2

    Se una molla, ritornando allo stato indeformato, agisce su due corpi, imprimerà spinte inversamente proporzionali al peso di quei corpi.

    Siano (fig. 192) due corpi A e B connessi da una molla, che, ritornando al suo stato indeformato, agisca su di loro; cioè, se era compressa, respingendoli reciprocamente l’uno dall’altro, se era allungata, attraendoli reciprocamente l’uno verso l’altro; affermo che le velocità che i corpi acquistano sono inversamente proporzionali ai  pesi dei corpi. Si supponga infatti che i corpi siano dei pesi da sollevare proprio mentre sono mossi dalla molla, per esempio si supponga che siano su una linea orizzontale e sospesi con funi verticali uguali partenti da C e D; è manifesto che pone più resistenza quello che è sollevato a un’altezza maggiore di quella corrispondente al rapporto inverso dei  pesi. Pertanto è necessario che le spinte che i corpi imprimono siano inverse al peso dei corpi (per la prop. 16 del cap. su causa ed effetto). E siccome ciò vale lungo tutto il corso del ritorno allo stato indeformato, anche gli impulsi vivi ottenuti per accumulo da ripetute spinte elementari sempre proporzionali, cioè le velocità finali  impresse, saranno inversamente proporzionali ai pesi dei corpi, esattamente secondo la prop. 41 del cap. su causa ed effetto Sez. 4.

Proposizione 3

    Fatte le stesse ipotesi, anche se i corpi sono più di due, succederà quello che abbiamo detto nella proposizione precedente, raggruppandone  alcuni e considerandoli come un solo corpo, e  considerando l’altezza del centro di gravità dei componenti come altezza del gruppo stesso. Pertanto in generale il centro di gravità di uno o di un gruppo di più corpi acquisterà una velocità  che stia alla velocità che acquista il centro di gravità dei rimanenti, in relazione inversa ai pesi dei corpi di cui quelli sono i centri di gravità.
    Si dimostra come la precedente. Se si immagina che i corpi siano sospesi a dei fili verticali, allora distribuendo tutti i corpi in due gruppi e considerando ciascuno dei due gruppi come un unico corpo avente un centro di gravità (come se si immaginasse che fossero connessi da bacchette rigide), non può avvenire che i centri si sollevino più che inversamente rispetto ai pesi, in quanto quel peso, che più deve essere sollevato, pone maggiore resistenza; e in quanto d’altra parte i pesi possono essere immaginati concentrati nei centri di gravità, rimanendo la potenza la stessa (per la prop. 3 cap. 1 Sez. 1 Part. II).
    Più corpi sono spinti contemporaneamente da una stessa e unica molla che ritorna allo stato indeformato, anche quando un gas compresso trovando diverse uscite ostruite da altrettanti corpi li spinge tutti insieme. Lo stesso avviene nel rinculo di un’arma da fuoco, quando è emessa la palla. E questa forza è alternativa, nel senso che se uno dei corpi non può essere spostato,  sono gli altri  che ricevono la  forza totale.

Proposizione 4

    Se due sfere gemelle (cioè uguali e senza differenze in alcuna cosa) si urtano lungo una retta passante per i centri di entrambe, e dopo l’urto le loro parti  sono in quiete  come erano prima, ambedue torneranno indietro sulla stessa retta con la stessa velocità con cui erano venute avanti e in direzione contraria (fig. 193).

    Poiché infatti dopo l’urto non possono procedere avanti (altrimenti si compenetrerebbero), né deviare, perché non c’è alcuna ragione per cui debbano essere deviate da una parte piuttosto che un’altra, né restare in quiete, altrimenti l’effetto sarebbe più debole della causa, in quanto si perderebbe tutta la loro forza, a meno che naturalmente non l’avessero trasferita alle loro parti, il che è contro l’ipotesi; devono quindi tornare indietro, e in modo che in totale vi sia la stessa forza di prima. Ma siccome non c’è alcuna ragione per cui una acquisti più forza dell’altra, ciascuna acquisterà la metà della forza. Ma anche all’inizio ciascuna delle due ne aveva la metà. Dunque acquisterà la stessa forza che aveva prima. Ma lo stesso corpo che acquista la stessa forza che aveva prima acquista anche la stessa velocità. Dunque la proposizione è dimostrata.

Proposizione 5

    Non sono dati corpi perfettamente indeformabili.

    Si supponga infatti che siano dati; pertanto si potranno dare due tali sfere, e farle urtare, come nella prop. precedente. Ma così (fig. 193) la sfera posta nel punto 2A passerà da una spinta elementare a procedere nella direzione 1A2A ad una spinta elementare contraria 2A3A, e ciò istantaneamente, il che è assurdo. Infatti ogni cambiamento avviene per passi intermedi. Pertanto in tale urto è necessario che i corpi cedano nelle loro parti, cioè si deformino, in modo che a poco a poco pervengano alla quiete, e poi come la molla ritorna al suo stato indeformato, riacquistino per gradi un moto contrario a quello precedente. La stessa cosa si può dimostrare anche così, che è necessario che nei corpi che si urtano a un certo punto le velocità cambino, e ciò avverrebbe nell’istante dell’urto se i corpi fossero perfettamente rigidi. Ma  in Natura non ci può essere alcun cambiamento istantaneo osservabile cioè misurabile, e perciò non si può passare da un grado di velocità ad un altro se non per  gradi intermedi.
    Da qui si capisce che gli Atomi [indeformabili] non sono compatibili con le leggi della Natura. Del resto quando noi trattiamo i corpi [che ci appaiono] rigidi, li intendiamo che sono sì deformabili, ma ritornano con grande prontezza al loro stato indeformato. Del resto il principio generale, che i cambiamenti o i passaggi non avvengono per salti né  rispetto al  tempo né ad  altre  variabili, è della massima importanza in Matematica e nella Natura. Ce ne siamo già serviti nella prop. 38 del cap. su causa ed effetto, e altrove per suo mezzo abbiamo mostrato un metodo a posteriori  per smentire le opinioni non ben fondate. Si vedano le Novellae literariae Batavae dell’anno 1687, mese di Luglio.

Proposizione 6

    I corpi con i loro moti non agiscono reciprocamente fra di loro direttamente, né sono mossi direttamente, ma solo attraverso le molle in loro contenute.
    Poiché tutti i corpi sono deformabili (per la prop. precedente) e poiché è più facile provocare ad un corpo per quanto rigido una deformazione finita, che dargli o togliergli una spinta (per la prop. 30 del cap. su causa ed effetto),  allora il corpo subirà una deformazione finita prima di poter ricevere da un altro corpo un determinato grado di velocità o spinta, o perderlo per azione dell’altro. E poiché la stessa argomentazione vale sempre, e una volta effettuata una deformazione, ancora è più facile imprimere una nuova deformazione che un movimento, che richiede che il corpo abbia sempre una determinata velocità, quella almeno del corpo che spinge; per cui si può assumere che acquisti deformazioni sempre più piccole, finché la forza della spinta è completamente esaurita. Mai quindi un corpo, se non è deformato da un altro, sarà messo in movimento, se non per effetto del ritorno allo stato indeformato della sua molla interna, che comincia subito ad agire per respingere vicendevolmente i corpi.
    Che i corpi siano deformati prima di essere mossi, lo impariamo anche dall’esperienza. Per questo se la velocità dell’impatto è grande, si romperanno piuttosto che muoversi, come possiamo vedere quando una porta socchiusa, colpita dalla palla di piombo di un’arma da fuoco, viene perforata piuttosto che chiusa. Anche se infatti in altri casi occorre una forza maggiore per perforarla che per chiuderla, in questo caso ci sarebbe voluta una forza maggiore per chiuderla di colpo, che per perforarla di colpo.E’ anche chiaro da ciò che con la forza della sua elasticità, ossia  del movimento interno, un corpo può respingere e separare se stesso da un altro, come quando quelli che stanno su una nave la allontanano dalla sponda con una pertica. Considerando attentamente la dimostrazione di questa proposizione si potranno poi ricavare dei paradossi, da cui risulterà che la natura della materia e del moto è molto diversa da quanto si crede comunemente. Ma per ora tralascio questi argomenti.

Proposizione 7

    Se due corpi agiscono vicendevolmente l’uno sull’altro, la  forza d’azione relativa, cioè (nel caso dell’urto) la forza dell’impatto è uguale, in qualunque dei corpi sia precisamente il moto, purché sia uguale la forza che fa tendere la molla, cioè la velocità della variazione della distanza dei corpi, velocità che chiamo relativa. Ed è uguale la forza esercitata e subita da ciascuno dei due sull’altro. Lo stesso si può estendere al caso di molti corpi col metodo della proposizione 3.

    Infatti (fig. 194) la molla, per mezzo della quale il corpo A agisce su B o viceversa, è tesa nello stesso modo, posta uguale la velocità relativa, chiaramente di avvicinamento o di allontanamento, con cui per es. il filo elastico AB è allungato o accorciato. Ma l’azione di un corpo su un altro corpo non avviene se non attraverso una molla (dalla prop. 6), e la molla agisce ugualmente e contemporaneamente su ambedue i corpi, imprimendo loro forze relative uguali (per la prop. 2 di questa sezione; vedi anche la prop. 41 Sez. 4). Pertanto ambedue subiscono la stessa azione, e  quindi  (poiché non subiscono azioni se non l’uno dall’altro sia pure mediate dalla molla) esercitano anche la stessa azione l’una sull’altro. Lo stesso si deve concludere per l’urto diretto dei corpi, quando la molla è contenuta nelle parti dei corpi stessi.

Proposizione 8

    Due corpi che si urtano frontalmente con velocità che siano inversamente proporzionali ai pesi dei corpi stessi, agiscono vicendevolmente con la propria forza totale, e sono respinti con la stessa velocità con cui erano avanzati, a condizione che siano sufficientemente elastici, e la forza dell’impatto non sia assorbita dalle parti del corpo stesso.
    Infatti restano fermi l’uno rispetto all’altro (per la prop. 41 Sez. 4). Pertanto tutta la forza con cui agiscono è da loro persa e trasferita nella loro molla, in quanto (per la prop. 6 di questa sezione) non possono subire azioni se non dalla molla in direzioni opposte, e d’altra parte non possono avanzare o deviare. Acquistano allora velocità inversamente proporzionali (per la prop. 2 di questa sezione) e perciò (poiché la somma deve dare la stessa forza, per la prop. 1 di questa sezione) uguali a quelle originarie.

Proposizione 9

    La forza relativa con cui due corpi possono agire vicendevolmente l’uno sull’altro, è quella parte della forza assoluta che si ottiene attribuendo ai corpi velocità inversamente proporzionali ai pesi dei corpi stessi, e di grandezza tale, che ne derivi la stessa velocità relativa, che hanno ora in conseguenza dell’urto.

    Poniamo (fig. 195) che la distanza dei corpi fosse prima 1A1B e poi 2A2B, e che con questa variazione sia stata messa in tensione la molla CD, mediante la quale i corpi agiscono vicendevolmente. Ora se la velocità 1A2A stesse alla velocità 1B2B come il peso B sta al peso A, la forza assoluta dei corpi che hanno questi moti sarebbe uguale alla loro forza relativa (per la prop. 8). E la forza relativa dei corpi così mossi è uguale alla forza relativa degli stessi corpi mossi di moto comunque distribuito in modo diverso, purché rimanga costante la  velocità relativa di avvicinamento reciproco, cioè rimanga uguale la differenza fra 1A1B e 2A2B (per la prop. 7). Quindi la forza assoluta suddetta è uguale a quella relativa che abbiamo spiegato.

Proposizione 10

    La forza relativa con cui i corpi agiscono non cambia di quantità per la loro azione vicendevole, né da questa è cambiata la velocità relativa, purché i corpi non esercitino e subiscano azioni se non fra di loro, e nessuna porzione delle forze sia trattenuta dalle loro parti. Tutto quello poi che è stato detto di due corpi, si può estendere a molti corpi col procedimento della proposizione 3 o 7.
    Infatti la forza relativa dell’azione è stata trasferita alla molla (solo attraverso la quale un corpo agisce su un altro corpo, prop. 6), e siccome detta forza non è assorbita né da qualche terzo corpo né dalle parti dei corpi (secondo l’ipotesi), è restituita dalla molla ai corpi. Ma se rimane uguale la forza relativa, è necessario che rimanga uguale anche la velocità relativa, altrimenti i corpi non avrebbero più la stessa forza relativa di azione, se per caso si urtassero di nuovo o agissero fra di loro (per la prop. 7). La stessa cosa si può spiegare così: La velocità relativa uguale produce un’uguale tensione della molla. A sua volta, la forza della molla, ossia dell’urto, è tanto grande quanto quella dei due corpi che sono trasportati con velocità inversamente proporzionali, le quali esercitano la stessa forza relativa (per la prop. 9). Quindi questa forza è stata sottratta, e andrebbe persa se non fosse restituita ai corpi. Ma secondo l’ipotesi essa non è assorbita né dalle parti, né da una causa esterna; quindi deve essere restituita totalmente. Come ciò avvenga, vedremo adesso in dettaglio. Mentre (fig. 196) A e B si scontrano con velocità 1A2A e 1B2B, e passano da 1A1B a 2A2B, tagliamo il segmento 1A1B in un punto C in modo che AC stia a BC come il peso B al peso A; da ciò si genererà una forza dell’urto come se si fossero scontrati A con velocità 1A1C, e B con velocità 1B1C (per la prop. 9). Questa è una forza assoluta, che i corpi avrebbero apportato, e se dalla forza assoluta totale si sottraggono quelle relative dei due moti, il complesso dei due corpi si muoverebbe con la forza residua. In ogni caso infatti c’e’ una forza residua, sottratta la forza dell’urto, in quest’insieme, altrimenti una parte della forza totale andrebbe perduta, contro la prop. 1. Tutto l’insieme poi si muoverebbe unito, se i corpi non si respingessero di nuovo rispettivamente l’un l’altro per il ritorno allo stato indeformato della molla; infatti fin quando i corpi ancora si spingono, non hanno ancora trasferito tutta la forza dell’urto nella molla (vedi la dimostrazione della prop. 6),  ma nel momento in cui cessano di spingersi, restano uniti (avendo perso la spinta elementare ad avvicinarsi di più, cioè la velocità relativa), finché non sopraggiunge qualcosa di nuovo, che è il ritorno allo stato indeformato della molla. Ma se la molla è trasportata con moto comune insieme ai corpi, li separerà l’uno dall’altro nello stesso modo che se quel moto comune non ci fosse (come nella prop. 2), cioè con velocità inversamente proporzionale a ciascuno e grande tanto quanto richiede la forza della molla e la grandezza dei corpi, cioè  appunto la precedente forza relativa impressa alla molla. Bisogna dunque che ai corpi sia data la stessa velocità di allontanamento, che prima era stata di avvicinamento, ossia che A rimbalzi con velocità proporzionale a 1A1C e B proporzionale a 1B1C, in modo che anche la velocità relativa resti la stessa di prima. La velocità comune con la quale si muoverebbero se mancasse l’azione della molla, sarebbe quella che prima dell’urto aveva il centro di gravità, cioè 1C2C, come vedremo subito.

    Se invece i corpi non sono perfettamente elastici, e quindi le parti che subiscono compressione assorbono una parte della forza e non la restituiscono di nuovo ai corpi, questa quantità della potenza relativa viene meno, e parimenti se i corpi sono costituiti di una materia molle e tenera, in modo che dopo l’urto restino uniti, la forza relativa è persa, e resta solo la forza progressiva dell’insieme, di cui abbiamo già detto. Se quindi una materia, come il legno, non è perfettamente elastica, una parte della forza relativa cioè della potenza dell’urto sarà assorbita dalle parti del legno, e una parte sarà restituita all’insieme dei corpi, nella misura in cui si respingono l’un l’altro vicendevolmente a causa dell’urto.

Proposizione 11

    La potenza assoluta dell’aggregato di più corpi derivante dal loro moto è composta dalla loro forza relativa di azione l’uno sull’altro, e dalla forza progressiva (di azione verso un terzo) esercitata come un sol corpo, ossia la forza traslazionale.
    Siano un numero qualunque di corpi posti in moto o in quiete, e si supponga che a un certo momento siano connessi con bacchette rigide o elastiche a piacere (il che non aumenta né diminuisce la forza, purché questa struttura non eserciti per sé alcuna azione), allora anche la forza di allontanamento o di avvicinamento rispettivo che è nei corpi, cioè la forza relativa,  sarà esercitata dalle bacchette rigide o elastiche, e sarà trasferita alla molla o a un vincolo di qualunque natura. E questa forza trattenuta dalla molla o dalla resistenza dei vincoli, sottratta dalla potenza totale del sistema, che si conserva (per la prop. 1), darà per differenza la potenza con la quale l’intero corpo unito, composto dai molteplici corpi dati, tenderà a procedere.

Proposizione 12

    Nell’urto non cambia la forza progressiva, ossia la forza traslazionale, sommata sui diversi corpi, ma è uguale prima e dopo l’urto, e successivamente nei corpi che si muovono da soli liberamente, e rimarrà uguale la grandezza non certo del moto, ma della quantità di moto secondo qualunque componente  e uguale la velocità del centro di gravità dell’intero sistema. E non importa se i corpi siano molli o duri, ossia perfettamente elastici.
    Infatti la potenza assoluta rimane sempre uguale (per la prop. 1), ed è composta dalla forza relativa cioè quella dell’urto, e da quella progressiva cioè quella traslazionale totale (per la prop. 11); ma rimane uguale la forza relativa sia nei corpi sia nelle loro parti che l’hanno assorbita (per la prop. 1); quindi anche la forza traslazionale totale rimane uguale. Inoltre poiché, come abbiamo mostrato, resta uguale la forza progressiva, naturalmente quella che rimarrebbe dopo aver sottratto la forza relativa, cioè quando la massa fosse condensata in un unico corpo rigido, certamente rimane anche uguale la velocità di avanzamento; infatti restando la stessa forza nello stesso corpo, resta uguale la velocità. Pertanto resta uguale anche la quantità di moto ossia il prodotto della velocità di avanzamento per la massa totale del corpo ossia il peso, naturalmente purché quella velocità, ossia la spinta dell’avanzamento, trovi un’uscita, il che avviene naturalmente se i corpi si muovono da soli e liberamente, altrimenti quella velocità resterà solo, allo stato potenziale, come spinta elementare, come quando i corpi sono trattenuti da un centro immobile in una rotazione, in modo che non possono proseguire secondo le tangenti nella direzione che hanno; sebbene più avanti mostreremo che questi impedimenti non avvengono realmente, ma solo in apparenza, in quanto nessuna spinta elementare si distrugge, ma semplicemente si compone con le altre. Inoltre se i corpi si muovono da soli liberamente, ossia con la forza della loro precedente spinta e secondo la propria direzione, si muoveranno in linea retta e con moto uniforme. E allora anche il centro di gravità andrà sempre con la stessa velocità lungo la stessa retta verso la stessa destinazione. Infatti si supponga che spariscano le forze relative dei corpi, il che può avvenire, se supponiamo che a un corpo sia aggiunta una velocità relativa uguale e contraria alla precedente (di allontanamento se si avvicinava, e viceversa) inversamente proporzionale ai corpi che si fronteggiavano; così infatti sparisce quel moto, che come abbiamo mostrato nella prop. 9 costituisce la forza relativa, in quanto l’uno è compensato da un altro uguale e contrario; allora l’intera massa, cessando la variazione della distanza fra le parti della massa stessa, si muoverà col moto di un unico corpo rigido di moto rettilineo equidistribuito, e così il centro di gravità avanzerà in modo uniforme e diritto. Preferisco qui servirmi dell’ipotesi della compensazione del moto piuttosto che di una connessione in un corpo rigido, ad evitare che nel caso della condensazione l’avanzamento si trasformi in parte in rotazione, che invece resterà rettilineo, se ai moti rettilinei uniformi già esistenti (secondo l’ipotesi) non si aggiunge nient’altro che le spinte rettilinee compensative, per la prop. 3 cap. 2 Sect. 1 Part. II. Inoltre prima di questo mutamento, che ha introdotto la variazione delle distanze, il centro di gravità della massa totale si muoveva nello stesso modo di adesso; e lo dimostro da questo, che il centro di gravità di due qualunque tra i corpi si muoveva nello stesso modo di adesso. Quindi lo stesso faceva il centro di gravità dell’intero aggregato. Quanto al centro di due corpi qualunque il fatto è evidente, perché sia che i corpi non si allontanino fra loro, sia che si allontanino con velocità inversamente proporzionali ai pesi dei corpi, il centro di gravità rimane nello stesso punto. Così dunque abbiamo dimostrato una seconda volta (come avevamo dimostrato precedentemente per i moti paralleli la prima volta nella prop. 11 del cap. sulla direzione, e nella prop. 17 dello stesso cap. avevamo ricavato con sole considerazioni di Geometria a proposito del moto libero di corpi che non si urtano), che il centro di gravità di un qualunque numero di punti e così pure di corpi estesi che descrivono linee rette con moto uniforme, avanza in linea retta con moto uniforme, e con la stessa velocità con cui la massa totale, sottratta la forza relativa, deve avanzare. La quale velocità si ottiene sottraendo la forza relativa (da determinare secondo la prop. 9 nei singoli corpi, e quindi anche nel tutto) dalla forza assoluta del complesso (per la prop. 11), e la differenza sarà la forza di avanzamento, da cui, conoscendo  la massa del corpo, si calcola la velocità di avanzamento di questa massa. Del resto la quantità di moto del centro di gravità totale non cambia per l’urto dei corpi, perché il centro di gravità di quelli che si urtano (nei quali si potrebbe pensare che ci sia questa variazione) non varia nell’urto, in quanto essi agiscono vicendevolmente l’uno sull’altro, e agiscono attraverso la molla (prop. 6), la quale ripartisce fra di loro la velocità relativa (come velocità di allontanamento reciproco) in rapporto inversamente proporzionale ai pesi dei corpi (per le prop. 2 e 3 di questo capitolo); ma i corpi che si avvicinano o si allontanano con velocità inversamente proporzionale, non cambiano per questo la posizione del centro di gravità, in quanto questo divide anche la distanza fra i corpi in parti inversamente proporzionali ai pesi dei corpi a cui (?) si riferiscono. In generale quindi, il centro di gravità comune di corpi che si muovono da soli (ossia mantenendo la forza che avevano da prima) e liberamente (senza niente che li trattenga) e perciò su linee rette e con moto uniforme, procede uniformemente lungo una retta verso la stessa destinazione, sia che i corpi si urtino fra loro, sia che no. Lo stesso dicasi, se il moto fosse crescente proporzionalmente. Inoltre avanzando il centro di gravità con moto rettilineo uniforme, anche la quantità di moto dei corpi moventisi da soli e liberamente, di cui quello è il centro, rimarrà uguale, verso la stessa destinazione e nella stessa direzione. Infatti (fig. 197) si prenda una retta qualunque LM, e si supponga che i punti mobili A, B, C avanzino con moto uniforme sui segmenti 1A2A, 1C2C, 1B2B; allora essi avanzeranno con moto uniforme anche nella direzione parallela a questa retta con velocità che saranno rappresentate dai segmenti 1a2a, 1x2x, 1b2b, che abbiamo supposto tracciati perpendicolari, e paralleli fra di loro, dalle posizioni suddette dei punti A, B, C alla retta LM. Ma in qualunque moto parallelo di punti il prodotto dello spostamento 1x2x del centro di gravità per i pesi dei corpi A, B, ossia per i segmenti AC+CB, è uguale alla somma o, se i moti sono contrari, alla differenza del prodotto del peso A per il suo spostamento 1a2a, e di quello del peso B per il suo spostamento 1b2b, cioè alla quantità di moto totale (come abbiamo mostrato nella prop. 12 cap. 2 sect. 1 Part. II), e abbiamo dimostrato che quello che è vero per due punti, lo è per un qualunque numero di punti, e quindi anche per un qualunque numero di mobili che sono costituiti di punti, ossia sono nient’altro che somme di punti, cioè di corpi abbastanza piccoli, in modo da evitare l’errore, che così resta minore di una qualsiasi quantità data. Ma si può mostrare anche in un altro modo, che ciò che è vero dei punti, lo è ugualmente di mobili qualsiasi, i cui punti si muovono di moto rettilineo equidistribuito, come in questo caso supponiamo si muovano i singoli corpi. Infatti la quantità di moto del corpo è data dal prodotto dello spostamento percorso da uno qualunque  dei suoi punti per il peso del corpo, come se quindi tutto il peso fosse concentrato in uno solo dei punti (per es. nel centro). Siccome dunque, considerando il moto nella direzione della retta data LM,  è sempre uguale la quantità della somma delle quantità di moto e del prodotto del moto del centro di gravità totale per la somma dei pesi dei corpi, ma d’altra parte il moto del centro di gravità 1C2C nella stessa direzione è sempre  di uguale velocità,  e quindi lo è anche  rispetto alla direzione della retta LM, cosicché anche il moto 1x2x è sempre  di uguale velocità; in ogni caso  anche la somma totale degli avanzamenti in una stessa direzione (sottratti naturalmente gli avanzamenti in senso contrario se ve ne sono, per la citata prop. 12) resterà costante in qualunque direzione.

    E’ chiaro che queste cose sono vere anche se una parte dell’urto è assorbita, per la plasticità dei corpi che si urtano, e trasferita a parti non osservabili di questi, perché la forza totale della traslazione non dipende in alcun modo dalla forza dell’urto, né da questa è alterata. Da ciò deriva che questa regola si ritrova approssimativamente vera anche nel caso sperimentale di corpi che si muovono quasi liberamente, come si può osservare nei pendoli, anche se una parte della potenza relativa si perde nell’urto, e in queste condizioni nella pratica la somma totale della potenza assoluta non è conservata. Tuttavia la diminuzione stessa, facendo qualche esperimento su una materia di una data specie, può essere resa calcolabile, e in seguito essere predetta nelle altre parti della stessa materia. Nel caso che i corpi nell’urto restino uniti, si avrà solo la conservazione della potenza traslazionale, perdendosi la forza dell’urto.
    Vale la pena di osservare ancora un’altra cosa, che nella forza relativa si conserva la grandezza del movimento e similmente nella forza traslazionale la  grandezza della quantità di moto, ossia il prodotto del peso per la velocità, anche se in altri casi, pur conservandosi la potenza, le velocità non si conservano, come abbiamo mostrato nella prop. 40 del cap. su Causa ed Effetto. La ragione di questo fatto è che in questo caso rimane uguale anche la quantità di materia. Ma in quanto le potenze stanno nel rapporto costituito sia dai pesi dei corpi sia dai quadrati delle velocità, restando costante la quantità di materia, è necessario che rimanga uguale il quadrato della velocità, e quindi uguale la velocità stessa. E’ manifesto allora che rimane sempre uguale la grandezza in cui deve essere tradotta la potenza, tanto nella forza d’urto, quanto nella forza traslazionale. Infatti nella forza dell’urto ossia relativa rimane uguale la forza relativa in un corpo qualunque rispetto a un altro qualunque, cioè la forza d’urto media totale, che da essi può essere esercitata reciprocamente, e quindi rimane anche uguale la velocità relativa dello stesso corpo, sebbene acquisti la direzione contraria. Nella quantità di moto rimane anche uguale la quantità di materia, naturalmente dell’insieme totale dei corpi, e da ciò restando uguale la forza progressiva ossia traslazionale, rimane costante anche la velocità del centro di gravità ossia del moto totale. Ma non per questo rimane uguale la quantità di moto nel totale, perché la quantità di moto totale si ottiene sottraendogli le quantità di moto  contrarie, quindi nella misura in cui si ha compensazione la grandezza del movimento in parte si perde. Dal che ha origine la seguente proposizione 13.

Proposizione 13

    Solo allora rimane uguale la grandezza del movimento prima dell’urto e dopo l’urto, quando sia prima dell’urto i corpi andavano insieme nella stessa direzione, sia dopo l’urto vanno di nuovo insieme nella stessa direzione, e non in direzioni reciprocamente opposte. Nel caso che prima dell’urto due corpi andavano in direzioni opposte l’uno all’altro e dopo l’urto all’inverso, naturalmente considerando le componenti in una determinata direzione,  in queste condizioni la differenza fra le grandezze dei movimenti prima dell’urto è uguale alla differenza dopo l’urto. Nel caso che i corpi mutino il moto da concordante a opposto o viceversa, la somma delle grandezze del movimento nel moto concordante sarà uguale alla differenza delle stesse nel moto  opposto, naturalmente per entrambi nella stessa direzione in cui il moto opposto è considerato. Lo stesso avviene nel caso di più corpi, in quanto, considerandone un certo numero come riunito in uno solo, è possibile considerare tutto l’insieme come due corpi, come sopra.
    La dimostrazione è evidente dalla trattazione precedente. Rimane infatti uguale la quantità del moto prima e dopo l’urto; e se questa si ottiene per semplice addizione delle quntità di moto  (cioè delle grandezze del movimento) di ambedue i corpi nei due stati  (prima e  dopo l’urto), certamente resta costante anche la grandezza assoluta del movimento; ma nelle condizioni in cui c’è bisogno della sottrazione in uno dei due o in entrambi gli stati, questa quantità di moto totale  è data dalla differenza delle grandezze del movimento in quella direzione. E così in queste condizioni  la differenza dei  singoli moti ossia delle quantità di moto in uno stato è uguale alla differenza o alla somma fatta nell’altro stato.

Proposizione 14

    Se i corpi si muovono per loro spinta, allora qualunque ipotesi si faccia per i fenomeni dei corpi, una volta che essa giustifichi la situazione fra di loro in uno stato precedente ossia nella causa, la giustificherà anche in qualunque stato successivo ossia nell’effetto, e ne conseguiranno sempre gli stessi fenomeni, ossia (per dirla in breve) Ipotesi diverse non possono essere distinte fra di loro.
    Infatti dato un moto libero a causa di una forza precedente impressa una volta, cioè in moto rettilineo uniforme, prima dell’urto le ipotesi non possono essere distinte (come risulta in Geometria dalla prop. 16 cap. 2 sez. 1 Part. II). Ma non sono distinte nemmeno nell’urto. Infatti purché sia la stessa la velocità relativa dei corpi, i corpi agiscono nello stesso modo vicendevolmente fra di loro, ossia purché sia uguale la forza dell’urto (per la prop. 7 qui). Ma la forza dell’urto è trasferita alla molla dei corpi, e i corpi che si urtano, se la molla non restituisse loro la forza del tutto o in parte, proseguirebbero uniti (come abbiamo mostrato per la prop. 10). Quando dunque la molla restituisce la forza, si compongono due moti (non per arbitrio di noi che l’immaginiamo, ma proprio per la natura del fatto), uno comune, l’altro proprio e inversamente proporzionale ai corpi, e uguale al precedente, e  perciò capace di ridare la velocità relativa precedente (come abbiamo mostrato nella prop. 10), se la molla restituisce tutta la forza ricevuta; ma se una parte della forza è assorbita dalle parti di un corpo non perfettamente elastico, la molla nondimeno tutta la forza che darà ai corpi, la darà in rapporto inverso, e la velocità relativa precedente sarà soltanto diminuita in un rapporto fisso. E poiché tutte queste cose avvengono nello stesso modo, qualunque sia stato il vero moto dei corpi prima dell’urto, è chiaro che neppure attraverso l’urto le ipotesi non possono essere distinte.

Proposizione 15

    Se ai corpi è aggiunto un moto comune rettilineo, le loro azioni reciproche rimangono le stesse e gli stessi restano i fenomeni fra di loro. E se molti corpi oltre ai moti propri sono trasportati col moto comune rettilineo di un solo corpo (come di una nave), niente cambia per questo riguardo ai moti propri.
    Infatti il moto comune non cambia le distanze dei corpi fra di loro e quindi le velocità relative, come è evidente. Per cui non sono cambiate (per la prop. 7 qui) neanche le forze relative e (per la dimostr. nella prop. 16 cap. 2 sez. 1 Part. II) i fenomeni dei corpi stessi fra di loro.
    Da ciò segue, che noi possiamo servirci tranquillamente delle composizioni dei moti senza alterare la potenza, il che in altre circostanze era soggetto a qualche dubbio. Infatti un corpo, che è trasportato con due velocità uguali composte fra di loro, non ha una potenza nella direzione risultante uguale alla somma delle potenze nelle direzioni componenti, a meno che le direzioni non formino un angolo retto. Intanto, la natura consegue nondimeno, per effetto delle leggi precedenti, la conservazione della stessa potenza assoluta che si calcola da un moto composto. Poi queste cose sono in accordo con gli esperimenti. Se su una nave che avanza in linea retta e non subisce scosse ti diverti a provocare degli effetti di moto, sperimenterai gli stessi fenomeni che sulla terra. E, nell’esperimento di Gassendi, le frecce che sono lanciate dalla nave raggiungono la nave, che sta volando via per la forza dei remi, e ricadono su di essa, esattamente come se fossero lanciate sulla nave ferma all’ancora, perché naturalmente oltre al moto prodotto dal lancio, la freccia aveva anche il moto della nave, prima che ne fosse separata. Per cui se uno è trascinato insieme a un corpo grande  e [non] procedente in linea retta, e gli è impedito di prendere coscienza dall’esterno di uno stato di  quiete accertato o di un moto riconosciuto, non ha modo di conoscere, se gli sia toccato un luogo in quiete o in moto. Nei moti circolari e in genere curvilinei sembra a prima vista che queste cose non valgano, e varrà la pena di investigare nel seguito la causa di questo e le correzioni necessarie.

La Proposizione 16 non esiste nel testo originale

Proposizione 17

    Tutti i moti sono composti di moti rettilinei uniformi.
    Infatti ogni moto è per se uniforme e rettilineo; nei corpi d’altra parte ogni azione deriva da  un moto. Infatti un moto rettilineo non può essere deviato se non per la spinta di un altro  moto che sopraggiunge, anch’esso per se rettilineo ( considerando che persiste anche il moto precedente), e quindi non si può immaginare alcuna origine di un moto curvilineo e non uniforme, se non attraverso la composizione di moti rettilinei uniformi.

    Così come questa proposizione può essere usata per dimostrarne alcune seguenti, può a sua volta essere dimostrata dalle seguenti, in quanto queste possono essere dimostrate anche per altra via, come sarà chiaro in particolare alla prop. 20. Quindi se un corpo, agganciato da un altro, dal suo moto rettilineo è costretto a ruotare in cerchio, giudico che in realtà tenda a proseguire in linea retta, anche se per la forza dell’adesione, che considero derivante da un moto, è spinto verso il centro. E immagino che la Natura, con modalità sconosciute, conservi tutte le sue spinte elementari, anche quelle particolari, e le conduca al fine. Certamente nell’urto di corpi uguali avviene (come mostreremo più avanti), che le velocità assolute e le direzioni si scambino fra di loro. Per cui se in un dato tempo (fig. 198) A e B da 1A1B passano ad 2A2B e nello stesso tempo dopo l’urto 2A2B passano ad 3A3B, avverrà che da ciò tutto risulti come se ciascun corpo avesse proseguito il proprio percorso senza alcun urto; infatti in luogo di A, che in assenza di urto sarebbe giunto ora nel punto 3B, vi è invece pervenuto B; e in luogo di B, che in mancanza di urto sarebbe ora giunto nel punto 3A, vi è invece pervenuto A. E poiché l’uno è uguale all’altro, è chiaro che la Natura ha raggiunto il suo scopo in modo equipollente. E nello stesso modo in cui vediamo che nella propagazione del suono la natura divide spontaneamente in parti uguali gli oggetti elastici oscillanti, perché naturalmente in tale rapporto le vibrazioni si armonizzano meglio; così può succedere che gli urti  per legge di natura avvengano così come se i corpi ineguali fossero composti di molte parti uguali. E ancora poiché ritengo che ogni spinta elementare abbia in qualche modo il suo esito, se (fig. 199) due corpi A,B, attaccati alle estremità di una bacchetta, sono fatti ruotare intorno al punto medio come centro e sono spinti ad allontanarsi da esso, stimo che in realtà il corpo si allontani e si muova da B verso C, ma per la spinta contraria di corpi impercettibili, sia respinto indietro verso il centro da C verso 2B, e non ci sia altra causa del fatto che resti attaccato, come sarà più chiaro fra poco.

Proposizione 18

    Se nel complesso dei corpi che si urtano si origina dall’urto una rotazione, questa avviene intorno al centro comune di gravità, ed essendo i moti contrari inversamente proporzionali ossia rispettivamente uguali si compensano dalle due parti. E quindi si conservano uguali sia la forza relativa sia la forza progressiva ossia la quantità di moto rettilineo uniforme di detto centro, come nei moti rettilinei, così anche nei circolari uniformi, e in genere in quelli curvilinei che nascono dalla composizione di questi. Se poi i moti non sono tali, almeno possono essere intese tali le spinte elementari, e specialmente le ultime spinte elementari prima dell’urto, che perciò produrranno spontaneamente detti moti o almeno, se ne sono impediti, spinte elementari all’indietro di natura tale da conservare la somma della quantità di moto in una data direzione.
    Questa conservazione della quantità di  moto direzionale totale segue dalla precedente dimostrazione, perché abbiamo mostrato sopra che è vera nei moti rettilinei uniformi (prop. 12), e da questi per detta proposizione precedente tutti gli altri sono composti. Ma questo sarebbe da interpretare sottintendendo dei moti impercettibili di corpi circostanti impercettibili, per la cui spinta le parti dei corpi sono spinte le une verso le altre;  dal che sorge la solidità ossia la coesione. La stessa cosa tuttavia, anche se i corpi non sono  tenuti stretti da altri esterni, può  essere mostrata per altra via, assumendo come normalmente si fa che i corpi siano solidi per se senza prendere in considerazione le cause della solidità; ma allora la proposizione non vale in generale, però risulta per i moti uniformi e per  le spinte elementari di qualunque tipo, come l’abbiamo formulata.
    Poniamo (fig. 200) che due corpi uguali A,B, con moti uguali paralleli e direzioni contrarie colpiscano i bersagli ossia le cavità C e D poste alle estremità del segmento CD, e così trasformino i moti rettilinei in una rotazione; è evidente che il loro centro G (che è nel punto medio del segmento CD) come era in quiete prima della rotazione, così sarà in quiete anche dopo di essa, se consideriamo il segmento stesso privo di massa, o, se è fatto di materia, come avente il suo centro pure in G.  Se poi i corpi sono diseguali o si muovono con velocità diverse, sorgerà un conflitto, e precisamente  sono rettilinei e uniformi  i moti dei corpi che si urtano, per ipotesi  (e le spinte elementari sempre), in base alle leggi  fin qui enunciate dei moti rettilinei uniformi ossia  liberi e procedenti da soli, anche se poi sono mutati  o da un’azione esterna o da un ostacolo.

    Pertanto così tenderanno a muoversi i corpi A,B, e parimenti il loro centro di gravità comune, come le leggi sopraddette prescrivono, cosicché il  centro se prima era in quiete sarà ancora in quiete, se prima si muoveva, tenderà a continuare a muoversi con lo stesso moto in linea retta. E queste spinte elementari non sono impedite nella conversione del moto rettilineo in uno circolare se non per una differenza infinitamente piccola ossia trascurabile. Poniamo infatti (fig. 201) che il punto A tenda ad avanzare lungo la retta 1A2A,  ma colpendo in D l’estremità della bacchetta AD sia costretto a ruotare e deviare in (2A) ossia 2D, e invece del segmento 1A2A descriva l’arco 1D2D; è chiaro che all’inizio ossia nel momento stesso  della trasformazione del moto rettilineo in una rotazione, la direzione non è variata di una differenza maggiore di quella dell’angolo di contatto, che è infinitamente minore di qualunque tratto rettilineo, e che la differenza fra il segmento 1A2A e l’arco 1D2D è infinitesima rispetto alle due entità differenti, e che quindi la forza centrifuga (che è data dal segmento 2A(2A), cioè dalla differenza fra il raggio di A(2A) e la secante R2A) è infinitamente minore della velocità (che è data dal segmento 1A2A) e perciò all’inizio si deve ritenere nulla la variazione, che infine col progredire del moto diventa apprezzabile  per la ripetizione continua; e lo stesso avviene in tutti gli altri punti, che passano da una spinta elementare rettilinea a una rotazione. E un punto che  deve essere in quiete in assenza di rotazione, sarà ancora in quiete nonostante la rotazione dei corpi, perché non si può neppure immaginare in esso l’inizio della variazione, ed essendo nullo 1A2A, tanto più è nulla la deviazione e la forza centrifuga, e perciò lo stesso 2A(2A).  Pertanto se il centro di gravità è in quiete prima dell’urto, o all’inizio dell’urto, non ha nessuna velocità di avanzamento, e  anche dopo, in conseguenza della forza dell’urto e delle spinte elementari, per se rettilinee, sorte da questa, non deve avere nessuna velocità; e anche quando avviene la rotazione non avrà nessun moto; e neppure sarà ruotato, perché abbiamo mostrato che la rotazione non è altro che un moto che per se continuerebbe rettilineo, ma è attualmente deviato da un’alterazione infinitesima. Per ciò stesso quello che abbiamo mostrato per un centro in quiete, si adatta anche ad uno in moto. Poiché infatti si è mostrato nella prop. 15 che le composizioni di moti rettilinei ossia le variazioni dell’ipotesi non cambiano nulla nei fenomeni, possiamo assegnare a tutto l’insieme un moto comune tale, che sia come se tutti  i corpi fossero trasportati su una nave, per un osservatore interno alla quale il centro di gravità sia in quiete, anche se a chi osserva in modo assoluto ossia da una riva immobile i fenomeni appaiono uguali a come detto prima. Ma nella nave tutto deve accadere nello stesso modo, sia che la nave si muova sia che stia ferma. Pertanto nella nave anche dopo l’urto seppure nasce una rotazione il centro di gravità sarà in quiete, se era in quiete prima dell’urto; proprio come poco fa abbiamo mostrato che avverrebbe, se il moto della nave non ci fosse, ossia il centro realmente stesse in quiete in assoluto. Intanto il tutto avanzerà col moto della nave ossia col moto comune, e avverrà che per l’osservatore esterno alla nave il centro di gravità, come abbiamo supposto prima dell’urto, avanzerà con la stessa velocità, e quindi parlando in assoluto avanzerà come prima senza alcuna rotazione; gli altri punti (come nella nave) ruotano intorno al centro stesso considerato immobile, e in aggiunta avanzano con lo stesso moto comune rettilineo dell’avanzamento totale; ma in quanto ruotano, compensano vicendevolmente gli avanzamenti e gli arretramenti ossia i moti contrari inversamente proporzionali ai  pesi dei corpi per la natura della rotazione, in cui i lati opposti sono trascinati in direzioni contrarie, e in questo modo la forza relativa sempre si conserva; e se tutti i corpi fossero liberati dalla rotazione e seguissero le loro direzioni secondo le tangenti, avrebbero le velocità relative precedenti, che avevano prima della rotazione, e se i corpi rotanti fossero divisi in qualunque modo in due gruppi, avrebbero le loro velocità di allontanamento reciproco inversamente proporzionali ai  pesi dei corpi e uguali a quelle che avevano prima dell’urto. Pertanto le velocità relative, e quindi anche le forze relative, si conservano, come nei moti rettilinei attraverso velocità contrarie inversamente proporzionali ai pesi dei corpi, così anche ora nelle rotazioni opposte attraverso le stesse velocità distribuite nella stessa proporzione; mentre intanto aggiungendo, oltre alla forza dei corpi di agire l’uno sull’altro, il moto comune del centro di gravità, ossia di tutto il complesso, ai moti contrari rispettivamente uguali, [ALLORA] anche questa forza di agire comune, ossia la forza complessiva dell’intero complesso o somma totale del moto direzionale è conservata. Del resto nei corpi componenti possono avvenire anche più rotazioni particolari, dove il ragionamento vale anche  per ciascun centro particolare.

    La cosa poteva anche essere dimostrata dalla proposizione precedente, in questo modo: che ovunque le forze tanto relative quanto progressive sono conservate nei moti rettilinei uniformi, ma tali sono tutti i moti (per la proposizione precedente), posto naturalmente che anche le adesioni ossia la solidità e quindi anche la conservazione dell’equidistanza dal centro derivino da spinte impercettibili di enti circostanti. Ma poiché le spinte degli enti circostanti sono compensate dalle spinte elementari di allontanamento dei corpi rotanti, e a ciò non si deroga quando le forze insite nei corpi sono trasformate da moto rettilineo in una rotazione, resteranno uguali a prima tanto le forze totali, che quelle relative, come si è spiegato. Le quali cose mostrano (declarant) ragionevolmente come siano da ammirare e non siano state abbastanza considerate finora la costanza e l’armonia della Natura nell’osservare le leggi. Poteva sembrare che le nostre regole fallissero, quando (fig. 202) il corpo A si scontra con uno immobile B; o quando la bacchetta CD libera di muoversi intorno al centro fisso C, cattura con la cavità ossia il recipiente D il corpo E che arriva con moto rettilineo, e lo costringe a ruotare; o quando i corpi F e G colpiscono la bilancia HML, il cui centro M è fisso, e HM e LM sono i bracci opposti, dallo stesso lato rispetto alla bilancia (per esempio, dirigendosi tutti e due verso l’alto o tutti e due verso il basso), ma sui bracci opposti. Allora infatti il centro di gravità dei corpi in movimento può rimbalzare (come il centro del corpo A che rimbalza sul corpo B), o devia ruotando, come quando E colpisce il recipiente D; o infine rimbalza o prosegue a seconda della posizione, come il centro degli stessi F e G, che, se colpisse esattamente M, rimbalzerebbe.

    Ma questa obiezione può essere facilmente risolta; a parte il fatto che qualsiasi corpo perfettamente fisso, se esistesse, dovrebbe essere considerato infinito rispetto agli altri, per cui il centro di gravità comune a tutti coincide col corpo stesso immobile e quindi è in quiete, si deve sapere che in realtà nessun corpo è immobile; quello che tale ci appare, sembra mantenere sempre la stessa posizione, solo perché è attaccato al globo terrestre o a un altro corpo grande, il quale in effetti subisce lo spostamento finito che è richiesto dalle nostre leggi; ma il suo moto, impercettibile per l’enorme lentezza che richiede la grandezza del corpo, non può essere in alcun modo percepito. Lo stesso è se un corpo fisso mantiene la sua posizione per la forza di corpi impercettibili che continuamente oppongono resistenza. Sempre dunque resterà vero, che si conserva sia la forza relativa dei corpi l’uno rispetto all’altro, sia la forza traslazionale dell’avanzamento totale. Uno dei più celebri filosofi del nostro secolo  non ha considerato questa legge della Natura, quando ha ritenuto, riguardo ai pensieri e alle volontà degli esseri animati, che certamente la grandezza totale del moto non si può variare, ma tuttavia si possono variare le direzioni dei moti nei corpi. Ma questo significò non diminuire, ma soltanto spostare la difficoltà. Infatti la Natura non si preoccupa di conservare la somma delle forze traslazionali con minore cura di quella delle forze assolute (che quel filosofo confondeva con la quantità di moto). E può avvenire, che, per una certa concomitanza (se così si può chiamare) stabilita dall’inizio dal Creatore, le azioni degli esseri animati e dei corpi inanimati concordino, anche se da nessuno dei due le leggi dell’altro sono all’occasione minimamente violate; il che non deve sembrare strano, in quanto ciascuna singola sostanza è così costituita, che comprende nella sua nozione completa tutto l’Universo, e  dal momento che secondo certi punti di vista si può dire che tutte le cose agiscono da sole e per così dire spontaneamente. Si aggiunga la prop. 6. Ma queste cose sono qui fuori luogo.

 


http://www.dichi.unina.it/~avitabil/leiblat.htm

G.W. Leibniz
Dynamica de Potentia et Legibus Naturae Corporeae
in Die mathematische Schriften, ed. G.J. Gerhardt, Berlin-Halle, 1849-63,
(rist. anast. Hildesheim 1980), vol. II, pp. 488-507

Sectio tertia, Propositiones 1-18

(Il latino di Leibniz, a differenza di quello di Galilei e di Newton, è piuttosto involuto e decisamente complesso: le proposizioni sono quasi sempre molto lunghe, dense di subordinate, appesantite spesso da doppie negazioni. Ricorre anche qualche errore sul piano grammaticale, ma si può anche pensare a un errore meccanico di trascrizione del manoscritto).

Propositio 1.

Si corpora quotqunque concurrant quomodocunque, aequalis sempre manet potentia absoluta hoc est, summa factorum ex ponderibus seu materiae quantitatibus cujusque corporis in altitudines ductis, ad quas vi suarum celeritatum ascendere possunt, seu factum ex pondere sive quantitate materiae omnium simul sumtorum ducta in altitudinem centri gravitatis communis, ad quam id vi celeritatum praesentium in corporibus existentium ascendere posset.

De summa factorum ex pondere seu mole in altitudines jam constat ex demonstratis capite de Causa et Effectu. Nam per prop. 7 dicti cap. eadem manet potentia in corporibus, quae sola invicem agunt. Potentiae autem sunt in ratione composita ex simplice ponderum et duplicata velocitatum, seu ex composita ponderum et dictarum altitudinum (per prop. 15 ibid.). Porro eadem est quantitas summae ex ascensibus in corpora singula ductis, et facti ex ascensu centri gravitatis in summam corporum per prop. 14 cap. 2 Sect. 1 Part. II, quia altitudines intelliguntur perpendiculares adeoque inter se parallelae. Abstrahitur autem animus ab eo, quod fieret si durante concursu accederet actio gravitatis vel alia, quaecunque praeter jam conceptam a corporibus seu praeter eam quam habent in ipso concursu.

Propositio 2.

Si Elastrum, quatenus se restituit, in duo corpora agat, imprimet illis conatus corporibus reciproce proportionales.

Sint (fig. 192) duo corpora A et B connexa per Elastrum, quod se restituens in ipsa agat; veluti si sit compressum ea a se invicem repellendo, vel si sit distensum ea ad se invicem attrahendo; ajo celeritates quas accipiunt corpora, esse corporibus reciproce proportionales. Ponantur enim corpora esse pondera eo ipso dum ab Elastro moventur elevanda, ut si ponantur esse horizonte et suspensa a funibus perpendicularibus aequalibus ex C et D; manifestum est magis resistere, quod magis quam reciproca ad pondus ratione elevatur. Itaque conatus quos a corporibus accipiunt, corporibus reciprocos esse necesse est (per prop. 16 cap. de causa et effectu). Cumque id continuata restitutione semper contingat, etiam impetus vivi ex conatibus repetitis semper proportionalibus conflati seu impressae tandem celeritates erunt corporibus reciproce proportionales prorsus ut prop. 41 cap. de causa et effectu Sect. 4.

Propositio 3.

Iisdem positis, etiamsi plura duobus sint corpora, succedet quod propositione praecedenti diximus, aggregatum ex quibusdam simul sumtis pro uno corpore sumendo, et elevationem centri componentium pro elevatione ipsius aggregati. Itaque generaliter centrum gravitatis unius vel aggregati plurium accipiet celeritatem, quae sit ad celeritatem quam accipit centrum gravitatis reliquorum, reciproce ut pondera corporum quorum ea sunt centra gravitatis.

Ostenditur ut praecedens. Si corpora ex filis perpendicularibus suspensa intelligantur, distribuendo enim omnia corpora in duo aggregata et unumquodque aggregatum concipiendo ut unum corpus habens centrum gravitatis (veluti si per lineas rigidas connecti intelligantur), fieri non potest, ut centra magis quam reciproce pro ponderibus eleventur, cum illud pondus quod plus elevari debet, magis resistat; pondera autem velut in centra gravitatis redacta intelligi possint eadem potentia manente (per prop.3 cap.1 Sect. 1 Part. II).

Plura corpora simul ab uno eodemque Elastro se restituente impellentur, si aër compressus plura ostia a corporibus totidem obstructa inveniens corpora simul omnia propellat. Idemque continget in tormenti repulsa, dum emittitur globus. Et vis haec est alternativa, ita ut si unum non possit cedere, reliqua recipiant vim totam.

Propositio 4.

Si duo globi gemelli (hoc est aequales et per omnia similas) sibi occurrant in recta per amborum centra transeunte, et partes eorum post ictum quiescant ut ante; ambo regredientur ea qua venere velocitate et contraria directione in eadem recta (fig. 193).

Cum enim post concursum nec progredi possint (alioqui se penetrarent), nec flectere in latus, cum nulla sit ratio in quam potius partem flecti debeant, nec quiescere, alioqui effectus foret debilior causa, tanta quippe vi perdita, nisi scilicet eam transtulerint in partes, quod est contra hypothesin; regredi igitur debent, et ita quidem, ut in summa sit eadem vis quae ante. Sed cum nulla sit ratio cur unum plus virium altero accipiat, utrumque accipiet vim dimidiam. Et initio etiam unumquodque habebat dimidiam. Ergo eandem accipiet vim quam habebat ante. Sed idem corpus eandem accipiens vim quam habuit ante, etiam eandem accipit celeritatem. Igitur constat propositum.

Propositio 5.

Nulla dantur corpora perfecte inflexibilia.

Ponantur enim dari, itaque poterunt dari duo tales globi, iique concurrentes, ut in prop. praecedenti. Sed ita (fig. 193) globus in loco 2A positus a conatu pergendi in directione, ut 1A2A, transibit ad conatum contrarium 2A3A, idque momento, quod est absurdum. Omnis enim mutatio fit per intermedia. Itaque in tali concursu cedere in partibus suis seu flecti corpora necesse est, ut paulatim deveniant ad quietem, et deinde Elastro se restituente motum contrarium priori recipiunt per gradus. Idem sic quoque ostenditur, quod necesse est in corporibus concurrentibus aliquando mutari velocitates, idque fieret in momento concursus, si corpora essent perfecte rigida. Sed nulla potest esse in Natura mutatio momentanea assignabilis sive notabilis, et proinde ab uno velocitatis gradu ad alium nisi per intermedios transiri non potest.

Hinc intelligitur, Atomos Naturae legibus consentaneos non esse. Caeterum quando nos corpora rigida adhibemus, ea intelligimus, quae flexilia sunt quidem, sed summa promtitudine se restituunt. Principium autem generale, quod mutationes vel transitus non fiant per saltus sive temporis sive aliorum determinantium respectu, maximi in Mathesi et Natura momenti est. Usi jam eo sumus in prop. 38 cap. de causa et effectu, et alibi ope ejus methodum ostendimus a posteriori opiniones non bene concinnatas dignoscendi. Videantur Novellae literariae Batavae anni 1687 mense Julio.

Propositio 6.

Corpora non agunt immediate in se invicem motibus suis, nec immediate moventur, nisi per sua Elastra.

Cum omnia corpora sint flexilia (per praecedentem) et facilius sit corpus utcunque firmum flectere nonnihil, quam ei impetum dare vel adimere (per prop. 30 cap. de causa et effectu) itaque corpus flectetur prius nonnihil, quam ullum determinatum velocitatis gradum vel impetum accipere possit ab alio, vel ejus actione amittere. Cumque eadem ratio semper subsistat, et flexu licet facto rursus novus flexus facilior sit quam impulsus, quo semper determinatae est velocitatis, ejus scilicet minimum quae est impellentis; unde semper assumi potest flexus minor, donec plane vis impellendi consumatur. Nunquam igitur corpus, nisi flectetur ab alio, impelletur autem non nisi ab Elastro suo restituente, quod statim incipit agere ad corpora invicem dimovenda.

Quod corpora prius flectantur quam impellantur, discimus etiam experimentis. Hinc si magna sit ictus velocitas, potius frangentur, quam movebuntur, ut videmus ictu glandis plumbeae ex pyrio sclopeto potius perforari januam paulum apertam quam claudi. Etsi enim alioqui majore vi sit opus ad perforandum quam claudendum, hic tamen majore vi opus fuisset ad subito claudendum, quam subito perforandum requirebatur. Hinc patet etiam, corpus unum semet vi elastri sui seu motus intestini ab alio repellere seu dimovere, ut qui intra navem sunt eam conto a ripa repellunt. Ex hujus autem propositionis demonstratione attente considerata poterunt paradoxa elici, unde apparebit naturam corporis et motus longe aliam esse, quam credi solet. Sed ab iis nunc abstineo.

Propositio 7.

Si duo corpora in se invicem agant, eadem est vis agendi respectiva seu (in casu cuncurrendi) vis ictus, in quocunque demum corpore sit motus, modo eadem sit vis intendendi elastrum, seu celeritas mutandi distantiam corporum, quam voco respectivam. Et aequalis est actio et passio utriusque invicem exercita. Idemque ad plura corpora porrigitur ad modum popositionis 3.

Nam (fig. 194) Elastrum, quo mediante corpus A agit in B vel contra, eodem modo intenditur, posita aequali celeritate respectiva, appropinquandi scilicet aut recedendi, quibus verbi gr. linea elastica AB distenditur aut coarctatur. Actio autem corporis in corpus non est nisi per Elastrum (ex prop. 6), et Elastrum aequaliter agit in ambo corpora simul, vires ipsis imprimens aequales respectivas (per prop. 2 hic; adde prop. 41 Sect. 4). Itaque ambo aequaliter patiuntur, adeoque (cum non nisi a se invicem licet mediante Elastro patiuntur) er aequaliter invicem agunt. Atque idem est intelligendum de concursu corporum immediato, ubi Elastrum est in partibus ipsorum.

Propositio 8.

Duo corpora directe concurrentia velocitatibus quae sint corporibus reciproce proportionales, tota vi sua invicem agunt, et qua velocitate venere reflectuntur, si modo satis elastica sint, nec vis ictus a partibus ipsius corporis absorbeatur.

Sistunt enim se mutuo (per prop. 41 Sect. 4). Itaque tota vis qua agunt ab ipsis amissa transfertur in eorum Elastrum, quippe cum (per prop. 6 hic) non nisi ab Elastro in contrarias partes agi possint, progredi autem vel deflectere nequeant. Accipiunt autem velocitates reciproce proportionales (per prop. 2 hic) adeoque (cum summa eandem vim dare debeat per prop. 1 hic) priores.

Propositio 9.

Vis respectiva qua duo corpora possunt agere in se invicem, est ea pars vis absolutae, quae habetur corporibus velocitates tribuendo ipsis corporibus reciproce proportionales et tantas, ut inde sequatur eadem celeritas respectiva, quam nunc ob concursum praesentem habent.

Ponamus (fig. 195) distantiam corporum fuisse 1A1B, et deinde esse 2A2B, et ita ista mutatione intensum esse Elastrum CD, quo mediante corpora invicem agunt. Jam si esset celeritas 1A2A ad celeritatem 1B2B, ut B ad A, corporum hos motus habentium vis absoluta aequaretur vi eorum respectivae (per prop. 8). Et vis respectiva corporum sic motorum aequatur vi respectivae eorundem motu aliter utcunque distributo motorum, dummodo eadem maneat celeritas respectiva accedendi ad se invicem, seu eadem differentia inter 1A1B et 2A2B (per prop. 7). Ergo vis absoluta dicta aequatur respectivae propositae.

Propositio 10.

Vis agendi corporum respectiva per eorum actionem in se invicem non mutat quantitatem, nec inde mutatur celeritas respectiva, modo corpora non nisi invicem agant et patiantur, nec portio virium ab eorum partibus retineatur. Quae autem de duobus corporibus dicta sunt, ad plura producuntur in modum propositionis 3 vel 7.

Nam vis agendi respectiva translata est in Elastrum (per quod solum corpus agit in corpus prop. 6), et cum ea vis non absorbeatur vel a tertio aliquo corpore vel a partibus corporum (ex hypothesi), corporibus redditur ab Elastro. Jam si eadem maneat vis respectiva, necesse est, ut eadem quoque maneat celeritas respectiva, alioqui corpora eandem in se agendi vim respectivam non haberent, si forte denuo concurrerent aut in se agerent (per prop. 7). Idem sic intelligitur: Celeritas respectiva eadem eandem facit Elastri intensionem. Elastri autem seu ictus vis est tanta quanta corporum amborum celeritatibus reciproce proportionalibus eandem respectivam efficientibus latorum (per prop. 9). Haec ergo vis ablata est, et periret nisi redderetur corporibus. Sed ex hypothesi non absorbetur a partibus aut causa externa; ergo tota redditur. Quod quomodo fiat, ita distincte cognoscemus. Dum (fig. 196) A et B concurrunt celeritatibus 1A2A et 1B2B, et ex 1A1B transeunt in 2A2B, secemus rectam 1A1B in puncto C sic, ut sit AC ad BC, ut B ad A; erit vis ictus perinde ac si concurrissent A celeritate 1A1C, et B celeritate 1B1C (per prop. 9). Haec vis absoluta, quam componerent, si duo motus detrahantur a vi absoluta totali, residua vi iret totum compositum simul. Utique enim vis residua est in ipso composito sublata vi ictus, alioquin aliquid de tota vi periret contra prop. 1. Totum autem compositum iret simul, si corpora a se invicem per restitutionem Elastri non iterum repellerentur; nam quamdiu adhuc corpora se urgent, nondum totam vim ictus in Elastrum transtulere (vid. demonstr. prop. 6), eo vero momento quo se urgere desinunt, manent simul (perdito conatu magis appropinquandi seu celeritate respectiva) nisi quid novum superveniat, quod est restitutio Elastri. Jam si Elastrum motu communi cum corporibus feratur, ea a se invicem dirimet eodem modo ac si motus ille communis abesset (ut in prop. 2), celeritate scilicet reciproce proportionali singulorum tanta, quantam vis Elastri et magnitudo corporum, id est vis respectiva prior nempe Elastro impressa postulat. Necesse est ergo eandem corporibus dari celeritatem recedendi, quae prius appropinquandi fuit, seu A abscedere a concursu celeritate ut 1A1C, et B celeritate ut 1B1C, adeoque eandem esse quae ante celeritatem respectivam. Celeritas autem communis, qua itura essent si abesset restitutio, ea foret, quae ante concursum fuit centri gravitatis, nempe 1C2C, ut mox apparebit.

Si tamen corpora non satis elastica sint, et ita partes compressae vim absorbeant nec prorsum restituant corporibus, tantundem decidit potentiae respectivae, et proinde si corpora ex materia quadam molli et tenui constent, ita ut post ictum cohaereant, perit vis respectiva, et restat solummodo vis progressiva totius, de quo jam. Quodsi materia non satis perfecte elastica sit, ut lignum, pars vis respectivae seu potentiae ictus absorbebitur a partibus ligni, pars reddetur corporibus totis, in quantum a se invicem ob ictum reflectentur.

Propositio 11.

Potentia absoluta aggregati plurium corporum ex motu eorum orta componitur ex vi eorum respectiva agendi in se invicem, et vi progressiva (agendi in tertium) per modum unius seu vi directionis.

Sint corpora quotcunque in motu vel quiete posita, et ponantur subito connecti a lineis rigidis vel elasticis si placet (quod vim nec auget nec minuit, cum thema hoc per se non sit activum), et omnis vis quae est in corporibus recedendi a se invicem vel accedendi, hoc est vis respectiva a lineis rigidis vel elasticis sustinebitur, et in elastrum vel vinculum qualecunque transferetur. Et haec vis ab Elastro aut firmitate vinculorum recepta, a tota potentia praesentis thematis, quippe permanente (per pror. 1), detracta relinquet potentiam, qua corpus totum unitum, ex corporibus pluribus datis compositum, progredi conabitur.

Propositio 12.

Non mutatur per concursum vis progressiva seu vis directionis in summa quae est composita ex pluribus corporibus, sed eadem est ante et post concursum, et proinde in per se libere motis, eademque quantitas non quidem motus, sed tamen progressus secundum quasqunque parallelas, eademque celeritas centri gravitatis totius compositi remanebit. Nec refert, corpora sint mollia an dura seu perfecte elastica.

Nam potentia absoluta semper manet eadem (per prop. 1) et componitur ex vi respectiva seu ictus, et progressiva seu directionis totalis (per prop. 11); manet autem eadem vis respectiva sive in corporibus sive in eorum partibus absorbentibus (per prop. 1); ergo et vis directionis totalis eadem manet. Porro cum eadem maneat vis progrediendi, ut ostendimus, ea scilicet quae vi respectiva adempta, seu massa in unum rigidum congelascente, superesset, utique eadem quoque manet celeritas progrediendi, nam eadem vi in eodem corpore manente, eadem manet celeritas. Itaque et eadem quantitas progressus seu factum ex celeritate progrediendi in totam corporis molem seu pondus, si scilicet celeritas illa seu progrediendi impetus exitum sortiatur, quod fit si scilicet libere et per se moveantur corpora, alioqui stabit ea celeritas intra conatum, ut si centro immobili inter circulandum corpora retineantur, ne directionem quam secundum tangentes habent, prosegui possint; quamquam haec impedimenta non revera, sed in speciem tantum contingere inferius ostendemus, cum nullus conatus destruatur, sed tantum aliis componatur. Porro si corpora per se libere moveantur, seu vi sui impetus pristini ac secundum suam directionem, movebuntur linea recta ac motu uniformi. Et proinde tunc centrum gravitatis eadem semper celeritate ibit in eadem recta ad easdem partes. Nam intelligantur exstingui corporum vires respectivae, quod fieri potest, si intelligamus corpori cuilibet celeritatem respectivam aequalem et contrariam priori (recedendi si accesserat, et contra) et corporalibus sese respicientibus reciproce proportionalem esse additam; ita enim exstinguitur ille motus, qui ut prop. 9 ostendimus vim respectivam constituit, quippe unus contrario aequali compensatus; tunc igitur tota massa cessante mutatione distantiae inter partes massae movebitur per motum unius rigidi motu rectilineo aequidistributo, adeoque centrum gravitatis uniformiter et directe progredietur. Utor autem hic potius hypothesi motus compensati quam connexionis in rigidum, ne in casu obrigescentiae progressio pro parte in circulationem convertatur, quae rectilinea manebit, si motibus uniformibus rectilineis jam existentibus (ex hypothesi) nihil aliud quam conatus compensantes rectilinei addantur per prop. 3 cap. 2 Sect. 1 Part. II. Porro ante hanc innovationem, quae distantiarum mutationem sustulit, totius massae centrum gravitatis eodem ut nunc modo movebatur, quod inde ostendo, quia duorum quorumlibet corporum centrum eodem modo movebatur ut nunc. Ergo et centrum gravitatis totius aggregati. De centro autem duorum quorumlibet res sic patet, quia sive corpora a se non recedant sive recedant celeritatibus reciproce proportionalibus ad corpora, eodem loco manet centrum gravitatis. Hinc ergo denuo demonstratum habemus (quod supra cap. de directione prop. 11 primum in parallelis ostenderamus, et prop. 17 cap. ejusdem ex solis considerationibus Geometriae in libero corporum non concurrentium motu eruimus), punctorum quotcunque adeoque et corporum lineas rectas motu uniformi describentium centrum gravitatis in linea recta motu uniformi progredi, et quidem eadem celeritate, qua tota massa sublata vi respectiva progredi debet. Quae celeritas habetur, vim respectivam (ex prop. 9 determinandam in singulis corporibus, adeoque et in toto) detrahendo a vi totius absoluta (per prop. 11), restabit vis progressionis, unde ex data massa corporis habetur et celeritas progressionis hujus massae. Caeterum hic progressus centri gravitatis totalis non mutatur a corporum concursu, quia ipsorum concurrentium (in quibus mutatio ista credi posset) centrum gravitatis a concursu non mutatur, in quantum enim in se invicem agunt, agunt per Elastrum (prop. 6), quod celeritatem respectivam (veluti velocitatem a se invicem recedendi) inter ipsa distribuit proportione corporibus reciproce proportionali (per prop. 2 et 3 hic); at quae ad se accedunt vel a se recedunt celeritate reciproce proportionali, ex hoc locum centri gravitatis non mutant, quippe quod etiam corporum distantiam in partes secat, corporibus ad quos pertinent reciproce proportionales. In universum igitur, corporum per se (seu vi pristina retenta) et libere (sine retinaculo) adeoque lineis rectis et motu uniformi motorum centrum commune gravitatis uniformiter pergit in recta ad easdem partes, sive corpora haec inter se concurrant, sive non. Idemque est, si motus esset proportionaliter crescens. Porro centro gravitatis directe et uniformiter progrediente, etiam corporum per se libere motorum, quorum hoc est centrum, quantitas progressus in easdem partes in iisdem parallelis manebit idem. Nam (fig. 197) assumta recta quacumque LM, positoque puncta mobilia A, B, C progredi in rectis motu uniformi 1A2A, 1C2C, 1B2B, itaque etiam secundum parallelas huic rectae uniformiter progredientur celeritatibus quae repraesentabuntur rectis 1a2a, 1x2x, 1b2b, posito normales vel inter se parallelas ex dictis locis punctorum A, B, C in rectam LM esse ductas. Sed in motibus parallelis punctorum quibuscunque factum ex via centri gravitatis ut 1x2x in pondera punctorum A, B, seu in rectas AC + CB aequatur summae vel, si contrarii sint motus, differentiae facti ex pondere A ducto in suam viam 1a2a, et ex pondere B ducto in suam 1b2b, hoc est, quantitati progressus in summa (ut ostendimus prop. 12 cap. 2 sect. 1 Part. II.), et quod de punctis duobus, id de quibuscunque verum esse ostendimus, adeoque et de mobilibus quibuscunque quae per puncta constituuntur, seu nihil aliud sunt quam summae punctorum, hoc est corporum sufficientis ad evitandum errorem dato minorem parvitatis. Sed aliter quoque ostendi potest, quod de punctis, idem demobilibus quibuscunque verum esse, quorum puncta moventur motu rectilineo aequidistributo, hoc loco singula corpora moveri supponimus. Fit enim progressus corporis talis ex facto viae unius alicujus puncti in corporis pondus ductae, perinde ac si totum pondus in unum ex punctis (ex. gr. in centrum) esset redactum. Cum igitur assumtis parallelis ad rectam datam LM eadem sit quantitas summae progressus et facti ex progressu centri gravitatis totalis in summa corporum, progressus autem centri gravitatis 1C2C in easdem partes semper aequalis sit celeritatis, adeoque respectu ad parallelas rectae LM, ita ut progressus quoque 1x2x semper aequalis sit celeritatis; utique et summa totalis progressus in easdem partes (detractis scilicet progressibus contrariis si qui sunt per dict. prop. 12) secundum parallelas quascunque idem manebit.

Haec autem vera esse patet etiam, si per mollitiem corporum concurrentium pars ictus absorbeatur, traslata in concurrentium partes insensibiles, quoniam vis directionis totalis a vi ictus nullo modo pendet, nec per eam alteratur. Unde fit ut haec regula etiam sic satis vera reperiatur in corporibus sensibilibus, quae libere satis moventur, uti in pendulis observari potest, etsi pars potentiae respectivae in concursu pereat, et eatenus in praxi summa totius potentiae absolutae non conservetur. Detrimentum tamen ipsum factis aliquot exprimentis in datae speciei materia ad calculum revocari, et inde in reliquis ejusdem materiae praedici potest. Quodsi corpora per concursum cohaerescant, soli potentiae directricis conservationi locus erit, vi ictus amissa.

Caeterum observare operae pretium est, quod in vi respectiva conserveretur quantitas motus, itemque in vi directiva quantitas progressus, seu factum ex pondere in velocitatem, etsi alioqui potentiis conservatis celeritates non conserventur, ut prop. 40 cap. de Causa et Effectu ostendimus. Cujus rei ratio est, quod hic eadem quoque manet quantitas materiae. Sed eo ipso potentiae sunt in ratione composita coporum et quadratorum celeritatum, manente quantitate materiae, necesse est idem manere quadratum celeritatis, adeoque et ipsam celeritatem eandem. Manere autem semper eandem quantitatem, in quam duci debet potentia tam in vi ictus, quam in vi directrice, manifestum est. Nam in vi ictus seu respectiva eadem manet vis respectiva in quolibet corpore respectu cujusque alterius, quae est media vis ictus totalis, qui ab ipsis fieri invicem potest, adeoque eadem quoque manet ejusdem corporis respectiva celeritas, licet contrariam directionem recipiat. In quantitate progressus quoque eadem manet quantitas materiae, nempe totius corporum aggregati, ac proinde eadem vi progressiva seu directrice manente, etiam celeritas centri gravitatis seu progressus totius manet. Sed non ideo eadem manet quantitas motus in summa, quia progressus totalis invenitur detrahendo sibi progressus contrarios; unde eatenus compensando quantitas motus ex parte perit. Ex quo nascitur propositio sequens 13.

Propositio 13

Tum demum eadem manet quantitas motus ante concursum et post concursum, cum et ante concursum corpora ibant simul ad easdem partes, et post concursum rursus simul eunt ad easdem, non vero ad contrarias invicem partes. Quodsi ante concursum duo corpora sibi ibant in contrarias et post concursum rursus, secundum certas scilicet parallelas eatenus differentia inter quantitates motuum ante concursum aequatur differentiae post concursum. Quodsi corpora progressum ex consentiente mutent in contrarium vel contra, summa quantitatum motus in progressu consentiente aequabitur differentiae earundem in progressu contrario, secundum easdem scilicet utrobi parallelas in quibus contrarietas sumitur. Idemque locum habet in pluribus quatenus nonnulla tanquam aggregata in unum considerando, omnia simul pro duobus haberi possunt, ut supra.

Demonstratio manifesta est ex Scholio praecedente. Manet enim eadem quantitas progressus ante concursum; quae si per meram additionem progressuum (id est quantitatum motus) corporum amborum in utroque statu colligitur, utique manet et quantitas motus absoluta; quatenus vero detractione opus est in alter utro aut utroque statu, progressus iste integer est quantitatum motus secundum illas parallelas differentia. Atque ita eatenus motuum seu progresuum singulorum differentia in uno statu differentiae aut summae quae est in alio statu aequatur.

Propositio 14

Si corpora suo impetu moveantur, tunc quaecunque demum fiat hypothesis phaenomenis corporum quoad situs inter se semel satisfaciens in statu aliquo priore seu in causa, satisfaciet etiam in statu quocunque posteriore seu effectu, eademque semper prodibunt phaenomena, seu (ut paucis dicam) Hypotheses diversae a se invicem discerni non possunt.

Nam posito motu libero ex vi semel impressa praecedente hoc est rectilineo uniformi, ante concursum non possunt discerni hypotheses (quod quidem Geometrice constat ex prop. 16 cap. 2 sect. 1 Part. II.). Sed nec concursu discernuntur. Nam modo eadem sit corporum celeritas respectiva, corpora eodem modo agunt in se invicem, seu eadem sit vis ictus (per prop. 7 hic). Vis autem ictus transfertur in corporum Elastrum, et corpora concurrentia, nisi Elastrum ipsis vim ex toto aut parte restitueret, ferrentur simul (ut ostendimus ad prop. 10). Elastro igitur eam restituente duo componuntur Motus (non arbitrio fingentium nostro, sed ab ipsa natura rei), unus communis, alter proprius corporibus reciproce proportionalis, et quidem priori aequalis, atque adeo priorem reddens celeritatem respectivam (ut ostendimus prop. 10), si Elastrum totam vim acceptam restituat; sed si pars virium a partibus corporis non satis elastici absorbeatur, elastrum nihilominus quantam vim dabit corporibus, eandem dabit reciproca proportione, tantumque celeritas respectiva prior certa proportione imminuetur. Cumque haec omnia eodem modo fiant, quicunque fuerit verus corporum motus ante concursum, constat igitur per concursum quoque hypotheses discerni non posse.

Propositio 15

Si motus communis rectilineus corporibus addatur, eaedem manent eorum actiones mutuae eademque phaenomena inter ipsa. Et si corpora plura praeter motus proprios unius corporis (velut navis) motu communi rectilineo ferantur, nihil inde mutatur quoad proprios motus.

Motus enim communis distantias corporum inter se adeoque celeritates respectivas non mutat, ut manifestum est. Unde jam (per prop. 7 hic) etiam vires respectivae et (per demonst. prop. 16 cap. 2 sect. 1 Part. II.) phaenomena ipsorum inter se non mutantur.

Hinc sequitur, motuum compositionibus nos tuto uti posse salva potentia, quod tamen alioqui dubitationem aliquam recipiebat. Neque enim corpus, quod duabus celeritatibus aequalibus inter se compositis fertur, habet potentiam in directione composita aequalem summae potentiarum in directionibus componentibus, nisi cum directiones angulum rectum comprehendunt. Interim legum praecedentium beneficio natura nihilominus ejusdem potentiae absolutae conservationem consequitur, quae a composito motu aestimatur. Haec autem experimentis consentiunt. Etsi in navi motu recto progrediente nec succussiones patiente ludas motus ludicari, eadem phaenomena experiere quae in terra. Et quae ex navi projiciuntur sagittae, navem vi remorum avolantem consequuntur inque eam recidunt, experimento Gassendi, perinde ac in navem pro anchoris stantem, quia scilicet praeter motum projectionis, etiam motus navis sagitta habuit antequam inde sejungeretur. Unde qui cum magno aliquo corpore nec directe procedente defertur, et ab externis exploratae quietis aut cogniti motus notandis exclusus est, non habet quo cognoscat, utrum quiescentem an progredientem locum sit sortitus. In motibus circularibus aliisque curvilineis videntur haec prima fronte locum non habere, cujus causam et correctionem in sequentibus investigare operae pretium erit.

Propositio 17.

Omnes Motus sunt compositi ex rectilineis uniformibus.

Nam omnis motus per se est uniformis et rectilineus; actio autem omnis in corporibus constitit in motu. Itaque motus rectilineus non nisi impressione alterius, etiam per se rectilinei (salvo licet priore) supervenientis inflecti potest, ac proinde nulla intelligi potest origo motus curvilinei et difformis, nisi per compositiones rectilineorum uniformium.

Haec propositio ut ad sequentes quasdam demonstrandas adhiberi potest, ita vicissim demonstrari potest ex sequentibus, quippe quae et aliunde demonstrantur, ut apparebit in primis ad prop. 20. Hinc si corpus captum ab alio ex motu rectilineo in gyrum se vertere cogatur, arbitror revera pergere in recta linea, licet vi adhaesionis, quam a motu quodam derivo, ad centrum repellatur. Suspicor autem, Naturam arcanis quibusdam modis omnes suos conatus etiam particulares conservare et ad exitum perducere. Certe in concursu corporum aequalium contingit (quemadmodum infra ostendemus), ut celeritates absolutas ac directiones permutent inter se. Inde si certo tempore (fig. 198) A et B pervenerit ex 1A1B in 2A2B, et aequali tempore a concursu 2A2B perveniant in 3A3B fiet ut omnia perinde eveniant, ac si sine ullo concursu unumquodque suam viam fuisset prosecutum; loco enim ipsius A, quod semoto concursu pervenisset nunc in locum 3B, jam eo pervenit B, et loco ipsius B, quod semoto concursu pervenisset nunc in locum 3A, jam eo pervenit A. Cumque sibi sint aequalia, patet Naturam scopum suum aequipollenter obtinuisse. Et quemadmodum videmus Naturam in sono propagando res elasticas trementes secare per se in partes aequales, quod scilicet ea ratione melius consentiunt vibrationes; ita fieri potest, ut sponte Naturae ita fiant concursus, quasi corpora inaequalia ex pluribus partibus aequalibus componerentur. Hinc etiam cum omnes conatus quodammodo exitum habere arbitrer, si (fig. 199) corpora A, B radii cujusdam extremitatibus affixa circa medium velut centrum ferantur atque ita recedere ab eo conentur, arbitror revera recedere et tendere ab B ad C, sed impulsu contrario corporum insensibilium rursus versus centrum repelli a C ad 2B, neque aliam esse causam adhaesionis, ut mox amplius patebit.

Propositio 18.

Si in corporum concurrentium compositio ex concursu gyrus oriatur, is sit circa centrum commune gravitatis, et motibus contrariis reciproce proportionalibus seu respective aequalibus utrinque compensantur. Atque ita et vis respectiva eadem et vis progressiva seu progressus dicti centri rectus uniformis conservatur ut in molibus retilineis, ita et in circularibus uniformibus, aliisque curvilineis qui horum compositione nascuntur. Quodsi tales non sint motus, saltem tales intelligi possunt conatus, et speciatim ultimi conatus ante concursum, qui proinde dictos per se motus vel saltem, si impediantur, tales rursus conatus producent summam directionis conservantes.

Haec quidem directionis totalis conservatio sequitur ex praecedente, quoniam in rectilineis uniformibus veram esse supra ostendimus (prop. 12), et ex his per dictam praecedentem omnes alii componuntur. Sed hoc interpretandum foret subintelligendo motus quosdam insensibiles corporum insensibilium ambientium, quorum impressione corporum partes ad se invicem impelluntur, unde firmitas seu cohaesio exsurgit. Idem tamen, his etiam non comprehensis, aliunde ostendi potest, sumendo corpora firma per se more solito exclusis causis firmitatis; sed tunc propositio non valet quidem generaliter, succedit tamen in motibus uniformibus et in conatibus quibuscunque, ut eam concepimus.

Ponamus (fig. 200) duo corpora A, B aequalia aequalibus motibus parallelis et contrariis directionibus incidere in excipulas seu cavitates C et D in extremitatibus rectae CD positas, atque ita motus rectilineos in gyrum convertere, manifestum est centrum eorum G (quod in medio est rectae CD) ut quieverat ante gyrationem, ita et quiescere post eam, siquidem ipsam rectam velut molis expertem, aut si corporea est, ut centrum suum etiam in G habentem consideremus. Quod si corpora sint inaequalia aut inaequali celeritate ferantur, orietur collucatio quaedam, et quidem concurrentium motus ex hypothesi (et conatus semper) sunt rectilinei et uniformes, secundum leges motuum rectilineorum uniformium seu liberorum et per se evenientium hactenus ostensas, licet vel ab externa actione, vel ab obstaculo deinde mutentur.

Itaque perinde moveri conabuntur corpora A, B, pariterque eorum centrum gravitatis commune, ut leges supradictae jubent, adeoque centrum si prius quieverat adhuc quiescet, si prius movebatur, moveri porro conabitur aequabili motu in directum. Hi autem conatus non impediuntur in ipsa conversione motus rectilinei in circularem nisi differentia incomparabiliter parva seu inassignabili. Ponamus enim (fig. 201) punctum A conari progredi recta 1A2A, sed incidens in D extremum radii AD cogi circulari ac deflectere in (2A) seu 2D, et pro recta 1A2A describere arcum 1D2D; patet initio seu in ipsa mutatione motus recti in gyrum, directionem non mutari differentia majore quam quae est anguli contactus quovis rectilineo incomparabiliter minoris, et differentiam inter rectam 1A2A et arcum 1D2D esse ipsisi differentibus incomparabilem, ac proinde vim centrifugam (quae est ut ipsa recta 2A (2A), differentia scilicet radii A (2A) et secantis R2A) esse celeritate (quae est ut recta 1A2A) incomparabiliter minorem, adeoque initio pro nihilo habendam esse mutationem, quae demum in progressu continua repetitione fit notabilis; idemque est in caeteris omnibus punctis, quae a conatu rectlineo ad gyrum transeunt. Et punctum quod quiescere debet, si abesset gyrus, quiescet nunc quoque non obstante corporum gyro, quia ne initium quidem mutationis intelligi in ipso potest, et nulla existente 1A2A, multo magis nulla est deflexio et vis centrifuga, ipsaque adeo 2A (2A). Itaque si quiescit centrum gravitatis ante concursum, seu initio concursus, celeritatem progrediendi nullam habet, et proinde etiam ex vi concursus conatibusque inde ortis per se rectilineis celeritatem nullam habere debet, gyro quoque superveniente motum nullum habebit, neque adeo circulabitur, cum gyrum nihil aliud esse ostenderimus, quam motum per se rectilineum futurum, nunc inassignabili alteratione deflexum. Ex hoc ipso jam quod de quiescente centro ostendimus, conficitur idem et in moto. Quoniam enim ostensum est prop. 15 compositiones motuum rectilineorum seu hypotheseos variationes nil mutare in phaenomenis, ideo possumus talem assignare motum communem toti composito, ut perinde sit ac si omnia in navi ferantur, in qua spectanti quiescat centrum gravitatis, etsi absolute seu ex ripa immota spectanti eadem prodeant phaenomena quae antea. Jam in navi omnia fieri debent eodem modo, sive moveatur sive quiescat navis. Itaque in navi etiam post concursum gyro licet oriente quiescet centrum gravitatis, si ante concursum quievit, quemadmodum paulo ante ostendimus futurum esse, si navis motus abesset, seu centrum revera quiesceret absolute. Interim totum motu navis seu motu communi progredietur, et ita efficietur, ut extra navem spectanti centrum gravitatis, prout ante concursum supposuimus, aequabiliter porro progrediatur, atque ita absolute loquendo progrediatur ut ante sine ulla gyratione; caetera autem puncta (ut in navi) gyrantur circa ipsum centrum velut immotum, et praeterea simul cum ipso motu communi rectilineo progressionis totalis progrediuntur; quatenus autem gyrantur, compensant invicem progressus et regressus seu motus contrarios corporibus reciproce proportionales ex natura gyri, in quo utique latera opposita in contrarias partes feruntur, atqua ita semper vis respectiva conservatur; et si liberarentur omnia a gyro et directiones in tengentibus prosequerentur, haberent priores celeritates respectivas, quas ante gyrum habebant, et gyrantia utcunque divisa in duas partes haberent celeritates earum invicem recedendi corporibus reciproce proportionales et iis quas ante concursum habuerant aequales. Itaque ut in motibus rectilineis per celeritates contrarias corporibus reciprocas, ita et nunc in gyris oppositis per easdem eadem proportione distributas celeritates respectivae, adeoque et respectivae vires conservantur; dum interim motu communi centri gravitatis seu totius compositi motibus contrariis respective aequalibus superaddito praeter vim corporum agendi in se invicem, etiam ipsa vis agendi communis, seu vis progressiva totius compositi vel summa directionis totalis conservatur. Caeterum plures gygri particulares quoque fieri possunt in componentibus, ubi etiam centri cujusque particularis ratio habetur.

Res etiam ex praecedenti propositione ostendi poterat, hoc modo, quod ubique vires tam respectivae quam progressivae conservantur in motibus rectilineis uniformibus, tales autem sunt omnes (ex praecedenti), posito scilicet adhaesiones quoque seu firmitates et adeo aequidistantiam quoque a centro servatam ex insensibilibus impressionibus ambientium oriri. Sed quia ambientium impressiones a conatibus recedendi gyrantium compensantur nec inde quicquam viribus ipsis corporum insitis a motu rectilineo in gyrum versis derogatur, supereunt eaedem quae ante vires tam totales, quam respectivae, ut explicatum est. Quae sane admirandam nec satis consideratam hactenus Naturae in tuendis legibus constantiam atque harmoniam declaram. Videri poterat fallere regulas nostras, cum (fig. 202) corpus A in corpus aliquod immobile B incurrit; aut cum radius CD circa centrum firmum C mobilis, cavitate seu excipula D capit corpus E rectilineo motu adveniens, et in gyrum cogit; vel cum corpora F et G in libram HML, cujus centrum firmum M, brachia autem opposita HM, LM, incurrunt lineis FH, GL ab eadem parte librae (verbi gratia, ambo tenendo sursum aut ambo deorsum), sed in brachiis oppositis. Tunc enim reflecti potest corporum motorum centrum gravitatis (ut centrum ipsius A a corpore B repulsi), vel in gyrum se flectit, ut E incidens in excipulam D; vel denique reflectitur aut pergit pro ratione situs, ut centrum ipsorum F et G, quodsi incideret in M, reflecteretur.

Sed haec objectio solvi facile potest; praeterquam enim quod omne corpus perfecte firmum, si daretur, considerari debet ut infinitum respectu aliorum, unde centrum gravitates omnium commune in ipsum immobile cadit adeoque quiescit, sciendum est revera nullum esse corpus immobile; quod autem nobis tale apparet, ideo videtur eundem semper locum tenere, quia telluris globo aut alteri corpori magno adhaeret, quod quidem movetur loco nonnihil quantum postulant hae ipsae leges nostrae, sed motus ejus insensibilis ob summam tarditatem quam corporis magnitudo postulat percipi nullo modo potest. Idem est, si corpus aliquod firmum vi insensibilium corporum continue resistentium suum locum tueatur. Semper igitur verum manebit, et vim respectivam corporum invicem, et vim progressivam directionis totalis conservari. Hanc Naturae legem non consideravit quidam ex celeberrimis nostri saeculi Philosophis, dum putavit, ad cogitationes voluntatesque animarum non quidem mutari quantitatem motus, mutari tamen directiones motuum in corporibus. Sed hoc fuit non minuere, sed transferre tantum difficultatem. Neque enim Natura minore cura summam virium directricium, quam absolutarum (quas ille Philosophus cum quantitate motus confudit) conservare studet. Et fieri potest, ut concomitantia quadam (si ita appellare licet) a Conditore ab initio stabilita consentiant animarum et corporum actiones, etsi neutris leges alterius occasione minima ex parte violentur, quod mirum videri non debet, cum unaquaeque singularis substantia ita comparata sit, ut in notione sua completa totum Universum involvat, et secundum certos considerandi modos omnia per se ac velut sponte facere dici possit. Adde prop. 6. Sed ista quidem hujus loci non sunt.

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