Fisicamente

di Roberto Renzetti

CINEMATICA RELATIVISTICA

    La prima, questione che viene affrontata è la definizione di contemporaneità o simultaneità.  
    Cosa si deve intendere per eventi simultanei? Sembrerebbe di poter rispondere: eventi che avvengono nello stesso istante. Si, ma che significa nello stesso istante ? 
    Per rispondere a questa domanda Einstein si costruisce una serie di strumenti concettuali tali che gli permettano di arrivare ad una definizione operativa delle grandezze fisiche tempo (mediante orologi) e lunghezza (mediante regoli rigidi).  (849)  Seguiamo il suo ragionamento. 
    Egli inizia con l'introdurre un sistema inerziale che, per semplicità discorsiva, considera in quiete. Se si vuole definire la posizione di un punto materiale in questo sistema, lo si può fare misurando, con dei regoli rigidi, le distanze di questo punto dai tre assi cartesiani coordinati. Se si vuole definire il moto di questo punto materiale si possono dare le coordinate del punto in funzione del tempo. Ora, quando si parla di tempo, occorre fare attenzione. Infatti, parlare di tempo è come parlare di avvenimenti simultanei e questo perché se, ad esempio, noi diciamo che il treno arriva alle 7, intendiamo dire che il treno arriva simultaneamente a quando le lancette del nostro orologio segnano le 7. Si può allora sostituire la definizione di tempo con le posizioni delle lancette dell'orologio ? Questo va bene solo nel caso in cui si debba definire il tempo per il luogo dove si trova l'orologio; ma se si vogliono dare i tempi per "avvenimenti che si svolgono in luoghi differenti", allora sorge la necessità di sapere cosa diventa quella simultaneità cui ci riferivamo prima. Noi potremmo certamente valutare il tempo in cui si produce un determinato fenomeno nello spazio a partire da un unico osservatore, munito di orologio, che si trovi nell'origine delle coordinate del nostro sistema inerziale: si produce l'avvenimento; esso viene segnalato all'origine delle coordinate con un segnale luminoso; quando il segnale luminoso arriva, l'osservatore va a vedere che tempo segna il suo orologio. Questo metodo però, osserva Einstein, "ha   l'inconveniente   di   non   essere   indipendente   dalla   posizione   dell'osservatore munito di orologio"; infatti, a posizioni diverse dell'osservatore, data la costanza di c (e qui non serve assumere la costanza di c per tutti i sistemi inerziali ma solo quella per un sistema in quiete), corrispondono tempi diversi per uno stesso fenomeno che avviene in un punto fissato dello spazio. (850) Einstein suggerisce quindi "una  più pratica determinazione [per] avvenimenti che si svolgono in luoghi differenti" . 
            Supponiamo di prendere in considerazione due punti A e B dello spazio, nei quali si trovino due osservatori muniti di due orologi identici. L'osservatore A potrà dare i tempi di A e delle immediate vicinanze; l'osservatore B potrà dare i tempi di B e delle immediate vicinanze. Se però non si fa qualche altra convenzione 

“non è possibile … paragonare temporalmente un avvenimento in A con un avvenimento in B; noi [infatti] abbiamo finora definito un tempo A e un tempo B, ma nessun tempo comune ad A e B.”
L’ulteriore convenzione che manca per definire quest’ultimo tempo è
“che il tempo che la luce impiega per giungere da A a B è uguale al tempo che essa impiega per giungere da B ad A.”
Data questa definizione è allora possibile sincronizzare due orologi distanti mediante un segnale luminoso che, partito da A, dopo la riflessione su B, riporti ad A l’informazione sul tempo di B. Chiamiamo con tA l’istante (il tempo) in cui un raggio di luce parte da A, con tB l’istante in cui questo raggio viene riflesso da B per tornare verso A e con t’A l’istante in cui il raggio arriva di nuovo in A. La definizione data ci permette di dire che i due orologi funzionano in modo sincrono quando:

tB – tA = t’A – tB . (851)

Con questa definizione non vi è luogo a contraddizioni e non solo per i punti A e B, ma per qualsiasi altro punto dello spazio, di modo che valgono le seguenti condizioni:
“1.Quando l’orologio in B cammina sincrono con l’orologio in A, l’orologio in A cammina sincrono con l’orologio in B.
2.Quando l’orologio in A cammina sincrono con l’orologio in B quanto anche con l’orologio in C, camminano pure sincroni gli orologi in B e in C relativamente l’uno all’altro.”
In questo modo, aiutandosi con esperienze mentali, Einstein fornisce una definizione di tempo e di simultaneità. In particolare, secondo Einstein,
“il tempo di un avvenimento è l’indicazione contemporanea all’avvenimento di un orologio in quiete, che si trova nel luogo dell’avvenimento, il quale procede sincrono con un determinato orologio in quiete, e precisamente per tutte le determinazioni di tempo, con lo stesso orologio.”
Come conseguenza di quanto detto ed in accordo con il Principio della costanza della velocità della luce, si ha:

(2 AB)/( t’A – tA ) = c

cioè: la velocità della luce, come costante universale, è data dal rapporto tra l’intero tragitto, andata e ritorno, tra A e B ed il tempo totale impiegato a percorrere questo tragitto. Come si ricorderà questi due punti, A e B, erano presi in un sistema in quiete, per cui
“il tempo ora definito, a cagione di questa appartenenza al sistema in quiete, lo diremo il tempo del sistema in quiete.” (852)
A questo punto si può cominciare a parlare di relatività di lunghezze e tempi introducendo nelle nostre discussioni e il Principio di relatività e quello della costanza della velocità della luce che vengono ora esplicitamente enunciati nel modo seguente:
“1) Le leggi secondo le quali si modificano gli stati dei sistemi fisici sono indipendenti dal fatto che questi e cambiamenti di stato vengano riferiti all’uno o all’altro di due sistemi di coordinate che si trovino in relativa reciproca traslazione uniforme.
2) Ogni raggio di luce si muove nel sistema di coordinate in quiete con la determinata velocità c, indipendente dal fatto che quel raggio di luce sia emesso da un corpo in quiete o da un corpo in movimento.”
Supponiamo di avere, nel definito sistema in quiete, un’asta rigida di lunghezza h (misurata nello stesso sistema in quiete con un regolo rigido). Quest’asta si trovi poggiata sull’asse delle x e, ad un dato istante, cominci a muoversi con velocità v nel verso delle x crescenti. Ci si chiede qual è la lunghezza di questa asta in due eventualità:
a) l’osservatore (853) è in moto con l’asta alla sua stessa velocità ed esegue la misura in questo sistema mediante un regolo rigido (il tutto va come se osservatore, asta da misurare, regolo di misura si trovassero in quiete);
b) l’osservatore è sul sistema in quiete; egli, mediante orologi (in quiete) sincronizzati con quelli (in moto) che si trovano sull’asta da misurare, “deduce … in quali punti del sistema in quiete si trovino il principio e la fine dell’asta da misurare, in un determinato tempo t”; a questo punto si passa a misurare la distanza di questi due punti, mediante un regolo rigido nel sistema in quiete. Anche questa dovrà essere considerata come lunghezza dell’asta.
Il principio di relatività ci dice subito che utilizzando il sistema di misura (a), “la lunghezza dell’asta in moto nel sistema in moto deve essere uguale alla lunghezza h dell’asta in quiete”; e ciò vuol dire che la misura che noi troviamo per l’asta è la stessa sia quando noi, stando in quiete, misuriamo l’asta in quiete nel sistema in quiete; sia quando noi, stando in moto, misuriamo l’asta in moto nel sistema in moto. (854)
Vediamo ora di calcolarci mediante (b) “la lunghezza dell’asta in moto nel sistema in quiete” e, come Einstein anticipa, troveremo che essa è differente dalla precedente lunghezza h, e ciò in contrasto con quanto la cinematica ordinaria generalmente ammette. Supponiamo di avere alle estremità A e B dell’asta due orologi sincronizzati con gli orologi del sistema in quiete; e ciò vuol dire che i tempi indicati dagli orologi che si trovano in A e B corrispondono, istante per istante, al “tempo del sistema in quiete”; e ciò vuol dire ancora che gli orologi che si trovano in A e B sono “sincronizzati nel sistema in quiete”. (855) Vi sia poi un osservatore vicino all’orologio A ed un osservatore vicino all’orologio B, di modo che i due osservatori si muovano con gli orologi. Questi osservatori dovranno sincronizzare gli orologi mediante il sistema di sincronizzazione dato precedentemente e cioè mediante un segnale luminoso. Allora, “al tempo tA del sistema in quiete parta [da A] un raggio luminoso, venga riflesso al tempo tB in B e ritorni al tempo t’A in A”. Questo segnale impiegherà un tempo tB – tA per percorrere la distanza AB ed un tempo t’A – tB per percorrere la distanza BA. Ora, a seguito del principio della costanza della velocità della luce, il segnale luminoso che viaggia con velocità c: quando da A va verso B, dovrà rincorrere l’estremo B che gli si allontana con velocità v; quando da B torna verso l’estremo A, si troverà quest’ultimo che gli va incontro con velocità v. In definitiva, se con rAB denotiamo la lunghezza dell’asta misurata nel sistema in quiete, si ha: (857)

tB – tA = rAB /(c – v) e t’A – tB = rAB /(c + v)

Quanto ricavato vuol dire che “osservatori in moto con l’asta in moto troverebbero i due orologi non procedenti sincronicamente, mentre osservatori nel sistema in quiete dichiarerebbero, sincroni quegli orologi”. (858) E questo perché, mentre avevamo visto che per il sistema in quiete i due orologi situati in A e B erano sincroni con la conseguenza che per il sistema in quiete doveva risultare:

tB – tA = t’A – tB

ora, per il sistema in moto, risulta:

tB – tA ≠ t’A – tB.

Einstein può allora concludere:
” Vediamo dunque che al concetto di simultaneità non possiamo attribuire alcun significato assoluto, ma che invece due avvenimenti che, considerati da un sistema di coordinate, sono simultanei, considerati da un sistema mosso relativamente ad esso, non sono più da considerare come avvenimenti simultanei.”
In definitiva, il concetto di simultaneità, dato per evidente nella cinematica classica, viene a perdere il suo valore assoluto, diventando relativo. Inoltre si scambiano i ruoli preesistenti: mentre prima la definizione di tempo ci permetteva di parlare di eventi simultanei, ora la definizione di eventi simultanei ci permette una misura del tempo.
Abbiamo ora in mano tutte le premesse necessarie per costruirci le equazioni di trasformazione, quelle cioè che ci permettono di passare da un sistema supposto in quiete ad un altro in moto traslatorio uniforme rispetto al primo (e viceversa). Questa parte viene trattata da Einstein nel paragrafo 3 della sua memoria. Io, per ragioni di semplicità concettuale ed espositiva, (859) preferisco seguire un modo diverso per ricavare le stesse equazioni di trasformazione. Questa trattazione è stata elaborata dallo stesso Einstein in un’epoca successiva (1916). (860)
Supponiamo allora di avere due sistemi di coordinate: l’uno, S (di coordinate x,y,z), supposto in quiete; l’altro, S’ (di coordinate x’, y’, z’), in moto rettilineo uniforme a velocità v rispetto al primo. Per semplicità i due sistemi sono presi in modo tale che i loro assi x ed x’ coincidono, mentre gli assi y e z del primo sono rispettivamente paralleli agli assi y’ e z’ dell’altro
(si veda la figura 43). (861) Dice Einstein: (861 bis)
“II nostro problema può venir formulato con esattezza nel modo seguente.

Quanto valgono le x’ ,y’, z’ e t’ di un evento rispetto ad S’, quando sono date le grandezze x, y, z, t, dello stesso evento rispetto ad S ?”
Ora, un qualunque evento, che si produca sull’asse x del sistema S,
“è rappresentato rispetto al sistema di coordinate S dall’ascissa x e dal tempo t, e rispetto al sistema S’ dall’ascissa x’ e dal tempo t’. Dobbiamo trovare x’ e t’ quando siano dati x e t.” (862)
Riferendoci alla figura 43, supponiamo che all’istante in cui inizia a prodursi l’evento da studiare le origini O ed O’ di S ed S’ coincidano. In questo istante un segnale luminoso (l’evento) venga emesso dall’origine O di S e si propaghi lungo l’asse x, nel verso delle x crescenti.
Nel sistema S, dopo un tempo t ≠ O, il segnale avrà raggiunto il punto di ascissa x = ct; e poiché vale il principio di costanza della velocità della luce, anche nel sistema S’ dovrà risultare x’ = ct’. (863)
In definitiva, nei due sistemi valgono rispettivamente le due equazioni:

                         x = ct

                         x'= ct’

e cioè:

                         x - ct =0

                         x'- ct'= 0.

Ciascuna di queste due equazioni corrisponde alla misura dello stesso evento sul rispettivo sistema di riferimento. Di conseguenza le due equazioni dovranno essere tra loro dipendenti. In particolare l’annullarsi dell’una dovrà implicare l’annullarsi dell’altra. E questo vuol dire che le due equazioni dovranno essere uguali a meno di una costante moltiplicativa; cioè:

                     (x’ - ct') = λ(x - ct)

dove λ e’ appunto la costante che dovrà essere determinata.
Ripetendo lo stesso ragionamento per un segnale luminoso che, partito da O, si propaghi in verso contrario (verso delle x decrescenti), troviamo:

                     (x’ + ct') = ν(x + ct)

dove ν e’ ancora una costante da determinarsi.
Ed allora, per trovare le equazioni di trasformazione dal sistema S a quello S’ ( e viceversa ) occorrerà determinare le due costanti λ e ν, cominciando con il risolvere il sistema:

(x’ – ct’) = λ(x – ct)

(x’ + ct’) = ν(x + ct)

Sommando e sottraendo le due equazioni si trova:

(x’ – ct’) + (x’ + ct’) = λ(x – ct) + ν(x + ct)

(x’ – ct’) – (x’ + ct’) = λ(x – ct) – ν(x + ct)

da cui, di seguito:

2x’ = λx – λct + νx + νct

-2ct’ = λc – λct – νx – νct

x’ = ½ (λ + ν)x – ½ (λ – ν)ct

ct’ = ½ (λ + ν)ct – ½ (λ – ν)x

Chiamando per semplicità:

a = ½ (λ + ν) e b = ½ (λ – ν)

si ha:

x’ = ax – bct
ct’ = act – b

ed il problema diventa quello di determinare le due costanti a e b. Per farlo occorrono due condizioni fisiche che discendono da considerazioni elementari. Innanzitutto si può osservare che sul sistema S’ in moto, l’origine O’ ha per ascissa x’ = 0 (e questo è sempre vero). Ponendo questo valore nella prima delle (1) si ha;

        0 = ax - bct      ->       x = (b/a)ct

Ora, poiché abbiamo chiamato con v = x/t la velocità con cui l’origine O’ di S’ si muove rispetto ad S, dall’ultima relazione scritta discende:

x/t = (b/a)c
e cioè:

v = (b/a)c -> b = a(v/c) (2)

ed ancora:

v/c = b/a. (864) (3)

“Inoltre il principio di relatività ci insegna che, giudicata da S, la lunghezza di un singolo regolo-campione che sia in quiete rispetto ad S’ deve essere esattamente identica alla lunghezza, giudicata da S’, di un singolo regolo-campione che sia in quiete relativamente ad S. Per vedere come appaiono i punti dell’asse S’ visti da S, dobbiamo soltanto prendere ‘una istantanea’ di S’ da S; ciò significa che dobbiamo assegnare a t (tempo di S) un valore particolare, ad esempio t = 0.” (865)
Al tempo t = 0 una data lunghezza Δx’ di S’ varrà Δx se valutata da S. Vogliamo ricavarci Δx conoscendo il suo valore Δx’ in S’. Sostituendo t = 0 nella prima delle (1) si trova:

                         x’ = ax

e ciò vuol dire che:

                        Δx’ = a Δx

Se quindi la lunghezza Δx’ misurata in S’ vale, ad esempio, Δx’ = 1, nella ‘istantanea’ presa da S essa varrà:

                 1 = a Δx      —>

Δx = 1/a. (866) (4)

Facciamo ora un’altra ‘istantanea’, questa volta da S’, al regolo-campione Δs in quiete su S. Anche adesso dobbiamo assegnare a t’ (tempo di S’) un valore particolare, ad esempio, t’ =0. Il problema è lo stesso del precedente. Ora, dato che al tempo t’ = 0 una data lunghezza Δs di S varrà Δx’ se valutata da S’, si tratta di ricavare Δx’ conoscendo il suo valore Δx in S. Sostituendo t’ = 0 nella seconda delle (1), si trova:

act – bx = 0.

Da questa espressione occorre eliminare la t e per farlo la si può mettere a sistema con la prima delle (1):

act – bx = 0

x’ = ax – bct

Dalla prima si ricava subito t:

t = (b/a)(x/c)

che può essere subito sostituito nella seconda;

x’ = ax – bc (b/a)(x/c)

Risolvendo si trova:

x’ = ax – abc(b/a2)(x/c) -> x’ = ax – ax(b2/a2) -> x’ = a (1 – b2/a2)x.

Ricordando la (3), questa espressione diventa:

x’ = a(l – v2/c2)x

E ciò vuol dire che:

Δx’ = a(l – v2/c2)Δx.

Se quindi la lunghezza Δx misurata in S vale, ad esempio, Δx = 1, nella ‘istantanea’ presa da S’ essa varrà:

Δx’ = a(1 – v2/c2). (5)

Ma, per il principio di relatività, questa e l’altra ‘istantanea’ dovranno essere identiche; l’espressione (4) dovrà cioè essere uguale all’espressione (5):

Δx = Δx’ -> 1/a = a(1 – v2/c2) -> a2 = 1/(1 – v2/c2) -> (6)

Per completare basta osservare che sugli assi y, y’, z e z’ non si ha moto relativo, quindi risulta:

y’ = y

z’ = z

In definitiva il gruppo delle trasformazioni che trova Einstein è:

Queste trasformazioni ci permettono di stabilire “quanto valgono le x’, y’, z’, t’, di un evento rispetto ad S’, quando sono date le grandezze x, y, z, t, dello stesso evento rispetto ad S.”
Ora, anche se Einstein non lo fa esplicitamente, è utile ricavare le trasformazioni inverse che rispondono alla domanda: quanto valgono le x, y, z, t di un evento rispetto ad S, quando sono date le grandezze x’, y’, z’, t’, dello stesso evento rispetto ad S’ ? Quanto detto corrisponde a situare l’osservatore in S’ e, dato il principio di relatività, supporre S’ in quiete mentre il sistema S si muove con velocità -v rispetto ad esso. Per rispondere alla domanda che ci siamo posti, osservando che già abbiamo ovviamente y = y’ e z = z’, basterà risolvere rispetto ad x e t il sistema formato dalla prima e dalla quarta delle (8). Risolvendo di seguito e, per semplicità, chiamando β = 1/(1 – v2/c2)½ , si trova, successivamente:

E’ di grande importanza osservare che le (9) si ottengono dalle (8) semplicemente sostituendo a v che compare in queste ultime la quantità – v. E ciò proprio in virtù del fatto che le trasformazioni che trova Einstein godono della proprietà di gruppo (la trasformazione inversa di una data trasformazione deve essere la trasformazione identica). (868)
Come si ricorderà ciò non valeva per le equazioni di trasformazione di Lorentz, prima dell’intervento di Poincaré.
Ma, tornando ad Einstein, egli, dopo essersi ricavate le equazioni di trasformazione (8) (che, incidentalmente e conseguentemente con quanto detto nel paragrafo 1, egli ancora non chiama trasformazioni di Lorentz), passa a dimostrare che “ogni raggio di luce, misurato nel sistema in moto, si propaga con la velocità e, purché ciò, come abbiamo ammesso, accada nel sistema in quiete, poiché non abbiamo ancora dato la dimostrazione che il principio della costanza della velocità della luce sia compatibile con il principio di relatività.”
Supponiamo allora di considerare un segnale luminoso che all’istante t = t’ = 0 (istante in cui le origini O ed O’ dei due riferimenti S ed S’ coincidono) venga emesso dall’origine O di S (sistema in quiete). Questo segnale si propagherà da O sotto forma di un’onda sferica il cui fronte viaggerà rispetto ad S con la velocità c della luce. La superficie sferica di quest’onda avrà un raggio r che varierà con il tempo (di S) secondo la relazione:

                          r = ct.

Ricordando che l’equazione di una sfera con centro nell’origine degli assi (in S) è data da:

                 x2 + y2 + z2  = r2

si vede subito che nel nostro caso si ha:

                 x2 + y2 + z2 = c2t2. (869)                                                    (10)                    

Se applicando le trasformazioni (9) a questa equazione otteniamo anche per il sistema S’ l’equazione di una superficie sferica che si propaga dall’origine O’ con velocità c, allora avremo dimostrato la compatibilità dei due principi di Einstein. Risolvendo di seguito, si trova:

x’2 + y’2 + z’2 = R2.

L’onda in oggetto è dunque, anche considerata nel sistema in moto, un’onda sferica con la velocità di propagazione c. Con ciò è mostrato che i nostri due principi fondamentali sono … compatibili.”

E ciò vuol anche dire che se la luce ha velocità c nel sistema S, essa ha la stessa velocità c nel sistema S’, indipendentemente dalla velocità di quest’ultimo rispetto al primo; si ha infatti:

r’ = ct’.

        Possiamo a questo punto passare al quarto paragrafo della memoria di Einstein dal titolo Significato fisico delle equazioni ottenute, riguardanti corpi rigidi ed orologi in movimento.

        Si inizia con il considerare, nel sistema S’ in moto relativamente al sistema S in quiete, un corpo rigido che ha la forma di una sfera di raggio S e che ha il suo centro nell’origine delle coordinate. Nel sistema S’ la superficie di questa sfera è data dall’equazione:

x’2 + y’2 + z’2 = R2.

Al tempo t = 0, nel sistema S, questa equazione diventa (applicando la prima delle trasformazioni (6), nella quale si ponga t = 0, oltre alla seconda e terza):

x’2 + y’2 + z’2 = R2.

Al tempo t = 0, nel sistema S, questa equazione diventa (applicando la prima delle trasformazioni (6), nella quale si ponga  t = 0, oltre alla seconda e terza):

ha, nella nostra teoria, fisicamente il ruolo di una velocità infinita. E’ chiaro che uguali risultati sussistono per un corpo fisso nel sistema in quiete quando venga considerato da un sistema in moto uniforme.”
I corpi di un sistema in moto, quindi, se osservati da un sistema in quiete, si contraggono nella direzione del moto. La contrazione è tanto maggiore, quanto maggiore è la velocità v del moto relativo; al limite, per v = c, la dimensione dell’oggetto nel verso del moto si annulla. Questa pertanto è la prima
considerazione che fa concludere ad Einstein che la velocità della luce è una velocità fisicamente infinita, cioè che essa è insuperabile o, che è lo stesso, che essa è una velocità limite. E’ importante sottolineare che un’uguale contrazione nel verso del moto si osserverebbe dal sistema in moto sul sistema in quiete a seguito del principio di relatività.
Analogo ragionamento si può fare per i tempi. Supponiamo di avere un orologio che nel sistema S in quiete dia il tempo t, mentre (lo stesso orologio) nel sistema S’ in moto dia il tempo t’. Poniamo quest’orologio nell’origine delle coordinate di S’ e vediamo che tempo fornisce in S. La quarta delle trasformazioni (8) ci dice che:

in ritardo di 1/2.t.v2/c2 sec.” (870)
E finalmente arriviamo all’ultimo paragrafo della parte cinematica che è dedicato alla composizione delle velocità. (871)
In accordo con la costanza di c e con il suo non sommarsi con nessuna altra velocità, occorrerà trovare delle equazioni di trasformazione che, nel passaggio da un sistema ad un altro, rendano, al limite, c + c = c.
Supponiamo che un punto materiale si muova sul sistema S’ che è, ricordiamolo, in moto con velocità v rispetto al sistema S supposto in quiete. Questo punto si muova, per semplicità, l’ungo l’asse x’ (che ha la stessa direzione dell’asse x di S) e sia u’ la sua velocità rispetto ad S’. Si vuole conoscere con quale velocità u si muove questo punto rispetto al sistema S (o, che è lo stesso, quanto vale u’ osservata da S). Cominciamo con l’osservare che il moto del punto materiale sul sistema S’ è descritto dall’equazione:

x’ = u’t’.

Basta applicare le trasformazioni (6) a x’ e t’ di quest’ultima relazione, per trovare ciò che cerchiamo. Si ha:

Si noti che per velocità u’ e v molto piccole rispetto a c, il termine u’v/c2, che si trova al denominatore, può essere trascurato, di modo che si ottiene l’equazione classica di addizione delle velocità (quella di Galileo):

u =  u’ + v.

Nel caso limite, già annunciato, in cui sia u’ sia v valgano c, la velocità risultante sarà:

E qui, dopo aver fatto notare che varie trasformazioni come la (13), quando sono applicate a vari sistemi di riferimento, formano gruppo, Einstein conclude la parte cinematica per passare a mostrarne le applicazioni all’elettrodinamica.

NOTE

(849) Colui che per primo formulò in modo esplicito l’operazionismo fu il fisico statunitense P.W. Bridgman (l862-1961) . Per eliminare dalla fisica e dalla scienza in genere molti concetti metafisici, Bridgman propose (1927) di definire i vari concetti che si utilizzano nella fisica in termini di operazioni o processi (di misura, di laboratorio, …). In un suo saggio, Le teorie di Einstein da un punto di vista operativo, inserito nel volume curato da Schlipp, Albert Einstein, scienziato e filosofo (bibl.168, pagg. 281-301), Bridgman afferma che colui che ha, nei fatti, inventato l’operazionismo è stato proprio Einstein con la sua Teoria della relatività ristretta. Dice Bridgman in apertura del saggio: ” Questa esposizione tenterà di dimostrare che Einstein non riportò nella sua relatività generale la profondità e gli insegnamenti che egli stesso ci aveva dato con la sua teoria particolare.” Einstein quindi, almeno con la sua relatività generale, abbandonò il punto di vista operativo nella definizione delle grandezze. Sul l’argomento si veda anche Bergia in bibl. 148, pagg. 37-38.

(850) Si noti che un’altra possibilità di dare i tempi per avvenimenti che si svolgono in luoghi differenti potrebbe essere quella di portare gli orologi nello stesso luogo, sincronizzarli e quindi riportarli nei luoghi d’origine. Einstein non prende in considerazione questa possibilità perché, probabilmente, aveva in mente due difficoltà: chi garantisce che il moto non alteri il funzionamento degli orologi ? e chi ci assicura che per due fenomeni differenti i tempi passino allo stesso modo? Si ricordi che quella di Einstein è una definizione operativa.

(851) In definitiva, per sincronizzare un orologio che sta in A con uno che sta in B, si invia un segnale luminoso da A a B e si attende che ritorni in A. Alla fine dell’esperimento il tempo totale letto sa A, diviso per due, permette di sincronizzare i due orologi.

(852) Si noti che, in accordo con il Principio di relatività, tutti i sistemi inerziali sono equivalenti. Scelto un sistema inerziale a caso, nessuno ci vieta di considerarlo come se fosse in quiete (ed il fatto è in accordo anche con il principio classico di relatività). Occorre comunque ricordare che, dato un sistema inerziale, tutti quei sistemi che si muovono di moto rettilineo uniforme rispetto a quello, sono anch’essi inerziali.

(853) Taylor, in un modo divertente, fa rilevare: ” in queste spiegazioni intervengono sempre gli osservatori, i quali non possono neppure dormire perché, se lo facessero, potrebbero perdersi qualche avvenimento importante e mettere in crisi l’intera teoria” (bibl. 177, pag.86). Sulla abbondanza degli osservatori nella relatività basta tener sempre presente che l’osservatore non è né un fisico né un filosofo; non é uno che fa teorie ma, al contrario, è un esecutore materiale di misure, un operatore metrico.

(854) Se qualcuno, che ha già una qualche conoscenza di relatività, pensasse a per ora non meglio specificate contrazioni dell’asta, tenga conto che le contrazioni riguardano anche il regolo di misura. Ma su questo torneremo più oltre.

(855) Cioè: nel sistema in quiete risulterà, come abbiamo visto, tB – tA = t’A – tB . Il che vuol dire che: l’orologio che si trova in A indicherà il tempo di A nel luogo in cui si trova A; l’orologio che si trova in B indicherà il tempo di B nel luogo in cui si trova B; sia l’orologio di A che quello di B indicheranno il tempo del sistema in quiete; nel sistema in quiete i due orologi risulteranno sincroni.

(856) Come lo stesso Einstein ci fa osservare, questo tempo del sistema in quiete è anche la “posizione delle lancette dell’orologio del sistema in moto” che si trova nel luogo di cui si parla.

(857) Se si ricorda l’enunciato originale di Einstein del principio di costanza della velocità della luce (dato appena qualche riga più su), si riconoscerà che la velocità della luce, nel sistema in quiete, deve essere c. Ciò vuol dire che gli orologi del sistema in quiete misureranno un tempo maggiore per la luce che va da A a B rispetto a quello necessario alla luce per andare da B ad A. In un caso infatti bisognerà tener conto del fatto che la luce emessa da A deve raggiungere B che si allontana con velocità v; nell’altro caso, la luce riflessa da B dovrà raggiungere A che si avvicina con velocità v.

(858) Facendo seguito a quanto detto nella nota precedente, se gli orologi che si trovano in moto agli estremi dell’asta in movimento sono sincronizzati con il metodo di Einstein, rispetto al sistema in quiete daranno, tra loro e istante per istante, letture differenti. Ma poiché il principio della costanza di c è affermato per tutti i sistemi inerziali, noi dobbiamo ammettere che gli orologi nel sistema in moto, sincronizzati tra loro con il solito metodo, sono effettivamente sincroni tra loro.

(859) II modo con cui Einstein ricava le equazioni di trasformazione nella memoria del 1905 è, per noi, complesso per due motivi: 1) si introducono le equazioni alle derivate parziali che non conosciamo (non tutti almeno); 2) si svolgono dei ragionamenti un poco farragginosi (a posteriori!).

(860) In un lavoro divulgativo dal titolo Sulla relatività speciale e generale, bibl. 178. In particolare la trattazione che ci riguarda è in appendice, al paragrafo 11, pagg 68-70. Anche qui ho cambiato alcune notazioni di Einstein in modo da renderle conseguenti con altre notazioni da me usate in altra parte di questo lavoro.

(861) In sostanza andremo a studiare il problema ad una dimensione anziché complicarlo in tre dimensioni; e ciò vuol dire che ci occuperemo solo delle variazioni della coordinata x (oppure x’), restando inteso che per le altre coordinate valgono le seguenti equazioni di trasformazione: y = y’ e z = z’.

(861 bis) Bibl. 178, pag. 66.

(862) Ibidem, pag. 68.

(863) Poiché all’istante in cui l’evento comincia a prodursi le origini dei due riferimenti coincidono, anche in S’ il segnale luminoso sarà emesso al tempo t’ = 0. E, data appunto la costanza di c, anche in S dopo un tempo t’, il segnale luminoso si troverà ad occupare l’ascissa x’ = ct’.

(864) A partire da questo punto, P. Couderc segue un metodo diverso per ricavarsi le trasformazioni di Lorentz (si veda allo scopo bibl. 180, pagg. 120-122 ).

(865) Ibidem, pagg. 69-70. Si osservi che una ‘istantanea’, scattata quando il centro del regolo è sull’asse ottico della macchina fotografica, permette di traguardare simultaneamente gli estremi del regolo.

(866) Δx è la lunghezza di un regolo-campione, in quiete su S’, valutata da S mediante una ‘istantanea’.

(867) Come già detto (nota 859), Einstein , nella sua memoria del 1905 utilizzò un metodo differente per ricavare le (8). In breve, egli prima di tutto annuncia che “le equazioni da trovare devono essere lineari a cagione della proprietà di omogeneità che noi attribuiamo allo spazio e al tempo”, quindi, utilizzando il metodo di sincronizzazione precedentemente definito, va a calcolarsi l’equazione di trasformazione del tempo nel passaggio dal sistema S al sistema S’. Questa equazione dipende da un fattore f(v), dipendente dalla velocità, da determinarsi. Con l’equazione di trasformazione del tempo egli si va a calcolare l’equazione di trasformazione delle coordinate. Tutte queste equazioni sono date a meno del fattore f(v). A questo punto Einstein passa a dimostrare che anche nel sistema in moto la luce si propaga con velocità c (se, appunto, con questa velocità essa si propaga nel sistema in quiete); e ciò gli serve per dimostrare la compatibilità del
principio di relatività con quello della costanza di c. Per fare ciò egli si serve delle equazioni di due onde sferiche luminose emesse all’origine dei due riferimenti al tempo t = t’ =0 (quando, passandosi vicino i due sistemi, le.due origini coincidono) e poiché esse , applicandovi le trasformazioni già trovate, risultano ancora sferiche (nel passaggio dall’una
all’altra), Einstein può concludere che “i nostri due principi fondamentali sono compatibili”. L’ultimo passo che Einstein fece fu quello di sbarazzarsi del fattore f(v). Allo scopo egli introduce un terzo sistema di coordinate S” che si muove rispetto ad S come lo faceva S’, ma questa volta con velocità -v. Mediante una doppia applicazione delle equazioni di trasformazione egli trova che le coordinate x’’, y’’, z’’, t’’ del sistema S’’, sono legate a quelle (x, y, z, t) del sistema S dalle relazioni:

                         x” = f(v).f(-v)x

                         y” = f(v).f(-v)y

                          z“ = f(v).f(-v)z

                          t” = f(v).f(-v)t

dove f(-v) è un altro fattore indeterminato che gli viene fuori nel ricavare le equazioni di trasformazione da S” ad S. Einstein osserva allora:
“Poiché le relazioni tra s”, y”, z” e x, y, z non contengono il tempo t, i due sistemi S ed S” sono relativamente in quiete, ed è chiaro che la trasformazione da S ad S” deve essere la trasformazione identica. E’ dunque:

                         f(v).f(-v) =1.”

Quindi, con l’introduzione di considerazioni di teoria dei gruppi (la trasformazione inversa di una data trasformazione deve essere la trasformazione identica) egli riesce a trovare una prima relazione che gli permetterà di ricavare f(v). Da altre considerazioni trova che:

                         f(v) = f(-v)

e quindi, mettendo insieme le ultime due relazioni, può concludere che

                            f(v) = 1.

Si osservi la maggiore semplicità di questo metodo e quante ipotesi in meno sono necessarie rispetto a quanto aveva fatto Lorentz che si era trovato di fronte allo stesso problema.

(868) Si noti come ‘proprietà di gruppo’ e ‘principio di relatività’ siano esattamente la stessa cosa: la prima esprimendo in modo analitico il secondo. Si può ora ricordare che le trasformazioni che trovò Lorentz non godevano della proprietà di gruppo poiché, data l’immobilità dell’etere, non ha senso la trasformazione inversa del sistema di riferimento in moto con il sistema in riposo rispetto all’etere.

(869) Si può anticipare una osservazione sulla quale torneremo più oltre. La velocità della luce c è una costante che noi abbiamo studiato solo incidentalmente per la luce; essa ha un significato più generale rappresentando una proprietà dello spazio-tempo. Dalla (10) si vede infatti che c è quella costante che, moltiplicata per t, rende omogenee le grandezze in gioco nello spazio-tempo.

(870) Su questo ‘paradosso degli orologi’ il fisico francese P. Langevin (1872 -1946) costruirà nel 1911 il famoso ‘paradosso dei gemelli’ del quale discuteremo più oltre. Basti per ora dire che per percorrere una poligonale sono necessarie delle accelerazioni e le accelerazioni sono competenza della relatività generale e non della relatività ristretta.

(871) Anche qui seguirò un metodo differente da quello utilizzato da Einstein nella sua memoria del 1905.

ELETTRODINAMICA RELATIVISTICA

2 – SULL’ELETTRODINAMICA DEI CORPI IN MOVIMENTO (1905)

    I due lavori di Einstein, sul moto browniano e sui quanti di luce, che abbiamo appena finito di discutere, furono presentati alla rivista Annalen der Physik tra il marzo ed il maggio 1905. Il 30 giugno dello stesso anno un nuovo lavoro doveva aggiungersi ai precedenti: Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento (826) E' questo l'articolo nel quale Einstein introduce la  relatività. Ad esso se ne aggiungerà ancora un altro, "interessante conseguenza [dei] risultati della precedente ricerca", nel settembre dello stesso anno: L'inerzia di un corpo è dipendente dal suo contenuto di energia? (827)   In questo lavoro, come elaborazione di quanto ottenuto nel precedente articolo, viene data una prima formulazione del principio di equivalenza tra massa ed energia. (828)
    Cominciamo con il discutere Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento.  
    La prima cosa che va ricordata è che Einstein non conosceva il lavoro di Lorentz del 1904 (si veda la nota 781 bis); occorre però aggiungere che se anche Einstein fosse stato a conoscenza di questo lavoro, nulla sarebbe cambiato nel giudizio di svolta radicale che il suo articolo ha rappresentato.
    Certamente poi non conosceva gli articoli di Poincaré sull'argomento , del 1905-1906 (essi erano stati inviati alle riviste contemporaneamente al suo).
     Infine egli non aveva che una conoscenza indiretta dell'esperienza di Michelson e Morley (attraverso i lavori di Lorentz del 1892 e 1895); ma anche qui vale il giudizio dato precedentemente per Lorentz: anche se avesse conosciuto questa esperienza nei dettagli non sarebbe cambiato nulla rispetto al suo approccio assolutamente originale e per la verità molto ardito.   (829)   
    Occorre poi sottolineare che l'articolo di cui si parla, e che comunemente va sotto il nome di articolo sulla relatività, è in realtà un articolo "sull'elettrodinamica dei corpi in movimento" nel quale si tenta un approccio radicalmente divergo ai problemi dell'elettrodinamica così come si ponevano nell'ultimo articolo di Lorentz sull'argomento (1895) conosciuto da Einstein. Come si ricorderà in quel lavoro ancora ci si muoveva al primo ordine di v/c e si cercava una soluzione del secondo ordine. La diversità radi cale della trattazione einsteniana sta nel tentativo (riuscito) di risolvere le questioni che si ponevano mediante la fisica dei principi. Egli infatti non entra in estenuanti e successive elaborazioni elettrodinamiche; non fa una fisica costruttiva tentando di "formare un quadro dei fenomeni complessi partendo da certi principi relativamente semplici", da elementi ipotetici, in definitiva, di tipo riduzionista. Einstein cerca invece delle"proprietà generali dei fenomeni osservate empiricamente, principi dai quali vengono dedotte formule matematiche di tipo tale da valere in ogni caso particolare si presenti". Come più volte ricordato, è lo stesso tipo di approccio che egli ha seguito nei suoi due lavori precedenti del 1905.
    Il problema principale per Einstein è la sua profonda insoddisfazione per le equazioni di Maxwell-Lorentz. (830)    Egli aveva provato più volte a correggerne gli errori mediante un approccio costruttivo, ma, come già detto, tutti i tentativi "fallirono completamente". Nel caso particolare dell'elettrodinamica, quelle equazioni fornivano, come vedremo, risultati diversi se applicate a sistemi di riferimento diversi. (831) Inoltre, anche qui come nel caso dei quanti di luce, l'asimmetria esistente tra campi continui e cariche discrete è un prodotto della teoria degli elettroni che Einstein non si sente di accettare. Dice Einstein nelle Note autobiografiche:  (832)

