Fisicamente

di Roberto Renzetti

Ingegneria Meccanica – Roma Tre

AA/2011-2012

APPUNTI PER IL CORSO

(Ripresi integralmente e da me assemblati dai testi di bibliografia)

Roberto Renzetti

Bibliografia: Paul J. Tipler, Gene Mosca – Corso di Fisica – Zanichelli, 2009

                       Jay Orear – Fundamental Physics – John Wiley & Sons Inc, 1967

                       F.W. Sears, M.W. Zemansky – University Physics – Addison-Wesley Publishing Company, 1964

                       M. Alonso, E.J. Finn – Fundamental University Physics – Addison-Wesley Publishing Company, 1969

                        R. Renzetti – Vari appunti miei raccolti negli anniwww.fisicamente.net

PARTE TREDICESIMA

ELETTROMAGNETISMO

14 – INDUZIONE ELETTROMAGNETICA. CORRENTI INDOTTE

FATTI SPERIMENTALI

15 – FORZA ELETTROMOTRICE INDOTTA: LEGGE DI FARADAY-NEUMANN-LENZ

16 – CORRENTI DI FOUCAULT

                                                  

                                     Pendolo di Waltenhofen

17 – AUTOINDUZIONE

E’ il fenomeno per cui ogni variazione di intensità di corrente in un circuito genera nel circuito stesso una f.e.m. indotta che fa circolare nel circuito una corrente detta di autoinduzione. La corrente di autoinduzione è anche detta extracorrente.

  [L in Henry = Ω.s].

18 – EXTRACORRENTE DI CHIUSURA E DI APERTURA

Da questo momento, salvo avviso contrario, discuteremo di fenomeni transitori che hanno luogo quando la corrente è fornita da un generatore continuo, come una pila, un accumulatore, una batteria, …. Una tale corrente si chiama in breve corrente continua (cc).

         Gli elementi passivi, quelli cioè che dissipano energia, che abbiamo fino ad ora incontrato sono la resistenza e la capacità.

 Occorre ora aggiungere l’induttanza (o bobina o piccolo solenoide) che può essere inserita opportunamente in un circuito.

                                                          Una induttanza

L’induttanza, che si indica con L, ha graficamente la seguente rappresentazione:

In definitiva, come elementi passivi in un circuito elettrico dovremo considerare la resistenza R, la capacità C e l’induttanza L:                                                                          

 Questi tre elementi potranno trovarsi in un circuito elettrico in ogni possibile combinazione serie e parallelo, mista a piacere.

         Dico subito alcune cose elementari. Nel caso di corrente continua (cc) in regime stazionario, non transitorio dunque, gli elementi capacità ed induttanza giocano un ruolo praticamente nullo (sistemato un condensatore in un circuito alimentato da una pila, quando si è caricato il condensatore è tutto finito, e la corrente smette di circolare nel circuito; analogamente con una induttanza, quando si è stabilizzata la corrente, l’induttanza funziona né più né meno come fosse una resistenza). Ma noi ci occupiamo ora di regime transitorio, quello cioè che interessa il tempo necessario alla corrente fornita da una pila o altro alimentatore in cc per stabilizzarsi nel circuito (in genere si tratta di tempi brevissimi) dopo aver chiuso l’interruttore (quando abbiamo acceso l’interruttore) e il tempo necessario alla corrente per ritirarsi dal circuito (quando abbiamo spento l’interruttore). In tali situazioni transitorie (di chiusura del circuito nel primo caso e di apertura del circuito nel secondo caso) si generano dei fenomeni elettromagnetici che occorre studiare. Si tratta cioè di studiare quelle che vanno sotto il nome di extracorrenti di chiusura ed extracorrenti di apertura in differenti situazioni di connessione nel circuito degli elementi passivi di cui ho appena detto. I casi sono svariatissimi, mi limito ad alcuni.

EXTRACORRENTE DI CHIUSURA: CIRCUITO PURAMENTE RESISTIVO

         Sia dato il circuito di figura in cui abbiamo una pila, una resistenza ed un interruttore T. Alla chiusura di T (trattino rosso di figura) inizierà a circolare una corrente che non è immediatamente la I di figura ma una i (t) da determinarsi che, crescendo, andrà al suo valore I dopo un dato tempo.

Questo fenomeno deriva dall’autoinduzione. Un circuito elettrico si chiude sempre su se stesso costituendo nel suo insieme una spira. Quando in una spira circola corrente, per la legge di Lenz, si genera una corrente contraria che tenta di impedire l’instaurarsi di quella proveniente dalla pila. Vi sarà quindi un certo tempo in cui la corrente di autoinduzione i ostacolerà la corrente I. Vediamo nei dettagli come vanno le cose.

         Un circuito in cui è collegata una resistenza R ed alimentato da una pila con differenza di potenziale V fornisce un valore massimo di corrente I dato dalla legge di Ohm:

        

 Osservato che per t = 0  si ha  i = 0, risulta:

Questa relazione ha il seguente grafico:

EXTRACORRENTE DI APERTURA: CIRCUITO PURAMENTE RESISTIVO

         Dobbiamo ora considerare lo stesso circuito di figura precedente in cui sta circolando la corrente I. Se apriamo l’interruttore, togliamo cioè il contatto rosso di figura precedente, la corrente I non andrà immediatamente al valore zero, ma impiegherà un certo tempo. All’apertura di T si avrà infatti una forte variazione del flusso di B concatenato con il circuito che provocherà una extracorrente, questa volta di apertura, che per la legge di Lenz circolerà in verso opposto alla I impedendo che la I vada a zero.  

         Dal punto di vista formale si parte da una equazione uguale alla precedente:

  che ha per grafico:

EXTRACORRENTE DI CHIUSURA: CIRCUITO CON RESISTENZA ED INDUTTANZA IN SERIE (R,L)

         Rendiamo più evidente il fenomeno dell’extracorrente inserendo nel circuito una induttanza in serie. Come giù visto nel caso del circuito puramente resistivo, alla chiusura di T (trattino rosso di figura) inizierà a circolare una corrente che non è immediatamente la I di figura ma una i (t) da determinarsi che, crescendo, andrà al suo valore I dopo un dato tempo.

Nelle condizioni dette, tra i punti A e D del circuito si avrà una f.e.m. E data da:

                              

                                          

      

Quindi la costante di tempo τL  rappresenta il tempo necessario affinché la corrente nel circuito raggiunga un valore  pari  al  63 % del valore finale di equilibrio I. Poiché la differenza di potenziale VA – VB  ai capi della resistenza è proporzionale alla corrente i, la dipendenza dal tempo della corrente in aumento ha la stesso andamento di VA – VB.

         La rappresentazione grafica della (3) è:

EXTRACORRENTE DI APERTURA: CIRCUITO CON RESISTENZA ED INDUTTANZA IN SERIE (R,L)

Dobbiamo ora considerare lo stesso circuito di figura precedente in cui sta circolando la corrente I. Se apriamo l’interruttore, togliamo cioè il contatto rosso di figura precedente, la corrente I non andrà immediatamente al valore zero, ma impiegherà un certo tempo. All’apertura di T si avrà infatti una forte variazione del flusso di B concatenato con il circuito che provocherà una extracorrente, questa volta di apertura, che per la legge di Lenz circolerà in verso opposto alla I impedendo che la I vada a zero. 

         La situazione è trattabile esattamente allo stesso modo di quanto fatto con l’unica considerazione che, il tasto T aperto, corrisponde a staccare la batteria dal circuito staccare ed a rendere quindi la della (1) uguale a zero. Facciamo questa operazione ed eseguiamo i calcoli:

                                                                    

EXTRACORRENTI. CONSIDERAZIONI ENERGETICHE: ENERGIA INTRINSECA

         Serviamoci ora di quanto discusso a proposito della extracorrente di apertura nel caso di resistenza ed induttanza in serie, per fare delle considerazioni energetiche.

         In situazione di regime la potenza erogata dalla pila W = E . I  sarà uguale a quella dissipata per effetto Joule:

                                                                                                                              

e da questa espressione si vede che la potenza erogata dalla pila è maggiore di quella i2R che va in calore nel circuito se dovessimo considerare solo un circuito con resistenza R. Quanto vale e dove va a finire questa energia in più ? Sembra evidente che essa debba essere pensata come immagazzinata dall’induttanza L sotto forma di energia magnetica chiamata energia intrinseca della corrente.

