PARTE II: PANORAMICA SULLE SCOPERTE ED ELABORAZIONI SCIENTIFICHE DAL V AL XV SECOLO

Roberto Renzetti

    Nell’articolo precedente ho discusso l’insieme dei motivi che hanno bloccato la scienza alessandrina portando ad un generale arresto di ogni lavoro scientifico. Solo poche cose, poco significative, un travaso di conoscenze verso l’Islam che nasce e s’impone, progressi tecnici faticosi per far fronte a problemi colossali che discendono dalla fine dell’organizzazione dell’impero di Roma, … Insomma dal II secolo d. C., secolo del quale mi sono occupato per studiare le ultime grandi personalità alessandrine, Diofanto e Claudio Tolomeo (alle quali andrebbe aggiunto anche il contributo di Pappo, del IV secolo), fino al XVI secolo vi sono poche cose che meritano uno studio approfondito. Si tratta soprattutto di cronache di eventi che tentano con grande fatica di riprendere il filo di un discorso interrotto. Tra questi eventi ve ne sono alcuni interessanti ma più per una lettura retrospettiva che noi facciamo che non per le conseguenze e gli sviluppi che da essi conseguirono a suo tempo. Altri eventi sono di sicuro interesse ma maturati, non dimentichiamolo, in varie centinaia di anni. Il susseguirsi delle cose di elaborazioni e scoperte dal V al XV secolo lo ho riportato nella lunghissima nota (1), ma il cogliere gli aspetti essenziali, che in parte recuperano ed in parte fanno avanzare il modo di approccio alla conoscenza, è ciò che tenterò di fare ora. Si tratta di raccontare le scoperte scientifiche che hanno avuto una ricaduta importante sulle elaborazioni successive ed il pensiero di alcuni personaggi che con la loro opera hanno modificato, in un senso o nell’altro, il modo di pensare. Nel fare questo dò per scontate tutte le cose scritte nell’articolo precedente che serve da trama dentro cui inserire quanto racconterò.

LA SCIENZA NEL MEDIOEVO

    Un primo studioso d’interesse che incontriamo nel deserto che circondava la conoscenza è Giovanni Filopono di Alessandria (circa 490 – 570). Egli è uno dei tanti commentatori di Aristotele che opera nell’Impero bizantino come direttore della Biblioteca. E’ un neoplatonico convertito al cristianesimo che trasformerà la scuola di Alessandria in una sorta di scuola di teologia e che sarà però condannato dalla Chiesa (681) per eresia (aveva inteso la Trinità come tre persone distinte!). Egli va ricordato perché, nel suo commentare Aristotele, quell’Aristotele che arrivava in lettura platonica, mostra che alcune cose non gli tornano. Per risolvere le quali avanza una teoria, quella dell’impetus, che avrà grande importanza nel XIV secolo.

    La critica di Filopono ad Aristotele è radicale e per capirla occorre riprendere alcune concezioni di Aristotele sullo spazio, il tempo ed il luogo.

   L’universo aristotelico essendo finito e tutto pieno non prevede l’esistenza del vuoto. Ciò vuol dire che al di là dell’ultima sfera non vi è alcuna cosa, neppure il vuoto. Cerchiamo ora di vedere quali sono le motivazioni che Aristotele porta all’impossibilità dell’esistenza del vuoto all’interno della sfera delle stelle fisse.

      Poiché il vuoto, se c’è, deve essere in qualche luogo e poiché il luogo è definito quando è occupato da un corpo (o più in generale da materia), è assurdo pensare alla sua esistenza essendo il vuoto, per sua definizione, assenza di corpo e di materia.

       Ci sono poi alcuni che credono nell’esistenza del vuoto in quanto esiste il movimento ma, osserva Aristotele, “non è possibile che neppure un solo oggetto si muova, qualora il vuoto esista“.

       Infatti se ci riferiamo ai moti che avvengono naturalmente in natura (i “moti naturali”, quelli rettilinei che procedono dall’alto verso il basso o dal basso verso l’alto), come è possibile che essi accadano o nell’infinito o nel vuoto, se sia infinito che vuoto non hanno luoghi particolari verso cui una cosa possa muoversi (come per esempio il fiume verso il mare, il fuoco verso l’alto, la terra verso il basso,…)? Se ci riferiamo invece ai moti violenti, ebbene, un sasso lanciato continua nella sua corsa

“perché l’aria, spinta, spinge a sua volta con un moto più veloce di quello spostamento del corpo spinto in virtù del quale il corpo stesso viene spostato verso il suo proprio luogo“.

     E’ quindi l’aria che permette l’esistenza di un moto; è l’aria infatti che sostiene una freccia lanciata e che, chiudendosi dietro di essa, la sospinge.

    Dice poi Aristotele nel De Coelo:

“…al di fuori del cielo non c’è, né è ammissibile che venga ad essere, alcuna mole corporea; il mondo nella sua totalità è dunque formato di tutta la materia propria ad esso… cosicché… questo cielo è uno, e solo, e perfetto.

E’ insieme evidente anche che fuori del cielo non c’è né luogo, né vuoto, né tempo. In ogni luogo infatti può sempre trovarsi un corpo; vuoto poi dicono essere ciò in cui non si trova presente un corpo, ma può venire a trovarsi; tempo infine è il numero del movimento, e non c’è movimento dove non c’è un corpo naturale“.

