Fisicamente

di Roberto Renzetti

Roberto Renzetti 

(Prima stesura 1972; aggiornato nel 2005)

[Prego i lettori di avere la cortesia di segnalarmi errori, lacune, omissioni gravi e tutto ciò che ritengono non corretto]

PREMESSA

Lo studio delle funzioni è un problema di vastissima portata che ha applicazioni in tutti i campi della scienza.

Nella moderna società scientifico-tecnologica la comunicazione di massa, strumento indispensabile al potere, è ormai affidata a simbolismi sempre più compatti tra i quali, non ultimo, vi sono le rappresentazioni grafiche delle funzioni. Chi è in grado di decodificare i messaggi, e quindi il simbolismo, ha in mano un potente strumento di comprensione della realtà ed ha la potenzialità della critica, della scelta. Chi non possiede questo strumento di comprensione è destinato a fare il “, il “consumatore acritico”, il “servo docile”, l'”utile idiota”, un inserito-escluso. Il bambino inizia a vedere sul suo giornaletto di Topolino i grafici dei guadagni di Paperone. L’adulto trova grafici e tabelle in ogni messaggio filmico o parlato,, su ogni giornale “avanzato” di economia e finanza, in ogni manuale di istruzioni di qualsiasi elettrodomestico. E questo ancora a livello sovrastrutturale, ancora a livello di coscienza. Quando si passa a livello strutturale, quando cioè si tratta di decodificare tali simbolismi per una loro pratica utilizzazione, allora una tale operazione diventa indispensabile. Il mondo del lavoro, quando lo offre, richiede personale specializzato. La gran parte della mano d’opera che si richiederà nel settore produttivo dovrà essere tecnicamente preparata, dovrà, in particolare, essere in grado di decifrare il compatto simbolismo di un grafico, essendo in grado di “leggerlo”.

Mi sembra inutile aggiungere altre parole sull’importanza e l’utilità dello studio delle funzioni, viceversa mi sembra necessario andare a vedere come viene affrontato nella nostra scuola secondaria di 2° grado questo particolare argomento e come si potrebbe e, secondo me, dovrebbe affrontarlo.

E’ noto che il calcolo infinitesimale (brevemente: il calcolo), supporto in dispensabile allo studio delle funzioni, è studiato solo, al livello scolare di cui mi occupo, nell’ultimo anno del liceo scientifico e nel penultimo anno degli istituti tecnici industriali.. Questa situazione è del tutto carente. Se si pensa che, ad esempio, nei cinque anni del nostro liceo classico, con le ore a disposizione che si hanno per la matematica (2 a settimana nei primi 4 anni e 3 nell’ultimo) si riesce a malapena ad arrivare a nozioni di trigonometria nell’ultimo anno, ci si rende conto che c’è qualcosa che non va. Quanto bagaglio inutile ci portiamo dietro ? Quante cose ripetiamo innumerevoli volte, annoiando noi stessi e gli altri ? C’è bisogno di una radicale riorganizzazione al fine di rendere la nostra scuola più efficiente in quanto più interessante.

Per tornare ai nostri più immediati problemi di insegnamento del calcolo (e della matematica in genere) nelle nostre secondarie, qualcuno ha già detto: “Si parla sempre dei postulati e della matematica precedente i postulati non si parla mai”. Altri hanno osservato che la matematica è oggi invisa ai giovani perché non permette loro di penetrare in essa in modo critico: viene propinata già fatta, perfetta ed intoccabile in ogni sua parte. E, se si riflette un poco, ci si può convincere che spesso non si tiene conto che ogni teorema, prima di essere tale e di assumere il suo aspetto definitivo, è stato un problema o, più spesso, un insieme di problemi nella mente dei matematici e che dalla risoluzione di tali problemi è scaturito l’enunciato “preciso”. la sua esatta collocazione, la sua “chiara” dimostrazione. Per questo ritengo sia di grande utilità e molto motivante affrontare l’insegnamento della matematica per problemi (dimensionati a seconda delle varie età mentali dei ragazzi). Tali problemi dovranno servire sia ad introdurre la teoria, sia per discutere al fine di trovare la migliore formulazione di essa, sia per trovare la soluzione al problema proposto attraverso approssimazioni successive e strade diverse. Attraverso poi altri particolari ed opportuni quesiti si facciano notare gli eventuali difetti del procedimento: scarso rigore, prolissità, scarsa generalità, …. Solo dopo questo lavoro preparatorio si potrà trattare la teoria definitiva.

Cosa ho fatto io ?

So per esperienza diretta, soprattutto dall’insegnamento della fisica, che i ragazzi sono molto interessati alla storia delle idee. D’altra parte sono convinto del fatto che se non si è ben sicuri sul miglior modo di esporre una determinata questione, è buona regola rifarsi alla “storia” dell’argomento, perché la sequenza storica è assai adatta a suggerire la sequenza da seguire nell’insegnamento a dei ragazzi. Inoltre è, a mio avviso, intrinsecamente molto importante il non trascurare alcuna occasione di rintracciare la storia della matematica (anche se questa storia è difficile per il fatto che le assiomatizzazioni che si sono susseguite non permettono di rintracciare una qualche linearità). Per ben comprendere una nozione non c’è niente di più efficace dell’andare a ricercare come essa è nata.. E la storia delle idee è un qualcosa di fondamentalmente formativo. Questa ricerca intellettuale apporta presto al soggetto una nota di umanesimo ed un aspetto anche aneddotico di cui l’insegnamento delle scienze ha grande bisogno. Personalmente ho operato così e, con grande fatica per la verità, mi sono preoccupato di rintracciare la storia del pensiero. Il calcolo differenziale ed integrale, o calcolo infinitesimale, o in breve il calcolo, è un esempio di questo tipo. Cercherò di seguito di dare una idea degli sviluppi storici del calcolo fino a Newton e Leibniz, evitando però in questa sede molti sviluppi analitici, per i quali rimando ai testi di bibliografia.

ORIGINI DEL CALCOLO INFINITESIMALE

ARCHIMEDE

Anche per il calcolo infinitesimale, più precisamente per quello integrale, per trovare dei precedenti di grande rilievo, occorre tornare alla Grecia, al metodo di Euclide (circa 300 a.C.) detto di esaustione che gli permetteva di trovare aree o volumi di regioni curve mediante approssimazioni successive, con l’uso di poligoni inscritti e circoscritti (o poliedri) dei quali le aree (o volumi) erano note. Per trovare ad esempio l’area di un cerchio mediante approssimazione successiva, si inscrivevano e circoscrivevano ad esso dei poligoni regolari, dei quali si aumentava sempre più il numero dei lati (nel caso della sfera si usavano poliedri, aumentando sempre più il numero delle facce). La linea di pensiero è sempre stata la medesima: poiché non si riesce a calcolare in modo elementare un’area racchiusa da una superficie curva, si tende ad approssimare tale area con un certo numero di aree che sappiamo calcolare. Il problema è il livello dell’approssimazione. E’ evidente che un triangolo inscritto in un cerchio approssima malissimo l’area del cerchio. Meglio un quadrato, un pentagono, un esagono, …, meglio ancora tanti rettangolini … 

Successivamente si passò a superfici curve non approssimabili con poligoni regolari. Il problema divenne la suddivisione di tali superfici mediante i suddetti rettangolini che la approssimassero sempre meglio. Da questo punto si capì, anche se la cosa fu inizialmente

Se si vuole trovare l’area del poligono mistilineo ACDBA occorre sommare (Sn) l’area degli n  rettangolini aventi come base h  e come altezza i vari valori di m. Un’area siffatta è approssimata per difetto. Tale approssimazione è sempre migliore quanto più piccolo è h. Ma, al diminuire di H, crescono i rettangolini, cioè n. E’ a questo punto che occorre capire come proseguire per avere sempre migliori approssimazioni dell’area richiesta.

rifiutata concettualmente, che la migliore approssimazione si sarebbe avuta con rettangolini sempre più piccoli, nei quali una dimensione diventasse praticamente nulla … Ci volle molto a conquistare queste aree, queste quadrature, e la storia del calcolo racconta come si è riusciti a farlo.

Sulla stessa strada del metodo di esaustione, ma con superfici curve più complesse, si mosse Archimede di Siracusa  (circa 287 a.C. –  212 a.C.) nella ricerca di alcune aree (segmento parabolico, ellisse, …) di alcuni volumi e nello studio del  problema della tangente ad una spirale (quest’ultimo è uno dei primi problemi di calcolo differenziale mentre gli altri, e la gran maggioranza di quelli che incontreremo, relativi ad aree e cioè a quadrature, sono problemi di calcolo integrale).

Seguiamo un suo ragionamento, quello per calcolare l’area di un segmento parabolico (si noti che il termine parabola non era di Archimede; in suo luogo egli usava la frase sezione del cono retto). Quest’area, come molte altre aree e volumi, si trova in un suo libro ritrovato solo nel 1906 ad Istanbul, Il metodo (quest’area era stata calcolata precedentementeda Archimede nel suo scritto Quadratura della parabola).

Archimede fornisce due dimostrazioni per la quadratura del paraboloide. La prima, che egli definisce meccanica, è basata sulla teoria della leva (che può ben essere una bilancia), con l’uso dei centri di gravità delle figure geometriche. La leva sarebbe la base AB del segmento parabolico, prolungata oltre A, ed A ne sarebbe il fulcro. Egli utilizza inoltre il concetto di momento (statico), cioè il prodotto della superficie o del volume per la distanza del suo baricentro dal punto. Quando una leva è in equilibrio, lo sono anche i momenti che, nel nostro caso, sono i momenti delle due figure prese in considerazione rispetto allo stesso punto (il fulcro). L’equilibrio dei  momenti (o il peso delle due superfici) riguarda ora i trapezi che sono in figura con quelli che si avrebbero sull’altro braccio della leva (bilancia). Questo equilibrio è sempre l’uguaglianza di due prodotti che si originano da una proporzione. Se chiamiamo con S  la superficie o il volume della grandezza nota e con S’ di quella da determinare e detti b e d le distanze dei baricentri dal fulcro è:

S . d = S’ . b

Da cui si ricava: S’ = (S . d)/b che è ciò che si cercava.

Con questo metodo meccanico, Archimede determina la relazione tra il segmento parabolico ed il triangolo (ABC) che risulta formato dalla base del segmento

parabolico (AB), dalla tangente in un estremo (BC) e dalla parallela all’asse della parabola (A2C2) passante per l’altro estremo (AC). Si supponga ora di tracciare rette perpendicolari alla base AB che staccano sulla superficie parabolica infiniti segmenti del tipo di AB1, e sul triangolo infiniti segmenti come CC1 (natura infinitesimale del problema). Questi segmenti sono i “fili” di Archimede (nel caso di un solido in luogo dei segmenti occorrerà prendere in considerazione le infinite fettine, estremamente sottili, che si ottengono sezionandolo, che Cavalieri chiamerà foglietti). La superficie del segmento parabolico ha lo stesso peso della somma dei pesi di tutti i fili del tipo di AB1 e la superficie del triangolo ha lo stesso peso della somma dei pesi di tutti i fili del tipo di CC1. Archimede riesce idealmente a costruire una bilancia su cui confronta i due pesi, trovando che il primo è 4/3 del secondo; di conseguenza conclude che l’area del segmento parabolico è 4/3 di quella del triangolo. Vediamo in sintesi la sua dimostrazione con il metodo meccanico. Egli, come aveva dimostrato in Quadratura della parabola, si propone di mostrare che il segmento parabolico ABC è i 4/3 del triangolo ABC.Riferiamoci alla 

figura in cui è riportato il segmento parabolico ABC. Consideriamo il punto medio D di AC. Da esso tracciamo l’asse BD della parabola e prolunghiamolo fino ad intersecare in E la tangente CF alla parabola in C. Tracciamo poi la parallela AF a BD passante per A, intersecante in F la tangente CF. Consideriamo ora la retta che parte da C e passa per il vertice B che poi intersecherà AF nel punto K. Su tale retta prendiamo il punto K tale che risulti HK = KC. Si consideri ora una retta qualunque MO parallela ad EBD. Dice Archimede che, poiché CBA è una parabola, poiché CF è ad essa tangente e CD è la metà della corda parallela alla tangente in B, vertice del segmento parabolico (o: la metà della corda coniugata al diametro BD,come diremmo oggi), ne consegue che EB = BD per quanto dimostrato da Euclide (in una parabola la sottotangente di un punto qualsiasi è divisa per metà dal vertice). Per lo stesso motivo e per il parallelismo tra FA ed MO risulta anche MN = NO e FK = KA. A questo punto Archimede fa riferimento ad una proporzione che egli stesso aveva dimostrato in Quadratura della parabola:

BD : BQ = AD2 : PQ2

dove Q è il punto d’intersezione tra la parallela ad AC (passante per P) e BD (si noti che sviluppando questa proporzione si trova l’equazione cartesiana di una parabola). Da questa relazione discende che:

CA : AO = MO : OP      e      CA : AO = CK : KN

da cui, utilizzando il fatto che  HK = KC, si ha:

HK : KN = MO : OP.

Archimede prosegue affermando che si deve considerare CH come il giogo di una bilancia (una leva), del quale K sia il fulcro. Il segmento OM, lasciato dove si trova in figura, equilibra il segmento OP trasportato parallelamente a se stesso fino ad avere il centro in H e coincidere con il segmento TG. Questo equilibrio vale per ogni sezione del triangolo ACF e del segmento parabolico ABC ottenute con tutte le rette perpendicolari ad AC. Se si considerano le due aree riempite da tali segmenti-sezioni, risulta che il triangolo lasciato dove si trova (o considerato concentrato nel suo baricentro X, trovato tagliando CK in modo da risultare CK = 3 KX, in accordo con quanto dimostrato nei trattati sull’equilibrio) fa equilibrio al segmento parabolico concentrato nel suo baricentro K. E questo si può scrivere:

Area Triangolo (AFC) : Area Seg. Par (ABC) = HK : KX

Ricordando che CK = 3 KX = HK, si trova:

Area Triangolo  (AFC) : Area Seg. Par (ABC) = 3 KX : KX

da cui:

Area Triangolo (AFC) = 3 Area Seg. Par (ABC) 

Ma, poiché:

 FK = KA  e  AD = DC

risulta:

Area Triangolo  (AFC) = 4  Area Triangolo  (ABC)

e, sostituendo nella proporzione precedente:

4  Area Triangolo  (ABC) = 3 Area Seg. Par (ABC) 

da cui la conclusione:

Area Seg. Par (ABC) = 4/3  Area Triangolo  (ABC).

