Fisicamente

di Roberto Renzetti

Roberto Renzetti

PREMESSA

        Il Rinascimento vide il consolidarsi delle attività artigianali e commerciali che dall’Alto Medioevo si erano andate affermando ed avevano arricchito un nuovo ceto, la borghesia, che piano piano si proponeva come imprenditoriale e portatore di nuove istanze culturali. Il latifondo feudale venne sempre più attaccato. Si sentiva il bisogno di rompere con i vincoli statici del vecchio potere feudale, dell’intreccio di potere tra nobiltà e clero. La borghesia pretendeva spazi autonomi di espansione, spazi che riguardavano anche la richiesta e la ricerca di più ampie visioni culturali. Fu questa borghesia che si mostrò più interessata alla riscoperta dei classici, al qualcosa di nuovo di cui si sentiva fortemente il bisogno.

        Il forte impulso che ebbe la tecnica, il passaggio da produzioni con fortissimi connotati empirici alla voglia, da più parti avvertita, di tecniche e macchine sempre più affidabili e quindi alla richiesta di progettazioni più accurate, poneva la pressante richiesta di una scienza che si affermasse come supporto culturale alla produzione. La richiesta investiva anche ambiti culturali diversi. La vecchia cultura scolastica risultava chiusa ed opprimente per un ceto che aveva bisogno di espandersi. Le Università non rispondevano più, non si mostravano al passo con quanto nasceva e veniva proposto dal mondo civile. Gli insegnamenti dei docenti aristotelici erano fatti con un linguaggio metafisico che usava termini come sostanza ed accidentemateria e formaessenza ed esistenza  e vi erano manuali appositi che ponevano i problemi rimandando, per le soluzioni, alle opere di Aristotele indicandone la precisa referenza in cui cercare. La fisica era studiata per disputatio che prevedevano, ad esempio, interminabili sessioni per stabilire se il cioccolato era un liquido o un solido o cosa sarebbe cambiato nell’uomo se invece di avere cinque dita ne avesse avute sei. Uno studente che si iscriveva, qualunque fosse l’indirizzo di studi, doveva invariabilmente cominciare con logica, fisica e metafisica aristoteliche; proseguiva poi con la Meteorologia, con la Generatio et Corruptio e la Historia Animalium sempre di Aristotele; solo a questo punto, se aveva scelto medicina, poteva iniziare con Galeno ed Ippocrate.

        Fino ad allora uno “scienziato” veniva creato da un corso universitario lavorando su dispute infinite relative a questioni che quasi nulla avevano a che fare con quel mondo produttivo che invece andava crescendo. A partire dalla metà del ‘500 alle Università si affiancò la formazione che veniva data proprio dalle botteghe artigiane. È l’epoca degli ingegneri, degli architetti, degli idraulici, dei maestri d’opera la cui preparazione nasceva dalla soluzione di problemi pratici molto distanti dai sillogismi e, comunque, da ogni preparazione di tipo universitario. Questi “artisti”, per la prima volta accompagnarono la realizzazione delle loro opere con scritti, con elaborazioni teoriche che sarebbero diventate la base su cui altri avrebbero continuato, iniziando quel processo virtuoso di trasmissione di conoscenze che andava perfezionandosi. Ed è utile notare che questa esplosione di produzione, questa richiesta di nuovi saperi sempre più ancorati alla pratica, nasceva dalla crescente disponibilità di denaro che proveniva essenzialmente dalla Spagna che doveva armare i suoi eserciti con l’oro e l’argento proveniente dalle Americhe. Di queste ricchezze ne beneficiarono essenzialmente l’Italia e l’Olanda.

IRROMPE LA MATEMATICA

        Ancora nel XV secolo insigni educatori come Erasmo (1466 – 1536) e J. L. Vives (1492 – 1540) ritenevano non utile la matematica per la formazione delle persone poiché tendeva a distrarle dai fini pratici della vita. Gli stessi umanisti, che pure iniziarono a soffermarsi con interesse a guardare il mondo naturale circostante, si preoccuparono soprattutto della formazione morale dell’uomo aborrendo le dispute logiche che avevano luogo nelle prime università insieme agli insegnamenti della Scolastica. La sua riscoperta ebbe un duplice effetto spesso contraddittorio. Da una parte si intuirono le enormi possibilità ad essa collegate per lo studio della natura ma dall’altra si individuò la via più facile della numerologia e della mistica dei numeri. Ma questo duplice aspetto riguardava ogni tema che entrava all’attenzione degli studiosi in quell’epoca. Già si era manifestata una tale tendenza nella tradizione della Scuola Pitagorica. Ora di nuovo tornava l’armonia delle figure e delle proporzioni che con i numeri a lato avrebbero permesso di scoprire una qualche cabala nascosta, ad esempio nella Bibbia, una qualche formula magica che avesse permesso all’uomo di salvarsi o di scoprire una qualche verità trascendente. Le armonie divine dovevano avere una qualche relazione con cerchi, triangoli, quadrati ed altre figure geometriche tra cui, naturalmente, i solidi regolari. La stessa creazione doveva avere una matrice di matematica “spirituale” che era studiata a tal fine dai pitagorici del Rinascimento. Naturalmente su questo non vi era unità di pensiero. Coloro che ebbero approcci medici o chimici alla natura oscillavano tra la necessità delle chiavi matematiche di spiegazione delle osservazioni e la negazione di ogni influsso della matematica dei fenomeni. Un primo momento chiarificatore che servì a distinguere la matematica dalla numerologia si ebbe nella polemica tra Kepler e Rheticus. Secondo quest’ultimo l’astronomia copernicana non funzionava in quanto proponeva un mondo di 6 e non 7 pianeti (si ricordi che la Luna era considerata satellite e che il 7 era il numero perfetto dei pitagorici). Kepler, invece, distinse chiaramente le due cose rifiutando fermamente la numerologia (richiamandosi però ad una mistica che voleva la creazione del mondo come opera di Dio ed in quanto tale precedere la numerologia che era opera dell’uomo). Ciò che era in discussione era il primato di un principio esplicativo che molti individuavano nell’alchimia ed altri nella medicina(1). La matematica riuscì piano piano a farsi strada per la forte tradizione Platonica presente e per la sua immediata rapportabilità a temi mistici e religiosi. Resta comunque l’osservazione che per il suo stesso carattere e per la sua rappresentazione simbolica, la matematica restava limitata ad un ristretto numero di adepti che solo nel XVII secolo crebbe relativamente. Ma la matematica dei “classici”, alla quale occorre aggiungere opere originali, delle quali parleremo, che pian piano venivano elaborate: quelle di algebra di Tartaglia (1500-1557), di Cardano (1501-1576) e Viete (1540-1603) e l’invenzione dei logaritmi di Napier (1550-1617), da sola avrebbe potuto fare poco se non accompagnata da una miriade di testi di argomento vario che gradualmente erano riscoperti, tradotti e portati all’attenzione dei colti. Ma non tutti erano i canonici testi che oggi chiameremmo di argomento scientifico o quantomeno osservativo. Anzi, opere magiche, alchimistiche, astrologiche attrassero molto l’attenzione degli studiosi del tempo che spesso intrecciano loro conoscenze erudite in matematica con studi approfonditi nei vari rami suddetti.

        E’ di interesse osservare ancora che la matematica ebbe un merito fondamentale, quello di iniziare ad unificare un linguaggio che sempre più era per iniziati nelle varie tradizioni. Dai concetti astratti, dalle similitudini, dalle analogie, dai sillogismi, dalle proprietà di colori, suoni ed odori, dalle cause ed accidenti si passava sempre più ad un qualcosa che aveva un linguaggio univoco al quale non si poteva sfuggire con sofismi di varia natura. Furono essenzialmente i meccanicisti ad usare la matematica ed i suoi metodi ma, soprattutto, il suo linguaggio. E fu proprio la potenza predittiva di questo “linguaggio”, della sua univocità che permise, alla fine del Seicento l’affermarsi della tradizione meccanicista. Ma ciò non tragga in inganno: la scena era in gran parte occupata da altre vicende, da teologia, da magia, alchimia ed astrologia (le controversie su tali problematiche erano, all’epoca, forse più importanti di quella tra geocentrismo ed eliocentrismo). La scienza che noi oggi vogliamo vedere laica e scevra da inquinamenti irrazionali nasceva immersa in questa cultura (quanto si ritiene oggi scientifico nasceva mescolato al mistico addirittura nello stesso autore).

      Tutti gli autori concordano nel ritenere che, a partire da un certo momento storico (tra il Quattrocento ed il Cinquecento), i portati della tecnica nei campi della meccanica e dell’architettura civile e militare fecero riconoscere nella matematica uno strumento indispensabile. Particolarmente in Italia, dove meccanica, architettura ed arte avevano uno sviluppo clamoroso, si ponevano i problemi di misurazioni sempre più accurate di lunghezze, angoli, aree. Occorreva calcolare i volumi, fare degli studi prospettici, di simmetria. Si passò così dalle cose realizzate per mera intuizione alle cose progettate razionalmente con l’uso di proporzioni, simmetrie ed armonie. Fu nel Quattrocento, in Italia, che si iniziò la pubblicazione di svariate opere che facevano largo uso della matematica: opere di Brunelleschi, di Leon Battista Alberti, di Piero della Francesca (che ci fornì la “divina proporzione”, la sezione aurea), di Francesco di Giorgio Martini, di Luca Pacioli, di Biringuccio, di Agricola. Come si vede si tratta in massima parte di architetti ed artisti di varia natura che per la prima volta ci offrono opere che nascono ampiamente studiate e progettate con l’ausilio della matematica. È chiaro che la ricerca era delle migliori proporzioni, dell’armonia; è quindi evidente che sullo sfondo campeggia l’immagine del platonismo, sia nella sua veste pitagorica che in quella eudossiana. Elemento di grande importanza è che svariati autori iniziano a pubblicare trattati di matematica scritti in modo divulgativo, molto chiaro, accessibile a molti. La matematica inizia anche ad entrare come insegnamento impartito nelle Università, anche se non allo stesso rango di logica e dialettica (si pensi che come “matematico” Galileo guadagnava dalle cinque alle dieci volte meno dei suoi colleghi filosofi che insegnavano nella stessa Università). Gli studenti cominciano a diventare curiosi ed esigenti. Prima ci si accontentava dell’esposizione degli “Elementi” di Euclide, ora si volevano conoscere tutte le applicazioni pratiche della matematica, si volevano apprendere cose che poi, appena terminati gli studi, sarebbero state di immediata utilità. La domanda era così grande che addirittura sorse la professione di matematico pratico (il primo manuale di matematica pratica è l’Aritmetica di Treviso del 1478 – alla quale seguiranno gli Elementi di Euclide in latino nel 1482 – in cui compare la prima chiara spiegazione della moltiplicazione e della divisione!). E nel frattempo venivano pubblicate, in traduzione latina, opere di classici greci fino ad allora sconosciute. La prima edizione latina a stampa di Euclide vide la luce a Venezia nel 1482. Nella prima metà del Cinquecento vennero pubblicate traduzioni latine di Archimede, Apollonio e Diofanto e da F. Commandino (intorno al 1560) traduzioni di Euclide, Apollonio, Pappo, Erone, Archimede ed Aristarco. Pian piano i seguaci di Archimede crebbero. Ed ecco Niccolò Tartaglia, Guidobaldo dal Monte, Giambattista Benedetti, Giambattista Della Porta, Gerolamo Cardano.

Niccolò Tartaglia

Geronimo Cardano

        Sono tutti grandi matematici che porteranno l’algebra, la geometria e l’aritmetica a risultati del tutto insospettabili solo qualche decennio prima ed anche nel periodo più fulgido dei matematici greci. Si realizzò anche una svolta decisiva che vide l’algebra assumere il primato sulla geometria, a seguito proprio dei suoi più recenti successi (Tartaglia ci terrà a sottolineare che le sue elaborazioni non sono tratte né da Platone né da Plotino). Ed ecco ancora Bombelli, insieme all’intera scuola dei matematici bolognesi, che riesce ad affrancare la matematica dal suo uso pratico ed a farla marciare per sue linee di sviluppo totalmente indifferenti ad ogni applicazione pratica.

        Ma di tutto questo ci occuperemo nella terza parte di questo lavoro che partirà proprio dai contributi degli artisti e dei matematici per arrivare a tutte le premesse che saranno costruite per l’elaborazione dei lavori di Galileo.

GLI ARTISTI E GLI ARCHITETTI

    Vediamo qualcosa di questi artisti ed architetti, per capire meglio.

La cupola di Santa Maria del Fiore a Firenze di Brunelleschi

La cupola di Santa Maria del Fiore a Firenze di Brunelleschi. “Vedendo qui struttura sì grande, erta sopra e’ cieli, ampla da coprire con sua ombra tutti e’ popoli toscani, fatta sanza alcuno aiuto di travamenti o di copia di legname, quale artificio certo, se io ben iudico, come a questi tempi era incredibile potersi, così forse appresso gli antichi fu non saputo né conosciuto? [Leon Battista Alberti, De pictura]
 

La facciata di Santa Maria Novella di Leon Battista Alberti

La Madonna dell’uovo di Piero della Francesca

La Flagellazione di Piero della Francesca

Città ideale, attribuito a Piero della Francesca e alla sua scuola ma anche a Luciano Laurana e Bartolomeo di Giovanni Corradini

Natività di Cristo di Francesco di Giorgio Martini

Città ideale di Francesco di Giorgio Martini

Città ottagonale  a 16 vie radiali ed anulari a spirale. Da un disegno di Francesco di Giorgio Martini.

    Queste sono alcune delle cose di eccellenza fatte dagli artisti ed architetti del Rinascimento italiano precedentemente citati. Non è mio compito commentare queste meraviglie e non serve dire altro per ciò che è di nostro interesse. Vedere in queste opere, oltre all’infinita fantasia e creatività, una costruzione matematica che si occupa di geometria e prospettiva è fin troppo facile.

I MATEMATICI

    In ordine cronologico il primo nome che incontriamo è quello di Piero della Francesca (c. 1412 – 1492), uno dei massimi artisti del Quattrocento che fece della ricerca delle proporzioni guidate dalla matematica, che egli ritiene una scienza superiore e sicura, una delle caratteristiche delle sue opere. Sul finire della sua vita scrisse l’importante De Perspectiva Pingendi, il Libellus de quinque corporibus regularibus ed il De Abaco. Per Piero della Francesca non basta più l’occhio per costruire la prospettiva ma occorre servirsi della geometria. Infatti egli definisce la prospettiva una vera scientia e dedicò ad essa molto lavoro anche teorico, nei 3 volumi del De Perspectiva (che non fu mai pubblicata ma data in omaggio ai duchi di Montefeltro) che è un’opera in cui vi è un intreccio di geometria, con una

Una pagina del manoscritto De perspectiva Pingendi

precisa impronta euclidea, e disegno anche tecnico ammirevole. Il primo volume si occupa di geometria piana con molti disegni che lo illustrano, il secondo volume studia la rappresentazione prospettica dei solidi mentre il terzo prosegue con lo studio della prospettiva per corpi comunque complessi. Tralasciando il De abaco che è un semplice manuale di calcolo, è interessante dire qualcosa sul Libellus (pervenutoci in unica copia manoscritta in un codice rinvenuto nella Biblioteca Vaticana). Lo stesso titolo dice che l’autore si occupa qui dello studio e del disegno dei 5 solidi regolari (mai prima disegnati in forma stereometrica), che Platone aveva descritto nel Timeo e dei quali egli cerca relazioni, e dei solidi semiregolari. Ebbene, quest’opera fu nota fin dai primi anni del Cinquecento come opera di Luca Pacioli (1445 – dopo 1509) e non di Piero della Francesca.

Ritratto di Luca Pacioli attribuito a Jacopo de’ Barbari (secolo XVI)

    Giorgio Vasari ne Le vite (1550) racconta che Pacioli, che era in rapporti con Piero della Francesca,  nel 1509, pubblicò il suo famoso De divina proportione in

Il ritratto di Luca Pacioli (al centro) che compare sulla sinistra della Madonna nella Madonna dell’uovo.

lingua volgare, e che il Libellus entrò all’interno di questo lavoro come uno dei primi plagi della storia che conosciamo. E’ di grande interesse dire che quest’opera del Pacioli fu illustrata da Leonardo da Vinci, con il quale vi erano stretti rapporti

Tre disegni di Leonardo nell’opera di Pacioli, De divina proportione

di amicizia (ricordo che Pacioli tentò di istruire Leonardo in matematica). Discutere quindi dei lavori matematici di Piero della Francesca è discutere di Pacioli che, oltre al De divina proportione, aveva scritto già un’altra opera degna di nota: Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni,  e Proporzionalità (1494), opera che aveva regalato a Leonardo da Vinci perché imparasse la matematica. La Summa di Pacioli è una specie di enciclopedia delle matematiche (aritmetica ed algebra) pure ed applicate che, all’epoca, risultò molto utile e fu ampiamente utilizzata. In essa viene applicato il calcolo algebrico allo studio delle proprietà geometriche delle figure, fino alla risoluzione di equazioni di quarto grado. Fatto notevole è che in questa opera si espone sistematicamente, con dettagli ed esempi, ed in modo organico gli elementi pratici della contabilità a partita doppia (già nota ma in modo confuso ed empirico), con cenni al calcolo delle probabilità e dei logaritmi (la borghesia era sempre più ricca e la finanza e le banche erano in piena attività). Quest’ultima caratteristica, oltre a far assegnare a Pacioli il titolo di ragioniere, rese l’opera molto richiesta in tutta Europa dove trovò un continuatore in Stevin di Bruges. Ma l’opera per noi di maggior interesse,  per quanto anticipato, è il Libellus e particolarmente per il fatto che qui si studia la divina proporzione (oggi nota come sezione aurea) che Pacioli introduce così:

Divina proporzione, opera a tutti gli ingegni perspicaci e curiosi necessaria ove ciascun studioso di prospettiva, pittura, architettura, musica e altre matematiche soavissima sottile e ammirabile dottrina conseguirà e dilettarassi con varie questioni di segretissima scienza
 

    La divina proporzione ha una storia millenaria e, per quanto se ne sa, risale alla scuola di Pitagora che scoprì alcune proprietà del pentagono che era il simbolo della setta. Se nel pentagono si tracciano le cinque diagonali esse si incontreranno in cinque punti che, a loro volta, sono vertici di un altro pentagono regolare. Inoltre ognuno di questi punti divide la diagonale su cui si trova in due segmenti di diversa lunghezza la più lunga delle quali è media proporzionale tra l’intera diagonale e la parte rimanente. Cioè:

diversa lunghezza la più lunga delle quali è media proporzionale tra l’intera diagonale e la parte rimanente. Cioè, riferendoci alla diagonale EB ed al suo punto d’intersezione F con la diagonale AD:

EB : BF = BF : EF

ed una tale proporzione si può scrivere per ogni diagonale e per ogni punto in cui un’altra diagonale la interseca. Ebbene, quella parte di segmento medio proporzionale tra l’intero segmento e la parte rimanete individua una proporzione divina (in grecia si chiamava sezione e basta). Se si passa i numeri tale rapporto fornisce un numero Φ (leggi phi) che è un numero irrazionale con valore Φ = 1,618033989 … numero che si ricorderà avevamo trovato anche con i numeri della successione di Fibonacci (vedi articolo precedente). Una piccola osservazione di passaggio: si è discusso sul fatto se l’irrazionalità fosse stata scoperta dalla scuola pitagorica qui o nel caso della diagonale del quadrato ma la cosa è davvero difficile da risolvere in mancanza di documenti.

    La divina proporzione trovò adeguata sistemazione nella Proposizione 11 del Libro II degli Elementi di Euclide:

Dividere una retta data in modo che il rettangolo compreso da tutta la retta e da una delle parti sia uguale al quadrato della parte rimanente

e la dimostrazione che ne dà Euclide è diversa da quella che usualmente studiamo oggi, basata su una costruzione con riga e compasso(2).

    Nel corso dei secoli questa divina proporzione è stata utilizzata in architettura (Partenone) ed in opere d’arte (Fidia) ma è nel Rinascimento che essa assume un valore paradigmatico della ricerca di perfezione attraverso la matematica. E così, a partire da Leonardo, la troviamo in Piero della Francesca, in Leon Battista Alberti ed in svariati altri artisti che fanno le loro opere con delle suddivisioni delle scene rappresentate in base alla divina proporzione. Faccio un solo esempio perché questa discussione esula dallo scopo del lavoro. Riprendiamo la flagellazione di Piero della Francesca e consideriamo i punti A, B e C da me riportati. Se si

esegue una misura si scopre che il centro della scena, Gesù, è sistemato, rispetto alle due colonne in primo piano, nel punto C che suddivide il segmento AB secondo la divina proporzione, cioè: AB : AC = AC : BC. A prescindere dalle costruzioni prospettiche che sono alla base di tutte le opere rinascimentali, analoghe costruzioni a quella ora vista, si possono fare per la Gioconda, per l’Uomo Vitruviano, per l’Ultima Cena, ma anche per le facciate delle chiese come Santa Maria Novella, Sant’Andrea di Mantova, …

    Ecco allora che l’ideale rinascimentale inizia a delinearsi con chiarezza: la ricerca di perfezione, il bello, l’armonia, le proporzioni, tutti elementi sotto i quali soggiace la potenza della matematica che ora viene riconosciuta come fondamentale elemento di conoscenza. Esemplificativo di ciò è quanto sostiene il geometra platonico Petrus Ramus (Pierre de la Ramée, 1515 – 1572):

L’uomo è confinato nei limiti angusti del corpo, come in una prigione, ma la matematica lo libera, e lo rende più grande dell’intero universo […] E’ la matematica che gli offre il possesso della sua vera eredità originaria, paterna, e che lo illumina con le prove di questo prezioso possesso, gliene conferma la validità, adducendolo fino alla loro origine divina. L’uomo è sballottato qua e là, senza meta, dalla tempesta violenta delle passioni, la matematica gli restituisce la pace interiore, risolvendo armoniosamente i moti opposti dell’anima, e riconducendola sotto la guida della ragione, all’accordo e all’armonia [Istituzioni dialettiche]

     Siamo ancora in ambito platonico, in attesa di incontrare la tradizione empirica.

     Per concludere con Luca Pacioli, resta da dire che la sua Summa (ma anche gli altri suoi lavori) è d’interesse perché segna il confine con i tre secoli precedenti. Da questa opera si capisce che per centinaia d’anni non s’è fatto nulla e che, se si vuole avanzare, occorre partire da lì.

    Il momento era favorevole ed altre elaborazioni si susseguirono in quegli anni, tali da iniziare a costruire un importante corpo di conoscenze fondamentali per gli sviluppi applicativi che non tarderanno(3). Vi è qui da fare un importante inciso. Fino ad ora un qualunque lavoro di ricerca o compilazione diventava un manoscritto. L’autore dell’opera poteva, con somma fatica, farne una copia per donarla ad un amico o poteva pagare un copista che lavorasse per lui. Chi riceveva l’opera e la riteneva d’interesse poteva egli stesso fare analoga operazione di moltiplicazione. Di modo che la crescita del numero delle copie era spesso affidata a una sorta di casualità. Sul finire del Quattrocento entra in uso l’invenzione che nel 1450 era stata di Gutenberg, la stampa con caratteri mobili(4) che permette di disporre di molte più copie di uno stesso esemplare manoscritto con il non piccolo vantaggio di avere copie identiche, senza più il rischio di propagazione di errori e/o interpretazioni. La stampa comporta anche un qualcosa che Paolo Rossi ha bene evidenziato: la pubblicazione di incisioni che permettono di vedere ad un grande pubblico cose prima mai viste. Altro evento notevolissimo del finire del Quattrocento (1453) è la caduta di Costantinopoli con due conseguenze: il riversarsi in Occidente di molti manoscritti lì conservati (quelli che non sono andati distrutti) ed anche di vari studiosi in cerca di scampo. Altro evento che segnerà gli anni di cui discutiamo è la pubblicazione (1517) da parte di Lutero delle 95 tesi contro la corrotta Chiesa di Roma a che fa mercato di indulgenze; tale pubblicazione darà l’avvio alla Riforma protestante che nasce proprio per la diffusione della lettura della Bibbia che la stampa ha permesso ma anche per cause più profonde da ricercarsi: nell’ostilità della borghesia finanziaria all’insopportabile fiscalismo della Chiesa, nei nazionalismi che rifiutano la romanità, dalle rivolte sociali contro i proprietari terrieri, i nobili e la monarchia sempre alleati della Chiesa, nel rifiuto dei dotti dell’egemonia culturale della Chiesa. E’ su questa base che occorre giudicare da ora il successo e la diffusione delle elaborazioni di scienziati ed artisti. Più oltre entrerà in azione la Controriforma che, con l’Inquisizione, tenterà di soffocare ogni novità e dissenso, ma ora è la stampa che interessa per la moltiplicazione delle informazioni che permette. Già le opere di Pacioli erano state date a stampa e la prima opera stampata su argomento matematico fu l’Aritmetica di Treviso, scritta in dialetto veneziano da autore ignoto,  nel 1478. Su questa opera che ebbe una grande diffusione e che fu imitata  dall’Aritmetica tedesca  e dalla Bamberger Rechenbuch del 1483, occorre dire qualcosa. Essa mostra quali erano i livelli ordinari di conoscenza alla fine del Quattrocento: mentre non si parla di addizione e sottrazione, si dedica ampio spazio a moltiplicazione e divisione che, a quanto pare ed in modo che noi non siamo in grado di cogliere appieno, risultavano molto complesse. Viene trattata la moltiplicazione in colonna (per colonna), quella a croce (per croxetto), quella con la scacchiera (per scachiero) che si suddivide in cinque modi diversi, uno dei quali è quello da noi utilizzato. Vi sono poi due modi per fare divisioni, a seconda del numero delle cifre del divisore, quello in colonna e quello in battello (per batello). Vi sono poi trattate: la prova del 9, la regola del 3, il calcolo delle mescolanze per determinare la quantità di metalli preziosi nelle leghe. Seguono vari e diversi problemi, in gran parte di uso pratico.

    Al di là di pochi cenni, non occorre ora andare a ricercare risultati particolari di questo o quel matematico. Tanto vasta fu la loro opera che un tal lavoro richiederebbe uno spazio enorme. E’ invece utile indicare un clima, un nuovo entusiasmo che a partire dagli algebristi italiani del triangolo Venezia, Bologna, Milano si diffuse nel resto d’Italia e d’Europa. Serviva un qualche successo che desse fiducia ai nuovi scienziati e questo venne quando piano piano furono abbattuti i muri della risoluzione completa delle equazioni di secondo grado con l’introduzione dei numeri immaginari, con la scoperta di sistemi generali per la soluzione di equazioni di terzo e quarto grado, con l’introduzione di agili simbologie che permisero il decollo dell’algebra e la sua conquista del primato rispetto alla geometria. Solo qualche anno prima Pacioli vedeva come un sogno la soluzione generale delle equazioni di secondo grado. Ed ora era fatto. Questi successi dettero grande fiducia ai matematici ed essi inizarono un lavoro molto fruttifero su terreni vergini. Dopo oltre 1500 anni, per la prima volta iniziò a dissolversi il peso dell’inferiorità rispetto al sapere dei classici ellenisti. Anche ora era possibile fare cose egregie all’altezza di quelle eccellenti fatte dagli Euclide, Archimede, Apollonio. Ed era anche possibile volare molto oltre le cose egregie fatte dagli arabi. La paralisi che prendeva tutti perché sembrava che tutto fosse stato fatto e sembrava addirittura blasfemo confrontarsi con gli Elementi, era vinta. Ormai la matematica era tornata adulta e poteva nutrirsi dei suoi abbondanti prodotti che, da questo momento, non mancarono alimentando con essi anche le altre scienze che, nel contempo, crescevano.

Così era raffigurato lo scienziato agli inizi del Cinquecento in una tavola dell’edizione parigina di Boezio del 1503.

     Iniziarono Scipione Dal Ferro (1465 – 1526) e Nicolò Tartaglia(5) (c. 1499 – 1557) a dare, indipendentemente, la soluzione dell’equazione di terzo grado mancante del termine di secondo grado (ax – b = x3). Restava qualche difficoltà nei casi in cui comparivano le radici quadrate di numeri negativi. Furono Gerolamo Cardano (1501-1576) insieme al suo discepolo Ludovico Ferrari (1522-1565) che dettero il metodo di risoluzione delle equazione di terzo grado complete. E fu Rafael Bombelli (1526-1572) che dette il contributo decisivo alla risoluzione del problema delle radici ad indice pari di numeri negativi con l’introduzione dei numeri immaginari. Ciò permise di rimettere mano a tutto ciò che era restato in sospeso, come la soluzione di equazioni di secondo grado complete, quelle di terzo e quarto grado nei casi più generali. E’ il momento del passaggio definitivo dall’algebra sincopata all’algebra simbolica.

      L’opera che descrisse nel modo più ampio e completo gli ultimi sviluppi e successi dell’algebra è la famosa Ars Magna di Gerolamo Cardano(6) che segna la data d’inizio dell’algebra moderna. Troviamo in questa opera lo svolgimento di quella che oggi conosciamo come teoria generale delle equazioni algebriche. Si discute di relazioni tra soluzioni e coefficienti, del rapporto esistente tra grado di un’equazione e numero di soluzioni reali, del modo di trovare soluzioni approssimate, del modo di abbassare di grado un’equazione quando sia nota qualche sua radice, del modo di realizzare trasformazioni razionali delle equazioni. A questa opera il Cardano ne fece seguire delle altre che non ebbero però stesso valore dell’Ars magna a parte la Regula aliza, che ha un titolo enigmatico che qualcuno dice di provenienza araba (regola complicata). In essa Cardano studia ancora le equazioni irriducibili e risolve alcuni problemi di massimo. Servirà l’opera di Bombelli per completare la teoria delle equazioni, per la soluzione completa di quelle di quarto grado e per la soluzione di quelle irriducibili di terzo grado. Nel tentare tali soluzioni, tenendo anche d’occhio le difficoltà incontrate da Cardano (che per la verità aveva qua e là utilizzato senza enfasi qualche radice di numero negativo che egli chiamava quantità selvatiche, sofistiche e lontane dalla natura dei numeri), egli si scontrò con il problema dei numeri immaginari. Serviva molto coraggio a fare questo passo ed egli lo fece. Il rompicapo nasceva dal fatto che anche per avere soluzioni reali occorreva passare per questi numeri selvatici. E la cosa era stata messa in chiaro dallo stesso Cardano con esemplificazioni del tipo di quella che riporto di seguito. Supponiamo di avere l’equazione di terzo grado:

x3 + px – q = 0

nella sua risoluzione incontriamo l’espressione:

e, se siamo in un caso di irriducibilità (secondo membro sotto radice maggiore del primo membro), tale espressione è radice di numero negativo e quindi un numero immaginario. Il fatto è che ciò sussiste sempre, anche quando l’equazione ha poi soluzioni reali. Vediamo un esempio numerico. Sia data la:

x3 – 15x – 4 = 0

l’espressione vista prima è in questo caso:

anche se l’equazione ammette le tre soluzioni reali:

 ;  

    Bombelli lavorò molto su queste cose incomprensibili e inventò formule di trasformazione tali che gli permisero di risolvere il problema solo con l’introduzione di numeri immaginari (non voglio addentrarmi in tali questioni di grande rilevanza teorica; dico solo che, ad esempio, il quadrato di due numeri immaginari è un numero reale). A tal proposito rimane solo da dire che il nome immaginario fu introdotto da Descartes e che il simbolo (unità immaginaria)

fu introdotto da Leonard Euler.

     I risultati di Bombelli furono parzialmente pubblicati nei tre volumi della sua Opera d’Algebra del 1572 (ma scritta nel 1550). A questi ne seguirono altri due, importanti per l’apertura all’algebra moderna, nei quali si ricerca la giustificazione dei risultati nell’algebra stessa senza più passare per la geometria. E’ l’apertura completa alla geometria analitica (Descartes) ed all’analisi infinitesimale (Newton e Leibniz) che, infatti, non tarderanno ad emergere e ad imporsi (7).

     Il lavoro di questi algebristi fu continuato dal francese François Viète (1540 – 1603) seguace di Platone, di Diofanto e di Cardano che fece anche importanti incursioni nella trigonometria.

    Anche Viète si occupò della risoluzione di equazioni inaugurando lo studio di quelle a coefficienti negativi o irrazionali e di ogni artificio utile a semplificare equazioni di grado superiore (Isagoge in artem analyticam, 1591) . Lavorò anche a quelle che oggi conosciamo come scomposizioni di polinomi. A lui sono dovute le note formule:

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

e studi su espressioni di grado superiore al terzo. Studiò soluzioni approssimate di una qualsiasi equazione e iniziò a tentare la scomposizione in fattori di un polinomio qualunque. Introdusse un simbolismo ancora più agile a quello introdotto dagli italiani (una sorta di parentesi per individuare dei polinomi, un modo più semplice per indicare le radici, delle lettere al posto di numeri distinguendo le lettere per le incognite da quelle per i termini noti).

    Oltre all’algebra, come accennato, Viète dette contributi anche alla trigonometria (Canon mathematicus, 1571). A lui si deve il teorema del coseno per la risoluzione di triangoli qualunque, le formule della moltiplicazione degli archi che passano dal 2α e dal 3α all’nα con un utile strumento per la compilazione di tavole goniometriche, il teorema delle tangenti (che era già noto in Olanda), le formule di prostaferesi (che erano state introdotte da Werner), il teorema delle proiezioni (già enunciato da Thyco). Ma, al di là di supposte priorità, è importante sottolineare che ogni ramo della matematica nota è ormai maturo ed altri, fondamentali, se ne aprono. Come chiosa ai lavori di questo grande matematico, non è banale dire che era molto ricco e che le opere se le pubblicava a sue spese.

    Siamo a questo punto arrivati ad intersecare il Seicento, al momento in cui l’insieme del mio lavoro, che partiva 4000 anni prima, con egizi e babilonesi, termina. Eventuali raccordi sono abbastanza facili a questo punto ed io, con la matematica lascio. E’ invece importante passare ad un campo di indagine rimasto in ombra per molti secoli, l’astronomia.

L’ASTRONOMIA

        Abbiamo intravisto nella carrellata secolare fatta che in astronomia, dai tempi di Tolomeo, cioè da 1300 anni, non si è andati avanti. Si sono affinati degli strumenti. Si sono soprattutto fatte molte osservazioni che hanno precisato posizioni e cambiamenti nel cielo. Il complesso di fisica ed astronomia di Aristotele è dominante attraverso il sistema di Tolomeo. Qualcuno ha avanzato qualche obiezione, si è fatta qualche modifica ma quell’imponente impianto è lì con tutti i problemi che comportava e che gli arabi avevano iniziato a porsi. Soprattutto quello della descrizione di fenomeni che dovessero poi rappresentare la realtà e non mere costruzioni matematiche. Questo era uno dei problemi principali: si sono sempre salvate le apparenze secondo il dettato di Platone ma sempre si sono descritte le cose del cielo in modo assolutamente artificioso, con una matematica di cerchi e circonferenze che se soddisfano certe spiegazioni sembrano realisticamente impossibili. In modo dl tutto imprevisto, come un vero fulmine a ciel sereno, nel 1543 viene pubblicata un’opera di un canonico tedesco-polacco di nome Nicola Copernico, il De revolutionibus orbium coelestium.

NICCOLÒ COPERNICO

    E’ utile iniziare con una breve biografia. Niccolò Copernico (1473 – 1543) nacque da famiglia benestante a Torun, nella Prussia, ai confini con la Polonia ed in una territorio scosso da continui cambiamenti di frontiera a seguito di guerre, annessioni e cessioni di territorio.

    Aveva 10 anni quando morì suo padre e fu adottato dallo zio materno, canonico nella cattedrale di Fraunenburg nella regione di Ermland sotto il controllo della Prussia. Nel 1489 suo zio divenne vescovo di Ermland, una delle quattro diocesi prussiane (incastonata nella terra dei Cavalieri Teutonici), divenendo anche governatore della regione. Fece i suoi primi studi prima a Torun, quindi a Wloclawek, sulla Vistola. Alla fine del 1491 entrò all’Università di Cracovia, una delle più importanti d’Europa sulla quale aveva grande influenza l’umanesimo. Si iscrisse alla Facoltà delle Arti dove studiò in modo approfondito l’astronomia aristotelico – tolemaica. Lo zio, per avviarlo alla carriera ecclesiastica, nel 1496 lo

inviò a studiare Diritto Canonico (Giurisprudenza) a Bologna. Successivamente, nel 1500, Copernico si trasferì a Roma dove restò per un anno e subì il fascino di Pico della Mirandola. Nel 1501, tornato in patria, venne nominato canonico di Frauenburg ma riuscì immediatamente ad avere “licenza” di proseguire gli studi in Italia dove, a Padova, si iscrisse a Medicina laureandosi poi a Ferrara nel 1503 dove restò alcuni mesi per poi tornare a Padova. All’inizio del 1506 ritornò ad Ermland dove lo zio riuscì a farlo “comandare” come suo medico personale ad Heilsberg. Collaborò con lo zio in affari di governo (occupandosi anche di zecca e di monetazione): si trattava di mantenere la neutralità della regione di Ermland tra i Cavalieri Teutonici e la Polonia. Proprio ad Heilsberg, nel 1512, scrisse il Nicolai Copernici de hypothesibus motuum coelestium a se constitutis commentariolus (noto come Commentariolus) che è una specie di programma delle sue idee. Questo lavoro rimase sotto forma di manoscritto distribuito a pochi amici, solo recentemente ritrovato in tre copie distribuite in tre biblioteche (1877 Vienna, 1881 Copenaghen, 1962 Londra). Questo opuscolo conteneva sette petitiones principali:

1) Non esiste un solo centro di tutti gli orbi celesti o sfere (vale a dire: ci sono, a differenza di quanto affermava Tolomeo, due centri di rotazione: la Terra che è il centro di rotazione della Luna, il Sole che è il centro di rotazione degli altri pianeti).

2) Il centro della Terra non coincide con il centro dell’universo, ma solo con il centro della gravità e della sfera della Luna (questa petitio riapriva il problema di una spiegazione della gravità).

3) Tutte le sfere ruotano attorno al Sole (che è però eccentrico rispetto al centro dell’universo).

4) Il rapporto fra la distanza Terra-Sole e l’altezza del firmamento è minore del rapporto fra il raggio terrestre e la distanza Terra-Sole. Quest’ultima è pertanto impercettibile in rapporto all’altezza del firmamento (se l’universo ha così grandi dimensioni, non avverrà che il moto della Terra dia luogo a un moto apparente delle stelle fisse).

5) Tutti i moti che appaiono nel firmamento non derivano da moti del firmamento, ma dal moto della Terra. Il firmamento rimane immobile, mentre la Terra, con gli elementi a lei più vicini (l’atmosfera e le acque della sua superficie) compie una completa rotazione sui suoi poli fissi in un moto diurno.

6) Ciò che ci appare come movimento del Sole non deriva dal moto dello stesso Sole, ma dal moto della Terra e della nostra sfera con la quale (come ogni altro pianeta) ruotiamo attorno al Sole. La Terra ha, pertanto, più di un movimento.

7) L’apparente moto retrogrado e diretto dei pianeti non deriva dal loro moto, ma da quello della Terra. Il moto della sola Terra è sufficiente a spiegare tutte le disuguaglianze che appaiono nel cielo (i cosiddetti «moti retrogradi» dei pianeti diventano moti apparenti, dato che dipendono dal moto della Terra).
 

    In poco tempo dal Commentariolus gli derivò grande fama anche tra color che non lo avevano letto. Nello stesso anno morì lo zio e Copernico si trasferì a Frauenburg.

    Nel 1514, durante il papato di Leone X (quello della “Taxa Camarae“, il tariffario scandaloso della vendita delle indulgenze), venne invitato al Concilio Laterano per iniziare a discutere di Riforma del Calendario, Riforma che poi sarà realizzata nel 1582 (utilizzando anche i calcoli che compariranno nel suo De Revolutionibus del 1543). Egli rifiutò però di andare sostenendo di non disporre di osservazioni astronomiche sufficienti (e le cose stavano proprio così: Copernico basò i suoi lavori su moltissime osservazioni astronomiche di altri; egli ne realizzò solo 27). A questi anni, probabilmente, risale la prima stesura della sua opera fondamentale, il De Revolutionibus Orbium Coelestium che sembra sia stata completata intorno al 1530.

    Tra il 1516 ed il 1519 si trasferì ad Allenstein per prendersi cura dei beni della Chiesa (in questo periodo vi fu la pubblicazione delle Tesi di Lutero). Proprio nel 1519 scoppiò la guerra tra Cavalieri Teutonici e polacchi ed egli si ritirò dapprima nella fortezza di Frauenburg e quindi, fino alla fine della guerra (1525), ad Allenstein per occuparsi della vita politico – amministrativa della diocesi di Ermland.

   Nel 1538 un tal Dantyszek, personaggio malato di fondamentalismo che odiava profondamente i luterani e chiunque fosse sospetto di qualche apertura mentale, fu eletto vescovo di Ermland. E Copernico risultava essere persona aperta. Proprio in quel periodo lo stesso Copernico aveva assunto una giovane persona di servizio, Anna Schilling. Iniziarono una serie di pettegolezzi che furono stroncati dal vescovo con il licenziamento di Anna. La cosa amareggiò moltissimo il già anziano Copernico e questa amarezza lo accompagnerà fino alla morte.

     Intanto le idee di Copernico che circolavano diffusamente avevano raccolto il favore di Papa Clemente VII. Nel 1536 il cardinale Nicola von Schoenberg scrisse a Copernico invitandolo ad esporle in modo più completo e dettagliato. Ma non tutti erano entusiasmi ed insieme alle critiche favorevoli vi erano anche violente stroncature che già intravedevano nelle cose sostenute da Copernico, persona che aveva frequentato ambienti liberali in Italia, qualcosa che era in contrasto con quanto affermato dalla Bibbia. Già nel 1539 lo stesso Lutero prese chiara posizione affermando che questo mentecatto vuole trasformare tutta l’arte dell’astronomiaE questo avviene oggi, chi vuole essere considerato saggio deve inventarsi qualcosa, e ciò è il meglio che si possa fare. Ma non c’è dubbio, come affermano le Sacre Scritture, che Giosuè comandò al Sole e non alla Terra di fermarsi (e giudizi analoghi furono anche di Calvino). Per parte sua, anche Calvino, senza citare Copernico, aveva intimato che le Scritture andavano intese alla lettera. E Copernico non osava pubblicare i suoi lavori in una epoca delicatissima in cui era molto facile finire sul rogo.

    Furono il giovane astronomo tirolese Retico (Retyk) ed il vescovo Giese, amico di Copernico, ambedue protestanti, a convincerlo a dare alle stampe la sua opera. Il lavoro di stampa iniziò nel 1542 seguito da vicino da Retico (vi furono però delle difficoltà iniziali: un protestante che si faceva portatore dell’opera di un cattolico!) il quale prima che l’opera vedesse la luce, dovette abbandonare. Ma nello stesso 1542 a Roma viene riorganizzata l’Inquisizione e viene costituito il Tribunale del Santo Uffizio (Paolo III) mentre partono i lavori per il Concilio di Trento (1544 – 1563) per avviare la Controriforma che vedrà subito il processo ai cardinali (Morone e Pole) fautori del dialogo con i protestanti e la conseguenza della proclamazione di Tommaso d’Aquino dottore della Chiesa (Paolo IV, 1565) e dell’istituzione della Congregazione dell’Indice (Pio V, 1571). Il seguimento della stampa dell’opera di Copernico passò, proprio allora, ad un teologo protestante molto erudito ed interessato all’opera di Copernico, Andreas Osiander. E questo personaggio è al centro di una brutta operazione di manipolazione del lavoro di Copernico perché, contro la volontà di Copernico, vi aggiunse una prefazione non firmata in modo che sembrasse dello stesso Copernico (e sembra abbia anche manipolato il titolo che doveva essere solo De Revolutionibus con particolare riferimento al moto della Terra, e non De Revolutionibus orbium coelestium riferite al generico moto delle varie sfere celesti). In questa prefazione praticamente si sosteneva che l’intera opera era basata su una finzione, su una ipotesi matematica utile per fare i conti. E questo avveniva quando Copernico era sul letto di morte (1543) ed era impedito a fare qualunque cosa. Ed appena morto Copernico il libro vide la luce con la manipolazione suddetta (il manoscritto originale, senza manipolazioni, fu poi ritrovato a Varsavia intorno al 1850). Solo due anni dopo, nel 1545, iniziò il Concilio di Trento (che si concluderà nel 1563) che dette il via alla Controriforma.

IL DE REVOLUTIONIBUS

     Entriamo ora in un campo che è stato discusso infinite volte. Ciò che segue riassume i termini della questione. La tesi centrale dell’opera di Copernico, la Terra in moto intorno al Sole immobile, rappresentò una svolta radicale ma più per le conseguenze che altri ne trassero che non per quello che lo stesso Copernico aveva detto. Egli, partendo da dati osservativi e per rispondere al vecchio problema del moto della sfera delle stelle fisse (tale sfera era considerata da Aristotele in moto pur occupando sempre lo stesso luogo), modificò le posizioni degli astri nel sistema astronomico aristotelico-tolemaico, senza preoccuparsi di conciliare ciò con tutti gli altri problemi che si aprivano con la nuova organizzazione planetaria. I ragionamenti che Copernico porta a sostegno della tesi che vuole la Terra in moto intorno al Sole immobile sono aristotelico-scolastici. Seguiamo questi ragionamenti:

– “Poiché il cielo è la dimora di tutti …, non si vede perché non si debba attribuire il moto più al contenuto che al contenente“.

– Se la Terra a causa del suo moto dovesse andare distrutta, a maggior ragione si dovrebbe distruggere la sfera delle stelle.

– La Terra non va distrutta a seguito del suo moto perché esso è naturale e non violento.

– La caduta non lungo la verticale che dovrebbero avere gli oggetti è spiegata con l’affermazione che l’aria segue il moto della Terra “perché l’aria, impregnata di terra e di acqua, vicina alla terra, segue le sue stesse leggi“.

– “La condizione di immobilità è considerata [da Aristotele] più nobile e divina della condizione di cambiamento ed instabilità, la quale quindi è più appropriata alla Terra che all’Universo“.

– Ci vorrebbe un motore enorme per muovere la sfera delle stelle.

– La Terra deve ruotare di moto naturale perché è sferica.

     Queste argomentazioni di Copernico creano moltissime difficoltà allo stesso aristotelismo e mostrano forzature dei ragionamenti. Se non sapessimo che Copernico è persona dottissima potremmo addirittura dubitare della sua conoscenza di Aristotele. Vediamo allora le difficoltà nei ragionamenti di Copernico.  

– Ha ragione Aristotele quando afferma che la Terra dovrebbe disintegrarsi a causa del suo moto e non la sfera delle stelle. Infatti la Terra è soggetta a generazione e corruzione oltre a possedere pesantezza, mentre la sfera delle stelle è eterea, eterna e per essa non esiste pesantezza.

– Allo stesso modo, un motore avrebbe mosso più facilmente le parti eteree dell’universo che non la Terra.

– Anche il Sole è sferico e perché dovrebbe essere immobile ?

– Il sistema infine, anche se nasceva dal proposito di rendere più semplici i calcoli, era complesso almeno quanto l’aristotelico-tolemaico.

     Nonostante il “conservatorismo” di Copernico, si aprivano grosse brecce nel sistema di Aristotele che qualcuno avrebbe dovuto sistemare se avesse abbracciato il nuovo sistema e questo perché, come ho ricordato più volte, il sistema astronomico aristotelico-tolemaico è un tutt’uno con la fisica di Aristotele. E’ impensabile modificare un pezzo dell’impianto senza rendersi conto dei guasti nell’altro. Vediamo quali erano i problemi che si aprivano e che, al momento, erano senza soluzione:

– Si mette in discussione l’esistenza di due tipi di mondi separati dal cielo della Luna (la Terra, nel suo moto, “si infila” in mezzo ai due mondi).

– Si distrugge la teoria dei quattro elementi e quella del moto ad essa collegata tramite la teoria dei luoghi naturali (perché ora un oggetto dovrebbe cadere sulla Terra?).

– Tutti i moti vengono considerati come naturali e la Terra che si muove di moto circolare viene a perdere le caratteristiche di peso e leggerezza.

– Con l’ammissione di immobilità dell’ultima sfera (quella delle stelle fisse), in accordo con Aristotele (l’infinito non può muoversi), si apre alla possibilità di un mondo “infinito”.

      Per dirla con Kuhn: Per Copernico la Terra in moto rappresenta un’anomalia in un universo aristotelico.

       Copernico inizialmente fu accettato grazie alla “prefazione” di A. Osiander. La cosa era in accordo con quanto sostenuto da Tommaso nella Summa Theologica (parte I, Quaest. XXXII, art. 1(8)). Secondo Tommaso vi è differenza tra un’ipotesi necessariamente vera (la fisica) ed un’ipotesi che invece si adatta ai fatti (la matematica). Si possono costruire tutte le ipotesi matematiche che si vogliono per spiegare i fatti astronomici purché non si cambi la fisica. E la Chiesa, da un certo punto, userà questo argomento come una clava.

    Vediamo qualche dettaglio di questa grande opera in sei libri di Copernico riferendoci alle parti discorsive del Libro I che sono in gran parte le stesse che Copernico aveva sviluppato nel Commentariolus (vi sono solo due differenze relative ai calcoli delle combinazioni degli epicicli e degli eccentrici per il moto dei pianeti).

    Dopo una breve introduzione in cui si esalta il cielo, Dio visibile, l’astronomia, regina delle scienze, Tolomeo il grande sistematore del cielo, … e dopo aver ricordato, con Plutarco, che il movimento delle stelle vince la perizia dei matematici, Copernico inizia con queste parole:

In principio va rilevato che il mondo è sferico, sia perché questa forma è la più perfetta di tutte, un’integrità totale, non bisognosa di alcuna commessura; sia perché è la forma più capace, che meglio conviene a tutto comprendere e custodire; sia anche perché ogni parte separata del mondo – intendo il Sole, la Luna e le stelle – sono ravvisate in tale forma; sia perché in essa tendono a determinarsi tutte le cose, come appare nelle gocce d’acqua e negli altri corpi liquidi, quando tendono a circoscriversi da soli. Perciò nessuno metterà in dubbio che tale forma sia da attribuirsi ai corpi divini.

parole che ci mettono subito in un mondo aristotelico perché la sfericità è una caratteristica di perfezione, perfezione che se assegnata all’universo prevede la sua finitezza in quanto non gli manca nulla, come sosteneva Aristotele. Più oltre si dice che tale sfericità è anche della Terra come mostrano le ombre delle eclissi e delle acque che sono su di essa come mostra l’America che è agli antipodi dell’India. Copernico prosegue discutendo del moto circolare che egli vuole assegnare alla Terra. Tutti sostengono, egli afferma, che la Terra è immobile ma la cosa non è stata risolta completamente. E qui vengono inserite considerazioni che riguardano la relatività del movimento, come un oggetto ritenuto immobile possa essere considerato in moto se osservato da altra situazione e viceversa per un oggetto in moto. Se si tiene conto di ciò si può ammettere un moto di ciò che è ritenuto immobile. Inoltre le irregolarità del moto dei pianeti possono essere dovute alla loro rotazione intorno ad un centro che non è la Terra ma spostato di un poco rispetto alla sfera delle stelle fisse, in modo tale che la Terra possa essere ammessa in rotazione con moto circolare alla stessa maniera dei pianeti. Dice Copernico:

Infatti, ogni mutazione locale apparente deriva o dal movimento della cosa guardata, o da quello di chi guarda, o da mutazione certamente ineguale di entrambi. Perché fra cose mosse in modo eguale nello stesso senso non si percepisce movimento, intendo dire fra l’oggetto veduto e colui che lo vede. Ora è proprio la Terra quella da cui è visto quel circuito celeste e offerto alla nostra vista. Se dunque si ipotizza qualche movimento della Terra, esso apparirà in tutte le cose che gli sono esterne come di eguale velocità, ma in senso opposto, come se quelle cose passassero via, quale è innanzi tutto la rivoluzione diurna. Questa, infatti, sembra trascinare l’intero mondo, fuorché la Terra e quelle cose che sono intorno ad essa. Ma se si ammettesse che il cielo non ha nulla di questo movimento, e invece la Terra ruota da occidente verso oriente, se qualcuno esaminasse seriamente quanto riguarda l’apparente sorgere e tramontare del Sole, della Luna e delle stelle, troverebbe che proprio così avviene. E poiché è il cielo quello che contiene e abbraccia tutto, il luogo comune di tutte le cose, apparirà subito perché si debba attribuire un movimento piuttosto al contenuto che al contenente, a ciò che è collocato piuttosto che a quello che colloca. [De revolutionibus, cap.V]

    Vi sono due cose in questo brano da sottolineare, la prima è quella specie di principio d’inerzia generalizzato che viene sostenuto in un paio di parole: la Terra e quelle cose che sono intorno ad essa. Se infatti non si ammette che, ad esempio, l’aria sia solidale al moto della Terra, varrebbero le obiezioni al suo moto che a suo tempo fecero tutti, compreso Tolomeo. L’altra questione è invece a quanto avevo annunciato qualche riga più su: i ragionamenti di tipo aristotelico che dovrebbero giustificare il moto della Terra (contenuta) piuttosto che la sfera delle stelle (contenente).

    Viene poi l’argomento della immensa grandezza della sfera delle stelle rispetto alla Terra. Ciò rende la terra come un punto e quindi diventa irragionevole pensare che sia la sfera delle stelle a fare una rotazione completa in 24 ore. Ma se la Terra ruota come gli altri pianeti e questo fosse il suo solo movimento, in un luogo dovrebbe sempre aversi la medesima ora con il Sole sempre nella medesima posizione. Occorre allora anche ammettere una rotazione della Terra su se stessa in 24 ore. Ma se a seguito di tale moto la Terra dovrebbe disgregarsi, a maggior ragione dovrebbe farlo la gigantesca sfera delle stelle ad eseguire lo stesso moto in 24 ore.

    Dal capitolo VII fino al IX si susseguono le risposte alle obiezioni che si sono sempre fatte al moto della Terra.

Perciò con varie altre ragioni gli antichi filosofi hanno cercato di sostenere che la Terra sta nel centro del mondo, e allegano come causa principale la gravità e la leggerezza. Senza dubbio, l’elemento della terra è il più pesante, e ad essa si portano tutte le cose pesanti, tendendo verso il suo centro interno. Infatti, poiché la Terra è rotonda e verso di essa i gravi, da tutte le parti e perpendicolarmente alla sua superficie, sono portati per loro natura, se non fossero trattenuti sulla superficie stessa, precipiterebbero verso il suo centro: come una linea retta perpendicolare alla superficie tangenziale della sfera conduce al centro. Ora le cose che si portano verso il centro sembra che necessariamente al centro siano in stato di quiete. Tanto più, dunque, l’intera Terra sarà in stato di quiete nel centro e ricevendo in sé tutte le cose che cadono, resterà immobile per il suo peso.

    Secondo la teoria del moto di Aristotele, agli elementi pesanti (terra ed acqua) conviene il moto rettilineo verso il basso, a quelli leggeri (aria e fuoco) quello rettilineo verso l’alto e solo ai corpi celesti il moto circolare intorno ad un centro. Ricordo che per Aristotele il moto o è violento o naturale. Violento, il moto della Terra non può essere, perché manca di motore esterno e perché ogni moto violento ha una durata limitata. Dunque, naturale. Ma il moto naturale può essere concepito in due modi, dall’alto in basso e in circolo. Il primo non è possibile, perché ha un principio ed una fine; quindi rientra nella classe del moto violento; dunque il moto naturale è in circolo. Ma la Terra, non può muoversi circolarmente, perché questa eventualità e smentita da varie osservazioni, come la sua posizione rispetto alle stelle fisse, ecc. Dunque, essendo esaurite tutte le ipotesi concettuali di ogni movimento possibile, si conclude che la terra sta ferma. Questa maniera di ragionare ha creato la mirabile costruzione della cosmologia antica, perfetta come un organismo logico, ma non ulteriormente perfettibile che nei suoi particolari, mentre nelle grandi linee essa è statica e immobile. In definitiva ogni cosa pesante come la Terra con tutto ciò che vi è sopra, non può essere dotata di moto circolare perché non sarebbe un moto naturale ma violento. Ma Copernico ricava dal fatto che gli astri sono sferici, che il movimento che più gli conviene è il circolare. Questo moto è infatti il più semplice, ed esprime, in atto, la semplicità di quella forma. Esso è inoltre naturale e indefettibile, mentre il moto retto non compete che ai corpi che sono espulsi fuori del loro luogo naturale o che vi ritornano. «Nulla ripugna tanto all’ordine e alla forma dell’universo, quanto l’essere fuori del proprio luogo. Perciò il moto retto non è dato se non alle cose che non stanno al loro posto e non son perfette per natura, perché si separano dal loro tutto e ne disertano l’unità». Il moto circolare è così sempre uguale, avendo una causa che non viene mai meno, quello in alto e in basso invece è accelerato (o ritardato), perché si affretta a cessare non appena il corpo ha conseguito il luogo naturale, in cui si arresta. Anche qui la dimostrazione procede con argomenti chiaramente aristotelici E cioè, mentre per Aristotele il moto retto apparteneva alle parti elementari, tendenti a congiungersi con la totalità del loro elemento, e il moto circolare al cielo, con una netta e insuperabile divisione tra il cielo e la terra, per Copernico, invece, il moto retto è delle parti, il circolare è del tutto, cioè dell’intero astro. Ciò implica una completa redistribuzione delle due specie di movimenti: v’è infatti un moto retto nei corpi celesti (quello delle rispettive parti verso il loro tutto) e un moto circolare nella terra (quello della totalità del globo terrestre); i due moti pertanto, invece di segnare un distacco tra due ordini di sostanze differenti, sono la prova di una sostanziale affinità di natura tra gli astri e la Terra. Il dualismo antico e medievale è, potenzialmente, superato. La Terra dunque si muove in circolo come gli altri astri. Ciò vuol dire che il moto diurno del cielo è mera apparenza; è la Terra, invece, che ruotando su se stessa, muta la propria posizione rispetto al cielo.

Se dunque – afferma Tolomeo d’Alessandria – la Terra ruotasse, almeno in una rivoluzione quotidiana, dovrebbe accadere il contrario di ciò che si è detto sopra. Infatti bisognerebbe che il movimento fosse velocissimo e la sua celerità fosse insuperabile, per far compiere in ventiquattro ore l’intero ambito terrestre. Ma le cose mosse da una rotazione repentina appaiono affatto incapaci di coesione, e piuttosto, se unite, [paiono portate] a disperdersi, quando non siano tenute ferme da qualcosa che le fermi; e da gran tempo – egli dice – la Terra dispersasi sarebbe fuggita dal cielo (il che è del tutto ridicolo!); tanto più gli esseri animati e tutte le altre masse separate non potrebbero assolutamente restare ferme. E nemmeno le cose che cadono in linea retta e perpendicolarmente giungerebbero al luogo destinato, che frattanto sarebbe stato sottratto dalla grande velocità. E vedremmo anche le nuvole ed ogni cosa che sta nell’aria portarsi sempre verso occidente.

    E qui Copernico dopo aver introdotto una autogiustificazione tanto banale quanto evidente: se la Terra girasse il suo moto non sarebbe più violento ma naturale, come quello dei quattro elementi, passa a discutere della temuta infinità dell’universo qualora la Terra si muovesse. La questione appesa ad una disputa non gli interessa, meglio lasciarla alle dispute dei naturalisti.

Invano, dunque, Tolomeo teme che la Terra si disperda e [con essa] tutte le cose terrestri nella rivoluzione che avviene, per azione della natura, che è ben diversa da quella dell’arte o da quella che può derivare per effetto dell’ingegno umano. Ma perché non si teme ciò, e anzi di più, per il mondo, il cui movimento deve essere tanto più veloce, quanto maggiore è il cielo della Terra? O forse il cielo è divenuto tanto immenso perché il movimento con indicibile veemenza lo allontana dal centro, e crollerebbe se stesse fermo? Certamente, se questa ragione fosse valida, anche la grandezza del cielo si allontanerebbe all’infinito. Infatti, quanto più per lo stesso impeto del movimento sarebbe portato in alto, tanto più veloce sarebbe il movimento, per la circonferenza sempre crescente che dovrebbe percorrere nello spazio di ventiquattro ore: e viceversa per il crescente movimento crescerebbe l’immensità del cielo.
Così la velocità aumenterebbe all’infinito la grandezza e la grandezza la velocità. Ma proprio per quell’assioma di fisica: «ciò che è infinito non può essere attraversato, né può essere in alcun modo mosso», il cielo necessariamente si arresterebbe.
Dicono però che fuori del cielo non c’è né corpo, né luogo, né vuoto, e assolutamente nulla, e quindi non c’è [luogo] dove possa estendersi il cielo; e allora sarebbe certo sorprendente se qualcosa potesse essere arrestato dal nulla. Ma se il cielo fosse infinito e finito solo per la concavità interna, forse diventerebbe ancor più facile capire che non c’è nulla fuori del cielo, perché tutto sarebbe in lui, di qualunque grandezza fosse, ma il cielo resterebbe immobile. Infatti la [ragione] principale su cui si fondano per dimostrare che il cielo è finito è il movimento. 

Sia dunque finito o infinito il mondo, lasciamolo alle dispute dei naturalisti, avendo per certo che la Terra, conclusa nei suoi poli, è limitata da una superficie sferica. Perché, dunque, esiteremo ancora ad attribuirle una mobilità conforme per natura alla sua forma piuttosto che estendere l’intero mondo, di cui si ignorano i confini, né è possibile conoscerli, e perché non ammetteremo che della sua quotidiana rivoluzione vi è in cielo apparenza, in Terra verità? Le cose stanno come quando parla l’Enea di Virgilio, dicendo:

“Ci allontaniamo dal porto, terre e città retrocedono”. 

    Riguardo poi alle nuvole che dovrebbero scappare via insieme a tutte le cose non ancorate alla Terra, viene di nuovo avanzato quella specie di principio d’inerzia generalizzato, secondo il quale tutte le cose che stanno sulla Terra si muovono allo stesso modo. Inoltre, con Aristotele si vogliono ribaltare le cose, quando si afferma che il moto compete di più alle cose meno nobili che non a quelle nobili. Infine, riguardo alla la gravità, essa è un qualcosa che non esiste solo sulla Terra ma riguarda ogni corpo celeste o globo, pertanto ognuno avrà la sua di gravità.

Che diremo dunque delle nuvole e delle altre cose che stanno in aria, o cadono, oppure tendono verso l’alto? Nulla, se non che non soltanto la Terra con l’elemento acqueo ad essa unito si muove così, ma anche una parte non piccola dell’aria e tutte le cose che, allo stesso modo, hanno un rapporto con la Terra. Sia che l’aria vicina, mista di materia terrena ed acquea, segua la medesima natura della Terra, sia che il movimento dell’aria sia acquisito, ed essa ne partecipi senza resistenza per contiguità e per il movimento continuo della Terra.

A ciò si aggiunge ancora che la condizione d’immobilità è giudicata più nobile e divina di quella di mutazione e di instabilità, che meglio, perciò, si addice alla Terra che al mondo. Per di più sembra piuttosto assurdo attribuire movimento al contenente e collocante e non invece al contenuto e collocato, che è la Terra.

Poiché esistono, dunque, vari centri, anche per quel che riguarda il centro del mondo non sarà azzardato dubitare che esso sia quello della gravità terrestre o un altro. Per parte mia, credo che la gravità non sia altro che una certa brama naturale, attribuita alle parti dalla divina provvidenza dell’artefice di tutte le cose, affinché si riuniscano nella loro unità e integrità congiungendosi in forma di globo. E questa inclinazione è credibile sia insita anche nel Sole, nella Luna e negli altri splendori erranti, cosicché per la sua efficacia essi restano in quella rotondità con cui si presentano, sebbene in molti modi effettuino i loro circuiti.

    Nel capitolo X, dopo aver discusso di quale ordine assegnare ai vari pianeti, Copernico ci offre il disegno semplificato del suo sistema del mondo:

    E’ qui che leggiamo questo inno al Sole da parte di Copernico:

In mezzo a tutte le cose risiede il Sole. Chi mai porrebbe in questo bellissimo tempio una tale lampada in altro luogo migliore, donde potesse illuminare tutto insieme l’universo? Non senza ragione, taluni l’hanno chiamato lucerna del mondo; altri, mente; altri, rettore. Trismegisto ne ha fatto un dio visibile; l’Elettra di Sofocle lo ha chiamato onniveggente. Posto come su di un trono regale, esso governa la famiglia degli astri che gli si affaccenda intorno. La terra a sua volta non vien defraudata del servigio della luna. Essa si unisce col sole e ne vien fecondata di anno in anno. In tal modo noi troviamo sotto questo ordinamento un’ammirevole simmetria del mondo e un nesso armonico del movimento e della grandezza degli orbi, quali in nessun altro modo potrebbero trovarsi. 

    Nel capitolo XI Copernico descrive i moti della Terra che, secondo lui, dovrebbero essere ben tre. Il primo è la rotazione annua intorno al Sole; il secondo è la rotazione su se stessa in 24 ore per permettere l’alternanza del giorno e della notte; il terzo, che sarà dimostrato presto del tutto innecessario, è un moto del centro della Terra tale da mantenere il parallelismo dell’asse terrestre (inclinato come si sa) con se stesso al fine dell’alternarsi delle stagioni.

In (a) è mostrato cosa farebbe l’asse terrestre senza il terzo movimento ipotizzato da Copernico. Esso doveva riguardare l’asse terrestre ed essere tale (b) da mantenerlo sempre parallelo a se stesso.

    Nei capitoli XII e XIII iniziano conti, presentazione di tabelle di osservazioni (poche le sue, in gran parte riprese da ogni dato a sua disposizione), e dimostrazioni fatte con il sistema di Euclide. E qui finisce il Libro I. Poi vi sono gli altri 5 libri che sono tutti un susseguirsi di misure, di calcoli che giustificano questo e quel movimento, questa e quella posizione e la mancanza di quegli effetti che invece discenderebbero dall’ammissione di Terra immobile al centro dell’universo.

     Siamo di fronte ad un altro traguardo rinascimentale. Anche nell’astronomia si riescono a raggiungere le vette di Tolomeo, fino ad allora ritenute insuperabili. L’opera non è un abbozzo o un commentario. Ha un impianto nuovo con calcoli e determinazioni orbitali nuove. Finalmente si ha una univoca determinazione dell’ordine successivo dei pianeti nell’universo. Vi erano naturalmente degli errori ma essi discendevano dalle poche osservazioni fatte da Copernico e dall’aver preso per buone tutte quelle di Tolomeo. Inoltre non è proprio il Sole il centro del sistema di Copernico ma il centro dell’orbita della Terra che per lui  non coincide con il Sole (e ciò comportò errori a catena). Infine vi erano molte complicazioni con il mantenimento dei cerchi e dei moti uniformi. Da una parte spariva l’indigeribile equante ma dall’altra restavano cerchi che si sommavano a cerchi (si sono però ridotti a 34) e con la Terra che in qualche modo è determinante per i moti dei pianeti interni. Come ricorda Dreyer, Kepler osservò che se Copernico avesse avuto più fiducia in sé piuttosto che muoversi sulle orme di Tolomeo, avrebbe fatto cose eccelse. Ma Copernico, come disse a Retico, era cosciente dell’enorme lavoro che occorreva fare per accordare completamente la teoria con le osservazioni.

    Vediamo ora alcune difficoltà del sistema di Copernico. Intanto, come accennato esso non è eliocentrico perché non è il Sole al centro dell’universo. Più correttamente si può definire eliostatico. E’ vero che con questo sistema il moto retrogrado dei pianeti si risolve facilmente ed è anche vero che ora si dispone di una base per la determinazione delle distanze dei pianeti dal Sole e dalla Terra (lo dico tra parentesi: è certo che da questo momento i principi d’inerzia e di relatività sono al primo punto da dover risolvere per rendere accettabile il sistema copernicano). Riguardo alla pretesa maggiore semplicità di questo sistema rispetto a quello tolemaico, essa esiste solo se si considera lo schemino esemplificativo di cerchi concentrici. In realtà, eliminati gli equanti, occorre anche qui mantenere epicicli e deferenti per rendere conto delle orbite planetarie che non sono circolari e la simile complicazione si può osservare dal confronto delle figure seguenti. In A

Da I. B. Cohen.

è rappresentato il sistema tolemaico, in B quello copernicano. Senza entrare in spiegazioni complesse si vede che nei due sistemi occorre studiare e tener conto di varie circonferenze. Nella figura seguente si mostra che, in alcuni casi, vi è addirittura identità di trattazione, previo un mero scambio di ruoli tra Terra e Sole.

Da M. Boas. Nel sistema copernicano C è il Sole centro del sistema; B è la Terra; E un pianeta esterno. Nel sistema tolemaico C è la Terra; D è il Sole; E il centro dell’epiciclo del pianeta; P il pianeta. La linea che congiunge la Terra al pianeta, nel secondo caso, sarà parallela alla linea che congiunge la Terra al pianeta nel primo caso. L’angolo tra questa linea e la linea Terra-Sole sarà lo stesso in entrambi i sistemi. Di conseguenza la posizione apparente del pianeta è la stessa.

    Copernico fu molto ammirato. Gli avevano dato un epiteto non da poco, secondo Tolomeo. Ma le sue idee non trovarono immediatamente seguaci  a parte poche unità di neoplatonici, oltre Retico, in Germania, Thomas Digges(9) in Gran Bretagna, nessuno in Francia, Giordano Bruno, Giovanni Battista Benedetti, Francesco Patrizi (ed in genere tutti i filosofi della natura) in Italia. Non vengono pubblicati commenti, esposizioni e/o divulgazioni sul sistema di Copernico. Le ragioni di ciò trovano concordi gli storici in due fattori fondamentali: l’autorità di Aristotele difficile da scalzare e la Rivelazione che crea una grande paura in tutti ed infatti vi fu  l’immediata reazione del domenicano Giovanni Maria Tolosani, con entrature nel Sacro Palazzo, che mise in guardia contro Copernico (De veritate Sacrae Scipturae, 1546) e  quindi del gesuita padre Clavius (1537 – 1612) del Collegio Romano  (1581) che reiterò i pretesi pericoli delle posizioni copernicane (pur essendo Clavius un estimatore di Copernico). Tolosani, in particolare, sosteneva che una scienza inferiore ha bisogno della scienza superiore e Copernico, che risulta abile nella scienza matematica e astronomica, è difettoso nelle scienze fisiche e dialettiche, ed è imperito nelle Scritture. Questo testo lo lesse con attenzione il sodale e spregevole domenicano Tommaso Caccini che nel 1614 si scagliò con violenza contro Galileo e Copernico.

    Le chiese protestanti condannarono subito Copernico ma non intervennero sul piano dottrinale perché ritenevano evidenti e sufficienti gli argomenti fisici contrari al moto della Terra (e il fiammingo Simon Stevin lo affermò con chiarezza parlando, sul piano fisico, delle assurdità e delle complicazioni di Copernico che richiederebbero negli allievi astrazioni alle quali non sono abituati. Si tenga conto che ciò convinse gli stessi simpatizzanti di Copernico a continuare ad insegnare Tolomeo). Vi era anche una sorta di stato d’animo di chi si sente privato di sicurezze. Un conto è pensarsi stabilmente fermi, altro l’andarsene in giro a grandi velocità in giro per lo spazio. La perdita della centralità per la Terra e quindi per l’uomo deve aver giocato molto in termini psicologici. Tale centralità era anche legata all’unicità dell’uomo e quindi del racconto della Genesi. Inoltre questa costruzione faceva a meno del Primo motore, di quel motore immobile individuato in Dio che Tommaso aveva sistemato lì. La gerarchia dei costituenti l’universo crolla come sta crollando l’immutabile gerarchia sociale: la nobiltà ed il celro stanno per cedere completamente il passo alla borghesia. Tutto ora crollava e da queste macerie si poteva partire con grande pragmatismo per ricostruire su basi radicalmente differenti. E tal cosa la scienza riesce sempre a farla perché è nella sua natura ma non può farla la teologia.

GIORDANO BRUNO

    Chi scosse la coscienza dell’Europa intera assegnando una valenza molto superiore alla teoria copernicana, fu Giordano Bruno(1548 – 1600). Non nascondo la mia profonda ammirazione per questo grande personaggio, uno dei principali sostenitori di tutti i tempi del libero pensiero contro l’oppressione oscurantista. Di Bruno ho già parlato e scritto molto e qui dico l’essenziale rimandando a questi scritti che si possono trovare qui e qui, scritti nei quali vi è anche la biografia di Bruno.

    Il primo grande merito che va ascritto al fecondissimo pensatore di Nola è di aver propagandato, con forti argomenti e, per la verità, con l’aggiunta di molte idee originali, il copernicanesimo per tutta Europa. I contributi spettanti a Bruno, nella descrizione copernicana del mondo, riguardano prima di tutto il problema dell’infinità dell’universo e della pluralità di mondi e di soli.

    Egli prende le mosse da una critica serrata al concetto aristotelico di luogo ed al vecchio problema dell’ottava sfera. Come abbiamo visto, luogo è per Aristotele il limite adiacente al corpo contenente. Bruno osserva subito che mettendo insieme i due concetti che vogliono la finitezza del mondo insieme al fatto che al di là dell’ottava sfera non c’è nulla, si deve ricavare che il mondo è contenuto dal nulla. Dice Bruno (La cena delle ceneri, Londra 1584):

Se tu dici che non v’è nulla, il cielo, il mondo, certo, non sarà in parte di alcuna

ed aggiunge invece che:

Se il luogo non è la superficie ma un certo spazio, nessun corpo né alcuna parte del corpo, sia che il medesimo sia grandissimo o minimo, finito o infinito, sarà senza luogo.

Qual è allora il luogo-spazio per Bruno?

Uno è il loco generale, uno il spacio immenso che chiamar possiamo liberamente vacuo; in cui sono innumerabili ed infiniti globi, come vi è questo in cui vivemo e vegetamo noi. Cotal spacio lo diciamo infinito, perché non è raggione, convenienza, possibilità, senso o natura che debba finirlo… si diffonde per tutto, penetra il tutto ed è continente, contiguo e continuo al tutto, e che non lascia vacuo alcuno; eccetto se quello medesimo, come in sito e luogo in cui tutto si muove, e spacio in cui tutto discorre, ti piacesse chiamar vacuo, come molti chiamorno.

Ed ancora:

Uno dunque è il cielo, il spacio immenso, il seno, il continente universale, l’eterea regione per la quale il tutto discorre e si muove. Ivi innumerevoli stelle, astri, globi, soli e terre sensibilmente si veggono, ed infiniti raggionevolmente si argumentano. L’universo- immenso ed inifinito è il composto infinito che resulta di tal spacio e di tanti compresi corpi

Conseguenza immediata di tale concezione di spazio è da una parte il rifiuto della sfera delle stelle fisse:

Non son più né altramente fisse le altre stelle al cielo, che questa stella, che è la terra, è fissa nel medesimo firmamento, che è l’aria,

e dall’altra il rifiuto di ogni luogo privilegiato:

dimando se questo spacio che contiene il mondo, ha maggiore aptitudine di contenere un mondo, che altro spacio sia oltre,

cosicché l’universo copernicano solo per caso è qui e non altrove e quindi non c’è alcun motivo di considerarlo centro così come nessun altro sole va considerato come centro dell’universo. Si ha quindi a che fare con un universo infinito e popolato di infiniti mondi. In questo universo nessun luogo ha un privilegio particolare rispetto ad un altro. Vi sono infiniti soli ma vi sono anche infiniti pianeti e tra questi ve ne sono molti popolati.
    Certamente questo universo che parte da Copernico, avanza di molto lo spunto da cui era nato. In esso non c’è più quasi niente della vecchia tradizione aristotelica, neanche le sfere cristalline su cui erano incastonati i corpi celesti, poiché Bruno, dapprima con considerazioni diverse e poi da alcune scoperte di comete(10) di Tycho Brache (che vedremo subito dopo), argomentò l’impossibilità, appunto, della loro esistenza. Non c’è nulla da dire, le cose sostenute da Bruno hanno un notevole fascino ed una suggestione che si farà sentire molto, soprattutto dopo le scoperte galileiane col telescopio.

    Tra le altre molteplici cose, Bruno mette anche in discussione il fatto che le stelle siano «fisse». Egli dice:

Quindi accade quello errore, come a noi, che dal centro de l’orizonte, voltando gli occhi da ogni parte, possiamo giudicar la maggior e minor distanza da, tra, ed in quelle cose, che son più vicine, ma da un certo termine in oltre tutte ne parranno equalmente lontane; cossi, alle stelle del firmamento guardando, apprendiamo la differenza de’ moti e distanze d’alcuni astri più vicini, ma gli più lontani e lontanissimi ne appaiono immobili, ed equalmente distanti e lontani, quanto alla longitudine … Dunque che noi non veggiamo mollti moti in quelle stelle, e non si mostrino allontanarsi ed accostarsi l’une da l’altre, e l’une all’altre, non è perché non facciano cossi quelle come queste gli lor giri; atteso che non è raggione alcuna, per la quale in quelle non siano gli medesimi accidenti che in queste, per i quali medesimamente un corpo, per prendere virtù da l’altro, debba muoversi circa l’altro. E però non denno esser chiamate fisse perché veramente serbino la medesima equidistanza da noi e tra loro; ma perché il lor moto non è sensibile a noi. Questo si può vedere in esempio d’una nave molto lontana, la quale, se farà un giro di trenta o di quaranta passi, non meno parrà che la stii ferma, che se non si muove;se punto. Cossi, proporzionalmente, è da considerare in distanze maggiori, in corpi grandissimi e luminosissimi, de’ quali è possibile che molti altri ed innumerabili sino cossi grandi e cossi lucenti come il sole e di vantaggio. I circoli e moti di quali molto più grandi non si veggono; onde se in alcuni astri di quelli accade varietà d’approssimanza, non si può conoscere, se non per lunghissime osservazioni; le quali non son state cominciate, né perseguite, perché tal moto nessuno l’ha creduto, né cercato, né presupposto; e sappiamo che il principio de l’inquisizione è il sapere e conoscere, che la cosa sii, o sii possibile, e conveniente”, e da quello si cave profitto.

    Si osservino le ultime cose” che Bruno dice. Sono significative perché descrivono bene il «metodo» di Bruno: egli fa un’ipotesi ed attende poi verifiche sperimentali (le osservazioni); inoltre le osservazioni discendono da preesistenti giudizi e concezioni. Oltre a ciò Bruno ha modo di negare l’esistenza di ogni sorta di sfera cristallina:

Questi corpi mondani si muovono nell’eterea regione non affissi o inchiodati in corpo alcuno più che questa terra, che è un di quelli, è affissa.

    Infine elimina l’aristotelico «motore immobile» affermando che: «il primo principio non è quello che muove; ma, quieto ed immobile, da’ il poter muoversi».

    Bruno era certamente influenzato dalle opere dei grandi dell’antichità classica che proprio in quegli anni venivano ritrovate in biblioteche in cui erano rimaste sepolte per secoli. Di questi filosofi egli più volte si trova a tessere le lodi, sostenendo:

Sono amputate radici che germogliano, sono cose antique che rinvengono, sono veritadi occulte che si scuoprono: è un nuovo lume che, dopo lunga notte, spunta all’orizzonte ed emisfero de la nostra cognizione, e a poco a poco s’avvicina al meridiano de la nostra intelligenza

e certamente il riconoscimento di Bruno servì, come sostiene Kuhn, a scoprire e a spiegare l’affinità esistente tra la filosofia antica e quella moderna tra l’altro perché “il vuoto infinito degli atomisti forniva una dimora naturale al sistema solare copernicano o piuttosto a molti sistemi solari” (Kuhn).
    Il riconoscimento dell’affinità propagandata da Bruno servì alla trasformazione del cosmo copernicano finito in un universo infinito e multipopolato. In questo nuovo universo si sentiva il bisogno di una nuova fisica e Bruno avvertì ciò cominciando ad argomentare soprattutto riguardo a problemi cinematici e dinamici a sostegno della Terra in moto intorno al Sole. Per ciò che ci interessa più direttamente, egli svolse una grossa mole di lavoro, soprattutto per chiarire e risolvere alcuni problemi che più gli stavano a cuore: quelli che riguardavano la relatività della posizione, del moto e perfino del tempo e delle lunghezze. D’altra parte queste convinzioni relativistiche sono alla base anche della sua concezione dell’universo.
    Per Bruno l’affermare l’inesistenza di un centro per l’universo equivale a dire che non c’è nessun punto in cui si possa dare una descrizione particolare dell’universo stesso. A soccorrerlo su questa strada erano osservazioni naturali che si potevano effettuare sulla Terra. Queste osservazioni erano per lo più tratte dalla vita marinara, così come lo saranno per molti contemporanei, in particolare per Galileo, perché la navigazione aveva avuto enormi sviluppi in quell’epoca di grandi viaggi.
    Secondo Bruno ci possiamo rendere conto di che cosa significa il descrivere in modo diverso, a seconda di dove lo osserviamo, un avvenimento se solo pensiamo al fatto che da una barca che corre lungo un fiume sono le rive del fiume che sembrano marciare in verso opposto. Inoltre quando, di notte, due navi, con mare perfettamente calmo, cambiano la reciproca posizione c’è impossibile capire quale delle due si stia muovendo. Ciò è maggiormente vero se è impossibile vedere la costa, ed inoltre, per la verità, non siamo neanche in grado di dire se tutte e due insieme esse si stiano muovendo. Volendo poi riguardare le cose più in dettaglio, se ambedue le navi mantenendo fissa la loro posizione reciproca, si spostano, noi non siamo in grado di percepire questo movimento. In questo caso il moto e la quiete si equivalgono.
    E fin qui le argomentazioni portate sono abbastanza in linea con altri filosofi naturali del tempo di Bruno. Per quanto riguarda cioè il principio cinematico di relatività non ci sono problemi che alcuno possa porre. Ma Bruno fa un grande passo in avanti estendendo il principio di relatività alla dinamica. Questa cosa non era certamente facile perché per la sua soluzione doveva in qualche modo essere dato il principio d’inerzia. Ma Bruno lo intuì anche se partendo dalle considerazioni dell’impetus, per cui “la pietra porta con sé la virtù del motore“.

    Cerchiamo di capire qual era la difficoltà che Bruno doveva superare.

    Secondo la fisica aristotelica ed anche secondo gli scolastici e comunque coloro che contestavano il copernicanesimo, tutte le esperienze dinamiche che uno può pensare o fare sulla Terra, portano inevitabilmente ad affermare che la Terra stessa è ferma. E’ evidentemente la dinamica aristotelica priva di principio di inerzia, alla base di questa erronea conclusione. Bruno parte anche qui da un’osservazione tratta dalla vita marinara. Egli suppone di avere una nave che marci a gran velocità. Su questa nave un marinaio getta un grave dall’alto dell’albero maestro. Questo grave cadrà con una traiettoria perpendicolare al piano della nave, mantenendosi parallelo all’albero, ed andando a finire ai piedi di esso. Tutto ciò andrà in modo non differente da quando la nave è ferma. Allo stesso modo, osserva Bruno, quando la nave, ora vista, è in corsa, se qua1cuno spicca un salto a piedi pari ricadrà esattamente dove era prima di saltare. In definitiva, secondo Bruno:


le cose che hanno fissioni o simili appartenenze alla nave, si muovono con quella e se così non fosse, come abbiamo detto: quando la nave corre per il mare, giammai alcuno potrebbe trarre per diritto qualche cosa da un canto di quella all’altro, e non sarebbe possibile che uno potesse fare un salto, o ritornare co’ piè, onde li tolse.
 

    Certamente Bruno non possedeva i concetti di moto rettilineo uniforme, di accelerazione od altro di simile, ma certamente nelle cose ora viste c’è un abbozzo del principio dinamico di relatività che verrà poi formulato con maggiore precisione da Galileo. Egli comunque insiste ancora sul concetto che tutti gli oggetti hanno la velocità del corpo che li trasporta portando un’altra esperienza ideale a sostegno della sua tesi e sviluppando, quindi, con maggiore precisione i problemi connessi con i moti relativi. Bruno suppone che una barca, trasportata dalla corrente di un canale, marci velocemente vicinissima alla sponda. Sulla nave c’è un certo osservatore O e sulla riva un osservatore O’. Ambedue gli osservatori tengono le braccia tese: O verso la riva e O’ verso la nave. Ciascun osservatore ha nella mano una palla di ferro. Appena O e O’ passano a sfiorarsi con le mani, lasciano cadere la palla di ferro che hanno in mano, in modo che ambedue le palle cadano sulla coperta della nave. Cosa osserva O dalla nave? La palla che egli ha lanciato è caduta perpendicolarmente sulla coperta della nave. Mentre la palla lasciata da O’ ha seguito, per O, una traiettoria obliqua tant’è vero che è più indietro rispetto a quella lasciata da O. Pare incredibile, ma qui Bruno riesce e ribaltare il problema. Con una notevole capacità di persuasione, fa capire che cambiando punto di osservazione è sulla terra ferma che si hanno deviazioni dalla caduta al suolo lungo una traiettoria verticale; su una nave, invece, anche se è in moto, le cose vanno come se essa stesse “ferma”. In definitiva per Bruno la palla che O fa cadere non è dotata solo del moto di caduta ma anche di un moto orizzontale che ha anche quando si stacca dalla mano perché mantiene “la virtù del motore” e non perché c’è qualche sorta di spinta che l’aria dà come sosteneva Aristotele.

    In definitiva Bruno fu il più grande propagandatore di Copernico per tutta Europa e fu anche colui che mise in profondo allarme la Chiesa sul potenziale distruttivo per il tomismo del copernicanesimo. La  messa in discussione di un punto di quel sistema avrebbe fatto crollare tutta la base filosofica colta che sorreggeva la Chiesa medesima e che, in modo assolutamente incomprensibile, continua ancora a sostenere.
 

TYCHO BRAHE

        Anche per Tycho inizio con una biografia brevissima. Tycho Brahe (1546 – 1601) nacque a Knudstrop, in Danimarca, nel 1546. È il giovane discendente di una famiglia nobile e ricca, piuttosto disinteressata alla scienza ed alla cultura in genere (come l’intera nobiltà danese). Il giovane Tycho invece iniziò subito ad appassionarsi all’astronomia (fu l’eclisse di Sole del 1560 che lo colpì profondamente) affascinato dall’idea che questa scienza permettesse di studiare e prevedere i moti dei pianeti. A soli 13 anni, nonostante l’opposizione della famiglia  

(non era ritenuto degno di un nobile lo studiare) e con l’unico appoggio di uno zio, entrò all’Università di Copenaghen per studiare lettere. Ma l’eclisse gli fece cambiare idea ed egli passò subito allo studio dell’Astronomia e di quanto gli poteva servire a sostegno della sua grande passione. Proseguì i suoi studi a Lipsia, Wittenberg, Rostoch ed a Basilea. Nel 1563 fece la sua prima osservazione celeste importante: la congiunzione Giove – Saturno. Fu allora che iniziò a rendersi conto della non esattezza delle tavole astronomiche di cui si disponeva: rispetto alle “Tavole Prussiane” (elaborate da Reinhold) del 1551 questa congiunzione doveva aver luogo con una differenza di svariati giorni, differenza che diventava di un mese rispetto alle “Tavole Alfonsine” del XII secolo. Ed in quegli anni altri studiosi si erano sempre più convinti che occorresse una seria revisione delle tavole astronomiche. Molti procedettero con correzioni alle tavole esistenti. Tycho invece si rese conto della necessità di ricominciare a costruire tavole con osservazioni completamente nuove con tecniche e metodi di osservazione diversi e più accurati. Mentre per Copernico un errore di 10 minuti era accettabile, per Tycho si inizia a ragionare in termini di frazioni di minuto e per far ciò non bastano le buone intenzioni ma strumenti molto più avanzati. Nel 1572 egli osservò una nuova stella nella costellazione di Cassiopea. Ciò gli valse l’ammirazione ed il successivo sostegno economico del re Federico II. Questi gli regalò una piccola isola, Hveen, sulla quale finanziò la costruzione di un edificio, Uraniborg, progettato da Thyco,

L’isola di Hveen

L’osservatorio di Uraniborg

L’osservatorio di Uraniborg. Si noti che l’osservatore è seduto su una sedia di marmo fissa al suolo e che l’osservazione veniva fatta sulla fetta di cielo che andava passandogli davanti attraverso la piccola fessura in alto a sinistra.

Due strumenti utilizzati da Thyco

per l’osservazione del cielo. Con le rendita assicuratagli dal re, Thyco, oltre a circondarsi di una trentina di collaboratori, fece costruire apparecchiature avanzatissime e di grandi dimensioni, fermo restando che le osservazioni avvenivano ad occhio nudo. Non è che vi fossero strumenti nuovi dal punto di vista dei principi. Erano appunto le grandi dimensioni di essi che riducevano di molto gli errori nelle osservazioni (una piccola deviazione di un millimetro nella lettura di uno strumento si traduceva in errori di vari minuti nella posizione dell’oggetto osservato). Egli si dotò di un quadrante che aveva un raggio di 6 metri, di una sfera armillare del diametro di 5,5 metri, di un sestante di quasi due metri di raggio,… Altra novità era relativa al fatto che gli strumenti erano fissati al luogo dove erano situati, allo stesso modo che la sedia di marmo che serviva per l’osservazione. Anche della stabilità si preoccupò Tycho ed in questo senso vari strumenti li sistemò in sotterranei (come l’osservatorio di Stjerneborg, costruito successivamente da Thyco). L’ostacolo maggiore era la misura del tempo ed egli si affidò a clessidre a mercurio: il peso del mercurio che usciva da un piccolo foro gli forniva la misura del tempo. Utilizzò il piombo in polvere ma questo elemento lo deluse. Fece costruire anche grandi orologi uno dei quali marcava anche i secondi con la sua ruota principale che aveva un metro di diametro e 1200 denti; il problema era però la mancanza della conoscenza delle proprietà del pendolo come regolatore del moto (a questo proposito sarà fondamentale il contributo di Galileo ed Huygens). L’osservatorio di Uraniborg fu terminato nel 1580 ed in esso Thyco

L’osservatorio di Uraniborg (castello del cielo) visto dall’alto (da http://www.vialattea.net )

L’edificio costruito successivamente da Thyco, Stjerneborg (castello delle stelle) (da http://www.vialattea.net )

Sezioni dei due laboratori di Thyco (da http://www.vialattea.net )

lavorò incessantemente per 17 anni consecutivi. Durante questo periodo si sposò con una non nobile, Cristina, e la cosa fu duramente osteggiata da tutta la nobiltà danese. Ma lo stesso re venne in sostegno di Thyco. E così, con Cristina, Thyco ebbe ben 8 figli. I problemi di Thyco iniziarono con la morte nel 1588 di Federico II. Molte invidie di nobili lo costrinsero ad abbandonare il suo osservatorio (1597). Egli si recò in Bohemia dove poté godere, per poco tempo ancora, della protezione di Rodolfo II che gli trovò una degna sistemazione a Praga come matematico imperiale. Egli riuscì comunque a portarsi dietro tutti i suoi manoscritti ed anche parte dei suoi collaboratori, ai quali se ne aggiunsero altri, tra i quali Kepler. Si spense all’età di 55 anni per essere persona educata che non si alzò da tavola per non mancare di rispetto, anche se gli era esplosa la vescica.

    Scrisse: De Nova et Nullius Aevi Memoria Prius Visa Stella (Copenhagen, 1573); De Mundi Aetherei Recentioribus Phaenomenis (Uraniborg, 1588); Astronomiae Instauratae Mechanica (Wandsbeck, 1598); Astronomiae Instauratae Progymnasmata (Praga 1602).

CONTRIBUTI DI THYCO ALLO SVILUPPO DELL’ASTRONOMIA

      Non vi è dubbio che Thyco sarà sempre ricordato per la immensa quantità di osservazioni fatte con la migliore strumentazione disponibile descritta nella sua Astronomia instauratae mechanica del 1598 (tra l’altro a lui si deve l’aver riconosciuto per la prima volta l’influenza della rifrazione atmosferica nelle osservazioni, anche se nello sviluppare tale concetto mise insieme alcuni errori che nascevano dalla non conoscenza dell’atmosfera medesima). Queste osservazioni saranno alla base della costruzione delle nuove tavole astronomiche che saranno pubblicate da Kepler nel 1627 con il nome di Tavole Rudolfine. Egli, oltre alle osservazioni continue delle posizioni dei vari pianeti, elaborò un catalogo delle posizioni di quasi 800 stelle. Detto questo vediamo quali furono le idee cosmologiche di Tycho. Egli partiva da un pregiudizio: la limitatezza dell’universo. Tale pregiudizio, unito alla non osservazione della parallasse stellare lo convinsero a non accettare il sistema copernicano. Se infatti l’universo è relativamente piccolo, le stelle sono “vicine” alla Terra che, secondo Copernico, si muove di moto circolare intorno al Sole. Se il sistema copernicano corrispondesse al vero, osservando le stelle dalla Terra in posizioni diametralmente opposte della sua supposta orbita, si dovrebbe avere il fenomeno di parallasse stellare: osservando cioè le stelle dalla Terra in posizioni diametralmente opposte della supposta orbita, si dovrebbero vedere proiettate sulla volta celeste in posizioni, anche se di poco, diverse. Unendo la stella osservata con quelle due posizioni della Terra si verrebbe a formare un angolo, chiamato di parallasse: Con un universo piccolo, tale angolo deve essere tanto grande da poter essere misurato. Tycho non riuscì a misurarlo e ne concluse che la Terra è ferma. Il problema stava nella enorme distanza di una stella che rendeva quell’angolo così piccolo da non poter essere apprezzato dagli strumenti di cui Tycho disponeva. Occorreranno altri 300 anni perché una tale parallasse potesse venir misurata. Per ammettere la non osservazione della parallasse bisognava ammettere che la distanza delle stelle dalla Terra fosse stata 700 volte la distanza tra Saturno ed il Sole, cosa che a Tycho sembrò impossibile. Questo fatto lo portò ad elaborare un nuovo sistema astronomico, ibrido tra quello tolemaico e quello copernicano. La Terra risulta immobile al centro dell’universo mentre la Luna ed il Sole gli girano intorno. I pianeti, invece, ruotano tutti intorno al Sole (vedi figura). Un tale sistema ebbe scarso successo ma servì in qualche modo a far comprendere meglio quello copernicano e risultò l’ultima spiaggia per chi proprio non voleva abbandonare il sistema tolemaico.

Il sistema tychonico (da http://www.vialattea.net )

Il sistema tychonico

    È interessante  anche qui vedere quali sono i motivi che Tycho addusse contro il moto della Terra, oltre quello per lui probante della non osservazione della parallasse. Intanto la sua fede nella Bibbia era ferrea. Inoltre non riusciva a concepire “una Terra grave e pigra muoversi nello spazio“. Vi era poi la questione degli oggetti lasciati cadere da una torre che proprio non volevano saperne di discostarsi dalla verticale. Ed infine il fatto che egli non riusciva proprio a concepire i tre moti che la Terra avrebbe dovuto avere secondo Copernico. Vediamo invece dove un tale sistema aiuta all’affermazione di quello copernicano. Si può subito rendersi conto che nel suo sistema astronomico l’orbita del Sole interseca quelle di Mercurio, Venere e Marte. Ciò comporta in ogni modo la distruzione delle sfere cristalline aristoteliche dove tali pianeti sarebbero stati incastonati. Egli si rende conto di ciò e sarà il primo a trasformare il significato del termine latino ‘orbis‘ da quello di sfera a quello di orbita. Questo fatto non è per nulla banale, ma dirompente. Infatti le sfere cristalline sostengono i pianeti a determinate distanze relative; quando le sfere vengono meno cos’è che sorregge i pianeti ? A partire da questo momento è aperto il problema dell’individuazione delle forze che agiscono nella dinamica planetaria. Un appunto solo prima di terminare con Tycho è relativo agli oroscopi, a quella pratica che ha riguardato e riguarderà la maggior parte degli astronomi dell’antichità. Egli sosteneva, a sostegno di essi che: “Il Sole, la Luna e le stelle bastano per i nostri usi. Sarebbe inutile mettere insieme i pianeti in una marcia maestosa, regolati da loro belle leggi, se non avessero un’utilità propria e diretta che è l’oggetto dell’astrologia“. In altra parte sostiene che anche le comete devono avere una qualche influenza sulle vicende terrene, perché la natura non fa nulla invano. Infine avanza la strana idea che le stelle hanno la virtù di stimolare le forze dei pianeti.

Un oroscopo fatto da Thyco

    Nello stesso anno della morte di Tycho, Kepler scriveva al suo amico Maestlin (20 dicembre 1601) dicendo:

L’opera più importante di Tycho sono le sue osservazioni, altrettanti grossi volumi che annate impiegate in questo lavoro […] Puoi vedere in qual modo Dio dispensi i suoi doni. Nessuno può tutto. Tycho ha fatto come Ipparco, ha gettato le fondamenta dell’edificio e ha compiuto un lavoro enorme. Questo Ipparco aveva bisogno di un Tolomeo che edificasse, su quella base, le teorie degli altri cinque pianeti. Io l’ho fatto mentre egli era ancora in vita.

JOHANN KEPLER

      Kepler (1571 – 1630) nacque a Weil der Stadt in Württemberg nel 1571. La sua famiglia era protestante e di modeste condizioni economiche. Dal 1579 studiò a Tubinga dove divenne un seguace di Copernico. La tentazione dell’epoca di seguire una carriera ecclesiastica fu rifiutata da Kepler perché si rese immediatamente conto della ristrettezza delle visuali del clero luterano. Scelse lo studio della scienza accettando (1594) l’incarico di soprintendente di matematica della Stiria ed insegnò a Graz (ma sembra che la matematica non fosse il suo forte: gli alunni disertavano le sue lezioni), “arrotondando”, come quasi tutti gli astronomi dell’epoca, facendo oroscopi e predizioni (e poiché qualche predizione si avverava, venne preso in considerazione come buon astrologo).

    Nel 1595, all’età di 24 anni, pubblicò la sua prima opera, il “Mysterium Cosmographicum“, con la quale credette di aver svelato i segreti del sistema planetario. In realtà ciò che aveva fatto era la scoperta che vi sono una mole di ragioni per abbandonare il sistema tolemaico e per abbracciare quello copernicano, ragioni però molto tecniche che non rappresentavano comunque alcuna “prova”, almeno agli occhi del grande pubblico. Il Mysterium fu mandato sia a Tycho che a Galileo ma aveva un grave difetto, soprattutto se visto con gli occhi di un personaggio che è uscito dalle pastoie del misticismo, della numerologia, della magia, dell’animismo e dell’ermetismo: è intriso di tutte le cose dette in modo esasperato, tanto che oggi ci vuole davvero uno sforzo di ottima volontà a rintracciare i contributi scientifici originali, che pure vi sono. Un esempio lampante di ciò che dico è il breve rapporto epistolare che Galileo intrattenne con Kepler. Si scrissero nel 1597 (mentre Galileo si trovava a Padova); ambedue confidarono il loro essere copernicani; Kepler apertamente, Galileo titubante perché non si azzardava ad avanzare una qualche teoria senza avere delle sensate esperienze e dimostrazioni a sostegno di essa. Ma la lettura di queste lettere, specialmente quella di Galileo a Kepler dell’agosto 1597 (in cui Galileo si mostra entusiasta del lavoro di Kepler) e quella di Kepler a Galileo dell’ottobre dello stesso anno, mostra due caratteri diversi, Galileo che faticosamente tentava di uscire dal 1500, Kepler che, pur muovendosi con idee “moderne”, era pienamente impantanato in quel clima. Sta di fatto che Galileo provava quasi fastidio a leggere gli scritti del suo collega, noiosi, contorti, difficili e prolissi, scritti dai quali si faceva una enorme fatica a ricavare qualcosa di utile. Vi sono inoltre moltissimi calcoli errati che poi si sistemano compensandosi fortunosamente. La differenza tra i due si nota facilmente leggendo un qualunque brano di Kepler e confrontandolo con un qualunque brano di Galileo. E questo anche per rispondere a qualche critico che, oggi, rimprovera a Galileo di non aver tenuto conto dell’ellitticità delle orbite planetarie che Kepler aveva scoperto.

       Ma veniamo ad alcune delle cose che fanno da spessa cornice ai contributi scientifici di Kepler. Innanzitutto la mistica dei numeri governa il mondo. Si tratta di immaginare un mondo di orbite che si incastrano alternativamente con i cinque solidi regolari (vedi figure). Si inizia con la sfera di Saturno che è circoscritta ad un cubo; nel cubo è inscritta la sfera di Giove che, a sua volta, è circoscritta ad un tetraedro; questo tetraedro è circoscritto alla sfera di Marte che, a sua volta, è inscritta in un dodecaedro; al dodecaedro, per circoscrizioni ed inscrizioni successive, segue la sfera della Terra, l’icosaedro, la sfera di Venere, l’ottaedro, la sfera di Mercurio, quindi il Sole al centro dell’intero sistema (si osservi che, per permettere l’eccentricità delle orbite ellittiche che Kepler scopre, occorre ammettere che ogni sfera abbia uno spessore tale da poter contenere appunto l’eccentricità dell’orbita). 

Dal Mysterium Cosmographicum (II edizione, Tubinga 1597). In alto a destra  è riportata in dettaglio la parte più interna della figura grande.

Un disegno che mostra le successive inscrizioni di solidi regolari e sfere

Da Harmonices mundi

       I conti, con i dati osservativi di Copernico e, soprattutto, con l’enorme mole di quelli di Tycho, gli tornavano in modo abbastanza approssimato. È poi interessante osservare che anche numero di pianeti e di solidi erano in accordo. Ancora non si conoscevano i pianeti al di là di Saturno. E mentre i pianeti sono cresciuti di numero, i solidi regolari sono restati 5. Ma tant’è. Egli diceva:

 Io mi impegno a dimostrare che Dio, nel creare l’Universo e nel regolare l’ordine del cosmo, aveva in vista i cinque corpi regolari della geometria, così come sono conosciuti dai tempi di Pitagora e Platone, e che Egli ha stabilito, in accordo con le loro dimensioni, il numero dei cieli, le loro proporzioni e le relazioni dei loro movimenti.

    Ed in accordo con Pitagora e Platone vi è una visione dell’Universo intrisa di misticismo. Il Sole è Dio Padre e per questo merita di stare al centro dell’Universo; la Sfera delle stelle è il Figlio mentre l’Etere, attraverso cui lo spirito del Sole muove i pesanti pianeti, è lo Spirito Santo. Inoltre, riprendendo temi che già erano stati di Hermes Trismegisto e Marsilio Ficino, afferma:

Il Sole è il corpo più bello, è l’occhio del mondo. In quanto fonte della luce o lanterna risplendente, adorna ed abbellisce gli altri corpi del mondo… Per quanto riguarda il calore, il Sole è il focolare del mondo… La sfera delle stelle fisse trattiene il calore affinché non si disperda ed è simile ad una parete, ad una pelle o ad un abito del mondo… Il Sole è l’unico luogo che noi giudicheremmo degno di Dio altissimo, qualora egli si compiacesse di avere una dimora materiale e scegliesse un luogo in cui abitare con gli angeli benedetti… Il Sole è l’unico luogo degno di diventare la casa di Dio.

     Ma i numeri e la geometria forniscono a Kepler argomenti contro l’infinità dei mondi sostenuta da Bruno. Dice Kepler:

La geometria è una ed eterna, splendente nella mente di Dio… Nella geometria poi, dopo la sfera vi è una famiglia di figure che è la più perfetta di tutte, quella dei cinque corpi solidi euclidei. Ebbene questo nostro mondo planetario è disposto secondo la regola ed il modello di questi solidi [descritti più su]… A quale scopo sarebbero infiniti, se ciascuno racchiudesse in sé ogni perfezione [come questo nostro] ?”

      Il Libro V di “Harmonices Mundi“, che Kepler pubblicò nel 1619 e che contiene l’enunciato della sua terza legge, ha questo indice:

1 – Sulle cinque figure solide regolari.

2 – Sulle affinità tra esse ed i rapporti armonici.

3 – Compendio sulla dottrina astronomica necessaria per speculare sulle armonie celesti.

4 – In quali cose pertinenti ai moti planetari le semplici consonanze sono state espresse e che tutte quelle consonanze che sono presenti nel canto si trovano nei cieli.

5 – Che le chiavi della scala musicale, o gradi del sistema, e i generi delle consonanze, il maggiore e il minore, sono espressi in certi moti.

6 – Che i singoli Toni e Modi musicali sono in qualche modo espressi dai singoli pianeti.

7 – Che i contrappunti o armonie universali di tutti i pianeti possono esistere ed essere diversi l’uno dall’altro.

8 – Che i quattro tipi di voci sono espressi nei pianeti; soprano, contralto, tenore e basso.

9 – Dimostrazione che al fine di garantire questa armonica disposizione, quelle vere eccentricità planetarie che qualunque pianeta ha come proprie, e non altre, devono essere stabilite.

10 – Epilogo relativo al Sole, per mezzo di molto fertili congetture.

 

Una pagina di Harmonices Mundi

Un oroscopo fatto da Kepler

      E tutta questa impalcatura musicale gli serve per mostrare che i pianeti ruotando intorno al Sole, cantano le lodi del Signore. È un canto eterno ed intonato. Noi non riusciamo a sentirlo ma esso è dato dai rapporti speciali che esistono tra velocità e distanze dei pianeti dal Sole. Ogni pianeta ha una sua melodia (vedi figura) e la Terra, in particolare percorre la sua orbita intonando eternamente un MI-FA-MI e da questo Kepler conclude che “da questo si può capire che la MI-seria e la FA-mine regnano dovunque in questo mondo“.

La scrittura delle note da parte di Kepler in Harmonices Mundi

Da I. B. Cohen.  La traduzione delle note precedenti nei simboli a noi noti.

      L’universo di Kepler resta finito e sostanzialmente aristotelico, nonostante le fondamentali novità introdotte e di cui dirò alla fine di questo scritto.

     Concludo questa parte relativa al tormentato misticismo di Kepler con due considerazioni che fece nel 1610 quando fu informato della scoperta di Galileo dei satelliti di Giove. Inizialmente ebbe un sussulto ed esclamò: “Che abbia avuto ragione Bruno?“. Quindi scrisse: “Perché [tali satelliti] dovrebbero ruotare intorno a Giove se su questo pianeta non vi è nessuno a contemplare tale spettacolo?“.

    Ma torniamo alla succinta biografia del nostro astronomo. Lo avevamo lasciato con la pubblicazione del Mysterium nel 1595. Nel 1598 l’Arciduca Ferdinando d’Austria, dopo un pellegrinaggio a Loreto, iniziò una campagna di persecuzione contro i protestanti. Kepler, cacciato dalla Stiria, fuggì e si rifugiò a Praga, luogo dove Tycho esercitava come matematico imperiale al servizio di Rodolfo II di Bohemia. Nel 1600 Tycho lo chiamò a Praga perché gli facesse da assistente. Un anno dopo Tycho moriva e lasciava a Kepler l’enorme eredità di tutti i suoi manoscritti di dati osservativi. Nel 1602, Rodolfo II lo nominò al posto di Tycho (alla cui memoria fu sempre fedele, anche se Galileo non si mostrò d’accordo con questo).

    A parte una piccola opera di ottica del 1604 (Ad Vitellionem paralipomena), Kepler lavorava intensamente ad elaborare i dati di Tycho e nel 1609 pubblicò Astronomia Nova aitiologhtoV seu Physica coelestis (la parola greca che è nel titolo significa che egli non si accontenta di una descrizione cinematica ma intende ricercare anche le cause che producono i fenomeni celesti), opera nella quale, dallo studio delle posizioni di Marte, ricava le prime sue due leggi (orbite ellittiche e costanza della velocità aereolare) solo in questo ambito ristretto.

(1ª legge) Le orbite dei pianeti sono delle ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi (questa legge fu stabilita da Kepler nel 1605).

(2ª legge) Le aree spazzate dal segmento che unisce un pianeta con il Sole (raggio vettore) sono proporzionali ai tempi impiegati a spazzarle (questa legge fu la prima ad essere trovata da Kepler nel 1602).

    E’ interessante notare che Kepler studiò per molti anni i suoi dati su Marte perché le osservazioni non si accordavano con nulla ed in particolare facevano vacillare per intero il sistema di Tycho. Ma la sua guerra con Marte la vinse proprio con la scoperta delle due leggi precedenti. Fu successivamente che Kepler si rese conto che queste leggi funzionavano bene anche per gli altri pianeti, con il riconoscimento della correttezza non già del sistema di Tycho ma di quello di Copernico. Riguardo alla scoperta delle orbite ellittiche, le cose stanno pressappoco così. Kepler aveva iniziato con criticare Copernico per non aver fatto coincidere il centro dell’universo con il Sole. Egli riteneva che la forza che muoveva i pianeti provenisse da lì e quindi quello dovesse essere il centro. Ma con alcune misure si rese conto che il centro esatto non era il Sole S ma un centro C spostato (poi individuato come uno dei fuochi dell’ellisse). A questo punto Kepler credeva ancora ad un orbita circolare. Ma i dati lo portavano a sistemare il centro della circonferenza in C e non in S. Il problema era il seguente: perché i pianeti ruotano intorno a C se la forza che li muove procede da S ? Fu qui che Kepler escogitò la soluzione, supponendo che ogni pianeta fosse soggetto a due influenze

contraddittorie: da una parte la forza del Sole ed un altra che doveva essere localizzata nel medesimo pianeta. La concomitanza delle due influenze faceva sì che il pianeta alcune volte si avvicinava ed altre si allontanava dal Sole. Proseguendo in queste considerazioni e con la convinzione che dal Sole emana la forza principale che muove i pianeti, esso doveva agire con maggiore forza sul pianeta quando esso era più vicino e minore quando era più lontano con conseguenze sulle velocità del pianeta, maggiori a più piccola distanza e viceversa. E furono queste ultime considerazioni che Kepler poté verificare con le osservazioni, dalle quali uscì fuori per prima la seconda legge. E questo sembrava più accettabile della distruzione delle circonferenze, anche se, lungo il lungo cammino della Astronomia Nova, alla fine del capitolo 44, deve ammettere che l’orbita di Marte è ovale. E su questo ovale lottò ancora mesi. Finché il 4 luglio 1603 non scrisse all’ amico Fabricius queste parole: se la forma fosse semplicemente una ellisse perfetta, tutte le risposte potrebbero stare nei lavori di Apollonio ed Archimede. Ma dovette ancora lavorare molto per riuscire a trovare una legge matematica che descriveva il moto di Marte intorno al Sole. Ci riuscì dopo anni di interminabili calcoli anche se non si rese conto che quella formula descriveva proprio un’ellisse. Per ironia della sorte questa formula fu rifiutata da Kepler che fece tabula rasa di tutto e ricominciò i suoi calcoli a partire dall’ipotesi che l’orbita fosse ellittica ! Dopo altro periodo di lavoro (in totale 4 anni) si accorse che dove era arrivato era proprio a quella formula che aveva rifiutato.

    Nel 1610 scrisse Dissertatio cum Nuntio Sidereo. Accoglieva con entusiasmo i lavori di Galileo ma, come già detto, non lo convincevano i satelliti di Giove. Sempre nello stesso anno, nella “Narratio“, dopo varie osservazioni al telescopio, darà ragione completa a Galileo.

    Nel 1611 scrisse la Diottrica.

    Nel 1615 scrisse la Stereometria doliorum, un trattato sulla cubatura delle botti che darà un certo impulso a ricerche di analisi infinitesimale.

    Tra il 1618 ed il 1620 pubblicò il ponderoso Compendio di astronomia copernicana nel quale estese le sue due prime leggi a tutti i pianeti. È da notare che questo libro sarà messo all’Indice nel 1632, in occasione del Processo a Galileo. Solo nel 1821 fu tolto da tale Indice.

    Nel 1619 pubblicò un trattato sulle comete ma, soprattutto, le Harmonices Mundi in cui è enunciata la sua terza legge che mette in relazione periodi di rotazione dei pianeti intorno al Sole con distanze di essi dal Sole medesimo.

(3ª legge) I quadrati dei tempi T, impiegati dai pianeti a percorrere la loro orbita, sono direttamente proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle ellissi descritte dai pianeti. 

    Nel 1627 pubblicò le Tavole Rudolfine, che sostituiranno definitivamente le precedenti e che per circa 100 anni saranno la bibbia di astronomi e naviganti. Quest’ultima opera vide la luce ad Ulm. Prima che in questa città egli aveva soggiornato a Linz ma anche da lì dovette fuggire a seguito di ulteriori persecuzioni di protestanti da parte dei cattolici. Le peregrinazioni che dovette affrontare in quell’epoca per tentare di vedere riconosciuti dei suoi diritti gli minarono la salute. Si spense nel 1630 a Regensburg (Baviera). Ma qui già siamo in epoca moderna nella quale opera o sta per operare: Galileo, Descartes, Huygens, Leibniz, Newton, …. Dal Seicento la scienza ricomincia ad acquistare autorità e a diventare motore di progresso civile e morale nonostante gli ostacoli, a volte criminali, delle varie chiese del mondo.

      È doveroso ricordare che Kepler contribuì molto ad eliminare dal sistema copernicano molte difficoltà e stonature che rappresentavano ancora un retaggio delle filosofia aristotelica e della cosmologia tolemaica. Come Tycho mise in dubbio l’esistenza delle sfere che sostengono i pianeti e iniziò a parlare di “orbite” ed aggiunse anche il fatto che nell’universo non si hanno moti uniformi. Fu il primo a capire che era necessario individuare una causa che rendesse conto di questo moto dei pianeti su determinate orbite, oltre ad aver capito (ed iniziato con ciò ad eliminare le pitagorico-platoniche circonferenze) l’esistenza di orbite ellittiche.

PRIMI PASSI IN FISICA

    La fisica è il capitolo della scienza che più tarda ad affermarsi svincolato da certe tradizioni aristotelico scolastiche. Inoltre, tale capitolo non godeva di importanti eredità dalla scienza classica: escludendo Archimede si aveva a che fare piuttosto con dei tecnici. Vi erano, comunque e come abbiamo visto, varie insoddisfazioni relative alla fisica di Aristotele ma quell’edificio era impressionante per come era tenuto insieme in modo solido. Sembrava inattaccabile,m soprattutto da quando era diventato un quasi dogma per la Chiesa. I tentativi fatti di qualche cambiamento riguardavano o fenomeni nuovi che Aristotele non aveva potuto prevedere o elaborazioni marginali o il problema del moto con tutto ciò che oggi conosciamo come cinematica e dinamica (gli sviluppi dei concetti di massa e peso li ho trattati qui). Su quest’ultimo capitolo la cosa più importante che era stata fatta riguardava la teoria dell’impetus, quindi la messa in discussione del concetto aristotelico di luogo, la prima affermazione della relatività del moto, la scoperta di alcuni teoremi di statica e cose del genere.

    Durante il Cinquecento vi è ancora molto poco da dire sulle novità in fisica le quali riguardano ancora gli argomenti che ho accennato (lo sviluppo storico dell’ottica l’ho trattato qui). E’ evidente che occorrerà aspettare il Seicento, la ricaduta impressionante del lavoro di Copernico che, come ho accennato, descriveva un universo differente senza preoccuparsi del rivolgimento completo che ne conseguiva proprio in termini di fisica. Più il sistema copernicano si faceva strada, più non si capivano bene le leggi del movimento,  e neanche se dovessero esservi o no delle leggi. Prima era tutto finalizzato ed ordinato, ora si aprivano abissi di ignoranza su tutto. Davvero non si capiva da che parte cominciare a descrivere il mondo circostante; era chiara solo la lezione del fare molta attenzione all’empirismo ingenuo. Sarà Galileo che indirizzerà lo studio della natura su binari certi a partire dai problemi che la stessa astronomia poneva.

    I contributi cinquecenteschi alla meccanica sono alcune cose degli italiani Tartaglia, Cardano, Dal Monte, Commandino, Maurolico e  Benedetti (11) e del fiammingo Stevin.

    Nel 1537 Nicolò Tartaglia nel suo libro Nova Scientia, occupandosi di problemi di meccanica e balistica si convinse che la traiettoria di un proiettile risulta curva fin da quando il proiettile lascia la bocca che lo ha sparato, aprendo la strada al problema della composizione dei movimenti. La visione affermata in precedenza era nota come tripartita: tre momenti distinti del moto del proiettile, come mostrato

 in figura. Per Tartaglia il moto violento, quello della prima fase, si incurva a causa della pesantezza del proiettile, fin dall’inizio anche se tale curvatura non riusciamo ad apprezzarla ad occhio. Se così non fosse, nella traiettoria tripartita avremmo a che fare con pezzi di traiettoria rettilinea che, con un angolo, lascia spazio alla

successiva traiettoria rettilinea, una spezzata, insomma. In definitiva Tartaglia richiede che la curva che descrive il moto del proiettile sia continua. Egli resta nell’alveo della tradizione ma non così il modo di presentare le cose che, per la prima volta, subiscono un trattamento di tipo geometrico, alla Euclide. Inoltre egli rifugge da dibattiti filosofici per rivolgersi a coloro che operavano praticamente con le questioni oggetto di discussione.

     Nel 1580 Giovanni Battista Benedetti (1530 – 1590) introdusse il concetto di forza centrifuga in meccanica, dimostrando che un corpo ruotante, lasciato a se stesso, si sposta in linea retta secondo la tangente della traiettoria circolare. Nel far questo fece un grande sforzo di matematizzare le cose che studiava. Più tardi, nel 1585, nel Diversarum speculationum mathematicarum et phvsicarum liber, dimostrò l’indipendenza della velocità di un grave dal suo peso, spiegando l’accelerazione di un corpo cadente con una serie di successivi impeti. Nel far questo mette in discussione le concezioni assolute di Aristotele su peso e leggerezza, sostituendoli con la relatività di peso e leggerezza in funzione della densità dei corpi e del mezzo in cui si trovano. Qui sentiamo chiaramente gli influssi di Archimede che permettono di superare le concezioni di Aristotele. Benedetti è un fiero sostenitore dell’impetus (da lui modificato come qualcosa che esiste in linea retta e non su moti circolari nei quali l’impetus si ritrova solo nell’andarsene un oggetto per la tangente) ed un avversario delle concezioni aristoteliche del moto: il mezzo è sempre un ostacolo e mai un sostegno al moto. Più in generale, per Benedetti la critica ad Aristotele è soprattutto su una cosa: il non aver capito la fondamentale importanza della matematica, un fondamento indistruttibile, nella descrizione della natura. Senza la matematica non si hanno dei riferimenti precisi e, ad esempio, non si capisce se un corpo in caduta acceleri nella misura in cui si avvicini alla meta o nella misura in cui si allontani dal punto di partenza. Insomma Aristotele ha sbagliato tutto con la sua teoria del moto ed ha fatto un errore più grande di tutti negando il vuoto per l’impossibilità di moto o per un moto a velocità infinita in esso. Il moto si avrebbe ugualmente e tale moto sarebbe solo aiutato di quella parte che ora occorre sottrarre come resistenza del mezzo in cui l’oggetto si muove. E la sua critica si estende alla teoria dei luoghi naturali di Aristotele, teoria che comporta la sua falsa cosmologia che prevede inoltre un universo finito. Perché Aristotele dice queste cose false ? Perché non apprezzava la matematica e non capiva il carattere attuale dell’infinito. Se si dispone, infatti, di un segmento esso può essere iterativamente diviso a metà e ciò vuol dire che la molteplicità dell’infinito è tanto reale come quella del finito. Insomma, si vede che siamo già vicini al nuovo secolo. E’ lontano Aristotele tanto quanto è vicino Galileo.

    Nel 1586 il fiammingo Simon Stevin (1548 – 1620) nei Principi di statica enuncia la teoria del piano inclinato (già indagato da Nemorario) e del parallelogramma delle forze, fondamenti della statica moderna. E’ famoso l’apparato di Stevin a proposito dell’equilibrio sui piani inclinati. Stevin lavorava alla costruzione di dighe, fortificazioni, mulini ad acqua. Per il suo lavoro erano indispensabili macchine che fossero in grado di alzare grandi pesi. Stevin cercò di trovare una macchina che realizzasse il moto perpetuo. Per eliminare ogni facile ironia occorre dire che all’epoca non vi era

nulla di teorico che impedisse di pensare tale cosa. Non siamo a conoscenza degli apparati che costruì per realizzare la sua impresa ma, è certo, egli seppe trarre vantaggio dagli insuccessi iniziando con l’accettare l’impossibilità del moto perpetuo e quindi ricavando da un apparato che avrebbe potuto dare moto perpetuo, le leggi del massimo che si sarebbe potuto ottenere e cioè l’equilibrio. Egli realizzò così due piani inclinati poggianti sullo stesso piano e con medesima altezza, tali che messi insieme avessero formato un prisma triangolare. Appoggiò sul sistema una catena chiusa con pesanti maglie in grado di scivolare con pochissimo attrito lungo i due piani inclinati. A prima vista sembrerebbe che la catena dovrebbe scivolare sulla sinistra della figura perché lì vi è maggiore peso (12 maglie invece di sei). Se ciò avvenisse avremmo realizzato il moto perpetuo perché sempre sulla sinistra vi sarebbero il doppio delle maglie che a destra. Stevin ebbe a scrivere wonder en is gheen wonder (un meraviglia che non meraviglia). Si era reso conto che il peso delle maglie opera tanto meno quanto minore è l’inclinazione del piano. Pertanto i pesi sistemati su piani inclinati si mantengono in equilibrio se sono proporzionali alle lunghezze dei piani. Se uno dei piani è perpendicolare alla base, allora il tratto verticale di catena rappresenta la forza che mantiene in carico sopra il piano obliquo: la forza sta quindi al carico come l’altezza del piano inclinato alla sua lunghezza. Questa conclusione è molto importante. Elaborandola si arriva alla regola del parallelogrammo delle forze che Stevin formulò nel 1585 (vedi tratta da Stevin) ma che dovette attendere il 1687 (Varignon) per averne una formulazione moderna.

    Nella sua Statica, Stevin si occupò anche delle condizioni di equilibrio della leva riconducendole a quelle di una bilancia a bracci uguali. Un prisma retto omogeneo viene supposto sospeso per il suo centro (vedi figura), che è nello

stesso tempo il suo centro di gravità, T. È evidente che sarà in in equilibrio. Dividiamolo mentalmente in sei parti uguali con le rette AD, FG, GH, IK, LM, VO, BC. Uniamo, ancora mentalmente, le quattro parti di sinistra e le due parti di destra: i loro centri di gravità rispettivi saranno in S e in X. Sostituiamo ciascuno di tali corpi con un peso uguale sospeso al centro di gravità di ciascuno, questi essendo uniti da una sbarra rigida: l’equilibrio non ne sarà modificato. Ora, la distanza che separa T da S e da X è inversamente proporzionale ai pesi sospesi. E questa proposizione ha valore generale qualunque sia la forma dei corpi in questione o la maniera in cui sono sospesi alla rigida della bilancia.

    Stevin è anche noto per essersi occupato di idrostatica e sempre con lo stesso spirito, quello della ricerca delle condizioni di equilibrio. Nel 1605 dimostrò che la pressione di un liquido sul fondo di un recipiente è indipendente dalla forma del recipiente e proporzionale al peso specifico del liquido (paradosso idrostatico).

    I lavori di Stevin avrebbero avuto certamente attenti lettori se solo fossero state scritte in lingua diversa dall’olandese che per il suo sciovinismo (la ritiene la lingua più antica del mondo e la più adatta a scrivere di scienza) egli si ostina ad utilizzare. Purtroppo, oltre a questo inconveniente le sue opere furono pubblicate molto tardi tra il 1605 ed il 1608 ed addirittura dopo la sua morte (1634) in traduzione francese.

    Nell’ultimo quarto del Cinquecento iniziarono anche i contributi di Galileo, fortificazioni, meccaniche, compasso geometrico, bilancia idrostatica… ma vanno tutti nel senso delle cose ora dette: contributi importanti ma non significativi. Non vi sono novità d’interesse e comunque tali da meritare una trattazione dettagliata. Con il nuovo secolo, con i lavori del Galileo copernicano, inizia il fondamento della nuova fisica. Ma di tutto questo ho trattato già abbondantemente in altre pagine che si possono trovare in questo indice, dove tra l’altro si possono trovare le opere di Giordano Bruno, tutte le opere di Galileo compresa la sua corrispondenza.

All’articolo precedente.


NOTE

(1) Questi aspetti sono stati studiati in dettaglio nel mio Religione, magia e scienza nel Rinascimento italiano.

(2) Riferendoci alla figura la costruzione si fa nel modo seguente. Dato il segmento AB si tracci il cerchio di pari diametro e tangente ad esso in B, quindi la secante

per A passante per il centro C del cerchio. La parte esterna della secante (AE) è la sezione aurea del segmento, essendo la tangente (AB) media proporzionale tra l’intera secante (AD) e la sua parte esterna (AE) [per il teorema della tangente e della secante che si trova in Euclide, Elementi, Libro III, Proposizione 36]. Essendo poi ED = AB e per le proprietà delle proporzioni (scomponendo ed invertendo) risulta:

AD : AB = AB : AE    =>   (AD – AB) : AB = (AB – AE) : AE    =>

=>    AS : AB = SB : AS     =>    AB : AS = AS : SB

e l’ultima espressione è proprio quella che ci fornisce la divina proporzione.

Osservo a parte che esempi di divina proporzione ve ne sono in natura e nella musica.

(3) Riporto qui i contributi di vari matematici noti e meno noti con le loro opere fino alla metà del Seicento in modo da fornire un minimo quadro d’insieme dello sviluppo della matematica, anche se il mio lavoro si fermerà alla fine del Cinquecento. Alcuni dei matematici qui citati, per l’interesse che hanno ai fini di questo lavoro, li riprenderò diffusamente nel testo.

– 1484. La più antica notazione del segno delle radici quadrate e cubiche con l’indice che le determina compare nel trattato di Nicolas Chuquet (1445-1500), francese, intitolato Le triparty en la science des nombres. Vi compare anche la prima idea di logaritmo come confronto tra una progressione aritmetica e una progressione geometrica.

– 1489. Jobann Widmann (1460-?), tedesco, nell’ Aritmetica mercantile fa uso per la prima volta dei segni + e – per indicare eccesso e difetto.

– 1505. Nel trattato di trigonometria De triangulis per maximorum circulorum segmenta constructis, il tedesco Johann Werner (1468-1528) enuncia le formule per trasformare in un prodotto la somma o la differenza di due coseni (formule di prostaferesi).

– 1515. Scipione Dal Ferro (1465-1526), in una lettera a Pompeo Bolognetti, indica il metodo per risolvere un caso particolare di equazione cubica.

– 1518. Heinrich Schreiber (1496- ?), tedesco, in un trattato di aritmetica abbandona la considerazione generale della duplicazione e della bisezione come speciali operazioni, intendendole come casi speciali della moltiplicazione e divisione.

– 1525. Albrecht Dürer (1471-1528), celebre pittore tedesco, nelle Istituzioni geometriche si avvale per la rappresentazione di poliedri regolari non solo della prospettiva, ma anche dello sviluppo su un piano.

– 1526. Girolamo Cardano (1501-1576) scrive a Padova il trattato De Ludo Aleae, sui giuochi d’azzardo.

– 1527. Il triangolo aritmetico dei coefficienti delle potenze del binomio è stampato sul frontespizio della 1ª edizione di un’Aritmetica del matematico tedesco Petrus Apianus (1495-1552).

– 1530. Christopher Rudolf (? -1552), tedesco, in una raccolta di problemi aritmetici insegna che la divisione di un numero per 10 e 100 si può agevolmente effettuare collocando una virgola in posizione opportuna e introduce per disegnare la radice quadrata il segno √.

– 1532. Nel De Rebus Mathematicis, il francese Oronzio Fineo (1494-1555) studia l’inserzione tra due seguenti rettilinei di due medie proporzionali e la determinazione del rapporto tra circonferenza e diametro del cerchio.

– 1534. Anton Maria Fiore, in possesso della regola di Dal Ferro per risolvere equazioni cubiche. lancia una matematica disfida a Niccolò Tartaglia relativa alla soluzione di problemi implicanti equazioni di terzo grado a cui Tartaglia risponderà vittoriosamente esponendo la regola della soluzione.

– 1539. Girolamo Cardano nella Practica arithmeticae studia le operazioni sui numeri interi, frazionari e irrazionali.

– 1542. Nel De crepuscolis liber Pedro Nuñez (1502-1578), spagnolo, rende noto un procedimento per stimare la parte frazionata di un intervallo del cerchio graduato.

– 1544. Il tedesco Michael Stifel (1487-1567) nell’Arithmetica integra introduce la denominazione di esponente, adotta simboli per più numeri generali e loro potenze e avvia il calcolo logaritmico fondato sul confronto tra due progressioni, aritmetica l’una e geometrica l’altra; egli costruisce pure una tavola dei coefficienti binomiali fino al 17° ordine ed espone le regole per elevare a potenza un binomio.

– 1545. Girolamo Cardano nel trattato di algebra intitolato Ars magna, discute le radici negative e immaginarie delle equazioni, stabilendo le relazioni che legano le radici ai coefficienti di un’equazione, ed espone il sistema di soluzione algebrica delle equazioni di terzo grado, che gli era stato confidato da Tartaglia sotto il vincolo del segreto.

– 1545. Luigi Ferrari (1520-1565). allievo del Cardano, a 25 anni trova la soluzione dell’equazione di 4° grado.

– 1546. Niccolò Fontana, detto Tartaglia (1500-1557), nel nono libro dei Quesiti et inventioni diverse, enuncia il sistema di soluzione delle equazioni cubiche ridotte, da lui trovato nel 1534 per rispondere alla sfida di Anton Maria Fiore.

– 1551. Johannes Reticus (1514-1557), tedesco, nel Canon doctrinae triangulorum definisce le linee trigonometriche mediante un triangolo rettangolo mettendone in luce la connessione non con archi di cerchio, ma con gli angoli da essi sottesi.

– 1556. In uno scritto sull’algebra, Jacques Pélétier (1517-1582), francese, scopre che, se una equazione algebrica ha l’unità per coefficiente della massima potenza dell’incognita e interi tutti gli altri coefficienti, ogni sua radice sarà un divisore del termine noto.

– 1556. Le due prime parti del General Trattato di Numeri et Misure, di Niccolò Tartaglia sono pubblicate a Venezia. Contengono: il triangolo aritmetico di Tartaglia, per calcolare le prime 11 potenze del binomio.

– 1557. In un trattato di aritmetica l’inglese Robert Recorde (1510-1558) introduce l’uso del segno = per indicare uguaglianza di due quantità: poiché mai due cose possono essere più eguali di due parallele.

– 1558. Appare l’opera Due Brevi e Facili Trattati, il Primo d’Aritmetica, l’Altro di Geometria di G. F. Peverone, contenente tra l’altro la soluzione di un semplice problema di calcolo delle probabilità.

– 1560. Le ultime quattro parti del General Trattato di Numeri et misure, di Niccolò Tartaglia, sono pubblicate postume, da manoscritti dell’autore.

– 1572. Raffaele Bombelli (1530-1572) pubblica un trattato di Algebra in cui espone il metodo per risolvere le equazioni biquadratiche e bicubiche, introduce il concetto di numeri immaginari o complessi e dà il procedimento dell’estrazione delle radici quadrate mediante lo sviluppo in frazioni continue.

– 1575. Francesco Maurolico (1495- 1575), negli Arithmeticorum libri duo, applica per primo il principio di induzione matematica, dimostrando che la somma dei primi  numeri dispari è eguale al quadrato di n.

– 1585. Il belga Simon Stevin (1548-1620) a Leida espone, in un trattato di aritmetica intitolato La Disme, la teoria delle frazioni decimali, auspicando che esse sostituiscano le normali frazioni anche nei sistemi di misura. Rifiuta inoltre che solo i numeri interi siano veramente numeri, e afferma la continuità degli insiemi di numeri reali.

-1589. Giacomo Zabarella (1533-1589) nei De rebus naturalibus libri, considera la logica come disciplina strumentale della conoscenza scientifica.

– 1591. Il francese François Viète (1540-1603) nel trattato In artem analyticam isagoge, dà la prima esposizione di algebra simbolica, in cui le lettere sono usate per indicare tanto le quantità conosciute quanto le incognite usate nel calcolo algebrico e introduce il nome di polinomio.

– 1592. Galileo Galilei lascia la cattedra di matematica di Pisa per l’ostilità dei colleghi e la scarsa retribuzione ed è nominato lettore di matematica all’Università di Padova, dove si tratterrà per diciotto anni da lui detti i più felici e fecondi della sua vita.

– 1593. François Viète nello scritto di trigonometria Ad logisticen speciosam notae priores, enuncia le formule trigonometriche della moltiplicazione degli archi.

– 1593. Adrien van Rooman (1561-1615), olandese, studiando il problema della quadatura del cerchio trova il valore di π per un poligono di 251.658.240 lati, uguale a 3,1415926635597931.

– 1593. Adrien van Rooman lancia una sfida agli algebristi proponendo il problema della soluzione di una equazione di quarantacinquesimo grado che è risolto brillantemente da François Viète che trova ventitrè soluzioni.

– 1595. Il tedesco Bartholomäus Pitiscus (1561-1613) pubblica a Francoforte il primo libro intitolato alla trigonometria: Trigonometriae sive de dimensione triangulorum libri quinque.

– 1596. Ludolph van Ceulen (1540-1610), maestro di scherma olandese, nel De cerchio dà le formule trigonometriche della trisezione degli archi.

– 1596. Nell’Opus palatinum de triangulis, Valentin Otho (1550- ?)tedesco, costruisce una tavola trigonometrica calcolando i seni, le tangenti e le secanti di 10 minuti, 10 secondi, essendo il raggio 1010.

– 1598. Adrien van Rooman in uno scritto di algebra espone la procedura per calcolare potenze quadratiche, cubiche e di grado superiore.

– 1600. Guidobaldo Dal Monte (1545-1607) nei Perspectivae libri sex dimostra che la proiezione centrale di un sistema di rette parallele è un fascio di rette concorrenti.

– 1604. In un capitolo dedicato allo studio delle coniche nei Ad Vitellionem in paralipomena John Kepler (1571-1630),  tedesco, enuncia quello che sarà chiamato principio di continuità, mostrando come esempio che una parabola è al tempo stesso caso limite di una ellissi o di una iperbole.

– 1606. Nelle Operazioni del compasso geometrico e militare, Galileo Galilei (1564-1642) descrive il funzionamento del compasso a settore da lui inventato.

– 1608. Il tedesco Pietro Rothe nell’Arithmetica Philosophica scopre che il numero delle radici di una equazione algebrica non può superare il grado dell’equazione. 

– 1612. Claude Bachet de Meziriac (1581-1638), francese, descrive in uno scritto di aritmetica il metodo per risolvere il problema dei resti, di determinare cioè un numero conoscendo i resti che si ottengono dalla divisione per dati numeri.

– 1613. Nel Trattato del modo brevissimo di trovare le radici quadrate dei numeri,  Pietro Antonio Cataldi (1552-1626) espone un sistema di estrarre la radice quadrata di un numero mediante frazioni continue. 

– 1613. François d’Aiguillon (1556-1627), belga, studia i sistemi di proiezione ortogonale e centrale, detta in seguito proiezione stereografica.

– 1614. John Napier (1550-1617) o Nepero, inglese, nell’opera Mirifici logarithmorum canonis descriptio, espone i principi del calcolo logaritmico, dando le tavole dei logaritmi dei seni e delle tangenti di tutti gli angoli del primo quadrante calcolati a sette decimali.

– 1615. Nella Nova stereometria doliorum, Johan Kepler determina il volume di certi recipienti mediante il sistema degli infinitesimi al posto del precedente e lungo metodo di esaustione.

– 1615· Nel postumo scritto di François Viète sulle equazioni algebriche si dimostra come da un’equazione se ne possa derivare un’altra le cui radici siano eguali a quelle della precedente aumentate o moltiplicate di una o per una quantità data.

– 1617. John Napier costruisce dei regoli numerati, detti bastoni di Neper, per effettuare delle moltiplicazioni, e li descrive nei Rabdologiae seu numerationis per virgulas libri duo, dove viene introdotto l’uso della virgola per i numeri decimali.

– 1617. Le tavole dei logaritmi decimali dei primi 1000 numeri calcolati con otto decimali sono pubblicate dall’inglese Henry Briggs (1561-1631).

– 1620. L’inglese Francis Bacon (1561-1626) nel Novum organum, fonda la nuova logica della scienza naturale essenzialmente basata sull’induzione.

– 1620. Nel Canon triangulorum dell’inglese Edward Gunter (1581- ?) inventore del regolo calcolatore è contenuta una tavola dei seni e tangenti in cui compaiono per la prima volta i termini coseno e cotangente.

– 1620. Compaiono a Praga le tavole di antilogaritmi di Jost Bürgi (1552- 1632), svizzero, calcolate indipendentemente da John Napier tra il 1603 e il 1611.

– 1623. Edward Gunter costruisce un regolo per il calcolo logaritmico.

– 1624. Henry Briggs pubblica a Londra l’Arithmetica logaritmica contenente le tavole logaritmiche a base 10, con 14 cifre decimali dei numeri da 1 a 20.000 e da 90.000 a 100.000.

– 1628. L’olandese Adriaan Vlacq (1603-1667) completa le tavole logaritmiche del Briggs, calcolando i logaritmi dei 70.000 numeri mancanti.

– 1629. Il francese Pierre Fermat (1601-1665) concepisce i principi essenziali della geometria analitica, a quanto egli stesso dichiara nel 1636, scrivendo a Roberval, ma non pubblica niente sull’argomento.

– 1629. Albert Girard (1595-1632), francese, nell’Invention nouvelle en algebre, introduce per primo l’uso delle parentesi algebriche, spiega il metodo di scomposizione in un polinomio nei suoi fattori ed enuncia il teorema che ogni equazione algebrica ha tante radici quante sono le unità del suo grado (teorema fondamentale dell’algebra); usa, inoltre, il segno – inserito tra numeratore e denominatore per indicare un numero frazionario.

– 1630. Il francese Richard de La Maine, insegnante di matematica a Londra, nell’opera Grammologia, descrive un regolo calcolatore circolare.

– 1631. Thomas Harriot (1560-1621), inglese, nella Artis analyticae praxis, introduce i segni > e < per indicare maggiore e minore e rende noto un procedimento per approssimare le radici di equazioni algebriche.

– 1631. L’inglese William Oughtred (1575-1660) nella Clavis mathematica introduce il simbolo x, della croce di S. Andrea, per indicare la moltiplicazione.

– 1632. Lo spagnolo Jean de la Faille (1597-1652), in uno scritto sul centro di gravità delle parti di un circolo e dell’ellissi, determina il baricentro di un settore circolare dimostrando che si trova sulla corrispondente bisettrice alla distanza dal centro espressa da 2/3 raggio corda/arco

– 1632. Nella sezione dedicata alla trigonometria sferica del trattato Directorium generale uranometricum, Bonaventura Cavalieri (1598-1647) dimostra l’espressione dell’area del triangolo sferico.

– 1633. In una appendice all’opera Cerchi di proporzione, William Oughtred descrive per la prima volta un regolo calcolatore rettilineo.

– 1635. Bonaventura Cavalieri nella Geometria degli indivisibili, rappresenta le grandezze geometriche come totalità di elementi primordiali, gli indivisibili, supposti animati da movimento, la flussione, dalla cui somma derivano le regole per il calcolo delle lunghezze delle aree dei volumi di figure a contorno curvilineo.

– 1636. In una lettera a Roberval, Fermat espone le sue idee nuove e importantissime, sulla geometria analitica, sul calcolo infinitesimale e sui massimi e minimi.

– 1636. Gerard Desargues (1593-1662), francese, in uno studio sulla prospettiva, costruisce proiezioni assonometriche fondate sulla disposizione che di ogni punto della figura da proiettare si conoscono le coordinate cartesiane ortogonali.

– 1637. René Descartes (1596-1650), francese, pubblica come appendice al Discours de la méthode, la Géométrie contenente i fondamenti della geometria analitica e il metodo per trasformare un problema geometrico in problema algebrico sino alla risoluzione geometrica delle equazioni di secondo grado. L’opera contiene pure una teoria delle equazioni algebriche in cui la notazione è praticamente quella moderna.

– 1637. Pierre Fermat compone il trattato Ad locos planos et solidos isagoge, dove, indipendentemente da Descartes, pone i fondamenti della geometria analitica col metodo delle coordinate.

– 1639. Blaise Pascal (1623-1662), francese, scrive a sedici anni l’Essay pour les coniques, di una sola pagina, che contiene il teorema di Pascal sull’esagono iscritto in una conica, il mistico esagramma.

– 1639. Gerard Desargues in uno scritto di geometria, stabilisce i fondamenti della geometria proiettiva formulando i teoremi sul quadrangolo iscritto in una conica e sui triangoli omologici.

– 1642. Le origini dell’algebra combinatoria sono contenute nel lavoro fatto dall’inglese John Wallis (1616- 1703) per decifrare corrispondenza dei Realisti intercettata durante la Guerra Civile.

– 1642. Blaise Pascal costruisce la prima macchina per eseguire meccanicamente calcoli aritmetici, basata su un sistema di ruote dentate collegate fra loro. Con questa macchina si potevano ottenere totali fino alle centinaia di migliaia.

– 1643. Bonaventura Cavalieri nelle Exercitationes geometricae enuncia il principio degli indivisibili poggiante sull’ipotesi che una grandezza può essere divisa in un infinito numero di parti

– 1644. Evangelista Torricelli (1608-1647) nella Opera geometrica dimostra la finitezza del solido generato dalla rotazione di un arco indefinito di iperbole equilatera intorno a un asintoto ed esegue la quadratura della cicloide e della coclea.

– 1646. In una lettera a M. Ricci, Evangelista Torricelli enuncia il teorema relativo alla determinazione del centro di gravità di ogni figura geometrica per mezzo del rapporto di due integrali.

– 1647. In una lettera al Cavalieri, Evangelista Torricelli descrive le proprietà della curva logaritmica da lui chiamata hemyperbole logarithmica dimostrando che essa ha la subtangente costante ed effettuando la quadratura e cubatura del solido generato dalla sua rotazione.

– 1647. Il frate belga Gregorio di San Vincenzo (1584-1667) nell’Opus geometricum studia le proprietà di una nuova classe di curve piane di quarto ordine, le parabole virtuali, e dimostra la possibilità della quadratura dell’iperbole con l’uso dei logaritmi.

– 1648. Pierre Fermat in una lettera al Cavalieri espone la regola per quadrare le parabole di ordine superiore e il metodo di cubatura dei solidi generati dalla rotazione di qualsiasi parabola intorno al suo asse.

– 1649. In una traduzione latina della Géométrie di Descartes, Franz van Shooten (? -166I), olandese, enuncia le formule per la trasformazione delle coordinate. 

– 1652. Samuele Morland inventa una macchina calcolatrice capace di addizionare e sottrarre.

– 1653. Nel Trattato sul triangolo aritmetico Blaise Pascal applica le proprietà del triangolo da lui inventato al calcolo delle successive potenze di un binomio.

– 1654. Il Cavaliere de Méré propone a Pascal e Fermat il problema di come ripartire guadagni e perdite tra due giocatori che debbano interrompere una partita. Nella corrispondenza seguita tra loro, Pascal e Fermat gettano le basi del calcolo delle probabilità.

– 1656. John Wallis, sulle orme del Cavalieri, approfondisce, nella Arithmetica infinitorum, i metodi di calcolo degli integrali e introduce nell’analisi il concetto di limite. Egli usa il simbolo ∞ per indicare l’infinito e propone di esprimere  il numero π come prodotto di infiniti fattori.

– 1657. John Wallis nella Mathesis universalis sive arithmeticum opus integrum, espone in forma aritmetica il contenuto dei libri II e V di Euclide che costituiscono il fondamento dell’algebra geometrica e della teoria delle proporzioni.

– 1657. Nell’opera Canones sinuum, un trattato di trigonometria, William Oughtred fa uso delle attuali notazioni per le funzioni trigonometriche di seno, coseno e tangente, e introduce il segno : per indicare la divisione.

– 1657. Christian Huygens (1629-1695), olandese, nel De ratiocinio in ludo aleae introduce nel calcolo della probabilità, applicato al gioco di azzardo, il concetto di speranza matematica.

– 1658. Nel trattato Sulla cicloide Blaise Pascal studia la proprietà della curva descritta da un punto di una circonferenza che rotola su una linea retta.

– 1658. Blaise Pascal, nella memoria Potestatum numericarum summa, studia l’effettuazione della somma delle potenze simili dei termini di una progressione aritmetica.

– 1659. L’olandese Johan Hudde (1628-1704) enuncia la regola generale per riconoscere se una data equazione abbia due o più radici eguali (regola di Hudde).

– 1659 Pietro Mengoli (1625-1686) nella Geometria speciosa svolge la teoria dei logaritmi naturali detti anche neperiani.

– 1659. Nell’Algebra tedesca di Johann Rahn compare il segno ÷  per indicare la divisione.

– 1659· Jobn Wallis in uno scritto sulla cicloide espone il sistema per rettificare la cicloide e dimostra che l’area compresa tra la concoide esterna e la propria base è infinita, mentre è finito il volume che essa genera ruotando intorno alla base.
 

(4) La tecnica di Gutenberg consiste nel fondere i singoli caratteri dei segni da riprodurre in modo da rendere possibile comporre una matrice in cui essi siano, appunto, “mobili”, ovvero riposizionabili e riutilizzabili per praticare altre stampe. Tale procedimento prevede che, per ogni lettera o segno, venga fabbricato un punzone di metallo molto duro, recante all’estremità la lettera o il segno incisi a rilievo. Il punzone viene, poi, battuto sulla cosiddetta punzonatura: un supporto di metallo meno duro, dove il segno rimane impresso in un incavo, che costituisce la matrice. In essa — introdotta in un apposito apparecchio, detto staffa — vengono fusi i caratteri tipografici nelle quantità necessarie. Questi risultano, così, a rilievo, come il punzone dal quale traggono origine. I singoli caratteri tipografici mobili vengono poi accostati a rovescio, nella sequenza necessaria a formare parole e frasi e comporre la pagina, in una forma, il compositoio. Questo è un contenitore allungato, inizialmente in legno, poi in metallo, che serve a comporre le righe del testo da stampare. La composizione viene poi bagnata con un inchiostro abbastanza liquido (quello usato da Gutenberg era composto da un pigmento macinato in una vernice di olio di lino, una tecnica impiegata in quel tempo dai pittori fiamminghi)tanto da non rimanere attaccato al supporto metallico, ma da poter essere impresso sul foglio di carta con l’aiuto di un tipo di torchio fino a quel momento adoperato per la spremitura dell’uva. Dopo il processo di stampa, la sequenza dei caratteri viene scomposta: i caratteri sono, così, pronti per essere riutilizzati. La tecnica della stampa di Gutenberg può essere ridotta sinteticamente al sistema punzone-matrice-carattere-torchio, che si basa sull’uso di tre materiali essenziali: leghe metalliche per la costruzione degli strumenti del sistema tipografico, inchiostro grasso, carta. I punzoni sono di ottone e di bronzo, metalli soggetti a deteriorarsi dopo aver battuto le matrici che inizialmente sono di piombo e, dunque, soggette anch’esse ad una rapida usura per le continue colate. Sembra, però, che già l’allievo diretto di Gutenberg, Peter Schoeffer, sostituisca l’ottone e il bronzo con l’acciaio, introducendo inoltre le matrici di rame. Inizialmente i caratteri sono fabbricati in stagno, poi, per una maggiore resa, in una lega di stagno e piombo, alla quale, in seguito, viene aggiunto l’antimonio. [Il brano è tratto dal sito: http://digilander.libero.it/davis2/lezioni/storia/moderna/invenzione%20della%20stampa.htm].

(5)  Nicolò Tartaglia si chiamava in realtà Nicolò Fontana. Venne soprannominato Tartaglia per un difetto di pronuncia che aveva a seguito di un colpo di sciabola ricevuto alla mascella da un soldato francese, durante il sacco di Brescia, quando era ancora un ragazzo (1512). Era di famiglia poverissima e non potendo seguire alcuno studio regolare, fu un completo autodidatta che per primo tradusse in lingua volgare gli Elementi di Euclide (Venezia 1543) con importanti commenti, traduzione che si può trovare per intero nel meritorio progetto di liberliber http://www.liberliber.it/biblioteca/e/euclides/ euclide_megarense_acutissimo_philosopho_solo_introduttor_etc/pdf/euclid_p.pdf

Tartaglia è noto per il suo triangolo, introdotto nella sua General trattato di numeri e misure del 1556, che fornisce i coefficienti dello sviluppo del binomio (a + b)n. Il triangolo era già noto comunque tra gli arabi ed in Cina. Anche in Germania vi erano stati libri che lo avevano introdotto prima di Tartaglia: l’Aritmetica di Bienewitz (Apianus) del 1527 e l’Arithmetica integra di Stiefel del 1544.

(6) Cardano era un benestante e fece studi regolari fino ad arrivare ad insegnare a Milano ed a Padova. Era un aristotelico e seguace di AvicennaEra un geniale creatore in ogni ramo dello scibile che pubblicò 138 opere che non erano che la metà di quelle che scrisse. Ebbe purtroppo delle vicende che egli stesso racconta nella sua Autobiografia. Fu accusato di pedofilia (egli dice … sul conto mio si andasse divolgando quanto male usassi dei fanciulli) e rischiò l’Inquisizione ma non per questo, bensì per l’accusa di essere uno stregone, per avere disapprovato con durezza i processi alle streghe e, come no, di essere un eretico. Ebbe provocazioni notturne con irruzioni in casa di ignoti personaggi che lo svegliavano per chiedergli l’assoluzione di streghe condannate per aver provocato degli incantesimi. A circa 70 anni fu imprigionato (1570) e si salvò per l’amicizia dei Cardinali Borromeo e Morone. Dopodiché se ne andò a Roma sotto la protezione di Papa Pio V (sic!) che gli assegnò anche una pensione, ma con l’obbligo di non pubblicare più nulla. Poiché era anche astrologo (ed in genere un mago che credeva a vari fenomeni paranormali e normali) e dal suo oroscopo risultava dovesse morire nel 1576, sembra si sia ucciso per non smentire i suoi oroscopi.

(7) Sulla storia del calcolo infinitesimale si può vedere il mio: Appunti per una brevissima storia della nascita e dello sviluppo del Calcolo Sublime. 

(8) Summa Theologica,

            Quaestio 32

            Proemium

[29771] Iª q. 32 pr. Consequenter inquirendum est de cognitione divinarum personarum. Et circa hoc quaeruntur quatuor. Primo, utrum per rationem naturalem possint cognosci divinae personae. Secundo, utrum sint aliquae notiones divinis personis attribuendae. Tertio, de numero notionum. Quarto, utrum liceat diversimode circa notiones opinari.

           Articulus 1

Ad primum sic proceditur. Videtur quod Trinitas divinarum personarum possit per naturalem rationem cognosci. Philosophi enim non devenerunt in Dei cognitionem nisi per rationem naturalem, inveniuntur autem a philosophis multa dicta de Trinitate personarum. Dicit enim Aristoteles, in I de caelo et mundo, per hunc numerum, scilicet ternarium, adhibuimus nos ipsos magnificare Deum unum, eminentem proprietatibus eorum quae sunt creata. Augustinus etiam dicit, VII Confes., ibi legi, scilicet in libris Platonicorum, non quidem his verbis, sed hoc idem omnino, multis et multiplicibus suaderi rationibus, quod in principio erat verbum, et verbum erat apud Deum, et Deus erat verbum, et huiusmodi quae ibi sequuntur, in quibus verbis distinctio divinarum personarum traditur. Dicitur etiam in Glossa Rom. I, et Exod. VIII, quod magi Pharaonis defecerunt in tertio signo, idest in notitia tertiae personae, scilicet spiritus sancti, et sic ad minus duas cognoverunt. Trismegistus etiam dixit, monas genuit monadem, et in se suum reflexit ardorem, per quod videtur generatio filii, et spiritus sancti processio intimari. Cognitio ergo divinarum personarum potest per rationem naturalem haberi.

[29773] Iª q. 32 a. 1 arg. 2 Praeterea, Ricardus de sancto Victore dicit, in libro de Trin., credo sine dubio quod ad quamcumque explanationem veritatis, non modo probabilia, imo etiam necessaria argumenta non desint. Unde etiam ad probandum Trinitatem personarum, aliqui induxerunt rationem ex infinitate bonitatis divinae, quae seipsam infinite communicat in processione divinarum personarum. Quidam vero per hoc, quod nullius boni sine consortio potest esse iucunda possessio. Augustinus vero procedit ad manifestandum Trinitatem personarum, ex processione verbi et amoris in mente nostra, quam viam supra secuti sumus. Ergo per rationem naturalem potest cognosci Trinitas personarum.

[29774] Iª q. 32 a. 1 arg. 3 Praeterea, superfluum videtur homini tradere quod humana ratione cognosci non potest. Sed non est dicendum quod traditio divina de cognitione Trinitatis sit superflua. Ergo Trinitas personarum ratione humana cognosci potest.

[29775] Iª q. 32 a. 1 s. c. Sed contra est quod Hilarius dicit, in libro II de Trin., non putet homo sua intelligentia generationis sacramentum posse consequi. Ambrosius etiam dicit, impossibile est generationis scire secretum, mens deficit, vox silet. Sed per originem generationis et processionis distinguitur Trinitas in personis divinis, ut ex supra dictis patet. Cum ergo illud homo non possit scire et intelligentia consequi, ad quod ratio necessaria haberi non potest, sequitur quod Trinitas personarum per rationem cognosci non possit.

[29776] Iª q. 32 a. 1 co. Respondeo dicendum quod impossibile est per rationem naturalem ad cognitionem Trinitatis divinarum personarum pervenire. Ostensum est enim supra quod homo per rationem naturalem in cognitionem Dei pervenire non potest nisi ex creaturis. Creaturae autem ducunt in Dei cognitionem, sicut effectus in causam. Hoc igitur solum ratione naturali de Deo cognosci potest, quod competere ei necesse est secundum quod est omnium entium principium, et hoc fundamento usi sumus supra in consideratione Dei. Virtus autem creativa Dei est communis toti Trinitati, unde pertinet ad unitatem essentiae, non ad distinctionem personarum. Per rationem igitur naturalem cognosci possunt de Deo ea quae pertinent ad unitatem essentiae, non autem ea quae pertinent ad distinctionem personarum. Qui autem probare nititur Trinitatem personarum naturali ratione, fidei dupliciter derogat. Primo quidem, quantum ad dignitatem ipsius fidei, quae est ut sit de rebus invisibilibus, quae rationem humanam excedunt. Unde apostolus dicit, ad Heb. XI, quod fides est de non apparentibus. Et apostolus dicit, I Cor. II, sapientiam loquimur inter perfectos, sapientiam vero non huius saeculi, neque principum huius saeculi; sed loquimur Dei sapientiam in mysterio, quae abscondita est. Secundo, quantum ad utilitatem trahendi alios ad fidem. Cum enim aliquis ad probandam fidem inducit rationes quae non sunt cogentes, cedit in irrisionem infidelium, credunt enim quod huiusmodi rationibus innitamur, et propter eas credamus. Quae igitur fidei sunt, non sunt tentanda probare nisi per auctoritates, his qui auctoritates suscipiunt. Apud alios vero, sufficit defendere non esse impossibile quod praedicat fides. Unde Dionysius dicit, II cap. de Div. Nom., si aliquis est qui totaliter eloquiis resistit, longe erit a nostra philosophia; si autem ad veritatem eloquiorum, scilicet sacrorum, respicit, hoc et nos canone utimur.

[29777] Iª q. 32 a. 1 ad 1 Ad primum ergo dicendum quod philosophi non cognoverunt mysterium Trinitatis divinarum personarum per propria, quae sunt paternitas, filiatio et processio; secundum illud apostoli, I ad Cor. II, loquimur Dei sapientiam, quam nemo principum huius saeculi cognovit, idest philosophorum, secundum Glossam. Cognoverunt tamen quaedam essentialia attributa quae appropriantur personis, sicut potentia patri, sapientia filio, bonitas spiritui sancto, ut infra patebit. Quod ergo Aristoteles dicit, per hunc numerum adhibuimus nos ipsos etc., non est sic intelligendum, quod ipse poneret ternarium numerum in divinis, sed vult dicere quod antiqui utebantur ternario numero in sacrificiis et orationibus, propter quandam ternarii numeri perfectionem. In libris etiam Platonicorum invenitur in principio erat verum, non secundum quod verbum significat personam genitam in divinis, sed secundum quod per verbum intelligitur ratio idealis, per quam Deus omnia condidit, quae filio appropriatur. Et licet appropriata tribus personis cognoscerent, dicuntur tamen in tertio signo defecisse, idest in cognitione tertiae personae, quia a bonitate, quae spiritui sancto appropriatur, deviaverunt, dum cognoscentes Deum, non sicut Deum glorificaverunt, ut dicitur Rom. I. Vel, quia ponebant Platonici unum primum ens, quod etiam dicebant esse patrem totius universitatis rerum, consequenter ponebant aliam substantiam sub eo, quam vocabant mentem vel paternum intellectum, in qua erant rationes omnium rerum, sicut Macrobius recitat super somnium Scipionis, non autem ponebant aliquam substantiam tertiam separatam, quae videretur spiritui sancto respondere. Sic autem nos non ponimus patrem et filium, secundum substantiam differentes, sed hoc fuit error Origenis et Arii. Sequentium in hoc Platonicos. Quod vero Trismegistus dixit, monas monadem genuit, et in se suum reflexit ardorem, non est referendum ad generationem filii vel processionem spiritus sancti, sed ad productionem mundi, nam unus Deus produxit unum mundum propter sui ipsius amorem.

[29778] Iª q. 32 a. 1 ad 2 Ad secundum dicendum quod ad aliquam rem dupliciter inducitur ratio. Uno modo, ad probandum sufficienter aliquam radicem, sicut in scientia naturali inducitur ratio sufficiens ad probandum quod motus caeli semper sit uniformis velocitatis. Alio modo inducitur ratio, non quae sufficienter probet radicem, sed quae radici iam positae ostendat congruere consequentes effectus, sicut in astrologia ponitur ratio excentricorum et epicyclorum ex hoc quod, hac positione facta, possunt salvari apparentia sensibilia circa motus caelestes, non tamen ratio haec est sufficienter probans, quia etiam forte alia positione facta salvari possent. Primo ergo modo potest induci ratio ad probandum Deum esse unum, et similia. Sed secundo modo se habet ratio quae inducitur ad manifestationem Trinitatis, quia scilicet, Trinitate posita, congruunt huiusmodi rationes; non tamen ita quod per has rationes sufficienter probetur Trinitas personarum. Et hoc patet per singula. Bonitas enim infinita Dei manifestatur etiam in productione creaturarum, quia infinitae virtutis est ex nihilo producere. Non enim oportet, si infinita bonitate se communicat, quod aliquid infinitum a Deo procedat, sed secundum modum suum recipiat divinam bonitatem. Similiter etiam quod dicitur, quod sine consortio non potest esse iucunda possessio alicuius boni, locum habet quando in una persona non invenitur perfecta bonitas; unde indiget, ad plenam iucunditatis bonitatem, bono alicuius alterius consociati sibi. Similitudo autem intellectus nostri non sufficienter probat aliquid de Deo, propter hoc quod intellectus non univoce invenitur in Deo et in nobis. Et inde est quod Augustinus, super Ioan., dicit quod per fidem venitur ad cognitionem, et non e converso.

[29779] Iª q. 32 a. 1 ad 3 Ad tertium dicendum quod cognitio divinarum personarum fuit necessaria nobis dupliciter. Uno modo, ad recte sentiendum de creatione rerum. Per hoc enim quod dicimus Deum omnia fecisse verbo suo, excluditur error ponentium Deum produxisse res ex necessitate naturae. Per hoc autem quod ponimus in eo processionem amoris, ostenditur quod Deus non propter aliquam indigentiam creaturas produxit, neque propter aliquam aliam causam extrinsecam; sed propter amorem suae bonitatis. Unde et Moyses, postquam dixerat, in principio creavit Deus caelum et terram, subdit, dixit Deus, fiat lux, ad manifestationem divini verbi; et postea dixit, vidit Deus lucem, quod esset bona, ad ostendendum approbationem divini amoris; et similiter in aliis operibus. Alio modo, et principalius, ad recte sentiendum de salute generis humani, quae perficitur per filium incarnatum, et per donum spiritus sancti.


(9)  Sarà l’inglese Thomas Digges il primo che, nel 1576, disegnerà un universo in cui le stelle non sono più sistemate su di un cerchio che fa da corona all’intero sistema solare, ma sparse al di fuori dell’ultima sfera che è quella dell’ultimo pianeta. Digges giustifica questo con motivi teologici e non astronomici. Egli dice:

Il disegno del sistema copernicano fatto da Thomas Digges (1543-1575) nella sua opera A perfit Description of the Caelestiall Orbes del 1576. Da notare che l’opera è in inglese e quindi si iniziano a volgarizzare le conoscenze.

   La sfera delle stesse fisse infinitamente eccelsa si estende sfericamennte in altezza ed è quindi l’immobile edificio della felicità, ornata di innumerevoli maestose luci, esternamente risplendenti, di gran lunga superiori al nostro sole in quantità e qualità, la vera corte degli angeeli celesti, priva di dolore e colma di assoluta ed eterna gioia; dimora degli eletti

ed aggiunge che noi:

non saremo mai in grado di ammirare a sufficienza l’immensità… di quell’orbe fisso ornato di mille luci che si estende verso l’alto in altezza sferica infinita. Delle quali luci celesti bisogna pensare che noi percepiamo soltanto quelle situate nelle parti inferiori dell’orbe medesimo, così che, nella misura in cui sono più alte, sembrano di quantità viepppiù minore, finché, essendo la nostra vista incapace di andare a concepire oltre, la massima parte di esse ci rimane invisibile a cagione della distanza inaudita.

    Il mondo appare dunque infinito con “centro” nel Sole. Ebbene proprio questa è una incongruenza del resto già presente ai predecessori medioevali, in quanto ciò che è infinito non ha centri o luoghi privilegiati. A buona ragione ogni punto dell’infinito è suo centro allo stesso modo che nessun punto gode di questa caratteristica.

(10)  La cometa che, dal di fuori del sistema solare, entra in esso passando intorno al sole ed andandosene di nuovo verso lo spazio, rappresenta, un corpo materiale che deve attraversare, appunto, le varie sfere. Facendo ciò queste ultime devono andare in frantumi.

(11) Oltre a quanto dirò nel testo, ricordo che:

Sulle questioni studiate da Tartaglia intervenne nel 1570 anche Girolamo Cardano che, nell’Opus novum de motuum ponderum sonorum, studiando il moto di un proiettile, riconobbe l’influenza del mezzo resistente sul moto e la velocità dei proiettili.

Nel 1577, nei Mechanicorum libri, Guidobaldo Dal Monte (1545 – 1607) trattò problemi di statica, studiando le condizioni di equilibrio dei corpi con numerose applicazioni della leva.


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Roberto Renzetti

Nell’articolo precedente ho discusso l’insieme dei motivi che hanno bloccato la scienza alessandrina portando ad un generale arresto di ogni lavoro scientifico. Solo poche cose, poco significative, un travaso di conoscenze verso l’Islam che nasce e s’impone, progressi tecnici faticosi per far fronte a problemi colossali che discendono dalla fine dell’organizzazione dell’impero di Roma, … Insomma dal II secolo d. C., secolo del quale mi sono occupato per studiare le ultime grandi personalità alessandrine, Diofanto e Claudio Tolomeo (alle quali andrebbe aggiunto anche il contributo di Pappo, del IV secolo), fino al XVI secolo vi sono poche cose che meritano uno studio approfondito. Si tratta soprattutto di cronache di eventi che tentano con grande fatica di riprendere il filo di un discorso interrotto. Tra questi eventi ve ne sono alcuni interessanti ma più per una lettura retrospettiva che noi facciamo che non per le conseguenze e gli sviluppi che da essi conseguirono a suo tempo. Altri eventi sono di sicuro interesse ma maturati, non dimentichiamolo, in varie centinaia di anni. Il susseguirsi delle cose di elaborazioni e scoperte dal V al XV secolo lo ho riportato nella lunghissima nota (1), ma il cogliere gli aspetti essenziali, che in parte recuperano ed in parte fanno avanzare il modo di approccio alla conoscenza, è ciò che tenterò di fare ora. Si tratta di raccontare le scoperte scientifiche che hanno avuto una ricaduta importante sulle elaborazioni successive ed il pensiero di alcuni personaggi che con la loro opera hanno modificato, in un senso o nell’altro, il modo di pensare. Nel fare questo dò per scontate tutte le cose scritte nell’articolo precedente che serve da trama dentro cui inserire quanto racconterò.

LA SCIENZA NEL MEDIOEVO

    Un primo studioso d’interesse che incontriamo nel deserto che circondava la conoscenza è Giovanni Filopono di Alessandria (circa 490 – 570). Egli è uno dei tanti commentatori di Aristotele che opera nell’Impero bizantino come direttore della Biblioteca. E’ un neoplatonico convertito al cristianesimo che trasformerà la scuola di Alessandria in una sorta di scuola di teologia e che sarà però condannato dalla Chiesa (681) per eresia (aveva inteso la Trinità come tre persone distinte!). Egli va ricordato perché, nel suo commentare Aristotele, quell’Aristotele che arrivava in lettura platonica, mostra che alcune cose non gli tornano. Per risolvere le quali avanza una teoria, quella dell’impetus, che avrà grande importanza nel XIV secolo.

    La critica di Filopono ad Aristotele è radicale e per capirla occorre riprendere alcune concezioni di Aristotele sullo spazio, il tempo ed il luogo.

   L’universo aristotelico essendo finito e tutto pieno non prevede l’esistenza del vuoto. Ciò vuol dire che al di là dell’ultima sfera non vi è alcuna cosa, neppure il vuoto. Cerchiamo ora di vedere quali sono le motivazioni che Aristotele porta all’impossibilità dell’esistenza del vuoto all’interno della sfera delle stelle fisse.

      Poiché il vuoto, se c’è, deve essere in qualche luogo e poiché il luogo è definito quando è occupato da un corpo (o più in generale da materia), è assurdo pensare alla sua esistenza essendo il vuoto, per sua definizione, assenza di corpo e di materia.

       Ci sono poi alcuni che credono nell’esistenza del vuoto in quanto esiste il movimento ma, osserva Aristotele, “non è possibile che neppure un solo oggetto si muova, qualora il vuoto esista“.

       Infatti se ci riferiamo ai moti che avvengono naturalmente in natura (i “moti naturali”, quelli rettilinei che procedono dall’alto verso il basso o dal basso verso l’alto), come è possibile che essi accadano o nell’infinito o nel vuoto, se sia infinito che vuoto non hanno luoghi particolari verso cui una cosa possa muoversi (come per esempio il fiume verso il mare, il fuoco verso l’alto, la terra verso il basso,…)? Se ci riferiamo invece ai moti violenti, ebbene, un sasso lanciato continua nella sua corsa

perché l’aria, spinta, spinge a sua volta con un moto più veloce di quello spostamento del corpo spinto in virtù del quale il corpo stesso viene spostato verso il suo proprio luogo“.


     E’ quindi l’aria che permette l’esistenza di un moto; è l’aria infatti che sostiene una freccia lanciata e che, chiudendosi dietro di essa, la sospinge.


    Dice poi Aristotele nel De Coelo:

…al di fuori del cielo non c’è, né è ammissibile che venga ad essere, alcuna mole corporea; il mondo nella sua totalità è dunque formato di tutta la materia propria ad esso… cosicché… questo cielo è uno, e solo, e perfetto.

E’ insieme evidente anche che fuori del cielo non c’è né luogo, né vuoto, né tempo. In ogni luogo infatti può sempre trovarsi un corpo; vuoto poi dicono essere ciò in cui non si trova presente un corpo, ma può venire a trovarsi; tempo infine è il numero del movimento, e non c’è movimento dove non c’è un corpo naturale
“.

       Da questo branorisulta che l’intero spazio concepibile da Aristotele è all’interno dell’ultima sfera, quella delle stelle fisse. Anzi per essere più precisi esso è all’interno della superficie interna dell’ultima sfera. Dice Aristotele, che usa il termine luogo invece del nostro spazio:

…il luogo è il primo immobile limite del contenente“.

      E siccome il contenente è l’ultima sfera essa è il limite del luogo. Inoltre l’esistenza del luogo rende possibile il moto:


il più comune e fondamentale movimento, quello che si suol chiamare spostamento, è in relazione ad un luogo“.


            D’altra parte l’evidenza naturale di movimenti rende plausibile l’esistenza del luogo:


Che il luogo esista sembra risultare chiaro dallo spostamento reciproco dei corpi“.

    E poiché un luogo è definito dalla presenza di un corpo, allora:


sarebbe lecito supporre che il luogo sia qualcosa che prescinde dai corpi“.
 

    Ed inoltre:


…è difficile determinare che cosa esso sia, se una massa corporea o qualche altra natura… Comunque, esso ha tre dimensioni: lunghezza, larghezza e profondità, le stesse da cui ogni corpo è determinato. Ma è impossibile che il luogo sia un corpo, perché allora in esso stesso ci sarebbero due corpi“.


     In definitiva, poiché l’ultima sfera, quella delle stelle fisse, si muove e poiché il movimento è possibile là dove c’è un luogo, allora:


“anche il cielo, anzi esso più di ogni altra cosa, è in un luogo, poiché il cielo è sempre in movimento”.


    Se uno però sta un poco attento al legame esistente tra queste affermazioni, si accorge che esiste almeno una incongruenza. Poiché infatti il movimento, inteso come spostamento, è definito da Aristotele come l’occupare successivo di luoghi diversi, se non c’è luogo al di là dell’ultima sfera, com’è possibile che essa ruoti? E d’altra parte, essendo la Terra immobile, essa (ultima sfera) ruota.

    Questa difficoltà era ben presente in Aristotele il quale, per conciliare l’inesistenza di qualunque cosa (anche il vuoto) al di là dell’ultima sfera, con il fatto che essa ruota (dovendo perciò occupare luoghi diversi) è costretto ad ammettere che l’ultima sfera, pur ruotando, occupa sempre lo stesso luogo:


…ciò che si muove in circolo non può mutar di luogo“.


  Evidentemente questo è il punto più debole della teoria aristotelica di luogo e di moto e proprio su questo punto si inserisce la critica di Filopono.

    Secondo Filopono c’è innanzi tutto da rimettere in discussione la teoria del movimento di Aristotele. Se si lancia un proiettile

è necessario che una certa potenza motrice incorporea sia ceduta al proiettile dallo strumento che lo lancia; l’aria non contribuisce affatto a tal moto, e vi contrasta ben poco…“.

    Questa formulazione, che anticipa teoria dell’impetus, fa a meno del mezzo per giustificare il movimento e considera una sorta di potenza motrice che si trasferisce da ciò che provoca il moto al proiettile che lo subisce. La fine del moto avviene per consumazione progressiva di questa potenza motrice a causa, tra l’altro, del fatto che l’aria oppone al moto una resistenza (questo almeno per quanto riguarda i moti provocati, quelli che non hanno origine naturale). Ma poiché il moto è legato al luogo, è necessario considerare cos’è il luogo. E qui viene fuori il punto più delicato della discussione: si tratta essenzialmente dello scoprire una profonda contraddizione nella definizione aristotelica di luogo. Abbiamo già visto che per Aristotele “luogo è il primo immobile limite del contenente“. Ebbene per quello che ora ci serve occorre puntare l’attenzione su quell’immobile. Infatti la questione che, ad esempio, si pone è: qual è il luogo di un sasso poggiato nel letto di un ruscello? Il corpo contenente è l’acqua, per cui ad un certo istante uno potrebbe pensare che è la superficie interna dell’acqua avvolgente il sasso che costituisce il luogo del sasso.

       Ma l’istante successivo “quel luogo” si è spostato facendo posto ad un “altro luogo”. La pietra non si è mossa, essa è rimasta là ma il presupposto suo luogo cambia istante per istante. E’ chiaro che bisogna riferirsi allora a quell’immobile di qualche riga più su. Il luogo della pietra non è altro infatti che il letto del fiume su cui è poggiata. E fin qui tutto torna. Ma se applichiamo la definizione aristotelica di luogo alle sfere celesti troviamo la contraddizione di cui si diceva. Certamente il luogo del mondo sublunare è delimitato dalla superficie interna della sfera della Luna ma essa ruota e quindi si muove e quindi non può delimitare un luogo.

     Aristotele aveva però ben presente questa difficoltà tanto è vero che per lui un moto rotatorio attorno ad un centro o ad un asse fisso, poiché la sfera occupa sempre lo stesso luogo, non è da considerarsi moto locale. Filopono prende invece in esame una zona particolare di una sfera in rotazione ed osserva che questa zona occupa successivamente luoghi diversi. E’ facile concludere allora che l’intera sfera pur restando, per così dire, nello stesso luogo, occupa sempre luoghi diversi (essendo dotata quindi di moto locale).

     Rimane allora il problema: qual è il luogo del mondo sublunare? Esso non è il cielo della luna ma non può certamente esserlo il cielo di Giove o Saturno o qualunque altro cielo perché si muovono. In particolare neanche il cielo delle stelle fisse può delimitare un qualche luogo proprio perché anch’esso non è immobile. Inoltre se ci ponessimo la domanda del qual è il luogo in cui si muove questo cielo, dovremmo ammettere di non essere in grado di rispondere poiché non sappiamo in quale luogo esso sia non essendo noi in grado di trovare alcun “primo immobile limite” di un qualche cosa che lo contenga. D’altra parte il fatto che l’ultima sfera sia dotata di moto locale implica che anche la superficie esterna di essa occupi successivamente luoghi diversi che debbono però esservi per poter, appunto, essere occupati. E’ qui evidente che comincia a traballare l’affermazione aristotelica dell’inesistenza di qualsiasi cosa (ed in particolare di luogo, tempo e vuoto), al di là del cielo delle stelle fisse e si intravede la possibilità di estendere lo spazio oltre quell’ultima sfera.

    In ogni caso sorge allora la necessità di distinguere luogo, o meglio spazio, dalla materia che lo occupa o lo delimita. E Filopono nel definire lo spazio che discende dalle precedenti osservazioni, fa proprio l’operazione di separarlo da ogni considerazione relativa al suo contenuto:

Lo spazio non è la superficie limite del corpo avvolgente… esso è un certo intervallo, misurabile in tre dimensioni, di sua natura incorporeo, diverso dal corpo in esso contenuto; è pura dimensionalità priva di qualunque corporeità; invero, per quanto riguarda la materia, spazio e vuoto sono identici” . 

    Ed è proprio il fatto che, quando si sposta un oggetto da un luogo, lo spazio da esso occupato viene ad essere rimpiazzato da un’altra sostanza che rende concettualmente valida l’idea di vuoto. In ogni caso gli oggetti si spostano ma lo spazio, sotto, rimane immobile e questo spazio, proprio perché inerte, non può più essere alla base della dinamica come lo era in Aristotele, tant’è vero che, come abbiamo visto, viene rimpiazzato da un abbozzo di “teoria dell’impetus”.

     Per quanto riguarda il resto della teoria di Aristotele essa viene sostanzialmente accettata, anche se qua e là occorre fare degli aggiustamenti.

    E’ tutto questo molto interessante anche perché avrà, come accennato, un seguito importante poiché l’aristotelismo iniziò ad esercitare un fascino enorme anche tra i cristiani particolarmente quando gli ‘scolastici’ conobbero la Metafisica di Aristotele, 600 anni dopo Filopono. Sorse allora un forte moto di ammirazione: il sistema aristotelico poteva rappresentare il complemento filosofico, ciò che la Chiesa aveva sempre cercato, al Cristianesimo stesso, un corpo di dottrine che avrebbe finalmente nobilitato culturalmente il Cristianesimo (che fino ad allora oltre alla povera ed “incolta” Bibbia, si era affidato alle pie ma parziali visioni di Platone e dei neoplatonici). Sfortunatamente in Aristotele, più che in Platone, mancava l’idea di Dio. Questo fu il motivo per cui l’aristotelismo ebbe alterne vicende durante il 1200. Intanto già nel 1169, il Concilio di Tours aveva vietato ai monaci di leggere i pericolosi testi di fisica. Nel 1210, il Concilio provinciale di Parigi vietò l’insegnamento delle dottrine aristoteliche. Quindi altre condanne: il Concilio lateranense del 1215 (con Innocenzo III) e con la riaffermazione di Onorio III e di Gregorio IX (1231), infine, qualche anno dopo, di Urbano IV. Ancora nel 1277 sia il vescovo di Parigi E. Tempier che quello di Canterbury condannarono ben 219 proposizioni tratte dall’opera di Aristotele e dagli aristotelici (essenzialmente Averroè)(2). In generale furono i francescani ad opporsi fermamente, in un primo tempo, all’ateismo aristotelico letto invece diversamente dai domenicani. Il contrasto tra aristotelismo e Cristianesimo (insignificanza del posto di Dio, eternità del mondo con conseguente negazione della Creazione, inesistenza del libero arbitrio in un mondo dominato dal movimento delle sfere celesti, la non immortalità dell’anima, il rigido determinismo, …) fu appianato da S. Tommaso, come vedremo oltre, un frate dell’ordine dei domenicani che si definivano i cani da guardia dell’ortodossia.

ALCUNI FATICOSI E FONDAMENTALI AVANZAMENTI

    Mentre si disquisiva di queste cose, che se si confrontano con i livelli delle problematiche raggiunti con Archimede, Euclide, Apollonio, … mettono in imbarazzo, altri lavoravano per ricomporre un quadro di razionalità soprattutto nella matematica che era andata perduta, anche nelle sue operazioni più elementari.

    La matematica, avevamo notato anche commentando gli stupendi successi alessandrini, soffriva di un problema di fondo, il non agile simbolismo. La questione del simbolismo era rimasta la stessa a Roma. A questo problema ne va aggiunto un altro che, a posteriori, capiamo molto bene: la mancanza dello zero in una chiara numerazione di posizione ed in una non scelta di base di numerazione. Tutto ciò aveva in qualche modo fermato lo sviluppo della matematica alla geometria che, comunque, non poteva avanzare ed essere sistemata senza proprio quel simbolismo. Cosa accade in questi anni di risolutivo e di interesse ?

    Seguiamo un percorso che si snoda da lontano per intersecarsi con l’Europa in questi anni. Quando Giustiniano fece chiudere le scuole non cristiane, molti studiosi, come abbiamo accennato, si diressero verso Oriente. E che in Oriente vi fossero scuole avanzate di matematica ci è testimoniato dal cristiano Severo Sebokt che nel 662 ci informa che non soltanto i greci potevano vantare conoscenze scientifiche, ma anche altri popoli (con riferimento all’India) possono vantare dei calcoli fatti con 9 simboli . Ritrovamenti archeologici  ci dicono che questo modo di scrittura matematica con 9 simboli è risalente almeno al 595. Si tratta di un sistema posizionale e decimale in cui ancora non figura lo zero. Ancora un ritrovamento archeologico ci dice che certamente lo zero si conosceva in India nell’anno 876 ma non si sa se il simbolo (un segno a forma di uovo) era connesso alle altre nove cifre. Altre ricostruzioni (ad esempio: Van der Waerden) parlano ancora di quella migrazione di scienziati greci verso Oriente. Da Alessandria, dove sarebbe nato, lo zero fu trasferito in India. In ogni caso un chiaro ragguaglio sull’uso dello zero nella letteratura scientifica indiana è contenuto nel Compendio di calcolo del matematico indiano Srīdhara (991 – ?) che contiene le proposizioni:   a ± 0  =  a;  0 x a  =  0; a x 0 = 0. Al di là di ogni interpretazione del simbolo ovale (qualcuno sostiene che in altre iscrizioni e/o scritture stava ad indicare il vuoto in quanto iniziale della parola greca ouden che vuol appunto dire vuoto) in queste scritture lo zero assume il preciso significato che noi oggi gli assegniamo. Ma debbono passare molti decenni prima che una qualche eco di ciò giunga in Spagna per vie arabe. Le prime notizie in Europa di una numerazione indù le troviamo nel Codex Virgilianus (976), scritto nella parte cristiana della Spagna. Ancora molti decenni dopo, intorno alla metà del XII secolo, compare un trattato Prologus N. Ocreati in Helceph ad Adelhardum Batensem, magistrum suum di un certo Ocreatus, un matematico o inglese o francese probabilmente allievo di Adelardo di Bath, in cui si trova l’uso dello zero combinato con quello dei numerali  romani. Questo trattato rappresenta una specie di stadio intermedio tra l’abaco e il sistema indiano-arabo di numerazione (il riferimento a Helceph nel titolo può essere ad Al-Kâfï fîl hisâb, cioè all’Arithmetica d’Alkarchi che visse a Baghdad intorno all’anno 1000). Nel 1145 Platone di Tivoli traduce in latino col nome di Liber embadorum (o Libro delle aree), l’Hibbur ha-meshihah dell’ebreo spagnolo Abraham bar Hiyya, che tradusse in questo libro le necessità matematiche pratiche dei commercianti di Barcellona e della Provenza (luoghi in cui visse). Questa traduzione fu una delle principali fonti di Leonardo Pisano (Fibonacci), e quindi della matematica europea. Nello stesso anno l’ Al-jabr wa’l muqābalak cioè l’Algebra che al-Khwārizmī (c. 780 – c. 850) scrisse a Baghdad intorno all’830 (insieme ad una Aritmetica in cui compaiono diffusamente spiegate ed utilizzate le notazioni numeriche indiane, cioè: base decimale; notazione posizionale; un simbolo diverso per ciascuna delle dieci cifre – vedi figura) è tradotta in latino da Roberto di Chester e Gherardo da Cremona con il titolo Liber algebrae et almucabola, privo della prefazione araba che era molto utile alla

Nella prima colonna sono  riportati i numeri indiani del secolo X , quindi, nelle colonne successive, come si presentavano i numeri arabi  nei secoli X, XII, XIV).
 

comprensione, probabilmente perchè si elevavano lodi a Maometto e al califfo al Ma’mūn (813-833) che aveva iniziato a fare di Baghdad la nuova Alessandria fondandovi una Casa del Sapere. Si noti che l’estensione e completezza di questa opera ha fatto sì che per secoli si è pensato che la numerazione indiana fosse araba, anche se l’autore dice chiaramente come stanno le cose al contrario delle traduzioni che furono fatte. Al-Khwārizmī, nella sua Algebra, presenta sei casi di equazioni che esauriscono le equazioni lineari e di secondo grado con radice positiva che vengono trattate prima per via algebrica e poi ricercandone le dimostrazioni geometriche anche diverse per lo stesso tipo di equazione; successivamente si trattano questioni varie come ad esempio le espressioni binomiali; l’opera si conclude con molti problemi che illustrano i sei casi di equazioni. L’esposizione degli argomenti è così chiara che, come dice Boyer, l’autore merita il titolo di padre dell’algebra, anche se, a lato dei molti e certi contributi originali, vi sono elementi ellenistici, mesopotamici ed indiani proprio perché, come sottolinea ancora Boyer, mentre i filosofi islamici ammiravano molto Aristotele, gli eclettici matematici mussulmani hanno scelto ciò che più interessava e conveniva loro tra le più svariate fonti.

    La trigonometria è un altro ramo della matematica che, a partire da quanto appreso dagli indiani, gli arabi svilupparono e poi trasferirono.

    In uno scritto indiano di astronomia del 400, già troviamo delle tavole in cui si usano le semicorde (seni(4)). Le cose si svilupparono fino ad arrivare a Bhaskara che nel 1150 fornì una tavola dei seni grado per grado. In India era in uso il cerchio goniometrico con raggio assunto unitario e la relazione fondamentale della trigonometria sen2α + cos2α = 1. Si conoscevano le formule di bisezione che sono riportate addirittura in uno scritto di Varahamihira del 505 ed anche tutto ciò che conoscevano i greci con il vantaggio della maggiore semplicità dovuta alle semicorde. A questo bagaglio importato dall’India, gli arabi aggiunsero cose molto importanti, le tangenti e le cotangenti, come derivato di ricerche fatte per costruire quadranti di orologi solari. Abbiamo una tavola di tangenti e cotangenti dell’860, dovuta a Habash al-Hasib (c. 770 – c. 870). La tangente era chiamata umbra recta e la cotangente umbra versa, con chiaro riferimento alle ombre dello gnomone sul quadrante solare. Lo stesso matematico mostra di conoscere anche la secante. Invece fu Abu’l-Wafa (940 – 997) che introdusse la cosecante ed alcuni teoremi connessi con tali grandezze. Il teorema dei seni, invece, pur essendo noto in modo nascosto dall’uso delle corde da Ipparco e Tolomeo, viene ripreso ma riferito alle semicorde da  al-Biruni (973 – 1048) e viene enunciato definitivamente da Nasir al-Din (1201 – 1274) nel 1250.

    Altri grandi matematici arabi lavorarono in quel IX secolo che è da considerarsi d’oro per la loro cultura(5). Tra essi va ricordato il quasi contemporaneo di Al-Khwārizmī, il famoso al-Thābit ibn Qurra  (836-901) una sorta di Pappo arabo che tradusse quasi tutte le opere di Euclide, Archimede, Apollonio, Tolomeo, Eutocio dal greco e dal siriaco in arabo, opere che poi entrarono in Spagna. Ma egli non si limitò a tradurre. Fece anche dimostrazioni originali integrando e generalizzando spesso le proposizioni delle opere che traduceva, con competenza (da notare sue dimostrazioni differenti del Teorema di Pitagora, studi sui segmenti parabolici, sui quadrati magici, sulla trisezione degli angoli, … ma anche sue integrazioni all’astronomia di Tolomeo). Noto di passaggio che a partire dal XII secolo la cultura araba, fino allora assai fiorente, subì un rallentamento a seguito delle prediche del mistico, religioso ed ascetico Abu Hamid al-Ghazzali (1058 – 1111) che sosteneva che la cultura conduce alla perdita della fede nel Creatore e nell’origine del mondo. Da questo momento i contributi arabi iniziano a scemare mentre cominciano ad aumentare quelli dovuti ad altre etnie e la cosa fu ben capita da Averroè che, pur non essendo un esempio di laicità, ebbe a criticare a fondo al-Gazzali, difendendo la filosofia nel suo lavoro Distruzione della distruzione dei filosofi.

    Intorno al 1160 Abraham ibn Ezra (1097-1167), ebreo spagnolo, scrive un trattato di aritmetica che usa il sistema di numerazione indiano-arabo (detto anche algoritmico). Va detto che questa algebra è per molti versi più arretrata di quella di Diofanto ma ha il grande pregio, particolarmente sentito ed indispensabile all’epoca, di costituire una esposizione piana ed elementare di processi risolutivi di equazioni, particolarmente quelle di secondo grado. La concomitanza temporale di tanti eventi mostra che i tempi sono maturi e vi è una sorta di richiesta corale di un nuovo modo di scrivere i simboli matematici e di operare con l’aritmetica. Il fatto straordinario è che queste elaborazioni, avvenute in Spagna, subiscono una sorta di blocco culturale e comunque non riescono ad arrivare nell’Europa cristiana.

    Prima di passare ad altro, occorre dare un piccolo riferimento all’astronomia nel mondo islamico. Tolomeo era il personaggio centrale in ogni elaborazione e con Tolomeo campeggiava Aristotele. Gli arabi perfezionarono di molto le osservazioni, ne fecero moltissime con strumenti più perfezionati, sistemando varie cose che non tornavano. Un certo modo di fastidio verso Tolomeo iniziò tra gli arabi di Spagna, ad opera di al-Zarqali (1029 – 1087) di Cordova, uno dei compilatori delle tavole astronomiche di Toledo. Egli modificò il sistema tolemaico introducendo un deferente ellittico per l’epiciclo di Mercurio che, come si ricorderà, poneva ancora dei problemi. Ma l’insoddisfazione degli scienziati arabo-spagnoli andava al di là dei piccoli aggiustamenti, pur necessari, a Tolomeo. Il problema centrale che avevano personaggi come Avempace (Ibn Bayya; c. 1085 – 1139) di Saragozza, Abubacer (1105 – 1185; Ibn Tufayl) di Granada, ed Alpetragio (? – 1200; al-Bitruji) di Cordova era raccordare le apparenze salvate con la realtà fisica. Portatore di queste istanze dal punto di vista filosofico fu Averroè (Ibn Rushd; 1125 – 1198). L’epiciclo di Tolomeo e di tutto il filone del salvare le apparenze veniva rifiutato perché si riteneva che i pianeti dovevano girare intorno ad un corpo fisico centrale e non intorno ad un punto. Provarono a costruire qualcosa che avesse la validità fisica che ricercavano ma non ebbero successo.

    Le idee astronomiche che gli arabi trasferirono all’Occidente cristiano sono essenzialmente quelle che prevedono un cambio del referente di fondo. Mentre nell’Europa che ancora non era entrata in contatto con gli arabi dominavano concezioni neoplatoniche con la concezione di un universo di tipo aristotelico fondato sulla teoria del macrocosmo e del microcosmo (che ho discusso nel precedente articolo), la cultura araba permise un affinamento delle linee fondamentali di tale universo sulla base del sistema tolemaico letto dai commentatori arabi di Aristotele. La figura seguente descrive gli elementi essenziali delle concezioni dell’universo che erano in gioco.

Da Singer. Tre rappresentazioni medioevali della struttura del mondo con termini tratti dal De Coelo di Aristotele. In alto lo schema immaginato da Maimonide, in basso quello di Dante, al centro un generico sistema in uso nel Medioevo. (in tutti si sono omesse le sfere planetarie).

LEONARDO PISANO, IL FIBONACCI (c. 1170-1250)

    Per altra via  Leonardo Pisano, detto Fibonacci (che vuol dire figlio di Bonacci) acquisisce una importante conoscenza della numerazione araba e dei loro metodi di calcolo per averli appresi direttamente in un Paese mussulmano.

    Occorre dire qualcosa per comprendere. Guglielmo Bonacci era un commerciante pisano che aveva rapporti di un certo peso (era una specie di ambasciatore della Repubblica di Pisa) con il Nord Africa e particolarmente con la colonia di Bugia in Cabilia, una regione dell’odierna Algeria. Immagino per ragioni di utilità pratica egli indirizzò suo figlio Leonardo a studiare il modo di far di conto degli arabi, cosa che fece con molto successo e passione visto che successivamente si recò a Costantinopoli per perfezionare le sue conoscenze, mentre continuava a fare il commerciante. Tornato a Pisa, nel 1202 pubblicò il Liber Abaci Liber Abbaci (Libro di calcolo, riveduto nel 1228) in cui fa risaltare i vantaggi di quel sistema di numerazione rispetto a quello romano in uso (si noti che il titolo sembra dire il contrario di ciò che si sosterrà nel testo in cui si dice che i nuovi metodi sono più efficaci dell’abaco). Nel primo capitolo del suo lavoro si introducono le 9 cifre indiano- arabe, alle quali aggiunge lo zero (il cui nome viene dall’indiano sùnya, che tradotto in arabo diventa sifr – da cui il nostro termine cifra – che tradotto in volgare italiano diventa zefiro o zeuro). Subito dopo fa dei confronti di scrittura dei vari numeri con i due sistemi. Passa poi, nei capitoli successivi (dal II al IV) ad illustrare vari criteri e regole di calcolo, con le 4 operazioni, con l’uso di radici quadrate e cubiche e con l’introduzione di quella barra con cui oggi indichiamo le frazioni e che gli arabi usavano (ma quest’ultima cosa non fu recepita). Il resto del lavoro tratta problemi di aritmetica e di algebra sino alle equazioni di secondo grado con esemplificazioni di problemi risolti (interessi, cambi, matematica finanziaria, agrimensura), alcuni che gli derivavano dalle questioni che si affrontavano nel commercio e che egli aveva incontrato, altri semplicemente inventati con carattere enigmistico. E’ in questa opera che Fibonacci studiò la crescita di una popolazione di coniglie. Per risolvere il problema, inventò la successione che prende il suo nome: una successione di numeri nella quale ogni numero è la somma dei due numeri precedenti (0,1,1,2,3,5,8,13,21…). Il termine generico di una tale successione, chiamata ricorrente, lo scriviamo oggi an = an-1 + an-2 (avendo assegnato il valore dei primi due termini: a0 = 0 ed a1 = 1). Come vedremo quando parleremo di sezione aurea, il quoziente tra un numero della serie ed il suo precedente an/an-1, al tendere di n all’infinito, tende proprio a quel numero algebrico irrazionale chiamato sezione aurea (ma molte altre questioni di carattere biologico ed informatico hanno a che fare con la successione di Fibonacci).Gli indovinelli matematici, che si trovano in questo libro e che venivano presentati sotto forma di storiella o di aneddotica, divennero classici e studiati per oltre 200 anni. E’ da notare che, oltre alla difficoltà propria dell’introduzione di una nuova notazione simbolica e di una nuova base, vi era un’avversione alle nuove cifre ed alla nuova base  per due motivi che di matematica avevano poco: molti ritenevano che l’uso di cifre inventate da infedeli potesse offendere la religione dominante; alcuni ritenevano che le cifre arabe si prestassero a frodi a contraffazioni.  

     Fibonacci pubblicò anche una De Pratica Geometriae (1220) nella quale si occupò di trigonometria e di problemi di applicazione dell’algebra alla geometria. In esso egli applicò le sue conoscenze aritmetiche ed algebriche alla geometria ed alla risoluzione di problemi geometrici (e la cosa non è da poco se solo si pensa quali problemi vi furono in passato anche nel periodo alessandrino). Da rimarcare che egli fu uno dei primi a far conoscere all’Occidente cristiano l’evolutissima trigonometria araba. Nell’altro suo libro, Liber quadratorum (1225) dedicato a Federico II imperatore del Sacro Romano Impero (noto anche come Federico I di Sicilia), che divenne suo protettore e con il quale ebbe modo di scambiare molte idee, egli studiò le equazioni indeterminate di 2° grado, alcuni problemi risolubili con equazioni quadrate e cubiche ed anche quella teoria dei numeri che avrà grande sviluppo da Fermat in poi. E’ utile ricordare che con Fibonacci si aprì una polemica che era stata sotterranea fino ad allora, quella tra sostenitori del far di conto mediante l’abaco(6), gli abachisti, e quelli che sostenevano la superiorità dei metodi della nuova numerazione e base decimale alla quale occorreva carta e penna, gli algoritmisti (la polemica si chiuse solo nel XVI secolo con la vittoria degli algoritmisti). Vi furono delle vere e proprie gare pubbliche gare alle quali assisteva anche lo stesso Federico II, in cui a dati problemi le fazioni contendenti

Una illustrazione allegorica della disputa tra abachisti ed algoritmisti. Lo striscione sul retro parla di Tipi di aritmetica ed i contendenti sono l’abachista Pitagora (rappresentato in difficoltà)  e l’algoritmista Boezio. La fanciulla detta i problemi e fa da giudice.

dovevano dare risposte nei tempi più brevi. Forse perché Fibonacci era di suo molto bravo ma sta di fatto che vinceva sempre e soltanto lui tanto che ancora vi è il sospetto che la gara fosse truccata perché sembra molto difficile trovare immediatamente una x che soddisfa l’equazione che venne proposta:

x3 + 2x2 + 10x = 20

anche se, in un suo lavoro che a torto è considerato minore,  Flos Leonardi Bigolli Pisani super solutionibus quarundam quaestionum ad numerum et geometriam vel ad utrumque pertinentium (circa 1225), egli presenta una serie di operazioni di semplificazione, altrettante trasformazioni di un’equazione di 3° grado per poi passare ad una esatta soluzione in base sessagesimale senza che ci faccia capire come ha fatto (si tenga conto che mancano centinaia d’anni alle formule risolutive degli algebristi italiani del Cinquecento). Da sottolineare che in questa opera compaiono numeri con il segno meno in problemi finanziari, i debiti.

    Il grande interesse suscitato dall’opera di Fibonacci non ebbe riscontro in suoi continuatori in Italia, per quasi tre secoli. Molto probabilmente la morte di Federico II segnò la scomparsa di quel favorevole ambiente culturale e spirituale.

    Un altro importante matematico che lavorò nella stessa epoca di Fibonacci è Giordano Nemorario (? – 1235). Ricordo alcuni suoi contributi senza soffermarmi su di lui. Nemorario è originario di Warburg, città della Sassonia (Sacro Romano Impero) e qualcuno sostiene si tratti di Giordano di Sassonia, che fu generale dei domenicani nel 1222. Il fatto che fosse sassone confermerebbe il nome Nemorarius, cioè straniero, ma latri lo situano a Nemi, vicino Roma. Tutto ciò vuol dire che sappiamo molto poco di lui e che ci sono arrivate varie opere con il suo nome ma non sappiamo, ad esempio, se si tratti di medesima persona. Una di queste opere è l’Algoritmus de ratione ponderis (Libro sulla teoria del peso) in cui discute le proprietà del piano inclinato con questioni di statica, di scienza delle costruzioni, di resistenza dei materiali (a cui si riferirà Leonardo). Vi sono  poi  gli Elementa demonstrationem ponderum che in qualche modo completano le sue elaborazioni meccaniche e ci fanno intendere come queste ricerche fossero legate alla nuova architettura gotica che prendeva piede in Europa. Egli pone alla base della statica alcuni principi che sono:  omnis ponderosi motum ad medium (centro terrestre) esse; Quanto gravius tanto velocius descendere; Tertia, gravius esse in descendendo, quanto eiusdem motus ad medium est rectior; Quarta, secundum situm gravius esse, quanto in eodem situ minus obliquus est descensus; Quinta, obliquiorem autem descensum minus capere de directo in eadem quantitate. Le ultime due proposizioni sono importantissime, poiché in esse è introdotto e determinato il concetto della gravitas secundum situm; cioè, come oggi si direbbe, della componente del peso nella direzione della traiettoria descritta dal mobile. Naturalmente tanto più la posizione del corpo si avvicina alla verticale (tanto minore è l’obliquità, come dice Giordano) tanto maggiore è la gravitas secundum situm, la detta componente del peso (utilizzando la trigonometria ed indicando: con F la forza, P il peso ed α l’angolo di inclinazione, la cosa si scriverebbe: F = P.sen α). Così se si considera una sfera posta una volta su di un piano inclinato più prossimo alla verticale, ed un’altra su uno di assai

minore inclinazione, si trova che la gravitas secundurn situm è maggiore sul primo.  Incidentalmente si deve notare che Giordano non sceglie affatto un esempio così ovvio. Ciò ha destato meraviglia, ma si spiega pensando all’origine dei problemi di Giordano in connessione con la nuova architettura.

    Egli stabilisce poi una importante proposizione relativa al piano inclinato, proposizione che con linguaggio moderno recita: la forza capace di elevare un peso p ad un’altezza h può elevare n.p ad un’altezza h/n (tale principio, il germe di quello dei lavori virtuali, verrà sviluppato da Leonardo, Galileo, Descartes, … fino a Lagrange). Partendo da tale principio, Nemorario dimostra che due pesi si fanno

equilibrio su due piani diversamente inclinati se risultano proporzionali alle lunghezze dei piani stessi, cioè se risulta:

P : P’ = AB : AC  

    Oltre a questo inizio di trattazione meccanica, Nemorario scrisse anche una Arithmetica che è notevole per una novità introdotta: per la prima volta si usano lettere al posto dei numeri e la cosa permette di scrivere teoremi ed espressioni in modo generale. Nella sua altra opera, il De numeris, egli tratta del sistema numerico indo-arabo e ci fornisce per primo ed in modo del tutto generale la regola per la soluzione di un’equazione di secondo grado.

LA SCOLASTICA, GLI ORDINI MENDICANTI. LE UNIVERSITA’

    L’inizio del XIII secolo vede in Europa il nascere di tre fenomeni di grande interesse: da una parte la riscoperta del complesso dell’opera di Aristotele, che farà molto discutere e che molto influenzerà il pensiero della Scolastica; dall’altra la fondazione delle prime università come centri dell’eccellenza del sapere; infine l’inizio dell’attività di insegnamento di alcuni ordini religiosi, detti mendicanti.

        Riguardo alla cresciuta influenza del pensiero di Aristotele, si sarà osservato che i pensatori medioevali con fatica ricostruiscono alcuni sentieri di conoscenza. Mancano alcuni strumenti di fondo, essenzialmente matematici, manca soprattutto una visione complessiva dei problemi. Più in generale non sembra vi siano persone in grado di prendere in mano un Aristotele o un Platone e di sottoporli a critica serrata. Piuttosto, di fronte alle loro opere che sembravano esaustive, ci si chiedeva se l’insieme di quelle concezioni fossero coerenti ma anche cosa volessero dire alcune affermazioni. Ogni cosa non la si studiava di per sé ma in relazione alla verità di cui erano portatori i classici, come la Fisica di Aristotele, considerata vera e propria Bibbia della conoscenza della natura.  Non si sentiva alcuna necessità di esperimenti perché tutto sembrava essere stato indagato dal Filosofo (così era chiamato Aristotele). Si lavorava invece alla ricerca di presunte verità attraverso le dispute sillogistiche che avvenivano allo stesso modo sia nella fisica che nella teologia: una concatenazioni di affermazioni logiche avrebbe portato a più vaste conoscenze. Probabilmente fu questo il motivo per cui fu chi doveva sperimentare per mestiere, l’artigiano, e non il dotto professore, che offrì nuovi fenomeni da interpretare, fenomeni non considerati dal Filosofo.   

       Per quel che riguarda la nascita delle università devono essere fatte alcune osservazioni. Siamo in un momento in cui vi è un certo rilassamento del potere feudale che si accompagna all’inizio della decadenza della Chiesa e dell’Impero. La Chiesa inizia a perdere la supremazia sugli Stati dell’Occidente cristiano  con Federico II che sarà il primo avversario e competitore dell’autorità del pontefice. I Guelfi ed i Ghibellini si fanno la guerra e da ciò discende una maggiore autonomia dei comuni che tornano ad acquisire importanza rispetto alla campagna. L’aumento della produzione agricola del XII secolo, era anche dovuto alle invenzioni tecniche di cui ho discusso nell’articolo precedente. In un processo virtuoso tecnica e produzione si aiutavano nella crescita fino al punto che si realizzano apparati tecnici in grado di produrre strumenti tecnici. Si va affermando cioè la tecnica che produce tecnica ed in definitiva un aumento dei beni complessivi in circolazione. Ciò crea un ceto artigiano sempre più diffuso ed una crescita della popolazione e del suo livello di benessere, con la conseguente affermazione dei primi ceti borghesi ricchi ed in grado di pagare persone per fare cultura. La nascita degli ordini domenicano e francescano che operano nelle città, con l’obsolescenza del benedettino legato alla campagna, ma anche l’estendersi dei movimenti ereticali con le loro feroci repressioni, sono anch’esse conseguenza di questo cambiamento del centro di gravità delle popolazioni.

    Le università che proprio in questo periodo nascono sono un chiaro portato delle migliorate condizioni economiche generali ma anche delle particolari corporazioni che le richiedono per ottenere qualche privilegio. Infatti le prime università segnano proprio i campi di interesse delle varie zone in cui vengono create: la laica e democratica Bologna sviluppa studi giuridici ed una medicina pratica; a Montpellier, zona di influenza arabo ebraica, si sviluppa una medicina teorica, ad Oxford, dove i maestri sono francescani, gli studi avranno un’impronta platonico-matematica ed agostiniana mentre a Parigi i domenicani aristotelici e naturalisti si impegneranno in teologia. Ma qualunque sia l’indirizzo di studi la costante sarà sempre del rapporto tra il sapere dell’uomo e la rivelazione cristiana con la conseguenza che, l’affinarsi di tali discorsi, porterà a sempre maggiori difficoltà per la Chiesa.

Da Geymonat. Un’immagine dell’università di Oxford (New College) da un codice miniato della fine del XIII secolo.

TOMMASO D’AQUINO (1225 – 1274)

       Tommaso d’Aquino è una personalità che, pur non dando alcun contributo alla conoscenza scientifica, anzi!, è importante prendere in considerazione perché sarà il riferimento fondamentale della Chiesa, mai venuto meno fino ad oggi. E non è che io mi occupi di teologia, è che queste posizioni saranno alla base non già di una sana contestazione delle idee scientifiche, ma della loro repressione violenta.

      Discepolo di Alberto Magno (circa 1200 – 1280), il conte Tommaso d’Aquino completò la sua opera che consistette principalmente nell’armonizzare, rendere coerente, Aristotele, letto attraverso Averroè (Ibn Rushd), Avicenna (al-Fārābī), Maimonide ed Avempace (Ibn Bājja), anche se mai citati, con il Cristianesimo(3), opera alla quale contribuì anche Roberto di Lincoln o Grossatesta (1175-1273). Il Papa (Alessandro IV prima ed Urbano IV poi) premeva sui professori secolari perché emendassero Aristotele al fine di renderlo accettabile, ma i domenicani avevano un progetto più ambizioso, quello di eliminare le ristrettezze della visione agostiniana ed eliminare ciò che non va in Aristotele sostituendolo con qualcosa di accettabile. Tommaso rappresenta  il culmine della tradizione aristotelica con l’introduzione di qualcosa che è meno nobile della terra e sta quindi ad un livello più basso, l’Inferno, e di qualcosa che è più nobile dell’etere e sta quindi ad un livello più alto, il Paradiso. Si tratta di una sintesi puramente logica che non aggiunge nulla in termini di conoscenza dell’universo. E Tommaso non fece altro che confermare la tendenza medioevale ad assimilare la filosofia della natura  alla metafisica ed alla teologia e rendere lo studio del mondo circostante un puro esercizio intellettuale elaborato con la logica sillogistica. In definitiva è Dio che comprende in sé tutto l’universo che era di Aristotele ed è Dio che trasmette il moto ad esso. In altri punti dove vi era contrasto tra Aristotele e Chiesa, semplicemente si affermò che Aristotele aveva sbagliato. E Tommaso fa un bell’esercizio della sua logica sillogistica inventandosi 5 prove dell’esistenza di Dio. La prima è per noi d’interesse perché è strettamente connessa con il sistema del mondo di Aristotele.

La catena logica è la seguente:

  • nel mondo esiste il mutamento;
  • tutto ciò che si muove è mosso da altro;
  • se ciò che è causa del moto, a sua volta, si muove, per il punto precedente è necessario che anch’esso sia mosso da qualche altro ente;
  • tuttavia, non è possibile procedere all’infinito nell’identificazione delle cause del moto, perché, in tal modo, non si troverebbe mai l’origine del moto;
  • ma senza l’origine del moto non ci sarebbe alcun moto, il che è contraddetto dall’esperienza;
  • perciò è necessario inferire l’esistenza di un “primo motore”, che non sia mosso da nient’altro. Esiste quindi un “primum movens quod in nullo moveatur”. A tale moto tutti attribuiscono il nome di Dio (ente immutabile che non diviene ma è).

    Il moto delle sfere celesti è generato dalle Intelligenze angeliche. I corpi sublunari sono dislocati secondo la teoria dei luoghi naturali di Aristotele.

    L’organizzazione piramidale del cosmo è analogo alla verticalità dell’ordine spirituale di Dio perfetto; al gradino inferiore nella scala delle sostanze di carattere spirituale c’è l’anima umana. Più in dettaglio, per Tommaso il mondo è unitario e con esso l’intera natura. Il tutto è regolato da un Dio con i suoi angeli che sta ad un estremo mentre l’uomo e la volgare vita terrena all’altro. Lo stesso sistema del mondo era una rappresentazione di tutto ciò. Nell’alto dei cieli Dio in cima, poi gli angeli sempre più giù a seconda dei loro gradi, quindi il cielo delle stelle fino ad arrivare giù giù all’uomo, alla Terra e, sotto di essa a quanto di più orrido si potesse immaginare: specularmente a quanto accadeva nell’alto dei cieli vi era una gerarchia di angeli maledetti (i daemon, i diavoli) organizzati anche qui in gerarchie; più si scende e più si è malvagi, fino ad arrivare al Lucifero che occupa il centro della Terra (una tale descrizione è stata resa stupendamente da Dante).
 

    Con questo artificio molte accuse di materialismo e meccanicismo che venivano mosse ad Aristotele, piano piano andarono cadendo. A partire dal 1278 la sua dottrina divenne quella ufficiale dell’ordine dei domenicani. È interessante osservare una delle questioni che Tommaso pone nella sua Summa Theologica il fatto cioè che sembra impossibile che il corpo di Gesù sia asceso al cielo in quanto: 1) non si intravedono fori nelle sfere celesti; 2) perché i corpi che sono in stato di perfezione sono immobili e quindi non era appropriato al corpo di Gesù il movimento; 3) perché al di là dell’ultima sfera non vi è spazio ed il corpo di Gesù occupa spazio.

Non sembra possibile che Cristo sia asceso al Cielo. Infatti il Filosofo (Aristotele) dice (De Coelo, Libro Il) che le cose che sono in uno stato di perfezione posseggono il loro bene senza movimento. Ma Cristo era in uno stato di perfezione… quindi egli aveva il Suo bene senza movimento. Ma l’ascendere è movimento. Pertanto non sembra appropriato che Cristo sia asceso… Inoltre al di là dei cieli non c’è spazio, come è provato nel De Coelo I. Ma ogni corpo deve occupare dello spazio. Quindi il corpo di Cristo non è asceso al di là di tutti i cieli…
Inoltre due corpi non possono occupare il medesimo spazio. Ma dal momento che non è possibile passare da un posto ad un altro senza attraversare lo spazio intermedio, non sembra che Cristo possa essere asceso oltre tutti i cieli a meno che le sfere cristalline dei cieli non si siano aperte; il che è impossibile
 [Summa Theologica Parte III, Quaest. XXVII – LIX].
 

    E’ solo un esempio di come, con Tommaso, l’astronomia verrà strettamente legata alla teologia (si veda l’intera opera di Dante) e, più in generale, della trasformazione del mondo in senso teologico, non vi era infatti argomento, per quel che ci riguarda, di filosofia naturale, che non ricadesse nel regno della teologia. Secondo Tommaso(6), poiché non é possibile che vi siano verità contraddittorie, religione e fede debbono andare d’accordo. Egli incita quindi a studiare la scienza perché ciò serve a consolidare la formazione religiosa ed a sradicare errori e superstizioni. La scienza a cui si fa riferimento è una scienza fondamentalmente empirica perché il modo che noi abbiamo di conoscere è fondamentalmente legato ai nostri sensi, all’esperienza che loro fanno durante la nostra vita. Tommaso limiterà drasticamente la regola benedettina affermando che coloro che sono sacerdoti debbono essere esonerati dal lavoro manuale:

… Il lavoro manuale è indirizzato a quattro scopi: primo e principale, ad ottenere i mezzi per sostentarsi … secondo, a vincere 1’ozio, che è colpevole di molti mali … , terzo, a imbrigliare i desideri, in quanto esso mortifica il corpo … , quarto infine, a fare delle opere di misericordia.
Se uno potesse mantenersi in vita senza mangiare, non sarebbe tenuto a lavorare con le mani. Lo stesso discorso vale per coloro i quali da altre fonti hanno quanto occorre per poter vivere in modo lecito. 
In quanto però il lavoro manuale ha per scopo di vincere l’ozio o di mortificare il corpo, esso di per sé non cade sotto l’obbligo del comandamento, in, quanto oltre al lavoro manuale esistono molti altri modi di mortificare il corpo o di vincere l’ozio.
Da ultimo, in quanto il lavoro ha per scopo le opere di misericordia, esso non cade sotto l’obbligo di comandamento se non, alla  peggio, nel caso in cui uno sia tenuto per un qualche dovere a  compiere. delle opere di misericordia e non abbia nessun altro mezzo per aiutare i poveri.
Se quindi la regola dell’ordine non contiene particolari norme sul lavoro manuale, i religiosi non sono altrimenti obbligati al lavoro manuale che i laici. 
[Summa Theologica]

      Nonostante le aperture di Tommaso verso la scienza, questa non decollava per svariati motivi. In primo luogo egli e gli altri pensatori erano a livelli culturali lontanissimi da quelli della gente; in secondo luogo l’insegnamento medioevale era centrato quasi esclusivamente sullo studio dei classici che ispiravano timore e rispetto per la loro autorità; in terzo luogo l’illimitata venerazione di cui godeva Aristotele non permetteva passi in avanti sostanziali; infine, e questo è un aspetto molto importante, da una parte non si disponeva di una adeguata conoscenza della matematica (si conquisterà solo nel Cinquecento) e dall’altro nessuno pensava ad intersecare processi di misura con la conoscenza della natura (non è la quantità che ci permette di conoscere l’essenza delle cose, aveva affermato Aristotele). In queste condizioni la scienza non poteva essere altra cosa che una descrizione e classificazione qualitativa alla quale l’unica dimostrazione necessaria era il ragionamento (che aiuta nella classificazione) e quindi il sillogismo (si noti che per Aristotele anche una dimostrazione geometrica è una classificazione). Inoltre la stessa organizzazione oligarchica dello stato può essere vista come giusta in quanto gerarchizzata e quindi costruita ad immagine della natura (ciò faceva molto piacere ad ogni potente).

    Naturalmente mentre da una parte Tommaso saccheggiava le conoscenze arabe, dall’altra scriveva la Summa contra Gentiles (1259-1264) in polemica con i mussulmani che non si convincono della verità della rivelazione. Quegli sconsiderati dovrebbero fa ricorso alla ragione umana per convincersi, ma non intendono farlo.

LA TEORIA DELL’IMPETUS  (7)

    Sette secoli dopo la teoria di Filopono (VI secolo) alla quale ho precedentemente accennato, venne ripresa dagli arabi Di Spagna a partire da Avicenna. Il problema in discussione era relativo all’aristotelico moto violento, a cosa cioè  manteneva in moto un oggetto scagliato (un proietto). Ricordo che per Aristotele era l’aria che, aprendosi lungo la strada percorsa dal proietto, si richiudeva dietro di esso sospingendolo. Per Filopono invece ciò risultava inaccettabile e, se si lancia un proietto

è necessario che una certa potenza motrice incorporea sia ceduta al proiettile dallo strumento che lo lancia; l’aria non contribuisce affatto a tal moto, e vi contrasta ben poco…“.

    Quindi il moto sarebbe possibile anche nel vuoto ed anche lì, dopo un poco, la potenza corporea ceduta al proiettile sarebbe venuta meno.

    Questa polemica viene ripresa da Avicenna che in proposito sostiene che la potenza che viene impartita al dato proietto è una qualità per la quale il corpo respinge ciò che gli impedisce di muoversi, una sorta di potenza prestata, una qualità trasmessa al proietto da chi lo lancia (come il calore comunicato ad un corpo o come il suono comunicato ad una campana – quest’ultima immagine è di Galileo che in gioventù abbracciò la teoria dell’impetus). Ma Avicenna modificò quanto sostenuto da Filopono affermando che quel movimento, se fosse avvenuto nel vuoto senza impedimenti, non si sarebbe esaurito come nell’aria ma sarebbe durato all’infinito. Inoltre egli tentò una valutazione quantitativa del fenomeno affermando, con il nostro linguaggio, che la velocità acquistata da un  proiettile scagliato doveva risultare inversamente proporzionale al suo peso e che se si ha a che fare con corpi in moto con la stessa velocità, essi percorrono distanze direttamente proporzionali al loro peso. Avempace, invece si mostrò d’accordo con Filopono affermando che la velocità acquisita da un corpo scagliato deve essere uguale alla potenza che gli viene ceduta alla quale deve essere sottratta la resistenza dell’aria. E ciò deve avvenire anche nel vuoto senza variazioni di velocità del corpo, dove tale corpo deve poter percorrere una data distanza come del resto mostrano le sfere celesti che si muovono con velocità finita pur essendo dotate di un moto moto senza resistenza.

    Averroè attaccò queste posizioni dal suo punto di vista aristotelico. Per lui, Avempace sbaglia a trattare la natura di un corpo dotato di peso come un qualcosa di distinto dalla materia che costituisce il corpo e sbaglia a mettere in relazione le cose materiali con l’Intelligenza immateriale che muove le sfere celesti. In realtà voler parlare di impedimento al moto corrisponde a non tener conto della distinzione aristotelica del moti (naturale e violento) in quanto, se si accettasse la posizione di Avempace, tutti i moti, avvenendo attraverso mezzi corporei, dovrebbero risultare violenti.

        Ho fatto questo cenno alle concezioni di questi studiosi in quanto, nell’Occidente cristiano, il punto di partenza per chi avesse voluto affrontare lo studio della Fisica e del De Coelo di Aristotele erano questi commenti ed in particolare quelli di Averroè che avevano una maggiore autorità. Ed è utile dire che questa polemica fu ripresa da Alberto Magno che si schierò decisamente con Averroè mentre Tommaso d’Aquino assunse la posizione di Avempace nel discutere di questioni metafisiche (cita tre volte questa teoria senza criticarla) ma negò l’impetus nei suoi commenti alla Fisica ed al De Coelo di Aristotele perché considerava contraddittorio un moto violento generato da un principio intrinseco. Anche qui tali posizioni avranno un grande peso negli sviluppi futuri dello studio del moto per l’enorme autorità che aveva acquistato Tommaso. Prima di andare oltre è però utile vedere un esempio dell’uso che fa Tommaso dell’impetus in questioni metafisiche. Come fa un embrione umano a venire dotato di un’anima ? La crea Dio quest’anima, aggiungendola al feto in un dato istante, o viene trasferita dal seme del padre ? Con Dijksterhuis, così lo spiega Tommaso:

Nell’ultimo caso una forza dovrebbe essere operante nel seme come strumento, e ciò diventerebbe impossibile, secondo le concezioni peripatetiche, non appena essa si fosse staccata dall’anima paterna, la quale costituisce il suo movens. In questo contesto viene citato il projectum separatum allo scopo di fare un paragone: come questo ha ricevuto dal projiciens una virtus movens intrinseca, allo stesso modo la virtus in semine patris può anch’essa essere una forza intrinseca permanente. Le opere di Tommaso d’Aquino contengono soltanto riferimenti casuali di questo genere; il problema del projectum separatum in quanto tale non viene mai sollevato.

         Beh, credo si sia capito che il livello delle argomentazioni è questo.

        Usciamo invece dalle discussioni estenuanti eminentemente teoriche ed occupiamoci di una questione di rilievo nella fisica di Aristotele  che interessò molto gli ambienti universitari, in particolare Oxford e Parigi: il luogo, il moto e le variazioni.  A questi temi dette un notevole contributo uno dei maestri dell’Università di Parigi, il canonico Giovanni Buridano (c. 1300 – c. 1358) con la ripresa della teoria dell’impetus che Filopono aveva avanzato secoli indietro. Egli iniziò una critica dell’opera di Aristotele, sulla strada aperta da Guglielmo di Occam (c. 1295 – c. 1349)(8),  basata su osservazioni di fatti naturali non più ingenuamente empiriche ma mostrando la possibilità di intersecare l’interpretazione teorica al mero empirismo. Si tratta essenzialmente di una critica molto serrata all’idea aristotelica di movimento ma, si badi bene, tutta interna all’aristotelismo stesso. In realtà non si intaccano le basi profonde del filosofo greco ma si cerca al contrario di aggiornarle, di renderle più adatte ad eventuali nuove confutazioni.

      Dice Buridano nel suo Quaestiones octavi libri physicorum:

La prima esperienza è quella della trottola o il torno da fabbro; questo corpo gira a lungo, eppure non esce affatto dal luogo che occupa, sicché l’aria non si sposta per riempire qualche spazio che esso lascia vuoto.
Seconda esperienza: si lanci un giavellotto che abbia all’estremità posteriore una punta acuta come quella dell’estremità anteriore. Esso si muove come un giavellotto comune, avente una sola punta; eppure l’aria che lo segue non potrebbe certo spingerlo con forza, dato che la punta posteriore tende anch’essa a tagliare l’aria.

Terza esperienza: una barca spinta rapidamente contro la corrente di un fiume, non si arresta di colpo, e continua a muoversi per un bel tratto anche quando si cessa di spingerla. Eppure chi vi sta sopra, in piedi, non si sente affatto spinto posteriormente dall’aria, anzi sente che l’aria fa resistenza al moto del suo corpo […] Con la vostra mano vuota voi potete muovere l’aria molto più velocemente che se voi teneste in mano una pietra che vi ripromettete di gettare: supponiamo dunque che quest’aria – grazie alla velocità del suo moto – abbia impeto bastante per muovere rapidamente un sasso: allora spingendo quest’aria verso di voi con la stessa velocità io dovrei darvi una spinta assai impetuosa e sensibile; ma ciò non si verifica affatto.

      E prosegue spiegando in cosa consiste l’impetus:

Ogniqualvolta qualche agente mette in moto un corpo, esso gli impartisce un certo impetus, una certa potenza che è capace di muovere il corpo lungo la direzione impostagli fin dall’inizio, che sia verso l’alto, verso il basso, verso il lato o su un cerchio. Quanto più è grande la velocità che è impressa al corpo dall’agente, tanto più sarà potente l’impetus che gli sarà dato. È questo impetus che muove una pietra dopo che è stata scagliata e fino a che il moto giunge alla fine. Ma a causa della resistenza dell’aria e anche a causa della pesantezza, che inclina il moto della pietra in una direzione differente da quella in cui l’impetus è efficace, questo impetus decresce continuamente. Di conseguenza il moto della pietra rallenta senza interruzione. In definitiva, l’impetus è vinto e distrutto nel punto in cui la gravità lo domina, e da quel momento in poi quest’ultima muove la pietra verso il suo luogo naturale.[…]
Tutte le forme naturali e le disposizioni sono ricevute dalla materia in proporzione a se stessa. Di conseguenza, quanta più materia contiene un corpo, tanto più impetus è possibile impartirgli, e tanto più grande è l’intensità con cui può ricevere l’impetus. […]

Una piuma riceve un impetus così debole che è immediatamente distrutto dalla resistenza dell’aria. Allo stesso modo, se qualcuno getta proietti e mette in moto con uguali velocità un pezzo di legno e un pezzo di ferro, che hanno lo stesso volume e la stessa forma, il pezzo di ferro viaggerà più in là perché l’impetus che gli è impartito è più forte. È per la stessa ragione che è più difficile arrestare una grande ruota da fabbro che si muova rapidamente, che non una piccola. […]
L’esistenza dell’impetus sembra essere la causa per cui la caduta naturale dei corpi accelera indefinitamente. In verità, all’inizio della caduta il corpo si muove per la sola gravità. Quindi cade più lentamente. Ma ben presto questa gravità impartisce un certo impetus al corpo pesante, un impetus che è altrettanto efficace della gravità nel muovere il corpo. Quindi il moto diventa più rapido. Ma
quanto più rapido diventa, tanto più intenso diventa l’impetus. Quindi si può constatare che il moto sarà accelerato continuamente.


        Come si vede le obiezioni ad Aristotele sono dense di contenuti e saranno proprio queste argomentazioni, al di là delle intenzioni di chi le muoveva e delle prime spiegazioni, ad aprire la strada al principio di inerzia (che, attenzione, qui viene negato) che, per altri versi, risulterà importante per l’affermazione di una visione relativistica del moto ed in definitiva del mondo. E’ importante osservare che Buridano applicò la teoria dell’impetus all’intero sistema aristotelico del mondo. Secondo Buridano, fu Dio che avviò il movimento delle sfere celesti, movimento che ancora va avanti grazie all’impetus. Questo associare stesse leggi ai due mondi aristotelici (quello al di sopra e quello al di sotto del cielo della Luna) comincia a rompere quella separazione aristotelica aprendo la strada ad altre rotture più importanti tra cui quella di Copernico.

    Aristotele continuava a dominare dovunque e, come osserva giustamente Dijksterhuis, era relativamente semplice per un astronomo mettere in discussione qualche questione di carattere particolare; se il problema era solo una semplificazione dei conti, correzioni di Aristotele si potevano pure accettare, ma per il filosofo, il filosofo naturale, che doveva pensare di sostituire una immagine del mondo ad una immagine del mondo, il problema si presentava più difficile. Occorreva molto di più. Prove o indizi si dovevano accumulare ancora per secoli.

     Ancora nello stesso periodo altri contributi d’interesse vengono elaborati dal vescovo occamista ed allievo di Buridano, Nicola Oresme (c. 1323 – 1382). Tralasciando molte altre sue opere poco significative, sono d’interesse le sue Questioni sugli Elementi di Euclide e le De configurationibus qualitatum (opera che non fu mai stampata). Viene qui per la prima volta presentata una tecnica che pian piano rivoluzionerà i rapporti tra numeri e disegni. Egli per primo ricorse alla rappresentazione grafica per rendere evidenti le variazioni di certe qualità in funzione di alcuni parametri presi a riferimento. Per circa un secolo la Scolastica discuteva animatamente di qualità aristoteliche ora diventate forme. La variazione delle forme era argomento appassionante e per capirlo pensiamo ad una di queste forme, la velocità (ma andrebbe bene anche la temperatura). E’ evidente che, nel disquisire, si cercavano delle caratteristiche, dei modi per descrivere come variavano certe forme. Abbiamo già visto che gli strumenti matematici erano poveri ed in assenza di questi erano inevitabili lunghe ed estenuanti discussioni. Nonostante queste difficoltà ad Oxford (al Merton College tra il 1328 ed il 1350) si era riusciti a fornire a parole una legge di variazione di forme che riguarda una delle proprietà di quello che noi conosciamo come moto uniformemente accelerato (caduta di un grave), con l’accelerazione ancora non definita ma più o meno intesa come la velocità di una velocità. La legge può essere detta così (Boyer):

se un corpo si muove di moto uniformemente accelerato, la distanza percorsa sarà quella che avrebbe percorso un altro corpo dotato di moto uniforme per lo stesso intervallo di tempo con una velocità uguale a quella raggiunta dal primo corpo nell’istante di mezzo dell’intervallo temporale. Formulando tale regola con la terminologia moderna, diremmo che [in un moto uniformemente accelerato, ndr] la velocità media  è la media aritmetica della velocità iniziale e di quella finale. […Siamo cioè di fronte al] valore medio di una forma “uniformemente difforme”, ossia di una forma il cui tasso di variazione è costante.

     Si capisce bene che questa scoperta è quasi priva di significato se non la si formalizza per poi operare ancora su di essa. Oresme non ha gli strumenti matematici per scrivere ciò che abbiamo letto e che egli conosceva, ma mette in relazione le variazioni di intensità di una data forma (ad esempio: la velocità), distinguendo tra la sua extensio  e la sua intensio. Egli introduce un sistema di due rette perpendicolari (assi coordinati), una chiamata latitudo e l’altra longitudo,

sulle quali egli riporta nell’ordine i valori dell’extensio ed intensio. Ciò vuol dire che data una forma sull’asse longitudo, la sua latitudo è il grado maggiore o minore in cui quella qualità era posseduta e le discussioni vertevano sull’intensio o la remissio di essa, se cioè essa si era accresciuta o diminuita. Si capisce che questa modo di descrivere le cose discende da quanto realizzato in ambito geografico, ad esempio da Tolomeo. Egli ha in mente di rappresentate la quantità di una forma (o anche la quantità di una qualità) per mezzo di una rappresentazione geometrica che avrebbe originato una figura. Era tale figura al centro del suo interesse perché da essa si sarebbero capite meglio le proprietà intrinseche della forma che cambiava. Come è chiaro non siamo di fronte a degli assi cartesiani, qui non c’è alcuna associazione di una figura o curva con una legge matematica che lega insieme un paio di variabili. Ma si può dire che è iniziare a porre il problema di visualizzare graficamente alcune grandezze che variano, l’una in relazione all’altra. Con il suo metodo, detto latitudo formarum, Oresme dette una dimostrazione geometrica di quella legge trovata ad Oxford. Portando il tempo sulla longitudine e la velocità sulla latitudine, egli così ragiona: 

Ogni qualità, se sarà uniformemente difforme, ha la stessa quantità che avrebbe se fosse la qualità dello stesso soggetto o di uno uguale, uniforme secondo il grado del punto medio di tale soggetto. E intendo, secondo il grado del punto se la qualità sarà lineare. Se invece sarà la qualità di una supeficie, secondo il grado della linea media …
Dimostreremo in primo luogo questa proposizione per una qualità lineare.
Sia dunque una qualità rappresentabile con un triangolo ABC. Essa è una qualità uniformemente difforme che, nel punto B, termina a zero.

 Sia D il punto medio della linea rappresentante il soggetto; il grado di intensità che agisce su questo punto è rappresentato dalla linea DE. La qualità che avrà ovunque il grado così designato può dunque essere rappresentata dal quadrilatero AFGB … Ma in virtu della 26ª proposizione del I libro di Euclide, i due triangoli EFC ed EGB sono uguali. Il triangolo maggiore, che rappresenta la qualità uniformemente difforme, e il quadrilatero AFGB, che rappresenta la qualità uniforme secondo il grado de1 punto medio, sono dunque uguali. Le due qualità che possono essere rappresentate l’una dal triangolo e l’altra dal quadrilatero sono perciò anch’esse uguali, come volevasi dimostrare.
Nello stesso modo si ragiona di una qualità uniformemente difforme terminata a entrambe le estremità a un certo grado …

A proposito della velocità, si può dire esattamente la stessa cosa come per una qualità lineare, solo che invece di dire “punto medio” bisognerà dire “istante medio del tempo che misura la velocità.”
È perciò evidente che ad ogni qualità o velocità uniformemente difforme corrisponde esattamente una qualità o velocità uniforme. 
[citato da Crombie]

Il disegno originale di Oresme nel suo manoscritto mai stampato

      Tornando a quanto anticipavo prima a proposito di ciò che interessava a Oresme (la figura e non l’andamento di una funzione), dice Boyer:

Mentre noi  diciamo che il grafico della velocità  di un moto uniformemente accelerato è una linea retta, Oresme scriveva: Qualsiasi qualità uniformemente difforme che termina con intensità zero viene immaginata come un triangolo rettangolo.

     Non vorrei però che si restasse soddisfatti di questa acquisizione cinematica. Il fatto più importante è in realtà l’acquisizione del concetto di variabilità continua delle grandezze in matematica. E’ una assoluta novità rappresentare con una linea geometrica una variazione continua.

      Ciò che ho detto è comunque tutto ciò che ebbe un qualche rilievo al chiudersi del XIV secolo. La teoria dell’impetus non ebbe maggiore trascendenza; essa nel XV secolo si diffuse a Padova, che era allora sotto il controllo non già della Chiesa ma di Venezia, e non produsse nulla di più di quanto si sapesse a Parigi. Il fatto è che le Università nate per far esplodere il meglio delle conoscenze, finite sotto gli insegnamenti di ordini religiosi o tomisti, erano diventati luoghi, lo ripeto, di inutili ed inconcludenti infinite disquisizioni.

      All’inizio del XV secolo ed oltre furono le persone dotte ed ancora gli artigiani, costituitisi come ceto borghese sempre più intraprendente, a dare importanti contributi al sorgere della scienza moderna. Serviva una nuova mentalità rispetto al mondo, non più quella statica ed immobile della rivelazione ma quella dell’imprenditore dinamico che ha bisogno di aprire i suoi orizzonti e le sue conoscenze. Nasce inoltre, nel mondo artigiano, l’esigenza di sperimentare processi produttivi, di sporcarsi le mani con prodotti artigiani sempre più raffinati che avevano dentro una quota parte sempre maggiore di scienza applicata ma ancora non formalizzata. Mentre, per parte loro, alcuni dotti(9) metteranno a sempre più serrata critica le conoscenze tradizionali che dominavano ovunque. Il passo che si attendeva era quello del coniugare una matematica dotta con i processi sperimentali artigiani, un qualcosa completamente al di fuori della tradizione tomistica.

     Si deve qui tener conto che nel 1447 fu inventata la stampa a caratteri mobili  e che essa fu decisiva al diffondersi di conoscenze ed anche alla messa in discussione di esse: caso clamoroso fu proprio quello della Bibbia che fu letta direttamente dai cristiani ed in tempi brevi portò alla Riforma.

LEONARDO DA VINCI

    Nacque a Vinci, vicino Firenze nel 1452, studiò a Firenze dove incontrò matematici del calibro di Luca Paioli e Paolo Toscanelli. Lavorò a Milano presso la corte di Ludovico il Moro, fu a Roma alla corte di Papa Leone X e quindi in Francia dove morì nel 1519. Il suo spirito fu di libero pensatore, spirito che riuscì a coltivare perché operò sotto il regno di quel Papa che era uno degli ultimi finti tolleranti. Come dice Forti, una illusione, giacché la tolleranza dei papi era, in realtà, una tolleranza di modesta lega, connessa non solo alla cultura, ma anche all’amore per la ricchezza, lo sfarzo, l’esibizione e la dolce vita, più che non ispirata ad una superiore visione etica e sociale.

    L’idea che la natura si possa matematizzare emerge per la prima volta con chiarezza proprio in Leonardo, verso la fine del Quattrocento. Egli mostra di possedere un vero culto per la matematica e più volte ne tesse le lodi: 

Occorre servirsi dell’esperienza nella meccanica e che la meccanica è il paradiso delle scienze matematiche perché è proprio con la meccanica che si arriva al nocciolo della matematica. […] Chi biasima la somma certezza delle matematiche si pasce di confusione, e mai porrà silenzio alle contraddizioni delle sofistiche scienze, colle quali s’impara uno eterno gridore.[…] Nessuna umana investigazione si può dimandare vera scienza, s’essa non passa per le matematiche dimostrazioni […] Nessuna certezza è dove non si può applicare una delle scienze matematiche, over che non sono unite con esse matematiche […] Non mi legga chi non è matematico, nelli mia principi.

    Con Leonardo compare quindi una prima affermazione puntuale sulla necessità di usare la matematica per conoscere la natura. Per quanto se ne sa egli però non conosceva la matematica e, fino a tarda età, neppure il latino (omo senza lettere), un vero grave limite che Leonardo riconosce, criticando chi disquisisce e basta e rivendicando però la migliore scuola della sperienzia:

Sebbene, come loro, non sapessi allegare gli autori, molto più degnia cosa a leggere allegando la sperienzia, maestra ai loro maestri. Costoro vanno sgonfiati e pomposi, vestiti e ornati non delle loro, ma delle altrui fatiche; e le mia a me medesimo non conciedono; e se me inventore disprezzeranno, quanto maggiormente loro, non inventori ma trombetti e recitatori delle altrui opere, potranno essere biasimati [da Il Codice Atlantico, f. 117, r.b.].

In ogni caso, privo della conoscenza della matematica, egli non potrà fare il passo che pure ambisce fare e che gli è quotidianamente suggerito dalle macchine che progetta, dalla tecnica del mondo che lo circonda, dall’esperienza non ingenua che egli continuamente reclama: l’esperienza delle cose è un fatto ben diverso da ciò che noi pensiamo debba essere.

La scienza strumentale, over machinale, è nobilissima, e sopra tutte l’altre utilissima. […] E se tu dirai che le scienze, che principiano e finiscono nella mente abbiano verità, questo non si concede, ma si niega, per molte ragioni, e prima, che in tali discorsi mentali non accade esperienzia, senza la quale nulla dà di sé certezza. […] A me pare che quelle scienze sieno vane e piene di errori, le quali non sono nate dall’esperienzia, madre di ogni certezza, o che non terminano in nota esperienzia cioè che la loro origine o mezzo o fine non passa per nessuno dei cinque sensi. E se noi dubitiamo della certezza di ciascuna cosa che passa per li sensi, quanto maggiormente dobbiamo dubitare delle cose ribelli a essi sensi, come dell’essenzia di Dio e dell’anima e simili, per le quali sempre si discute e contende, e veramente accade che sempre, dove manca la ragione, supplisse le grida, la qual cosa non accade nelle cose certe. […] Ma prima farò alcuna esperienza, avanti che io più oltre proceda, perché mia intenzione è allegare prima l’esperienza, e poi colla ragione dimostrare perché tale esperienzia è costretta in tal modo ad operare. E questa è la vera regola come li speculatori delli effetti naturali hanno a procedere, e ancora che la natura comincia dalla ragione e termini nella sperienzia, a noi bisogna seguitare in contrario, cioè cominciando, come di sopra dissi, dalla sperienzia, e con quella investigare la ragione.

    Mentre le prime esaltazioni della matematica potrebbero far pensare ad una qualche adesione di Leonardo al platonismo, le ultime citazioni riguardanti lo sporcarsi le mani e il grande ruolo che l’esperienza riveste per lui, mostrano che il platonismo è negato dall’affermazione di un metodo sperimentale che Leonardo cerca di costruire. Sta piano piano accadendo ciò che avevo anticipato pagine indietro: si inizia a sentire la necessità di utilizzare la matematica nella spiegazione del mondo e iniziano ad intersecarsi le due tradizioni, quella platonica e quella aristotelica. Ma dietro i lavori di Leonardo si sente anche la forte esigenza di liberare il mondo naturale dalla teologia e dalle spiegazioni metafisiche.

    E come esempio dell’esperienza delle cose come un fatto ben diverso da ciò che noi pensiamo debba essere, egli afferma (e non si sa bene se la cosa gli provenisse da Cusano): noi pretendiamo che il Sole giri intorno alla Terra ed invece è immobile ed anche: nel tuo discorso hai a concludere la terra essere una stella quasi simile alla luna, e così proverai la mobilità del nostro mondo.. Questo scrive Leonardo prima che Copernico scriva una qualche cosa sull’argomento. E’ di interesse tutto ciò, a lato della poliedrica figura di Leonardo, per capire che i tempi stavano rapidamente maturando ed il raccolto già si cominciava ad intravedere.

      Leonardo proseguì anche gli studi di Giordano Nemorario sulle componenti delle forze, approfondendo il concetto della componente di un peso nel senso della traiettoria considerando anche la componente normale alla traiettoria stessa. Si deve a lui la decomposizione, nel piano inclinato, del peso secondo le sue componenti (parallela al piano e perpendicolare ad esso) e la scoperta del teorema, importante per la risoluzione numerica della composizione o scomposizione delle forze, che oggi possiamo enunciare così: il momento della risultante di due forze concorrenti rispetto ad un punto preso su una delle componenti, è uguale al momento dell’altra componente rispetto allo stesso punto. Questa scoperta è evidentemente legata proprio ai suoi lavori su macchine poiché, risulta evidente, che una tale proprietà non è empiricamente osservabile. Egli lavorò anche sui centri di gravità degli oggetti, con le carrucole, con le resistenze di travi e colonne, sia per trazione che per torsione che per appoggio. 


        Leonardo è uno dei primi studiosi rinascimentali che si imbeve di classici. La sua meccanica si basa sull’assioma aristotelico della forza motrice proporzionale al peso del corpo mosso ed alla velocità che gli viene impressa. La sua dinamica proviene invece dalla teoria dell’impetus. I suoi studi di statica hanno chiari antecedenti in Giordano Nemorario ed in Pappo, mentre nell’idrostatica, oltre ad ispirarsi a Nemorario trasse spunti da Stratone. Leonardo studiò anche la geometria greca per quanto gli serviva per risolvere alcuni problemi relativi alla teoria delle lenti, ma qui si sentono gli influssi ancora di Aristotele e di Nicola Cusano. Le conoscenze matematiche di Leonardo sono dovute a Luca Pacioli, di cui dirò più avanti, che gli regalò una sua opera, la Summa. Può sembrare strano ma il nostro non prestò mai attenzione all’algebra: forse la trovava troppo difficile o troppo astratta. Egli studiò e si servì molto di Plinio così come riprese quasi interamente le teorie geometriche esposte nel Timeo di Platone. Ma Leonardo si occupò anche di geologia, dei movimenti della crosta terrestre riprendendo e ripresentando all’attenzione dei suoi contemporanei alcune vedute di Aristotele, Lucrezio, Ovidio, Senofane di Colofone, Eraclito, Eratostene, Strabone. Non sembra invece che Leonardo abbia letto Archimede. Quest’ultimo giocò un ruolo di estrema importanza nel Rinascimento perché portava in sé un modo di affrontare i problemi che non era immediatamente riconducibile né ad Aristotele né a Platone. Archimede è il portatore di una tradizione che non è esoterica, non ha riferimenti con magie o cose occulte, non cercava armonie matematiche né significati religiosi all’interno della matematica. Archimede era il matematico dell’antichità che era riuscito meglio a coniugare lavori teorici con ricerca ‘sperimentale’. E per questo diventò l’ideale del Cinquecento. Egli sceglieva problemi ben determinati e delimitati; quindi li manipolava matematicamente (non misurava direttamente, almeno così sembra); formulava poi delle ipotesi che diventavano (Euclide) degli assiomi e verificava per mezzo di semplici esperimenti. Da ciò deduceva qualche conseguenza che di nuovo andava a verificare sperimentalmente.
        Come si vede Archimede ha in sé tutta la potenzialità dell’essere riconosciuto maestro del Rinascimento. Eppure Leonardo non lo conobbe direttamente, anche perché mancavano ancora traduzioni del corpo principale della sua opera.
        Mi sono soffermato in particolare su Leonardo solo per far almeno intuire la vastità delle letture che erano diventate disponibili. Quanti problemi nuovi venivano posti da ogni parte, quale bisogno di leggere e conoscere vi fosse.

        Con Leonardo siamo nella fase di transizione dal periodo che abbiamo appena studiato al Rinascimento. Ma Leonardo è anche personaggio non facilmente inseribile in una storia della scienza. Le sue cose le conosciamo a posteriori. Egli fu un genio universale in tutto (meno che in matematica e nella comunicazione scritta) ma operò come un artigiano geloso della sua produzione che deve restare segreta ed in tal modo non creando alcuna scuola non formando allievi e continuatori. Altro è e deve essere lo spirito dello scienziato come si andrà affermando proprio nel Rinascimento. In questa epoca, oltre ad aprirsi alla comunicazione ed allo scambio di informazioni, si tratterà di riprendere le fila di molti discorsi iniziati, tentati, mai fatti. Di mettere insieme le conoscenze matematiche con le pratiche artigianali, con lo sviluppo delle macchine, con le sfide architettoniche. Dopo il piccolo Rinascimento del VI secolo quello che si annuncia è un altro Rinascimento.

      Ma di tutto questo ci occuperemo nella terza parte di questo lavoro che partirà proprio dai contributi degli artisti e dei matematici per arrivare a tutte le premesse che saranno costruite per l’elaborazione dei lavori di Galileo.

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 NOTE

(1) Riporto di seguito le date approssimative di alcuni contributi scientifici succedutisi dal V al XV secolo. Alcune delle cose qui solo accennate le riprenderò nel testo quando riterrò che abbiano particolare rilevanza.

– II metà V sec. Il matematico e astronomo indiano Aryabhata (476-?), nell’opera intitolata Aryabhathiya, espone regole elementari di aritmetica, di algebra e di trigonometria piana.

– II metà IV sec. Teone di Alessandria, matematico e astronomo greco, menziona la precessione degli equinozi, e accetta il valore che di questa dà Tolomeo, un grado per secolo. È interessante osservare che, se si esclude Tolomeo stesso, Teone è uno dei due scrittori antichi che parli della maggior scoperta di Ipparco, e l’unico che la accetti.

– I metà V sec. I Siddhāntas sono le prime opere astronomiche indù condotte con impegno scientifico: si tratta di cinque trattati più o meno fortemente influenzati dall’astronomia tolemaica e dalla trigonometria greca, non privi però di originali innovazioni.

– II metà V sec. Aryabbata pensa che la rotazione dei cieli sia soltanto apparente, e dovuta alla rotazione della Terra sul proprio asse: questa ipotesi non sarà accettata dall’astronomia indù più tarda.

– II metà V sec. Proclo di Bisanzio suggerisce che la massima distanza di un pianeta dalla Terra è pari alla distanza minima del pianeta immediatamente successivo. di modo che tra le sfere non vi sarebbe spazio libero; tale idea godrà grande popolarità nel Medioevo. Proclo parla della precessione degli equinozi, che però nega.

– II metà V sec. Proclo Diadoco di Bisanzio, filosofo neoplatonico, matematico e astronomo, nel suo commentario agli Elementi di Euclide, discute di il postulato delle rette parallele, e ne tenta la dimostrazione.

– I metà VI sec. Nel trattato Sul sillogismo categorico e ipotetico, Manlio Severino Boezio (480-524) riassume i risultati delle dottrine logiche dell’antichità.

– I metà VI sec, Severino Boezio dà la regola per trovare il numero di combinazioni di n oggetti presi due alla volta.

– I metà VI sec. Ammonio di Alessandria, filosofo greco, divide le matematiche in quattro branche: aritmetica, geometria, astronomia e musica, classificazione che sarà accettata per tutto il Medioevo.

– I metà VI sec. A Damascio di Damasco (458?-533?), filosofo neoplatonico, è attribuita, senza sicuro fondamento, l’aggiunta agli Elementi di Euclide di un quindicesimo libro, sulla iscrizione dei solidi regolari.

– I metà VI sec. Giovanni Filopono, filosofo alessandrino, scrive il primo trattato sull’astrolabio, l’unico che ci sia giunto dai tempi antichi.

– I metà VI sec. Giovanni Filopono critica la teoria aristotelica della causa del moto e pone i fondamenti della teoria dell’impetus.

– I metà VI sec. Simplicio, discepolo di Ammonio, filosofo greco, spiega la stabilità dei corpi celesti con l’eccesso del loro impeto sulla loro gravità.

– I metà VI sec. Severino Boezio scrive manuali di aritmetica, musica, geometria ed astronomia che avrasnno grande influenza per tutto il Medioevo. 

– 530. Antemio di Tralles (?-534), matematico e ingegnere bizantino, dà un metodo di costruzione dell’ellisse sfruttando la costanza della somma dei raggi vettori partenti dai due fuochi.

– 595. Nell’iscrizione indiana di Gurgara compare la più antica testimonianza di numerazione posizionale.

– VII sec. Nel Siddhānta, un trattato dì algebra, Brabmagupta (598-660), indiano. espone il sistema di risolvere equazioni indeterminate di primo e secondo grado.

– I metà VII sec. Il De natura rerum del vescovo Isidoro di Siviglia (560-636) è un compendio di cosmografia, astronomia e meteorologia.

– II metà VII sec. La prima allusione ai nove numerali indù, al di fuori dell’India, è del filosofo e scienziato Severo Sebokh di Nisibe, che ne apprezza pienamente il valore.

– II metà VII sec. Severo Sebokht scrive un trattato sull’astrolabio, basato interamente su fonti greche.

– VIII sec. Nel De computo vel loquela digitorum, Beda il Venerabile (672-?) insegna un metodo per indicare i numeri ed eseguire semplici operazioni servendosi delle dita delle mani.

– I metà VIII sec. Una notevole teoria sulle maree si trova nel De temporum ratione del venerabile Beda, basato su Plinio, ma anche su personali osservazioni: contiene il primo riferimento all’intervallo medio tra il passaggio della Luna sul meridiano e la susseguente alta marea.

– c. 750. Traduzione in arabo dei libri astronomici Siddhānta indiani, per opera di Ibrāhim Al Fazari.

– VIII sec. Alcuino (735-804) compone le Propositiones ad acuendos iuvenes, raccolta di insegnamenti e problemi matematici per l’istruzione scolastica.

– II metà VIII sec. Ibrahim al Fazari, astronomo arabo, tra i primi a costruire astrolabi, è autore di vari trattati, sull’astrolabio, sulle sfere armillari, sul calendario.

 – 750. Con lo stabilirsi del califfato degli Abbasidi a Bagdad in questa città si radunano numerosi scienziati arabi facendone  il centro del pensiero scientifico.

– VIII o IX sec. L’arabo Jābir Ibn Haiyān scrive un trattato sulla natura delle forze magnetiche. 

– II metà VIII sec. Paolo Diacono (c. 720-797), storico benedettino, spiega le maree supponendo l’esistenza di abissi in cui l’acqua è assorbita, e da cui è rigettata due volte al giorno.

– c. 800. L’arabo Messahala (?-815) costruisce un astrolabio. 

– I metà IX sec. Al-Hajjāj ibn Yūsuf è il primo traduttore arabo degli Elementi di Euclide, e uno dei primi traduttori dell’Almagesto.

– 807. Il califfo arabo Hārūn-al Raschid offre in dono a Carlo Magno una clessidra di bronzo divisa in dodici parti.

– I metà IX sec. In gran parte basato su Euclide, Erone, Tolomeo, è il trattato di ottica geometrica e fisiologica di al-Kindi (?-873), conosciuto sotto il titolo latino di De aspectibus.

– I metà IX sec. Le prime tavole astronomiche arabe sono opera del matematico e astronomo al-Khwārizmī.

– I metà IX sec. Sahl al-Tabari (c. 838 – 923), astronomo e medico ebreo, è il primo traduttore dell’Almagesto in lingua araba.

– IX sec. Al Khwārizmī (?-850 c.), arabo, compone un trattato intitolato Al-gebr wa ‘l mukabala (da cui deriverà il nome di algebra) attraverso cui è introdotto in Occidente il sistema arabo-indiano di numerazione decimale. Egli introduce nella trigonometria la nozione di seno, già nota agli Indiani.

– c. 825. Le prime notizie del sistema di numerazione indiano si hanno dal trattato Algoritmi de numero Indorum, traduzione latina dì un originale arabo andato perduto.

– 832. Il califfo Al-Ma’mūn fonda a Bagdad la Casa della Saggezza dotata di un osservatorio astronomico. Si misura l’inclinazione dell’eclittica e il meridiano terrestre. 

– Metà IX sec. La misurazione della sfera, la trisezione dell’angolo, la determinazione di due medi proporzionali tra due quantità date sono problemi trattati nell’opera matematica dei Banū Mūsā.

– I metà IX sec. Abū Nasr al-Fārābī (?-951), filosofo arabo, scrive un trattato sul vuoto dove descrive i suoi esperimenti in materia e confuta l’esistenza del vuoto. In questo saggio è contenuta un’analisi dei risultati sperimentali basata sull’elasticità dell’aria.

– I metà IX sec. L’arabo al-Fārābī, originario del Turkestan, scrive un trattato di musica.

– IX sec. Le opere di fisica di Aristotele sono studiate dall’arabo Hunayn ibn Ishāq (809-877) e dai suoi numerosi collaboratori.

– 860. Il califfo Al-Musta’in affida al monaco nestoriano Qustā ibn Lūqā, di Baalbek l’incarico di tradurre la Meccanica di Erone. Nello stesso periodo viene tradotta in arabo da traduttore ignoto la Pneumatica di Filone. Per questa via numerosi altri testi greci scientifici vengono fortunatamente conservati.

– 860. Il Libro degli Artifizi, un trattato che riassume le cognizioni di meccanica, sviluppate dalla meccanica ellenistica, degli scienziati arabi è preparato a cura dei   Banū Mūsā (tre figli di Mūsā ibn Shakir). In questo trattato vengono descritti cento pezzi diversi di apparecchi scientifici.

– IX sec. Il geometra arabo Thābit ibn Qurra (c.826 – 901) nel Liber Charastonis formula la teoria della bilancia romana a bracci eguali.
 
– c. 860. Al-Māhānī, matematico e astronomo persiano, scrive commentari alle opere di Euclide e di Archimede; tenta vanamente di risolvere il problema di dividere per mezzo di un piano una sfera in due parti il cui rapporto sia dato.

 – 866. Giovanni Scoto Eriugena (?-870), irlandese, amplia il sistema di Eraclide ammettendo che anche Marte e Giove ruotano intorno al Sole.

– II metà IX sec. Alle otto sfere tolemaiche una nona è aggiunta da Thābit ibn Qurra, il cosiddetto primum mobile, allo scopo di spiegare l’immaginario fenomeno della trepidazione degli equinozi: questa erronea teoria è a lui in gran parte dovuta, e le sue ripercussioni saranno sensibili per secoli.

– II metà IX sec. Al matematico e astronomo arabo Thābit ibn Qurra, vissuto a Bagdad, e alla scuola di traduttori di cui è il fondatore, si deve la traduzione in arabo di opere di Archimede, Euclide, Teodosio, Tolomeo. 

– Fine IX sec. Al Battānī, latinamente Albatenio (858-929), nell’opera Az-Zig, ossia Tavole Astronomiche, corregge i luoghi e i movimenti degli astri determinati da Tolomeo e compila delle carte celesti partendo dal meridiano di ar-Raqqali, sull’Eufrate, luogo delle sue osservazioni. Compie accurate osservazioni astronomiche, ottenendo risultati notevolmente precisi nel calcolo dell’inclinazione dell’eclittica e del valore della precessione degli equinozi. Dimostra la possibilità di eclissi solari anulari. 

– Fine IX sec. Nella parte del suo trattato di astronomia riguardante la trigonometria, Al Bāttānī (858-929), arabo, espone il teorema del coseno per i triangoli sferici.

– I metà X sec. Ibrāhīm ibn Sinān (908-946), matematico e astronomo mussulmano, scrive commentari all’Almagesto e al primo libro delle Coniche di Apollonio. Il suo metodo per la quadratura della parabola è il più semplice e il migliore scoperto prima dell’invenzione del calcolo integrale.

– c. 960. I 56 risultati possibili del getto di 3 dadi (senza tener conto delle permutazioni) sono enumerati a Cambray (Francia settentr.) dal vescovo Wibold, inventore di un gioco di dadi per monaci (gettando i dadi si sceglieva una virtù da praticare per 24 ore); la notizia è riferita dal cronista Balderico, XI sec.

– II metà X sec. La monaca benedettina Hrosvitha (935 – ?), storica e poetessa, fa cenno dei primi quattro numeri perfetti: 6, 28, 496, 8128; un numero si dice perfetto quando è uguale alla somma dei suoi fattori escluso il numero stesso.

– II metà X sec. Abū Sahl Al Kūhī, arabo, in un trattato di geometria tratta la trisezione dell’angolo e la cubatura del paraboloide ellittico.

– X sec. Abd Al-Rahmàn, astronomo arabo (903-986), nel suo Libro delle stelle fisse, fornisce dati così precisi che sono tuttora utili come confronto per la variazione di luminosità delle stelle.

– c. 970. Nel Libro di Euclide sulla bilancia, opera araba di ignoto autore, è contenuta una dimostrazione geometrica della legge sulla leva.

– 976. Il più antico documento europeo di data sicura contenente traccia dei numerali indù è un manoscritto latino, il Codex Virgilanus, scritto nella parte cristiana della Spagna.

– X sec. L’invenzione dell’arpa eolia è attribuita a un arcivescovo di Canterbury.

– X sec. Il matematico arabo Abū l’Wafā’ (940-997), nel Libro di costruzioni geometriche, studia la determinazione di quadrati equivalenti alla somma di altri e la costruzione di poliedri regolari e compila tavole di seni e tangenti trigonometriche.
 

– II metà X sec. Il problema della trisezione dell’angolo è risolto in modo puramente geometrico dal matematico arabo al-Sijrī (951-1024) per mezzo dell’intersezione di un circolo con un’iperbole equilatera.

– c. 988. Al Kūhī, matematico e astronomo arabo, capo dell’osservatorio costruito da Sharaf al-Dawla, è particolarmente interessato a quei problemi di Archimede e di Apollonio che conducono a equazioni di grado superiore al secondo: egli ne risolve alcune, e discute le condizioni di risolubilità.

– 988. Il sultano Sharaf al-Dawla fa costruire nel giardino del suo palazzo di Baghdad un osservatorio astronomico per osservare il corso dei sette pianeti.

– X sec. Gerberto di Aurillac (c. 930-1003) compone opere di aritmetica sull’uso dell’abaco e sulla divisione dei numeri e in un trattato di geometria insegna il sistema di trovare i lati di un triangolo rettangolo date l’ipotenusa e l’area.

– Inizio XI sec. Il mussulmano Ibn al Haitham (965-1039) compone un trattato di geometria dedicato alla curvatura del solido generato dalla rotazione di una parabola attorno al suo diametro.

– c. 1020. Un chiaro ragguaglio sull’uso dello zero nella letteratura scientifica sanscrita è contenuto nel Compendio di calcolo del matematico indiano Srīdhara (991-?) che contiene le proposizioni: a ± 0  =  a;  0 x a  =  0; a x 0 = 0.

– Inizio XI sec. Il grande filosofo arabo Abu-Ibn Sīnā, conosciuto in Occidente come Avicenna (980-1037), usa la regola del nove per provare l’esattezza delle addizioni e moltiplicazioni.

– Inizio XI sec. L’arabo Ibn-al-Haitham (965-1039), di Basra, noto in Europa con il nome di Alhazen, scrive l’Ottica, in cui espone le sue osservazioni: nel campo della riflessione ottica le leggi già conosciute da Euclide vengono estese al caso degli specchi concavi e parabolici; nel campo della rifrazione ne scopre la prima legge, deduce il principio che la luce sceglie il percorso più facile e più rapido e il principio d’inerzia, e studia il rettangolo delle forze; scopre l’aberrazione sferica; stabilisce il fuoco esatto del paraboloide; studia la lente d’ingrandimento e la rifrazione atmosferica. Egli, come pure Ibn Sīnā e Al-Birūni, contrariamente alle teorie ellenistiche (Euclide, Tolomeo), ritiene che i raggi luminosi provengono all’occhio dall’oggetto e non viceversa.

– Inizio XI sec. Ibn Sīnā osserva che se la luce è dovuta all’emissione di particelle dalla fonte luminosa, la sua velocità deve essere finita.

– Inizio XI sec. Ibn Sīnā nel suo trattato sulla meccanica espone i suoi studi di dinamica e ha chiara percezione del principio d’inerzia; inoltre descrive la costruzione di apparecchi scientifici tra cui uno strumento molto simile al nonio.

– XI sec.  Al-Birūni compie accurati studi sulla densità specifica, giungendo alla precisa determinazione del peso specifico di 17 tra pietre e metalli preziosi.

– I metà XI sec. La più antica opera, in Occidente, che tratti dell’abaco in modo completo è un sommario delle lezioni tenute a Parigi da Gerberto di Aurillac (c. 930-1003), scritto dal matematico Bernelino, suo allievo.

– I metà XI sec. Il matematico arabo Al-Bīrūnī (973-1048) riconduce il problema della costruzione di un ennagono regolare alla risoluzione di una equazione di terzo grado.

– I metà XI sec. L’astronomo arabo ibn Yūnus (?-1009) compie osservazioni astronomiche dall’osservatorio del Cairo, prepara tavole astronomiche e migliora il valore delle costanti astronomiche.

– XI sec.  Al-Bīrūnī (973-1048) discute la questione se la Terra ruoti sul suo asse o no, senza giungere a una definitiva conclusione.

– I metà XI sec. Radolfo di Liegi è probabilmente il primo scrittore a far cenno dell’astrolabio nell’Ovest latino.

– I metà XI sec. Abū Bakr al-Bāqilānī, teologo mussulmano (?-1013), estende i concetti dell’atomismo greco al moto e al tempo, che egli considera essenzialmente discontinui.

– I metà XI sec. Guido d’Arezzo (c. 990-1050) denomina le sette note ut re mi fa sol la si.

– 1029. L’astronomo arabo Al-Zarqāli (1029.1087) redige le tavole astronomiche dette toledane.
 
– XI sec. Al Karkhī (?-1029) in uno scritto di aritmetica determina la somma delle potenze prime, seconde e terze dei primi numeri della serie naturale.

– 1025. Le conoscenze di matematica e di geometria nell’Ovest latino sono illustrate da un’interessante corrispondenza tra due maestri di scuola, Ragimboldo di Colonia e Radolfo di Liegi. La loro geometria è poverissima, probabilmente al di sotto del livello della geometria greca prepitagorica.

– XI sec. Lo Pseudo-Boezio, un trattatello di geometria, parla dell’abaco a gettoni e ‘apici’ o ‘cifre d’abaco’.

– II metà XI sec. L’abate benedettino Ermanno di Reichenau (1013-1054) scrive un chiaro e conciso trattato sull’abaco, in cui non vi è cenno di numerali diversi dai numerali romani.

– 1070. L’arabo spagnolo Al-Zarqā1i costruisce un astrolabio universale a una sola lamina, particolarmente adatto per la navigazione, insieme con numerosi altri strumenti scientifici.

– Fine XI sec. Il religioso Teofilo nella Schedula diversarum artium dà una regola empirica per fabbricare campane che suonino la tonica, la terza, la quinta e l’ottava. 

– Inizio XII sec. Il poeta e matematico persiano Omar al·Khayyāmi (?-1123) sviluppa il sistema di calcolo dei radicali irrazionali, detta le regole per l’estrazione di radici d’indici arbitrari e classifica secondo vari tipi le equazioni di secondo e terzo grado, dandone in alcuni casi la soluzione.

– Inizio XII sec. Il poeta e matematico persiano Ornar al-Khayyami (Ornar Khayyam) compie alcuni studi sulla bilancia.

– I metà XII sec. Primo esempio di trattato ebraico specificamente dedicato al calendario è il Sefer ha-‘ibbur dell’ebreo spagnolo Abraham bar Hiyya. 

– I metà XII sec. La Hibbur ha-meshihah, opera principale dell’ebreo spagnolo Abraham bar Hiyya (?-1136) detto Savasorda, è soprattutto importante per la sua influenza sullo sviluppo delle matematiche nell’Europa cristiana; è infatti uno dei più antichi canali attraverso cui la trigonometria mussulmana raggiunge l’Occidente.

– c. 1120. L’inglese Adelardo di Bath frequenta le lezioni nella scuola araba di Cordova e ottiene una copia completa degli Elementi di Euclide che sarà il fondamento delle edizioni europee sino al 1533, anno della scoperta del testo originale.

– 1121-1122. L’arabo al-Khāzinī di Marw scrive il Libro della bilancia della saggezza, che costituisce il più importante trattato arabo di meccanica: in esso si tratta dettagliatamente dei metodi di pesatura accurata e delle determinazioni dei pesi specifici, e vengono descritti numerosi tipi di bilance di precisione; sono inoltre studiate la gravitazione, la teoria dei corpi galleggianti e la geodesia.

– XII sec. Giovanni di Siviglia, spagnoIo, scrive il Liber Alchoarismi de practica arithmeticae, contenente i primi esempi di estrazione di radici quadrate di numeri mediante frazioni decimali.

– I metà XII sec. Un notevole passo in avanti nel campo della trigonometria è compiuto da Jābir-ibn-Aflah, nell’introduzione al suo trattato di astronomia. Tra l’altro egli propone un nuovo metodo per la risoluzione di un triangolo rettangolo sferico. 

– I metà XII sec. Un’idea delle conoscenze di aritmetica in Occidente ci è data da un trattato di certo Ocreato, probabilmente allievo di Adelardo di Bath. In esso si trova l’uso dello zero combinato con quello dei numerali  romani. Questo trattato rappresenta una specie di stadio intermedio tra l’abaco e il sistema arabo di numerazione.

– I metà XII sec. Jābir-ibn-Aflah, arabo di Spagna, conosciuto col nome latino di Geber, è il maggior astronomo dell’epoca. Sottopone a severa critica il sistema tolemaico, di cui in quest’epoca si fanno sempre più evidenti le limitazioni. Il suo trattato di astronomia, Islāh al-Majistī, è tradotto in latino e in ebraico, e rimane per secoli in grande considerazione. Gli è pure attribuita l’invenzione di uno strumento astronomico detto turquet.

– I metà XII sec. Al-Khāzinī, fisico arabo, compila tavole astronomiche che danno la posizione delle stelle per l’anno 1115-1116 e per la latitudine di Marw.

– 1134. Giovanni di Siviglia traduce in latino il trattato astronomico dell’arabo Al-Farghānī.

– I metà XII sec. Muhammad al-Kharaqī (?-1138), matematico e astronomo mussulmano, riesuma la teoria secondo cui le sfere planetarie sono entità reali e non astrazioni matematiche.

– I metà XII sec. Abū-I-Salt (1067-1134) arabo di Spagna che vive però in Egitto e in Tunisia, scrive un trattato sull’astrolabio.

– XII sec. Ibn Rushd, detto Averroè (1126-1182), traduce l’Almagesto, opera astronomica di Claudio Tolomeo.  

– XII sec. Abraham ibn Ezra (1097-1167), ebreo spagnolo, scrive un trattato di aritmetica in cui usa il sistema arabo di numerazione e spiega la regola del tre.

– XII sec. Il matematico indiano Bha-skara (1114-?) compone un trattato di matematica che dalle operazioni aritmetiche giunge sino alle formule trigonometriche e alla soluzione di equazioni di primo e secondo grado in forma algebrica.

– 1145. Platone di Tivoli traduce in latino col nome di Liber embadorum, l’Hibbur ha-meshihah dell’ebreo spagnolo Abraham bar Hiyya (Savasorda). Questa traduzione fu una delle principali fonti di Leonardo Fibonacci, e quindi della matematica europea.

– 1145. L’Algebra di al-Khwārizmī è tradotta in latino da Roberto di Chester e Gherardo da Cremona.

– Inizio XII sec. Adelardo di Bath (1070-1142), inglese, venuto in contatto nei suoi viaggi con la scienza araba, esegue misure astronomiche, scrive il trattato Sull’uso dell’astrolabio, e traduce le tavole astronomiche di al-Khwārizmī, importanti perché implicano l’introduzione della trigonometria araba.

– 1155. Compare in Occidente la bussola con ago magnetico galleggiante sull’acqua e racchiusa in una scatola. 

– c. 1160. Gherardo da Cremona (1114-1187) compie la traduzione in latino dell’Almagesto di Tolomeo e degli Elementi di Euclide.

– XII sec. Nel commento dell’arabo Ibn Rushd, detto Averroè (1126-1198), alla Fisica di Aristotele l’attrazione magnetica è spiegata supponendo un’attrazione provocata nel ferro dalla calamita, che gli si trasmette attraverso il mezzo interposto: sono queste le basi del concetto di magnetizzazione e di campo magnetico, che saranno perfezionate dalla Scolastica.

– II metà XII sec. Il Practica geometriae Hugonis, di autore difficilmente identificabile, testimonia della lentezza con cui la geometria euclidea si ridiffonde in Occidente. L’opera denuncia cognizioni di geometria teorica estremamente vaghe, e nessuna traccia di influenza greco-araba, se si eccettua quel che riguarda l’astrolabio; essa rappresenta la pura tradizione latina, prima che sia sommersa dal ritorno della geometria euclidea attraverso la traduzione dei testi arabi.

– II metà XII sec. Al-Bitrūjī (?-1185), astronomo arabo originario di Pedroche in Spagna, scrive un trattato sulla configurazione dei corpi celesti, notevole perchè costituisce un tentativo di far rivivere in forma modificata la teoria delle sfere omocentriche e perché segna il culmine del movimento mussulmano antitolemaico.

– 1187-1193. Muhammad ibn al-Husain, matematico dell’Oriente mussulmano, scrive un’opera sulle coniche, il Trattato sui compassi perfetti. Il compasso perfetto è uno strumento col quale è possibile tracciare ogni specie di conica.

– 1194. In una lettera indirizzata al rabbino di Marsiglia, Maimonide (1135-1204), filosofo e scienziato ebreo, nega all’astrologia dignità scientifica, e la condanna come sistema di superstizione . 

– 1202. Leonardo da Pisa, detto Fibonacci (1175-?), pubblica il Liber Abaci in cui fa risaltare i vantaggi del sistema di numerazione araba e tratta problemi di aritmetica e di algebra sino alle equazioni di secondo grado.

 – 1206. L’arabo al-Jazarī completa il suo Libro della conoscenza degli ingegnosi apparecchi geometrici (meccanici) in cui sono descritti orologi ad acqua e apparecchi per far salire l’acqua. Non contiene originali studi di meccanica, ma vi si documenta la conoscenza delle pale, delle ruote dentate e degli alberi di trasmissione.

– I metà XIII sec. Il miglior ragguaglio sulle conoscenze pratiche di trigonometria nell’Ovest mussulmano ci è dato dai Principi e conseguenze, trattato di matematica e astronomia del marocchino al-Husan al-Marrākushī (?- c. 1262), personalità non molto originale, ma buon conoscitore delle opere di al-Khwārizmī, al-Farghānī, al-Battānī, al-Birūnī, ibn Sīnā, al-Zarqālī, Jābir ibn Aflah. Egli compila tavole di funzioni trigonometriche, una delle quali dà il valore del seno per ogni mezzo grado, e non solo menziona il seno e il seno verso, ma anche le frazioni che egli chiama seno complementare, seno eccedente.

– 1220. Nell’opera Practica geometriae Leonardo da Pisa lascia una compilazione delle conoscenze geometriche greche e arabe e insegna il metodo di determinare l’area di un triangolo in funzione dei suoi lati.

– 1220-1250. I 216 risultati possibili del lancio di 3 dadi, tenuto conto delle permutazioni, sono calcolati ed enumerati, ad Amiens, nel poema latino De Vetula, attribuito a Richard de Fournival (1200-1250).

– Inizio XIII sec. L’arabo al-Jazarī costruisce un orologio idraulico che indica la posizione del Sole e della Luna nelle costellazioni. 

– XIII sec. Jordanus Nemorarius (?-1237), tedesco, nell’Algoritmus demonstratus impiega le lettere dell’alfabeto per denotare le incognite, dando il primo esempio di algebra simbolica.

– I metà XIII sec. Il Carmen de Algoritmo di Alexandre de Villedieu, francescano francese morto nel 1240, è il primo testo latino in cui è definitivamente stabilito il numero delle operazioni, e in cui lo zero è considerato uno dei numerali: in sostanza vi si parla di dieci numerali, non di nove più lo zero, come negli scrittori precedenti.

– I metà XIII sec. Il fiammingo Gerardo di Brussels scrive il trattato De motu, in cui tenta di risolvere. prendendo le mosse da otto proposizioni, secondo lo stile euclideo, i problemi che più tardi saranno risolti con l’introduzione del concetto di moto angolare.

– XIII sec. Il grande risultato degli studi astronomici di questo periodo è la riaffermazione della validità delle teorie tolemaiche delle sfere eccentriche e degli epicicli che vincono il confronto con l’astronomia aristotelica delle sfere omocentriche nella rielaborazione di al-Bitrūjī. La critica al sistema tolemaico è per la parte negativa incontrovertibile, per la parte positiva assai meno soddisfacente. Verso la metà del secolo, l’opposizione antitolemaica si è esaurita nel vano sforzo di sostituire qualcosa di meglio alle teorie criticate, e il ritorno all’Almagesto, i cui principali sostenitori sono Bernardo di Verdun e Riccardo di Middleton, è pressoché generale: lo stesso Alberto Magno, diffusore nella latinità delle idee di Alpetragio (al-Bitrūjī), conclude infine a favore di Tolomeo, Ma non è un ritorno incondizionato: i difetti e i limiti del sistema sono ormai ben chiari agli astronomi dell’epoca. Ad analoghe. conclusioni si giunge in Oriente: Abū-l-Faraj, Nāsir al-din al-Tūsī, Qutb al-din al-Shīraāzī sono sostanzialmente dei tolemaici, pur non risparmiando le critiche.

– XIII sec. Giordano Nemorario (?-1237) fonda il principio della leva angolare sul postulato che la potenza capace di far scendere un peso verticalmente è incapace di farlo risalire a una altezza maggiore, basando sullo stesso principio l’equilibrio di due pesi su un piano inclinato.

– XIII sec. La riforma gregoriana del calendario è in gran parte preparata in questo periodo dagli studi che Ruggero Bacone intraprende stimolato dalle osservazioni di Roberto Grossatesta  (c. 1175·1253).

– 1245. Descrizione di macchine e automi nell’album di Vilars de Honnecourt. r

– 1245. Il francese Alberto Magno (1193-1280) riprende il concetto di campo magnetico e traccia il parallelo con il campo elettrico dell’ambra strofinata. E’ a conoscenza dell’esistenza di un magnete bipolare.

– 1258. Nāsir al-dīn al-Tūsī è nominato astronomo capo di un osservatorio eretto a Marāgha nell’Adharbāijān, per ordine del mongolo Hūlāgū Khan, dove compila le tavole astronomiche Ilkanian.

– II metà XIII sec. Il Tractatus optimus super totam astrologiam di Bernardo di Verdun, astronomo francescano, contiene un’accurata comparazione della teoria di Aristotele, elaborata da Averroè, con la teoria tolemaica, nella elaborazione di Ibn al-Haitham. Bernardo di Verdun conclude in favore dell’astronomia di Tolomeo. I suoi scritti e quelli del contemporaneo Riccardo di Middleton, francescano inglese, segnano l’inizio della completa supremazia tolemaica.

– 1263. Giovanni Bresciano collabora con l’ebreo Jacob ben Mahir nella traduzione del trattato sull’astrolabio di al-Zarqāli.
 
– II metà XIII sec. Nei Libros del saber de astronomia, enciclopedia astronomica attribuita ad Alfonso di Castiglia, si trova disegnata per la prima volta l’orbita di Mercurio in forma di ellissi con la Terra al centro.

– II metà XIII sec. Per incarico di Alfonso X, re di Castiglia, un gruppo di astronomi arabi ed ebrei compila nuove tavole stellari che saranno dette , tavole alfonsine.

– II metà XIII sec. La Storia delle geometrie non euclidee può esser fatta risalire fino al grande matematico arabo Nāsir al-dīn al-Tūsī (1201-1274), la cui discussione del V postulato di Euclide sarà ripresa da Gerolamo Saccheri quattro secoli e mezzo più tardi. Di al-Tūsī  è pure il primo manuale che tratti unicamente e specificamente di trigonometria.

– c. XIII sec. In alcuni manoscritti francesi di aritmetica compare il segno • per indicare la moltiplicazione di due numeri.

– II metà XIII sec. La diffusione in Occidente del sistema arabo di numerazione è graduale ma lenta, e a volte anche ostacolata; si ha notizia che il suo uso fu proibito a Padova e a Firenze.

– II metà XIII sec. Sulla base della traduzione di Adelardo di Bath, Giovanni Campano di Novara scrive un commentario agli Elementì di Euelide. Le considerazioni di Nemorarius sull’angolo formato da una curva e dalla sua tangente lo portano a studiare le quantità continue. Prova l’irrazionalità della sezione aurea attraverso un’induzione matematica terminante in una reductio ad absurdum.

– 1267. Ruggero Bacone (1213-1294), inglese, nell’Opus Maius riesce a determinare la posizione esatta del fuoco di uno specchio concavo. Parla, primo in Occidente, della camera oscura e studia l’arcobaleno.

– 1267. Trattazione della lente di ingrandimento nelle opere di Ruggero Bacone.

– 1269. Il francese Pietro di Maricourt nell’Epistola de magnete descrive le linee del campo di forza di un magnete naturale e dà la prima descrizione scientifica e rigorosa di una serie di esperimenti sul magnetismo.

– 1270-1278. L’ottica o prospettica di Vitellio (c. 1230 – ?), fisico e filosofo polacco, non rappresenta un reale progresso rispetto all’opera di Ibn al-Haitham, da cui in buona parte deriva. Tuttavia il trattato di Kepler Ad Vitellionem paralipomena è prova della sua importanza quale termine intermedio nella trasmissione dell’ottica greco-araba. Perfezionamento nella fabbricazione delle lenti e preparazione di occhiali dovuti ad Alessandro della Spina a Pisa e a Salvino degli Armati a Firenze.

 – 1290. L’unica determinazione sperimentale dell’obliquità dell’eclittica compiuta da un astronomo cristiano nel Medioevo è quella del francese Guglielmo di Saint-Cloud, uno dei fondatori della Scuola astronomica di Parigi: egli ottiene il risultato di 23° 34′, essendo il valore determinato per quell’anno secondo la formula di Le Verrier 23° 32′ 30″.

– c. 1300. Dai Capitolari delle Arti di Venezia risulta che la falsificazione degli occhiali di cristallo era severamente punita per tutelare la buona fama dei fabbricanti locali.

– 1302. Flavio Gioia introduce in occidente la bussola, secondo una notizia tradizionale.

– 1305. Fra Giordano da Rivalto, predicando in Santa Croce di Firenze, afferma che in Italia da almeno venti anni l’uso degli occhiali è abbastanza comune.

– 1302-1310. Una teoria sull’arcobaleno assai simile a quella di al-dīn all-Shīrazī ma frutto di una elaborazione indipendente, è proposta dall’ottico tedesco Dietrich di Freiberg (? – c. 1311).

– Inizio XIV sec. Kamāl-al-Din al-Fārisī (? – 1320) nell’Introduzione allo Studio dei segni celesti studia la rifrazione della luce attraverso un mezzo trasparente e attribuisce l’arcobaleno alla rifrazione dei raggi luminosi.

– 1311. L’arabo al-Fārisī  pubblica un sommario dell’Ottica di Al-Haitham commentato e corredato con proprie osservazioni, dove suggerisce l’uso di lenti iperboliche per ovviare all’aberrazione di sfericità. 

– I metà XIV sec. Il filosofo e fisico francese Giovanni Buridan (? – c.1358) applica la nozione dell’impeto ai corpi celesti e sostiene che il loro moto ha avuto inizio con l’impulso divino, e non avrà mai fine mancando qualsiasi resistenza, senza bisogno di ipotizzare altri miracolosi interventi.

– 1320. L’astronomo e matematico francese Jean de Linières compila tavole astronomiche per il meridiano di Parigi derivate dalle tavole Alfonsine.

– 1320. Riccardo Wallingford, matematico inglese, costruisce un orologio astronomico cbe indica il movimento del Sole e della Luna, il crescere e decrescere delle maree.

– Fine XIII sec. Il monaco bizantino Massimo Planude (c. 1260-1310) nel Manuale del Calcolo fa uso dei numeri arabi e dello zero che sul suo esempio si diffonderanno nell’impero di Oriente.

– I metà XIV sec. Thomas Bradwardine (1290-1347), inglese, nella Geometria speculativa studia la determinazione degli angoli dei poligoni stellati e l’iscrizione di poliedri regolari nella sfera. Dimostra che a parità di perimetro l’area di una figura piana aumenta coll’aumentare del numero dei lati, e che il circolo ha l’area maggiore di ogni altra figura isoperimetrica.

– I metà XIV sec. Il primo trattato originale di trigonometria in lingua  latina è il Quadripartitum de sinibus demonstratis del matematico inglese Riccardo Wallingford (1292-1335). che può essere considerato, insieme con Levi ben Gerson, il fondatore della moderna trigonometria europea.

– II metà XIII sec. La teoria dell’impeto di Giovanni Filopono (VI sec.), vaga anticipazione del concetto d’inerzia, è rispiegata dopo più di sette secoli di abbandono da Petrus Joannis Olivi (1248-1298), fisico e filosofo francese.

– II metà XIII sec. Giovanni Campano di Novara è il probabile autore di un commentario all’Armonica, il trattato di Tolomeo sulla musica.

– II metà XIII sec. L’Idrostatica di Archimede è tradotta in latino direttamente dal greco dal domenicano fiammingo Guglielmo di Moerbeke (c. 1215- 1286 c.).

– XIV sec. Francesco Stabili detto Cecco d’Ascoli (1269-1327), nel poema nell’Acerba, considera l’eco un fenomeno di riflessione del suono. 

– XIV sec. Giovanni Buridan spiega il movimento dei corpi con la nozione dell’impeto impresso al mobile, che, tanto maggiore quanto più il corpo contiene materia, diminuisce per cause esterne, come la resistenza dell’aria.

– I metà XIV sec. Tommaso Bradwardine ritiene che la superficie libera di un liquido in equilibrio statico abbia forma sferica e sia concentrica alla Terra e all’universo.

– XIV sec. Nel Liber jordani de ratione ponderis di ignoto autore, è studiato il problema della valutazione del peso apparente di un grave su un piano inclinato.

– 1324. Nella cattedrale di Beauvais in Francia è installato un orologio meccanico a pesi.

– XIV sec. Levi ben Gerson (1288-1344), ebreo, in uno scritto sulla trigonometria piana enuncia il principio della proporzionalità dei lati di un triangolo rettangolo ai seni degli angoli opposti.

– XIV sec. Emanuele Moschopulo, bizantino, compone un trattato sui quadrati magici in cui espone le regole per la costruzione di quadrati aritmetici.

– XIV sec. Guglielmo d’Ockham (1280-1347) inglese, critica la teoria aristotelica del movimento causato da un principio intrinseco al mobile, sostenendo la necessità di un motore distinto dal mobile.

– XIV sec. Nel trattato De Tribus Praedicamentis, l’inglese William Heytesbury distingue la velocità di un mobile dall’accelerazione che può subire.

– XIV sec. Nelle Quaestiones acutissimae, Alberto di Sassonia (1316-1390), tedesco, sostiene, criticando Aristotele, che la gravità non dipende dalla distanza dal centro della Terra del corpo cadente. 

– I metà XIV sec. In un manoscritto di difficile attribuzione si afferma che l’opportunità di usare le frazioni sessagesimali deriva dal maggior numèro di fattori che ha il numero 60 rispetto ad altri numeri: se non fosse per questo motivo, si potrebbero adoperare ad esempio i numeri 10 o 12.

– 1328. Alberto di Sassonia nel Tractatus proportionum distingue nettamente il moto rettilineo uniforme dal moto rettilineo vario.

– 1340-1390. Alberto di Sassonia distingue tra calore e temperatura e parla di trasmissione del calore per irraggiamento.

– 1341. Il bizantino Nicola Artavasde, nella Lettera Aritmetica, espone le regole per eseguire le operazioni aritmetiche sino all’estrazione della radice quadrata.

– 1343. Jean de Meurs, matematico e musicista francese, spiegando un modo di estrarre la radice quadrata di 2, e dopo aver dato il risultato in numeri sessagesimali 1° 24′ 50″, aggiunge che a se si dice essere 1414 la radice quadrata di 2, si deve considerare la prima unità come un intero, il 4 successivo come decimi, e così via. È questa la più chiara anticipazione dell’idea delle frazioni decimali fino a quella di Stevin, circa due secoli e mezzo più tardi.

– 1350. Un catalogo di 48 stelle con le loro posizioni per l’equinozio d’inverno è compilato dall’astronomo francese Jean de Linières su proprie personali osservazioni.

– 1354. Viene installato sulla cattedrale di Strasburgo un orologio meccanico in cui a ogni battere delle ore un gallo canta tre volte agitando le ali.

– c. 1360. Un’anticipazione delle frazioni decimali e del calcolo esponenziale è contenuta in un breve trattato matematico di Immanuel Bonfils di Tarascona, ebreo provenzale; egli divide i numeri in tre classi: le unità intere, gli interi e le frazioni; le unità intere sono i numeri da 1 a 9 mentre i numeri della forma a.10n sono interi o frazioni secondo che l’esponente sia positivo o negativo.

– XIV sec. Nell’ Algoritmus Proportionum, Nicola Oresme (1323-1382), francese, espone la teoria delle quantità irrazionali fondata sull’uso metodico degli esponenti frazionari.

– XIV sec. Nel De difformitate qualitatum, il francese Nicola di Oresme (1323-1382) emette l’ipotesi che la caduta dei corpi sia un moto uniformemente accelerato, formulando la legge del rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato.

– II metà XIV sec. Il fisico tedesco Temone enuncia il principio che l’acqua non può alzarsi al di sopra del livello d’origine: motivo per cui le sorgenti non possono essere dovute all’infiltrarsi verso la superficie di acque sotterranee, ma probabilmente al riemergere di acque piovane.

– 1370. Nel palazzo reale di Parigi è installato un orologio meccanico con bilanciere e scappamento a ruota. 

– c. 1370.    Il primo accenno alle quattro e dimensioni è  contenuto nel  trattato De
uniformitate et difformitate intensionum
 del matematico e fisico francese Nicola Oresme che respinge tale concetto.

– 1373. Nel commentario alla Divina Commedia di Benvenuto de’ Rambaldi (c. 1336-I390) si trova un accenno alle probabilità considerate in relazione al lancio simultaneo di tre dadi.

– 1410. Prosdocimo de’ Baldomandi (1380-?) compone un trattato di aritmetica in cui compare la somma di una progressione geometrica.

 – 1420. Ulugh Begh, nipote di Tamerlano, fa costruire a Samarcanda un grande osservatorio astronomico con strumenti notevoli per dimensioni e precisione.

– 1440-1456. La stampa a caratteri mobili è inventata in Europa, a Magonza, da J. G. Gutenberg (1400-1468), tedesco, costruttore del primo torchio da stampa.

– 1456. Georg Purbach (1423-1461), austriaco, scrive un trattato di astronomia intitolato Theoricae novae planetorum in cui rivede le inesattezze delle tavole stellari tolemaiche.

– c. 1464. Johann Müller (1436-1476), tedesco, detto Regiomontano, nel trattato De triangulis omnimodis, dà la prima la esposizione sistematica della trigonometria piana e sferica.

– XV sec. Niccolò da Cusa (1401-1464), tedesco, ammette la possibilità del movimento della Terra.

– XV sec. Niccolò da Cusa detto il Cusano (1401-1464) costruisce il batometro, ingegnoso strumento per misurare la profondità dei mari e dei fiumi, utilissimo per la navigazione.

– 1468. Paolo del Pozzo Toscanelli (1397-1482) colloca uno gnomone sulla sommità della cupola di S. Maria del Fiore a Firenze che si rivela molto preciso per la notevole altezza dal suolo.

– 1472. Johan Müler, latinamente Regiomontano (1436-1476), tedesco, osserva l’apparizione della grande cometa poi detta di Halley, iniziando la moderna astronomia cometale.

– 1478. Prima opera a stampa di aritmetica, di ignoto autore in dialetto veneziano, pubblicata a Treviso.

– 1484. La più antica notazione del segno delle radici quadrate e cubiche con l’indice che le determina compare nel trattato di Nicolas Chuquet (1445-1500), francese, intitolato Le triparty en la science des nombres. Vi compare anche la prima idea di logaritmo come confronto tra una progressione aritmetica e una progressione geometrica.

– 1489. Johann Widmann (1460-?), tedesco, nell’ Aritmetica mercantile fa uso per la prima volta dei segni + e – per indicare eccesso e difetto.

– 1494. Luca Pacioli (1445-dopo il 1509) pubblica a Venezia la Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni e Proportionalità, composta nel 1487, in cui applica il calcolo algebrico allo studio delle proprietà geometriche delle figure, arrivando alle equazioni di quarto grado. È il primo trattato generale di aritmetica e algebra, presenta per la prima volta la contabilità a partita doppia e accenna al calcolo delle probabilità e ai logaritmi. Molto studiato dai contemporanei.

– Fine XV sec. A Norimberga s’inizia la fabbricazione di strumenti scientifici per opera di artigiani specializzati.

– Fine XV sec. Nei numerosi studi di statica e dinamica Leonardo da Vinci (1452-1519) si occupa delle condizioni di equilibrio su un piano inclinato, della teoria dei centri di gravità e delle macchine semplici, del moto dei proiettili e della caduta dei gravi.

– Fine XV sec. Leonardo da Vinci precisa le condizioni nelle quali si verifica nelle campane e nelle corde vibranti la risonanza all’unisono.

(2) Ormai le Università non erano più le libere Università del loro nascere; vista la loro crescente importanza queste, con il beneplacito ed il sostegno delle varie case regnanti, erano ormai passate tutte sotto il controllo diretto della Chiesa (principalmente francescani e domenicani erano tra i gestori di queste istituzioni): I divieti di insegnamento o le condanne avevano effetti immediati sulla diffusione, ai livelli culturali più elevati, delle dottrine di Aristotele e degli aristotelici. Inoltre, proprio all’inizio del XIII secolo cominciarono a diffondersi per l’Europa svariati movimenti religiosi giudicati eretici dalla Chiesa. Tra questi i principali erano: i Catari (Albigesi, Manichei, Patarini, …) ed i Valdesi. Nel 1209 una ‘crociata’ contro gli Albigesi si era conclusa con orrendi massacri. Ma l’aspetto più importante di ciò è che nel 1233 Gregorio IX fondò il Tribunale dell’Inquisizione che nel 1235 venne affidato come ‘privilegio’ ai domenicani e poi esteso ai francescani. Si iniziò subito con la pratica della tortura che fu ufficialmente autorizzata e riconfermata da Innocenzo IV (1252), Alessandro IV (1259), Clemente IV (1265).

(3) La collaborazione tra fede e ragione è il punto centrale della filosofia di Tommaso, punto reclamato continuamente, anche di recente, sia dal Papa polacco che da quello tedesco. Tommaso e tutta la scolastica intendono provare le verità divine per via razionale. La religione impone verità di fede indiscutibili, alle quali nemmeno la ragione può appellarsi, in quanto essa non può nulla contro la verità annunciata agli uomini da Dio.
Come è possibile allora conciliare le esigenze della conoscenza scientifica (considerata aristotelicamente) con i dogmi indiscutibili imposti dalla fede? L’indagine del mondo naturale, infatti, può entrare in conflitto con le verità di fede: qualora l’evidenza di un fenomeno contrasti con le Sacre Scritture, quali parti prendere? Possibile che Dio abbia creato un mondo che entri talvolta in contrasto con le sue stesse leggi? Tommaso ritiene che Dio non possa essere così malevolo da produrre il contrasto tra l’indagine naturale e la verità divina, ovvero il contrasto tra ragione e fede. Tra filosofia e teologia non vi è dunque opposizione, seppure quest’ultima sia superiore alla prima perché portatrice di verità annunciate agli uomini direttamente da Dio. Egli non ha creato l’uomo per dotarlo di una logica ingannatrice e falsa, se una verità naturale appare talvolta in contrasto con le verità di fede, questo contrasto non è dovuto a un errore di Dio, ma piuttosto a un errore umano. Di fronte ad una contraddizione evidente tra fede e ragione, l’uomo deve quindi imparare a vedere la questione in un diverso aspetto, partendo dal presupposto che l’errore è dovuto ad un insufficiente approfondimento del problema.

In altri termini la natura creata da Dio non può essere in contrasto ma solamente in accordo con le verità da Egli stesso trasmesse agli uomini. Ogni presunta discrepanza tra le due dimensioni consiste in un errore umano.

Detto questo il metodo privilegiato per indagare la realtà è rappresentato dalla ragione, la quale ha pieno diritto di indagine naturale ed ontologica, ma solo nell’ambito ed entro i confini tracciati dalle verità di fede (i dogmi). [Tratto da: http://www.forma-mentis.net/Filosofia/Tommaso.html]

(4) Si è discusso molto sull’origine della parola seno. Due sono le versioni più accreditate. Secondo la prima si tratta di un acrostico delle iniziali della parola che indica una corda semi-inscripta  (il seno è infatti la misura della semicorda  inscritta nel cerchio). Da ciò seguirebbe s-ins, da cui sinus. Secondo l’altra versione gli arabi chiamarono quella lunghezza con la parola jîba derivata come semplice trascrizione fonetica dall’indiano jīva. Ma la parola jîba, in arabo, poteva essere letta come jaib che in arabo vuol dire seno (nel senso di golfo, insenatura). Traducendo poi in latino è venuto fuori il sinus che, in latino, ha lo stesso significato del jaib.

(5)  Non vado oltre, perché esula dai fini che i sono proposto, a ricostruire l’affascinante cammino della scienza arabo-mussulmana a cui tanto l’Europa deve. Ricordo solo che la morte del matematico al-Kashi, avvenuta nel 1436, comportò la fine del lungo ed importante contributo scientifico di quelle popolazioni. Al collasso politico che subì il mondo arabo-mussulmano dopo 800 anni dalla sua nascita, si accompagnò quello culturale e scientifico che fu addirittura più grave. Vi sono due eccellenti libri che parlano della scienza araba ed io li riporto in bibliografia. Quello di Djebbar si occupa della scienza sviluppata prevalentemente in territorio afro-asiatico mentre quello di Vernet (in lingua castigliana) si occupa degli sviluppi della scienza araba in Spagna.

(6) L’abaco è uno strumento simile al pallottoliere che ha avuto una lunga storia e grande importanza per il calcolo. Riporto di seguito due ricostruzioni simili di un abaco romano. Vi erano delle palline scorrevoli su delle linee differenti, la prima

delle quali rappresentava le unità, la seconda le decine, la terza le centinaia e così via. Vi erano poi dei totalizzatori. Questa macchinetta che divenne anche portatile, fu rimpiazzata nel medioevo da una tavola su cui erano incise delle linee orizzontali (vedi figura) rappresentanti le successive potenze di 10. Su tali linee si

disponevano delle pietruzze che potevano essere spostate da un lato all’altro (vi era anche la possibilità di disporre le pietruzze tra linea e linea, ciò forniva valori intemedi). Nella figura seguente è rappresentato l’uso dell’abaco:.

Da: Jacob Köbel’s, Rechenbiechlin, Augsburg, 1514

Nella figura seguente riporto una pagina del libro di Robert Recorde, Ground of artes

(1558) in cui si spiega l’uso dell’abaco. Nella pagina riprodotta si inizia a spiegare l’addizione con le prime cose da fare per sommare 2659 con 8342.

(7) Avverto subito che quanto dirò fa parte di una riscoperta successiva e che, all’epoca, non ebbe particolare risonanza. Dico questo al fine di mettere a tacere alcuni personaggi che, al seguito di uno storico di parte come il cattolico Duhem, tentano di squalificare Galileo con illazioni relative a sue scoperte già fatte. Naturalmente, poiché Duhem oltre che cattolico è anche uno sciovinista francese, tali scoperte che anticipano Galileo sarebbero state fatte da francesi. Ebbene, assegnati tutti i meriti alle Scuole di Oxford e Parigi (Duhem e con lui l’altro francese Koyré li assegnano alla sola Parigi mentre l’inglese Rupert Hall ad Oxford), è incontestabile che con Galileo i problemi affrontati salgono clamorosamente alla ribalta e non si può poi dimenticare che solo studi recenti hanno portato alla luce i contributi delle due Scuole suddette, segno evidente del loro scarso peso specifico negli sviluppi del pensiero scientifico del ‘600.

(8) Guglielmo di Occam, come del resto Buridano, è noto per altre cose sviluppate in ambito della filosofia (rasoio di Occam e asino di Buridano) e per l’influenza che ha avuto su alcuni seguaci. Anche se, rispetto alla concezione di spazio o più in particolare di luogo, Guglielmo di Occam si muove nell’ambito della fisica di Aristotele, si può riconoscere in alcuni suoi scritti l’introduzione di alcuni elementi nuovi e degni di nota. Ad esempio egli sostiene che la causa del moto non può risiedere nell’apparato che lancia un proiettile perché questo agente può essere distrutto subito dopo il lancio senza che questo venga interrotto o alterato. Ma tale causa non può neppure risiedere nel mezzo in cui si muove: quindi il proietto non può essere distinto dal suo motore.

        L’adesione all’idea aristotelica di luogo è invece evidente dal brano seguente che richiama immediatamente il discorso di Aristotele del sasso nell’acqua. Dice Guglielmo di Occam parlando di una nave all’ancora:

Benché nuove masse d’acqua salgano continuamente intorno alla nave e quantunque la nave non occupi sempre la stessa posizione rispetto alle parti del fiume, in quanto queste si muovono costantemente, tuttavia, rispetto al fiume nel suo insieme, la nave finché è ancorata giace nello stesso luogo.

E continua:

Se tu sei fermo, anche se tutta l’aria che ti circonda si muove, o anche se si muove un qualche corpo che ti sta intorno, tu occupi sempre lo stesso luogo; infatti sei sempre alla medesima distanza dal centro e dai poli dell’universo. Rispetto a questi punti, quindi, il luogo è detto immobile.

        Come si vede, mentre si afferma una completa adesione alle concezioni di Aristotele, si sviluppano degli argomenti che cominciano ad introdurre alla comprensione della relatività del moto; tra l’altro è interessante il fatto che viene usata la distanza rispetto al riferimento assoluto (Terra-Ultima sfera) come elemento che permette l’individuazione del luogo.

(9) Per alcune posizioni d’interesse che saranno in seguito riprese anche da Giordano Bruno, è interessante citare il tedesco Cardinale di Cusa o Nikolaus Krebs o Nicolò Cusano  (1401-1464), personaggio che più ha fatto discutere sotto il profilo delle paternità. E’ stato lui. Non è stato lui. Chi lo sa?

            E’ tutto ciò poco importante. Spesso i discorsi sulle paternità sono poco costruttivi. I discorsi sulle idee sono più creativi. Ebbene con Cusano abbiamo per la prima volta (ma dire per la prima volta non è significativo) una immagine complessiva del mondo che sembra affrancarsi dall’aristotelismo. Dico sembra, perché, in realtà, c’è una messa in discussione su basi teologiche e non fisiche di Aristotele.

            Cusano accoglie la teoria dell’impetus e, fatto notevole, nega la distinzione tra sostanze sublunari soggette a generazione e corruzione e sostanze celesti incorruttibili. Nega che l’universo debba avere un centro ed arriva a dire che il nostro pianeta si muove come altri corpi, anche se noi non ce ne avvediamo, perché il moto [che è relativo] non può essere avvertito altro che mediante il confronto con altri corpi.

            Riguardo all’universo egli ne sostiene una specie di infinità. Infatti, poiché “infinito” è una qualità del solo Dio, l’universo, creato da Dio, non può essere altrettanto infinito. Esso può essere, al più, “interminato” nel senso di illimitato e non racchiuso da alcun involucro esterno e anche nel senso di non ultimato, di un qualcosa in continua evoluzione.

            E’ certamente un grande passo avanti ma, ripeto, su una sfera teologica. Tanto è vero che quando si tratta di andare a cercare il centro del mondo, Cusano lo individuerà in Dio. Ciò gli permetterà, sì, di affermare il moto della Terra, ma solo perché è più importante che al centro dell’universo ci sia Dio.

            Egli dice:

…considerati vari moti degli orbi è impossibile che la macchina del mondo abbia per centro fisso ed immobile o questa terra sensibile, o l’aria o qualunque altra cosa.

E continua:

…benché il mondo non sia infinito, non può tuttavia essere concepito come finito, poiché manca di confini fra i quali venir chiuso.


        Poiché il mondo è illimitato (l’infinito è, appunto, caratteristica di Dio), allora è impossibile avere un punto privilegiato a cui riferire i moti:



E poiché noi non possiamo osservare il movimento se non in comparazione ad alcunché di fisso, ai poli od ai centri, lo presupponiamo nelle misurazioni dei moti: donde ci avvediamo di sbagliare in tutte le cose procedendo per congetture e ci stupiamo allorché la posizione delle stelle non si accorda con le regole degli antichi….


           Quindi, in definitiva, in assenza di alcunché di fisso o di luoghi privilegiati, da cui descrivere il mondo, quest’ultimo avrà una rappresentazione di un certo tipo a seconda da che luogo lo si andrà a descrivere. Queste descrizioni del mondo, evidentemente almeno molteplici, avranno la caratteristica, ciascuna, di non essere quella “vera” poiché, semplicemente, non ha senso parlare di vera immagine del mondo ma solo di relativa immagine del mondo.

            Anche per ciò che riguarda i moti, conseguentemente, si ha a che fare con la relatività:

Ed a noi è ormai manifesto che in verità questa terra si muove, benché non ci appaia. Infatti noi non apprendiamo il moto se non per comparazione ad alcunché di fisso. Poiché se qualcuno, stando su una nave in mezzo ad una corrente, ignorasse che l’acqua scorre e non vedesse le rive, come potrebbe sapere che la nave si muove?.
 

          Manca evidentemente il principio d’inerzia, mancano i concetti di moto rettilineo uniforme e di accelerazione, ma si stanno facendo dei passi in avanti.

            La conclusione a cui arriva Cusano è quindi molto avanzata:

...la macchina del mondo avrà, per così dire, il proprio centro in ogni luogo, e in nessun luogo la circonferenza, poiché il suo centro e circonferenza è Dio, il quale è ovunque ed in nessun luogo.

           In definitiva ogni descrizione del mondo da un luogo o da un altro è equivalente. Ogni determinazione di alto o basso o concetti collegati è quindi relativa a chi (ed al luogo da cui si) fa la descrizione.

            Ed in ultima analisi il mondo non ha confini e non ha centro (la Terra di conseguenza non ha ruoli particolari di alcun genere).

            Sono certamente idee avanzate, ma, ripeto, in chiave ancora tutta teologica. Bisognerà ancora aspettare, almeno l’opera di Giordano Bruno, perché queste cose divengano dirompenti.
 


BIBLIOGRAFIA

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Roberto Renzetti

ROMA E LA SCIENZA


        Le diverse interpretazioni che sono state fornite a proposito del declino della scienza greca, concordano su alcuni punti. Innanzitutto questo declino fu graduale; iniziò all’incirca intorno al II secolo a.C. e si accentuò molto dopo il II secolo d.C.; in pratica il processo di estinzione può dirsi concluso a cavallo del V e VI secolo d.C.
        A partire dal II secolo a.C, iniziarono a diffondersi nell’Impero forze irrazionali di ogni tipo, sette e culti (Zoroastro, Atti, Mitra, Cibele, Iside, Osiride), magie ed astrologie (i taumaturghi ottengono un vasto credito; il movimento gnostico penetra a fondo in tutti gli ambienti, quelli pagani, ebraici, cristiani, greci e barbari; si accettano le rivelazioni sulla creazione; l’alchimia fa al sua comparsa e si offre agli iniziati; l’ermetismo inizia a penetrare dovunque; le qualità richieste per conseguire il sapere non sono più intelligenza, spirito d’osservazione e obiettività ma cuore puro e fede cieca, oltre ad una immaginazione delirante). Come dice Bourgey:

Fu questo stato d’animo a favorire lo sviluppo delle scienze occulte, astrologia e alchimia, e anche quello della magia; questa era sempre stata praticata clandestinamente, soprattutto fra gli ignoranti, ma nei primi secoli dell’èra cristiana conquista l’ambiente colto e si rivela alla luce del sole. La scienza stessa è direttamente colpita: l’astrologia fa concorrenza all’astronomia, l’alchimia soffoca le prime manifestazioni della chimica, la botanica degrada in una farmacologia ingombra di ridicole ricette, la zoologia in collezioni di “meraviglie” le une più fantastiche delle altre. I filosofi non si sanno difendere da quest’ondata antirazionalista: i Platonici sono in preda a un totale misticismo, gli Stoici ammettono i presagi e le influenze astrali; secondo loro, come secondo Plinio il Vecchio, vediamo sostituirsi allo sforzo di determinare le leggi, cioè i rapporti costanti tra i fenomeni, la ricerca di una “causa” misteriosa e universale che agisce a distanza e produce i fenomeni.

    E tutto questo si aggravò con l’avvento del Cristianesimo. Le esaltazioni religiose e magiche richiedono per la conoscenza: che si sia disponibili alla fede, che basta essere semplici e pieni di immaginazione, che gli sforzi della ragione non conducono a nulla, che l’intelligenza, lo studio, la osservazione non servono a nulla, che c’è Qualcuno, che tutto ha fatto, che pensa a noi.
        Astrologie, alchimie, magie e varie superstizioni sono sempre esistite ma è soprattutto con l’avvento del Cristianesimo che possono uscire dalle pratiche clandestine e diventare patrimonio dell’ambiente colto.
        In ogni caso, a partire dal II secolo d.C., se si escludono le importanti eccezioni di Claudio Tolomeo e Diofanto (III sec.), Proclo (V sec.) e Filopono (VI sec.), non si produce più scienza originale. L’Impero romano, pur non ostacolando direttamente la scienza non è in grado di recepirla e di promuoverla. Dice Cicerone: I matematici greci sono alla testa nel campo della geometria pura, mentre noi ci limitiamo a far di conto ed a prendere misure. I greci di cultura elevata vengono portati a Roma a volte come schiavi. Qui si riconosce il loro sapere che li fa utilizzare come precettori dei figli dei ricchi. Ma questo dura fino a che è vivo il saggio. Non c’è scuola che si costruisca, non vi sono centri in cui poter confrontarsi parlare, sviluppare idee. Ed in ogni caso, lo sradicamento di persone a grande preparazione, di scienziati non ha mai prodotto nulla in contesti diversi. Vi furono un paio di tentativi di costruire un qualcosa che andasse nel senso della scuola ma furono avversati dai nobili senatori romani che avevano paura che certe idee facessero perdere loro privilegi. D’altra parte, con Mason, Roma non era un centro di commerci come le città-stato greche; non erano dei viaggiatori ma dei guerrieri e dei contadini, un poco come gli spartani, i meno colti della Grecia.

    Siamo nel II secolo a.C. e a Roma si fa strada l’epicureismo che avrà grande influenza almeno fino all’avvento del Cristianesimo. La filosofia di Epicuro è centrata sulla vita interiore e la felicità. Quest’ultima si raggiunge liberando l’uomo dalle superstizioni dell’astrologia e della religione, soprattutto se di Stato, ed educandolo alla libertà di pensiero. Uno dei pochi frammenti di Epicuro che abbiamo è stato trovato ad Ercolano e dice: “Sempre ti sia d’aiuto il quadrifarmaco e cioè: che la divinità non deve recare timore, che la morte non è paurosa, che facile a procurarsi è il bene, facile a sopportare il male“. Questi insegnamenti erano inconciliabili con le istituzioni religiose di Roma che proprio dal timore degli dèi e della morte traevano il loro potere che, a sua volta, era da sostegno a quello dei nobili presenti soprattutto nel Senato. Gli epicurei furono cacciati da Roma con accuse infamanti e l’attacco proseguì anche contro circoli culturali che andavano formandosi ad ispirazione epicurea o comunque con interessi filosofici importati dalla Grecia: il circolo degli Scipioni o degli ellenizzanti che faceva capo a Scipione l’Africano (anch’egli esiliato) ed il circolo dei populares che faceva capo ai democratici Gracchi. Uno degli schiavi tratto a Roma da Atene fu lo storico Polibio (204-122 a.C.) che divenne membro del circolo degli Scipioni. Diceva Polibio, che pure ammirava Roma:

«Oso avanzare l’ipotesi che proprio ciò che il resto dell’umanità [la Grecia colta, ndr] deride è il vero fondamento della potenza romana: la superstizione. Essa è stata introdotta in tutti gli aspetti della loro vita pubblica e privata, e con ogni artificio atto ad impressionare l’immaginazione al massimo grado. Molti si meraviglieranno nell’udire questo, ma la mia opinione è che tutto ciò è rivolto alle masse. Se fosse mai possibile fondare uno stato nel quale ogni cittadino fosse un filosofo, si potrebbe forse fare a meno di cose del genere, ma in ogni paese le masse sono instabili, piene di desideri illeciti e di violente passioni. Tutto ciò che possiamo fare è dunque di tenerle a freno con il timore dell’invisibile e con altri inganni del genere. Non a caso, ma a ragion veduta, gli antichi insinuavano nel popolo il culto delle divinità, e i timori della vita ultraterrena. La follia e la inettitudine sono nostre, giacché facciamo di tutto per disperdere tali illusioni».

     E Polibio era buon profeta se nei secoli seguenti la dottrina della religione come strumento politico acquistò credito crescente, fino alla catastrofe finale. Come gli epicurei, anche i cristiani furono accusati di ateismo perché rifiutavano la debita adorazione all’imperatore, ma infine – nello stabilire un vincolo con la Chiesa cristiana – Costantino agì per gli stessi motivi terreni che, circa mezzo secolo prima, avevano spinto Aureliano (270 d.C.) ad allearsi con gli adoratori del sole, quelli stessi che spingevano Marco Aurelio a consacrare il tempio di Mitra. E’ la religione che tiene buona la gente mentre il potere fa ciò che vuole e per poter far questo alimenta la religione.

    A lato dell’epicureismo in Roma ebbe seguito anche un’altra filosofia rivolta alla vita interiore,  lo stoicismo, molto più accetto dai ceti dirigenti e politici di Roma, che passò da essere critica del potere aristocratico ed oligarchico di Platone a roccaforte del conservatorismo alla quale aderirono anche Marco Aurelio e Seneca (quest’ultimo predicava il disprezzo per i beni terreni mentre ammassava fortune da prestiti usurai). Per gli stoici astrologia e divinazione erano pratiche degnissime e gli astri erano delle divinità. Un’altro mondo rispetto all’epicureismo.

    E Seneca, persona colta, è ancora da citare come esemplificazione di cosa era diventata la scienza della natura a Roma. Nelle sue Naturales  Quaestiones brilla nelle più stupide banalità, il finalismo stoico: perché esistono gli specchi ? Perché ci si possa rispecchiare. Perché vi sono tuono e folgore ? Per incutere timore agli uomini. E così via nella strage di intelligenza.

    Da ultimo anche il neoplatonismo ebbe dei seguaci a Roma e merita di essere ricordato perché restò l’unica corrente filosofica antagonista al Cristianesimo quand’esso diventò religione di Stato. Tra i neoplatonici l’egiziano Plotino (III secolo d.C.) insegnò filosofia a Roma. Insegnò cioè la sua metafisica oscura, prolissa, oracolare e addirittura ridicola tanto da essere apprezzato da Agostino (ed anche da Tommaso d’Aquino) che lo avrebbe visto bene tra i cristiani i quali debbono appunto a Plotino gran parte del loro pensiero. Per Plotino tutto è utile all’Universo, sono utili i mali come la povertà e le malattie che giovano a chi li subisce. Inoltre le città ben governate non sono quelle composte di uguali. Sarebbe come se si biasimasse un dramma perché tutti i suoi personaggi non sono eroi, e qualcuno di essi è un servitore, o un uomo rozzo, o uno che ha cattiva pronunzia: se si sopprimono queste parti inferiori, il dramma perde la sua bellezza, giacché senza di esse non può apparire completo. Per altri versi la natura è contemplazione, è la bellezza con essenza divina, è un’anima mossa da un’anima antecedente, ha in sé un pensiero contemplante silenzioso. E con questo anche la matematica che in Platone aveva avuto un ruolo rilevante, nei neoplatonici sparisce (accade sempre così per le parti più faticose ed impegnative di qualunque pensiero). Tanto erano convincenti le parole di chi anticipava la Trinità (l’Uno, l’Intelletto e l’Anima) che l’imperatore Gallieno pensò di fondare una città vicino Napoli dal nome Platonopoli, città che nel IV secolo Giuliano l’Apostata, anch’egli neoplatonico, cercò di restaurare. Ed anche lo stesso Agostino d’Ippona trasse ampia e copiosa ispirazione dal neoplatonismo e assorbì molta sua parte nel Cristianesimo (il disprezzo cristiano dell’esperienza il guardare dentro di sé e non fuori, l’individualismo sono figli del neoplatonismo e di Agostino). C’è da aggiungere, con Singer, che il modo di pensare neoplatonico fu portatore nell’ambito della scienza di due modi di pensare, uno dei quali nefasto: il ragionamento per analogia (attenzione non l’analogia spesso utilmente utilizzata in ambito scientifico, ma il metodo dell’analogia che dovrebbe avere forza dimostrativa). L’altro modo di pensare, una sorta di dottrina, condiviso con lo stoicismo, e conseguente per i neoplatonici al metodo dell’analogia, era appunto il considerare l’analogia tra l’universo (macrocosmo) e l’uomo (microcosmo) in quanto l’uno può essere pensato come riflesso dell’altro (per i neoplatonici, vicini in questo ai cristiani, era l’universo ad essere fatto per l’uomo in quanto suo essere privilegiato, mentre per gli stoici era l’uomo ad essere fatto per l’universo). Questa dottrina passerà agli arabi che tramite l’Islam le diffusero nell’Occidente cristiano.

La figura è tratta dall’opera di Isidoro di Siviglia De responsione mundi et astrorum ordinatione, stampata ad Augusta nel 1472. Epitome della dottrina del macrocosmo e del microcosmo. Tale dottrina fu accettata e compresa per tutto il periodo intercorso tra poco prima dell’era cristiana e il XVII secolo. Una serie di cerchi concentrici rappresenta le sfere concentriche della astronomia antica, con il Mondo, l’Anno e l’Uomo al centro. Un altro cerchio porta il nome dei quattro elementi, associati alle quattro stagioni e ai quattro umori. Ai lati di ciascun elemento sono i nomi delle «qualità». Il cerchio più esterno raffigura il limite che divide il nostro mondo da quello celeste di cui non possediamo una conoscenza diretta. Si notino assonanze con la cabala ebraica (Isidoro era appunto di Siviglia, cuore di El Andalus dove per secoli hanno vissuto arabi ed ebrei) e con figure misterico-magiche che da allora ebbero grande diffusione.
 

    In definitiva questo era il panorama filosofico di Roma e, a parte l’epicureismo, sempre soccombente rispetto al potere, si può ben intendere che non vi era alcuna disposizione filosofica nei riguardi della scienza. Vi era la convinzione che tutto fosse stato fatto e questa convinzione circolava quando tutto era stato dimenticato. Il Cristianesimo, come accennato, convogliò l’intero pensiero irrazionale emergente da più parti. In una situazione di decadenza generale a cui si accompagnano incertezze e miseria avanzante, esso aiutò a far prevalere le esigenze religiose su quelle critiche, la fede sulla ragione. Il problema della fame si trasferì alla morte ed alla necessità di salvare l’anima e così i Padri della Chiesa tutto ciò che, come la scienza, non davano nulla alla salvezza dell’anima. La scienza poteva essere al massimo una causa seconda che poco aveva da sparire con la causa prima che era Dio. Questo atteggiamento vale a spiegare perché così vivaci pensatori, abilissimi nell’affrontare dispute teologiche, non abbiano prodotto nulla in ambito scientifico ed abbiano così malamente proteso i propri nervi. Solo la matematica, grazie a quanto sostenevano i neoplatonici a proposito della sua vicinanza con il mondo della divinità, era in qualche modo accettata (ma non coltivata). Va ricordata in tal senso la posizione di Agostino di Ippona (354-430). Egli era in cerca di qualcosa, all’interno dell’animo umano, che potesse resistere ad ogni dubbio scettico. Egli trova ciò e nelle verità della logica-matematica e nei valori morali. Questi valori e conoscenze sono così saldi che debbono provenire dall’esterno dell’uomo, debbono rappresentare una emanazione di Dio dentro di noi. In quel clima di caccia agli eretici ed ai pagani, osserva Gliozzi, sembra quasi che Agostino voglia salvare a priori i cultori delle matematiche. Anche se, per la verità, nelle sue opere rintracciamo un vero interesse alle questioni matematiche quando sembra dare un primato all’aritmetica rispetto alla geometria e quando discute, in contrasto con Aristotele, dell’attualità dell’infinito dei numeri interi ancorandolo, ahimé, a ragioni teologiche.

    In linea generale vale quanto dicevo (Sthal) nel precedente lavoro che riporto qui per comodità:

Quando i Greci colti incominciarono ad incantare i nobili e i nuovi ricchi di Roma, dovettero accorgersi senza dubbio che i loro manuali erano perfettamente adatti ai loro scopi. Si può quasi supporre che i loro testi venissero concepiti non soltanto per venire letti dai Greci, ma anche per venire tradotti e parafrasati in latino. Il nobile romano era ben lieto di acquisire un’infarinatura delle discipline greche astratte, se così imponeva la moda: ma voleva soltanto gli elementi essenziali, poiché non amava perdere tempo in cose troppo complicate. […]

Il successo dei manuali fu dovuto alla loro praticità(1): i titoli più numerosi sono quelli di opere che si occupavano di agricoltura, arte militare, diritto e retorica. Si conoscono inoltre i titoli di opere riguardanti quasi tutti gli argomenti possibili e immaginabili che avevano un interesse per i Romani: farmacologia, tossicologia, metrologia, rilevamento topografico, tradizioni popolari relative ai sogni, alle pietre preziose e alle arti divinatorie di ogni genere; libri per eruditi e specialisti sulla filologia, l’ortografia e parecchi altri argomenti d’interesse antiquario; e infine, manuali per tutti i mestieri e per tutte le professioni.

Un altro tipo di libro popolare molto vicino al genere manualistico romano, sebbene a stretto rigor di termini non vi appartenesse, era la riduzione o epitome. Di solito, i Romani appartenenti alle classi più elevate erano troppo indaffarati o troppo presi da altri interessi per intraprendere la lettura di opere voluminose; furono loro a creare la richiesta di breviaria di ogni genere, riduzioni drastiche che ben di rado soddisfano 1a curiosità del lettore per quanto riguarda il contenuto e le qualità letterarie dell’opera sunteggiata. Le riduzioni offrivano comunque un altro vantaggio: riducevano di parecchio la spesa che sarebbe stata necessaria per fare ricopiare un manoscritto di numerosi rotoli. Come in Grecia i commenti alle opere famose soppiantavano spesso i testi che analizzavano, a Roma le riduzioni e le epitomi delle riduzioni, come quelle della Storia di Roma di Tito Livio, fecero cadere nell’oblio i voluminosi testi originali. Nel terzo e nel quarto secolo dell’era cristiana … queste riduzioni incominciarono ad esercitare un’influenza notevole sulla tradizione manualistica latina. […]

Non furono necessari grandi sforzi per convincere i Romani dell’utilità pratica della tradizionale preparazione retorica dei Greci. Il perfezionamento dell’abilità oratoria era sempre stato considerato un fattore importante nella preparazione degli uomini politici romani. […]

Le cose andarono in modo completamente diverso, invece, per quanto riguardava il quadrivio matematico greco. I genitori romani, rozzi e ostinati, non riuscivano a immaginare quale contributo potessero dare la matematica astratta, l’astronomia teorica e la teoria armonica alla preparazione di un giovane destinato a svolgere incarichi amministrativi o a prendere parte attiva alla creazione dell’impero. I pedagoghi greci sostenevano … che la matematica aguzzava l’intelligenza; e Polibio faceva osservare ai suoi aristocratici ospiti che la conoscenza dell’astronomia poteva tornare utile a un generale che dovesse spostare le sue legioni da un territorio all’altro. Le argomentazioni dei Greci ebbero la meglio, almeno durante il periodo in cui lo stimolo culturale fu più acuto: nelle scuole romane venne introdotto lo studio della matematica astratta, come attestano gli scrittori che ricordano di essersi annoiati, moltissimo durante le lezioni di aritmetica e di geometria. Possiamo tuttavia sospettare che questi studi teorici venissero tollerati a Roma non tanto per il loro valore intrinseco, quanto perché era di gran moda assumere pedagoghi che educassero i giovani secondo i metodi, greci. Altre reminiscenze che affiorarono negli scritti di diversi autori latini riguardano casi divertenti, non dissimili del resto da quelli che si incontrano anche nella letteratura greca: un genitore dalla mentalità molto realistica interroga il figlio sui suoi studi matematici e poi si chiede quale applicazione potranno mai trovare negli affari commerciali e nell’amministrazione del patrimonio familiare. Vi è però una differenza significativa: i lettori greci solidarizzavano con il figlio, i lettori romani con il padre. Poteva accadere che qualche nobile romano deprecasse l’importanza eccessiva attribuita alle discipline pratiche, come fa anche Orazio nella sua Ars poetica; ma la matematica pura, a Roma, si trovò sempre in una posizione precaria: dapprima vi fu una battaglia accanita per inserirla nei programmi di studio, poi venne di moda e allora fu tollerata; e infine, durante l’impero, la sua importanza nelle scuole declinò inesorabilmente.

I patrizi romani non erano contrari alle discipline che potevano contribuire a rendere più acuta l’intelligenza dei giovani. Anche se negavano tale valore alla matematica, lo riconoscevano agli studi filosofici. Non si poteva pretendere che la filosofia metafisica elaborata dai Greci solleticasse gli istinti dilettantistici dei Romani […]

I manuali costituirono il ponte attraverso il quale vennero importate a Roma le varie discipline greche. Il sistema più agevole per adattare una disciplina ai gusti e alle esigenze dei lettori latini consisteva nel preparare la traduzione di un manuale. Nei casi in cui possediamo un originale greco e possiamo confrontarlo con una traduzione o con un adattamento in latino, abbiamo modo di osservare che, quando la materia era difficile, le traduzioni erano molto libere: omettevano o parafrasavano le discussioni complicate e introducevano numerosi esempi per facilitare la comprensione da parte del lettore. […]

Per i Greci, i manuali divulgativi rappresentavano una scienza di basso livello, ma a Roma esisteva un unico livello di conoscenza scientifica: il livello dei manuali. Anche i Romani dotati della più viva curiosità intellettuale come Lucrezio, Cicerone, Seneca e Plinio, si accontentarono di attingere dai manuali la loro conoscenza della scienza greca, e non vi apportarono contributi originali. La scienza manualistica latina era antiquata fin dalla sua nascita, poiché era una sintesi di ricerche e di teorie greche che avevano già cento, duecento o trecento anni quando vennero importate a Roma. Dato che in maggioranza i compilatori latini non avevano la minima attitudine per gli studi teorici, le tradizioni manualistiche della scienza greca subivano un nuovo deterioramento ogni volta che passavano per le mani di un nuovo compilatore. La mentalità di Cicerone illustra in modo perfetto quale fosse la posizione dell’intellettuale romano nei confronti della scienza teorica. All’inizio delle Tusculanae, egli si dichiara lieto che, mentre i Greci esaltano la geometria pura, i Romani applichino giudiziosamente questo studio alle misurazioni ed ai conteggi pratici.

I compilatori latini speravano di mascherare, con un grande sfoggio di erudizione, la loro mancanza di competenza: specialistica. … Essi conoscevano benissimo la fama dei più eminenti scienziati greci, e fingevano di servirsi delle loro opere quali fonti di informazione; ma nella stragrande maggioranza dei casi la fonte immediata di una nuova compilazione latina, durante l’età repubblicana, era un manuale greco. I compilatori romani, per consuetudine, citavano come loro fonti i nomi degli autori che in realtà erano le fonti dichiarate dai compilatori greci. In questo modo, essi ottenevano un duplice risultato: assicuravano alle loro compilazioni un’autorità maggiore e mascheravano gli abbondanti saccheggi di materiale già assimilato. Molti studiosi, in passato, si sono lasciati trarre in inganno dalle citazioni tratte da opere di Eudosso, Eratostene, Archimede, Ipparco e Tolomeo. Questi riferimenti vanno respinti recisamente, non meno delle numerosissime citazioni che vengono presentate come tratte dalle opere di Pitagora, il quale non mise mai nulla per iscritto. Una parte degli Elementi di Euclide venne tradotta in latino da Boezio all’inizio del sesto secolo, questo è vero; e gli scolari romani, durante il periodo classico, studiavano compendi o estratti dell’opera di Euclide: ma sarebbe stato un avvenimento davvero straordinario se un Romano avesse compiuto un tentativo serio di comprendere le opere teoriche di Archimede, di Ipparco e di Tolomeo; e non esistono indicazioni decisive che un tentativo del genere abbia mai avuto successo.

    Quindi da un lato la mentalità pragmatica dei romani, dall’altra l’emergere di potenti spinte irrazionali, mescolate a valutazioni squalificanti per la matematica e ad una generale non conoscenza del greco che apriva voragini tra le conoscenze esistenti ed il pubblico possibile. Quest’ultima cosa si aggraverà con gli anni fino a che nessuno più conoscerà a Roma il greco e nessuno più sarà in grado, per la graduale sparizione degli schiavi, di leggere alcunché in quella lingua.

    Come accennato, si tenta (e sarà sempre più difficile) la conservazione di quanto fatto in precedenza. I commentari dei classici vanno per la maggiore. Ma, da commentario in commentario, il classico va sparendo. Si fanno poi dei compendi ma anche questi sono sempre pili succinti e, anche qui, l’autore originale va sparendo. In questo modo, comunque, si riuscirono almeno a conservare quelli che si possono definire alcuni risultati della scienza greca, quelli della pratica delle professioni. Il metodo, la ricerca, si perse. Infatti: che senso può avere, in matematica, conservare una montagna di enunciati di teoremi privati delle dimostrazioni ? E l’enunciazione dei problemi cosa poteva rappresentare se non si capivano più nemmeno i termini tecnici dei medesimi ? Qualche testo religioso-filosofico resistette più di quelli tecnici, ma la cosa durò poco anche qui perché la cultura è impresa complessiva che non permette abbandoni di alcuni capitoli. Si sente negli scrittori di questo lungo periodo come un senso di rassegnazione, di incapacità di porsi al livello dei maestri, una sfiducia nella reale possibilità di conoscere. Con il trascorrere del tempo, anche la voglia di tramandare i classici venne meno. Questo processo, alla fine, soprattutto in Occidente, comportò la completa sparizione delle opere originali delle quali si perse traccia. Il pensiero che ancora nel V secolo si muoveva nelle difficili problematiche della metafisica,  nel VI e VII balbetta le prime nozioni di grammatica e logica e, mentre un poco indietro nel tempo, gli scrittori si moltiplicavano, ora vi sono immensi deserti silenziosi. Ricordo solo i nomi dei più noti compilatori, scrittori di commentari e scrittori a vari livelli di erudizione: Severino Boezio (480-525), Aurelio Cassiodoro (475-570), Isidoro di Siviglia (570-636), Beda il Venerabile (673-735), ed altri ancora più mediocri fino all’epoca di Carlo Magno (VIII secolo). Non si tratta tanto di ultime elaborazioni di una generazione arrivata alla fine della propria creatività mentale ma dei primi balbettii di una nuova infanzia che si risveglia alla curiosità scientifica. Le cose andarono in modo diverso in Oriente dove la scienza greca si mantenne di più nelle opere originali e, dopo la caduta di Alessandria sotto il dominio arabo, l’intero patrimonio dei classici greci passò agli arabi che seppero farne molto migliore uso di quanto non se ne abbia fatto l’Occidente Cristiano.

    Molte altre cause si coordinano in questo periodo e si sommano andando ad accentuare la decadenza del sapere fino alla totale rovina che si accompagna con la fine dell’Impero di Roma. Non servì a Roma l’espansione in aree nuove e vergini come quelle del Mediterraneo Occidentale come non era servita la penetrazione nel sofisticato e ricco mondo alessandrino. Quando la disposizione al sapere è quella del potere sostenuto dalla superstizione vi è poco da fare. Quando ogni tentativo di spiegazione razionale appare, come era a Roma, un tentativo di togliere il potere agli dèi  si trattava di scegliere tra il lasciar perdere o l’essere accusato di empietà. C’era sempre la terza possibilità, quella cioè di dedicarsi al sapere pratico di tutti i giorni che permise opere come quelle di Vitruvio (circa 80-23 a.C.) sull’architettura, di Frontino (circa 30-103 d.C.) sugli acquedotti, di M. T. Varrone (circa 116-27 a.C.) e Columella (circa 4-70 d.C.) sull’agricoltura,  di A. C. Celso (25 a.C. – 50 d.C.) e Galeno (131-201 d.C.) sulla medicina ed il permanere di alcuni scritti di Diofanto (forse III secolo d.C.) e Pappo (IV secolo d.C.) sulla matematica. Tutte cose di interesse pratico a livelli mediocri di elaborazione.

    In definitiva l’Impero di Roma non sviluppò una sua scienza(2). Solo alcuni dedicarono un grande lavoro in monumentali opere di compilazione (Plinio) che, elaborando in gran parte il pensiero greco, sopravvissero fino all’Alto Medioevo. Per contro Roma dette un imponente impulso all’organizzazione dello Stato ed alla tecnica, anch’essa essenzialmente attività dello Stato. Si formò un servizio medico con ospedali pubblici, si introdusse il Calendario Giuliano, si codificò il diritto romano. Si costruirono importantissime vie di comunicazione, ponti, acquedotti, fognature ed opere civili. Una delle attività più importanti in questo settore fu quella mineraria in cui venivano impiegati migliaia di schiavi.

LO SFONDO STORICO


        Cerchiamo di vedere cosa c’è nell’intorno politico-sociale. Cominciamo col dare qualche riferimento storico: l’editto di Milano del 313 segna il trionfo del Cristianesimo; nel 330 la capitale dell’Impero, diviso amministrativamente, diventa Costantinopoli; nel 391, con Teodosio, il Cristianesimo diventa religione di stato; nello stesso anno il vescovo Teofilo guida fanatici cristiani alla distruzione di parte della Biblioteca di Alessandria; nel 395, alla morte di Teodosio, si scinde l’Impero in Romano d’Oriente e Romano d’Occidente; il 410 vede il sacco di Roma; nel

Divisione dell’Impero romano nel 395

415 su istigazione di Cirillo, fanatici cristiani ammazzano Ipazia, l’ultima matematica di Alessandria; nel 476 cade definitivamente e simbolicamente

Caduta dell’Impero romano d’Occidente nel 476

l’Impero romano d’Occidente (in realtà già da molti anni non esisteva più); nel 529 Giustiniano chiude d’autorità l’Accademia di Atene e vieta l’insegnamento ai pagani

Dalla caduta dell’impero romano d’Occidente nel 476 al 526

(non cristiani); nel 642 Alessandria viene conquistata dagli arabi e la Biblioteca sarà definitivamente distrutta. Anche la Chiesa subisce le sue dure sconfitte: prima vi è lo scisma dei copti (IV-V secolo); poi nel Concilio di Calcedonia (451, quando Attila entrava in Italia) lo scisma dei nestoriani; quindi con il Sinodo di Costantinopoli (553) se ne va definitivamente la chiesa monofisitica; finalmente il grande scisma, quello della chiesa d’Oriente (1054). Nel frattempo un evento

Una mappa degli scismi della Chiesa in Europa

 notevole fu l’incoronazione di Carlo Magno imperatore a Roma (800) dopo che era stato fermato il suo tentativo espansionista verso la Spagna a Roncisvalle (778) ma non verso la Sassonia (780) dove vi furono evangelizzazioni forzate crudeli e disumane che, insieme ad altre cose, gli fruttarono l’eterna riconoscenza della Chiesa. Nello scenario di grandi rivolgimenti, guerre, invasioni, saccheggi, malattie, si inserisce una profonda crisi dell’agricoltura, la scarsità di manodopera, la grande difficoltà di comunicazione ed una burocrazia ingigantita.

Gli Stati arabi e l’impero di Carlo Magno

L’Europa intorno al 900


        Come queste cose abbiano influito direttamente in ciò che discutiamo è difficile dire ma alcuni elementi qua e là si possono certamente cogliere. A partire dal I sec. già Plinio si lamentava della scarsezza di manodopera servile e, a partire dal III sec. il costo degli schiavi sui mercati era diventato sempre più proibitivo a causa del fatto che i mercati stessi erano sempre meno riforniti da merce raccolta in differenti campagne belliche(3). Furono i barbari che iniziarono a vendere schiavi a Roma e, molto spesso, tra di essi vi erano moltissimi romani. Furono i poveri ad immettere i propri figli nei mercati degli schiavi. Ma la gran quantità di denaro che possedeva l’Impero in epoche precedenti si era esaurita. Il mercato degli schiavi non poteva accrescersi. Inoltre era venuta a gravare sull’Impero una enorme spesa che non rendeva nulla: il finanziamento della Chiesa ed il pagamento degli ecclesiastici. Un esercito, quest’ultimo, di bocche inutili che spessissimo aveva intrapreso la carriera ecclesiastica per ragioni di prestigio e per avere un sicuro stipendio (un vescovo guadagnava sei volte di più di un medico o di un ingegnere e cinque volte di più di un professore di grammatica o di retorica !). Queste risorse venivano meno per altre imprese, tra cui il finanziamento delle scuole (solo quella di Alessandria fu sostenuta fino al V sec.). Ed era soprattutto dalle Scuole che proveniva il mantenimento materiale di chi faceva scienza (e non solo): ora, non solo occorreva scontrarsi con difficoltà economiche ma anche contro moltissimi autori cristiani che anteponevano la rivelazione alla ragione, la fede alla  conoscenza.

    Inoltre, a parte casi isolati di persone illuminate, i cristiani mostrarono una diffidenza che si tramutò subito in ostilità verso la scienza che era rappresentata solo da personaggi situati all’interno del paganesimo. Nomi noti del Cristianesimo, come Tertulliano (circa 155-222) e Lattanzio (circa 260-340), si scagliarono contro la scienza ed i più tolleranti, come San Basilio (329-379) e San Gregorio Nazianzeno (circa 329-390), avevano una posizione del tipo accetto questa conclusione a patto che non sia in contrasto con le Sacre Scritture. E la scienza diventa così un insieme di conclusioni acquisite che devono solo confermare l’opera divina del Creatore. E dove le cose non erano acquisite non si doveva indagare (fu così che non si portarono avanti gli studi iniziati da Galeno e, ad esempio, la malattia mentale passò immediatamente nel capitolo orrido della demonologia e dell’esorcismo). Dal V – VI secolo le Scritture iniziarono ad essere considerate  con un dogmatismo devastante tanto che anche le persone colte dubitarono e rifiutarono le cose che erano state acquisite. Ad esempio, Agostino rifiutò la teoria degli antipodi e Cosma Indicopleuste (VI secolo) negò la sfericità della Terra e costruì un modello di universo a forma di Tabernacolo (vedi figura).

    A questo proposito, scrivono Hall e Boas:

con l’espandersi del cristianesimo, a nord, est ed ovest,, la cultura medioevale, portando con sé la Bibbia ed i volumi dei Padri della chiesa, cominciò ad assumere la sua forma caratteristica: monca, alimentata dalle reminiscenze di un più glorioso (e tuttavia sospetto) passato clericale e sempre soggetta ai dogmi cristiani.

    A ciò si deve aggiungere la grande delusione che rappresentò il Cristianesimo per il popolo degli oppressi, soprattutto schiavi. Una delle più belle illusioni che il Cristianesimo portava con sé nei tempi eroici era destinata a morire non appena la Chiesa assurse al potere. Non era vero che tutti gli uomini erano uguali ma, a causa del peccato originale, era inevitabile la schiavitù (quale cosa non sarebbe capace di giustificare una religione ben strutturata ?). In questo senso si espressero molti padri della Chiesa tra cui Agostino d’Ippona (354-430). Già nel 324 il Concilio di Granges aveva intimato: “Se qualcuno, sotto il pretesto di pietà, incita lo schiavo a disprezzare il suo padrone, a sottrarsi alla schiavitù, a non servire con buona volontà e rispetto, anatema sia su di lui“. E quasi tutti gli ecclesiastici a titolo individuale, e la Chiesa in quanto istituzione, disponevano di ingenti quantità di schiavi. Ancora nel 916, lo schiavo che fuggiva dal suo padrone era assimilato al chierico che abbandonava la Chiesa (Concilio di Altheim). E se qualche ecclesiastico avesse avuto la malaugurata idea di affrancare i suoi schiavi, egli avrebbe dovuto risarcire la Chiesa della quantità corrispondente in denaro. Infine, nella grandissima maggioranza dei casi, lo schiavo non era ammesso al sacerdozio.


      In questo desolante paesaggio qualche cosa però si mosse nel senso vero della liberazione dell’uomo. Gli ordini monastici, generalmente rifuggenti dalla Chiesa ufficiale, quella costantemente alleata con il Potere, rappresentarono un’oasi di civiltà e progresso civile e morale. A partire da San Benedetto (480-547) che, ricordiamolo, fu perseguitato proprio da svariati chierici ormai assestati nel loro potere, e che fondò (529) la regola dell’ Ora et labora nella quale per la prima volta dalle squalificazioni di Platone  il lavoro manuale riacquistava una dignità pari alla preghiera (superando in questo gli oppressivi e discriminatori significati che, a partire dall’antichità classica, proprio al lavoro erano assegnati), continuando con i cistercensi e quindi con i francescani, si iniziò una tradizione di mantenimento, e sviluppo di tecniche artigianali tra cui, a partire da un certo momento, anche la conservazione e la trascrizione di svariati testi dell’antichità.(4) Ma qui occorre fare un attimo di attenzione perché il ruolo dei monaci nella conservazione non deve essere enfatizzato più di tanto. Se è vero che da un certo punto vi fu una certa cura per il sapere da parte di alcuni ordini monastici, tale cura arriverà troppo tardi quando già il patrimonio culturale era stato irrimediabilmente distrutto (da Carlo Magno in poi sarà la stessa Chiesa nel suo complesso a conservare ogni testo di cultura classica a quel punto rimasto), inoltre riguardi li avranno quelle opere più affini ai loro interessi, quelle teologiche e magico teologiche, e non certo quelle scientifiche che saranno completamente dimenticate quando non distrutte o ridotte a palinsesto.

    E quei barbari ai quali ho accennato più su fecero alla fine crollare l’Impero d’Occidente, ed insieme ad esso quei barlumi di scienza che qua e là si mantenevano e quella tecnica (acquedotti, strade, urbanistica, edilizia, …) che invece aveva progredito di molto. Questi invasori avevano distrutto le strutture economiche, sociali e politiche distruggendo ogni possibilità materiale e morale di ricerca ma, come vedremo, a loro si deve l’introduzione di tecniche che fornirono via via la base di un modo di vita materialmente superiore a quello che si aveva nell’età classica (pantaloni al posto della toga, burro al posto dell’olio di oliva, sci, barili, botti, coltivazione della segale, dell’avena e del luppolo, staffa per cavalcare, … ). Le  grandi invasioni del V secolo posero fine anche alla sola conservazione della cultura ellenistica. Nel periodo di tali invasioni, proprio per i caratteri dei popoli che entravano dal nord nel vecchio bacino del Mediterraneo, non si assiste a riproduzioni della scienza antica o a scimmiottamenti delle forme di conoscenza ellenistica ma si iniziano ad intravedere i segni di un nuovo modo di curiosità scientifica. Nel resto dell’Impero, quello di Bisanzio, pur privato della sua anima vivificatrice di Alessandria, si ebbe una vita scientifica che ancora si muoveva, anche se a rilento.

BISANZIO

    Un minimo di retroterra culturale di Bisanzio si può intravedere dalle brevi note seguenti. Dopo l’assassinio di Ipazia, gli ultimi studiosi superstiti di Alessandria si trasferirono ad Atene presso l’Accademia platonica dove Proclo (412-485)  teneva le sue lezioni. Gli allievi di Proclo seguirono ancora la sua opera pubblicando lavori di commento di Euclide. Ma anche qui intervenne la stroncatura dell’autorità: l’imperatore Giustiniano la chiuse nel 529. Da questo momento l’ultimo rifugio per gli ultimi superstiti amanti del sapere fu Bisanzio dove, anche se non si produssero cose originali, divenne impegno primario la conservazione del patrimonio tramandato dall’antichità classica in un clima neoplatonico.

    L’Impero romano d’Oriente visse per un migliaio di anni in un clima di cambio continuo di frontiere, di un instabile equilibrio politico e sociale, di frequenti lotte per motivi religiosi che si ripercuotevano continuamente nella vita pubblica. C’era Bisanzio, con l’eredità della Grecia e delle colonie dell’Asia Minore,  come nucleo stabile ma l’Impero si gonfiava e si sgonfiava a seconda degli attacchi esterni e delle invasioni e delle capacità dell’imperatore di turno. Il potere era e non poteva essere che molto centralizzato per tenere insieme una miriade di popoli, costumi, religioni differenti. Il peso delle tasse e degli obblighi militari era tutto dei contadini che avevano una situazione non dissimile  ai servi della gleba dell’Europa feudale. Dall’esterno vi erano pressioni continue dal Nord e dall’Est (visigoti, unni, ostrogoti, bulgari) che combattevano per conquistare le pianure del Danubio ed i Balcani. Altre pressioni venivano dalle repubbliche marinare Venezia e Genova. Vi furono poi gli attacchi religioso-commerciali delle Crociate, la quarta delle quali arrivò ad attaccare e saccheggiare la medesima Costantinopoli (1204) facendola diventare colonia di veneziani e franchi ed avendo come effetto collaterale il

L’impero bizantino poco prima della caduta, nel 1355

trasferimento di migliaia di testi e codici classici in Italia. Finalmente i turchi da Est, come prima i sassanidi e gli arabi, fecero cadere definitivamente l’Impero nel 1453 (con altra mole di testi classici che si riversò sui mercati europei. La cultura bizantina era quella ereditata dall’ellenismo ma incapace di fare cose nuove. Era e restava isolata sugli allori delle glorie del passato essendo impossibilitata di scambiare conoscenze con chiunque, certamente non con i popoli barbari dell’Est e con gli islamici dell’Oriente (che tra l’altro avevano tutti lingue ed alfabeti radicalmente diversi).

L’Impero bizantino da Giustiniano alla vigilia della caduta.

    In ogni caso, a partire dal VII secolo, saranno i dotti bizantini a trasferire le loro conoscenze ed i loro codici agli umanisti dell’Occidente cristiano. Assai prima però la cultura greca era già stata trasmessa ad un altro popolo, quello arabo che era passato da un periodo iniziale puramente guerresco ad un crescente interesse per studi filosofico-scientifici (VIII secolo). Ed a questo punto la storia mette al centro dell’attenzione questa nuova forza costituita da popoli arabi che si riconoscono in una nuova religione monoteista, l’Islam, che preme da Sud sul Mediterraneo, sui resti dell’Impero romano e sull’Europa in genere.

    Mentre in Occidente la scienza era ridotta a trovare esempi della verità della morale e della religione, a ricavare simbologie che rappresentassero questioni morali (la Luna era paragonata alla Chiesa perché rifletteva la luce di Dio; il vento era l’immagine dello spirito; il numero 11, andando oltre il numero dei comandamenti, era il simbolo del peccato), nell’Oriente, diventato arabo come vedremo, si coltivava, si traduceva e si sviluppava la scienza dei classici greci. Cosicché, col passare dei secoli furono proprio gli arabi che divennero (come dice Koyré) maestri ed educatori dell’Occidente cristiano.
        Alcuni cristiani (i nestoriani) della Persia e di lingua siriaca avevano iniziato importanti lavori di traduzione dal greco al siriaco che, nel frattempo, era diventata la lingua più diffusa dell’area di dominio arabo. Ciò avveniva tra il VI ed il VII secolo. Più tardi, intorno al IX secolo, Damasco e Bagdad divennero i centri di traduzione dal siriaco all’arabo e, sempre più spesso, le traduzioni erano fatte a partire direttamente dal greco. Nel X secolo si può dire che quasi la totalità della produzione dei classici greci era disponibile in lingua araba(5).
       I principali centri di diffusione della scienza araba furono la Sicilia, la Spagna e Salerno. In Sicilia, oltre quelle dall’arabo, si realizzarono le prime traduzioni dirette dal greco che via via andarono sempre più crescendo in numero e qualità.
        Nel XIII secolo, da una parte la IV crociata riconquistò Costantinopoli e dall’altra i Mongoli invasero la Persia e la Mesopotamia. Ciò comportò un afflusso incredibile di testi originali in Italia.

GLI ARABI

    Le tribù di beduini nomadi che si muovevano nella penisola arabica tra il Mar Rosso, l’Oceano Indiano, il Golfo Persico e la Mesopotamia, con carovane che per secoli avevano trasportato merci e trasmesso culture, trovarono nella predicazione di un arabo del cuore dell’Arabia, Maometto (571-632), un momento di unificazione religiosa e politica, l’Islam. Non vi era nulla che univa questi beduini (molti dei quali, attenzione, erano persone colte) fuorché la lingua. Convivevano con ebrei e cristiani essendo politeisti. Le terre che calpestavano nei loro spostamenti erano bizantine (Impero romano d’Oriente) o persiane (Impero dei sassanidi), ma l’appartenenza a tali regni, a parte qualche città, era solo formale, in realtà erano i capi tribù che esercitavano la potestà.

L’Arabia prima di Maometto

    Islam vuol dire assoluta sottomissine ad Allāh onnipotente attraverso un corpo di regole riassunte e codificate nel Corano (la parola musulmano, dall’arabo muslim, vuol invece dire sottomesso all’Islam). E l’Islam indicò una meta, uno scopo ai suoi seguaci: la ğihād e cioè la guerra santa. Guidati da tale fede le tribù superarono le divisioni e si lanciarono in un processo espansionistico che ebbe in breve tempo sorprendenti risultati che possiamo seguire su Salvadori:

L’espansione si diresse verso i tre continenti che in Arabia si raccordano, l’Europa, l’Africa e l’Asia e si articolò in distinte fasi. La prima, caratterizzata dal governo dei califfi, conobbe travolgenti successi: già prima del 650 risultavano sottomessi al dominio arabo il califfato di Medina, l’Egitto, la Siria, !’Iraq e le regioni occidentali della Persia. La seconda si svolse sotto il governo degli Omayyadi (Califfato Omeya), una dinastia di califfi che regnò dal 660 al 750: all’Islām passò il vastissimo territorio compreso fra il Marocco e l’Afghanistan, nonché la Spagna e le regioni dell’Asia centrale, fino a toccare le frontiere della Cina e dell’India settentrionale. In Europa l’espansione fu fermata a Poitiers nel 732 dai Franchi. Al tempo degli Omayyadi la Siria divenne il centro del califfato, che stabilì la corte a Damasco, mentre l’islamismo si articolò sul piano dottrinale scindendosi nelle due correnti, sunnita e sciita, che ne avrebbero condizionato la storia futura.

Nella terza fase l’espansione proseguì a est dilatando le frontiere del mondo musulmano fino alla Cina, e a ovest, completando il controllo del Mediterraneo con la presa della Sicilia (nell’820; che manterranno fino alla conquista normanna del 1091, ndr) e di Creta. Questo periodo fu dominato dalla dinastia degli Abbasidi, califfi sciiti che regnarono dal 750 al 1258, stabilendo la propria corte a Baghdad che rimase sede del potere califfale fino al saccheggio compiuto dai Mongoli nel 1258, e ardenti fautori di quell’internazionalismo politico-religioso che giunse a caratterizzare tutto il mondo islamico. In quel periodo gli Omayyadi scampati allo sterminio della loro famiglia ad opera degli Abbasidi si rifugiarono in Spagna fondando l’emirato di Cordoba. I cinque secoli di dominazione abbaside sono ricordati come un’epoca di rinnovamento religioso, artistico e culturale, favorito dal contatto con le vicine civiltà, nel corso della quale l’Islam si aprì alle influenze della cultura ellenistica grazie alla traduzione in arabo dei grandi monumenti del pensiero greco, quali Platone, Aristotele, Euclide, Ippocrate.

    Intellettualmente l’Islam era completamente tollerante con ebrei e cristiani e cercava di essere erede degli splendori della Grecia e di Roma ma vi era una profonda differenza perché l’Islam era ricco di uomini colti e come tali erano avidi di cultura, di quelle opere greche che ancora erano conservate in differenti biblioteche dell’epoca ellenistica. Ciò non ha impedito che, nelle prime operazioni di conquista fosse distrutta la Biblioteca di Alessandria (642) con motivazioni, anche qui tragicamente, religiose. Quella fame di sapere di cui prima, comunque fece sì che in pochissimo tempo Baghdad divenisse la città più rigorosamente colta del mondo. Ed anche la scienza araba, che discuterò in un prossimo articolo,  fu un complesso cosmopolita perché non tutti coloro che la svilupparono furono arabi o musulmani e ciò fu anche uno stimolo alla sua crescita.

    Per ciò che interessa la conservazione, lo sviluppo ed il trasferimento delle conoscenze all’Occidente, è utile vedere con qualche dettaglio la penetrazione islamica in Spagna.

LA SPAGNA ARABA E LA RICONQUISTA

    La Spagna, provincia di Roma, nel 409 viene invasa da varie tribù barbare (svevi, vandali, …). Nel 411 i Visigoti vengono in aiuto di Roma e scacciano gli altri barbari. Da questo momento l’amministrazione di questa provincia è lasciata loro. Nel 475, un anno prima della caduta dell’Impero Romano d’Occidente, viene fondato in Spagna il regno Visigoto che, a partire dal 589, sarà interamente cristianizzato.

        In soli tre anni, tra il 711 ed il 714, gli arabi musulmani del califfato Omeya di Damasco occupano la penisola iberica provenendo da Sud. I cristiani vengono respinti verso nord e lì si attesteranno in piccoli regni situati in posti strategici sulle montagne della cordigliera Cantabrica e dei Pirenei. Nel 756 gli Omayyaddi di Spagna si rendono indipendenti da Damasco e costituiscono il Califfato di Cordova. Questo Califfato si manterrà fino al 1031 per poi smembrarsi in tanti piccoli regni (taifas). A questa data la penisola contava al Nord i regni cristiani di León, Navarra, Aragón, Cataluña (circa un terzo del territorio) una striscia di terra di nessuno divideva questi piccoli regni dai taifas arabi costituenti la regione di ‘Al Andalus’. La debolezza militare araba permette l’avvio, nel 1045, della Riconquista che si concluderà nel 1492. Da sottolineare la conquista cristiana di Toledo del 1085, il formarsi al Nord di tre stati cristiani sempre più grandi ed aggressivi (Portogallo, Castiglia, Aragona e il piccolo Navarra). Dalla metà del XIII secolo il regno di Granada è tutto ciò che resta di arabo nella penisola. Nel 1469 Isabella I di Castiglia sposa Fernando II di Aragona dando inizio alla prima convergenza di regni ispani che in poco tempo occuperà tutta la penisola ed inizierà una impetuosa espansione in altri territori. Nel 1492 cade il regno di Granada, compiendosi il disegno di Fernando e Isabella: unificare i popoli di Spagna in nome della cristianità contro gli invasori arabi. La Crociata è portata a termine vittoriosamente e Papa Alessandro VI Borgia concede ai Re di Spagna il titolo di ‘Re Cattolici‘ (1494).

La penisola iberica nel 1492

LA SCIENZA ARABA, LA COOPERAZIONE, L’INTOLLERANZA

        Dall’auge della Scienza greca si era passati, nell’era di Roma, conservando ma non creando; solo tecnologia imponente (strade, acquedotti, fogne, edifici, cupole, …) e opere di compilazione.

        Con la Caduta dell’Impero Romano d’Occidente tutto decadde, la tecnologia ed anche la compilazione. Non si conoscevano più né Aristotele, né Euclide, né Pitagora, né Archimede, … si era ripiombati nell’oscurità più completa.

        Diverso è ciò che accadde nell’Impero Romano d’0riente. Lì non vi furono scorrerie di barbari e di cristiani (almeno per un certo tempo). Gli antichi testi greci che in Occidente andavano perduti o bruciati in quanto pagani, in alcuni luoghi d’0riente erano conservati. E fu lì che arabi musulmani vennero in contatto con questi testi, li tradussero (prima in siriaco poi in arabo), li conservarono, ne trassero insegnamenti per elaborazioni che fondevano anche scienza indiana e persiana. Fu questo prezioso patrimonio che in lingua araba arrivò in Spagna a partire dall’VIII secolo. In un ambiente di tolleranza, queste conoscenze furono trasferite ai cristiani indigeni, ed ai moltissimi ebrei che vivevano nella penisola da epoche remote (con alterne vicende di accettazione e persecuzione sotto il dominio cristiano-visigoto e con la piena accettazione degli arabi musulmani per l’aiuto che gli stessi ebrei avevano fornito loro nella conquista di Spagna). Non vi furono persecuzioni di nessuno verso nessuno. Vi era una sorta di divisione del lavoro che vedeva gli arabi padroni di una agricoltura che con irrigazioni avanzatissime, con l’introduzione dell’arancio, del riso, del cotone, della canna da zucchero e di molte altre piante commestibili avevano reso molto fiorente, artefici di un artigianato tecnologicamente avanzato di articoli di lusso (pelli, tessuti, ceramica), ottimi commercianti; gli ebrei gestori di commercio, prestiti e finanza , mentre i cristiani erano il popolaccio, la forza lavoro in massima parte povera ed ignorante, costituita da discendenti dei visigoti, schiavi, slavi, schiavi liberati. I cristiani vedevano con grande ammirazione gli arabi per la loro cultura, raffinatezza ed addirittura per il suono della lingua e, spontaneamente, si convertivano alla religione musulmana diventando mozarabi (arabizzati). Con il passare degli anni cominciarono a nascere musulmani nella stessa Spagna (muladì) che andava pian piano arabizzandosi. Tutti vedevano crescere il livello materiale della loro vita. La stessa tradizione di Isidoro venne abbandonata. Non vi erano momenti della precedente dominazione cristiano-visigota di cui andar orgogliosi. Gli stessi cristiani riconoscevano in svariati scritti la loro ignoranza rispetto allo splendore della cultura araba.

        Il secolo XI, dopo che Toledo tornò in mano cristiana, fu il momento dell’incontro tra il crogiuolo del mondo arabo ed una armata cristiana povera ed integralista. I conquistatori cristiani ogni volta che entravano in una nuova città araba non facevano altro che descriverne le meraviglie, lo splendore economico, l’organizzazione civile, la tecnologia, la produzione letteraria e scientifica. La regione di Al Andalus diventò il punto di incontro delle relazioni tra arabi e cristiani. Gli ebrei iniziarono un lavoro di intermediari e traduttori. Finalmente si ebbe accesso, oltre che a fonti arabe, a testi greci ed anche latini. Per moltissimi anni, fino alla fine del secolo XII, vi fu armonia e gli scambi a senso unico furono enormi. Toledo divenne un centro di traduzioni verso cui da tutta Europa le persone ‘colte’ correvano per leggere, tradurre, studiare le grandi opere dei greci che riemergevano possenti. Perché però, queste opere fossero conosciute nelle nascenti Università occorreva che fossero tradotte in latino. E per arrivare a questo spesso si passava per traduzioni diverse: dal greco originale l’opera era stata tradotta in siriaco, dal siriaco all’arabo, dall’arabo al castigliano e dal castigliano al latino. Lungo la strada svariati testi perdevano il loro significato originale. Alcune parole arabe descriventi oggetti non noti venivano semplicemente trascritte così come suonavano, senza che si capisse a cosa ci si riferiva (alcuni esempi: alcali, alambicco, sorbetto, canfora, nadir, zenit, azzurro, zero, cifra, algebra, algoritmo, liuto, albicocca, caffè, gelsomino, zafferano, ,..). Ed in questa opera paziente e possente occorre ricordare i nomi di Gherardo da Cremona, Platone da Tivoli, Adelardo di Bath, Guglielmo di Moerbeke, … Il caso di Gherardo da Cremona è illuminante dello spirito esistente. Egli si trovava in Sicilia dove esistevano degli originali greci e traduceva dal greco al latino. Viene a sapere da ciò che traduceva, dell’esistenza della grande opera di Tolomeo, l’Almagesto. Forse è in Spagna. Si reca a Toledo, la trova in arabo, studia accanitamente l’arabo e ci fornisce l’Almagesto in traduzione latina. In questo ambiente è aneddotico raccontare di qualche traduttore cristiano che, finita la traduzione, così appuntava in fondo al testo: ‘Fine, sia lode a Dio per il suo aiuto, e maledetto Maometto ed i suoi seguaci‘. Vi era anche un fronte di opposizione a questi testi ed era rappresentato in gran parte da cristiani spagnoli che infatti compaiono molto poco tra i nomi dei traduttori (di una qualche importanza c’è solo Giovanni da Siviglia).

    Osservano Hall e Boas:

E’ possibile che, se non fosse stato per i suoi traduttori, l’Europa non avrebbe mai potuto diventare consapevole della sua eredità intellettuale, sebbene questa possibilità fosse resa inverosimile dalla cristianizzazione dei barbari. Più plausibilmente l’Europa avrebbe potuto riscoprire il suo passato soltanto attraverso un graduale risveglio di interesse per i trascurati manoscritti greci e latini. Nei fatti, tuttavia, l’Europa era così profondamente indebitata con l’Islam per il contributo culturale arrecatole, che il Medio Evo mai si formò un’immagine completamente indipendente del pensiero antico. Lo specchio tenuto da Avicenna, Rhazes al-Biruni, al-Kwarizmi, e molti altri ancora, tramite il quale lo splendore della scienza greca venne riflesso verso il Medio Evo, era in gran parte veritiero, ma vi furono alcune cose che eliminò, altre delle quali cambiò i caratteri. L’Europa trovò in quello specchio il suo passato, e si mise al lavoro per comprenderlo, assimilarlo e sistematizzarlo.

        Gli arabi non si limitarono solo a trasferire le conoscenze del mondo greco, indiano e persiano, elaborarono anche dei commentari che spiegavano, precisavano e discutevano quelle conoscenze. I contributi arabi più grandi si ebbero nei campi dell’alchimia, della magia e dell’astrologia e, per quel che riguarda l’Occidente, il trasferimento ad esso del sistema indiano della numerazione di posizione con l’introduzione dello zero. È nell’epoca di Abd al-Rahman II (circa 850) che appare per la prima volta in Occidente questo sistema di numerazione; esso fu ripreso dall’ebreo spagnolo Rabbi ben Ezra nel XII secolo ma la cosa non ebbe maggior trascendenza fino a quando – XIII secolo – il pisano Leonardo Fibonacci al seguito di suo padre mercante, non lo apprese direttamente in Africa e lo fece conoscere all’Occidente nel suo Liber Abaci del 1202 .

        Anche gli strumenti di osservazione furono creati e perfezionati. Con tali strumenti si compilarono tavole astronomiche via via più accurate per uso nautico ed astrologico (importanti le Tavole toledane di al-Zarqali dell’ XI secolo, sostituite nel XIII secolo dalle Tavole alfonsine realizzate, sotto la direzione del re di Castiglia Alfonso X detto il Saggio, da astronomi arabi, ebrei e cristiani – queste ultime restarono in uso fino al XVI secolo). Altri strumenti come il quadrante, l’astrolabio, la balestrina furono di grande importanza per la navigazione e quindi per la realizzazione di carte nautiche. Questi strumenti venivano poi materialmente realizzati nella penisola iberica costituendo quel patrimonio di artigianato avanzato che la Spagna araba possedeva.

        Vi furono anche dei pensatori originali. Basti ricordare Avempace (Ibn Bajja) che scrisse una importante critica all’opera di Aristotele, critica che sarà poi ripresa da Averroé (Ibn Rusd) e dall’ebreo ispano Mosé Maimonide (XII secolo) e passerà poi al resto dell’Occidente influenzando l’intera opera di San Tommaso (XIII secolo).

     A partire dal XIII secolo, i cristiani della penisola non seppero continuare lo sviluppo logico che aveva implicito in sé la brillante civiltà arabo-andalusa. Ma furono invece capaci, aggiungo io, di distruggere e disperdere i 400.000 volumi della biblioteca di Cordova (1236) ed i 600.000 di quella di Granada (furono salvati solo alcuni testi di medicina).

      Per quel che a noi più interessa, intorno alla metà del XII secolo erano entrate in Europa, tradotte, svariate opere di logica di Aristotele, gli Elementi, l’Ottica e la Catottrica di Euclide, un’opera attribuita ad Euclide, De ponderoso et levi, che s’occupava di peso specifico, leve e bilance, oltre alla Pneumatica di Erone. Verso la fine del secolo videro la traduzione le principali opere di Tolomeo, la Fisica, la Metafisica ed il De Coelo di Aristotele. Una cinquantina d’anni dopo, intorno alla metà del XIII secolo, quasi tutto il corpo delle principali opere dei classici greci era stato tradotto in latino. Alcune opere già iniziavano a vedere la luce nelle lingue volgari. Le opere che probabilmente ebbero una influenza maggiore per rappresentare una visione complessiva ed armonica del sapere, furono quelle di Aristotele.
        Vi erano stati apporti originali arabi ? Certamente si, ma non in campo astronomico, se si eccettuano le numerosissime osservazioni che andarono ad aggiungersi a tutte le precedenti, le nuove tavole che furono prodotte ed il perfezionamento degli strumenti di osservazione. Soprattutto nell’ottica e nel conseguente studio della prospettiva vi furono importanti contributi arabi che andarono ben al di là dei lavori di Euclide, Erone e Tolomeo. Ma il maggior contributo all’Occidente cristiano venne nel campo della matematica dove gli arabi trasferirono, aggiustando e modificando, dall’India all’Europa, un prezioso corpo di conoscenze di algebra, di aritmetica e soprattutto il sistema numerale che, per la prima volta, conteneva lo zero e permetteva di scrivere qualunque numero per semplice combinazione di 10 cifre. Solo chi non conosce l’enorme difficoltà che presentava la numerazione greca, appena un poco alleviata da quella romana, non rimane colpito da questa rivoluzionaria innovazione.
        Ultimi ed importanti contributi arabi vi furono nei campi dell’alchimia, della magia e dell’astrologia.

LA TECNICA E L’ARTIGIANATO NELL’EUROPA MEDIOEVALE


        La prima osservazione è relativa al fatto che, nonostante quanto già detto in proposito, la base più solida per lo sviluppo della tecnica fu il riconoscimento, almeno a parole, fatto dal Cristianesimo, della dignità dell’uomo.
        Dopo la caduta dell’Impero romano (476) alcune tra le più elevate espressioni della civiltà decaddero.  L’arte, la letteratura, la filosofia, qualunque elaborazione teorica vennero meno e per molto tempo furono dimenticate. Occorre però osservare che queste attività erano comunque per poche persone anche se il grado di evoluzione di determinate attività del pensiero dell’uomo sono strettamente connesse con il grado di sviluppo economico e sociale di una società, quantomeno per la possibilità che la produzione di cibo permetta di alimentare un surplus di persone dedicate ad attività non immediatamente produttive. Le città che restano in piedi si vanno spopolando; le terre coltivate  ed una volta fertili sono invase da paludi, fiere  e sterpaglie; le strade spariscono tra la vegetazione e a causa di distruzioni; la ricerca di cibo fa migrare la gente verso le campagne. Il tutto è fortemente aggravato dalla guerra che continua ovunque (quella greco-gotica del VI secolo, secondo Procopio, ridusse ad un terzo la popolazione dell’Italia), dalle pestilenze e dalla fame. Abbiamo già visto la situazione della schiavitù: essa va scomparendo perché costa troppo. Anche le opere, soprattutto acquedotti e sistemi fognari, costruite in momenti di auge dell’Impero senza la necessaria manutenzione vanno decadendo. Gli strumenti per procurarsi i beni materiali non sono avanzati di molto tecnicamente addirittura da un paio di millenni (fusione dei metalli per produrre utensili, applicazione dell’energia animale ad alcune macchine ed in definitiva per produrre energia, l’uso dell’energia idraulica). Le grandi città non possono più essere rifornite di cibo con gli apporti delle province dell’Impero anche perché, dal VII secolo, le conquiste dell’Islam tolsero terreni fertili (Africa del Nord, Spagna, Sicilia, Baleari e dominio sul Mediterraneo) che procacciavano prima alimenti. La necessità di procurarsi cibo, da un lato spopola le città e dall’altro allontana persone da attività artigianali evolute. Anche l’esigenza di costruire nuovi templi non stimolò più di tanto l’edilizia perché si scelse la via della distruzione, utilizzazione e/o spoliazione di quelli preesistenti. Ma, a detta di alcuni studiosi (Lilley), quella delineata è proprio la base su cui si innesteranno quella serie di innovazioni e ritrovati che costituiranno la vita e le fondamenta del mondo moderno. E’ comunque necessario passare attraverso un iniziale arretramento ed a forme di vita più primitive. Organizzarsi in piccole unità autosufficienti, come i feudi. Dentro le quali si crea una nuova organizzazione sociale in cui le condizioni del lavoratore  risultano più elevate e con meno intermediari che nel mondo classico. Ciò portò a crisi produttive che si risolsero solo attraverso l’introduzione di tecniche che in definitiva servivano al procacciamento di energia (acqua e vento).

Dal V al X secolo

            La principale innovazione tecnologica che comporterà una grossa rivoluzione nella quantità di cibo che si può produrre è l’introduzione dell’aratro pesante a ruote che sostituisce quello romano leggero da spalla. Questo aratro con

Nella figura a sinistra un tiro dell’aratro fatto da due uomini. Questo sistema si perfezionò con il tiro di un solo uomo che aveva l’aratro attaccato al corpo tramite una cinghia trasversale sul busto. Nella figura a destra il tiro è da buoi, mediante il giogo che li tiene allineati (vedi figura in basso). Si deve notare che il tiro è efficiente solo se, in contemporanea, vi è una sufficiente pressione sull’aratro per spingere la lama verso il basso.

la sua lama scava più a fondo andando a rimuovere zolle vergini dove è più efficace il ciclo dell’azoto. Questo aratro poneva però  problemi di ‘tiro’ che

vennero risolti con l’introduzione del collare da spalla per la bardatura dei cavalli (in sostituzione di quello da gola che strozzava l’animale sempre più quanto più doveva fare sforzi). Come processi collegati vengono: la  bardatura in fila, la

Con questa nuova bardatura, applicata all’aratro, è possibile tirare carri pesanti con ruote, la pesantezza è quella che garantisce la profondità del solco. In figura si ha a anche a che fare con la bardatura in fila.

ferratura (che permette l’uso del cavallo in agricoltura) ed il giogo. Oltre a ciò l’agricoltura si avvantaggia di sistemi di irrigazione. Vengono quindi costruiti canali, ponti e mulini a marea (Venezia). Mentre si inizia ad usare la ruota ad

Una delle prime ruote alimentate dal flusso dell’acqua dal basso. Vennero poi introdotte le ruote ad acqua alimentate dall’alto (figura in basso).

acqua per la macina del grano. La produzione agricola permette che si inizi un moderato processo di migrazione dalle campagne verso le città.

XI secolo

            Si perfezionano i mulini ad acqua mentre iniziano ad entrare in funzione i primi mulini a vento. Lo sviluppo dei commerci accompagnò varie scoperte nel campo della navigazione: la bussola, il timone di poppa, lo scandaglio di

profondità, l’astrolabio. Gli archi diagonali ed a sesto acuto in architettura (fine del

Il romanico, intorno all’anno mille, inizia a trasformare gli archi a tutto sesto in archi ellittici e quindi a sesto acuto.

Con successive evoluzioni si arriverà al gotico che, per sostenersi …

Romanico) iniziarono a porre importanti problemi di statica. Si inizia a sviluppare una chimica pratica: coloranti, acido solforico, acido cloridrico, acido nitrico (per separare l’argento dall’oro): Si realizza la produzione di alcol mediante distillazione (l’alcol giocherà in seguito un suo piccolo ruolo

contro alcune teorie aristoteliche : è umido e caldo anziché umido e freddo). Dal punto di vista scientifico colpisce la completa ignoranza della matematica, anche per risolvere questioni elementari. Il nome di Euclide è sconosciuto, non vi è traccia del teorema di Pitagora. La geometria assume l’aspetto di un’arte per misurare che sa di empirico: tagliando e piegando dei pezzi di carta e facendo dei circoli con dei compassi si cercano delle relazioni tra lunghezze ed aree.

XII secolo

            La scienza naturale non viene considerata come un qualcosa che si faccia giorno dopo giorno. Essa è considerata come un qualcosa di già esistente o già esistito che si tratta, al massimo, da riscoprire. Il livello di conoscenze matematiche era poi a talmente basso livello che sarebbe stata impossibile la nascita e lo sviluppo di una fisica. Il problema è evidentemente di una interazione che ancora non nasce tra scienza e tecnica e , soprattutto, dal fatto che c’è un cattivo processo di trasmissione di conoscenze (l’acquisizione di un qualcosa da una parte non la si può comunicare da un’altra dove occorre ripetere gli stessi processi per tornare a trovare le stesse cose). Ma poi, in definitiva, il problema principale risiedeva nel fatto che, a quanto sembra, nessuno sente il bisogno di una scienza della natura. Mancava un qualunque approccio metodico, approccio che, dopo secoli di interruzione, occorreva reinventarsi daccapo, ripassando per una gran mole di errori e strade sbagliate. Ad esempio, uno dei portati platonici se da una parte indicava la matematica come frutto del solo pensiero (fatto questo che è una sola e pia illusione), dall’altra quasi estendeva lo stesso metodo a tutte le discipline, particolarmente alla fisica. Fu questa una idea, certamente sbagliata, che si fece strada nel corso del secolo che però, almeno, iniziava ad indicare un possibile metodo. Si cominciò così sulla base anche della logica aristotelica, a cercare una spiegazione di fatti particolari a partire da principi generali. Questo concetto, di spiegazione razionale, ebbe discreta fortuna soprattutto tra logici e filosofi il cui fine ultimo, comunque, non era quello di conoscere la natura ma di capire e spiegare alcuni problemi di logica aristotelica. Sulla scia quindi dei modelli platonici, neoplatonici e di Sant’Agostino, la matematica assurse a modello di scienza razionale e si affermò il concetto che i sensi ci ingannano e che solo la ragione può fornirci la verità. Fatto di notevole importanza fu l’introduzione (1150) fatta dai musulmani in Spagna della carta (di provenienza cinese e passata successivamente a Samarcanda, Baghdad, Egitto, Marocco)

XIII secolo

            È questo il secolo in cui si possono iniziare ad apprezzare vari avanzamenti su tutti i fronti. La tecnologia fornisce macchine e strumenti che sempre più permettono il passaggio verso forme di produzione sempre più avanzata. La quantità (e la diversità) dei prodotti sui mercati cresce. Le macchine che vengono utilizzate sono: il filatoio a ruota, la segheria a ruota

 idraulica, le fucine alimentate a mantici idraulici (con ciò si inizia a produrre ferro a buon mercato insieme ad alcune sue leghe come la ghisa). Vengono realizzati

gli occhiali per presbiti (che allungano la vita ‘produttiva’ delle persone) ed i primi

orologi meccanici (a pesi ed a ruota). Si importano metodi di produzione della carta (che può essere fabbricata in quantità utilizzando i grandi raccolti di lino). Si importa la polvere da sparo: Dal punto di vista architettonico ancora la statica fa dei passi avanti attraverso lo sviluppo del gotico (pilastri, archi rampanti, …). 

...ha bisogno di pilastri ed archi rampanti.

    Le carte nautiche vanno sempre più perfezionandosi. L’agricoltura che fornisce la materia prima per alimentarsi fa notevoli progressi attraverso la scoperta e la sistematica applicazione della concimazione (stabbio da bestiame che comincia ad essere allevato a complemento dell’agricoltura stessa. Altra importante innovazione fu quella della rotazione delle colture). Dal punto di vista più eminentemente culturale questo secolo registra alcuni fatti di notevole importanza: la fondazione e lo sviluppo delle Università, la riscoperta non episodica di Aristotele, l’attività di insegnamento degli ordini mendicanti. Questi fatti sono in stretta connessione con la nascita dei Comuni, con l’aumento della popolazione e con la maggiore disponibilità di beni. Ultimo elemento di grande interesse è il netto progresso della matematica che iniziò ad aprirsi in modo importante verso l’aritmetica e l’algebra (in questo risentendo molto dell’influsso arabo). Due furono i matematici di rilievo di questo periodo: Leonardo Fibonacci (che, fornendo metodi per la soluzione approssimata di equazioni fino al quarto grado, ci mostra l’intuizione del continuo) il quale introdusse per la prima volta in Europa ed in latino il sistema numerale posizionale arabo-indiano (con l’introduzione rivoluzionaria dello zero); Giordano Nemorario che lavorò su svariate questioni di aritmetica, algebra e geometria, occupandosi anche delle proprietà delle proiezioni stereografiche (di enorme utilità per il disegno di carte geografiche). È utile qui osservare che, se da una parte dietro questi matematici si intravede l’opera riscoperta di Euclide, Erone, gli arabi e, l’allora completamente sconosciuto in Occidente, Diofanto, dall’altra c’è l’evidente originalità di approcci totalmente differenti, a volte vicini a problemi che sorgevano dalla vita sociale.

XIV secolo

            Le cose vanno moltiplicandosi a valanga. Cresce la veleggiatura e conseguentemente la stazza delle navi. Vengono sviluppati i filatoi con ruota a pedale. Si realizzano le prime chiuse in opere idrauliche al fine di regolare l’afflusso di acqua alle varie macchine ormai funzionanti ad energia idraulica e, soprattutto, per non dipendere dalle secche o dalle piene. Si costruiscono delle segherie idrauliche. Si inventa la pialla e si perfeziona la polvere da sparo (con l’aggiunta al salnitro di carbone e zolfo). Gli orologi hanno un grande sviluppo. Viene inventato il mortaio. Ma la cosa che ha maggior interesse per l’Italia (poiché in pratica finanzierà il Rinascimento ed il Barocco) è la fioritura di imprese finanziarie e mercantili che comportarono la nascita delle banche e delle imprese di trasporto. Come sottoprodotti nascevano: le cambiali, la partita doppia (Venezia), la statistica e le mediazioni. Nasce poi in Italia, prima a Napoli poi a Modena, una fiorente industria dei liquori. La scienza per parte sua marciava in gran parte all’interno di istituzioni dirette da ecclesiastici e si sviluppò essenzialmente intorno a questioni filosofiche strettamente connesse a questioni teologiche (che rapporto c’è tra la cosmologia cristiana dominata dalla rivelazione e la cosmologia della scienza razionale dominata dalla cosmologia aristotelica?).

XV secolo

            La cosa di gran lunga più importante fu la diffusione della stampa e del torchio. In particolare l’invenzione della stampa a caratteri mobili (Gutenberg, 1450). La Bibbia, prima opera stampata, si diffonde rapidamente ed aiuterà molto sulla strada della Riforma. È questo il secolo dei progetti e dei congegni di Leonardo (che però non ebbero ulteriori implicazioni in quanto fatti privati e mai pubblicizzati dallo scienziato). Si realizzarono i primi altiforni. Si inventò il congegno biella-manovella per la trasformazione del moto rotatorio in alternativo e viceversa. Si accoppiarono i mulini a vento alle pompe per il prosciugamento delle miniere. si cominciò a pensare al ‘brevetto’ di ritrovati ritenuti di una qualche utilità (ed ecco che si realizza la congiunzione vincente tra lavoro intellettuale, realizzazione pratica e guadagno). I primi brevetti furono realizzati a Firenze ed a Venezia. Si costruirono le prime società per azioni (Italia) ed ebbe un grande sviluppo la ragioneria. Per quel che più direttamente ci riguarda occorre sottolineare che l’invenzione della stampa rese disponibili le principali opere tradotte od originali fino ad allora prodotte. Ciò dimostra quindi che doveva esservi una relativamente grande richiesta di tali opere. Si iniziò addirittura la pubblicazione di Opera Omnia accompagnata da commenti e critiche.

XVI secolo

            Solo qualche cenno poiché molte delle cose qui realizzate saranno riviste quando ci occuperemo delle persone che vi lavorarono. Da un punto di vista tecnologico le più importanti realizzazioni sono: termometro, igrometro, miscele frigorifere, orologi tascabili, matita, macchine per tessuti a maglia, seminatrice automatica, processo moderno per la fabbricazione degli specchi, prima distribuzione capillare dell’acqua in varie città mediante acquedotti (con i conseguenti problemi connessi all’idraulica ed alla pressione, anche dell’aria). Nasce inoltre la posta a corrieri (Italia), le prime industrie di merletti e di cioccolata (Italia). Si iniziano a fabbricare calzemaglie (Spagna) e saponi profumati (Napoli, Bologna). Si riesce a mettere mano alla Riforma del Calendario (1582) e nasce il primo istituto di ricerca (Napoli, 1560). Per la prima volta si riesce ad intravedere una stretta dialettica tra prodotti tecnici ed elaborazione scientifica. Per parte sua, con la Scuola di Bologna, la matematica si affranca dalla richiesta di soluzioni pratiche affermandosi come matematica pura.

CORRENTI FILOSOFICHE E SCIENTIFICHE SUL FINIRE DEL MEDIOEVO E NEL PERIODO DELL’UMANESIMO  

            Nonostante già si conoscessero alcune opere di Aristotele, l’intero corpo dei suoi lavori, che rende ben conto della complessità, globalità e sistematicità del suo pensiero, viene conosciuto nel corso del XII secolo. È il primo sistema che abbraccia nel suo complesso tute le branche del pensiero e della conoscenza. Il fascino che l’aristotelismo iniziò ad esercitare fu enorme. Anche tra i cristiani (particolarmente quando gli ‘scolastici’ conobbero la Metafisica di Aristotele) sorse un forte moto di ammirazione: il sistema aristotelico poteva rappresentare il complemento filosofico, ciò che la Chiesa aveva sempre cercato, al Cristianesimo stesso, un corpo di dottrine che avrebbe finalmente nobilitato culturalmente il Cristianesimo (che fino ad allora oltre alla povera ed “incolta” Bibbia, si era affidato alle pie ma parziali visioni di Platone e dei neoplatonici). Sfortunatamente in Aristotele, più che in Platone, mancava l’idea di Dio. Questo fu il motivo per cui l’aristotelismo ebbe alterne vicende durante il 1200. Intanto già nel 1169, il Concilio di Tours aveva vietato ai monaci di leggere i pericolosi testi di fisica. Nel 1210, il Concilio provinciale di Parigi vieta l’insegnamento delle dottrine aristoteliche. E non è che queste cose non avessero peso. Ormai le Università non erano più le libere Università del loro nascere; vista la loro crescente importanza queste, con il beneplacito ed il sostegno delle varie case regnanti, erano ormai passate tutte sotto il controllo diretto della Chiesa (principalmente francescani e domenicani erano tra i gestori di queste istituzioni): I divieti di insegnamento o le condanne avevano effetti immediati sulla diffusione, ai livelli culturali più elevati, delle dottrine di Aristotele e degli aristotelici. Inoltre, proprio all’inizio del XIII secolo cominciarono a diffondersi per l’Europa svariati movimenti religiosi giudicati eretici dalla Chiesa. Tra questi i principali erano: i Catari (Albigesi, Manichei, Patarini, …) ed i Valdesi. Nel 1209 una ‘crociata’ contro gli Albigesi si era conclusa con orrendi massacri. Ma l’aspetto più importante di ciò è che nel 1233 Gregorio IX fondò il Tribunale dell’Inquisizione che nel 1235 venne affidato come ‘privilegio’ ai domenicani e poi esteso ai francescani. Si iniziò subito con la pratica della tortura che fu ufficialmente autorizzata e riconfermata da Innocenzo IV (1252), Alessandro IV (1259), Clemente IV (1265). Ebbene, in questo clima, si susseguirono altre condanne ad Aristotele: dapprima si espresse in proposito il Concilio lateranense del 1215 (con Innocenzo III), quindi la cosa fu riaffermata da Onorio III e da Gregorio IX (1231), infine, qualche anno dopo, da Urbano IV. Ancora nel 1277 sia il vescovo di Parigi E. Tempier che quello di Canterbury condannarono ben 219 proposizioni tratte dall’opera di Aristotele e dagli aristotelici (essenzialmente Averroè). Il contrasto tra aristotelismo e Cristianesimo (insignificanza del posto di Dio, eternità del mondo con conseguente negazione della Creazione, inesistenza del libero arbitrio in un mondo dominato dal movimento delle sfere celesti, la non immortalità dell’anima, il rigido determinismo, …) fu appianato da S. Tommaso (che meriterà una qualche attenzione per il ruolo che avrà in seguito).

     Abbiamo quindi visto le due poderose correnti di pensiero che, con alterne vicende, andavano facendosi strada durante il Quattrocento ed il Cinquecento: il platonismo e l’aristotelismo. Abbiamo anche osservato che parlare di queste due correnti di pensiero non vuol dire necessariamente riferirsi agli autori originali. Con i tempi totalmente cambiati anche le strutture di pensiero cambiano radicalmente. C’è inoltre da osservare che la scoperta dei lavori di Archimede si inseriva come un cuneo o, meglio, come un’oasi di libero pensiero nella morsa Platone-Aristotele che, tra l’altro, implicava concezioni metafisiche che, a volte, potevano essere a volte non condivisibili e che, sempre, andavano a sostegno del potere costituito. Ebbene, manca qui una corrente di pensiero originale che va affermandosi in Italia durante il Cinquecento. Si tratta della filosofia della natura i cui maggiori esponenti furono: Giordano Bruno, Bernardino Telesio, Francesco Patrizi, Tommaso Campanella. Grande rispetto e venerazione per tutti i classici e ripulsa, non tanto verso Aristotele quanto, verso il dogmatismo degli aristotelici, e quanto verso il loro rappresentare la conservazione, lo status quo, il mantenimento dei privilegi. Questi grandi maestri sono certamente dei simboli del libero pensiero in un libero Stato. Rappresentano l’ideale traslato al Comune della Polis greca. Rappresentano un ideale di emancipazione, di giustizia e di Stato moderno. I classici sono sempre presenti, servono da stimolo ma, come sosterrà Marsilio Ficino (fondatore dell’Accademia Platonica di Firenze ), quell’imitare è un creare, è un ritrovare alle fonti la complessa natura. Ma ciò che in fondo colpiva era il fatto che lo Stato giusto è lo Stato razionale, la possibilità di raggiungere il vivere in pace attraverso un ordine che sia in grado, in sé, di superare tutte le divergenze. Eppure la nuova scienza e tutto ciò che le dà vero alimento non trae la sua spinta principale dalla riscoperta di testi antichi o dalla reazione antiaristotelica. Per convincersi di ciò basti solo pensare che il rinnovamento della fisiologia avviene proprio in ambienti aristotelici là dove si innesta la novità della sperimentazione. Insomma, come ormai concordano quasi tutti gli autori, il Rinascimento è possibile più per la miriade di artigiani, medici, architetti, costruttori, inventori che si sono succeduti negli ultimi tre o quattro secoli che non dalla pur importante riscoperta dei classici. Certo che occorre fare i conti con l’acido e assolutamente interessato giudizio sciovinista di Koyré che afferma: “l’ideale di civiltà dell’epoca che giustamente si chiama Rinascimento delle lettere e delle arti, non è in nessun modo un ideale di scienza, ma un ideale di retorica”. Certo è che se ancora ci riferiamo ai filosofi della natura c’è almeno un elemento che li separa da quella che nel secolo successivo diventerà scienza, il fatto che anche il soggetto, l’individuo, ha una parte di rilievo nella conoscenza del mondo esterno. In questo i filosofi della natura sono più vicini a Platone ma non tutti sono platonici. Essi sono di più tesi verso il mondo dei presocratici, degli antichi filosofi ionici (alla fine del secolo XV, comunque, il platonismo cominciò a crescere, ad esempio, a Firenze dove si imponeva anche per motivi “nazionalisti”, poiché in fondo l’aristotelismo veniva importato da Oxford e da Parigi). Portano con loro delle forti componenti ermetiche e legate al corpuscolarismo democriteo e l’influenza sempre crescente di quest’ultimo ebbe il grande merito di separare sempre di più gli ambiti della scienza da quelli della magia. Ma dicevamo della rinascita del platonismo sul finire del Quattrocento. Da un lato l’aristotelismo si era arroccato in due zone specifiche di stretta conservazione e competenza: la logica e la filosofia della natura: ciò propiziò una coesistenza col pensiero platonico che nel frattempo si era arricchito di nuovi testi (i Dialoghi) e che rivendicava per sé quella della metafisica e della teologia nelle mediazioni neoplatoniche. E, tanto per affermare di nuovo che vi fu rottura rispetto al portato dell’antichità classica, è utile notare che la polemica fu portata non da addetti alle suddette discipline ma da matematici, ottici, medici, architetti, … In definitiva due aspetti caratterizzavano la rivoluzione del Cinquecento e del Seicento: da una parte il riconoscimento della necessità di ‘sporcarsi le mani’, di toccare la natura, magari attraverso la tecnica, di misurare, di ripetere i procedimenti che non fanno più parte di un gioco ma servono per sopravvivere, dall’altra parte, proprio questo approccio più metodico richiedeva metodi quantitativi più precisi ed affidabili, insomma serviva una matematica. Tutto questo rappresenta, visto con i nostri occhi, il bisogno di saldare le due principali tradizioni, l’aristotelica e la platonica. La difficoltà nasceva però non già dai procedimenti eventualmente scelti come approccio ai fatti naturali, ma nel fatto che dietro l’aristotelismo od il platonismo non vi erano né Aristotele né Platone ma la metafisica, il dogma, le guerre di religione, il mantenimento di privilegi e, in definitiva, il potere. Si capisce quindi che i rami della scienza che ebbero gli sviluppi più clamorosi furono proprio quelli in cui i processi di misura entrarono più massicciamente: Insomma i dati osservativi di Aristotele, di Platone o di Galileo sono gli stessi. Cambia il modo di interpretare le stesse cose: Occorre ora andare oltre la spiegazione ingenua, nasce l’uomo teorico. Da questo momento non è più il dato osservativo in sé che gioca un ruolo importante ma è l’interpretazione non ingenua della realtà che fa nascere e crescere il nuovo mondo. Mondo che è in marcia, come studieremo nel seguito di questo lavoro.

ALCUNE CONSIDERAZIONI

            Tutte queste innovazioni tecniche modificarono profondamente la vita civile in Europa e comportarono la liberazione di molti uomini dal bruto lavoro fisico. Il cibo veniva prodotto in eccedenza: ciò permise lo sviluppo delle città, delle arti, dei commerci, delle cattedrali, delle Università (ma anche delle Crociate). Conseguenza più o meno diretta fu lo sviluppo della scienza:

– la farmacologia e l’agricoltura portarono alla botanica;

– la medicina portò all’anatomia e alla fisiologia;

– la ricerca mineraria portò alla mineralogia ed alla geologia;

– la vetraria portò all’ottica;

– l’architettura permise la nascita di una nuova statica;

– l’artiglieria fornì importanti contributi alla cinematica ed alla dinamica;

– tra il Quattrocento ed il Cinquecento i portati della tecnica nei campi della meccanica e dell’architettura civile e militare fecero riconoscere nella matematica uno strumento indispensabile (e di questo parleremo nel seguito di questo lavoro).

            Verso la fine del Medioevo la borghesia delle città acquista una potenza considerevole. Essa ha sviluppato una notevole quantità di attività nell’ambito dei commerci, dell’artigianato e della finanza. Ha messo in piedi una fittissima rete di attività commerciali e, soprattutto, ha preso coscienza di sé. La lungimiranza di alcuni di questi artigiani permise il passaggio da un modo di produzione meramente empirico ad un modo più perfezionato, in cui i processi di misura e di ripetitività di un dato oggetto fossero via via più perfezionati. Inizia così, in Italia, un embrione di coscienza scientifica che nulla ha a che vedere con la tradizione classica. E lo spirito scientifico via via diventa consapevole di sé e si emancipa dalla mera applicazione tecnica. È ancora la borghesia nascente che aiuta questi processi. È il mondo ecclesiastico e religioso (insieme a quello dei nobili, ugualmente parassitario) che rappresenta un impedimento al pieno realizzarsi delle aspirazioni borghesi. Per questo agli ideali di nobiltà e clero ed ai loro pensatori si inizia a contrapporre uno spirito laico e quindi altri pensatori. Quali? Ma quelli che hanno rappresentato il massimo dello splendore del passato nel massimo dello splendore delle città della Grecia classica. Come osserva Federico Enriques, l’abito scientifico sorge nel comune italiano come era sorto nella città greca, dalla contemplazione della natura, concepita come una grande opera d’arte. E questo è il motivo per cui è inscindibile il momento della crescita della scienza da quello della produzione artistica nell’Italia del Rinascimento e del Barocco. La natura: con numeri, proporzioni ed armonia. È ciò che ritroviamo in tutti i grandi artisti dell’epoca che, insieme, furono matematici e scienziati. Quindi progresso tecnico, nascita della borghesia, disponibilità economiche, riconquista della natura e studio di essa. Da tutto ciò anche la città riceve grossi impulsi e cresce non solo in bellezza ma anche come motore di progresso (si costruiscono delle tavole comparative di pesi, di misure e di diverse monete, si tracciano piante e carte geografiche sempre più attendibili perché sempre più affidate a strumenti perfezionati. Si ricordi che questa è l’epoca dei grandi viaggi).

Nella Parte II del lavoro prenderò in considerazione tutti i contributi scientifici di rilievo, arabi e non, che si sono avuti tra il V ed il XV secolo.

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NOTE


(1) Per completezza devo ricordare che a Roma la biblioteca più importante fu quella di un privato, di Lucio Licinio Lucullo (morì nel 56 a.C.) I suoi libri provenivano dall’Oriente. La prima biblioteca pubblica si realizzò nel 37 a.C. a Roma nell’Atrium Libertatis per opera di Caio Asinio Pollione. A questa se ne aggiunsero altre due per interessamento di Cesare e di Augusto, la prima nel Campo di Marte e la seconda nel Campidoglio (28 a.C.). Si sa molto poco di queste biblioteche, ad esempio che i libri greci erano separati dai latini.. La loro importanza era evidentemente molto limitata.

(2) La scienza propriamente detta a Roma soffriva della mancanza, come in Grecia, di un sistema rappresentativo dei numeri che permettesse avanzamenti importanti. A parte avanzamenti in medicina furono realizzati alcuni strumenti di misura (come la groma in uso tra gli agrimensori) ed una importante riforma del calendario.

Una groma nella ricostruzione di Matteo della Corte da alcuni resti trovati a Pompei. Lo strumento è costituito da due aste perpendicolari tra loro e sospese su un sostegno verticale. Alle estremità di tali aste pendono dei fili a piombo. Mentre la prima asta serviva per guardare nella direzione scelta, la seconda permetteva di determinare la direzione perpendicolare ad essa (di grande uso nell’urbanistica).

(3) L’evoluzione della questione ‘schiavitù’ merita una qualche attenzione. A partire dal IX secolo, gli schiavi non rappresentano più un fatto economico di primo piano. Il padrone di schiavi poteva operare in due modi diversi rispetto a loro: poteva utilizzarli né più né meno come animali pretendendo da loro il massimo di lavoro in cambio del solo sostentamento; poteva farli in qualche modo ‘compartecipi’ di un qualche beneficio. Il primo modo di operare è solo apparentemente il più redditizio. Da un certo punto in poi, il deperimento della materia prima gli fa perdere valore sul mercato e, a fronte di un profitto immediato, si è distrutta la macchina. Si aggiunga poi che lo schiavo é (per fortuna) un cattivo lavoratore che non cura gli interessi del padrone. Come già detto la merce deperisce ed i tempi per la sostituzione con i figli sono lunghi e costosi (si pensi alla lunga gestazione ed a tutto il tempo in cui il piccolo schiavo non è autonomo). La cosa può funzionare solo su grandi numeri, quando c’è una continua alternanza nel ricambio, ma quando la disponibilità di merce sul mercato decresce, allora occorre pensare alla seconda soluzione prima accennata. Il grande proprietario iniziò quindi a rendere minimamente compartecipe lo schiavo degli utili: lasciava, ad esempio, una parte del suo fondo ad uno schiavo. Con questa parte di fondo lo schiavo doveva mantenere se stesso e la sua famiglia, in cambio doveva coltivare la parte rimanente del fondo. Pian piano,visto che la cosa era molto produttiva, si passò dalla schiavitù alla servitù; lo schiavo iniziò sempre più a passare alla categoria di servo. Il padrone guadagnava di più, lo stato giuridico dello schiavo sembrava migliorato, in realtà non era cambiato in nulla. Successivamente lo schiavo poteva ‘affrancare’ il suo terreno e quindi andare a situazioni di sempre maggiore emancipazione. Si pensi solo che ancora oggi i contadini che lavorano in grandi latifondi (soprattutto in Spagna) stanno tentando di ottenere l’affranco di terre che lavorano da centinaia d’anni.
 

(4) Il grande impegno dei primi ordini monastici sulla dignità del lavoro fu ridimensionato dalle gerarchie ecclesiastiche. In particolare, nel secolo XIII, Tommaso d’Aquino sosteneva che “se le regole dell’ordine non contengono particolari norme sul lavoro manuale, i religiosi non sono altrimenti obbligati ad esso“.
Riguardo all’opera di raccolta, conservazione, compilazione e traduzione di svariate opere di classici greci, occorre ricordare l’opera di Cassiodoro che fondò a Vivarium, in Calabria, un apposito convento (VI secolo).

Con il passare degli anni anche questi ordini monastici passarono al puro conservatorismo. Si pensi solo che ai francescani fu concesso il privilegio dell’Inquisizione insieme ai domenicani.

(5) L’elenco dettagliato delle opere e dell’epoca in cui comparvero le loro principali traduzione si trova in: A.C. Crombie – Da S. Agostino a Galileo – Feltrinelli 1970; pagg. 45-51. Si possono trovare anche in fondo all’articolo, pubblicato su Fisica/mente: Roberto Renzetti – Preludio alla scienza: Egitto e Mesopotamia.

(6)Nel 1567, in piena Controriforma, Papa Pio V dichiarò Tommaso Dottore della Chiesa affiancandolo ad Ambrogio, Agostino, Gerolamo e Gregorio Magno. Da questo momento le dottrine tomistico-aristoteliche diventarono ufficialmente leggi della Chiesa. Fu così che Aristotele iniziò ad essere considerato addirittura un ‘precursore di Cristo nelle cose naturali’ e quindi ad essere considerato una indiscutibile autorità nelle cose filosofiche, scientifiche e teologiche. A partire dal 1879 un’ordinanza di Papa Leone XIII rese obbligatorio l’insegnamento del suo sistema (quello “vero”) in tutte le scuole cattoliche.


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42 – Ahmed Djebbar – Storia della scienza araba – Raffaello Cortina 2002

43 – Massimo L. Salvadori (coordinata da) – La storia: dall’Impero Romano a Carlo Magno – UTET 2004

44 – Roberto Renzetti – Le cause del mancato sviluppo della scienza in Spagna. L’abbraccio mortale tra Stato e Chiesa  – su Sapere, dicembre 1999

45 – Charles Singer – Breve storia del pensiero scientifico – Einaudi 1961

46 – A.R. Hall, M. Boas Hall – Storia della scienza – il Mulino 1979

Roberto Renzetti

LO SFONDO SOCIO ECONOMICO

    Ho già parlato nell’articolo precedente delle vicende storiche che riguardano i regni ellenistici. Aggiungo alcuni riferimenti ed alcune considerazioni.

    Abbiamo visto che una prima data di discrimine nella politica culturale dei Tolomei che regnavano sull’Egitto, l’Africa del Nord ed il vicino Oriente fino alla Siria, è il 146 a.C.. Due eventi simultanei iniziarono a minare il regno dei Tolomei. Da una parte la sconfitta, il saccheggio e la distruzione di Cartagine da parte dell’esercito di Roma, dall’altra la sconfitta della Lega Achea (Peloponneso, Eubea, Locride, Focide, Beozia) che, due anni dopo la sottomissione della Macedonia, segna la sottomissione della Grecia a Roma. Tolomeo VIII Evergete II Fiscone un paio d’anni dopo e per ossequiare i romani, cacciò i greci da Alessandria e da ogni ruolo che occupavano nell’amministrazione. Ciò segnava la fine della politica culturale dei primi Tolomei che aveva puntato non solo sul denaro ma sul prestigio culturale e sull’integrazione dell’elemento indigeno con persone culturalmente molto elevate di provenienza straniera. Quella politica era stata vincente se fino alla conquista da parte di Augusto ed anche oltre, l’influenza del mondo alessandrino sul mondo romano, nella cultura, nel costume, nel gusto, nell’arte, era evidente. Ciò comportava teorie di navi che da Alessandria arrivavano ai vari porti che servivano Roma e quindi una florida economia sia produttiva che di intermediazione commerciale con l’Oriente. Roma aveva una qualche soggezione verso chi riconosceva evoluto ed accettava di  buon grado la sottomissione. Prova ne sono la concessione di grande autonomia ad Atene dopo la conquista della Grecia e ad Alessandria dopo la conquista del regno dei Tolomei. Dopo quel 146 le cose iniziarono a cambiare. Da una parte Roma non credeva di avere la forza per attaccare e conquistare quel regno, dall’altra a quel regno erano state sottratte tutte le zone di scambio e d’influenza. I commerci proseguivano floridi con Roma che appunto richiedeva quei prodotti raffinati e di gusto. Si dovettero rafforzare le rotte carovaniere con l’Arabia, il Sud e l’Oriente visto che l’Egeo ed il Mediterraneo risultavano ora non percorribili se non con direzione Roma. Ma con il passare del tempo si registrava un complessivo impoverimento. Lo Stato continuava a richiedere maggiori risorse per il suo mantenimento e l’economia complessiva non ce la faceva più a sostenerlo. Solo la crescita delle richieste di prodotti da Roma (tessuti in lana ed in lino, cosmetici, papiri, libri, vetreria, spezie, oltre a grandi quantitativi di cereali ed olio) e la favorevole posizione geografica di maggiore vicinanza con i porti italici sommata alla disponibilità di grandi navi da carico, permetteva la sopravvivenza di quel regno ormai circondato da territori conquistati dai romani.

    Questa situazione cambiò di nuovo nell’ultima metà del I secolo a.C.. Cesare, a seguito della guerra che lo aveva visto scontrarsi con Pompeo, si recò ad Alessandria nel 48 a.C., dove Pompeo si era recato dopo la sconfitta di Farsalo. Pompeo, per antichi favori fatti, contava nella protezione di Tolomeo XIII Dioniso, marito e fratello di Cleopatra VII Filopatore. Appena arrivato alla corte di Tolomeo, Pompeo fu decapitato e la sua testa venne data in omaggio a Cesare che non gradì. In quei giorni, comunque, Cesare si trovava presso la Biblioteca quando scoppiarono dei tumulti per la lotta fratricida tra Tolomeo e Cleopatra. Fu assediato dai sostenitori di Tolomeo perché intervenisse in suo favore. In tale occasione una parte della medesima biblioteca andò distrutta. Cesare riuscì a venirne fuori sconfiggendo Tolomeo e, dopo un interregno breve di Arsinoe IV, sorella di Cleopatra, imponendo al trono la ventenne Cleopatra che, tanto per non perdere l’abitudine, sposò l’altro fratello, Tolomeo XIV Filopatore.

    Dopo l’assassinio di Cesare nel 44, gli eventi si susseguirono rapidi, il potere passò ad Ottaviano, Marco Antonio si unì a Cleopatra, fino allo scontro di Ottaviano con Marco Antonio ad Azio, dove fu sconfitto nel 31 a.C. Da questo momento l’Egitto ed Alessandria divennero provincia di Roma con ulteriore perdita di autonomia anche se almeno formalmente fu garantita alla Biblioteca.

    In questa situazione, quando viene meno la motivazione di fondo, lo slancio dovuto all’entusiasmo per qualcosa che si vede crescere e produrre benefici, tutto decade, resta solo da aspettare la fine naturale che arriva quando gli ultimi maestri della straordinaria scuola di Alessandria saranno estinti. E quella scuola era così possente, così profondamente radicata che sopravviverà anche all’Impero Romano d’Occidente, ma non all’intolleranza della Chiesa di Roma.

    Gli ultimi grandi scienziati di tale scuola furono Claudio Tolomeo e Diofanto di Alessandria (di Erone di Alessandria ho già parlato nel precedente articolo per i motivi lì illustrati). Qui si passa da un flusso di contributi ad una data disciplina a contributi individuali alla medesimae quindi dovrò titolare i paragrafi con i singoli nomi.

CLAUDIO TOLOMEO

    Claudio Tolomeo (circa 85-165 d.C.) fu astronomo, matematico e geografo. Abbiamo pochissime informazioni su di lui. Non si sa con certezza dove nacque anche se si crede fosse ad Alessandria dove avrebbe vissuto. Fu l’ultimo rappresentante dell’astronomia greca e lavorò probabilmente vicino Alessandria, dove fece le sue osservazioni del cielo nel tempio di Serapis della città di Canopus. Il suo nome lo definisce come cittadino di Roma (Claudio) e come egiziano (Tolomeo). La sua opera principale e più famosa è Mathematike Syntaxis (Μαθηματική Σύνταξις o Trattato di matematica) poi diventata Hè Megalè Syntaxis (Η Μεγάλη ΣύνταξιςoIl grande trattato) per distinguere quest’opera da altre consimili che raccoglievano le conoscenze astronomiche dell’epoca ma in modo molto succintoe fu scritta in 13 volumi intorno al 150 d.C., sotto l’imperatore Antonino Pio. Essa era basata sui lavori dei grandi astronomi greci e particolarmente di Ipparco oltre ad altre osservazioni fatte dal matematico ed astronomo Teone di Smirne che probabilmente fu anche suo maestro anche se maestro da poco per quel che sappiamo di lui. Ciò vuol dire che fu la Biblioteca il vero centro di informazioni per Tolomeo. Quest’opera fece la fine di tutte le altre produzioni della scienza ellenistica e finì persa e dimenticata. Una traduzione araba di Ishak Ibn Houain, patrocinata dal califfo Al-Ma’mun e fatta a Baghdad intorno all’827, apparve in Spagna nel XII secolo con il titolo di Al-MajistiIl più grande, dove fu tradotta prima in spagnolo con il titolo di Composición matemática quindi dall’arabo in latino da Gerardo da Cremona (Toledo 1175) con il titolo di Almagesti. L’opera originale greca fu ritrovata nel 1538 e da essa provengono pregevoli edizioni.

    Altre opere di Tolomeo furono:

– la Geografia (8 libri), una descrizione del mondo abitato ed redazione di mappe costruite a partire dal geografo Marino di Tiro e quindi da relazioni di vari viaggiatori. Notevole la sovrapposizione di un quadrettato alle mappe come inizio del sistema di localizzazione mediante latitudine e longitudine.

– il Tetrabiblos (4 libri), un trattato di astrologia.

– l’Ottica (5 libri pervenutici in una disastrosa traduzione), un trattato sulle proprietà ed il comportamento della luce con particolare riferimento a colore, riflessione, rifrazione e specchi.

– l’Ipotesi Planetaria (due libri), una esposizione divulgativa dei suoi risultati astronomici.

– il Planisphaerium, tratta della proiezione stereografica della sfera celeste su di un piano. Tolomeo descriveva la proiezione stereografica in cui i punti della sfera celeste vengono proiettati lungo linee che vanno da un polo a un piano, nel caso specifico di Tolomeo, dal polo Sud al piano dell’Equatore. Egli sapeva che in tale trasformazione un cerchio non passante per il polo di proiezione diventava un cerchio nel piano, e che un cerchio passante per il polo veniva proiettato in una linea retta. Tolomeo era anche consapevole del fatto importante che tale trasformazione è conforme, ossia in essa vengono conservati gli angoli.

– l’Analemma, discute i metodi per trovare gli angoli necessari per costruire un orologio solare che sia anche in relazione con la proiezione ortografica di punti della sfera celeste su di un piano. In questa trasformazione di una sfera in un piano, i punti della superficie sferica vengono proiettati ortogonalmente su tre piani reciprocamente ortogonali. 

    Vediamo qual è il contenuto dell’Almagesto cercando di cogliere le novità rispetto ad Ipparco e di capire la grande fortuna di questa opera almeno dalla sua riscoperta (XII secolo) ai lavori di Copernico, Kepler, Galileo (fine XVI e XVII secolo). Sommariamente i 13 volumi di cui si compone l’opera hanno il seguente contenuto:

1. Il libro primo descrive il sistema geocentrico.

2. Nel secondo libro si discute la periodicità degli equinozi e la lunghezza dell’anno.

3. Il terzo libro tratta di solstizi ed equinozi.

4. Nel quarto libro si studia la Luna e si definisce il mese sinodico (periodo di tempo che intercorre tra due identiche fasi consecutive della Luna valutato in 29,53 giorni)

5. Il quinto libro tratta la correzione di parallasse delle posizioni del Sole e della Luna.

6. Nel sesto libro viene presentata una misura del diametro apparente del Sole e della Luna e viene trattato un metodo per predire le eclissi.

7. Nel libro settimo si dimostra che le posizioni relative delle stelle sono fisse. 8. Il libro ottavo è un catalogo delle stelle australi note (a quel tempo).

9-13. I libri dal nono al tredicesimo mostrano i metodi utilizzati da Tolomeo per il calcolo delle posizioni e traiettorie dei pianeti con una trattazione del metodo degli epicicli e deferenti integrato con gli equanti.

     Iniziamo con il vedere le premesse fisiche dell’opera che poi sono le concezioni del mondo che aveva Tolomeo di ispirazione aristotelica. Tali concezioni sono date da Tolomeo come 5 postulati:

1 – Il cielo è sferico e gira attorno ad un asse passante per il centro della Terra.

2 – 3 – 4 – La Terra è uno sferoide situato nel centro del cielo e può considerarsi come un punto quando le sue dimensioni si confrontino con il raggio della sfera celeste.

5 – La Terra non è dotata di alcun moto di traslazione.

    La giustificazione della sfericità dei cieli proviene sia dall’osservazione del moto circolare delle stelle circumpolari sia dal fatto che i cieli sono costituiti di etere (la quintessenza o quinto elemento)  che è una sostanza sottile ed omogenea. La superficie dei corpi omogenei deve essere anch’essa omogenea e la figura solida più omogenea che esiste è la sfera, cosicché l’etere deve avere forma sferica.

    La giustificazione della Terra al centro dell’Universo è basata su un supposto dato osservativo: se la Terra non fosse al centro sarebbe possibile alla sfera dell’orizzonte bisecare la sfera delle stelle fisse (quanto sostenuto da Tolomeo è un tranquillizzare il lettore perché proprio i suoi lavori sposteranno la Terra dal centro inoltre il problema della bisezione, come osserverà Copernico, esisterebbe solo nel caso la Terra fosse molto distante dal centro dell’Universo; il tutto è quindi legato alle dimensioni relative della Terra e della sfera delle stelle, come del resto lo stesso Tolomeo sosterrà in un suo postulato quando afferma che la Terra è da considerarsi come un punto rispetto all’Universo).

    Ciò che più interessa è però l’ultimo postulato che compare per evidenti motivi di polemica con le teorie di Aristarco, evidentemente ancora ben presenti agli studiosi. Le obiezioni al moto della Terra rappresentano un arretramento totale rispetto alle argomentazioni dei meccanici di Alessandria di 3 e 4 secoli prima. Compare una meccanica primitiva all’interno della concezione aristotelica dello spazio.

     Intanto si richiama la teoria aristotelica dei luoghi naturali che vuole che ciò che è pesante debba andare verso il basso che è il luogo della Terra. E quando un oggetto ha raggiunto il suo luogo naturale, si ferma. In definitiva l’intera Terra sta ferma anche perché servirebbe un motore gigantesco per metterla in movimento (cosa che non accade per tutti i cieli che sono eterei). Dice Tolomeo riguardo ai gravi:

Così mi sembra almeno superfluo ricercare le cause del moto verso il centro, una volta che risulta chiaro da ciò che si può osservare, che la terra occupa il centro dell’universo e che tutti i pesi si muovono verso di esso.

    Vi erano poi ragioni che riguardavano il moto di oggetti sulla superficie terrestre: se la Terra ruotasse sul proprio asse verso oriente, una pietra lanciata in alto verticalmente dovrebbe ricadere ad occidente del punto di partenza; poiché si era capito che la Terra era abbastanza grande, se avesse fatto un giro sul proprio asse in 24 ore, la sua velocità sarebbe stata enorme e ciò avrebbe comportato che noi dovremmo sempre vedere nuvole ed uccelli andarsene a grande velocità verso occidente; infine la Terra, proprio per la sua grandezza relativamente ai piccoli oggetti che si trovano su di essa, dovrebbe scagliare via da sé tutti gli oggetti non legati saldamente ad essa (questi problemi saranno risolti quando sarà stabilito da Bruno e Galileo il Principio d’Inerzia). A tal proposito dice Tolomeo:

se anche [la terra] avesse un unico comune movimento, lo stesso degli altri pesi, è chiaro che essa lascerebbe indietro ogni cosa a causa della sua enorme grandezza; e gli animali e gli altri pesi separati da essa resterebbero sospesi nell’aria, ed essa molto rapidamente cadrebbe fuori dell’universo. Ma queste sono solo ipotesi da fantasticare, essendo completamente assurde. (…)

a giudicare da ciò che avviene intorno a noi e nell’aria e nella terra, una tale idea dovrebbe apparire del tutto assurda (…) [I sostenitori di questa idea] dovrebbero ammettere che la rotazione della terra sarebbe il più violento dei movimenti che si svolgono intorno a essa ( … ). Nessuna nuvola apparirebbe in moto verso est, né tutto ciò che vola o viene scagliato, poiché la terra l’anticiperebbe sempre superando il suo moto verso est, in modo che ogni cosa sembrerebbe restare indietro o retrocedere verso ovest.

    Ma anche ammettendo, come alcuni sostenitori del moto assiale obiettavano, che nel suo moto la Terra si trascini l’aria, la cosa non può essere ammessa per gli oggetti pesanti che si muovono attraverso l’aria e neppure si può ammettere che gli oggetti pesanti che si trovano sulla Terra possono essere considerati come attaccati all’aria perché in tal caso non sarebbe possibile nessun cambiamento delle reciproche posizioni di tali oggetti nell’aria. Tali corpi pesanti non potrebbero

apparire né muoversi in avanti, né rimanere indietro ( … ). Non potrebbero muoversi né cambiare posizione, né col volo né essendo scagliati, mentre vediamo così chiaramente che tutte le cose si verificano senza che lentezza o rapidità derivi loro dal fatto che la terra non sia ferma.

    Infine vi erano i dati dell’osservazione di parallasse stellare che sembrava non esserci (ma questo che era l’argomento apparentemente più fondato, probabilmente era quello che al pubblico doveva sembrare il meno interessante).

    Come accennato, Tolomeo sviluppò il sistema cosmologico di Apollonio ed Ipparco. Gli influssi sono platonici (è fine indispensabile del matematico mostrare che tutti i fenomeni celesti sono il prodotto di moti regolari e circolari) ma l’impianto è derivato dalla Fisica di Aristotele. Con un particolare non da poco: i procedimenti geometrici utilizzati subordinavano i problemi delle orbite reali dei pianeti e gli insegnamenti della fisica aristotelica alla precisione del calcolo. Altra notazione importante è relativa al fatto che questa è la prima opera in cui si trova esposta ed applicata la trigonometria piana e sferica. E Gino Loria osserva che sgraziatamente Tolomeo ne fa conoscere solo quel tanto che è indispensabile per conseguire il fine a cui egli mirava. E ciò vuol dire, ancora una volta, che vi era una trigonometria greca molto sviluppata e tale da far elaborare a Tolomeo conti estremamente complessi con teoremi avanzati (formule di addizione e sottrazione per il seno ed il coseno, formule di bisezione, …), ma solo nella loro parte applicativa. Tale trigonometria, nella sua formulazione teorica che si basava sulle corde ed iniziata da Ipparco, non la ritroviamo in alcuna fonte originale e deve quindi essere andata perduta.

    Anche Tolomeo, per descrivere i moti degli astri, ebbe di fronte le due possibilità con le quali si erano cimentati Apollonio ed Ipparco: l’eccentrico mobile ed il più versatile epiciclo-deferente. Il primo, l’eccentrico mobile, (lo ricordo ma è preferibile rivedere la parte di astronomia dell’articolo precedente) supponeva che i pianeti si muovessero in cerchio intorno ad un punto, non coincidente con il centro della Terra, ma collocato sulla linea che unisce il centro di questa al Sole. Questo punto eccentrico si muoveva in cerchio intorno alla Terra. Il secondo, l’epiciclo-deferente, supponeva che un pianeta si muovesse in un cerchio diverso il cui centro era stazionario rispetto alla Terra, senza essere necessariamente posto sulla Terra stessa. Il cerchio interno era il deferente e quello esterno, che portava il pianeta, l’epiciclo. Non c’era limite al numero dei cerchi che si potevano postulare.

    Fin qui per ciò che sapevamo e, ricordo, qualche cosa del moto degli astri non era ancora perfezionato.

    Tolomeo scrisse a 300 anni di distanza da Ipparco e non risultano particolari sue osservazioni relativamente al moto del Sole, se riprese semplicemente la teoria di Ipparco (anche se egli preferiva per il Sole il metodo dell’eccentrico a quello dell’epiciclo e deferente preferito invece da Ipparco). Questo fatto comportò un grave errore poiché, oltre all’errore di eccentricità che a suo tempo aveva fatto Ipparco, nei 300 anni che erano trascorsi, la precessione ed altri fenomeni connessi avevano accresciuto l’errore nella posizione del Sole nelle tavole astronomiche fino a 100′. Infatti il Sole non ha moto retrogrado e quindi il moto del Sole non ha bisogno di un grande epiciclo ed è anche impossibile descrivere il suo moto mediante un deferente centrato sulla Terra che ruoti a velocità costante poiché il tempo che il Sole impiega per andare dall’equinozio di primavera a quello di autunno è lungo circa 6 giorni in più del tempo richiesto per tornare dall’equinozio di autunno a quello di primavera. In un mezzo giro del Sole si hanno velocità apprezzabilmente differenti.

    Un contributo importante venne però realizzato sul moto della Luna dove si dispiega l’originalità di Tolomeo nei più svariati campi simultaneamente: in astronomia e cosmologia, in matematica e fisica, nella predizione e spiegazione. Risultava evidente infatti che la teoria di Ipparco della Luna era erronea in più punti soprattutto nei momenti di allineamento di Terra, Luna e Sole ed alcune volte nei momenti di quadratura. Tolomeo introdusse qui l’equanteun sistema che ammette che la velocità lineare del centro dell’epiciclo lungo il deferente può non essere uniforme (che si discosta quindi da Platone che prevedeva solo moti circolari uniformi). Ma l’abbandono di moti uniformi sarebbe stato troppo traumatico per il pensiero corrente che vedeva nel cielo la perfezione di circonferenze ed uniformità. Ed il sistema equante prevedeva infatti una semplice sostituzione: in luogo di una velocità lineare uniforme si ammetteva una velocità angolare uniforme. Si ammetteva cioè che la velocità lineare del centro dell’epiciclo lungo il deferente potesse non essere uniforme. Per salvare l’ortodossia (i fenomeni) si supponeva però che la velocità angolare del centro dell’epiciclo lungo il deferente fosse uniforme rispetto ad un punto, il punto equante (con il solo termine equante si intende invece la distanza tra il punto equante ed il centro del deferente), posto all’interno del deferente, anche se non necessariamente nel suo centro(1).

Combinazione di eccentrico, epiciclo ed equante. Il pianeta P ruota a velocità lineare costante nel suo epiciclo mentre il centro dell’epiciclo A ruota a velocità angolare costante intorno al punto E (punto equante), velocità che può essere variabile rispetto al centro della circonferenza C. La Terra T risulta in posizione eccentrica. La posizione che Tolomeo ritenne più favorevole per E è sulla linea che unisce la Terra con il centro della circonferenza e tale che TC = CE. In definitiva E era il centro del moto angolare uniforme,  C era il centro delle distanze uguali mentre T  era il centro delle osservazioni.

Questa animazione permette di seguire il moto del centro A dell’epiciclo (puntino azzurro mobile) intorno all’equante (punto nero fisso). Il punto giallo è la Terra in posizione eccentrica., il puntino azzurro fisso è il centro della circonferenza.

    Dalle anomalie della Luna (almeno tre) rispetto alla teoria di Ipparco, Tolomeo ricavò una sorta di variabilità del raggio dell’epiciclo, maggiore nelle quadrature che negli allineamenti. Poiché non era pensabile che fosse davvero questo raggio a variare in lunghezza, doveva essere la distanza di tale raggio dalla Terra a variare in modo tale che in tempi diversi si vedesse sotto angoli diversi. Tolomeo realizzò quindi un sistema in cui il centro dell’epiciclo si muoveva su un cerchio eccentrico non più, come detto, a velocità lineare costante ma a velocità angolare costante rispetto alla Terra.  Questa operazione eliminò una delle anomalie, la più evidente, relativa ad allineamenti e quadrature. Scoprì poi la seconda, oggi chiamata evezione (un avanzamento o ritardo rispetto alla posizione calcolata e sulla quale non mi soffermo), che corresse mediante una combinazione complicata di epiciclo ed eccentrico mobile con un valore vicino a quello che oggi accettiamo. Non riuscì invece a risolvere la terza anomalia (nota oggi come variazione) che però gli fece complicare ancora di più la parte teorica e le costruzioni geometriche. Tutto ciò era completamente fuori da una spiegazione fisica per essendo perfettamente giustificabile da un punto di vista matematico. Negli anni a venire queste costruzioni sempre più complesse fecero rimpiangere a molti astronomi e non solo una spiegazione che avesse un maggiore sapore fisico. In particolare avanzava una domanda del tipo: perché tali spiegazioni artificiose funzionano ?

    Sistemato nel modo migliore possibile, per gli strumenti di cui Tolomeo disponeva(2) che non davano precisioni superiori a 10′ di arco celeste, il moto della Luna, egli estese i suoi studi ai pianeti che di fatto presentavano le maggiori irregolarità. I moti di tali pianeti vengono riferiti da Tolomeo al piano dell’eclittica (rispetto al quale il deferente di ogni pianeta ha una piccola inclinazione) ma il deferente è eccentrico rispetto alla Terra proprio per spiegare le anomalie zodiacali dei pianeti (dovute, come oggi sappiamo, al loro moto in orbite ellittiche). E’ poi l’epiciclo, su cui il pianeta si muove di moto uniforme, che spiega le retrogradazioni del pianeta medesimo. Ma tutto questo non bastava a mettere d’accordo teoria ed osservazioni ed allora Tolomeo introdusse anche qui il punto equante E.

    Al fine di capire quali furono i passi di Tolomeo, c’è da dire che fino ad ora egli aveva fatto calcoli relativi al piano dell’eclittica ed in tal modo aveva toccato solo anomalie di longitudine nei moti degli astri. Eventuali anomalie in latitudine non potevano essere corrette su quel piano e la cosa era stata già capita da Eudosso e Callippo. Per questo motivo il lavoro di aggiustamento che Tolomeo fece nei calcoli relativi ai pianeti iniziò con l’inclinare opportunamente ed in maniera differente alcune orbite epicicliche rispetto al piano del deferente ma in modo che tali orbite si mantenessero parallele al piano dell’eclittica (figura a). E questo per Marte, Giove e Saturno (pianeti esterni). Operazione analoga fece per Mercurio e Venere (pianeti interni) con la differenza che qui gli epicicli erano mantenuti obliqui rispetto al piano dell’eclittica (figura b).

Figura a. La figura è relativa ai pianeti esterni. Il piano dell’equatore dell’epiciclo è parallelo a quello dell’eclittica, benché non lo sia il piano dell’orbita.

Figura b. La figura è relativa ai pianeti interni.  Il piano dell’orbita dell’epiciclo non solo è parallelo a quello dell’eclittica lungo la linea che unisce l’apogeo con il perigeo, ma è anche inclinato obliquamente rispetto al piano dell’eclittica.

    Era l’unico modo(3) che si presentò a Tolomeo per spiegare il fatto che i pianeti esterni si osservano nella posizione più a Nord o al Sud dell’eclittica quando si trovavano al perigeo dei propri epicicli. Per quel che riguarda invece i pianeti inferiori le cose erano diverse perché le loro orbite erano poco inclinate rispetto all’eclittica. Questi pianeti interni, in una situazione in cui non si sapeva proprio come trovare un sistema per ordinare i pianeti nella loro successione(4), davano maggiori problemi sulle latitudini in quanto chiusi, come diremmo oggi, dall’orbita della Terra. Il complesso di queste complicazioni, a ben guardare, nasceva dal mancato sviluppo di un’algebra adeguata. Nella situazione di una geometria che era la sola protagonista delle spiegazioni delle cose del mondo ad essa si assegnava il potere risolutivo di tutto, e se la spiegazione non veniva evidentemente non c’era. Confrontandosi con altri strumenti esplicativi probabilmente si sarebbe acquisito un relativismo in grado di lasciare in sospeso ciò che non si risolveva al momento.

    A questo punto vi sarebbero ancora molte cose del sistema tolemaico da spiegare ma il tutto è un insieme troppo complesso dal punto di vista matematico. La gran parte dell’Almagesto è costituita da tavole trigonometriche, da lunghi conti che fanno seguito a date osservazioni, da diagrammi, … entrare in tali dettagli sarebbe operazione inutile e comunque esula dall’economia di questo lavoro. Posso solo aggiungere che Tolomeo, per spiegare la precessione degli equinozi (dovuta, come oggi sappiamo, al movimento a doppio cono dell’asse terrestre) suppose che, al di fuori della sfera stellata (che era l’ottava del suo sistema semplificato come in quello di Aristotele) vi fosse una nona sfera che ruotava in verso opposto all’ottava. Quando il motore primo fu separato dalla sfera delle stelle fisse, diventò la decima sfera, esterna alla nona.

Disegno estremamente semplificato del sistema tolemaico. Vi compare solo l’ordine delle sfere concentriche.

Altro disegno rappresentante il sistema tolemaico semplificato.

Ancora un disegno del sistema tolemaico semplificato

In questo disegno è rappresentato il mondo aristotelico-tolemaico semplificato con già presente l’impronta cristiana. E’ il riferimento dal quale Dante Alighieri elaborerà la Divina Commedia.

    Con le sue costruzioni ed invenzioni, comunque, Tolomeo riesce a determinare, con calcoli basati su osservazioni: la misura dell’epiciclo, l’eccentricità, le tavole per il calcolo della posizione longitudinale, le grandezze e durate delle retrogradazioni.  Con il sistema tolemaico risultano completamente determinati (nei limiti degli errori di misura della strumentazione allora a disposizione) i movimenti della Luna e dei pianeti. Rispetto ai criteri di giudizio esistenti, vi era almeno un grande peccato, la rottura (con l’introduzione degli equanti) della concezione del mondo basato su moti circolari uniformi centrati sulla Terra; rispetto alle osservazioni, vi era la non considerazione di alcune irregolarità nei moti della Luna e dei pianeti. Dice nell’Almagesto  lo stesso Tolomeo:

L’astronomo deve sforzarsi in tutti i modi possibili di far concordare le più semplici ipotesi con i movimenti celesti; ma se ciò non riuscisse, deve prendere quelle ipotesi che possono corrispondere.

    Il tutto è in ogni caso comprensibile se ci si riferisce allo scopo che sembrava avere Tolomeo: costruire un modello che spiegasse i moti della Luna e dei pianeti e ne rendesse prevedibili in anticipo le posizioni, indipendentemente da ogni validità fisica di esso.

    Si può in definitiva dire, con Dreyer, che il sistema tolemaico, considerato nel suo complesso, merita la nostra ammirazione come efficace strumento per la costruzione di tavole dei moti del Sole, della Luna e dei pianeti. Ma una cosa deve essere rimarcata: da numerose asserzioni e da quanto lo stesso Tolomeo più volte dice, sembra che quei cerchi, quei moti, quei punti, venissero considerati semplicemente come mezzo idoneo per calcolare le posizioni degli astri. Mai vi è l’affermazione che quelle descrizioni fossero la realtà dei moti di quegli astri. Nella forma da me molto superficialmente illustrata, con una rappresentazione geometrica dei moti celesti che non pretendeva di dare un quadro esatto del sistema reale del mondo, il sistema tolemaico fu considerato per circa 1400 anni come  la Bibbia dell’astronomia. I successori di Tolomeo per migliorare la precisione o la semplicità della teoria aggiunsero epicicli su epicicli, deferenti a deferenti. Come osserva Kuhn, il problema dei pianeti era diventato un problema di disegno: un problema da affrontare soprattutto con nuove combinazioni di elementi già esistenti.

    Ma Tolomeo mostra in più parti di desiderare una spiegazione fisica di ciò che egli aveva descritto matematicamente (nell’Ipotesi planetaria, ad esempio, egli sostituisce i cerchi platonici con delle strisce di sfere dal carattere più materiale inoltre respinge il meccanismo aristotelico delle sfere agenti le une sulle altre che necessitano quindi di sfere compensatrici). C’è da osservare infine che mentre il De Coelo di Aristotele descriveva l’intero universo in termini relativamente semplici, l’Almagesto di Tolomeo risultava molto complicato. A partire dal XII secolo, quando le due opere furono conosciute, la logica, la filosofia e la cosmologia di Aristotele vennero assimilate molto più rapidamente dell’elaborata astronomia tolemaica. Quando l’Occidente cristiano dovette scegliere tra i due sistemi, esitò. Iniziarono dispute tra i filosofi che difendevano il sistema fisico di Aristotele e quelli che difendevano il sistema matematico di Tolomeo. L’atteggiamento assunto era di questo tipo: “… non è compito dell’astronomo stabilire cosa sia immobile per natura e di che genere siano le cose mosse … l’astronomo deve considerare quali ipotesi sono in accordo con i fenomeni osservati nei cieli. Dal fisico egli deve accettare il principio che i moti che i moti delle stelle sono semplici, uniformi e regolari, che le rivoluzioni dei corpi celesti sono circolari …” (Simplicio, VI secolo d.C.).

    Fornisco ora un cenno ad altri argomenti studiati e sviluppati da Tolomeo, ad iniziare dalla sua Geografia (o Cosmographia). Fu Tolomeo, come accennato, ad introdurre il reticolato sovrapposto alle mappe e quindi al metodo delle latitudini e longitudini (con la grave complicazione che all’epoca non si avevano metodi affidabili per determinare quest’ultima) per individuare un punto sulla carta geografica. Egli catalogò fiumi, monti, città, … con molti errori dovuti proprio alla determinazione della longitudine. Egli fornì 26 mappe particolari(5) da affiancare a quella complessiva del mondo, mostrata nella figura seguente. Ed a proposito di

tale carta del mondo allora conosciuto vi è un’osservazione da fare. Come dimensione della Terra, Tolomeo prese i 180 mila stadi ricavati del geografo Posidonio di Rodi (uno stoico che visse all’incirca tra il 130 ed il 50, anche a Roma dove fu maestro di Cicerone) e non i 252 mila stadi di Eratostene. Questa valutazione comportò che all’Eurasia veniva assegnata una longitudine di 180° invece dei circa 130° che occupa. Osserva Boyer che questo grande errore indusse i navigatori come Colombo ad affrontare il viaggio verso le Indie dalla parte dell’Atlantico, viaggio che non avrebbero intrapreso con i dati di Eratostene.

    Dopo aver ricordato che contributi di Tolomeo si hanno anche nella sua Ottica(6), passo ad illustrare un suo contributo matematico, il teorema di geometria che porta il suo nome. Tale teorema (capitolo IX del libro I dell’Almagesto) serviva a Tolomeo per ricavarsi le tavole delle corde nell’Almagesto.

Teorema. Sia dato un quadrilatero ABCD inscritto in un cerchio. La somma dei prodotti delle due coppie di lati opposti è uguale al prodotto delle diagonali.

Cioè:

AD.BC + AB.CD = AC.BD

Dimostrazione.

Sulla diagonale BD si scelga un punto M tale che gli angoli ACB ed MCD siano uguali. Si ha poi che anche gli angoli BAC e BDC sono uguali poiché insistono sullo stesso arco. Quindi i triangoli ABC e DMC sono simili. Dalla similitudine segue:

CD:MD = AC:AB    =>    AB·CD = AC·MD

Ora poiché gli angoli BCM ed ACD sono uguali, i triangoli BCM ed ACD sono simili di modo che possiamo scrivere:

 BC:BM = AC:AD    =>   BC·AD = AC·BM

Sommando le due identità otteniamo:

AB·CD + BC·AD = AC·MD + AC·BM = AC·BD

            Concludo questa breve discussione dell’opera di Tolomeo soffermandomi in breve sul suo lavoro astrologico, il Tetrabiblos(7). Riporto in proposito il giudizio dello storico della matematica Boyer:

Nessun resoconto dell’attività scientifica di Tolomeo sarebbe completo senza un cenno al suo Tetrabiblos (o Quadripartitum), giacché esso ci mostra un aspetto della scienza antica che siamo inclini a trascurare. Gli autori greci non furono sempre quei modelli di razionalità e chiarezza di pensiero quali pensiamo essi fossero. L’Almagesto è effettivamente un modello di buona matematica e di accurati dati di osservazione usati per costruire una sobria astronomia scientifica; ma il Tetrabiblos (o opera in quattro libri) descrive una sorta di religione degli astri in cui gran parte del mondo antico credeva. Con la fine dell’Età aurea, la matematica e la filosofia dei greci si mescolavano con l’aritmetica e l’astrologia dei caldei, e la forma di pseudoreligione che ne risultò venne a riempire il vuoto lasciato dall’abbandono della vecchia mitologia. Tolomeo sembra avere condiviso i pregiudizi del suo tempo: nel Tetrabiblos egli sostiene che non si dovrebbero dissuadere gli astrologi dal loro lavoro, per timore della possibilità di errori, più di quanto non si scoraggino i medici. Quanto più si procede nella lettura di quest’opera, tanto più se ne resta delusi, giacché l’autore non esita ad accettare le credenze superstiziose del suo tempo.

Il Tetrabiblos non solo differisce dall’Almagesto come l’astrologia differisce dall’astronomia; ma le due opere fanno anche uso di tipi diversi di matematica. L’Almagesto è un’opera positiva e sofisticata che fa buon uso della geometria sintetica greca; il Tetrabiblos è tipico della pseudooscienza di quel tempo per quanto riguarda l’adozione di primitive tecniche aritmetiche babilonesi. Dalle opere classiche di Euclide, di Archimede e di Apollonio si potrebbe ricavare l’impressione che la matematica greca si occupasse esclusivamente di ragionamenti geometrici del più alto livello logico; ma il Tetrabiblos di Tolomeo testimonia che la gente comune era in generale più interessata ai calcoli aritmetici che non al pensiero razionale. D’altra parte per lo meno dai tempi di Alessandro Magno e fino alla fine del mondo antico vi furono senza dubbio molti scambi tra la Grecia e la Mesopotamia, ed evidentemente l’aritmetica e la geometria algebrica dei babilonesi continuarono ad esercitare un considerevole influsso sul mondo ellenistico.

Come sia potuto accadere che dalla razionalità del periodo d’oro alessandrino si sia passati a questa brutale decadenza lo possiamo intuire dalle parole di Boll, Bezold e Gundel nella loro Storia dell’astrologia:

Privo di simpatie mistiche, Aristotele, malgrado la sconfinata vastità dei suoi interessi, non si occupa della teoria astrologica. La sua dottrina dell’etere come quinto elemento sovraterreno divide nettamente il mondo al disotto della Luna dalla regione delle stelle. Eppure, la sua ipotesi che tutti i movimenti debbano in definitiva originarsi dal primo mobile, la sfera delle stelle fisse, e che quindi ogni mutamento avvenuto sull’imperfetta Terra trovi la sua causa in mutamenti numericamente stabiliti nel perfetto mondo superiore, costituisce per l’astrologia una base non meno feconda di sviluppi che la sua visione di una struttura cosmica murata e saldamente conclusa; visione che, malgrado ogni obiezione della scuola democritea, si prolunga e sopravvive fino all’epoca di Giordano Bruno.

Così, a poco a poco, maturano i tempi per l’accettazione della religione astrale e delle credenze astrologiche orientali. E’ nel periodo dell’ellenismo che queste dottrine celebrano il loro trionfo in Grecia. Solo poco tempo prima, il grande astronomo e amico di Platone, Eudosso, che pur conosceva l’astronomia e la meteorologia babilonese, aveva negato ogni credito ai «Caldei », cioè agli astrologi ed astromanti dell’Eufrate. Ma già in Teofrasto, allievo di Aristotele, troviamo ammirazione, o almeno stupore attonito, per la loro arte. Il poeta delle costellazioni e dei pronostici del tempo, Arato (intorno al 275), ignora completamente l’astrologia; eppure, la stessa popolarità, per noi incomprensibile, del suo poema è un indizio della crescente attenzione rivolta dai Greci al cielo stellato. E, alla fine del periodo ellenistico, le legioni vittoriose di Cesare portano il Toro come figura zodiacale di Venere, in quanto capostipite della gens Julia, in tutto il mondo conosciuto; Augusto fa pubblicare il proprio oroscopo e battere monete con il simbolo del Capricorno, il segno sotto il quale ha visto la luce; Orazio deve fugare gli scrupoli astrologici di Mecenate. La vittoria dell’astrologia orientale può dirsi ormai decisa: essa è stata riportata nei tre secoli da Alessandro ad Augusto.

Come ciò sia potuto avvenire, permette di spiegarlo l’intero corso di sviluppo, che qui possiamo soltanto sfiorare in brevi accenni, dell’ellenismo. Nella prima metà di questo periodo, l’elemento greco è quello che irrompe vittorioso nell’Oriente e, con enorme forza di espansione, nel corso e per riflesso delle spedizioni di Alessandro riempie il mondo della propria lingua e cultura. Ma, nella seconda fase, le titaniche forze primordiali dell’Asia si ribellano con vigore incorrotto agli invasori: l’aristocrazia greca, che naturalmente domina più nelle città che nelle campagne sconfinate, subisce in misura crescente l’influsso delle antiche religioni e abitudini di vita orientali. Ha così inizio la fatale evoluzione che finirà per distruggere il carattere peculiare della «Grecità»: gradatamente questa si allontana dal Logos, la conoscenza scientifica, onore e vanto del suo spirito, per abbracciare la Gnosis, la conoscenza mediante la visione, l’estasi, la rivelazione. Ancora agli inizi del II secolo a.C., il pensiero greco ha la forza di invadere il suolo di Babilonia con le sue più ardite dottrine; l’unico sostenitore a noi noto del sistema cosmico «copernicano» propugnato da Aristarco, Seleuco di Seleucia sul Tigri, riceve il soprannome di «caldeo», sia che fosse veramente un babilonese ellenizzato o un greco oriundo della Mesopotamia. Ma in Posidonio, il grande stoico, all’alba del I secolo a.C., l’astrologia è al vertice della contemporanea scienza greca: chiaro segno di come i tempi siano cambiati.

Lo stesso accade per le concezioni religiose, per le quali le antiche divinità greche significano ormai ben poco; ciò spiega il trionfo, da un lato, del culto della ciecamente imperante Tyche, la dèa della Fortuna, il cui umore capriccioso fa temere ma anche sperare di tutto ai comuni mortali nelle tempeste dell’èra dei Diadochi e, più tardi, della rivoluzione romana, dall’altro del culto di Ananke o Heimarmene, il Destino inesorabilmente e spietatamente fissato dall’eternità, che, concepito in termini astrologici, fa ricadere su ogni testa mortale il peso di tutto l’universo. Alla magia e alle religioni soteriologiche si chiede, come il più importante servigio che possano rendere all’uomo, di liberarlo da un simile fardello. Da Tyche ad Heimarmene, da questa alla magia e ai culti misterici e catartici – ecco, ridotto ai suoi tratti più elementari, il ciclo storico della religione ellenistica. (…)

Come la religione, così la scienza. Non solo la speculazione filosofica, con particolare riguardo all’influente neoplatonismo, apre le porte all’astrologia malgrado la fiera opposizione di Plotino; medicina e botanica, chimica, mineralogia, etnografia, insomma tutte le scienze della natura, ne sono più o meno imbevute, e tali rimangono fino al tardo Rinascimento. L’alchimia, anticamera della chimica, è in realtà la sorella minore della scienza astrologica, con la quale ha in comune tanti misteri.

DIOFANTO

    Diofanto è l’ultimo grande scienziato di Alessandria. E’ noioso ripetere cha anche su lui non sappiamo quasi nulla. Sembra sia vissuto approssimativamente dentro le date seguenti 200 – 298. Su un tal Diofanto abbiamo un epitaffio scritto a modo di problema che si trova nel Libro XIV dell’ Antologia Palatina(8). Secondo ciò che vi è scrittosembra che Diofanto sia vissuto 84 anni. Questo l’epitaffio:

Hunc Diophantus habet tumulum qui tempora vitae illius, mira denotat arte tibi. Egit sex tantem juvenie; lanugine malas vestire hinc coepit parte duodecima. Septante uxori post haec sociatur, et anno formosus quinto nascitur inde puer. Semissem aetatis postquam attigit ille paternae, infelix subita morte peremptus obit. Quator aestater genitor lugere superstes cogitur, hinc annos illius assequere.

questa la traduzione:

Questa tomba rinchiude Diofanto e, meraviglia! dice matematicamente quanto ha vissuto. Un sesto della sua vita fu l’infanzia, aggiunse un dodicesimo perché le sue guance si coprissero della peluria dell’adolescenza. Dopo un altro settimo della sua vita prese moglie, e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio. L’infelice morì improvvisamente quando raggiunse la metà dell’età paterna. Il genitore sopravvissuto fu in lutto per quattro anni e raggiunse infine il termine della propria vita.

    La soluzione per chi conosce un poco di algebra è:

x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x

da cui si ricava x che è l’età di Diofanto:

 x = 84.

    Il problema è ora un altro: di quale Diofanto si tratta ? Perché, anche se gli indizi sono forti, non abbiamo alcuna certezza che si tratti del matematico Diofanto.

    Del Diofanto di Alessandria, matematico di grande levatura ma anche ultimo scienziato di Alessandria che merita di essere ricordato, sappiamo che scrisse l‘Arithmetica in tredici libri dei quali ce ne sono pervenuti solo sei. Altre sue opere furono: Numeris Multangulis (o Sui numeri poligonali), Porismas (che probabilmente faceva parte dell’Arithmetica), Sui numeri frazionari. L’Arithmetica fu ritrovata a Venezia, probabilmente qui giunta per qualche scambio commerciale con Bisanzio, da Johann Müller detto Regiomontano, matematico e astronomo tedesco, intorno al 1464 e la prima traduzione latina è di Wilhelm Holzmann, Diophanti Alexandrini Rerum libri sex, Basilea, 1575. Successivamente, nel 1621, compare l’edizione di Bachet de Méziriac con il titolo: Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex; et de Numeris multangulis liber unus. Nunc primun graece et latini editi atque absolutissimis commentariis illustrati, Paris 1621 ed in tale edizione vi è anche l’unico libro Sui numeri poligonali. L’Arithmetica è una raccolta di 150 problemi che iniziano l’algebra e conducono alla risoluzione di equazioni che oggi diciamo di I e II grado in una o più incognite (c’è da osservare che di tali equazioni, la maggior parte delle quali sono indeterminate, Diofanto accetta  solo le soluzioni razionali, intere o frazionarie, positive). E’ opportuno precisare che i termini dell’epoca  non corrispondono ai nostri, infatti aritmetica in Grecia è la teoria dei numeri e non il semplice calcolo numerico. In questa opera, per la prima volta a nostra conoscenza nella cultura di derivazione ellenistica, si tratta una matematica in cui non compaiono procedimenti geometrici, una matematica nuova che vede l’introduzione di un simbolismo completamente differente utilizzante abbreviazioni che avranno un seguito importante (introduzione di un simbolo unico ζ per indicare l’incognita da trovare(9), introduzione del segno meno  /|\ ,  introduzione del simbolo greco ξ per indicare il numero del problema, di abbreviazioni per indicare potenze: con Δy si indicava il quadrato del numero, con Ky il cubo del numero, con ΔΔy la quarta potenza, con ΔKyla quinta potenza, e così via. L’operazione di addizione veniva raffigurata scrivendo i termini da sommare uno di seguito all’altro. Non vi erano simboli per la moltiplicazione e la divisione).

    La struttura dell’Arithmetica ricorda vagamente il Papiro Rhind per la successione di problemi risolti senza ordine apparente. La struttura dell’opera è sommariamente la seguente (riporto anche qualche esemplificazione dei problemi presenti, alcune risolte ed altre solo enunciate): 

Libro I  –   Contiene 25 problemi di primo grado e 14 di secondo grado

I. 1 – Dividere un numero in due numeri di cui sia nota la somma e la differenza.

Per la soluzione che per noi è semplice, Diofanto sceglie due numeri particolari, 1000 e 40 ed osserva che i due numeri hanno una differenza e quindi uno è maggiore dell’altro. Considera il numero minore e lo chiama aritmo(9), cioè incognita. L’altro numero sarà l’aritmo più 40. Quindi 100 sarà due aritmo più 40. Diofanto toglie poi i simili dai simili (toglie cioè 40 a destra ed a sinistra dell’equazione). Trova così che due aritmo danno 60 e quindi che un aritmo vale 30. E’ facile trovare l’altro numero cercato che sarà l’aritmo trovato, 30, più 40, cioè 70.

 I. 7 – Sottrarre dallo stesso numero due numeri dati così che le differenze saranno tra loro in un rapporto dato.

Libro II – Contiene 35 problemi. Il problema 8 originò il famoso teorema di Fermat. Vediamo questo problema:

II. 8 – Scomporre un quadrato in due quadrati

Si tratta evidentemente di risolvere, con simbolismo moderno, x+ y= a2 (10).  E Diofanto scrive:

Se vogliamo scomporre 16 in due quadrati e supponiamo che il primo è 1 aritmo, l’altro avrà  16 unità meno un quadrato di aritmo, e pertanto, 16 unità meno di un quadrato di aritmo sono un quadrato. Costruiamo un quadrato di un insieme qualunque di aritmo diminuito di tante unità quante ne ha la radice di 16 unità, e sia il quadrato di 2 aritmo meno 4 unità. Questo quadrato avrà quattro quadrati di aritmo e 16 unità meno 16 aritmo, che uguagliamo a 16 unità meno un quadrato di aritmo e sommando dall’uno e altro lato i termini negativi e sottraendo i simili, risulta che 5 quadrati di aritmo equivalgono a 16 aritmo e pertanto, 1 airtmo vale 16/5; quindi uno dei numeri è 256/25 e l’altro 144/25, la cui somma è 400/25, cioè 16 unità e ciascuno di essi è un quadrato

Diofanto in pratica risolve l’equazione

x 2  +  x 2  =  16

ponendo y 2 = 16 – a 2 che identifica con un’espressione della forma (ka – 4) 2. Ponendo k = 2 ottiene 

y 2 = 16 – a 2 = (2a – 4) 2

da cui trova 

a = 16/5, cioè  x = 16/5 e y = 12/5.

    Vediamo ora un altro problema molto semplice, anche qui introducendo il simbolismo moderno.

II. 21 – Trovare due numeri tali che il quadrato di ciascuno di essi, diminuito del numero restante, formi un quadrato.

Il più piccolo numero sia x accresciuto di quante unità si vorrà, particolarmente di una unità e il più grande sia il quadrato del più piccolo meno x2, così che il quadrato del numero più piccolo, diminuito del numero maggiore, formi un quadrato (se il numero minore è x + 1 e il maggiore (x + 1)2 – x2, il quadrato del numero minore diminuito del maggiore è allora x2).

Allora, poiché il quadrato del numero minore è x+ 2x + l, ne deriva che il numero maggiore sarà quanto viene aggiunto a x2 cioè 2x + 1. Si stabilisce così che il quadrato del numero minore, diminuito del maggiore, formi un quadrato. Ma il quadrato del maggiore diminuito del numero minore dà 4x+ 3x. Il che eguaglieremo ad un quadrato. Si formi il quadrato di 3x e x diventa 3/5 (4x+ 3x = 9x2; x = 3/5). Il numero minore sarà dunque 8/5, il maggiore 11/5, e tali numeri appunto soddisfano alla proposizione.

Libro III  – Contiene 21 problemi. Il più famoso è il numero 19 nel quale per la prima volta si fa ricorso alla geometria.

III. 19 – Trovare quattro numeri tali che il quadrato della somma dei quattro, aumentato o diminuito in ciascuno di essi, formi un quadrato.

Libro IV  – Quasi tutti i 40 problemi di questo libro riguardano numeri cubici. E poiché i greci non sapevano risolvere le equazioni cubiche Diofanto riesce a risolvere il problema fornendo delle soluzioni accettabili. Vediamone un esempio:


IV. 1 – Scomporre un numero dato in due cubi la somma delle cui radici sia data.

Se il numero è 370 e la somma delle radici 10, supponiamo che la radice del primo cubo sia  1 aritmo e 5 unità, cioè: la metà della somma delle radici. Pertanto, la radice dell’altro cubo sarà 5 unità meno 1 aritmo; allora la somma dei cubi varrà 30 quadrati di aritmo più 250 unità que uguaglieremo alle 370 unità del numero dato, da cui si deduce che 1 aritmo ha 2 unità; la radice del primo cubo varrà allora 7 e quella  del secondo 3, e, conseguentemente, i cubi saranno 343 e 27.

Diofanto risolve il sistema che oggi scriveremmo

  x 3 + y 3 = 370 

x  +  y    = 10

e per farlo pone x = aritmo + 5 e y = 5 – aritmo. Sostituendo queste espressioni nella prima equazione e sviluppiamo, otteniamo:

(aritmo + 5) 3 + (5 – aritmo) 3 = 30 aritmo 2 + 250 = 370

e per  aritmo = 2 trova  x = 7, y = 3.

Libro V –  Su 30 problemi qui presenti, 28 sono problemi di secondo e terzo grado. Vediamo uno dei problemi due problemi restanti:


V. 30 – Una persona si imbarcò con i suoi servi, ai quali fu chiesto di essergli utile. Essi mescolarono brocche di vino, alcune di 8 dracme e altre di 5, e pagò per tutto un numero quadrato che, aumentato nel numero di unità che ti saranno indicate, 60, darà per risultato un altro quadrato la cui radice è il numero complessivo delle brocche. Calcola quante brocche vi erano da 8 e quante da 5 dracme.

Libro VI  – Vi sono 24 problemi sui triangoli rettangoli con i lati numeri razionali. Le equazioni che risultano sono a coefficienti interi e forniscono soluzioni intere. Tali equazioni sono oggi chiamate diofantee. Le più semplici sono le equazioni lineari della forma Ax  ±  Bx  =  C.

    Quindi è chiaro che non disponiamo di teoria, niente che possa essere paragonato alle strutture ordinate, sistemate e deduttive di Euclide, Apollonio o Archimede. Siamo di fronte a problemi induttivi dei quali non si capisce bene la portata della generalizzazione Vi sono problemi  risolti anche in modo brillante, vi sono notazioni di interesse ma siamo in un altro mondo rispetto a quello dell’età d’oro, siamo in piena decadenza. E’ assente una struttura deduttiva esplicita, i differenti tipi di numeri non erano ben definiti, manca una base assiomatica su cui costruire un apparato deduttivo. Se si ricorda quanto scrissi in proposito della matematica dei greci, sembra essere tornati 2000 anni indietro quando c’erano ricette del come fare e mai un apparato teorico che spiegasse, in generale e non in casi particolari, perché. In ogni caso si trattava della proposizione agli studiosi di un modo diverso di avvicinarsi alla matematica per vie che, una volta aperte, avrebbero portato molto lontano.

    Si possono qui avanzare ipotesi su come si sia arrivati alle soluzioni che ci presenta Diofanto, se vi sono testi mancanti, se … Non arriveremmo comunque a nulla. Siamo ormai dentro all’Impero di Roma e le richieste sono ben differenti da quelle di rigore scientifico. Leggiamo a proposito del pragmatismo dei romani cosa scrive Stahl:

Quando i Greci colti incominciarono ad incantare i nobili e i nuovi ricchi di Roma, dovettero accorgersi senza dubbio che i loro manuali erano perfettamente adatti ai loro scopi. Si può quasi supporre che i loro testi venissero concepiti non soltanto per venire letti dai Greci, ma anche per venire tradotti e parafrasati in latino. Il nobile romano era ben lieto di acquisire un’infarinatura delle discipline greche astratte, se così imponeva la moda: ma voleva soltanto gli elementi essenziali, poiché non amava perdere tempo in cose troppo complicate. […]

Il successo dei manuali fu dovuto alla loro praticità: i titoli più numerosi sono quelli di opere che si occupavano di agricoltura, arte militare, diritto e retorica. Si conoscono inoltre i titoli di opere riguardanti quasi tutti gli argomenti possibili e immaginabili che avevano un interesse per i Romani: farmacologia, tossicologia, metrologia, rilevamento topografico, tradizioni popolari relative ai sogni, alle pietre preziose e alle arti divinatorie di ogni genere; libri per eruditi e specialisti sulla filologia, l’ortografia e parecchi altri argomenti d’interesse antiquario; e infine, manuali per tutti i mestieri e per tutte le professioni.

Un altro tipo di libro popolare molto vicino al genere manualistico romano, sebbene a stretto rigor di termini non vi appartenesse, era la riduzione o epitome. Di solito, i Romani appartenenti alle classi più elevate erano troppo indaffarati o troppo presi da altri interessi per intraprendere la lettura di opere voluminose; furono loro a creare la richiesta di breviaria di ogni genere, riduzioni drastiche che ben di rado soddisfano 1a curiosità del lettore per quanto riguarda il contenuto e le qualità letterarie dell’opera sunteggiata. Le riduzioni offrivano comunque un altro vantaggio: riducevano di parecchio la spesa che sarebbe stata necessaria per fare ricopiare un manoscritto di numerosi rotoli. Come in Grecia i commenti alle opere famose soppiantavano spesso i testi che analizzavano, a Roma le riduzioni e le epitomi delle riduzioni, come quelle della Storia di Roma di Tito Livio, fecero cadere nell’oblio i voluminosi testi originali. Nel terzo e nel quarto secolo dell’era cristiana … queste riduzioni incominciarono ad esercitare un’influenza notevole sulla tradizione manualistica latina. […]

Non furono necessari grandi sforzi per convincere i Romani dell’utilità pratica della tradizionale preparazione retorica dei Greci. Il perfezionamento dell’abilità oratoria era sempre stato considerato un fattore importante nella preparazione degli uomini politici romani. […]

Le cose andarono in modo completamente diverso, invece, per quanto riguardava il quadrivio matematico greco. I genitori romani, rozzi e ostinati, non riuscivano a immaginare quale contributo potessero dare la matematica astratta, l’astronomia teorica e la teoria armonica alla preparazione di un giovane destinato a svolgere incarichi amministrativi o a prendere parte attiva alla creazione dell’impero. I pedagoghi greci sostenevano … che la matematica aguzzava l’intelligenza; e Polibio faceva osservare ai suoi aristocratici ospiti che la conoscenza dell’astronomia poteva tornare utile a un generale che dovesse spostare le sue legioni da un territorio all’altro. Le argomentazioni dei Greci ebbero la meglio, almeno durante il periodo in cui lo stimolo culturale fu più acuto: nelle scuole romane venne introdotto lo studio della matematica astratta, come attestano gli scrittori che ricordano di essersi annoiati, moltissimo durante le lezioni di aritmetica e di geometria. Possiamo tuttavia sospettare che questi studi teorici venissero tollerati a Roma non tanto per il loro valore intrinseco, quanto perché era di gran moda assumere pedagoghi che educassero i giovani secondo i metodi, greci. Altre reminiscenze che affiorarono negli scritti di diversi autori latini riguardano casi divertenti, non dissimili del resto da quelli che si incontrano anche nella letteratura greca: un genitore dalla mentalità molto realistica interroga il figlio sui suoi studi matematici e poi si chiede quale applicazione potranno mai trovare negli affari commerciali e nell’amministrazione del patrimonio familiare. Vi è però una differenza significativa: i lettori greci solidarizzavano con il figlio, i lettori romani con il padre. Poteva accadere che qualche nobile romano deprecasse l’importanza eccessiva attribuita alle discipline pratiche, come fa anche Orazio nella sua Ars poetica; ma la matematica pura, a Roma, si trovò sempre in una posizione precaria: dapprima vi fu una battaglia accanita per inserirla nei programmi di studio, poi venne di moda e allora fu tollerata; e infine, durante l’impero, la sua importanza nelle scuole declinò inesorabilmente.

I patrizi romani non erano contrari alle discipline che potevano contribuire a rendere più acuta l’intelligenza dei giovani. Anche se negavano tale valore alla matematica, lo riconoscevano agli studi filosofici. Non si poteva pretendere che la filosofia metafisica elaborata dai Greci solleticasse gli istinti dilettantistici dei Romani […]

I manuali costituirono il ponte attraverso il quale vennero importate a Roma le varie discipline greche. Il sistema più agevole per adattare una disciplina ai gusti e alle esigenze dei lettori latini consisteva nel preparare la traduzione di un manuale. Nei casi in cui possediamo un originale greco e possiamo confrontarlo con una traduzione o con un adattamento in latino, abbiamo modo di osservare che, quando la materia era difficile, le traduzioni erano molto libere: omettevano o parafrasavano le discussioni complicate e introducevano numerosi esempi per facilitare la comprensione da parte del lettore. […]

Per i Greci, i manuali divulgativi rappresentavano una scienza di basso livello, ma a Roma esisteva un unico livello di conoscenza scientifica: il livello dei manuali. Anche i Romani dotati della più viva curiosità intellettuale come Lucrezio, Cicerone, Seneca e Plinio, si accontentarono di attingere dai manuali la loro conoscenza della scienza greca, e non vi apportarono contributi originali. La scienza manualistica latina era antiquata fin dalla sua nascita, poiché era una sintesi di ricerche e di teorie greche che avevano già cento, duecento o trecento anni quando vennero importate a Roma. Dato che in maggioranza i compilatori latini non avevano la minima attitudine per gli studi teorici, le tradizioni manualistiche della scienza greca subivano un nuovo deterioramento ogni volta che passavano per le mani di un nuovo compilatore. La mentalità di Cicerone illustra in modo perfetto quale fosse la posizione dell’intellettuale romano nei confronti della scienza teorica. All’inizio delle Tusculanae, egli si dichiara lieto che, mentre i Greci esaltano la geometria pura, i Romani applichino giudiziosamente questo studio alle misurazioni ed ai conteggi pratici.

I compilatori latini speravano di mascherare, con un grande sfoggio di erudizione, la loro mancanza di competenza: specialistica. … Essi conoscevano benissimo la fama dei più eminenti scienziati greci, e fingevano di servirsi delle loro opere quali fonti di informazione; ma nella stragrande maggioranza dei casi la fonte immediata di una nuova compilazione latina, durante l’età repubblicana, era un manuale greco. I compilatori romani, per consuetudine, citavano come loro fonti i nomi degli autori che in realtà erano le fonti dichiarate dai compilatori greci. In questo modo, essi ottenevano un duplice risultato: assicuravano alle loro compilazioni un’autorità maggiore e mascheravano gli abbondanti saccheggi di materiale già assimilato. Molti studiosi, in passato, si sono lasciati trarre in inganno dalle citazioni tratte da opere di Eudosso, Eratostene, Archimede, Ipparco e Tolomeo. Questi riferimenti vanno respinti recisamente, non meno delle numerosissime citazioni che vengono presentate come tratte dalle opere di Pitagora, il quale non mise mai nulla per iscritto. Una parte degli Elementi di Euclide venne tradotta in latino da Boezio all’inizio del sesto secolo, questo è vero; e gli scolari romani, durante il periodo classico, studiavano compendi o estratti dell’opera di Euclide: ma sarebbe stato un avvenimento davvero straordinario se un Romano avesse compiuto un tentativo serio di comprendere le opere teoriche di Archimede, di Ipparco e di Tolomeo; e non esistono indicazioni decisive che un tentativo del genere abbia mai avuto successo.
 

    Che dire ? Verrebbe la voglia di fare facili paralleli con i cialtroni che da molti anni governano l’Italia da Roma, con i brianzoli del dané, ma non è questa la sede.

    Certo è che nell’età di Diofanto già siamo dentro ad un’epoca che non solo non conserva ma addirittura dimentica. Ci vorranno circa 1500 anni per riprendere in mano il sapere alessandrino e farlo fruttificare.

IL SEGUITO

    A partire dal II secolo d.C., se si escludono le importanti eccezioni di Diofanto (III sec.), Proclo (V sec.) e Filopono (VI sec.), non si produce più scienza originale. Si tenta (e sarà sempre più difficile) la conservazione di quanto fatto in precedenza. I commentari dei classici vanno per la maggiore. Ma, da commentario in commentario, il classico va sparendo. Si fanno poi dei compendi ma anche questi sono sempre più succinti e, anche qui, l’autore originale va sparendo. In questo modo, comunque, si riuscirono almeno a conservare quelli che si possono definire i risultati della scienza greca. Il metodo, la ricerca, si perse. Si sente negli scrittori di questo lungo periodo come un senso di rassegnazione, di incapacità di porsi al livello dei maestri, una sfiducia nella reale possibilità di conoscere.
        Cerchiamo di vedere cosa c’è nell’intorno politico-sociale. Cominciamo col dare qualche riferimento storico: l’editto di Milano del 313 segna il trionfo del Cristianesimo; nel 330 la capitale dell’Impero diventa Costantinopoli; nel 380 il Cristianesimo diventa religione di stato; nel 395 si scinde l’Impero; il 410 vede il sacco di Roma; nel 529 Giustiniano chiude d’autorità l’Accademia di Atene e vieta l’insegnamento ai pagani (non cristiani); nel 642 Alessandria (che già aveva visto distruggere una sezione della sua biblioteca ad opera del vescovo Teofilo e del capobanda, intorno al 390, ed uccidere, intorno al 415, da parte di una folla incitata dal Patriarca Cirillo, Ipazia, l’ultima matematica di Alessandria) viene conquistata dagli arabi. In questo scenario si inserisce una profonda crisi dell’agricoltura, la scarsità di manodopera, la grande difficoltà di comunicazione ed una burocrazia ingigantita.
        Come queste cose abbiano influito direttamente in ciò che discutiamo è difficile dire ma alcuni elementi qua e là si possono certamente cogliere. A partire dal I secolo già Plinio si lamentava della scarsezza di manodopera servile e, a partire dal III secolo il costo degli schiavi sui mercati era diventato sempre più proibitivo a causa del fatto che i mercati stessi erano sempre meno riforniti da merce raccolta in differenti campagne belliche. Furono i barbari che iniziarono a vendere schiavi a Roma e, molto spesso, tra di essi vi erano moltissimi romani. Furono i poveri ad immettere i propri figli nei mercati degli schiavi. Ma la gran quantità di denaro che possedeva l’Impero in epoche precedenti si era esaurita. Il mercato degli schiavi non poteva accrescersi. Inoltre era venuta a gravare sull’Impero una enorme spesa che non rendeva nulla: il finanziamento della Chiesa ed il pagamento degli ecclesiastici. Un esercito, quest’ultimo, di bocche inutili che spessissimo aveva intrapreso la carriera ecclesiastica per ragioni di prestigio e per avere un sicuro stipendio (un vescovo guadagnava sei volte di più di un medico o di un ingegnere e cinque volte di più di un professore di grammatica o di retorica !). Queste risorse venivano meno per altre imprese, tra cui il finanziamento delle scuole (solo quella di Alessandria fu sostenuta fino al V sec.). Ed era soprattutto dalle Scuole che proveniva il mantenimento materiale di chi faceva scienza (e non solo): ora, non solo occorreva scontrarsi con difficoltà economiche ma anche contro moltissimi autori cristiani che anteponevano la rivelazione alla ragione, la fede alla  conoscenza.(11)
        Con il trascorrere del tempo, anche la voglia di tramandare i classici venne meno. I commentari ed i compendi erano sempre più miseri, con il risultato di distorcere sempre più la fonte originale. Questo processo, alla fine, soprattutto in Occidente, comportò la completa sparizione delle opere originali delle quali si perse traccia. Le cose andarono in modo diverso in Oriente dove la scienza greca si mantenne di più nelle opere originali e, dopo la caduta di Alessandria sotto il dominio arabo, l’intero patrimonio dei classici greci passò agli arabi che seppero farne molto migliore uso di quanto non se ne fece nell’Occidente Cristiano.

    Mentre in Occidente la scienza era ridotta a trovare esempi della verità della morale e della religione, a ricavare simbologie che rappresentassero questioni morali (la Luna era paragonata alla Chiesa perché rifletteva la luce di Dio; il vento era l’immagine dello spirito; il numero 11, andando oltre il numero dei comandamenti, era il simbolo del peccato), nell’Oriente, diventato arabo, si coltivava, si traduceva e si sviluppava la scienza dei classici greci. Cosicché, col passare dei secoli furono proprio gli arabi che divennero (come dice Koyré) maestri ed educatori (non meramente intermediari) dell’Occidente cristiano. In questo senso è sintomatico il fatto che le prime traduzioni dei classici greci in latino, non furono fatte direttamente dal greco ma dalle traduzioni che gli arabi già avevano fatto in arabo. E questo per due motivi di fondo: da una parte nessuno o quasi, in Occidente, conosceva il greco e dall’altra nessuno sarebbe stato in grado di capire e quindi tradurre le complesse opere di Aristotele o di Tolomeo, per fare solo due esempi.

    E così per circa 1000 anni la scienza dell’epoca d’oro ci fu trasferita dagli arabi che dettero anche importantissimi contributi.

    Ma di questo mi occuperò in un altro lavoro.

Roberto Renzetti


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NOTE

(1) Nel sito http://faculty.fullerton.edu/cmcconnell/Planets.html si possono vedere molte animazioni di interesse. Nel sito http://people.scs.fsu.edu/~dduke/moon6.html si ha una animazione del moto lunare secondo Tolomeo.

(2) Agli strumenti descritti nell’articolo precedente (nota n° 9) occorre aggiungere l’astrolabio armillare di cui dispose (e forse realizzò) Tolomeo. Tale strumento si

Da Lloyd. Astrolabio armillare. Un asse di rotazione era parallelo a quello terrestre, un altro inclinato rispetto a questo come quello dell’eclittica. Vi era un dispositivo di mira con due piccoli fori e si potevano misurare direttamente gli angoli relativi alle stelle.

differenzia dagli astrolabi piani. Esso, una volta orientato su un dato astro mediante i due forellini per puntare montati su un dato cerchio, permetteva di determinarne la latitudine e la longitudine rispetto all’eclittica.

Vi era poi un anello graduato che serviva per misurare gli angoli. Esso si disponeva lungo il meridiano ed un dispositivo di mira, formato da due tacche poste su di un anello

concentrico al primo e girevole rispetto ad esso, permetteva di leggere direttamente l’altezza di una data stella mediante il filo a piombo di cui il sistema disponeva. Con tale strumento Tolomeo ampliò le osservazioni di Ipparco e costruì un catalogo di 1080 stelle, circa 250 in più di quelle catalogate da Ipparco. Per consultare il catalogo completo delle stelle censite da Tolomeo si può vedere: http://astro.isi.edu/reference/almagest.html

(3) Nell’Ipotesi planetaria, Tolomeo modificò, per i pianeti interni, questa visione. Ciò che fece fu sostituire al cerchio epiciclo che ha un cerchio perpendicolare, una sfera epiciclo. Per vedere delle animazioni del moto dei pianeti nel sistema tolemaico si può andare al sito: http://people.scs.fsu.edu/~dduke/ptolemy.html

(4) Non si aveva alcuna certezza sulla successione dei vari pianeti. Si era capito che il Sole doveva stare in mezzo tra quelli che noi conosciamo come pianeti interni ed esterni, ma per il resto vi era incertezza. Tolomeo aveva intuito il modo di risolvere il problema, mediante lo studio della parallasse ma non riuscì a misurarla. Egli credeva di poterci riuscire perché aveva un  pregiudizio di sistema solare piccolo; ma le distanze planetarie sono tali che l’angolo di parallasse è molto piccolo e non misurabile con gli strumenti di cui disponeva. Scrive Tolomeo nell’Almagesto:

Non c’è altro modo di affrontare questo [problema dell’ordine dei pianeti], dovuto all’assenza di una parallasse percettibile in queste stelle, a partire dalla cui sola apparenza visibile si debbono ottenere le distanze lineari … [Utilizzeremo] il Sole come linea divisoria naturale tra quei pianeti che possono stare a qualunque distanza angolare dal Sole e quelli che non possono che muoversi nelle sue vicinanze.

E’ da segnalare il fatto che nel Libro II delle Ipotesi planetarie, Tolomeo afferma che i pianeti non subiscono influenze dall’esterno e non hanno relazione gli uni con gli altri.

(5) Per vedere le 27 mappe di Tolomeo si può accedere al sito della Biblioteca Nazionale di Napoli http://www.bnnonline.it/biblvir/tolomeo/tolomeo.htm. Qui è conservato un codice della Cosmographia di Tolomeo del secolo XV.

(6) L’argomento l’ho trattato in La luce. Capitolo1: l’antichità classica.

(7) Per leggere l’intero Tetrabiblos in lingua inglese si può vedere: http://www.sacred-texts.com/astro/ptb/index.htm

(8) Il Libro XIV dell’Antologia Palatina, un libro ritrovato nel 1606, contiene 105 epitaffi (di cui 45 di carattere aritmetico) che furono scritti da Metrodoro (un grammatico vissuto tra la fine del V e il principio del VI secolo).

(9) A volte l’incognita era indicata con il termine numero (αριθμόζ leggi aritmo) e ciò creava delle ambiguità.

(10) Nel 1637 questo problema avrebbe fatto sorgere uno dei teoremi più famosi di matematica, l’ultimo teorema di Fermat «L’equazione  x+ yn  = an  non ammette soluzioni intere per nessun n eccetto che per n = 2». Le cose andarono così. Fermat era solito appuntare osservazioni o problemi al lato dell’Arithmetica di Diofanto (edizione Bachet) che leggeva. Alla proposizione 8 del Libro II scrisse al margine quanto segue: “Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caparet” cioè “E’ impossibile separare un cubo in due cubi, o una quarta potenza in due quarte potenze, o in generale, ogni potenza superiore alla seconda in due potenze dello stesso ordine. Ho scoperto una prova davvero meravigliosa di ciò che questo margineè però troppo stretto per contenere“. Quel prezioso libro andò perduto e sembra che solo il figlio di Fermat, Samuel, lo abbia potuto vedere e riportare l’annotazione che ho più su riportata in un’edizione del 1670 delle opere del padre. Naturalmente della dimostrazione che Fermat padre aveva trovato, non si ebbe più notizia e quel teorema è restato fino a qualche anno fa senza dimostrazione. Nella figura seguente il frontespizio dell’edizione di Diofanto, annotata da Fermat, realizzata a Tolosa nel 1670.

(12) C’é Lloyd che a sostegno della tesi della non completa chiusura del pensiero cristiano ai problemi della scienza, cita i discreti contributi che ad essa ha dato il cristiano Filopono. Occorre solo ricordare che Filopono fu dichiarato eretico dalla Chiesa.
 

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(49) – Piero Innocenti – Epicuro – La Nuova Italia 1975

(50) – F. Enriques, G. de Santillana – Compendio di storia del pensiero scientifico –  Zanichelli 1979

(51) – S.F. Mason – Storia delle scienze della natura – Feltrinelli 1971

(52) – E. Picutti – Il numero e la sua storia – Feltrinelli 1976

(53) – Ludovico Geymonat – Storia della matematica – in: Nicola Abbagnano (coordinata da) – Storia delle scienze – UTET 1965

(54) – Mario Gliozzi – Storia della fisica – in: Nicola Abbagnano (coordinata da) – Storia delle scienze – UTET 1965

(55) – Nicola Abbagnano – Storia della Filosofia – UTET 1993

(56) – Werner Heisenberg – La teoria dei quanta e le origini della scienza atomica – in Fisica e Filosofia, Il Saggiatore 1974

(57) – Charles Singer (coordinata da) – Storia della tecnologia – Boringhieri 1962

(58) – T. K. Derry, T. I. Williams – Storia della tecnologia – Boringhieri 1977

(59) – Charles Singer – Breve storia del pensiero scientifico – Einaudi 1961

(60) – E. P. Lamanna – Antologia filosofica – Le Monnier 1947

(61) – A. Frajese, L. Maccioni (a cura di) – Opere di Euclide – UTET 1977

(62) – G. Giardini – Lucrezio – Accademia 1974

(63) – Bertrand Russel – Storia della filosofia occidentale – Longanesi 1966

(64) – Platone – Timeo, Crizia, Minosse – Laterza 1928

(65) – A. Koyré – Introduzione a Platone – Vallecchi 1973

(66) – François Châtelet – Platón – Gallimard 1973

(67) – David J. Melling – Understanding Plato – Opus Paperback 1987

(68) – Aristotele – Fisica, Del cielo – Laterza 1973

(69) – A. E. Taylor – Aristotle – T. C. & E. C. Jack 1919

(70) – John L. Ackrill – Aristotele – il Mulino 1993

(71) – Werner Jaeger – Aristóteles – Fondo de Cultura Economica (Mexico) 1993

(72) – Jonathan Lear – Atistotle. The desire to understand – Cambridge University Press 1988

(73) – Giulio Preti – Storia del pensiero scientifico – Mondadori 1975

(74) – Thomas Kuhn – La rivoluzione copernicana – Einaudi 1972

(75) – Yehuda Elkana – Antropologia della conoscenza – Laterza 2000

(76) – Erone – Pneumatica – nell’edizione inglese del 1851, nel sito: http://www.history.rochester.edu/steam/hero/index.html

(77) – Norwood Russell Hanson – Constellations and Conjectures – Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holland 1973

(78) – Claudio Ptolomeo – Las hipótesis de los planetas – Alianza Editorial, Madrid 1987

(79) – Pierre de Fermat – Osservazioni su Diofanto – Boringhieri 1959

(80) – William H. Stahl – La scienza dei romani – Laterza 1974

Roberto Renzetti

LO STATO DELL’ASTRONOMIA ALL’INIZIO DEL III SECOLO A.C.

    Anche qui devo ricordare quanto ripetuto più volte: non disponiamo di molti documenti. Ciò che abbiamo ci proviene in gran parte da quanto altri autori ci raccontano. Di volta in volta dirò a cosa ci riferiamo se ad opera originale o a chi la riferisce.

    Inizio riprendendo qui quanto avevo detto in una nota di un precedente articolo su Eudosso di Cnido(1)(408-355 a.C. circa), dopo aver riportato una figura che fornisce un riferimento di base per i vari elementi astronomici che discutiamo.

Da Singer. L’osservatore astronomico si considerava al centro della vasta sfera celeste portante le stelle fisse e riteneva la Terra tanto piccola che la sua distanza dal centro di essa era insignificante in confronto alla sua distanza dal confine del cielo. Di questa sfera celeste egli poteva tuttavia vederne solo metà, l’altro emisfero essendogli celato dall’opacità della Terra. Il cerchio di delimitazione della sua visione costituiva l’orizzonte (da parola greca significante «limitare»), che tracciava un grande circolo sulla sfera celeste. Egli riconobbe inoltre i poli celesti o punti toccati dall’asse attorno al quale sembra girare il firmamento. Sulla volta celeste segnò inoltre il meridiano che passa attraverso lo zenith (è questo un termine arabo) e i poli. Il grande circolo normale alla linea congiungente i poli era l’equatore. Fu partendo da questi elementari concetti che gli osservatori alessandrini elaborarono tutto il loro sistema astronomico

     Verso la fine del IV secolo a.C. era generalmente accettato il sistema astronomico detto a due sfere, quello che sarà codificato da Aristotele con alcune modalità che discuterò un poco oltre. La Terra sferica è al centro dell’universo che è racchiuso da una sfera, quella delle stelle fisse. Intorno alla Terra ruotano i pianeti verso est, mentre la sfera delle stelle fisse ruota verso ovest (vedi figura seguente). Questo sistema aveva però varie complicazioni relativamente ai dati osservativi. Varie cose non tornavano e non sembravano esservi spiegazioni. Inoltre, nel momento del massimo splendore della scienza alessandrina, sembrava che proprio l’astronomia anziché avanzare con invenzioni teoriche pari a quelle fatte in matematica, si richiudesse dentro un ambito ristretto di complicazioni tecniche ed in gran parte macchinose. Il problema nasceva dal fatto che non si danno grandi voli dell’intelletto quando, ferma restando la realtà che ci circonda e dalla fenomenologia della quale non si può prescindere, non si hanno strumenti adeguati tecnici e di misura. All’introduzione, ad esempio, dell’astronomia in Grecia da parte dei pitagorici non corrispose un’analoga introduzione dei metodi aritmetici dei babilonesi che erano potenti strumenti tecnici di indagine che si sarebbero dovuti comunque coniugare con dati osservativi nuovi e sempre più accurati. 

Da Kuhn. Il sistema astronomico a due sfere 

    Eudosso rimise l’astronomia su binari scientifici rispondendo in qualche modo alla provocazione del suo maestro Platone secondo il quale occorreva salvare i fenomeni. Occorreva cioè spiegarli e rendere conto di essi attraverso elaborazioni teoriche che non necessariamente avrebbero dovuto corrispondere con ciò che avviene in realtà. Vi erano tanti fenomeni osservati (e, fino all’invenzione della diottra attribuita ad Ipparco e della quale parlerò più oltre, con strumenti primitivi come lo gnomone e la meridiana) che non trovavano spiegazione in alcuna teoria: cambi di velocità nel cielo, pianeti che danzano (vanno un poco in avanti poi stazionano e poi vanno un poco indietro ….), cambi di luminosità, stagioni, diversa lunghezza di esse, … Occorreva costruire un sistema che spiegasse tali fenomeni.

    Eudosso ideò un sistema di sfere muoventesi in modo da risolvere parte dei problemi che si ponevano. Fermo restando il geocentrismo e tutte le implicazioni che esso aveva, si trattava di dare una risoluzione geometrica del moto simultaneo (con centro la Terra) del Sole, della Luna e dei cinque pianeti. Ciò fu realizzato mediante il sistema delle sfere omocentriche (sfere aventi lo stesso centro, un poco come in una cipolla) ruotanti con assi e velocità angolari differenti. Naturalmente questa risoluzione doveva rendere anche conto di uno dei fenomeni che più avevano creato dei problemi ai vari astronomi nel descrivere le loro osservazioni, il moto retrogrado dei pianeti. Di cosa si tratta ? Nella sua orbita intorno al Sole, vista dalla Terra, qualche pianeta ogni tanto non segue il suo moto in una precisa direzione di rotazione. Esso, sempre osservato dalla Terra, avanza nel suo moto ordinario verso est poi, ogni tanto, torna un pochino indietro (verso ovest !) per riprendere successivamente la sua marcia ordinaria verso est. E’ un fatto straordinario, per chi non conosce il sistema copernicano ed è ancora legato alla Terra immobile. In linea di massima, in certi periodi dell’anno, un dato pianeta, osservato dalla Terra, può essere visto seguire la traiettoria di figura seguente:

Da Kuhn. La linea continua rappresenta la traiettoria del pianeta Marte, quella tratteggiata l’eclittica. Come si vede, al 1° giugno il pianeta è osservato cambiare verso di marcia, fino più o meno a metà agosto, quando riprende la sua marcia normale.

    Sembrerebbe quindi che il pianeta, di tanto in tanto, torni indietro. Il tutto si spiegherà naturalmente con il sistema planetario di Copernico ma, mantenendo la Terra al centro dell’universo, la cosa era un rompicapo per il quale si tentarono varie spiegazioni e soluzioni. Le sfere omocentriche di Eudosso risolvevano anche questo problema. Una sfera serviva per rendere conto del moto giornaliero delle stelle fisse intorno all’asse della Terra (passante per i poli). Ogni pianeta ne aveva quattro mentre il Sole e la Luna ne avevano tre. Tali sfere dovevano rendere conto di tutti i fenomeni osservati attraverso loro movimenti opportuni. La prima (muovendosi dall’esterno verso l’interno) di queste sfere ruotava intorno ai poli dell’eclittica (intorno all’asse del piano dell’eclittica) e aveva un periodo di un anno per i pianeti interni e quello zodiacale proprio per ciascun pianeta per i pianeti esterni. Restava da rendere conto di varie cose a cominciare dalle stazioni e dal moto retrogrado. Qui interviene un’altra sfera che ruotava su un asse perpendicolare al precedente (che si trova quindi sul piano dell’eclittica) nel periodo tra due opposizioni al Sole del pianeta in considerazione. Il pianeta si trovava sulla quarta sfera. I poli di questa, che ruotava in direzione opposta a quella della terza, si trovavano sulla terza ma con inclinazione diversa per ciascun pianeta. Una combinazione di moti della terza e quarta sfera rendeva conto delle stazioni e retrogradazioni. Non si risolveva tutto perché restava fuori, ad esempio, un fenomeno dovuto all’inclinazione dell’orbita della Terra intorno al Sole che evidentemente in un sistema geocentrico non entrava. Questa rotazione della Terra intorno al Sole comporta l’osservazione dei pianeti dalla Terra con spostamenti di latitudine verso l’alto e verso il basso. E non spiegava le differenti luminosità di Marte e Venere, il cambiamento del diametro apparente di Luna e Sole. Leggo da Kuhn:

Nel sistema planetario di Eudosso ciascun pianeta era posto sopra la sfera interna di un gruppo di due o più sfere concentriche, fra loro collegate, la cui simultanea rotazione attorno ad assi differenti produceva il moto osservato dei pianeti. La figura (a) mostra una sezione trasversale di due sfere, fissate in questo modo tra loro, il cui centro comune è la Terra ed i cui punti di contatto sono le estremità dell’asse obliquo della sfera interna, che funge da perno. La sfera esterna è la sfera delle stelle, o almeno ha lo stesso moto di quella sfera. Il suo asse passa per il polo nord celeste e per quello sud compie una rotazione in direzione ovest attorno a questo asse ogni 23 ore e 56 minuti. L’asse della sfera interna tocca la sfera esterna in due punti diametralmente opposti, spostati di 23° e mezzo dai poli nord e sud celesti; pertanto l’equatore della sfera interna, visto dalla Terra, cade sempre sull’eclittica della sfera delle stelle, indipendentemente dalla rotazione delle due sfere. Ora se il Sole è posto in un punto sull’equatore della sfera interna e questa sfera vien fatta ruotare lentamente verso est attorno al suo asse, una volta all’anno, mentre la sfera esterna compie una rotazione al giorno attorno al suo asse, la risultante dei due moti riprodurrà il moto osservato del Sole. La sfera esterna produce il moto giornaliero verso ovest che osserviamo dall’alba al tramonto; la sfera interna produce il moto annuale più lento, in direzione est, lungo l’ec1ittica.

Secondo Eudosso soltanto le stelle fisse possedevano un’unica sfera. La Luna e il Sole, ad esempio, possedevano ben tre sfere ciascuno. Nel disegno si vede un corpo celeste che si trova inserito in un sistema di tre sfere legate tra loro da vincoli di rotazione. Infatti la sfera interna (rossa), sulla quale è fissato il corpo celeste, ruota su se stessa attorno un asse vincolato alla seconda sfera (blu), la quale a sua volta ha l’asse di rotazione vincolato alla terza sfera (verde), più esterna [da:  www.vialattea.net/pagine/astro1/p2Csfere.html].

Sistema planetario di Eudosso o omocentrico. La figura mostra il sistema di sfere per un solo pianeta, Saturno. La Terra sta immobile al centro. La sfera stellare S ruota attorno al centro della Terra. Al suo interno, e ad essa collegati, si trovano gli assi di una seconda sfera D1ruotante con velocità differente: in quest’arco vi sono gli assi di una terza sfera D2 che ne porta a sua volta una quarta D3. A quest’ultima è attaccato il pianeta il cui moto è perciò una combinazione delle rotazioni delle quattro sfere [Singer].
 

Analogamente, se la sfera interna compie una rotazione in direzione est ogni 27 giorni e un terzo, e se la Luna è posta sull’equatore di questa sfera, allora il moto di questa sfera interna genera lo spostamento medio della Luna attorno all’eclittica. Le deviazioni della Luna a nord e sud dell’eclittica ed alcune irregolarità relative al tempo
 


Da Kuhn. Sfere omocentriche. Nel sistema a due sfere, quello pre Eudosso (a), la sfera esterna produce la rotazione giornaliera e la sfera interna muove il pianeta (Sole o Luna) con velocità regolare verso est attorno all’eclittica. Nel sistema a quattro sfere, quello di Eudosso (b), il pianeta P giace fuori del piano del disegno, all’incirca su di una linea che va dalla Terra T all’occhio del lettore. Le due sfere più interne generano il moto a forma di nodo illustrato in figura 18, mentre le due sfere più esterne producono e il moto giornaliero e lo scorrimento medio del pianeta in direzione est.
 

Altra rappresentazione delle sfere omocentriche di Eudosso. Qui si può apprezzare la posizione del pianeta P rispetto alla Terra (vedi didascalia precedente). Per la comprensione di quella linea ad S che si trova su P, vedi il testo che segue.

che la Luna impiega per effettuare rivoluzioni successive possono essere approssimativamente riprodotte con l’aggiunta al sistema di un’altra sfera che si muova assai lentamente. Eudosso usò pure (sebbene non ve ne fosse la necessità) una terza sfera per descrivere il moto del Sole: cosicché erano necessarie sei sfere per riprodurre contemporaneamente il moto della Luna e del Sole.

Le sfere illustrate nella figura (a) erano note come sfere omocentriche, poiché hanno un centro comune: la Terra. Due o tre di queste sfere possono, con buona approssimazione, riprodurre il moto generale del Sole e della Luna; ma non sono in grado di spiegare i moti di retrocessione dei pianeti e il grandissimo ingegno di Eudosso, nel campo della geometria, si rivelò nelle modifiche che egli introdusse nel sistema trattando il comportamento apparente dei rimanenti cinque pianeti. Per ciascuno di questi, egli adottò un complesso di quattro sfere, rappresentate in sezione trasversale nella figura (b). Le due sfere esterne si muovono esattamente come le sfere della figura (a): la sfera più esterna ha il moto giornaliero della sfera delle stelle e la seconda sfera (a partire dall’esterno) compie una rotazione in direzione est nel tempo medio che il pianeta impiega per uno spostamento attorno all’eclittica. (La seconda sfera di Giove, ad esempio, compie una rotazione in 12 anni). La terza sfera è in contatto con la seconda in due punti diametralmente opposti sull’eclittica (l’equatore della seconda sfera), e l’asse della quarta sfera, ossia della più interna, è fissato alla terza sfera con un’inclinazione angolare che è funzione delle caratteristiche del moto che dev’essere descritto. Il pianeta stesso (Giove, nell’ esempio citato) è posto sull’equatore della quarta sfera.

Supponiamo ora che le due sfere esterne siano tenute ferme e che le due sfere interne ruotino in direzioni opposte, completando ciascuna una rotazione attorno al proprio asse nell’intervallo di tempo che separa due successive retrocessioni del pianeta (399 giorni nel caso di Giove). Un osservatore che osservi il movimento del pianeta sul fondo della seconda sfera, tenuta temporaneamente ferma, lo vedrà muoversi lentamente disegnando un otto i cui occhielli sono bisecati dall’eclittica. Questo moto è schematizzato in figura seguente; il pianeta passa lungo

Da Kuhn. [La curva riportata, oggi nota come lemniscata, era allora chiamata ippopeda o ferro di cavallo, ndr].Il moto a forma di nodo generato dalle due sfere omocentriche più interne. Nel sistema completo a quattro sfere, questo tipo di moto nodale si compie con il moto regolare in direzione est della seconda sfera: moto che, di per se stesso, porterebbe il pianeta lungo l’ec1ittica a velocità uniforme. Quando si viene ad aggiungere il moto nodale, il moto generale del pianeta ha una velocità variabile e non è più legato all’ec1ittica. Mentre il pianeta si sposta sul nodo dal punto I al 5, il suo moto generale è più veloce del moto medio in direzione est generato dalla seconda sfera. Mentre il pianeta si sposta dal 5 all’1 sul nodo, il suo moto in direzione est diventa più lento di quello generato dalla seconda sfera, e, quando si trova vicino al punto 3, può in effetti spostarsi verso ovest, in retrocessione.  L’idea della lemniscata era ben vista dagli ambienti platonici in quanto questa curva risultava generata intersecando una sfera con un cilindro (o un cono) che sono tre solidi di rotazione considerati perfetti.
 

gli occhielli dalla posizione 1 alla 2, dalla 2 alla 3, dalla 3 alla 4, … , impiegando lo stesso tempo fra ciascun punto numerato e il successivo e tornando al punto di partenza dopo l’intervallo fra le retrocessioni. Durante lo spostamento da 1 a 3 a 5, il pianeta si muove in direzione est attorno all’eclittica; durante l’altra metà di tempo, mentre si sposta da 5 a 7 e poi di nuovo all’1, il pianeta si muove in direzione ovest.

Ammettiamo ora che la seconda sfera ruoti in direzione est e trascini nel suo moto le due sfere interne ruotanti, e supponiamo che il moto generale del pianeta venga osservato sul fondale di stelle della prima sfera, tenuta ancora temporaneamente ferma. Per tutto il periodo il pianeta è portato a ruotare verso est dal moto della seconda sfera; per metà del periodo (mentre si sposta dal punto 1 al punto 5 della figura precedente, il pianeta riceve una spinta motrice addizionale in direzione est dalle due sfere interne, cosicché il moto risultante è diretto ad est e persino più veloce di quello della seconda sfera. Ma durante l’altra metà del periodo (mentre il pianeta si sposta dal punto 5 al punto 1 della figura, il moto in direzione est della seconda sfera è contrastato da un moto diretto ad ovest dovuto alle due sfere interne e, allorquando il moto diretto ad ovest è alla sua velocità massima (vicino al punto 7 in figura), il moto risultante del pianeta visto contro la sfera delle stelle può in effetti esser diretto verso ovest, nella direzione di retrocessione. Questa è esattamente la caratteristica dei moti planetari osservati che Eudosso cercava di riprodurre nel suo modello.

Un sistema di quattro sfere omocentriche, fra loro collegate, può riprodurre approssimativamente il moto di retrocessione di Giove ed una seconda serie di quattro sfere può spiegare il moto di Saturno. Per ciascuno degli altri tre pianeti, si rendono necessarie cinque sfere (questo sviluppo ulteriore venne realizzato dal successore di Eudosso, Callippo, attorno al 330 a. C.) e l’analisi dei moti risultanti diventa, conseguentemente, più complessa. Per fortuna, non abbiamo bisogno di andare avanti nell’esame di queste complesse combinazioni di sfere rotanti, in quanto tutti i sistemi omocentrici presentano un grave inconveniente che condusse presto, nell’antichità, al loro abbandono. Poiché la teoria di Eudosso pone ciascun pianeta su di una sfera concentrica alla Terra, la distanza fra un pianeta e la Terra non può variare. Ma i pianeti appaiono più luminosi e sembrano quindi più vicini alla Terra quando retrocedono. Nell’antichità, il sistema omocentrico venne spesso criticato per la sua incapacità di spiegare questa variazione di luminosità dei pianeti e fu abbandonato dalla maggior parte degli astronomi quasi subito dopo che fu proposta una spiegazione più convincente di ciò che si poteva osservare nei cieli.

Tuttavia, malgrado abbiano avuto vita breve come effettivo strumento astronomico, le sfere omocentriche hanno un ruolo di primo piano nello sviluppo del pensiero astronomico e cosmologico. Per un caso storico, il secolo durante il quale parve che esse fornissero la spiegazione più interessante del moto planetario comprese gran parte della vita del filosofo greco Aristotele, il quale le incorporò nella più vasta, particolareggiata e autorevole teoria cosmologica che sia stata sviluppata nell’antichità.

    Questo sistema astronomico delle sfere omocentriche era, mi pare chiaro, un modello puramente matematico. Fu Aristotele che gli dette realtà fisica trasformando quelle sfere matematiche in sfere materiali cristalline (cristalline perché non si vedessero) perché Aristotele aveva bisogno di un sostrato materiale per la sua fisica. Conseguenza di ciò fu la necessità di introdurre nuove sfere che impedissero gli attriti tra sfere, attriti che non esistono nei modelli matematici ma solo in quelli meccanici. Tali sfere dovevano essere interposte alternativamente alle precedenti e dovevano ruotare in verso opposto (sfere reagenti)  e con lo stesso asse al fine di impedire il trasferimento di moto da una sfera alla successiva (ricordo che il moto planetario per Aristotele era trasferito dall’esterno, dal primum mobile, verso l’interno). Il sistema di Eudosso, come racconta Aristotele e commenta Simplicio, sarà perfezionato da Callippo di Cizico (370-325 a. C.), allievo del primo ed amico di Aristotele, con l’introduzione di 7 sfere aggiuntive per correggere le discrepanze con il moto dei pianeti dal movimento più irregolare. Così Callippo aggiunse una sfera supplementare a Marte, Mercurio e Venere, mentre non ne aggiunse alcuna a Giove e Saturno. Invece, per spiegare meglio i moti del Sole e della Luna, specialmente in relazione alle eclissi, aggiunse a questi ben due sfere supplementari. Le sfere aggiunte ai pianeti inferiori dovevano servire a migliorare il calcolo delle retrogradazioni. Le due sfere aggiunte al Sole dovevano rendere conto della diversa durata delle quattro stagioni (a partire dall’equinozio d’inverno egli aveva misurato con precisione, oggi sostanzialmente confermata, la lunghezza delle 4 stagioni in giorni 94, 92, 89, 90). Le due aggiuntive alla Luna, probabilmente, a spiegare l’irregolarità del suo moto lungo la linea equinoziale. Il numero di sfere passerà dalle 27 di Eudosso alle 34 di Callippo. Saranno poi ulteriori aggiustamenti fatti da Aristotele che accetterà il sistema di Eudosso-Callippo a portarle a 56 (per quanto precedentemente accennato).

    Ad Alessandria, nel III secolo a.C., siamo praticamente a questo punto(2) e non è solo un punto nella cronologia degli eventi ma anche un punto che apre ad un bivio tra la cosmologia aristotelica che ha cacciato la matematica e l’elaborazione teorica, quella che potrebbe prevedere salti di fantasia.  E proprio in questa epoca vi furono ulteriori interventi sul sistema delle sfere sempre al fine di rendere conto dei fatti osservati in un modo meno macchinoso del prevedere 56 sfere in rotazione l’una dentro l’altra, con stesso centro ma con assi di rotazione differenti. Da una parte si modificò il sistema delle sfere omocentriche di Eudosso con l’introduzione di un altro sistema di sfere (forse è meglio parlare di circonferenze), quello degli epicicli e deferenti, ad opera di Apollonio di Perga (262-190) e di Ipparco di Nicea (185-127) e con un cambiamento radicale di punto di vista, quello operato da Aristarco di Samo (310-230), che mise il Sole al centro dell’universo e la Terra a girargli intorno.

IL SOLE AL CENTRO DELL’UNIVERSO

    Discuto in breve il sistema astronomico ideato da Arsitarco perché su di esso sappiamo pochissimo. Ci conforta la testimonianza di un personaggio d’eccezione, Archimede, che se prese in considerazione la cosa essa doveva essere suffragata da diversi argomenti non meramente discorsivi. Purtroppo però, ripeto perché la cosa è deprimente, non abbiamo altro che alcune cose che Archimede scrive nell’Arenario:

Tu [o Gelone] sai che dal più gran numero di astrologi vien chiamata cosmo la sfera il cui centro è il centro della Terra, e il [cui] raggio è uguale alla retta compresa tra il centro del Sole e il centro della Terra: questo l’hai appreso dalle dimostrazioni scritte dagli astrologi. Aristarco di Samo, poi, espose per iscritto alcune ipotesi, secondo le quali si ricava che il cosmo è più volte maggiore di quello suddetto. Suppone infatti che le stelle fisse e il Sole rimangano immobili, e che la Terra giri, seguendo la circonferenza di un cerchio, attorno al Sole, che sta nel mezzo dell’ orbita; e che la sfera delle stelle fisse, intorno allo stesso centro del Sole, abbia tale grandezza che il cerchio, lungo il quale suppone che giri la Terra, abbia rispetto alla distanza delle [stelle] fisse la stessa proporzione che il centro della sfera ha rispetto alla superficie(3). È ben chiaro che questo è impossibile: infatti, poiché il centro della sfera non ha alcuna grandezza, non si può pensare che abbia alcun rapporto rispetto alla superficie della sfera. Ma si può ritenere che Aristarco intendesse questo: poiché supponiamo che la Terra sia come il centro del cosmo, lo stesso rapporto che la Terra ha rispetto a quel che chiamiamo cosmo, lo abbia la sfera sulla quale è il cerchio secondo il quale suppone che la Terra ruoti, rispetto alla sfera delle stelle fisse: infatti egli adatta le dimostrazioni dei fenomeni ad una supposizione di tal genere, e soprattutto sembra che egli supponga la grandezza della sfera, [sopra la superficie della] quale si fa rotare la Terra, uguale a quello che noi chiamiamo cosmo.

    Credo si possa dire che questa rivoluzione non sia avvenuta per un colpo d’ingegno di un signore che passava e guardava i problemi che erano posti. Probabilmente la prima rottura di Eraclide(2),relativamente ad un parziale eliocentrismo, può aver aperto la strada ad un punto di vista diverso. E questo punto di vista, soprattutto dopo i lavori sostanziosi e sorretti da un importante impianto teorico di Eudosso, doveva essere sostenuto da un altrettanto importante impianto teorico. Ma, come ho spesso ripetuto, nei periodi successivi, quando iniziò una lunga decadenza, si conservarono solo quelle cose che erano comprensibili e tra esse quelle che erano raccontate, divulgate, senza impianti matematici importanti. Insomma Aristarco non è persona che inventa un sistema astronomico. Egli è un astronomo matematico del suo tempo che è entrato nell’attenzione di più grandi matematici dell’epoca. Non è difficile capire che le sue argomentazioni dovevano essere pregnanti ed argomentate. Il suo rifiuto doveva invece nascere da presupposti diversi, da cose non chiarite e/o non affermate come il principio d’inerzia che sarebbe servito a sgomberare il campo dall’eterna obiezione di rivolgimenti sulle cose che stanno sulla Terra in caso di suo moto (una pietra lanciata in alto verticalmente dovrebbe ricadere ad occidente rispetto al punto di partenza; dovremmo sempre vedere nuvole ed uccelli andarsene a grande velocità verso occidente; la Terra dovrebbe scagliare via da sé tutti gli oggetti non saldamente legati ad essa). Ma anche, e non è cosa da poco se sullo stesso problema si è andati a sbattere 1900 anni dopo con Galileo, per motivi religiosi anche se è falso che Aristarco sia stato condannato per empietà(1). Ciò che ora interessa è invece cogliere questo momento di rottura di un ordine costituito da gerarchie mentali più che fisiche.

    Ma qual è la sostanza del pensiero di Aristarco, al di là di ciò che è evidente ? Lo dice Archimede. Se si ammette il suo sistema l’universo cresce a dismisura e, attenzione, tale crescita è indispensabile per prevedere l’esplosione che sarebbe dovuta seguire se non vi fosse stato il fermo cristiano e romano fino al Rinascimento e Barocco. Un universo molto più grande di quello che prevede una Terra immobile perché deve contenere l’orbita della Terra che si conclude in un anno. Ma … vi era una difficoltà enorme che sarà difficoltà anche in un futuro lontano, quella della parallasse stellare alla quale certamente Aristarco deve aver pensato. Se la Terra è immobile una qualsiasi stella deve sempre essere osservata in una medesima direzione. Ma se la Terra fosse in moto, a sei mesi di distanza, quando cioè la Terra si fosse trovata in posizione diametralmente opposta della sua supposta orbita, la data stella dovrebbe essere vista dalla Terra sotto un dato angolo come mostrato in figura. La metà dell’angolo a o a’ sotto cui si vede la stella, a sei mesi di distanza, è l’angolo p di parallasse.

E’ evidente che p varia al variare della distanza della stella dalla Terra ma anche (molto ma molto meno per ciò che sappiamo oggi) al variare del diametro dell’orbita terrestre intorno al Sole. Le stime e/o misure di Aristarco dovevano dare una situazione di grande distanza dall’orbita terrestre della sfera delle stelle fisse ma, nell’ancora relativamente piccolo universo, l’angolo di parallasse sarebbe dovuto essere apprezzabile. Già Filolao potrebbe essere incappato nel problema che non si risolve se si ha il pregiudizio di piccolo universo unito a strumenti inadatti. Se non si osserva la parallasse, infatti, una delle possibilità è concludere che la Terra è ferma (ma si potrebbe entrare in altro campo d’ipotesi se solo si abbandonasse ogni pregiudizio e non si continuasse a guardare la storia del lontano passato con gli occhi di oggi). Il problema è di grande complicazione perché implica misurare angoli piccolissimi, come quelli che verrebbero fuori nel caso delle enormi distanze che oggi sappiamo esserci tra orbita della Terra e stella, anche la più vicina (Proxima Centauri che dista 4,3 anni luce è che ha una parallasse di 0,75 secondi d’arco, cioè meno di un solo grado, impossibile da

Da http://scis.uai.it/cosmologia/astromisure.htm

apprezzare senza una strumentazione molto sofisticata. La prima misura di parallasse stellare sulla stella 61 Cygni fu realizzata da F.W. Bessel, nel 1838 e dette come risultato 0,3136 secondi d’arco). Ma, poiché oggi noi associamo il riconoscimento di parallasse alla proiezione della stella che osserviamo su uno sfondo di altre stelle (sappiamo cioè che le stelle non giacciono tutte su una stessa

Da http://scis.uai.it/cosmologia/astromisure.htm

sfera, come comunemente accettato dalla cultura che stiamo studiando), dovrebbe risultarci difficile immaginare che astronomi alessandrini abbiano potuto pensare di evidenziare una parallasse. Forse, con Dreyer, se si consideravano le stelle situate su una superficie sferica, occorreva pensare che la parallasse sarebbe stata notata visivamente in quanto le stelle collocate in prossimità dell’eclittica sarebbero apparse o addensarsi o disperdersi a seconda della posizione della Terra, più lontana o più vicina rispettivamente ad esse. Non è possibile che, nel fare questi ragionamenti, noi sovrapponiamo ciò che sappiamo oggi su un’altra cultura e lo diamo come un fatto evidente e scontato ? In ogni caso, non vi sono prove né in un senso né nell’altro. Ed è inutile quindi stare ad insistere con illazioni di qualunque tipo(4). E’ invece d’interesse occuparci di un’opera considerata minore di Aristarco Delle dimensioni e distanze del Sole e della Luna, nella quale, come annunciato nel titolo, Aristarco imposta i problemi astronomici in termini scientifici, di misura. Anche qui come altrove non valgono

Una pagina del manoscritto di Aristarco Delle dimensioni e distanze del Sole e della Luna

le considerazioni che tendono a svalutare la cosa perché non ha fornito risultati almeno vicini a quelli che conosciamo. E’ una tendenza che si manifesta spesso in storici anglosassoni i quali, a mio giudizio, non mettono al primo posto le questioni di metodo, di correttezza ed importanza dell’impostazione. Non interessa molto ad un primo esame se si è sbagliato di qualche ordine di grandezza; interessa se concettualmente si è sbagliato ad impostare il problema in quel modo. Ma tant’è, si tratta di un retaggio delle relative educazioni scolastiche.

    Seguiamo i ragionamenti di Aristarco riferendoci alla figura seguente che definisce il problema ed alla successiva per fare i calcoli:

Figura 1, adattata da Singer. In T (Terra) si trova l’osservatore. Egli effettua l’osservazione quando la Luna risulta illuminata per metà (primo o ultimo quarto) perché questa è la situazione che rende rettangolo il triangolo Terra-Luna-Sole (TLS). Con una misura accurata dell’angolo in T è possibile risalire al terzo angolo e quindi alle misure relative di Sole, Luna, Terra. La misura di Aristarco dava 87° per l’angolo in O con la conseguenza che l’angolo in S risultava di 3°

Figura 2.   GTE = FTG = 45°

    Le ipotesi da cui partiva Aristarco erano le seguenti:

1) la Luna riceve la propria luce dal Sole

2) la Terra si può considerare come un punto rispetto alla sfera lunare

3) quando la luna ci appare dimezzata, il circolo di separazione delle due parti ha il proprio piano passante per il nostro occhio

4) in queste condizioni la distanza angolare del sole dalla Luna è 87° [risultato della misura di Aristarco per l’angolo in O. Aristarco scrive un quadrante meno la trentesima parte di un quadrante; l’uso sistematico dell’angolo giro di 360° si diffuse solo in seguito, a partire probabilmente da Ipparco di Nicea]

5) l’ombra proiettata dalla Terra è in larghezza uguale a due diametri lunari

6) la grandezza apparente della Luna è di 2°.

    Di queste ipotesi di lavoro, fin dall’epoca di Pappo, si riteneva che fossero errate le ultime due. Le osservazioni recenti danno per la quarta premessa, quella risultato della misura, il valore di circa 89° e 50′ in luogo degli 87° misurati da Aristarco. Aggiungo solo che Aristarco era ben cosciente di non essere in grado di dare valori esatti per le grandezze e le distanze che cercava e per questo si accontentò di dare due limiti entro i quali sarebbero dovuti essere compresi i mutui rapporti delle grandezze delle distanze.

Nella figura 2 è riportato schematicamente quanto visto in figura 1. Quindi S è la posizione del Sole, T quella della Terra, L quella della Luna quando metà della sua superficie è illuminata (primo o ultimo quarto). Dalle osservazioni risulta che l’angolo (STL) fra Sole e Luna al primo quarto è di 87°; allora TSL = 3°. Costruiamo poi ETH = TSL = 3° e TG bisettrice dell’angolo FTE (= 45°). Considerando la circonferenza con centro in T e raggio = TE, il rapporto fra le lunghezze dei segmenti GE e HE (tangenti alla circonferenza in E) è maggiore del rapporto fra gli archi e gli angoli relativi. La cosa si giustifica intuitivamente infatti è evidente che, dato un angolo A, l’arco che lo sottende risulta compreso tra la corda e la tangente.

    Esprimendo ciò in termini moderni, facendo uso della trigonometria, questo teorema è equivalente all’espressione:

senα/senβ <  α/β <  tangα/tangβ

(per 0° < β < α < 90° dove α è uguale all’angolo GTE e β all’angolo HTE, ambedue espressi in radianti). Nel nostro caso: GE/HE = tangα/tangβ; α = 1/4 di angolo retto e β = 1/30 di angolo retto (i 3°);

    Dopo una serie di conti e disuguagliane varie, usando tutte le proprietà dei triangoli di figura 2, Aristarco trova che deve valere la disuguaglianza:

18 < ST/SL = 1/sen 3° < 20

fatto che gli fa concludere che il Sole è più di 18 volte (ma meno di venti volte) più lontano della Luna rispetto alla Terra. Il risultato che oggi conosciamo ci dice che il Sole è circa 400 volte più lontano della Luna rispetto alla Terra. L’errore discende tutto ed in cascata dalla misura dell’angolo in T di figura 1 e dalla capacità di valutare quando ci si trovi esattamente al primo o all’ultimo quarto di lunazione.

     Un modo molto più semplice di fare il conto è il seguente (sempre utilizzando simbolismo moderno). Riferendoci al triangolo rettangolo SLT di figura 1 si trova:

LT =  ST . sen LŜT = ST . sen 3°              

(avendo indicato con LT la distanza Terra–Luna e con ST la distanza Sole–Terra)
da cui:
 

ST/LT = 1/sen3° ~ 19
 

    Stesso valore (circa 19) ha il rapporto fra le dimensioni del Sole e della Luna, visto che essi hanno lo stesso diametro apparente, come dimostra l’esistenza delle eclissi solari. Cioè il diametro Ds (e quindi il raggio Rs) del Sole risulta ad Aristarco essere circa 19 volte più grande del diametro D (e quindi del raggio R) della Luna.

    Da questo conto banale che usa il teorema di trigonometria dei triangoli rettangoli, si può capire quali erano le difficoltà che si presentavano a chi voleva fare un conto qualunque senza disporre degli strumenti tecnici adeguati o più potenti. Infatti i conti a cui è costretto Aristarco sono lunghi e laboriosi(5).

    Ebbene, gli errori nelle misure di Aristarco, addebitabili a strumenti primitivi ed a problemi di soggettività nell’osservazione, comportano conseguenti errori nelle valutazioni conclusive. ma non è questo l’essenziale. Ciò che è di fondamentale importanza è la correttezza del metodo che, per la prima volta, permette di fornire misure su grandezze astronomiche.

    Riguardo alle dimensioni relative di Sole e Luna, c’è una piccola notazione da fare. Mentre Aristarco in Delle dimensioni e distanze del Sole e della Luna, che per questo è ritenuta essere giovanile, valuta le grandezze apparenti osservate dalla Terra del Sole e della Luna come identiche e pari a due gradi, Archimede ci dice che Aristarco valutava queste grandezze apparenti dell’ordine di mezzo grado (evidentemente Archimede si riferisce a successive misure di Aristarco che gli fornivano, come vedremo una grandezza del Sole molto grande rispetto alla Terra, fatto che probabilmente lo indusse al sistema eliocentrico). Partendo dal valore che ci comunica Archimede, vediamo di seguire il calcolo di Aristarco per determinare un valore approssimato delle grandezze di Luna e Sole rispetto a quella della Terra.

    Egli partì dall’osservazione di un’eclisse di Luna. Da essa ricavò che l’ampiezza dell’ombra proiettata dalla Terra alla distanza della Luna era due volte più larga del diametro della Luna. Indicando, come in figura, con Rs, Rt, R i rispettivi raggi del Sole, dalla Terra e della Luna e con Ds e D le rispettive distanze del Sole e della Luna


Da Boyer

dalla Terra ed osservando che i triangoli  BCD ed ABE sono simili, si ricava la proporzione:

Sostituendo in questa espressione i valori approssimati per le grandezze relative di Sole e Luna che Aristarco ha già trovato e cioè. Ds = 19 D  e  R= 19 R, si ottiene:

da cui:

e, facendo i conti, ciò vuol dire che il raggio della Terra risulta circa 3 volte quello della Luna e che il raggio del Sole è circa 6,5 volte quello della Terra.   

    Anche qui, come già detto, i calcoli di Aristarco erano molto più lunghi e laboriosi e la conclusione a cui arrivava era che i rapporti tra raggio della Terra e raggio della Luna  (Rt/R) e raggio del Sole e raggio della Terra (Rs/Rt) dovevano essere compresi tra i valori sotto riportati:

 108/43 < Rt/Rℓ < 60/19       19/3 < Rs/Rt < 43/6.

    Con questi conti, anche se i risultati sono errati per i motivi detti e non per il metodo, abbiamo valutazioni relative, cioè quanto la Terra è più grande della Luna e quando il Sole è più grande della Terra. La domanda che si pone subito è: quali sono i valori assoluti di tali grandezze ? Dalle ultime relazioni scritte risulta che basterebbe conoscere il raggio della Terra per risolvere tutti i problemi ed avere ciò che cerchiamo.

    Una osservazione deve a questo punto essere fatta. Se la Terra è in moto la funzione della sfera delle stelle fisse viene meno e la cosa doveva essere ben presente ad Aristarco e non solo. La cosa era certamente iniziata con il primo che previde movimenti di rotazione della Terra, Eraclide Pontico, il quale aveva subito rotto l’universo immaginandolo infinito con ogni astro costituente un mondo. Ma poi anche alcuni pitagorici erano sulla stessa strada di universo infinito e non limitato da quella sfera. Lucrezio presenterà invece un argomento d’interesse per affermare l’infinità dell’universo: un universo finito dovrebbe prevedere tutte le masse riunite nel suo centro a causa della gravità (la quale riguarderebbe tutti i corpi e non solo quelli pesanti).

Praeterea spatium summai totius omne
undique si inclusum certis consisteret oris               985
finitumque foret, iam copia materiai
undique ponderibus solidis confluxet ad imum
nec res ulla geri sub caeli tegmine posset
nec foret omnino caelum neque lumina solis,
quippe ubi materies omnis cumulata iaceret               990
ex infinito iam tempore subsidendo.
at nunc ni mirum requies data principiorum
corporibus nullast, quia nil est funditus imum,
quo quasi confluere et sedes ubi ponere possint.
semper in adsiduo motu res quaeque geruntur               995
partibus [in] cunctis, infernaque suppeditantur
ex infinito cita corpora materiai. 
[De rerum natura, I]

    A questo punto esco dal seminato propriamente astronomico per percorrere un altro sentiero, quello della geografia matematica. Fu Eratostene di Cirene (276-194 circa)(6), altro scienziato alessandrino che fu direttore della Biblioteca ed amico e corrispondente di Archimede, ad eseguire questa misura.

LE DIMENSIONI DELLA TERRA

    Eratostene ebbe un’idea tanto semplice quanto geniale e tale idea discendeva certamente dalle molte conoscenze avanzate che aveva anche in campo astronomico. Infatti alla base del suo percorso teorico vi è la convinzione che il Sole sia tanto distante dalla Terra da far sì che i suoi raggi giungano su di essa paralleli e l’ammissione di sfericità della Terra. Ebbene egli o chi per lui (questo è irrilevante) aveva osservato una cosa che tutti osservano perché colpisce molto: quando ci si trova in determinate zone della Terra (a determinate latitudini), in particolari periodi dell’anno, il Sole non produce ombre. Spiego meglio. Se i raggi solari cadono perpendicolari in un certo luogo, in quel luogo un’asta, un bastone, un obelisco, una persona … non fanno ombra intorno ad essi. In particolare ciò accade al Tropico del Cancro (latitudine 23° 27′ N), durante il solstizio d’estate (teoricamente il 21giugno), a mezzogiorno. E ciò era stato osservato da Eratostene nella città di Siena sul Nilo (l’attuale Assuan) dell’Alto Egitto (Egitto del Sud). In quel 21 giugno egli non osservava la sua ombra e, fatto più utile alla misura, accadeva che la luce del Sole arrivava ad illuminare per un breve periodo il fondo dei pozzi. Questo momento era il riferimento in corrispondenza del quale fare la misura che vedremo. Intanto Eratostene viveva comunemente ad Alessandria e ad

Eratostene a Siena e ad Alessandria

Alessandria si ha sempre un’ombra che sarà la più corta possibile proprio quel 21 giugno. Inoltre Alessandria e Siena si trovano all’incirca sullo stesso meridiano ed Eratostene aveva misurato tale distanza in 5000 stadi (non avendo il testo originale non sappiamo a quale unità stadio si riferisse Eratostene, visto che dietro tale nome vi erano varie differenti misure: stadio alessandrino = 157,5 m e stadio attico = 177,6 m)(7). In ogni caso, riferendosi alla figura seguente, Eratostene doveva misurare ad Alessandria, in corrispondenza del fondo dei pozzi illuminato a Siena,

Da Singer.

la lunghezza dell’ombra di un’asta perpendicolare rispetto al suolo e quindi dell’angolo formato tra asta e direzione del raggio di Sole (tale angolo che chiamo a, aveva un valore di 1/50 di cerchio, cioè 1/50.360°). Date queste due misure con semplici proporzioni si può risalire a ciò che Eratostene cercava: la circonferenza della Terra (che indico con C).

    Dalla figura si vede che l’angolo misurato da Eratostene è alterno interno all’angolo al centro della Terra, sotteso dall’arco di 5000 stadi. Si può quindi scrivere la proporzione:

α : 360° = 5000 stadi : C

Si vede subito che l’unica incognita nell’espressione precedente è Cper la quale si trova:

C= 360°. 5000 stadi/α   =>  C = 360°.5000/α = 250 000 stadi

In una seconda misura, più accurata, il valore trovato fu 252 000 stadi. Se Eratostene aveva assunto lo stadio ordinario, tale misura equivale a Km 39 690 che è molto vicina al valore che oggi accettiamo (circa 40 000 Km), ma se Eratostene aveva utilizzato la vecchia misura (sembra non essere il caso) dello stadio attico, allora i 252 000 stadi diventano 44 755 Km che è un valore che si discosta di oltre il 10% da quello che oggi accettiamo.

Una antica stampa in cui Eratostene è intento a misurare la circonferenza della Terra

    Dalla lunghezza della circonferenza della Terra è possibile risalire al suo raggio e da questo, prendendo in considerazione le relazioni trovate da Aristarco, è possibile trovare il raggio del Sole e quello della Luna.

     E’ veramente la scoperta di un mondo. In poco tempo ci si è messi su una strada di interpretazione scientifica e razionale del mondo. In tutti i campi della conoscenza naturale. Si tratta di una vera rivoluzione scientifica che marcerà inarrestabile finché interventi esterni (oscurantismo religioso e disinteresse di Roma per la scienza) non fermeranno il tutto.

    Per dare risalto al lavoro di Eratostene e per inserirlo in un progetto non estemporaneo ma realisticamente voluto da Tolomeo III Evergete, occorre dire che a lui è dovuta la prima mappa scientifica del mondo conosciuto.

Carta del mondo di Eratostene

    Dico che si doveva trattare di impresa collettiva, finanziata dallo Stato e diretta da Eratostene, in quanto una carta del mondo non la fa una persona per quanto viaggi. Vi devono essere stati degli emissari, delle persone incaricate di raccogliere notizie in giro per i vari luoghi del mondo. Insomma la cosa era molto complessa. Eppure Eratostene portò a termine tale impresa. Ci tengo particolarmente a dire questo perché da più parti si tenta di mettere in dubbio la correttezza della misura di Eratostene del meridiano terrestre. La parte incriminata sarebbe la misura della corretta distanza Alessandria-Siena, la supposizione di Siena ed Alessandria sul medesimo meridiano (e quindi con mezzogiorno simultaneo) e la supposizione che Siena si trovasse al Tropico. Se si riguardano queste cose come imprese collettive si può capire quanto siano invece realizzabili. Non è stato un colpo di fortuna triplo il lavoro di Eratostene (o una compensazione fortunata di tre errori) ma deve essere nato dalla collaborazione con il re. Basti ricordare il lavoro millenario degli agrimensori dei faraoni e del continuo perfezionamento di tali metodi di misura, che producevano una vera e propria costruzione della carte geografica dell’Egitto che si rinnovava di anno in anno, per comprendere come nascono la misura da Alessandria a Siena e le altre supposizioni. Ma perché poi supposizioni ? Perché noi abbiamo letto dell’impresa di Eratostene da un sunto didattico di Cleomede che non poteva entrare in troppi dettagli tecnici e che, addirittura fa ciò che fa qualunque divulgatore: fornisce il nome di una città, Siena, che è la più vicina al luogo vero del Tropico prescelto per la misura ed il punto naturale di partenza per recarsi al luogo prescelto; semplifica il tutto; arrotonda i numeri che ha a disposizione.

    Se ora riguardiamo la misura del meridiano terrestre, alla luce della costruzione di una carta geografica del mondo, possiamo capire meglio cosa è accaduto e l’accuratezza delle misure realizzate. Ma qui è d’interesse esemplificare come un tal livello di conoscenze, appena 300 anni dopo, è completamente perduto lasciando il campo, pur in persone considerate tra le più colte ed evolute, come Plinio il Vecchio, in un deserto prescientifico. L’episodio è raccontato da Lucio Russo e merita di essere letto con attenzione.

    “Plinio riporta nella sua opera [Naturalis historia, II, 247-248] la misura del meridiano, di 252.000 stadi, attribuendola correttamente a Eratostene e mostrando ammirazione per il risultato. Racconta poi la storia di un certo Dionisodoro che, dopo morto, sarebbe sceso dal suo sepolcro fino al centro della Terra contando i passi necessari; ritornato nella tomba, vi avrebbe lasciato una lettera ai vivi con l’indicazione della distanza percorsa, di 42.000 stadi. Plinio, che precisa che la lettera era firmata, dapprima mostra incredulità per la sua storia, ma poi spiega che alcuni “geometri” erano riusciti a dedurre la lunghezza del meridiano, di 252.000 stadi, dalla lunghezza del raggio fornita da Dionisodoro.

    La deduzione geometrica che aveva destato l’ammirazione di Plinio era quindi quella della misura della circonferenza da quella del raggio (usando peraltro il valore 3 per π). Al di là di questa moltiplicazione, egli riesce a concepire solo una misura diretta e una “dimostrazione” giuridica: la firma della lettera. Non si tratta naturalmente di stupidità. Il procedimento di Eratostene, consistente nell’usare una “teoria scientifica” come modello del mondo concreto, non può assolutamente essere compreso da Plinio, che appartiene a una cultura prescientifica. Egli è quindi costretto a sostituire il vero viaggio intellettuale di Eratostene, dal mondo alla teoria e viceversa, con l’immaginario viaggio concreto di Dionisodoro, cui pure aveva affermato di non voler credere”.

EPICICLI E DEFERENTI

    Quando ho parlato dello stato dell’astronomia alla fine del IV secolo, ho detto che nel III secolo vi sarebbero state due grandi novità. Una, quella dell’eliocentrismo, l’ho appena discussa. Resta l’altra, quella della spiegazione dei moti celesti mediante una geometria diversa dalle sfere omocentriche di Eudosso-Callippo (avverto, a costo di essere monotono, che anche qui la documentazione diretta è poca).

    L’astronomo che iniziò la strada della revisione della spiegazione geometrica dei moti celesti mediante le sfere omocentriche di Eudosso-Callipo, fu il matematico, Apollonio di Perga (262-190 circa). Del contributo originale di Apollonio abbiamo poche testimonianze tra cui quella del II secolo d.C. dell’Almagesto e della Sintassi  di Claudio Tolomeo, sappiamo invece per certo, sempre in modo indiretto (dall’Introduzione ai Fenomeni del I sec. a.C. di Gemino, dalla Contemplazione del I sec. d.C. di Cleomede, dall’Astronomia del II sec. d.C. di Teone di Smirne, dalla Storia Naturale del I sec. d.C. di Plinio il Vecchio e, soprattutto, dall’Almagesto del II sec. d.C. di Claudio Tolomeo), che il sistema fu elaborato e portato alla sua forma pressocché definitiva, da Ipparco di Nicea (185-127 a.C.).

    La domanda è sempre la stessa: come salvare le apparenze ? come rendere conto dei fenomeni astronomici osservati nel modo più semplice ? Poiché il sistema delle sfere omocentriche è un sistema teorico di pura geometria (a parte l’uso distorto che ne farà Aristotele), sistema che in definitiva produce un effetto complessivo di moti eccentrici rispetto alla Terra, è possibile pensarne un altro che sia al contempo più semplice e spieghi ciò che resta da spiegare ?

    L’idea di Apollonio, sviluppata da Ipparco, ritenuta più semplice (forse perché più rappresentabile mentalmente), era la seguente.

    La Terra è al centro di un sistema di cerchi concentrici chiamati deferenti. Lungo tali cerchi primari non si muove il pianeta o l’astro in considerazione: essi sono solo una sorta di guida per i centri dei cerchi secondari (epicicli) che si muovono sui primi e che sono la traiettoria dell’astro.

Il sistema epiciclo-deferente per un pianeta

    Riferendoci ad esempio al Sole, secondo Apollonio esso circola con periodo di un anno, con moto uniforme e in senso orario su un cerchio, detto epiciclo, il cui centro,  circola a sua volta, in senso antiorario e con lo stesso periodo di un anno, su un altro cerchio, detto deferente, centrato nel centro della Terra. Ciò che fece Apollonio, e non poteva farne a meno, fu dimostrare che questa combinazione di due moti equivaleva alle 5 sfere omocentriche (tre di Eudosso e due aggiunte da Callippo) del sistema di Eudosso-Callippo. O meglio: la combinazione di moti da

Da Lloyd. Un moto eccentrico. Il pianeta P si muove lungo la circonferenza il cui centro O non coincide con la Terra T.

Accenno solo al fatto che si sviluppò anche un’altra teoria, quella dell’eccentrico mobile che prevede il moto circolare del centro O dell’eccentrico, a sua volta, intorno alla Terra. Questa teoria verrà definitivamente abbandonata quando Tolomeo dimostrerà che porta allo stesso risultato di quella degli epicicli e deferenti.

lui ideata corrispondeva ad un moto eccentrico dei corpi celesti intorno alla Terra corrispondeva cioè a una delle possibilità previste per spiegare i fenomeni astronomici, quella di moti di tali corpi celesti lungo una circonferenza il cui centro non coincide esattamente con la Terra.  Le anomalie nei moti del Sole venivano

Da Lloyd. La costruzione geometrica che mostra come un moto eccentrico equivale al sistema epiciclo-deferente. Se il raggio del cerchio deferente CT è uguale a quello del cerchio eccentrico RO e il raggio dell’epiciclo RC è uguale all’eccentricità PT, allora se le velocità angolari sono regolate in modo che Re T restino i vertici del parallelogramma CROT, i due modelli danno esattamente risultati equivalenti.

Da Lloyd. Una delle difficoltà per la teoria delle sfere omocentriche era spiegare la diversità di lunghezza delle stagioni. Con un moto eccentrico come quello riportato, che si svolga in modo uniforme,  poiché i quadranti si possono rendere diversi a piacere, tutto diventa facilmente giustificato. Allo stesso modo si spiega facilmente la variazioni dell’apparente distanza dal Sole. Più difficile rendere conto del moto retrogrado dei pianeti e delle vicende lunari. Tanto che ad un certo punto per alcune cose Apollonio ricorreva al sistema eccentrico, per altre agli epicicli e deferenti. Si osservi che si vive in un ferreo pregiudizio: circonferenze e moti uniformi.

così spiegate osservando ad esempio che, quando il moto sull’epiciclo va nello stesso verso del moto del centro dell’epiciclo sul deferente, le due velocità si sommano ed il moto del Sole visto dalla Terra risulta più rapido (avendo il massimo quando il Sole è all’apogeo dell’epiciclo). Analogamente, quando il moto del Sole avrà verso opposto a quello del centro del deferente, allora si avrà la sua velocità minore (avendo il minimo quando il Sole è al perigeo dell’epiciclo, naturalmente se si è regolata la velocità del Sole in modo tale che essa sia inferiore a quella del deferente altrimenti il moto diventerebbe retrogrado).

    Riferendoci ora ad un pianeta è possibile, attraverso opportune regolazioni delle velocità del deferente e dell’epiciclo, spiegare i moti retrogradi dei pianeti, come illustra graficamente la figura seguente:

    Ma sarebbe stato teoricamente anche possibile costruire orbite ellittiche come mostra la figura seguente.

Da Lloyd. A partire dall’epiciclo O1 fino ad O8, se si seguono le successive posizione del pianeta P1, P2, P3, …, si vede che esso descrive una traiettoria ellittica.

    Il fatto che ciò non si fece, soprattutto per un matematico del calibro di Apollonio, è dovuto a che, in definitiva, le ellissi delle traiettorie planetarie, almeno dei pianeti più vicini alla Terra, hanno scarse eccentricità. Ma poi, nel suo insieme, il sistema epicicli-deferenti è così elastico e flessibile da non richiedere dei cambaimenti.

     Data l’equivalenza, dimostrata da Apollonio, tra il modello eccentrico e quello degli epicicli e deferenti, lo scegliere l’uno o l’altro era solo questione di maggiore o minore maneggevolezza matematica. Il sistema degli epicicli, fu preferito agli eccentrici, perchè più semplice ed applicabile a tutti i pianeti; mentre invece, serviva un tipo di eccentrico per i pianeti inferiori ed un altro per i pianeti superiori. Insomma non era accettabile una spiegazione diversa per fenomeni analoghi. Passeranno praticamente 100 anni senza novità di rilievo a parte certamente numerose e sempre più precise osservazioni del cielo. Per eseguire le quali si servì di uno strumento da lui realizzato, un sostanziale miglioramento rispetto a quello che utilizzava Archimede, la dioptra diottra. Esso consisteva di un braccio lungo all’incirca 2 metri nel quale erano situate due lamine verticali,

Dioptra di Ipparco II secolo a.C.

una, la L, fissa e dotata di un forellino per l’osservazione, l’altra, la M scorrevole lungo la scanalatura e dotata di due forellini sovrapposti. Diretto lo strumento verso l’astro da osservare (all’alba o al tramonto) si faceva scorrere M in modo che i due forellini andassero a coincidere con i bordi superiore ed inferiore di esso, in tal modo si disponeva del valore della distanza angolare dell’astro. Questo strumento sarà migliorato ulteriormente nel I secolo d. C. da Erone di Alessandria  (del quale parlerò in seguito). Esso oltre ad avere il sistema di osservazione della dioptra di Ipparco montata su una piastra di bronzo, disporrà di un sostegno più affidabile, del braccio d’osservazione in grado di ruotare su un piano orizzontale mediante la vite C che ingrana su una ruota dentata, del medesimo braccio in grado di poter ruotare su un piano verticale mediante la vite B che ingrana su altra ruota dentata.

Dioptra di Erone (I secolo d. C.)

    Oltre alla dioptra, Ipparco utilizzava anche strumenti preesistenti che, verosimilmente, avevano subito dei miglioramenti e che avevano dimensioni dell’ordine di grandezza di un uomo: il quadrante statico, il triquetro, l’orologio solare o ad acqua, la dioptra semplice (descritta da Archimede nell’Arenario) per misurare l’altezza degli astri e i loro scarti angolari (senza la lamina L, forse l’astrolabio piano (o strumento universale), forse la sfera armillare, il planetario del tipo realizzato da Archimede, la sfera delle stelle fisse con le costellazioni(9).

    Con tale strumentazione, Ipparco, che operò un secolo dopo Aristarco ed Eratostene, portò al massimo livello il sistema degli epicicli e deferenti, completandolo e facendo ogni aggiustamento necessario, anche se non riuscì a spiegare tutto e particolarmente i moti irregolari della Luna (ma Tolomeo ci informa che Ipparco rinunciò alla speranza di una teoria planetaria completa per la mancanza di dati osservativi sui pianeti che si estendessero su molti anni, dati che nella breve vita di una persona non si possono raccogliere(10)). Il completamento definitivo del sistema epicicli-deferenti si ebbe con l’opera di Claudio Tolomeo che ebbe 300 anni in più di osservazioni tutte regolarmente registrate. Come accennato, Ipparco disponeva di 150 anni di nuove osservazioni celesti prima di lui e molte altre ne fece dal suo osservatorio di Rodi. Nella Storia Naturale di Plinio, leggiamo:

Lo stesso Ipparco, che non si loderà mai abbastanza, perché nessuno più di lui ha dimostrato l’affinità dell’uomo con gli astri, e che le nostre anime sono parte dei cieli, scoprì una nuova e diversa stella, nata al suo tempo. Constatato che il luogo dove essa brillava si spostava, egli si domandò se questo fenomeno non si verificasse molto più spesso, e se le stelle che consideriamo fisse non si muovano anch’esse. E cosi si dedicò a un’impresa ardua anche per un dio, quella di contare le stelle per i posteri, e di verificare per nome l’elenco delle costellazioni. A questo scopo inventò strumenti per indicare le loro posizioni e grandezze, in modo che fosse facile scoprire se le stelle morivano e nascevano, se qualcuna si muoveva o si spostava, o anche se aumentavano o diminuivano di dimensioni. Egli lasciò i cieli in eredità al genere umano, nel caso in cui si trovasse un uomo capace di raccogliere la sua successione. [citato da Lloyd]

    Tali osservazioni permisero ad Ipparco di fare la mappa del cielo dove catalogò oltre 850 stelle visibili ad occhio nudo (Tolomeo arriverà a 1080), dividendole in 6 classi di grandezza e dandone la posizione in coordinate eclittiche (latitudine e longitudine) e, confrontando le più antiche osservazioni di cui disponeva (quelle di 160 anni prima, fatte da Aristillo e Timocari e quelle dei babilonesi avute o da Seleuco o da Diogene) con le sue, scoprì un fenomeno di enorme importanza che va sotto il nome di precessione degli equinozi. Spiego in breve riportando di nuovo una figura già utilizzata. I due punti equinoziali (intersezioni tra piano 

dell’eclittica – cioè piano del cerchio massimo della sfera celeste percorso dal Sole nel suo moto annuo – ed equatore celeste – cerchio ottenuto immaginando di espandere l’equatore terrestre fino ad intersecare la sfera celeste) non mantengono sempre la stessa posizione riferendoli alle stelle fisse. Essi (ma anche i solstizi) ogni anno si spostano da est ad ovest di circa 50 secondi d’arco (in modo che ogni 71,6 anni circa anticipano di un giorno). Il fenomeno è dovuto, come oggi sappiamo, ad un insieme di cause tra cui la non perfetta sfericità della Terra e le attrazioni gravitazionali su di essa di Sole e Luna che provocano l’oscillazione e la conseguente rotazione a doppio cono dell’asse terrestre che si compie in un periodo di circa 26 000 anni(8) (vedi figure).

Da http://www.calabriameteo.com/generale.htm 

Da www.opencourse.info/astronomy. Per ulteriore chiarezza debbo sottolineare che il moto a doppio cono dell’asse terrestre non era pensabile per Ipparco che neppure prevedeva la rotazione della Terra sull’asse terrestre. Egli scoprì la precessione degli equinozi che oggi si interpreta così.

    La precessione degli equinozi fa si che il Sole torna al punto equinoziale qualche minuto prima. Ciò fa sì che occorre distinguere tra anno sidereo ed anno tropico, essendo il primo il tempo impiegato dal Sole per passare di nuovo allo stesso punto dello zodiaco ed il secondo il tempo necessario a tornare all’equinozio. E l’anno tropico, sul quale Ipparco afferma doversi regolare il tempo, è meno lungo di quello sidereo di circa 6 ore (valori moderni, mentre per Ipparco erano circa 15 minuti). Queste cose erano scritte con dovizia di particolari in due opere di Ipparco: Della lunghezza dell’anno e Del trasporto dei punti dei solstizi e degli equinozi che, come tristemente devo ripetere, sono andate perdute.

        Gli strumenti tecnici che realizzò ed affinò Ipparco non sono solo quelli detti ma anche una parte fondamentale di uno strumento di calcolo che da lui prende le mosse: la trigonometria piana e sferica. Teone di Alessandria, nel suo Commento all’Almagesto di Tolomeo (IV secolo d.C.) ci dice: Ipparco espose in 12 libri [opera perduta] il metodo per trovare le rette [corde] inscritte in un cerchio. E da tutto ciò che invece espone Tolomeo, sia nell’Almagesto che nell’Analemma, si rende indistinguibile il suo contributo da quello di Ipparco. Certamente alcuni scienziati del passato (Aristarco, Eratostene, Archimede, …) avevano iniziato a

misurare le corde dei cerchi ma la prima costanza di ciò la abbiamo in Ipparco che, appunto, scrisse l’opera alla quale ho accennato in 12 libri. Sembra comunque che almeno la relazione di figura fosse nota ad Ipparco, il fatto cioè che una corda di una data circonferenza è funzione (e qui non importa il nome della funzione) dell’angolo al centro da essa sotteso e sembra anche che egli abbia costruito una tavola delle corde che oggi sarebbe chiamata tavola dei seni, utilizzando una interpolazione lineare tra valori noti. Scrive Boyer: Non si sa esattamente quando sia stato introdotto nella matematica l’uso sistematico del cerchio di 360°, ma ciò sembra dovuto in gran parte a Ipparco in relazione alla sua tavola delle corde. È possibile che egli abbia desunto da Ipsicle [di Alessandria, II secolo a.C.], che aveva precedentemente diviso il giorno in 360 parti, una suddivisione che poteva essere stata suggerita dall’astromia babilonese. Non sappiamo esattamente come Ipparco sia giunto a costruire la sua tavola, giacché le sue opere sono andate perdute … E’ probabile che i suoi metodi fossero simili a quelli di Tolomeo …: infatti Teone di Alessandria, commentando le tavole delle corde di Tolomeo, riferiva che Ipparco aveva precedentemente scritto un trattato di dodici libri intorno alle corde sottese a un cerchio.

    Utilizzando anche la trigonometria, Ipparco riuscì a misurare con una certa precisione la distanza della Terra dalla Luna. Con un procedimento più semplice ma mantenendo il metodo, ricostruisco la determinazione di tale distanza riferendomi alla figura seguente.

Da Forti

    Un osservatore A che si trovi sulla Terra (linea tratteggiata) vede la Luna L esattamente al suo zenit nello stesso istante in cui un altro osservatore B (posto alla stessa latitudine, ad esempio Alessandria e Cirene o Rodi e Citera o Rodi e Tarso o Perga e Colofone, ma separato da α gradi di longitudine) vede sorgere la Luna al suo orizzonte BL. Abbiamo così un triangolo rettangolo del quale conosciamo il cateto BC che è il raggio della Terra e l’angolo opposto (l’angolo BLC) perché vale 90° – α. Possiamo allora calcolare l’ipotenusa CL del triangolo rettangolo (distanza del centro della Terra alla Luna) in modo molto semplice (tale distanza sarà data in raggi terrestri). Utilizzando un semplice teorema sui triangoli rettangoli si ha:

BC = CL . sen BLC  =>  CL = BC/sen BLC.

    L’angolo α è uguale a circa 89° 3′ e ciò vuol dire che l’angolo BLC  vale circa 57′ ed il seno di 57′ vale circa 0,0164, di modo che si ha:

CL = BC/0,0164   =>  CL ~  60 BC

cioè la distanza Terra Luna è di circa 60 raggi terrestri (Ipparco aveva trovato 59). Si deve osservare che la precisione di questo metodo è legata alla misura dell’angolo α. Se si confrontano i risultati odierni con quelli di Ipparco si resta stupiti per i livelli di precisione raggiunti.

    A questo punto si potrebbe inserire tutta un’altra storia, quella dell’astrologia. Si tratterebbe di un lavoro di grande mole e non è ora il momento(11). Dico solo qualcosa per localizzare la nascita ed il primo sviluppo del fenomeno.

    Durante l’epoca dello splendore alessandrino, andava parallelamente avanti un’altra tradizione che andava spegnendosi, quella mesopotamica. Vi erano, soprattutto a livelli popolari, ancora usi e tradizioni di derivazione mesopotamica. Si affiancava alla geometria alessandrina l’uso dell’aritmetica mesopotamica. Ciò comportava delle disparità nelle trattazioni e nelle previsioni astronomiche. Stessa disparità si ritrova nell’astrologia. L’astrologia, intesa in senso letterale è la pratica che permette di determinare l’influsso dei sette pianeti (i 5 noti più Sole e Luna) sulla Terra e sulle singole persone a seconda della loro posizione nello Zodiaco al momento della nascita. Intesa in questo senso, l’astrologia fa i suoi primi passi nel V secolo a.C in Mesopotamia e fiorisce e si sviluppa enormemente nel III secolo a.C., proprio in corrispondenza dello splendore alessandrino. Così i metodi per fare oroscopi sono mesopotamici ma la dottrina, come quella elaborata da Claudio Tolomeo nel Tetrabiblos, è ellenistica. Vengono dati nomi ai giorni della settimana ma l’ordine dei pianeti è diverso in Mesopotamia rispetto a quello che si ha in area ellenistica ed anche il giorno di 24 ore non è noto in Mesopotamia. E la dottrina ellenistica è fortemente influenzata, prima dai pitagorici, poi da Platone, quindi dagli aristotelici e, soprattutto, dagli stoici i quali consideravano gli astri di origine divina. E l’influenza di questi dei del cielo sembrava manifesta nell’alternarsi delle stagioni, nel montare delle maree, nella benevolenza o furia dei fenomeni meteorologici e nella concomitanza tra alba e tramonto eliaco per alcune costellazioni. Naturalmente anche alcuni dei grandi scienziati, come Ipparco, credevano alle influenze del cielo sulla Terra ma ciò non ha impedito loro di lavorare con un rigore geometrico eccezionale. D’altro canto, l’interesse per l’astrologia è servito per diffondere nel grande pubblico l’interesse per le cose del cielo, interesse coltivato da importanti personalità del passato, come ad esempio Cicerone (De natura deorum), che scrissero opere di divulgazione astronomica a vari livelli di mediocrità. Siamo vicini alla decadenza alla quale si accompagneranno tutti i misticismi, le magie, le religioni. E la decadenza è causa ed effetto insieme della nascita del Cristianesimo che ingloberà in sé tutti gli elementi irrazionali ai quali ho accennato.

    Gianni Micheli, nella Storia del pensiero filosofico e scientifico, opportunamente, dice:

Il grande interesse che presentano gli scritti relativi alle scienze occulte … consiste essenzialmente nel fatto che sono il documento più rappresentativo dell’atmosfera di dilagante irrazionalismo che caratterizza i primi secoli dell’era cristiana. Quel che importa rilevare non è tanto l’accettazione di contenuti dottrinali arbitrari, quanto il fatto che il loro fondamento è affidato quasi esclusivamente non ad elementi razionali, ma pratico-volontaristici. Questo aspetto risulta chiaramente se si confronta l’atteggiamento che traspare dall’opera astrologica di Tolomeo con quello che risulta dagli scritti ermetici. Tolomeo considera e tratta l’astrologia in modo scientifico: la considera, come l’astronomia propriamente detta, un mezzo per trarre previsioni dallo studio degli astri, e cerca di dimostrarne la possibilità e l’utilità contro le obiezioni mosse da varie parti, e specialmente dagli scettici. Riconduce l’astrologia entro limiti ragionevoli, ribadendo contro i detrattori che sostengono la pura casualità delle predizioni vere, e contro i profittatori che danno ad intendere di poter predire anche cose che non si possono conoscere naturalmente, il carattere congetturale della disciplina e il notevole margine di errore che sussiste sempre in essa, data la disparità tra la complessità della materia e la debolezza dei mezzi di indagine. Nelle intenzioni dell’autore, il Tetrabiblos doveva dare consistenza logica ad un insieme di dottrine tradizionali: ma Tolomeo opera una scelta significativa nel non accogliere molti elementi palesemente fantastici o religiosi (come i decani che avevano tanto rilievo nell’astrologia ermetica), nell’espungere ogni motivo misticheggiante, nel far ricorso ad argomentazioni non sempre meramente assertorie, nell’accettare a volte anche il criterio della maggior riuscita di una dottrina rispetto ad un’altra. L’autore svolge conseguenze inerenti alle premesse generali servendosi di elementi naturali e di strumenti concettuali; per artificioso e vano che sia tale tentativo, esso non esula dal quadro della tradizione scientifica classica. Negli scritti magico-religiosi invece, allo sforzo intellettuale puntualmente disconosciuto, subentrano elementi pratici e volontaristici: sono l’esercizio della pietà, le pratiche di iniziazione, le preghiere, le astinenze, la purezza della vita, che creano le condizioni atte a ricevere la verità; sono particolari parole pronunziate in modo speciale o con una speciale disposizione, particolari gesti compiuti secondo un determinato rituale, particolari periodi, che procurano un evento favorevole, che rendono efficace una pratica curativa. In fondo il tentativo di Tolomeo di dare coerenza e rigore a dei contenuti non suscettibili di essere trattati con strumenti razionali elaborati rappresenta l’ultima eco di una tradizione ormai in declino: esso, se mai, non fa che porre maggiormente in risalto che il processo di svolgimento dei motivi irrazionali presenti nella cultura greco-romana si è ormai concluso. L’atteggiamento antiscientifico che rivelano i testi ermetici o gli scritti analoghi del tempo, non potrebbe, infatti, essere più radicale. Il trionfo dei motivi pratico-volontaristici comporta necessariamente la rinuncia ad ogni contatto mediato e fecondo con la realtà: da principi generali vacui e generici, quali la nozione del cosmo inteso come totalità o quella della simpatia universale, si passa in modo immediato a cose ed eventi particolari senza sentire il bisogno di stabilire rapporti precisi, nessi determinanti. Predomina quindi il libero gioco delle associazioni e vengono pertanto stabilite connessioni tra astri, uomini, pietre, piante, sulla base dei nomi, dei colori, delle posizioni e di tutto ciò che l’arbitrio individuale può suggerire. Ciò palesa un impoverimento degli strumenti concettuali pauroso: si ritorna, nella sostanza, ad un tipo di elaborazione intellettuale primitivo, cioè alla mera analogia, al mero rapporto immediato con la realtà. L’unica prova oggettiva addotta per giustificare simili asserzioni è di ordine esclusivamente storico. La mediazione divina, cioè l’appello alla rivelazione, poteva avere un contenuto reale e risultare efficace solo se appoggiata ad un elemento concreto, ad una tradizione: di qui l’attribuire gli scritti a personaggi o a divinità radicate nella coscienza popolare; di qui il lungo e faticoso processo di potenziamento delle tradizioni; di qui la particolare forma letteraria degli scritti occulti; di qui il riportare le teorie lontano nel tempo, in periodi e in luoghi misteriosi ritenuti più idonei per la rivelazione. Lo stesso Tolomeo, dopo aver descritto e criticato le tavole degli horia secondo il sistema egiziano e secondo quello caldeo, ritiene necessario, per introdurre una sua classificazione, dover dire di averla trovata in un vecchio manoscritto. Tutta la cornice esterna degli scritti occulti tende a porsi come uno strumento di prova.
Il carattere della mera immediatezza è evidente anche nei fini che le scienze occulte si propongono, che sono fini pratici ed utilitaristici. Ogni teoria, ogni nozione che si è stabilita, deve essere subito utilizzata a vantaggio dell’individuo: la conoscenza degli astri e della loro posizione deve servire a conoscere il futuro, l’osservazione della natura a dare dei rimedi atti a conservare la salute, lo studio delle pietre e dei metalli a creare uno strumento di potenza, l’oro. Ma l’utilizzazione, intesa come semplice applicazione alla realtà, senza mediazione alcuna, si rivela del tutto verbale, quanto di meno utile e pratico ci possa essere.
Si tratta comunque di una utilizzazione individuale, e in ciò si palesa il decadere degli interessi e degli ideali collettivi che si ha nell’età imperiale. Ciononostante questi elementi pragmatici furono quelli che risultarono essere i più fecondi della tradizione occultistica. Riscoperti, rivalutati, potenziati nell’età rinascimentale ed intesi sempre più in modo non individuale ma collettivo, divennero una delle tendenze di fondo della scienza moderna.
 

I MECCANICI DI ALESSANDRIA

      Tanto perché si capisca il livello di difficoltà che si incontra nel ricostruire una storia in massima parte perduta è utile il paragone seguente: è come il voler descrivere la Basilica di San Pietro guardando dal buco della serratura di una porta laterale. E provo a dare un immediata dimostrazione di ciò. Uno di coloro che è stato più prolifico nel raccontarci il passato è Vitruvio Pollione, un soprintendente alla macchine da guerra  nell’esercito di Augusto, poi ingegnere ed architetto, che scrisse il  De architettura in 10 libri intorno al 30 a.C. Egli, nella sua opera, elenca 12 autori di cose meccaniche: Archita di cui non possediamo nulla, Archimede che per altri versi Plutarco dice che non si era occupato di meccanica, Ctesibio e Filone di Bisanzio di cui sappiamo poco e di cui parlerò, infine ne cita altri otto che non abbiamo mai altrove sentito. A questi otto (che erano sullo stesso piano dei grandi citati) c’è da aggiungere un tal Mosco del quale Vitruvio non dice nulla ma che troviamo citato come autore di un grande trattato di meccanica da Ateneo(12). Russo riferisce di un testo, Laterculi Alexandrini (probabilmente II secolo a.C.), in cui sono elencati i massimi creatori in ogni campo (vedi anche 13-13 di nota 12). A fronte di Prassitele e Fidia tra i 5 scultori nominati, viene citato il meccanico Abdaraxo, costruttore delle macchine di Alessandria. Doveva avere la fama nel suo campo che spettava a Fidia e Prassitele nella scultura. Eppure noi non sappiamo nulla di questo meccanico e tantomeno abbiamo idea di quali macchine possa aver realizzato. Ciò mostra senza dubbio che coloro che ci hanno raccontato quel passato straordinario in età imperiale, cristiana e tardo medioevale, hanno avuto poco interesse a raccontarci questioni tecnico scientifiche.

   Eppure l’età alessandrina vide  la nascita della scienza della meccanica, dello studio sistematico e teorico delle macchine, con l’abbandono del puro empirismo e dell’interpretazione ingenua della realtà. Pur nella scarsità di documentazione, abbiamo esempi straordinari del superamento dell’epoca in cui l’approccio alla natura era meramente empirico. Ora si costruiscono teorie elaborate, si formalizza, si introduce la matematica come strumento che permette di prevedere determinati esiti e quindi far capire prima se una data cosa è fattibile e fino a che punto potrà essere utile. E tutto ciò permetterà delle realizzazioni stupefacenti. In proposito vi sono discussioni importanti da fare per sfatare una delle cose che più stancamente ed ormai in modo poco meditato vengono fatte. Si parla di greci come di inventori della statica, quasi che la meccanica non inglobasse una dinamica. E gli esempi non mancano se solo si pensa al lancio di oggetti con catapulte ed  allo spostamento di grandi masse mediante macchine. Si afferma che la statica rappresentava bene quel mondo immutabile, quando abbiamo intravisto gli enormi cambiamenti che si susseguivano. In definitiva si sostiene che in quella società di schiavi era impensabile pensare a delle macchine che sostituissero il loro lavoro.

    Disponiamo di molti nomi di architetti, di meccanici, di scienziati che vengono citati dai commentaristi. Opere scarse se non nulle per alcuni. Soprattutto, per tutto ciò che ho già detto, quando le opere erano molto tecniche e poco comprensibili a chi doveva riciclare le pergamene, erano le prime a cadere. Quando si doveva fare spazio in una biblioteca e lo spazio lo faceva chi non capiva cosa togliere e cosa no, è facile immaginare cosa si toglieva. Ma, soprattutto, in epoca di decadenza (a partire dalla metà del II secolo), non vi sono più molti cultori di determinate discipline e quei testi sono sempre meno comprensibili alla gran parte del pubblico. Finché, da un certo punto in poi, non vi è praticamente più nessuno in grado di capire cosa ci sia scritto. In queste circostanze, i commentaristi di buona volontà, possono raccontare di alcune meraviglie che hanno sentito tramandare, possono al massimo descrivere una certa opera ma mai entrare nei dettagli tecnici. Così ci mancano le giustificazioni teoriche a certi ritrovati. Vi è di più, e questo è da addebitare agli storici e critici contemporanei. Non si danno dei giudizi definitivi ed apodittici con il poco materiale di cui si dispone. Non è possibile, come vedremo, parlare di Erone come di persona geniale ma in realtà solo capace di costruire dei giocattoli. Se si indaga meglio, come ha fatto Lucio Russo, si scopre che le cose fatte da Erone paiono sottoprodotti di qualcosa che aveva applicazioni pratiche, di qualcosa di più grande ed avanzato che era preesistito. Sostenere che non si era utilizzato adeguatamente il vapore che pure compare in Erone è peregrino perché già si aveva molta energia dal vento e dall’acqua e quella fonte era studiata ma non aveva possibilità di entrare in un mercato che non la richiedeva. Tra l’altro non è nuova alla storia della scienza una qualche scoperta che non avanza perché la tecnologia non è in grado di soddisfare alcune compatibilità di quella macchina. Comunque, vale la pena di andare a studiare alcuni degli esempi della nascita stupefacente della scienza meccanica.

ARCHIMEDE

    Inizio con il discutere alcune realizzazioni di Archimede del quale disponiamo di due opere di grande interesse: i Galleggianti e Sull’equilibrio dei piani ovvero sui centri di gravità dei piani. Tralascio per ora la prima per soffermarmi sulla seconda. Essa si occupa di ciò che dice il titolo: la legge della leva e la ricerca di baricentri di figure piane. Dice Russo a proposito dell’argomento di studio di Archimede:

Il principale problema meccanico dell’ epoca può essere descritto nel modo seguente. Supponiamo di voler sollevare un peso P a un’altezza h. Invece di farlo direttamente, si può usare una “macchina” che sollevi il peso quando si agisca su di essa con una forza F, spostandone il punto di applicazione (nella direzione di F) di un tratto ℓ. Usando il linguaggio moderno, il principio di conservazione dell’energia implica che il peso non può essere sollevato se il prodotto Fℓ (oggi detto lavoro compiuto dalla forza F) non supera il prodotto Ph; se invece è Fℓ > Ph (e l’attrito sufficientemente piccolo) non solo il peso può essere sollevato, ma, usando opportuni dispositivi, si possono scegliere sia la direzione, il verso e il luogo in cui far agire la forza, sia la scomposizione del lavoro tra i due fattori, scegliendo in particolare se far agire una forza piccola per un lungo tratto oppure una forza grande per un tratto breve. In particolare si può sollevare il peso P usando una forza F minore di P. Il rapporto P/F viene detto vantaggio meccanico della macchina considerata.

Il problema, se si ha a disposizione una forza massima F e occorre sollevare un peso P, è quello di progettare una macchina che, avendo un vantaggio meccanico opportuno, permetta il sollevamento e consenta di applicare la forza nella posizione e direzione più comode. Tutti i dispositivi di questo tipo sono in ultima analisi riconducibili al più semplice di essi, la leva, dalla quale parte Archimede nella sua costruzione della teoria scientifica della meccanica.

Naturalmente gli uomini avevano sempre avuto problemi di questo tipo e molti ne erano riusciti a risolvere sin dal Paleolitico (epoca in cui si erano usati leve e cunei). All’epoca degli antichi imperi erano note anche le tenaglie e senza l’uso di molte macchine non sarebbe stato possibile costruire le piramidi. I Greci dell’età classica conoscevano certamente la puleggia e il verricello (il cui uso era stato introdotto probabilmente nella costruzione delle navi o nel teatro). Questa lunghissima evoluzione della meccanica empirica era basata sul lento accumulo dell’esperienza degli artigiani. Il salto di qualità permesso dalla scienza, che si ha in epoca ellenistica, consiste nel fatto che si impara a calcolare teoricamente il vantaggio meccanico e si ha quindi, per la prima volta, una progettazione teorica di macchine. È certo che tale salto di qualità avvenne già nel IlI secolo a.C. Sappiamo infatti da Pappo e da Plutarco che Archimede aveva risolto il problema di sollevare un dato peso con una forza assegnata; egli sapeva cioè progettare macchine con vantaggio meccanico dato. Non vi è motivo di dubitare di queste fonti, giacché le basi teoriche di questi calcoli sono esposte da Archimede nell’opera che ci è rimasta e varie applicazioni dei suoi progetti sono state tramandate da diversi autori. Sappiamo inoltre che in quell’epoca, forse grazie ad Archimede stesso, fu introdotto per la prima volta l’elemento tecnologico che ancora oggi usiamo per risolvere problemi dello stesso tipo: la ruota dentata.

Nella scienza ellenistica la meccanica è strettamente connessa alla geometria. Diogene Laerzio afferma che Archita (nella prima metà del IV secolo a.C.) non solo aveva introdotto per primo elementi di meccanica nello studio della geometria (usando linee generate da figure in moto nella costruzione dei due medi proporzionali tra due grandezze), ma aveva anche per primo trattato questioni di meccanica servendosi di principi matematici.(13)

Lo stretto legame tra geometria e meccanica, intese come due teorie scientifiche, è chiaro in Archimede. Innanzitutto Archimede, nel trattato Sull’equilibrio delle figure piane, in cui fonda lo studio delle macchine semplici, trae dalla geometria non solo la forma generale dello schema deduttivo, ma anche molti risultati tecnici particolari. Inoltre, cosa per noi ben più sorprendente, Archimede usa le leggi della meccanica per scoprire teoremi di geometria.

    L’opera di Archimede è costruita al modo degli Elementi di Euclide e di altri lavori dello stesso Archimede. Si inizia con 7 postulati e si segue con complessive 25 proposizioni o teoremi (15 nel libro 1 relativi alla leva e 10 nel libro 2 relativi al baricentro). I postulati sono i seguenti:

I. Chiediamo  [che si ammetta] che pesi uguali a distanze uguali si facciano equilibrio; che pesi uguali a distanze disuguali non si facciano equilibrio, ma producano pendenza dalla parte del peso che si trova a distanza maggiore.

II. Che se dati dei pesi che si facciano equilibrio essendo a certe distanze, si aggiunga qualcosa ad uno dei pesi, non si abbia più equilibrio, ma pendenza dalla parte del peso al quale si è fatta l’aggiunta.

IlI. Che similmente se da uno dei pesi si tolga qualcosa, non si abbia più equilibrio, ma pendenza dalla parte del peso dal quale non si è sottratto nulla.

IV. Che se figure piane uguali e simili coincidono l’una sull’altra, anche i centri di gravità coincideranno tra loro.

V. Che per figure disuguali ma simili i centri di gravità saranno similmente posti. Diciamo che punti in figure simili sono similmente posti se rette condotte da essi ai vertici degli angoli uguali formano angoli uguali con i lati omologhi.

VI. Che se grandezze a certe distanze si fanno equilibrio, anche grandezze ad esse uguali poste alle stesse distanze si faranno equilibrio.
(14)

VII. Che per ogni figura il perimetro della quale è concavo dalla stessa parte, il centro di gravità debba trovarsi nell’interno della figura.
 

    Con questi postulati come premessa, Archimede passa a dimostrare tutte le leggi sulla leva (le cui dimostrazioni, secondo Kline, dipendono da un’altra opera di Archimede, Sulle leve, andata perduta). Anche questa opera fece entrare Archimede nella leggenda, quella che coglie aspetti appariscenti dimenticando sempre la complessità dei contenuti (vedi figura).

Affresco di Giulio Parigi (1600) dello Stanzino delle Matematiche nella Galleria degli Uffizi (Firenze). E’ la rappresentazione del famoso datemi un punto d’appoggio e vi solleverò il mondo.

La sostanza delle proposizioni di Archimede del libro 1 verte sulla  dimostrazione del principio di equilibrio della leva. Sia data un’asta rigida AB girevole attorno ad un fulcro C. Siano rispettivamente p e q i pesi applicati in A e B, ed ab le distanze dei punti di applicazione da C. Se l’asta è in equilibrio orizzontale possiamo scrivere A (a,p) = B (b,q). In tal caso abbiamo a : b = q : p tanto se p e q sono commensurabili quanto se non lo sono. Nel libro 2 Archimede si occupa invece di centri di gravità o baricentri di figure piane e solide. Egli non ci fornisce una vera definizione di baricentro ma lo ricavava empiricamente per sospensioni successive. Sospeso il corpo per un punto P osservava che il baricentro doveva trovarsi sulla linea verticale tracciata da quel punto al suolo; sospeso il corpo per altro punto, si trovava un’altra linea verticale; e così via. Tali rette si possono chiamare assi centrali e ciascuna di esse deve passare per il baricentro. Quindi esse si incontreranno in un punto che sarà il baricentro del corpo(15). Nel libro 2 Archimede studia a fondo i baricentri di figure geometriche e trova quello di un segmento parabolico. Trova anche l’area di tale segmento parabolico. Vi sono poi altri risultati, come la determinazione  della posizione di equilibrio del parabolide ellittico di rotazione immerso in acqua, per discutere i quali occorrerebbe disporre di opere perdute di Archimede, come la De Insidientibus aquae, opera della quale disponiamo di pochissimi frammenti che fecero dire a Lagrange uno dei più bei monumenti del genio di Archimede, contenente una teoria dei galleggianti alla quale i moderni hanno aggiunto ben poco.

    E’ di estremo interesse notare per coloro i quali parlano di Archimede fermo alla statica che con queste leve Archimede resistette per tre anni agli assalti di Roma e riuscì a spostare una nave carica. Una interessante discussione della questione la fa Russo. Leggiamo:

“La confutazione dell’ argomentazione aristotelica da parte di Archimede, secondo una tradizione riferita da Plutarco e da Proclo, fu molto persuasiva. Archimede avrebbe progettato, all’interno della sua teoria scientifica della meccanica, un congegno con il quale un uomo solo (se stesso o il sovrano Gerone II, a seconda delle versioni) sarebbe riuscito a spingere in acqua una nave tirata in secco nel porto di Siracusa (secondo Proclo si sarebbe trattato addirittura di un trealberi a pieno carico). La macchina effettuava proprio quella divisione della forza che Aristotele aveva giudicato impossibile e che in effetti nel caso particolare della nave probabilmente non aveva precedenti. Era un modo chiarissimo di dimostrare la superiorità del metodo scientifico … sulla filosofia naturale. Anziché riflettere il mondo nella speculazione filosofica, il metodo scientifico aveva permesso di cambiarlo, progettando una macchina che annullava l’impossibilità osservata da Aristotele(16).

Il valore metodologico dell’esperimento dimostrativo raccontato da Proclo e da Plutarco, emerso più chiaramente dal confronto con il passo di Aristotele, è naturalmente indipendente sia dalla eventuale volontà di Archimede di fare esplicito riferimento ad Aristotele sia dalla realtà storica dei dettagli riferiti. L’essenziale è che, poiché sappiamo che Archimede aveva realmente sviluppato la possibilità di progettare macchine con vantaggio meccanico elevato, non si tratta certamente di una leggenda nata dal nulla. Il racconto, in quanto ci tramanda da una parte il tipo di realizzazioni che la meccanica elaborata da Archimede rendeva possibili e dall’altra il diffuso interesse per questa nuova tecnologia, è certamente attendibile. In genere l’episodio della nave viene invece ricordato all’interno della descrizione leggendario-aneddotica del personaggio di Archimede, privandolo completamente del suo significato.

Si legge in genere che gli scienziati greci avevano sviluppato la statica ma non la dinamica. Essi conoscevano cioè le condizioni di equilibrio, ma non le leggi del moto dei corpi. Queste affermazioni lasciano l’impressione che gli antichi scienziati, grazie alla loro natura contemplativa, si dilettassero a osservare corpi in equilibrio, guardandosi bene dallo smuoverli. L’episodio di Archimede che progetta e usa una macchina con cui da solo può trainare una nave mal si concilia con questa impressione. In realtà nel III secolo a.C. non si era sviluppata la nostra dinamica; ma la teoria quantitativa, che certamente si era sviluppata, di macchine come argani e ingranaggi demoltiplicatori deve essere considerata una forma di dinamica, giacché ciò che interessa non è certo il solo equilibrio di queste macchine. L’idea che Archimede abbia creato la statica ma non la dinamica nasce dal fatto che mentre la nostra statica coincide essenzialmente con quella archimedea, non si può dire lo stesso per la dinamica. La meccanica di Archimede (cioè, letteralmente, la sua scienza delle macchine) era però una teoria scientifica che si occupava sia dell’equilibrio che del moto, anche se, come tutte le teorie scientifiche, era applicabile solo a un ambito limitato di fenomeni.

… [Con analogia all’odierna termodinamica] il principale problema meccanico del III secolo a.C. era lo studio di macchine che, pur compiendo un lavoro, potevano essere studiate supponendo che le forze agenti fossero in ogni istante quasi in equilibrio. È questo il caso di una gru che sollevi lentamente un peso. I problemi riguardanti sistemi meccanici di questo tipo (in particolare il calcolo del loro vantaggio meccanico) possono essere risolti usando la meccanica di Archimede. La nostra meccanica classica è superiore a quella archimedea poiché, oltre a includerla, può essere applicata anche in molti casi nei quali !’ipotesi precedente non è verificata. Tale differenza è però esattamente della stessa natura di quella che la rende inferiore, ad esempio, alla meccanica relativistica. Il salto qualitativo essenziale, dalla filosofia naturale alla scienza, in Archimede è già compiuto. Si tratterà poi “solo” di sviluppare teorie capaci di fornire il modello di classi sempre più generali di fenomeni, ma la strada è tracciata, come è dimostrato dal fatto che varie teorie scientifiche ellenistiche, quali la teoria delle macchine semplici, l’idrostatica o l’ottica geometrica, sono state incluse sostanzialmente immutate nella scienza moderna.”

    L’altro lavoro di Archimede al quale ho accennato è quello sui Galleggianti (che non ci è giunto completo). Qui, si gettano le basi dell’idrostatica, si forniscono metodi per determinare i pesi specifici delle sostanze e si stabilisce il fondamentale principio che ancora oggi prende il nome da Archimede. Si premette una frase che vale come se fossero due postulati:

Si supponga che il liquido abbia natura tale, che delle sue parti ugualmente disposte e continue, quella meno compressa venga spinta da quella più compressa, e che ciascuna delle sue parti sia compressa secondo la perpendicolare dal fluido situato sopra di essa, a meno che il liquido non sia contenuto dentro un [recipiente], e non sia compresso da qualunque altra [causa].

    Delle proposizioni che seguito ne sottolineo alcune:

– la 2, che è una sorta di constatazione della geografia della Terra, dice: La superficie di ogni liquido che si trovi in riposo avrà la figura di una sfera avente come centro lo stesso centro della Terra.

– Si passa a discutere poi dell’immersione dei corpi nei liquidi distinguendo i casi possibili (che noi distingueremmo in: solido con peso specifico maggiore, minore od uguale a quello del liquido).

– la 6 è il Principio di Archimede: I corpi solidi più leggieri del liquido, introdotti a forza nel liquido, vengono rinviati verso l’alto con una forza tale quale è la differenza di cui il peso del liquido che ha lo stesso volume della grandezza [solida] supera il peso della grandezza [solida stessa].

– la 7 dice che se i solidi sono più pesanti del liquido, vanno a fondo ma alleggeriti di tanto quanto è il peso del liquido spostato. E la spinta verso l’alto che ricevono è secondo la verticale condotta per il loro centro di gravità.

– Si passa al Libro 2 che approfondisce lo studio dei corpi nei liquidi, a partire dal Principio di Archimede, dato qui come una specie di postulato.

Seguiamo una delle dimostrazioni, esemplificativa di tutte le altre, quella proposta da Frajese che è poi la I del Libro 2.

Consideriamo un solido più leggero del liquido: esso si immergerà solo parzialmente. Sia A il volume della parte immersa, B il volume della parte emersa. Si considera il peso PS (A + B) del solido che occupa il volume totale A + B ed il peso Pℓ (A + B) del liquido che occupi lo stesso volume A + B. Per il Principio di Archimede il solido riceve una spinta verso l’alto uguale al peso del liquido spostato, cioè una spinta uguale al peso del liquido che occupa il volume A della parte immersa: chiamiamo P(A) un tale peso. Ma il corpo solido sta in equilibrio, quindi la spinta P(A) deve essere uguale (e contraria) al peso dell’intero solido, cioè:

P(A) = PS (A + B).

Tenuto conto che i pesi dei liquidi stano tra loro come i rispettivi volumi, abbiamo:

PS (A + B) : Pℓ (A + B) = P(A) : Pℓ (A + B) = A : (A + B)

e cioè: II, 1 – Se una grandezza [solida] più leggiera del liquido viene abbandonata nel liquido, avrà in peso rispetto al liquido lo stesso rapporto che [in volume] ha la grandezza immersa rispetto all’intera grandezza [solida].

ERONE

    Un altro meccanico ed ingegnere di Alessandria che, per quanto ho in precedenza anticipato, pur essendo già molto posteriore e dentro il periodo della decadenza, merita di essere discusso è Erone di Alessandria (I secolo d.C.).(17) L’opera che gli è attribuita (ma certamente tali invenzioni sono dovute anche a Ctesibio di Alessandria, III sec. a. C.,  Filone di Bisanzio, 200 a.C.e ad altri che non conosciamoè vasta, ricopre i più svariati campi della scienza e della tecnica e tale da non poter essere discussa tutta. La parte più eminentemente meccanica è quella che egli tratta negli Automata (del quale è andata perduta la parte iconografica) e nella Pneumatica. Molti sono i dispositivi meccanici di cui ci parla Erone in queste due opere. Nella Pneumatica, che di seguito descrivo in tutte le sue 78 sezioni, le prime 8 sezioni e molte altre (quelle che non riporto)  sono

Sifone ricurvo di Erone

dedicate ai più svariati tipi di sifoni (ricurvo, concentrico, con scarico uniforme, …) e recipienti in vetro dalle particolari proprietà (non riporterò neppure oggetti

Meccanismo di Erone per prelevare un liquido mediante un sifone dal quale si aspira aria con la bocca (è quello che ancora oggi usiamo per aspirare liquidi da botti)

molto poco significativi). La sezione 9 ci presenta un recipiente in grado di produrre un getto d’acqua quando con una pompa si immetta aria compressa in esso:

Dispositivo di Erone in grado di produrre un getto d’acqua mediante immissione di aria compressa.

La sezione 10 descrive una valvola per una pompa. La 11 è già quello che è definito gioco o apparato per divertire o per carpire la buona fede dei credenti; si tratta di un altare per libagioni mediante il fuoco. Ora fare delle libagioni anticamente voleva dire spargere vino o latte o miele sul fuoco in onore del dio del momento. Nell’altare di Erone tutto avviene automaticamente accendendo il fuoco sull’altare che è a tenuta stagna e dentro cui c’è aria. Sotto l’altare, nel piedistallo vi

L’altare per libagioni di Erone

è un liquido. L’aria dell’altare scaldata esce a pressione nel foro in basso C. L’acqua del piedistallo non ha altra via d’uscita che i tubi che camminano sui manichini e terminano aperti nelle coppe. Finché c’è il fuoco acceso (e l’acqua nel piedistallo) continuano le libagioni. Una variante di questo altare è presentato nella

sezione 60 in cui, a lato delle libagioni vi è un serpente che sibila. La sezione 14 presenta un altro aspetto divertente, la fontana che produce il cinguettio di un uccello. Senza più troppi dettagli, quando l’acqua esce dalla bocca della fontana, 

La fontana cinguettante di Erone

entra nel recipiente sottostante in cui c’è aria la quale non può che uscire attraverso appositi fori fatti in quel finto ramo ed uccellino. Dimensionando opportunamente i fori si ottiene un  rumore simile ad un cinguettio. La sezione 15

Altra fontana cinguettante ad intervalli regolari di Erone

descrive un’altra fontana con effetti speciali e le 16, 43, 44 delle varianti della fontana che invece di far cantare gli uccelli, fa suonare delle trombe o altro; allo stesso modo la sezione 28 in cui un uccellino beve acqua solo quando gli viene offerta e la 29 e la 30. La sezione 17 presenta un meccanismo che produce un 

Porte del tempio che fanno suonare una tromba quando sono aperte

suono all’ apertura delle porte di un tempio;  la 18 un bicchiere in grado di 

Bicchiere dispensatore di acqua o vino

dispensare acqua o vino; la 21 presenta unrecipiente che dispensa acqua solo

Dispensatore d’acqua a pagamento

quando si immette una moneta; la 27 descrive una pompa per spegnere incendi 

Pompa per spegnere incendi

(pompa attribuita a Ctesibio); la 31 un dispensatore d’acqua in un tempio;  la33 una lampada ad olio con accensione automatica (vi è una variante nella sezione 71 in cui si può aumentare o diminuire opportunamente l’intensità della luce ed altre varianti vi sono in 72, 73); la 37 la famosa apertura automatica delle porte del

Apertura delle porte del tempio all’accensione del fuoco

Ricostruzione animata dell’apertura automatica delle porte del tempio

tempio all’accensione del fuoco che  produce delle depressioni che dal recipiente sferico inviano acqua al pentolone che scende per il peso aprendo le porte; e la 38 un meccanismo analogo; giochi veri e propri sono quelli riportati nella sezione 40 (Ercole ed il dragone), 45 (palla sospesa da un getto d’acqua, 46 (rappresentazione della Terra al centro dell’universo); la 47 rappresenta una fontana solare che versa

Fontana solare

acqua quando la sfera è calda a sufficienza; nella sezione 50 c’è la famosa eolipila uno strumento di divertimento che utilizza il vapore che produce movimento meccanico di rotazione di una sfera che ruota intorno al suo asse alimentata da getti di vapore prodotti dalla pentola sottostante (la rotazione avviene per reazione, attraverso l’espulsione del vapore dalla sfera mediante i due ugelli sbuffanti di

Eolipila

 figura);

nella 57 è descritto il funzionamento di una siringa; nella sezione 63 viene

Siringhe

mostrato il funzionamento di uno speciale orologio ad acqua; nella sezione 68 vi è

Orologio ad acqua

un reliquario nel quale un uccellino canta al far girare una ruota; la 70 delle figure