Fisicamente

di Roberto Renzetti

Groningen, 8 febbraio 1700 – Basilea17 marzo 1782)

Figlio di Johann Bernoulli, nacque a Groningen in Olanda quando il padre teneva la locale cattedra di matematica. Suo fratello maggiore Nicolaus (II) e lo zio Jacob erano pure famosi matematici, così crebbe in un ambiente di matematici e scienziati, ma anche di rivalità, gelosie e ripicche.

Quando aveva cinque anni la famiglia tornò alla città di origine, Basilea, dove il padre succedette allo zio Jacob sulla cattedra di matematica e nacque il fratello minore Johann (II). Tutti e tre i fratelli volevano studiare matematica, ma il padre aveva progetti diversi e Daniel avrebbe dovuto intraprendere una carriera negli affari. Curiosamente anche il padre di Johann voleva costringerlo ad intraprendere la stessa strada, ma seppe resistere e imporsi, così sembra strano che a sua volta lui volesse obbligare il figlio!

Daniel fu così iscritto all’Università di Basilea a 13 anni per studiare filosofia e logica e ottenne il diploma nel 1716. Apprese anche la matematica dal padre e dal fratello maggiore e quando fu inviato da un mercante come apprendista si oppose con forza. Non ottenne tuttavia il permesso di studiare matematica, che secondo il padre non dava ricchezza, e fu iscritto all’Università per studiare medicina, prima a Basilea poi a Heidelberg e Strasburgo. Nel 1720 completò il dottorato a Basilea.

Il padre continuava ad istruirlo sulle sue teorie, specialmente sull’energia cinetica, e così applicò le sue conoscenze sulla conservazione dell’energia ai suoi studi di medicina nella sua tesi sulla meccanica della respirazione.

Intendendo intraprendere una carriera accademica fece domanda per una cattedra di anatomia e botanica e poi per una di logica, ma in entrambi i casi il sorteggio, come si usava al tempo, non lo favorì.

Deluso si trasferì a Venezia per fare pratica di medicina, intendendo anche perfezionarsi a Padova, ma a causa di una malattia non poté viaggiare e si dedicò alla matematica pubblicando il suo primo lavoro, Esercizi matematici, con l’assistenza di Goldbach. La seconda parte del trattato riguardava il flusso di acqua da un foro in un recipiente, discutendo la teoria (errata) di Newton, e dimostra che aveva già al tempo, anche grazie ai suoi studi di medicina, un forte interesse per il moto dei fluidi.

Progettò una clessidra che poteva essere usata sulle navi in quanto il flusso di sabbia rimaneva costante anche durante il rollio dovuto al mare mosso. Per questo ebbe un premio dall’Accademia di Parigi nel 1725.

Tornato a Basilea nel 1725, per la fama del suo trattato ebbe l’offerta di una cattedra di matematica a San Pietroburgo, contemporaneamente al fratello Nicolaus (II).

Dopo otto mesi però il fratello morì e Daniel, solo e insofferente al clima, chiese al padre di ritornare a Basilea. Il padre invece gli inviò il suo migliore allievo, Leonard Euler (Eulero) e questo periodo sarà per lui il più produttivo, fino al 1733 quando lasciò San Pietroburgo.

Insieme studiarono la meccanica dei corpi elastici vibranti, ricavando le forme che assume un filo elastico sottoposto a una forza con una componente verticale ed un’altra in direzione diversa (velaria, lintearia, catenaria ecc…).

Definì anche i modi propri e le frequenze di oscillazione di un sistema e mostrò che il movimento di una corda di uno strumento musicale è composto di un numero infinito di oscillazioni armoniche sovrapposte.

Si occupò anche di probabilità in economia politica e applicò alcune sue teorie alle assicurazioni (Paradosso di San Pietroburgo), ma il suo più importante contributo lo diede in idrodinamica, inventando anche il termine stesso nel titolo del suo trattato: Hydrodynamica, scritto prima di lasciare San Pietroburgo, ma pubblicato solo nel 1738.

Il libro tratta ancora del flusso di acqua da un foro in un recipiente, stavolta dandone la corretta spiegazione basata sulla conservazione dell’energia già studiata col padre nel 1720: quello che è ora chiamato teorema di Bernoulli. Tratta anche di pompe ed altri apparati per sollevare acqua.

In un capitolo pone anche le basi della teoria cinetica dei gas, riscoperte e rivalutate un secolo dopo, e persino un abbozzo dell’equazione di stato di Van der Waals.

Nonostante il buon lavoro svolto con Eulero soffriva ancora la permanenza a San Pietroburgo, dove era stato raggiunto anche dal fratello minore, e accettò una cattedra di botanica pur di poter tornare a Basilea, nel 1734, dopo avere viaggiato per Danzica, Amburgo, Olanda e Parigi.

Con un lavoro sull’astronomia partecipò al Grand Prix dell’Accademia di Parigi nel 1734, ma anche il padre Johann partecipava e furono dichiarati vincitori a pari merito. Ciò provocò le ire del padre, che non sopportava di essere messo allo stesso livello del figlio, e la conseguente rottura delle relazioni tra i due.

Daniel continuò ad essere in rapporto epistolare con Eulero, che grazie alle sue capacità analitiche metteva in forma matematica rigorosa le idee di Bernoulli, e ampliò nel frattempo il suo trattato di idrodinamica con un capitolo sulla resistenza dei fluidi e sulla propulsione delle navi.

Il Grand Prix del 1737 verteva sulla nautica, la migliore forma di un’ancora, e partecipò vincendolo ancora, questa volta insieme a Poleni.

Nel 1738 pubblicò finalmente l’Hydrodynamica, ma l’anno successivo il padre pubblicò Hydraulica, che attingeva largamente dal figlio, cercando di fare passare l’opera di Daniel come copiata col datare la pubblicazione al 1732. Questo indegno tentativo di attribuirsi le scoperte del figlio e screditarlo dimostra lo stato dei rapporti tra i due, anche se solo da parte del padre perché anzi Daniel scrive nel frontespizio della sua opera ‘Daniel Bernoulli, figlio di Johann’.

Le lezioni di botanica non erano tuttavia ciò che Daniel ambiva e ottenne di passare al corso di fisiologia nel 1743 e nel 1750 alla cattedra di fisica che tenne per 26 anni.

Le sue brillanti lezioni erano corredate da molti esperimenti e sembra che verificasse sperimentalmente alcune leggi ‘scoperte’ ufficialmente solo dopo molti anni come la legge di Coulomb in elettrostatica.

Continuò a vincere il Grand Prix dell’Accademia di Parigi, per un totale di 10, con lavori sulla teoria delle maree di Newton (insieme ad Eulero nel 1740), sul magnetismo (nel 1743 e ’46), sulla determinazione dell’ora in mare (1747), sulle correnti oceaniche (1751), sulle forze sulle navi con mare grosso (1753 e ’57).

Un suo contributo importante alla fisica matematica venne dall’integrare le teorie di Newton in meccanica con i metodi matematici di Leibniz e con l’uso del principio di conservazione dell’energia. Continuò anche ad occuparsi di oscillazioni, dando una elegante trattazione della vibrazione dell’aria nelle canne d’organo.

Un suo limite è stato di non avere colto i veloci cambiamenti che l’introduzione delle equazioni alle derivate parziali stavano arrecando alla fisica matematica del suo tempo e quindi di non avere potuto sviluppare completamente le sue buone idee.

In vita ebbe numerose onorificenze e fu eletto membro delle più importanti Accademie scientifiche del tempo, come Bologna, Parigi, Berlino, San Pietroburgo, Londra, Torino e Zurigo.

Letture consigliate

I. Grattan-Guinness. Daniel Bernoulli and the varieties of mechanics in the 18th century (visibile sul web all’indirizzo: http://www.nieuwarchief.nl/serie5/pdf/naw5-2000-01-3-242.pdf)

Link

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bernoulli_Daniel.html

Bibliografia

S. Bergia, G. Dragoni, G. Gottardi. Dizionario biografico degli scienziati e dei tecnici, Bologna, Zanichelli, 1999

AA.VV. Scienziati e tecnologi dalle origini al 1875, voll. I, II, III – Enciclopedia della Scienza e Tecnica (EST), Milano, Mondadori, 1975

AA.VV. Scienziati e tecnologi contemporanei, voll. I, II, III – Enciclopedia della Scienza e Tecnica (EST), Milano, Mondadori, 1976

http://www.todayinsci.com/

https://www.nobelprize.org/prizes/physics/

(pagina a cura di Antonio Gandolfi)

 (tratto da https://www.aif.it/fisico/dani

Con Bernouilli gli atomi entrano in una teoria matematica.

            Nel 1662 il chimico britannico Robert Boyle aveva trovato empiricamente la legge che ancora oggi porta il suo nome: in un gas ad una data temperatura il prodotto della pressione per il volume è costante (la pressione ed il volume sono tra loro inversamente proporzionali). E ciò vuol dire che, se si dispone di un gas in un recipiente, raddoppiando la

pressione P su di esso si dimezza il volume V; triplicando la pressione P, il volume si riduce ad un terzo; … In formula:

P.V  =  K,

dove K è una costante. Ebbene, nel 1738 D. Bernouilli ritrovò la stessa legge per via esclusivamente teorica a partire da ipotesi che avevano al centro la costituzione atomica del gas in considerazione. Cercherò di ricostruire i conti fatti da Bernouilli avvertendo che inserirò elaborazioni e perfezionamenti posteriori, ricavati principalmente da Joule e Maxwell intorno alla metà dell’Ottocento.

            Le ipotesi di Bernouilli sono le seguenti:

1) un gas è costituito da atomi in continuo movimento;

2) questi atomi, semplici sferette, sono piccole particelle sferiche il cui volume è trascurabile rispetto al volume totale occupato dal gas;

3) gli atomi non esercitano forze tra loro a distanza;

4) quando un atomo collide con un altro atomo o con la parete del recipiente la collisione è perfettamente elastica (non si perde energia).

            Un’idea di quanto Bernouilli pensava discende proprio da una figura che egli stesso riporta:

sono proprio le molte particelle costituenti il gas che, con i loro urti sulla parete superiore del recipiente sostengono il peso P. Ma passiamo ai conti di Bernouilli, semplificando il tutto con un recipiente di forma cubica, di lato d e quindi di volume V = d3:

in esso iniziamo con il sistemare un solo atomo di massa m. Anche qui semplifichiamo e supponiamo che la sua traiettoria sia parallela a quattro facce del cubo e perpendicolare alle altre due, come mostrato in figura. Questo atomo, ad un dato istante, abbia velocità v. Esso urterà su una parete del recipiente e, appena dopo l’urto, la sua velocità sarà rimasta invariata in modulo v, ma avrà verso opposto – v.

            Vediamo le cose dal punto di vista della variazione della quantità di moto. Prima dell’urto l’atomo avrà quantità di moto q1 = mv, dopo l’urto questa quantità di moto sarà q2 = – mv. La variazione della quantità di moto Δq in questo urto sarà data da:

Δq = q1  –  q2 = mv  –  (- mv) = 2 mv

L’atomo rimbalzerà alternativamente sulle due facce opposte della scatola. Vediamo quanto tempo t intercorre tra due urti successivi dell’atomo contro la stessa faccia. Si ha:

t  = 2d/v.

Ci chiediamo ora: quanti urti n farà su quella faccia il nostro atomo in un dato tempo, mettiamo Dt ? Questo numero n sarà dato dal tempo complessivo Δt, diviso per il tempo t che intercorre tra due urti successivi:

n  =  Δt/t         =>            n  =  Δt/(2d/v)  = (v/2d).Δt.

Quindi, per ogni urto si ha una variazione di quantità di moto pari a 2d/v; nel tempo Δt si ha il numero di urti ora visto; quale sarà la variazione totale di quantità di moto ΔQ nel tempo Δt? Si ha:

 .

Ma una variazione totale di quantità di moto nel tempo non è altro che il secondo principio della dinamica, quello che ci definisce la forza:

In definitiva, quell’atomo che rimbalza su quella superficie del cubo gli trasmette, nel tempo dato, una forza data dalla relazione precedente. Poiché poi questa forza la si esercita su una superficie (S  =  d2), si avrà a che fare con una pressione che è proprio il rapporto tra forza e superficie (P = F/S):

Occorre ora passare dall’uno all’enorme quantità di atomi che si hanno dentro il recipiente e lo facciamo con un ragionamento, dello stesso tipo di quello di Bernouilli che affrontava questo problema perché i suoi interessi principali erano statistici e probabilistici.

