Fisicamente

di Roberto Renzetti

LE APPENDICI CHE SEGUONO SONO ANCHE IN PDF. PER SCARICARLE VAI SU “PAGINE”, QUINDI APRI “DOCUMENTI”. QUI TROVERAI LE APPENDICI  ELENCATE DI SEGUITO, CIASCUNA DELLE QUALI INDICATA CON LA SIGLA AR1, AR2, …. E COSI’ VIA.

AR1

Campi conservativi.

Circuitazione di un vettore lungo una linea chiusa.

Corrente di spostamento.

_______________________________

Flusso di un vettore attraverso una superficie.

AR 2

è nullo. L’ultimo caso limite che va considerato è quando la superficie è perpendicolare alle linee di forza, ma i versi di  e delle linee di forza sono opposti (questo fatto è rappresentato da α = 180°, da cui cos α =  – 1); in questo caso il flusso assume un massimo negativo e vale – ES.

        Nel caso più generale, quando la superficie S non è piana, bisognerà considerare su di essa svariate piccole superfici (con buona approssimazione piane) di area ΔS e per ciascuna di esse calcolarsi il flusso elementare  . In questo caso, riferendosi alla figura 6, il flusso totale sarà la somma di tutti i

        Risulta, chiaro allora che mentre il campo magnetico è solenoidale, il campo elettrico non lo è.

 

_______________________________________________________-_____

Le equazioni di Maxwell.

AR3

APPENDICE 4

LE MISURA DELLA VELOCITA’ DELLA LUCE DI RÖEMER, DI FIZEAU E DI FOUCAULT.

L’ABERRAZIONE ANNUA DELLE STELLE (BRADLEY).

L’EFFETTO DOPPLER.

RÖEMER (1676)

        La prima misura della velocità della luce c fu eseguita da Röemer a Parigi nel 1676. II suo metodo è astronomico, nel senso che egli si servì delle eclissi di Io, uno dei satelliti di Giove. La situazione astronomica alla base dell’esperienza di Röemer è illustrata, in figura 7 (dove T1 , T2, …, sono successive posizioni della Terra  nella sua orbita intorno al Sole cui competono, rispettivamente, le velocità v1,v2, …; analogamente G1,G2, …sono successive posizioni di Giove nella sua orbita intorno al   Sole cui competono le velocità vg, infine I rappresenta il satellite di Giove, Io). La prima cosa da dire è che il piano dell’orbita di Io intorno a Giove coincide con quello dell’orbita di Giove e della Terra

Figura 7

intorno al Sole. Stando così le cose, Io si eclissa ad ogni sua rivoluzione intorno a Giove, cioè ad ogni tempo T che teoricamente dovrebbe essere costante (e certamente lo è se le osservazioni le eseguiamo da Giove).

        Dallo studio di innumerevoli precedenti osservazioni eseguite insieme all’astronomo G.D. Cassini (1625-1712) e da una idea che era stata dello stesso Cassini (1675), Röemer avanzò l’ipotesi che la luce avesse una velocità finita. Questa sembrava essere l’unica spiegazione che egli riusciva a trovare di strane irregolarità nelle eclissi di Io. Cerchiamo di capire di cosa si tratta.

        Ci sono dei periodi dell’anno in cui la Terra si trova più vicina a Giove, mentre in altri periodi la Terra si trova più lontana da questo pianeta. Tra queste due posizioni estreme della Terra rispetto a Giove vi sono, evidentemente, tutte le altre che la Terra occupa o in allontanamento o in avvicinamento a Giove. Ebbene, le osservazioni di Röemer e Cassini mostravano che, tra le due posizioni estreme della Terra rispetto a Giove (T1e T3 di  figura 7), quando la Terra risultava in allontanamento da Giove (ad esempio: posizione T2 di figura 7) le eclissi di Io diventavano via via più lunghe; quando invece la Terra risultava in avvicinamento a Giove (ad esempio: posizione T4 di figura 7) le eclissi di Io diventavano via via più brevi. Questo fenomeno fu interpretato da Röemer come originato dal fatto che, durante l’allontanamento della Terra da Giove, ogni sparizione di Io nell’ombra di Giove ha luogo quando la Terra è più distante da Giove di quanto non lo fosse alla sparizione precedente e ciò significa che la luce per giungere sulla Terra deve percorrere una distanza maggiore.

         Seguiamo il ragionamento di Röemer dalle sue stesse parole (Bibliografia di Relatività n° 89 pagg. 328-330) servendoci della figura 8.Dice Röemer:

  “Supponiamo  che  A  rappresenti  il  Sole  ,  B Giove,  C  il  primo  satellite quando entra nell’orbita  di Giove, per uscire

Figura 8

nuovamente in D, e che EFGHLK rappresentino la Terra a differenti distanze da Giove.

        Supponiamo ora che quando la Terra sta in L … il primo satellite si veda emergere in D; e che circa 42 ore e mezza più tardi, cioè dopo una rivoluzione di questo satellite, stando la Terra in K, si veda di nuovo il satellite tornare in D. E’ chiaro allora che se la luce richiede tempo per percorrere la distanza LK, il satellite sembrerà tornare in D più tardi di quanto non avrebbe fatto se la Terra fosse rimasta in K; in questo modo la rivoluzione del satellite, determinata dalle sue emersioni, sarà più lunga di tanto tempo quanto quello impiegato dalla luce per andare da L a K, e, al contrario, nelle altre posizioni FG, nelle quali la Terra va incontro alla luce, le rivoluzioni determinate mediante le immersioni [nelle zone d’ombra] sembreranno diminuite  di tanto quanto le altre, determinate mediante le emersioni, sembravano aumentate…..                  

           Questa differenza [del periodo di rivoluzione del satellite]   che non è apprezzabile in due rivoluzioni, risulta molto considerevole quando se ne considerano varie insieme e, per esempio, quaranta rivoluzioni osservate dalla parte  di F, sono sensibilmente più brevi di quaranta osservate dall’altro lato, qualunque sia la posizione in cui Giove si trovi; questa differenza vale  22 minuti per tutta la distanza HE, che è due volte la distanza della Terra dal Sole”.

           I dati che Röemer aveva a disposizione erano quindi:

– il tempo (t = 22 minuti) che la luce impiega a percorrere il diametro dell’orbita della Terra intorno al Sole;

– il diametro (d = 28.1010 m) di questa orbita.

Il primo dato era stato ricavato dalle sue misure (il dato oggi più attendibile è t = 16 minuti e 36 secondi) mentre il secondo dato proveniva da osservazioni d’altro tipo che all’epoca si erano fatte (ad opera di Cassini e Richer si era trovato – 1673 – per d il valore d ≈ 280.000.000 Km; mentre il valore oggi comunemente accettato è d ≈ 299.000.000 Km).

        La velocità della luce era quindi data da:

 c = d/t = 28.1010 m/22.60 sec = 2,1.108 m/sec = 210.000 Km/sec

valore molto distante da quello che oggi si ritiene più vicino corretto (c = 2,997925.108 m/sec) ma molto vicino come ordine di grandezza.

        Osservazioni più accurate dei satelliti di Giove, fatte da J.B.J. Delambre (1749-1822) alla fine del  ‘700 – portarono per t ad un valore di 16 minuti e 26 secondi,  mentre d si era stabilito che valesse 30,6.1010 m. Con questi dati  si trova c = 310.000 Km/sec.        

