Fisicamente

di Roberto Renzetti

Storia dello sviluppo dei concetti di massa e peso da Aristotele ad Einstein – Parte 2: da Newton ad Einstein

Roberto Renzetti

LA MECCANICA RAZIONALE ED ANALITICA

        Il passaggio al Settecento è caratterizzato da alcune peculiarità. Newton diventa sempre più lo scienziato per eccellenza cui tutti devono rifarsi. La scienza inizia ad assumere un ruolo importante nella società. Essa viene vista, dalla borghesia emergente, come un qualcosa che può aiutare l’uomo nel suo duro e ripetitivo lavoro e può offrire opportunità di crescita. E’ la prima volta che si ha un tale atteggiamento nei riguardi della scienza. Paradossalmente però ad un emergente entusiasmo non corrispose una grande produzione scientifica. Era la grandezza di Newton che inibiva. Cosa aggiungere a chi aveva fatto tutto ? Naturalmente continuavano a lavorare scienziati eminenti ma non si avanzava sui fondamenti. In questo periodo si lavorò molto nei vari campi della scienza e soprattutto della tecnica (Watt, Black, Beccaria, Cavendish, Franklin, Coulomb, Lavoisier,…) ma, per la verità, non si raggiunsero i grossi risultati che erano stati ottenuti nel secolo precedente. Si perfezionava, migliorava, aggiustava quanto Newton aveva fatto. E la cosa che più emerge è la formalizzazione di quanto Newton aveva descritto o trattato solo per via geometrica. Insomma il Settecento è il secolo in cui si sviluppa prepotentemente la Meccanica razionale e, successivamente, la Meccanica analitica, sviluppi analitici sofisticati ed approfonditi della meccanica newtoniana. Quindi il lavoro degli scienziati del tempo fu quello di trattare con il calcolo sublime le cose che Newton aveva trattato geometricamente e di introdurre alcuni principi fondamentali come quelli di conservazione (centro di gravità, momento, aree, forza viva, …) per rendere più agevole la trattazione dei problemi teorici che la meccanica proponeva. I personaggi che giganteggiano in questa epoca sono Euler, D’Alembert, Lagrange, Laplace e, per altri versi, relativi ad una visione diversa dei problemi, Boscovich.

        Iniziamo a discutere l’approccio di Boscovich che, come vedremo, è tutt’altra cosa rispetto alla linea di sviluppo classico della meccanica.

        Verso la metà del secolo il padre gesuita Giuseppe Ruggero Boscovich (1711 -1787) elaborò una sintesi fisica estremamente complessa ed articolata. Egli partì con una critica alla teoria corpuscolare della materia fatta da Newton (Theoria Philosophiae naturalis theoria redacta ad unicam legem virium in natura existentium, 1758) affermando di voler presentare un sistema che è a mezza strada tra quello di Leibniz e quello di Newton (così come, nello stesso periodo, Kant tenterà di costruire una via intermedia tra i cartesiani ed i leibniziani). Secondo Newton le particelle costituenti la materia sono dotate di dimensioni e, a distanze piccolissime, esse si attraggono; secondo Boscovich le forze che si esercitano a corto raggio dovevano essere repulsive. Infatti, considerando l’urto fra due palline, queste, nell’istante in cui si incontrano presentano una variazione discontinua della loro velocità. Estendendo il ragionamento ai corpuscoli costituenti la materia Boscovich concluse che questa discontinuità non poteva essere accettata. Secondo Boscovich, quindi, le particelle non hanno dimensioni ma debbono considerarsi come punti inestesi, inoltre esse non vengono mai a contatto. Questi «punti» sono soggetti alle tre leggi della dinamica e tra essi si esercitano delle forze che sono alternativamente attrattive e repulsive al variare della distanza tra i «punti». La legge con cui varia questa forza è rappresentata nella figura seguente (si osservi che tale grafico deve essere concepito tridimensionalmente: si pensi ai vari strati che compongono una cipolla come alle curve di forza che circondano un «punto»). Per distanze piccolissime si ha sempre

repulsione, per cui diventa impossibile per questi  «punti» venire a contatto (impenetrabilità della materia). In definitiva, secondo Boscovich, si hanno solo forze attrattive o repulsive tra punti inestesi (che hanno inerzia ma non dimensioni e massa nel senso newtoniano del termine) che si trovano nel vuoto; con questa teoria egli riuscì a spiegare tutte le proprietà della materia.

        Questa teoria, nella quale la forza svolge un ruolo preminente rispetto alla materia (che nella sua teoria non trova posto), in qualche modo conciliava il punto di vista della continuità della materia (le forze ovunque presenti) con quello della discontinuità (i punti inestesi). Essa aveva il pregio di poter venire trattata matematicamente e di spiegare appunto tutte le proprietà e qualità della materia partendo dal punto inesteso come costituente comune di tutta la materia (in pratica si aveva a che fare con un solo tipo di «atomo» che combinandosi variamente ed oscillando continuamente intorno alla sua posizione di equilibrio permette il formarsi delle varie sostanze con le diverse proprietà chimiche ed i diversi attributi fisici).

        Questa teoria dinamica di Boscovich (dinamismo fisico) fu molto ammirata ma non compresa nella sua grandezza tanto che, per molto tempo, non fu ripresa da nessuno: anche essa aveva il difetto di essere interamente qualitativa senza nessuna base sperimentale. Saranno prima Schelling, quindi Faraday a riprenderla con successo: il primo inserendola in un sistema filosofico che ebbe grande influenza tra i fisici romantici ed il secondo fornendo al dinamismo una gran mole di risultati sperimentali che intersecarono il dinamismo con l’azione a contatto e quindi con la teoria di campo.

        Ma torniamo ora agli sviluppi della meccanica più direttamente legati ai lavori di Newton.

        Il Settecento è caratterizzato schematicamente da tre linee di intervento sulla meccanica e la ricerca in genere:

– si opera sul quadro filosofico di riferimento tentando di eliminare dalla meccanica di Newton ogni riferimento metafisico; si rafforza il quadro assiomatico di una scienza che sempre più viene presentata come matematica con la conseguenza di farla diventare valida a priori;

– si cambia la matematica utilizzata: si passa dai metodi geometrici a quelli analitici; nasce la fisica matematica;

– le Accademie scientifiche si fortificano e prendono il posto di scienziati isolati fornendo una base più solida e sicura alla ricerca scientifica; si costruiscono laboratori scientifici; si migliora la costruzione di strumenti; si eseguono mote verifiche sperimentali dei risultati ottenuti in precedenza; si approfondisce lo studio di quanto elaborato nel secolo precedente; si perfeziona la termometria e l’ottica e si fondano la calorimetria e l’elettrologia.

        La via scelta per rendere razionale la meccanica è di tipo cartesiano, ma essendosi sbarazzati del suo substrato filosofico. Si tentò l’unificazione sotto uniche leggi di argomenti apparentemente separati; tutte le forze (quelle inerziali e quelle vincolari) furono riportate a casi particolari della Seconda legge di Newton con tutte le difficoltà del caso (le coordinate spaziali non risultavano più indipendenti con la conseguenza che la stessa cosa accadeva per le equazioni differenziali che descrivono il problema; le forze vincolari non producono moto ma sono effetti del moto) risolte con una matematica sempre più elaborata. Dal punto materiale si passò poi ai corpi rigidi, all’idrodinamica, alla statica con questioni che non avevano trovato posto nei Principia.

EULER, D’ALEMBERT E LAGRANGE

        Fu Euler che riuscì a formulare diversamente alcuni problemi che avevano affrontato Huygens e Giacomo Bernouilli, lavorando in modo da farli diventare un corollario delle tre leggi fondamentali della dinamica. Con D’Agostino, si deve riconoscere che ci troviamo di fronte non ad una banale prosecuzione dell’opera di Newton ma alla fondazione di un approccio alternativo alla meccanica.

        Il programma di Euler è ben delineato nella sua Mechanica, sive motus scientia analytice exposita (1736) che, mediante assiomi, definizioni e deduzioni logiche fa della meccanica una meccanica razionale o meglio una meccanica analitica. Vi è qui la fondazione della meccanica dei mezzi continui applicabile ai più vari tipi di sistemi: corpi infinitamente piccoli; corpi rigidi finiti; corpi flessibili; corpi che si estendono e si contraggono; corpi interagenti; fluidi. In tale lavoro diventava indispensabile dare una definizione più precisa della massa che, come abbiamo visto in Newton, è all’inizio dello sviluppo della dinamica. Euler passa dal concetto newtoniano di vis inertiae ad una mera costante di proporzionalità tra forza ed accelerazione, un coefficiente numerico caratteristico degli oggetti che si studiano in fisica. E’ un salto logico importantissimo che ci avvicina alla modernità e che è in accordo con il riconoscimento di Euler della forza a fondamento della dinamica.

        Euler enuncia il principio d’inerzia come conseguenza del principio di ragion sufficiente:

Non vi è alcuna ragione per cui un corpo debba muoversi in questa direzione piuttosto che in quella

segue poi affermando che:

La forza d’inerzia di un corpo qualsiasi è proporzionale alla quantità di materia che esso contiene

        E qui si fa strada un nuovo concetto e cioè l’ammissione che la vis inertiae è determinata dalla forza o potenza necessaria a rimuovere il corpo dal suo stato di quiete o di moto. Ciò vuol dire che corpi diversi necessitano di forze diverse in proporzione alla quantità di materia o massa che posseggono. Da ciò segue che le masse sono determinate dalle forze motrici ed Eulero dice in modo esplicito che la massa di un corpo  è la forza necessaria ad impartirgli la sua accelerazione che è la formulazione moderna della Seconda legge di Newton.

        I lavori di Euler proseguirono con lo studio del corpo rigido e con una visione più estensiva del principio d’inerzia: l’inerzia non è determinata dalla massa ma dal tensore d’inerzia a sei componenti riferite ai tre assi principali d’inerzia del corpo (Ciascun corpo rigido ha tre assi ortogonali intorno a ciascuno dei quali può oscillare liberamente con moti infinitesimi). E ciò era il preludio al considerare la proprietà dei corpi come strettamente dipendenti da quelle dello spazio (e qui siamo fuori dalla fisica di Newton per avvicinarci alle posizioni di Leibniz). E da questo germe partì Einstein per sviluppare la sua relatività generale.

        Con D’Alembert (Traité de dynamique, 1743 e 1758) iniziò invece una critica dura alla Seconda legge di Newton. Egli accetta le definizioni newtoniane di spazio e tempo ma non accetta il fatto che la forza sia proporzionale all’accelerazione come Euler aveva esplicitato. Dietro questo principio vi è un qualcosa di vago, di metafisico e di oscuro (che estendono tenebre sopra una Scienza che è invece chiara di per sé), il fatto cioè che la causa deve essere proporzionale all’effetto. D’Alembert spiega bene la sua posizione nella voce Cause de l’Encyclopédie (1751-1780):

Sarebbe da augurarsi che i Meccanici riconoscano alla fine, in modo chiaro, che noi non conosciamo niente nel movimento che non il movimento stesso, cioè lo spazio percorso ed il tempo impiegato a percorrerlo, e che le cause metafisiche ci sono sconosciute; e che ciò che noi chiamiamo cause non lo sono che impropriamente; si tratta di effetti che discendono da altri effetti.

E queste cose D’Alembert le può dire perché ha un’altra enunciazione dello stesso principio (principio di D’Alembert) che era stata anche di Giacomo Bernouilli ma nel caso particolare del pendolo composto. Secondo D’Alembert, in un sistema meccanico vincolato deve esservi una equivalenza tra le forze reali applicate al sistema  e le forze che sarebbero necessarie se non esistessero i vincoli per dare al sistema il moto che esso ha. In tal modo le forze vincolari vengono eliminate ed i problemi dinamici vengono ridotti a problemi statici (stessi calcoli erano stati sviluppati, senza ricorso al principio D’Alembert, anche da Euler. Ed in termini di soli effetti egli definisce la forza acceleratrice:

dove le quantità  du  e dt sono gli incrementi infinitesimi delle velocità e dei tempi. E dopo questa prima definizione egli ce ne offre un’altra, quella della forza motrice che risulta essere il prodotto della forza acceleratrice per la massa, senza però darci alcuna definizione originale per quest’ultima che sembrerebbe essere un dato a priori. In tal modo, nella Meccanica di D’Alembert, la forza diventa una nozione derivata.

        Altro gigante del secolo è il piemontese Lagrange. Non è il caso, nell’economia di ciò che racconto, di trattare i suoi elaboratissimi contributi alla meccanica analitica (chi è del mestiere sa bene in cosa consiste la lagrangiana) ma un cenno lo merita una sua frase della sua Méchanique analytique (1788) le cui conseguenze in alcuni matematici dei miei studi universitari mi fecero molto soffrire. Dice Lagrange:

Non si troveranno figure in quest’opera: I metodi che io espongo non richiedono né costruzioni né ragionamenti geometrici o meccanici, ma solamente operazioni algebriche soggette ad un andamento regolare e uniforme. Quelli che amano l’analisi vedranno con piacere la meccanica divenirne una nuova branca e mi saranno grati d’averne esteso così il dominio.  

        Credo che questo abbia iniziato a rappresentare un chiaro momento di rottura con chi voleva capire ed iniziava a muoversi nei complessi campi delle scienze teoriche ed applicate. La riduzione della meccanica alla matematica, per di più senza disegni, rese particolarmente complessa la disciplina ad un certo tipo di approccio alla conoscenza, come ad esempio il mio.

        Per chiudere questo paragrafo debbo solo accennare a tentativi di definizione diversa di massa dovuti a due eminenti fisici che evidentemente erano insoddisfatti delle definizioni newtoniane. Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) definisce la massa come la somma dei suoi punti materiali che è evidentemente una definizione che non definisce nulla. Ad essa si rifece J. B. Biot (1774-1862) che nel suo grande trattato di fisica, Traité de physique expérimentale et mathématique (1816), definì la massa in modo ancora più scadente: la massa di un corpo è per noi il numero dei punti materiali.

L’INSODDISFAZIONE AUMENTA: Barré de Saint-Venant,  Reech, Perrin,  Kirchhoff, Hertz.

        A partire dalla metà dell’Ottocento, una quantità molto grande di fatti sperimentali e di elaborazioni teoriche portavano a concludere sull’insufficienza della meccanica che, così come si era affermata a partire da Newton, attraverso gli sviluppi della Meccanica Razionale ed Analitica soprattutto della scuola francese del XVIII secolo, non riusciva più a rendere conto compiutamente di quanto si andava via via scoprendo. E ciò risultava non dallo sviluppo di un solo campo della fisica ma, praticamente, da tutti. L’ottica, la termodinamica, l’elettromagnetismo offrivano una varietà di fenomeni che, ciascuno, implicava sempre modificazioni degli assunti della meccanica.

        C’era una grossa mole di problemi che andavano tutti nella direzione di rimettere in discussione i fondamenti ed i metodi della fisica  affermatasi con Newton e sviluppatasi nell’ambito del meccanicismo.

         L’insoddisfazione latente e molto spesso evidente cominciò a prendere corpo nella seconda metà del secolo XIX, inizialmente con dei tentativi  di riformulazione della meccanica di Newton su basi differenti.

         La questione che maggiormente faceva discutere e che sollevava critiche era il concetto di forza, la sua definizione, la sua esistenza, la sua essenza. A questo problema si aggiungeva quello della massa; cos’è e che rapporti ha con la materia ? e con la forza ? e la materia cos’è ? e cosi via.

         Un primo tentativo di liberare la meccanica dalle forze fu realizzato dal fisico francese Barré de Saint-Venant (1797-1896) il quale, nei suoi Principi di Meccanica basati sulla Cinematica (1851), riprendendo alcune proposizioni di Lazare Carnot (che aveva la stessa concezione di forza di D’Alembert con lo stesso equivoco di non definizione della massa), sviluppate nel Saggio sulle macchine in generale (1763) e nei Principi fondamentali dell’equilibrio e del moto (1803) e dopo aver sostenuto che le forze sono una specie di intermediari di una natura occulta e metafisica che non intervengono né tra i dati né tra i risultati di un qualunque problema meccanico, definì la massa e la forza a partire dai concetti (da Saint-Venant ritenuti fondamentali e primitivi) di movimento, velocità ed accelerazione. Così egli scrive:

Masse – La massa di un corpo è il rapporto tra due numeri che esprimono quante volte questo corpo ed un altro corpo, scelto arbitrariamente e che rimane costantemente lo stesso, contengono parti che, separate e sottoposte due a due ad urti l’una contro l’altra, si comunicano, mediante l’urto, velocità opposte uguali.

Forze – La forza o l’attrazione positiva o negativa di un corpo su di un altro è un segmento che ha come grandezza il prodotto della massa di quest’ultimo [corpo] per l’accelerazione media dei suoi punti verso quelli del primo e come direzione quella di questa accelerazione.

        Qualche anno dopo (1866) nella Notice sur Du Buat, a proposito ancora di forza, aggiunse questi durissimi giudizi::

E’ certamente possibile che le forze, questa sorta di esseri problematici o piuttosto degli aggettivi sostantivati, che non sono né materia né spirito, esseri ciechi ed incoscienti che bisogna dotare perciò della meravigliosa facoltà di apprezzare le distanze e di proporzionarci puntualmente le loro intensità, siano sempre più espulse e scartate dalle scienze matematiche. Esse sarebbero rimpiazzate dalle leggi, non solo geometriche, ma anche fisiche …

        Secondo Saint-Venant, se due corpi scagliati con la stessa velocità l’uno contro l’altro, dopo l’urto, si allontanano tra loro con velocità uguali, vuol dire che hanno masse uguali. Generalizzando e formalizzando, si trova quanto segue. Supponiamo di avere due corpi con masse newtoniane m1 ed m2 e con velocità v1 e v2, prima dell’urto, e, v1 + Δv1 e v2 + Δv2, dopo l’urto. Per la conservazione della quantità di moto deve risultare:

(27)                       

da cui, semplificando:

(28)                                     m1Δν1+ m2Δν2 = 0

        Quello che va sottolineato è che Saint-Venant, per primo ha una chiara coscienza del fatto che le definizioni di massa e forza sono strettamente legate tra loro e che, secondo Saint-Venant, è impossibile dare una definizione di forza se prima non si è definita con chiarezza ed univocamente la massa. E la definizione di massa che viene fornita, come si può vedere, è intanto indipendente da quell’equivoco che sempre l’aveva accompagnata: che c’entra la massa con la quantità di materia? Qui la quantità di materia sparisce. Inoltre questa definizione di massa discende dalla conservazione della quantità di moto e, come vedremo, sarà una delle basi dell’elaborazione di Mach. Anche se Saint-Venant non portò a compimento il suo programma, il suo lavoro si concluse con l’auspicio che presto le qualità occulte come la forza spariscano dalla fisica per essere sostituite solo da velocità e sue variazioni (in questo riprendendo D’Alembert).

        Per parte sua e negli stessi anni, il fisico francese P. Reech (1805 -1874), in contrasto con D’Alembert e Saint Venant, nel suo Corso di Meccanica secondo la natura generalmente flessibile ed elastica dei corpi (1852), tentava, ispirandosi ad Euler, di dare la forza come concetto primitivo e cioè non come causa di movimento, ma

effetto di una causa qualunque, chiamata pressione o trazione e che noi apprezziamo con estrema chiarezza in un filo teso, supposto privo della sua qualità materiale o massa.

        Come si può osservare da questo breve passo, anche per Reech la sola possibile definizione di forza è di natura statica: l’allungamento di un filo o di una molla. Il confronto degli allungamenti può permettere il confronto tra forze. Si tratta di una prima definizione operativa che si scontra però con la sua estensione al caso dinamico. E non a caso Reech definiva come entità misteriose proprio quelle forze di tipo dinamico come le gravitazionali o le elettriche e magnetiche. Si deve notare che la definizione di Reech fa a meno del concetto di massa, mostrando indirettamente che la definizione data da Newton era indispensabile alla sua (di Newton) meccanica.

        La forza non è per Reech causa di moto ma effetto di una qualunque causa denotata con pressione o trazione e che riusciamo a comprendere con chiarezza attraverso un filo teso, supposto privo delle sue qualità materiali e cioè di massa. Se attacchiamo un punto materiale ad un filo, producendo lo stiramento del filo, modifichiamo la posizione del punto materiale che si muove opponendo resistenza (inerzia euleriana) e facciamo nascere una forza. Tale forza F la possiamo misurare direttamente attraverso l’allungamento del filo e risulta uguale all’inerzia mf del punto materiale (con m = sua massa).

F = mf.

Anche qui, come in altri, per sfuggire al concetto metafisico di forza, si tenta di non discutere la massa. Alla fine si resta insoddisfatti proprio perché non può restare in sospeso questo concetto nato, in Newton, in simultanea con la forza.

        La scuola di Reech fu detta del filo ed ebbe come illustri rappresentanti Jules Andrade e Jean Perrin (1870-1942). Quest’ultimo, nel suo Traité de chimie physique. Les principes del 1903, dedicò un’intero e ponderoso capitolo a costruire una nuova meccanica a partire dalla definizione di forza della scuola del filo. Così Perrin, dopo aver descritto il modo di misurarla, definisce la forza:

Ogni volta che un filo teso sia fissato ad un punto materiale A, immobile o no, rispetto al suolo, diremo che in tal punto agisce una forza, che questa forza è misurata dallo stesso numero che misura la tensione del filo, che ha la direzione del filo ed il verso che va dal punto A agli altri punti del filo.

ed il peso è una forza che non varia in un dato luogo di un sistema materiale (chimicamente isolato). E la massa, che si conserva, è un qualcosa che risulta proporzionale al peso.Tutto qui.

        Sulla strada invece di eliminare dalla meccanica il concetto di forza si muoveva anche il fisico tedesco G. B. Kirchhoff. Nelle sue Lezioni di matematica, fisica e meccanica (1874-1876), egli tentò di costruire una dinamica in cui i concetti di forza e massa fossero derivati dai concetti primitivi ed intuitivi di spazio, tempo e materia. Secondo Kirchhoff, la meccanica deve limitarsi a descrivere i movimenti disinteressandosi delle loro cause. Considerando la massa (concetto primitivo) come un coefficiente costante di una data particella, la forza risulta definita come il prodotto della massa per l’accelerazione. E poiché in meccanica  non abbiamo mai a che fare con una forza, ma sempre con sistemi di forze che hanno come effetto il moto, noi, dallo studio di questo moto, non possiamo risalire al sistema di forze, ma solo alla loro risultante. Per questo la definizione di forza non può che essere incompleta. Osserva Dugas che, qualunque sia il valore della sintesi di Kirchhoff, la sua esposizione puramente logica della meccanica non fa che coronare un edificio già costruito da svariati altri contributi.

        Su questi argomenti intervenne anche il fisiologo tedesco E. Du Boys-Reymond (1818-1896). In due opuscoli, I confini della conoscenza della natura (1872) ed I sette enigmi del mondo (1880),  riprendendo alcune posizioni del filosofo positivista britannico H. Spencer  (1820-1903),  egli sostenne che i metodi della Meccanica, arrivata al suo culmine con Laplace, ci rendono impossibile andare ad una conoscenza completa della natura. In particolare quella Meccanica, che Du Boys-Reymond considera come cosa distinta dal meccanicismo, non è in grado di darci informazioni sulla natura della materia e della forza. Inoltre, nell’ipotesi di un mondo corpuscolare regolato dagli urti delle particelle, ci è impossibile riuscire a cogliere l’inizio del moto. E poi, come è possibile render conto di forze agenti a distanza nel vuoto ? Esse sono addirittura inconcepibili. Scriveva Du Boys-Reymond:

E’ facile scoprire l’origine di queste contraddizioni. Esse sono radicate nell’impossibilità, per noi, di rappresentarci qualcosa che non sia sperimentato con i nostri sensi o con il senso interno.

        Ecco quindi che inizia a porsi, da parte di scienziati, il problema del nostro rapporto con la natura ed in particolare di come esso sia condizionato dai nostri sensi.  

HEINRICH HERTZ

        Anche Hertz, come già accennato, tentò, sulle orme di Kirchhoff, di costruire una meccanica che prescindesse dal concetto di forza. La critica qui va più a fondo perché, pur non negandoli completamente, coinvolge l’uso dei modelli meccanici nella spiegazione fisica. E’ un complesso tentativo di assiomatizzazione quello che condusse Hertz nei suoi Principi della Meccanica (1894). A proposito del concetto di forza, scriveva Hertz:

 Non si può negare che in moltissimi casi le forze che si usano nella meccanica per trattare problemi fisici sono soltanto dei partner sonnecchianti, che sono ben lungi dall’ intervenire quando devono essere rappresentati i fatti reali.

        Certo che il concetto di forza è stato utile nel passato, ma ora, riguardo all’introduzione di relazioni non strettamente necessarie

tutto ciò che possiamo chiedere è che queste relazioni dovrebbero, finché è possibile, essere limitate, e che una saggia discrezione dovrebbe essere osservata nel loro uso. Ma è stata la fisica sempre parca nell’uso di tali relazioni ? Non è stata essa costretta piuttosto a riempire il mondo all’eccesso con forze dei più vari tipi – con forze che non sono mai apparse nei fenomeni, o anche con forze che sono entrate in azione solo in casi eccezionali ?

        L’esempio che viene portato è quello di un pezzo di ferro su di un tavolo. Esso è immobile. Quale fisico riuscirebbe a convincere il prossimo che quello stato di riposo è dovuto ad una infinità di forze che si fanno equilibrio ? Hertz può cosi continuare:

E’ dubbio  se  le  complicazioni  possano  essere  evitate  del  tutto;  ma  non  vi è dubbio che un sistema di meccanica che le evita o le esclude è più semplice, ed in questo senso più adeguato, di quello qui considerato; quest’ultimo infatti non solo consente tali concezioni, ma addirittura ce le impone con la forza.

        Come la forza anche l’energia potenziale pone dei problemi. Se infatti noi ci  proponiamo che

nelle  ipotesi dei problemi entrino soltanto caratteristiche che sono  accessibili direttamente all’esperienza … , senza assumere una considerazione preventiva della meccanica, dobbiamo specificare con quali semplici, dirette esperienze proponiamo di definire la presenza di una quantità di energia, e la determinazione del suo ammontare

Ora, ciò vuol dire che l’energia deve essere intesa come una qualche sostanza e l’ammontare di una sostanza è di necessità una quantità positiva;  ma noi non esitiamo mai ad assumere che l’energia potenziale contenuta in un sistema sia negativa.

         Per Hertz, in definitiva, tutte queste incongruenze portano alla necessità di sviluppare la meccanica “in una forma logicamente ineccepibile“, basandola sui tre concetti fondamentali di tempo, massa e spazio. Ma, attenzione, noi non possiamo che avere un’immagine parziale dei fenomeni; noi introduciamo, secondo Hertz, forze ed energie per rendere conto di un qualcosa che, nascosto ai nostri sensi, opera sui fenomeni stessi. Ma poi, quando dobbiamo descrivere quel qualcosa, è conveniente ricorrere proprio a ciò che cade sotto i nostri sensi e cioè movimenti e masse. Ebbene, ciò lo facciamo per un principio di comodità; diamo dei nomi, ai quali non corrisponde alcuna realtà fisica, a ciò che in realtà non conosciamo, a ciò che ci è nascosto. La nostra meccanica può essere costruita considerando movimenti e masse nascoste, anziché forze ed energie non necessarie, oltre, naturalmente, ai movimenti ed alle masse evidenti.   Scriveva Hertz:

Se  cerchiamo  di  comprendere  i  movimenti  dei  corpi  che  ci  circondano  e  di  riportarli a delle regole semplici e chiare, ma nel considerare solo ciò che ci cade direttamente sotto gli occhi, in generale le nostre ricerche si arenano … Se vogliamo ottenere un’immagine del mondo chiusa su se stessa, sottomessa a delle leggi, dobbiamo, dietro le cose che vediamo, ipotizzare altre cose invisibili e cercare, dietro la barriera dei nostri sensi, degli attori nascosti.

        E la forza e l’energia possono proprio essere intese in questo senso, a patto di descriverle come masse e movimenti:

Noi siamo liberi d’ammettere che ciò che è nascosto non è altro che movimento e massa, non differenti dalle masse e dai movimenti visibili ed aventi solamente non altre relazioni con noi che il nostro modo abituale di percepire … Ciò che siamo abituati a designare con i nomi di forza e di energia si riduce allora ad una azione di massa e di movimento; ma non è necessario che questa sia sempre l’azione di una massa o di un movimento percepibile da parte dei sensi materiali.

        L’intera meccanica di Hertz è basata su di un principio fondamentale:

Un sistema libero è in riposo e descrive in modo uniforme una traiettoria che e’ il cammino più breve [cioè quello che ha una curvatura minore e cioè una geodetica]

        Ora ogni sistema che ci offre la natura è un sistema libero. Ma vi sono anche dei sistemi che sembrano liberi sui quali, in realtà, agiscono delle masse nascoste e dei moti altrettanto nascosti. Più in generale si può dire che un sistema libero è un insieme di sistema nascosto e sistema visibile. E non ci si stupisca di masse o movimenti nascosti. L’etere, di grande attualità all’epoca di Hertz è proprio una massa nascosta. Inoltre, quando si parla di moti vibratori delle particelle costituenti la materia, stiamo in realtà parlando di movimenti nascosti.

        La forza in tutto ciò non compare come entità fisica; essa potrà tuttalpiù figurare come utile strumento matematico e ciò potrà accadere quando si ha la decomposizione di un sistema libero in due parti: bisognerà allora considerare l’azione di una delle parti sull’altra e viceversa.

        Da questo punto, per mezzo di un processo puramente induttivo è possibile ricavarsi l’intera meccanica.  

        In definitiva, un dato sistema che cade sotto i nostri sensi è sempre una parte di un sistema isolato di cui l’altra parte è nascosta. Tramite la teoria dei vincoli è possibile scrivere le equazioni del moto del nostro sistema osservabile. Ciò che in ultima analisi è poi richiesto è l’accordo con l’esperienza; in caso contrario, nell’impostazione del problema, non si è tenuto conto di altri movimenti ed altre masse nascoste. Le masse ed i moti nascosti, intesi come vincoli, sono un ottimo strumento teorico per elaborare l’intera meccanica.

        Vale la pena leggere l’intero brano dell’Introduzione di Hertz alla sua Meccanica. E’ lungo ma rende ben conto dello stato d’insoddisfazione che era presente nel mondo della fisica e che, da lì a poco, avrebbe prodotto drastiche rotture. Scrive Hertz:

Supponiamo … che sia possibile che alle masse visibili dell’universo si debbano aggiungere altre masse, che obbediscono alle stesse leggi, in modo da conseguirne la loro conformabilità alle leggi stesse e la loro intelligibilità; precisamente, assumiamo che ciò sia possibile in tutti i casi e in modo completamente generale, e per ciò stesso non sussistano altre cause dei fenomeni, se non quelle in tal modo ammesse. Ciò che siamo soliti designare come forza e come energia non è quindi per noi nulla più che un effetto della massa e del moto, ma non deve necessariamente coincidere con l’effetto della massa e del moto sensibilmente individuabili. Si è soliti chiamare ‘dinamica’ una simile spiegazione della forza dai processi di moto; e si può ben dire che la fisica attuale è molto favorevolmente disposta verso simili spiegazioni. … Ma, avendo tale ipotesi la facoltà di eliminare gradualmente dalla meccanica le misteriose forze, essa può anche impedire completamente il loro ingresso nella meccanica. …
Introduciamo quindi, dapprima, i tre concetti fondamentali indipendenti di tempo, spazio e massa come oggetti dell’esperienza, specificando nel contempo attraverso quali concrete esperienze sensibili intendiamo pensare come determinate le grandezze in esame. Per quanto concerne le masse ci riserviamo di introdurre, per ipotesi, masse nascoste accanto a masse sensibili. Quindi, raggruppiamo le relazioni che sempre sussistono tra le dette concrete esperienze e che dobbiamo fissare come relazioni essenziali tra i concetti fondamentali. E’ naturale riunire dapprima a coppie i concetti fondamentali. Possiamo, innanzitutto, demandare alla cinematica le relazioni concernenti unicamente spazio e tempo. Tra massa e tempo non sussiste collegamento di sorta. A fronte di ciò, massa e spazio si raggruppano a loro volta in virtù di una serie di importanti relazioni esperienziali. Noi troviamo cioè tra le masse della natura determinate connessioni spaziali, che consistono nel fatto che, fin dall’inizio e continuativamente, e quindi indipendentemente dal tempo, alle dette masse sono ascritte ed imposte come possibili determinate posizioni e determinate variazioni della posizione, altre come impossibili. In merito a tali connessioni, possiamo inoltre generalmente asserire che esse concernono solamente le mutue posizioni relative delle masse; e, inoltre, che esse soddisfano determinate condizioni di continuità, le quali trovano la loro espressione matematica nel fatto che le connessioni si possono sempre tradurre mediante equazioni lineari omogenee tra i differenziali primi delle grandezze, tramite le quali individuiamo le posizioni delle masse. Indagare le connessioni di sistemi materiali dati non è compito della meccanica, bensì della fisica sperimentale; le caratteristiche distintive, attraverso le quali si differenziano i vari sistemi materiali sono, anche secondo la nostra rappresentazione, semplicemente e soltanto le connessioni delle loro masse. Abbiamo solo collegato a coppie i concetti fondamentali, nella discussione fin qui condotta; d’ora in poi, ci volgiamo alla meccanica vera e propria, nella quale detti concetti devono essere considerati simultaneamente, in senso più stretto. Noi riusciamo a coniugare in un’unica legge fondamentale, che presenta un’analogia stretta con l’usuale legge d’inerzia, la loro generale connessione, in accordo con l’esperienza. Infatti, nella terminologia che noi usiamo, tale legge si può tradurre nell’asserzione: ogni moto naturale di un sistema materiale a sé stante sussiste in modo tale che il sistema seguirà uno dei suoi cammini direttissimi con velocità uniforme. Naturalmente, tale asserzione diviene comprensibile solo dopo averne specificata propriamente la terminologia matematica; ma il senso della proposizione è traducibile anche nell’usuale linguaggio della meccanica. Tale proposizione compendia cioè semplicemente, in un’unica affermazione, l’usuale legge d’inerzia e il principio della minima costrizione di Gauss. Essa afferma quindi che, se le connessioni del sistema potessero essere momentaneamente eliminate, le sue masse risulterebbero disperdersi secondo un moto rettilineo e uniforme ma che, non essendo tale eliminazione possibile, dette masse permangono quanto più prossime possibile a tale moto. Questa legge fondamentale è, nella nostra immagine della meccanica vera e propria, la prima, ed anche ultima, proposizione empirica. Da questa, unitamente all’ammessa ipotesi delle masse nascoste e delle connessioni normali, noi deriviamo, in modo puramente deduttivo, il restante contenuto della meccanica. Attorno ad essa accorpiamo come conseguenze, ovvero come affermazioni parziali, i restanti principi generali, secondo la relazione che presentano con tale legge e secondo le loro reciproche relazioni. Ci prefiggiamo di dimostrare come, con tale riordinamento, il contenuto della nostra scienza non risulti meno ricco e molteplice rispetto al contenuto di una meccanica che prenda le mosse da quattro concetti fondamentali; comunque, non meno ricco e molteplice di quanto la rappresentazione della natura richiede. Del resto, anche nel nostro sistema risulta presto appropriata l’introduzione del concetto di forza. Ma la forza non compare ora come qualcosa di indipendente da noi e a noi estraneo, bensì come una struttura matematica ausiliaria, le cui proprietà dominiamo completamente e che non ha perciò, di per sé, nulla di misterioso per noi. Secondo la legge fondamentale cioè, ogni qual volta due corpi appartengano ad uno stesso sistema, il moto dell’uno è codeterminato attraverso il moto dell’altro. Il concetto di forza emerge ora dal fatto che noi troviamo conveniente, per determinate ragioni, scomporre la determinazione del moto dell’uno, dovuto a quello dell’altro, in due stadi, dicendo che il moto del primo corpo determina una forza e che tale forza determina, in prima istanza, il moto del secondo corpo. In tal modo, ciascuna forza risulta sì sempre causa del moto ma, con ugual diritto e nello stesso tempo, anche conseguenza del moto; precisamente parlando, essa diviene semplicemente il termine medio concepito tra due moti. E’ chiaro che, secondo tale punto di vista, le proprietà generali della forza devono seguire per logica necessità dalle leggi fondamentali e, qualora vediamo corroborate tali proprietà in esperienze possibili, non ce ne meravigliamo, fintanto che non dubitiamo della nostra legge fondamentale. In questi termini stanno le cose anche per quanto concerne il concetto di energia e per ogni altra struttura ausiliaria che introduciamo.

        Quindi gli effetti che noi osserviamo sono assegnati da Hertz a masse nascoste e, per questo, la massa è per lui un concetto fondamentale (insieme a spazio e tempo) per descrivere l’intera fisica.

Enunciato così il suo programma, Hertz passa a definire le grandezze che sono alla base della sua meccanica:

1 OSSERVAZIONE PRELIMINARE. L’esperienza rimane completamente al di fuori della materia del primo libro. Tutti gli asserti enunciati sono giudizi “a priori’ nel senso di Kant. Essi poggiano sulle leggi dell’intuizione interna e sulle forme della logica propria dell’enunciarne, senz’alcun’altra connessione con l’esperienza esterna dello stesso, eccezion fatta per quelle che tali intuizioni e forme hanno per lui.


CAPITOLO 1


TEMPO, SPAZIO, MASSA


2 COMMENTO. Il tempo del primo libro è il tempo della nostra intuizione interna. Esso è quindi una grandezza, dalla cui variazione possono essere pensate dipendere le variazioni delle rimanenti grandezze considerate, mentre esso rimane, di per se stesso, una variabile indipendente.
Lo spazio del primo libro è lo spazio della nostra concezione. Esso è dunque lo spazio della geometria euclidea, con tutte le proprietà che tale geometria ad esso ascrive. E’ per noi irrilevante che si considerino tali proprietà come date attraverso le leggi dell’intuizione interna, ovvero come necessarie conseguenze di definizioni arbitrarie.
La massa del primo libro verrà introdotta attraverso una definizione.


3 DEFINIZIONE 1. Una particella materiale è una caratteristica, attraverso la quale noi associamo un determinato punto dello spazio, ad un dato istante, ad un dato punto dello spazio, ad ogni altro istante.
Ciascuna particella materiale è invariabile e indistruttibile. In due distinti istanti di tempo, i punti dello spazio, contraddistinti attraverso la particella materiale stessa, giungono a coincidere, qualora detti istanti giungano a coincidere. Queste determinazioni sono già contenute nella definizione, purché il suo senso venga correttamente inteso.


4 DEFINIZIONE 2. Il numero di particelle materiali in uno spazio qualsiasi, confrontato col numero di particelle materiali che si trovano in un dato spazio ad un dato istante, è detto essere la massa contenuta nello spazio di partenza.
Il numero delle particelle materiali dello spazio-campione può e deve essere scelto come infinitamente grande. Come conseguenza, la massa della singola particella materiale diverrà, a norma di definizione, infinitamente piccola. La massa in uno spazio qualsiasi può perciò assumere qualsiasi valore, razionale o irrazionale.

5 DEFINIZIONE 3 Una massa finita o infinitesima, concepita in uno spazio infinitesimo, è detta essere un punto materiale.
Un punto materiale consiste perciò in un certo numero di particelle materiali interconnesse. Tale numero deve tuttavia essere infinitamente grande; condizione che può essere soddisfatta, purché pensiamo le particelle materiali come infinitesimi di ordine superiore rispetto ai punti materiali, già considerati di massa tendente a zero. Le masse dei punti materiali infinitesimi possono perciò stare tra loro in qualsiasi rapporto, razionale o irrazionale.


6 DEFINIZIONE 4. Un numero qualsiasi dei punti materiali precedentemente considerati, è detto essere un sistema di punti materiali o, brevemente, un sistema. La somma delle masse dei singoli punti è, per il § 4, la massa del sistema. Un sistema finito consta quindi di un numero finito di punti materiali finiti, ovvero di un numero infinito di punti materiali infinitesimi, ovvero ancora di entrambe le cose. E’ sempre possibile riguardare il sistema di punti materiali come formato da un numero infinito di particelle materiali.


7 ANNOTAZIONE 1. Nel seguito, tratteremo sempre il sistema finito come costituito da un numero finito di punti materiali finiti. Ma, per via del fatto che non imponiamo limiti superiori al loro numero, né limiti inferiori alle loro masse, le nostre affermazioni generali comprenderanno come caso particolare anche il caso in cui il sistema contenga un numero infinito di punti materiali infinitesimi. Non ci inoltreremo nei dettagli che la trattazione analitica di tale caso comporterebbe.


8 ANNOTAZIONE 2. Il punto materiale può essere considerato come un caso particolare e come il più semplice esempio di sistema di punti materiali.

Da queste premesse si parte per la costruzione di una meccanica completamente assiomatizzata e, per la verità, molto ma molto complessa tanto da non lasciare spazio alla comprensione di chi non sia un grande conoscitore di fisica e di matematica. Osservo solo che la massa, pur presente, diventa evanescente.

L’INTERVENTO DI ERNST MACH

            Abbiamo fin qui accennato ad alcuni tentativi e lavori che cercavano di rifondare la meccanica newtoniana su basi differenti. Ma il rappresentante più noto e più influente di questo movimento di pensiero fu senza dubbio il fisico-fisiologo-filosofo austriaco E. Mach (1838-1916) sul quale occorre soffermarsi un poco.  

           Il nostro, laureatosi in fisica a Vienna nel 1860, iniziò degli studi di fisiologia e nel 1863 pubblicò un primo lavoro, Compendio di fisica per medici, nel quale mostrò di essere un convinto meccanicista: tutte le scienze, come anche la fisiologia, non sono altro che meccanica applicata. Ma fu proprio la fisiologia che poco a poco scosse dalle fondamenta la sua fede meccanicista. La questione, così come si poneva all’inizio, era: come nella fisiologia molte difficoltà sorgono perché si vuole spiegare tutto con la fisica,  allo stesso modo, nella fisica le difficoltà nascono perché si vuole spiegare tutto con la meccanica. Il suo primo intervento sul problema massa, Mach lo fece in un suo lavoro breve (1867), cinque sole pagine, Über die Definition der Masse, che ebbe difficoltà di pubblicazione. Mach rifiutò da subito, nell’ambito scientifico, il concetto di quantità di materia ed addirittura quello di materia. Riconosceva invece alla massa una notevole importanza in quanto grandezza fisico-matematica che ha una grande utilità nella fisica teorica per la sua caratteristica di costanza nei corpi fisici. E’ quindi necessario definirla e determinarla indipendentemente da qualsiasi ipotesi fisica relativa a forze.

        Seguiamo il discorso di Mach, attraverso la ricostruzione di Jammer.

        Supponiamo di avere due punti materiali A e B (due corpi di dimensioni piccole rispetto alla loro distanza, costituenti un sistema isolato). Sia aAB l’accelerazione di A dovuta a B ed aBA l’accelerazione che B subisce da A. D’accordo con l’esperienza, queste accelerazioni hanno stessa direzione, verso opposto ed un rapporto negativo che possiamo denotare con mA/B, che è una  costante positiva indipendente dalla distanza dei due punti materiali:

(30)                                                                 

che è, come detto, una costante positiva.

        Sostituendo B con un altro punto materiale C si ottiene analogo risultato:

(31)                                                                    

 che è altra costante positiva.

        Supponiamo ora che siano i punti materiali C e B ad interagire. Si ha:

   (32)                                                   

che è ancora una costante positiva.

        E’ ora noto dall’esperienza (Mach lo mostrò con una esperienza ideale) che i tre rapporti di massa soddisfano la seguente relazione transitiva:

(33)                                      mA/B = mA/C + mC/B

   Ognuno di tali rapporti di massa può quindi essere rappresentato come rapporto di due numeri positivi:                                           

 (34)                                            

dove le costanti introdotte mAmBmC (una delle quali può essere scelta a piacre come unitaria) saranno chiamate le masse relative dei punti materiali A, B, C. Con queste posizioni le relazioni (30), (31) e (32) diventano:

(35)                                            

         In queste relazioni si può vedere che mA, coefficiente associato al primo corpo, è indipendente dalla natura del secondo corpo; infatti sia quando A interagisce con B, sia quando interagisce con C, la sua massa relativa mA rimane la stessa. Se mA è presa come massa unitaria, mB ed mC possono essere chiamate semplicemente masse di B e C.

        La validità della (33) si può dimostrare nel modo seguente, tenendo conto che qui non siamo in matematica dove si può far ricorso alla proprietà transitiva ma in fisica. E la (33) è una relazione fisica. Mach dimostrò la (33) a partire dal principio di conservazione dell’energia dato come certo (l’empiriocriticista Mach è molto vicino filosoficamente alla scuola degli energetisti di Otswald). Riferendoci alla figura seguente, siano tre corpi elastici A, B, C, infilati in un anello in cui

possano scorrere senza attrito. A e B si comportino come aventi eguale massa rispetto a C; supponiamo che A possa comportarsi come avente massa maggiore di B. Si metta in moto B nel senso BC; B urta C, gli cede la propria velocità e si ferma; C urta A, cede la velocità e si ferma; invece A urta B, gli conferisce una velocità maggiore di quella che B aveva all’inizio del moto e ne conserva ancora una parte. Dunque a ogni giro si avrebbe una creazione d’energia. Se A avesse massa minore di B, basterebbe invertire il senso del moto, per giungere allo stesso risultato; dunque, A e B hanno eguale massa.
        Il vantaggio di questo procedimento è un’economia di pensiero, lo scopo precipuo cui deve tendere la scienza, secondo Mach. Infatti, questa definizione di massa contiene in sé la seconda legge del moto, di cui la prima è un caso particolare, e rende superfluo il terzo principio.
        Come spesso succede, le nuove idee del Mach ebbero oppositori decisi e ammiratori entusiasti. Esse furono aspramente discusse per almeno un trentennio, e tali discussioni servirono ad approfondirne i limiti (una tale definizione, ad esempio, dipende dal sistema di riferimento). Infatti, e la cosa fu riconosciuta dallo stesso Mach, questo modo di ragionare è già implicito nel 3° principio della dinamica, quello di azione e reazione.

           Più tardi, Mach diede corpo all’insieme delle sue idee sulla Meccanica nella sua opera principale, La Meccanica nel suo sviluppo storico critico, che vide la luce, in prima edizione, nel 1883. In questo lavoro Mach ricostruiva la storia della Meccanica a partire dalle origini. La sua non era una semplice storia ma, come annuncia il titolo dell’opera, una vera e propria critica dei fondamenti della meccanica, al modo in cui sono stati formulati e si sono affermati. L’interesse principale dell’opera di Mach è che questa critica della meccanica si afferma dall’interno del mondo della fisica e la tesi di fondo su cui il lavoro è imperniato è che, nel passato, la meccanica ha svolto un ruolo fondamentale, mentre ora risulta un freno che tende a limitare la grande mole dei diversi fatti empirici.  

           Senza voler entrare in un’analisi che abbia una qualche pretesa di completezza, veniamo a quanto sostenuto da Mach nella sua Meccanica in relazione ad alcuni concetti fondamentali della meccanica: massa, principio di azione e reazione, spazio, tempo e movimento.

           Cominciamo dalla massa e dal principio di azione e reazione. Scriveva Mach: 

Per quanto riguarda il concetto di massa, osserviamo che la formulazione data da Newton è infelice. Egli dice che la massa è la quantità di materia di un corpo misurata dal prodotto del suo volume per la densità. Il circolo vizioso è evidente. La densità infatti non può essere definita se non come la massa dell’unità di volume.

        Come abbiamo più volte detto, non si può definire una grandezza mediante un’altra grandezza non definita e così la massa risulta priva di una definizione. Questa difficoltà ne comporta delle altre particolarmente in connessione al principio di azione e reazione. Infatti, come scriveva Mach, 

Poiché Newton ha definito come misura della forza la quantità di moto acquisita nell’unità di tempo (massa per accelerazione), ne segue che corpi agenti l’uno sull’altro si comunicano in tempi uguali quantità di moto uguali ed opposte, ossia si comunicano velocità opposte inversamente proporzionali alle loro masse.

        Se mettiamo ora in relazione quanto qui detto con ciò che Mach aveva osservato a proposito del concetto di massa arriviamo, con Mach, ad affermare:

L’oscurità del concetto di massa si fa evidente quando si applica in dinamica il principio di azione e reazione. Pressione e contropressione possono essere uguali, ma come sappiamo che pressioni uguali producono velocità inversamente proporzionali alle masse ? … [Infatti] i due distinti enunciati con cui Newton ha formulato il concetto di massa ed il principio di reazione dipendono l’uno dall’altro, cioè l’uno suppone l’altro.

        A questo punto Mach passava a formulare il concetto di massa ed il principio di azione e reazione in un modo che rappresentasse un superamento delle difficoltà accennate: 

Dato  che  esperienze  meccaniche  ci  informano  dell’esistenza  nei  corpi  di  una particolare caratteristica che determina l’accelerazione, niente impedisce di formulare in via ipotetica la seguente definizione: Diciamo corpi di massa uguale quelli che, agendo l’uno sull’altro,  si comunicano accelerazioni uguali ed opposte. Con ciò non facciamo altro che designare una relazione fattuale … Se scegliamo il corpo A come unità di misura, attribuiremo la massa m a quel corpo che imprime ad A un’accelerazione pari a m volte l’accelerazione che esso riceve da A. Il rapporto delle masse è il rapporto inverso delle accelerazioni preso con segno negativo … Il nostro concetto di massa non deriva da alcuna teoria. Esso contiene soltanto la precisa determinazione, designazione e definizione di un fatto. La quantità di materia è del tutto inutile.

        Definita così la massa, cosa resta del principio di azione e reazione ?

Il  concetto  di  massa  che  noi   proponiamo  rende   inutile  una  formulazione  distinta del principio di azione e reazione. Nel concetto di massa e nel principio di azione e reazione … viene enunciato due volte lo stesso fatto; cosa evidentemente superflua. Nella nostra definizione, dicendo che due masse 1 e 2 agiscono l’una sull’altra, si è già detto che esse si comunicano accelerazioni opposte che stanno tra loro nel rapporto 2:1.

        A proposito quindi della massa, la cui definizione – secondo Mach – sottende quella del principio di azione e reazione, il nostro autore poteva così concludere:  

Resi attenti dall’esperienza, abbiamo scoperto che esiste nei corpi una particolare caratteristica determinante accelerazione. Con il riconoscimento e la designazione non equivoca di questo fatto, la nostra opera è compiuta. Non andiamo oltre questa designazione, perché qualsiasi aggiunta causerebbe solo oscurità. Ogni incertezza scompare quando si sia capito che nel concetto di massa non è contenuta una teoria, ma una esperienza.

        Prima di andare oltre nella ricostruzione della critica di Mach, sono importanti alcune osservazioni. Innanzitutto è da negare l’ultima affermazione di Mach? all’interno della definizione di massa che egli ci fornisce (rapporto delle masse come rapporto inverso delle accelerazioni, cambiato di segno) c’è una teoria e, pare incredibile, proprio la seconda legge di Newton (oltre alla prima legge della dinamica). Nessuno ci autorizza infatti a sostenere,  basandoci sulla sola osservazione, che due componenti di un dato sistema si muovano sotto la sola influenza delle loro azioni mutue. Affermare ciò prevede l’applicazione della teoria di Newton nel caso di un sistema isolato. Inoltre quella stessa definizione di massa è almeno soggetta ad un’altra critica, si badi bene, all’interno degli stessi ragionamenti svolti da Mach. Come noto, una delle polemiche più accese di Mach sarà contro lo spazio assoluto di Newton e conseguentemente contro il moto assoluto. Ebbene, Mach non si preoccupa di estendere la validità della sua definizione né di verificarla in un riferimento diverso, sia esso dotato di velocità costante sia esso accelerato. Sembra che confonda il definire con un metodo di misura per calcolare ? Ed ancora che fine fa il principio di azione e reazione nella statica, dove non compaiono accelerazioni ? In definitiva, con Bunge, si può sostenere che qui Mach fa molta confusione: per rincorrere il fantasma dell’esperimento confonde una uguaglianza (rapporto tra masse = – rapporto inverso tra accelerazioni) con una identità ed assegna quindi lo stesso significato al primo ed al secondo membro, utilizzando il tutto come definizione (c’è una uguaglianza numerica non logica: e in una uguaglianza del genere – la 33 – non è consentito eliminare uno dei due membri presupponendolo più importante dell’altro.

        E’ inoltre di nuovo errato il voler considerare la seconda legge come una definizione in termini di massa e di forza. Se tale legge fosse solo convenzionale, sarebbe sempre vera ed invece, sperimentalmente, non lo è; infine la definizione stessa in senso stretto ha un limite di validità molto limitato (ad esempio varrebbe solo in riferimenti inerziali dotati gli uni rispetto agli altri di piccole velocità).

        Non è ozioso ricordare qui che la meccanica è nata in un determinato contesto in cui sarebbe stato possibile, secondo Mach, utilizzare criteri antieconomici. Oggi è necessario prendere atto che molte delle affermazioni del passato debbono essere riviste. Gli stessi fondamenti della meccanica, nella visione di Poincaré accettata da Mach, non sono altro che delle “convenzioni che avrebbero potuto essere diverse.

         Del resto, secondo Mach,

Tutta la scienza ha lo scopo di sostituire, ossia di economizzare esperienze mediante la riproduzione e l’anticipazione di fatti nel pensiero. Queste riproduzioni sono più maneggevoli dell’esperienza diretta e sotto certi rispetti la sostituiscono. Non occorrono riflessioni molto profonde per rendersi conto che la funzione economica della scienza coincide con la sua stessa essenza … Non riproduciamo mai i fatti nella loro completezza, ma solo in quei loro aspetti che sono importanti per noi, in vista di uno scopo nato direttamente o indirettamente da un interesse pratico.

        Ma allora, si potrebbe obiettare, come mai, proprio nelle parole dello stesso Mach, una volta la scienza poteva essere antieconomica ? Una possibile risposta sembra adombrare  quanto viene più o meno decisamente negato da molti fisici ed epistemologi del nostro tempo (e non solo): La scienza è determinata dal modo di produzione e, nell’epoca di Mach, in connessione con un enorme sviluppo economico (l’età dell’imperialismo), alla scienza si richiede proprio economicità, efficienza.  Questo concetto è ben espresso dallo stesso Mach nelle ultime pagine della sua Meccanica:

La divisione del lavoro, la specializzazione di un ricercatore in un piccolo dominio, l’esplorazione di questo dominio perseguita come compito di tutta una vita sono condizioni necessarie per un fruttuoso progresso scientifico.

         Ritornando alla concezioni di Mach sulla meccanica ed in particolare ai rapporti di essa con la fisica, il nostro arriva alla conclusione che, in questo contesto di economicità della scienza, occorre smetterla di voler interpretare tutto con la meccanica:

Non esistono fenomeni puramente meccanici. Quando delle masse si comunicano accelerazioni reciproche, in apparenza vi è solo un fenomeno di moto, ma in realtà a questo moto sono legate variazioni termiche, magnetiche ed elettriche che, nella misura in cui si producono, modificano quel fenomeno … Volendo parlare con precisione, ogni fenomeno appartiene a tutti i domini della fisica, che sono distinti l’uno dall’altro per ragioni convenzionali, per ragioni fisiologiche o anche per ragioni storiche.

La concezione secondo cui la meccanica è il fondamento di tutte le altre parti della fisica, e perciò tutti i fenomeni fisici devono essere spiegati meccanicamente, è per noi un pregiudizio. La conoscenza più antica in ordine di tempo non deve necessariamente restare il fondamento dell’intelligibilità di ciò che è scoperto più tardi … Dobbiamo limitarci all’espressione del fattuale senza costruire ipotesi su ciò che sta al di là di questo, e non può essere conosciuto e verificato …

Le ipotesi meccaniciste non costituiscono un effettivo risparmio di concetti scientifici … Quando un’ipotesi ha facilitato per quanto è possibile, l’acquisizione di fatti nuovi sostituendo ad essi idee già familiari, ha esaurito la sua funzione. E’ un errore credere che le ipotesi possano spiegare i fatti meglio di quanto facciano i fatti stessi.

         La serrata, puntuale e, molto spesso, profonda critica di Mach alla meccanica ebbe certamente molta influenza sul suo tempo. In particolare le critiche alla massa, alla forza, allo spazio, al tempo ed al moto, direttamente od indirettamente, andavano prefigurando i profondi rivolgimenti che avrebbero scosso la fisica in quegli anni, soprattutto con la nascita e l’affermazione della relatività einsteniana.

        Ma la polemica di Mach doveva riguardare ogni aspetto che avesse riguardato il meccanicismo e così anche la causalità, intesa come un tipico strumento di quel meccanicismo che si attaccava su tutti i fronti, divenne oggetto di una dura critica da parte di Mach. Così scriveva Mach:

Quando parliamo di causa e di effetto, noi mettiamo arbitrariamente in evidenza quegli aspetti, sul cui rapporto poniamo attenzione in vista di un risultato per noi importante. Ma nella natura non vi è né causa né effetto … Il carattere essenziale della connessione causa-effetto esiste solo nell’astrazione  che compiamo allo scopo di riprodurre i fatti (707)  … Si può dire che c’è una categoria dell’intelletto sotto la quale è sussunta ogni nuova esperienza, purché si riconosca che essa ha avuto origine dall’esperienza. L’idea della necessità del rapporto causa-effetto ha probabilmente la sua prima origine … dall’osservazione dei nostri movimenti volontari e dei mutamenti che provochiamo con essi nell’ambiente circostante … Causa ed effetto sono enti mentali aventi una funzione economica. Alla domanda perché essi esistano, è impossibile rispondere, per il fatto che proprio astraendo da ciò che e uniforme abbiamo imparato a chiedere perché.

        In definitiva, per Mach, la causa indica la necessità di un dato effetto; ma noi non ci imbattiamo mai nelle necessità; esse non ci sono mai offerte dalla natura, esulando dalla nostra esperienza. Secondo Mach, il concetto matematico di funzione  può utilmente  sostituire  l’inesistente  dipendenza causa-effetto.

        E’ utile chiudere queste considerazioni su Mach, con la domanda che egli si fece lasciando ad altri il compito di rispondere: “Perché i sistemi inerziali spiccano, da un punto di vista fisico, rispetto ad altri sistemi di coordinate ?“.

LA CRITICA DI POINCARÉ

        Riguardo al secondo principio, anche Poincaré (1854 – 1912) intervenne all’aprirsi del nuovo secolo. Egli sostenne che tale principio, così come è formulato, basato cioè sul concetto di forza come causa di accelerazioni di date masse, è privo di significato perché non sappiamo né cos’è la massa né cos’è la forza. Quindi, “quando si dice che la forza è la causa di un movimento si fa della metafisica.” Perché la definizione di forza abbia senso occorre potere e sapere misurare quest’ultima, e per far ciò non c’è altro modo che passare al confronto diretto di due forze che ci permetta, ad esempio, di stabilire quando esse sono uguali. Per realizzare questo proposito, secondo Poincaré, disponiamo di tre regole: l’uguaglianza di due forze che si fanno equilibrio; l’uguaglianza dell’azione e della reazione (terzo principio); l’ammissione che certe forze, come il peso, sono costanti nella grandezza e nella direzione. Il fatto poi che il principio di azione e reazione debba intervenire nella definizione dell’uguaglianza di due forze fa si che

tale principio non deve essere più considerato come una legge sperimentale ma come una definizione.

Poste così le cose, si può affermare, con Kirchhoff, che la forza è uguale alla massa per l’accelerazione ma, “la legge di Newton cessa a sua volta di essere considerata una legge sperimentale; è una semplice definizione“.

         Ed anche come definizione è ancora insufficiente  “perché non sappiamo cos’è la massa“. Per completarla occorre di nuovo far ricorso alla definizione di azione e reazione:

Due corpi A e B agiscono l’uno sull’altro; l’accelerazione di A moltiplicata per la massa di A è uguale all’azione di B su A; nello stesso modo, il prodotto dell’accelerazione di B per la sua massa è uguale alla reazione di A su B. Poiché, per definizione, l’azione è uguale alla reazione, le masse di A e di B sono in ragione inversa delle accelerazioni di questi due corpi. Ecco definito il rapporto delle due masse: spetta all’esperienza verificare che esso è costante.

Si tratta solo di un’approssimazione, poiché bisognerebbe tener conto delle attrazioni che tutti i corpi dell’universo esercitano su A e su B. E l’approssimazione è lecita solo se noi ammettiamo l’ipotesi delle forze centrali.

Ma abbiamo il diritto di ammettere l’ipotesi di forze centrali ?

Se dovessimo abbandonare questa ipotesi ci troveremmo di fronte al crollo dell’intera meccanica; non sapremmo più come misurare le masse ed il principio di azione e reazione dovrebbe essere enunciato così:

Il movimento del centro di gravità di un sistema sottratto ad ogni azione esteriore sarà rettilineo ed uniforme …Ma [poiché] non esiste sistema che sia sottratto ad ogni azione esteriore, la legge del movimento del centro di gravità non è rigorosamente vera, se non applicandola all’universo tutto intero.

E in che modo potremmo noi misurare le masse seguendo i movimenti del centro di gravità dell’universo ? La cosa è manifestamente assurda ed allora siamo costretti a riconoscere la nostra impotenza ricorrendo alla seguente definizione:  

le masse sono dei coefficienti che è comodo introdurre  nei calcoli.

Insomma, l’esperienza è certamente potuta servire di base ai principi della meccanica ma, poiché questi principi non sono altro che approssimazioni (e già lo sappiamo), esperienze più precise non potranno aggiungere mai niente a quanto sappiamo e quindi l’esperienza non potrà mai contraddire questi principi.

        Più oltre Poincaré definisce quello che da lui è chiamato il “principio del movimento relativo“:

Il movimento di un sistema qualunque deve ubbidire alle stesse leggi, che si riferiscono a degli assi fissi, o a degli assi mobili trascinati da un movimento rettilineo ed uniforme.

Ed  osserva che?

Così enunciato il principio del movimento relativo rassomiglia singolarmente a ciò che ho chiamato il principio dell’inerzia generalizzato; ma non è la stessa cosa, poiché, qui si tratta delle differenze di coordinate, e non delle coordinata stesse. Il nuovo principio c’insegna dunque qualcosa di più.

Ma poiché, per questo principio si può fare la stessa discussione fatta per il principio d’inerzia generalizzato, ne consegue che anche esso non può essere né dato a priori, né ricavato come risultato immediato dell’esperienza.

          In ultima analisi, i principi della meccanica, da una parte sono verità fondate su una esperienza grossolana, dall’altra sono postulati applicabili all’intero universo da considerarsi come veri. Ebbene, se possiamo considerare i principi della meccanica come postulati è per una semplice convenzione, la quale non è arbitraria ma, come alcune esperienze ci hanno mostrato, comoda.

          Occorre quindi rifarsi a questi principi generali, che sono cinque o sei,  poiché la loro

applicazione … ai differenti fenomeni fisici basta per insegnarci ciò che ragionevolmente possiamo aspettarci di conoscere di una cosa … Questi principi sono il risultato di esperienze sommamente generalizzate, e dalla loro stessa generalità sembrano acquistare un grado elevato di certezza. In effetti, quanto più generali sono, tanto più frequentemente si ha l’occasione di metterli alla prova, e moltiplicandosi le verifiche, assumendo le forme più diverse e più insperate, finiscono per non lasciar posto a dubbi.

Ma, allo stato presente, questi principi mostrano alcune crepe che occorre chiudere al più presto in qualche modo. Una miriade di fatti sperimentali sembra non accordarsi con essi. Dopo una attenta disamina abbastanza scoraggiante di tali crepe, Poincaré formula un accorato appello:

E’ necessario che non si abbandonino i principi prima di aver fatto uno sforzo leale per salvarli.

Ed aggiunge:   

E’ inutile accumulare ipotesi, poiché non si possono soddisfare in una volta. tutti i principi.  Pino ad ora non si è  riusciti  a salvaguardarne  alcuni senza sacrificarne degli altri, ma la speranza di ottenere migliori risultati non è del tutto persa.

Com’è possibile far ciò ? La risposta a questa domanda permette a Poincaré di scrivere la seguente proposizione di grande interesse:  

Forse … dovremmo  costruire  tutta  una  nuova  meccanica che non facciamo altro che intravedere, nella quale, aumentando l’inerzia con la velocità, la velocità della luce diventerebbe un limite insuperabile. La meccanica ordinaria, più semplice, rimarrebbe come una prima approssimazione, dato che sarebbe vera per velocità non molto grandi, di modo che ancora torneremmo a trovare l’antica dinamica al di sotto della nuova.

Ed anche Poincaré mostra che ciò di cui disponiamo è insufficiente per capire e per continuare ad andare oltre. Il rischio è il tracollo di tutto l’edificio. Occorrerebbe …

TENTATIVI DI COSTRUIRE UNA NUOVA FISICA FONDATA SULL’ELETTROMAGNETISMO: WIEN ED ABRAHAM

(Per l’esatta comprensione delle cose trattate in questo paragrafo e nei successivi è utile leggersi il lavoro sulla Relatività da qui in avanti)

        Non ci resta ora che andare a discutere di un altro tentativo che, proprio al nascere del nuovo secolo, venne tentato per cercare di mettere a posto   le  incongruenze con la meccanica che nascevano da una branca della fisica che in cento anni si era enormemente sviluppata: l’elettrodinamica (o elettromagnetismo). Si tentò di   fondare  una  nuova  fisica   su  basi   elettromagnetiche.

          Abbiamo già fatto cenno alla raccolta di saggi che nel 1900 si pubblicò in onore di Lorentz. Tra questi abbiamo citato quello di Poincaré che discuteva del non accordo della teoria di Lorentz con il principio di azione e reazione.

         In un saggio che nel 1900 era stato scritto in onore del grande fisico Lorentz, ve ne era uno del fisico tedesco W. Wien (1864-1928), Possibilità di una base elettromagnetica per la meccanica, nel quale, dalla ripresa di alcune idee avanzate da J.J. Thomson nel 1881 e successivamente sviluppate da Heaviside nel 1889,  si prospettava la possibilità di ricavare le equazioni fondamentali della meccanica a partire dalle equazioni del campo elettromagnetico. In questo lavoro Wien riteneva di poter generalizzare il risultato di Heaviside ricavando dalla teoria eletiromagnetica l’inerzia meccanica. Egli scrive:

L’inerzia della materia, che ci dà una definizione della massa indipendentemente dalla gravità, si può dedurre senza altre ipotesi dalla nozione già frequentemente impiegata di inerzia elettromagnetica.

        L’elaborazione di questi concetti lo portò a trovare un risultato in accordo con quello di Heaviside per piccole velocità. La massa di una particella carica in moto era dunque dovuta alla sua massa a riposo, alla quale si aggiungeva una massa elettromagnetica, che nasceva a seguito del moto per un effetto di autoinduzione. Quando infatti una particella carica è in moto essa equivale ad una corrente alla quale si accompagna un campo elettromagnetico costante. Ogni variazione di velocità di questa particella comporterà una variazione di intensità del campo magnetico che la circonda ed ogni variazione di questo campo comporta il nascere di una corrente indotta (in questo caso autoindotta). Poiché le correnti indotte tendono ad opporsi alle cause che le hanno generate (legge di Lenz), si originerà una forza che tenderà ad opporsi alle accelerazioni della particella (sono quelle che provocano l’autoinduzione). Tutto va come se la particella avesse un’inerzia più grande e cioè una massa più grande che, originatasi in questo modo, è di natura elettromagnetica.  Questo aumento di massa sarà tanto più grande quanto più è grande la velocità della particella poiché a velocità maggiori della particella corrispondono campi magnetici più intensi e quindi autoinduzioni più intense (nel caso in cui la particella subisca accelerazioni). Data poi l’asimmetria della variazione del campo magnetico nella direzione del moto (longitudinale) ed in quella  perpendicolare (trasversale) bisognerà considerare, al momento della variazione della velocità, due masse differenti, quella longitudinale e quella trasversale.

        Naturalmente questa e le altre elaborazioni teoriche che seguirono traevano spunto dalla scoperta dell’elettrone da parte di J.J. Thomson. E , sull’onda delle esperienze di quest’ultimo, altre ne furono immediatamente pensate e realizzate. Alcune di queste ebbero una notevole influenza sugli ulteriori sviluppi della fondazione elettromagnetica della meccanica.

        In particolare, grande interesse suscitarono i lavori sperimentali del fisico tedesco W. Kaufmann. (1871-1947). Egli, con esperienze estremamente complesse e delicate (1901-1905), nel misurare il rapporto tra la carica e la massa degli elettroni emessi dal bromuro di radio (a velocità molto elevate), ebbe modo di osservare una notevole variazione della massa con la velocità; in particolare trovò che a grandi velocità  il rapporto tra la carica e la massa diminuiva e, poiché era fuori discussione la costanza della carica (la teoria degli elettroni non la contemplava), se ne doveva concludere che era la massa ad aumentare. Nel suo primo lavoro (1901) Kaufmann concluse che la massa meccanica dell’elettrone era dello stesso ordine di grandezza della massa elettromagnetica. Successivamente (1902-1903) egli affermò che l’intera massa dell’elettrone era di natura elettromagnetica.

        Dalle esperienze di Kaufmann e dai lavori di Wien presero spunto le elaborazioni teoriche del più noto tra i sostenitori del programma elettromagnetico, il fisico tedesco M. Abraham (1857-1922). Egli, in due successive memorie (1902-1903), sostenne la sua tesi di fondo che consisteva nel considerare tutta la massa come elettromagnetica, trovando dei risultati che sembravano in perfetto accordo con le esperienze di Kaufmann. Per elaborare la sua teoria Abraham: ricorse ad alcuni risultati conseguiti da Poynting nel 1884 (teorema omonimo), che gli servirono per introdurre (1903) nella sua trattazione il concetto di quantità di moto elettromagnetica; fece uso della espressione data da Lorentz per la forza cui è soggetta una particella carica in un campo elettromagnetico (forza di Lorentz) e più in generale delle equazioni di Maxwell scritte nella forma di Lorentz; partì dall’ipotesi di esistenza di elettroni dotati di carica negativa in tutti i corpi la cui massa fosse di natura elettromagnetica.

        Una grande difficoltà nasceva però fino dall’inizio; se un elettrone è di natura puramente elettromagnetica ed è carico negativamente, come fa ad essere stabile ? Quali forze e di che natura lo tengono unito, visto che le sue diverse parti, essendo cariche dello stesso segno, tendono a respingersi e quindi a disintegrarlo ?

        Per evitare questa difficoltà, Abraham ricorse ad un’ipotesi discutibile, almeno a questo punto dell’elaborazione teorica. Egli suppose che l’elettrone fosse una sfera perfettamente rigida ed indeformabile (sia quando esso era in quiete sia quando era in moto) nel quale la carica fosse distribuita in modo uniforme (o nel volume o nella superficie). In particolare, secondo Abraham, l’ipotesi di un elettrone deformabile doveva essere respinta poiché essa:

implica che si dovrebbe svolgere, a causa della deformazione, un lavoro meccanico, e che si dovrebbe quindi tener conto, oltre che dell’energia elettromagnetica, di un’energia interna dell’elettrone. In questo caso diventerebbe impossibile un’interpretazione elettromagnetica della teoria dei raggi catodici o di Becquerel, che sono fenomeni puramente elettrici, e bisognerebbe rinunciare fin dall’inizio a fondare la meccanica sull’elettromagnetismo.

         L’ipotesi di indeformabilità veniva dunque a trovarsi in contrasto con altre elaborazioni teoriche ed in particolare con quella di Lorentz. Essa permetteva però, come già detto, di ricavare dei risultati in accordo con  le esperienze di Kaufmann ed in particolare che la massa dipende dalla velocità. Tra l’altro, con l’introduzione della quantità di moto elettromagnetica, Abraham  riuscì  a  superare  le  obiezioni che  Poincaré  fece  a Lorentz  e  relative  al non accordo della teoria degli elettroni con la conservazione della quantità di moto. Con la quantità di moto elettromagnetica si può infatti rendere conto di quella pressione di radiazione che in quegli anni veniva, per la prima volta, misurata (P. Lebedev, 1901; E. Hichols – G. Hull, 1903): quando un elettrone in moto accelerato emette onde elettromagnetiche, la quantità di moto che perde è uguale alla quantità di moto elettromagnetica della radiazione. Dalla quantità di moto elettromagnetica è poi relativamente semplice ricavarsi la massa elettromagnetica, cosa che Abraham fece, calcolando per la prima volta (1903) le masse longitudinale e trasversale (si arriva a questo, a dover introdurre masse diverse per lo stesso oggetto a seconda delle circostanze) di un elettrone in moto. I valori di queste masse risultarono diversi da quelli che l’anno successivo (1904) fornì Lorentz e la cosa sembrava una seria obiezione alla teoria di  quest’ultimo, in quanto i risultati sperimentali di Kaufmann davano ragione ad   Abraham. 

         Solo più tardi (1908) nuove esperienze, effettuate con maggiore cura sperimentale dal fisico tedesco A.H. Bucherer (1863-1927) e successivamente da altri, mostrarono che effettivamente le relazioni trovate da Lorentz erano quelle corrette.

        Nel 1903, comunque, la teoria di Abraham aveva il conforto sperimentale ma al suo interno poneva dei problemi che lo stesso Abraham fa risaltare.

Egli scrive che le equazioni del moto che ha trovato

corrispondono esattamente alle equazioni differenziali che si ottengono per il moto di un corpo solido in un fluido perfetto. Tuttavia, mentre per il problema meccanico, le componenti dell’impulso e del momento dell’impulso sono funzioni lineari della velocità attuale di traslazione e di rotazione, … nel problema elettrodinamico l’impulso ed il momento dell’impulso non dipendono solo dal moto attuale dell’elettrone ma anche dalla sua storia precedente …

Questa circostanza crea una grande complicazione nel nostro problema, che non sembra rendere possibile una soluzione completa della dinamica dell’elettrone.

        Altre difficoltà sorsero poi quando si vollero estendere i risultati di Abraham agli altri costituenti la materia che non fossero gli elettroni, alle forze molecolari ed a quelle gravitazionali. Sembra ritrovarsi qui la situazione creatasi con l’opera di Copernico, cambiare i ruoli di Terra (meccanica) e Sole (elettromagnetismo) senza preoccuparsi di tutti i problemi fisici che la nuova struttura avrebbe comportato.

        Ricapitolando brevemente, si può dire che a cavallo dei due secoli esistevano grosse differenze di opinione, contrasti anche molto duri, sui fondamenti ed i metodi (ed anche oltre) dell’intera scienza fisica. C’è chi ama parlare di ‘crisi‘, chi di ‘continuità‘; personalmente ritengo che certamente una quantità di problemi nascevano dall’esigenza di sistematizzare l’enorme messe dei dati sperimentali che si veniva producendo nei più svariati campi della fisica, sotto le pressioni delle esigenze tecnologiche della seconda rivoluzione industriale. Ed una qualche crisi doveva ben esserci se solo si pensa, in termini di storia interna, che una quantità di risultati non rientrava in una spiegazione razionale, determinata e conseguente con la fisica che fino ad allora si era costruita. L’eventuale crisi quindi nasceva dal venir meno dell’ideale di scienza unificata, di possibilità di interpretazione della realtà naturale a partire da un unico principio unificante, fosse esso quello meccanico, quello termodinamico, quello elettromagnetico.

        Semplificando molto si può dire che almeno quattro correnti di pensiero si contendevano il primato nell’ambito della fisica:

– quelli che ritenevano di dover procedere con gli strumenti ed i metodi fino ad allora seguiti;

– quelli che sentivano l’indispensabilità di una rifondazione della meccanica;

– quelli che ritenevano di poter basare l’intera fisica sulla termodinamica;

– quelli che ritenevano di poter basare l’intera fisica sull’elettrodinamica.

E neanche a pensare che non ci fosse sovrapposizione; molto spesso i sostenitori di una posizione confluivano in un’altra, purché, ad esempio, l’ideale comune antimeccanicistico (che sempre più diventava antimaterialistico) fosse realizzato. .Oppure quando si pensava che una data posizione non escludesse l’altra, o quando si tentava di mediare per garantire la continuità. In ogni caso, vi erano ancora quelli che credevano alla ‘curiosità scientifica‘, dei sopravvissuti ‘filosofi naturali‘, dei quali si perderà ogni traccia nel nostro secolo.

        Un’altra corrente di pensiero, in aggiunta a quelle schematicamente ricordate, vincerà sul piano scientifico ma non su quello filosofico, interpretativo e politico generale: si tratta, dei Planck e degli Einstein.

LA SISTEMAZIONE DEL CONCETTO DI MASSA: EINSTEIN

         Einstein (maggio 1905) capisce che non è più il caso di girare intorno alla meccanica con spiegazioni ad hoc. Capisce che la meccanica non è la regina delle scienze e che non è indispensabile interpretare ogni fenomeno con essa. Einstein con il coraggio tipico di un giovane e di un outsider riesce a partire ridiscutendo ogni concetto base della meccanica medesima. E non si tratta solo della massa e della forza che fino ad ora abbiamo incontrato nelle critiche dei massimi pensatori del Settecento e dell’Ottocento. Einstein parte dalla critica dell’ABC di ogni operazione, del buon senso alla base, anche se non detta, di ogni operazione in fisica: della simultaneità. Quindi del tempo e dello spazio. Solo successivamente, e come conseguenza di quanto fatto prima, da ciò che è stato discusso precedentemente e radicalmente, viene come conseguenza una definizione di massa che è davvero sconvolgente: essa perde la localizzazione, l’invariabilità, l’irriducibilità ad altre grandezze.

        Einstein dette una giustificazione intuitiva della variabilità della massa con la velocità, partendo dal postulato che la massima velocità ottenibile in natura è la velocità della luce nel vuoto (che si indica con c). Ammesso il postulato, ne risulta che se un corpo ha la velocità c, nessuna forza applicata al corpo può aumentarla, cioè la massa del corpo è diventata infinita. Il caso limite fa intuire che la resistenza opposta da un corpo alla variazione di velocità, cioè la massa del corpo, aumenta con l’aumentare della velocità. La relazione relativistica è:

(36)                                              

con il coefficiente β che vale:     

(36bis)                                                  

       E la (36) dice che la massa di un dato oggetto non è una grandezza costante ma una variabile. Essa vale m0 (massa a riposo, la massa della meccanica classica) che deve essere divisa per il coefficiente b. Quindi la variabilità di m è tutta dentro il coefficiente b che ha in sé: il numero 1, la velocità della luce c che nel vuoto è una costante, la velocità v dell’oggetto. In definitiva la massa di un oggetto varia con la sua velocità ! Non è incredibile ? La cosa è mostrata nella figura seguente. Si può vedere che fino al 20% della velocità della luce (circa 60 mila Km/sec) la massa rimane praticamente la stessa; essa raddoppia solo a metà della velocità della luce (150 mila Km/sec); solo per velocità che riguardano l’astrofisica e la fisica nucleare accadono delle cose molto importanti. Ma l’importante è saperlo, come oggi lo sappiamo.

Qualche mese dopo (novembre 1905), Einstein tornò sull’argomento massa e trovò che elaborando le cose trovate a maggio si  trovava un risultato clamoroso:

(37)                            E = mc2

oppure, ricordando la (36):

(38)                                                     
 

e ciò vuol dire che l’energia totale di un sistema è proporzionale alla sua massa o, che è lo stesso, massa ed energia sono, a meno di una costante la stessa cosa. O, ancora, la massa è energia estremamente concentrata. In proposito prendiamo brevemente in considerazione la (37). La prima semplice osservazione riguarda il fatto che c2 è una costante. Può sembrare banale ma qualcuno potrebbe osservare: l’energia totale E in dinamica classica è data dalla somma dell’energia potenziale e dell’energia cinetica; l’energia cinetica ha come sua espressione ½mv2 mentre l’energia potenziale (gravitazionale) è data da mgh; con facili conti si può ricavare che mgh può essere scritta come ½mv2 (basta ricordare che, nel nostro caso, risulta g = v2/2h); cosi l’energia totale E risulta uguale a due volte ½mv2 e cioè E = mv2 ; qual è allora la grande novità di E = mc2 ?
Nella relazione classica la massa è rigorosamente costante, per cui si ha:


E = k.v2


nella relazione relativistica c è rigorosamente costante, per cui risulta:


E = k.m


        Nel primo caso l’energia risulta proporzionale al quadrato della velocità, nel secondo l’energia risulta proporzionale alla massa e la costante k = c2 non è altro che un fattore di ragguaglio tra le unità di misura di massa e quelle di energia.

Ciò vuol dire che l’energia e la massa relativistiche possono essere date con le stesse unità di misura potendosi parlare indifferentemente di grammi di energia o di joule di massa (un’energia pari a 9.1013 joule = 25.106 Kwh ha la massa di un grammo: si può allora dire: o la massa di 9.1013 joule oppure l’energia della massa di un grammo).
        Quanto detto ci può far intendere che parlare di conservazione dell’energia in relatività è la stessa cosa che parlare di conservazione della massa; e ciò può anche enunciarsi come conservazione della massa-energia.
       Se poi riconsideriamo per un attimo la relazione (38), con il b dato dalla (37), possiamo capire il significato dell’espressione inerzia dell’energia. Se, infatti, nella suddetta relazione si considerano velocità v sempre più vicine a c, il denominatore si avvicina sempre più a zero; a ciò corrisponde l’avvicinarsi ad un valore infinito del secondo membro e cioè il fatto che l’energia cinetica tende all’infinito. Ciò vuol dire che occorre un lavoro infinito per portare una data massa a velocità come quelle della luce e quindi che, al crescere della velocità, la massa in oggetto e quindi, per quanto già sappiamo, l’energia che ad essa compete tende ad aumentare al crescere della sua velocità, corrispondendo ciò ad un aumento dell’inerzia; quest’ultimo fatto ci permette di dire che l’energia presenta una inerzia poiché ad un aumento dell’energia corrisponde un aumento della massa o, che è lo stesso, all’energia corrisponde una massa inerte che offre resistenza ad una variazione di velocità.

RELATIVITA’ GENERALE
 

        Quando ho accennato ai lavori di Hertz, avevo detto che le “forze” agivano per Hertz, secondo la linea più breve. Vi è qui un’adesione naturale ad una geometria secolare, a quella di Euclide (ed un riconoscimento indubbio alla definizione newtoniana di Tempo). Era un tentativo, quello di Hertz, di sbarazzarsi di una delle forze fondamentali, quella gravitazionale. Einstein interpretò la cosa utilizzando una delle geometrie non euclidee, quella ellittica di Riemann, del continuo spazio-temporale di Minkowski, e del calcolo differenziale assoluto di Ricci Curbastro e Levi-Civita, affermando che il moto gravitazionale è un moto inerziale che segue le geodetiche. In tale geometria la linea più breve tra due punti non è più la linea retta ma la geodetica.

        Einstein aveva presente la domanda di Mach sullo strano ruolo di privilegio dei sistemi inerziali rispetto a tutti gli altri sistemi di riferimento ed era stato colpito dall’identità tra massa inerziale e massa gravitazionale. Lo stesso Einstein racconta:

Allora [1908] mi venne in mente che l’uguaglianza fra massa inerte e massa pesante, cioè l’indipendenza della accelerazione gravitazionale da ciò che cade, può essere espressa come segue: in un campo gravitazionale — supposto costante — tutto accade come in uno spazio libero da gravitazione, purché vi si introduca, al posto di un sistema inerziale, un sistema in riferimento accelerato rispetto al sistema inerziale [gli osservatori, cioè, riferiscono le loro osservazioni ad un sistema di coordinate solidale con l’ascensore] … Sarà lecito considerare allora questo sistema di riferimento come un sistema inerziale, cosi come era lecito considerare inerziale il sistema primitivo.
 

        Questa idea suggerì ad Einstein il principio di equivalenza fra campo gravitazionale e sistema di riferimento in moto uniformemente accelerato. Il campo di forza è esattamente della stessa natura tanto se generato da un’accelerazione, quanto se prodotto da una gravitazione. Ciò vuol dire che l’uguaglianza dei due tipi di massa non è un miracolo: non vi sono due tipi di massa che reagiscono a due tipi di forza (la gravità e la forza generica) ma una fisica che non è stata in grado di cogliere l’identità e si è servita di due nomi diversi.

        Sciama descrive le cose nel modo seguente.

        Einstein  illustrava questo stato di cose nel modo seguente: consideriamo un uomo chiuso in una cabina d’ascensore posta in qualche punto dello spazio molto lontano da forze gravitazionali, e supponiamo che la cabina venga improvvisamente sollevata da una corda, in modo che presenti un’accelerazione rispetto a un sistema inerziale (fig. a). L’uomo dentro la cabina può scegliere di considerare se stesso in quiete nel corso dell’esperimento, ma allora la cabina diventa un sistema di riferimento non inerziale, e di conseguenza agirà su di essa una forza inerziale (fig. b). L’esistenza di una forza del genere risulterà ovvia

all’uomo nella cabina: se egli lascia andare un oggetto, questo si allontana da lui con moto accelerato. Il punto importante è che l’accelerazione risulterà identica per qualsiasi oggetto che egli lascerà andare, poiché è esattamente uguale ed opposta all’accelerazione dell’uomo rispetto a un sistema inerziale. Ma proprio lo stesso succederebbe se, anziché essere tirata da una corda, la cabina fosse soggetta all’azione di una forza gravitazionale (fig. c). Ciò significa che l’uomo non sarà in grado di dire quale delle due eventualità è quella giusta. Finora questa conclusione si è basata interamente sulla somiglianzà di risposta a una forza gravitazionale osservabile in corpi dotati di massa: ma è chiaro che potrebbe esserci qualche altro criterio capace di distinguere una forza inerziale da una gravitazionale; per esempio, nel comportamento della luce, o in qualche finissimo fenomeno atomico a livello microscopico. Einstein, elevando a principio l’esperienza di Galileo (il famoso principio di equivalenza che ho illustrato parlando di Galileo), stabilì che non c’è alcun criterio, di nessun genere, per mezzo del quale si possa distinguere una forza inerziale da una gravitazionale.

        Per completezza ricordo che l’equivalenza tra i due tipi di massa fu verificata da Eötwöss nel 1922 con la precisione di  2 su 109. Nel 1923 lo fece Potter con una precisione di 1 su 105. Nel 1935 la verifica fu fatta da Renner con una precisione di 1 su 109. Nei primi anni ’60 Deke ha raggiunto una precisione di 1 su 1011.

        È importante notare, che esiste un modo per distinguere tra forza gravitazionale e forza inerziale. Si trova illustrato nella figura seguente. Quando la cabina è in quiete sulla superficie terrestre, i corpi rilasciati 

dall’uomo che sta dentro si muovono ciascuno in direzione del centro della Terra, e perciò l’uno verso l’altro, mentre se la cabina si trova nello spazio cosmico e viene tirata da una corda, i corpi rilasciati mantengono la stessa distanza fra loro.

CONCLUSIONE
 

        In questa ricostruzione, in gran parte sommaria e manchevole, ho tentato di seguire la traccia principale dello sviluppo dei concetti di massa e peso che, via via, abbiamo visto intersecarsi con forza e financo con spazio, tempo ed energia. Riprova del fatto che cercare una linearità di sviluppo della scienza per accumulo successivo di conoscenze è illusorio se non del tutto sbagliato. In realtà ilo voler seguire un concetto, un solo capitolo, è una semplificazione utile a noi ma assolutamente non rispondente alla storia del pensiero che è storia di tutto. Riguardo a ciò che ho presentato, fino ad un certo punto è agevole per tutti (più o meno) seguire. Da un certo punto in poi le cose si fanno più evanescenti, più complesse, si iniziano a saltare dei pezzi della storia e quindi si ha maggiore difficoltà a seguire o non si segue più. E’ un peccato perché la profondità del problema può solo richiedere un’applicazione costante che vuol dire fatica.

        Mi sono fermato ad Einstein che ebbe il grande coraggio di mettere sul banco degli imputati chi doveva essere al disopra di ogni sospetto: la Meccanica. Ma le cose non finiscono qui. Vi sarebbe molto altro da dire (fisica quantistica, teoria dei campi, astrofisica, …) ma la complessità richiesta esula dagli scopi di questo lavoro.

        Mi auguro solo che queste pagine sollecitino interessi e che qualcuno capisca quanto affascinante sia lo studio di tali problemi e come vi sia dentro tutta la storia del pensiero umano.

Roberto Renzetti

(La trattazione analitica di questa parte si trova quiqui e qui)


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