Fisicamente

di Roberto Renzetti

Ingegneria Meccanica – Roma Tre

AA/2011-2012

APPUNTI PER IL CORSO

(Ripresi integralmente e da me assemblati dai testi di bibliografia)

Roberto Renzetti

Bibliografia:

Paul J. Tipler, Gene Mosca – Corso di Fisica – Zanichelli 2010

Jay Orear – Fundamental Physics – John Wiley & Sons Inc, 1967

F.W. Sears, M.W. Zemansky – University Physics – Addison-Wesley Publishing Company, 1964

M. Alonso, E. J. Finn – Fundamental University Physics – Addison-Wesley Publishing Company, 196

R. Renzetti – Appunti miei raccolti negli anni –  www.fisicamente.net

PARTE DODICESIMA

MAGNETISMO

ELETTROMAGNETISMO

1 – Primi fenomeni

–        Magneti permanenti conosciuti fin dall’antichità.

–         Un magnete, se lasciato libero, si orienta rispetto alla Terra.

–     Poli dello stesso tipo si respingono, poli di segno opposto si attraggono. Il geologo ed astronomo britannico John Michell (1724-1793) realizzò una speciale bilancia (bilancia di torsione)che divenne famosa solo dopo che fu inventata di nuovo da Coulomb, per studiare le forze magnetiche. Michell era un fervente newtoniano e andò a scoprire ciò che voleva scoprire, il fatto cioè che le forze agenti tra poli magnetici vanno come l’inverso del quadrato della distanza, come la legge regina di Newton, quella di gravitazione universale:

Ogni polo magnetico attira o respinge esattamente a distanze uguali in ogni

direzione …

Attrazioni o repulsioni diminuiscono in proporzione all’aumento dei quadrati

delle distanze dai rispettivi poli.

E’ inutile dire che tale legge non ha retto a successive e rigorose verifiche sperimentali anche se ha avuto il pregio di indicare una strada per rendere la scienza elettrica e magnetica quantitativa.

E’ a questo punto che si inseriscono i lavori di Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806).

–       Polo Nord e Polo Sud

–       In natura non esistono poli magnetici isolati

–       Campo magnetico (magnete rettilineo, magnete ad U, …)

–       Linee di forza e loro verso convenzionale

–       Magnetismo ed elettricità: effetti magnetici della corrente.

–       Esperienza di Oersted

–          Verso di rotazione dell’ago

Regola di Ampère: Un osservatore disposto parallelamente sul filo in modo che la corrente gli entri dai piedi e gli esca dalla testa, vede il polo nord dell’ago ruotare verso sinistra

–        Campi magnetici generati da fili percorsi da corrente

                  La direzione del campo è tangente alle linee di forza. Il verso delle linee di forza è dato dalla regola del cavatappi.

– Se una corrente esercita una forza su un magnete (Oersted) bisogna attendersi che anche un magnete eserciti una forza su una corrente. Se si dispone una spira percorsa da corrente all’interno di un campo magnetico essa tende a ruotare disponendosi perpendicolarmente alle linee del campo. Il dipolo-spira si orienta in modo che il suo sud vada a sistemarsi di fronte al nord del magnete ed il suo nord verso il sud del magnete.

– Poiché una corrente crea un campo magnetico ed un campo magnetico esercita una forza su una corrente, anche due correnti eserciteranno una forza tra loro, forza che sarà di natura magnetica (Ampère).

Due fili rettilinei percorsi da correnti concordi si attraggono

Due fili rettilinei percorsi da correnti discordi si respingono

Due spire percorse da correnti concordi si attraggono

FORZA MAGNETICA SU UNA CORRENTE E DEFINIZIONE DI B

Consideriamo la figura seguente e sia il lato BC della spira mobile. Su questo lato (come su ogni altro lato) della spira si esercita una forza F qualunque sia l’orientazione della spira nel campo.

L’intensità della forza varia al variare dell’orientazione ed esiste una direzione di BC in corrispondenza della quale la forza si annulla. Tale direzione è quella mostrata in figura seguente e noi l’assumeremo come direzione del campo magnetico (direzione di BC quando la forza F è nulla)

Si verifica sperimentalmente che la forza è massima quando il vettore ℓ = BC risulta perpendicolare alle linee di campo ed in tal caso vale:

Fm = Biℓ

con B  = Fm / iℓ = vettore induzione magnetica.