        Vorrei   osservare   solo   una  cosa:   ho   consultato   decine   di   testi   per   avere il valore di c ricavato da Röemer e non lo ho trovato da nessuna parte, o per meglio dire ne ho trovati altrettanti diversi. Risalendo però ai dati dell’epoca ho potuto concludere (salvo smentite) che tutti i dati da altri riportati sono quantomeno fantasiosi (solo i testi per i licei di Cini – De Maria – Gamba e di Vespi riportano valori simili a quello da me fornito): a prescindere dalla distanza Sole -Terra, è determinante il tempo impiegato dalla luce per percorrere tale distanza e, proprio dai dati di Röemer, trovo 22 minuti. Tutto ciò mi fa concludere che Röemer aveva trovato per c un valore inferiore a quello oggi accettato (e non superiore).

FIZEAU (1849)

        Fizeau fu il primo che riuscì ad effettuare misure di c sulla Terra. Nella sua esperienza, il cui schema è riportato in figura 9, un fascio luminoso, proveniente da una sorgente S (il Sole), subisce una riflessione sullo specchio semitrasparente M1 posto a 45° rispetto all’asse della strumentazione; quindi confluisce sulla lente L3 , che lo rende

Figura 9

parallelo, fino ad arrivare alla lente L4 , dopo aver percorso la distanza d (nell’esperienza originale: d = 8.633 m); infine si riflette sullo specchio concavo M2; ripercorre lo stesso cammino fino ad M1  e da qui va all’oculare L5  dove è posto l’osservatore O.

       Durante il suo tragitto, sia all’andata che al ritorno, il fascio luminoso proveniente da S subisce interruzioni nel punto A del sistema, in cui è posta una ruota dentata R girevole sul suo asse (parallelo a quello del sistema) .

       La ruota ha un numero q di denti (essi sono naturalmente l’uno uguale all’altro e di dimensioni identiche agli spazi vuoti tra dente e dente). Quando un dente si trova nel punto focale A del fascio luminoso, evidentemente, la luce non passa; quando in quel punto vi è lo spazio libero tra dente e dente, allora passa luce.

       A ruota ferma si dispongono i denti in modo che la luce passi e l’osservatore O veda dall’oculare L5  un punto luminoso. Quando la ruota gira, se ad un dato istante la luce passa attraverso un vano libero, essa, data la sua elevatissima velocità riesce, al ritorno da M2 , a ripassare attraverso lo stesso vano libero. Questo per velocità della ruota relativamente basse. Quando la ruota gira a velocità crescenti, il punto luminoso viene distinto in modo sempre più debole. Quindi, ad una data velocità di R, il punto luminoso sparisce (nell’esperienza originale ciò avveniva quando R aveva acquistato una velocità di 12,6 giri al secondo; vedi figura 10). Se continuiamo ad aumentare ancora la velocità

Figura 10

della ruota, il punto luminoso inizia a riapparire con una intensità prima crescente quindi decrescente finché sparisce di nuovo quando la velocità della ruota diventa doppia, tripla,…di quella corrispondente alla prima eclissi.

       Questo fatto si interpreta nel modo seguente: all’inizio, quando la ruota è ferma e la luce può passare nel vano libero tra due denti, la luce va da M1  ad M2 , qui si riflette e torna (attraverso il vano libero) ad M1  (e quindi ad O). Man mano che la ruota aumenta la sua velocità, tra l’andata ed il ritorno della luce in A, un dente si sarà spostato sempre di più andando via via a rimpiazzare il vano vuoto che prima si trovava in A. Ciò significa che, ad una data velocità della ruota (ad esempio 6 giri al secondo), la luce partita da A, tornando da M  trova in A un vano più stretto (quasi della metà) di quello che aveva a ruota ferma (ora in A c’è mezzo dente e mezzo vano libero). Quando si arriva ai 12,6 giri al secondo (nel caso dell’esperienza originale) il fascio, tornando da M2  ad A, incontra un dente; pertanto da O si vedrà buio. All’ulteriore aumento di velocità, la luce, passata all’andata attraverso un vano libero, troverà al ritorno in A un vano sempre meno occupato dal dente che vi si trovava quando la velocità era di 12,6 giri al secondo. In definitiva, a convenienti velocità della ruota R, da O si vedrà o luce o buio, passando attraverso tutte le intensità intermedie di luce.

        II tempo che la luce impiega per andare da A, riflettersi su M2 e tornare indietro, sarà uguale al tempo necessario ad un dente della ruota per occupare il vano precedentemente libero: questo tempo lo si può calcolare dalla velocità della ruota e dal numero dei denti (nell’esperienza originale erano 720, la sorgente era una potente lampada ad arco ed il numero dei giri veniva misurato da un apposito contatore; per maggiori dettagli vedi il lavoro originale in bibl. 89, pagg. 381-382). Se ad esempio la ruota fa n giri al secondo ed i suoi denti sono in numero di q., occorreranno 1/nq secondi perché un dente vada a sistemarsi nel posto occupato dal precedente ed 1/2nq secondi perché esso vada a sistemarsi nel vano libero, precedente.

        Supponiamo ora che la ruota giri con una velocità angolare ω:

ω = 2πν = 2p/T  ->  T = 2π/ω

 (si percorre un giro completo 2π in un periodo T). Poiché q è il numero dei denti, si ha che 2q è il numero dei denti e degli spazi vuoti tra dente e dente. Allora il tempo t1 necessario affinché uno spazio vuoto venga rimpiazzato dal dente successivo, sarà dato dal tempo T necessario a fare un giro completo diviso il numero 2q dei denti e dei vani vuoti:

t1 = T/2q = π/qω 

D’altra parte il tempo t1, necessario a rimpiazzare un vano vuoto con un dente, se è uguale al tempo t2  che la luce impiegherebbe per andare da A ad M2 e poi tornare all’osservatore, è proprio il tempo necessario perché da O si veda buio.

       Ricordando che t2 è dato dalla distanza 2d percorsa dalla luce a velocita’ c:

  t2 = 2d/c,

uguagliando quest’ultima espressione con quella trovata per t1 si ha:

  t2 = t1        ->   π/qω = 2d/c    ->         c = 2dqω/π = 4pdqν/π = 4dqν.  

        Sostituendo i valori assegnati alle varie grandezze ed osservando che Fizeau lavorava con un n che valeva circa 12,6 giri/sec, si trova:

       c = 4. 8633.720.12,6 m/sec= 3,13. 10 m/sec = 313.000 Km/sec.

  Questo valore è più alto di quello oggi accettato, ma l’esperienza era fatta senza troppe pretese di precisione (soprattutto nella misura di n nascevano difficoltà).

          E’ importante osservare che la velocità della luce così misurata è una media su un tragitto percorso due volte in verso opposto. Questa osservazione è oggi inessenziale (data la riconosciuta indipendenza di c dalla velocità del corpo che emette luce) ma, all’epoca, certamente non lo era poiché, dato il principio classico di relatività, bisognava tener conto della composizione della velocità c  almeno col moto della Terra (o con un etere che nelle ipotesi più accreditate – Fresnel –  doveva essere parzialmente trascinato dalla Terra). In ogni caso, poiché il percorso in considerazione è una andata ed un ritorno è lecito supporre che, alla fine, gli effetti di composizione delle velocità si compensino eliminandosi reciprocamente.

        In chiusura è importante notare quanto afferma E. Persico a pag. 354 di bibl. 88:

La ruota…interrompe periodicamente la luce. Le intermittenze sono osservabili finché si susseguono con frequenza non superiore a 10 per secondo; aumentando la frequenza oltre questo limite, per la persistenza delle immagini sopra la retina, l’occhio percepisce senza interruzione l’immagine della sorgente luminosa. Ma aumentando gradatamente la velocità di rotazione della ruota, giunge un momento in cui l’immagine della sorgente luminosa scompare.

