Fisicamente

di Roberto Renzetti

di Roberto Renzetti

SECONDA PARTE: BOSCOVICH, D’ALEMBERT, LAGRANGE, LAPLACE

8 – RUGGERO GIUSEPPE BOSCOVICH (1711 – 1787)

        Nei paragrafi precedenti abbiamo accennato alla celebre argomentazione di Laplace:

Un’Intelligenza che, per un dato istante, conoscesse tutte le forze da cui è animata la natura e la situazione rispettiva di tutti gli esseri che la compongono, se per di più fosse abbastanza profonda per sottomettere questi dati all’analisi, abbraccerebbe nella stessa formula i movimenti dei più grandi corpi dell’universo e dell’atomo più leggero: nulla sarebbe incerto per essa e l’avvenire, come il passato, sarebbe presente ai suoi occhi.

        E’ questo il manifesto del meccanicismo a cavallo dei secoli XVIII e XIX che illustra bene il substrato culturale su cui lavoravano i fisici-matematici francesi di quel periodo. Su quanto ipotizzato da Newton, soprattutto nell’Optics, la spiegazione del mondo consisteva nel ridurre tutti i fenomeni naturali alle interazioni meccaniche di particelle considerate come parti ultime della materia. Bastava, come abbiamo  visto or ora per Laplace, conoscere le condizioni iniziali (posizioni e velocità) di un dato sistema di particelle per calcolarsi, con la meccanica,  la sua successiva evoluzione a stati diversi in fenomeni diversi. Ed è importante notare che, con la meccanica, non era soltanto possibile calcolarsi l’evoluzione in avanti, ma anche l’evoluzione all’indietro. Niente infatti, a partire dalla formulazione newtoniana, impediva la reversibilità dei fenomeni naturali proprio perché le equazioni della meccanica risultano simmetriche rispetto al tempo.

        In questo contesto particellare si inseriscono i lavori del gesuita Giuseppe Ruggero Boscovich che risultò un grande «mediatore» tra la fisica di Newton e la critica di Leibniz.

         Egli, il primo scienziato che dopo 100 anni fa riemergere il nome dell’Italia, nacque a Ragusa (oggi Dubrovnik), in Dalmazia, nel 1711. Nel 1726 entrò nell’ordine dei gesuiti ed alcuni anni più tardi fu ordinato sacerdote a Roma. Iniziò i suoi studi al Collegium Ragusinum e li proseguì al Collegium Romanum a Roma. La sua carriera iniziò come docente alle classi inferiori del Collegium Romanum e successivamente (1740) come docente di matematica al medesimo Collegio. Egli fu scienziato poliedrico che studiò astronomia, matematica, fisica, geodesia. Gli furono assegnati importanti incarichi tecnici che assolse con grande perizia: la verifica della stabilità della cupola di San Pietro dopo la comparsa di alcune crepe e quella della guglia del Duomo di Milano; la consulenza relativa alla bonifica delle pianure pontine; i problemi dei porti di Rimini e Savona. Partecipò, insieme a Cristoforo Maire e sotto il papato di Benedetto XIV, alla misura dell’arco di meridiano (due gradi) da Roma a Rimini al fine di definire al meglio la configurazione e le carte degli Stati pontifici. Si occupò anche di questioni diplomatiche per le sue capacità dialettiche, per la sua serietà ed i modi eleganti e brillanti che a volte sapevano anche essere duri e spigolosi. Viaggiò, tra l’altro,  a Vienna dove si recò e per studiare la stabilità della Biblioteca Cesarea e per dirimere delle questioni di confine tra Repubblica di Lucca e Granducato di Toscana e dove (1758) pubblicò una delle sue opere più importanti, Theoria Philosophiae Naturalis redacta ad unicam legem virium in natura existentium (altre opere degne di nota sono: De viribus vivis -1745; De lumine – 1748; De centro gravitatis – 1751). Anch’egli passò per l’intolleranza delle idee. Fu

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costretto ad abbandonare il suo insegnamento a Roma perché non erano condivise le sue idee di newtoniano in generale e sulla costituzione della materia in particolare. Nel 1759 viaggiò in Francia ed in Inghilterra dove fu fatto membro della Royal Society. Si recò a Costantinopoli per osservare il passaggio di Venere davanti al Sole ma arrivò in ritardo. Al ritorno visitò vari Paesi dell’Est europeo e nel 1763 fu chiamato ad insegnare matematica all’Università di Pavia. Negli anni che vanno dal 1763 al 1768 insegnò tra Pavia e le Scuole Palatine di Milano. In questa città fondò l’Osservatorio astronomico di Brera, la Specola, nel quale si occupò di

Specola di Boscovich

strumentazione e degli errori dovuti alla medesima (eliminazione delle aberrazioni cromatica e sferica). Venuto in contrasto con altri astronomi, lasciò Brera e, in simultanea con l’abolizione dell’ordine dei gesuiti del 1773 da parte di Papa Clemente XIV, accettò di andare a lavorare a Parigi come direttore dell’Ottica della Marina. Qui ebbe molti scienziati amici che lo stimavano moltissimo ma ebbe anche scontri continui con Laplace sul metodo di determinazione delle orbite delle comete. Nel 1782 ottenne licenza di rimettere piede in Italia e, dopo un soggiorno a Bassano del Grappa dedicato alla pubblicazione della sua opera in 5 volumi Opera pertinentia ad opticam et astronomiam (1785), morì a Milano nel 1787.

        Oltre a quanto detto e a quanto dirò oltre,  Boscovich studiò le perturbazioni delle orbite di Giove e Saturno e della determinazione dell’orbita di Urano e si occupò di geometria sferica indagando la possibilità di geometrie non euclidee. Tra i suoi grandi meriti c’è quello di essere stato uno tra i primi grandi divulgatori dell’opera di Newton nel continente. 

        La  ricerca di Boscovich, che presenta un approccio del tutto diverso da quanto fino ad ora visto alla meccanica, partì dal proposito di determinare il centro di oscillazione dei corpi solidi. Per far questo passò attraverso lo studio dei fenomeni d’urto tra due corpi. Da alcune osservazioni empiriche (tutte di carattere qualitativo) egli iniziò a costruirsi un modello microscopico dei fenomeni in oggetto. Se l’urto tra le particelle ultime che costituiscono la materia è pensato come urto tra corpuscoli duri ed estesi, allora bisogna ammettere che nell’urto si crei una discontinuità nella velocità e quindi nella quantità di moto delle particelle.Detto con linguaggio moderno e supponendo l’urto unidimensionale, all’istante in cui i due corpuscoli si urtano, il vettore velocità dovrebbe assumere, in quell’istante, due valori (se non altro due versi opposti). L’ammissione di ciò viola la legge di continuità che impedisce si possa andare da un valore ad un altro, di una data grandezza, senza passare attraverso valori intermedi. La prima assunzione di Boscovich è quindi quella legge di continuità, di sapore prevalentemente euristico, che spesso era stata utilizzata da Leibniz. Per risolvere il problema occorre, secondo Boscovich, sbarazzarsi dei corpuscoli estesi e duri ed ammettere una sorta di parziale «penetrabilità» della materia. Dalle sue osservazioni risultava che “immediatamente prima del contatto [nell’urto tra corpi solidi] le stesse velocità [di questi corpi] cominciano a cambiare.” (Da: Theoria philosophiae naturalis …). Quindi, a distanze piccolissime, non vi deve più essere attrazione (gravitazionale) tra corpi, ma repulsione che aumenta al diminuire della distanza tra gli stessi. Riportando ciò a livello microscopico è impossibile pensare le ultime particelle della materia come dure ed estese. Esse, secondo Boscovich, devono essere punti (matematici), indivisibili, inestesi, dotati di inerzia ma non di massa, disseminati nel vuoto immenso. Intorno a questi punti vi è poi una sorta di atmosfera di forza, più densa man mano che ci si avvicina al punto. In questo modo Boscovich supera la difficoltà che sullo stesso problema si era presentata a Leibniz(1),  sviluppando, come osserva Bertrand Russel, la monadologia in modo più logico e conseguente dello stesso Leibniz.  Le azioni che poi si esercitano tra punti di Boscovich sono a distanza, di tipo cioè newtoniano, ma anche se qui c’è un esplicito richiamo a Newton, quando si dovesse formalizzare il problema, non potremmo introdurre la massa e quindi in alcun modo potremmo parlare di forze alla Newton. Eppure per Boscovich non c’è materia ma forze le quali sono responsabili di quelle variazioni di velocità nell’urto tra due corpi o tra punti inestesi, cui si accennava prima  (per la verità Boscovich sostiene che “l’universo non consiste di vuoto disseminato tra la materia, ma di materia disseminata nel vuoto e fluttuante in esso”  ma, portando alle naturali conseguenze la sua concezione atomica, si vede bene qual fine faccia la materia).  

        E lo stesso urto sparisce nella meccanica di Boscovich; esso è sostituito da azioni che, avvenendo tra punti inestesi, sono sempre a distanza (tra le atmosfere di forza che si lasciano penetrare per un poco e poi, gradatamente, originano la repulsione che diventa sempre più intensa). La curva di forza (meglio sarebbe il dire: di variazione di velocità) in funzione della distanza tra punti è data dal nostro in modo da prevedere attrazioni di tipo gravitazionale a grande distanza, che vanno con l’inverso del quadrato, e repulsioni molto intense (impenetrabilità della materia) a brevissima distanza. A distanze intermedie si hanno delle altre intersezioni della curva con l’asse delle ascisse che, nelle ipotesi di Boscovich, debbono rendere conto di tutti gli altri fenomeni conosciuti come, ad esempio: l’evaporazione di un liquido, la coesione, il gas prodotto da fermentazione di sostanze, ….

        Questa concezione di Boscovich, che prende le mosse da Leibniz, che si sviluppa con Newton, che è in contrasto con il meccanicismo cartesiano (che si serviva di particelle estese e dure nel tutto pieno), è in realtà un’ elaborazione assolutamente originale che Boscovich definiva  un sistema che è a mezza strada tra quello di Leibniz e quello di Newton;(2) e ad essa, poiché si fonda sul concetto di forza, è stato dato il nome di «dinamismo».

        Il dinamismo, modello meccanicistico che si presterà bene ad una elaborazione matematica, sta a metà strada tra concezioni corpuscolari e fluidistiche; esso in qualche modo concilia il punto di vista della continuità (forze presenti dovunque) con quello della discontinuità (punti inestesi).

           Questa teoria dinamica di Boscovich (dinamismo fisico) fu molto ammirata ma non compresa nella sua grandezza tanto che, per molto tempo, non fu ripresa da nessuno: anche essa aveva il difetto di essere interamente qualitativa senza nessuna base sperimentale. Saranno prima Schelling, quindi Faraday a riprenderla con successo: il primo inserendola in un sistema filosofico che ebbe grande influenza tra i fisici romantici ed il secondo fornendo al dinamismo una gran mole di risultati sperimentali che intersecarono il dinamismo con l’azione a contatto e quindi con la teoria di campo.

        E’ interessante osservare che un altro sostenitore del dinamismo fu proprio Kant, che molto contribuì alla sua affermazione per la grande influenza più generale che egli ebbe  sul pensiero filosofico e scientifico dell’ ‘800.

        Nonostante quindi i grandi successi dei fisici – matematici francesi, le prime istanze critiche, che erano state di Leibniz e di Berkeley, si facevano avanti ed andavano a mettere in discussione proprio i fondamenti della meccanica stessa. Questo bisogno di critica dei fondamenti era stato tra l’altro esplicitamente manifestato da Kant nei suoi Primi principi metafisici della scienza della natura (1786). Secondo Kant occorre far avanzare la discussione sui principi della meccanica ben oltre la loro accettazione acritica a priori. Bisogna arrivare fino ai concetti base su cui l’intera meccanica poggia.(3)  Osservo a margine che siamo alla fine del XVIII secolo. La formulazione di queste istanze critiche coincide, da una parte, con la decadenza dell’Illuminismo(4) e, dall’altra,  con l’emergere della Germania che va,  via via,  a collocarsi al centro del pensiero filosofico europeo. Il primo movimento di rottura con il pur evanescente Illuminismo tedesco è  quello dello Sturm und Drang. Gli appartenenti ad esso (gli sturmer) ebbero molto in comune con gli illuministi, soprattutto divisero con loro la dura condanna per l’ancien regime, l’interesse per la natura e lo spirito laico; nel contempo, però, sidistaccarono radicalmente da essi nel sostituire la categoria del ‘genio’ a quella della ‘razionalità’. Ma l’autentico superamento dell’Illuminismo tedesco sarà rappresentato dal criticismo kantiano. Kant, che si muoveva all’interno dell’Illuminismo (essendone un appassionato difensore), si impadronì delle esigenze di razionalità di esso, studiò i fondamenti di tali esigenze ed arrivò a scoprirne i limiti.

9 – JEAN LE ROND D’ALEMBERT (1717 – 1783)

          D’Alembert nacque nel 1717 a Parigi da una relazione illegittima tra la famosa donna di lettere madame Claudine Guérin de Tencin ed il cavaliere Louis-Camus Destouches, generale d’artiglieria. Per ordine della madre fu abbandonato da un servo sui gradini di una cappella contigua ad una delle torri di Notre Dame, quella di Saint Jean Le Rond, da cui il suo nome. Fu portato in un orfanatrofio ma suo padre riuscì a trovarlo e, pur non riconoscendolo, lo fece adottare, in cambio di una rendita, alla moglie di un vetraio, Madame Rousseau, con la quale Jean vivrà fino ai 50 anni e che riconoscerà sempre come sua vera madre. Con la piccola pensione che il padre dette a Jean, egli iniziò i suoi studi prima in forma privata e poi, a partire dai 12 anni, al giansenista Collège des Quatre Nations, fondato da Mazzarino. Fu uno studente brillante che, dopo aver preso il diploma di scuola superiore (baccalauréat en arts) nel 1735, proseguì gli studi alla Scuola di Diritto, iscrivendosi con il cognome che aveva, Daremberg, che fece cambiare in D’Alembert, divenendo avvocato nel 1738 ma rinunciando all’avvocatura. Si iscrisse poi a medicina ma anche qui abbandonò. Il suo interesse era per le scienze e la matematica. Nel 1739, infatti, presentò un primo lavoro di matematica all’Académie des Sciences e nel 1742 fu assunto come collaboratore nella sezione astronomica. Appena un anno dopo pubblicò uno dei suoi lavori più importanti, il Traité de dynamique dans lequel les lois de l’équilibre et du mouvement des corps sont réduites au plus petits nombre possible … e ad esso seguirono altre opere di gran rilievo:  Traité de l’équilibre et du mouvement des fluides (1744);

Théorie générale des vents (1745); Réflexions sur la cause générale des vents (1746); Recherches sur les cordes vibrantes (1747); Recherches sur la précession des équinoxes (1749) oltre ad opere di carattere eminentemente filosofico. Tra queste merita particolare rilievo il Discours préliminaire all’Encyclopédie (alla quale D’Alembert contribuì anche scrivendo molte voci), la monumentale opera che D’Alembert intraprese insieme a Diderot a partire dal 1746 e che vide il suo primo tomo uscire nel 1751 (tomo nel quale compariva il suddetto Discours préliminaire). D’Alembert lasciò l’Encyclopédie nel 1759 per divergenze con Diderot.

         Ancora nel 1746 egli fu eletto associato di geometria all’Académie ma la sua carriera da quelle parti non fu brillante a seguito della sua completa adesione al progetto dell’Encyclopédie che gli creò vari nemici, tra cui l’accademico Clairaut. In compenso, nel 1745, fu associato all’Accademia di Berlino (declinò l’invito di Federico di Prussia a dirigere l’Accademia perché: non voleva avere un grado accademico superiore a colui che stimava come più grande matematico del tempo, Euler; e perché sapeva che la cosa avrebbe creato problemi politici in Francia) e, nel 1754, venne eletto membro dell’ Académie française della quale dal 1772 assunse la carica di segretario a vita. Fu amico di Voltaire e Lagrange e grande ispiratore dell’Illuminismo. Anche se non arrivò a vederla, fu uno dei padri della Rivoluzione Francese. Si spense nel 1787 per una malattia alla vescica, sopravvivendo di 11 anni ad una scrittrice, Julie de Lespinasse, che aveva conosciuto nel 1754 e con la quale aveva diviso molti anni di tenera ed affettuosa compagnia. Da ateo convinto qual era la sua sepoltura fu in una fossa comune senza lapide.

         Quando D’Alembert iniziò a lavorare, vi erano varie incongruenze e contraddizioni nelle questioni di meccanica. D’Agostino ricorda che le leggi meccaniche note a quell’epoca (1743) contenevano alcune leggi del moto e dell’urto elaborate da Descartes, le leggi di Galileo sulla caduta dei gravi, le leggi di Huygens sulla forza centrifuga e sul pendolo composto, la conservazione della forza viva di Leibniz e la gran mole di concetti e leggi dei Principia di Newton. Noi oggi siamo portati a vedere solo Newton come il sistematizzatore di tutto ma non doveva essere così in un’epoca in cui tutti i contributi erano relativamente recenti e qualche confusione poteva nascere. Pertanto doveva esservi e certamente vi era in D’Alembert una esigenza di ordine tra le varie cose che erano state elaborate, anche su medesimi argomenti e che potevano sembrare trattazioni differenti. Nel Traité de dynamique egli inizia a fare ordine spiegandolo nella Premessa:

Si è avuta fortuna nell’applicare l’algebra alla geometria, la geometria alla meccanica e ciascuna di queste scienze a tutte le altre, delle quali ultime esse sono la base e il fondamento. Ma non si è mai prestata altrettanta cura nell’opera di ridurre i principi di tali scienze al minor numero possibile o in quella di fornir loro tutta quella chiarezza che si può desiderare. A questo proposito, la meccanica soprattutto è quella che sembra esser stata maggiormente trascurata: e così la maggior parte dei suoi principi ha dato luogo a molte questioni spinose, vuoi perché tali principi sono oscuri di per se stessi, vuoi perché essi sono enunciati e dimostrati in modo oscuro. In generale, sino ad oggi ci si è preoccupati più di far crescere l’edificio che di far luce al suo ingresso; si è pensato maggiormente all’ampiezza dell’edificazione che a dare ai suoi fondamenti tutta la solidità che ad essi converrebbe.

Io mi sono proposto, con quest’opera, di soddisfare due istanze: far retrocedere i limiti della meccanica e appianare l’accesso di quest’ultima; e il mio fine principale è stato quello di colmare ciascuna di tali istanze, in qualche modo, per mezzo dell’altra, e cioè, non sola- . mente di dedurre i principi della meccanica da nozioni che siano le più chiare, ma anche di applicarli a nuovi usi; di mostrare sia l’inutilità di molti principi che sino ad oggi sono stati impiegati in meccanica, sia i vantaggi che si possono ricavare, per il progresso di questa scienza, dalla combinazione di altri; in una parola, di estendere i principi riducendoli di numero
 [Da Bellone, bibliografia 63].

Il programma di D’Alembert è dunque chiaro: è inutile utilizzare tanti principi dove ne occorrono pochi. Vediamone una qualche articolazione nel seguito della Premessa:

Il tempo per sua natura scorre uniformemente, e la meccanica suppone una tale uniformità. D’altra parte, senza conoscere il tempo in se stesso e senza averne una misura precisa, non possiamo con maggior chiarezza rappresentare il rapporto fra le sue parti se non ricorrendo al rapporto fra le porzioni di una linea retta indefinita. Orbene, l’analogia che si ha tra il rapporto fra le parti di una tal linea e il rapporto fra le parti dello spazio percorso da un corpo che si muove in modo qualsiasi può sempre essere espressa per mezzo di un’equazione: si può dunque immaginare una curva le cui ascisse rappresentano le porzioni di tempo che sono trascorse dopo l’inizio del movimento, mentre le ordinate corrispondenti designano gli spazi percorsi durante quelle porzioni di tempo. […]

È allora evidente che, mediante la sola applicazione della geometria e del calcolo, diventa possibile, senza ricorrere ad alcun altro principio, trovare le proprietà generali del movimento, essendo quest’ultimo variabile secondo una legge qualsiasi. Ma come accade che il movimento di un corpo segue questa o quella legge particolare? La sola geometria nulla ci può insegnare in proposito: qui si può pensare che stia il primo problema che appartiene immediatamente alla meccanica 
[Da Bellone, bibliografia 63]. 


Da dove iniziare a cambiare, allora ? Vi è qualcosa che non torna nella meccanica che comunemente utilizziamo ?


[…] questo unico assioma, vago e oscuro, secondo cui l’effetto è proporzionale alla causa. Non esamineremo affatto se questo principio sia di verità necessaria; confesseremo soltanto che le prove che sino ad ora sono state portate in suo favore non ci sembrano affatto libere da critiche: e non lo adotteremo, come qualche geometra, in veste di verità puramente contingente, poiché ciò getterebbe in rovina la certezza della meccanica e ridurrebbe quest’ultima a non esser altro che una scienza sperimentale; ci contenteremo di osservare che, vero o centro di dubbi, chiaro oppure oscuro, esso è inutile per la meccanica e ne deve, di conseguenza, essere bandito [Da Bellone, bibliografia 63]. 

E qui siamo al nocciolo del problema da cui D’Alembert prende le mosse. Su questa questione di causa ed effetto egli specificherà ancora nella voce causa dell’Encyclopédie:
 Sarebbe finalmente auspicabile che i Meccanici riconoscessero che noi non conosciamo altro sul moto se non il moto stesso […] e che le cause metafisiche di questo moto ci sono ignote e che ciò che chiamiamo causa, anche quella […] dell’urto, sono chiamate così solo impropriamente; ma essi sono effetti da cui derivano altri effetti.

In un urto un corpo in moto ne muove un altro e di conseguenza il corpo che urta viene considerato come causa del movimento del corpo urtato. Ma è un modo improprio di esprimersi. La causa metafisica, la vera causa c’è ignota [citato da D’Agostino].

E’ una critica decisa al secondo principio della dinamica di Newton e, come si vede, egli accettò le definizioni newtoniane di spazio e tempo ma non accettò il fatto che la forza sia proporzionale all’accelerazione come Euler aveva esplicitato. Dietro questo principio vi è un qualcosa di vago, di metafisico e di oscuro (che estendono tenebre sopra una Scienza che è invece chiara di per sé), il fatto cioè che la causa deve essere proporzionale all’effetto.

         Naturalmente, per fare critiche così pesanti, D’Alembert ha una visione diversa della meccanica che egli basa su tre principi o leggi del movimento. Egli dice che possiamo ridurre i Principi della Meccanica a tre, la forza d’inerzia, il moto compostoi e l’equilibrio. Seguiamo l’impostazione di D’Alembert, aiutandoci con D’Agostino.

        PRIMA LEGGE DEL MOTO. E’ la  legge del moto inerziale o principio della forza d’inerzia che D’Alembert ritiene evidente di per sé in base al principio di ragion sufficiente:

Un corpo non si può mettere in moto da solo […] ma una volta data l’esistenza del moto, la legge più semplice che un corpo possa osservare […] è la legge dell’uniformità ed è per conseguenza questa la legge che esso deve osservare […]. Il moto è dunque uniforme per natura.

Per alterare il moto di un corpo, secondo D’Alembert, è necessario agisca o un peso o un urto. Le forze altrove invocate sono ritenute entità occulte di origine metafisica. Da ciò discende il fatto che D’Alembert non prenderà posizione nella polemica delle forze vive.

         Ed in termini di soli effetti (per noi è una sola ipotesi mentre per tutti i geometri è eretta a principio) egli definisce la forza acceleratrice:

φdt  = du

dove le quantità  du  e dt sono gli incrementi infinitesimi delle velocità e dei tempi. E dopo questa prima definizione egli ce ne offre un’altra, quella della forza motrice che risulta essere il prodotto della forza acceleratrice per la massa, senza però darci alcuna definizione originale per quest’ultima che sembrerebbe essere un dato a priori. In tal modo, nella Meccanica di D’Alembert, la forza diventa una nozione derivata. In definitiva: se si conosce il moto, quelle che chiamiamo forze non sono che mere manifestazioni del medesimo moto che si possono calcolare a partire da esso.

        SECONDA LEGGE DEL MOTO. E’ la legge del moto composto che si ha quando un corpo in moto cambia direzione a causa di un urto contro un ostacolo fisso (in tal caso il moto è composto dal moto iniziale e da quello ricevuto dall’urto). E’ anche vero il viceversa quando il moto iniziale può essere considerato come risultante dal moto assunto e da quello perduto (termine usato per indicare l’opposto di ricevuto). Nell’urto vi è un moto perduto ed uno mantenuto (si deve osservare che D’Alembert considera i corpi come completamente rigidi e quindi esenti da rimbalzi che solo l’elasticità permette; conseguenza di questa posizione è l’assenza di conservazione dell’energia meccanica).

Poiché il moto del corpo prima della collisione può essere considerato come composto del nuovo moto che egli assume o di un altro che è perduto […] ne segue che la legge del moto, cambiato da un qualsiasi ostacolo, dipende unicamente dalla legge del moto distrutto da quegli stessi ostacoli.

Ed osserva D’Alembert:

Alcuni lettori potrebbero restare sorpresi dal fatto che io faccia la dimostrazione di una proposizione, così semplice in apparenza, che è parte di un caso generale molto più complesso ma non si può, mi sembra, dimostrare altrimenti la proposizione in oggetto che nel considerarla come un assioma incontestabile, che l’effetto di due cause congiunte è uguale alla somma dei loro effetti presi separatamente o che due cause agiscono congiuntamente come agirebbero separatamente, principio che non mi sembra molto evidente né molto semplice e che d’altra parte ha molto a che vedere con la questione delle forze vive e con il principio della forze acceleratrici […]. E’ la ragione che mi ha obbligato ad evitare di farne uso, in accordo con quanto mi sono proposto all’inizio di questo Trattato e cioè di ridurre la Meccanica al più piccolo numero possibile di principi, e di occuparmi solo di tutti quei principi che hanno a che fare con il movimento, cioè dello spazio percorso e del tempo impiegato a percorrerlo, senza farci entrare in alcun modo le forze e le cause motrici.

         Il secondo principio di Newton, considerato una tautologia, viene quindi enunciato da D’Alembert in altro modo (principio di D’Alembert), che era stato anche di Jacob II Bernouilli ma solo nel caso particolare del pendolo composto. Secondo D’Alembert, in un sistema meccanico vincolato, deve esservi una equivalenza tra le forze reali applicate al sistema  e le forze che sarebbero necessarie se non esistessero i vincoli per dare al sistema il moto che esso ha. In tal modo le forze vincolari vengono eliminate ed i problemi dinamici vengono ridotti a problemi statici (stessi calcoli erano stati sviluppati, senza ricorso al principio D’Alembert, anche da Euler).

         TERZA LEGGE DEL MOTO.  E’ la legge che riguarda gli urti tra due masse rigide quando si muovono con velocità opposte. In caso di uguaglianza delle masse, dopo l’urto, si ha equilibrio. L’equilibrio si ha anche quando le masse dei due corpi, in moto in versi opposti, sono in ragione inversa alle loro velocità. La giustificazione di ciò risiede, per D’Alembert su ragioni di simmetria. Ogni altro caso, per D’Alembert può essere ricondotto a questo come pretende dimostrare studiando 4 possibili casi. Ma la cosa è, in generale, del tutto errata. Questa terza legge serviva comunque a D’Alembert proprio per non utilizzare il concetto di forza. Per far ciò introdusse un moto virtuale che egli considerava una tendenza al moto. In tal modo la statica diventava un caso particolare della sua meccanica dell’urto nel caso di equilibrio che si ha quando masse uguali tenderebbero a muoversi con velocità uguali ed opposte, con l’integrazione (errata) già fatta secondo la quale è possibile ridurre a questo tutti gli altri casi.

         Dalle seconda e terza legge D’Alembert ricava il principio che porta il suo nome e che riguarda gli urti sia che essi avvengano direttamente  sia che gli urti siano trasmessi da un corpo intermedio (ad esempio un’asta rigida o una corda non elastica). Il principio afferma che durante il moto di un qualsiasi sistema di corpi, la risultante delle forze attive è uguale alla risultante delle reazioni cinetiche, definite come il prodotto della massa di ciascun punto per la sua accelerazione. Esso può anche essere enunciato nel modo seguente: le azioni e reazioni interne a un sistema di corpi rigidi in moto si fanno equilibrio. O anche: in ogni istante, ogni stato del moto può essere considerato come uno stato di equilibrio, qualora siano introdotte delle appropriate forze d’inerzia. O ancora: Se si considera un sistema di punti materiali legati tra loro in modo che le loro masse acquisiscano velocità rispettive differenti a seconda se esse si muovano liberamente o solidalmente, le quantità di moto acquisite o perse nel sistema sono uguali.Ed in definitiva, nel caso di un corpo vincolato (pendolo oscillante, sfera che rotola su un piano inclinato, …) vi deve essere equivalenza fra le forze applicate al sistema e quelle che occorrerebbero per dare al corpo vincolato il moto che ha effettivamente, qualora non esistessero vincoli. In tal modo le coordinate spaziali non risultano più indipendenti con la conseguenza che la stessa cosa accade per le equazioni differenziali che descrivono il problema; le forze vincolari non producono moto ma sono effetti del moto. Egli dice:

Sia dato un sistema di corpi disposti gli uni in rapporto agli altri in un modo qualsiasi; supponiamo d’imprimere a ciascuno di questi corpi un movimento particolare, che egli non possa seguire a causa dell’azione degli altri corpi: trovare il movimento che ciascun corpo deve prendere.

Si può sempre considerare, dice D’Alembert, ciascuno dei movimenti a. b, c …, impressi rispettivamente ai differenti corpi A, B, C …, costituenti il sistema dato, come costituito di due movimenti: a ed 
a, b e b, c e g … , in cui a, b, c … sono i movimenti realmente seguiti, cioè i movimenti cercati e a, b, g … movimenti che devono distruggersi mutuamente per il fatto dei legamenti.

Tale è la scomposizione che d’Alembert eleva a principio:

Scomporre i movimenti a, b, c … impressi a ciascun corpo. ciascuno in altri due a, a; b, b; c, g … che siano tali che se si fossero impressi ai corpi soltanto i movimenti a, b, c … essi avrebbero potuto conservare questi movimenti senza nuocersi reciprocamente; e che se non si fosse loro impresso che i movimenti a, b, g …. il sistema sarebbe rimasto in riposo; è chiaro che a, b, c …. saranno i movimenti che questi corpi prenderanno in virtù della loro azione. Ciò che bisognava trovare.

        Se il principio di d’Alembert è chiarissimo, le scomposizioni alle quali egli obbliga sono spesso laboriose. Ci troviamo di fronte alle stesse difficoltà di Descartes e Leibniz perché abbiamo ancora a che fare con il sistema nella sua totalità e non con le parti che lo compongono; perciò esso risulta insufficiente per risolvere i problemi generali della dinamica. Comunque il principio di D’Alembert creò qualche illusione come realizzazione del sogno di Descartes di scrivere una meccanica basata solo su materia e moto, ed espresse la sua potenza solo nelle mani di Lagrange, quando fu combinato con il principio dei lavori virtuali per dar luogo alle equazioni di Lagrange, come vedremo.

        Molti altri furono i contributi di D’Alembert ed almeno ad un altro devo far riferimento. Nelle Recherches sur les cordes vibrantes (1747) egli studiò il problema delle corde vibranti riuscendo a ricondurre il fenomeno ad una equazione differenziale che descrive la propagazione delle onde sonore

per la quale fornì anche la soluzione

u = φ(x + t) + ψ(x – t).

dove φ e ψ sono funzioni arbitrarie. Vediamo il ragionamento che D’Alembert seguì per arrivare a tale soluzione, pubblicato negli Atti dell’Accademia di Berlino del 1747.

      E facendo i conti si ha

du + dv = (p dx + q dt) + (p dt + q dx) = (p + q)(dx + dt),

e

du – dv = (p dx + q dt) – (p dt + q dx) = (p – q)(dx – dt).

Così u + v deve essere una funzione di x + t e u – v deve essere una funzione di x – t. Possiamo quindi scrivere

u + v = 2φ(x + t)

e

u – v = 2ψ(x – t)

Da cui

u = φ(x + t) + ψ(x – t).

        D’Alembert osserva qui che le condizioni del problema fisico di una corda vibrante richiede che, quando x = 0, u deve annullarsi per ogni valore di t. Deve quindi risultare, identicamente:

φ(t) +ψ (-t) = 0.

Assumendo che ambedue le funzioni possono essere sviluppate in serie di potenze di t, ciò richiede che essi devono contenere solo potenze dispari. Allora

ψ(-t) = – φ(t) = φ(-t)

Quindi

u = φ(x + t) + φ(x – t).

        Euler fece avanzare ulteriormente questo campo del calcolo differenziale trovando, per l’equazione più generale

che l’integrale generale è

u = φ (x + at) +ψ (x – at).

dove φ  e ψ   sono funzioni arbitrarie.

        Posso ora passare a concludere con D’Alembert ritornando al suo lavoro nell’Encyclopédie ed in particolare al suo Discorso preliminare. In esso tracciò, tra l’altro, un quadro organico dei rapporti tra le varie branche della conoscenza guidato dal suo criterio di ricerca sistematica di principi sempre più generali sotto i quali riunire i risultati parziali delle singole scienze.

Per poco che si rifletta sulla connessione che lega fra loro le varie scoperte, è facile accorgersi del mutuo aiuto che le scienze e le arti si prestano, e quindi della catena che le unisce. Ma se spesso è dfficile ridurre a un esiguo numero di regole o di nozioni generali ogni singola scienza e ogni singola arte, non lo è di meno rinchiudere in un unico sistema le articolazioni infinitamente diverse della scienza umana.

Il primo passo che dobbiamo fare in questa ricerca è quello di esaminare, ci si permetta una simile espressione, la genealogia e la filiazione delle nostre conoscenze, le cause a cui si deve la loro nascita e i caratteri che le distinguono; in breve di risalire fino all’origine e alla generazione stessa delle nostre idee. [ … ] Tutte le nostre conoscenze possiamo dividerle in dirette e in riflesse. Le conoscenze dirette sono quelle che noi, senza alcun intervento attivo della nostra volontà, riceviamo immediatamente; trovando aperte, se così ci si può esprimere, tutte le porte della nostra anima, esse vi penetrano senza trovare resistenza e senza compiere sforzo alcuno. Le conoscenze riflesse sono invece quelle che lo spirito acquista operando sulle dirette, unendole e combinandole insieme.
Tutte le nostre conoscenze dirette si riducono a quelle che riceviamo attraverso i sensi; ne segue che noi dobbiamo tutte le nostre idee alle sensazioni […] la prima cosa che le nostre sensazioni ci fanno conoscere, e che neppure si distingue da esse, è la nostra esistenza. Ne consegue che le nostre prime idee riflesse devono avere come oggetto noi stessi, cioè quel principio pensante che costituisce la nostra natura e che non è affatto differente da noi. La seconda conoscenza che noi dobbiamo alle nostre sensazioni, è l’esistenza degli oggetti esterni, fra i quali deve essere compreso il nostro stesso corpo. […]. L’effetto che questi innumerevoli oggetti producono su di noi è così forte, così continuo e ci unisce talmente ad essi che, passato il primo momento in cui le nostre idee riflesse ci richiamano dentro noi stessi, le sensazioni, che ci assediano da ogni lato, ci costringono ad uscirne, strappandoci alla solitudine in cui resteremmo senza il loro intervento.

E, più oltre, D’Alembert indica la fisica come uno dei modi per avvicinarci a conoscere il mondo esterno:

I primi uomini, aiutandosi l’un l’altro con le loro conoscenze, ossia con i loro sforzi separati o congiunti, sono pervenuti, forse in breve tempo, a scoprire, almeno in parte, gli usi cui potevano prestarsi i vari corpi. Avidi di conoscenze utili, dovettero in un primo tempo rifuggire da qualsiasi genere di speculazione oziosa e considerare invece rapidamente, uno dopo l’altro, i vari esseri che la natura presentava, combinandoli, per così dire, materialmente, secondo le loro proprietà più evidenti e sensibili. […]. Ma per quanto lungo possa essere stato il cammino che i primi uomini e i loro successori seppero compiere, incalzati da uno stimolo stringente quanto può esserlo quello della propria conservazione, l’esperienza e l’osservazione di questo vasto universo dovettero ben presto metterli davanti a difficoltà che con tutti i loro sforzi non riuscirono a superare. La mente umana, abituata alla meditazione e avida di ricavarne qualche frutto, trovò allora una certa qual risorsa nella pura curiosità di scoprire le proprietà dei corpi: un campo di scoperte che non conosce limiti. […] Se l’utilità non costituisce il diretto oggetto della nostra azione, essa può esserne almeno il pretesto. Ci basta di aver talvolta scoperto un reale vantaggio in certe conoscenze che inizialmente non lo facevano supporre, per ritenere che tutte le ricerche compiute per pura curiosità potranno un giorno esserci utili. Ecco l’origine e la causa dei progressi di questa vasta scienza chiamata generalmente fisica o studio della natura, che si divide in tanti settori differenti.

Ma, a fianco di queste considerazioni d’interesse sullo sviluppo delle scienze che si intersecarono con quelle delle religioni e delle superstizioni (sia Diderot che D’Alembert non spinsero troppo nei loro attacchi alla religione perché erano in regime di monarchia assoluta con la Chiesa che condivideva il potere con il sovrano), vi è anche il riconoscimento del lavoro manuale, del lavoro artigiano della classe emergente borghese, che, dai tempi di Galileo, era sparito dalle elaborazioni degli scienziati:

Il disprezzo per le arti meccaniche sembra avere colpito fino a un certo punto anche i rispettivi inventori. I nomi di questi benefattori del genere umano sono pressoché sconosciuti, mentre la storia dei suoi distruttori – vale a dire dei politici e dei conquistatori – non è ignota a nessuno. Eppure, forse, bisogna andare a cercare presso gli artigiani le più ammirevoli prove di sagacia, di pazienza, di ingegnosità. Ammetto che quasi tutte le arti sono state inventate poco a poco, e che ci sono voluti secoli perché gli orologi, ad esempio, raggiungessero l’attuale perfezione. Ma non accade lo stesso anche nelle scienze? Quante scoperte, che hanno reso immortali i loro autori, non erano state preparate dalle fatiche dei secoli precedenti, e spesso persino recate a un tal punto di maturità, che restava un solo passo da fare? Per restare nel campo dell’orologeria, perché mai coloro a cui dobbiamo la piramide degli orologi, lo scappamento e la ripetizione, non sono famosi quanto coloro che nei secoli hanno recato a perfezione l’algebra? D’altra parte, se debbo credere ad alcuni filosofi che non si sono vergognati di studiare le arti [meccaniche] perché la moltitudine le disprezzava, esistono macchine così complicate, fornite di parti talmente interdipendenti, che difficilmente l’invenzione è da attribuirsi a più persone. Quel genio raro, il cui nome è sepolto nell’oblio, non sarebbe stato degno di essere accolto nel ristretto novero degli spiriti creativi, che hanno aperto strade nuove alle scienze?

10 – GIUSEPPE LUIGI LAGRANGE (1736 – 1813)

           Altro gigante del secolo è il piemontese Giuseppe Luigi Lagrange (in origine la Grangia poi la Grange). Il suo bisnonno era francese ma lasciò il servizio di Luigi XIV per passare alle dipendenze di Carlo Emanuele II a Torino. Sua madre era Maria Teresa Gros, figlia di un medico, e suo padre, Giuseppe Francesco Ludovico, lavorava come tesoriere dell’artiglieria del re e che portò alla rovina la famiglia per le sue improvvide operazioni finanziarie (dirà più tardi il giovane Lagrange: Se fossi stato ricco non mi sarei dato alle matematiche). Fu primogenito di 11 figli dei quali solo due raggiunsero la maggiore età. A soli 14 anni fu avviato a studiare da avvocato nell’Università di Torino e divenne subito un appassionato della lingua latina. I suoi interessi si spostarono verso la matematica dopo aver letto un libro del famoso astronomo Halley. Studiò matematica e scienze sotto la guida del fisico G. B. Beccaria (occorrerebbe una grande opera di rivalutazione di questo fisico dimenticato che fece cose eccellenti soprattutto in campo elettromagnetico). A soli 17 anni leggeva tranquillamente le opere di Newton, Euler, Leibniz e dei Bernoulli. A 19 anni, nel 1755, iniziò a corrispondere con Euler al quale comunicò alcuni suoi lavori sul calcolo delle variazioni. Nello stesso fu chiamato ad insegnare geometria nella regia scuola di artiglieria di Torino. Due anni dopo prese parte alla costituzione della Società privata torinese, nucleo della futura Accademia Reale delle Scienze di Torino. Stabilì una relazione epistolare con D’Alembert del quale divenne in seguito grande amico. Si recò a Parigi a cavallo degli anni 1763-1764, dove fu volentieri ospitato da vari studiosi. L’Académie di Parigi lo premiò per i suoi studi sull’irregolarità nel moto della Luna. Quando Euler lasciò Berlino, raccomandò Lagrange per sostituirlo. Carlo Emanuele fu dispiaciuto ma accettò che questo grande si recasse presso la corte di Federico II di Prussia, dove ottenne la carica di direttore della classe di scienze nell’Accademia di Berlino, che mantenne dal 1766 al 1787 quando, alla morte di Federico II, decise di accettare l’invito a Parigi di Luigi XVI dove, già in periodo rivoluzionario, divenne presidente della Commission des Poids et Mesures (1790). Fu comunque a Berlino dove Lagrange scrisse una delle sue opere più importanti, la Méchanique analytique, pubblicata nel 1788.

        A Parigi, anche per la perdita recente della prima moglie (1783), sua cugina Vittoria Conti, sposata nel 1766, fu preso da profondo abbattimento: tutto lo annoiava, la vita e la matematica. Si risollevò quando conobbe una giovinetta, Adelaide Le Monnier figlia di un suo collega astronomo dell’Académie, di circa 40 anni più giovane che nel 1792 divenne la sua nuova compagna. Riprese a scrivere opere principalmente di matematica, ricercando formulazioni sempre più rigorose(5). Tra queste notevoli sono le Leçons élémentaires sur les mathématiques, données à l’École Normale del 1795 (che ebbero un grandissimo successo e furono subito importate dagli Stati Uniti d’America con il titolo Lectures on Elementary Mathematics)(6), la Théorie des fonctions analytiques (1797) e le Leçons sur le calcul des fonctions (1806). Dal 1797, a seguito della chiusura dell’ École Normale, passò ad insegnare all’École polytechnique che nel 1794 era stata fondata dal geometra Monge e dall’ingegnere idraulico Lazare Carnot come emanazione dei governi rivoluzionari.

        Si sarà notato che ci troviamo negli anni della Rivoluzione Francese e Lagrange arrivò a Parigi proprio un anno prima che scoppiasse. Furono anni molto difficili per Lagrange per il fatto che egli era uno straniero e proveniva dalla Prussia, uno Stato nemico della Francia. E, proprio nel 1793, sembrò imminente un decreto della Convenzione che avrebbe fatto arrestare tutti gli stranieri di Stati nemici. Su fortissime pressioni di Lavoisier, Lagrange fu risparmiato anche se fu lo stesso Lavoisier a perdere la  testa sotto la ghigliottina nel 1794 (era un agente delle tasse, oltre che chimico eccelso) e, in questa occasione, Lagrange fece del tutto per ricambiare ma senza successo.

L’esecuzione di Lavoisier

        Morì nel 1813, dopo aver raccolto la grande ammirazione dello stesso Napoleone che gli conferì la Legion d’onore, lo fece Senatore e lo nominò conte dell’Impero.

        Come Euler, fu estremamente prolifico e scrisse praticamente su tutto e sempre in francese: astronomia, aritmetica, analisi, fisica-matematica, algebra, meccanica, calcolo delle probabilità, geometria e trigonometria. Non è il caso, nell’economia di ciò che racconto, di trattare i suoi elaboratissimi contributi alla meccanica analitica (chi è del mestiere sa bene in cosa consiste la lagrangiana) ma alcune cose meritano molta attenzione a partire da una sua frase della sua Méchanique analytique le cui conseguenze in alcuni matematici dei miei studi universitari mi fecero molto soffrire. Dice Lagrange:

Non si troveranno figure in quest’opera: I metodi che io espongo non richiedono né costruzioni né ragionamenti geometrici o meccanici, ma solamente operazioni algebriche soggette ad un andamento regolare e uniforme. Quelli che amano l’analisi vedranno con piacere la meccanica divenirne una nuova branca e mi saranno grati d’averne esteso così il dominio. 

A questo proposito osserva Forti:

Se io risolvo un problema con metodo geometrico non perderò mai di vista le figure date e le operazioni su di esse, fino alla soluzione. Così tale soluzione si collega con continuità ai dati stessi, attraverso una visione chiara, spesso semplice ed elegante.

Se procedo invece analiticamente (algebricamente) dovrò indicare con simboli le incognite, legarle ad altri simboli che sprimono i dati del problema, ed infine operare meccanicamente su tali simboli, tenendo conto di proprietà delle operazioni universalmente riconosciute, ma dimenticando ogni significato concreto della questione, ogni possibile interpretazione dei passaggi(7).

        Ed il Settecento rappresenta proprio il passaggio deciso ad una trattazione analitica dei problemi, trattazione che viene apertamente rivendicata da Lagrange. Si tratta di far vivere il calcolo differenziale di vita propria non solo indipendentemente dalle figure ma anche dall’esperimento che verrà dopo con un totale ribaltamento dell’impostazione galileiana. Si osservi che siamo agli inizi della rivoluzione industriale e della specializzazione del lavoro che vede via via la separazione del fisico teorico dallo sperimentale. La cosa si affermerà definitivamente con i lavori di Maxwell.

        Entriamo ora in qualche dettaglio sull’opera di Lagrange, che divide con Euler il titolo di massimo matematico del Settecento, con particolare riferimento alla Méchanique analytique.

        Questo trattato ha una struttura generale del tutto differente da altre opere su argomenti analoghi redatte in quegli anni. La meccanica è ora del tutto trasformata in un capitolo della matematica (e ciò era quanto si faceva all’epoca) con una particolare idea del medesimo Lagrange che intendeva la meccanica come una geometria a quattro dimensioni e l’analisi meccanica come un’estensione della geometria analitica. Da qui il nome di meccanica analitica che richiama nel nome la geometria analitica di Descartes. E come quest’ultimo nel caso delle proprietà geometriche, così Lagrange per quelle meccaniche, si propone di trovare una calzante traduzione simbolica, e quindi analitica, che accresca il rigore logico. L’opera è divisa in due parti. La prima parte è dedicata alla statica (o teoria dell’equilibrio) e la dinamica (o teoria del movimento). E ciascuna di queste parti tratterà separatamente dei corpi solidi e dei liquidi. Lo stesso Lagrange, nelle Avvertenze alla prima edizione dice:

Esistono già diversi trattati di meccanica, ma lo schema del presente trattato è completamente nuovo. lo mi sono proposto di ridurre la teoria di questa scienza, e l’arte di risolvere i problemi ad essa relativi, a delle formule generali il cui semplice sviluppo fornisce tutte le equazioni che sono necessarie per la soluzione di ogni problema. Spero che il modo in cui ho cercato di assolvere pienamente il mio proposito non lasci alcunché a desiderare.

La presente opera avrà inoltre un ulteriore aspetto d’utilità: essa riunirà e presenterà sotto un medesimo punto di vista i diversi principi che sino ad oggi sono stati trovati per facilitare la soluzione delle questioni di meccanica, ne mostrerà il legame e la dipendenza reciproca, e porrà in condizione di poter giudicare della loro giustezza e della loro estensione.

Ho diviso l’opera in due parti: la statica, ovvero la teoria dell’equilibrio, e la dinamica, ovvero la teoria del movimento; e ciascuna di queste parti tratterà separatamente dei corpi solidi e di quelli liquidi.

Più oltre, nel testo, spiega quale ruolo egli assegni alla forza nella statica. La statica è basata sulla distruzione e l’annientamento reciproco di diverse forze […]. Lo scopo della statica è quello di dare le leggi secondo cui si produce tale distruzione. Esse sono basate su principi generali che si possono ridurre a tre: quello delle leve, della composizione delle forze e quello delle velocità virtuali(8). Più in dettaglio, Lagrange ci descrive come debba essere considerata la forza nella statica:

La statica è la scienza dell’equilibrio delle forze. In generale, per forza o potenza si intende la causa, quale essa sia, che imprime o tende a imprimere del movimento al corpo al quale la si suppone applicata; ed è sulla base del movimento impresso, o imprimibile, che si deve valutare la forza, o la potenza. Nello stato di equilibrio la forza non compie un esercizio reale; essa non produce altro che una semplice tendenza al movimento; ma la si deve pur sempre misurare in base all’effetto che essa produrrebbe qualora non fosse arrestata. Assumendo per unità una forza qualsiasi oppure il suo effetto, l’espressione di ogni altra forza non è altro che un rapporto, una quantità matematica, che può essere rappresentata per mezzo di numeri o di linee: ed è sotto questo punto di vista che, in meccanica, si debbono considerare le forze.

e come, oltre alla statica, anche la dinamica possa essere completamente ridotta all’analisi matematica:

 Nella prima parte di quest’opera abbiamo ridotto tutta la statica a una sola formula generale che fornisce le leggi dell’equilibrio di un sistema qualsiasi di corpi sottoposti all’azione di tutte le forze che si vogliono. Si potrà dunque ridurre a una formula generale anche tutta la dinamica; in effetti, per applicare al movimento di un sistema di corpi la formula del suo equilibrio, sarà sufficiente in essa introdurre le forze che provengono dalle variazioni del moto di ciascun corpo e che debbono essere annullate. Lo sviluppo di tale formula, tenendo conto delle condizioni che diipendono dalla natura del sistema, fornirà tutte le equazioni necessarie per la determinazione del movimento di ciascun corpo, e non resterà altro da fare che integrare queste equazioni, il che spetta all’analisi. [ … ] In questo modo, le forze, gli spazi, i tempi e le velocità non saranno altro che dei semplici rapporti, delle quantità matematiche ordinarie.

Si tratta quindi di una meccanica basata sul Principio di D’Alembert coniugato con il principio dei lavori virtuali e delle coordinate generalizzate. Alla fine del processo di riscrittura della meccanica si arriva alle ben note equazioni dinamiche di Lagrange. Scrive De Maria:

Lagrange derivò le sue equazioni partendo dalle leggi di Newton (nella formulazione di Euler) attraverso il passaggio da una formulazione vettoriale ad una formulazione scalare. Nel trattamento analitico lagrangiano è sufficiente conoscere una singola funzione scalare (completamente determinata in ogni punto dello spazio da un numero relativo) dipendente dalle posizioni dei punti materiali in movimento; questa “funzione lavoro” contiene implicitamente tutte le forze agenti sui punti materiali del sistema. Un altro vantaggio è quello di non richiedere la conoscenza di forze come quelle che producono la rigidità di un corpo o quelle che agiscono fra le particelle di un fluido. Tali forze vengono sostituite da una condizione cinematica: durante il moto la distanza tra due punti del corpo non può variare e, analogamente, il volume di ogni parte del fluido deve conservarsi. Le n equazioni differenziali del secondo ordine che descrivono il moto di sistemi a n gradi di libertà in funzione della loro energia cinetica T e delle forze lagrangiane dovute a sollecitazioni attive Qh in assenza di vincoli addizionali oltre quelli olonomi, hanno la forma generale:


dove le qh sono le coordinate lagrangiane scelte per descrivere il sistema, mentre le ph si dicono velocità generalizzate. Se le forze in gioco sono conservative, esprimibili cioè come derivate di un potenziale, una funzione U(qh) tale che, istante per istante, dipenda dalle sole posizioni occupate nello spazio dal sistema meccanico alle quali si applicano le Qh, per queste ultime vale appunto che
 

In tal caso, introdotta una funzione L = T – U, detta lagrangiana del sistema, le equazioni precedenti si riscrivono:
 

Tali equazioni permettono appunto di confrontare la dinamica di sistemi completamente diversi tra loro dal punto di vista geometrico e materiale, pur di scegliere un opportuno insieme di coordinate lagrangiane: la loro invarianza rispetto ad un’arbitraria trasformazione di coordinate implica un’assoluta libertà nella scelta del sistema di coordinate più adatto alla natura del problema. Lagrange fu il primo ad esprimere in forma matematica generale delle proposizioni espresse fino ad allora in forma particolare, come la legge delle forze vive, il moto del baricentro e il principio di minima azione, applicando questi risultati a problemi diversi come la meccanica celeste, le corde vibranti e l’idrodinamica. La meccanica analitica di Lagrange, pur essendo una formulazione del tutto generale della legge del moto, è tuttavia limitata alle sole forze conservative, per le quali il lavoro compiuto dipende unicamente dallo stato iniziale e dallo stato finale e non dal modo in cui viene prodotto. Tale denominazione deriva dal fatto che l’energia totale di un corpo soggetto alle azioni del campo, e in moto nel campo stesso, in assenza di cause dissipative di energia si conserva, durante il moto, invariata. Tutte le forze dissipative che trasformano l’energia meccanica in calore, e che rendono il moto irreversibile sono quindi completamente escluse. Contrariamente alla meccanica di Newton nella sua forma più generale, quella di Lagrange è reversibile e non contiene una freccia del tempo, il quale assume il ruolo di semplice parametro.

Come conseguenza delle equazioni di Lagrange si ottiene, in una formulazione matematica, il principio di minima azione(9). Lagrange aveva dimostrato, per un sistema di punti sottoposti a forze conservative (tutte le volte cioè che le forze derivano da un potenziale), che l’azione minima è una conseguenza delle equazioni di Lagrange che governano il moto e, viceversa, si ottengono le equazioni imponendo il principio di minima azione. Tale principio è indipendente da qualsiasi sistema particolare di coordinate, perché il minimo di una quantità scalare non dipende dalle coordinate rispetto alle quali una certa quantità viene misurata,di conseguenza anche le equazioni del moto sono appunto invarianti rispetto a una qualsiasi trasformazione di coordinate.

        Una osservazione di Truesdell è di grande importanza. Egli dice che l’astrattezza del formalismo di Lagrange tende ad occultare i principali problemi concettuali della meccanica: l’idea di sistemi inerziali di riferimento e la nozione di rigidezza, ambedue essenziali all’immagine classica di osservatore, restano oscurate dall’invarianza dell’algebra(10). Con Lagrange si chiude un periodo molto importante della storia della fisica, diventata matematica. Si trattava di giustificare quanto aveva fatto Newton nel modo più completo possibile, di razionalizzare la meccanica. Da questo momento l’interesse principale si sposterà sul rendere operativa la meccanica proprio in connessione con quanto ho già adombrato e cioè con le esigenze produttive.

11 – PIERRE SIMON LAPLACE (1749 – 1827)

        Questo grandissimo matematico, astronomo e fisico francese, nacque figlio di contadini poveri a Beaumont en Auge (Normandia). Per le sue capacità subito mostrate e per il bell’aspetto, poté studiare grazie alla beneficenza di alcuni vicini. E’ questo il poco che si conosce della sua giovinezza dai suoi primi studi in un convitto benedettino nel suo paese fino a che arrivò ad insegnare nella medesima scuola. Passò quindi a studiare teologia all’Università di Caen (tra i 16 ed i 18 anni) perché quello era il destino dei poveri (o prete o soldato). Qui scoprì il fascino della matematica grazie agli insegnamenti che ricevette (Le Canu e Gadbled). Lasciò allora l’Università e si recò a Parigi con una lettera di presentazione di Le Canu a D’Alembert che colse subito il grande talento del giovane. E D’Alembert non solo si prestò a fargli da insegnante ma lo raccomandò anche per un posto di docente all’ École militaire (1768) che gli lasciava il tempo per approfondire i suoi studi. Già nel 1770 presentò sue memorie di matematica all’Académie del Sciences. Nel 1771 pubblicò il suo primo lavoro, in latino, nei Nova Acta Eruditorum di Berlino. In tale rivista continuò a pubblicare come pure pubblicò nei Mélanges de Turin, rivista dell’Accademia delle Scienze di Torino, fondata anche da Lagrange un importante lavoro, Recherches sur le calcul intégral aux différences infiniment petites, et aux différences finies (1771), che contiene equazioni importanti sia per la meccanica che per l’astronomia. In questo anno Laplace tentò di essere ammesso all’Académie ma non vi riuscì perché gli fu preferito il matematico Vandermonde. L’anno successivo fu ancora rifiutato per un tal Cousin che era molto più indietro di lui nella graduatoria. Sia Laplace che D’Alembert restarono molto amareggiati per queste decisioni e D’Alembert scrisse a Lagrange, che dirigeva l’Accademia di Berlino, per trovare un posto a Laplace in quella città. Ma prima che Lagrange rispondesse si trovò un posto di associato presso l’Académie nel 1773.

        In quei tre anni Laplace aveva scritto molto ed in particolare aveva dato contributi allo studio delle equazioni differenziali, alla teoria delle probabilità e all’astronomia matematica con memorie che studiavano l’inclinazioni delle orbite planetarie, le perturbazioni che i satelliti originavano nel moto dei pianeti e, in generale, il moto dei pianeti e la stabilità del sistema solare. Ma è tutto il suo lavoro sviluppato negli anni Ottanta che gli darà fama di massimo scienziato mondiale, anche se non riuscì mai ad avere buoni rapporti con i suoi colleghi, compreso D’Alembert, per la sua totale mancanza di modestia. Egli diceva di sé di essere il migliore in campo scientifico e metteva bocca praticamente su ogni argomento.

        Nel 1780 fece un lavoro con Lavoisier, mostrando che la respirazione è una forma di combustione, per la realizzazione del quale costruirono un calorimetro a ghiaccio. Questo episodio aprì un altro campo ai suoi studi, quello del calore al quale si dedicò verso la fine della sua carriera.

        Nel 1784 diventò esaminatore della scuola del Corps Royal d’Artillerie in sostituzione del matematico Bezout. Ebbe occasione, l’anno successivo, di esaminare il sedicenne Napoleone. Questo suo incarico da una parte gli toglieva molto tempo ma dall’altra lo metteva a contatto con personaggi influenti di governo. E, finalmente, nel 1785, riuscì ad essere ammesso come membro dell’Académie alla quale, nel 1787, si aggregò anche Lagrange (proveniente da Berlino) che comportò una gran rivalità tra i due.

        Nel 1788 Laplace, a 39 anni, si sposò con una giovane di 19 anni, Marie-Charlotte de Courty de Romanges e nel 1790, già in periodo rivoluzionario, divenne membro della Commission des Poids et Mesures, presieduta da Lagrange. Quando nel 1793 iniziò il periodo del terrore, l’Académie fu chiusa e Laplace si ritirò in campagna con la moglie ed i due figli. Ritornò a Parigi nel 1794, dopo che il suo amico Lavoisier era stato ghigliottinato, per prendere parte ai lavori della nuova Commission des Poids et Mesures (che portò a termine la grande impresa dell’introduzione del Sistema Metrico Decimale). L’anno successivo fu chiamato ad insegnare teoria della probabilità all’École Normale, appena fondata. Analogamente a quanto abbiamo visto per Lagrange, anche Laplace fu costretto a trascrivere le sue lezioni per pubblicarle. Si tratta della famosa Théorie analytique des probabilités, con una introduzione dal titolo Essai philosophique sur les probabilités, che vedrà la luce nel 1812. In questo periodo cumulerà una gran quantità di incarichi di prestigio(11) e pubblicherà alcune tra le

sue opere piùimportanti. Nel 1796, quando diventò presidente dell’Académie, pubblicò l’Exposition du système du monde e nel 1799 i primi due volumi (dei 5 in totale) del suo Traité de Mécanique céleste (in cui, indipendentemente da Kant che lo aveva fatto nella sua Storia generale della natura e teoria del cielo del 1755, formulò l’ipotesi della nebulosa secondo la quale il sistema solare  deriverebbe dalla rotazione di una nebulosa di gas incandescente)(12).

        Finiti i momenti più duri della Rivoluzione si passò al Consolato di Napoleone. Laplace fu nominato senatore ed ebbe (1805) la Legion d’onore. Vi fu qui un episodio spiacevole che ricorda i giudizi di Delambre ai quali ho accennato. Sembra per insistenza dello stesso Laplace che Napoleone nominò il medesimo come Ministro degli interni ma solo per sei settimane e poi lo licenziò per manifesta incapacità avendo portato lo spirito dell’infinitamente piccolo nel governo. Nel 1806 fu fatto Conte da Napoleone e nel 1817, in piena Restaurazione, fu nominato Marchese da Luigi XVIII Borbone. Nei suoi ultimi anni di vita si ritirò in campagna dove curò una società, la Société d’Arcueil,  per il sostegno dei giovani scienziati tra i quali Claude Berthollet, Louis Joseph Gay-Lussac, … . Fu qui che scrisse le sue memorie ed ordinò i suoi scritti ancora non pubblicati. Si spense nel 1827.

        Passiamo ora a vedere quali sono i principali contributi scientifici, ma anche filosofici, di Laplace a partire dalla sua concezione della natura e del ruolo che in essa svolgono le forze. Abbiamo già detto che una delle sue opere più importanti è l’Exposition du système du monde. Aggiungo ora che questa è un’opera divulgativa, scritta in modo discorsivo e senza formule che doveva costituire una sorta di premessa all’opera tecnica successiva, la Mécanique Céleste. Sulla strada aperta da Kant e rinunciando ad una delle sue ipotesi (quella del caos originario), Laplace perfezionò e precisò l’idea di nebulosa con i dati dell’astronomia disponibili che mostravano che tutti i pianeti ed i satelliti noti ruotavano tutti nello stesso verso e tutti si trovavano sullo stesso piano (qualche imbarazzo si ebbe alla ristampa dell’opera nel 1808 quando Herschel aveva mostrato già dal 1798 che alcuni satelliti di Nettuno e di Urano hanno moto retrogrado). L’idea di Laplace era che tutto il sistema planetario discendesse dalla rotazione e progressiva condensazione di una massa gassosa incandescente la cui temperatura andava in continua diminuzione. La forza centrifuga avrebbe permesso il distacco dei pianeti dalla massa principale costituente il Sole, così come la stessa forza avrebbe permesso il distacco dei satelliti dai pianeti. Nella descrizione particolareggiata della dinamica della sua nebulosa, Laplace ci offre appunto la sua concezione delle forze e di alcune leggi di natura che coincidono con le idee di D’Alembert: le forze non le conosciamo che dai loro effetti e sono questi che dobbiamo studiare e tra questi vi è il moto che ha, come prima legge, quella d’inerzia e come seconda la forza proporzionale alla velocità. Lo studio della meccanica è più semplice nel cielo che non sulla Terra perché in cielo esse si osservano con la massima precisione mentre sulla Terra vi sono molte circostanze che complicano lo studio di tale leggi, circostanze dalle quali è difficile districarsi e che rendono difficile sottomettere tali leggi al calcolo. Ma piano piano si riesce a fare dei passi in avanti che ci aprono orizzonti inaspettati. Una legge, ad esempio che ci ha aperto la conoscenza del cielo è la gravitazione universale che è un vero ed immutabile principio di natura. Più in generale la conoscenza delle leggi della meccanica libera gli uomini dalla superstizione perché razionalizza fenomeni che precedentemente non potevano che essere misteriosi quando non terrorifici (eclissi, comete, …). Gli errori, le superstizioni, i vani terrori e tutti i mali che l’ignoranza porta con sé si riprodurrebbero prontamente se la luce della scienza venisse a spegnersi.

        La centralità della gravità viene messa in grande risalto nel Traité de Mécanique céleste(13). Qui vi è il dispiegarsi di tutto l’apparato del calcolo differenziale che era stato elaborato negli ultimi anni e Laplace interpreta la gravità mediante il concetto di potenziale che Lagrange aveva introdotto nel 1777 e che egli sviluppa qui inserendolo in una celebre equazione differenziale che porta il suo nome. Laplace si pone quello che era uno dei massimi problemi di tutti gli studiosi da molti anni: determinare la grandezza dell’attrazione gravitazionale che una massa esercita su di un’altra in casi più complessi di quando, date grandi distanze, è possibile considerare le masse come puntiformi. Se si considera ad esempio la Terra che attrae un qualunque oggetto (ad esempio: una particella P), diventa importante la dimensione della Terra e la sua massa distribuita. In tal caso la forza di attrazione non può essere calcolata come se la massa della Terra fosse concentrata nel suo centro. Per calcolare tale forza si tratta di considerare la somma delle forze che ogni piccola unità di massa della Terra esercita sull’unità di massa P. Ciò comporta una mole considerevole di calcoli che debbono essere estesi alle tre componenti spaziali. E’ a questo punto che subentra la funzione potenziale: invece di trattare separatamente ogni componente della forza è possibile introdurre la funzione V(x,y,z) le cui derivate parziali rispetto ad x, ad y ed a z, siano rispettivamente le tre componenti della forza e cioè, a meno di considerare la costante della legge di Newton:

In tal caso il vantaggio consiste nel lavorare con la sola funzione V invece che con le tre componenti della forza. Ma anche qui le cose non risulterebbero semplici se Laplace non avesse scoperto una proprietà del potenziale (per punti esterni al corpo che attrae) e cioè che questa funzione ubbidisce alla seguente equazione differenziale del secondo ordine alle derivate parziali:

che è nota appunto come equazione del potenziale o equazione di Laplace (misura la differenza tra il valore della funzione in un punto e la sua media intorno a questo punto). Qualunque funzione f che soddisfi l’equazione di Laplace è chiamata armonica.  E’ d’interesse notare che una forza è originata da una funzione potenziale ma la forza si perde nei simbolismi dell’analisi matematica. Questa genesi di forza da potenziale era già comparsa nell’Hydrodinamica (1738) di Daniel Bernoulli. Era stata ripresa da Euler in un lavoro sui fluidi nel 1752 ma erano sorte difficoltà che egli non era stato in grado di risolvere. Era stato poi Lagrange nel 1762 a riprendere e chiarire le questioni (come abbiamo visto in modo analitico, trattando di Lagrange). Infine il contributo di Laplace che riuscì anche a risolvere l’equazione del potenziale (dopo importanti contributi di Legendre).

        L’equazione di Laplace(14) si usa scrivere più agevolmente in forma vettoriale:

dove il simbolo ∇ è un operatore chiamato di Laplace o laplaciano nabla che ha per componenti:

        Con un apparato matematico che si serviva di ogni avanzamento del calcolo, Laplace dedusse tutti i fenomeni dei pianeti e dei satelliti dalla legge di gravità espressa in termini di potenziale. E’ appena il caso di osservare che questa gigantesca operazione matematica, che lasciava solo qualche piccola discrepanza, ha resistito fino alla relatività einsteniana. Ed Einstein ha mostrato che non sempre le piccole discrepanze sono sistemabili con il calcolo e che partendo da esse si può arrivare ad una revisione completa dei concetti che sono stati ritenuti alla base di precedenti formulazioni.

        Si può dire a questo punto che una delle caratteristiche del metodo di Laplace è l’accettare alcune indicazioni dall’esperienza per costruirvi sopra, con il calcolo, una teoria definita da Laplace come il legame analitico dei fatti particolari con un fatto generale. Ed il calcolo, l’analisi matematica, gioca un ruolo fondamentale nella conoscenza della natura, perché, come dice Laplace, l’analisi matematica è uno strumento dell’intelligenza umana che ha una grande capacità di permettere la conoscenza della natura.

        Vediamo ora i contributi di Laplace alla teoria delle probabilità. Anche in questo campo egli seguì un procedimento analogo a quello seguito per le questioni astronomiche: prima un libro divulgativo, privo di formule, fatto per far comprendere quali sono i problemi, l’Essai philosophique sur les probabilités, seguito subito dopo dalla Théorie analytique des probabilités, che è invece un’opera rigorosa in cui si sviluppa la matematica corrispondente con l’introduzione, anche qui, dell’analisi per la trattazione del principio dei minimi quadrati. Non è negli scopi di questo lavoro andare a studiare i contributi di Laplace in questo campo, basti dire che egli si inserisce nel filone aperto da Jacob Bernoulli, proseguito da De Moivre ed altri. Suo merito è l’aver ricondotto la probabilità a solidi fondamenti matematici, riallacciandosi al concetto di probabilità a priori, indipendentemente dalle aspettative individuali. Ciò permise l’uso di questo calcolo nella fisica oltre che nei campi dove fino ad allora si era fatto (economia, sociologia, gioco). All’interno del Traité vi è il calcolo di diversi integrali tra i quali due sono di particolare importanza. Il primo riguarda il calcolo dell’area della curva di probabilità:

ed il secondo la  funzione nota come trasformata di Laplace:

dove f(x) è la trasformata di Laplace della funzione g(x).

        La parte comunque più nota, anche ai non cultori delle matematiche, delle cose che Laplace scrisse sulla probabilità, la si trova nel saggio introduttivo, che è in qualche modo il manifesto del determinismo. Dice Laplace che se ci fosse dato conoscere, ad un dato istante, le posizioni e le velocità di tute le molecole costituenti l’Universo noi potremmo conoscere gli eventi futuri e risalire a quelli passati. E’ solo per mancanza di dati noi non possiamo essere completamente deterministi:

Possiamo considerare lo stato attuale dell’universo come l’effetto del suo passato e la causa del suo futuro. Un’Intelligenza che ad un dato istante conoscesse tutte le forze che mettono in moto la natura, e tutte le posizioni di tutti gli oggetti di cui la natura è composta, se questa Intelligenza fosse inoltre sufficientemente ampia da sottoporre questi dati ad analisi, essa racchiuderebbe in un’unica formula i movimenti dei corpi più grandi dell’universo e quelli degli atomi più piccoli; per una tale Intelligenza nulla sarebbe incerto ed il futuro proprio come il passato sarebbe evidente davanti ai suoi occhi. 

E’ evidente che queste concezioni derivano a Laplace dai suoi studi astronomici e da lì egli ricava la fiducia che la conoscenza del sistema del mondo, con le sue leggi, con l’analisi che ce le fa scoprire,possa dissipare le paure dell’uomo, paure che discendono dalla sua ignoranza. Le regolarità astronomiche funzionano come le previsioni del moto di una molecola d’aria ed è per questo possibile trattare questi fenomeni con il calcolo delle probabilità. Il determinismo meccanicista esclude quindi l’imprevedibile e la metafisica garantendoci la razionalità del decorso dei fenomeni naturali. Ma questo determinismo deve rispondere a due precise condizioni. Innanzitutto occorre conoscere con esattezza la posizione e velocità di tutti i corpi. Quindi occorre saper trattare tali condizioni iniziali con gli strumenti matematici. L’insieme di queste due condizioni ci fa capire che Laplace aveva posto un limite alla conoscenza della natura che era lo stesso limite delle capacità ora note dell’uomo. E’ a questo punto che occorre mettere insieme i troppi dati con il calcolo delle probabilità che è il massimo strumento di conoscenza del quale ora disponiamo.

12 – QUALCHE CONSIDERAZIONE

        Soffermandoci su alcuni grandi pensatori del Settecento, siamo arrivati agli inizi dell’Ottocento. Se si fa un breve excursus a marcia indietro si individuano alcuni punti fermi:

– la scienza, in  particolare fisica e matematica, è diventata adulta

– abbiamo visto pian piano emergere scienziati che non appartengono a ceti benestanti

– abbiamo visto pian piano sparire la metafisica dalla spiegazione scientifica

– l’impresa scientifica si estende sempre più come portato dell’emergere della borghesia

– la compressione di questo ceto porterà alle estreme conseguenze rivoluzionarie in Francia, con l’inizio della fine dei privilegi di nobiltà e clero.

        Questi elementi saranno di grande importanza nell’Ottocento, nel secolo del Romanticismo che si affermerà come reazione irrazionale all’Illuminismo e che produrrà molta più scienza di quanta si sia mai potuta pensare nel Settecento, il secolo in cui tale scienza veniva esaltata. Naturalmente questo processo si accompagna ad un’enorme espansione della borghesia, alla rivoluzione industriale, alla creazione di un grande ceto salariato, all’esplosione della tecnica, alla ricerca dei mercati di sbocco, all’avviarsi delle grandi imprese coloniali che daranno l’impronta che conosciamo al mondo intero. Di questo discuterò in lavori successivi.


NOTE

(1) Leibniz rifiuta l’azione a distanza ed allo stesso modo le qualità occulte connesse alla gravitazione (in questo d’accordo con i cartesiani). Se è vero che l’ammissione di inesistenza di vuoto suggerisce a Leibniz il rifiuto dell’azione a distanza, rimane il problema di stabilire come si possa trasmettere un’ azione da una parte all’altra dello spazio. E qui Leibniz si schiera apertamente con i cartesiani affermando che le azioni si trasmettono per contatto da ‘materia’ a ‘materia’. Ma l’unico modo per poter ammettere ciò era la conseguente ammissione dell’urto tra particelle estese e dure (come faceva Descartes) e ciò portava Leibniz in un vicolo cieco poiché richiedeva l’ammissione di atomi (e quindi di vuoto) e comunque, in accordo col meccanicismo di Huygens, di entità non compatibili con la teoria delle monadi altrove sviluppata dallo stesso Leibniz .

(2) Si osservi che Boscovich criticherà anche i concetti di spazio e tempo assoluti oltre al principio d’inerzia, in base al fatto che questi non sono sperimentalmente osservabili.

(3) Anche l’ «osservatore», per Kant, comincia a diventare importante nella indagine fisica. Come dice Popper, riportando il pensiero di Kant:

 Dobbiamo abbandonare l’opinione secondo cui siamo degli osservatori passivi, sui quali la natura imprime la propria regolarità. E’ bene invece adottare l’opinione secondo cui, nell’assimilare i dati sensibili, imprimiamo attivamente ad essi l’ordine e le leggi del nostro intelletto. Il cosmo reca l’impronta della nostra mente … Lo sperimentatore non deve attendere che alla natura piaccia rivelargli i propri segreti, ma deve interrogarla. Egli deve fare ciò ripetutamente alla luce dei propri dubbi, congetture, teorie, idee ed ispirazioni.

In questo modo la scienza risulta una creazione umana come l’arte e la letteratura.

(4) Si osservi che, ispirate dalla grande atmosfera culturale illuministica, si erano realizzate due grandi rivoluzioni che avevano affermato gli ideali di libertà, uguaglianza e fraternità. Nel contempo però i sovrani ‘illuminati’ di Russia, Prussia ed Austria, con la prima spartizione della Polonia (1772), mostrano come la politica di potenza possa più dei lumi della ragione e come le aspirazioni progressiste non possano coesistere con l’assolutismo monarchico. Sul finire del secolo, poi, è proprio un “figlio della Rivoluzione”, Napoleone, ad interpretare fino in fondo gli ideali borghesi con le sue armate dilaganti per tutta l’Europa. E certamente l’Illuminismo,  propagandato non dai Voltaire, dai Diderot, dai D’Alembert, ma dalle armate napoleoniche, apre la strada ai nazionalismi dei popoli che, per difendersi dall’invasore, ricercano una unità (anche se fittizia) nei loro regnanti.

(5) E’ certo che la struttura del calcolo a partire da Leibniz era molto carente, soprattutto se confrontata con le elaborazioni successive dei Bernouilli, degli Eulero, dei Lagrange, dei Cauchy (1789 – 1857). Ci vorranno circa 100 anni per conquistare il rigore in matematica: esso si può datare con le Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal di Lazare Carnot e la Théorie des fonctions analytiques di Lagrange ambedue del 1797.  La completa sistemazione dell’analisi, all’incirca di come la conosciamo oggi fu invece dovuta a Cauchy (con  successivi contributi di Weierstrass), anch’egli docente all’École Normale, che per questo stesso fatto, scrisse tre fondamentali trattati di Analisi: Cours d’analyse de l’École Polytechnique (1821), Resumé des leçons sur le calcul infinitesimal (1823), Leçons sur le calcul différentiel (1829). In queste opere vi è la caratteristica saliente del rifiuto del metodo analitico di Lagrange, interamente basato sullo sviluppo in serie di Taylor, e l’accettazione del metodo indicato da D’Alembert basato sul concetto di limite definito nel modo seguente:

Quando i valori successivi attribuiti ad una variabile si avvicinano indefinitamente ad un valore fissato così che finiscono con il differire da questo per una differenza piccola quanto si vuole, quest’ultimo viene detto il limite di tutti gli altri (…)

Si dice che una quantità variabile diventa infinitamente piccola quando il suo valore numerico decresce indefinitamente in maniera da convergere verso il limite zero

e con ciò ci si sbarazzava di quanti avevano inteso l’infinitesimo come numero finito molto piccolo.

Altri matematici, non altrove citati, amplieranno di molto lo studio del calcolo infinitesimale nel Settecento, nell’Ottocento e nei primi anni del Novecento. Si avranno i contributi di grandi matematici tra cui: Rolle (1652 – 1719), J. Riccati (1676 – 1754), Clairaut (1713 – 1765), De Moivre (1667 – 1754),  L. Carnot (1753 – 1823), Legendre (1752 – 1833), Fourier (1768 – 1830), Bolzano (1781 – 1848), Abel (1802 – 1829), Gauss (1777 – 1855), Cauchy, Hamilton (1805 – 1865), Dirichlet (1805 – 1859), Jacobi (1804 – 1851), Hesse (1811 – 1874), Cantor (1845 – 1918), Volterra (1860 -1940) che fondò il calcolo funzionale, Ricci-Curbastro (1853 – 1925) che, insieme a Levi-Civita, creò il calcolo differenziale assoluto, alla base della Relatività Generale di Einstein, Weierstrass (1815 – 1897), Peano (1858 – 1932), Levi-Civita (1873 – 1941), Hilbert (1862 – 1943). 

(6) Fu la Rivoluzione Francese ad obbligare i professori universitari a scrivere il contenuto delle loro lezioni e la cosa fu e resta di enorme importanza. Ancora oggi solo pochi si dedicano a questo compito fondamentale.

(7) Dal punto di vista del giovane che apprende un tale passaggio può diventare traumatico. Dipende dal livello di capacità astrattive che si è conquistato al momento in cui si affronta un tale studio senza sostegni materiali. Io affrontai lo studio dell’analisi matematica ai 18 anni e della meccanica analitica a 19 anni e non avevo ancora sviluppate completamente le mie facoltà astrattive. Credo che questo abbia iniziato a rappresentare un chiaro momento di rottura con chi voleva capire ed iniziava a muoversi nei complessi campi delle scienze teoriche ed applicate. La riduzione della meccanica alla matematica, per di più senza disegni, rese particolarmente complessa la disciplina ad un certo tipo di approccio alla conoscenza, come ad esempio il mio.

(8) Lagrange definisce velocità virtuale quella che un corpo in equilibrio è disposto a ricevere, quando l’equilibrio viene interrotto, cioè la velocità che il corpo assumerebbe realmente nel primo istante del suo movimento; ed il principio [dei lavori virtuali] consiste in ciò che delle potenze sono in equilibrio quando stanno in ragione inversa delle loro velocità virtuali, stimate nella direzione di queste potenze.

(9) Per Lagrange questo principio, visto analiticamente, consiste nel fatto che, nel moto dei corpi che agiscono l’uno sull’altro, la somma dei prodotti delle masse per le velocità e per gli spazi percorsi è un minimo. Il principio fu ricavato da Maupertuis nel caso particolare di riflessione e rifrazione della luce e quindi non poteva essere generalizzabile finché Euler non ha fatto vedere che nelle traiettorie descritte  a causa di forze centrali, l’integrale della velocità moltiplicato per l’elemento della curva origina sempre un massimo o un minimo. Lagrange estese questa proprietà, mediante il teorema delle forze vive, al moto di di ogni sistema di corpi che agiscano l’uno sull’altro in un modo qualsiasi.

(10) Truesdell così prosegue:

E’ vero che le equazioni di Lagrange conservano la stessa forma  per tutti gli osservatori, ma non è vero che un sistema di equazioni differenziali nella forma di Lagrange debba corrispondere necessariamente ad un sistema dinamico che soddisfaccia le leggi di Euler  in un dato sistema di riferimento, ed ancor meno in un sistema di riferimento inerziale. Con l’oscurare le forze, le equazioni di Lagrange nascondono il gruppo invariante della meccanica classica, che invece risulta immediatamente dalle equazioni di Euler. Inoltre le equazioni di Lagrange non riflettono la geometria spazio-temporale della meccanica classica, la cui proprietà fondamentale è la possibilità di sommare tra sé vettori localizzati in punti differenti. Senza questo lontano parallelismo possiamo parlare di energia ma ci risulta impossibile costruire le rimanenti grandezze alla base della meccanica classica: quantità di moto, centro di massa e momento della quantità di moto. Vedendo le equazioni di Lagrange non si capisce se un sistema possiede quantità di moto o no; in cambio le equazioni di Euler mostrano immediatamente questa proprietà, risultando più generali.

(11) In tali posti dove fu nominato presidente non sempre riscosse l’approvazione dei colleghi come ad esempio Delambre che affermò che mai un geometra dovrebbe essere messo alla testa di un osservatorio perché egli si disinteresserà sempre di tutto meno che di ciò che lo riguarda direttamente.

 (12) Vi è un aneddoto che merita di essere raccontato. Quando Laplace presentò a Napoleone la sua Mécanique céleste, Napoleone osservò a Laplace che nella sua opera non compariva mai Dio. E Laplace rispose che: Sire non ho avuto bisogno di tale ipotesi. L’imperatore si rivolse allora a Lagrange per sentire anche il suo parere su questa vicenda dell’assenza di Dio. Lagrange, sorridendo disse: E’ una bella ipotesi, che spiega molte cose.

(13) Questo libro è di difficilissima lettura e la cosa fu fatta notare a Laplace da Biot che lo aiutava nella correzione per la pubblicazione. Biot racconta che spesso lo stesso Laplace non si ritrovava. Spesso compare nel libro l’espressione “E’ lasciata al lettore la dimostrazione …”  o cose simili. Ricordo (si veda nota 7) che il mio professore di analisi matematica, Giuseppe Scorza Dragoni, che aveva il suo testo illeggibile, usava regolarmente tale espressione in ogni teorema che dimostrava. Ebbene, ad ogni espressione che Scorza usava “donde la conclusione“, dovevo riempire una decina di pagine di conti per arrivare a quella banale conclusione. Dico questo come quello che ho già detto in nota 7 perché i professori non abusino della loro posizione vessando in questo modo delle persone che accedono all’università per apprendere e non per essere torturati.

(14) L’equazione di Laplace è una equazione omogenea in quanto eguagliata a zero. Nel caso elettrico è possibile definire una funzione potenziale V che però non soddisfa l’equazione omogenea di Laplace ma l’equazione che l’altro grande matematico francese, Poisson, stabilì nel 1812. Tale equazione, valida per lo spazio libero da materia attraente, è:

dove al secondo membro figura la densità ρ della materia nel dato punto P preso in considerazione.


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