“Se si considera … la teoria, si resta colpiti dal dualismo insito nel fatto che il punto materiale in senso newtoniano ed il campo come continuo fisico stiano l’uno accanto all’altro come concetti elementari. L’energia cinetica e l’energia di campo appaiono sostanzialmente diverse. La cosa risulta tanto più insoddisfacente in quanto, secondo la teoria di Maxwell, il campo magnetico di una carica elettrica in movimento rappresenta l’inerzia. Ma allora, perché non tutta l’inerzia ? In questo caso rimarrebbe solo l’energia di campo, e la particella sarebbe semplicemente una zona di densità particolarmente elevata dell’energia di campo … ed il fastidioso dualismo sarebbe eliminato.”
Infine non va dimenticato che le elaborazioni di Lorentz introducevano qua e là delle profonde modificazioni ai concetti fondamentali della meccanica. Ed allora, dato che si procedeva in silenzio ad una revisione della meccanica, perché non pagare questo prezzo ma al fine di ottenere dei principi più generali, magari andando ad una revisione più profonda della meccanica stessa ? (833)
Ma, a detta dello stesso Einstein, ciò che lo colpiva di più era proprio l’asimmetria che si presentava quando si applicavano le equazioni di Maxwell a differenti sistemi di riferimento. Abbiamo già detto che più volte Einstein provò a modificare le equazioni di Maxwell-Lorentz. Egli tentava cioè di far rientrare la suddetta asimmetria cercando un apparato teorico, sia per i fenomeni ottici che per quelli elettromagnetici, nel quale solo avesse significato il moto relativo, un apparato teorico cioè che mantenesse immutate le equazioni nel passaggio da un riferimento ad un altro che fosse in moto traslatorio uniforme rispetto al primo. Nel portare avanti queste elaborazioni egli sempre più si era convinto che “né la meccanica, né la termodinamica potevano pretendere ad una validità assoluta”. Lo stesso Einstein ci dice che a poco a poco cominciò a “disperare della possibilità di scoprire le vere leggi attraverso tentativi basati su fatti noti”. Gli servivano dei principi -universali sull’esempio di quelli che governavano la termodinamica. Dove e come trovarli ? Dice Einstein nelle Note autobiografiche: (834)
“Dopo dieci anni di riflessione, un siffatto principio risultò da un paradosso nel quale mi ero imbattuto all’età di 16 anni; se io potessi seguire un raggio di luce a velocità c (la velocità della luce nel vuoto), il raggio di luce mi apparirebbe come un campo elettromagnetico oscillante nello spazio, in stato di quiete. Ma nulla del genere sembra sussistere sulla base dell’esperienza o delle equazioni di Maxwell. Fin dal principio mi sembrò intuitivamente chiaro che, dal punto di vista di un tale ipotetico osservatore, tutto debba accadere secondo le stesse leggi che valgono per un osservatore fermo rispetto alla Terra. Altrimenti, come farebbe il primo osservatore a sapere, cioè come potrebbe stabilire, di essere in uno stato di rapidissimo moto uniforme ?”
Che significa il paradosso di Einstein ?
Se uno si muovesse alla velocità della luce, con un’ onda elettromagnetica, dovrebbe descrivere il mondo in un modo differente da chi è in riposo rispetto alla Terra, egli, vedendo solo l’oscillazione di un campo che non si propaga nel tempo, sarebbe in grado di decidere qual è il suo stato di moto rispetto all’etere (si sta muovendo con velocità c) violando in questo modo il principio classico di relatività; inoltre questo fatto non è previsto all’interno delle stesse equazioni di Maxwell. (835) E’ come se si avesse a che fare con la luce immobile e ciò è inammissibile poiché la stessa luce è definita proprio dalla sua frequenza di movimento. Insomma, come molto bene dicono Schwartz e Mc Guinnes, (836) se uno camminasse alla velocità della luce, non vedendo la propria immagine riflessa in uno specchio (che la sua mano sostiene davanti al viso), sarebbe in grado di capire che cammina alla velocità della luce senza bisogno di guardar fuori; e ciò è negato dal principio classico di relatività di Galileo.
A questo punto però conviene andare con ordine, prendendo l’articolo di Einstein e seguendolo passo passo.
L’introduzione del lavoro contiene già tutti gli elementi che abbiamo discusso.

  • INTRODUZIONE
    L’articolo inizia così: (837)
    “E’ noto che l’elettrodinamica di Maxwell – come essa attualmente viene d’ordinario concepita – conduce nelle sue applicazioni a corpi in movimento ad asimmetrie che paiono non essere aderenti ai fenomeni.”
    Ecco dunque che il primo motivo è l’insoddisfazione per la teoria di Maxwell, negli ultimi sviluppi di Lorentz, ed in particolare perché questa teoria origina delle asimmetrie. Di quali asimmetrie si tratta ?
    Einstein non ricorre ad esemplificazioni sofisticate ma al più semplice dei fenomeni elettrodinamici, che risale a Faraday; il movimento relativo di un magnete e di un conduttore e le azioni elettrodinamiche che si producono tra questi due oggetti. Lo stesso Einstein dice:
    “Si pensi ad esempio alle interazioni elettrodinamiche tra un magnete ed un conduttore. Il fenomeno osservabile dipende qui solo dal moto relativo fra magnete e conduttore, mentre secondo il consueto modo di vedere sono da tener rigorosamente distinti i due casi che l’uno o l’altro di questi corpi sia quello mosso. Infatti, se si muove il magnete e rimane fisso il conduttore, si produce nell’intorno del magnete un campo elettrico di certi valori di energia il quale provoca una corrente nei luoghi ove si trovano parti del conduttore. Rimane invece fisso il magnete e si muove il conduttore, non si produce nell’intorno del magnete alcun campo elettrico, ma al contrario [si produce] nel conduttore una forza elettromotrice, alla quale non corrisponde per sé alcuna energia, ma che – supposta l’uguaglianza del moto relativo nei due casi considerati – dà occasione al prodursi di correnti elettriche della stessa grandezza e dello stesso percorso, come nel primo caso [avevano dato] le forze elettriche.”
    Dicevamo che questa esemplificazione è semplice ma non altrettanto la sua interpretazione teorica, soprattutto in relazione all’asimmetria che essa comporta e di cui parla Einstein. Per cogliere il nocciolo del ragionamento, serviamoci della figura 41. (838) Innanzitutto osserviamo che da sfondo alle due situazioni, nella teoria cui fa riferimento Einstein
Figura 41

  • ed in particolare nella teoria di Lorentz, c’è un etere immobile che funge da sistema a cui riferire i singoli moti. Per cui nel primo caso preso in considerazione (figura 41a) il conduttore risulta fermo rispetto all’etere mentre il magnete si muove con velocità v, sempre rispetto all’etere. Nel secondo caso (figura 41b) le situazioni, ancora rispetto all’etere, sono invertite. Facendo riferimento alle equazioni di Maxwell, nel primo caso, quando il magnete si sposta, origina una variazione dell’induzione magnetica B in tutto l’etere che circonda il magnete e nel conduttore. Poiché varia B nell’etere, varia il flusso di B concatenato con il conduttore. Ricordando la terza delle equazioni di Maxwell (la 7 del paragrafo 5 del capitolo 3) ad una variazione del flusso di B si accompagna un campo elettrico nell’etere che circonda il magnete. Le cariche (gli elettroni), in quiete nel conduttore, sono soggette alla forza originata dal campo elettrico (mentre non sentono alcuna forza magnetica poiché quest’ultima non si esercita su cariche in quiete) ed in definitiva tra i capi A e B del conduttore si genera una differenza di potenziale. Sempre facendo riferimento alle equazioni di Maxwell, nel secondo caso, poiché il magnete è fisso ed è il conduttore che si sposta, la variazione dell’induzione magnetica B si avrà solo nel filo e non nell’etere circostante il magnete (caso del flusso tagliato). Quindi nell’etere non c’è una variazione del flusso di B e conseguentemente (per la stessa equazione di Maxwell precedentemente citata) non si originerà un campo elettrico nell’etere che circonda il magnete. Anche in questo caso però ai capi AB del conduttore si originerà una differenza di potenziale, ma questa volta di origine magnetica (forza di Lorentz). Questa differenza di potenziale, a parità di altri fattori, ha esattamente lo stesso valore che nel primo caso. (839)
    Dall’esame di questa situazione, risultano dei fatti che sono certamente previsti dalla teoria di Maxwell-Lorentz, ma che, altrettanto certamente, sono tali da creare, per Einstein, una inaccettabile asimmetria; anche se gli effetti sono gli stessi (si producono nei due casi differenze di potenziale uguali, a parità di altre condizioni) i fenomeni hanno una spiegazione fisica differente: in un caso la differenza di potenziale è dovuta ad una forza elettrica, nell’altro ad una forza magnetica.
    Poiché ciò che stiamo discutendo rivestiva grande importanza nel pensiero di Einstein (840) è utile fare un’altra esemplificazione, del tutto simile a quella ora discussa ma più facilmente comprensibile.
    Supponiamo di avere due cariche elettriche q uguali poste ad una distanza r l’una dall’altra (per semplicità supponiamo che una di esse sia vincolata in modo tale che non possa muoversi). Un osservatore T, immobile rispetto al sistema costituito dalle due cariche, calcolerà, secondo le usuali leggi dell’elettrostatica, una forza F che agirà sulla carica mobile e diretta come in figura 42a (cariche dello stesso segno si respingono). Supponiamo ora che l’osservatore

T si sposti, con velocità u, nella direzione mostrata in figura 42b. Secondo il principio galileiano di relatività, tutto va come se T fosse immobile e fossero invece le cariche che si muovono alla stessa velocità di T ma in verso opposto (figura 42c). In questo caso, quindi, T osserverà due correnti parallele (una carica in moto costituisce una corrente elementare). Ora, secondo la legge di Ampère sulle azioni elettrodinamiche tra correnti, alla forza repulsiva F, che si aveva nel caso di azione elettrostatica (figura 42a), si deve sottrarre una forza attrattiva f (dovuta al fatto che correnti concordi si attraggono). In definitiva, un osservatore in moto dovrebbe calcolare (e calcola) una forza repulsiva F – f, minore della forza repulsiva F che lo stesso osservatore calcolerebbe (e calcola) quando è in riposo. E ciò vuol dire che le leggi dell’elettrodinamica danno risultati diversi per osservatori in moto relativo a velocità costante. Questo fatto può essere detto anche così: le leggi dell’elettrodinamica non sono invarianti per una trasformazione di Galileo. (841)
Come rendere conto di tutto ciò ?
Oltre a questo tipo di asimmetrie Einstein fa anche un vago riferimento ad altri fenomeni che probabilmente sono: l’aberrazione stellare, l’esperienza di Fizeau relativa alla misura della velocità della luce in due colonne di acqua fluente in versi opposti, (842) l’esperienza di Michelson-Morley, quella di Trouton-Noble. Bice Einstein:
“Esempi analoghi, come pure i falliti tentativi di constatare un moto della Terra relativamente al mezzo luminoso, conducono alla presunzione che al concetto di quiete assoluta, non solo nella meccanica, ma anche nell’elettrodinamica, non corrisponda alcuna delle proprietà di ciò che si manifesta, ma che piuttosto, per tutti i sistemi di coordinate per i quali valgono le equazioni della meccanica, (843) debbano anche valere le stesse leggi elettrodinamiche ed ottiche, come appunto è stato dimostrato per le grandezze del primo ordine.”
Einstein inizia a costruire la sua fisica dei principi con l’affermazione che il concetto di riferimento assoluto non ha alcun significato né nella meccanica né nell’elettrodinamica né nell’ottica. Piuttosto bisogna ammettere che tutte le leggi fisiche abbiano la stessa forma in tutti i sistemi inerziali. Non vi è quindi nessun sistema privilegiato in cui le cose debbano andare in un dato modo; al contrario tutti i sistemi inerziali, tutti quelli in moto relativo uniforme gli uni rispetto agli altri, sono equivalenti; in essi tutte le leggi fisiche devono essere le stesse. A questo punto Einstein dice:
“noi vogliamo elevare questa presunzione … a presupposto fondamentale”
ed in questo modo introduce il primo dei due principi che sono il fondamento della relatività, quello che va sotto il nome di Principio della relatività di Einstein. (844) Come si vede, si tratta di una generalizzazione del Principio di relatività di Galileo a tutte le leggi della fisica.
Subito dopo, a questo principio, Einstein ne aggiunge un altro:
“[noi vogliamo] inoltre introdurre il presupposto, solo apparentemente inconciliabile con il precedente, che la luce nello spazio vuoto si propaghi sempre con una velocità determinata e indipendente dalla velocità del corpo emittente.” (845)
Si tratta del principio che va sotto il nome di Principio della costanza della velocità della luce, quello che più ha fatto discutere (si veda, ad esempio, quanto sostiene M. La Rosa – 1923 – in bibl. 186, pagg. 293-306).
Da dove tira fuori questo principio Einstein ?
Esso era comunemente accettato in tutte le teorie ondulatorie della luce (Fresnel, Stokes, Maxwell, Lorentz) ma, sempre, come principio applicabile ad un sistema che si trovasse in riposo rispetto all’etere. Probabilmente il fatto che un valore costante di c venisse fuori dalle più disparate misure fatte sulla Terra, non importa in quale direzione rispetto al presunto etere, unitamente al fatto che questo valore si ricavasse da elaborazioni teoriche sulle equazioni che regolano i campi elettromagnetici (si ricordi il lavoro di Weber e Kohlraush), convinsero Einstein ad assumere la costanza di c come principio generale. Inoltre, forse, influì su Einstein proprio la formulazione del primo dei due principi, quello di relatività; se, infatti, la Terra si considera come un sistema inerziale e su di essa le misure di c danno sempre lo stesso valore, e deve avere lo stesso valore per tutti gli altri sistemi inerziali (indipendentemente dallo stato di moto della sorgente per il fatto che anche dalle misure fatte sulla Terra risulta questa indipendenza, infatti c ha lo stesso valore sia quando è misurata da fenomeni astronomici, sia quando è misurata su sorgenti poste sulla Terra, e lo stato di moto di una sorgente sulla Terra è certamente differente dallo stato di moto, ad esempio, di un satellite di Giove). (846) Infine, e questo è il fatto più importante, Einstein, nei suoi tentativi di modificare le equazioni di Maxwell-Lorentz perché risultassero invarianti per sistemi di riferimento in moto traslatorio uniforme gli uni rispetto agli altri, deve essersi convinto che la condizione che si richiedeva era la costanza di c.
Certo che questo principio, così formulato, doveva suonare male e, con Straneo, “forse sarebbe stato meglio porre in rilievo che la teoria dei gruppi imponeva l’adozione di una costante fondamentale e che questa per ragioni fisiche non poteva che essere la velocità della luce.” (847)
Comunque stiano le cose, Einstein dice che questo secondo Principio appare inconciliabile con il primo. Perché ?
Perché, ammesso il Principio di relatività, sembrerebbe che debbano valere le trasformazioni di Galileo e, in particolare, la composizione delle velocità. Supponiamo allora ai accettare contemporaneamente il Principio dell”indipendenza di c dal moto della sorgente e la composizione classica delle velocità: se una sorgente si muove verso un osservatore con velocità v, il tutto equivale a sorgente immobile ed osservatore che si sposta verso di essa con velocità – v; l’osservatore misurerebbe allora una, velocità u = c + v e dalla conoscenza di c egli sarebbe in grado di ricavare v e cioè una velocità assoluta; questo fatto entrerebbe in contraddizione con il supposto Principio di relatività. E l’apparente inconciliabilità sta proprio qui: il Principio di relatività di Einstein non prevede le trasformazioni di Galileo e quindi non prevede quella composizione delle velocità. Assumendo nuove trasformazioni l’inconciliabilità sparisce e la c, oltre ad assumere un valore costante in tutti i sistemi inerziali, diventa una velocità limite, una velocità che non può essere superata in alcun modo. (848) Ciò che si vuol dire è che l’apparente inconciliabilità nasce dalle ordinarie definizioni di spazio e di tempo. Ammessi i due Principi di Einstein, occorre cambiare queste definizioni e conseguentemente le loro equazioni di trasformazione (quelle di Galileo) nel passaggio da un sistema inerziale ad un altro.
Riassumendo, i due principi che Einstein pone a fondamento della sua elettrodinamica sono:
1) Principio di Relatività: Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi inerziali animati di un moto rettilineo uniforme gli uni rispetto agli altri. Nessuno di questi sistemi inerziali è privilegiato.
2) Principio di costanza della velocità della luce: La velocità della luce nel vuoto ha sempre lo stesso valore c in tutti i sistemi inerziali. Essa è indipendente dalla velocità della sorgente o dell’osservatore.
Egli dice?
“Questi due presupposti bastano per giungere ad una elettrodinamica dei corpi in movimento semplice e libera da contraddizioni …”
E dell’etere, cosa ne è di questa misteriosa sostanza ?
“L’introduzione di un etere luminoso si manifesterà superflua …”
Così, con un solo colpo di penna, Einstein si sbarazza di ciò che da più parti veniva indicato come il tormento della fisica. L’etere se ne va, sparisce il riferimento assoluto e lo spazio assoluto (cosa che d’altra parte era implicita nel primo principio assunto da Einstein).
A questo punto sono dati i principi generali. Come intende proseguire Einstein ?
Proprio come indicavamo qualche riga più su a proposito dell’inconciliabilità: a partire da una revisione dei concetti fondamentali della meccanica e, in particolare, della cinematica (si noti: revisione della meccanica e non dell’elettrodinamica). Egli dice:
“La teoria da sviluppare si appoggia – come ogni altra elettrodinamica – sulla cinematica del corpo rigido, poiché le affermazioni di ogni teoria del genere riguardano rapporti tra corpi rigidi (sistemi di coordinate), orologi e processi elettromagnetici. Le non sufficienti considerazioni di questa circostanza sono la radice delle difficoltà con le quali l’elettrodinamica dei corpi in moto ha presentemente da lottare.”
Per costruire una elettrodinamica consistente con i suoi due principi, Einstein parte quindi da una ridefinizione di lunghezze e tempi che sono alla base di qualunque processo di misura, anche di fenomeni elettromagnetici, e che nel passato sono stati dati troppo facilmente per scontati.
Con ciò termina l’introduzione al suo articolo e passa a discutere, appunto, questioni di cinematica.

  • CINEMATICA
    La prima, questione che viene affrontata è la definizione di contemporaneità o simultaneità.
    Cosa si deve intendere per eventi simultanei ? Sembrerebbe di poter rispondere: eventi che avvengono nello stesso istante. Si, ma che significa nello stesso istante ?
    Per rispondere a questa domanda Einstein si costruisce una serie di strumenti concettuali tali che gli permettano di arrivare ad una definizione operativa delle grandezze fisiche tempo (mediante orologi) e lunghezza (mediante regoli rigidi). (849) Seguiamo il suo ragionamento.
    Egli inizia con l’introdurre un sistema inerziale che, per semplicità discorsiva, considera in quiete. Se si vuole definire la posizione di un punto materiale in questo sistema, lo si può fare misurando, con dei regoli rigidi, le distanze di questo punto dai tre assi cartesiani coordinati. Se si vuole definire il moto di questo punto materiale si possono dare le coordinate del punto in funzione del tempo. Ora, quando si parla di tempo, occorre fare attenzione. Infatti, parlare di tempo è come parlare di avvenimenti simultanei e questo perché se, ad esempio, noi diciamo che il treno arriva alle 7, intendiamo dire che il treno arriva simultaneamente a quando le lancette del nostro orologio segnano le 7. Si può allora sostituire la definizione di tempo con le posizioni delle lancette dell’orologio ? Questo va bene solo nel caso in cui si debba definire il tempo per il luogo dove si trova l’orologio; ma se si vogliono dare i tempi per “avvenimenti che si svolgono in luoghi differenti”, allora sorge la necessità di sapere cosa diventa quella simultaneità cui ci riferivamo prima. Noi potremmo certamente valutare il tempo in cui si produce un determinato fenomeno nello spazio a partire da un unico osservatore, munito di orologio, che si trovi nell’origine delle coordinate del nostro sistema inerziale: si produce l’avvenimento; esso viene segnalato all’origine delle coordinate con un segnale luminoso; quando il segnale luminoso arriva, l’osservatore va a vedere che tempo segna il suo orologio. Questo metodo però, osserva Einstein, “ha l’inconveniente di non essere indipendente dalla posizione dell’osservatore munito di orologio”; infatti, a posizioni diverse dell’osservatore, data la costanza di c (e qui non serve assumere la costanza di c per tutti i sistemi inerziali ma solo quella per un sistema in quiete), corrispondono tempi diversi per uno stesso fenomeno che avviene in un punto fissato dello spazio. (850) Einstein suggerisce quindi “una più pratica determinazione [per] avvenimenti che si svolgono in luoghi differenti” .
    Supponiamo di prendere in considerazione due punti A e B dello spazio, nei quali si trovino due osservatori muniti di due orologi identici. L’osservatore A potrà dare i tempi di A e delle immediate vicinanze; l’osservatore B potrà dare i tempi di B e delle immediate vicinanze. Se però non si fa qualche altra convenzione
    “non è possibile … paragonare temporalmente un avvenimento in A con un avvenimento in B; noi [infatti] abbiamo finora definito un tempo A e un tempo B, ma nessun tempo comune ad A e B.”
    L’ulteriore convenzione che manca per definire quest’ultimo tempo è
    “che il tempo che la luce impiega per giungere da A a B è uguale al tempo che essa impiega per giungere da B ad A.”
    Data questa definizione è allora possibile sincronizzare due orologi distanti mediante un segnale luminoso che, partito da A, dopo la riflessione su B, riporti ad A l’informazione sul tempo di B. Chiamiamo con tA l’istante (il tempo) in cui un raggio di luce parte da A, con tB l’istante in cui questo raggio viene riflesso da B per tornare verso A e con t’A l’istante in cui il raggio arriva di nuovo in A. La definizione data ci permette di dire che i due orologi funzionano in modo sincrono quando:
    tB – tA = t’A – tB . (851)
    Con questa definizione non vi è luogo a contraddizioni e non solo per i punti A e B, ma per qualsiasi altro punto dello spazio, di modo che valgono le seguenti condizioni:
    “1.Quando l’orologio in B cammina sincrono con l’orologio in A, l’orologio in A cammina sincrono con l’orologio in B.
    2.Quando l’orologio in A cammina sincrono con l’orologio in B quanto anche con l’orologio in C, camminano pure sincroni gli orologi in B e in C relativamente l’uno all’altro.”
    In questo modo, aiutandosi con esperienze mentali, Einstein fornisce una definizione di tempo e di simultaneità. In particolare, secondo Einstein,
    “il tempo di un avvenimento è l’indicazione contemporanea all’avvenimento di un orologio in quiete, che si trova nel luogo dell’avvenimento, il quale procede sincrono con un determinato orologio in quiete, e precisamente per tutte le determinazioni di tempo, con lo stesso orologio.”
    Come conseguenza di quanto detto ed in accordo con il Principio della costanza della velocità della luce, si ha:
    (2 AB)/( t’A – tA ) = c
    cioè: la velocità della luce, come costante universale, è data dal rapporto tra l’intero tragitto, andata e ritorno, tra A e B ed il tempo totale impiegato a percorrere questo tragitto. Come si ricorderà questi due punti, A e B, erano presi in un sistema in quiete, per cui
    “il tempo ora definito, a cagione di questa appartenenza al sistema in quiete, lo diremo il tempo del sistema in quiete.” (852)
    A questo punto si può cominciare a parlare di relatività di lunghezze e tempi introducendo nelle nostre discussioni e il Principio di relatività e quello della costanza della velocità della luce che vengono ora esplicitamente enunciati nel modo seguente:
    “1) Le leggi secondo le quali si modificano gli stati dei sistemi fisici sono indipendenti dal fatto che questi e cambiamenti di stato vengano riferiti all’uno o all’altro di due sistemi di coordinate che si trovino in relativa reciproca traslazione uniforme.
    2) Ogni raggio di luce si muove nel sistema di coordinate in quiete con la determinata velocità c, indipendente dal fatto che quel raggio di luce sia emesso da un corpo in quiete o da un corpo in movimento.”
    Supponiamo di avere, nel definito sistema in quiete, un’asta rigida di lunghezza h (misurata nello stesso sistema in quiete con un regolo rigido). Quest’asta si trovi poggiata sull’asse delle x e, ad un dato istante, cominci a muoversi con velocità v nel verso delle x crescenti. Ci si chiede qual è la lunghezza di questa asta in due eventualità:
    a) l’osservatore (853) è in moto con l’asta alla sua stessa velocità ed esegue la misura in questo sistema mediante un regolo rigido (il tutto va come se osservatore, asta da misurare, regolo di misura si trovassero in quiete);
    b) l’osservatore è sul sistema in quiete; egli, mediante orologi (in quiete) sincronizzati con quelli (in moto) che si trovano sull’asta da misurare, “deduce … in quali punti del sistema in quiete si trovino il principio e la fine dell’asta da misurare, in un determinato tempo t”; a questo punto si passa a misurare la distanza di questi due punti, mediante un regolo rigido nel sistema in quiete. Anche questa dovrà essere considerata come lunghezza dell’asta.
    Il principio di relatività ci dice subito che utilizzando il sistema di misura (a), “la lunghezza dell’asta in moto nel sistema in moto deve essere uguale alla lunghezza h dell’asta in quiete”; e ciò vuol dire che la misura che noi troviamo per l’asta è la stessa sia quando noi, stando in quiete, misuriamo l’asta in quiete nel sistema in quiete; sia quando noi, stando in moto, misuriamo l’asta in moto nel sistema in moto. (854)
    Vediamo ora di calcolarci mediante (b) “la lunghezza dell’asta in moto nel sistema in quiete” e, come Einstein anticipa, troveremo che essa è differente dalla precedente lunghezza h, e ciò in contrasto con quanto la cinematica ordinaria generalmente ammette. Supponiamo di avere alle estremità A e B dell’asta due orologi sincronizzati con gli orologi del sistema in quiete; e ciò vuol dire che i tempi indicati dagli orologi che si trovano in A e B corrispondono, istante per istante, al “tempo del sistema in quiete”; e ciò vuol dire ancora che gli orologi che si trovano in A e B sono “sincronizzati nel sistema in quiete”. (855) Vi sia poi un osservatore vicino all’orologio A ed un osservatore vicino all’orologio B, di modo che i due osservatori si muovano con gli orologi. Questi osservatori dovranno sincronizzare gli orologi mediante il sistema di sincronizzazione dato precedentemente e cioè mediante un segnale luminoso. Allora, “al tempo tA del sistema in quiete parta [da A] un raggio luminoso, venga riflesso al tempo tB in B e ritorni al tempo t’A in A”. Questo segnale impiegherà un tempo tB – tA per percorrere la distanza AB ed un tempo t’A – tB per percorrere la distanza BA. Ora, a seguito del principio della costanza della velocità della luce, il segnale luminoso che viaggia con velocità c: quando da A va verso B, dovrà rincorrere l’estremo B che gli si allontana con velocità v; quando da B torna verso l’estremo A, si troverà quest’ultimo che gli va incontro con velocità v. In definitiva, se con rAB denotiamo la lunghezza dell’asta misurata nel sistema in quiete, si ha: (857)
    tB – tA = rAB /(c – v) e t’A – tB = rAB /(c + v)
    Quanto ricavato vuol dire che “osservatori in moto con l’asta in moto troverebbero i due orologi non procedenti sincronicamente, mentre osservatori nel sistema in quiete dichiarerebbero, sincroni quegli orologi”. (858) E questo perché, mentre avevamo visto che per il sistema in quiete i due orologi situati in A e B erano sincroni con la conseguenza che per il sistema in quiete doveva risultare:
    tB – tA = t’A – tB
    ora, per il sistema in moto, risulta:
    tB – tA ≠ t’A – tB.
    Einstein può allora concludere:
    ” Vediamo dunque che al concetto di simultaneità non possiamo attribuire alcun significato assoluto, ma che invece due avvenimenti che, considerati da un sistema di coordinate, sono simultanei, considerati da un sistema mosso relativamente ad esso, non sono più da considerare come avvenimenti simultanei.”
    In definitiva, il concetto di simultaneità, dato per evidente nella cinematica classica, viene a perdere il suo valore assoluto, diventando relativo. Inoltre si scambiano i ruoli preesistenti: mentre prima la definizione di tempo ci permetteva di parlare di eventi simultanei, ora la definizione di eventi simultanei ci permette una misura del tempo.
    Abbiamo ora in mano tutte le premesse necessarie per costruirci le equazioni di trasformazione, quelle cioè che ci permettono di passare da un sistema supposto in quiete ad un altro in moto traslatorio uniforme rispetto al primo (e viceversa). Questa parte viene trattata da Einstein nel paragrafo 3 della sua memoria. Io, per ragioni di semplicità concettuale ed espositiva, (859) preferisco seguire un modo diverso per ricavare le stesse equazioni di trasformazione. Questa trattazione è stata elaborata dallo stesso Einstein in un’epoca successiva (1916). (860)

Questa seconda parte inizia con la trascrizione delle equazioni di Maxwell nella forma di Hertz per lo spazio vuoto. (872) Einstein quindi suppone che queste equazioni così scritte siano valide per il sistema di riferimento S (supposto in quiete). Osservando ora da S un fenomeno elettromagnetico
che si svolge su S’ (supposto in moto uniforme con velocità v rispetto ad S), le equazioni che lo descrivono si dovranno ottenere applicando a quelle date su S le equazioni di trasformazione (8) da lui precedentemente trovate. La forma che egli trova per le equazioni di Maxwell-Hertz, scritte per il sistema S’ osservato da S, è differente dalla forma che esse avevano nel sistema S.
A questo punto interviene però il principio di relatività: le equazioni di Maxwell-Hertz per lo spazio vuoto debbono valere anche in S’, se valgono in S; e ciò vuol dire che queste equazioni debbono avere la stessa forma di quelle originariamente scritte per S, quando le scriviamo per il sistema S’ osservato
dallo stesso S’.
Scritte quindi le equazioni di Maxwell-Hertz per il sistema di riferimento S’ (esse sono uguali a quelle scritte per S solo che ora le grandezze che vi compaiono sono grandezze di S’ e quindi hanno l’apice), Einstein osserva, che i due sistemi di equazioni ottenuti per il riferimento S’ (quello originato dalle equazioni di Maxwell-Hertz scritte per S e trasformate per S’ e quello scritto direttamente per S’) debbono esprimere la stessa cosa. (873) Affinché ciò accada , confrontando i due sistemi di equazioni con considerazioni di simmetria, si devono avere le seguenti equazioni di trasformazione per i campi
elettrici E e magnetici H:

esercita su un’altra carica unitaria alla distanza di 1 cm la forza di 1 dine). Secondo il principio di relatività questa carica sarà unitaria anche se misurata nel sistema S’ in moto relativo con velocità v. Ora, se questa carica è in quiete relativamente ad S allora il vettore campo elettrico E, di componenti Ex, Ey , Ez, è uguale per definizione alla forza che agisce su di essa (indicando con q la carica unitaria si ha E = F/q) ; se invece questa carica è in quiete relativamente ad S’ (almeno nell’istante corrispondente) allora la forza che agisce su di essa, misurata in S’, è uguale al vettore E’, di componenti E’x, E’y., E’z
(anche qui, indicando con q’ la carica unitaria, si ha E’ = F’/q’). (874) Con quanto detto Einstein passa a confrontare la prima terna delle equazioni (14), quella relativa al campo E, con la vecchia formulazione e la nuova da lui proposta.
Secondo la vecchia formulazione le (14), relative al campo E, si possono esprimere a parole nel modo seguente:

Se una carica elettrica puntiforme ed unitaria si muove in un campo elettromagnetico, su di essa agisce, oltre alla forza elettrica E, una forza elettromotrice che è data dal prodotto vettoriale della sua velocità per la forza elettromagnetica H, diviso per la velocità della luce. (875)

    Secondo la nuova formulazione le (14), ancora relative al campo E, si possono esprimere a parole nel modo seguente:

Se una carica elettrica puntiforme ed unitaria si muove in un campo elettromagnetico, la forza che agisce su di essa è uguale alla forza elettrica E esistente nel luogo dove si trova la carica; questa forza si ottiene per trasformazione del campo elettromagnetico in un sistema di coordinate che si trovi in quiete relativamente alla carica.

(Ed analoghe considerazioni possono essere sviluppate per le forze magnetomotrici).
Qual è allora la grande novità della nuova formulazione rispetto alla vecchia ? (876)
Nell’elaborazione della teoria di Lorentz, i moti relativi di una carica elettrica e di un campo magnetico erano sempre riferiti ad un etere immobile e quindi si poteva parlare di moto assoluto della carica elettrica o del campo magnetico rispetto all’etere. L’esistenza di questo moto assoluto, una volta del campo magnetico rispetto alla carica immobile relativamente all’etere ed una volta della carica rispetto al campo magnetico immobile relativamente all’etere (figura 41), fa nascere, rispettivamente, una volta una forza elettrica ed una volta una forza magnetica.
Nella teoria che ora propone Einstein non vi sono più moti assoluti rispetto all’etere. Anzi non vi è più nemmeno l’etere. Ora il crearsi di una forza elettrica o magnetica dipende solo dal moto relativo di carica elettrica e campo magnetico ed, in definitiva, dal solo moto dell’osservatore (a seconda che l’osservatore sia solidale con la carica elettrica o con il campo magnetico).
Ma è allora possibile che un dato campo sia una cosa o un’altra, a seconda del moto dell’osservatore ?
Il problema è risolto dalle equazioni di trasformazione (14): il campo elettrico ed il campo magnetico non hanno alcuna realtà indipendente, non esistono cioè fenomeni elettrici e magnetici gli uni distinti dagli altri; un campo che sia elettrico o magnetico in un dato riferimento ha sia componenti
elettriche che magnetiche in un altro riferimento; il campo elettrico ed il campo magnetico non sono altro che casi particolari del più generale e dell’effettivo campo, quello elettromagnetico. (877) E’ il campo elettromagnetico che risulta indipendente dal moto dell’osservatore. Più in particolare, nell’esempio del moto relativo tra conduttore e magnete (si veda la figura 41), ma senza considerare l’etere): nel caso in cui l’osservatore e’ solidale con il conduttore (figura 41a) si osserva il sorgere di un campo elettrico e quindi di una forza elettromotrice nel caso in cui l’osservatore è solidale con il magnete (figura 41b) si osserva il sorgere di una stessa forza elettromotrice, originata dalla vecchia concezione della forza (magnetica) di Lorentz. Ora, con le equazioni (14) questa forza di Lorentz, nel passaggio da un sistema ad un altro (dal sistema in cui l’osservatore è solidale con il magnete a quello in cui è solidale con il conduttore), non rappresenta altro che un campo elettrico. (878)
Lo stessa Einstein così conclude questa parte del suo articolo:
“Si vede che nella teoria sviluppata la forza elettromotrice ha solo il ruolo di un concetto ausiliario, il quale deve la sua introduzione alla circostanza che le forze elettriche e magnetiche non hanno alcuna esistenza indipendente dallo stato di moto del sistema delle coordinate.
E’ inoltre chiaro che le asimmetrie citate nell’introduzione riguardanti le correnti prodotte per mezzo di moti relativi di un magnete e di un conduttore spariscono. Anche le questioni relative alla ‘sede’ delle forze elettromotrici elettrodinamiche (macchine unipolari) divengono prive di significato.” (879)
Con la revisione del concetto di tempo, a partire da una ridefinizione di simultaneità, Einstein è riuscito a mettere a posto le asimmetrie nei fenomeni elettromagnetici delle quali ha parlato nell’introduzione. Nel far questo si è sbarazzato del concetto di etere ed ha costruito le basi per una ridefinizione unitaria dei concetti meccanici ed elettrodinamici.
Le prime applicazioni di quanto fin qui trovato vengono subito dopo, nel seguito dell’articolo.
Il paragrafo 7 si occupa della Teoria del principio di Doppler e della aberrazione, mentre il paragrafo 8, Trasformazione dell’energia dei raggi luminosi, tratta del problema della pressione di radiazione. Non tratterò qui di queste applicazioni della relatività ma mi riservo di farlo per alcuni di questi fenomeni e per altri nel prossimo paragrafo, dove tratterò in modo più semplificato ed intuitivo quanto fino ad ora visto a proposito di relatività. Per ora basti osservare che i paragrafi 7 ed 8 sono un ulteriore esempio del metodo einsteniano: prima sono stati formulati i due principi alla base della relatività, sui quali è stata appunto costruita una teoria fisica basata su poche, semplici ed essenziali, ipotesi quindi si va ad applicare questa fisica a fenomeni particolari.
Nell’economia del nostro lavoro solo due parole possiamo dedicare al paragrafo 9 dell’articolo. Trasformazione delle equazioni di Maxwell-Hertz con considerazione delle correnti di convezione, nel quale si affronta il problema della conservazione della carica nel passaggio da un riferimento ad un altro in moto traslatorio uniforme rispetto al primo.
Einstein si riscrive ora le equazioni di Maxwell-Hertz introducendo in esse le ‘correnti di convezione’ e cioè esprimendo le componenti (Ex, Ey, Ez ) del vettore campo elettrico E in funzione della densità di corrente e della velocità con cui si sposta l’elettricità. Egli osserva quindi che
“se si pensano le masse elettriche invariabilmente legate a piccoli corpi rigidi (ioni, elettroni) queste equazioni sono le basi elettromagnetiche dell’elettrodinamica ed ottica dei corpi in movimento di Lorentz.”
Supposte allora valide queste equazioni per il riferimento S considerato in quiete, le possiamo trasformare mediante le (8) e le (14) in modo che esse ci descrivano gli stessi fenomeni per un riferimento S’, considerato in moto con velocità v rispetto ad S. Da questa trasformazione Einstein ricava, con lo stesso metodo ‘di confronto’ utilizzato per ricavare le (14) e come conseguenza del teorema di composizione delle velocità, un vettore che rappresenta la velocità di quelle masse elettriche misurata nel sistema S’. Einstein può così affermare che
“è dimostrato che la base elettrodinamica della teoria elettrodinamica dei corpi in movimento di Lorentz, secondo i nostri principi cinematici, corrisponde al principio della relatività.”
Infine egli ricava
“il seguente importante teorema: se un corpo elettricamente carico si muove ad arbitrio nello spazio e con ciò non cambia la sua carica, considerata da un sistema di coordinate che si muova col corpo, la sua carica rimane anche costante, considerata dal sistema in quiete S.”
E quest’ultimo teorema non esprime altro che l’invarianza della carica elettrica nel passaggio da un riferimento ad un altro e cioè che la carica elettrica non dipende dal suo moto.
Il paragrafo 10, ultimo dell’articolo, merita invece una, certa attenzione. In esso Einstein, partito dalla cinematica, inizia, l’elaborazione di una dinamica. Il titolo del paragrafo è: Dinamica dell’elettrone (lentamente accelerato); vediamone il contenuto. (880)
Supponiamo di avere un elettrone di carica e che si muova all’interno di un campo elettromagnetico sotto le seguenti ipotesi; esso è stato appena messo in moto, con piccola accelerazione; la forza elettrica f = eE che agisce su di esso produce l’accelerazione a della sua massa mo, di modo che risulta f = mo a ed in definitiva si ha mo a = eE , oppure, esprimendo questo ultimo risultato secondo le componenti ax, ay , az del vettore accelerazione e le componenti Ex , Ey , Ez del vettore campo elettrico,

moax = eEx

moay = eEy

moaz = eEz

dove mo e’ la massa dell’elettrone fintantoché la sua velocità è molto piccola rispetto alla velocità della luce. (881)
Supponendo che, ad un dato istante, l’elettrone sia. dotato di una velocità v, vogliamo calcolarci la legge del moto per l’elettrone nell’istante successivo. Per semplicità, supponiamo ancora che all’istante t = 0, istante in cui cominciamo a considerare il fenomeno, l’elettrone si trovi nell’origine delle coordinate e inizi a muoversi con velocità v lungo l’asse delle x (nel verso delle x crescenti). Le cose vanno allora come se l’elettrone si trovasse in quiete in un sistema di riferimento S’ in moto con velocità v, (882) lungo il verso delle x crescenti, rispetto ad un riferimento S considerato in quiete. Quali sono allora le leggi che regolano il moto dell’elettrone, osservato da S’, nell’istante immediatamente successivo all’inizio del moto ? Il principio di relatività ci dice che i fenomeni si debbono svolgere allo stesso modo nei due riferimenti e che si deve perciò avere

moa’x = eE’x

moa’y = eE’y

moa’z = eE’z

dove i simboli a’x, a’y, a’z, ed E’x, E’y, E’z, sono riferiti al sistema S’. Imponiamo inoltre che per t = x = y = z = 0 debba risultare t’ = x’ = y’ = z’ = 0; valgono allora le equazioni di trasformazione (8), per il tempo e le coordinate, e (14), per il campo elettrico. “Con l’aiuto di queste equazioni trasformiamo le equazioni del moto ottenute sopra, dal sistema S’ al sistema S ’’, ed avremo, avendo indicato con β la quantità
β = (1 – v2/c2)- 1/2 : (883)

          moax = eβ-3Ex

    moay = eβ-1Ey                                          (15 bis)

    moaz = eβ-1Ez

le quali si possono anche scrivere:

moβ3ax = eEx

    moβ ay = e [Ey – (v/c) Hz]                                                     (15)

    moβ az = e [Ez + (v/c) Hy]

E fin qui nulla da dire. A questo punto però Einstein “commise la svista di applicare ancora la meccanica newtoniana al moto dell’elettrone.” (884) Seguiamo i suoi successivi passaggi. Egli si rende conto di avere al primo membro delle (15) delle forze. Al secondo membro, invece, almeno così sembra, che pensasse Einstein nel 1905, non ha delle forze (a parte la prima delle 15). Basta però moltiplicare per β ambedue i membri delle ultime due relazioni (15) per ottenere :

moβ3ax = eEx

    moβ2ay = eβ [Ey – (v/c) Hz]                                                     

    moβ2az = eβ [Ez + (v/c) Hy]

e, ricordando le (14), si ha subito:

moβ3ax = eE’x

        moβ2ay = eE’y                            (16)

        moβ2az = eE’z

A questo punto, al secondo membro delle (l6), Einstein ha le componenti eEx, eEy, eEz della forza elettromotrice che agisce sull’elettrone, considerate nel sistema di riferimento che si muove con l’elettrone, con la sua stessa velocità (in quel momento). (885) Egli chiama questa forza, “la forza agente sull’elettrone” ed utilizza la legge newtoniana che fornisce la forza:

grandezza della massa moltiplicata per grandezza dell’accelerazione = grandezza della forza

Si deve subito osservare che non è più possibile utilizzare questa relazione (almeno all’interno della meccanica relativistica.) .Essa si fonda infatti sul concetto classico di quantità di moto (mv) e di sua variazione nell’unità di tempo Δ(mv)/Δt. Ora, supponendo di non sapere ancora che la massa m non è più costante, la relazione che ci dà la variazione della quantità di moto nell’unità di tempo diventa:

grandezza della forza = variazione della quantità di moto nell’unità di tempo

[o meglio: grandezza della forza = derivata rispetto al tempo della quantità di motoJ.
E questo per ciò che riguarda la definizione della forza data da Einstein. C’è poi un altro aspetto del problema. Einstein, come abbiamo visto, credette di poter indicare la forza elettromotrice che agisce sull’elettrone con le sue componenti eEx, eEy , eEz, anche nel sistema S. Tuttavia, come dice Pauli, (886) in meccanica relativistica si mostra che la definizione di forza elettromotrice, più opportuna e più naturale, per una carica che si muova in un campo elettromagnetico, di moto qualsiasi, è la forza, di Lorentz. “Si mostra cioè che solo con questa definizione è possibile esprimere la forza come derivata temporale di una quantità di moto, che nei sistemi isolati si conserva.” (886)
Queste difficoltà, presenti nella prima formulazione di Einstein della relatività, furono messe in evidenza ed in gran parte risolte da Plance (887) in una sua memoria del 1906. (888) Lo stesso Einstein le riconobbe subito fondate, tant’è vero che nelle ristampe successive del suo articolo del 1905
aggiunse delle note in questo senso. Una di queste dice:
“La definizione della forza qui data non è vantaggiosa, come per primo fu dimostrato da M. Planck. E’ assai più utile definire la forza in modo che il teorema dell’impulso e il teorema dell’energia assumano la forma, più semplice.” (889)
Ritornando alle (l6), vediamo come prosegue Einstein.
Egli, data la sua definizione di forza ‘meccanica’ e di forza elettromotrice, poiché ha forze ai primi ed ai secondi membri, può riconoscere in moβ3, moβ2, moβ2 delle masse ed in particolare le masse longitudinale e trasversale:

A questo punto del suo articolo Einstein, dopo aver osservato che questi ultimi risultati valgono anche per punti materiali ponderabili che diventano elettroni quando a loro si aggiunga una carica elettrica, (890 bis) passa a. discutere dell’energia che compete all’elettrone che si muove, secondo le modalità viste prima, in un campo elettromagnetico.
Supponiamo che un elettrone si muova lungo l’asse x del sistema S (supposto in quiete) sotto l’azione del campo elettrico E e quindi della forza eEx. L’energia necessaria a che il moto dell’elettrone si realizzi è evidentemente fornita dal campo. Poiché l’energia che richiede l’elettrone per spostarsi è
data dalla forza cui è soggetto moltiplicata per lo spostamento, per un dato spostamento Δx l’energia ΔW necessaria all’elettrone e’ data da:

ΔW = F. Δx

e cioè:

ΔW = eEx Δx. (18)


ogni spostamento infinitesimo dx. Ora, l’energia rappresentata dalla (20) è energia che il campo deve fornire all’elettrone, il quale, si ricordi, essendo lentamente accelerato, non può perdere energia
sotto forma di radiazione elettromagnetica. Inoltre l’energia che il campo fornisce all’elettrone diventa energia cinetica dell’elettrone e quindi le due energie dovranno poter essere uguagliate.
Anche l’energia cinetica sarà data dal prodotto della forza, (questa volta meccanica) cui è soggetto l’elettrone, moltiplicata per un dato spostamento Δx. Tenendo presente la prima delle (15) che per la
forza meccanica dà il prodotto della massa longitudinale moβ3 , per l’accelerazione ax, per l’energia
cinetica ΔW che compete all’elettrone si avrà:

ΔW = moβ3. ax Δx

cioè infinitamente grande e ciò vuol dire

occorre fornirgli una energia infinita. E naturalmente, anche qui come nei risultati precedenti, non ha senso pensare a velocità superiori a c. Inoltre, dice Einstein, la relazione (22) deve valere anche
per masse ponderabili. E, dopo aver ricavato alcuni risultati “espressione delle leggi secondo le quali conformemente alla presente teoria deve muoversi l’elettrone”, Einstein conclude questo lavoro ringraziando il suo amico Michele Besso per il sostegno che gli fornì nell’elaborazione dell’articolo.

NOTE

(826) Annalen der Physik, 17; 1905; pagg. 891-921. Una traduzione in italiano di questo lavoro si trova in bibl.174, pagg.479-504. A questa mi riferirò.
(827) Annalen der Physik,18; 1905; pagg. 639-641. Una traduzione in italiano di questo lavoro si trova in bibl. l74 pagg. 505-50 7. A questa mi riferirò.
(828) La famosa relazione E = mc2 sarà ricavata da Einstein in un lavoro del 1907 pubblicato nel Jahrbuch der Radioaktivität.
(829) Una breve considerazione la merita questo aggettivo. Einste in era quel che si dice un. outsider. Egli correva al di fuori degli ippodromi universitari e non doveva rendere conto al suo cattedratico. La parte predominante della sua formazione si era costruita al di fuori dell’Università. Era un autodidatta. Spesso non andava a lezione e si presentava a far esami con i preziosi appunti che gli passava il suo amico Grossmann. Il suo professore H. Weber una volta ebbe a dirgli “Lei è un giovane intelligente, ma ha un difetto. Non consente a nessuno di insegnarle qualcosa”.
Per altri versi lo stesso Einstein riconobbe l’importanza di non stare dentro l’ambiente accademico; più volte egli sosterrà che la fisica, teorica la può far meglio un fontaniere o un ciabattino che possono dedicarsi a pensare ai problemi importanti senza l’ossessione di dover rendere conto della propria vita attraverso il susseguirsi di tante inutili pubblicazioni (e l’impiego all’Ufficio Brevetti era considerato da Einstein il suo essere ciabattino).
Allo stesso modo dell’altro outsider, Faraday, Einstein può permettersi di rimettere in discussione i concetti più consolidati nel campo della fisica, e soprattutto gli stessi metodi che presiedono la ricerca. Così come sui quanti di luce, Planck non aveva avuto il coraggio di fare il passo decisivo, allo stesso modo né Lorentz né soprattutto Poincaré l’avevano fatto sul problema relatività. Questi due passi li fece Einstein.
Si noti a parte che Planck per molto tempo avverserà la soluzione dei quanti di luce di Einstein. Al contrario Planck fu il primo fisico di fama che accettò e lavorò sulla relatività con importanti contributi (già nel 1906 e 1907 usciranno suoi articoli in proposito); tra l’altro, molto probabilmente, si deve a Planck, che stava nella redazione degli Annalen, se il lavoro di Einstein sulla relatività fu pubblicato.
(830) Dice Einstein nelle Note autobiografiche (bibl. l68, pag. 33): ” La teoria della relatività particolare deve la sua origine alle equazioni di Maxwell del campo elettromagnetico.” Ricordiamo che Einstein aveva trovato difettose le equazioni di Maxwell nella spiegazione del problema del corpo nero e dell’effetto fotoelettrico. Inoltre queste equazioni fornivano previsioni non corrette sulla pressione di radiazione.
(83l) Lo psicologo M. Wertheimer, amico di Einstein, scrive (citato da Hirosige; bibl. 124, pag.54): ” Se le equazioni di Maxwell sono valide rispetto ad un sistema, esse non sono valide in un altro. Esse dovrebbero essere cambiate … Per anni Einstein tentò di chiarire il problema studiando e cercando di modificare le equazioni di Maxwell. Non ebbe successo …”
(832) Bibl. 168, pag. 20.
(833) Dice Tarsitani (bibl. 170, pag.304) che la situazione nella quale si trovava ad operare Einstein era la seguente: “Elettrodinamica e termodinamica entrano in contraddizione quando si tratta di affrontare il problema della radiazione termica, meccanica e termodinamica, entrano in contraddizione nell’interpretazione statistica della seconda legge …, meccanica ed elettrodinamica si scontrano sul piano del principio di relatività e della dinamica dell’elettrone.”
(834) Bibl.168, pag. 28. Nella stessa pagina si trovano anche le citazioni precedenti senza indicazione bibliografica.
(835) Per due obiezioni a questo paradosso si veda bibl. 111, pag. 350 (nota 8) e bibl.128, pagg. 300-301. Questo paradosso, a ben guardarlo, è un gatto che si morde la coda poiché dà già per scontata una delle affermazioni fondamentali della relatività, la costanza della velocità della luce per tutti gli osservatori.
(836) Si tratta di un bel lavoro a fumetti. Bibl. 175, pag. 191.
(837) Bibl. 174, pag. 479. Tutte le citazioni che seguiranno senza riferimento bibliografico sono tratte, salvo avviso contrario, da questo testo di bibliografia, da pag. 479 a pag. 504.
(838) Una discussione dettagliata dei due casi d’induzione si può trovare su La Fisica di Berkeley (bibl. 176, Vol II, pagg. 265-280). Si noti però che questa trattazione dà già per scontata le non esistenza dell’etere.
(839) In questo caso la differenza di potenziale tra A e B nasce a seguito della forza di Lorentz (che abbiamo incontrato all’inizio del paragrafo 5 del capitolo 4). Si hanno infatti delle cariche (quelle che sono all’interno del conduttore) che si muovono all’interno di un campo magnetico. Queste cariche saranno soggette alla forza di Lorentz che risulta perpendicolare al piano formato dalla direziono del campo e da quella del suo spostamento. In particolare gli elettroni tenderanno ad accumularsi ad un estremo del circuito (finché non si raggiunga l’equilibrio con il campo elettrostatico che così si genera) dando così origine alla differenza di potenziale in oggetto.
(840) Sul fatto che l’asimmetria in oggetto rivestisse per lui grande importanza è dimostrato anche da uno scritto inedito di Einstein (datato circa 1919) nel quale, tra l’altro, egli afferma che un’asimmetria dello stesso genere lo condusse alla Relatività Generale. Allo scopo si può vedere G. Holton, The American Scholar, Vol. 41, inverno1971-1972, pagg. 95-100 (bibl. 127, pagg. 306-307) .
(841) Se si osserva che tutto ciò che ci circonda è costituito da particelle cariche ci si rende conto che è impossibile distinguere la dinamica, dall’elettrodinamica. Ed allora, o si mette a posto l’elettrodinaniica, o si rinuncia al principio classico di relatività, o si costruisce una nuova meccanica. La strada che seguirà Einstein sarà, come vedremo, l’ultima.
(642) Nell’intervista scritta di Shankland ad Einstein, già citata, Einstein, oltre all’esperienza di Michelson-Morley di cui aveva una conoscenza indiretta, fa riferimento proprio all’aberrazione ed all’esperienza di Fizeau (bibl.120, pag.35). Si noti che, nella stessa intervista, Einstein sostiene: “Ciò che mi ha condotto più o meno indirettamente alla teoria della relatività era la convinzione che la forza elettromotrice che agisce su un corpo in moto in un campo magnetico non è altro che un campo elettrico.” In questo modo, l’asimmetria, di cui abbiamo parlato prima, sparisce. Ma per ottenere questo occorreva, appunto, la teoria della relatività.
(843) Si sta parlando di sistema inerziali. E’ interessante osservare che questo concetto, oggi così diffuso e quasi indispensabile, fu introdotto solo nel 1885 dal fisico tedesco L. Lange (l863- ? ) nel suo lavoro Sulla formulazione scientifica della legge d’inerzia di Galileo. Egli propose di riferire la legge d’inerzia non più ad uno spirituale spazio assoluto ma, appunto, ad un sistema inerziale, ad un sistema di riferimento cioè rispetto al quale quella legge rimane valida (bibl .10, pag. 123).
(844) Si noti che il riferimento che Einstein fa (“… come è stato dimostrato per le grandezze del primo ordine”) mostra la sua conoscenza del lavoro di Lorentz del 1895 senza la parte – l’Appendice – in cui, con l’introduzione dell’ipotesi della contrazione, il fisico olandese mostrava di poter rendere conto dei fenomeni anche al secondo ordine. Si noti ancora che il cosmologo H. Bondi osserva: ” Sarebbe intollerabile che tutti i sistemi inerziali fossero equivalenti da un punto di vista dinamico, ma distinguibili mediante misure ottiche.” Si noti infine che un altro modo di enunciare il principio di relatività di Einstein è il seguente: ” Un osservatore che sia dotato di un moto traslatorio uniforme, non può decidere né con esperienze meccaniche, né con esperienze elettrodinamiche, né con esperienze ottiche, se egli si trovi in stato di quiete o di moto.
(855) Einstein, per la velocità della luce usa il simbolo V. Ho creduto opportuno sostituire questa notazione con quella, c, a noi più famigliare. Allo stesso modo ho operato per altre notazioni da noi oggi poco usate. In particolare, alla traduzione di Straneo di contemporaneità ho sostituito simultaneità. Si noti che, nelle ipotesi di Einstein, la velocità della luce deve essere indipendente sia dalla velocità del corpo emittente sia dalla velocità dell’osservatore, e ciò risulta chiaramente da un altro enunciato che Einstein fornisce per questo Principio nella stessa memoria (bibl 174, pag.482 ; è il punto 2 del secondo paragrafo della memoria in oggetto).
(846) Berkson fa rilevare che forse Einstein si costruì un’immagine dell’etere “come un lago e del sistema in moto come una barca a vela che si sposta in esso. Se ci sporgiamo e colpiamo l’acqua con un remo (sorgente luminosa), si emetteranno delle onde (luce) dal luogo dove abbiamo agitato l’acqua. La velocità delle onde cosi prodotte dipenderà dalla natura e dalla profondità dell’acqua (etere), ma non dalla velocità della barca attraverso l’acqua (velocità della sorgente).”
(847) Bibl. 174, pag.99. Su questo argomento torneremo più oltre, per ora si osservi che nel 1908 il fisico svizzero W. Ritz (1876-1909) elaborò una elettrodinamica fondata sul solo principio einsteniano di relatività, respingendo quindi la costanza di c in tutti i sistemi inerziali. Nella sua teoria (Annalen de Chimie et de Physique, 8; 1908) la luce era costituita da minuscole particelle (i quanti di luce introdotti da Einstein nel 1905) scagliate dalla sorgente in tutte le direzioni (l’analogo della teoria corpuscolare di Newton). Ebbene queste particelle hanno una velocità costante solo rispetto al corpo che emette la luce (e non, come in Einstein, in tutti i riferimenti inerziali). La teoria di Ritz, senza introdurre né tempo locale, né contrazioni, rendeva conto di tutti i fenomeni noti (compresa l’esperienza di Michelson). Solo nel 1939 fu scoperto da H.E. Ives, l’effetto relativistico Doppler trasversale che non si concilia con questa teoria mentre è in accordo con quella di Einstein. Ritz comunque non poté portare a termine il suo programma perché morì prematuramente nel 1909. Una discussione ad alto livello della teoria di Ritz è fatta da Pauli ( bibl, 179, pagg. 10-15 ).
(848) Avremo modo di soffermarci più oltre delle verifiche sperimentali della Relatività; per ora basti dire che la costanza di c e la sua indipendenza dalla velocità della sorgente o dell’osservatore, risulta con chiarezza da due fenomeni esemplari: la sua misura utilizzando come sorgente le stelle doppie e la sua misura dal decadimento della particella ° (pai zero).
(849) Colui che per primo formulò in modo esplicito l’operazionismo fu il fisico statunitense P.W. Bridgman (l862-1961) . Per eliminare dalla fisica e dalla scienza in genere molti concetti metafisici, Bridgman propose (1927) di definire i vari concetti che si utilizzano nella fisica in termini di operazioni o processi (di misura, di laboratorio, …). In un suo saggio, Le teorie di Einstein da un punto di vista operativo, inserito nel volume curato da Schlipp, Albert Einstein, scienziato e filosofo (bibl.168, pagg. 281-301), Bridgman afferma che colui che ha, nei fatti, inventato l’operazionismo è stato proprio Einstein con la sua Teoria della relatività ristretta. Dice Bridgman in apertura del saggio: ” Questa esposizione tenterà di dimostrare che Einstein non riportò nella sua relatività generale la profondità e gli insegnamenti che egli stesso ci aveva dato con la sua teoria particolare.” Einstein quindi, almeno con la sua relatività generale, abbandonò il punto di vista operativo nella definizione delle grandezze. Sul l’argomento si veda anche Bergia in bibl. 148, pagg. 37-38.
(850) Si noti che un’altra possibilità di dare i tempi per avvenimenti che si svolgono in luoghi differenti potrebbe essere quella di portare gli orologi nello stesso luogo, sincronizzarli e quindi riportarli nei luoghi d’origine. Einstein non prende in considerazione questa possibilità perché, probabilmente, aveva in mente due difficoltà: chi garantisce che il moto non alteri il funzionamento degli orologi ? e chi ci assicura che per due fenomeni differenti i tempi passino allo stesso modo ? Si ricordi che quella di Einstein è una definizione operativa.
(851) In definitiva, per sincronizzare un orologio che sta in A con uno che sta in B, si invia un segnale luminoso da A a B e si attende che ritorni in A. Alla fine dell’esperimento il tempo totale letto sa A, diviso per due, permette di sincronizzare i due orologi.
(852) Si noti che, in accordo con il Principio di relatività, tutti i sistemi inerziali sono equivalenti. Scelto un sistema inerziale a caso, nessuno ci vieta di considerarlo come se fosse in quiete (ed il fatto è in accordo anche con il principio classico di relatività). Occorre comunque ricordare che, dato un sistema inerziale, tutti quei sistemi che si muovono di moto rettilineo uniforme rispetto a quello, sono anch’essi inerziali.
(853) Taylor, in un modo divertente, fa rilevare: ” in queste spiegazioni intervengono sempre gli osservatori, i quali non possono neppure dormire perché, se lo facessero, potrebbero perdersi qualche avvenimento importante e mettere in crisi l’intera teoria” (bibl. 177, pag.86). Sulla abbondanza degli osservatori nella relatività basta tener sempre presente che l’osservatore non è né un fisico né un filosofo; non é uno che fa teorie ma, al contrario, è un esecutore materiale di misure, un operatore metrico.
(854) Se qualcuno, che ha già una qualche conoscenza di relatività, pensasse a per ora non meglio specificate contrazioni dell’asta, tenga conto che le contrazioni riguardano anche il regolo di misura. Ma su questo torneremo più oltre.
(855) Cioè: nel sistema in quiete risulterà, come abbiamo visto, tB – tA = t’A – tB . Il che vuol dire che: l’orologio che si trova in A indicherà il tempo di A nel luogo in cui si trova A; l’orologio che si trova in B indicherà il tempo di B nel luogo in cui si trova B; sia l’orologio di A che quello di B indicheranno il tempo del sistema in quiete; nel sistema in quiete i due orologi risulteranno sincroni.
(656) Come lo stesso Einstein ci fa osservare, questo tempo del sistema in quiete è anche la “posizione delle lancette dell’orologio del sistema in moto” che si trova nel luogo di cui si parla.
(857) Se si ricorda l’enunciato originale di Einstein del principio di costanza della velocità della luce (dato appena qualche riga più su), si riconoscerà che la velocità della luce, nel sistema in quiete, deve essere c. Ciò vuol dire che gli orologi del sistema in quiete misureranno un tempo maggiore per la luce che va da A a B rispetto a quello necessario alla luce per andare da B ad A. In un caso infatti bisognerà tener conto del fatto che la luce emessa da A deve raggiungere B che si allontana con velocità v; nell’altro caso, la luce riflessa da B dovrà raggiungere A che si avvicina con velocità v.
(858) Facendo seguito a quanto detto nella nota precedente, se gli orologi che si trovano in moto agli estremi dell’asta in movimento sono sincronizzati con il metodo di Einstein, rispetto al sistema in quiete daranno, tra loro e istante per istante, letture differenti. Ma poiché il principio della costanza di c è affermato per tutti i sistemi inerziali, noi dobbiamo ammettere che gli orologi nel sistema in moto, sincronizzati tra loro con il solito metodo, sono effettivamente sincroni tra loro.
(659) II modo con cui Einstein ricava le equazioni di trasformazione nella memoria del 1905 è, per noi, complesso per due motivi: 1) si introducono le equazioni alle derivate parziali che non conosciamo (non tutti almeno); 2) si svolgono dei ragionamenti un poco farragginosi (a posteriori!).
(860) In un lavoro divulgativo dal titolo Sulla relatività speciale e generale, bibl. 178. In particolare la trattazione che ci riguarda è in appendice, al paragrafo 11, pagg 68-70. Anche qui ho cambiato alcune notazioni di Einstein in modo da renderle conseguenti con altre notazioni da me usate in altra parte di questo lavoro.

(872) Si tratta di 6 equazioni differenziali che legano tra di loro le componenti vettoriali dell’intensità (forza) del campo elettrico (Ex , Ey , Ez ) e le componenti vettoriali dell’intensità (forza.) del campo magnetico (Hx , Hy , Hz ), al variare del tempo t e dello spazio (x, y, z). Esse si possono raggruppare
in due terne: “la prima terna esprime la correlazione che necessariamente deve esistere nel vuoto … fra qualsiasi variazione nel tempo t di ciascuna delle tre componenti Ex , Ey , Ez della forza elettrica del campo [E] e le variazioni nello spazio delle due componenti della forza magnetica perpendicolari ad essa. Reciprocamente la seconda terna esprime l’analoga correlazione fra qualsiasi variazione nel tempo di ciascuna delle tre componenti della forze, magnetica del campo [H] e le variazioni nello spazio delle due componenti della forza elettrica ad essa perpendicolari” (bibl.81, pag.334). Si deve però notare che l’insieme delle 6 equazioni va visto come un sistema unico.

(873) Anche qui Einstein non dà semplicemente il risultato espresso dalle (14). Egli si scrive prima le (14) dipendenti da un certo fattore g(v), funzione della velocità v del sistema S’ rispetto ad S. Poi fa “l’inversione di questo sistema di equazioni, una volta per risoluzione delle equazioni appena ottenute e una seconda per applicazione delle equazioni alla trasformazione inversa (da S’ a S), che è caratterizzata dalla velocità – v”. In questo
secondo caso ottiene un sistema del tipo di quello precedentemente ottenuto solo che ora è dipendente da un fattore g(-v). Poiché i due sistemi di equazioni così ottenuti debbono essere identici, deve risultare g(v).g(-v)= 1 e poi, per ragioni di simmetria, si deve avere g(v) = g(-v). Da ciò egli ricava facilmente che g(v) = 1. Anche qui quindi le equazioni di trasformazione (14) godono della proprietà di gruppo (che Einstein richiede a priori). Questo fatto ci permette di ricavare le equazioni inverse (risolte per le grandezze senza apice in funzione di quelle con apice) alle (14) con la semplice sostituzione di –v al posto di v.

(874) Per quel che riguarda la carica, a questo punto, la si deve indicare con q’ essendo una carica nel sistema S’. Solo nel paragrafo 9 Einstein mostrerà che nel passaggio da un sistema all’altro la carica elettrica è invariante.

(875) La vecchia formulazione è per Einstein quella di. Lorentz. Egli, anche se non nomina il fisico olandese, fa esplicito riferimento in questo brano alla forza di Lorentz.

(876) Tanto più che sia la vecchia che la nuova teoria danno le stesse predizioni sperimentali e, nel caso particolare, ammettono il crearsi di una differenza di potenziale ai capi di un conduttore sia quando quest’ultimo è mosso in un campo magnetico, sia quando è il campo magnetico che si muove rispetto al conduttore. Si veda comunque la asimmetria della quale abbiamo discusso all’inizio di questo
paragrafo.

(877) Le equazioni (14) mostrano che prendere in considerazione un campo elettrico comporta, al medesimo tempo, la presa in considerazione di un campo magnetico

(878) E’ chiaro che si può fare anche il discorso per il passaggio inverso. E’ ora, invece, interessante far vedere quanto sostenuto nel testo, anche se in modo qualitativo. Consideriamo ad esempio l’equazione (14) per la componente z del campo elettrico nel caso in cui Ez = 0; reintroducendo la notazione
β = (1 – v2/c2)- ½, si ha:

meccanismo è detto unipolare); nel circuito esterno circola una corrente i. E’ evidente, da quanto
detto, che nel circuito circola corrente anche quando il magnete è immobile mentre il circuito gli gira intorno (per maggiori dettagli si veda bibl. 181, Vol. 6, pag.225). Il problema, che per primo Faraday si era posto (bibl. 71, 28ª serie, 1651), consisteva in questo: quando il magnete è in rotazione, ruotano anche le linee di forza ad esso connesse ? Einstein afferma che questo problema è privo di significato poiché non ha senso parlare di linee di forza indipendentemente dal loro stato di moto (per maggiori
dettagli si veda D’Agostino, bibl. 130, pag. 61).

(880) L’elettrone deve essere lentamente accelerato in modo che possano essere trascurate le perdite per irraggiamento di onde elettromagnetiche nello spazio.

(881) Occorre notare che Einstein non introduce la notazione f di forza.

(882) I moti relativi da noi presi in considerazione avverranno sempre per moto dell’asse x parallelo all’asse x’ (e, naturalmente, viceversa).

(883) Per lo sviluppo di questo calcolo occorre una buona conoscenza del calcolo differenziale. Per questo, con qualche dettaglio, lo sviluppo qui, in nota.

4) Come dice Straneo in bibl. 174, pag.97. Tra l’altro Straneo osserva, riportando una considerazione di M. von Laue, che Einstein mostra qui di non conoscere la dinamica relativistica sviluppata da Lorentz nel 1904. Per la verità sulla svista di Einstein ho trovato una scarsa bibliografia. Mi è sembrato quasi che si tenda a non tener conto delle sviste di Einstein. Sarebbe utile in proposito leggersi il saggio di M. A. Tonnelat, Einstein, mito e realtà, bibl. 182.

(885) Einstein dà anche un criterio operativo per la misura della forza elettromotrice agente sull’elettrone. Egli dice: “questa forza potrebbe, per esempio, venir misurata con una bilancia a molla fissa nell’ultimo sistema.”

Sviluppando il secondo membro della (1) secondo le (2), si ha (ricordando che, nel secondo passaggio, abbiamo posto vy = vz = 0 e che, più oltre, la velocità lungo l’asse x è semplicemente indicata con v):

(887) Ho detto in gran parte poiché anche Planck, in un primo tempo, non riuscì a scrollarsi di dosso completamente la formulazione newtoniana della meccanica Le maggiori difficoltà nascevano soprattutto dal simbolismo. Fu Minkowski che nel 1908 avviò tutti i problemi a soluzione.

(888) M. Plance: II principio di relatività e le equazioni fondamentali della meccanica, Verh. Dtsh. Phys. Ges., 4, 1906, pagg. l36-141. Per seguire nelle sue linee essenziali questo lavoro si può vedere bibl .112, Vol.2, pagg.44-48.

(889) Citato da Straneo (bibl .174, pag. 97). Si noti che per teorema dell’impulso si intende ciò che abbiamo detto sulla quantità di moto, mentre per quel che riguarda il teorema dell’energia ci si riferisce alla conservazione dell’energia, tema che Einstein affronterà subito dopo quello che stiamo discutendo.

(890) Si veda la nota 6 a pag. 63 di bibl. 131.

(890 bis) Si noti con quali semplici parole Einstein passa a generalizzare quanto trovato per gli elettroni alle particelle materiali di qualunque tipo. Si osservi inoltre che Einstein assume per l’elettrone a riposo la forma sferica senza porsi i problemi che si erano posti Lorentz ed. Abraham a proposito del suo essere soggetto a disintegrarsi a seguito della repulsione elettrostatica delle cariche negative elementari che lo avrebbero dovuto costituire.

(891) L’integrale proposto si risolve nel modo seguente:

L’INERZIA DI UN CORPO È DIPENDENTE DAL SUO CONTENUTO DI ENERGIA ?

    E’ conveniente a questo punto, prima di passare al commento di questa prima memoria relativistica di Einstein, vedere il contenuto dell’altra sua memoria del 1905 che si pone come naturale prosecuzione di quella fin qui discussa; essa ha per titolo L'inerzia di un corpo è dipendente dal suo contenuto di energia ? ed è di 3 pagine.  (892)
    Einstein, dopo aver ribadito i fondamenti della sua teoria, richiama  un risultato che aveva ricavato nella sua precedente memoria. Egli, nel paragrafo 6 della prima memoria, discutendo della pressione di radiazione ed utilizzando la relazione dell'effetto, Doppler relativistico (da lui discussa nel paragrafo 7), aveva trovato un’espressione per l’energia associata ad un sistema di onde piane nel passaggio da un sistema. S, supposto in quiete, ad un sistema S’ in moto uniforme con velocità  v rispetto al primo.(893)
    Se un sistema di onde luminose piane possiede l’energia E  in un sistema S, esso avrà un'energia E’ misurata dal sistema S’. Nel caso semplice in cui le onde si propagano in una direzione parallela agli assi x ed x’, l'energia E’ sarà data da (si veda la relazione III di nota 893):

inizialmente fermo relativamente al sistema S). Allo stesso modo, la seconda differenza (E’1 – E1)  sarà  l’energia cinetica finale T’1  relativamente  al  sistema S’  (sempre a meno di una costante additiva che dipenderà, come la precedente, dalla scelta delle costanti arbitrarie delle energie per i sistemi S ed S’). Einstein pone allora:

(27)           E’o  –  E=  T’o  +  C                        e                   E’1  –  E1  =  T’1  +  C

con l’ammissione che la costante C non cambia durante l’emissione di luce. Con le posizioni (27),  la (26) diventa allora:

Applicando questo sviluppo in serie e trascurando termini del quarto ordine o d’ordine superiore in v/c, la (28) diventa:

“Da questa equazione (897) segue immediatamente:
Se un corpo emette l’energia E in forma di radiazione, si diminuisce la sua massa di E/c2 . Qui è evidentemente inessenziale che l’energia sottratta al corpo sia proprio andata in energia di radiazione, così che siamo condotti alla deduzione più generale:
La massa di un corpo è una misura per il suo contenuto di energia; se varia l’energia di E, varia la massa, nello stesso senso di E/9.1020, quando siano misurate l’energia in erg e la massa in grammi.
Non e’ escluso che con corpi dei quali il contenuto di energia è variabile in alta misura (per es. con sali di radio) una prova della teoria possa riuscire. (898)
Se la teoria corrisponde alla realtà delle cose, la radiazione trasporta inerzia tra il corpo emittente e quello assorbente.”
E qui termina la memoria, di Einstein che, unitamente a quella precedentemente discussa, è la base fondamentale della teoria della relatività. A partire da qui una messe di altri lavori, dello stesso Einstein e di molti altri fisici, amplierà, estenderà e generalizzerà questo primo corpo in una teoria (la Relatività Generale) che si estenderà a tentare di costruire una fisica che rendesse ragione in modo unitario dell’intero universo.
Noi non ci spingeremo su questa strada ma cercheremo dapprima di commentare quanto detto in questo paragrafo, quindi, nel prossimo, di riformulare tutta la relatività cinematica e dinamica, che abbiamo ora discusso, in modo più semplice ed intuitivo. Avverto comunque già da ora, completamente d’accordo con D’Agostino, che molto spesso procedimenti algebricamente più semplici nascondono molta fisica. (899)

ALCUNE OSSERVAZIONI

     Riallacciandoci alle cose dette nell’introduzione a questo paragrafo, la prima osservazione è relativa al fatto che la trattazione einsteniana, dal punto di vista delle predizioni sperimentali, aggiunge ben poco a quanto già era stato ottenuto, indipendentemente ed in parte contemporaneamente, dagli sviluppi dell'elettrodinamica dei corpi in movimento  (in particolare con i lavori di Lorentz e Poincaré). Le equazioni di trasformazione delle coordinate dello spazio e del tempo sono le stesse (mi sto riferendo ai lavori di Lorentz del 1904 e di Poincaré del 1905); le equazioni di trasformazione per i campi elettrici e magnetici hanno la stessa forma; la legge di variazione della massa con la velocità è la stessa. Le novità, sempre dal punto di vista delle predizioni sperimentali, riguardano la composizione delle velocità (si veda la 13),  (900)   l'equivalenza massa-energia (si veda la 31) e l'effetto Doppler relativistico (si veda la nota 893). Si aggiunga a questo che tutti i fatti sperimentali noti al 1905 erano spiegati tanto dalla teoria di Lorentz quanto da quella di Einstein.
     Quali furono allora i motivi per i quali, dopo un breve periodo di accese discussioni, si scelse la strada indicata da Einstein ?
     E qui veniamo a dei risultati dell'elaborazione einsteniana che, pur essendo sostanziali novità rispetto ai lavori precedenti, non hanno mai trovato adeguate casse di risonanza.
     Innanzitutto Einstein sostituisce all'impalcatura delle 11 ipotesi di Lorentz una teoria che con due postulati fondamentali riassumeva in sé proprio quelle 11 ipotesi (teoria più semplice), risultando inoltre, come vedremo, più generale. Questa, differenza di fondo è messa in luce, con estrema

chiarezza, proprio dallo stesso Lorentz nel 1909: (901)
“I risultati [di Einstein] concernenti fenomeni elettromagnetici e ottici … si accordano per lo più con quelli che noi abbiamo ottenuto nelle pagine precedenti, la principale differenza essendo che Einstein semplicemente postula ciò che noi abbiamo dedotto, con qualche difficoltà e non sempre in maniera soddisfacente, dalle equazioni fondamentali del campo elettromagnetico. Nel far ciò egli può certamente aver credito per il fatto di mostrarci nel risultato negativo di esperimenti come quelli di Michelson, Rayleigh e Brace, non una fortuita compensazione di effetti contrastanti, ma la manifestazione di un principio generale e fondamentale …
Sarebbe ingiusto non aggiungere che, oltre l’affascinante audacia del suo punto di partenza, la teoria di Einstein ha un altro significativo vantaggio sulla mia. Laddove io non sono stato capace di ottenere per le equazioni riferite a sistemi di riferimento in moto, esattamente la stessa forma di quelle valide in un sistema stazionario, Einstein vi è riuscito per mezzo di un sistema di nuove variabili leggermente diverso da quello da me introdotto.”
E qui veniamo all’altra scoperta che Einstein fa. Egli trova ciò che, contemporaneamente e del tutto indipendentemente, sta scoprendo Poincaré, e cioè il fatto che le trasformazioni di Lorentz costituiscono un gruppo di trasformazione tale cioè da far si che l’inversa di una trasformazione di Lorentz è ancora una trasformazione di Lorentz (o, che è lo stesso, che applicando successivamente due trasformazioni di Lorentz, si ottiene ancora una trasformazione di Lorentz). Questo fatto, analiticamente, porta all’ovvia conclusione, sulla quale torneremo, che l’arbitraggio dell’etere nei fenomeni fisici deve essere bandito poiché è impossibile evidenziare un moto relativo all’etere. E qui una considerazione è dovuta. Il fatto che Einstein non utilizzi in modo appariscente la sua teoria per mostrare il risultato negativo dell’esperienza di Michelson, non può far altro che suffragare la tesi della non conoscenza approfondita dell’esperienza in questione, da parte del nostro.
Questi fatti, ma soprattutto il primo, hanno probabilmente giocato a favore della teoria di Einstein, come del resto, ma questo alla lunga, la maggiore manipolabilità della teoria di Einstein per elaborazioni successive e la maggiore apertura a priori nella, spiegazione di nuovi fatti sperimentali.
In definitiva, ciò che Lorentz e la sua teoria dovevano rincorrere ogni volta, già dentro i due postulati di Einstein.
Altri fatti, poi, anche se non hanno svolto probabilmente alcun ruolo nel far scegliere fra l’una e l’altra teoria, vanno tenuti presenti per cogliere fino in fondo le profonde differenze esistenti fra i lavori di Lorentz-Poincaré ed Einstein.
Innanzitutto l’etere Sembra banale, ma, da qui in poi non si avrà più a che fare con il tormento della fisica. Come abbiamo visto, già Lorentz aveva privato questa misteriosa sostanza di tutte le proprietà meccaniche eccetto l’immobilità e, non si dimentichi, la sostanzialità. Ora Einstein qualifica come inessenziale il concetto di etere trascendendo l’enunciato di questa negazione nella negazione, ben più importante ed associata all’etere, di spazio e quindi riferimento assoluto. Lo stesso Einstein dice: (902)
“Per quel che riguarda, la natura meccanica dell’etere di Lorentz si può dire, con un certo spirito ludico, che l’immobilità è l’unica proprietà. meccanica della quale Lorentz non lo ha privato. Bisogna aggiungere che l’intero cambiamento introdotto dalla teoria speciale della relatività nella concezione dell’etere consistette nel privare l’etere della, sua ultima proprietà meccanica, l’immobilità.”
D’altra parte, ancora lo stesso Lorentz, non si sentirà di abbandonare il suo punto di vista neanche quando la teoria di Einstein aveva già fatto importanti passi avanti e quando egli stesso ne aveva riconosciuto, in certo qual modo, il primato. Dice Lorentz: (903)
“Credo che qualcosa possa essere vantato nella forma in cui io ho espresso la teoria. Non posso fare a meno di considerare l’etere, che può essere la sede di un campo elettromagnetico con la sua energia e le sue vibrazioni, come dotato di un certo grado di sostanzialità, comunque possa essere differente da tutte le forme di materia ordinaria.”
L’eliminazione dell’etere comporta un’altra conseguenza importante, oltre al fatto che viene eliminato il riferimento materiale assoluto. Ora le modificazioni del campo elettromagnetico hanno sede nello spazio e, in definitiva, campo e spazio vengono unificati; essi diventano reali anche se non sostanziali. Non è cosa da poco. In qualche modo è il programma di Hertz che va avanti, comportando un ulteriore passo in avanti nell’affrancare l’elaborazione teorica da modelli meccanici. E’ il sanzionamento definitivo della nascita della fisica teorica che non sopporta più le costrizioni di un confronto continuo con quei modelli materiali che se da una parte avevano permesso la sua nascita, dall’altra, ora, ne limitavano il suo decollo. Tutto può essere rimesso in discussione senza alcuna limitazione a priori. E, se qualche limitazione si può riscontrare (i principi di conservazione ed attualmente le simmetrie) essa è dovuta solo al bisogno di sicurezze da parte dei fisici e, in ogni caso, alla mancanza di elaborazioni teoriche che comprendano in sé guanto ora è ritenuto irrinunciabile. L’esperienza in senso galileiano passa in secondo piano; la teoria può spaziare per conto proprio e se poi viene un sostegno sperimentale, meglio, ma se non viene si può tranquillamente continuare a lavorare. Poi, tra tante teorie che si accumulano efficientemente ed inutilmente negli istituti di fisica, un giorno qualcuno ne ricaverà qualcosa di utile che permetterà nuovi balzi in avanti funzionali non certo alle curiosità care a qualche luminare ingenuo.
Tornando all’etere, che conseguenze discendono dall’eliminazione del riferimento assoluto ?
Sembrerebbe che tutto resti come prima; sembrerebbe una sola questione di gusto. Infatti contrazione di lunghezze si ha in Lorentz e contrazione di lunghezze si ha in Einstein, tanto per fare un esempio. La differenza è invece sostanziale e discende dal fatto che mentre Einstein è un relativista,
Lorentz non lo è. Ed allora, mentre per quest’ultimo la contrazione nel verso del moto di una data asta rigida ha un significato materiale determinato dalla. velocità v che un oggetto ha rispetto al riferimento assoluto dell’etere (tutti i corpi in moto rispetto all’etere subiscono questa contrazione anche se essa
non è direttamente misurabile poiché per farlo occorrerebbe disporre di un regolo di misura che, quando è sovrapposto all’oggetto da misurare in moto, subisce la medesima contrazione); per Einstein la contrazione di una data asta in moto rispetto ad un riferimento considerato in quiete è un effetto della misura, che di questa asta si fa dal riferimento in quiete ( si misura un effetto di contrazione a seguito della costanza di c; in questo caso la contrazione che si misura dipende dalla velocità v con cui l’asta è in moto rispetto all’osservatore; è allora evidente che si misureranno contrazioni differenti per osservatori in moto con velocità differenti, con la conseguenza che non può esistere una contrazione assoluta). Ma, dato il principio di relatività, se si osserva la stessa asta, questa volta supposta immobile, da parte di un osservatore in moto, essa risulterà di nuovo contratta (ed il corpo in moto vedrà una
stessa contrazione per un corpo considerato in quiete). Ciò vuol dire che due
aste identiche in moto relativo l’una rispetto all’altra si vedranno l’un l’altra contratte (della stessa quantità.!). Ed in definitiva: misure di uno stesso fenomeno da sistemi di riferimento inerziali in moto relativo a velocità differenti daranno risultati differenti.
Qual è il risultato vero, la vera misura, nel nostro esempio, dell’asta ?
Nessuna delle misure effettuate può essere assunta come vera; ciascuna misura, è relativa al sistema di riferimento dal quale è stata effettuata; oppure: tutte le misure sono ugualmente vere.
Se poi solo si pensa a quel che abbiamo trovato per l’elettrodinamica, ci si accorge che qui le differenze sono, se possibile, ancora, più evidenti; l’eliminazione delle asimmetrie è conseguenza dell’eliminazione del riferimento assoluto, rispetto al quale si poteva parlare distintamente di campi elettrici e magnetici; ora non si hanno più campi elettrici e magnetici separati, se non come risultati di misure, ma solo campi elettromagnetici. Le stesse equazioni di trasformazione, poi, per Einstein sono conseguenza dei postulati assunti alla base della teoria, mentre per Lorentz sono strumenti che servono a garantire ima identità formale delle equazioni di Maxwell nel passaggio da un riferimento solidale con l’etere ad un altro in moto traslatorio uniforme rispetto allo stesso etere (fermo restando il fatto che le equazioni vere sono quelle per il sistema immobile rispetto all’etere). A questo proposito dice D’Agostino: (905)
“… Per giustificare l’invarianza delle equazioni di Maxwell (irrinunciabile nella concezione dell’etere stazionario, per giustificare ed es. il trascinamento parziale) Lorentz e’ costretto a postulare trasformazioni matematiche prive di significato fisico.
La sua teoria assume quindi molto spesso una veste puramente matematica. senza una adeguatezza di significati fisici.”
Profonda differenza quindi. Cambiamento radicale di punto di vista. Su questo oggi c’è quasi un completo accordo, al di là delle singole interpretazioni di diversi storici od epistemologi. (906) C’è solo una voce stonata, che merita di essere citata per la grande autorità che ha avuto ed ha; è quella del
grande storico della fisica E. Witthaker. Egli, nella sua opera, fondamentale, Storia delle teorie dell’etere e dell’elettricità, del 1951-1953 (si veda bibl. 112), sostiene qualcosa, che lascia realmente sconcertati. Dopo aver assegnato il principio di relatività a Poincaré e lo sviluppo della teoria a
Lorentz e Poincaré, testualmente dice: (907)
“… Nell’autunno dello stesso armo (1905), nello stesso volume degli Annalen der Physik in cui era comparso il suo scritto sul moto .Browniano, Einstein pubblicò un articolo nel quale esponeva, con alcuni ampliamenti, la teoria della rdetività di Poincaré e Lorentz che ha riscosso molto interesse. Egli affermò come principio fondamentale la costanza della velocità della luce e cioè che la velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi di riferimento in moto l’uno relativamente all’altro: un’affermazione che all’epoca fu accettata con carattere generale, ma, che è stata severamente criticata da autori posteriori. In questo articolo Einstein fornì le modificazioni che debbono essere introdotte nelle formule dell’aberrazione e dell’effetto Doppler.”
E, dopo aver discusso in due pagine dell’effetto Doppler relativistico, Whittaker tace su tutti gli altri aspetti dell’elaborazione einsteniana da noi discussi. (908) Questa posizione venne poi ribadita da Whittaker in un suo scritto del 1955 (909) nel quale, riferendosi al lavoro di Lorentz del 1904 lo chiama ripetutamente il lavoro di Lorentz del 1903. Holton, che discute a fondo le posizioni di Whittaker, a questo proposito osserva: (910)
“Più difficile risulta, discutere quest’articolo di Lorentz del 1903 … In primo luogo questo articolo non esiste … E visto che, per lo più, Whittaker procedette sempre con una squisita attenzione per quel che riguarda le sue innumerevoli citazioni da fonti originali, questo ripetuto lapsus … non è semplicemente un errore. E’, quanto meno, un errore simbolico: simbolico nel senso che i pregiudizi di un biografo interagiscono col suo materiale di lavoro.”
Con questo lapsus Whittaker vorrebbe accreditare l’idea che Einstein abbia letto il lavoro di Lorentz del 1904. Abbiamo già detto e, se il lavoro che ho fatto non è del tutto inutile, si deve essere capito che: anche se Einstein avesse conosciuto questo lavoro, nulla cambierebbe rispetto al rivolgimento
radicale che il suo articolo comportò.
E quando si parla di rivolgimento radicale, oltre agli aspetti già discussi, ci si riferisce al nocciolo centrale del, è il caso di dirlo, cambiamento di riferimento operato da Einstein: la sua ridefinizione dei concetti elementari e base della meccanica unitamente ad un approccio metodologico del tutto differente.
In meccanica classica vi sono tre concetti base che sono mutuamente legati da un certo grado di dipendenza. L’esperienza ci permette di osservare moti uniformi: il moto uniforme di un dato oggetto è quello che fa percorrere all’oggetto spazi uguali in tempi uguali. Accettata questa definizione (e chi pensava di discuterla, sembra così innocua !), dalla misura di supposti spazi uguali si risale a quella di tempi conseguentemente uguali. E, in definitiva, moto uniforme, spazio e tempo erano dati come concetti primitivi. Dal fatto poi che il tempo era un concetto primitivo, con esso si poteva operare, ad esempio, per definire due eventi simultanei, come quelli che avvenivano allo stesso tempo (si badi comunque che questa definizione era addirittura un pleonastico).
Con Einstein viene cambiato il ruolo di tempo e simultaneità in questa ultima definizione: due eventi sono simultanei quando forniscono la stessa misura del tempo. Ma, appunto, questi tempi occorre misurarli e, senza dare nulla per scontato sullo scorrere uniforme del tempo, Einstein fornisce il metodo di sincronizzazione che abbiamo visto nelle pagine precedenti. Ebbene, il metodo fornito da Einstein non darebbe alcun risultato nuovo rispetto alla meccanica classica, se, ad esempio, i segnali con cui si possono sincronizzare due orologi avessero velocità infinita. Ma c’è qui il postulato della costanza della velocità della luce che comporta l’essere questa velocità una velocità limite. Come conseguenza discende la differenza nella misura dei tempi per due osservatori in moto relativo (in particolare il tempo rallenta, il suo ritmo per osservatori in moto rispetto a quelli supposti in quiete).
Ma la costanza di c giuoca anche un altro ruolo fondamentale. Riallacciandoci a quanto dicevamo qualche riga più su, in relazione al tempo dato in meccanica classica in modo da presupporre moti uniformi, per poter confrontare dei tempi e poter quindi affermare la loro uguaglianza occorre disporre di moti uniformi. La costanza di c fornisce proprio il moto uniforme che è necessario
per definire il tempo.
Inoltre Einstein ammette “l’esistenza di un corpo di riferimento S, la cui condizione di moto è tale che rispetto ad esso valga il principio [d’inerzia] di Galileo”. (912) Assegnato questo riferimento, quello che Einstein suppone in quiete e quello per il quale vale la costanza di c, tutti gli altri riferimenti in moto rettilineo uniforme rispetto al dato riferimento S sono equivalenti, cioè galileiani, cioè inerziali; quindi, per il principio di relatività, la costanza della velocità della luce è data anche su questi altri sistemi e, d’altra parte, il principio di relatività si applica solo ad essi.
Quindi Einstein pone alla base della sua teoria dei dati assoluti: la costanza di c, il principio di relatività ed il sistema inerziale. Credo che questa ricerca dell’assoluto, del definito, abbia giocato un qualche ruolo nella nascita della relatività., tant’è vero che, come ricorda Holton, (913) nei primi due anni successivi al 1905, Einstein nella sua corrispondenza chiamava la sua teoria con il nome di “Teoria degli invarianti”. E’ interessante notare che anche Planck riconoscerà di essersi avvicinato alla relatività poiché la vedeva come una teoria degli invarianti. Dice Plance: (914)
“… Bisogna guardarsi dal trarre conseguenze positive da parole e termini la cui scelta non fu sotto ogni riguardo felice. La teoria della relatività ha permesso di trovare il valore assoluto dell’energia, e chi si limitasse a riconoscere la necessità di una relativizzazione dello spazio e del tempo, senza domandarsi dove conduca questa relativizzazione, dimostrerebbe alquanta superficialità, di pensiero. Che certi concetti, a cui si era attribuito per molto tempo un valore assoluto, si dimostrassero poi validi soltanto in senso relativo, è accaduto molte volte nella storia della scienza, e di regola fu un segno di fondamentale progresso. Con ciò l’assoluto non era eliminato, ma soltanto spostato. Negare l’assoluto, secondo me, equivarrebbe a negare che un determinato evento abbia una causa, (915) semplicemente quella che per un certo tempo fu ritenuta la causa risultò poi non essere tale.
No, non si può rendere tutto relativo, come non si può definire e dimostrare tutto. Ogni definizione di concetto deve sempre partire almeno da un concetto che non abbisogna di nessuna definizione, ogni dimostrazione deve fare uso di una premessa riconosciuta vera senza dimostrazione; ed allo stesso modo ogni relativo deve ricollegarsi, in ultima analisi, a qualche assoluto che sta a sé.. Altrimenti il concetto, o la dimostrazione, o il relativo, sta sospeso in aria, come un vestito per il quale non si trova un chiodo a cui appenderlo. L’assoluto costituisce il punto di partenza fisso e necessario; occorre soltanto cercarlo al punto giusto.”
Con questo abbiamo accennato a vari aspetti delle problematiche poste dalla relatività ristretta di Einstein.
E dell’esperienza di Michelson, che molti, costruendo una storia di comodo, pongono come la motivazione principale per la nascita della relatività, che ne è di questa esperienza ?
Sembrerebbe a questo punto che il suo ruolo sia diventato secondario, nel senso che le problematiche non ruotano intorno ad essa. E le cose stanno proprio così, o meglio quell’esperienza aiutò molto la relatività nel suo affermarsi ma in un senso diverso da quello comunemente assegnatogli. Fu proprio la semplicità con cui la spiegazione dell’esperienza di Michelson rientrava nella nuova teoria, che giocò un ruolo importante a favore di essa, specialmente per quel che riguarda l’accettazione della relatività da parte del mondo dei fisici.
In definitiva, nonostante ciò che Einstein diceva della sua teoria (essenzialmente un avanzamento nelle ricerche teoriche sull’elettrodinamica), (916) la relatività non si pone come teoria che serve alla spiegazione di vari aspetti particolari (917) o, detto meglio, questa teoria si pone nei fatti non come
conclusione di un processo, ma piuttosto come inizio di una nuova epoca.
Certo che a questo punto potrebbe cominciare tutta un’altra storia. Sarebbe almeno altrettanto lunga e forse più interessante poiché è la storia delle scelte che, per la fisica, sono state fatte altrove e che, per esempio, relegano alcuni Paesi a ricerche di prestigio e non fondamentali in nome della divisione internazionale del lavoro che nel nostro mondo occidentale significa lo strapotere degli Stati Uniti. Ma, ripeto, questa è un’altra storia che uomini di cultura non del tutto rimbambiti dalla società dei consumi e dall’apparente benessere, dovrebbero denunciare con forza, se non altro per permettere un nuovo balzo in avanti della scienza (che sempre si accompagna all’affermazione di nuove classi sociali).
Quello che faremo è molto più banale. Nel prossimo paragrafo tenteremo di divulgare la cinematica e la dinamica relativistiche.

NOTE

(892) Si veda la nota 827.

(893) La relazione trovata da Einstein per l’effetto Doppler relativistico è del tutto generale, nel senso che è ricavata per un sistema di onde luminose che si propagano, a partire dall’origine O di un dato sistema S, lungo una direzione formante un angolo φ qualunque con l’asse x. Essa è:

dove ν è la frequenza dell’onda luminosa nel sistema S in quiete, mentre ν’ è la frequenza misurata da un osservatore in moto con velocità v (sistema S’).
Nel caso in cui l’onda si propaghi lungo la direzione dell’asse x risulta φ = 0 (da cui cos φ = 1) e la relazione (I) diventa (noi la troveremo per altra via nel prossimo paragrafo):

la frequenza della luce varia con il moto dell’osservatore [effetto Doppler descritto dalla (II)] con una stessa relazione che vale per l’energia della luce (III); egli preferì invece ricavare l’ultima delle (III) con altre considerazioni (si veda il lavoro di Einstein in bibl. 174, pagg.497-498). Si noti che, nel caso in
cui le onde si propaghino nel verso delle x decrescenti, l’ultima delle (III) diventa:

(896) Vediamo in breve quali sono le obiezioni a questo procedimento, almeno a partire dalla (26). Seguirò le argomentazioni portate da Jammer (si veda la nota 894). Jammer osserva che le posizioni (27) che Einstein fa sono erronee. Con il solito significato dei simboli e chiamando inoltre con mo ed m1, la massa del corpo misurata da S, rispettivamente prima e dopo l’emissione di luce, per le energie del corpo (rispetto ad S) prima e dopo l’emissione, si può solo scrivere (ma data già la conoscenza, di E = mc2):

(900) Lorentz accettava la composizione galileiana delle velocità che gli forniva la velocità assoluta rispetto all’etere. Egli introduceva poi un nuovo vettore velocità per il riferimento in moto (S’). Osserva D’Agostino: “Le velocità nel sistema … S’ non sono quindi introdotte in base ad un principio … , ma sono considerate … posizioni di carattere algebrico, semplificatrici di passaggi algebrici”. (bibl. 130, pag. 23).

(901) Citato in bibl. 54, pag. 267. Brano tratto dalla Teoria degli elettroni (1909) di Lorentz.

(902) In: Einstein, Ether and Relativity, Methuen, Londra 1922; pagg. 10-11.

(903) Citato in bibl. 54, pag. 267 (si veda la nota 901). Per rendere conto di quanto l’etere fosse radicato, è interessante ricordare che il fisico tedesco Ph. Lenard (1862-1947) elaborò nel 1921 una teoria che prevedeva l’esistenza di due eteri: l’etere di base, immobile e riempiente di sé tutto lo spazio senza alcuna relazione con la materia ponderabile, nel quale si propagano con velocità c tutte le onde elettromagnetiche; l’etere che riguarda la materia ponderabile, anche se distinto da essa. Con questi eteri Lenard. spiegò i fatti sperimentali noti e probabilmente, oggi, con un numero infinito di eteri si potrebbe spiegare anche la creazione. Si veda comunque bibl. 149, Vol. 2, pagg. 473-476.

(904) Per un. confronto dettagliato tra le descrizioni di Lorentz e di Einstein per uno stesso fenomeno, si veda bibl. 111, pagg. 371-374.
E’ interessante riportare la posizione di Reichenbach su questo punto. Egli dice (bibl. 229, pag.223): “Perché la teoria di Einstein è migliore di quella di Lorentz ? Sarebbe errato argomentare che la teoria di Einstein ci fornisce una spiegazione dell’esperimento di Michelson, giacché non ce le fornisce. L’esperimento di Michelson viene semplicemente accolto come un assioma. Tuttavia la teoria di Einstein è superiore alla teoria di Lorentz poiché rinuncia ad una spiegazione dell’esperimento di Michelson in termini di una contrazione. La spiegazione data dalla teoria di Lorentz costituisce la sua debolezza. Essa assume che le relazioni classiche siano evidenti per se stesse e postula scorrettamente che qualsiasi deviazione da queste relazioni debba avere una causa. La teoria di Einstein ricorre alla. arbitrarietà della definizione coordinativa per il confronto fra le lunghezze in quiete di segmenti in movimento, e chiama eguali i due regoli se essi si comportano in accordo con l’esperimento di Michelson. La superiorità della teoria di Einstein consiste nel riconoscimento della legittimità epistemologica di un procedimento del genere” .

(905) Bibl. 130, pag. 23. Sottolineatura mia.

(906) Su questi aspetti si può vedere Bergia in bibl. 163, pagg. 257-291 e in bibl. 148, pagg. 36-48. E’ interessante sottolineare ciò che Bergia afferma con molta chiarezza e che mi trova d’accordo: in mancanza di oggettivi criteri ‘interni’ di scelta tra la teoria di Lorentz e quella di Einstein, occorre
rivolgersi a criteri ‘esterni’, che riguardino cioè i rapporti della scienza. con una data società e con le richieste del mondo della produzione di questa società.

(907) Bibl. 112, Vol.2, pag,.40. L’ultima sottolineatura è mia.

(908) Con motivazioni certamente diverse, un duro attacco alla relatività, ed in genere all’opera di Einstein, venne anche da molti scienziati e uomini di cultura nazisti. Come certamente si sa, Einstein era ebreo e nel 1933 dovette abbandonare la Germania, nella quale occupava la cattedra di fisica teorica a Berlino, a seguito delle violente persecuzioni razziali. Tra i pochi scienziati tedeschi rimasti al servizio del nazismo, Heisenberg occupò la sua cattedra e P. Jordan gli dedicò queste parole:
“Nel più ampio cerchio dell’opinione pubblica è stato espresso da molti lati il parere che la posizione negativa presa dal Terzo Reich nei confronti della personalità politica di A. Einstein debba condurre anche ad una condanna della teoria della relatività. A proposito di questo malinteso bisogna però osservare che oltre ad Einstein tutta una serie di altri scienziati ha portato contributi essenziali alla teoria della relatività … e, di più, che i principi fisici espressi nella teoria della relatività sarebbero sgorgati inevitabilmente dalla realtà sperimentale per logica conseguenza, anche se Einstein non fosse mai vissuto.” (Bibl. 183, pag. 36).
Quindi Heisenberg va ad occupare la più prestigiosa cattedra di fisica teorica del mondo solo perché, di fatto, Einstein viene allontanato, e gli altri, i rimasti, si affannano a mostrare che Einstein è stato solo
un incidente nel cammino ariano alla scoperta scientifica.

(909) Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, Londra 1955. Si veda allo scopo quanto sostiene Holton nel suo lavoro On the Origins of the Special Theory of Relativity, American Journal of Physics, 28, 1-9; 1960 (si veda bibl. 184, pagg. 111-118).

(910) Ibidem, pag. 117.