FOUCAULT (1850)

        II metodo di Foucault fu il primo che permise misure di c all’interno di una stanza di laboratorio. Lo schema dell’apparato usato da Foucault è illustrato in figura 11. La luce, proveniente dalla sorgente S, passa attraverso lo

  Figura 11

specchio semitrasparente M1  (posto a 45° rispetto all’asse dell’apparato), quindi attraversa la lente convergente L1  e poi va a riflettersi sullo specchio M2  che è girevole intorno al suo asse (perpendicolare al piano di figura e passante per C). Dopo la riflessione su M2  (supposto in una fissata posizione) la luce va a riflettersi (S1  è l’immagine di S) sullo specchio concavo M3  (il centro di curvatura dello specchio M3 è il punto C, asse su cui ruota lo specchio M2), quindi torna su se stesso e attraverso M2 , L1 , M1, mediante una riflessione su quest’ultimo, va a finire su R (che e’ un vetrino trasparente graduato). Da O, attraverso l’oculare L2, osserviamo la posizione assunta dal raggio di luce dopo il tragitto descritto. E questo per una data posizione dello specchio girevole M2  (linee a tratto continuo di figura 11). Quando M2  risulta appena spostato, rispetto alla posizione riportata in figura, il tragitto dei raggi di luce sarà diverso e, anziché andare a concentrarsi nel punto A di R, essi si incontreranno nel punto A’ di R (linee tratteggiate di figura).

        E’ chiaro così che, a posizioni diverse di M2, corrispondono immagini diverse dei raggi riflessi su R (che possono essere viste e misurate).

         Supponiamo ora che M2  inizi a ruotare. Durante questa rotazione, l’immagine S1  di S descrive una circonferenza e soltanto in un piccolo tratto lungo il suo cammino incontrerà la superficie riflettente di M3 . Quando il fascio incontra M3  si produce una immagine su R. Questa immagine sarà intermittente per basse velocità di M2  (vedi quanto detto in proposito nella descrizione dell’esperienza di Fizeau) e l’intermittenza cesserà solo quando si supererà un opportuno valore di soglia per questa velocità.

         Supponiamo allora che  M2  ruoti ad una velocità angolare w molto elevata. Durante il tempo in cui un raggio di luce, riflesso da M2 , va a riflettersi su M3  per poi ritornare su M2  (ha cioè percorso il tragitto CS1C = 2D) lo specchio è ruotato di un dato angolo a (piccolo). La velocità angolare (angolo a percorso nell’unità di tempo t) sarà data da:

  ω = α/t         ->           α = ωt

Osservando ora che t è il tempo impiegato dalla luce (velocità c) a percorrere il tragitto 2D, si ha:

t = 2D/c

e sostituendo questo valore nell’ultima relazione scritta, per α si trova:

α = 2Dω/c 

        A questo punto consideriamo il raggio che, ritornato da M3  su M2 ,si riflette di nuovo andando verso L1  e quindi, tramite M1 , al vetrino graduato. Anche questo raggio, riflesso da M2 , avrà subito una rotazione pari, questa volta, a 2α (ricordiamo che se uno specchio ruota di α, il raggio riflesso ruota di 2α). Se S2  era la sorgente virtuale che produceva l’immagine A, la nuova immagine A’ è come se fosse prodotta, dalla sorgente virtuale S3 . Considerando allora il triangolo S2CS3  (lo consideriamo come triangolo anziché come settore circolare perché, data la piccolezza, di 2α, l’arco S2S3  si confonde con la corda sottesa), che è rettangolo in S2 , con una nota relazione di trigonometria si trova:

                                                                                S2S3   =  D.tg2α

e, tenuto conto della piccolezza di a, la tangente si può approssimare all’arco, cioè:

                                                                                  S2S3  = D.2α

Bisogna, a questo punto considerare che la distanza S2S3  è relazionata alla distanza AA’ = d per il fatto che tra S2S3  e AA’ vi è la lente L1 . Occorre quindi  ricordare  la formula che ci fornisce l’ingrandimento i:

 i = AA’/S2S= p/q

da cui:

AA’ = S2S3.p/q   

dove:

  p = a               ;               q = b+ D

Si ha allora:

  AA’ = S2S3. a/b+D

Sostituendo ad AA’ e ad S2S3  i loro valori, si trova:

  d = D.2α .a/b+D

sostituendo ora ad ail valore precedentemente trovato si ha:

 d = D.2(2dω/c).(a/b+D)            ->          d = 4D2aω/c (b+D)

da cui, ricavando c, abbiamo la relazione cercata:

c = 4D2aω/d (b+D)

Come si vede tutte le grandezze che compaiono in questa espressione sono misurabiIi direttamente, basta pertanto fare le debite sostituzioni per ottenere il valore di c. Poiché, in generale, d è molto piccolo rispetto a D, esso si può trascurare. La formula diventa allora:

  c = 4Daω/d = 8pDaν/d

avendo posto w = 2pν (con ν = frequenza o numero di giri al secondo).

         Sostituendo qui i valori a disposizione di Foucault:

D = 4m; d = 0,8 mm;  ν = 705 giri/sec ; a = 3 m ;• (b = 1,18 mm); si trova:

  c = 298.000 Km/sec

che è un valore molto vicino a quello che noi oggi comunemente accettiamo.

        Prima di passare a Bradley, osservo, come già fatto, con Persico (bibl. 88, pag. 358) che:

L’interpretazione di queste esperienze non è così semplice come potrebbe apparire dalla teoria elementare che abbiamo svolta. Giacché non siamo autorizzati senz’altro a ritenere che la riflessione della luce avvenga sopra uno specchio rotante a grande velocità con le stesse leggi colle quali avviene sopra uno specchio fermo “.

        In ogni caso la teoria elaborata da Foucault teneva conto di tutto ciò. Altra osservazione riguarda l’enorme velocità di rotazione dello specchio che Foucault era riuscito ad ottenere utilizzando una elementare macchina a vapore (!): del vapore, prodotto all’interno di un tubo, faceva girare una piccola turbina sul cui asse era collegato lo specchio. Per dettagli riguardanti gli aspetti costruttivi si può vedere bibl. 93, Vol. 4, pagg. 421-422.  Ultima osservazione è relativa proprio all’apparato sperimentale: esso si presta bene a misurare c in mezzi diversi dall’aria disponendo nel tratto CS1 = D un tubo pieno della sostanza nella quale si vuole misurare c (ad esempio acqua).

       Nella figura 12 è riportato l’apparato che permetteva la rotazione dello specchio e nella 13 è riportato lo schema dell’accoppiamento della elementare macchina a vapore con la turbina (in V arriva il vapore; in T viene essiccato; r è la turbina; m è lo specchio rotante; b contiene dell’olio che serve alla lubrificazione, esso è spinto da aria proveniente dai flaconi t e t’; o è un sistema che serve a mettere in asse lo specchio m con la turbina r).

Figura 12

Figura 13

L’ABERRAZIONE STELLARE (BRADLEY 1728)

        Bradley, osservando la stella gamma del Dragone in differenti periodi dell’anno, notò strane ed inspiegabili variazioni nella posizione dell’astro. Successivamente indirizzò la sua attenzione su altre stelle e sempre poté osservare variazioni di posizione della stessa stella in differenti periodi dell’anno; qualunque stella si osservasse, soprattutto se in posizione sensibilmente perpendicolare al piano dell’eclittica, sembrava descrivere sulla volta celeste una specie di piccola ellissi   (figura 14).

Figura 14

         La prima cosa che poteva venire in mente era che si trattasse di un fenomeno di parallasse stellare. Tale fenomeno si ha quando osservando le stelle da posizioni diametralmente opposte dell’orbita della Terra, intorno al Sole, si vedono proiettate sulla volta celeste in posizioni, anche se di poco, diverse. L’angolo  sotto cui  si vede la stella, a sei mesi di distanza è l’angolo P di parallasse (figura 15). E’ evidente che P varia al variare della distanza della stella dalla Terra.     Si noti che le osservazioni delle stelle venivano fatte, all’epoca, proprio per trovare la parallasse stellare da. cui dedurre il moto della Terra  intorno al Sole.

Figura 15

            Bradley notò che la mo dificazione delle posizioni apparenti riguarda tutte le stelle; quando è trascorso un anno tutte le stelle vengono osservate di nuovo nella posizione che occupavano un anno prima; l’ampiezza degli spostamenti di tutte le stelle è la stessa (fatto in contrasto con la spiegazione mediante la parallasse poiché, in questo caso, si  dovrebbe concludere che tutte le stelle si trovano alla stessa distanza dalla Terra ed a questo proposito si veda la nota 84 di bibl. 3, pag. 78); il fenomeno è analogo alla parallasse ma rispetto a quello è in ritardo di sei mesi; gli spostamenti osservati hanno direzioni diverse da quelle che in caso di parallasse si sarebbero dovute avere (nella direzione della congiungente Sole-Terra) e cioè gli spostamenti osservati risultano nella direzione del moto della Terra (che e’ perpendicolare alla congiungente Sole-Terra ; si veda figura 14).

         Bradley riuscì a dare una spiegazione di ciò risalendo alla composizione della velocità della Terra nella sua orbita con quella della luce proveniente dalla stella osservata. Si osservi che alla base di questa spiegazione vi sono due ipotesi fondamentali: a) la Terra si muove intorno al Sole; b) la luce si muove con velocità c finita. Cerchiamo di capire il fenomeno riferendoci ad una immagine che certamente tutti conosciamo. Quando piove (in una giornata senza vento) la pioggia cade perpendicolarmente al suolo. Se aspettiamo un autobus terremo l’ombrello in modo che la sua asta rimanga ben parallela al nostro corpo. Quando quest’asta risulta inclinata ci troviamo bagnati. Supponiamo ora di dover correre per prendere l’autobus. Come disponiamo l’ombrello ? Certamente tutti, per esperienza, sapranno che, rispetto al nostro corpo, l’ombrello deve essere inclinato nella direzione del moto; e questo perché a chi corre sembra che la pioggia non cada più perpendicolarmente sulla Terra ma obliquamente, come se partisse da una posizione  situata davanti  a lui  ed arrivasse  sul  suo corpo.  In questo caso si compongono la velocità della pioggia e la nostra, ed essendo queste l’una perpendicolare all’altra, la risultante  è obliqua (l’inclinazione della risultante dipende evidentemente dalle velocità relative della pioggia e nostre: più corriamo e più dobbiamo inclinare l’ombrello).

         Nel caso dell’aberrazione stellare si hanno attori diversi ma la rappresentazione è la stessa; in questo caso scambiamo la velocità di caduta della pioggia con la velocità della luce e la nostra velocità con la velocità della Terra intorno al Sole.

         Ed allora supponiamo di voler osservare una stella (che per semplicità supponiamo in direzione perpendicolare al piano dell’eclittica) . Se la Terra fosse ferma dovremmo puntare il telescopio verso l’alto, sulla stella, proprio in direzione parallela alla congiungente la stella con noi (figura 16 a). Viceversa, considerando la Terra in moto, se

Figura 16

mantenessimo il telescopio in direzione verticale accadrebbe che un raggio di luce , arrivato all’obiettivo A del telescopio, non riuscirebbe a raggiungere l’oculare O dello stesso poiché, nel tempo che la luce impiegherebbe a percorrere il tratto AO, la Terra si e’ spostata (nella sua orbita intorno al Sole) di un tratto Ds. In questo modo la luce proveniente dalla stella, entrata in A, andrebbe a finire su una parete laterale del telescopio, senza raggiungere O, poiché O, nell’istante in cui il raggio sarebbe dovuto giungervi, si trova in O’ (figura 16 b).

         In definitiva il telescopio deve essere posto in modo da formare un (piccolo) angolo a con la perpendicolare alla direzione lungo cui cammina la Terra (figura 16 c); ed in questo modo la stella ci apparirà nella direzione OS’, pur trovandosi nella direzione OS (il fenomeno dell’aberrazione stellare consiste proprio in una deviazione apparente delle stelle dal lato verso cui marcia la Terra). La situazione all’interno del telescopio è descritta dalla figura 16 d. Se chiamiamo con c la velocità della luce, con v la velocità della Terra (nella sua orbita intorno al Sole), con Dt il tempo impiegato dalla luce a percorrere il tratto d di figura (lunghezza del telescopio), avremo che d = c.Δt e Δs = v.Δt (nello stesso tempo impiegato dalla luce a percorrere il tratto d, la Terra ha percorso il tratto Δs).

        In definitiva, mediante una nota relazione trigonometrica, si trova:

  tg α = Δs/d = v.Δt/c.Δt = v/c

Data allora v = 30 Km/sec e ricavato sperimentalmente d ≈ 20”, si risale facilmente a c:

  c = v/tg α

Ad un valore di a molto piccolo corrisponde un valore molto piccolo di tg α   e,  conseguentemente  un  valore  di  c  molto  grande.  Dato  che  tg  20 ” ≈ 1/10000, si trova:

  c =  300 .000 Km/sec.

A questo punto Bradley, scoperta l’aberrazione, pensò di separarne l’effetto dalle successive osservazioni per cercare di trovare quella prova che accora mancava del moto della Terra intorno al Sole, la famosa parallasse. Niente da fare, la parallasse non si osservava. Oggi sappiamo che l’impresa era impossibile nel 1727: gli strumenti a disposizione di Bradley permettevano di apprezzare il secondo di grado e ciò non bastava. Solo nel 1838 fu possibile osservare la parallasse stellare ad opera, indipendentemente, di F. W. Bessel (1784-1846) e’ di F. W. Struve (1793-1864), che risultò dell’ordine di m secondo di grado su una distanza di circa tre anni e mezzo luce.

                  E’ interessante una piccola digressione in chiusura di questo argomento (vedi nota 305 del testo). Nel 1766 Boscovich, in una lettera a Lalande,  sostenne che usando il metodo di Bradley sarebbe stato possibile misurare la velocità della luce nell’acqua semplicemente riempiendo il telescopio d’acqua.

          Fresnel, studiata l’esperienza, ne predisse l’impossibilità a seguito del fatto che l’angolo che il telescopio forma con la normale al punto d’osservazione è indipendente dal fluido contenuto in esso a causa della rifrazione  della luce  al  suo entrare  in questo fluido.  Ciò  significa che l’aberrazione  è  indipendente  dalla natura del  mezzo  rifrangente contenuto nel telescopio e che “la rifrazione della luce non e’ modificata in un movimento rispetto all’etere” (bibl. 19, Vol. 4, pag. 170).  

             L’esperienza proposta da Boscovich fu poi eseguita, con grande precisione da G.B. Airy tra il 1871 ed il 1872. I risultati furono sempre negativi confermando le previsioni di Fresnel.