Dopo questa conclusione, Archimede afferma che qui si ha solo una apparenza di verità. Per far vedere che la cosa è vera, occorre passare alla dimostrazione geometrica che è quella che segue subito dopo.

Passiamo ora a questa seconda dimostrazione (proposizioni dalla 18 alla 24 de Il Metodo) che è puramente geometrica (mi riferirò al testo di Enrico Rufini: Il metodo di Archimede, Feltrinelli 1961). Ora il segmento parabolico viene messo a confronto con il triangolo inscritto, avente la stessa base e la stessa  altezza del segmento

parabolico.

Sia il segmento parabolico ABC, di cui A, C siano gli estremi, B il vertice, D il punto di mezzo della base (di modo che DB è l’asse della parabola). Si inscriva in esso il triangolo ABC. Nei segmenti AB, BC si inscrivano altri due triangoli AEB, BFC (E, F essendo le intersezioni dei segmenti paralleli all’asse condotti per i punti di mezzo di AB e BC).
Ora è (come Archimede ha ricavato in  precedenza e ci ricorda nella proposizione 19 e 21 rispettivamente):

BD = 4/3 E G, 

(ABC) = 8 (AEB) = 8 (BFC), 

ossia

(AEB) + (BFC) = 1/4 (ABC).

Si inscriva allo stesso modo un triangolo in ciascuno dei segmenti AE, EB, BF, FC; ognuno di tali triangoli sarà 1/8 del triangolo AEB o BFC; la loro somma sarà 1/16 del triangolo ABC. E così continuando, ogni volta la somma dei nuovi triangoli sarà 1/4 della
somma precedente. Onde si avrà una superficie poligonale inscritta la cui area è

S= (1 + 1/4 + 1/42 + 1/43 + … + 1/4n-1) ABC

Se n è un numero finito si ha evidentemente

 Sn < P                         (proposizione 22) 

avendo indicato con P l’area del segmento parabolico. D’altra parte è in generale

 Sn =(4/3 – 1/3.1/4n-1)ABC

(risultato fornito nella proposizione 23 e, per il calcolo della serie, già noto).
Perciò se il numero dei triangoli inscritti diventa infinitamente grande si avrà un risultato che noi oggi enunceremmo così:

il limite, per n che tende ad infinito, di Sn = P = 4/3 (ABC). 

Ma Archimede non fa questo passaggio al limite anche se concettualmente mostra di operare allo stesso modo, e dimostra lo stesso risultato mediante la doppia riduzione all’assurdo.


I. Sia, se è possibile, P > 4/3 (ABC).

Inscrivendo successivamente nel segmento ABC triangoli nel modo suddetto, e proseguendo l’operazione un numero di volte sufficientemente grande, potremo ottenere una superficie poligonale Sn tale che


P – Sn < P – 4/3 (ABC). 

Ma allora risulterebbe


Sn > 4/3 (ABC);


il che è impossibile, per quel che fu già dimostrato.



II. Si supponga allora P < 4/3 (ABC).

Inscrivendo, come prima, successivamente nel segmento ABC dei triangoli, otterremo alla fine una certa superficie Sn tale che si abbia

 Sn – P = [1/4n-1 (ABC)] < 4/3 (ABC) – P


Ma

 4/3 (ABC) = Sn + 1/3.1/4n-1 (ABC)


quindi

 4/3 (ABC) – Sn  <  4/3 (ABC) – P


e cioè


 Sn > P

Ma questo è impossibile. Dunque

  P = 4/3 (ABC)

Questo è uno dei risultati che Archimede conseguì. Essi furono dimenticati per quasi 2000 anni e, con somma fatica si ricostruirono a partire dal Seicento. Tra i maggiori continuatori dell’opera di Archimede possiamo ricordare Galileo Galilei, Bonaventura Cavalieri ed Evangelista Torricelli con la loro teoria degli indivisibili. C’è da notare che una delle più grandi difficoltà nell’elaborazione dei nuovi concetti che emergevano, vi era la mancanza di notazioni adeguate e, per maggior peso, il fatto che non vi fossero notazioni comuni. Ognuno scriveva utilizzando suoi simboli, cosicché era addirittura complicato per un autore leggere i contributi di un altro autore. Secondo Boyer furono in gran parte le modificazioni introdotte per esigenze pratiche nei metodi infinitesimali degli antichi che alla fine portarono alla creazione del calcolo infinitesimale. Scienziati come Stevino (che nel 1586 scrisse una Statica in cui propose un metodo per trovare il centro di gravità di un triangolo sulla via meccanica di Archimede), Keplero (che nell’Astronomia nova del 1609 fornì dei metodi, meno rigorosi di quelli di Archimede, per trovare le aree del cerchio e dell’ellissi insieme ad alcuni volumi di solidi di rotazione e successivamente, nella Stereometria doliurum del 1615, trovò il modo di misurare il volume delle botti) e Galileo avevano tutti bisogno di ricorrere a metodi archimedei, ma, a causa della loro mentalità pratica, preferivano evitare le sottigliezze logiche del metodo di esaustione.

Nel seguito farò un’operazione storicamente non corretta, mi riferirò ai soli scienziati che hanno dato i maggiori contributi al calcolo. Il tutto nasce dal fatto che questo lavoro è ancora allo stato di appunti che spero poter completare. Tenterò in futuro di sistemare le cose riportando i molti altri contributi da parte di vari scienziati di vari Paesi in varie epoche.

GALILEO 

Una delle nozioni fondamentali della cinematica è quella della velocità di un corpo in movimento. Se segniamo le distanze percorse da un punto mobile in funzione dei tempi, avremo una linea, retta o curva, che mostra immediatamente il moto del punto e la pendenza di tale linea in un suo qualunque punto sarà la velocità del punto all’istante corrispondente alla posizione di quel punto. Più il punto si sposterà rapidamente, più la curva sarà ripida e più la pendenza della tangente in questo punto crescerà: questa pendenza misura infatti la velocità del punto in una qualunque posizione del suo percorso (velocità istantanea). Le difficoltà che poneva un tale problema erano grandissime e anche Archimede (sempre ne Il Metodo), nel trattare il problema della tangente alla sua spirale, pur facendo cose sensazionali, non riuscì a fare il grande passo verso gli infinitesimi e risolse il problema in quel caso particolare. Galileo tentò ed ottenne la sua soluzione nel caso semplice del moto uniformemente accelerato che parte dalla quiete (un corpo in caduta). Egli dimostrò (Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, giornata terza) che se un mobile scende, a partire dalla quiete, con moto uniformemente accelerato, gli spazi percorsi da esso in tempi qualsiasi stanno tra di loro come i quadrati dei tempi. E la dimostrazione di questa conclusione si basa nella rappresentazione di un dato intervallo di tempo con un segmento AB ( non è banale questo grado di astrazione), dove, ad ogni punto di questo corrisponderà un istante dell’intervallo considerato.  Se ora, a partire da ciascun punto di AB tracciamo un

segmentino (perpendicolare ad AB)che misuri la velocità posseduta dal mobile nell’istante corrispondente al punto stesso, ne risulta che tutti questi segmentini assieme riempiranno un triangolo ABE, avente, come base, il segmento adoperato per rappresentare il tempo e, come altezza, il segmentino BE adoperato per rappresentare la velocità nell’istante finale. Ciò posto, Galileo riesce a dimostrare che il tempo impiegato dal mobile in esame a percorrere uno spazio prefissato sarà eguale al tempo che verrebbe impiegato a percorrere quel medesimo spazio da un altro mobile, il quale si muovesse di moto uniforme con velocità (costante) eguale alla metà della velocità raggiunta — nel moto uniformemente accelerato—all’istante finale. La rappresentazione di questo secondo moto sarà data dal rettangolo ABFG, avente per base il segmento AB che rappresenta il tempo, e come altezza il segmentino BF eguale — come si è detto — alla metà di BE. Di qui alla legge poco sopra riferita il passo è quasi immediato e non presenta più alcuna difficoltà (anche qui occorre osservare che manca solo il passaggio al limite per il numero degli intervalli orizzontali tendente ad infinito). Detto in altro modo (in figura l’asse dei tempi è quello verticale, mentre la velocità è l’asse orizzontale): 

– la velocità di un oggetto in caduta libera è data dal diagramma v = g.t (con g = costante) che è una retta inclinata rispetto all’asse dei tempi;

– lo spazio percorso dall’oggetto in caduta nel tempo t è uguale allo spazio che percorrerebbe un altro oggetto che si muovesse a velocità costante per lo stesso tempo t e con la velocità che il primo oggetto avrebbe nel tempo t/2 che è g.t/2;

– tale spazio è è dunque dato da s = 1/2 g.t2 ed è misurato dall’area del triangolo ABE che, con linguaggio di oggi, sarebbe:

[Il simbolo  ∫  d’integrale, molto simile all’attuale, che altri non è se non una S stilizzata, è dovuto a Leibniz, che lo scrive in un manoscritto del 1675].

E’ da notare che questo è un  problema di quadratura e quindi di calcolo integrale (quadratura o integrazione quando si vuole trovare lo spazio nota la velocità; costruzione della tangente o derivazione quando sia noto lo spazio e si voglia trovare la velocità. Ma capire che una operazione è l’inverso dell’altra richiederà molto tempo e molte fatiche).

Nel portare avanti la precedente dimostrazione, Galileo si sofferma per un attimo a discutere con Simplicio del problema degli infinitesimi.

Dice Galileo:

… Noi abbiamo un sasso grave, sostenuto nel!’ aria in quiete ; si libera dal sostegno e si pone in libertà, e, come più grave dell’ aria, vien descendendo al basso, e non con moto equabile, ma lento nel principio, e continuamente dopo accelerato : ed essendo che la velocità è augumentabile e menomabile in infinito, qual ragione mi persuaderà che tal mobile, partendosi da una tardità infinita (che tal è la quiete), entri immediatamente in dieci gradi di velocità più che in una di quattro, o in questa prima che in una di due, di uno, di un mezo, di un centesimo? ed in somma in tutte le minori in infinito? Sentite, in grazia. Io non credo che voi fuste renitenti a concedermi che 1′ acquisto de i gradi di velocità del sasso cadente dallo stato di quiete possa farsi co ‘1 medesimo ordine che la diminuzione e perdita de i medesimi gradi, mentre da virtù impellente fusse ricacciato in su alla medesima altezza ; ma quando ciò sia, non veggo che si possa dubitare che nel diminuirsi la velocità del sasso ascendente, consumandola tutta, possa pervenire allo stato di quiete prima che passar per tutti i gradi di tardità. 
SIMP. Ma se i gradi di tardità maggiore e maggiore sono infiniti, già mai non si consumeranno tutti ; onde tal grave ascendente non si condurrà mai alla quiete, ma infinitamente si moverà, ritardandosi sempre : cosa che non si vede accadere.
SALV. Accaderebbe cotesto, Sig. Simplicio, quando il mobile andasse per qualche tempo trattenendosi in ciaschedun grado ; ma egli vi passa solamente, senza dimorarvi oltre a un instante ; e perché in ogni tempo quanto, ancor che piccolissimo, sono infiniti istanti, però son bastanti a rispondere a gl’infiniti gradi di velocità diminuita. Che poi tal grave ascendente non persista per verun tempo quanto in alcun medesimo grado di velocità, si fa manifesto così : perché se, assegnato qualche tempo quanto, nel primo instante di tal tempo ed anco nell’ ultimo il mobile si trovasse aver il medesimo grado di velocità, potrebbe da questo secondo grado esser parimente sospinto in su per altrettanto spazio, sì come dal primo fu portato al secondo, e per l’istessa ragione passerebbe dal secondo al terzo, e finalmente io continuerebbe il suo moto uniforme in infinito.( …).

E’ uno dei pochi cenni a questi problemi di Galileo. L’altro, sempre nei Discorsi (giornata prima) è relativo a problemi di aree e di volumi che egli esegue con il metodo degli indivisibili (vedi oltre). Egli, in relazione al calcolo del volume della scodella (un cilindro al quale è sottratta una semisfera, solido mostrato in sezione nella figura), prima dimostra che, sezionando il solido con un piano qualunque parallelo alla base, la corona circolare ed il cerchio che si ottengono sono equivalenti, quindi dimostra che il cono di sezione DEC ha 

 lo stesso volume  del solido che si ottiene dal cilindro togliendo la scodella. La dimostrazione è basata sugli “indivisibili” e viene ottenuta sostanzialmente immaginando i solidi come costituiti da “fettine” sottilissime, così come aveva fatto Archimede (anche se le elaborazioni di Archimede erano ne Il Metodo che si è conosciuto solo nel 1906) e Cavalieri (vedi oltre). La dimostrazione non viene però fornita da Galileo. Egli rimanda ad una dimostrazione che un suo contemporaneo Luca Valerio.

LUCA VALERIO

Luca Valerio (1552-1618), è un matematico che Galileo paragona ad Archimede. Egli  aveva dato la dimostrazione a cui si riferisce Galileo,  nella dodicesima proposizione del libro secondo del De centro gravitatis solidorum, libri tres (Roma 1604)  (tra l’altro è suo il nome scodella, mentre Galileo proponeva il nome rasoio circolare). E vediamo in breve

 tale dimostrazione. Intanto occorre dire che Valerio si sbarazza dei metodi di esaustione e per assurdo utilizzati da Archimede. Egli pone a fondamento delle sue dimostrazioni un principio che oggi reciterebbe così: il limite di un quoziente è uguale al quoziente dei limiti. Tale principio affermava che: se due grandezze variabili e b hanno fra loro un rapporto p : q, che si mantiene costante nel corso della variazione, e se  esistono due grandezze A e B tali che A — a, e B — b possono rendersi minori di una grandezza piccola ad arbitrio, segue che il rapporto fra A e B è anch’esso uguale a p : q. A  questo egli ne aggiunge un altro: “ad ogni figura piana degradante dalle due parti a partire dal diametro si può

a – Si noti che qui e nella figura seguente è implicito il concetto di limite. Se solo si pensa che l’area ed il volume richiesti si ottengono al limite per l’altezza, rispettivamente di rettangolo e cilindro, che tende a zero.

b


inscrivere una figura formata da parallelogrammi e circoscriverne un’altra, in modo che la figura circoscritta superi l’inscritta di una qualsiasi quantità prefissata, arbitrariamente piccola”
 (nel caso di figure solide di rotazione dovremo considerare dei cilindri in luogo di rettangoli, come mostrato nella figura b, e l’insieme dei cilindri si chiamerà scaloide cilindrico). Riferendoci alla figura a, consideriamo il segmento DA. Esso viene diviso in n parti e per i punti di suddivisione vengono condotte corde perpendicolari che costituiscono le basi di rettangoli inscritti e circoscritti nella figura aventi la comune altezza 1/n AD. E’ evidente che la differenza tra la somma dei rettangoli circoscritti e di quelli inscritti è equivalente al rettangolo di base BC e altezza 1/n AD, rettangolo che si può rendere piccolo quanto si vuole.

Con tale principio egli trova che possono essere sostituite le difficili dimostrazioni per assurdo di Archimede.
In particolare, per la cubatura della scodella, basta dimostrare che il volume del cono DCE è uguale a quello della scodella per calcolare immediatamente il volume della semisfera che vale   2/3 
p r3. Si ha infatti successivamente.

Volume semisfera = Volume cilindro – Volume scodella = Volume cilindro – Volume cono

p r. r – 1/3 p r2. r =  p r3 – 1/3 p r3 = 2/3 p r3

Resta da provare l’uguaglianza tra cono e scodella. Valerio applica appunto il principio enunciato poco sopra, cioè: disegna due scaloidi cilindrici — diciamo a e P — inscritti rispettivamente nel cono e nella scodella, e dimostra che essi restano sempre uguali (cioè che il loro rapporto è sempre 1) comunque vengano « infittiti » gli scaloidi stessi: rendendo sempre più sottili i cilindri che li compongono.
Ma le differenze fra il cono A e il proprio scaloide inscritto (A — 
a), ovvero fra la scodella B e il proprio scaloide inscritto (B — b), possono entrambe essere rese
minori di un solido preso piccolo ad arbitrio. Segue perciò (in base al principio che abbiamo riferito sopra), che anche il rapporto fra il cono A e la scodella B è uguale all’unità, cioè che i due solidi considerati hanno uguale estensione (si osservi che questa dimostrazione è simile a quella che trent’anni più tardi sarà effettuata da Bonaventura Cavalieri).

Riporto di seguito l’intera dimostrazione che fornisce Valerio della cubatura della scodella. E’ in latino e può essere presa come occasione di lavoro con l’insegnante di latino (le lettere sono riferite alla prima figura che ho riprodotto in questa sezione):

PROPOSITIO XII.

Si hemisphærium,vel hemisphæroides vtcum que ab scissum: & cylindrus, vel cylindri portio illi circumscripta: & conus, vel coni portio, cuius basis est eademsolido circumscripto, hemisphærium, vel hemisphæroides ad verticem contingens, & communis axis; secentur vno plano, basi hemisphærij, vel hemisphæroidis parallelo: super sectiones autem prædicti coni, vel portionis conicæ, & hemisphærij, vel hemisphæroidis, circa huius abscissæ portioni saxem duo cylindri, vel portiones cylindricæ constiterint; reliquum cylindri velportionis cylindricæ prædictoplano abscissæ, dempto eo cylindro duorum prædictorum, vel portione cylindrica, cuius basis est sectio hemisphærij, vel hemisphæroidis, æqualeerit reliquo cylindro, velportioni cylindricæ, cuius basisest sectio prædicti coni, vel portionis conicæ.

Esto hemisphærium,vel hemisphæroides ABC, cuius axis BD, basis circulus,vel ellipsis,cuius diameter AC. Et solido ABC circumscriptus cylindrus, vel portio cylindrica, cuius bases oppositæerunt circuli, vel similes ellipses, quarum diametri eiusdemrationis ADC, EF, latera opposita parallelogrammi per axem AFGC: & super basim, cuius diameter EF, circa axim BD, descriptus esto conus, vel coni portio EDF. Iam tria solida ABC, EDF, AC, secentur plano solidi ABC basi parallelo, quod secabit, & secet vnà figuras planas per axim BD tribus solidis communem, positas in eodem planoquæ sunt AF parallelogrammum, triangulum EDF, & semicirculus, vel semi ellipsis ABC: & sint sectiones rectæ GO, HN, KM: hæ igitur erunt diametri eiusdem rationis trium sectionum, scilicet circulorum, vel ellipsium sirnilium, quibus erit commune centrum L, in quo nimirum axis BD tres dictas lineas GO, HN, KM, bifariam secat. Ut igitur de solido AF diximus, sint circa axem BL, &super bases circulos, vel ellipsescirca HN, KM cylindri, vel portiones cylindricæ HP, KQ, qui vnà cum portione cylindrica, vel cylindro GF ipsa sectionefacto, erunt inter eadem plana parallela per EF, GO.
Dico trium cylindrorum, vel cylindri portionum GF, HP, KQ, reliquum ipsius GF dempto HP, ipsi KQ esse æquale. Quoniam enim cylindri, & cylindri portiones eiusdem altitudinis inter se sunt vt bases, circuli autem, & similes ellipses; inter se, vt quæ à diametris eiusdem rationis fiunt quadrata; ex Archimede, hoc est vt earum quartæ partes, quæ à semidiametris quadrata describuntur; erit vt quadratum LO ad quadratum LN, ita cylindrus, vel portio cilindrica GF ad cylindrum, vel portionem cylindricam PH: & diuidendo, vt rectangulum LNO bis vnà cum quadrato NO, ad quadratum LN, ita reliquum cylindri, vel portionis cylindricæ GF, dempto ipso PH, ad ipsum PH: sed vt quadratum LN ad quadratum LM, ita est vt supra, cylindrus, vel portio cylindrica HP ad cylindrum, vel portionem cylindricam KQ, ex æquali igitur, erit vt rectangulum LNO bis, vnà cum quadrato NO, ad quadratum LM, ita reliquum cylindri, vel portionis cylindricæ GF denpto HP, ad cylindrum, vel portionem cylindricam KQ: sed rectangulum L NO bis vnà cum quadrato NO æquale est quadrato LM; reliquum igitur cylindri, vel portionis cylindricæ GF, denpto HP, æquale erit cylindro, vel portioni cylindricæ Kque.

 Quod erat demonstrandum.

BONAVENTURA CAVALIERI

Bonaventura Cavalieri (1598-1647), allievo di Galileo, fu influenzato dalla Stereometria dolorium di  Keplero e da Galileo. Fu quest’ultimo che lo avviò ad occuparsi dei problemi del calcolo infinitesimale. Cavalieri sviluppò alcune idee che aveva discusso con Galileo sugli indivisibili ed elaborò  un metodo geometrico che ritroviamo nella sua opera, “Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota” (1635). Egli, allo stesso modo di quanto fatto da Archimede ne Il Metodo (che però non poteva conoscere per quanto già detto sull’anno di ritrovamento di questa opera), considera un’area come costituita da un numero indefinito di segmenti paralleli equidistanti e un volume come composto da un numero indefinito di aree piane parallele (i foglietti); questi elementi sono detti rispettivamente indivisibili di area e di volume (si tratta, con linguaggio moderno, di infinitesimi). Leggiamo le sue parole dalla Geometria degli indivisibili:

aprite, di grazia, gli occhi (…) e scorgete chiaramente che il continuo è divisibile in parti sempre divisibili sol perché consta d’indivisibili; imperò che se la divisione e suddivisione si ha da poter continuar sempre, bisogna necessariamente che la moltitudine delle parti sia tale che già mai non si possa superare; e sono dunque le parti infinite, altrimenti la divisione si finirebbe; e se sono infinite, bisogna che non siano quante, perché infiniti quanti compongono un quanto infinito, e noi parliamo di quanti terminati; e però gli altissimi ed ultimi, anzi primi componenti del continuo, sono indivisibili infiniti.

E ancora:

Meditando dunque un giorno sulla generazione dei solidi che sono originati da una rivoluzione intorno ad un asse e confrontando il rapporto delle figure piane generatrici con quello dei solidi generati mi meravigliavo moltissimo del fatto che le figure generate si discostassero a tal punto dalla condizione dei propri genitori da mostrare di seguire un rapporto completamente diverso dal loro. Per esempio un cilindro, che sia ottenuto insieme ad un cono della stessa base per rotazione attorno a un medesimo asse, è il triplo di esso, anche se nasce per rivoluzione da un parallelogramma doppio del triangolo che genera il cono. […]
Avendo dunque più e più volte fermato l’attenzione su tale diversità in moltissime altre figure, mentre prima, raffigurandomi ad esempio un cilindro come l’unione di parallelogrammi indefiniti per numero e il cono con stessa base e stessa altezza come l’unione di triangoli indefiniti per numero passanti tutti per l’asse, ritenevo che ottenuto il mutuo rapporto di dette figure piane dovesse subito venirne fuori anche il rapporto dei solidi da esse generate, risultando invece già chiaramente che il rapporto delle figure piane generatrici non concordava affatto con quello dei solidi generati mi sembrava si dovesse a buon diritto concludere che avrebbe perduto il tempo e la fatica e che avrebbe trebbiato inutile paglia chi si fosse messo a ricercare la misura delle figure con tale metodo.
Ma dopo aver considerato la cosa un po’ più profondamente pervenni finalmente a questa opinione e precisamente che per la nostra faccenda dovessero prendersi piani non intersecantisi tra di loro ma paralleli. In questo infatti, investigati moltissimi casi, in tutti trovai perfetta corrispondenza tanto tra il rapporto dei corpi e quello delle loro sezioni piane quanto tra il rapporto dei piani e quello delle loro linee […].
Avendo dunque considerato il cilindro e il cono suddetti secati non più per l’asse ma parallelamente alla base, trovai che hanno rapporto uguale a quello del cilindro al cono quei piani che chiamo nel libro II “tutti i piani” del cilindro a “tutti i piani” del cono, con riferimento alla base comune […]. Stimai perciò metodo ottimo per investigare la misura delle figure quello di indagare i rapporti delle linee al posto di quello dei piani e i rapporti dei piani al posto di quello dei solidi per procurarmi subito la misura delle figure stesse. La cosa, ritengo, andò come era nei miei voti, come risulterà chiaro a chi leggerà tutto
.

A Bonaventura Cavalieri è dovuto il principio che ancora oggi porta il suo nome e che è in qualche modo simile a quello sviluppato da Valerio: se due solidi, tagliati da un fascio di piani paralleli, intercettano su ciascuno di essi coppie di figure aventi uguale area, i due solidi hanno ugual volume (se invece le aree hanno fra loro un certo rapporto, anche ai volumi compete quel rapporto). Usando questo principio per fare la cubatura della scodella, invece di far vedere la uguaglianza dei due scaloidi, basta far vedere quella delle due figure (un cerchio, e una corona circolare, tratteggiate in figura) intercette rispettivamente sul cono e sulla scodella, mediante un piano arbitrario p, parallelo alle loro basi comuni.

Come ci si rende facilmente conto, questo è un passo in avanti estremamente importante. In sostanza Cavalieri considera una superficie piana come la totalità delle corde aventi una comune direzione (una tela con ordito di fili paralleli) e un solido come la totalità delle sezioni piane aventi una comune giacitura (un libro formato da molti fogli). Queste corde e queste sezioni (foglietti) sono gli indivisibili con cui si compone una figura piana o solida. 

Con il suo metodo Cavalieri trovò aree, volumi, centri di gravità che fino ad allora non si erano potuti calcolare. Si noti che il simbolo di integrale, una antica lettera S come iniziale di somma, fu introdotto da Leibniz, come vedremo, perché si trattava di sommare le omnes lineas di Cavalieri, come lo stesso Leibniz dice in una lettera ad Oldemburg del 1675.

Come esemplificazione banale consideriamo il triangolo di figura. Esso è 

tagliato in tante strisce parallele (i foglietti). L’area del triangolo è il limite a cui tende lo scaloide inscritto quando il numero n delle strisce tende ad infinito. Resta da calcolare questo limite e, per farlo, occorre conoscere la formula che dà la somma dei primi n numeri naturali.

Alcune critiche gli vennero dall’archimedeo Paolo Guldino (1577 – 1643) il quale sosteneva che il suo principio era in sé inapplicabile perché portava a conclusioni sbagliate, come credeva di mostrare in alcuni esempi. Cavalieri rispose (Exercitationes geometricae sex, Bologna, 1647) che Guldino applicava male il principio in quanto considerava i segmenti o le superfici in cui si scompone una figura non intercetti su una stessa retta o su di uno stesso piano, come deve essere, ma su rette e piani distinti anche se paralleli, inoltre gli indivisibili devono mantenere sempre lo stesso spessore. Nella risposta egli precisò meglio il suo concetto di indivisibili:  poiché un solido può pensarsi come generato dal movimento di una superficie — cosi come una linea dal moto di un punto, o una superficie da quella di un segmento retto o curvo — ogni indivisibile può essere pensato privo di spessore, purché si concepisca dotato di movimento. Il suo « flusso » produce la figura, e le estensioni possono essere valutate comparando « aggregato con aggregato », collettivamente. Questo è il punto di vista, e il linguaggio, che sarà poi adottato da Newton.

E’ da notare che Cavalieri ebbe una fitta corrispondenza con Galileo (un poco asimmetrica perché Galileo rispondeva poche volte alle continue sollecitazioni di Cavalieri; un poco comica perché Galileo ebbe a chiedere alcune volte delle mortadelle al suo corrispondente che insegnava a Bologna e le mortadelle non arrivavano, come i soldi che Galileo inviava a Cavalieri …; un poco triste in alcuni passi, là dove Cavalieri si lamenta spesso della sua professione di matematico perché non ha interlocutori e delle cose che fa nessuno è interessato).  Galileo viene informato da Cavalieri del suo metodo in una lettera del 15 dicembre 1621 (E.N., Vol.XIII, lettera n° 1515)  in cui dice:

 Attendo continoamente a’ studii di matematica, e vado dimostrando alcune propositioni d’Archimede diversamente da lui, et in particolare la quadratura della parabola, divers’ancora da quello di V. S.; e perché m’occorre un certo dubbio, quale li esporrò, desidero esserne chiarito da V. S.
Il dubbio è questo, al quale mando inanzi questa esplicatione : Se in una figura piana s’intenderà tirata una linea retta come si voglia, et in quella poi tirateli parallele tutte le linee possibili a tirarsi, chiamo queste linee così tirate tutte le linee di quella figura ; e se in una figura solida s’intenderano tirati tutt’i piani possibili a tirarsi paralleli ad un certo piano, questi piani gli chiamo tutt’i piani di quel solido. Hora vorrei sapere se tutte le linee d’un piano a tutte le linee d’un altro piano habbino proportione, perché potendosene tirare più e più sempre, pare che tutte le linee d’una data figura sieno infinite, e però fuor della diffinitione delle grandezze che hano proportione ; ma perché poi, se si aggrandisse la figura, anco le linee si fano maggiori, essendovi quelle della prima et anco quelle di più che sono nell’eccesso della figura fatta maggiore sopra la data, però pare che non sieno fuora di quella diffinitione : però desidero esser da V. S. sciolto di questo dubbio. 

Alcune altre cose le aggiunge in una successiva lettera del 22 marzo 1622 (E.N., Vol. XIII, lettera n° 1521):

… Alcune cose, come chiare, per brevità le ho tralasciate, in particolare nel bel principio, che tutte le linee di due figure piane e tutte le superficie di due figure solide habino proportione, il che parrai facile da dimostrare ; perché, multiplicando l’una delle dette figure, si multiplicano anco tutte le linee nelle piane e tutte le superficie nelle solide, sì che tutte le linee d’una figura, overo superficie, possono, cresciute, avanzare tutte le linee, o superficie, dell’altre, e così sarano ancor esse fra le grandezze eh’ hanno proportione. Come io pigli poi questo termine (tutte le linee d’una figura piana, o tutte le superficie d’un solido), lo dichiaro in esso trattato. Di gratia, mi favorisca di dirmene il suo parere, che ben può pensare che lo sto aspettando con gran desiderio …

Ma Galileo, più e più volte, gli risponde che le sue cose non gli sono chiare ed è il Cavalieri a farsene un cruccio affermando che è egli a non sapere spiegare. Alla fine, però Galileo darà pieno merito ai lavori di Cavalieri che ne sarà estremamente felice. Per quel che ora  interessa vi è un ultimo breve brano di Cavalieri in una successiva lettera (E.N., Vol. XIV, lettera n° 2087) che merita di essere citato:

… Mi piace sommamente che habbi ripigliato le speculationì del moto, materia invero degna d’un par suo e che mi da straordinariamente nell’humore, vedendo che con tal scienza e con le matematiche accoppiate insieme ci potiamo presentare alla speculatione delle cose naturali, e con gran confidenza sperarne la desiderata cognitione…

Cavalieri ebbe una importante corrispondenza anche con il suo contemporaneo Torricelli.

E’ ora utile accennare alla scoperta da parte del nostro di un teorema geometrico molto utile che, nel linguaggio di oggi, scriviamo:

(con n intero e positivo) tale formula fu ricavata indipendentemente anche da Gilles Personne Roberval (1610 – 1675) e da Pierre de Fermat che la estese ad n frazionario (e positivo).

EVANGELISTA TORRICELLI

Evangelista Torricelli (nato nel 1608 a Roma e non a Faenza – scomparso nel 1647 a Firenze) è comunemente considerato il continuatore delle ricerche di Cavalieri sugli indivisibili con la loro estensione agli “indivisibili curvi di ogni tipo” che “nelle figure piane sono le periferie dei circoli, e nelle figure solide, sono superfici sferiche, cilindriche e coniche”, sui quali anche Cavalieri aveva fatto delle cose ma limitate ai cerchi ed alle parabole. 

Dopo la morte di Galileo (8 gennaio 1642), Cavalieri scriverà a Torricelli (Discepoli di Galileo – Carteggio – 1642/1648, lettera 10 del 25 marzo 1642) che era succeduto a Galileo quale matematico della corte toscana e lettore di matematica all’Università pisana (solo matematico e non filosofo a seguito dei problemi che Galileo aveva avuto con la Chiesa  nel 1633), per rammaricarsi profondamente della perdita di un tale grande e per comunicare a Torricelli tutta la sua fiducia come soggetto tanto  inoltrato nelle mattematiche come gemma nascosta. In tale lettera Cavalieri aggiunge:

… Io sarò sempre (suo) ammiratore … (e) goderò che ella vada segnalandosi con le sue gloriose fatiche e che ella si mostri ben degno seguace delle pedate di Galileo, meraviglia degl’ingegni dei nostri tempi. E poiché mi è mancato in cotesto luogo un amico, padrone e maestro d’incomparabil valore et affetto, mi consolerò facendo conto che dalle ceneri di questa unica fenice sia risorto un augello poco da quello dissomigliante …

Gli scritti di Torricelli sono pochi e furono pubblicati, per molte negligenze, una settantina di anni dopo la sua morte nel 1715 con il titolo di Lezioni Accademiche. Le cose che si conoscevano, oltre alle innumerevoli lettere (alcune delle quali perdute), erano una opera giovanile De Motu Gravium naturaliter descentium et proiectorum (1641),  una Opera Geometrica (1644)ed un Racconto di alcuni problemi (manoscritto che circolò tra i suoi allievi prima della sua scomparsa prematura, a soli 39 anni)Con il suo metodo degli indivisibili curvilinei, unitamente a quello degli indivisibili rettilinei, Torricelli riesce a sistematizzare il calcolo, rendendolo più affidabile. ERgli si rende conto che il metodo, male applicato, può portare a risultati errati. E’ quindi egli stesso che offre esempi di applicazioni errate. Oltre a ciò egli completò alcuni risultati di Cavalieri e ne aggiunse di nuovi quali, ad esempio, la prima rettificazione di curve piane (oggi diremmo: integrali definiti) e le formule per la determinazione di alcuni baricentri. Anche se ancora non possedeva il simbolismo moderno, con il vocabolario odierno, egli riuscì a porsi i problemi degli integrali generalizzati, dell’integrale indefinito oltre a cogliere la stretta relazione esistente tra il calcolo di aree (la quadratura) e quello delle tangenti ad una data curva (da problemi cinematici). Su questa seconda questione ed in riferimento a quanto aveva fatto Galileo nello studio del moto accelerato (l’area compresa sotto il grafico della velocità in funzione del tempo forniscelo spazio percorso), egli prese in considerazione i due diagrammi dello spazio e della velocità in funzione del tempo e si rese conto che le ordinate della curva degli spazi percorsi sono proporzionali alle aree racchiuse dalla linea delle velocità, mentre le ordinate dei punti della curva della velocità sono i coefficienti angolari delle tangenti della curva degli spazi. Insomma, come lo spazio è l’integrale della velocità, così la velocità è la derivata dello spazio rispetto al tempo. Torricelli stabilisce così, attraverso la cinematica, il legame tra le operazioni di integrazione e derivazione, noto sotto il nome di teorema di Torricelli-Barrow (il matematico inglese, futuro maestro di Newton, trovò più o meno le stesse cose una ventina d’anni dopo) o teorema fondamentale del calcolo integrale o teorema di inversione. C’è poi da osservare che prendere in considerazione la relazione che lega la velocità allo spazio percorso porta allo studio dell’integrale variabile in funzione dell’estremo superiore, cioè all’introduzione delle cosiddette funzioni integrali.

Il principio su cui si basano gli indivisibili curvi è il seguente. Per confrontare due figure, intersechiamo la prima, che è racchiusa da un sistema di curve e la seconda che è racchiusa da un sistema di rette parallele: se ogni indivisibile curvo della prima figura è corrispondente ad un indivisibile rettilineo della seconda figura, cioè se ogni trapezoide infinitesimo della prima figura è equivalente al quadrangolo infinitesimo della seconda, le due figure avranno la stessa area (Cavalieri insisterà più volte con Torricelli per avere “una proposizione generale, che dimostrasse l’egualità di due figure, piane e solide, quando i loro indivisibili curvi, e diversi sono eguali”, 13 gennaio 1643). Il procedimento, detto con linguaggio odierno, corrisponde a confrontare un integrale in coordinate curvilinee con un integrale in coordinate cartesiane.

Alle richieste di Cavalieri, Torricelli risponde sottoponendogli continuamente nuove dimostrazioni, quasi che con  l’applicazione del metodo, si dimostri la bontà dei principi che lo ispirano. Il 4 aprile 43, risponde direttamente alla questione, in relazione ad un caso particolare, da lui risolto. Dice Torricelli:

Che il centro della superficie del conoide parabolico non sia l’istesso che il centro della parabola genitrice io ne ho certezza per me stesso, ma non già dimostrazione geometrica. Io so questo di sicuro che tutte quelle grandezze che, avendo comune l’asse et segate utrumque, sempre si segano nell’istessa proporzione, hanno anche comune il centro della gravità (…)

Uno delle cose più clamorose che fece Torricelli e che sbalordì Cavalieri fu il calcolo del volume di un solido iperbolico acutissimo, solido con una altezza infinita e volume per sua natura infinito, o meglio non limitato. Dice Torricelli:

nelle trattazioni scolastiche di geometria si trovano misure di figure limitate da ogni parte e (…) nessuno che io sappia ha estensione infinita. E se si propone di considerare un solido oppure una figura piana infinitamente estesa ciascuno pensa subito che una figura di questo genere debba essere di grandezza infinita. Eppure esiste un solido di grandezza infinita ma dotato di una sottigliezza tale che per quanto prolungato all’infinito non supera la mole di un piccolo cilindro. Esso è il solido generato dall’iperbola (…)

Nasce allora il teorema seguente:

Teorema
Il solido acuto iperbolico infinitamente lungo, tagliato con un piano perpendicolare all’asse, insieme con il cilindro della sua base, è uguale ad un cilindro retto la cui base sia il lato verso, ovvero l’asse dell’iperbola, e la cui altezza sia uguale al semidiametro della base del solido acuto.

e questa cosa urtava la logica dei più tanto da stimolare nuove ed importanti ricerche. Alla notizia, Cavalieri, che già aveva riconosciuto in  precedenza la superiorità del metodo torricelliano rispetto al suo, scrisse a Torricelli le cose seguenti:

Infinitamente ammirabile quel solido iperbolico infinitamente lungo, ed uguale ad un corpo quanto a tutte e tre le dimensioni finite ed avendolo io comunicato ad alcuni miei scolari filosofi, hanno confessato parergli veramente meraviglioso e stravagante che ciò possa veramente essere (…) Non so come abbi pescato nell’infinita profondità di quel solido così facilmente la sua dimensione poiché veramente a me pare infinitamente lungo (…)

Merita attenzione il fatto che Torricelli  realizzò nel 1645 la prima rettificazione di una curva, in particolare della spirale logaritmica. Egli dimostrò con il suo metodo degli indivisibili che la lunghezza totale di una spirale logaritmica a partire

dall’angolo di 0°, nel suo svolgimento a ritroso intorno al polo O è uguale alla tangente PT nel punto corrispondente ai 0°.

Ultima cosa che merita almeno una citazione è una dimostrazione di Torricelli  relativa all’arco di cicloide, generato da un punto di una circonferenza che ruota senza strisciare lungo una retta: la quadratura di tale arco è tre volte

quella del cerchio contenuto nella circonferenza stessa. A tal proposito, commenterà Cavalieri (23 aprile 1643):

Finalmente ho sentito nell’ultima sua la misura dello spazio cicloidale con molta mia meraviglia, essendo stato stimato sempre problema di molta difficoltà, che straccò già il Galileo, siccome io pure, parendomi assai difficile, lo lasciai andare; onde ella ne avrà non poca lode di questo, oltre le tante sue meravigliose invenzioni, che gli daranno eterna fama.. Non restarò poi di dirle intorno a questo che il Galileo mi scrisse una volta (E.N. Vol. XVIII, pagg. 153-154, ndr) d’avervi applicato 40 anni fa, e che non aveva potuto trovar niente, e che si era persuaso che detto spazio fosse triplo del circolo del suo genitore (…)

RENE’ DESCARTES

René Descartes, Cartesio (1596 – 1650), entra nella storia del calcolo, più per ciò che i suoi lavori hanno prodotto in altri matematici che per suoi studi in proposito. Nel 1637 (8 giugno) egli pubblicò il suo famoso trattato Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences (di quest’opera, quasi sempre, esiste in commercio solo l’introduzione, senza la parte matematica che è fondamentale per capire quella stessa introduzione). Tale Discours ebbe tre appendici che esemplificavano il metodo cartesiano, una di esse era La géométrie. E’ una tappa importante nella storia della matematica: la nascita ufficiale di quella che oggi chiamiamo Geometria Analitica e la dimostrazione del suo primato sulla geometria sintetica dei greci, anche se Cartesio vedeva la cosa diversamente da come la vediamo noi. Egli enunciava il suo programma nel modo seguente:

Tutti i problemi della geometria si possono facilmente ridurre a termini tali che  per la loro costruzione basta conoscere la lunghezza di alcune rette.

Cartesio parla quindi di costruzioni geometriche e non di riduzione della geometria all’algebra, come oggi siamo erroneamente portati a ritenere.

Nello sviluppare la sua geometria, Cartesio è convinto pregiudizialmente (sulla scia di Aristotele e di Averroè) che le curve algebriche potranno sempre essere rettificate con approssimazione. Dato lo stato avanzato della geometria che egli sviluppa, si può immaginare che solo quel pregiudizio non abbia permesso a Cartesio di rettificare una qualche curva anticipando in questo Torricelli nella sua rettificazione di una curva (la spirale logaritmica). 

E’ da notare che Cartesio sviluppa una geometria molto diversa da quella che noi utilizziamo, anche perché non usa quasi mai coordinate ortogonali. Non rintracceremo nelle sue elaborazioni dei dati metrici come la formula della distanza, delle coordinate per individuare punti, non vi è cenno all’angolo tra rette, all’inclinazione di una retta, a coordinate negative, … ma, soprattutto, non si incontra mai una curva disegnata a partire dalla sua equazione. Sembra proprio che questa geometria che non aveva alcuna utilità pratica, non lo interessasse: era una esemplificazione del suo discorso sul metodo e basta.

Cartesio fa parte dell’importantissima scuola dei matematici francesi che, per quel che riguarda la storia del calcolo, annovera  Blaise Pascal (1623 – 1662), Gilles Personne Roberval (1602 – 1675) e Gérard Desargues (1593 – 1661). Il primo, nelle sue Lettres de A. Dettonville (1658 – 1659), si occupò della cicloide e di alcune uguaglianze di archi di curve e nel Traité des sinus du quart de cercle (1658) iniziò la quadratura della funzione seno (quadratura che sembra avere influenzato Leibniz) e mostrò l’enorme importanza nello studio di una curva del triangolo differenziale o caratteristico (vedi oltre); il secondo nel suo Methodus ad disquirendam maximam et minimam. De tangentibus linearum curvarum (1638) trovò alcune quadrature e tracciò la tangente alla cicloide (ma ebbe il merito di scatenare una polemica con Torricelli su alcune priorità relative alla cicloide stessa che guastò i rapporti di Torricelli con i matematici francesi. Queste polemiche anche con altri matematici erano una costante di Roberval. Come era accaduto per la pressione atmosferica la causa prima era Mersenne che comunicava ai francesi le ricerche che si facevano in Italia con il particolare che in Francia le ripubblicavano senza citazioni di sorta), l’ultimo, il fondatore della geometria proiettiva, che scriveva il suo Brouillon project d’une atteinte aux evenemens des rencontres d’un cone avec un plan (1639) al fine di rendere utile la sua matematica (matematica applicata) particolarmente agli artigiani e che, proprio per questo, utilizzò moltissimi termini assolutamente non ortodossi che lo resero inviso a molti puristi (non si è accontentato solamente di sostituire con termini barbari quelli tramandati dai sapienti, ma ha voluto anche introdurne alcuni assolutamente ridicoli) ma non a Fermat (stimo molto M. Desargues e tanto più che è lui il solo inventore delle sue coniche. Il suo libretto che dite passa per essere scritto in gergo, mi è sembrato molto comprensibile e molto ingegnoso).