(911) Si ricordi che, in base al principio di relatività, gli osservatori in moto vedono il tempo degli osservatori in quiete che rallenta esattamente allo stesso modo. Si noti che la definizione di simultaneità data da Einstein non è del tutto esente da critiche. Come osserva Dugas, a parte quei prestigiosi
regoli ed orologi che possono servire solo per un’esperienza mentale, “quando gli orologi del sistema S’ battono in generale i tempi t’, Einstein non esita a mettere in evidenza che la simultaneità che egli introduce non ha altro che un significato relativo, a far trovare nel sistema S’ degli orologi che, in ogni punto dello spazio, battono il tempo locale t del sistema S” (bibl. 149, Vol. 2, pagg. 476-477).

(912) Sono parole di Einstein tratte da bibl. 178, pag. 91.

(913) Bibl. 127, pag. 305.

(914) Nello scritto Dal relativo all’assoluto (1924). Bibl 153, pag. 153. Analoghi concetti furono sostenuti da Plance nella sua postuma Autobiografia scientifica (bibl. 185, pag. 29). In quest’ultima, tra l’altro, si legge la bella e significativa frase: “La solita frase tutto è relativo è ambigua e priva di senso”.

(915) Anche Einstein teneva molto alla continuità causale e l’articolo sulla relatività è un esempio di ciò. Born, amico di Einstein, sosterrà, a proposito dell’insieme dei lavori di Einstein del 1905, “leggendo questi scritti [i primi due articoli] si è portati a credere che in quel periodo l’aspetto statistico della fisica fosse per Einstein quello preponderante; eppure, proprio in quello stesso periodo, egli stava elaborando la teoria della relatività in cui vige una causalità rigorosa. Sembra ch’egli sia sempre stato convinto, e lo è tutt’ora [1947], che le ultime leggi della natura siano causali e deterministiche, che la probabilità serva a coprire la nostra ignoranza quando abbiamo a che fare con numerose particelle, e che solo la vastità di questa ignoranza porti in primo piano la statistica” (bibl. l68, pagg. 112-113) .
Su questi aspetti si può anche vedere la corrispondenza Einstein-Born (bibl. 104).

(916) Letteralmente Einstein sostenne (1948) che: “La teoria della relatività ristretta, che era semplicemente un’estensione sistematica dell’elettrodinamica di Maxwell e di Lorentz, ebbe delle conseguenze che andarono oltre i suoi limiti” (bibl. 161, pag. 214. Sottolineatura mia).

(917) E’ ancora la posizione di Einstein schierato dalla parte della fisica dei principi. Questa posizione, espressa con chiarezza da Einstein nel 1948 (si veda la nota 705) è esemplificata in una lettera al suo amico M. Besso del 1918. Egli dice che “una teoria che voglia meritare fiducia deve basarsi su fatti
generalizzabili. Esempi antichi: I postulati fondamentali della termodinamica [basati] sulla impossibilità del perpetuo mobile. La meccanica [basata] su una legge d’inerzia compresa completamente. La teoria cinetica dei gas [basata] sull’equivalenza tra il calore e l’energia meccanica (anche storicamente). La relatività speciale sulla costanza della velocità della luce e le equazioni di Maxwell nel vuoto, che a loro volta sono fondate su basi empiriche … Relatività generale: equivalenza tra la massa inerziale e quella, gravitazionale. Mai è esistita una teoria. Veramente utile e profonda che fosse speculativa.” (citato da Holton, bibl. 127, pag. 179).
Un’osservazione la merita quest’ultima frase ed è relativa allo scopo per il quale era stata inviata la lettera. Einstein cercava di mostrare a Besso che egli mai si era distaccato da Mach, fondando tutta la sua ricerca su fatti. Ma, nonostante ciò, Mach aveva duramente criticato la relatività. Nella prefazione ai suoi Principi di ottica fisica (1921), pubblicato postumo nel 1921 (cinque anni dopo la morte di Mach), Mach aveva scritto (1913), tra l’altro, “La ragione per la quale respingo l’attuale teoria della relatività, che trovo sempre più dogmatica, ed il grado con cui lo faccio, insieme con le ragioni particolari che mi hanno portato a queste idee – considerazioni basate sulla fisiologia dei sensi, su dubbi epistemologici, e soprattutto dall’interpretazione dei miei esperimenti – saranno trattate in una appendice” che mai, pur-
troppo, fu pubblicata. (Citato da Holton in bibl. 127, pag.181) .
Evidentemente i fatti di Mach erano ben altra cosa rispetto ai fatti di Einstein.

LA DILATAZIONE DEI TEMPI E LA CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE

     Riferiamoci alla figura 50 e supponiamo che sul sistema  S abbia luogo un fenomeno (l’oscillazione di un pendolo, una scarica elettrica, la caduta di un grave, ...) della durata Δt  = t2 – t1 .
    Utilizzando le equazioni di trasformazione di Lorentz (8), ci domandiamo qual è la durata 

Δt’ = t’2 – t’1 dello stesso fenomeno misurato da T’ in S’. Si ha:

che abbiano la durata di 10 sec se misurate da S – nel caso in cui v valga 180.000 Km/sec – avranno una durata di 8 sec se misurate da S’).
Non è ozioso andare a vedere il problema reciproco.
Supponiamo ora che sul sistema S’ abbia luogo un fenomeno della durata Δt’ = t’2 – t’1. Utilizzando le trasformazioni di Lorentz (8), qual è la durata Δt = t2 – t1 dello stesso fenomeno misurato in S ? Si ha:

[si confronti questa espressione con la (l)].
Quindi l’osservatore T, che si trova su S, misurerà una stessa dilatazione del tempo ma, questa volta, sul sistema S’ E questo fatto è in completo accordo con il principio di relatività; ad esso si poteva arrivare semplicemente sostituendo a Δt’, Δt, v della (9) rispettivamente le quantità Δt, Δt’, -v.
E qui sta la non oziosità di questo breve calcolo. Non bisogna utilizzare la (9) o la (10 bis) per misure effettuate una volta dall’uno e una volta dall’altro riferimento, semplicemente ricavandosi, a partire da una sola delle espressioni suddette, Δt o Δt’, a seconda delle necessità: ciò porterebbe a risultati erronei assegnando un valore assoluto alla dilatazione del tempo (ritorneremo su questo argomento quando ci occuperemo del paradosso dei gemelli).
Per concludere questo argomento occorre dire che l’intervallo di tempo esistente tra due eventi successivi che accadono nello stesso luogo di un dato riferimento, quando è misurato nello stesso riferimento, è chiamato tempo proprio. Il tempo proprio risulta quindi essere l’intervallo di tempo
più breve esistente tra due eventi successivi che avvengono in un dato riferimento; lo stesso intervallo di tempo, misurato da qualunque altro riferimento in moto rispetto a quello dato, risulterà maggiore (dilatazione del tempo).

LA CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE

    Ancora riferendoci alla figura 50, supponiamo di considerare un’asta rigida situata in quiete nel sistema S’. Su quel sistema essa verrà misurata a riposo con un regolo che faccia coincidere simultaneamente i suoi estremi con quelli dell'asta.
    La lunghezza dell’asta misurata in S’ sia l’ =  x’2 – x’1. Poiché gli estremi di quest’asta sono ivi misurati simultaneamente, si avrà t’1 = t’2 (dove t’1 rappresenta l’istante in cui un estremo del regolo è fatto coincidere con un estremo dell'asta e t’2 l'istante in cui l’altro estremo del regolo è fatto coincidere con l'altro estremo dell’asta).
     Analogamente, quando quest’asta viene misurata in riposo nel sistema S (valgono anche qui le considerazioni sulla simultaneità per cui si ha t1  = t2), essa sarà lunga l = x2 – x1.
    Se i due sistemi fossero in quiete relativa si avrebbe subito  l = l’. Ma poiché i due sistemi sono in moto relativo con velocità v, l'osservatore che si trova in S, utilizzando le trasformazioni di Lorentz (8), troverà per l’asta la lunghezza:

Per concludere questo argomento, anche qui, occorre dire che la lunghezza di un dato oggetto, misurata nel riferimento in cui l’oggetto è in quiete, è chiamata lunghezza propria dell’oggetto. La stessa lunghezza misurata da un riferimento in moto rispetto al riferimento in cui l’oggetto è in quiete, risulterà più piccola. Ciò vuol dire che la lunghezza propria è la lunghezza più lunga che possa essere misurata per un dato oggetto.

LA COMPOSIZIONE RELATIVISTICA DELLE VELOCITA’

     Poiché il principio di costanza di c comporta che c è una velocità limite, la legge di composizione di velocità di Galileo deve essere cambiata.
     Se infatti si dovessero comporre le velocità con la regola di Galileo, risulterebbe che la luce, emessa da un faro posto sull'estremità anteriore di un razzo che si muove con velocità v, avrebbe velocità c + v, superiore cioè a quella emessa come limite superiore per la luce.
     Per trovare le equazioni che ci permettano di comporre le velocità relativisticamente (nel senso di Einstein), possiamo ancora ricorrere alle trasformazioni di Lorentz (8).
    Riferiamoci ancora alla figura 50 e supponiamo di avere un oggetto che si muova con velocità u’x lungo l'asse x’ di S’. Su S’ varrà la relazione che notoriamente ci fornisce la velocità, e cioè:  ux = Δx’/Δt’ con Δx’ = x’2 – x’1  e Δt’ = t’2 – t’1.
    Anche su S varrà una analoga relazione, e cioè: ux = Δx/Δt con Δx = x2 – x1 e Δt = t2 – t1, solo che ora da S si osserverà l’oggetto in considerazione muoversi con una velocità somma della sua e di quella del sistema S’. In sostanza da S si osserva una composizione di velocità.
    Sviluppiamo allora l’ultima relazione scritta utilizzando le trasformazioni di Lorentz. Si ha (ricordando che v è la velocità con cui il riferimento S’ è in moto rispetto ad S):

e, come si vede, la velocità della luce non è superata.

        Ad un identico risultato si arriva ponendo  ux = c nella  (13).

        Supponiamo ora che si abbia  u’x = c  e  v  = c. La (l2) diventa:

e, come si vede, la velocità della luce non è superata.
Ad un identico risultato si arriva ponendo ux = c nella (13).
Supponiamo ora che si abbia u’x = c e v = c. La (l2) diventa:

Figura 52

Il nostro oggetto, in S’, ha allora, una velocità data dalla somma vettoriale di u’x e di u’y, data cioè da u’x + u’y, con ovvio significato dei simboli.
II valore ux di u’x, misurato nel riferimento S, è quello fornito dalla (12); cerchiamo ora di trovare uy.
Sappiamo che y = y’ e quindi che Δy = Δy’. Inoltre Δt e Δt’ hanno lo stesso valore che abbiamo in precedenza trovato. Ed allora, per l’osservatore in S, risulterà:

CONSERVAZIONE RELATIVISTICA DELLA QUANTITÀ DI MOTO.
NUOVA DEFINIZIONE DI MASSA.

     Supponiamo di trovarci in quiete su di un dato sistema di riferimento S' e di voler studiare la conservazione della quantità di moto nel caso di un urto centrale completamente anelastico (220) tra due masse uguali m che viaggiano in verso opposto con la stessa velocità (in modulo) u, come

mostrato nella figura 53 [si noti che il sistema S’ può essere chiamato il sistema del baricentro].

Figura 53

La quantità di moto totale delle due masse prima dell’urto sarà:

mu + (- mu) = 0

La situazione dopo l’urto vede le due masse immobili e legate tra di loro (figura 54).

Figura 54

La quantità di moto dopo l’urto sarà allora:

m.0 + m.0 = 0

in completo accordo con la fondamentale legge di conservazione della quantità di moto che ci fornisce la dinamica classica.
Supponiamo ora di osservare lo stesso fenomeno da un riferimento S (nel quale noi siamo in quiete) rispetto al quale il sistema S’ è in moto con velocità u, la stessa in modulo di quella delle due masse che vanno ad urtarsi (il moto relativo avvenga con le medesime modalità che abbiamo sempre considerato: l’asse x’ di S’ scivoli sull’asse x di S mentre gli assi y’ e z’ si mantengano rispettivamente paralleli agli assi y e z, cose mostrato in figura 55). Supponiamo inoltre di avere a che fare con velocità piccole rispetto a quella della luce (u << c).

Figura 55

    Nelle nostre ipotesi, poiché la velocità  v di S' è la stessa di quella posseduta dalle due masse, una di queste ultime risulterà immobile rispetto ad S. La situazione prima dell'urto è rappresentata dalla figura 56 dove, in accordo con le trasformazioni di Galileo per la velocità, si vede che la quantità di 

Figura 56

moto totale, rispetto all’osservatore che si trova su S, è data da:

m (u + u) + m (u – u) = 2mu.

La situazione dopo l’urto è rappresentata dalla figura 57. Per la quantità di moto totale, sempre rispetto

Figura 57

all’osservatore che si trova su S, si ha:

m (u + 0) + m (u – 0) = 2mu.

    In definitiva, quando u << c, la quantità di moto si conserva in tutti i sistemi inerziali; e ciò si può anche dire affermando che la conservazione della quantità di moto è un invariante per una trasformazione di Galileo (come del resto già sapevamo).
    E nel caso non sia più verificata la condizione u << c cosa succede? Bisognerà tener conto della composizione relativistica delle velocità e l'osservazione da S di un fenomeno d'urto su S', secondo le modalità viste prima, diventa ben altra cosa.
    La situazione prima dell'urto è descritta dalla figura 58.

Figura 58

La quantità di moto totale, ricordando la composizione delle velocità, sarà data da:

                   m.w + m.0  =  m (u + u).(1 + u2/c2)  +  m.0  =  2mu.( 1 + u2/c2)  

Dopo l’urto la situazione è descritta dalla figura 59 e la quantità di moto totale sarà data

Figura 59

da:

2mu.

    Con un facile confronto con quanto ricavato per la conservazione della quantità di moto nel caso in cui l'osservatore si trovava su S’ si ricava subito che:
    - per l’osservatore in quiete rispetto all’urto, si conserva la quantità di moto;
    - per l'osservatore in moto rispetto al fenomeno, la quantità di moto non si conserva più, infatti:

2mu.( 1 + u2/c2) ≠ 2mu.

    In definitiva la quantità di moto che risulta conservata in un dato riferimento, non lo è più per un altro riferimento in moto con velocità u rispetto al primo.
    Da qui possiamo scegliere almeno due strade:
    1) rinunciare alla conservazione della quantità di moto;
    2) riformulare l’equazione p = m.v che definisce la quantità di moto (si noti che a p spesso si dà anche il nome di impulso).
     La strada che è stata scelta è la seconda: la conservazione della quantità di moto, come del resto i vari principi di conservazione, come ancora le varie simmetrie sembrano a tutt’oggi indiscutibili (valore euristico delle teorie scientifiche).
  Si tratta allora di andare a cercare un’altra definizione per la quantità di moto ammettendo la sua conservazione relativistica, tale che:
    1) renda invariante la sua conservazione per una trasformazione di Lorentz;
    2) fornisca la relazione classica p = m.v, valida sperimentalmente per v << c.
    Procediamo nel modo seguente (vedi bibl. 212).
    Supponiamo che due osservatori, A e B, siano in moto, l’uno relativamente all'altro; le velocità di A e di B siano ugnali in modulo (ux), opposte in verso e dirette parallelamente all'asse x di un dato riferimento (figara 60). Ad un dato istante ambedue gli osservatori lancino, in direzione parallela all'asse 

Figura 60

y, ciascuno una massa m (le due masse sono identiche quando sono confrontate in un riferimento in cui ambedue sono a riposo) con velocità uy , ugnale in modulo ed opposta in verso (figura 61). Le due
masse m subiranno un urto anelastico nell’origine O del sistema di riferimento da noi preso in considerazione.

Figura 61

    Il problema che dobbiamo risolvere può essere posto in questa forma: sia S un sistema di riferimento la cui origine è in B e che si sposta solidalmente con B; sia S’ un sistema di riferimento la cui origine è in A e si sposta solidalmente con A; qual è la situazione vista da B ? Ora B si trova su un riferimento S, supposto in quiete, che vede il sistema S’ muoversi con una velocità v, composizione relativistica delle due velocità u (la figura 62 descrive la situazione).

Figura 62

    Cominciamo intanto a calcolarci la velocità v risultante della composizione relativistica del modulo della velocità n  di A e del modulo della velocità ux di B. Ricordando le (14) ed in particolare l’espressione per la componente della velocità lungo l'asse x, si ha:

Quando le due masse si saranno urtate, poiché l’urto è anelastico, resteranno legate tra loro e conseguentemente le loro velocità lungo l’asse y si annulleranno; allora anche le componenti della quantità di moto delle due masse lungo l’asse y saranno nulle.
A questo punto entra la scelta che noi facciamo di imporre che la quantità di moto si conservi anche relativisticamente. In relazione all’urto che stiamo trattando, risulterà allora che anche le componenti della quantità di moto delle due masse lungo l’asse y dovevano essere nulle anche
prima dell’urto. Chiamando con mA la massa di A e con mB quella di B (le due masse erano identiche se confrontate a riposo: ora nessuno ci assicura sulla loro identità) si deve avere, prima dell’urto:

m = m (v)

    Andiamo ora a vedere se questa espressione per la massa (16), introdotta nell’espressione p = mv che ci forniva la quantità di moto classica, ne garantisce l’invarianza per una trasformazione di Lorentz.
    L’espressione della quantità di moto è ora (si vedano le figure 63 e 64):

Figura 63

Figura 64

  • prima dell’urto:

m(u).u – m(u).u = 0

  • dopo l’urto:

M(0).0 = 0

Andiamo ora ad osservare lo stesso fenomeno da un. sistema S rispetto al quale S’ risulta in moto con velocità u (si rivedano le figure 58 e 59 relative, rispettivamente, a prima e dopo l’urto). Anche qui occorrerà ridisegnare ciò che è osservato da S per lo stesso motivo visto prima (figaro 65 e 66).

Figura 65

Figura 66

Si ha:

p = m(v).v

e cioè:

dove risulta : v2 = vx2 + vy2 + vz2 .
Ma ritorniamo un poco indietro su quanto discutevamo qualche riga più su, riprendendo in esame l’urto anelastico tra due masse m che viaggiano in verso opposto con la stessa velocità u (si rivedano le figure 53 e 54 relative, rispettivamente, a prima e dopo l’urto). Dal riferimento S’, nel quale siamo in quiete, vediamo le masse

, prima e dopo l’urto, così come illustrato nelle figure 63 e 64. La differenza tra le figure 63 e64 e le figure 53 e 54 è che ora, in luogo dei valori costanti m per la massa, abbiamo posto il valore variabile m(u); inoltre abbiamo indicato con M(0) = Mo la massa risultante dopo l’urto anelastico. Si mostra facilmente che con la nuova definizione di quantità di moto (17) la quantità di moto nell’urto risulta conservata. Vediamolo.
Ricordando la composizione delle velocità, la velocità w della massa che prima dell’urto risulta, in moto rispetto ad S, sarà data da:

La quantità di moto osservata da S dopo l’urto sarà (figura 66):

cioè quando:

Mo = 2 m(u).

    Quanto trovato vuol dire che gli osservatori su S e su S’ misurano valori diversi per la quantità di moto totale ma, finché la massa e la quantità di moto totali forniscono un valore costante per un osservatore su S’, la quantità di moto totale risulterà costante per un osservatore che si trovi su S, Riguardo all'ultima relazione scritta occorre notare che la somma delle due masse considerate separatamente a riposo è 2mo , mentre la somma delle due masse dopo un urto anelastico è 2m(u). Si vede subito che:

2m(u) > 2mo

e ciò vuol dire che, a seguito di interazioni tra oggetti, la massa classicamente definita non si conserva più. Ora si ha a che fare con la conservazione della massa relativistica che è ben altra cosa ed in particolare non è altro che, come vedremo, un’altra e nuova formulazione della conservazione dell’energia (è l’energia cinetica delle due masse che si urtano a trasformarsi in massa).
Possiamo estendere questo risultato a tutti i sistemi inerziali sui quali dovrà risultare sempre:

m(w) + m(0) = M(u).

Vediamolo:

NOTE

(922) Si ha urto anelastico quando, dopo l’urto, le due masse restano legate insieme formando un’unica massa, somma delle prime due. Esempi di urto anelastico sono: l’urto tra due palline di mastice; una reazione chimica che da due atomi A e B origina un composto AB; un proiettile che si conficca in un blocco di legno; …

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