             Da tutto ciò che abbiamo detto sull’aberrazione discende infine l’impossibilità di trascinamento totale dell’etere da parte della Terra.  “Se lo fosse, l’etere sarebbe in riposo rispetto alla Terra, il  telescopio  non  dovrebbe  essere  inclinato  e  non  ci  sarebbe  alcuna aberrazione. Cioè l’etere si muoverebbe con la Terra verso destra con velocità v [quella della Terra] così che non ci sarebbe bisogno di correzioni dovute al moto della Terra attraverso l’etere, il raggio di luce sarebbe trascinato insieme all’etere proprio come il vento trasporta con sé  un’onda sonora” (bibl. 94, pag. 29).

L’effetto Doppler

La distribuzione delle velocità molecolari di Maxwell.

Angolo solido, Coordinate sferiche

(PDF).

AR 5

 APPENDICE 6

 LE FLUTTUAZIONI

        Per parlare di fluttuazioni occorre riferirsi al significato statistico del 2° principio della termodinamica.

        Dalla teoria cinetica sappiamo che la temperatura e la pressione costituiscono medie nel tempo di un gran numero di caratteristiche microscopiche di un dato gas (in particolare la temperatura di un dato gas è proporzionale all’energia cinetica delle sue molecole o, meglio, alla velocità quadratica media con cui queste si muovono). Abbiamo poi visto, nell’ultimo paragrafo del 3° capitolo di Relatività, il significato statistico che si deve attribuire al 2° principio della termodinamica (dovuto al fatto che si ha a che fare con un numero N enorme di molecole costituenti il gas, dell’ordine di grandezza del numero di Avogadro), Ricordo una frase di Boltzmann che abbiamo citato nel paragrafo in oggetto: “Lo stato iniziale di un sistema sarà, nella maggior parte dei casi, uno stato molto poco probabile ed il sistema tenderà sempre verso gli stati più probabili, fin quando giunge allo stato più probabile, cioè allo stato di equilibrio termodinamico. Se applichiamo questo al secondo principio della termodinamica, potremo identificare la grandezza entropia con la probabilità dello stato corrispondente“.

Poiché lo stato più probabile di un sistema termodinamico è lo stato macroscopico che è realizzato dal maggior numero di stati microscopici, un sistema isolato tenderà all’equilibrio termodinamico che è proprio quello cui compete la massima probabilità o, che è lo stesso, la massima entropia.

Lo stesso Boltzmann trovò una relazione  che lega l’entropia S di un dato stato macroscopico alla sua probabilità P di esistenza:

(1)                                                                            S = k log P

dove k è, appunto, la costante di Boltzmann.

        Si badi che, cosi formulato il 2° principio della termodinamica continua ad affermare la reversibilità delle leggi meccaniche che governano le interazioni tra le molecole; esso dice però che, nei fenomeni naturali, questa reversibilità è estremamente improbabile. Ed è su questa improbabilità che centreremo la nostra attenzione per discutere di fluttuazioni.

         Supponiamo di avere N molecole di un gas cui compete una energia totale E; è ovvio che vi sono svariatissimi modi in cui le N molecole possono ripartirsi l’energia a disposizione in modo che, macroscopicamente, si abbiano sempre gli stessi valori P, V, T, di pressione, volume, temperatura (in modo cioè che si abbia sempre lo stesso stato macroscopico). E’ ragionevole però ammettere che questa energia E si distribuisca tra le molecole in modo che, più o meno, tutte acquistino una certa energia e quindi una certa velocità. E’ stato Maxwell a mostrare ciò teoricamente (si veda Appendice 5) e Stern a verificarlo sperimentalmente (nel 1920).

        Le velocità delle molecole si distribuiscono secondo la curva mostrata in figura  (una gaussiana). Questa curva ha il seguente significato: le molecole del gas sono in continuo movimento e soggette agli urti più svariati (tra di esse e con 

le pareti del recipiente che le contiene); ad ogni istante si avrà un numero enorme di valori di v; poche molecole avranno velocità molto piccole (la coda sinistra della gaussiana); poche molecole avranno velocità molto grandi (la coda destra della gaussiana); un grandissimo numero avrà velocità intermedie; la curva presenta un massimo in corrispondenza di vm che può essere assunta come la velocità più probabile delle molecole; per vm Maxwell ha trovato il valore:

dove T è la temperatura assoluta cui si trova, il gas, m è la massa di una molecola (le masse delle molecole del gas sono supposte tutte uguali), k è la costante di Boltzmann [si noti che il valore ora dato deve essere leggermente corretto data la non perfetta simmetria della curva: vo ≈  1,13 vm].

        Il calcolo delle probabilità mostra anche un altro importante risultato. Se in un recipiente di volume dato vi sono N (numero di Avogadro) molecole di gas e noi preleviamo la metà del volume di gas, esso conterrà un numero di molecole pari a N/2 ±  h, dove h rappresenta lo scarto assoluto rispetto alla metà di N. Sempre il calcolo delle probabilità ci permette di ricavare che la probabilità che corrisponde ad un dato scarto assoluto h è proporzionale a radice quadra di N (la probabilità che questo scarto sia superiore a 100 volte la radice quadrata di N è pari ad 1/1014 !!!). Se definiamo con h/N lo scarto relativo, la probabilità di esso sarà data da:

  Al crescere di N, quindi, cresceranno gli scarti assoluti ma diminuiranno gli scarti relativi.

          E’ chiaro che quanto qui detto si applica pari pari alla precedente discussione sulla distribuzione delle velocità molecolari.

          Quello che abbiamo  visto ci permette di affermare che lo stesso  2° principio della termodinamica prevede delle deviazioni rispetto alla probabilità di un dato stato  purché ci si riferisca ad osservazioni fatte su oggetti di dimensioni abbastanza piccole. E ciò è verificato da osservazioni sperimentali.

         Si definirono fluttuazioni le deviazioni che una data grandezza osservabile presenta rispetto al suo valore più. probabile. Il secondo principio è dunque valido sempre di più quanto più è grande il numero N di componenti il sistema termodinamico in considerazione. Viceversa, al decrescere  di N, le fluttuazioni diventano sempre più probabili (nel caso limite in cui si consideri una sola molecola di un gas, essa può venir urtata da una molecola più lenta di modo che la sua velocità aumenta e, come sappiamo, ciò corrisponde ad un suo aumento di temperatura a danno di una molecola più fredda fatto quest’ultimo che contraddice il 2° principio della termodinamica). Se si dispone di un gas molto rarefatto in un volume molto piccolo è  possibile rilevare sperimentalmente differente di temperatura tra punti diversi del volume  occupato dal gas. Lo studio quindi delle fluttuazioni è lo studio di quella parte del 2° principio che non è certezza. Per loro definizione, le fluttuazioni contraddicono questo principio. Il moto browniano è un esempio di fluttuazioni. Attraverso lo studio di esse è stato possibile spiegare il colore azzurro del cielo e ricavare, per una via differente, il valore del numero N  di Avogadro.                                 

                    APPENDICE  7

LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE

       Il quinto postulato di Euclide, nella forma datagli da Proclo (5° secolo d. C), così recita:

 “Per un punto non giacente su una retta passa, nel loro piano, una sola parallela ad essa“.

       Per secoli ci si era impegnati a trovare una qualche dimostrazione di questo postulato finché, agli inizi dell’ 800, si riuscì a provare l’impossibilità di dimostrarlo.