In generale l’andamento della forza è dato da:

(1)                                   F = iB Λ = Biℓsena

La direzione di F è sempre perpendicolare al piano formato da B ed ℓ ed il verso è dato dalla regola della mano sinistra:

B si misura in N/A.m = Wb/m2 = tesla    dove  Wb = N.m/A = V.s

Il flusso di B è dato da:

F(B) = BScosa

dove a è l’angolo formato tra il versore perpendicolare alla superficie della spira e le linee di forza. del campo magnetico B. Il flusso di B si misura in Wb.

LAVORO DELLE FORZE MAGNETICHE

         Prendiamo ora in considerazione la (1) e cioè F = iB Λ = Biℓsena,  e mettiamoci nella condizione di sen α = 1 (quindi α = 90°). La (1) diventa:

                                                                       F = Biℓ

Se B è un campo costante, su di una corrente i che transita in un filo ℓ, si eserciterà una forza F. Questa forza sposterà il filo di un tratto d, di modo che farà un lavoro L:

                                                                   L = F.d = iBℓ.d 

Osserviamo ora che ℓ.d è la superficie S spazzata dal filo ℓ che si sposta di d. Quindi:

                                                                     L  = i.BS

cioè:

                                                                     L  = i.Φ(B)

e ciò vuol dire che il lavoro della forza elettromagnetica F agente su un tratto di circuito posto nel campo di induzione uniforme B è direttamente proporzionale a B, all’intensità di corrente i che attraversa ℓ ed alla superficie S spazzata dal conduttore.

TEORIA DI AMPERE DEL MAGNETISMO E TENTATIVO DI SPIEGAZIONE DELL’ESPERIENZA DI OERSTED

Molecola elettrodinamica di Ampère 

1 – COPPIA AGENTE SU UNA SPIRA IMMERSA IN UN CAMPO MAGNETICO. MOTORE ELETTRICO

F1  =  – F3   e giacciono sulla stessa retta d’azione

F2  =  – F4   e giacciono su piani differenti in modo da costituire una coppia di momento M.

         Guardando la situazione dall’alto si ha la seconda figura ora riportata. Il braccio b della coppia è dato da

b = d.sena

Le forze F2 ed F4 sono date da

(1)                                                     F2 = F4 = Biℓ

Il momento M., dato da braccio per forza, sarà:

(2)                                                  M. = Biℓ.d sena

ed il momento è massimo per a = 90° (B giace nel piano della spira) e nullo per a = 0° (B perpendicolare al piano della spira).

Se si inverte il verso della corrente si invertono i versi delle forze e la spira ruota in senso inverso fino a tornare nella posizione di equilibrio.

Su questa proprietà si basa il motore più semplice, quello a corrente continua.

Riferendoci alla figura seguente, in (a) la spira tende a ruotare per portarsi alla sua posizione di equilibrio; in (b) ha raggiunto tale posizione che, per inerzia, supera almeno di un poco (se non si interviene in alcun modo dall’esterno, dopo alcune oscillazioni, la spira si ferma nella posizione di equilibrio); in (c) si è invertito il verso della corrente e ciò fa continuare la rotazione della spira fino ad arrivare di nuovo ad una posizione simile a quella che aveva in (a): in (d) si riprende come se ripartissimo da (a).

La figura seguente mostra il meccanismo (collettore) che permette il cambiamento di verso della corrente nella spira attraverso dei contatti striscianti su dei semicilindri metallici connessi agli estremi della spira:

2 – FORZA ELETTRODINAMICA TRA CORRENTI

Torniamo ora in modo quantitativo all’azione elettrodinamica che si esercita tra due correnti rettilinee, esemplificando con due correnti concordi.

Vediamo con maggiori dettagli:

Figura 111

Diciamo subito che quando la corrente i2 è perpendicolare alla corrente i1, la forza F si annulla.

La molla serve a mantenere il filo in modo che la distanza tra i due sia sempre d.

In tali condizioni si trova che su un tratto ℓ di conduttore si esercita una forza data da:

Si noti che la relazione data è per correnti parallele. In caso contrario vale la relazione (48) già data.

3 – CAMPO MAGNETICO GENERATO DA UNA CORRENTE DI FORMA QUALUNQUE

Riferiamoci alla figura seguente:

Ci proponiamo di calcolare il campo magnetico B in un punto P del campo vicino al filo. Per fare questo conto occorre suddividere il filo in elementi infinitesimi ds con direzione tangente al filo e verso della corrente. Ci riferiamo quindi ad un elemento di corrente-lunghezza ids. Il campo B nel punto P sarà allora l’integrale esteso a tutti i dB originati da ciascun ids. Operiamo in analogia a quanto fatto con il caso elettrico ma con una notevole complicazione in più. Mentre lì avevamo a che fare con elementi scalari dq, ora abbiamo elementi vettoriali ids (ids è infatti il prodotto dello scalare i per il vettore ds). Con tali avvertenze si trova che l’intensità del campo magnetico in P è dato da

.4 – CAMPO MAGNETICO GENERATO DA UNA CORRENTE RETTILINEA.

Riferiamoci alle figure seguenti:

Filo rettilineo percorso da corrente con le linee di forza del campo magnetico in forma di circonferenze concentriche con ilo verso determinato dalla regola della mano destra

Vogliamo trovare il campo B nel punto P a distanza R dal filo. Tale campo è dato dalla legge di Biot-Savart

                            

                                      

troviamo la legge cercata.

_______________________________

Faccio a parte il conto che illustra l’integrale precedente:

_____________________________                                                         

e riferendoci al punto P ancora della Figura 111. Si tratta di calcolarsi il campo B prodotto da i1 nel punto P. Esso sarà:

:                                      

Si osservi che, all’esterno di un solenoide di lunghezza “infinita”, cioè per r  << ℓ, il campo è nullo.

ENERGIA DEL CAMPO MAGNETICO. INDUTTANZA

         Calcoliamoci ora l’energia che il campo magnetico è in grado di immagazzinare (con maggiori dettagli torneremo sull’argomento quando tratteremo le extracorrenti).

         Iniziamo con il calcolarci il flusso autoconcatenato con una spira di un solenoide di superficie S. Si ha:

φ = BS

Sostituendo a B il valore dato dalla (4) otteniamo:

dove Eint è chiamata energia intrinseca totale immagazzinata in un solenoide percorso da una corrente i (troveremo analiticamente questa espressione quando tratteremo le extracorrenti). Questa energia rappresenta la differenza tra l’energia erogata dal generatore e quella dissipata per effetto Joule durante l’intervallo di tempo in cui la corrente passa dal valore 0 ad i (l’energia fornita dal generatore a cui va sottratta quella persa per effetto Joule).

         Sia ora ila corrente di regime nel circuito contenente il solenoide. Il campo dentro il solenoide sarà dato ancora dalla (4):

                                                       

5 – TEOREMA DI AMPÈRE (equivalenza fra un dipolo magnetico ed una spira percorsa da corrente: approccio semplificato)

         Un ago magnetico, sottoposto ad un campo magnetico è soggetto ad una coppia di forze di momento M che lo fa ruotare finché l’ago non si dispone parallelamente al campo. Il momento M è massimo quando l’ago è perpendicolare alle linee di forza del campo. Risulta:

                                                         

Riferiamoci ora ad una spira in un campo magnetico B0 (come da figura seguente):

La spira, rettangolare di area S = ℓ.d, ruoterà sotto l’azione della coppia F1,F2 (con F1 = F2 = F), che ha per braccio b = d.senα, con un momento M dato da (si ricordi la 2 del paragrafo 1):

                                           

                                     

E questo è il teorema di equivalenza di Ampère tra una spira percorsa da corrente ed un ago magnetico e tale equivalenza esiste se vale la relazione (2).

6 – TEOREMA DI AMPÈRE  (solo  per curiosità)

         Partiamo dalla legge di Biot e Savart.

Jean-Baptiste Biot aveva lavorato con Coulomb ed, anch’egli, era un convinto newtoniano. Venuto a conoscenza dell’esperienza di Oersted, si mise al lavoro per trovare una legge di forza che rendesse conto di quella strana azione. Egli era un abilissimo sperimentatore ma in questo caso rinunciò ad ideare esperienze per dedicarsi completamente a trovare una legge che fornisse la forza magnetica esercitata da un filo infinito in funzione della distanza da esso. Vedremo che, mentre Biot tenta la soluzione di un problema particolare, Ampère tenterà di costruire una teoria complessiva in grado di spiegare una completa categoria di fenomeni.

Biot inizia con il considerare il conduttore rettilineo come tagliato in fette sottili di modo F sia una di tali fette (da buon matematico Biot considera elementi infinitesimi del filo ai quali assegna proprietà magnetiche).

Fig. 7

Ognuna di queste fette è costituita da molecole, ciascuna delle quali subisce una magnetizzazione momentanea. In tal modo ciascuna fetta può essere descritta da infinitesimi aghi magnetici tangenti alla sua superficie esterna (ab, a’b’, a”b”, a”’b”’, ma se ne potrebbero disegnare altri).

         Fu Savart, un medico appassionato di acustica, che fece misure estremamente delicate per determinare la forza esercitata dal filo conduttore su un polo magnetico per dedurre successivamente la legge matematica dell’azione di una piccola fetta di conduttore su questo polo. Biot il 18 dicembre 1820 enunciò la legge che era stata trovata. Riferendosi alla figura seguente, la legge infinitesima dice che la forza esercitata

Fig. 8

da un elemento infinitesimo di filo, di lunghezza infinita, situato in N (vedi figura 8) su una particella magnetica situata in M, è perpendicolare al piano della figura ed ha un’intensità proporzionale a

E cioè: la forza magnetica dovuta ad un elemento ds di un circuito in cui circola una corrente i, ad una distanza r da ds è dato dalla relazione scritta (in grassetto sono date grandezze vettoriali). Ma Biot non terminò lì le sue elaborazioni, proseguì con ulteriori esperienze ed elaborazioni matematiche. Più in dettaglio, la costruzione della relazione precedente avvenne per tappe successive. Il 30 di ottobre Biot comunicò alcuni risultati sperimentali: la forze esercitata da un filo conduttore infinito su un polo magnetico è inversamente proporzionale alla distanza MH del polo al filo. Si può quindi dedurre (come fece osservare Lapalce a Biot) che la forza elementare esercitata da un elemento infinitesimo di filo situato ad una distanza r dal polo è proporzionale ad 1/r2. La forza esercitata dall’elemento infinitesimo situato in N dipende ancora dall’angolo ω secondo una funzione da determinare. Per calcolare questa funzione Biot realizzò un’altra serie di esperienze. Egli misurò la forza, esercitata sul polo M, da un filo conduttore infinito formante un angolo variabile del vertice A. Egli ne concluse che questa forza è proporzionale a quest’angolo variabile θ (vedi figura 8).

Fig. 8

Il 18 dicembre Biot specificò ulteriormente che, come già detto, la forza elementare è proporzionale a

Ora, il fattore  sen ω/r2 è dovuto a Biot e Laplace ma i.ds è l’elemento di corrente di Ampère, quello che troverà Ampère. Ma, al di là di queste osservazioni che approfondiremo più oltre, resta la considerazione che si va delineando una forza che va con l’inverso del quadrato della distanza, cioè come quelle di Newton. Ma vi è una importante considerazione da fare al di là dell’apparenza matematica: questa forza per essere di tipo newtoniano avrebbe dovuto essere diretta da M ad N, invece è diretta trasversalmente, perpendicolare cioè al piano determinato da MN ed il filo. Ma Biot crede che il tutto sarà risolto con uno studio più accurato della sezione di filo considerata poiché la sua azione è un’azione composta. Per Biot: resta da trovare come ogni molecola infinitamente piccola del filo contribuisce all’azione totale della sezione di filo di cui essa fa parte. L’azione di una corrente su un magnete risulterebbe così ridotta a delle pure interazioni magnetiche che sono da determinare e dalle quali si possa dedurre la sua legge sperimentale, anche se ciò è molto difficile come lo stesso Biot ammette.

Torniamo ora ad Ampère.

         In quanto detto sembra evidente che inizia a farsi strada l’idea di una sorta di similitudine tra correnti e magneti che, estendendo il concetto, vuol dire anche che mentre i conduttori trasportano correnti che agiscono con magneti, accade anche che i conduttori agiscono l’un l’altro come fossero magneti.

         Intanto, il 18 settembre, appena una settimana dopo l’annuncio di Arago della scoperta di Oersted, Ampère aveva mostrato all’Accademia le azioni reciproche tra fili percorsi da correnti rettilinee(12), le loro attrazioni e repulsioni in tutte le possibili posizioni reciproche (Dell’azione esercitata da una corrente elettrica da un’altra corrente). Servendosi sello strumento di figura, in cui il

Fig. 9

conduttore AB è fisso mentre il lato CD del conduttore sospeso CDEF può muoversi potendo oscillare sui sostegni XY, poteva studiare le azioni tra correnti rettilinee e parallele. In tal modo trovò la legge di forza tra correnti parallele concordi e discordi. E’ evidente che a questo punto si poneva l’altro problema, quello relativo al conduttore mobile che invece di essere soggetto a muoversi parallelamente a quello che è fisso, può soltanto ruotare in un piano parallelo a quello del conduttore fisso intorno ad una perpendicolare comune passante  per i loro punti di mezzo. Realizzando sperimentalmente l’apparato (fig.10), Ampère trovò che secondo la legge che abbiamo scoperto per le attrazioni e le repulsioni delle correnti elettriche, le due metà di ogni conduttore attireranno e respingeranno quelle dell’altro, secondo che le correnti saranno di uguali sensi o di sensi contrari; conseguentemente il conduttore mobile ruoterà fino al momento in cui giunga in una posizione nella quale risulti parallelo a quello fisso e le correnti siano dirette nello stesso senso: donde deriva che, nell’azione mutua di due correnti elettriche, l’azione direttrice e l’azione attrattiva o repulsiva dipendono da uno stesso principio e sono soltanto effetti diversi di una sola e medesima azione. Allora non è più necessario istituire fra questi due effetti la distinzione che è importante fare, come vedremo tra poco, quando si tratta di una corrente elettrica e di un magnete, considerato come si fa comunemente in relazione al suo asse, perché, in questa azione, i due corpi tendono a porsi in direzioni perpendicolari fra loro.

Fig. 10 a – In figura è riportato in rosso il tratto di filo rettilineo fisso, mentre il tratto DP affacciato può ruotare su un’apposita sospensione riportata più in dettaglio nella figura 10 b. Si noti che invertendo i cavi della spira rettangolare nella connessione che permette la rotazione si inverte il verso della corrente nella spira.

Fig. 10 b

         Ampère sta avvicinandosi a discutere la questione che è al centro dei suoi interessi, la relazione esistente tra correnti e magneti. A tal proposito inizia a dire: Esaminerò negli altri paragrafi di questa Memoria e nella Memoria seguente l’azione mutua fra una corrente elettrica e il globo terrestre o un magnete e quella di due magneti l’uno rispetto all’altro: mostrerò che tanto l’una quanto l’altra rientrano nella legge dell’azione mutua di due correnti elettriche, che ho testé fatto conoscere, se si immaginano sulla superficie e nell’interno di un magnete tante correnti elettriche, in piani perpendicolari all’asse del magnete, quante linee, formanti curve chiuse che non si taglino mutuamente, si possano immaginare; dimodoché, dal semplice accostamento dei fatti, non mi sembra possibile dubitare che non esistano realmente tali correnti attorno all’asse dei magneti o, meglio ancora, che la magnetizzazione non consista soltanto nell’operazione con la quale si dà alle particelle dell’acciaio la proprietà di produrre, intesa nel senso delle correnti di cui abbiamo parlato, la stessa azione elettromotrice che si trova nella pila voltaica […]. Però, poiché questa azione elettromotrice si sviluppa nel caso del magnete fra le diverse particelle di uno stesso corpo buon conduttore, essa, … non può mai produrre alcuna tensione elettrica, ma soltanto una corrente continua simile a quella che avrebbe luogo in una pila voltaica che rientri su sé stessa formando una curva chiusa […]. In questo modo si giunge al risultato inatteso che i fenomeni del magnete sono unicamente prodotti dall’elettricità e che non vi è nessun’altra differenza fra i due poli di un magnete se non la loro posizione rispetto alle correnti di cui si compone […]. Il modo in cui concepisco il magnete, cioè come un complesso di correnti elettriche in piani perpendicolari alla linea che ne congiunge i poli, mi fece anzitutto cercare di imitarne l’azione con conduttori piegati ad elica, di cui ogni spira rappresentasse una corrente disposta come quella di un […].

         Fin qui la parte teorica, la sua idea di magnete ridotta a particolari correnti. Restava il problema della ricerca della legge di forza che Ampère ammette essere cosa molto complessa e non deducibile da esperienze ma da elaborazioni di calcolo differenziale ed integrale: Fin dalle prime ricerche sull’argomento di cui stiamo occupandoci, avevo cercato di ottenere la legge secondo la quale l’azione attrattiva e repulsiva di due correnti elettriche varia quando cambino di valore le loro distanze e gli angoli che determinano la loro posizione rispettiva. Fui ben presto persuaso che non si potesse dedurre questa legge da esperienze dirette, perché essa non può avere un’espressione semplice se non considerando porzioni di correnti di lunghezza infinitamente piccola; ora, non si possono fare esperienze su tali correnti; l’azione delle correnti di cui si possono misurare gli effetti è la somma delle azioni infinitamente piccole dei loro elementi, somma che si può ottenere soltanto per mezzo di due integrazioni successive, delle quali la prima deve essere fatta in tutta l’estensione di una delle correnti per un medesimo punto dell’altra e la seconda si deve eseguire sul risultato della prima integrazione presa fra i limiti indicati dalle estremità della prima corrente, in tutta l’estensione della seconda corrente; soltanto il risultato di quest’ultima integrazione, preso entro i limiti segnati dalle estremità della seconda corrente, può essere paragonato con i dati dell’esperienza; donde consegue, come ho detto nella Memoria che ho letto all’ Académie il 9 ottobre scorso, che queste integrazioni sono la prima cosa di cui bisogna occuparsi quando si voglia determinare dapprima l’azione mutua di due correnti di lunghezza finita, sia rettilinee, sia curvilinee, tenendo presente che in una corrente curvilinea la direzione delle porzioni di cui essa si compone è determinata in ogni punto dalla tangente alla curva secondo la quale la corrente stessa si manifesta, e in secondo luogo quella di una corrente elettrica su un magnete o di due magneti l’uno sull’altro considerando, in questi ultimi due casi, i magneti come complessi di correnti elettriche disposte come ho detto sopra.

         Ampère elabora allora una lunga serie di esperienze in cui via via assimila il comportamento di un ago magnetico con quello di una spira percorsa da corrente, di una barra di ferro magnetizzata con un solenoide. Studia le azioni mutue di magneti, di spire, di solenoidi, di magneti con spire e solenoidi. Resta il problema che continua ad avere presente e che la sperimentazione lo aiuta a focalizzare, quello del ricavare la legge di forza tra correnti e quella tra magneti e correnti che, a questo punto, è la stessa cosa.

         Rispetto a Biot, il primo sostanziale cambiamento realizzato da Ampère è nell’impostazione iniziale degli elementi infinitesimi. Egli non considera, come Biot, fette o sezioni infinitesime di filo ma elementi di filo di lunghezza infinitesima ds. Inoltre, contrariamente a Biot egli si muove con l’idea di interazioni tra correnti e non tra magneti. La differenza tra le diverse concezioni di Biot ed Ampère è in un disegno trovato tra gli appunti di Ampère (figura 11) in cui, in alto vi è l’idea delle correnti nel filo conduttore dei due fisici, in basso l’idea del magnete che i medesimi due avevano. Per Ampère sia il filo che il magnete erano costituiti da correnti elementari mentre per Biot da magneti elementari.

Fig. 11

La forza che si esercita tra due correnti può teoricamente dedursi mediante due integrazioni successive a partire dalla forza elementare tra due elementi di corrente i.ds e i’.ds’ . Per ricavare invece l’azione tra un magnete ed una corrente occorre ricorrere ad una tripla integrazione, poiché ciascuna fetta di magnete contiene, secondo Ampère, una infinità di correnti circolari coassiali. Ma se è possibile passare mediante integrazione dalla forza elementare a quella totale, l’inverso non è possibile. Anche Biot si era scontrato con tale problema e, lo ricordo, aveva trovato il suo fattore angolare mediante l’intuizione e non mediante l’esperienza.

Per determinare la forza elementare tra due elementi di corrente Ampère propose di partire da una forza d’interazione la più generale possibile e di precisare l’espressione trovata mediante esperienze qualitative su dei circuiti finiti. La forza elementare che egli avrebbe così trovato avrebbe dovuto rispettare il principio d’azione e reazione ed essere diretta secondo la retta che univa i due elementi di corrente. Studiando poi i 4 casi di equilibrio tra correnti in varie situazioni realizzate con il suo banco di esperienze estremamente sofisticate oltreché ingegnose, egli trovò 4 leggi ancora oggi importanti:

Primo principio: le azioni di una corrente sono invertite quando si inverte il senso della corrente,

Il secondo principio (delle correnti sinuose) «consiste nell’uguaglianza delle azioni esercitate su un conduttore mobile da parte di due conduttori fissati ad uguale distanza dal primo, dei quali l’uno è rettilineo e l’altro è curvo e disegnato in modo qualsiasi»,

Terzo principio: «L’azione di un circuito chiuso e di un insieme di circuiti chiusi su un elemento infinitamente piccolo di una corrente elettrica è perpendicolare a questo elemento». Principio che pone in evidenza il carattere essenzialmente «trasversale» delle sole azioni «elementari» che siano osservabili.

Quarto principio: A intensità costanti, le interazioni di due elementi di corrente non cambiano quando le loro dimensioni lineari vengono modificate secondo uno stesso rapporto,

Fig. 12

Fig. 13

Da queste premesse e dall’ipotesi che la forza tra due elementi di circuito o elementi di corrente (corrispondenti ai punti-massa di Newton) agisce lungo la linea che li congiunge (azione alla Newton), Ampère ottenne una espressione per questa forza che ora cercherò di ricavare utilizzando il calcolo vettoriale, allo stesso modo di Whittaker. Mi servirò della figura 14 da me fatta per semplificare qualcosa di analogo fatto da Ampère (figura 16).

Fig. 14 – Le due spire non devono essere pensate su un medesimo piano ma su piani qualunque

Fig. 15 – I vettori che hanno A e B come punti di applicazione, se pensati su piani diversi P e Q, per la loro individuazione hanno bisogno di tre angoli: α, β, γ. Se A e B sono due elementi di corrente di lunghezza infinitesima rispetto alla loro distanza AB = r, l’intensità della forza che si esercita tra A e B non dipende solo da r ma anche dai valori degli angoli α, β, γ.

Fig. 16 – I disegni originali di Ampère

         Riferendoci allora alla figura 14, siano quindi(13) i.ds e i’.ds’ gli elementi di corrente, r la linea che li unisce ed i, i’ le intensità di corrente (stabilito che gli elementi di corrente sono ids ed i’ds’, di seguito per mia comodità li indicherò solo con ds e ds’. Si noti che nelle varie relazioni il prodotto i.i’ deriva proprio dal prodotto ordinario dei due elementi di corrente). L’effetto di ds su ds’ è il vettore somma degli effetti delle componenti dx, dy, dz di ds su ds’. In tal modo la forza da trovare deve avere la seguente forma: il vettore r per una quantità scalare che ha una relazione lineare ed omogenea con ds; essa deve poi essere allo stesso modo omogenea e lineare con ds’; così in definitiva l’espressione della forza (tenuto conto dei quattro principi elencati prima ed in particolare del numero 1) deve essere del tipo:

deve essere un differenziale esatto; da cui l’altra espressione:

dove K è una costante dipendente dalle unità di misura scelte e può essere posta uguale a – 1. La relazione precedente è la formula di Ampère.

         La debolezza del lavoro di Ampère risiede evidentemente nell’assunto che la forza sia diretta lungo la linea congiungente i due elementi di circuito. Infatti nell’analogo caso dell’azione fra due molecole magnetiche, sappiamo che la forza NON è diretta lungo la linea congiungente le due molecole. E’ quindi importante trovare la forma che assume F quando questa ipotesi risulta tolta di mezzo.

         Per fare ciò osserviamo che possiamo aggiungere all’espressione precedente trovata per F qualche termine della forma:

E questa espressione si può rendere più semplice ponendo:


dove:

.       

(osservo solo che tutte queste relazioni sono a meno di una costante moltiplicativa, costante che dipenderà dal sistema di unità di misura scelto).

         In tutto ciò che abbiamo visto vi è una gran quantità di vettori e conseguentemente di angoli (vedi figura 15). Ampère si era fatto l’idea da una gran mole di esperienze, condotte con estrema precisione ed ingegnosità, che oggi chiameremmo somma vettoriale degli elementi di corrente, cioè della possibilità di rimpiazzare un elemento di corrente con le sue proiezioni sui tre assi ortogonali e quindi di considerare le forze che si esercitano tra queste componenti prese due a due. E nel programma di Ampère, che prevedeva una legge che andasse con l’inverso del quadrato della distanza, vi era il calcolo delle variazioni della forza al variare degli angoli con sui si presentavano disposti gli elementi di corrente medesimi. Nel portare avanti tali ricerche, Ampère credeva sinceramente di muoversi su un percorso newtoniano ma in realtà lo aveva egli stesso superato quando faceva dipendere le forze da angoli, cosa che avrebbe inorridito i newtoniani.

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