       Da questo branorisulta che l’intero spazio concepibile da Aristotele è all’interno dell’ultima sfera, quella delle stelle fisse. Anzi per essere più precisi esso è all’interno della superficie interna dell’ultima sfera. Dice Aristotele, che usa il termine luogo invece del nostro spazio:

“…il luogo è il primo immobile limite del contenente“.

      E siccome il contenente è l’ultima sfera essa è il limite del luogo. Inoltre l’esistenza del luogo rende possibile il moto:

“il più comune e fondamentale movimento, quello che si suol chiamare spostamento, è in relazione ad un luogo“.

            D’altra parte l’evidenza naturale di movimenti rende plausibile l’esistenza del luogo:

“Che il luogo esista sembra risultare chiaro dallo spostamento reciproco dei corpi“.

    E poiché un luogo è definito dalla presenza di un corpo, allora:

“sarebbe lecito supporre che il luogo sia qualcosa che prescinde dai corpi“.
 

    Ed inoltre:

“…è difficile determinare che cosa esso sia, se una massa corporea o qualche altra natura… Comunque, esso ha tre dimensioni: lunghezza, larghezza e profondità, le stesse da cui ogni corpo è determinato. Ma è impossibile che il luogo sia un corpo, perché allora in esso stesso ci sarebbero due corpi“.

     In definitiva, poiché l’ultima sfera, quella delle stelle fisse, si muove e poiché il movimento è possibile là dove c’è un luogo, allora:

“anche il cielo, anzi esso più di ogni altra cosa, è in un luogo, poiché il cielo è sempre in movimento”.

    Se uno però sta un poco attento al legame esistente tra queste affermazioni, si accorge che esiste almeno una incongruenza. Poiché infatti il movimento, inteso come spostamento, è definito da Aristotele come l’occupare successivo di luoghi diversi, se non c’è luogo al di là dell’ultima sfera, com’è possibile che essa ruoti? E d’altra parte, essendo la Terra immobile, essa (ultima sfera) ruota.

    Questa difficoltà era ben presente in Aristotele il quale, per conciliare l’inesistenza di qualunque cosa (anche il vuoto) al di là dell’ultima sfera, con il fatto che essa ruota (dovendo perciò occupare luoghi diversi) è costretto ad ammettere che l’ultima sfera, pur ruotando, occupa sempre lo stesso luogo:

“…ciò che si muove in circolo non può mutar di luogo“.

  Evidentemente questo è il punto più debole della teoria aristotelica di luogo e di moto e proprio su questo punto si inserisce la critica di Filopono.

    Secondo Filopono c’è innanzi tutto da rimettere in discussione la teoria del movimento di Aristotele. Se si lancia un proiettile

“è necessario che una certa potenza motrice incorporea sia ceduta al proiettile dallo strumento che lo lancia; l’aria non contribuisce affatto a tal moto, e vi contrasta ben poco…“.

    Questa formulazione, che anticipa teoria dell’impetus, fa a meno del mezzo per giustificare il movimento e considera una sorta di potenza motrice che si trasferisce da ciò che provoca il moto al proiettile che lo subisce. La fine del moto avviene per consumazione progressiva di questa potenza motrice a causa, tra l’altro, del fatto che l’aria oppone al moto una resistenza (questo almeno per quanto riguarda i moti provocati, quelli che non hanno origine naturale). Ma poiché il moto è legato al luogo, è necessario considerare cos’è il luogo. E qui viene fuori il punto più delicato della discussione: si tratta essenzialmente dello scoprire una profonda contraddizione nella definizione aristotelica di luogo. Abbiamo già visto che per Aristotele “luogo è il primo immobile limite del contenente“. Ebbene per quello che ora ci serve occorre puntare l’attenzione su quell’immobile. Infatti la questione che, ad esempio, si pone è: qual è il luogo di un sasso poggiato nel letto di un ruscello? Il corpo contenente è l’acqua, per cui ad un certo istante uno potrebbe pensare che è la superficie interna dell’acqua avvolgente il sasso che costituisce il luogo del sasso.

       Ma l’istante successivo “quel luogo” si è spostato facendo posto ad un “altro luogo”. La pietra non si è mossa, essa è rimasta là ma il presupposto suo luogo cambia istante per istante. E’ chiaro che bisogna riferirsi allora a quell’immobile di qualche riga più su. Il luogo della pietra non è altro infatti che il letto del fiume su cui è poggiata. E fin qui tutto torna. Ma se applichiamo la definizione aristotelica di luogo alle sfere celesti troviamo la contraddizione di cui si diceva. Certamente il luogo del mondo sublunare è delimitato dalla superficie interna della sfera della Luna ma essa ruota e quindi si muove e quindi non può delimitare un luogo.

     Aristotele aveva però ben presente questa difficoltà tanto è vero che per lui un moto rotatorio attorno ad un centro o ad un asse fisso, poiché la sfera occupa sempre lo stesso luogo, non è da considerarsi moto locale. Filopono prende invece in esame una zona particolare di una sfera in rotazione ed osserva che questa zona occupa successivamente luoghi diversi. E’ facile concludere allora che l’intera sfera pur restando, per così dire, nello stesso luogo, occupa sempre luoghi diversi (essendo dotata quindi di moto locale).

     Rimane allora il problema: qual è il luogo del mondo sublunare? Esso non è il cielo della luna ma non può certamente esserlo il cielo di Giove o Saturno o qualunque altro cielo perché si muovono. In particolare neanche il cielo delle stelle fisse può delimitare un qualche luogo proprio perché anch’esso non è immobile. Inoltre se ci ponessimo la domanda del qual è il luogo in cui si muove questo cielo, dovremmo ammettere di non essere in grado di rispondere poiché non sappiamo in quale luogo esso sia non essendo noi in grado di trovare alcun “primo immobile limite” di un qualche cosa che lo contenga. D’altra parte il fatto che l’ultima sfera sia dotata di moto locale implica che anche la superficie esterna di essa occupi successivamente luoghi diversi che debbono però esservi per poter, appunto, essere occupati. E’ qui evidente che comincia a traballare l’affermazione aristotelica dell’inesistenza di qualsiasi cosa (ed in particolare di luogo, tempo e vuoto), al di là del cielo delle stelle fisse e si intravede la possibilità di estendere lo spazio oltre quell’ultima sfera.

    In ogni caso sorge allora la necessità di distinguere luogo, o meglio spazio, dalla materia che lo occupa o lo delimita. E Filopono nel definire lo spazio che discende dalle precedenti osservazioni, fa proprio l’operazione di separarlo da ogni considerazione relativa al suo contenuto:

“Lo spazio non è la superficie limite del corpo avvolgente… esso è un certo intervallo, misurabile in tre dimensioni, di sua natura incorporeo, diverso dal corpo in esso contenuto; è pura dimensionalità priva di qualunque corporeità; invero, per quanto riguarda la materia, spazio e vuoto sono identici” . 

    Ed è proprio il fatto che, quando si sposta un oggetto da un luogo, lo spazio da esso occupato viene ad essere rimpiazzato da un’altra sostanza che rende concettualmente valida l’idea di vuoto. In ogni caso gli oggetti si spostano ma lo spazio, sotto, rimane immobile e questo spazio, proprio perché inerte, non può più essere alla base della dinamica come lo era in Aristotele, tant’è vero che, come abbiamo visto, viene rimpiazzato da un abbozzo di “teoria dell’impetus”.

     Per quanto riguarda il resto della teoria di Aristotele essa viene sostanzialmente accettata, anche se qua e là occorre fare degli aggiustamenti.

    E’ tutto questo molto interessante anche perché avrà, come accennato, un seguito importante poiché l’aristotelismo iniziò ad esercitare un fascino enorme anche tra i cristiani particolarmente quando gli ‘scolastici’ conobbero la Metafisica di Aristotele, 600 anni dopo Filopono. Sorse allora un forte moto di ammirazione: il sistema aristotelico poteva rappresentare il complemento filosofico, ciò che la Chiesa aveva sempre cercato, al Cristianesimo stesso, un corpo di dottrine che avrebbe finalmente nobilitato culturalmente il Cristianesimo (che fino ad allora oltre alla povera ed “incolta” Bibbia, si era affidato alle pie ma parziali visioni di Platone e dei neoplatonici). Sfortunatamente in Aristotele, più che in Platone, mancava l’idea di Dio. Questo fu il motivo per cui l’aristotelismo ebbe alterne vicende durante il 1200. Intanto già nel 1169, il Concilio di Tours aveva vietato ai monaci di leggere i pericolosi testi di fisica. Nel 1210, il Concilio provinciale di Parigi vietò l’insegnamento delle dottrine aristoteliche. Quindi altre condanne: il Concilio lateranense del 1215 (con Innocenzo III) e con la riaffermazione di Onorio III e di Gregorio IX (1231), infine, qualche anno dopo, di Urbano IV. Ancora nel 1277 sia il vescovo di Parigi E. Tempier che quello di Canterbury condannarono ben 219 proposizioni tratte dall’opera di Aristotele e dagli aristotelici (essenzialmente Averroè)⁽²⁾. In generale furono i francescani ad opporsi fermamente, in un primo tempo, all’ateismo aristotelico letto invece diversamente dai domenicani. Il contrasto tra aristotelismo e Cristianesimo (insignificanza del posto di Dio, eternità del mondo con conseguente negazione della Creazione, inesistenza del libero arbitrio in un mondo dominato dal movimento delle sfere celesti, la non immortalità dell’anima, il rigido determinismo, …) fu appianato da S. Tommaso, come vedremo oltre, un frate dell’ordine dei domenicani che si definivano i cani da guardia dell’ortodossia.

ALCUNI FATICOSI E FONDAMENTALI AVANZAMENTI

    Mentre si disquisiva di queste cose, che se si confrontano con i livelli delle problematiche raggiunti con Archimede, Euclide, Apollonio, … mettono in imbarazzo, altri lavoravano per ricomporre un quadro di razionalità soprattutto nella matematica che era andata perduta, anche nelle sue operazioni più elementari.

    La matematica, avevamo notato anche commentando gli stupendi successi alessandrini, soffriva di un problema di fondo, il non agile simbolismo. La questione del simbolismo era rimasta la stessa a Roma. A questo problema ne va aggiunto un altro che, a posteriori, capiamo molto bene: la mancanza dello zero in una chiara numerazione di posizione ed in una non scelta di base di numerazione. Tutto ciò aveva in qualche modo fermato lo sviluppo della matematica alla geometria che, comunque, non poteva avanzare ed essere sistemata senza proprio quel simbolismo. Cosa accade in questi anni di risolutivo e di interesse ?

    Seguiamo un percorso che si snoda da lontano per intersecarsi con l’Europa in questi anni. Quando Giustiniano fece chiudere le scuole non cristiane, molti studiosi, come abbiamo accennato, si diressero verso Oriente. E che in Oriente vi fossero scuole avanzate di matematica ci è testimoniato dal cristiano Severo Sebokt che nel 662 ci informa che non soltanto i greci potevano vantare conoscenze scientifiche, ma anche altri popoli (con riferimento all’India) possono vantare dei calcoli fatti con 9 simboli . Ritrovamenti archeologici  ci dicono che questo modo di scrittura matematica con 9 simboli è risalente almeno al 595. Si tratta di un sistema posizionale e decimale in cui ancora non figura lo zero. Ancora un ritrovamento archeologico ci dice che certamente lo zero si conosceva in India nell’anno 876 ma non si sa se il simbolo (un segno a forma di uovo) era connesso alle altre nove cifre. Altre ricostruzioni (ad esempio: Van der Waerden) parlano ancora di quella migrazione di scienziati greci verso Oriente. Da Alessandria, dove sarebbe nato, lo zero fu trasferito in India. In ogni caso un chiaro ragguaglio sull’uso dello zero nella letteratura scientifica indiana è contenuto nel Compendio di calcolo del matematico indiano Srīdhara (991 – ?) che contiene le proposizioni:   a ± 0  =  a;  0 x a  =  0; a x 0 = 0. Al di là di ogni interpretazione del simbolo ovale (qualcuno sostiene che in altre iscrizioni e/o scritture stava ad indicare il vuoto in quanto iniziale della parola greca ouden che vuol appunto dire vuoto) in queste scritture lo zero assume il preciso significato che noi oggi gli assegniamo. Ma debbono passare molti decenni prima che una qualche eco di ciò giunga in Spagna per vie arabe. Le prime notizie in Europa di una numerazione indù le troviamo nel Codex Virgilianus (976), scritto nella parte cristiana della Spagna. Ancora molti decenni dopo, intorno alla metà del XII secolo, compare un trattato Prologus N. Ocreati in Helceph ad Adelhardum Batensem, magistrum suum di un certo Ocreatus, un matematico o inglese o francese probabilmente allievo di Adelardo di Bath, in cui si trova l’uso dello zero combinato con quello dei numerali  romani. Questo trattato rappresenta una specie di stadio intermedio tra l’abaco e il sistema indiano-arabo di numerazione (il riferimento a Helceph nel titolo può essere ad Al-Kâfï fîl hisâb, cioè all’Arithmetica d’Alkarchi che visse a Baghdad intorno all’anno 1000). Nel 1145 Platone di Tivoli traduce in latino col nome di Liber embadorum (o Libro delle aree), l’Hibbur ha-meshihah dell’ebreo spagnolo Abraham bar Hiyya, che tradusse in questo libro le necessità matematiche pratiche dei commercianti di Barcellona e della Provenza (luoghi in cui visse). Questa traduzione fu una delle principali fonti di Leonardo Pisano (Fibonacci), e quindi della matematica europea. Nello stesso anno l’ Al-jabr wa’l muqābalak cioè l’Algebra che al-Khwārizmī (c. 780 – c. 850) scrisse a Baghdad intorno all’830 (insieme ad una Aritmetica in cui compaiono diffusamente spiegate ed utilizzate le notazioni numeriche indiane, cioè: base decimale; notazione posizionale; un simbolo diverso per ciascuna delle dieci cifre – vedi figura) è tradotta in latino da Roberto di Chester e Gherardo da Cremona con il titolo Liber algebrae et almucabola, privo della prefazione araba che era molto utile alla

Nella prima colonna sono  riportati i numeri indiani del secolo X , quindi, nelle colonne successive, come si presentavano i numeri arabi  nei secoli X, XII, XIV).
 

comprensione, probabilmente perchè si elevavano lodi a Maometto e al califfo al Ma’mūn (813-833) che aveva iniziato a fare di Baghdad la nuova Alessandria fondandovi una Casa del Sapere. Si noti che l’estensione e completezza di questa opera ha fatto sì che per secoli si è pensato che la numerazione indiana fosse araba, anche se l’autore dice chiaramente come stanno le cose al contrario delle traduzioni che furono fatte. Al-Khwārizmī, nella sua Algebra, presenta sei casi di equazioni che esauriscono le equazioni lineari e di secondo grado con radice positiva che vengono trattate prima per via algebrica e poi ricercandone le dimostrazioni geometriche anche diverse per lo stesso tipo di equazione; successivamente si trattano questioni varie come ad esempio le espressioni binomiali; l’opera si conclude con molti problemi che illustrano i sei casi di equazioni. L’esposizione degli argomenti è così chiara che, come dice Boyer, l’autore merita il titolo di padre dell’algebra, anche se, a lato dei molti e certi contributi originali, vi sono elementi ellenistici, mesopotamici ed indiani proprio perché, come sottolinea ancora Boyer, mentre i filosofi islamici ammiravano molto Aristotele, gli eclettici matematici mussulmani hanno scelto ciò che più interessava e conveniva loro tra le più svariate fonti.

    La trigonometria è un altro ramo della matematica che, a partire da quanto appreso dagli indiani, gli arabi svilupparono e poi trasferirono.

    In uno scritto indiano di astronomia del 400, già troviamo delle tavole in cui si usano le semicorde (seni⁽⁴⁾). Le cose si svilupparono fino ad arrivare a Bhaskara che nel 1150 fornì una tavola dei seni grado per grado. In India era in uso il cerchio goniometrico con raggio assunto unitario e la relazione fondamentale della trigonometria sen²α + cos²α = 1. Si conoscevano le formule di bisezione che sono riportate addirittura in uno scritto di Varahamihira del 505 ed anche tutto ciò che conoscevano i greci con il vantaggio della maggiore semplicità dovuta alle semicorde. A questo bagaglio importato dall’India, gli arabi aggiunsero cose molto importanti, le tangenti e le cotangenti, come derivato di ricerche fatte per costruire quadranti di orologi solari. Abbiamo una tavola di tangenti e cotangenti dell’860, dovuta a Habash al-Hasib (c. 770 – c. 870). La tangente era chiamata umbra recta e la cotangente umbra versa, con chiaro riferimento alle ombre dello gnomone sul quadrante solare. Lo stesso matematico mostra di conoscere anche la secante. Invece fu Abu’l-Wafa (940 – 997) che introdusse la cosecante ed alcuni teoremi connessi con tali grandezze. Il teorema dei seni, invece, pur essendo noto in modo nascosto dall’uso delle corde da Ipparco e Tolomeo, viene ripreso ma riferito alle semicorde da  al-Biruni (973 – 1048) e viene enunciato definitivamente da Nasir al-Din (1201 – 1274) nel 1250.

    Altri grandi matematici arabi lavorarono in quel IX secolo che è da considerarsi d’oro per la loro cultura⁽⁵⁾. Tra essi va ricordato il quasi contemporaneo di Al-Khwārizmī, il famoso al-Thābit ibn Qurra  (836-901) una sorta di Pappo arabo che tradusse quasi tutte le opere di Euclide, Archimede, Apollonio, Tolomeo, Eutocio dal greco e dal siriaco in arabo, opere che poi entrarono in Spagna. Ma egli non si limitò a tradurre. Fece anche dimostrazioni originali integrando e generalizzando spesso le proposizioni delle opere che traduceva, con competenza (da notare sue dimostrazioni differenti del Teorema di Pitagora, studi sui segmenti parabolici, sui quadrati magici, sulla trisezione degli angoli, … ma anche sue integrazioni all’astronomia di Tolomeo). Noto di passaggio che a partire dal XII secolo la cultura araba, fino allora assai fiorente, subì un rallentamento a seguito delle prediche del mistico, religioso ed ascetico Abu Hamid al-Ghazzali (1058 – 1111) che sosteneva che la cultura conduce alla perdita della fede nel Creatore e nell’origine del mondo. Da questo momento i contributi arabi iniziano a scemare mentre cominciano ad aumentare quelli dovuti ad altre etnie e la cosa fu ben capita da Averroè che, pur non essendo un esempio di laicità, ebbe a criticare a fondo al-Gazzali, difendendo la filosofia nel suo lavoro Distruzione della distruzione dei filosofi.

    Intorno al 1160 Abraham ibn Ezra (1097-1167), ebreo spagnolo, scrive un trattato di aritmetica che usa il sistema di numerazione indiano-arabo (detto anche algoritmico). Va detto che questa algebra è per molti versi più arretrata di quella di Diofanto ma ha il grande pregio, particolarmente sentito ed indispensabile all’epoca, di costituire una esposizione piana ed elementare di processi risolutivi di equazioni, particolarmente quelle di secondo grado. La concomitanza temporale di tanti eventi mostra che i tempi sono maturi e vi è una sorta di richiesta corale di un nuovo modo di scrivere i simboli matematici e di operare con l’aritmetica. Il fatto straordinario è che queste elaborazioni, avvenute in Spagna, subiscono una sorta di blocco culturale e comunque non riescono ad arrivare nell’Europa cristiana.

    Prima di passare ad altro, occorre dare un piccolo riferimento all’astronomia nel mondo islamico. Tolomeo era il personaggio centrale in ogni elaborazione e con Tolomeo campeggiava Aristotele. Gli arabi perfezionarono di molto le osservazioni, ne fecero moltissime con strumenti più perfezionati, sistemando varie cose che non tornavano. Un certo modo di fastidio verso Tolomeo iniziò tra gli arabi di Spagna, ad opera di al-Zarqali (1029 – 1087) di Cordova, uno dei compilatori delle tavole astronomiche di Toledo. Egli modificò il sistema tolemaico introducendo un deferente ellittico per l’epiciclo di Mercurio che, come si ricorderà, poneva ancora dei problemi. Ma l’insoddisfazione degli scienziati arabo-spagnoli andava al di là dei piccoli aggiustamenti, pur necessari, a Tolomeo. Il problema centrale che avevano personaggi come Avempace (Ibn Bayya; c. 1085 – 1139) di Saragozza, Abubacer (1105 – 1185; Ibn Tufayl) di Granada, ed Alpetragio (? – 1200; al-Bitruji) di Cordova era raccordare le apparenze salvate con la realtà fisica. Portatore di queste istanze dal punto di vista filosofico fu Averroè (Ibn Rushd; 1125 – 1198). L’epiciclo di Tolomeo e di tutto il filone del salvare le apparenze veniva rifiutato perché si riteneva che i pianeti dovevano girare intorno ad un corpo fisico centrale e non intorno ad un punto. Provarono a costruire qualcosa che avesse la validità fisica che ricercavano ma non ebbero successo.

    Le idee astronomiche che gli arabi trasferirono all’Occidente cristiano sono essenzialmente quelle che prevedono un cambio del referente di fondo. Mentre nell’Europa che ancora non era entrata in contatto con gli arabi dominavano concezioni neoplatoniche con la concezione di un universo di tipo aristotelico fondato sulla teoria del macrocosmo e del microcosmo (che ho discusso nel precedente articolo), la cultura araba permise un affinamento delle linee fondamentali di tale universo sulla base del sistema tolemaico letto dai commentatori arabi di Aristotele. La figura seguente descrive gli elementi essenziali delle concezioni dell’universo che erano in gioco.

Da Singer. Tre rappresentazioni medioevali della struttura del mondo con termini tratti dal De Coelo di Aristotele. In alto lo schema immaginato da Maimonide, in basso quello di Dante, al centro un generico sistema in uso nel Medioevo. (in tutti si sono omesse le sfere planetarie).

LEONARDO PISANO, IL FIBONACCI (c. 1170-1250)

    Per altra via  Leonardo Pisano, detto Fibonacci (che vuol dire figlio di Bonacci) acquisisce una importante conoscenza della numerazione araba e dei loro metodi di calcolo per averli appresi direttamente in un Paese mussulmano.

    Occorre dire qualcosa per comprendere. Guglielmo Bonacci era un commerciante pisano che aveva rapporti di un certo peso (era una specie di ambasciatore della Repubblica di Pisa) con il Nord Africa e particolarmente con la colonia di Bugia in Cabilia, una regione dell’odierna Algeria. Immagino per ragioni di utilità pratica egli indirizzò suo figlio Leonardo a studiare il modo di far di conto degli arabi, cosa che fece con molto successo e passione visto che successivamente si recò a Costantinopoli per perfezionare le sue conoscenze, mentre continuava a fare il commerciante. Tornato a Pisa, nel 1202 pubblicò il Liber Abaci o Liber Abbaci (Libro di calcolo, riveduto nel 1228) in cui fa risaltare i vantaggi di quel sistema di numerazione rispetto a quello romano in uso (si noti che il titolo sembra dire il contrario di ciò che si sosterrà nel testo in cui si dice che i nuovi metodi sono più efficaci dell’abaco). Nel primo capitolo del suo lavoro si introducono le 9 cifre indiano- arabe, alle quali aggiunge lo zero (il cui nome viene dall’indiano sùnya, che tradotto in arabo diventa sifr – da cui il nostro termine cifra – che tradotto in volgare italiano diventa zefiro o zeuro). Subito dopo fa dei confronti di scrittura dei vari numeri con i due sistemi. Passa poi, nei capitoli successivi (dal II al IV) ad illustrare vari criteri e regole di calcolo, con le 4 operazioni, con l’uso di radici quadrate e cubiche e con l’introduzione di quella barra con cui oggi indichiamo le frazioni e che gli arabi usavano (ma quest’ultima cosa non fu recepita). Il resto del lavoro tratta problemi di aritmetica e di algebra sino alle equazioni di secondo grado con esemplificazioni di problemi risolti (interessi, cambi, matematica finanziaria, agrimensura), alcuni che gli derivavano dalle questioni che si affrontavano nel commercio e che egli aveva incontrato, altri semplicemente inventati con carattere enigmistico. E’ in questa opera che Fibonacci studiò la crescita di una popolazione di coniglie. Per risolvere il problema, inventò la successione che prende il suo nome: una successione di numeri nella quale ogni numero è la somma dei due numeri precedenti (0,1,1,2,3,5,8,13,21…). Il termine generico di una tale successione, chiamata ricorrente, lo scriviamo oggi a_n = a_n-1 + a_n-2 (avendo assegnato il valore dei primi due termini: a₀ = 0 ed a₁ = 1). Come vedremo quando parleremo di sezione aurea, il quoziente tra un numero della serie ed il suo precedente a_n/a_n-1, al tendere di n all’infinito, tende proprio a quel numero algebrico irrazionale chiamato sezione aurea (ma molte altre questioni di carattere biologico ed informatico hanno a che fare con la successione di Fibonacci).Gli indovinelli matematici, che si trovano in questo libro e che venivano presentati sotto forma di storiella o di aneddotica, divennero classici e studiati per oltre 200 anni. E’ da notare che, oltre alla difficoltà propria dell’introduzione di una nuova notazione simbolica e di una nuova base, vi era un’avversione alle nuove cifre ed alla nuova base  per due motivi che di matematica avevano poco: molti ritenevano che l’uso di cifre inventate da infedeli potesse offendere la religione dominante; alcuni ritenevano che le cifre arabe si prestassero a frodi a contraffazioni.  

     Fibonacci pubblicò anche una De Pratica Geometriae (1220) nella quale si occupò di trigonometria e di problemi di applicazione dell’algebra alla geometria. In esso egli applicò le sue conoscenze aritmetiche ed algebriche alla geometria ed alla risoluzione di problemi geometrici (e la cosa non è da poco se solo si pensa quali problemi vi furono in passato anche nel periodo alessandrino). Da rimarcare che egli fu uno dei primi a far conoscere all’Occidente cristiano l’evolutissima trigonometria araba. Nell’altro suo libro, Liber quadratorum (1225) dedicato a Federico II imperatore del Sacro Romano Impero (noto anche come Federico I di Sicilia), che divenne suo protettore e con il quale ebbe modo di scambiare molte idee, egli studiò le equazioni indeterminate di 2° grado, alcuni problemi risolubili con equazioni quadrate e cubiche ed anche quella teoria dei numeri che avrà grande sviluppo da Fermat in poi. E’ utile ricordare che con Fibonacci si aprì una polemica che era stata sotterranea fino ad allora, quella tra sostenitori del far di conto mediante l’abaco⁽⁶⁾, gli abachisti, e quelli che sostenevano la superiorità dei metodi della nuova numerazione e base decimale alla quale occorreva carta e penna, gli algoritmisti (la polemica si chiuse solo nel XVI secolo con la vittoria degli algoritmisti). Vi furono delle vere e proprie gare pubbliche gare alle quali assisteva anche lo stesso Federico II, in cui a dati problemi le fazioni contendenti

Una illustrazione allegorica della disputa tra abachisti ed algoritmisti. Lo striscione sul retro parla di Tipi di aritmetica ed i contendenti sono l’abachista Pitagora (rappresentato in difficoltà)  e l’algoritmista Boezio. La fanciulla detta i problemi e fa da giudice.

dovevano dare risposte nei tempi più brevi. Forse perché Fibonacci era di suo molto bravo ma sta di fatto che vinceva sempre e soltanto lui tanto che ancora vi è il sospetto che la gara fosse truccata perché sembra molto difficile trovare immediatamente una x che soddisfa l’equazione che venne proposta:

x³ + 2x² + 10x = 20

anche se, in un suo lavoro che a torto è considerato minore,  Flos Leonardi Bigolli Pisani super solutionibus quarundam quaestionum ad numerum et geometriam vel ad utrumque pertinentium (circa 1225), egli presenta una serie di operazioni di semplificazione, altrettante trasformazioni di un’equazione di 3° grado per poi passare ad una esatta soluzione in base sessagesimale senza che ci faccia capire come ha fatto (si tenga conto che mancano centinaia d’anni alle formule risolutive degli algebristi italiani del Cinquecento). Da sottolineare che in questa opera compaiono numeri con il segno meno in problemi finanziari, i debiti.

    Il grande interesse suscitato dall’opera di Fibonacci non ebbe riscontro in suoi continuatori in Italia, per quasi tre secoli. Molto probabilmente la morte di Federico II segnò la scomparsa di quel favorevole ambiente culturale e spirituale.

    Un altro importante matematico che lavorò nella stessa epoca di Fibonacci è Giordano Nemorario (? – 1235). Ricordo alcuni suoi contributi senza soffermarmi su di lui. Nemorario è originario di Warburg, città della Sassonia (Sacro Romano Impero) e qualcuno sostiene si tratti di Giordano di Sassonia, che fu generale dei domenicani nel 1222. Il fatto che fosse sassone confermerebbe il nome Nemorarius, cioè straniero, ma latri lo situano a Nemi, vicino Roma. Tutto ciò vuol dire che sappiamo molto poco di lui e che ci sono arrivate varie opere con il suo nome ma non sappiamo, ad esempio, se si tratti di medesima persona. Una di queste opere è l’Algoritmus de ratione ponderis (Libro sulla teoria del peso) in cui discute le proprietà del piano inclinato con questioni di statica, di scienza delle costruzioni, di resistenza dei materiali (a cui si riferirà Leonardo). Vi sono  poi  gli Elementa demonstrationem ponderum che in qualche modo completano le sue elaborazioni meccaniche e ci fanno intendere come queste ricerche fossero legate alla nuova architettura gotica che prendeva piede in Europa. Egli pone alla base della statica alcuni principi che sono:  omnis ponderosi motum ad medium (centro terrestre) esse; Quanto gravius tanto velocius descendere; Tertia, gravius esse in descendendo, quanto eiusdem motus ad medium est rectior; Quarta, secundum situm gravius esse, quanto in eodem situ minus obliquus est descensus; Quinta, obliquiorem autem descensum minus capere de directo in eadem quantitate. Le ultime due proposizioni sono importantissime, poiché in esse è introdotto e determinato il concetto della gravitas secundum situm; cioè, come oggi si direbbe, della componente del peso nella direzione della traiettoria descritta dal mobile. Naturalmente tanto più la posizione del corpo si avvicina alla verticale (tanto minore è l’obliquità, come dice Giordano) tanto maggiore è la gravitas secundum situm, la detta componente del peso (utilizzando la trigonometria ed indicando: con F la forza, P il peso ed α l’angolo di inclinazione, la cosa si scriverebbe: F = P.sen α). Così se si considera una sfera posta una volta su di un piano inclinato più prossimo alla verticale, ed un’altra su uno di assai

minore inclinazione, si trova che la gravitas secundurn situm è maggiore sul primo.  Incidentalmente si deve notare che Giordano non sceglie affatto un esempio così ovvio. Ciò ha destato meraviglia, ma si spiega pensando all’origine dei problemi di Giordano in connessione con la nuova architettura.