PIERRE DE FERMAT

Il problema del calcolo venne posto in modo organico dal matematico francese Pierre de Fermat (1601 – 1665) che ideò un metodo che egli chiamò delle variazioni. Questo geniale matematico (è quello del famoso Ultimo Teorema che è stato dimostrato solo recentemente  – 1993 – ed in modo parziale dal matematico inglese A. Wiles ed in modo completo – 2005 – dal matematico russo A. Ilin), che di mestiere faceva l’avvocato e che pubblicò pochissimo (molti suoi lavori furono pubblicati postumi – 1679 . da suo figlio, nel volume Varia Opera Mathematica), lasciava le sue scoperte a dei manoscritti che giravano di

mano in mano e ad una fittissima corrispondenza avuta con Padre Marsenne, Huygens e Pascal. Egli sviluppò un Metodo per trovare i massimi ed i minimi di una funzione (ideato nel 1629 e pubblicato nel 1639) in cui viene introdotto il concetto di incremento evanescente nella soluzione del problema della tangente ad una curva in un suo punto dato. Per le curva algebriche del tipo   y = xn egli, per trovarne i massimi ed i minimi (punti maxima o minima), procedeva nel modo seguente:

– trovava il valore f(x0) in un punto qualsiasi della funzione;

– confrontava tale valore con un punto f(x0+E) vicino al precedente;

– se questi valori erano molto diversi non vi era nulla da dire;

– se invece questi valori tendevano ad essere uguali, allora ci si avvicinava ad un punto di massimo o di minimo;

– quanto più vicini sono i due valori di f(x), cioè tanto più E è piccolo, tanto più quella quasi uguaglianza tende a diventare una uguaglianza.

A questo punto Fermat fece il grande passo. Egli divise la differenza tra f(x0) ed  f(x0+E) per E e quindi pose E= 0. Ed in tal modo otteneva i massimi ed i minimi della f(x). Quanto detto corrisponde esattamente a fare il seguente calcolo (anche se Fermat non possedeva il concetto di limite):

[Il primo a usare l’abbreviazione lim è Simon Lhuilier nel 1786. In seguito Weierstrass scrive Limn =  nel 1841. L’uso della freccia è proposto da J.G. Leathem nel 1905].

Fermat riuscì anche a determinare i massimi e minimi di una curva algebrica del tipo   y = f(x) mediante le sue tangenti. Se il grafico di una funzione presenta dei massimi o dei minimi, essa, in corrispondenza di quei punti, deve invertire il suo andamento (se prima era crescente deve decrescere nel caso dei maxima; se prima era decrescente deve crescere nel caso dei minima). In conseguenza di ciò la tangente in quei punti non deve né crescere né decrescere ma risultare parallela all’asse delle ascisse. Detto in altro modo: la pendenza della tangente in un extremum (maximum o minimum) della funzione in considerazione è nulla. Così, dunque, se cerchiamo gli extrema di una funzione f(x), dovremo innanzitutto risolvere il nostro problema di pendenza  per la curva particolare y = f(x); in seguito, avendo trovato la pendenza per il punto generico (x,y), dovremo porre uguale a zero l’espressione algebrica di questa pendenza per trovare i valori di x corrispondenti agli extrema. Questo è sostanzialmente ciò che fece Fermat nel suo metodo dei maxima et minima. Il metodo venne comunicato epistolarmente a vari amici e conoscenti ed in particolare a Mersenne. La prima pubblicazione a stampa del metodo si ha nel quinto volume del Supplementum Cursus Mathematici (1642) scritto dal matematico Pierre Herigone (1580 – 1643) e solo nel 1679 appare nei Varia opera mathematica di Fermat come Methodus ad disquirendam maximam et minima, seguito dal De tangentibus linearum curvarum.

Il metodo dei massimi e minimi viene usato da Fermat anche per la determinazione delle tangenti osservando che la differenza tra una curva e la sua tangente ha nel punto di tangenza un minimo (o un massimo) (vedi oltre), ma trova anche altre applicazioni. Scrive Fermat:

Il metodo non fallisce mai e può essere esteso a un gran numero di questioni molto belle; per mezzo di esso abbiamo infatti trovato il centro di gravità di figure limitate da linee curve e rette, di solidi e molte altre cose delle quali tratterò un’altra volta, se avremo il tempo […].

Trovato il tempo, Fermat, con il metodo dei massimi e minimi, trova la tangente ad una curva (il termine funzione di sarà introdotto da Leibniz; il simbolo f(x) indicante la corrispondenza con x tramite f è del 1734 e dovuto ad Eulero; la scrittura y = f(x) è del 1893 e dovuta a Peano):

Sia data per esempio la parabola BDN, di vertice D e diametro DC e il punto B su di essa, per il quale si deve condurre la retta BT, che è tangente alla parabola e interseca il diametro nel punto T […]. 

Vediamo il procedimento seguito per trovare la tangente alla parabola y = f(x) nel punto B ≡ (x0,y0) riferendoci alla figura seguente. Intanto osserviamo che, all’epoca, per

 determinare la tangente si passava attraverso la determinazione della sottotangente CT che sarà ora la nostra incognita.

Ora, un qualsiasi punto O vicino a B, con coordinate O  ≡ [x+ E,  f(x0 + E)], si potrà considerare come appartenente sia alla curva che alla tangente. Consideriamo ora la sottotangente  CT  ed i due triangoli BCT ed OIT. Usando il metodo dei massimi e minimi, Fermat prova che deve risultare     CT = 2 CD. Per far ciò egli osserva che per le proprietà della parabola (si osservi che, considerando il punto O sulla parabola anziché sulla retta, in luogo del segno = dovrebbe esserci il segno >):

CD : DI = BC2 : OI2

poiché il punto O è esterno alla parabola. Da qui, per la similitudine dei due triangoli BCT e OIT (in realtà i due triangoli sono quasi simili a seguito dell’approssimazione annunciata in quanto consideriamo O giacente sulla tangente e non sulla curva), si ha:

CD : DI = CT2 : IT2

Indicando allora con a la quantità data CD, con d la quantità incognita CT e con E la “variazione” CI, si ha:

a : (a – E) = d2 : (d – E)2

Si prosegue ora come descritto nel procedimento generale per la determinazione dei massimi e minimi: 

1) l’equazione ottenuta “adeguagliando” i due termini della disequazione, viene svolta e semplificata eliminando i termini uguali a destra e sinistra, 

2) si divide tutto per E, 

3) si eliminano i termini contenenti ancora E. In questo modo si perviene all’equazione d2 = 2 d.a, da cui d = 2 a, cioè CT = 2 CD, come si doveva dimostrare.

Scrivendo le stesse cose usando le coordinate dei punti si trova: 

cioè:

da cui si ricava l’incognita d come visto. Ciò che è però interessante in questa seconda scrittura è il fatto che, anche se non esplicitamente, abbiamo eseguito l’operazione seguente:

che sarebbe poi la derivata della f(x) calcolata nel punto x0, cioè la pendenza della retta tangente nel punto di ascissa xche si può anche denotare con f'(x0). E’ da notare che Fermat faceva la semplice sostituzione E = 0 e, come già detto, non il limite per E -> 0.  Nel caso in cui f(x) sia un polinomio i due procedimenti portano allo stesso risultato, ma in generale non sarà possibile dividere per E e poi porre E = 0. Basta che nell’equazione iniziale compaiano nelle radici perché il procedimento si complichi e divenga inservibile. Proprio annunciando il superamento del problema della manipolazione di quantità più complesse, come quelle irrazionali, Leibniz pubblicherà la sua Nova methodus, che segna l’inizio del calcolo differenziale così come oggi lo conosciamo. 

Ricordo che oggi usiamo scrivere l’equazione della retta tangente nel modo seguente:

y = f'(x0).(x – x0)  + f(x0)

come si vede, l’unico problema è quello del calcolo della pendenza di tale retta, cioè f'(x0). [Si osservi che la sottotangente è legata alla tangente dalla relazione CT = y / f'(x0)].

Ci si convince facilmente che siamo di fronte all’inizio del calcolo differenziale. Fermat, come gli altri ideatori del calcolo, si basò per le sue deduzioni sull’intuizione fisica, cinematica, dinamica e geometrica. Il problema di fronte al quale si era trovato Fermat era lo stesso con il quale si era confrontato Archimede (e che quest’ultimo aveva risolto come caso particolare e non con un metodo generale): quello, come già detto, del trovare la tangente ad una curva. Più oltre tradurremo questo problema in un problema fisico per capire l’importanza della motivazione che era alla base del grande interesse al problema di questi scienziati. 

Anche Fermat, comunque, per quanto riuscisse a fare cose di rilievo con il calcolo delle variazioni, non riuscì a risolvere il problema se non in casi particolari. 

E’ utile incidentalmente ricordare che, tra l’altro, Fermat possedeva già i fondamentali concetti della geometria analitica, prima che lo stesso Cartesio li sviluppasse (1636). Egli stabilì il principio fondamentale della geometria analitica e cioè:

Ogniqualvolta in un’equazione finale compaiono due quantità incognite si ha un luogo, l’estremità dell’una descrivendo una linea retta o curva.

Ma non pubblicò nulla e nulla si seppe fino alla sua opera postuma del 1676. E fu un vero peccato perché la geometria analitica di Fermat era molto più sistematica di quella di Cartesio: aveva grandi pregi didattici ed utilizzava coordinate ortogonali. La potenza del metodo di Fermat (anche se oggi diciamo cartesiano) sta nel partire da equazioni di qualunque grado di complessità voluto o supposto e quindi nell’interpretare geometricamente le loro proprietà algebriche ed analitiche. 

ISAAC NEWTON

Galileo, Cavalieri, Torricelli e Mengoli (1625 – 1686) furono gli ispiratori dell’opera di Isaac Barrow (1630 – 1677). Egli li citerà più volte nella sua opera Lectiones opticae ed geometricae del 1670 (mentre non citerà Fermat perché molto probabilmente non conosceva la sua opera). Barrow ritrovò  molte cose che furono di Torricelli e di Fermat che egli non poteva conoscere (al massimo le conosceva indirettamente attraverso le discussioni che le varie corrispondenze avevano creato). In particolare egli espone un suo

metodo per trovare le tangenti ad una curva, metodo che si trova nell’Appendice alla lezione decima della sua opera e che non avrebbe pubblicato se non fosse stato per le insistenze di un suo allievo ed amico, Newton. Il metodo, che prende le mosse da concezioni cinematiche alla Torricelli, si basa sul solito triangolo differenziale (o triangolo caratteristico)riportato in figura.

Al solito, P e Q sono due punti molto vicini della curva ed R è il punto di incontro delle parallele condotte alle coordinate. Anche qui si tratta di trovare la sottotangente HT a cui tende la sottocorda HC quando il punto Q si avvicina infinitamente a P (quest’ultima parte è di grande interesse perché si tratta di trovare la tangente come processo al limite di una secante). A questo punto Barrow dice:

Io ometto tutti i termini contenenti una potenza di a o di e, o un loro prodotto, giacché tali termini non hanno valore

(si tratta di quelli che oggi chiamiamo infinitesimi di ordine superiore) e cioè egli considera due quantità infinitesime invece di una sola come aveva fatto Fermat (sarebbero i dx ed i dy che poi introdurrà Leibniz e che saranno estremamente utili per la loro applicazioni anche a funzioni implicite del tipo f(x,y) = 0 ). Nonostante questo passo, unito a quello della riscoperta del teorema di inversione fatta da Torricelli, l’opera di Barrow è ancora molto ancorata alla geometria dei classici e  perciò molto pesante e difficile da capire e spiegare. Egli seppe comunque, con i suoi procedimenti geometrici faticosi, dare le regole che oggi chiameremmo della derivata di una somma, di un prodotto, di un quoziente, di una potenza, … Il fatto che Barrow segua i procedimenti geometrici e non quello che aveva illustrato nell’Appendice suddetta, su consiglio di Newton, fa pensare (ad esempio, G.  Castelnuovo) che  possedesse metodi più agili ma non si sentì di pubblicarli. Sta di fatto che Leibniz sostenne di non aver capito nulla e tratto alcunché dall’opera di Barrow, mentre affermerà di essersi ispirato a Cavalieri, al matematico fiammingo G. de Saint Vincent (1554 – 1667) dell’Opus Geometricorum (1647) ed ai matematici francesi. Sarà Newton che ne trarrà fuori tutte le potenzialità. Ma prima di passare a Newton occorre almeno accennare a John Wallis (1616-1703) che, nel 1655, pubblicò una Arithmetica infinitorum nella quale, pur senza rigore, calcolò varie

quadrature anche di irrazionali [quadrò la curva (x – x2)1/2 ] e con interessanti applicazioni geometriche. Egli è il primo matematico di rilievo della scuola britannica che aprì agli studi di suoi connazionali. E’ da notare che il simbolo di infinito  ∞ da noi oggi usato fu introdotto proprio da Wallis.

Tutti i precursori fin qui discussi in  breve avevano trattato e risolto numerosissimi problemi relativi ai tre rami che successivamente costituiranno il calcolo: il calcolo differenziale, il calcolo integrale e gli algoritmi infiniti (serie, prodotti infiniti, frazioni continue infinite, …). In generale mancò a tutti la consapevolezza profonda e generalizzata degli indissolubili legami tra i tre rami suddetti. Mancò una unificazione del concetto di limite, un carattere rigoroso che rendesse necessarie dimostrazioni continue per quanto via via si affermava. Vi era una gran mole di casi particolari risolti con metodi non del tutto generali o generalizzabili o con una generalità non dimostrata. I metodi geometrici erano sempre presenti e mescolati a quelli algebrici. Una parte rilevante di questo empirismo matematico, sarà eliminata dai lavori di Newton e Leibniz. Si possono a questo punto usare le parole di Paul Tannery (Mémoires scientifiques, Toulouse-Paris 1912 – 1943) per descrivere la situazione:

Nel momento in cui Newton e Leibniz cominciarono ad occuparsi di matematica, si può dire che un metodo infinitesimale era già stato costituito, nel senso che i principali geometri si erano abituati a maneggiare gli infinitamente piccoli (almeno quelli del primo ordine), sia come elementi di somma, sia come elementi di rapporti. Per il primo caso (quadratura), essi possedevano, nel processo di riduzione all’assurdo imitato dagli antichi, un metodo di dimostrazione rigoroso fondato implicitamente sulla nozione di limite. Per il secondo caso (problema delle tangenti), la teoria non era stata così approfondita; ma i procedimenti di calcolo avevano ricevuto, nell’un caso come nell’altro, ampi sviluppi e bastavano in realtà per la risoluzione dei problemi allora sollevati.  La cosa che creava enormi problemi era, come accennato all’inizio del lavoro, il fatto che a fronte di concetti più o meno uniformati, non vi fosse un linguaggio, un simbolismo comune. Ogni geometra aveva le sue notazioni particolari e le sue abbreviazioni, che il più delle volte riservava per sé. La risoluzione di questo problema sarà di Newton e soprattutto di Leibniz.

E’ a questo punto che s’inserisce il sostanziale contributo di Newton. Anch’egli affrontò il problema del calcolo partendo da questioni di fisica. La soluzione al problema dell'”incremento relativo della quantità di movimento”, che fornisce un metodo matematico pratico per studiare la velocità di una particella che si sposta con continuità (anche se irregolarmente), gli fornì la chiave di volta di tutto il mistero degli incrementi relativi e della loro misura. Si tratta proprio della problematica al centro di quello che conosciamo oggi come calcolo differenziale. Il calcolo integrale gli discese da un  problema simile: come si deve calcolare la distanza totale percorsa in un tempo dato da un corpuscolo la cui velocità varia continuamente, istante per istante ? Infine, considerando nel loro insieme i due problemi ai quali ho accennato, Newton fece una scoperta di capitale importanza: trovò che il calcolo differenziale e quello integrale sono mutuamente ed intimamente collegati da ciò che è oggi noto come il teorema fondamentale di questo calcolo ( o teorema di Torricelli-Barrow). Questi lavori furono probabilmente elaborati intorno al 1666 ma furono pubblicati in parte solo nel 1687, a spese dell’astronomo Halley, nell’opera Principia Mathematica Philosophiae Naturalis (ed in parte successivamente, nel 1711 e nel 1736). Riporto in ordine cronologico i lavori matematici di Newton (alcuni postumi) che sono utili come riferimento:

Principia (1687); Optics, con una appendice su cubic curves,  quadrature and rectification of curves by the use of infinite series,  method of fluxions (1704); Universal Arithmetic (1707); Analysis per Series, Fluxiones, … e Methodus Differentialis (1711); Lectiones Opticae (1729); Method of Fluxions and infinite series, noto come Newton’s manuscript on fluxions (1736); Geometrica Analytica (1779). Oltre a queste opere pubblicate vi sono molte lettere in cui Newton parla del Calcolo e tra queste vanno ricordate quelle che Newton indirizzò ad Oldenburg perché le passasse a Leibniz.

Seguiamo con qualche dettaglio l’evoluzione dei lavori matematici di Newton.

Intanto occorre sottolineare che Newton fa grande uso degli sviluppi in serie di funzioni che egli fa estendendo il suo sviluppo del binomio (a + b)n, che da lui prende il nome (occorre dire che Newton non offre la dimostrazione dello sviluppo, dimostrazione che si avrà solo nel 1826 ad opera di Abel), a funzioni. Lo sviluppo del binomio di Newton è (nel caso semplice di b = 1), lo ricordo: 

che si scrive, nel caso più generale ed avendo introdotto i coefficienti binomiali (simbolismo introdotto da Eulero nel 1765 con la sola differenza di parentesi quadre anziché tonde) e la sommatoria Σ (simbolo introdotto da Eulero nel 1755):

Con lo sviluppo del binomio ora ricordato, Newton sviluppa in serie varie funzioni anche nel caso in cui l’esponente n è frazionario o negativo (nel qual caso la serie diventa infinita). Lo sviluppo in serie permette l’integrazione di molte funzioni anche se non direttamente. Le serie di potenze, riguardate come estensioni di polinomi, davano il modo di rappresentare e calcolare nuove funzioni all’epoca non considerate nell’analisi, come ad esempio la funzione logaritmo che lo scozzese John Napier (1550 – 1617) aveva in pratica definito (1614), con linguaggio odierno:

A partire dalla formula già nota che forniva:

Nicolò Mercatore, integrando termine a termine (uso il linguaggio di oggi), aveva

 ottenuto (Logarithmotechnia, 1668):

con la sua serie binomiale Newton potenzia la possibilità di integrazione delle più svariate funzioni come ad esempio l’arcoseno, l’arcotangente, … e realizzando l’inversione di alcune serie ottiene lo sviluppo delle funzioni inverse (ad esempio passando da   y = arcsen x ad x = sen y), come la serie esponenziale (così chiamata da Eulero), quella che ci fornisce il seno, il coseno, … Tra l’altro, Newton ritrovò la formula fornita da Mertatore a partire dallo studio dell’iperbole traslata:

(1 + x).y = 1

Supponiamo, ad esempio, di avere la funzione   (1+x2-1/2 e di non saperla integrare. Sviluppandola in serie, mediante il binomio di Newton, otteniamo:

diventa così agevole integrarla termine a termine. Con una difficoltà per Newton che non possedeva un criterio di convergenza per le serie. Egli deve indagare caso per caso se il resto della serie convergeva più o meno rapidamente per poter fornire il risultato definito della quadratura. La cosa stimolò approfonditi studi sulle serie che iniziarono con i quasi contemporanei di Newton, Brook Taylor (1685 – 1731) e Colin Maclaurin (1698 – 1746).

Nello stesso periodo (1665) Newton iniziò a concentrare la sua attenzione sulle flussioni, cioè sulla velocità con cui variano alcune grandezze che possono variare con continuità (fluenti) come aree, volumi, distanze, … e, fatto di grande interesse, collegò in un metodo proprio sviluppi in serie e flussioni.

Nel suo De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitorum (del 1699 ma pubblicato nel 1711) mostra che se l’area sottesa da una curva è data dall’espressione a.xm , con m intero o frazionario, allora la velocità di variazione dell’area al variare di x è data da  m.a.xm-1 e che questo è il valore dell’ordinata della curva in corrispondenza dell’ascissa x. Seguiamo il calcolo riferendoci alla figura seguente ed usando le notazioni 

dello stesso Newton. Sia dato sulla curva,  y = a.xm, un punto C ≡ (x,y). Diamo ora ad  un incremento piccolissimo denotato con  “o“. Passando l’ascissa da x ad  x + o, si ha che l’area ABCD (che vale z) subisce un incremento di circa  oy. 

Nel tempo in cui la quantità x fluendo diventa x + o la quantità xm diventa (x + o)m; si ha allora l’uguaglianza:

z + oy = a.(x + o)m

e questa approssimazione è tanto migliore quanto più piccolo risulti “o“. Utilizzando il metodo delle serie infinite (cioè secondo lo sviluppo del binomio di Newton) si ha:

da cui, dividendo per l’infinitesimo o, si ha:

ponendo infine o = 0 (Newton usa l’espressione facendo svanire o) si ha il risultato cercato:

ed è evidente che qui Newton era effettivamente molto vicino al concetto di limite; la principale obiezione riguardava l’uso del termine “svanire”. 

All’inverso, se quadriamo (integriamo)  m.a.xm-1 (e se questa espressione è la derivata di a.xm ) otteniamo a.xm , avendo dimostrato che, almeno in questo caso, derivare ed integrare sono operazioni inverse. Da notare che l’integrazione è, contrariamente a quelle che si erano succedute fino qui, indefinita (anche se Newton non si preoccupa, almeno per ora, delle costanti additive; sembra che la cosa risulti sottintesa in lavori successivi). Il De analysi fu fatto circolare fra gli amici, tra cui John Collins (1624 – 1683), che era stato anche il destinatario di una importante lettera sull’argomento del 1672 in cui annunciava la scoperta del calcolo, e Isaac Barrow, e lo sviluppo della serie infinita binomiale fu comunicato per lettera a Henry Oldenburg (1615 – 1677), segretario della Royal Society, ed a Leibniz; ma Newton non fece nulla per pubblicare i suoi risultati, anche se sapeva che James Gregory  (1638 – 1675) e Nicolò Mercatore (1620 – 1687) nel 1668 avevano divulgato le loro ricerche sugli sviluppi in serie. E quello visto, come afferma Boyer, è il primo esempio nella storia della matematica di un’area trovata mediante l’inverso di quella che chiamiamo differenziazione (tale possibilità era però nota). 

Ma la prima esposizione del calcolo (non ancora il Metodo delle flussioni) dovuta a Newton fu pubblicata  nei Philosophiae naturalis principia mathematica del 1687 (nel seguito mi riferirò all’edizione italiana: Newton – Principi matematici di filosofia naturale – UTET, Torino 1965) anche se, ancora, vi sono ampie parti dell’opera in cui si utilizza un

 linguaggio geometrico espresso in forma sintetica, forse perché l’intenzione principale di Newton era quella di farsi capire da un maggior numero di persone (certamente più familiarizzate con la geometria che non con il nascente calcolo). Il calcolo compare nella sezione I del Libro I intitolata: “Metodo delle prime e delle ultime ragioni, col cui aiuto si dimostrano le cose che seguono“. Questa espressione ormai obsoleta, oggi suonerebbe così: “Metodo del limiti, col cui aiuto …“. E proprio il Lemma I dà il via alle applicazioni del calcolo:

LEMMA I.

Le quantità, come anche i rapporti fra quantità, che costantemente tendono all’eguaglianza in un qualsiasi tempo finito, e prima detta fine di quel tempo si accostano l’una all’altra più di una qualsiasi differenza data, divengono infine uguali.
Se si nega questo, da ultimo saranno disuguali, e D sarà la loro differenza ultima. Di conseguenza non potranno accostarsi all’uguaglianza più della differenza data D. Ciò che è contro l’ipotesi.

Seguono subito vari lemmi in cui si approssimano curve con scaloidi inscritti e circoscritti fino al VI in cui si inizia a porre il problema della tangente

LEMMA VI.

Se un arco qualsiasi ACB di posizione data è sotteso dalla corda AB e in un qualunque punto A, al mezzo di una curvatura continua, viene toccato dalla retta AD, prolungata da entrambe le parti, e se i punti A e B si accostano fra loro fino a congiungersi, dico che l’angolo BAD, contenuto fra la corda e la tangente, verrà diminuito all’infinito e da ultimo diventerà evanescente.

ed al VII in cui si dice

LEMMA VII.

Ferme restando le medesime cose, dico che l’ultima ragione fra l’arco, la corda e la tangente è, scambievolmente, una ragione dì uguaglianza.

E così procede Newton con un intero capitolo che è una sorta di premessa di carattere matematico ad un’opera che si occupa di Fisica. E la cosa viene motivata nello Scolio che conclude la prima sezione:

    Le cose che sono state dimostrate circa le linee curve e le superfici, in esse comprese, si applicano facilmente anche alle superfici curve e ai volumi dei solidi. In verità ho premesso questi lemmi per sfuggire alla noia di dedurre, secondo l’usanza dei vecchi geometri, lunghe dimostrazioni per assurdo. Col metodo degli indivisibili le dimostrazioni sono rese più brevi. Ma poiché l’ipotesi degli indivisibili è ardua, e poiché quel metodo è stimato meno geometrico, ho preferito ridurre le dimostrazioni delle cose seguenti alle prime e ultime somme e ragioni di quantità evanescenti e nascenti, ossia ai limiti delle somme e ragioni, e premettere, perciò, il più brevemente possibile, le dimostrazioni di quei limiti. Questo stesso, infatti, viene fatto anche col metodo degli indivisibili; ed essendo stati dimostrati i princìpi, li possiamo già usare in modo più sicuro. Perciò, se nel séguito mi capiterà di considerare le quantità come costituite da particelle determinate, o mi capiterà di prendere segmenti curvilinei come retti, vorrò significare non particelle indivisibili ma divisibili evanescenti, non somme e ragioni di parti determinate, ma sempre limiti di somme e ragioni; e la forza di tali dimostrazioni si richiamerà sempre al metodo dei lemmi precedenti.
    Si obietta che non esiste l’ultimo rapporto di quantità evanescenti, in quanto esso, prima che le quantità siano svanite non è l’ultimo, e allorché sono svanite non c’è affatto. Ma con lo stesso ragionamento si può giustamente sostenere che non esiste la velocità ultima di un corpo che giunga in un certo luogo, dove il moto finisce. La velocità, infatti, prima che un corpo giunga nel luogo non è l’ultima, e quando vi giunge non c’è. La risposta è facile: per velocità ultima si intende quella con la quale il corpo si muove, non prima di giungere al luogo ultimo nel quale il moto cessa, né dopo, ma proprio nel momento in cui vi giunge: ossia, quella stessa velocità con la quale il corpo giunge al luogo ultimo e con la quale il moto cessa. Similmente, per ultime ragioni delle quantità evanescenti si deve intendere il rapporto delle quantità non prima di diventare nulle e non dopo, ma quello col quale si annullano. Parimenti, anche la prima ragione delle quantità nascenti è il rapporto col quale nascono. E la prima e ultima somma è quella con cui iniziano e cessano di essere (ossia di essere aumentate o di essere diminuite). Esiste un limite che la velocità alla fine del moto può raggiungere ma non superare. Questa è l’ultima velocità. E un identico limite è il rapporto di tutte le quantità e proporzioni incipienti ed evanescenti. E poiché questo limite è certo e definito, il problema di determinarlo è veramente geometrico. In quanto, tutto ciò che è geometrico può essere assunto legittimamente per determinare e dimostrare gli altri problemi geometrici.
    Si può anche obiettare che se vengono date le ultime ragioni delle quantità evanescenti, saranno date anche le ultime grandezze, e in tal modo ogni quantità sarà costituita da indivisibili, contro quanto Euclide dimostrò circa gli incommensurabili nel decimo libro degli Elementi. Questa obiezione, però, si basa su una falsa ipotesi. Le ultime ragioni con cui quelle quantità si annullano non sono in realtà le ragioni delle ultime quantità, ma i limiti ai quali le ragioni delle quantità decrescenti si avvicinano sempre, illimitatamente, e ai quali si possono avvicinare per più di qualunque differenza data, e che, però, non possono mai superare, né toccare prima che le quantità siano diminuite all’infinito.. La cosa si capisce più chiaramente nell’infinitamente grande. Se due quantità, delle quali è data la differenza, vengono aumentate all’infinito, sarà data la loro ultima ragione, soprattutto la ragione di eguaglianza, e, tuttavia, non saranno date le quantità ultime o massime delle quali questa è la ragione. Nel séguito, dunque, allorché per essere capito facilmente, menzionerò le quantità minime o evanescenti o ultime, non bisognerà supporre che si tratti di quantità di determinata grandezza, ma bisognerà pensare sempre a quantità che diminuiscono illimitatamente.

La citazione è lunghissima e l’ho riportata perché descrive benissimo i problemi che si ponevano in relazione aglio infinitesimi e fornisce le motivazioni cinematiche che spingono Newton a servirsi del calcolo. Sembrerebbe comunque che tutto debba andare avanti con il calcolo. Non è così e già nella Sezione II si utilizzano dimostrazioni di puro carattere 

geometrico: il poligono vede i suoi lati che sempre più si accorciano, fino a passare da una spezzata ad una curva continua (in questo caso si discute di forze centripete: un corpo riceve in A, B, C, D, E, ed F degli impulsi centripeti che gli fanno cambiare direzione. Facendo aumentare il numero di impulsi il poligono acquista più lati fino a diventare una curva continua. Il rapporto tra la forza centripeta costante e la quantità di moto, ad esempio in B, è il rapporto ultimo BV/AB per il poligono che tende a diventare una curva continua. E si ritorna qui al metodo degli indivisibili. 

Newton passa di nuovo a fornire dettagli del suo metodo di calcolo nel Libro II, Lemma II, in un modo oscuro che richiede una vera e propria traduzione. Dice Newton:

LEMMA II.

Il momento di una quantità generata è uguale ai momenti [leggi: somma dei momenti, ndr] dei singoli lati che la generano moltiplicati ogni volta per gli esponenti delle potenze dei medesimi lati e per i coefficienti.

le cui parole, in traduzione, vogliono dire:

– quantità generata = termine,

– momento di una quantità generata = incremento infinitamente piccolo.

Ed in definitiva Newton sta enunciando le regole della differenziazione di un prodotto, di una potenza, di un reciproco, …

Ciò che abbiamo ora visto è un esempio clamoroso di quanto fosse oscuro il modo con cui Newton presentava il suo calcolo infinitesimale. Pochissimi matematici lo capivano e quindi pochissimi erano in grado di prendere le mosse dal suo metodo per fare dei progressi nell’ambito del calcolo medesimo. Dice Newton nel De analysi per aequationes numero terminorum infinitas che fu scritta intorno al 1671 quindi quasi in contemporanea con i Principia:

Qualsiasi cosa l’analisi comune esegua per mezzo di equazioni con un numero finito di termini (purché lo si possa fare) questo metodo può sempre esguire la stessa cosa per mezzo di equazioni infinite. Così non ho esitato di dare ad esso lo stesso nome di analisi. Infatti i ragionamenti usati in questa analisi non sono meno certi di quelli usati nell’altra (l’algebra, ndr), e le sue equazioni non sono meno esatte; sebbene noi mortali, con le nostre capacità di ragionamento molto limitate, non possiamo né esprimere né concepire tutti i termini di queste equazioni in modo da sapere esattamente in base ad essi le quantità che desideriamo …

Il metodo delle flussioni è quindi un metodo generale per trovare il tasso di variazione istantaneo di una variabile rispetto ad un’altra e l’area sottesa da una curva, invertendo questo stesso procedimento e si serve dello sviluppo in serie infinite.

In questo metodo, le fluenti rappresentano le grandezze generate e le flussioni le velocità con cui esse vengono formate. Newton osservò che, considerando intervalli di tempo uguali, ma piccoli quanto si vuole, le flussioni diventano proporzionali agli accrescimenti corrispondenti delle fluenti. Basandosi sulla considerazione del limite del rapporto di due quantità evanescenti, insegnò a determinare le flussioni, conosciute che siano le fluenti e questa parte del suo metodo corrisponde al nostro calcolo differenziale. Anche dalla terminologia scelta è chiaro come Newton si fosse avvicinato a tali questioni dalla parte che più lo interessava, ossia il moto, la velocità istantanea, le traiettorie, le variazioni di velocità e accelerazione, che poi sono i fondamentali problemi di cinematica.

Nel De Analysi, ancora non era stato definito un simbolismo. La cosa sarà fatta negli altri scritti di Newton.  Egli tornò sul metodo delle flussioni nella seconda parte dell’Appendice all’Optics ma l’enunciazione completa del metodo non si avrà fino alla pubblicazione del Newton’s manuscript on fluxions  nel 1736.  Le quantità fluenti saranno indicate con x ed y mentre p e q rappresenteranno le flussioni o velocità di variazione. In seguito sostituì p e q con:

e le fluenti con

‘x, ‘y

Il simbolismo si prestava ad essere iterativo, infatti, per rappresentare una flussione di una flussione si aveva:

ed una fluente di una fluente:

”x, ”y.

Come già visto, l’incremento infinitesimo della fluente x nell’intervallo di tempo piccolissimo misurato da “o” era chiamato il momento del fluente (prodotto dell’incremento di tempo per la relativa flussione) ed indicato con

(tale grandezza fu indicata da Leibniz, in uno scritto del 1684, con dx ed a Leibniz è anche dovuto il termine funzione).

A ciò Newton aggiunse molte altre regole come, ad esempio: che è possibile trascurare ogni potenza intera e positiva di “o” ed ogni termine che fosse moltiplicato per una tale potenza; che è sempre possibile trovare una equazione che leghi tra loro coordinate del punto su una curva e le loro flussioni. E questo è uno dei punti fondamentali del calcolo. Esso dice in pratica che l’ effetto prodotto da varie cause su un sistema, se possiamo studiare separatamente l’effetto prodotto da ogni singola causa (agente in un tempo piccolissimo), è la somma degli effetti considerati separatamente (nello stesso tempo). Egli assumerà inoltre che tutte le grandezze geometriche debbono essere concepite come generate da un movimento continuo; così una linea può essere intesa come generata da un punto in movimento, una superficie dal moto di una linea, un solido da quello di una superficie, una angolo piano dalla rotazione di una linea e così via. Le grandezze così originate sono i fluenti (che rappresentano una delle prime definizioni di funzione continua). Nascono allora due tipi di problemi: dati i fluenti, trovare la relazione che fornisce la loro flussione (cioè: trovare la flussione di una data grandezza), e questo problema va oggi sotto il nome di differenziazione; data invece la flussione (o alcune sue relazioni) determinare il fluente, e questo problema di quadratura va oggi sotto il nome di integrazione. Tali risultati sono applicati da Newton ad applicazioni geometriche del metodo delle flussioni, alla ricerca dei massimi e dei minimi, alla ricerca dei flessi, al tracciare le tangenti ad una curva, alla determinazione del centro di curvatura di una curva, per trovare il raggio di curvatura, … per quadrare superfici, rettificare curve e, addirittura, per integrare equazioni differenziali anche del secondo ordine, come fa nei Principia (anche se in questa sua opera fondamentale egli non userà mai il metodo delle flussioni). Per cercare i massimi e minimi egli studia il cambiamento di segno della differenza di due valori consecutivi della funzione: una funzione che ha un massimo non può avere ulteriori incrementi, quando ha un minimo non può avere ulteriori decrementi, così che la flussione in corrispondenza di un massimo o minimo deve essere nulla.

Resta solo da osservare che queste elaborazioni di Newton anticiparono di circa 10 anni quelle di Leibniz che avvennero in modo assolutamente indipendente. I due si scrissero (in latino)  per un certo periodo (1676 – 1677) attraverso il segretario della Royal Society, Oldenburg. E ciascuno comunicava all’altro a che punto era. Occorre osservare che, mentre Newton parlava in modo criptico (addirittura usava dei complicatissimi anagrammi dove i numeri indicano quante volte compaiono nella frase le lettere scritte di seguito, come fece nella seconda lettera a Leibniz attraverso Oldenburg: il fondamento del proprio metodo era 6a cc d ae 13e ff 7i 3l 9n 4o 4q rr 4s 8t 12v x, che vuol dire, in traduzione italiana: da una equazione contenente fluenti per trovare flussioni, e viceversa con queste aggiunte 5accd ae 10eflh 11i  4l 3m 9n 60qqr  8s 11t 9v 3x: 11ab 3cdd 10e ae g 10i 11 4m 7n 6y 3p 3q 6r 5s 11t 8vx, 3ac ae 4egh 5i 4lf 4m 5n 8oq 4r 3s 6t 4v, aad ae 5eiiimmnnooprrr 5sttvv, che, in traduzione italiana, vuol dire: un metodo  consiste nell’estrarre una quantità fluente da una equazione nella quale appare simultaneamente la sua flussione; un altro assumendo una serie per qualunque quantità, dalla quale il resto potrebbe essere convenientemente derivato, e considerando i termini omogenei dell’equazione risultante per chiarire i termini della supposta serie. Si deve tenere inoltre conto che questa lettera arrivò a Leibniz con oltre 6 mesi di ritardo e per di più con alcune lettere del secondo anagramma spostate nella trascrizione della lettera recapitatagli), Leibniz tentava di decifrarlo parlando chiaro. Nella lettera che chiudeva la corrispondenza tra i due, Leibniz affermava: “Penso che ciò che Newton ha voluto nascondere del suo metodo per tracciare le tangenti non discordi da quanto ho detto sopra“. Castelnuovo osserva che come matematico Newton primeggiava su Leibniz ma che Leibniz aveva una enorme comunicativa e voglia di spiegare che mancavano completamente a Newton. E’ noto che la priorità di pubblicazione dei metodi del calcolo è di Leibniz (che la fece nella rivista Acta Eruditorum nel 1684), ma il sistema della corrispondenza che, all’epoca, era il vero veicolo motore delle informazioni scientifiche tra scienziati (le Accademie Scientifiche stavano nascendo ma erano agli inizi, le riviste scientifiche avevano periodicità lunghe, …) funzionava a pieno ritmo e le cose che Newton faceva erano molto note negli ambienti scientifici anche se non erano state formalizzate in una pubblicazione. A questo si deve aggiungere che le fonti dei due matematici erano le stesse ed i tempi erano maturi per una elaborazione simultanea. Questa vicenda vide una furibonda polemica tra i seguaci di Newton ed i seguaci di Leibniz sulla priorità nella creazione del calcolo (si possono leggere tutti i documenti in proposito in La disputa Leibniz-Newton sull’analisi, Boringhieri, Torino 1958). A seguito di ciò, mentre nella prima edizione dei Principia Newton ammetteva che Leibniz possedeva un metodo simile, nella terza edizione del 1726, in seguito all’aspra polemica in corso, Newton eliminò il riferimento al calcolo di Leibniz. Sembra paradossale ma la Gran Bretagna pagò duramente la controversia con un ritardo importante nello sviluppo della matematica (le scuole di matematica continentali, che ebeero rappresentanti come de l’Hôpital, Bernouilli, Eulero, Gauss, Lagrange, Cauchy, … scelsero le notazioni di Leibniz, molto più agili e su quelle si costruirono i passi successivi). Tale controversia terminò ufficialmente nel 1813, con la nascita a Londra della Analytical Society.

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ

Quando Leibniz iniziò a lavorare in matematica, intorno al 1670, la via degli sviluppi in serie per lo studio di curve anche complesse era quella che sembrava offrire i maggiori sbocchi. Come Newton, anche Leibniz concentrò i suoi primi studi matematici sullo sviluppo in serie infinite. Con tali serie risolse alcuni problemi (somma dei reciproci dei numeri triangolari, triangolo armonico, …), il primo dei quali gli era stato proposto da Huygens, e prese familiarità con esse. Il suo interesse si spostò quindi alla cicloide ed ai lavori di Pascal in proposito. In occasione della lettura (1673) dell’opera matematica di Pascal (Traité des sinus du quart de cercle), lo stesso Leibniz ci racconta che ebbe una sorta di folgorazione. Egli si rese conto che: 

1) per determinare la tangente ad una curva occorre considerare le differenze delle ordinate e delle ascisse quando tali differenze diventano infinitamente piccole e che 

2) per determinare una quadratura occorreva considerare dei rettangoli infinitamente piccoli sottesi alla curva medesima, tutti da sommare (summa omnes) ed infine che

3) le due operazioni sono correlate in modo che l’una risulta l’inverso dell’altra.

L’ispirazione sembra gli sia venuta dal riflettere sul confronto dei triangoli caratteristici, quello proposto di Barrow (vedi all’inizio del paragrafo dedicato a Newton) e quello proposto da Pascal (figura seguente).

Tre anni dopo, nel 1676, Leibniz fa sapere con una lettera al segretario della Royal Society di Londra, Oldenburg, di essere in possesso di un metodo per trovare le radici delle equazioni e le aree delle figure mediante serie infinite che differisce completamente da quello di Newton. 

Leibniz si era già reso conto che una delle difficoltà del calcolo era il simbolismo che differiva continuamente. Egli, a partire dal 1675, iniziò una fecondissima opera che tendeva a fornire l’analisi di tale simbolismo. Per indicare le quadrature era usata l’espressione summa omnes (per indicare la somma di tutti i rettangolini in cui si suddivideva una data figura). Tale espressione veniva abbreviata in omn e si premetteva all’ordinata di una curva. Leibniz pensò bene di utilizzare per la parola somma la sua iniziale, una S che, all’epoca, si scriveva  ∫ . Con tale notazione, quanto detto diventa: ∫ y. Ma questo modo di scrivere non rappresentava la somma di aree ma solo di ordinate. Tale ordinata generica andava moltiplicata per la sua base infinitesima (che Leibnix indicò con dx), comune a tutti i rettangolini, al fine proprio di avere l’area del rettangolino generico. In tal modo la notazione diventava ∫ y.dx.  E’ questo il simbolismo che oggi si usa universalmente e che va sotto il nome di integrale. Restava il problema della distinzione tra integrale definito ed indefinito. In questo periodo, tutti gli integrali erano considerati definiti, benché non ci fosse una speciale notazione per i limiti; così la notazione  ∫ y.dx  rappresentava ciò che ora sarebbe scritto come:

Leibniz sapeva bene che una tale operazione abbassa il grado di una data funzione, pertanto, nel realizzare l’operazione inversa divideva per una d. Cioè: se risulta ∫ y = x;      l’operazione inversa ci deve fornire y = x/d. Più avanti nel tempo trasformò definitivamente quell’ x/d  in  dx (più tardi, nel 1680, dirà: queste dx e dy si prenderanno come infinitamente piccole, o si deve intendere che i due punti della curva sono separati da una distanza minore di qualunque lunghezza data e nel 1686, dopo che si era accorto che altri matematici superficialmente facevano a meno di scrivere il dx, affermerà: raccomando di non omettere dx … errore frequentemente commesso e che impedisce di andare più oltre). E’ da notare che, quando realizzava queste cose, Leibniz già aveva le idee chiare su alcune regole del calcolo. Egli, ad esempio, poneva i fattori costanti fuori del segno di integrale e trasformava la somma di integrali di differenti funzioni in integrale della somma delle funzioni, … Osservo a parte che  è dovuta allo stesso Leibniz la definizione di funzione (1694): Si dice che y è funzione di x quando a certi valori di x, corrispondono valori determinati di y.

E’ molto importante notare che l’agilità di tale simbolismo, facilitò lo stesso Leibniz ad elaborazioni successive permettendo quasi di astrarsi dai singoli problemi per considerare il calcolo come un metodo generale che prescindeva dalle funzioni in gioco. Anche sull’assegnare i nomi alle singole operazioni fu fondamentale l’opera di Leibniz. Egli chiamò calculus differentialis quello che permetteva di trovare le tangenti, chiamò poi calculus summatorius o calculus integralis (l’aggettivo integrale fu suggerito da Jacques Bernouilli nel 1690 ed accettato da Leibniz)quello che realizzava le quadrature (il calcolo di aree o volumi). 

Come accennato, Leibniz pubblicò il suo calcolo infinitesimale nel 1684, negli Acta Eruditorum, con il titolo Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, qua nec irrationales quantitates moratur. Tale lavoro è l’esposizione completa della

 teoria e con alcuni esempi, in sole 8 pagine,  del calcolo di Leibniz. Scrive Leibniz:

Sia a una quantità data costante, sarà 

da = 0 

dax = adx.

Se abbiamo 

y = v

(…) sarà 

dy = dv.

E passa subito a fornire le regole del calcolo:

Addizione e sottrazione:

se si ha 

z – y + w + x = v 

sarà 

d(z – y + w + x) =  dv = dz – dy + dw + dx.

Moltiplicazione:

dxv = xdv + vdx

ovvero, posto y = xv, sarà 

dy = xdv + vdx.

Divisione:

ponendo z = v/y si ha

   .

Quanto a[ll’uso corretto de]i segni è da notarsi  questo: quando nel calcolo, viene sostituito alla lettera semplicemente il suo differenziale, si devono conservare gli stessi segni, e scrivere + dz in luogo di + z e – dz, in luogo di – z, come appare dall’addizione e dalla sottrazione esposta poco prima. (In riferimento ad una curva che Leibniz ci presenta, egli discute qui le sue convessità, concavità e flessi).

Potenza:

Ad esempio:

  dx3 = 3x2dx

Ad esempio, se risulta

sarà 

Radice:

(…)

Sarebbe bastata la regola della potenza numerica intera per determinare i differenziali tanto delle frazioni come delle radici; la potenza infatti diviene una frazione quando l’esponente è negativo, e si muta in radice quando l’esponente è frazionario: ma ho preferito dedurre io stesso queste conseguenze piuttosto che lasciarle ad altri da dedurre, dal momento che sono assai generali e s’incontrano spesso, e in un argomento per sé stesso complesso è preferibile pensare alla facilità.

Dalla conoscenza di questo Algoritmo, così lo chiamo, o di questo calcolo, che chiamo differenziale, si possono ottenere tutte le altre equazioni differenziali per mezzo dell’algebra comune, così anche i massimi ed i minimi, così come le tangenti, , in modo tale che non risulta necessario considerare a parte le frazioni o gli irrazionali o altri vincoli, come era necessario fare con i Metodi pubblicati fino ad ora.

Ed anche per Leibniz, come precedentemente per Newton, gli infinitesimi di ordine superiore (dx.dx, dx.dy, ….) andavano trascurati. 

Il calcolo differenziale, qui esposto nel 1684, verrà completato due anni dopo, sempre negli Acta Eruditorum, con un nuovo articolo dal titolo De geometria recondita et Analysi indivisibilium atque infinitorum, Addenda his quae dicta sunt in Actis a. 1684, Maji, p. 233; Oct. pag. 264; Decemb. p. 585. Ora Leibniz tratta del calcolo integrale, ricavato come operazione inversa a quella che forniva le tangenti, il calcolo differenziale (questa relazione inversa è argomento del teorema fondamentale del calcolo infinitesimale). Dice Leibniz:

Il metodo di investigare Quadrature indefinite (…) è per me solo un caso particolare (e, certamente, il più facile) di un problema molto più grande, che chiamo metodo inverso delle tangenti, dentro il quale è contenuta la maggior parte di tutta la geometria trascendente  (…)

geometria che risultava esclusa dal metodo di Cartesio. E Leibniz passa ad esemplificare la potenza del suo metodo, facendo vedere che quanto prima si otteneva in modo laborioso, ora risulta molto più semplice (offro qui una approssimazione al tema, la cui utilità è evidente). Sia data la curva di figura che ci presenta Leibniz, nella quale compare il triangolo caratteristico o differenziale:

Sia “x” l’ordinata, “y” l’ascissa, e sia “p” l’intervallo tra la perpendicolare e l’ordinata. Con il mio metodo si vede subito che risulta:

pdy = xdx,

trasformata questa equazione differenziale in una somma, si otterrà:

Da ciò che esposi nel metodo delle tangenti, è evidente che  d(1/2)x2 = xdx; pertanto la reciproca è

(così come le potenze e le radici nei calcoli comuni, le somme e le differenze o ” ∫ ” e “d” sono reciproche). Otteniamo, come conseguenza

che era ciò che volevamo dimostrare.

Senza dilungarmi troppo, ricordo che a Leibniz è dovuto il differenziale della lunghezza di una curva piana:

ed il volume di un solido di rivoluzione intorno ad un asse  

(se l’asse è l’asse x). Egli introdusse e studiò anche i differenziali parziali, l’integrale multiplo, le equazioni differenziali a variabili separabili, le equazioni differenziali omogenee e la soluzione delle equazioni differenziali del primo ordine.

E’ certo che la struttura del calcolo di Leibniz era molto carente, soprattutto se confrontata con le elaborazioni successive dei Bernouilli, degli Eulero (1707 – 1783), dei Lagrange (1736 – 1813), dei Cauchy (1789 – 1857), ma è altrettanto vero che, le cose che egli scrive sono, per noi, una boccata di freschezza in una matematica che si stava incartando su se stessa. E’ comunque da osservare che ci vorranno circa 100 anni per conquistare il rigore in matematica: esso si può datare con le Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal di Lazare Carnot e la Théorie des fonctions analytiques di Lagrange ambedue del 1797. A Lagrange è anche dovuta la raccolta di alcune lezioni di analisi matematica (1795) per gli studenti dell’École Normale che ebbero un grandissimo successo e furono subito importate dagli Stati Uniti d’America (Lectures on Elementary Mathematics). Fu la Rivoluzione Francese ad obbligare i professori universitari a scrivere il contenuto delle loro lezioni e la cosa fu e resta di enorme importanza. La completa sistemazione dell’analisi, all’incirca di come la conosciamo oggi fu invece dovuta a Cauchy (con  successivi contributi di Weierstrass), anch’egli docente all’École Normale, che per questo stesso fatto, scrisse tre fondamentali trattati di Analisi: Cours d’analyse de l’École Polytechnique (1821), Resumé des leçons sur le calcul infinitesimal (1823), Leçons sur le calcul différentiel (1829). In queste opere vi è la caratteristica saliente del rifiuto del metodo analitico di Lagrange, interamente basato sullo sviluppo in serie di Taylor, e l’accettazione del metodo indicato da D’Alembert basato sul concetto di limite definito nel modo seguente:

Quando i valori successivi attribuiti ad una variabile si avvicinano indefinitamente ad un valore fissato così che finiscono con il differire da questo per una differenza piccola quanto si vuole, quest’ultimo viene detto il limite di tutti gli altri (…)

Si dice che una quantità variabile diventa infinitamente piccola quando il suo valore numerico decresce indefinitamente in maniera da convergere verso il limite zero

e con ciò ci si sbarazzava di quanti avevano inteso l’infinitesimo come numero finito molto piccolo.

Leibniz intrattenne una fitta corrispondenza  con i fratelli Jacques Bernouilli (1654 – 1705) e Jean Bernouilli (1667 – 1748; il primo dei due, tra l’altro, scoprirà la regola di de l’Hôpital). Furono questi due importantissimi studiosi francesi a perfezionare calcolo e simbolismo (ai due Bernouilli, ed a Lagrange, è dovuto  lo sviluppo della teoria delle equazioni integrali e differenziali con applicazioni alla geometria e alla meccanica). Il tutto passò poi ad Eulero, che introduce il calcolo delle variazioni, applicando i metodi del calcolo differenziale alle curve e alle superfici; fu inoltre Eulero che coniò il termine analisi matematica per tutta quella branca della matematica che implicasse lo studio dei processi infiniti.  E per tutto il Settecento lo studio delle funzioni sarà l’argomento principale di studio per i matematici. Noto a margine che, a parte i modesti contributi di Saccheri (1667 – 1733), a seguito dell’opera demolitrice della Chiesa su Galileo e seguaci, sparirono anche i matematici italiani che, fino ad allora, avevano avuto grandissima parte nell’evoluzione del pensiero matematico.

Altri matematici, nei secoli futuri, amplieranno di molto lo studio del calcolo infinitesimale.

Si avranno i contributi di grandi matematici tra cui: Rolle (1652 – 1719), J. Riccati (1676 – 1754), Clairaut (1713 – 1765), D’Alembert (1717 – 1783), De Moivre (1667 – 1754), Lagrange (che introdusse il concetto di funzione derivata ed il simbolismo f'(x), f”(x), …per indicare le derivate successive), L. Carnot (1753 – 1823), Legendre (1752 – 1833), Laplace (1749 – 1827), Fourier (1768 – 1830), Bolzano (1781 – 1848), Abel (1802 – 1829), Gauss (1777 – 1855), Cauchy, Hamilton (1805 – 1865), Dirichlet (1805 – 1859), Jacobi (1804 – 1851), Hesse (1811 – 1874), Cantor (1845 – 1918), Volterra (1860 -1940) che fondò il calcolo funzionale), Ricci-Curbastro (1853 – 1925; che, insieme a Levi-Civita, creò il calcolo differenziale assoluto, alla base della Relatività Generale di Einstein), Weierstrass (1815 – 1897), Peano (1858 – 1932), Levi-Civita (1873 – 1941), Hilbert (1862 – 1943). 

E’ una storia affascinante ma infinita … Io mi fermo, almeno per ora, qui.

Roberto Renzetti

BIBLIOGRAFIA

T. Heath – History of Greek Mathematics – Dover, New York 1981.

G. Loria – Le scienze esatte nell’antica Grecia – Hoepli, Milano 1914.

A. Frajese – La matematica nel mondo antico – Studium, Roma 1951.

F. Enriques – Le matematiche nella storia e nella cultura – Zanichelli, Bologna 1938.

Enrico Rufini – Il “Metodo” di Archimede – Feltrinelli, Milano 1961.

Guido Castelnuovo – Le origini del calcolo infinitesimale nell’era moderna – Feltrinelli, Milano 1962.

R. Descartes – The Geometry – Enciclopedia Britannica, Chicago, London, …, 1952.

Galileo – Opere – Edizione Nazionale (E.N.) – G. Barbèra, Firenze 1968.

Discepoli di Galileo – Carteggio – Giunti, Barbèra, Firenze 1975.

Lombardo Radice (a cura di) – Cavalieri – UTET, Torino 1966 (in questo volume vi sono la Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota , la corrispondenza di Cavalieri con Galileo ed alcune parti delle Exercitationes geometricae sex).

Lombardo Radice – La matematica da Pitagora a Newton – Editori Riuniti, Roma 1971.

L. Hogben – La matematica – Sansoni, Firenze 1962.

U. Forti – Storia della scienza – dall’Oglio, Milano 1969.

L. Geymonat (diretta da) – Storia del pensiero filosofico e scientifico – Garzanti, Milano 1970.

Paolo Rossi (diretta da) – Storia della scienza – UTET, Torino 1988.

J. D. Bernal – Storia della scienza – Editori Riuniti, Roma 1956.

Eric J. Aiton – Leibniz – Il Saggiatore, Milano 1991.

R. Taton – Histoire du Calcul – P.U.F., Paris 1948.

E.T. Bell – I grandi matematici – Sansoni, Firenze 1966.

J. Babini – Historia sucinta de la matemàtica – Espasa-Calpe, Madrid 1969.

D. Wells – Personaggi e paradossi della matematica – Mondadori, Milano 2003.

C. B. Boyer – A History of Mathematics – John Wiley & Sons 1968.

A.N. Whitehead – Introduzione alla matematica – Sansoni, Firenze 1962.

M. Kline – Matematical thiught from ancient to modern times – Oxford University Press 1972.

T. Heath – A History of Greek Mathematics – Dover 1981. 

M. Daumas (a cura di) – Storia della scienza – Laterza, Bari 1976.

Koyré – Studi newtoniani – Einaudi, Torino 1972.

A. Pala – Isaac Newton – Einaudi, Torino 1969.

A. Rupert Hall – Da Galileo a Newton – Feltrinelli, Milano 1973.

I. Bernard Cohen – La rivoluzione newtoniana – Feltrinelli, Milano 1982.

Nicolas Bourbaki – Elementi di storia della matematica – Feltrinelli, Milano 1963.

Isaac Newton – Principi matematici di filosofia naturale – UTET, Torino 1965.

AA. VV. – La disputa Leibniz-Newton sull’analisi – Boringhieri, Torino 1958.

Bonaventura Cavalieri – Geometria degli indivisibili – UTET, Torino 1966.

G.W. Leibniz – Analisis infinitesimal (raccolta dei testi matematici di Leibniz a cura di J. de Lorenzo) – Tecnos, Madrid 1994.

P. M. Gonzáles Urbaneja – Las raíces del cálculo infinitesimal en el siglo XVII – Alianza, Madrid 1992.

A José Durán – Historia con personajes, de los conceptos del cálculo – Alianza, Madrid 1996.

http://matematica.uni-bocconi.it/galeazzi/integrale.html

http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/RBallHist.html

http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Newton/RouseBall/RB_Newton.html

http://www.imss.fi.it/multi/torricel/itorgali.html

http://www2.math.unifi.it/~archimede/archimede/mostra_calcolo/prima.html

http://www.blupete.com/Literature/Biographies/Science/Newton.htm

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html

Rispondi

%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: