Fisicamente

di Roberto Renzetti

Inizio con il riportare il Capitolo IV di un libro che scrissi per l’AIF di Roma nel 1980. Più avanti spero di riuscire a trascrivere anche gli altri capitoli.

CAPITOLO IV



Roberto Renzetti

INTRODUZIONE

           

E’ nostro compito ora andare a vedere in un modo un poco più formale le cose che abbiamo altrimenti discusso. Si tratta di descrivere con qualche semplice relazione matematica i risultati dei lavori di Bruno – Galileo – Newton.

            Cominciamo con il ricordare, nella sua moderna formulazione, il principio di relatività che abbiamo già visto:

Le leggi della meccanica hanno la stessa forma in tutti i sistemi inerziali;

oppure, che è lo stesso:

Le leggi della meccanica restano invariate rispetto a tutti i sistemi di riferimento animati di moto traslatorio uniforme gli uni rispetto agli altri.

            Come conseguenza del principio di relatività discende l’impossibilità, mediante esperienze di meccanica eseguite su di un sistema di riferimento, mettere in evidenza l’eventuale moto rettilineo uniforme (velocità costante) di tale sistema rispetto ad un altro supposto in quiete.

            E questo è un dato dell’esperienza quotidiana: se siamo in casa e ci versiamo acqua in un bicchiere ci aspettiamo che l’acqua vada nel bicchiere; allo stesso modo ci si aspetta che l’acqua vada nel bicchiere quando l’operazione avviene su di un treno, alla velocità che volete
 ma costante e lungo un percorso rettilineo (149). Si ricordi a questo punto il passo di Galileo, e relativo alla stiva di una nave, che abbiamo riportato nelle pagine precedenti (149 bis). In definitiva, se ci troviamo chiusi in un vagone blindato (e supponiamo un isolamento perfetto che ci impedisca di sentire vibrazioni, rumori od altro) non siamo in grado di capire se il vagone è fermo o in moto: le cose che comunemente facciamo vanno allo stesso modo in ambedue i casi. Il fatto è ancora più evidente (e qui non serve supporre alcun isolamento) quando ci troviamo su di un treno in una stazione. Quante volte ci è capitato di trovarci affiancati ad un altro treno ed al momento di una partenza non riuscire a capire chi si stava muovendo? Quello che abbiamo percepito è solo un moto relativo, ma, in assoluto, non siamo stati in grado di dire quale era il movimento “vero”. Anche qui c’è sempre venuto in aiuto spontaneamente il “buon senso”. Ci siamo affacciati al finestrino ed abbiamo guardato il marciapiede. Se eravamo fermi rispetto al marciapiede era l’altro treno che partiva, altrimenti era il nostro.

            Per illustrare questo fenomeno in un modo semplice e suggestivo si può ricorrere ad una locomotiva-giocattolo attrezzata in modo particolare (150). Il fumaiolo della locomotiva è in grado di “sparare” verticalmente verso l’alto una piccola pallina, la quale appena ha raggiunto il vertice della sua traiettoria ricade poi giù, dentro lo stesso
funaiolo che l’ha sparata. E questo naturalmente quando la locomotiva è ferma sul tavolo. Se poi gli date la carica e la fate camminare a velocità costante, vi accorgete che la pallina sparata ricade sempre dentro il fumaiolo. Evidentemente c’è l’opportunità con questa semplice esperienza, che tra l’altro si può eseguire con foto stroboscopi che, di evidenziare la stretta correlazione tra principio di relatività e principio d’inerzia (si tratta di sottolineare che la componente verticale del moto della pallina rimane immutata nei due casi). Anche qui osservando solo il fenomeno di ricaduta della pallina nel fumaiolo,
non siamo in grado di dire se la locomotiva è ferma o in moto.

LE TRASFORMAZIONI DI GALILEO


           

Abbiamo detto più volte che le leggi della meccanica sono le stesse per due sistemi di riferimento in moto relativo (rettilineo ed uniforme), l’uno rispetto all’altro. Dir questo non significa però che le posizioni e le velocità di un corpo siano le stesse per i due sistemi di riferimento in considerazione.

            Un oggetto in moto in uno dei due riferimenti sarà descritto in, un modo da un osservatore che si trova sullo stesso riferimento ed in un altro da un osservatore che si trova sull’altro.

            L’esempio che abbiamo fatto, di un oggetto in moto, è ancora particolare. Conviene dare una descrizione più generale e riferirsi anziché ad un fatto particolare, ad un fatto qualunque, più generale, che chiamiamo evento. Ebbene, un qualunque evento ha luogo in un determinato punto dello spazio e ad un certo istante. Noi sappiamo già
come rappresentare un punto nello spazio se il nostro spazio è un ordinario spazio euclideo con la sua rappresentazione cartesiana.

            La fig. 24 mostra che per indicare il punto P su un sistema di assi cartesiani 

ortogonali occorrono le tre coordinate x, y e z. Allora se il sistema di coordinate cartesiane rappresenta il nostro sistema di riferimento, l’evento P sarà localizzato nello spazio da x, y e z. Ciò però non basta per definire completamente l’evento. Serve anche dire l’istante in cui esso avviene e per far questo occorre introdurre una quarta coordinata: il tempo t. Ed in ultima analisi una quaterna x, y, z, t individua univocamente un evento. Un esempio semplice ci aiuta a capire questo fatto. Un aereo nello spazio è localizzato ad un certo istante da x1, y1, z1 e t1. Se un altro aereo si trova nella stessa
posizione spaziale x1, y1, z1, in un tempo diverso t2 non accade nulla di particolare, ma se per disgrazia esso si trova nella stesso posizione del primo aereo nello stesso istante t1, allora la quaterna  x1, y1, z1 e tdel primo aereo coinciderà con quella del secondo e ci sarà una collisione.

            Ebbene, le coordinate di uno stesso evento cambiano se cambiamo sistema di riferimento (151) dal quale osserviamo l’evento in questione.

            La fig. 25 mostra che, rispetto alla terra cartesiana Oxyz, il punto P ha coordinate 

P = (x, y, z); mentre, rispetto alla terra O’x’y’z’ il punto P ha coordinate P = (x’,y’,z’). Se supponiamo che P rappresenti un evento osservato nello stesso istante dai due riferimenti, ci convinciamo che osservatori diversi daranno “posizioni” diverse per P per
il semplice fatto che hanno l’origine, del sistema di unità di misura, spostata.

            La cosa è ancora più evidente se i due sistemi di riferimento sono in moto rettilineo uniforme l’uno, relativamente all’altro.

            Se consideriamo una palla che cade all’interno di un vagone in marcia con velocità v, essa verrà descritta con equazioni diverse da due osservatori che si trovino uno sul treno ed uno a terra.

            La palla si muoverà lungo un’asse verticale che ha l’orientazione positiva verso l’alto. Pertanto il viaggiatore che si trova sul treno descriverà il moto della palla (inizialmente nella posizione x0, y0, z0) con l’equazione del moto uniformemente accelerato:


y  =  y0 -— 1/2 gt2

egli, inoltre, non osserverà spostamenti diversi da quello verticale e dovrà ammettere che:



x = xo

z = zo

            L’osservatore solidale con la Terra vedrà le cose andare in modo diverso. La palla parte sempre da una determinata posizione che sarà ora x’0, y’0, z’0.

            Dall’istante in cui è lasciata cadere all’istante in cui arriva al suolo trascorre un tempo t nel quale il treno ha percorso un tratto d = v t. Ebbene l’osservatore a terra vedrà la palla cadere non verticalmente ma con una traiettoria parabolica dovuta al fatto che nel tempo necessario alla palla per arrivare al suolo il treno si è spostato del tratto d.

            Si dovranno pertanto comporre i due moti della palla, quello verticale lungo y’ e quello orizzontale lungo x’.

            In definitiva l’osservatore a terra descriverà il fenomeno così:



y’ = y’0 — 1/2 gt2

      x’ = x’0 + v t = x’0 + d

                                                            z’ = z’0



            Come si vede la descrizione lungo y’ e z’ è la stessa che si ha lungo y e z (a meno di una traslazione di coordinate). Si hanno invece descrizioni diverse lungo l’asse orizzontale.

            Nel far questo esempio abbiamo anticipato alcune cose non avendole spiegate compiutamente. Per farlo occorre procedere con ordine riprendendo da dove avevamo lasciato.

            Il problema che abbiamo è il seguente:
poiché la descrizione del moto è diversa in due diversi sistemi di riferimento, si tratta di trovare le leggi (le equazioni di trasformazione) che ci permettano di passare da un sistema di riferimento ad un altro.

            Note quindi posizioni e velocità di un certo oggetto, in un dato sistema di riferimento S (supposto fermo) si tratta di calcolarle in un altro sistema di riferimento S’ in moto rettilineo uniforme con velocità u rispetto al primo.

            A questo punto faccio una semplificazione che non modifica la sostanza del fenomeno ma rende più agevoli i calcoli: supponiamo che gli assi cartesiani ortogonali che rappresentano i nostri sistemi di riferimento abbiamo la stessa orientazione e che la direzione del moto (con velocità v) coincida con la direzione comune di un asse (x ed x’)
ed inoltre che al tempo t = 0 le origini dei due riferimenti coincidano. Insomma, si tratta di studiare il problema in una dimensione anziché complicarlo in tre dimensioni.

            Le ipotesi implicite che ammettiamo nel portare avanti le nostre operazioni di misura sui due sistemi di riferimento (si badi bene: con regoli ed orologi) sono:

a) i regoli (una volta confrontati e calibrati l’uno con l’altro a riposo), rimangono della stessa lunghezza quando si confrontano in moto relativo l’uno rispetto all’altro (152).;

b) gli orologi, una volta sincronizzati e calibrati a riposo, mantengono il loro ritmo e danno letture in accordo anche se sono in moto relativo l’uno rispetto all’altro (152). Ciò ci porterà a dire che in ogni caso t = t’.

            Riportiamo in fig. 26 i due riferimenti nell’istante t = 0 (o t’ = 0), quando, come 

abbiamo detto, le origini coincidono (per rendere più chiara la figura gli assi dei due riferimenti, che dovrebbero coincidere, sono stati disegnati un poco spostati l’uno rispetto all’altro).

            Chiamiamo ora S il sistema individuato dalla terna Oxyz ed S’ il sistema O’x’y’z’. Supponiamo poi che S’ si sposti, relativamente ad S (supposto in quiete), con velocità u. Poiché abbiamo semplificato il problema riportandolo ad una sola dimensione, non dobbiamo seguire gli spostamenti del corpo da studiare lungo gli assi y (e y’) e z (e z’);
dovremo solo studiare le sue posizioni e velocità sugli assi x ed x’. Pertanto sarà sufficiente riportare in figura solo le posizioni relative dell’asse x e dell’asse x’. In definitiva, dopo un tempo t = t’ = 0, i due sistemi saranno situati, l’uno rispetto all’altro, come riportato in fig. 27 (anche qui i due assi, che dovrebbero coincidere per le ipotesi iniziali, sono stati disegnati l’uno slittato rispetto all’altro). Il tratto d che in figura separa


O da O’ è il tratto che il sistema S’ percorre, marciando alla velocità u, nel tempo t (o t’), cioè: d = u t (oppure d = u t’).

            Dopo aver fissato tutti questi preliminari (che sono utili solo alla semplificazione della comprensione dei fenomeni senza modificarne il significato fisico), consideriamo un evento qualsiasi P che si svolga su S e descriviamolo da S’. Supponiamo che P rappresenti una pallina che si muova su S, lungo il verso positivo della x, con velocità v. Dopo un tempo t 
¹ 0 la pallina occupa su S la posizione x. La prima questione che si pone è: qual è la posizione x’ che l’osservatore su S’ misura per P?

In fig. 28 è riportata la situazione:

Si vede subito che: 

                        x = x’ + d         =>         x’ = x — d         =>          x’ = x — ut

Poiché poi non ci sono variazioni di posizione della pallina lungo l’asse y e lungo l’asse z, allo stesso modo non vi saranno variazioni lungo y’ e z’. Si potrà quindi scrivere:

                                                         y’ = y        e           z’ = z

Da ultimo ricordando l’ipotesi che il tempo scorre allo stesso modo nei due riferimenti (tempo assoluto) si potrà scrivere:

                                                                        t’ = t

            Abbiamo così un gruppo di equazioni di trasformazione (trasformazioni di Galileo) che ci permette, come volevamo, di passare dalla descrizione dell’evento (x, y, z, t) in S alla descrizione dell’evento (x’, y’, z’, t’) in S’. Ogni dato di S è trasformato in un dato di S’.

            Concludendo, la trasformazione di Galileo per la posizione è data da:


                                                            x  = x — ut
                                                            y’ = y
  (1)                                                      z’ = z
                                                            t’ = t


            L’esempio visto può essere letto in altro modo, in accordo con il principio di relatività; e cioè si può pensare il sistema S’ in quiete mentre il sistema S è in moto rettilineo uniforme a velocità u in verso opposto (cioè a velocità — u). Si può allora pensare la particella in moto su S’ e chiedersi cosa osserviamo su S. La situazione è illustrata in fig. 29

Anche qui si ricava subito che:

                                               x = x’ + d         =>      x = x’ + u t’


            Poiché valgono le considerazioni fatte prima a proposito di y, z e t, la trasformazione di Galileo in questo caso è data da:

                                                            x  = x ‘ + u t’
                                                            y  = y’
 (2)                                                       z =  z’
                                                             t =  t’

e la differenza di segno con la trasformazione precedentemente vista è mera conseguenza dell’avere considerato ora una velocità con verso opposto a quella vista prima:

                             [ x = x’ – ( – u t’)              =>           x = x’ + u t’ ] (153)

            Trovate le equazioni di trasformazione per la posizione cerchiamo quelle per la velocità utilizzando sempre una pallina nelle stesse condizioni dell’esempio precedente. Questa pallina si muove con velocità costante v in S; quanto varrà la sua velocità v’ in S’?

            Per far questo utilizziamo semplicemente la definizione di velocità in un moto rettilineo uniforme:  v = s / t  e quindi   v’ = s’ / t’. Nel nostro caso sarà:

                                               s = x– x1;             t = t2 – t1

                                              s’ = x’– x’1;           t’ = t’2 – t’1

            Ed allora risulta facile arrivare alla conclusione con una sostituzione e pochissimi passaggi. Si ha:

(3)                                                                


Sostituendo ora le relazioni (1) nella (3) si trova:

                                  
      

In definitiva si ha: 

                                                                    (4) v’ = v — u
e questa è l’equazione di trasformazione per le velocità che trasforma un moto uniforme in un altro moto uniforme.

            Per vedere cosa accade per l’equazione di trasformazione delle accelerazioni partiamo anche qui dalla definizione di accelerazione in un moto uniformemente accelerato (v  =  Δv / Δt) considerando la pallina P dotata di una accelerazione a su S. Quale sarà l’accelerazione a’ che la pallina risulterà avere su S’?

            Nel nostro caso è:

                                          Δv = v2 – v1             Δt = t2 – t1

                                                    Δv’ = v’2 – v’1          Δt’ = t’2 – t’1

Si ha allora:
(5)                                                                
                                                        

            Sostituendo la (4) e l’ultima delle (1) nella (5), con pochi passaggi, si trova:

                                                   



In definitiva si ha che:

(6)                                                                  a’ = a

fatto molto importante ma che per molti versi dovevamo aspettarci.

            Innanzi tutto la (6) dice che le accelerazioni di un corpo su qualunque sistema inerziale hanno un valore assoluto, non dipendono cioè dal particolare riferimento inerziale rispetto al quale le misuriamo.

            Inoltre il fatto che a’ sia uguale ad a garantisce la validità del 2° principio della dinamica (F = m a) (154) nei due riferimenti (e quindi in tutti i riferimenti inerziali), fatto questo che è addirittura tautologico perché eravamo partiti dall’affermare che i sistemi inerziali erano quelli sui quali valevano le leggi della meccanica ed ora ci troviamo a dire che su questi sistemi vale il 2° principio il quale è una legge fondamentale della meccanica stessa (155).

            Per concludere si può dire che la 2° legge della dinamica è invariante per una trasformazione di Galileo.

            Vediamo ora come vanno le cose quando consideriamo una delle più importanti leggi della dinamica: la conservazione della quantità di moto.

            Supponiamo che due palline P1 e P2, di massa rispettivamente m1 ed m2, in moto con velocità v1 e v2 lungo l’asse x di S, subiscano un urto ad un certo istante t.

            La conservazione della quantità di moto garantisce che la somma delle quantità di moto delle palline prima dell’urto sia uguale alla somma delle quantità di moto delle stesse dopo l’urto. Se w1 e w2 sono le rispettive velocità delle palline dopo l’urto, deve risultare in S:


(7)                                         m1 v1 + m2 v2 = m1 w1 + m2 w2

            Vogliamo ora osservare questo fenomeno dal sistema S’ che, ricordiamolo, è in moto con velocità costante u rispetto ad S (supposto in quiete).

            La quantità di moto totale delle due palline prima dell’urto sarà data da:

                                                     m1 v’1 + m2 v’2

   
         Applichiamo a questa relazione l’equazione (4) di trasformazione delle velocità. Otteniamo:

 m1 v’1 + m2 v’ =  m1 (v1 — u) + m2 (v2 — u) = m1 v1 — m1 u + m2 v2 — m2 u =

                            = m1 v1 + m2 v2 — m1 u — m2 u

Sostituendo la (7) in quest’ultima espressione si ha:

         m1 v’1 + m2 v’ = m1 w1 + m2 w2 — m1 u — m2 u = m1 (w1 — u) + m2 (w2 — u)

Ed in definitiva, se osserviamo che:   w1 — u  =  w’1   e    w2 — u  = w’2       risulta:

                             m1 v’1 + m2 v’2 = m1 w’1 + m2 w’2

e questa relazione dice che la quantità di moto si conserva anche se il fenomeno è osservato da un riferimento in moto con velocità costante u.

            Si può allora dire che anche la conservazione della quantità di moto è invariante rispetto ad una trasformazione di Galileo.

            Per concludere queste note, un’ultima importante considerazione su un’ipotesi implicita che abbiamo fatto rispondente semplicemente al buon senso. Non occorrerebbe neanche farla se non dovessimo poi tornarci sopra e se non sapessimo già che le cose in altre condizioni vanno in modo diverso.

            Ebbene l’ipotesi implicita in tutte le considerazioni che abbiamo fatto è che si possa parlare di simultaneità, che esistano cioè eventi simultanei.

            Il simultaneo è ciò che avviene allo stesso istante e due eventi sono simultanei se avvengono allo stesso istante di tempo.

            Quando abbiamo detto che le misure di lunghezza sui nostri riferimenti inerziali le facevamo con dei regoli, abbiamo nei fatti ammesso che per ogni lunghezza eseguivamo due misure: se, ad esempio, il risultato di una misura era una lunghezza x, in realtà noi facevamo coincidere il nostro regolo con l’origine O del sistema di riferimento
e con il punto di ascissa x; era questa coincidenza simultanea degli estremi del regolo con gli estremi della lunghezza da misurare che ci dava il risultato. E’ evidente che la misura debba essere simultanea; infatti il ‘non operare simultaneamente “sarebbe come se per determinare la lunghezza di un pesce che nuota misurassimo la posizione della coda ad un certo istante e quella della testa ad un altro istante”(156) (con la conseguenza che un pesciolino d’acquario risulterebbe lungo come uno squalo).

            La conclusione che si trae è quella ovvia che la fisica classica del resto postula: le misure di lunghezza sono, su differenti sistemi inerziali, assolute, cioè danno sempre gli stessi risultati su qualunque sistema inerziale si eseguano.

            Confrontando questo risultato con gli altri trovati o postulati, se ne trae che le tre grandezze alla base della meccanica (lunghezza, massa e tempo) sono invarianti rispetto ad una trasformazione di Galileo, esse non dipendono dal fatto che l’osservatore si muova o meno su di un sistema inerziale.



NOTE

(149) I guai cominciano quando il treno frena o accelera o fa una curva: in questo caso l’acqua aspettata nel bicchiere ce la troviamo sugli abiti. In tutti questi casi (variazione di velocità o di direzione) si ha l’insorgere di strani effetti dovuti all’introduzione di forze.

(149 bis) Dice Galileo per bocca di Salviati:

“Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sottocoverta di alcun gran navilio, e quivi fate d’aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d’acqua, e dentrovi de’ pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell’acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando allo amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a pie giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; che (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, ne da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma; voi saltando passerete nel tavolato i medesimi spazii
che prima ne, perché la nave si muova velocissimamente, farete maggior salti verso la poppa che verso la prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il tavolato sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto: e gettando alcuna cosa al compagno, non con più forza bisognerà tirarla , per arrivarlo, se egli sarà verso la prua e voi verso poppa, che se voi fuste situati per l’opposito; le gocciole cadranno come prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benché , mentre la gocciolina è per aria, la nave scorra molti palmi;’ i pesci nella lor acqua non con più fatica noteranno verso la precedente che verso la susseguente parte del vaso, ma con pari agevolezza verranno
al cibo posto su qualsivoglia luogo dell’orlo del vaso; e finalmente le farfalle e le mosche continueranno i loro voli indifferentemente verso tutte le parti, ne mai accaderà che si riduchino verso la parte che riguarda lo poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro al veloce cerso della nave , dalla quale per lungo tempo trattenendosi per aria, saranno state separate; e se abbruciando alcuna lagrima d’incenso si farà un poco di fumo, vedrassi ascender in alto ed a guisa di nugoletta trattenervisi, e indifferentemente muoversi non più verso questo che quella parte. E di tutta questa corrispondenza d’effetti ne è cagione l’esser il moto della nave comune a tutte le cose contenute in essa ed
all’aria ancora, che per ciò dissi io che si stesse sotto coverta; che quando si stesse al di sopra e nell’aria aperta e non seguace del corso della nave, differenze più e men notabili si vedrebbero in alcuni de gli effetti nominati; e non è dubbio che il fumo resterebbe indietro, quanto l’aria stessa; le mosche parimente e le farfalle, impedite dall’aria,
non potrebber seguir il moto della nave, quando da essa per spazio assai notabile si separassero; ma trattenendovisi vicine, perché la nave stessa, come di fabbrica anfrattuosa, porta seco parte dell’aria sua prossima, senza intoppo o fatica seguirebbon la nave, e per simil cagione veggiamo tal volta, nel correr la posta, le mosche importune e i tafani seguir i cavalli, volandogli ora in questa ed ora in quella parte del corpo; ma nelle gocciole cadenti pochissima sarebbe la differenza, e ne i salti e ne i proietti gravi, del tutto impercettibile”.

Questo brano, molto bello, dice certamente di più di qualunque altro discorso si voglia fare in proposito.

(150) Questo giocattolo l’ho visto all’opera al convegno del GIREP di Venezia nell’ottobre 1973. Era l’attrezzatura per una delle brillanti esperienze del prof. Miller. L’ho poi cercato in moltissimi negozi senza mai trovarlo. Penso che occorra costruirselo.

(151) I sistemi di riferimento presi in considerazione saranno, salvo avviso contrario, inerziali.

(152) Vedi Bibliografia 54, pag. 5. Ciò è in accordo con l’assunto di spazio e di tempo assoluto.

(153) Per ulteriori considerazioni sulle equazioni di trasformazione ora viste, vedi Bibliografia 54, pag. 6.

(154) II fatto che la massa non rimanga la stessa nei due riferimenti non è neanche preso in considerazione almeno fino agli inizi del ‘900.

(155) Si potrebbero fare altre considerazioni a proposito delle relazioni intercorrenti tra principio d’inerzia e 2ª legge della dinamica per le quali rimandiamo a Bibliografia 35, pagg. 262, 264.

(156) Vedi Bibliografia 54, pag. 7. 144





BIBLIOGRAFIA

(35)  E. Mach – La meccanica nel suo sviluppo storico-critico – Boringhieri. 

(54)  R. Resnik – Introduzione alla relatività ristretta – Ambrosiana.

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