Fisicamente

di Roberto Renzetti

Roberto Renzetti

In questo come negli altri scritti di “Alcune cose che i giovani deve conoscere …” vi sono delle parti non completamente spiegate e/o giustificate. Qua e là mancano piccole parti propedeutiche. Infine si alternano capitoli molto divulgative con altri che richiedono un qualche sforzo di comprensione. Sono convinto che l’interesse per questi argomenti fa superare ogni difficoltà.

L’ATOMO NELLA FISICA

            Ci siamo lasciati nella Parte IV parlando di spettri ed alcuni risultati trovati e restati in sospeso. Riprendo da lì aggiungendo notizie su altre ricerche.

La fine dell’Ottocento era piena di attività scientifica sperimentale e teorica. Sulla strada aperta da Faraday iniziò a muoversi Maxwell che, se da una parte sviluppò le idee di Faraday relative al campo e quindi ad una materia costituita da atomi evanescenti, dall’altra dette un enorme contributo alla teoria cinetica dei gas che non poteva in alcun modo essere trattata con gli atomi-campo. Questa strana situazione era abbastanza comune all’epoca: la trattazione dei fenomeni elettromagnetici doveva far ricorso alla teoria di campo, cioè all’azione a contatto, cioè a punti-atomi che non sembravano più avere le loro caratteristiche materiali; la trattazione dei fenomeni riguardanti la teoria cinetica e, più in generale, di quelli riguardanti la termodinamica trattata con metodi statistici, doveva far ricorso all’atomo materiale, alla minuscola pallina che rimbalzava incessantemente tra le pareti di un recipiente. Intorno alla metà del secolo iniziarono le prime misure della velocità con cui le perturbazioni elettromagnetiche si propagavano nei cavi conduttori. E qui, pian piano, si riaffaccia un costituente della materia dalla natura corpuscolare: sarebbe un flusso di particelle cariche elettricamente che spostandosi da una parte all’altra, trasporta la perturbazione elettromagnetica. Queste particelle sono ancora del tutto indefinite: c’è chi pensa che questa corrente sia dovuta ad un solo flusso di particelle, cariche di un determinato segno, in un sol verso; c’è chi pensa si tratti di un doppio flusso contrapposto, in modo che le particelle cariche di un segno vanno in un verso mentre quelle di segno opposto vanno in verso opposto. Si susseguono moltissimi lavori teorici ma non si coglie ancora con chiarezza l’eventuale senso dell’ammissione di queste particelle cariche come costituenti la materia. In particolare se ancora di atomi si doveva parlare, visto che la materia è di per sé neutra e visto che eventualmente bisogna ammettere in essa delle particelle cariche, si dovrà ammettere, sempre in essa, la presenza di una carica di segno opposto che la renda neutra. Ed in ogni caso, se si deve parlare di atomi, bisogna cominciare a rinunciare al loro essere dei grani inscindibili. Intanto, nel 1874, l’irlandese G. J. Stoney riprese il fenomeno dell’elettrolisi del quale Faraday aveva fornito la legge nel 1833. E sulla stessa strada si mosse anche Helmholtz nel 1881, con in più il grande vantaggio che l’autorità scientifica di Helmholtz era tale che una qualunque cosa egli sostenesse veniva subito presa in seria considerazione. Ebbene, sia Stoney che Helmholtz, mostrarono che se la materia e l’elettricità sono considerate discontinue (cioè formate da tante piccole particelle) allora gli esperimenti di Faraday sono semplici da spiegare. Se ciascun atomo di materia, nel passare attraverso la soluzione, porta con sé una quantità di carica definita e ben determinata, allora la quantità di materia depositata su di un elettrodo sarà direttamente proporzionale a questa quantità di carica. Ora, un grammo-atomo di materia contiene un numero di atomi pari al numero N di Avogadro e quindi ciascun atomo trasporta una carica q pari a: q = z.(96.522/N) coulomb con z numero intero. Così la carica che ogni ione elettrolitico, di qualsiasi tipo esso sia, trasporta è sempre multipla di 96.522/N, che risulta quindi essere la carica elementare. A questa carica elementare Stoney, nel 1891, dette il nome di elettrone (agli inizi Stoney con la parola elettrone indicava la carica elettrica associata ad uno ione monovalente). Alla possibile conclusione di esistenza di una carica elementare di elettricità si arrivò anche da una strada completamente diversa, quella dello studio della scarica nei gas rarefatti. Nel 1879 il britannico W. Crookes, impegnato nello studio della scarica elettrica in gas rarefatti, sulla strada aperta fin dal 1751 da Watson e poi seguita da moltissimi ricercatori (Davy, Faraday, Abria, Geissler, Plücker, Hittorf, Karley, …) produce una scarica elettrica in un tubo di vetro in cui aveva praticato un vuoto molto spinto (dell’ordine di un millesimo di atmosfera). Da questa esperienza ricava l’esistenza &i raggi emessi dal catodo, costituiti, secondo la sua teoria, da molecole elettrizzate espulse dal catodo stesso (raggi catodici). Mentre anche altri ricercatori, come E. Riecke, erano convinti della natura corpuscolare dei raggi catodici, alcuni, tra cui l’autorevole Hertz, non erano della stessa opinione. Hertz, insieme al suo assistente Lenard, fece una serie di esperienze con i gas rarefatti. In particolare osservò (1892) che i raggi catodici erano in grado di attraversare sottili lamine metalliche. Da ciò egli concluse che non poteva trattarsi di fenomeni corpuscolari e che, al contrario, i raggi catodici non sono altro che delle vibrazioni dell’etere, allo stesso modo della luce. Intanto Goldstein, servendosi di un catodo perforato, aveva scoperto resistenza dei raggi anodici, o positivi, o canale (1886); e Schuster era riuscito a misurare, anche se con scarsa precisione, il rapporto tra la carica e la massa delle ipotetiche particelle emesse dal catodo, osservandone la deviazione in un campo magnetico. Per rendere conto di una molteplicità di problemi teorici l’olandese H. A. Lorentz, nel 1892, elaborò una teoria degli elettroni nella quale l’elettricità era considerata un fenomeno di spostamento di particelle, gli elettroni, dotate di carica e di massa. Da questo proto c’è un dato teorico da sottoporre alla prova dell’esperienza e le ricerche, appunto sperimentali si faranno sempre più frenetiche. Eccone una breve cronologia.

1894 – il britannico J.J. Thomson (1856-1940), usando di uno specchio ruotante, riesce a calcolare la velocità dei raggi catodici trovando un valore di circa 10.000 Km/sec, velocità molto più piccola di quella della luce ed enormemente più grande di quella delle molecole di un gas. Quindi, conclude Thomson, né Hertz né Crookes hanno ragione: non si tratta né di vibrazioni dell’etere né di molecole, ma di particelle d’altra natura e cariche negativamente;

1894 – P. Lenard dimostra che i raggi catodici possono uscire dal tubo di scarica, attraversando foglie sottili di alluminio come finestre e quindi diffondendosi nell’aria; 1895 – il tedesco W.C. Rontgen (1845-1923) scopre che, nelle vicinanze di un tubo di Crookes, le lastre fotografiche rimangono impressionate ed interpreta il fenomeno come originato da nuovi e misteriosi raggi provenienti dal tubo, che egli chiama raggi X;

1895 – il francese J. Perrin (1670-1941) dimostra che i raggi catodici sono costituiti da particelle cariche negativamente, gli elettroni;

1896 – Rontgen approfondisce lo studio dei raggi X scoprendo che essi sono generati da tutti i punti colpiti dai raggi catodici e che hanno la proprietà di scaricare i corpi elettrizzati;

1896 – il francese G. Gouy (1654-1926) scopre la rifrazione e la diffrazione dei raggi X;

1897 – J. J. Thomson dimostra che quando i raggi X passano attraverso un gas lo rendono conduttore di elettricità;

1897 – il tedesco K.F. Braun (1850-1918) dimostra che i raggi catodici sono deviati da un campo magnetico, ma anche da un campo elettrico e su questo principio costruisce un tubo (tubo di Braun), del tipo del tubo catodico di un televisore. Sul fondo del tubo è cosparsa sostanza fluorescente sulla quale si produce una piccola scintilla quando è colpita da un raggio catodico;

1897 – il tedesco W. Wiechert (l86l-1928) fornisce un’altra determinazione del rapporto tra massa e carica dell’elettrone, dalla deviazione dei raggi catodici sotto l’influenza di un campo magnetico e dal confronto dei dati così ottenuti con quelli che erano stati ottenuti mediante elettrolisi;

1897 – J.J. Thomson misura il rapporto e/m, tra carica e massa di un elettrone, trovando che esso vale 770 volte l’analogo rapporto per lo ione idrogeno;

1897 – il tedesco W. Kaufmann (1871-1947), usando il tubo di Braun, corregge in 1770 il valore trovato da Thomson. Per le sue misure Kaufman si basa sempre sulla deviazione dei raggi catodici mediante campo magnetico ma anche sulla differenza di potenziale tra gli elettrodi.

A questo punto comincia a porsi il problema: se e/m calcolato per l’elettrone è tanto più grande del Q/M dello ione, ciò dipende dal fatto che è molto più grande di Q o dal fatto che è molto più piccolo di M? Proprio allora il britannico C.T.R. Wilson (1869-1959) costruì uno strumento che permetteva di visualizzare le tracce delle particelle cariche (camera di Wilson o camera a nebbia).

1899 – J.J. Thomson, utilizzando una camera di Wilson, scopre che la carica di uno ione gassoso è la stessa dello ione idrogeno da fenomeni elettrolitici ed è anche la stessa di quelle particelle che vengono emesse da una superficie metallica per effetto fotoelettrico. Thomson trasse la conclusione che la carica dell’elettrone doveva essere uguale a quella dello ione idrogeno (che oggi sappiamo essere un protone), e di conseguenza era la massa m dell’elettrone che doveva essere molto piccola rispetto a quella di questo ione. Il valore che Thomson trovò per m era più piccolo di circa 1700 volte del valore della massa dello ione idrogeno. Questo valore fu in seguito perfezionato da ulteriori misure e mediante strumenti sempre più perfezionati. Scoperta l’esistenza di una carica negativa costituente la materia e dato per scontato che la materia è neutra, si cominciò a porre il problema delle cariche positive che, all’interno della stessa materia, avrebbero dovuto neutralizzare le negative. Altri fenomeni da campi diversi si accumulavano sulla strada dell’evidenza sperimentale dell’elettrone. L’effetto fotoelettrico, scoperto casualmente da Hertz nel 1877, è uno di questi. Questo effetto, così come era stato scoperto, consisteva sella carica positiva che acquistava una determinata lastra metallica sottoposta ad una radiazione ultravioletta. Il fatto notevole è che l’effetto si produce solo per radiazioni da una data frequenza in su (frequenza di soglia) ed è indipendente dall’intensità della radiazione che colpisce la lastra metallica (non si ha l’effetto anche per elevatissime intensità di una radiazione che abbia frequenza inferiore a quella di soglia). Nel 1899 il tedesco Lenard ed il britannico J. J. Thomson comprendono che si tratta di elettroni emessi dalla superficie metallica (si noti che nel 1902 lo stesso Lenard affermò l’inconciliabilità di questo effetto con l’idea di energia che si propaga con continuità). Altri fenomeni ancora si presentavano nella radioattività che, proprio sul finire del secolo, veniva scoperta. Nel 1896 il francese H. Becquerel scopriva che alcuni sali di uranio riescono ad impressionare lastre fotografiche attraverso sostanze opache interposte. Dallo studio di questi fenomeni sia Becquerel che il britannico Rutherford ricavarono, nel 1899, che l’uranio emetteva due tipi differenti di radiazione con differenti proprietà elettriche e di penetrazione (i raggi a ed i raggi b). La conclusione cui arrivarono i due fisici era che si doveva trattare di radiazioni costituite da particelle dotate di carica. Appena un anno dopo (1900) P. Villard scoprì un terzo tipo di radiazione emessa dai sali di uranio con caratteristiche analoghe ai raggi X, (raggi g). L’accumularsi di tutti questi fatti provenienti da fenomeni completamente diversi convinse i più dell’esistenza dell’elettrone ma, fatto ancora più importante, mostrò che questo elettrone doveva essere un costituente comune di tutti gli atomi di tutti gli elementi. Nel 1910, lo statunitense R. Millikan, migliorando alcuni apparati sperimentali realizzati precedentemente da J. J. Thomson, riuscì a misurare con una certa precisione la carica dell’elettrone, trovando: e = 1,602.10-19 coulomb Allo stesso modo si è riusciti più tardi (l911) a misurarne la massa: me = 9,108.10-31 Kgm. II secondo decennio del Novecento fu poi determinante per stabilire la realtà degli atomi. La scoperta dei raggi X, alla quale abbiamo accennato, permise a M. von Laue e quindi ai Bragg di passare allo studio dei cristalli facendoli attraversare da questi raggi. Ne risultarono effetti incredibili di interferenza, dallo studio (difficile) dei quali si poté risalire con certezza al fatto che essi sono costituiti da atomi disposti ai vertici di determinati reticoli, proprio quelli che empiricamente erano stati studiati precedentemente in mineralogia e teoricamente con l’uso della matematica. Infine, negli ultimi anni, la realizzazione del microscopio elettronico ci ha permesso di indagare ancora meglio la struttura cristallina arrivando quasi a percepire la presenza degli atomi (vedremo più oltre che c’è una impossibilità di principio di fotografare un atomo).

         Tutto quanto abbiamo qui detto, in modo molto succinto, ha convinto dell’esistenza degli atomi. Ma, abbiamo già avvertito che le cose non sono così semplici; proprio sul finire del secolo scorso contro gli atomi fu scatenata una vera e propria crociata in nome di non vedo e quindi non credo. I motivi erano in realtà ben altri. Si era costruita un’equazione che voleva atomismo = meccanicismo = materialismo e, da contraltare, l’altra equazione che voleva inesistenza di materia = inesistenza di atomi = idealismo. La lotta fu durissima e per la verità, all’epoca fa vinta dagli antiatomisti (che facevano capo alla corrente filosofica dell’empiriocriticismo, più nota come neopositivismo) guidati dall’austriaco E. Mach e dal tedesco W. Ostwald. Cercherò era di dare un maggior ordine e sistematicità alla trattazione. Allo scopo inizierò dallo studio dei primi modelli atomici che vennero proposti per rendere conto del fatto, già annunciato, che da una parte si erano individuate delle particelle negative come costituenti la materia e, dall’altra, quest’ultima risulta neutra. I primi modelli atomici. Già nel 1899, J. J. Thomson stava elaborando un qualche modello di atomo che rendesse conto dei fenomeni fisici osservati. Egli si rendeva conto che all’interno di un atomo doveva, in qualche modo, esservi della carica positiva. La presenza degli elettroni negativi nella materia doveva prevedere la presenza di un qualcosa di positivo che andasse a neutralizzare la carica di segno opposto. Ma su questa supposta carica positiva non si sapeva nulla. Fu Kelvin che nel 1901 suggerì che la carica positiva dovesse essere assegnata ad una massa omogenea e continua, da pensarsi come ordinariamente sono pensati i fluidi (una specie di massa gelatinosa a bassissima densità). Un atomo, allora, deve essere pensato come un continuo sferico di carica positiva dentro cui si trovano queste piccole masse che sono gli elettroni. Riguardo poi a come sono distribuiti gli elettroni nella gelatina positiva, dipende dal loro numero: se l’atomo ha un solo elettrone questo si dispone al centro della sfera; se gli elettroni sono più di uno, probabilmente (dice Kelvin), si disporranno in superfici sferiche concentriche con la sfera ed interne ad essa. Questi elettroni saranno, inoltre, probabilmente dotati di moto rotatorio intorno al centro della sfera. Quest’ultima eventualità, il moto rotatorio degli elettroni, creava però dei problemi con gli ultimi sviluppi dell’elettromagnetismo ed in particolare con i lavori di H.A. Lorentz del 1895 (sulla questione tornerò, con qualche dettaglio più oltre). J. J. Thomson si mise a studiare il problema e nel 1904 portò a compimento il suo modello atomico servendosi di quanto Kelvin aveva sostenuto nel 190 (ripeto qui alcune cose già dette nella Parte II, nel Capitolo dal titolo “Ancora atomi”). Tale modello atomico era pensato come costituito da una carica elettrica positiva distribuita uniformemente in una sfera piccolissima, neutralizzata da un conveniente numero di elettroni immersi nella stessa sfera e liberi di muoversi in essa:

Nel 1911 E. Rutherford, che era stato assistente di Thomson, suggerì, in base all’esperienza, che in un dato atomo la carica positiva e la maggior parte della massa fosse concentrata in un nucleo di dimensioni estremamente ridotte; la carica negativa, formata dagli elettroni è distribuita nel resto del volume atomico che risulta essere quindi in gran parte vuoto (se un elettrone atomico girasse intorno al Duomo di Milano, il nucleo non sarebbe più grande della capocchia di uno spillo). Vediamo l’esperienza dalla quale Rutherford dedusse il suo modello atomico. Questa esperienza fu realizzata per la prima volta da Geiger e Mardsen nel 1909. I due fisici, allievi di Rutherford, stavano studiando le radiazioni emesse spontaneamente da un campione di radio con il seguente dispositivo sperimentale che consisteva di:

a) un campione S di radio le cui radiazioni sono schermate da due fogli F di piombo, a parte quelle che riescono a passare dalla fenditura; b) una lamina d’oro L molto sottile (spessore ~ 10-6 cm) da far attraversare dalla radiazione; c) degli schermi fluorescenti R (fatti ad esempio di solfuro di zinco) che quando sono colpiti da una particolare radiazione provocano una scintillazione localizzata che permette di individuare il punto di arrivo della radiazione stessa. Tali schermi o rivelatori potevano essere spostati tutt’intorno al sistema La pasticca del radio emette, fra l’altro, radiazioni α, cioè particelle formate tra l’altro da due protoni (nuclei di elio: He 2+). Queste particelle escono a gran velocità dalla fenditura F e vanno ad urtare ed attraversare la lamina d’oro. A quell’epoca si aveva a disposizione il modello atomico di Thomson ed un pezzo di materia, costituito da questi atomi era pensato molto compatto (vedi la figura a):

La previsione era che la maggior parte delle particelle α, emesse dal radio riuscisse ad attraversare l’atomo (di Thomson): quelle che passavano per il centro non dovevano subire alcuna deviazione (nel qual caso, per motivi di simmetria, c’è equilibrio fra le forze repulsive agenti su di esse, quelle che passavano un poco più distanti dal centro dovevano essere deviate di angoli piccolissimi, aumentando la deflessione all’aumentare della distanza dal centro dell’atomo.

In definitiva si doveva trovare che poche particelle risultassero non deviate, mentre la gran parte dovesse risultare deviata. I risultati che furono trovati dall’esperienza furono del tutto diversi. Si trovò infatti che le particelle a venivano deviate sempre di più quanto più passavano vicine al centro dell’atomo finché, quando passavano nel centro, venivano riflesse totalmente indietro. Si trovò cioè che la maggior parte delle particelle attraversava indisturbata (senza cioè alcuna deviazione) la lamina d’oro mentre le rimanenti altre subivano delle forti deviazioni e addirittura delle riflessioni all’indietro.

Questo fatto, apparentemente sorprendente, si poteva spiegare solo in un modo: all’interno dell’atomo c’era una forte concentrazione di carica positiva che determinava la repulsione delle particelle α. E questa fu la spiegazione che diede Rutherford: l’intera carica positiva, in luogo di essere diluita in tutto lo spazio occupato dall’atomo, è concentrata in un nocciolo (il nucleo) al centro dell’atomo.

In questa esperienza le cariche negative (gli elettroni) non disturbavano, infatti il loro comportamento è analogo a quello delle molecole d’aria quando sono attraversate da un proiettile: si spostano. La più grossa conseguenza di questa osservazione è che gli atomi sono in gran parte costituiti da spazio vuoto: la materia è costituita da più vuoti che pieni I risultati conseguiti con le esperienze sulle particelle a diffuse da una lamina d’oro convinsero Rutherford a for mulare un nuovo modello atomico. [Si osservi che per spiegare alcuni fatti sperimentali relativi agli spettri di emissione di alcune sostanze, nel 1903, il fisico giapponese H. Nagaoka (1865-1950) propose alla società fisicomatematica di Tokio m modello atomico costituito da un nucleo centrale positivo circondato da particelle cariche negativamente (gli elettroni) disposte in cerchio intorno al nucleo, a distanze uguali tra di loro. Il lavoro di Nagaoka fu pubblicato nel 1904 sulla rivista britannica Nature e, come si vedrà, il modella atomico di Rutherford coincide praticamente con quello di Nagaoka]. In definitiva, secondo Rutherford, si ha un nucleo positivo immerso in una atmosfera poco densa di elettroni, o meglio, si ha un si stema solare in miniatura con il nucleo centrale ed un certo numero di elettroni che gli ruotano intorno trattenuti dal l’attrazione coulombiana, così come i pianeti ruotano intorno al Sole, sottoposti all’attrazione gravitazionale. Alla periferia dell’atomo, questi elettroni negativi neutralizzano l’effetto della carica positiva del nucleo; così che, complessivamente, l’atomo è neutro. Questo significa che il nucleo ha un numero di cariche elementari positive uguale al numero degli elettroni. Osservo a parte che Rutherford ha scoperto il nucleo dell’atomo. Nella figura riportata poco prima in (a), come abbiamo visto, era rappresentato un pezzo di materia costituito con atomi di J. J. Thomson, osserviamo ora che in (b) è riportato lo stesso pezzo di materia costituito con atomi di Rutherford: è evidente la profonda differenza tra i due modelli.

Questo modello atomico di Rutherford non resse però che poco tempo alla prova teorica. Esso presentava infatti delle gravi incongruenze, ed in particolare con la teoria elettromagnetica di Lorentz, come abbiamo già discusso nella Parte II. Secondo questa teoria, infatti, ogni accelerazione del movimento di un elettrone dà origine ad un’onda elettromagnetica che irradia energia proporzionalmente al quadrato dell’accelerazione; soltanto nel moto uniforme una carica non irradia energia. In definitiva, quando si ha una carica elettrica in moto accelerato, essa deve irradiare energia nello spazio circostante sotto forma di onde elettromagnetiche. Ebbene, gli elettroni planetari sono delle particelle cariche le quali, per di più, muovendosi di moto rotatorio, sono dotate di accelerazione centripeta. Questa emissione di radiazione sottrae energia e quindi, per il principio di conservazione dell’energia, l’energia meccanica dell’elettrone deve via via decrescere e, di conseguenza, la sua orbita gradualmente restringersi, finché esso cade sul nucleo; e tutto ciò in un tempo brevissimo, dell’ordine di 10-10 secondi. Questo fatto comportava l’instabilità dell’edificio atomico: ogni pezzo di materia avrebbe dovuto implodere su se stessa in tempi brevissimi ed il mondo sparirci davanti. E questa non era l’unica difficoltà che comportava il modello di Rutherford. Un’altra ne nasceva proprio dal confronto del possibile comportamento degli elettroni in questo modelle con i fatti sperimentali che offriva la spettroscopia. Poiché gli elettroni potevano muoversi intorno al nucleo su ogni possibile orbita, questi elettroni dovevano possedere un continuo di valori di energia a partire da quella spettante alla prima orbita vicino al nucleo fino ad arrivare a quella corrispondente al livello di ionizzazione (quando cioè l’elettrone ha acquistato tanta energia da andarsene via dall’atomo cui appartiene). Guardando allo spettroscopio la radiazione emessa da siffatti atomi (quando sono eccitati) si dovrebbe vedere uno spettro continuo (analogo a quello della luce solare che passa attraverso un prisma) poiché gli elettroni possono avere tutte le possibili energie. Come già sappiamo questa ipotesi contrastava con l’esperienza che fino ad allora si era acquisita attraverso l’osservazione degli spettri di diversi atomi eccitati. Gli spettri atomici risultavano infatti costituiti da righe colorate separate da buio e non da un continuo di diversi colori Un’altra difficoltà era poi legala alla struttura intrinseca dei singoli atomi. Ci si chiedeva perché, dato il modello di Rutherford in cui gli elettroni potevano trovarsi su di un’orbita qualsiasi, due atomi di uno stesso elemento dovevano essere uguali. Perché gli elettroni di un atomo di carbonio dovrebbero muoversi sulle stesse, identiche, orbite di tutti gli altri atomi di carbonio?

         A questo punto, per altri cammini, era nata la fisica dei quanti e fu il giovanissimo fisico danese N.Bohr ad applicare questa fisica alla struttura dell’atomo. Ci voleva un grande coraggio a confrontarsi con tutti i prestigiosi fisici del mondo a sostenere qualcosa che guardavano con sospetto. Ma, anche qui e come già visto, già Einstein aveva utilizzato questa fisica per la spiegazione dell’effetto fotoelettrico.

L’ATOMO DI BOHR

Nel 1913 Bohr apportò alcune correzioni all’atomo di Rutherford in modo che esso potesse rispondere ai fatti sperimentali e fosse in grado di risolvere le gravi difficoltà cui esso si era scontrato (ed alle quali abbiamo accennato). Queste correzioni erano basate sull’accettazione della teoria dei quanti e sulla sua applicazione alla struttura degli atomi ma, come vedremo, sembravano del tutte ingiustificate da un punto di vista teorico. Essenzialmente Bohr basò il suo modello atomico su due postulati non giustificati, se non per rendere conto dei fatti sperimentali, una specie di formula di Balmer a livelli molto superiori. Il primo di questi postulati, conseguenza diretta dell’applicazione dei quanti alla struttura atomica, afferma che in un atomo gli elettroni non possono assumere qualsiasi valore dell’energia ma solo certi valori definiti (si usa dire che in un atomo l’energia è quantizzata). Ciò significa qualcosa di molto importante: solo certe orbite elettroniche possono essere occupate dagli elettroni che ruotano intorno al nucleo e ad ogni orbita corrisponde un determinato valore dell’energia. Questa prima ipotesi può essere formulata più precisamente nel modo seguente. Supponiamo di considerare un elettrone che ruoti intorno al nucleo su una determinata orbita; sia r il raggio dell’orbita che stiamo considerando e q = mv la quantità di moto dell’elettrone su questa orbita, di modo che il momento della quantità di moto, meglio, il momento angolare dell’elettrone rispetto al nucleo sarà p = mvr; ebbene, questo momento angolare non può assumere tutti i valori possibili, ma solo alcuni determinati, multipli interi di una data quantità elementare; vale cioè la relazione: mvr = n(h/2π) là dove n è un numero intero positivo chiamato numero quantico principale ed h è la costante di Planck. Il secondo postulato riconosce che l’elettrone orbitale non può emettere alcuna energia a meno che non cambi orbita (cioè livello energetico); questo passaggio non può avvenire, quindi, gradualmente, ma si ha un vero e proprio salto energetico. Quando, per un qualche motivo, un elettrone salta da una orbita ad energia più alta (livello energetico iniziale: i) ad una energia più bassa (livello energetico finale: f), la sua perdita di energia è emessa sotto forma di quanto di luce (oggi meglio conosciuto come fotone). Si ha così: Ei – Ef = hν, dove Ei è l’energia corrispondente all’orbita ad energia più alta, Ef quella corrispondente all’orbita ad energia più bassa ed hν è il quanto di luce che abbiamo incentrato nella prima teoria dei quanti di Planck. La relazione scritta significa che un elettrone nel passare da una certa orbita ad una ad energia più bassa perde energia, e questa perdita di energia (per la legge di conservazione) la si ritrova sotto forma di emissione di radiazione (emissione di un quanto di radiazione). Nel caso il salto avvenga in senso contrario a quello descritto fin qui si ha assorbimento di un quanto di radiazione hν dall’esterno. [Noto a parte che la prova sperimentale dell’esistenza degli stati quantici fu fornita da Franck ed Hertz nel 1913]. Cerchiamo di vedere un poco più in dettaglio i conti che fece Bohr. In un atomo l’elettrone orbita circolarmente intorno al nucleo. La forza centripeta (Fcentripeta = Fc) che mantiene l’elettrone nell’orbita circolare è fornita dalla forza di attrazione elettrostatica (Felettrostatica = Fe) che il nucleo esercita sull’elettrone; deve allora risultare:

La relazione (10), trovata da Bohr, spiegava bene le righe spettrali osservate la prima volta nel 1906 e relative ad n = 1. Appunto in quell’anno Lyman osservò, con uno spettroscopio per radiazione ultravioletta (UV), uno spettro di radiazione, emesso dall’idrogeno, costituito da tante righe che andavano addensandosi intorno alla lunghezza d’onda di 908Å = 90,8nm (che corrisponde ad n1 = ¥). Già nel 1885 erano state osservate le righe spettrali dell’idrogeno situate nella regione del visibile (da 4000Å = 400nm a 7000Å = 700nm) e relative ad n = 2, mentre nel 1908 Paschen osservò le linee spettrali dell’idrogeno nell’infrarosso e relative ad n =3 (si veda la figura).

Quindi, negli anni successivi furono osservate tutte le altre serie spettrali situate in altre regioni dello spettro. In definitiva, per quel che riguarda il visibile si ritrova la formula che empiricamente aveva dato Balmer. E merito di Bohr fu proprio l’aver dato un significato a quella costante B che avevamo incontrato in quella formula. Inoltre la formula di Bohr era in grado di prevedere altri spettri a frequenze diverse e tutto questo fu confermato sperimentalmente (con una qualche deviazione al crescere di Z, come vedremo). Nella figure che seguono sono riportate tutte le serie spettrali dell’idrogeno:

I due postulati di Bohr forniscono un nuovo modello di atomo che è simile a quello di Rutherford con la fondamentale differenza che ora non tutte le orbite sono permesse all’elettrone (quantizzazione dell’energia o del momento angolare o dei livelli energetici). Ciò significa che l’elettrone può stare solo in determinate orbite, cioè solo a determinate distanze dal nucleo. In tal modo l’edificio atomico risulta stabile anche se con qualche difficoltà teorica. Non sto qui a fare una storia dettagliata della messe di lavori che venne dopo quelli di Bohr. Ma occorre dire che questo modello atomico fu perfezionato da Sommerfeld nel 1916. Sommerfeld, per tentare di eliminare la non adesione ai dati sperimentali del modello per atomi diversi dall’idrogeno e quindi con numero atomico Z > 1 (ed anche alcune questioni legate all’intensità delle linee spettrali), applicò all’intero atomo una quantizzazione più spinta. Infatti la quantizzazione del momento angolare introdotta da Bohr limita i gradi di libertà di un elettrone costringendolo ad un raggio R di una determinata orbita. Sommerfeld suppose che l’elettrone, muovendosi nello spazio, ha tre gradi di libertà e non uno solo. Sviluppando matematicamente il concetto, Sommerfeld introdusse tre numeri quantici (vedi più avanti), anziché il solo numero quantico n, come aveva fatto Bohr. Il primo numero quantico, n (quanto principale, che può assumere valori interi e positivi), come quello di Bohr, indica l’orbita su cui l’elettrone si muove (il suo livello energetico). Il secondo numero quantico, ℓ (quanto azimutale, che può assumere valori interi e positivi), ci dà invece lo schiacciamento delle orbite (queste non sono più circolari, come aveva indicato Bohr, ma possono anche essere ellittiche: più ℓ è grande, più l’orbita è schiacciata o eccentrica).

Il terzo numero quantico, m* (quanto magnetico, che può assumere valori interi positivi e negativi), rende conto del fatto che il piano dell’orbita può avere solo certe determinate inclinazioni rispetto ad un asse di riferimento (quantizzazione spaziale).

Un’altra importante novità nella trattazione di Sommerfeld dell’atomo di Bohr è l’introduzione della teoria einsteniana della relatività (1905) per lo studio del movimento degli elettroni orbitanti intorno al nucleo. Gli elettroni planetari, infatti, si muovono a velocità molto vicine a quella della luce ed a questa velocità è importantissimo introdurre la teoria della relatività che ci rende conto di altri fatti sperimentali altrimenti non spiegabili (la separazione dei livelli energetici, andando a studiare la struttura fine degli spettri degli atomi che consiste in un maggior numero di righe osservate se l’osservazione è fatta in modo più sofisticato, con uno strumento  in grado di separare linee che grossolanamente sembrano una sola. Nella figura seguente si può vedere come, in struttura fine si separano le prime due righe della serie di Balmer e la prima di quella di Paschen.

La teoria di Bohr si può ulteriormente migliorare tenendo conto che quando si ha a che fare con un oggetto che ruota intorno ad un altro oggetto, bisogna considerare i due oggetti che ruotano intorno al loro centro di gravità. Ciò vuol dire che in qualche modo bisogna tener conto anche della massa del nucleo e, in definitiva, occorre sostituire ad m che compare nelle formule viste la cosiddetta massa ridotta (m) data da:

dove M è la massa del nucleo.

         Ricapitolo in breve gli aspetti salienti della teoria atomica di Bohr.

  • l’atomo è neutro: la somma delle cariche negative degli elettroni eguaglia la carica positiva del nucleo.
  • Le orbite non possono essere qualsiasi: sono possibili solo quelle orbite che hanno un’energia (per unità di tempo) pari ad un multiplo intero della costante di Planck (mvr = nh/2π). Ciò vuol dire che non vi può essere un continuo di orbite ma solo alcune: le orbite elettroniche sono quantizzate.
  • Ad ogni orbita elettronica corrisponde un determinato valore di energia.
  • L’acquisto di energia da parte di un elettrone lo porta su orbite via via più alte (quando questa è sufficiente l’elettrone schizza via dall’atomo, come ad esempio nell’effetto fotoelettrico).
  • La perdita di energia da parte di un atomo porta l’elettrone su orbite più basse (attenzione qui: si aspetti di conoscere il Principio di Pauli del 1925!).
  • Un elettrone, finché resta su una determinata orbita, non perde né acquista energia (questa affermazione, così banale, contrasta radicalmente con quanto la teoria ondulatoria ammetteva: una carica accelerata, ed un elettrone in un orbita circolare è tale, deve emettere energia e tale emissione è una perdita di energia tale da far scendere l’elettrone in orbite via via più basse).

Riguardo all’acquisto o perdita di energia da parte di un elettrone in un atomo accade quanto segue:

      Supponiamo di avere un elettrone in un livello energetico atomico E1. All’arrivo dall’esterno di un quanto di energia (un fotone) di energia hν, se questo fotone ha energia sufficiente (pari o maggiore, cioè, alla differenza E2  – E), allora l’elettrone salta sull’orbita superiore E2.

La situazione precedente non si può mantenere che per breve tempo se, dall’esterno, non arriva rifornimento di fotoni. In tal caso l’elettrone ritorna nella sua orbita restituendo il fotone che lo aveva eccitato:

Ora poiché i livelli elettronici sono solo alcuni precisamente determinati, come già detto, solo alcuni salti saranno possibili per gli elettroni. Poiché ad ogni salto da un dato livello ad un altro corrisponde una data energia, poiché ad ogni energia corrisponde una determinata frequenza, poiché ad ogni frequenza corrisponde un determinato colore, ecco che diventa ora chiaro come si producano gli spettri discontinui! Eccitando (ad esempio, con una fiamma o con una scarica elettrica) un determinato elemento, questo vedrà i suoi atomi eccitati in modo diverso. Alcuni atomi vedranno gli elettroni saltare, ad esempio dal 1° al terzo livello, altri dal 2° al quarto, altri …., di modo che tutte le possibili transizioni tra livelli saranno rappresentate. E queste possibili transizioni sono in numero finito, appunto lo spettro del dato elemento. Da qui discende anche un’altra importante osservazione: poiché elementi diversi hanno spettri diversi, ne consegue che la struttura delle orbite elettroniche per differenti elementi è differente e, per un dato elemento, sempre la stessa.

Infine nel 1913 A. Sommerfeld applica la teoria della relatività al moto dell’elettrone ed introduce ulteriori quantizzazioni, oltre quella dei livelli energetici: le orbite elettroniche sono ellittiche con eccentricità determinate e non qualunque; considerate le orbite su di un piano nello spazio, come devono, non tutti i piani possibili passanti per il nucleo possono contenere orbite, ma solo determinati (quantizzazione spaziale).

         La teoria di Bohr-Sommerfeld prevede l’introduzione di tre numeri quantici:

  • n o numero quantico principale. Esso fu introdotto da Bohr nel 1913.Esso stabilisce il livello energetico in cui ci troviamo. Al crescere di n (che può variare da 1 fino ad infinito) cresce il valore dell’energia associato a quel livello energetico (e quindi degli elettroni che ivi si trovano). Occorre osservare che i livelli energetici sono ordinariamente raggruppati in strati energetici (i livelli sono molto vicini tra loro e praticamente indistinguibili). Vi è una facile regola pratica che per ogni n assegna n2 livelli componenti uno strato (per n = 1 vi è un solo livello e si ha a che fare con lo strato K; per n = 2 vi sono 4 livelli e si ha a che fare con lo strato L; per n = 3 vi sono 9 livelli e si ha a che fare con lo strato M; …..). Occorre poi osservare che n, in qualche modo, è legato alla distanza relativa tra i livelli energetici in un dato atomo (le distanze tra livelli sono proporzionali ad 1/n2 e ciò vuol dire che, data distanza 1 tra nucleo e primo livello, la distanza tra primo e secondo livello è 1/4, quella tra secondo e terzo è 1/9, e così via. Ciò vuol dire che, allontanandosi dal nucleo i livelli vanno infittendosi e che, in corrispondenza di n = ∞, diventano non più separati costituendo un continuo che fa sì che l’elettrone, a quel punto, non appartiene più a quell’atomo ma è “libero” (vedi la Teoria dell’elettrone libero …” nel sito).
  • ℓ o numero quantico secondario. Fu introdotto da Sommerfeld nel 1916. Esso stabilisce la forma e l’energia dei sottolivelli (abbiamo già detto che per ogni n si hanno nsottolivelli). Il suo valore varia da 0 ad n – 1. Aggiungo che a determinati valori di ℓ corrispondono vari orbitali che assumono nomi diversi:
    • ℓ = 0 l’orbitale è chiamato di tipo “s” (dall’inglese sharp);
    • ℓ = 1 l’orbitale è chiamato di tipo “p” (dall’inglese principal);
    • ℓ = 2 l’orbitale è chiamato di tipo “d” (dall’inglese diffuse);
    • ℓ = 3 l’orbitale è chiamato di tipo “f” (dall’inglese fundamental);
    • da ℓ = 4 in poi la lettera che definisce l’orbitale segue l’ordine alfabetico (ghi e così via).
  • m* o numero quantico magnetico. Fu introdotto da Sommerfeld nel 1916. Esso stabilisce l’orientazione spaziale del livello energetico. Esso può valere: m* = 0, ± 1, ± 2, ± 3, … ± l.
  • (come vedremo, in seguito si aggiungerà un nuovo numero quantico) s o numero quantico di spin. Fu introdotto da Pauli nel 1925. Esso stabilisce una delle due possibili rotazioni dell’elettrone su se stesso. Può, come già detto, valere: s = ± ½ (h/2π).

Con queste correzioni ogni spettro sperimentale è ben spiegato dalla teoria (con la teoria di Bohr solo l’idrogeno vedeva coincidere dati sperimentali con teoria).                  

La teoria di Bohr (ed ormai di Bohr-Sommerfeld), come accennato, lasciava tuttavia a desiderare dal punto di vista logico, trattandosi in sostanza di una sovrapposizione di condizioni nuove alle vecchie leggi della meccanica, poiché si sceglievano, tra le orbite meccaniche, quelle che a tali condizioni si adattavano: si adattano le leggi classiche della meccanica e dell’elettromagnetismo per definire l’orbita dell’elettrone, leggi che venivano poi ripudiate quando si postulava che l’elettrone su un’orbita stazionaria (vedi oltre) non poteva irradiare energia, in pieno ed aperto contrasto con le leggi inizialmente ritenute valide. Inoltre si introducevano delle costanti arbitrarie (i numeri quantici) che erano un chiaro segno dell’insufficienza della teoria. Una strada per risolvere la mole di problemi che si presentavano fu l’introduzione di una nuova meccanica, la meccanica ondulatoria.

Nella relazione di Planck, E = hn, abbiamo visto che si lega l’energia portata da un quanto di luce (questa dizione è di Einstein) con la frequenza dell’onda di radiazione; questo fatto mostra la strana situazione in cui si trovava la fisica agli inizi del secolo scorso, di fronte a due teorie della luce assolutamente antitetiche ed inconciliabili (quella corpuscolare e quella ondulatoria), ciascuna delle quali però era necessaria per spiegare alcuni fenomeni non giustificabili con l’altra (il fenomeno dell’interferenza era spiegabile solo con la teoria ondulatoria mentre quello dell’effetto fotoelettrico solo con una strana teoria corpuscolare della luce – tra l’altro  questo fenomeno trovò spiegazione solo attraverso i quanti di luce di Einstein nel 1905).

La dualità onda corpuscolo, già ammessa per la luce, ha un compito essenziale per tutti i problemi in cui entra in gioco l’energia. Di qui l’idea fondamentale formulata nel 1923 dal fisico francese Louis de Broglie: generalizzare la dualità precedente; associare cioè un’onda all’elettrone come a tutti i corpuscoli conosciuti.

Tale idea fu accettata ed estesa dal fisico austriaco Schrödinger a cui si deve una trattazione completa di tali onde, e fu il punto di partenza della celebre meccanica ondulatoria. La trattazione fatta da Schrödinger delle onde suddette conduceva agli stessi risultati di Bohr.

Prima di procedere, andando a meglio capire quanto qui sostenuto, è conveniente discutere brevemente della meccanica delle onde.

 LE ONDE

Tutti abbiamo gettato, almeno una volta, un sasso nell’acqua. Abbiamo visto dei cerchi concentrici crearsi intorno al punto in cui il sasso era entrato in acqua. Abbiamo osservato che questi cerchi si allontanano, aumentando il loro diametro, da quel punto con una velocità costante. Sappiamo che quelle protuberanze sull’acqua si chiamano onde. Facendo una sezione dello stagno centrata nel punto in cui il sasso è entrato in acqua, abbiamo la seguente figura (la parte tratteggiata rappresenta il piano dell’acqua prima del lancio del sasso: si vede quindi che dell’acqua si innalza dal piano originale mentre altra acqua si abbassa rispetto a questo piano):

Consideriamo ora solo il profilo dell’onda:

Come si vede vi sono dei punti in cui l’altezza dell’onda è massima (massimi) e dei punti in cui questa altezza è minima (minimi). La distanza tra due massimi o tra due minimi è chiamata lunghezza d’onda e si indica con l. La semidistanza, perpendicolare alla precedente, tra un massimo ed un minimo è chiamata ampiezza dell’onda e si indica con A:

La velocità v dell’onda è la velocità con cui (rifacendoci all’esempio del sasso in acqua) un massimo (o un minimo) si allontana dal punto in cui è stato gettato il sasso in acqua:

Supponiamo ora di avere come punto di riferimento sullo specchio d’acqua un filo d’erba che emerge a poca distanza dal punto in cui gettiamo il sasso. Chiameremo frequenza dell’onda e la indicheremo con n il numero di massimi (o di minimi) che passano, in un secondo, per il filo d’erba. In termini matematici la frequenza di un’onda è data dalla sua velocità divisa per la sua lunghezza (infatti la frequenza è tanto maggiore quanto più grande è la velocità dell’onda e tanto maggiore quanto è più piccola la lunghezza dell’onda): n = v/l.

Si potrebbe a questo punto fare un piccolo esperimento. Disponiamo di una bacinella molto larga e poco profonda. Riempiamo d’acqua questa bacinella e lasciamo che l’acqua formi uno specchio rimanendo perfettamente immobile. Poniamo a galleggiare sull’acqua un piccolo sughero. Se ora forniamo un impulso (p = F.t = m.v) al centro del piccolo specchio d’acqua (ad esempio colpendo la superficie dell’acqua con una matita tenuta perpendicolarmente la superficie) si genereranno delle onde concentriche che via via si allontaneranno dal centro della bacinella per arrivare ai bordi. A questo punto potremo osservare che il nostro sughero, al passaggio dell’onda, si innalzerà e si abbasserà successivamente al passaggio dei massimi e dei minimi dell’onda ma non si sposterà dal punto dove si trova. Possiamo ripetere più volte l’osservazione, colpendo successivamente più volte la superficie dell’acqua con la matita, e troveremo sempre lo stesso risultato. L’impulso che noi abbiamo fornito all’acqua col pendola lo ritroveremo dopo un poco di tempo ai bordi della bacinella ma il sughero è oscillato (trasversalmente) rispetto alla sua posizione di equilibrio senza spostarsi longitudinalmente. Possiamo quindi iniziare a trarre una qualche conclusione: un’onda non trasporta materia ma energia.

Supponiamo ora di avere a disposizione due onde con stessa lunghezza d’onda che si propagano da uno stesso punto (nella figura sono riportate su piani diversi per rendere evidenti le due onde) se a massimi di un’onda corrispondono esattamente massimi dell’altra onda, si dice che le onde sono in fase;

se non c’è alcuna corrispondenza tra massimi e minimi, le onde si dicono sfasate;

se infine ai massimi di un’onda corrispondono via via i minimi dell’altra, le onde si dicono in controfase (massimo sfasamento);

Vediamo come agiscono tra loro queste onde, vediamo qual è l’onda che si ottiene dalla somma algebrica tra le due.

Se le due onde sono in fase si sommano tra loro originando un’onda con la stessa lunghezza d’onda, con ampiezza doppia ed ancora in fase con le prime due:

due onde, con la stessa lunghezza d’onda, in controfase, si sottraggono, originando come risultato un’onda nulla:

due onde invece che siano semplicemente sfasate si sommano e si sottraggono a seconda della sfasatura punto per punto in un modo abbastanza complesso che non ci interessa analizzare, al di là della figura riportata:

possiamo anche far vedere le tre situazioni con le onde componenti e quella risultante, sovrapposte:

Questi erano i concetti che interessava introdurre, per capire le idee sviluppate da De Broglie e da Schrödinger.

 ONDE O PARTICELLE?

             A questo punto disponiamo di fenomeni che si spiegano solo con la teoria ondulatoria (interferenza) ed altri che si spiegano solo con una sorta di teoria corpuscolare (effetto fotoelettrico). In definitiva con cosa abbiamo a che fare? Con onde o con particelle? Iniziamo, con una tabella a dare le caratteristiche salienti delle onde e delle particelle.

DE BROGLIE (1924)

             E’ il francese L. De Broglie, nella sua tesi di laurea, che inizia a rispondere a questi problemi. Prima di vedere cosa fece De Broglie, vediamo di conciliare un poco le differenze tra onde e particelle.

Sia le onde che le particelle possono muoversi da un luogo ad un altro con una velocità ben determinata.

Sia le onde che le particelle possono trasportare energia da un punto ad un altro. Dati allora due punti A e B, possiamo trasferire impulsi, fornire energia, da A a B in due modi: con un’onda

o con una palla (o altro oggetto materiale; in particolare: una particella)

Va detto comunque che l’onda non è una particella: le onde, in qualche modo, hanno delle caratteristiche corpuscolari; le particelle, in qualche modo, hanno delle caratteristiche ondulatorie ed i due concetti sono strettamente connessi.

se delle onde hanno caratteristiche corpuscolari

dovrà accadere che 

particelle presentino caratteristiche ondulatorie.

Dovrà valere la relazione:

Questa relazione vuole intanto dire che: se si dispone di una particella di data massa, essa avrà una elevata lunghezza d’onda se è lenta (bassa velocità) e, viceversa, essa avrà piccola lunghezza d’onda se è veloce. Inoltre questa relazione si presta ad una verifica sperimentale. Si tratta di provocare l’interferenza (meglio dire: la diffrazione) di elettroni, neutroni, …. (la verifica sperimentale del comportamento ondulatorio degli elettroni e quindi della relazione di De Broglie, si ebbe nel 1927 ad opera di C. Davisson e L. Germer che ebbero l’idea di utilizzare gli ioni di un cristallo come “fenditure. I due fisici riuscirono ad ottenere la diffrazione degli elettroni, fenomeno tipicamente ondulatorio, servendosi delle tecniche di diffrazione dei raggi X introdotte da von Laue nel 1912 e dai Bragg, padre e figlio, negli anni successivi).

Nelle elaborazioni di De Broglie e quindi di Schrödinger si possono considerare le particelle come pezzetti di materia purché vengano associati a delle onde. L’onda è in qual che modo (come vedremo) legata alla probabilità che la parti cella si trovi in qualche punto dell’onda stessa.

Consideriamo allora un’onda con una determinata frequenza n e lunghezza d’onda l

Quest’onda è diffusa in tutto lo spazio; a ciascun suo punto può quindi essere associata una particella: la probabilità di trovare la particella è la stessa in ciascun punto dell’onda, questa probabilità è costante e quindi la particella può trovarsi dovunque nello spazio occupato dall’onda.

Consideriamo ora più onde di diverse frequenze che interferiscono fra di loro in modo tale che le loro ampiezze si elidano reciprocamente ovunque (operando in un modo analogo a quanto abbiamo visto per due onde sfasate tra di loro) all’infuori che in un ristretto spazio Dx. Questo insieme di onde possiamo chiamarlo “pacchetto d’onde”. Allora la particella che è associata a queste onde si troverà sicuramente all’interno “del pacchetto”.

Consideriamo un esempio relativo a quattro onde con quattro differenti valori della frequenza e della lunghezza d’onda

Queste onde, come si vede dalla figura, originano un pacchetto ben localizzato (l’onda, somma delle quattro, rappresentata tratteggiata nella figura precedente e riportata separatamente nella figura seguente):

dove c’è l’onda, cioè dove c’è il pacchetto, si trova la particella; dove l’onda è nulla non può esservi particella.

Considerando quindi un generico pacchetto si ha:

Così l’altezza (meglio: l’intensità) dell’onda in un punto è legata alla probabilità che la particella si trovi in quel punto e questa è una idea che ebbe Max Born e sulla quale torneremo con maggiori dettagli più oltre. Dove l’onda è ampia (o forte) vi è una buona possibilità di trovare la particella. Dove l’onda è piccola (o debole) vi è una piccola probabilità di trovare la particella.

Come sono allora queste onde? Sono onde di probabilità. E questa è la prima grande idea della meccanica ondulatoria. Era questo un risultato del tutto inatteso: la nozione di probabilità si introduceva in microfisica facendo svanire le nozioni di posizione e di velocità, e scalzando il determinismo classico.

La seconda, grande, idea della meccanica ondulatoria fu lo stabilire una relazione tra la velocità v della particella e la lunghezza l della sua onda, la relazione vista di De Broglie (mv = h/λ).

             Torniamo ora proprio a questa relazione introducendo preliminarmente un concetto classico elementare. Se uno ha una circonferenza e su di essa vuole metterci un’onda, la cosa è realizzabile solo se vi sono delle condizioni rispettate e cioè che la lunghezza della circonferenza 2πr sia un multiplo intero della lunghezza dell’onda λ:

deve cioè valere la relazione: 

  

            In definitiva, l’ipotesi iniziale di De Broglie, nata da ragioni eminentemente euristiche, porta a spiegare ipotesi ad hoc di Bohr che, certamente spiegavano ma che, altrettanto certamente, non si capiva bene da dove provenissero. Ma, come annunciato, ritorniamo un attimo alla natura ondulatoria della materia. Riprendiamo la relazione di De Broglie:

Credo si capisca come i due “oggetti” fatti diffrangere, hanno stesso comportamento sperimentale.  

Facciamoci ora un facile conto per vedere in modo elementare dove possano portare alcune elaborazioni. Combiniamo insieme la relazione di De Broglie (mc = h/λ , dove abbiamo sostituito a v la velocità c della luce) con quella di Planck (E = hν). Ricordando che, per la luce, ν = c/λ  =>  λ = c/v e sostituendo questo valore al  λ della relazione di De Broglie, si trova:

UN CENNO AD ALCUNI SVILUPPI

            Einstein capì subito l’importanza dell’idea di De Broglie, mentre lavorava alla statistica sviluppata dall’indiano Bose e ne parlò (1924) con Born. Lo stesso Einstein pubblicò un lavoro sulla questione nel 1925 affermando che la cosa “rappresenta più che una mera analogia”. Questo lavoro fu letto da Schrödinger e da esso partì, prendendo alla lettera l’idea di De Broglie [all’epoca il prestigio di Einstein era enorme], sviluppando la “meccanica ondulatoria” che “si affiancava” alla quantistica.  Nel 1926 fu pubblicata la maggior parte dei contributi di Schrödinger alla meccanica ondulatoria. Ed in quell’anno, con matematiche differenti, furono pubblicati anche i vari lavori di Heisenberg (meccanica delle matrici), Dirac (algebra quantistica), Born e Jordan. Lo sviluppo più potente fu quello di Dirac (uso delle equazioni differenziali della meccanica analitica di Hamilton-Jacobi) che comprendeva, come casi particolari, gli sviluppi di Heisenberg e Schrödinger.

         Resta il problema della vera comprensione e della formalizzazione. Qui le cose si complicano per le difficoltà della matematica ma anche per lo sfuggire da sotto di noi il rassicurante determinismo classico. Diciamoci la verità, da questo punto le cose non sono davvero comprensibili. In ogni caso tentiamo di descrivere, almeno in modo molto approssimato, i ragionamenti che fece Born.  

          L’espressione matematica che descrive un’onda, ad esempio l’onda di un elettrone in un atomo, è una funzione matematica che è stata indicata con la lettera Ψ (leggi psi). La Ψ è una grandezza (?) che non può essere misurata ed è pertanto definita non osservabile. Se in un atomo abbiamo la certezza che vi sia un elettrone la probabilità P (con P compreso tra 0 ed 1) di trovarlo con una misura sarà P = 1. Ebbene, Born definì come osservabile il modulo al quadrato della funzione d’onda Ψ (si tenga conto che, se Ψ è una funzione immaginaria, il suo modulo al quadrato ci fornisce una grandezza reale):

[osservo a parte che la Ψ non è una proprietà della particella/onda singolarmente considerata, bensì della particella/onda e della misurazione che viene eseguita].

Si noti che si passa da una curva, la Ψ, ad un’area e quindi ad un volume.

[osservo a parte che la Ψ non è una proprietà della particella/onda singolarmente considerata, bensì della particella/onda e della misurazione che viene eseguita].            

L’ evoluzione di questa equazione vide Dirac che, nel 1928, la modificò introducendo in essa la relatività. Risolvendo tale equazione in queste condizioni venivano fuori due strane soluzioni immaginarie che altri avrebbero scartato. Dirac affermò invece che se tali soluzioni venivano fuori vi doveva essere un motivo profondo ed ipotizzò che tali soluzioni descrivessero una materia diversa da quella a noi nota, l’antimateria. Fu necessario aspettare fino al 1932 quando il fisico statunitense Anderson scoprì dai raggi cosmici la prima particella di antimateria, il positrone o antielettrone e+. Solo nel 1955 Emilio Segré, uno dei fisici della famosa scuola di Roma, scoprì, negli USA, l’antiprotone p. Seguiranno poi l’antineutrone e varie altre antiparticelle ed antiatomi (ma di queste particelle mi occuperò con maggiori dettagli più oltre).

E’ doveroso avvertire che l’introduzione della y e del suo modulo quadro (probabilità) dette adito ad una serie di discussioni a volte drammatiche. Il culmine dello scontro si ebbe al Congresso Solvay del 1927. Due fazioni si scontrarono: da una parte quelli che poi risultarono vincitori, Born, Heisenberg, Dirac, Pauli capitanati da Bohr (costoro vennero i» seguito indicati come appartenenti al la Scuola di Copenaghen); dall’altra, quelli che poi risultarono sconfitti, Planck, Einstein, Schrödinger, de Broglie. La tesi portata avanti dai seguaci di Bohr era essenzialmente la seguente: la teoria quantistica è una teoria completa e definitiva, le sue ipotesi fondamentali non sono discutibili; le leggi probabilistiche della fisica dei quanti sono un dato definitivo della realtà; non c’è possibilità di affidarsi ad alcun determinismo, la natura assume l’indeterminazione come un dato fondamentale e di principio; occorre rinunciare al concetto di causalità dei fenomeni atomici del tempo e dello spazio; si estrapola il principio di indeterminazione affermando che non solo non è possibile misurare contemporaneamente posizione e velocità di una particella, ma addirittura che una particella non ha né posizione né velocità, con la conseguenza che, ancora una volta, la materia di nuovo sparisce e con questa posizione, legittima ed apparentemente innocua, si dà fiato a tutta la vecchia posizione antimaterialista che, appena qualche anno dopo, vedrà Heisenberg, lo scienziato nazista, affermare che l’atomo non è altro che un sistema di equazioni differenziali e che, naturalmente, la materia non esiste. Ma, a prescindere dalla posizione radicale di Heisenberg rimane il fatto che la posizione filosofica dei vincitori, che si può semplicemente definire neopositivista, è ancora quella che oggi governa i nostri istituti di ricerca. Porsi dei problemi, cercare di capire, fa perdere tempo e non ci aiuta sulla strada del consumismo scientifico e dell’efficientismo. Contro tutto questo si battevano gli sconfitti, e non solo a parole ma anche con tutta usa serie di teoremi, dimostrazioni e paradossi. Secondo questi ultimi la fisica dei quanti è certamente una conquista importante ma deve essere intesa come provvisoria: diamo tempo alla ricerca e molte cose potranno essere intese in un modo differente. E poi, entrando in un minimo di dettaglio, non è affatto vero che la fisica dei quanti offre una descrizione completa. Molte variabili le sfuggono, sono le variabili che sono state definite nascoste. Vi è una enorme bibliografia in proposito, per parte mia tengo solo a dire che io descrivo gli sviluppi della fisica dei quanti così come si sono susseguiti; in nessun modo sento di condividere l’impostazione filosofica dei vincitori del Congresso Solvay.

IL PRINCIPIO DI ESCLUSIONE (PAULI 1925)

         Nel 1925 due fisici olandesi, Ulenbeck e Goudsmith, scoprono una proprietà magnetica dell’elettrone. Quest’ultimo, movendosi lungo la sua orbita, ruota anche rapidissimamente su se stesso come una trottola (spin). E’ inutile stare qui a discutere del fatto che in realtà si tratta di un effetto relativistico, è ora importante osservare che il valore energetico, per unità di tempo, che si accompagna a questo spin è proporzionale alla costante h di Planck, s = ±  ½ (h/2π). I segni + o – stanno ad indicare le due possibili rotazioni dell’elettrone, verso orario ed antiorario, cosicché anche lo spin risulta quantizzato (la cosa è rappresentata con un vettore diretto verso l’alto o verso il basso). Nello stesso anno il tedesco W. Pauli riuscì a dimostrare che, all’interno di un atomo, non vi possono essere più di due elettroni su una medesima orbita (e ve ne sono due solo se questi hanno spin opposti) [noto a margine che la tavola periodica degli elementi, con questa scoperta di Pauli, trova una sua naturale spiegazione. Senza tale principio non conosceremmo la varietà del mondo chimico e le caratteristiche del mondo fisico sarebbero radicalmente differenti.

Inoltre questo principio spiega perché, abbassando drasticamente la temperatura, la materia non collassa, non si “sgonfia”. 

FERMIONI E BOSONI

        Il mondo circostante è fatto da una enorme varietà di particelle ma tutte hanno delle caratteristiche elementari che le fanno suddividere in due classi: esse o sono bosoni o sono fermioni. I bosoni (fotoni, nuclei di elio 4, mesoni, ….) sono le particelle che hanno come spin un numero intero o nullo; i fermioni (elettroni, protoni, neutroni, …) sono particelle che hanno come spin un numero semintero. I comportamenti di tali particelle sono del tutto diversi. Tutte le particelle, dato il gran numero che costituisce un loro insieme da studiare, sono sempre trattate con delle apposite statistiche. Ebbene, i fermioni obbediscono alla statistica elaborata da Fermi (1925) e da Dirac (1926) ed in tutte le interazioni dell’universo il numero dei fermioni si conserva; i bosoni obbediscono alla statistica elaborata dal fisico indiano Bose (1924) e da Einstein (1925) e non si conservano, essi nell’universo possono essere creati in grandissime quantità, ad esempio accendendo una lampadina.

L’ATOMO ONDULATORIO

Un elettrone è un particolare tipo di particella. Ora noi sappiamo che l’elettrone è una carica negativa mentre il nucleo di un atomo è carico positivamente. L’elettrone viene quindi attratto dal nucleo. Allora l’elettrone non potrà trovarsi dovunque, ma avrà una maggiore probabilità di trovarsi vicino al nucleo.

Questo elettrone non sarà più rappresentabile come un pezzetto di materia, ma conseguentemente alla sua natura ondulatoria, sarà rappresentato da onde che si sviluppano lungo determinate orbite intorno al nucleo. Su ogni orbita ci sarà una particolare onda: la caratteristica fondamentale di questa onda è il fatto di essere

un’onda stazionaria; ed un elettrone che si trova in una onda stazionaria si dice che si trova in uno stato stazionario. Ma cos’è un’onda stazionaria?

Cerchiamo, prima di definirla, di costruircela in casa. Leghiamo una robusta striscia di gomma, ben tesa, a due punti fissi. Facciamo poi oscillare, con un movimento della mano in un punto vicino ad un estremo fisso, la striscia. Variando progressivamente il movimento della mano fino ad ottenere la frequenza giusta riusciremo a costruirci un’onda stazionaria, un’onda cioè che non muta la sua configurazione e che non si propaga.

Disegniamo un’onda generica ad un certo istante (in blu) e ad un istante successivo (in rosso):

un’onda siffatta è un’onda che si propaga: non è quindi un’onda stazionaria.

Le onde che otteniamo invece con la nostra striscia, per diverse frequenze, sono fatte nel modo illustrato nella figura seguente:

Le linee in grassetto indicano la posizione della striscia nei punti di massimo spostamento; le aree ombreggiate indicano invece le regioni interessate al moto della corda. In pratica vi sono dei punti che si mantengono fissi e la striscia oscilla su e giù mantenendo fissi quei punti. Queste onde sono caratterizzate da nodi (i punti fissi nel disegno) e ventri (i punti a cui corrisponde il massimo spostamento della striscia dalla posizione di risposo) che non si muovono rimanendo sempre nelle medesime posizioni. L’evoluzione temporale di queste onde è data da uno spostamento trasversale massimo in un verso ed uno spostamento trasversale massimo nel verso opposto passando per la posizione di equilibrio. In ciascun punto della striscia si hanno quindi delle oscillazioni periodiche ma l’impressione che noi abbiamo guardando l’onda che abbiamo costruita è che niente si muova sulla striscia.

Sempre riferendoci alla nostra esperienza dobbiamo osservare che per mantenere l’onda è necessario continuare a fornire impulsi con la mano. Questo perché gli attriti (nei due punti a cui abbiamo fissato la striscia) e la resistenza dell’aria tendono a far smorzare le oscillazioni. Per questo le onde che creiamo in una vaschetta d’acqua o in una chitarra dopo un poco si annullano. Nel nostro mondo macroscopico, sulla Terra, con aria, attriti, gravità non esistono onde stazionarie se non le creiamo artificialmente fornendo in continuazione energia. Ma nel mondo dell’infinitamente piccolo, nel mondo atomico, dove ovviamente non ci sono né attriti né resistenza di aria, dove la gravità è trascurabile rispetto alle altre forze in gioco, allora potremo avere, anzi abbiamo, delle onde stazionarie. L’elettrone che si muove intorno ad un nucleo si muove “nella sua orbita” secondo un’onda stazionaria trovandosi quindi in uno stato stazionario.

Rivediamo ora cose già dette cambiando leggermente l’approccio. Ad un’onda stazionaria compete una determinata energia che, fintantoché si mantiene la stazionarietà dell’onda, non viene dissipata. L’elettrone quindi muovendosi intorno al nucleo secondo un’onda stazionaria non dissiperà energia, così come doveva accadere secondo la teoria classica di Lorentz, sotto forma di onde elettromagnetiche.

Si ritrova quindi una brillante spiegazione alla prima delle due ipotesi di Bohr: un elettrone su una determinata orbita non emette od assorbe energia.

Cerchiamo allora una spiegazione alla seconda ipotesi di Bohr: l’elettrone può muoversi solo su determinate orbite, essendogli impedite tutte le altre.

Ritorniamo alla nostra striscia di gomma e ricominciamo a farla oscillare. Le onde che riusciamo a creare sono soltanto quelle relative a determinate frequenze e non a tutte le possibili. Per quanti sforzi possiamo fare si avranno soltanto quelle onde che hanno un numero intero di ventri.

Supponiamo di aver creato un’onda stazionaria con tre ventri. Variamo di poco la frequenza facendo variare l’impulso che forniamo alla striscia con la nostra mano. Quello che otterremo è o un’onda con due ventri o una con quattro ventri, non ci sono vie di mezzo. Infatti una qualsiasi altra frequenza intermedia non farà altro che annullare qualsiasi onda sulla striscia. Allora, poiché ogni onda stazionaria ha una sua determinata energia, nel passare da un’onda stazionaria ad un’altra, si passa da un’energia ed un’altra ma non con continuità. Si avranno così dei salti energetici: nel passare da un’onda stazionaria con, ad esempio, tre ventri ad una con quattro si acquista energia (cioè all’onda stazionaria con maggior numero di ventri compete maggiore energia), facendo il salto inverso si perde energia.

Cerchiamo allora la condizione di esistenza di un’onda stazionaria relativamente alla lunghezza della striscia di gomma che abbiamo usato per il nostro piccolo esperimento.

e questa è la condizione, di importanza fondamentale, di De Broglie. Si capisce quindi che soltanto le orbite che soddisfano alla condizione di De Broglie esisteranno. Ed ecco ritrovata l’altra ipotesi di Bohr, anche da un punto di vista formale. Infatti, mettendo insieme le due relazioni di De Broglie mv = h/l ; l = 2pr/n si ritrova la condizione di Bohr di quantizzazione del momento angolare mvr = n h/2p.

Il fatto poi che le onde associate all’elettrone possano avere soltanto determinate lunghezze spiega come mai l’elettrone possa avere soltanto determinate energie: infatti, finché l’elettrone è confinato nella sua orbita, esso non è soggetto ad alcun acquisto o perdita di energia essendo tutta la sua energia una energia di movimento, di tipo, cioè, cinetico.

Ancora in base alla relazione di De Broglie (l = h/mv), trovati i valori permessi per le lunghezze d’onda, si fa presto a trovare i valori permessi per le velocità e quindi per le energie.

La costruzione dell’atomo ondulatorio è allora fatta.

Questo modello venne immediatamente superato da tutto ciò che discese dai lavori di Schrödinger, il quale trattando matematicamente le onde di De Broglie nella sua ormai famosa “Equazione di Schrödinger” (già riportata come figura) trovò non più delle orbite intorno ad un nucleo, ma del le nuvole (che circondano a mò di buccia il nucleo) di probabilità intorno al nucleo stesso. Ogni orbita elettronica si può considerare come una nuvola che circonda il nucleo e le diverse orbite più interne (sulla forma di queste nubi di probabilità tornerò con qualche dettaglio più oltre.

Cerchiamo ora di capire meglio ciò cominciando con l’introdurre il principio di indeterminazione.

IL PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE (HEISENBERG 1926/1927)

            Nelle cose che siamo andati dicendo, a partire da De Broglie, già era sparita la particella materiale. Occorreva dirlo meglio. Formalizzare. E per questo Heisenberg ebbe delle straordinarie intuizioni che poi purtroppo vennero estrapolate arbitrariamente fino a creare gravi problemi di interpretazione filosofica della meccanica quantistica. Intanto Heisenberg fa una operazione che rivoluziona il modo di osservare; egli non guarda più dall’esterno ma si mette dentro ciò che vuole osservare (non è una cosa da poco!).

Cerchiamo di capire cosa è tale principio di indeterminazione.

Quando vogliamo descrivere che farà un proiettile sparato da un cannone, non occorre che ci mettiamo ad osservare per credere che le cose vadano in un certo modo. Due calcoletti con la fisica di Newton e riusciamo a conoscere, istante per istante, la traiettoria (o velocità) e la posizione del proiettile. La cosa assume una rilevanza diversa nel mondo microscopico, dove i fenomeni vanno trattati con i quanti.

Occorre prima dire in breve il modo in cui noi vediamo gli oggetti, modo simile sia nella visione ordinaria che quantistica della luce. Dato un oggetto da osservare serve una sorgente di luce che, dopo essersi riflessa sull’oggetto da osservare, arriva agli occhi dell’osservatore informandolo che l’oggetto è proprio lì (si noti che questo toccare indiretto degli oggetti per vederli, corrisponde al toccare diretto del non vedente che si aggira in un ambiente che non conosce).

Riferiamoci a dei fotoni che debbano colpire un oggetto perché noi lo si possa vedere (secondo disegno). Le energie in gioco, quelle dei fotoni che colpiscono l’oggetto sono veramente ridicole rispetto all’inerzia dell’oggetto. Possiamo anche prendere un faro usato dalla protezione civile per le inondazioni ed illuminare con esso un granello di sabbia. Tale granello non si sposterà perché colpito da quell’enorme fascio di fotoni. E’ che il granello di sabbia è immensamente più grande del mondo atomico. Scendiamo allora a tale scala. Se volessimo osservare un elettrone dovremmovederlo. Per fare ciò occorre che almeno un fotone lo colpisca. Ebbene, l’energia di un fotone è dello stesso ordine di grandezza di quella di un elettrone! Ciò vuol dire che, se vogliamo osservare l’elettrone, lo vediamo per un istante infinitesimo, ma poi lo perdiamo perché l’urto del fotone lo ha fatto schizzare via (si riveda l’effetto Compton). Quindi si potrebbe pensare di osservare la posizione di un elettrone ma, questa osservazione, ci toglie ogni possibile informazione su quale traiettoria è seguita da quell’elettrone. Ma si potrebbero usare fotoni meno energetici. Invece di quelli, ad esempio, viola, si possono usare quelli rossi. Benissimo. In tal caso non spostiamo apprezzabilmente l’elettrone dalla sua traiettoria ma non riusciamo a vederlo bene, lo vediamo sfocato. Se ci mettiamo con fotoni ad energia intermedia (verdi) perdiamo un poco di informazione sulla traiettoria e poca sulla posizione dell’elettrone.

         Esemplifichiamo ancora.

         Per poter determinare con precisione la posizione e la velocità (e quindi l’energia) di un corpo in movimento è necessario che noi non modifichiamo con la nostra osservazione il fenomeno che vogliamo studiare.

Capiamo meglio questo fatto.

C’è un camion che cammina ad una certa velocità v su una autostrada. Che posizione occupa ad un certo istante? Lo guardiamo in quell’istante; passa esattamente con il suo muso davanti al segnale di curva. Andiamo sul posto e diciamo; il camion, all’istante voluto, era qui. Per essere più precisi potremmo fotografarlo: avremo allora un’istantanea che ci mostra il camion nella posizione che occupa proprio all’istante che volevamo. E se a quell’istante il camion stesse transitando sotto un tunnel dove non c’è possibilità né di vederlo né di fotografarlo? Allora o non lo facciamo passare attraverso il tunnel, facendolo deviare per un’altra strada, ma questo modifica il fenomeno che stiamo osservando ed un’istantanea sulla deviazione che ha preso il camion non ha interesse, o diciamo che in quell’istante il camion si trova sotto il tunnel, non possiamo dire con precisione dove, ma è sicuramente confinato nel tunnel, o cerchiamo altre tecniche per sapere dove è. Comunque, qualunque sia la tecnica da noi usata per determinare la posizione del camion, l’importante è che per fare questa misura noi non modifichiamo le condizioni di moto del corpo ed, in particolare, la sua velocità e la sua direzione.

Supponiamo di voler determinare la traiettoria e la velocità di una palla all’interno di una stanza buia mediante una macchina fotografica ed uno stroboscopio (un flash che può fornire lampi con precisi e ridotti intervalli di tempo). Teniamo il diaframma e l’obbiettivo della macchina completamente aperti: trovandoci al buio la pellicola non si impressiona. Facciamo partire i lampi dello stroboscopio contemporaneamente al lancio della palla. Alla fine dell’esperimento avremo una foto in cui la palla è ritratta in diverse posizioni ad intervalli successivi:

E’ facile allora vedere quale è stata la traiettoria della palla. Altrettanto facile è calcolare la sua velocità per ogni piccolo tratto di traiettoria: si conosce la distanza tra un punto ed uno successivo occupati dalla palla nella foto, si conosce l’intervallo di tempo intercorso tra due lampi successivi dello stroboscopio, basta quindi applicare la relazione v = s/t ad ogni coppia di successive posizioni della palla per conoscere le sue velocità media in quei piccoli, successivi, tratti.

Facendo queste misure abbiamo modificato la velocità e la traiettoria della palla?

Anche se deluderò molti lettori, debbo dire che abbiamo modificato e traiettoria e velocità. Di poco. Ma le abbiamo modificate.

Ricordiamo che la luce è composta da tanti e tanti fotoni a ciascuno dei quali compete una energia E = hn. Se abbiamo 1 miliardo di fotoni (109) tutti di frequenza n avremo una energia totale E = 109 hn. Questi fotoni per illuminare la palla la devono colpire fornendo dunque ad essa la loro energia. La palla ha quindi acquistato una energia E = 109 hn . L’acquisto di questa energia ha in qualche modo modificato e la posizione della palla nell’istante in cui viene fotografata e, di conseguenza, la traiettoria e, di conseguenza, la sua velocità. Rendiamoci conto di come questa modificazione ha influito sulla nostra misura e per far questo troviamo l’ordine di grandezza di E = 109 hn. E’ a questo punto che entra in gioco l’estrema piccolezza della costante di Planck, h = 6,63.10-34 joule.s. Facendo infatti il conto che ci interessa, si ha:

                    E = 109. 6,63.10-34 n Joule = 6.63.10-25n Joule

Tenendo ora conto che la frequenza dei fotoni della luce visibile è compresa tra 1014 e 1015 cicli al secondo (Hz) si ha che n ~ 5.1014 Hz e allora:

                        E = 6.63.10-25.5.1014 Joule ~ 3.10-10 Joule = 3/1000 erg.

Affinché la palla rimanga impressionata sulla lastra occorre che un certo numero di fotoni la urti. E’ evidente che con questi urti i fotoni cedono la loro energia alla palla la quale si ritroverà con il suo stato di moto modificato. Questa modificazione è però tanto piccola rispetto alle dimensioni degli oggetti che stiamo studiando da non tenerne affatto conto: l’energia dei fotoni rispetto a quella della palla è davvero ben piccola cosa, totalmente trascurabile. E’ proprio il fatto che queste due energie sono tanto diverse a far sì che noi possiamo agevolmente misurare, senza tener conto dei microscopici errori, la posizione e la velocità della palla.

Nei ragionamenti che stiamo sviluppando abbiamo implicitamente ammesso che per studiare una qualche caratteristica di un certo oggetto dobbiamo in qualche modo toccarlo, dobbiamo cioè in qualche modo interagire con esso. E questo fatto è abbastanza chiaro anche se non evidente.

Per renderci conto del peso di un oggetto dobbiamo pesarlo mettendolo quindi in relazione con altri oggetti; per vedere qual è la lunghezza di un tavolo dobbiamo sovrapporgli un metro; per calcolare il livello dell’acqua in un serbatoio dobbiamo introdurvi un’asta graduata; per camminare in una stanza buia dobbiamo toccare per muoverci agevolmente; se la stanza non è buia ci sembra però di poterci muovere senza modificare nulla, senza toccare. Invece non è così. La funzione che svolgevano le nostre mani, toccando per farci muovere, è ora svolta da altri oggetti. Sono infatti i fotoni che toccano per noi gli oggetti rendendoceli visibili e lo abbiamo già visto in un disegno precedente.

Per studiare quindi, nell’ipotesi minimale, la posizione di un determinato oggetto occorre almeno vederlo. Per vederlo occorre che questo oggetto sia illuminato. Se illuminiamo l’oggetto per studiarlo vuol dire che noi ci mettiamo in relazione con esso mediante i fotoni. In ogni caso, misurare significa perturbare.

Ritorniamo alla nostra palla. Noi l’abbiamo perturbata con energie piccole al confronto con la sua. Ma cosa succederebbe se noi la perturbassimo con un’energia dello stesso ordine di grandezza? Avremmo un fotone grande come la palla che lo colpisce. Potremo dire allora che la palla si trovava lì al momento dell’urto con il fotone, ed infatti la lastra fotografica ci darebbe ragione. Ma, un istante dopo, la palla non è più lì avendo modificato completamente la sua traiettoria e la sua velocità.

Senza fantasticare su fotoni grandi come palle, cerchiamo palle piccole come fotoni, scendiamo cioè nel campo delle grandezze atomiche e prendiamo in considerazione un elettrone: vogliamo studiare la sua posizione e la sua velocità.

Per far questo facciamo come Heisenberg nel 1927: costruiamoci cioè un’esperienza ideale, una esperienza cioè in cui lo sperimentatore dispone di un laboratorio ideale in cui egli possa costruire qualsiasi genere di strumento o congegno purché la sua struttura ed il suo funzionamento non contraddicano le leggi fondamentali della fisica.

Vogliamo osservare la traiettoria di un elettrone in movimento, lanciato da un particolare meccanismo e soggetto alla forza di gravità della Terra. L’attrezzatura per fare l’esperienza è la seguente:

a) una camera dentro la quale è stata aspirata completamente l’aria, fino all’ultima molecola;

b) un cannoncino in grado di sparare elettroni, uno alla volta, orizzontalmente e sistemato su una parete della camera;

c) una sorgente luminosa capace di emettere fotoni in numero variabile a piacere e di qualsiasi frequenza;

d) un microscopio in grado di poter osservare qualsiasi frequenza (perfino le lunghe onde radio e i cortissimi raggi g).

L’attrezzatura di questa esperienza ideale è ideale perché:

a) a tutt’oggi non si intravede la minima possibilità di ottenere il vuoto assoluto;

b) non ci sono cannoncini che sparino elettroni uno alla volta;

c) una tale sorgente luminosa non è stata ancora realizzata;

d) un microscopio con tali caratteristiche non esiste;

e con il supporre di avere questa attrezzatura non si contraddice nessun principio fondamentale della fisica.

Lo schema costruttivo dell’esperienza è riportato nella figura seguente:

Cerchiamo di vedere e capire cosa succede ad un elettrone quando, sparato dal cannoncino, si pone in moto nella camera. L’elettrone evidentemente è un piccolo proiettile e, secondo quanto sappiamo di fisica classica, la sua traiettoria dovrebbe essere un arco di parabola come mostrato nella figura seguente:

Allora vediamo se, effettivamente, questo elettrone segue una traiettoria parabolica. Abbiamo detto vediamo. Ma per vedere occorre illuminare e per illuminare occorre che almeno un fotone colpisca l’elettrone. Qui non siamo come nel caso della traiettoria di una palla. L’energia dell’elettrone è molto minore di quella di una palla. Quindi se un elettrone è colpito da un fotone, al contrario di una palla colpita da uno o più fotoni, gli scambi di energia sono del lo stesso ordine di grandezza ed allora, dopo l’urto, l’elettrone avrà completamente variato la sua traiettoria e la sua velocità. Osservando con il nostro microscopio l’elettrone, troveremo una traiettoria a zig-zag; infatti per osservare l’elettrone per un certo tempo saranno diversi i fotoni che colpiranno in tempi successivi:

In questo caso, ad ogni istante, la posizione dell’elettrone è individuata esattamente, ma la sua traiettoria è completamente indeterminata.

Tenendo conto che non si può disporre, ad esempio, di mezzo fotone, si potrebbe pensare di diminuire l’energia del fotone che urta l’elettrone in modo da perturbare il meno possibile l’elettrone stesso. Ricordando che la relazione che ci fornisce l’energia per un fotone è:

E = hν

per diminuire E si può agire sulla frequenza ν, si può cioè rendere sempre più piccola la frequenza ν. Poiché frequenza e lunghezza d’onda sono tra loro inversamente proporzionali, diminuire la frequenza equivale ad aumentare la lunghezza d’onda:

Abbiamo quindi un fotone con energia piccolissima, cioè un fotone che dispone di una piccolissima frequenza, cioè un fotone che ha una grande lunghezza d’onda.

Cerchiamo di capire ciò che succede in questo caso.

Tutti noi, almeno una volta, avremo osservato una specie di sparpagliamento della luce quando viene fatta passare attraverso un forellino sottilissimo. Questo sparpagliamento ha luogo quando il diametro del forellino è dello stesso ordine di grandezza della lunghezza d’onda della luce che lo attraversa. Questo fenomeno è chiamato diffrazione della luce. Ora si ha la diffrazione anche quando poniamo un piccolissimo oggetto (il cui diametro sia dell’ordine di grandezza della lunghezza d’onda della luce) davanti ad una sorgente luminosa: su di uno schermo posto di fronte troveremo non un’ombra netta ma confusa.

Evidentemente questa diffrazione sarà più evidente quanto più sarà grande la lunghezza d’onda della luce rispetto alle dimensioni dell’oggetto interposto tra sorgente luminosa e schermo (e viceversa). L’immagine, quindi, di un oggetto puntiforme su di uno schermo non sarà puntiforme ma sarà invece una piccola macchia le cui dimensioni sono dell’ordine di grandezza della lunghezza d’onda della luce usata. Di conseguenza, dovendo osservare un oggetto con un microscopio, noi potremo osservare l’immagine di questo oggetto tanto più netta, e quindi localizzata, quanto più useremo piccole lunghezze d’onda. Viceversa avremo una immagine sfocata, cioè poco precisa, cioè poco localizzata quando usiamo radiazione con grande lunghezza d’onda. Osserviamo tra parentesi che non si è in grado di osservare oggetti più piccoli della lunghezza d’onda della luce usata.

Torniamo allora al nostro fotone che deve urtare l’elettrone che viaggia nella camera per permetterci di vederlo. Usando, come ci eravamo proposti, un fotone di bassa energia per non perturbare la traiettoria e la velocità dell’elettrone che stiamo osservando ci troviamo nella condizione in cui il fotone ha una bassa frequenza e quindi una grande lunghezza d’onda. Se dunque aumentiamo la lunghezza d’onda del fotone per perturbare meno traiettoria e velocità dell’elettrone, troveremo nel nostro microscopio delle immagini scadenti, cioè una misura poco precisa della posizione dell’elettrone.

Sfuggire da Scilla significa incappare in Cariddi.

Quindi per un fotone che si muove con una grande frequenza n, cioè con una piccola lunghezza d’onda l, avremo sul microscopio una immagine come quella in cui l’elettone si vede come se avesse una traiettoria a zig zag. Mano a mano che diminuiamo la frequenza, e quindi aumentiamo la lunghezza d’onda, otterremo via via sul nostro microscopio delle immagini come quel le riportate nelle figure successivamente riportate:

Nell’ultima figura possiamo intravedere una traiettoria anche se grossolanamente approssimata. Non siamo in grado comunque di dare la posizione dell’elettrone. Allora: o si dà la posizione dell’elettrone rimanendo completamente indeterminata la sua traiettoria (figura con elettrone a zig zag), oppure si dà la traiettoria rimanendo completamente indeterminata la posizione (ultima figura). La penultima figura ci fornisce però una via di mezzo: usando una frequenza intermedia si avrà una traiettoria alterata solo parzialmente ed anche la posizione si potrà stabilire con una piccola incertezza. L’elettrone non avrà una linea ben definita come traiettoria ma comunque resterà confinato entro una striscia.

Questi ragionamenti furono quelli che portarono Heisenberg al suo famoso principio di indeterminazione (1927) che egli riuscì a formulare anche con una relazione matematica. Secondo il principio di indeterminazione: è impossibile determinare con esattezza e simultaneamente la posizione e la velocità di un elettrone (e più in generale di una particella). La forma matematica di queste principio è molto semplice Se chiamiamo con x la posizione dell’elettrone e quindi con Dx l’indeterminazione sella posizione, da quanto abbiamo detto si ricava che Dx è dell’ordine di grandezza della lunghezza d’onda l del fotone, mentre, se chiamiamo con q la quantità di moto dell’elettrone (q = mv => Dq = Dmv) e quindi con Dq dipende da l e maggiore è l’energia trasportata dal fotone, maggiore è l’energia che questo scambia con l’elettrone. Più precisamente si avrà:

Ritorniamo ora al camion che avevamo incontrato qualche pagina indietro. Applichiamogli il principio di indeterminazione e vediamo cosa succede.

Supponiamo che il camion abbia una massa m = 10.000 Kg ed una velocità v ~ 10 m/s. Supponiamo inoltre che l’indeterminazione sulla velocità sia Dv = 1 m/s (il che significa dire che la velocità del camion può variare del 10 % intorno al valore, di 10 m/s, dato). Calcoliamoci l’indeterminazione nella posizione del camion. Si ha:

In questo caso, come si può ben vedere, l’indeterminazione nella posizione è dell’ordine di grandezza delle dimensioni atomiche e non può quindi in nessun modo venire trascurata trattando questioni atomiche. E’ cioè impossibile dire dove si trova un elettrone all’interno di un atomo. Non si può quindi descrivere l’orbita di un elettrone all’interno di un atomo poiché la fascia di indeterminazione si rivela, in questo caso, larga quanto la distanza dell’orbita dal nucleo. Troviamo così che la meccanica quantistica non ci fornisce alcuna informazione sulla traiettoria seguita da un elettrone intorno al nucleo. Non potremo più parlare di orbite percorse dagli elettroni, che presuppongono sia valori finiti e ben determinati della distanza dal nucleo sia la conoscenza della posizione e della velocità dell’elettrone. In luogo di queste orbite dovremo considerare un certo volume (il cosiddetto orbitale atomico) entro cui e possibile o probabile che l’elettrone si trovi. Per occuparci di orbitali atomici dobbiamo tornare alla funzione d’onda y  introdotta qualche pagina indietro.

Cominciamo con il dire che la funzione d’onda y è anche definita orbitale atomico di un elettrone in un atomo. C’è un altro modo però di intendere la y. E’ certamente un modo che soddisfa di più la nostra abitudine a crearci modelli meccanici della realtà fisica che non il rigore dell’esatta interpretazione. Dobbiamo supporre di avere, anziché il vecchio punto materiale che ci descrive l’elettrone in moto con tutta la sua carica concentrata, una nuvola di carica, cioè l’elettrone diffuso in un certo volume di spazio. Questa nuvola di carica non avrà densità uniforme ma, in ogni punto, la sua densità sarà proporzionale a y modulo quadro che si scrive 2. Dove la 2 assume un grande valore, lì si avrà una densità maggiore per la nuvola, e lì si troverà concentrata la gran parte della carica negativa propria dell’elettrone. La differenza essenziale tra questo modo di vedere le cose e quello precedente è che, invece di parlare di densità di probabilità, si parla di densità materiale di particella.

Ritornando alla rappresentazione dell’elettrone mediante la funzione d’onda va detto che la y di un elettrone in un atomo non ha confini definiti ma si estende a distanze molto grandi (relativamente alle dimensioni atomiche) dal nucleo. Questo fatto vuol dire che è possibile anche trovare l’elettrone molto distante dal nucleo. Ma se tale distanza supera i 2 ÷ 3 Å, la probabilità di trovare l’elettrone è molto piccola e poco significativa. Si può quindi dire che per ogni funzione d’onda y vi è un certo contorno, detto superficie limite, entro il quale si ha una probabilità ben definita (dal 90 al 99 %) di trovare l’elettrone.

Le cose che abbiamo dette sono ancora abbastanza vaghe.

Per renderle più concrete, per visualizzarle insomma, cerchiamo di vedere come si può disegnare una funzione d’onda di un elettrone in un atomo, come si può disegnare cioè un orbitale atomico.

La rappresentazione grafica della funzione d’onda (cioè di un orbitale atomico) di un elettrone in un atomo si può realizzare in uno dei seguenti modi:

1) Si può disegnare la nuvola di carica (vedi fig. c)

2) Si può tracciare la superficie limite dell’elettrone nello stato stazionario permesso rappresentato dalla funzione d’onda ψ (vedi fig. d)

3) Si possono calcolare le curve in cui |ψ|2 è costante e tracciarle (vedi fig. b).

4) Si possono tracciare i grafici di ψ o  di |ψ|2 in funzione della distanza r dal nucleo (vedi fig. a).

Vediamo una esemplificazione di quanto detto limitandoci ai casi (a) e (c) di figura, poiché sono quelli che useremo spesso in seguito.

Consideriamo un elettrone, intorno ad un nucleo (ad esempio di idrogeno), nel più basso livello energetico. In base alla rappresentazione mediante la nuvola di carica (e come vedremo meglio nelle pagine seguenti) l’elettrone può essere disegnato con la sua nuvola di probabilità circondante il nucleo:

La ψ e la |ψ|2 sono legate a questa rappresentazione in un modo molto semplice che è reso ben evidente dalla figura seguente:

Osserviamo innanzitutto che la figura è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate che passa per il nucleo atomico; in pratica essa è simile ai grafici di ψ e di |ψ|2 con in più le sue speculari rispetto all’asse delle ordinate. La figura rappresenta la probabilità |ψ|2 (di trovare l’elettrone ad una data distanza R dal nucleo. Poiché l’elettrone nell’atomo si trova, non su di un piano, ma nello spazio circostante il nucleo, quest’ultimo è stato preso come origine delle coordinate; e proprio per la simmetria dell’intero sistema non ha senso considerare distanze R negative a partire dal nucleo e quindi, in figura, non vi è un verso negativo per l’asse delle ascisse ma solo versi positivi a partire dal nucleo. Quest’ultima considerazione fa subito capire che il modo più corretto di intendere la figura (b) non è su di un piano ma nello spazio; si deve cioè pensare che il diagramma di figura risulti solo una sezione verticale di quello strano cono che si otterrebbe facendo ruotare di 180° sull’asse delle ordinate il diagramma stesso di figura; quest’ultimo strano cono è quello che ci rappresenta meglio la probabilità |ψ|2 di trovare l’elettrone nello spazio circostante il nucleo ad una distanza R da esso. Il confronto quantitativo delle distanze tra le due figure in esame permette una ulteriore considerazione: alla distanza di circa 0,5 Å dal nucleo la probabilità di trovare l’elettrone è molto piccola; ad una distanza maggiore, di circa 1,5 Å dal nucleo la probabilità di trovare l’elettrone è nulla; ad una distanza minore di 0,5 Å la probabilità aumenta sempre di più e diventa grandissima, fino a raggiungere il suo valore massimo nei pressi del nucleo stesso. Inoltre, i circa 0,5 Å come distanza dal nucleo oltre la quale è difficile trovare l’elettrone conferma quanto abbiamo fino ad ora detto e trovato con i conti di Bohr: il raggio atomico è di circa 0,5 Å, cioè il diametro di un atomo è dell’ordine di grandezza di 1 Å. Ricordato che la y non ha significato fisico, per comprendere quanto ci siamo proposti, passiamo a mettere in relazione la figura (a) con la figura (b), cominciando con il dare una spiegazione più completa di una rappresentazione come quella data per l’elettrone in figura (a). Abbiamo già parlato del suggestivo modo di intendere la cosa in termini di nuvola di carica. Vediamo ora di precisare meglio. Supponiamo di poter osservare l’elettrone per un certo tempo nel suo movimento atomico, noi vedremmo che l’elettrone passa la maggior parte del suo tempo nelle posizioni più probabili e queste posizioni sono quelle che in figura (a) sono rappresentate da una più grande densità di puntini. Un altro modo di pensare la cosa è il seguente: supponiamo di poter fotografare un atomo con un solo elettrone tante volte in istanti successivi; sovrapponendo le fotografie otterremmo la situazione di figura (a). La figura (b) è, invece, una diretta esplicazione matematica di quanto ci siamo affannati a dire per la figura (a).

A questo punto, prima di proseguire, occorre entrare in maggiori dettagli sul significato dei numeri quantici.

ANCORA SUI NUMERI QUANTICI

Debbo ripetere alcune delle cose già dette. Come sappiamo, il primo di questi numeri si indica con n ed è chiamato numero quantico principale.

Il numero quantico principale n è un numero intero e positivo che indica l’ordine dei livelli energetici atomici. Dire per esempio che un certo elettrone è caratterizzato da n=1 significa dire che questo elettrone si trova sul primo livello energetico atomico (quello più vicino al nucleo); dire che n=2 significa dire che l’elettrone si trova sul secondo livello energetico atomico (quello immediatamente successivo ad n=l). In definitiva il valore di n è 1 nel primo livello energetico atomico ed aumenta progressivamente di una unità nei successivi. Poiché in teoria un elettrone, se acquista una adeguata quantità di energia, può occupare un livello energetico molto distante dal nucleo, i livelli energetici di un elettrone in un atomo possono essere praticamente infiniti ed il valore di n va da 1 all’infinito: n = 1,2,3, …… ∞. Si è trovato che negli atomi esistenti in natura, in normali condizioni di temperatura e di pressione, si possono avere fino a 7 livelli (o strati) energetici, per cui, quando un atomo non è eccitato, quando cioè non ha acquistato in alcun modo energia, il numero quantico principale va da 1 a 7. Questi livelli (o strati) sono stati anche distinti, a partire dal nucleo, con le lettere K, L, M, N, O, P, Q. Ben presto però si scoprì che elettroni appartenenti allo stesso livello (o strato) energetico potevano possedere delle quantità di energia leggermente diverse. Si dovette cioè riconoscere che ciascun livello (o strato) energetico poteva essere composto da più sottolivelli (o sottostrati) con diversi valori di energia. Si introdusse allora il numero quantico secondario che venne indicato, con la lettera ℓ. Si trovò poi che il valore di ℓ, numero intero e positivo, si manteneva sempre inferiore ad n; fissato cioè un certo elettrone, in un certo atomo, con, ad esempio, un n = 3 (un elettrone che si trova cioè al terzo livello energetico di quell’atomo), si è visto che ℓ per quell’elettrone può valere al massimo 2. In definitiva, per ℓ, si hanno i valori seguenti: ℓ = 0, 1, 2, …, n-1.

Per un atomo allo stato fondamentale (non eccitato), possono aversi i casi di tabella 1 seguente:

Ulteriori ricerche, condotte per lo più sul piano teorico, con l’ausilio della matematica, hanno dimostrato che solo in alcuni casi si può parlare di orbite sferiche. Precisamente gli elettroni il cui numero quantico secondario è ℓ=0, ossia gli elettroni S, si trovano su un livello (o strato, o orbitale) sferico; quelli il cui numero quantico secondario è ℓ=1, ossia gli elettroni del sottolivello p, occupando orbite a forma di un 8 che ruota sul suo asse maggiore:

La forma degli orbitali p è più precisamente di due ellissoidi di rotazione che si toccano in un vertice. Gli elettroni d si muovono su orbitali di forma più complicata così come quella su cui si muovono gli elettroni f (vedremo più oltre la loro forma).

Quando l’orbitale non è sferico esso può essere orientato diversamente nello spazio. Nel caso degli elettroni p, ad esempio, si possono avere le seguenti tre orientazioni:

(i subindici indicano lungo quale asse è orientato l’orbitale). Occorrerà pertanto considerare un terzo numero quantico, il quale, contrariamente ai precedenti non ha influenza sull’energia posseduta dall’elettrone (che resta definita da n ed ℓ), e rende conto invece della differenza di orientamento che abbiamo or ora vista. Questo terzo numero quantico viene chiamato numero quantico magnetico e si indica con la lettera m*: esso può assumere tutti i valori interi che vanno da -ℓ ad ℓ e cioè, m = 0, ±1, ±2, … , ± ℓ. Nella tabella 3 seguente sono riportati tutti i possibili valori di m in corrispondenza di determinati valori di ℓ (si osservi che per ogni ℓ vi sono 2ℓ + 1 valori possibili di m):

                     
                      
                
            

IL PRINCIPIO DI PAULI

Abbiamo, a questo punto, quasi tutte le carte in mano per costruire un atomo.

Aiutati dall’esperienza andiamo allora a vedere come si dispongono gli elettroni di un atomo. Fino ad ora abbiamo volutamente trattato l’atomo senza far riferimento al numero degli elettroni in gioco. Cominciamo col dire che ogni elettrone in un atomo è caratterizzato dai quattro numeri quantici che abbiamo or ora visti. Poiché, poi, ogni elettrone tende in natura allo stato ad energia minore (cioè al livello energetico più basso) e questo è per l’atomo con un solo elettrone il livello con numero quantico principale n=1 e con numero quantico secondario ℓ=0 (cioè il livello 1s), si potrebbe pensare che tutti gli elettroni dell’atomo siano normalmente nel livello 1s. Ma ciò è in completo contrasto con l’esperienza. In molti anni infatti si raccolsero una infinità di dati sul comportamento degli atomi portandoli dal livello ad energia più basso ai successivi livelli energetici. Mediante la spettroscopia si studiava il comportamento di questi atomi, si catalogavano i risultati, senza riuscire a sapere come stessero in realtà le cose. Sta di fatto che l’esperienza contraddiceva quanto abbiamo poco fa detto: gli elettroni nello stato di energia più bassa di un atomo, non si muovevano tutti sul primo livello energetico.

Nel 1925 il tedesco W.Pauli trovò la chiave del problema e, come spesso succede (si ricordino le ipotesi di Bohr), era una chiave incredibilmente semplice, una chiave che ha aperto una infinità di porte e che ha spiegato gran parte dei fenomeni atomici fino ad allora oscuri.

Pauli enunciò una regola (il Principio di Pauli) che, appunto, sconcerta per la sua semplicità: in un atomo non vi possono essere due elettroni con gli stessi numeri quantici, cioè su un livello energetico vi possono essere almassimo due elettroni e ve ne sono due se questi elettroni hanno spin opposti. Cerchiamo di vedere ciò in altreparole.

La fisica definisce come “stato” una fissata quaterna di numeri quantici: dati cioè contemporaneamente un n, un ℓ, un m* ed un ms si ha un determinato stato. Ebbene, per il principio di Pauli, un dato stato può essere assegnato ad un elettrone solo. Si può ancora dire che in un atomo tutti gli elettroni sono diversi del punto di vista del loro comportamento.

Alla luce di questo principio (che ha avuto moltissime conferme e nessuna smentita, che solo da relativamente poco tempo ha trovato una giustificazione teorica) vediamo di “costruirci” qualche atomo partendo dall’atomo di idrogeno che ha un solo elettrone ed andando avanti.

Consideriamo il livello K. In questo livello il numero quantico principale è n=1. Applicando quanto abbiamo appreso studiando i numeri quantici ed il principio di Pauli per il livello K si hanno queste due sole possibilità:

Si vede subito allora che su questo livello non possono trovarsi più di due elettroni i quali risultano diversi nel numero quantico ms di spin.L’idrogeno, quindi, avrà il suo unico elettrone sul livello K. L’elio avrà i suoi due elettroni ancora sul livello K:

Il litio (Li) con tre elettroni (tabella precedente), completato il livello K con due di essi, troverà il suo terzo elettrone sul livello L (è come se il terzo elettrone non fosse capace di entrare nello stato n=1 quando questo ha già due elettroni).

Osserviamo a parte che per indicare simbolicamente gli atomi finora visti si usano le seguenti notazioni:

H 1s ; He 1s2 ; Li 1s2 2s

dove il numero che precede la lettera indica il numero quantico principale, la lettera (in questo caso s) indica il numero quantico secondario mentre il numero in alto a destra della lettera indica il numero di elettroni che si trovano in quel livello energetico.

Considerando ad esempio il boro (B), che ha 5 elettroni, si trova la scrittura seguente:

B 1s2 2s2 2p

indicando con questo che il boro ha due elettroni nel livello 1s, due nel livello 2s, uno nel livello 2p.

Ritornando a quanto dicevamo qualche riga indietro, dovrebbe essere ormai chiaro come si sistemano gli elettroni in un atomo.  Per maggior chiarezza riportiamo nella tabella seguente gli stati quantici successivi degli elettroni che entrano a far parte di un atomo (tavola 4):

Una rappresentazione simbolica dei primi atomi che si incontrano nella tavola periodica degli elementi fornisce:

H    1s    

He  1s2      

Li    1s2       2

Be   1s2       2s2

B     1s2       2s2      2px

C      1s2       2s2      2px2

N     1s2         2s2      2px2      2py

O     1s2         2s2      2px2      2py2

F      1s2         2s2      2px2      2py2       2pz

Fe     1s2         2s2      2px2      2py2       2pz2

Etc…

Si potrebbe così continuare fino all’ultimo elemento della tavola periodica (l’uranio) che ha una distribuzione di elettroni nei livelli e sottolivelli come riportato di seguito (non si sono distinte le orientazioni dei vari orbitali):

U         1s2  2s2  2p6  3s2  3p6  3d10  4s2  4p6  4d10  4f14  5s2   5p6     6s2   6p6  6d    7s2

Nella Tavola 5 ho riportato uno schema riassuntivo di tutte le possibili combinazioni dei numeri quantici tra loro, mentre sella Tavola 6 riporto la distribuzione degli elettroni per tutti gli atomi degli elementi della tavola periodica.

GRAFICO DELLA DISTRIBUZIONE DELLE ENERGIE IN UN ATOMO. DIAGRAMMA DI GROTRIAN.

Per far sì che il nostro lavoro sia meglio compreso, cerchiamo di renderci conto del come sono distribuite le energie dei livelli energetici intorno al nucleo di un atomo. Dobbiamo considerare un diagramma, il Diagramma di Grotrian, che ci rende ben conto di questa distribuzione di energie. In questo diagramma l’asse delle ordinate riporta il valore delle energie possedute dagli elettroni che si trovano intorno al nucleo di un atomo. Tenendo conto che le energie quando c’è attrazione vengono considerate negative, mentre, quando c’è repulsione, vengono considerate positive, tracciamo l’asse delle ordinate rivolto verso il basso. L’asse delle ascisse corrisponderà allora allo zero della nostra energia; far arrivare cioè un elettrone fino a questo zero di energia significa fornire all’elettrone un’energia tale da farlo sfuggire dall’atomo, un’energia tale, cioè, da togliere un elettrone o più dall’atomo, da ionizzare l’atomo. L’asse delle ascisse è quindi il livello energetico corrispondente alla ionizzazione dell’atomo. Poiché il livello di energia che corrisponde allo stato fondamentale (non eccitato) dell’atomo è relativo ad n = 1 e poiché mano a mano che si aumenta l’energia aumenta n e ci si allontana dal nucleo, al livello di ionizzazione corrisponderà un valore n = ¥. A proposito di questo diagramma ci sono poi da osservare alcune cose che non giustificherò teoricamente ma che darò per scontate.

1) Per ogni valore di n vi sono n2 livelli energetici: cioè, per n = 1 si ha n2 = 1 livello energetico (l’1s); per n = 2 si hanno n2 = 4 livelli energetici (2s, 2px , 2py , 2pz); per n = 3 si avranno n2 = 9 livelli energetici e così via.

2) Nel caso dell’atomo di idrogeno tutti gli n2 livelli energetici relativi ad un certo valore di n hanno la stessa energia di n (sono degeneri), per cui ad n = 1 corrisponde un livello, ad n = 2 ancora un livello, e così via.

3) Le righe, che in questo diagramma ci rappresentano i livelli energetici, non sono equidistanti ma vanno ad infittirsi mano a mano che ci si avvicina al livello di ionizzazione a cui compete, come abbiamo detto, una energia E=0, e si vanno ad infittire con una legge che risulta inversamente proporzionale ad n2. Il primo livello, cioè n=l, dista dal secondo di 1/n2 = 1/1; il secondo livello (n=2) dista dal terzo di 1/n2 = 1/22 = 1/4; il terzo dista dal quarto di 1/9; il quarto dal quinto di 1/16; e così via.

4) Partendo dal nucleo fino ad arrivare al livello di ionizzazione le energie dei livelli elettronici sono quantizzate, sono cioè discrete. Questi livelli, come già detto, mentre sono molto distanziati in prossimità del nucleo, mano a mano che ci si allontana da esso tendono ad infittirsi. Superando questo livello di energia di ionizzazione (E = 0) ci sono talmente tanti livelli e così fitti che all’atto pratico l’elettrone può stare dovunque perché in questo punto trova sempre un livello a sua disposizione. Oltrepassando quindi il livello E=0 si ha in pratica un continuo di energie e l’elettrone, una volta che gli sia stata fornita energia, può vagare come e dove vuole (elettrone libero)

Vediamo ora, alla luce di quanto abbiamo detto, come è fatto questo diagramma:

COME SONO FATTI GLI ORBITALI ATOMICI

Abbiamo introdotto i numeri quantici che ci sono serviti per introdurre il principio di Pauli; abbiamo poi parlato della distribuzione dei livelli elettronici in un atomo. A questo punto rimane da vedere come sono fatti gli orbitali atomici, ricollegandoci a quanto andavamo dicendo prima di parlare dei numeri quantici.

Riassumendo, per descrivere la struttura elettronica di un atomo, si utilizzano i seguenti fatti:

1) la funzione d’onda ψ associata ad ogni singolo elettrone;

2) la ψ modulo quadro (|ψ|2) che misura, la densità della nuvola di carica dell’elettrone;

3) i numeri quantici n, m*, ℓ, ms;

4) le energie associate ai singoli orbitali.

In definitiva: la funzione d’onda ψ  è l’orbitale atomico e la densità di probabilità di trovare l’elettrone in questo orbitale ci è data da |ψ|2; ogni elettrone ha associati quattro numeri quantici e, per il principio di Pauli, in un atomo non vi possono essere due elettroni con tutti e quattro i numeri quantici uguali o, che è lo stesso, su di un orbitale vi possono essere due elettroni solo se questi hanno spin opposti; così come i livelli energetici della teoria di Bohr-Sommerfeld, anche gli orbitali hanno energie caratteristiche (in un orbitale se vi sono orbitali diversi con identiche energie, questi orbitali sono chiamati degeneri); tra orbitali diversi possono avvenire transizioni di elettroni (se la transizione avviene da un orbitale ad energia più bassa ad uno ad energia più alta si ha assorbimento di un fotone hn; per la transizione inversa si ha emissione di un fotone di energia hn) e queste transizioni hanno luogo solo tra determinati orbitali così come ci dicono alcune regole (che non abbiamo studiato per non appesantire il discorso) dette di selezione; la somma delle energie di tutti gli orbitali atomici occupati da elettroni ci fornisce l’energia elettronica totale dell’atomo in questione. Nelle figure seguenti sono riportate le superfici limite dei tre orbitali 2p (già visti) e dei 5 orbitali 3d (abbiamo già visto che gli s sono sferici), superfici che sono state trovate andando a considerare i punti in cui la y  è costante (i segni + o – che si trovano in figura indicano le regioni in cui y  è positiva o negativa; dobbiamo avvertire, comunque, che il + ed il – non debbono essere in alcun modo pensati legati ad una qualche carica elettrica):

101s0-1/2K
101s0+1/2K
202s0-1/2L
202s0+1/2L
212p-1-1/2L
212p-1+1/2L
212p0-1/2L
212p0+1/2L
22p1-1/2L
10°212p1
11°303s0-1/2M
12°303s0+1/2M
13°313p-1-1/2M
14°313p-1+1/2
16°13p0+1/2M
17°313p-1/2M
18°313p1
      

Disegnati questi orbitali si può restare in imbarazzo osservando i nodi, per esempio degli orbitali 2p. Infatti ci si può chiedere come un elettrone che si trovi su quel determinato orbitale possa passare da una parte all’altra di un nodo. Il problema ha anche qui una soluzione semplice: il modello dell’atomo fornito dalla meccanica quantistica non descrive come un elettrone si muove (la sua traiettoria o altri particolari) ma solo la probabilità di un elettrone di trovarsi in una determinata posizione. La traiettoria è un concetto collegato con la fisica classica e non ha quindi senso parlarne in questo nuovo tipo di meccanica, nella meccanica quantistica.

Oltre a ciò va detto che quando troviamo disegnato un orbitale in cui una certa zona è ombreggiata più marcatamente di un’altra, in questa zona più scura si ha maggiore probabilità di trovare l’elettrone e questo fatto può essere inteso anche nel senso che l’elettrone passa una parte maggiore del suo tempo in quella zona.

E’ bene, prima di chiudere questo argomento, fare delle considerazioni complementari sulla probabilità di trovare elettroni sui vari livelli energetici od orbitali che siano. Colleghiamo cioè quanto abbiamo ora detto alla rappresentazione grafica della ψ e della |ψ|2.

Riferiamoci all’atomo di idrogeno e consideriamo la figura seguente relativa agli orbitali 1s, 2s, 2px (disegnati ora non più con le superfici limite ma con la densità di probabilità elettronica) ed alle rispettive ψ e |ψ|2.

Come si può vedere: in (a) è stata riportata la densità di probabilità elettronica, in (b) la funzione d’onda elettronica ψ, in (c) la probabilità |ψ|2 di trovare l’elettrone ad una certa distanza x dal nucleo.

Nelle figure sono anche state riportate le superfici nodali che corrispondono all’Insieme di punti in cui l’elettrone non può trovarsi. L’orbitale 1s ha una superficie nodale all’infinito (in pratica ad 1÷2 Å dal nucleo) l’orbitale 2s ha, oltre alla superficie nodale all’infinito, una superficie nodale sferica rappresentata in sezione tratteggiata, l’orbitale 2px ha, oltre alla superficie nodale all’infinito, una superficie nodale piana corrispondente al piano passante per il nucleo e perpendicolare all’asse x. In corrispondenza ad una superficie nodale la funzione d’onda ψ cambia segno (o fase), mentre la probabilità |ψ|2 di trovare l’elettrone si annulla. Considerando, come abbiamo fatto, anche le superfici nodali all’infinito, dalla figura si può vedere, e mostrare più in generale, che il numero totale delle superfici nodali è uguale al numero quantico principale n, mentre il numero delle superfici nodali passanti per il centro dell’atomo (per il suo nucleo) è uguale al numero quantico secondario ℓ. E’ questa una scoperta di grande portata, dovuta alla meccanica quantistica. I numeri magici n ed ℓ della teoria di Bohr-Sommerfeld acquistano ora un significato fisico ben preciso. Tra l’altro, poiché il numero delle superfici nodali non può essere altro che un numero intero, si ritrova anche una spiegazione del perché i numeri n ed ℓ di Bohr-Sommerfeld dovevano essere interi.

IL MODELLO ATOMICO ATTUALE

Il presente stato di conoscenza sulla costituzione di un atomo ad un elettrone contiene elementi forniti dai vari modelli fin qui discussi. Si può riassumere nel modo seguente:

a) Al centro dell’atomo c’è un nucleo in cui è concentrata la gran parte della massa dell’intero atomo; il nucleo ha una carica positiva uguale a quella di tutti gli elettroni ed ha le dimensioni di 10-12 cm.

b) Ad una certa distanza dal nucleo c’è una zona in cui si ha una certa probabilità, diversa da zero, di trovare un elettrone estremamente piccolo che possiede il resto della massa dell’atomo (1/1800) ed una carica negativa.

c) L’elettrone occupa una posizione che può non essere conosciuta con precisione, benché la sua probabile posizione possa essere calcolata.

d) Informazioni completa sull’elettrone, compresa la sua posizione più probabile, possono essere ricavate risolvendo l’equazione di Schrödinger.

e) L’elettrone possiede sia energia potenziale di origine elettrostatica, sia energia cinetica; la somma di queste energie è minore dell’energia potenziale di un elettrone libero. L’elettrone è così trattenuto vicino al nucleo in una zona di potenziale chiamata buca di potenziale. L’energia totale che esso può assumere è limitata ad alcuni valori particolari che sono determinati univocamente da alcune costanti fondamentali e da alcuni parametri (i numeri quantici) che escono fuori dalla soluzione dell’equazione di Schrödinger e dalla sua distanza media dal nucleo.

f) Nel passare da un livello energetico ad un altro, l’elettrone emette od assorbe energia, usualmente nella forma di un’onda elettromagnetica (o di un fotone).

La dettagliata, completa e fortunata descrizione dell’atomo ad un elettrone è uno dei più grandi trionfi della fisica contemporanea.

Nel fornire una descrizione dell’atomo a più elettroni cominciamo con il mantenere le varie caratteristiche dell’atomo ad un elettrone. Oltre a queste introduciamo il principio di esclusione di Pauli il quale afferma che in uno stesso atomo non possono trovarsi due elettroni precisamente simili. Una tale descrizione è ampiamente verificata in tutti i suoi dettagli da una quantità di esperienze. Su quest’atomo a più elettroni dobbiamo comunque dire qualcosa di più, soprattutto in vista di quanto potrebbe servire per la discutere di molecole.

MODELLO DEL CAMPO SELF-CONSISTENT DI UN ATOMO A PIÙ ELETTRONI.

Certo che l’atomo di idrogeno è veramente semplice da descrivere si deve considerare solo l’interazione tra un nucleo (positivo) ed un elettrone (negativo). Quando però intorno ad un nucleo vi sono più elettroni le cose si complicano molto. Infatti, oltre l’attrazione cui è soggetto ogni singolo elettrone da parte del nucleo, occorre considerare anche la reciproca repulsione tra gli elettroni (che sono tutti carichi negativamente) e, conseguentemente, non è possibile considerare il moto di un elettrone se non in dipendenza da quello di tutti gli altri oltreché dal nucleo. Questo problema, problema a molti-corpi (sul quale torneremo parlando delle molecole), è, a tutt’oggi, insoluto. Per dare soluzioni che siano in accordo con i fatti sperimentali occorre far ricorso a metodi approssimati. Uno di questi è il metodo del campo self-consistent, per la prima volta introdotto dal fisico britannico D.R. Hartree nel 1928 e sviluppato negli anni successivi dallo stesso Hartree e da altri (nel 1932, con i lavori di J.C. Slater e J. Mc Dougall; nel 1933 con due articoli di Hartree; ancora nel 1933 con un articolo di Hartree e M.M. Black; sempre nel 1933 da altri lavori di F.W. Brown, J.H. Bartlett, C.G. Dunn; infine nel 1934 da un lavoro di C.C. Torrance). Vedremo ora questo metodo.

Consideriamo un elettrone di un atomo a più elettroni. Come abbiamo detto esso è soggetto all’azione dei campi elettrici di ciascun altro elettrone, oltreché del nucleo. Ebbene, il metodo del campo self-consistent consiste nel trattare l’elettrone in considerazione come se fosse soggetto al campo elettrico del nucleo e a quello ottenuto come media di tutte le possibili posizioni degli altri elettroni. In definitiva, si considera l’elettrone soggetto al campo del nucleo ed al campo originato come effetto medio di tutti gli altri elettroni (non ha più quindi importanza conoscere istante per istante le coordinate spaziali degli altri elettroni). La cosa importante è che l’effetto complessivo del campo del nucleo e di quello medio degli elettroni è, con buona approssimazione, un campo che ha simmetria sferica (è come se si dovesse trattare il moto di un elettrone intorno ad un unico nucleo, con una carica elettrica opportuna). Quest’ultima eventualità comporta che si potranno considerare gli orbitali atomici per un atomo a più elettroni proprio allo stesso modo in cui abbiamo considerato gli orbitali atomici per l’atomo di idrogeno (che è ad un elettrone). In particolare, si conserva la classificazione di questi orbitali in s, p, d, f, …

LE REGOLE DI HUND ED IL PRINCIPIO DI AUFBAU

Dato allora un qualsiasi nucleo atomico, dovendo mettere intorno ad esso degli elettroni per costruire l’atomo relativo, qual è il criterio con cui, successivamente, gli elettroni debbono essere sistemati intorno al nucleo dato?

A questa domanda si può rispondere con il principio di aufbau (la parola «aufbau» è tedesca e significa costruzione) integrato con le regole di Hund (dal nome del fisico tedesco che le ricavò da studi spettroscopici nel 1925). Cominciamo con il dire che, per quanto ci serve in questo paragrafo, rappresenteremo un orbitale con un quadratino (il quadratino sostituisce qui i trattini che abbiamo incontrato nel diagramma di Grotrian) accompagnato dall’indicazione relativa (1s, 2s, 2p,…) ed indicheremo un elettrone con una piccola freccia (diretta verso l’alto o verso il basso a seconda che lo spin dell’elettrone valga, rispettivamente, + 1/2 e – 1/2). Con questo simbolismo il diagramma di Grotrian che abbiamo visto diventa quello mostrato nella figura seguente:

Per costruirci un atomo a più elettroni la prima cosa che dobbiamo fare è quindi il determinare quali sono gli orbitali che possono essere occupati da elettroni (orbitali permessi), dovremo quindi introdurre tutti gli elettroni che abbiamo a disposizione per un dato atomo in questi orbitali. Come? Si introducono uno alla volta i vari elettroni negli orbitali permessi a partire dall’orbitale a più bassa energia (1s) e via via riempiendo gli orbitali ad energia crescente. Nel far questo si deve tener conto del principio di Pauli e quindi in un dato orbitale (in un dato quadratino) al massimo vi possono essere due elettroni con spin opposti (vi possono essere due freccette una rivolta verso l’alto e l’altra rivolta verso il basso).

Fin qui il principio di aufbau. Le regole di Hund ci aiutano poi a sistemare gli elettroni in orbitali di tipo p, d ed f che sono equivalenti dal punto di vista energetico e diversi per orientazione spaziale (si pensi agli orbitali 2p che consistono in un orbitale 2p).

Enunciamo le due regole di Hund prima di passare a vedere il loro funzionamento con delle esemplificazioni:

1) in orbitali che differiscono per orientazione spaziale, pur essendo equivalenti in energia, gli elettroni preferiscono sistemarsi, quando è possibile, uno per orbitale (riempiti gli orbitali 1s e 2s, se si hanno per esempio altri tre elettroni a disposizione questi si disporranno uno sul 2px , uno sul 2py ed uno sul 2pz, piuttosto che riempire prima, ad esempio, il 2px e quindi sistemare l’ultimo a disposizione nel 2py); quanto abbiamo detto, in base al simbolismo introdotto per gli orbitali, equivale a dire che gli elettroni, nelle condizioni suddette, preferiscono sistemarsi uno per quadratino;

2) in orbitali che differiscono per orientazione spaziale, pur essendo equivalenti in energia, gli elettroni che in base alla regola precedente hanno preferito, quando possibile, distribuirsi uno per orbitale, hanno ancora la preferenza a disporsi con spin paralleli (riempiti gli orbitali 1s e 2s i tre elettroni successivi che, in base all’esempio precedente, si erano distribuiti uno nel 2px, uno nel 2py ed uno nel 2pz, li troviamo tutti disposti con lo spin rivolto, ad esempio, verso l’alto come mostrato nel seguente disegno

Si osservi a parte che l’esempio fatto è quello relativo all’azoto che ha, per l’appunto, 7 elettroni).

Costruiamoci allora con aufbau, Pauli ed Hund, qualche atomo cominciando dall’idrogeno, che ha un solo elettrone, fino ad arrivare al silicio (Si) che ha 14 elettroni.

(si osservi che il quinto elettrone è stato messo nel 2px ma poteva, indifferentemente trovar posto nel 2py o nel 2pz) . Fino al Boro abbiamo applicato solo aufbau e Pauli. Dall’elemento successivo, il carbonio, incominciamo a prendere in considerazione contemporaneamente le due regole di Hund.

E’ allora chiaro come si prosegue con il fosforo che ha 15 elettroni fino all’uranio che ne ha 92. Ed è ovvio che quanto qui detto è analogo a quanto visto nella Tavola 6 a cui, ora, è meglio ridare un’occhiata.

E’ utile riportare di seguito, a conclusione del capitolo sugli atomi, la tavola periodica degli elementi:

IL PRINCIPIO DI COMPLEMENTARITA’ (BOHR 1927)

                Tale principio fu enunciato da Bohr in un convegno che si tenne a Como nel 1927. Dico questo perché, avrete letto, la fisica italiana brillava per la sua assenza nell’elaborazione della fisica dei quanti. I lavori di Fermi e del suo gruppo crearono però un tale prestigio intorno alla nostra fisica che scienziati di prim’ordine iniziarono ad avvicinarsi al nostro Paese.

Secondo Bohr, ogni esperienza capace di evidenziare una particella da un punto di vista corpuscolare esclude la possibilità di determinare il suo aspetto ondulatorio. In fisica quantistica niente impedisce di localizzare un elettrone ma, una volta localizzato, esso è determinato come particella. Se vogliamo invece misurare la lunghezza d’onda di un elettrone, ad esempio mediante diffrazione, dobbiamo concludere che l’elettrone è un’onda. Secondo Bohr, onda e particella non sono più concetti incompatibili ma dipendono dai risultati delle misure e dalla strumentazione utilizzata. Il dualismo onda-corpuscolo di materia e radiazione diventa, per Bohr, la complementarità dei due aspetti:

se un esperimento permette di osservare un aspetto di un fenomeno fisico, esso impedisce, al tempo stesso di osservare l’aspetto complementare dello stesso fenomeno.

Quindi il punto di vista “quantistico” è più radicale del pragmatismo dei positivisti logici, i quali sosterrebbero che è senza significato parlare di grandezze che non possono essere misurate. La complementarità asserisce che non è solo privo di significato affermare di conoscere simultaneamente gli esatti valori di velocità e posizione: queste grandezze non esistono!!! E fu proprio Bohr ad elevare il concetto di complementarità a significato filosofico più ampio. Coppie complementari erano: libero arbitrio e determinismo, vitalismo e meccanicismo, causalità e spazio-tempo, vita e descrizione scientifica, ……. (in alcune delle coppie riportate si sente l’influsso delle convinzioni del padre di Bohr, che era un fisiologo).

In definitiva risulta che le leggi della meccanica quantistica, esattamente deterministiche, governano un substrato del mondo che non è per noi direttamente accessibile perché inosservabile. Ciò che è invece osservabile può essere predetto solo probabilisticamente. Al crescere degli oggetti presi in considerazione, le relative lunghezze d’onda di De Broglie diventano più piccole, essi sono più localizzati intorno al valor medio e quindi sono descritti con accuratezza crescente dalla meccanica classica, cosicché i valori medi delle osservazioni quantistiche risultano obbedire alle leggi classiche del moto.

 LA CONDUZIONE (Block 1928; Kronig e Penney 1930)

               Uno dei fenomeni che non aveva trovato alcuna spiegazione con la fisica “classica” era relativo alla conduzione elettrica:

– al crescere della temperatura un conduttore conduce sempre meno;

– al crescere della temperatura un isolante conduce sempre più.

Vi è poi una questione di fondo: 

– perché un materiale conduce elettricità ed un altro no?

            Mediante i quanti venne sviluppata la teoria delle bande di energia (una sorta di estensione dell’atomo di Bohr ad un intero cristallo) con la quale emersero con chiarezza spiegazioni alle due questioni suddette. Ma non basta. La teoria era particolarmente buona perché, oltre a spiegare, dava previsioni e, in particolare, quella di materiali semiconduttori. In altra parte ho trattato questo argomento.

LA FISICA NUCLEARE

             Nel 1932 iniziò l’impetuoso sviluppo della fisica nucleare (con determinanti contributi di Fermi e della Scuola di Roma in cui ebbero un ruolo fondamentale Amaldi e Rasetti, contrariamente a quanto dice l’ignorante Zichichi). Tale sviluppo sarebbe stato impossibile senza la fisica dei quanti. In altra parte tratterò questo argomento.

EFFETTO TUNNEL (Wilson 1932) 

               Tale fenomeno ha luogo in: particolari semiconduttori, transistor, lamine superconduttrici, microscopia elettronica, …… Tento una rapida descrizione del fenomeno.                               

Supponiamo di avere un recipiente contenitore (bicchiere, tazza, …) ed una pallina. Secondo la visione classica si possono avere solo i due casi di figura seguente:

– nel primo caso la pallina è dentro il contenitore;

– nel secondo caso la pallina è fuori il contenitore.

          Secondo la visione quantistica, la “barriera” rappresentata dalle pareti del contenitore diventa una barriera di potenziale che ha una qualche probabilità di essere perforata (tunnel):

La barriera in nero è una barriera di energia mentre la curva in rosso rappresenta la probabilità di trovare la pallina in un dato luogo. Riferendoci al secondo caso visto precedentemente, la massima probabilità di trovare la pallina è ora dentro la buca di energia ma vi è una probabilità non nulla di averla fuori. La pallina è simultaneamente dentro e fuori. Una volta localizzata sparisce la curva di probabilità (principio di complementarità di Bohr) e se la trovassimo fuori dalla barriera è come se avesse attraversato un tunnel:

A parte ogni altra considerazione, nasce un problema legato ai tempi di transito attraverso la barriera: la pallina/particella che attraversa la barriera sembra farlo in tempi inferiori a quello che impiegherebbe una particella che non deve attraversare alcuna barriera. Sembrerebbe che si abbia a che fare con un viaggio indietro nel tempo. Si viola la relatività? Il discorso sarebbe complesso ed esula da quanto mi sono proposto. Ma chi fosse interessato può trovare una discussione del problema in David Bohm, Wholeness and the implicate order, Routledge & Keagan Paul Ltd 1980 oppure, in modo più semplice, in A. M. Steinberg, P. G. Kwait e R. Y. Chiao in Più veloce della luce? – Le Scienze n° 302, Ottobre 1993. In ogni caso, tornare indietro nel tempo significherebbe andare a velocità superiori a quelle della luce. Il fatto è che tali velocità non sono mai state misurate e, finché non lo saranno, non vi è alcuna violazione della Relatività. E’ comunque di interesse riportare due illustrazioni dall’articolo di Le Scienze citato:

In questa figura si vede Alice (nel Paese delle meraviglie di Lewis Carrol) che colpisce dei porcospini con un fenicottero, mandandoli ad urtare contro un muro. I porcospini hanno il viso di Heisenberg. Uno di essi attraversa la barriera e resta stupito osservando il suo orologio di fronte all’altro personaggio stupito, coniglio-Einstein.

In quest’altra figura è rappresentato proprio il momento del passaggio di Alice al di là dello specchio. Si noti che l’orologio è “attivo” mentre Alice è ancora “al di qua”, mentre diventa una sorta di clown quando Alice è passata “al di là”.  

ANCORA INTERFERENZA

             Una attenta discussione dell’interferenza delle particelle porta a considerare un paradosso.

Supponiamo di ridurre l’intensità della sorgente in modo che un solo fotone per volta passi attraverso le fenditure (più corretto sembrerebbe il dire la fenditura). Dopo un certo tempo, sullo schermo, si ridisegna la classica figura di interferenza (zone chiare alternate a zone buie). Il paradosso sta nel fatto che ciascun fotone potrà passare solo attraverso una fenditura e non va ad interferire con nessun altro fotone: eppure dopo un poco di tempo c’è interferenza sullo schermo. Un fotone singolo scegliendo una fenditura obbedisce ad una legge statistica conveniente che si realizza solo se esso sa se l’altra fenditura è aperta o chiusa. E’ l’interferenza tra probabilità che origina la figura sullo schermo. Si supponga ora che vi siano solo due possibilità:

– la particella passa per la fenditura 1 (Universo A)

– la particella passa per la fenditura 2 (universo B).

 Ciascuna di queste due possibilità è, secondo Bohr, rappresentativa di un Universo differente. In un mondo la particella passa per la fenditura 1; in un altro mondo essa passa per la fenditura 2. Il mondo reale, quello dell’esperienza, è un mondo completamente diverso da questi mondi semplici. Il mondo reale è un miscuglio di ibrido di questi due mondi semplici possibili ed ogni mondo interferisce con l’altro. Se si potesse osservare attraverso quale fenditura passa la particella si eliminerebbe un mondo scegliendone uno solo: la particella risulterebbe localizzata, non vi sarebbe più interferenza. La situazione dell’esperienza è quindi descritta dalla sovrapposizione di due stati: particella in 1 che rappresentiamo così |P1> e particella in 2 che rappresentiamo allo stesso modo |P2>.  Tale sovrapposizione è la funzione d’onda Ψ(t) che avrà la seguente forma (0,707 |A> è un fattore di normalizzazione):

|Ψ (t) > ~ 0,707 |A> (|P1> + |P2>).

 E’ la nostra osservazione che, eventualmente, elimina una possibilità e quindi l’interferenza (riducendo di conseguenza la funzione d’onda). 

           E’ facile rendersi conto che nascono molti problemi su cosa sia la realtà ed addirittura il problema dell’esistenza della realtà. La questione venne fuori in tutta la sua drammaticità nel Congresso Solvay di Copenaghen (1927). Lì, come già accennato, si scontrarono due schieramenti di fisici:

– Bohr, Born, Heisenberg, Dirac, Pauli, Jordan (la cosiddetta Scuola di   Copenaghen);

– Einstein, De Broglie, Schrödinger, Planck, Erenfest, Lorentz, Laue.

Le questioni sul tappeto sono riassumibili in una domanda di base:

esiste una realtà indipendentemente dalle nostre osservazioni?

A tale domanda le risposte possibili sono almeno tre:

1) SI (punto di vista realista o metafisico-ontologico)

2) NO (punto di vista idealista)

3) LA QUESTIONE NON HA SENSO (punto di vista agnostico o operativista).

La fisica newtoniana è consistente con tutti e tre i punti di vista ora accennati. Non obbliga ad un punto di vista particolare. E ciò non significa che la fisica è più generale della metafisica ma solo che la fisica dei quanti impone una scelta tra i tre punti di vista limitando le nostre libertà metafisiche. La Scuola di Copenaghen scelse il 3° punto di vista: accettò come fondamentale il concetto di quanto, bandì dalla teoria tutte le grandezze non osservabili e rinunciò al determinismo. Le leggi probabilistiche della fisica dei quanti furono considerate come una realtà definitiva ed il principio di Heisenberg fu assunto a prova di un determinismo fondamentale nelle leggi della natura. Ma si andò anche oltre.

         Non ci si limitò a dire che non è possibile conoscere simultaneamente posizione e velocità di una particella; si affermò addirittura che in generale una particella non ha né una posizione né una velocità ben determinate. La particella è diffusa in tutta l’onda e quindi si trova, con maggiore o minore probabilità, contemporaneamente in tutta l’onda. La particella ha contemporaneamente, con diverse probabilità, diverse velocità.

            Gli altri furono sconfitti. Fu soprattutto Einstein che per anni tentò di ribattere e di portare argomenti a sostegno delle tesi opposte a quelle che vinsero.

           Ma vediamo in modo didascalico le differenze esistenti tra le varie interpretazioni della fisica quantistica riferendoci ai vari punti di vista cui abbiamo accennato.

La prima colonna della figura precedente raffigura un pescatore che ha a che fare con un mondo classico, mondo che diventa quantistico nella seconda colonna. Nella figura seguente si hanno diverse interpretazioni quantistiche del mondo quantistico.

E qui ancora si discute …. . Il punto di vista operazionista prevede invece che queste discussioni fanno perdere tempo (si tratta del portato diretto dell’efficientismo nel mondo della ricerca scientifica). E si potrebbe continuare. Se il pescatore rigetta il pesce in acqua esso ritorna ad essere indeterminato. Ed accade anche che due pesci, due eventi, rigettati in acqua, originano un solo evento indeterminato (figura seguente).                       
  

Ma vediamo le cose come furono presentate da alcuni fisici di primo piano.

IL GATTO DI SCHRÖDINGER (1935)

            Un gatto viene posto in una scatola chiusa ed isolata visivamente ed acusticamente. Dentro la scatola vi è un fucile con un meccanismo di sparo automatico attivato da fotoni che entrano in O.

Tali fotoni, a seguito dello specchio semitrasparente M, possono al 50% far sparare il fucile o no. Dopo, diciamo, qualche minuto possiamo chiederci se il gatto è vivo |G.V.> o se il gatto è morto |G.M.>. Il punto di vista realista ci farebbe dire:

“il gatto o è vivo o è morto quando non lo osserviamo”.

La fisica dei quanti ci dice invece che il gatto è simultaneamente vivo e morto. E’ la nostra curiosità, la voglia di aprire la scatola e di vedere che, eventualmente, lo uccide. La funzione d’onda che descrive il sistema è una sovrapposizione di gatto vivo e gatto morto:

|Ψ (t) > ~ 0,707 |A> (|G.V.> + |G.M.>).

Per superare la difficoltà bisogna rinunciare all’assunto metafisico che il gatto o è vivo o è morto. Da questo punto di vista occorrerebbe dire o che il gatto non esiste quando non è osservato o che la questione della sua esistenza non può essere posta. Come si vede e come annunciato, la fisica quantistica limita la nostra libertà metafisica.

 IL PARADOSSO EINSTEIN – PODOLSKY – ROSEN (EPR 1935) 

           Di tale paradosso esistono varie versioni. Vediamone un paio. Supponiamo di disporre di una particella (che abbia spin uguale a zero) che decada in due particelle che si muovono in direzioni opposte alla stessa velocità in modulo (nell’esempio fatto nella figura seguente abbiamo un pione positivo che si disintegra in un muone positivo ed in un neutrino muonico):

 Se, dopo un certo tempo, misuriamo la posizione di una delle due particelle con una qualche precisione, abbiamo determinato anche la posizione della seconda che deve trovarsi alla stessa distanza dalla sorgente. Oppure si potrebbe decidere di misurare la traiettoria di una delle due, ricavando immediatamente quella della seconda. Perciò, secondo EPR, se, eseguendo una misura sulla particella 1, posso determinare con una precisione a piacere la posizione della particella 2 (senza operare direttamente su di essa) devo concludere che la posizione della particella 2 è un elemento di realtà fisica che posso accertare senza disturbare la particella stessa (analogamente per la traiettoria).

          Vediamo ora un’altra versione (D. Bohm, 1951). Supponiamo di avere ancora un pione, questa volta il π° (pai zero), quello privo di carica. Esso ha spin zero e lo spin è una quantità che si conserva. Il π° decade in un elettrone (e ) ed un positone (e+) che schizzeranno via da parti opposte come mostrato nella figura precedente (basta cambiare i simboli che denotano le particelle). Per la conservazione dello spin cui accennavo, una misura simultanea degli spin di e ed edeve dare + 1/2 per una particella (ad esempio e+) e – 1/2 per l’altra. Consideriamo ora la situazione sperimentale mostrata nella figura seguente:

E’ mostrato il pai zero che decade come detto con degli strumenti. Ax e Bx sono due contatori mentre, ad esempio, Cè un campo magnetico (che ha la proprietà di far ruotare, e quindi cambiare di segno, lo spin). In tal modo lo spin di e diventa + 1/2. Che succede dello spin di e+? Esso dovrebbe essere diventato – 1/2 per rispettare la conservazione dello spin. Ma per saperlo dobbiamo misurare. E quando misuriamo non sappiamo più se lo spin era già cambiato o se lo abbiamo cambiato noi con la misura. Secondo la fisica quantistica operare su e significa operare sull’intero sistema e non sono valide assunzioni realiste (metafisiche, del tipo quando eha lasciato il contatore Ax prosegue non perturbato in alcun modo, poiché significherebbe ammettere l’esistenza di e indipendentemente dall’osservazione. Secondo la Scuola di Copenaghen occorre abbandonare l’atteggiamento realista con tutte le implicazioni filosofiche che ciò comporta. Se poi disponessimo del solo contatore B e trovassimo per e un valore – 1/2 di spin, dovremmo concludere, assumendo una posizione realista, che lo spin di e+  vale + 1/2 già prima dell’operazione di misura. Ma ciò è ancora negato dall’interpretazione della Scuola di Copenaghen.

Vediamo ora il paradosso EPR rappresentato con delle figure (laghetti e pesci):

Si gettano due pesci in uno stagno che può essere svuotato in due buche vicine. I pesci, al solito, risultano indeterminati nell’acqua e tale indeterminazione si distribuisce tra i due nuovi stagni. Ma quando un pescatore prende un pesce, anche se l’altro non sta pescando ……gli salta fuori un pesce.

             Discutiamo ora un poco l’EPR nella versione di Bohm del 1951 (Bohm ha lavorato su questi problemi dal 1951 al 1980) in cui si sostituiscono le variabili originali (posizione e velocità) con quelle di spin. In questa prima versione si introduce un potenziale quantistico come variabile nascosta. Questo potenziale aveva caratteristiche non-locali (era esattamente definito ed esente da fluttuazioni quantistiche) ed aveva il compito di riunire in sé tutti gli aspetti non classici della teoria dei quanti. Esso non trasporta energia e non si presta ad essere rivelato, però le particelle subiscono i suoi effetti e si servono di esso per comunicare tra loro: la misura effettuata su una particella modifica istantaneamente il potenziale che agisce sull’altra e da ciò deriva la correlazione tra i risultati delle misure. La teoria di Bohm è detta delle variabili nascoste: le misure che noi eseguiamo sembrano seguire leggi probabilistiche solo perché ignoriamo certe proprietà nascoste delle cose che misuriamo.  

             Questa prima versione della teoria di Bohm fu subito messa in discussione in quanto la relatività impedisce di considerare azioni istantanee a distanza. Il problema era spostato pesantemente altrove. Nel 1980 Bohm fornì una versione delle variabili nascoste che teneva conto delle importanti critiche che erano state rivolte ai suoi lavori del 1951 (soprattutto da parte di Von Neumann). Il livello della realtà nella quale le particelle sembrano essere separate – il livello nel quale viviamo – è chiamato da Bohm ordine esplicito. Il substrato più profondo della realtà, il livello nel quale la separazione tra le particelle scompare e tutte le cose sembrano diventare una parte di un tutto senza discontinuità, è chiamato da Bohm ordine implicito.

         Come possono dei segnali andare più veloci della luce?

Se osserviamo su due televisori l’immagine di un pesce in un acquario inviatoci da due telecamere A e B (una disposta di fronte, l’altra di fianco rispetto all’acquario) possiamo supporre che si tratti di due pesci differenti che in alcun modo si comunicano informazioni istantaneamente, anche se le cose non stanno così.

Il fatto è che ad un livello più profondo della realtà, quello dell’acquario, i due pesci non sono due entità effettivamente separate. E’ grosso modo ciò che osserviamo quando misuriamo le correlazioni tra le due particelle di EPR. I due televisori rappresentano l’ordine esplicito mentre il pesce nell’acquario rappresenta il livello di realtà dell’ordine implicito. Vi è anche un’ulteriore considerazione: i due schermi TV ci forniscono immagini bidimensionali di una realtà tridimensionale; stesse situazioni, con numero diverso di dimensioni, possono realizzarsi nel mondo subatomico.

             Un’altra esemplificazione che fa Bohm è quella dell’ologramma. Un pezzo di una foto tradizionale, osservata come vogliamo, non ci dice nulla su cosa rappresenta l’intera foto.

Un pezzo di un ologramma osservato con luce laser ridà sempre l’immagine dell’intero ologramma (ogni parte dell’ologramma contiene informazioni sull’intero ologramma; allo stesso modo ogni regione dello spazio-tempo, per piccola che sia, contiene informazioni sull’ordine implicito dell’intero universo). [Si deve osservare che, ora, la trattazione della teoria di Bohm è fatta tenendo conto delle fluttuazioni quantiche e della quantizzazione dell’azione].

A questo punto mi permetto una piccola libertà: l’irradiato di Renzetti (1998).

Basta spegnere il geiger per evitare di essere irradiati.

BELL E ASPECT (1964 – 1982)

               Nel 1964 il fisico irlandese J. Bell riuscì a costruire una disuguaglianza (derivante da semplici regole algebriche) secondo la quale un determinato esperimento con decadimento di particelle e 4 rivelatori avrebbe dovuto fornire un risultato X compreso tra – 2 e + 2 (nella visione realista EPR). Bell sapeva che la fisica quantistica (Scuola di Copenaghen) diceva che questo risultato doveva essere compreso tra (circa) – 3 e + 3:

– visione realista                =>              – 2 ≤  X  ≤ + 2

– visione di Copenaghen      =>            – 3 ≤  X  ≤ + 3.

 Ma Bell non riuscì a realizzare l’apparato sperimentale. Un esperimento in tal senso fu proposto nel 1975 e realizzato nel 1982 da Alain Aspect dell’Università di Parigi Sud. I risultati di tale esperimento hanno mostrato che la natura non obbedisce al teorema di Bell (dettagli divulgativi sull’esperienza di Aspect si possono trovare su: S. Ortoli, J. P. Pharabod – Le cantique des quantiques – La Découverte, Parigi 1984.). E ciò vuol dire non tanto che la meccanica quantistica è corretta quanto che la vecchia visione del mondo non funziona. A questo punto si possono avere almeno 4 possibilità:

  1.  La regolazione dei 4 strumenti di misura di Aspect non sono indipendenti a causa di una intrinseca impossibilità. Conseguentemente, se le cose stanno così, ogni esperimento non può che dare un risultato già prevedibile dal momento del big-bang. Conseguentemente ogni affermazione relativa al libero arbitrio è priva di significato.
  2.  I rivelatori comunicano istantaneamente tra di loro i risultati delle loro misure. Ma se le cose stanno così allora risultano possibili azioni istantanee a distanza con violazione della relatività (ma abbiamo già osservato che le fluttuazioni e l’effetto tunnel sembrano prevedere fatti del genere).
  3.  E’ illegittimo speculare sulla natura della realtà fisica sottostante a questo esperimento. Finché possediamo una teoria che ci fornisce soluzioni che funzionano di cosa ci preoccupiamo?
  4.  Vi sono delle onde che si propagano indietro nel tempo (interpretazione transazionale). All’istante del decadimento la funzione d’onda iniziale si suddivide in due funzioni d’onda una delle quali va avanti e l’altra indietro nel tempo. Le due particelle potrebbero allora comunicare tra loro (si veda punto 2). 

Come si vede si risolve una cosa ed il mistero si sposta altrove. Si può quindi dire che, nonostante la confutazione da parte di Bell e Aspect di alcune delle questioni sollevate dall’EPR, i risultati empirici non hanno nulla da dire sul problema; non ci dicono se la completa e corretta teoria sottostante sia probabilistica (Bohr) o deterministica (Bohm). Entrambe le versioni funzionano e, dopo tutti questi sforzi ed analisi, ancora non abbiamo alcuna ragione quantitativa, empirica, per preferire l’una o l’altra. C’è comunque da osservare che Bell, nel ricavare la sua disuguaglianza, ha separato le due questioni che per Einstein dovevano essere inestricabilmente legate: la probabilità e una qualche interconnessione fisica tra le due particelle separate a grande distanza. Aspect ha invece mostrato che questa qualche interconnessione istantanea fa parte della natura, indipendentemente dall’accettazione o meno della fisica quantistica.

Rimane il problema del rivelatore. Se lo descriviamo usando un linguaggio quantistico – si dovrebbe poter fare se effettivamente la fisica quantistica è fondamentale ed universale – allora gli stati indefiniti generano misurazioni indefinite. Nascono allora due possibilità:

  1.  o la fisica quantistica è incompleta e si deve aggiungere ad essa una qualche altra teoria che spieghi come si fanno le misure (Selleri propone di elaborare e sviluppare le teorie di Bohm e delle variabili nascoste).
  2.  o la fisica quantistica contiene dentro di sé una qualche ricetta, fino ad ora non chiarita, in grado di trasformare in qualche modo uno stato indefinito in uno stato definito (nessuno lavora su tale aspetto).

 Il problema della fisica quantistica e la ragione per cui vi sono interpretazioni è che, nonostante decenni di successi pratici della teoria, i fisici non possono ancora sinceramente dire di sapere quale sia il suo significato; essi non riescono, per così dire, a vedere i meccanismi interni della teoria.

Dice Richard Feynman: ” Non possiamo spiegare il mistero nel senso di spiegare come funzioniTi diremo solo come funziona. Dicendoti come funziona ti avremo parlato delle peculiarità basilari della meccanica quantistica”.

Ed un tal Samuel Johnson: “Signore, ho trovato per lei una spiegazione, ma non sono obbligato a trovare per lei una comprensione”.

ANCORA SULLA MISURA 

            Iniziamo con il dire che è fuorviante affermare che la misura modifica la cosa misurata perché questa affermazione sembra implicare che un oggetto quantistico si trovi in un qualche stato definito ma ignoto, stato successivamente disturbato da un atto di misura. La misura conferisce determinazione a quantità precedentemente indefinite. L’allievo di Bohr, J. Wheeler sostiene: Nessun fenomeno elementare è un vero fenomeno finché non è misurato.            

Il mondo si trova così suddiviso in due classi di oggetti fisici: cose che misuriamo e cose con cui misuriamo. Le cose che misuriamo sono incerte, indefinite, sfocate fino a quando non vengono misurate. Le cose con cui misuriamo esistono sempre in stati definiti: un rivelatore di particelle o le rivela o non le rivela, senza ambiguità. E qui nasce l’incoerenza fatale all’interpretazione di Copenaghen della fisica quantistica. Un dispositivo classico dovrebbe darci risultati privi di ambiguità su un esperimento quantistico. La misura di un fenomeno quantistico non è mai stata definita (e tantomeno spiegata) mediante strumenti quantistici. La misurazione non viene giustificata ma solo affermata. Bohr sapeva ciò e all’obiezione rispondeva con una non risposta: i fisici sanno come misurare le cose. Infatti i fisici hanno sempre misurato come prima dell’introduzione della fisica dei quanti (insomma i fisici capiscono la misurazione come gli avvocati la pornografia e le persone incolte l’arte: non sanno definirla ma sanno cos’è). E Bohr si affidò a questa vecchia capacità dei fisici.

 Per quel che riguarda l’infelice gattino di Schrödinger c’è da dire che l’interpretazione rigorosa della Scuola di Copenaghen (principio di complementarità) prevede che è inutile aprire la scatola per vedere come stanno le cose perché il gatto è per metà vivo e per metà morto, stato che non potremo mai osservare. Se poi insistessimo e volessimo proprio osservare il problema diventa psicologico: quando? come? perché?

 Affrontiamo il gatto nei due modi possibili:

1. Gli strumenti funzionano e sono attendibili. Il meccanismo che al 50% genera lo sparo è comandato da particelle che o colpiscono da una parte o colpiscono dall’altra. Per esse non è prevista una situazione indefinita. La vita o la morte del gatto è solo questione di tempo: si apre la scatola e si va a vedere. E’ tutto facile come lanciare una moneta per vedere se viene testa o croce ma la moneta va a finire sotto l’armadio: si tratta di spostare l’armadio per vedere. Solo che non spieghiamo l’efficacia del dispositivo di misura. Se abbiamo comunque fiducia in misure siffatte possiamo pure lasciare in pace il gatto. Ma ciò equivale a dire che la fisica quantistica è una teoria eccellente, dettagliata e completa, ma che occorre una bacchetta magica per darle un senso.

2. Le misurazioni diventano reali solo quando uno ne prende nota. Qui ci addentriamo nel paludismo filosofico. Wigner ha proposto questa variante all’esperimento del gatto: dopo un certo tempo la scatola viene aperta da un amico che non comunica cosa ha visto allo stesso Wigner. Lo stato è determinato per l’amico e non lo è per Wigner? Un evento per alcuni è determinato e per altri no? Più amici, più osservazioni, più determinazioni, mondi diversi? A questo punto il rompicapo si ribalta: se l’esistenza di fatti dipende, per me, dalla mia coscienza e, per te, dalla tua, come mai concordiamo su tante cose? Come mai la fondamentale indeterminazione quantistica del mondo svanisce, a quanto pare, quando ci occupiamo di oggetti quotidiani? Insomma sembra che la scomparsa dell’indeterminatezza quantistica abbia poco a che fare con la mia osservazione del mondo, o con la tua, o con quella di chiunque altro. Anche qui il problema risulta spostato altrove.

 FISICA QUANTISTICA E METAFISICA 

             La fisica quantistica impone un cambiamento delle nostre idee sulla realtà oggettiva. Un cambiamento fondamentale è l’abbandono di un’analisi del mondo in termini di parti relativamente autonome che esistono separatamente seppure interagenti. L’enfasi principale è ora posta sull’integrità indivisibile con cui gli strumenti di osservazione non si possono separare da ciò che si osserva. La divisione comune del mondo tra soggetto ed oggetto, mondo interno e mondo esterno, corpo e anima non è più adeguata (Heisenberg).   Come si può risolvere il paradosso circolare implicito nel fatto che il mondo macroscopico determini la realtà microscopica dalla quale a sua volta è formato? Ci scontriamo con questo paradosso ogni volta che eseguiamo misure quantistiche. Si deve inoltre tener conto del fatto che se abbiamo due particelle lontane caratterizzate ciascuna dalla propria funzione d’onda, dal momento che esse cominciano ad interagire, anche se si allontanano di nuovo successivamente, dovranno sempre essere trattate con un’unica funzione d’onda. Everett (1957) ha proposto una interpretazione quantistica basata su universi molteplici. Ogni mondo possibile diventa reale e tutti i mondi alternativi esistono in parallelo. Questa molteplicità di mondi si estende alle scelte dell’uomo. Supponiamo di dover scegliere vino o birra. Secondo Everett, l’universo si divide immediatamente in due rami. In uno dei rami prendiamo il vino e nell’altro la birra. In questo modo tutti felici! Il libero arbitrio ne risente un poco: noi volevamo o vino o birra, non vino e birra. Ma il noi qui deve essere suddiviso in due io, ciascuno dei quali sta in un un universo differente e prova desideri e sensazioni diverse. Così, in nome di una esigenza di misura si introduce la metafisica ai livelli più spinti. Il fisico americano Fritjof Capra nel suo Il Tao della fisica individua nell’indistinguibilità tra osservatore (mondo interno) ed osservato (mondo esterno) ciò che da secoli è la filosofia tibetana: nessuna separazione tra i due mondi. E cosa c’è di meglio del dualismo onda-corpuscolo per rappresentarci il dualismo anima-corpo?

          Disegno che molto lontanamente vuole rappresentare gli universi molteplici.

Poi arrivano i superscemi come il cattolico francescano Talbot che dimostra matematicamente l’esistenza di Dio attraverso i quanti (Beyond the quantum – 1986) e già c’è chi giustifica il paranormale (addirittura i cerchi nel grano sono originati dalle vibrazioni quantistiche – sic! -) e tenta una prova biochimica dell’esistenza dell’anima (in Italia abbiamo avuto Enrico Medi che ha dimostrato la verginità della Madonna con la termodinamica e Zichichi che ha mostrato tante altre cose).

Ma vediamo alcune estrapolazioni che, negli anni, vennero fatte, da varie personalità scientifiche e non a proposito dei quanti.

 ESEMPLIFICAZIONI IDEALISTE

La meccanica quantistica sancisce il definitivo fallimento della causalità (Heisenberg 1927).

Se mi si chiede: cos’è la materia? Rispondo: un insieme di equazioni differenziali (Heisenberg 1933)

Le nuove concezioni che sono sorte dalle esperienze fisiche quantistiche e dalla loro elaborazione teoretica, significano la liquidazione dell’immagine materialistica del mondo … L’atomo …, sprovvisto di tutte le qualità sensibili, è soltanto caratterizzabile con uno schema di formule matematiche, … è solo un concetto accessorio (Jordan 1936)

La dogmatica concezione materialista del mondo non può andare d’accordo con il positivismo dovuto al fatto che la prima è la rappresentazione di una forma particolare di insegnamento metafisico ed ascientifico … La concezione positivista ci offre nuove possibilità per far posto alla religione, senza entrare in contraddizione con il pensiero scientifico (Jordan 1944)

E’ l’interazione finita tra l’oggetto e gli strumenti di misura conseguenza immediata del quanto d’azione e ciò impone la necessità di rinunciare definitivamente all’ideale classico di causalità e di rivedere a fondo il nostro atteggiamento di fronte al problema della realtà fisica (Bohr 1949)

La fisica atomica ha voltato le spalle alla tendenza materialista che ha avuto la scienza nel secolo XIX (Heisenberg 1959)

L’affermazione della concezione determinista della natura secondo la quale Dio è rimasto senza lavoro … ha perso ora il suo fondamento … e, nell’innumerevole quantità di risultati sempre nuovi ed indeterminati si può vedere l’azione, la volontà, la potenza di Dio (Jordan 1963)                             

Per tutto ciò che sappiamo di fisica e biologia sull’indeterminazione, è certo che scientificamente ora non si può più rifiutare la possibilità logica di affermare il libero arbitrio (Jordan 1963)

Dobbiamo rivedere le nostre idee sulla causalità. La relazione causale si applica solo a sistemi che non siano stati alterati … Hanno significato reale solo le domande relative ai risultati degli esperimenti … (Dirac 1964)

Il concetto di oggetto materiale, di costituzione e natura indipendenti dall’osservatore, è estraneo alla fisica moderna la quale, obbligata dai fatti, ha dovuto rinunciare a questa astrazione (Pauli 1964)

Altre operazioni fatte da Jordan e di seguito riassunte:

  • la mancanza di causalità è alla base del libero arbitrio
  • la mancanza di causalità è alla base del vitalismo
  • la mancanza di causalità è alla base della percezione extrasensoriale
  • la fisica quantistica è un sostegno alle teorie di Freud (analoga operazione fece Pauli con Jung)

I teologi si affrettarono ad accettare il principio di indeterminazione come prova dell’indeterminismo e videro in quest’ultimo la base della libertà personale e della responsabilità morale. Il teologo Bavink fece notare l’accordo tra le idee e la politica di Hitler da un lato e le conseguenze antimaterialistiche, cioè idealistiche, vitalistiche ed anticomunistiche della nuova fisica dall’altro lato (citato da Jordan – 1936 – e da Heilbron – 1987 -). Osservo a margine che Heisenberg e Jordan furono due tra i pochissimi fisici della grande scuola tedesca che aderirono al Nazismo.

 ESEMPLIFICAZIONI REALISTE

         Una teoria fisica non può dipendere dall’abilità degli sperimentatori. Ciò introduce un elemento antropomorfo e quindi innaturale e porta ad un’inaccettabile limitazione della libertà di pensiero ed una mutilazione del principale strumento con cui deve lavorare il teorico (Planck 1927) [in relazione a quanto sosterrà Popper nella prima edizione della Logica della Scoperta Scientifica si ricordi che Planck, sei anni prima – 1929 – , considerò la realtà divisa in tre mondi: quello dei sensi, quello reale e quello fisico].

         Questi indeterministi, con il loro antico peccato positivista, confondono ancora il mondo sensoriale con l’immagine del mondo e si sentono autorizzati a concluderne che l’esame dei fenomeni porta necessariamente all’abbandono del principio di causalità (Planck 1933) …

… potranno discenderne, e non solo nell’ambito della fisica, conseguenze davvero pericolose (Planck 1929)

         La convinzione che esista un mondo esterno, indipendentemente dal soggetto che lo percepisce, è la base di tutta la scienza naturale. Poiché, però, la percezione sensoriale ci fornisce solo una informazione indiretta su questo mondo esterno, o “realtà fisica”, noi possiamo affermare quest’ultima solo con mezzi speculativi. Ne deriva che le nostre nozioni di realtà fisica non possono mai essere definitive (Einstein 1934)

Ogni elemento della realtà fisica deve avere una controparte nella teoria fisica (Einstein 1935)

Ogni esame serio di una teoria fisica deve tener conto della distinzione tra la realtà oggettiva, che è indipendente da qualsiasi teoria, ed i concetti fisici con i quali la teoria opera. Questi concetti sono intesi corrispondere alla realtà oggettiva e mediante questi concetti ci formiamo un’immagine di questa realtà (Einstein 1935)

Sembra difficile guardare le carte di Dio, ma neanche per un attimo posso credere che Egli giochi a dadi e faccia uso di mezzi “telepatici” (come la teoria quantistica corrente pretende che faccia (Einstein 1942) [noto a margine che Einstein lavorò almeno fino al 1920 alla ricerca di una Teoria unificata dei campi dalla quale la Fisica dei quanti potesse essere dedotta come caso particolare].

L’idea di complementarità ha avuto molto successo e si sono fatti molti tentativi, nella maniera più pericolosa, di estrapolazione fuori della fisica, ad esempio, nella biologia, sociologia, psicologia, ecc. (De Broglie 1964)

Di fronte a fenomeni di interferenza e di diffrazione, un fisico senza una teoria preconcetta si vede obbligato a credere che si tratta della propagazione di onde reali, e non una semplice rappresentazione di una probabilità che solo esiste nella sua mente (De Broglie 1964)

I brani di Dirac che seguono mostrano che il fisico britannico cambiò opinione con il passare degli anni:

Mi sembra evidente che ancora non possediamo le leggi fondamentali della meccanica quantistica. Le leggi che stiamo studiando ora avranno bisogno di qualche modificazione importante prima di poter dire di possedere una teoria relativista. E’ molto probabile che questa modificazione … sia tanto drastica come la modificazione che portò dalla teoria delle orbite di Bohr fino alla meccanica quantistica attuale (Dirac, Roma 1974)

Penso che alla fine potrebbe accadere che fosse Einstein ad avere ragione, perché la forma attuale della meccanica quantistica non dovrebbe essere considerata come la forma definitiva. Ci sono grandi difficoltà … E’, per ora, la migliore teoria che possediamo però non credo che sopravviverà indefinitamente nel futuro. E credo sia molto probabile che da un momento all’altro si riesca a costruire una meccanica quantistica migliore, nella quale ritornerà il determinismo e giustificherà, pertanto, il punto di vista di Einstein (Dirac 1975)

La storia di un Einstein che con l’età diventa conservatore è, dopo lo studio dei suoi scritti, drammaticamente capovolta. Perché è proprio Bohr che viene fuori come il conservatore che non vuole (o non può) assistere al rovesciamento del sistema dei concetti classici e quindi li difende ricorrendo a presunte necessità concettuali …, mentre, per quanto riguarda l’uso di concetti classici, il metodo analitico di Einstein è l’espressione di un grande senso critico, una mosca cocchiera che non veniva facilmente tacitata (A. Fine – The Shaky Game: Einstein, Realism and the Quantum Theory – The University Chicago Press, 1986, pag. 19).

BIBLIOGRAFIA

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F.O. Rice, E. Teller – La struttura della materia – Boringhieri, Torino 1953.

E. Persico – Gli atomi e la loro energia – Zanichelli, Bologna 1970.

E. Persico – Fondamenti della meccanica atomica – Zanichelli, Bologna 1968.

L. Pauling, E.B. Wilson – Introduction to Quantum Mechanics – Mc Graw-Hill, New York 1935.

P. Fong – Elementary Quantum Mechanics – Addison-Wesley, London 1962.

M. Born – Atomic Physics – Blackie & Son, London 1963.

AA.VV, – Enseignement actuel de la physique – O.C.S.E., Paris 1965.

J. Andrade e Silva, G. Lochak – I quanti – II Saggiatore, Milano 1969.

J.W. Linnett – Wave Mechanics and Valency – Wiley & Sons, New York 1960.

A.J. Dekker – Fisica dello stato solido – Ambrosiana, Milano1965.

R. Renzetti – Un possibile approccio alla teoria dell’elettrone libero ed alla teoria delle bande – Periodico di matematiche, V. 57, n° 1, 1981.

L. Infeld. – Introduzione alla fisica atomica – Editori Riuniti, Roma 1965.

AA.VV. – Fisica e Cosmo – Zanichelli, Bologna 1969.

Riferendosi solo a testi divulgativi sulla fisica dei quanti ve ne sono ormai, a diverse dignità, centinaia. Io ne riporterò solo qualcuno che ritengo meritevole di attenzione:

A. Bandini Buti – I quanti di Planck (le molecole – la radiazione) – Ed. Delfino, Milano 1963

A. Bandini Buti – Meccanica ondulatoria e quantistica – Ed. Delfino, Milano 1962.

J. A. E. Silva, G. Lochak – Onde e corpuscoli – Il Saggiatore, Milano 1966

J.C. Polkinghorne – Il mondo dei quanti – Garzanti, Milano 1986

G. Gamow – Trent’anni che sconvolsero la fisica – Zanichelli, Bologna 1966

V. Ridnik – Qu’est-ce que la mécanique quantique? – Editions MIR, Mosca 1969

R. Gilmore – Alice nel paese dei quanti – Raffaello Cortina, Milano 1996

Riporto ora una bibliografia (certamente non esaustiva) sui problemi che la fisica quantistica pone:

L. I. Ponomarev – The quantum dice – MIR Publishers, Mosca 1988

D. Lindley – La luna di Einstein – Longanesi, Milano 1966

P. Nutricati – Oltre i paradossi della fisica moderna – Dedalo, Bari 1988

S. Petruccioli – Atomi, metafore, paradossi – Theoria, Roma – Napoli 1988

S. Ortoli, J. P. Pharabod – Le cantique des quantiques – La Découverte, París 1984

M. E. Omelyanovskij, V. A. Fock e altri – L’interpretazione materialistica della meccanica quantistica – Feltrinelli, Milano 1972

AA. VV. – Quanti e realtà – Sansoni, Firenze 1967

F. Capra – Il Tao della fisica – Adelphi, Milano 1982

M. Bunge – La causalità – Boringhieri, Torino 1970

M. Talbot – Beyond The Quantum – Bantam Books, Toronto 1986

          I testi che seguono li fornisco nell’edizione spagnola che io ho studiato. Non lo faccio nella lingua originale perché, in Spagna, non hanno la buona abitudine di riportare tutti i dati relativi all’edizione originale:

P.Forman – Cultura en Weimar, causalidad y teoría cuántica, 1918-1920 – Alianza Universidad, Madrid 1984

J. M. Jauch – Sobre la realidad de lo cuantos – Alianza Universidad, Madrid 1985

A. Rae – Física cuántica. Ilusión o realidad ? – Alianza Universidad, Madrid 1986

J. S. Bell – Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica – Alianza Universidad, Madrid 1990

F. Selleri – El debate de la teoría cuántica (con prefazione di Popper) – Alianza Universidad, Madrid 1986

F. Selleri – Física sin dogma – Alianza Universidad, Madrid 1984

D. Bohm – La totalidad y el orden implicado – Kairós, Barcelona 1988

J. Gribbin – En busca del gato de Schrödinger – Salvat, Barcelona 1986

 I testi che seguono sono di coloro che hanno lavorato in prima persona all’elaborazione della fisica dei quanti:

M. Planck – Scienza, filosofia e religione – Fabbri, Milano 1973

M. Planck – La conoscenza del mondo fisico – Einaudi, Torino 1943

M. Planck – Autobiografia scientifica – Einaudi, Torino 1956

N. Bohr – Teoria dell’atomo e conoscenza umana – Boringhieri, Torino 1961

N. Bohr – Sui sentieri della vita – Boringhieri, Torino 1965

W. Heitler – Causalità e teleologia nelle scienze della natura – Boringhieri, Torino 1967

L. de Broglie – Sui sentieri della scienza – Boringhieri, Torino 1962

Heisenberg, Schrödinger, Born, Auger – Discussione sulla fisica moderna – Boringhieri, Torino 1959

W. Heisenberg – Natura e fisica moderna – Garzanti, Milano 1957

W. Heisenberg – Fisica e oltre – Boringhieri, Torino 1984

M. Planck – Initiations a la physique – Champs/Flammarion; París 1941

E. Schrödinger – Scienza e umanesimo. Cos’è la vita ? – Sansoni, Firenze 1970

 Per inquadrare le cose di cui si parla è utile tenere presente almeno una storia della fisica dei quanti:

 G. Tagliaferri – Storia della fisica quantistica – Franco Angeli, Milano 1985

 ed un approfondimento di qualche suo aspetto:

 AA. VV. – Contributi alla storia della meccanica quantistica – Domus Galileiana, Pisa 1976

Un’ottima discussione di varie questioni quantistiche si trova in:

 AA.VV. – La fisica dei quanti – Le Scienze quaderni n° 33, Milano 1982

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