         Vediamo quanto vale tenendo conto che, da quanto ora detto, la parte di energia E in più di cui discutiamo deve riguardare il secondo termine della (2):

         avendo indicato con Eint l’energia intrinseca. Questo è il valore dell’energia intrinseca totale immagazzinata in una induttanza L percorsa da una corrente i (risultato del resto già trovato per altra via, nella sezione precedente).

CIRCUITO CON RESISTENZA E CAPACITA’ IN SERIE (R,C). CARICA DI UN CONDENSATORE

         Sia dato il circuito di figura seguente:

Quando T viene chiuso (trattino rosso di figura) delle cariche verranno inviate dal generatore V nel circuito. Supponiamo sia q = q(t) la carica che ha attraversato una sezione del conduttore all’istante t. Poiché è:

                                 

                                                                    

e ciò vuol dire che, quando si è caricato il condensatore, nel circuito non circola più corrente.

CIRCUITO CON RESISTENZA E CAPACITA’ IN SERIE (R,C). SCARICA DI UN CONDENSATORE

         Quanto visto riguarda la carica di un condensatore attraverso la resistenza R. Se invece cortocircuitiamo la pila di figura, il condensatore C si scaricherà attraverso la resistenza R:

Poiché V = q/C, nel nostro caso avremo q/C = Ri dove i è la corrente che si origina dalla carica q ancora presente nel condensatore C.

         All’apertura del circuito (pila cortocircuitata e tasto T aperto) si ha:

                                        

MUTUA INDUZIONE

         Due circuiti vicini e alimentati in cc, nella fase transitoria, per la legge di Faraday-Neumann-Lenz, inducono l’uno sull’altro una corrente. E’ anche possibile non considerare la fase transitoria se si dispone di un variatore di tensione (una resistenza variabile), nei due circuiti. Il flusso d’induzione magnetica concatenato con un circuito può essere messo in relazione con l’intensità della corrente che fluisce in quel circuito e con le intensità delle correnti che fluiscono in altri circuiti vicini. Consideriamo la figura seguente in cui vi sono due induttanze vicine, la prima, con un numero di spire N1, è alimentata da una tensione V1 e percorsa da una corrente I1, la seconda, con un numero di spire N2, è alimentata da una tensione V2 e percorsa da una corrente I2.

L’induzione magnetica in un certo punto situato all’interno del circuito 2 è costituita da una parte dovuta a I1 e da una parte dovuta a I2. Queste induzioni magnetiche sono direttamente proporzionali alle intensità delle correnti che le producono e potrebbero, in teoria, essere calcolate per mezzo della legge di Biot e Savart. Perciò, si può esprimere il flusso di induzione magnetica Φ(B) = Φ2 concatenato con il circuito 2 come somma di due parti; una parte è direttamente proporzionale alla corrente I1 e l’altra alla corrente I2:

(1)                                           Φ2 = L2I2 + M12I1

dove L2 ed M12 sono costanti. La costante L2, chiamata induttanza o coefficiente di autoinduzione del circuito 2, dipende dalla configurazione geometrica del circuito. La costante M12, chiamata induttanza mutua o coefficiente di mutua induzione dei due circuiti, dipende dalla configurazione geometrica di entrambi i circuiti. In particolare si può vedere che, se i circuiti sono molto distanti l’uno dall’altro, il flusso di induzione magnetica concatenato con il circuito 2 e dovuto alla corrente Il sarà piccolo e l’induttanza mutua sarà piccola. Un’equazione simile all’equazione precedente può essere scritta per il flusso di induzione magnetica concatenato con il circuito 1:

(2)                                             Φ1 = L1I1 + M21I2

L’autoinduttanza L1 dipende solo dalla geometria del circuito 1, mentre l’induttanza mutua M21 dipende dalla configurazione di entrambi i circuiti. Sebbene non sia evidente, si può dimostrare che in generale queste due induttanze mutue sono uguali:

(3)                                                    M12 = M21

e vale anche l’identità:

L’unità SI di induttanza è l’henry (H).

La mutua induzione può essere discussa anche con i circuiti di figura seguente:

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