        Inizio tornando un poco indietro. Ho iniziato a parlare di una cosa che era una ipotesi semplificativa: il fatto che la traiettoria di quell’atomo fosse parallela a quattro facce e perpendicolare alle altre due. Potrebbe sorgere il dubbio che, il complesso dei ragionamenti sia vincolato a questa ipotesi ed infici le conclusioni. Non è così. Se la traiettoria fosse diretta come vi pare, noi possiamo sempre scomporre il vettore velocità nelle sue tre componenti spaziali parallele agli spigoli del cubo. Allora l’operazione che noi abbiamo fatto corrisponde ad aver studiato una sola delle tre componenti e, identici ragionamenti si possono fare per le altre due componenti, arrivando ad identiche conclusioni. Passo ora al numero degli atomi: essi avranno le traiettorie più varie ed urteranno in modo completamente imprevedibile le facce del cubo oltre ad urtarsi tra loro. Ma, anche qui, possiamo pensare di scomporre i vettori velocità di ogni singolo atomo sempre parallelamente agli spigoli del cubo. Cosa ci si aspetta? Che un terzo di queste componenti avrà una direzione spaziale, un terzo un’altra ed un terzo l’ultima! Insomma, non vi sono motivi per pensare che una direzione dello spazio sia privilegiata rispetto ad altre (in assenza di forze esterne). In tal modo, se il numero degli atomi nel cubo è N, quelli che dovremo considerare sbattere su una faccia (o come tali o come componenti delle loro velocità, il che alla fine è lo stesso), quella che abbiamo preso in considerazione, sarà N/3, cioè un terzo di quelli che abbiamo a disposizione. Ciò vuol dire che l’ultima relazione scritta si completa moltiplicandola per N/3:

Intanto si vede subito che al primo membro abbiamo il prodotto PV pressione per volume del gas. Occorre stabilire che il secondo membro è una costante per ritrovare la legge di Boyle. Ora su Nm/3 non vi sono dubbi (Nm rappresenta la massa totale del gas). Il problema si pone per v2. Questa quantità fu supposta costante ad una data temperatura (l’ipotesi era stata avanzata da Euler nel 1729 e non è scontata: occorreranno i lavori di Joule e Maxwell -1866 -, come accennato, per poter affermare una cosa del genere. In proposito si può vedere l’Appendice 5 al lavoro sulla Relatività pubblicato nel sito, nella sezione Fisica e Storia della Fisica dove si discute delle velocità molecolari). Posso provare a darne una giustificazione che però si serve di risultati posteriori, come la conservazione dell’energia.

            L’energia totale di tutti gli atomi costituenti il gas, sarà data, ad un dato istante, dalla somma delle energie cinetiche dei singoli atomi (si suppone naturalmente che tutti gli atomi abbiano la stessa massa m):

Ad un istante successivo, poiché gli urti sono perfettamente elastici, saranno cambiate le singole velocità degli atomi, ma la loro energia cinetica totale sarà ancora data dalla somma delle singole energie cinetiche:  

di modo che, per la conservazione dell’energia, dovrà risultare:

e cioè:

Quanto visto mostra che la somma dei quadrati delle velocità degli atomi è sempre costante. La precedente somma la si può allora scrivere:

dove:

rappresenta la media dei quadrati delle velocità dei singoli atomi e, comunemente, si chiama velocità quadratica media. Ciò vuol dire che ogni atomo può essere dotato di una qualunque velocità, ma è più probabile che abbia un valore vicino alla velocità media.

            In definitiva, con il lavoro di Bernouilli (e successive integrazioni), a partire dall’ipotesi atomica si ritrova una legge fisica che era stata trovata sperimentalmente. E’ la prima volta quindi che si ha a che fare con una vera e propria teoria fisica e non più con una speculazione filosofica.

Rispondi

%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: