E’ importante cercare di capire perché sono state sviluppate le tre statistiche che abbiamo studiato confrontandole tra loro.
La statistica di Maxwell-Boltzmann, sviluppata nell’ultima metà del secolo scorso, forniva delle buone previsioni teoriche, verificate poi sperimentalmente, sul comportamento di un gas in condizioni normali (pressione atmosferica: P = 1 atmosfera; temperatura ordinaria ambiente: T = 300 °K).
In quegli stessi anni si lavorava (‘) intensamente nel campo della fisica delle basse temperature (soprattutto ad opera di Dewar a Cambridge e di Kamerlingh-Onnes a Leida). Si stavano liquefacendo tutti i gas, solo l’elio resiste va fino a temperature bassissime (l’elio fu poi liquefatto per la prima volta a Leida nel 1908 ad opera di Kamerlingh-Onnes).
Il susseguirsi di una notevole mole di dati sperimentali, di fatti e dati allora incomprensibili, dette un notevole impulso alla ricerca teorica, alla ricerca di spiegazioni sempre più corrispondenti ai fatti osservati. Molti fenomeni osservati nella fisica delle basse temperature risultavano comunque del tutto incomprensibili dal punto di vista della fisica classica: Vale la pena aprire una breve parentesi proprio sull’elio.
L’elio, che liquefa a circa 5 °K= – 268 °C non solidifica neanche alla temperatura di 0,000016 °K ≈ – 273 °C (raggiunta da Simon a Oxford nel 1956) e non solidificherebbe neanche allo zero assoluto (T = 0 °K = – 273°C): questo fatto è in contrasto con la fisica classica che prevede la solidificazione di tutte le sostanze a temperature così basse. Inoltre, secondo la fisica classica, il calore specifico di un gas ideale (elio, ad esempio) deve rimanere finito anche allo zero as
soluto (e deve valere c = 3/2 R con R = kN =1,99 calorie/grado, con k = costante di Boltzmann e N = numero di Avogadro) . Questo fatto è però in contrasto con l’esperienza: infatti il calore specifico decresce man mano che ci si avvicina allo zero assoluto (la cosa fu predetta da Nerst nel 1916 ed il processo, allora ancora ignoto, secondo cui il calore specifico decresce lo chiamò degenerazione del gas, mentre un gas a temperature vicine allo zero assoluto venne chiamato degenere).
A tutta questa messe di dati sperimentali e a queste incongruenze (oltre a quelle relative alla radiazione emessa da un corpo nero) la statistica di Maxwell-Boltzmann non dava alcuna risposta che fosse in accordo con l’esperienza. Ed era logico. Occorreva che si introducessero i quanti per spiegare la gran parte dei fatti sperimentali che si accumulavano; e i quanti furono introdotti nel 1900 da Planck. Da allora si cominciò a lavorare assiduamente per trovare delle spiegazioni teoriche alle deviazioni cui accennavamo.
Le cose importanti, per quanto ci riguarda ora, introdotte dalla meccanica quantistica sono: l’indistinguibilità delle particelle e la quantizzazione della loro energia, il principio di indeterminazione ed il principio di Pauli.
Come abbiamo già detto qualche articolo indietro Bose-Einstein svilupparono (1924) la loro statistica introducendo l’indistinguibilità delle particelle e la quantizzazione della loro energia ed anche (in qualche modo) il principio di indeterminazione (pur non essendo quest’ultimo ancora stato enunciato – 1927) quando si fissava h3 come volume delle cellette a disposizione delle particelle. Con la statistica di Bose-Einstein si riuscirono a spiegare compiutamente due importanti fenomeni: la radiazione del corpo nero e l’annullarsi del calore specifico allo zero assoluto (poiché nella statistica quantistica di un gas ideale si hanno stati energetici separati, anche il calore specifico di un tale gas deve essere quantizzato ed annullarsi allo zero assoluto).
Fermi e Dirac introdussero nella trattazione statistica di un gas di elettroni (1926) il principio di esclusione di Pauli (1925) e con la loro statistica resero conto di moltissimi altri fatti sperimentali.
Comunque da quanto abbiamo ora detto è chiaro che il problema nasceva perché il gas degenerava, infatti in condizioni di non degenerazione vale la statistica di Maxwell-Boltzmann.
Nelle formule che abbiamo incontrate, sia in quella di Maxwell-BoItzmann (1) sia in quella di Bose-Einstein (4) sia in quella di Fermi-Dirac (7):
si può individuare in -E0/kT [per la (1) e la (4)] e in -EF/kT [per la (7)] un parametro, cosiddetto, di degenerazione. Infatti, quando -E0/KT (ovvero -EF/KT) è molto minore di 1 si è in condizioni di degenerazione e, non potendosi trascurare il -1 al denominatore della (4) ed il +1 al denominatore della (7), valgono le statistiche quantistiche. Quando invece -E0/KT (ovvero -EF/KT) risultano molto grandi, allora potendosi trascurare il -1 e +1 al denominatore della (4) e (7) rispettivamente, vale la statistica di Maxwell-Boltzmann.
Che cosa vuol dire questo fatto?
Quando un gas è in condizioni normali, le particelle che lo compongono hanno a disposizione tante celle e quindi c’è poca probabilità che in una stessa cella capiti più di una particella: in questo caso allora non c’è differenza sostanziale fra le tre statistiche. Quando invece ci si avvicina allo zero assoluto, le celle a disposizione del gas diminuiscono notevolmente e quindi aumenta di molto la probabilità di avere più di una particella per cella; in questo caso nasce allora la sostanziale differenza tra le tre statistiche ed in particolare tra quelle di Maxwell-BoItzmann e Bose-Einstein da una parte (più di una particella per stato) e quella di Fermi-Dirac dall’altra (una sola particella per stato).
Vediamo ora qual è l’attuale campo di applicazione delle tre statistiche, quando cioè si deve applica re la statistica classica e quando le statistiche quantistiche.
La statistica di Maxwell-BoItzmann è stata ricavata nell’ambito dello studio della teoria cinetica dei gas e proprio in questa teoria si assume che le molecole (nel senso che abbiamo chiarito quando abbiamo trattato la statistica classica) interagiscono tra di loro molto debolmente e solo durante le collisioni: si possono quindi trascurare tutti gli altri tipi di forze possibili (elettrostatiche, gravitazionali, etc…). Questo fatto è in accordo con il modello che la teoria cinetica si è costruito per un gas: ci sono praticamente infiniti stati a disposizione per un numero N di particelle a disposizione (sempre grandissimo ma comunque molto più piccolo del numero degli stati a disposizione).
Quando però studiamo un gas particolare, un gas cioè, ad esempio, di elettroni all’interno di un solido, cade l’ipotesi di interazione debole. Quando un elettrone passa vicino ad un nucleo risente della sua attrazione elettrostatica e resta nel campo elettrico del nucleo stesso. Anche se gli elettroni sono liberi di muoversi all’interno del solido, essi sono sempre associati a degli atomi. E, abbiamo già visto , che elettroni associati ad atomi possono esistere so lo in particolari livelli energetici a loro permessi.
Come gli elettroni in un atomo possono avere solo le energie permesse dall’atomo, così gli elettroni di un solido possono avere solo le energie permesse dal solido.
Mentre le molecole in un gas possono avere ogni valore di energia, gli elettroni in un solido hanno le loro energie quantizzate (e sono soggetti al principio di Pauli). –
Ed ecco allora un’altra differenza sostanziale, ecco dove la distribuzione di Fermi-Dirac è in netto contrasto con la distribuzione per un gas di molecole di Maxwell-Boltzmann: le energie del gas di molecole non sono quantizzate, le energie del gas di elettroni sono quantizzate.
Ma qual è la differenza di applicazione tra la statistica di Fermi-Dirac e quella di Bose-Einstein, essendo ambedue statistiche quantistiche e riferendo si ambedue a particelle che hanno le loro energie quantizzate?
Cominciamo con il dire a quali particelle possono essere applicate le diverse statistiche.
La statistica di Maxwell-Boltzmann si applica ai gas di molecole a temperatura ambiente o a temperature più alte (in questo caso abbiamo visto che anche le altre statistiche danno gli stessi risultati).
La statistica di Bose-Einstein si applica ai gas di certe particelle, che da ora chiameremo bosoni, in stato di degenerazione.
La statistica di Fermi-Dirac si applica ai gas di altre particelle, che da ora chiameremo fermioni, che oltre ad essere in stato di degenerazione sono anche soggette al principio di Pauli.
I bosoni sono quindi quelle particelle a cui non si applica il principio di Pauli, sono quelle particelle cioè che o non hanno spin o hanno spin intero come ad esempio: fotoni (ricordo che Bose, con la sua statistica, ritrovò la formula data da Planck per l’emissione di radiazione da parte di un corpo nero trattando statisticamente i fotoni), fononi, mesoni p, mesoni K, gas reali (idrogeno ed elio).
I fermioni sono invece quelle particelle a cui si applica il principio di Pauli, sono quelle particelle cioè che hanno spin semintero come ad esempio: elettroni, protoni, neutroni.
Possiamo quindi dire che l’applicazione di una o dell’altra statistica dipende dal tipo delle particel le in gioco e anche dalle particolari condizioni fisiche in cui queste particelle si trovano; le condizioni fisiche in cui si opera sono stabilite dal parametro di degenerazione che, in sostanza, è determinato da condizioni di bassa temperatura, di notevole densi tà delle particelle, di massa molto piccola di queste ultime: la statistica classica è un’approssimazione delle altre due quando il gas che stiamo considerando può essere considerato, per le particolari condizioni fisiche in cui si trova, un gas perfetto.
Facciamo, da ultimo, un confronto fra le varie funzioni di distribuzione (2), (5) e (8):
Il grafico delle distribuzioni in considerazione, a T ≠ 0 e per un fissato valore di E0 = EF , è riportato sovrapposto nella figura seguente:
Dai grafici si può vedere subito che per la fE (E) il livello energetico E0, essendo il livello verso cui fE(E) tende (per T -> 0), è il più basso livello possibile per il sistema di bosoni costituenti il gas; per la fF(E) il livello più basso possibile per il sistema di femioni costituenti il gas è quello corrispondente ad E = 0; per la fB(E) si ha invece una situazione intermedia per il sistema di molecole costituenti il gas.
Questo fatto rivela la profonda differenza fra le statistiche di Maxwell-Boltzmann e Bose-Einstein da una parte e la statistica di Fermi-Dirac dall’ altra.In fatti, quando l’energia del gas in considerazione si ab bassa di molto (E -> 0) , quando cioè la temperatura diventa molto bassa (T -> 0) , le molecole classiche tenderebbero ad occupare tutte lo stesso stato corrispondente ad energia E = 0. Questo fatto in realtà non si verifica poiché, trovandoci in stato di degenerazione occorre applicare le statistiche quantistiche: quella di Fermi nel caso di particelle a spin semintero (soggette al principio di Pauli), quella di Bose nel caso di particelle a spin intero (non soggette al principio di Pauli).
Comunque, per E -> 0 (cioè per T -> 0), quando si ha a che fare con un gas di bosoni, si origina una condensazione del gas stesso, cioè, i bosoni costituenti il gas tendono ad occupare tutti lo stesso stato energetico (E = E0)
Una cosa del tutto diversa accade quando si ha a che fare con un gas di fermioni: un solo fermione si troverà nello stato a cui compete energia zero, tutti gli altri andranno ad occupare stati ad energia superiore fino a che non siano esauriti i fermioni stessi (livello energetico EF).
Vediamo meglio questo fenomeno considerando, per semplicità, non stati, in cui vi può essere un solo elettrone, ma livelli energetici, in cui vi possono essere due elettroni a spin antiparallelo. Vediamolo meglio in un confronto con un gas di molecole ed un gas di bosoni, nel caso particolare di un numero N di particelle uguale a 20:
Se gli elettroni fossero classici, allo zero assoluto si troverebbero tutti nel livello energetico E = 0. Per portare questi elettroni classici dal livello E = 0 al livello, realmente occupato allo zero assoluto, EF, occorrerebbe un innalzamento di temperatura (cioè un aumento di energia) pari a circa 10.000 °K ≈ 9.750 °C ( ricordando quanto abbiamo detto sull’energia di punto zero, si può dire che gli elettroni hanno una altissima energia di punto zero e come gli elettroni tutti i fermioni).
Se innalziamo la temperatura, tutte le particelle di Boltzmann e di Bose acquistano energia saltando, senza nessuna limitazione nell’occupazione dei livelli, sui livelli ad energia più alta; le particelle di Fermi invece si comportano in modo diverso: quel le che stanno nei livelli energetici più bassi non possono, in alcun modo, acquistare energia (poiché ad un acquisto di energia corrisponde il salto in un livello superiore il quale essendo già occupato da due elettroni non permette che se ne aggiunga un altro); le uniche particelle che acquistano energia sono quelle prossime al livello di Fermi che hanno, immediatamente sopra, livelli energetici liberi che possono occupare:
Dal livello (E*) in cui non vi sono più elettroni, si può applicare la statistica di Boltzmann; nel grafico delle funzioni di distribuzione, infatti, il livello E* è proprio quello in cui si raccordano le funzioni di Fermi e di Boltzmann:
Quindi nel caso dei fermioni, quanto T ≠ 0, solo quei fermioni che hanno un’energia dell’ordine di EF = 2kT possono subire incrementi di energia, portandosi al massimo ad una energia E* . Tutti gli altri fermioni sono, per così dire, congelati nel loro stato e non possono subire innalzamenti di energia con un solo innalzamento di temperatura.
In pratica solo 1/100 di tutti i fermioni costituenti il gas può subire un incremento di energia per via termica.
Per concludere l’importante discussione fatta sulle tre statistiche riporto una tabella riassuntiva di esse:
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