       Coloro che dettero il più rilevante contributo a questa impresa furono il matematico ungherese Janos Bolyai (1802 – 1860) ed il matematico russo Nikolaj I. Lobacevskij (1793-1853) negli anni che vanno dal 1823 al 1855 [il primo che provò a trarre le conseguenze della negazione del 5° postulato fu il matematico italiano G. Saccheri (1677 – 1733) nel 1733. Si noti inoltre che già Gauss (1777 – 1855) aveva elaborato studi molto avanzati nella costruzione di geometrie che partissero dalla negazione del 5° postulato, ma non li pubblicò].

       Alla geometria da loro indipendentemente costruita si dà il nome di geometria iperbolica. Questa geometria è una delle possibili geometrie non-euclidee, nel senso che viene costruita a partire dalla sostituzione del quinto postulato di Euclide con quest’altro:

Tutte le linee rette poste in un piano ed irradiantesi da un punto possono, in rapporto ad ogni altra retta del piano, essere divise in due classi: quelle che intersecano e quelle che non intersecano l’altra retta considerata. La linea che separa le due classi dicesi parallela alla retta, data.”

       La figura 1 può servire ad illustrare il postulato. Secondo la geometria euclidea, r’ (perpendicolare alla perpendicolare tracciata per P alla retta r) è l’unica parallela alla retta r. Secondo la geometria iperbolica tra le rette del 

Figura 1

fascio per P ve ne sono due, h e k, che separano le rette che vanno a secare r da quelle che non vanno a secare r. Queste due sono rette parallele alla retta r passanti per il punto P. Si noti che queste rette hanno ciascuna un suo verso di parallelismo: k ha verso destro mentre h ha verso sinistro. Si noti inoltre che anche tutte le rette comprese nell’angolo a  (e sempre passanti per P) non sono secanti la retta r.

       E’ evidente che il parallelismo (nel verso destro) di k con r, come il parallelismo (nel verso sinistro) di h con r, è asintotico. Gli angoli b di figura, sono chiamati angoli di parallelismo.

       Ora, caratteristica della geometria iperbolica, è che l’angolo a è acuto (in quella euclidea era retto). Si vengono quindi a modificare quelle conclusioni della geometria euclidea che discendevano dal postulato delle parallele. In particolare risulta ora che la somma degli angoli interni di un dato triangolo non è più uguale a due angoli retti ma è minore di questa quantità (vedremo tra breve – figura 3 – dei disegni illustrativi di un tal triangolo e degli altri possibili).

        Per concludere su questa geometria occorre dire che tanto per Bolyai che per Lobacevskij la geometria euclidea si ottiene come caso limite della geometria iperbolica quando ci si riferisca al ristretto spazio nel quale sulla Terra si svolgono le nostre esperienze.

        Su strade diverse, ma sempre non-euclidee, si mosse qualche anno più tardi il matematico tedesco Bernhard Riemann (1826 – 1866). Nello sviluppare una geometria differenziale egli ebbe modo di introdurre un nuovo tipo di geometria non-euclidea (il lavoro è del 1854 ma fu pubblicato postumo nel 1868).

     I postulati fondamentali introdotti da Riemann, in luogo del quinto di Euclide, sono due:

 1) La retta è una linea finita chiusa.

 2) Per un punto non passa alcuna parallela ad una retta data.

       A partire da queste due affermazioni Riemann sviluppò la sua geometria che prende il nome di geometria ellittica. Nell’elaborare la sua grande impresa, Riemann dovette attaccare anche un altro dei postulati di Euclide, quello che afferma che  per due punti si può condurre una sola retta.

      Per capire quanto qui sostenuto occorre dire che la geometria di Riemann è relativa a superfici con curvatura costante (vedi più avanti). Una di queste superfici è certamente la sfera alla quale ci riferiremo. Pensiamo una circonferenza tracciata su una sfera di raggio infinito: abbiamo una retta in senso euclideo. Riducendo il raggio di questa sfera ci troviamo nelle condizioni di Riemann ed una circonferenza su di una sfera di raggio finito è una retta nel senso di Riemann.

     Su una sfera, quindi, per due punti si può  far passare una retta ed una sola (una circonferenza nell’accezione Euclidea). Ma se questi punti si trovano agli estremi di un diametro della sfera per essi possono passare infinite rette. Una conseguenza della geometria ellittica è che, sempre riferendoci al nostro esempio della sfera, la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di due angoli retti. Per capire quest’ultima affermazione, anche per confronto con la geometria euclidea e quella iperbolica, riferiamoci alla figura 2. Nella figura 2 a è rappresentato un piano euclideo che 

Figura 2

ha una curvatura nulla e di conseguenza la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due angoli retti (geometria euclidea). Nella figura 2 b è rappresentata una. sfera, superficie a curvatura costante positiva, sulla quale la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di due angoli retti (geometria ellittica). Nella figura 2 c è rappresentata una superficie a sella, superficie che non ha curvatura costante e che, anzi, ha una curvatura negativa, sulla quale la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di due angoli retti (geometria iperbolica; si noti a margine che la rappresentatività di questa geometria fu dimostrata per la prima volta dal matematico italiano E. Beltrami – 1835/1900 – nel 1868).

       Già che abbiamo iniziato a confrontare con disegni le tre geometrie in oggetto, facciamo ancora dei confronti. Pensiamo ad esempio ai triangoli simili della geometria euclidea. Sempre aiutandoci con la figura 2, si può vedere che, nel caso euclideo (a) si può parlare di triangoli simili; nel caso ellittico (b) la somma degli angoli interni di un triangolo risulta più grande quanto più grande è il triangolo; nel caso iperbolico (e) la somma degli angoli interni di un triangolo diventa sempre più piccola quanto più il triangolo ingrandisce.

       Riguardo alla questione che più direttamente riguarda il quinto postulato con quelli che lo hanno sostituito, si può vedere figura 3.  

  Figura 3

       Nel caso euclideo (a) vi e’ una sola retta, parallela alla data, passante per un punto P esterno ad essa; nel caso ellittico (b), se si vuo trovare la parallela all’arco di circonferenza passante per i punti A e B e passante per i punti C e B (ambedue equidistanti dall’arco di circonferenaa passante per A e B) si deve tener conto che per C e D non può passare una retta nel senso euclideo ma solo un arco di circonferenza o geodetica) che necessariamente andrà ad intersecare il nostro arco passante per A e B (si noti che la linea tratteggiata sta sulla faccia della sfera a noi  offerta); nel caso iperbolico (c) si vede subito che di rette parallele alla retta r data ve ne sono certamente due (h e k) e poi tutte quelle comprese nell’angolo formato dai prolungamenti delle due rette.

        C’è poi da aggiungere che nel caso euclideo (a), una data distanza (segmento ordinario) si conserva, qualunque spostamento facciamo fare ai due punti che delimitano questa distanza; nel caso ellittico (b) vale la stessa proprietà, con l’avvertenza che ora la distanza è rappresentata da una geodetica; nel caso iperbolico (c) questa proprietà non si mantiene più e si dovranno considerare, via via che ci spostiamo sulla sella, delle distanze diverse.

        Per capire meglio ciò si può pensare di ritagliare su un pezzo di carta un triangolo  euclideo:  se  lo facciamo  scorrere  su di  un piano non incontriamo alcun problema; facciamo la stessa operazione con un triangolo di buccia d’arancia su di un’altra arancia: dovunque spostiamo il triangolo, esso trova esatta sistemazione sull’arancia; prendiamo ora un triangolo di sella: se lo spostiamo lungo la sella non si adatta se non alla posizione da cui l’abbiamo prelevato.

       Per.portare a compimento queste brevi note non resta che definire ciò che abbiamo introdotto senza alcuna spiegazione: la curvatura di una superficie.

       Supponiamo di avere una curva piana rappresentata a tratto continuo nella figura 4 a. Se si vuol conoscere la sua curvatura per un arco (infinitesimo) compreso tra i punti A e B non si deve far altro che considerare la circonferenza 

Figura 4

che abbia nell’arco come suo arco e quindi fare l’inverso del raggio di questa circonferenza. Cosicché la curvatura k dell’arco AB sarà k = 1/r.

         Nel caso più generale di una superficie le cose si complicano, anche se Euler ha dimostrato un teorema che facilita di molto le cose. Riferiamoci ad un ellissoide (la sfera è un caso particolare di ellissoide), quello riprodotto in figura 2 b. Se vogliamo calcolare la curvatura della superficie in un suo punto P bisognerà trovare tutte le sezioni perpendicolari all’ellissoide passanti per P: ciascuna di queste sezioni rappresenterà una linea con propria curvatura (nel nostro caso è evidente che la curvatura della sezione passante per DBE è inferiore a quella della sezione per ABC). Ebbene, tra queste sezioni, ve ne sarà una con curvatura massima ed una con curvatura minima; Euler ha dimostrato che le curvature massima e minima corrispondono a sezioni tra loro perpendicolari. Con ciò, se r e’ il raggio della circonferenza che meglio approssima la curvatura minima (in P) ed R il raggio della circonferenza che meglio approssima la curvatura massima, (in P), per la curvatura in P vale la relazione:  k = 1/Rr. Si vede subito che al tendere ad infinito di una sola delle quantità a denominatore, k risulta nulla.

        La geometria euclidea, approssimazione di una geometria su una sfera di raggio infinito, presenta k = 0 .

        La geometria ellittica avrà  k > 0.

        Per quel che riguarda la geometria iperbolica, osservando che i centri di curvatura delle sezioni minima e massima si trovano da parti opposte rispetto alla superficie (figura 5) e che quindi i raggi r ed R vanno presi con segno opposto, si vede subito che si avrà k < 0.

Figura 5

     Quanto ora detto ci permette  di arrivare ad altre conclusioni. Un cono od un cilindro, ad esempio, presentano k = 0, poiché mentre r  è  uguale ad un numero qualunque, R è certamente infinito (infatti se si fa una sezione, passante per un punto P sulla superficie e parallela alla base di un cono o di un cilindro all’altezza che si vuole,  si troverà una data curvatura legata al raggio r della circonferenze, ottenuta, come sezione; ma se si fa la sezione perpendicolare a questa prima., sempre per P, si trova un rettangolo od un triangolo (ordinari) a seconda che si abbia il cilindro od il cono; per P passerà ora una retta, con curvatura nulla, che e’ quindi assimilabile ad una circonferenza di raggio R che vale infinito). Allora per cilindro e cono si ha k = 0, come nel caso delle superfici euclidee piane. Ebbene si dimostra facilmente che superfici che abbiano uguale curvatura sono applicabili l’una all’altra, di modo che se ritagliamo un cono od un cilindro di carta possiamo farlo aderire perfettamente ad un piano; e questa operazione non ci è possibile realizzarla né con una sella né con una sfera perché il k del piano vale zero mentre il k di queste ultime figure geometriche è diverso da zero (per il caso della sfera si può pensare all’impossibilità di riprodurre con esattezza la Terra su di una. carta geografica).

       Ho solo dato qualche cenno che però mi pare sufficiente per poter concludere che letteralmente si aprono nuovi mondi.

       Questi mondi troveranno sviluppi e rappresentazioni nei lavori di F.Klein (1894-1925), di H.Minkowskij (1864-1909) e di D.Hilbert (1862-1943).

       Non a caso  le  cosmologie,  prima fra tutte  quella di  Eistein, prendono le mosse da queste geometrie (in particolare Einstein elaborerà la sua relatività generale utilizzando la geometria ellittica di Riemann. 

APPENDICE 8

UN CENNO ALLA TEORIA  DEI GRUPPI DI TRASFORMAZIONE

         Sia dato un insieme G di elementi (oggetti, operatori, funzioni,  equazioni, … ) A, B, C, … ed una operazione di composizione di questi elementi tra loro (operazione che indichiamo con ©) tale che il risultato della composizione fornisca ancora un elemento M dell’insieme G.

         Ebbene, gli elementi che costituiscono G formano un gruppo quando essi, oltre all’operazione di composizione ora detta, soddisfano ad una serie di postulati che risultino indipendenti l’uno dall’altro:

1) Ogni coppia ordinata A e B degli elementi del gruppo si combina, in modo che;

  A © B  = M

il risultato M della composizione appartenga a G, dove M può essere uguale ad A, a B, ad entrambi (se sono identici) a nessuno dei due.

2) La composizione è associativa, cioè:

                 (A © B) © C = A © (B © C)

3) Nell’insieme G vi è un unico elemento N tale che:

                    T  ©  N  = N  ©  T  = T

4) L’elemento N verifica necessariamente la condizione:

  N = N-1

cosicché, ammesso che T possa essere identico a T-1, per ogni elemento T vi è sempre un elemento T-1  tale che:

                                                                                       T  . T-1 = N

5) Se esistono elementi N, presone uno unitamente ad un altro elemento T qualunque, l’equazione:

                                                                                        T . x = M

deve avere per soluzione uno degli elementi di G.

6) Per alcuni gruppi (gruppi abeliani) deve valere la proprietà commutativa tra gli elementi del gruppo:

                                                                                   A © B = B © A

        Nel caso gli elementi di un gruppo siano equazioni di trasformazione, si ha a che fare con un gruppo di trasformazione.

        Supponiamo ora di avere un certo numero n di equazioni del tipo:

x1 =  f1(x1, x2, …, xn)          

                                                                          x2 =  f2(x1, x2, …, xn)

    (1)                                                                                          ………………………………………

                       .                                                                    ……………………………………..

     xn =  fn(x1, x2, …,xn)

 dove le fn sono funzioni reali delle variabili reali x1, x2, …, xn  (ci stiamo occupando di un caso particolare). Supponiamo ora che le (1) siano risolvibili; esse ci forniranno una trasformazione delle n variabili x1, x2., … xn, nelle n variabili x’1, x’2, … , x’n. [Si osservi che in generale nelle f compariranno anche dei parametri a1, a2, … , an, ad ogni insieme di valori dei quali corrisponde una data trasformazione].

Allora:

a) Una trasformazione che lasci invariate le variabili si chiama trasformazione identica,

b) Due trasformazioni si dicono inverse o reciproche quando il loro prodotto fornisce la trasformazione identica.

c) Due trasformazioni si dicono invertibili quando ad esse è applicabile la proprietà commutativa.

d) Operando due successive trasformazioni si origina il prodotto di due trasformazioni.

         Avendo dato queste definizioni, con l’imporre che le trasformazioni in oggetto soddisfino ai postulati dal numero 1) al numero 6) precedentemente enunciati, si dispone di un gruppo di trasformazione.

        Per concludere questa appendice occorre ricordare che la teoria del gruppi prese le mosse dai lavori (indipendenti) di Abel (1802 – l829) e Galois (1811 – 1832) tesi a trovare metodi di risoluzione per le equazioni di 5° grado.

        Per quel che interessa più direttamente la relatività va notato che le trasformazioni che trovò Lorentz non godevano della proprietà di gruppo, contrariamente a quelle trovate, indipendentemente, da Poincaré e da Einstein.

APPENDICE 9

LA FORZA DI CORIOLIS

     L’ordinaria meccanica da noi studiata è sviluppata su un sistema di riferimento supposto (è una autodefinizione) inerziale. Un sistema inerziale è un sistema in quiete rispetto a noi che osserviamo o un sistema in moto rettilineo uniforme, sempre rispetto a noi che osserviamo .

     Se ci poniamo ad osservare una piattaforma ruotante, stando al di fuori di essa, avremo a che fare  con tutta la dinamica del moto rotatorio che conosciamo. Ma se ci poniamo sulla piattaforma ruotante o su di un riferimento dotato di moto accelerato, allora la fisica che conosciamo non risponde più poiché nascono delle strane forze delle quali, con l’ordinaria meccanica dei sistemi inerziali, non si sa rendere conto.

     Se ricordiamo che su un sistema dotato di moto rotatorio uniforme agisce l’accelerazione centripeta, possiamo in generale dire che: in tutti i sistemi di riferimento dotati di accelerazione le leggi della dinamica non hanno la stessa forma che conosciamo. E quanto detto equivale a dire che i sistemi dotati di accelerazione (sia essa tangenziale che centripeta) non sono sistemi inerziali.

     Ebbene, finché guardiamo dall’esterno (stando noi in quiete) un sistema accelerato potremo applicare le ordinarie leggi della dinamica. Quando ci trovassimo su di un sistema dotato di accelerazione, allora dovremmo tener conto di tutte le forze con le quali ci imbattiamo (forze che risulterebbero fittizie guardando dall’esterno un sistema accelerato).

     Mettiamoci quindi su di un sistema accelerato ed, in particolare, su di un sistema ruotante. Già sappiamo che su di un tale sistema dobbiamo tener conto di una forza che non compare nei sistemi inerziali, quella centrifuga. Oltre alla forza centrifuga, ve ne è ancora un’altra da dover considerare , quella, appunto, di Coriolis  o forza centrifuga composta (lo scienziato francese G.G. Coriolis – 1792/1843 – sviluppò le sue ricerche tra il 1832 ed il 1835 e le pubblicò sul Journal de l’ École polytechnique) .  Per capire di cosa si tratta riferiamoci alla figura 1.

Figura 1

In (a) l’osservatore T si trova fuori della piattaforma. Ad un dato istante il signor O, che si trova sulla piattaforma, lancia una palla ad R, anch’esso sulla piattaforma. T vede che, quando la palla è arrivata nel punto che all’istante del lancio occupava R, quest’ultimo occupa una posizione più avanzata, di modo che la palla non raggiunge R. In (b) l’osservatore T si trova sulla piattaforma. La piattaforma in rotazione non modifica le posizioni relative di T, O ed R. Quando O lancia la palla verso R, allo stesso modo di prima, la palla non raggiungerà R; solo che ora R è fermo rispetto a T e T non potrà far altro che concludere che la palla lanciata da O ha seguito la traiettoria indicata in figura.

      La forza di Coriolis, che compare solo su oggetti in moto su sistemi in rotazione, è la forza responsabile della deviazione della traiettoria di un oggetto dalla sua traiettoria inerziale (occorre notare che su oggetti immobili in sistemi in rotazione, per un osservatore su uno di questi sistemi, agisce solo la forza centrifuga). Poiché la traiettoria risultante è un arco di circonferenza, la forza di Coriolis risulta perpendicolare al vettore velocità di un dato oggetto (rispetto al sistema di riferimento in rotazione).

     Per un calcolo semplice del valore di questa forza ci si può servire di figura 2.

Figura 2

  La velocità angolare w della piattaforma sia ω= α/t.

     Osservando che l’arco s percorso sta alla lunghezza della circonferenza (2pr) come l’angolo a percorso sta a 360°, si trova che:

                   s  = α r.

Poiché dall’altra relazione si ricava che α = ωt, risulterà:

                   s = ω t r.

Ed s è l’arco che il punto R percorre, per arrivare ad R’, nel tempo t necessario affinchè la palla, lanciata da O con velocità v percorra il tragitto r (il raggio della piattaforma). Abbiamo quindi anche:

                   r = v t.

Sostituendo questa espressione nella precedente, si trova:

s = ω t (vt) = ω v t= 1/2 (2 ω v) t= 1/2 ac t2

avendo posto ac = 2 ω v accelerazione di Coriolis. 

     Possiamo quindi iniziare a concludere che s è la deviazione che l’osservatore T, che si trova sul sistema in rotazione, osserva per l’oggetto che è stato lanciato da O in direziono radiale. Per s si trova un’espressione che fornisce proprio lo spazio percorso in un moto uniformemente accelerato quando si ponga ac = 2 w v.     

     Per trovare la forza di Coriolis non dobbiamo far altro che utilizzare la definizione di forza dataci dal 2° principio della dinamica:

                 F  = mac  =  2 m ω v

     Quello che abbiamo fin qui ricavato è valido nel caso semplice in cui la velocità dell’oggetto in moto sul sistema rotante ha una. direzione perpendicolare all’asse di rotazione. Più in generale la forza di Coriolis, mentre non dipende dalla distanza a cui l’oggetto si trova rispetto all’asse di rotazione, dipende dalla velocità (valore assoluto e verso) dell’oggetto in moto sul sistema rotante.

     La formula più generale è allora la seguente:

dove: w e’ la velocità angolare del sistema rotante rispetto ad un sistema inerziale; m è la massa e v è la velocità dell’oggetto in moto rispetto al sistema rotante; il vettore ω è il vettore rotazione definito in modo da essere diretto secondo l’asse di rotazione e tale che, rispetto ad esso, la rotazione avvenga in verso antiorario; a  è l’angolo formato tra il vettore rotazione ed il vettore velocità v dell’oggetto in moto; il segno meno sta ad indicare il fatto che la deviazione sovviene in verso contrario a quello del moto del sistema rotante.

      Questa forza risulta sempre perpendicolare all’asse di rotazione (al vettore rotazione) ed al verso del moto del nostro oggetto

     Fu F. Reich (1799 – 1882) che nel 1833 verificò per primo quanto trovato da Coriolis. Facendo cadere grosse masse in un pozzo verticale, profondo 158 m, trovò delle deviazioni dalla verticale di 28 mm verso est. Questo fatto basta per riconoscere la non inerzialità del sistema Terra (si tenga conto che, poiché la Terra è una sfera in rapida rotazione, e non una piattaforma, il fenomeno di deviazione avviene sia per moti che si svolgono sulla superficie della Terra, sia per moti di caduta dei corpi).

     Con la forza di Coriolis si possono spiegare altri svariati fenomeni tra cui: il fatto che i cicloni osservati dai satelliti hanno verso antiorario nel nostro emisfero ed orario in quello australe (la stessa cosa accade per il vortice che l’acqua fa uscendo dallo scarico di un lavandino); il fatto che i venti alisei vengono deviati verso occidente; il fatto che nel nostro emisfero le rive destre dei fiumi e le rotaie destre (rispetto al verso del moto)  sono le più consumate;  il fatto che se si spara a grande distanza su un bersaglio, senza tener conto della deviazione di Coriolis, non lo si colpisce; la famosa esperienza (1851) del pendolo di Foucault.

_________________________________________

La curva di Gauss ed alcuni integrali notevoli ad essa collegati.

AR 10

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