    Egli stabilisce poi una importante proposizione relativa al piano inclinato, proposizione che con linguaggio moderno recita: la forza capace di elevare un peso p ad un’altezza h può elevare n.p ad un’altezza h/n (tale principio, il germe di quello dei lavori virtuali, verrà sviluppato da Leonardo, Galileo, Descartes, … fino a Lagrange). Partendo da tale principio, Nemorario dimostra che due pesi si fanno

equilibrio su due piani diversamente inclinati se risultano proporzionali alle lunghezze dei piani stessi, cioè se risulta:

P : P’ = AB : AC  

    Oltre a questo inizio di trattazione meccanica, Nemorario scrisse anche una Arithmetica che è notevole per una novità introdotta: per la prima volta si usano lettere al posto dei numeri e la cosa permette di scrivere teoremi ed espressioni in modo generale. Nella sua altra opera, il De numeris, egli tratta del sistema numerico indo-arabo e ci fornisce per primo ed in modo del tutto generale la regola per la soluzione di un’equazione di secondo grado.

LA SCOLASTICA, GLI ORDINI MENDICANTI. LE UNIVERSITA’

    L’inizio del XIII secolo vede in Europa il nascere di tre fenomeni di grande interesse: da una parte la riscoperta del complesso dell’opera di Aristotele, che farà molto discutere e che molto influenzerà il pensiero della Scolastica; dall’altra la fondazione delle prime università come centri dell’eccellenza del sapere; infine l’inizio dell’attività di insegnamento di alcuni ordini religiosi, detti mendicanti.

        Riguardo alla cresciuta influenza del pensiero di Aristotele, si sarà osservato che i pensatori medioevali con fatica ricostruiscono alcuni sentieri di conoscenza. Mancano alcuni strumenti di fondo, essenzialmente matematici, manca soprattutto una visione complessiva dei problemi. Più in generale non sembra vi siano persone in grado di prendere in mano un Aristotele o un Platone e di sottoporli a critica serrata. Piuttosto, di fronte alle loro opere che sembravano esaustive, ci si chiedeva se l’insieme di quelle concezioni fossero coerenti ma anche cosa volessero dire alcune affermazioni. Ogni cosa non la si studiava di per sé ma in relazione alla verità di cui erano portatori i classici, come la Fisica di Aristotele, considerata vera e propria Bibbia della conoscenza della natura.  Non si sentiva alcuna necessità di esperimenti perché tutto sembrava essere stato indagato dal Filosofo (così era chiamato Aristotele). Si lavorava invece alla ricerca di presunte verità attraverso le dispute sillogistiche che avvenivano allo stesso modo sia nella fisica che nella teologia: una concatenazioni di affermazioni logiche avrebbe portato a più vaste conoscenze. Probabilmente fu questo il motivo per cui fu chi doveva sperimentare per mestiere, l’artigiano, e non il dotto professore, che offrì nuovi fenomeni da interpretare, fenomeni non considerati dal Filosofo.   

       Per quel che riguarda la nascita delle università devono essere fatte alcune osservazioni. Siamo in un momento in cui vi è un certo rilassamento del potere feudale che si accompagna all’inizio della decadenza della Chiesa e dell’Impero. La Chiesa inizia a perdere la supremazia sugli Stati dell’Occidente cristiano  con Federico II che sarà il primo avversario e competitore dell’autorità del pontefice. I Guelfi ed i Ghibellini si fanno la guerra e da ciò discende una maggiore autonomia dei comuni che tornano ad acquisire importanza rispetto alla campagna. L’aumento della produzione agricola del XII secolo, era anche dovuto alle invenzioni tecniche di cui ho discusso nell’articolo precedente. In un processo virtuoso tecnica e produzione si aiutavano nella crescita fino al punto che si realizzano apparati tecnici in grado di produrre strumenti tecnici. Si va affermando cioè la tecnica che produce tecnica ed in definitiva un aumento dei beni complessivi in circolazione. Ciò crea un ceto artigiano sempre più diffuso ed una crescita della popolazione e del suo livello di benessere, con la conseguente affermazione dei primi ceti borghesi ricchi ed in grado di pagare persone per fare cultura. La nascita degli ordini domenicano e francescano che operano nelle città, con l’obsolescenza del benedettino legato alla campagna, ma anche l’estendersi dei movimenti ereticali con le loro feroci repressioni, sono anch’esse conseguenza di questo cambiamento del centro di gravità delle popolazioni.

    Le università che proprio in questo periodo nascono sono un chiaro portato delle migliorate condizioni economiche generali ma anche delle particolari corporazioni che le richiedono per ottenere qualche privilegio. Infatti le prime università segnano proprio i campi di interesse delle varie zone in cui vengono create: la laica e democratica Bologna sviluppa studi giuridici ed una medicina pratica; a Montpellier, zona di influenza arabo ebraica, si sviluppa una medicina teorica, ad Oxford, dove i maestri sono francescani, gli studi avranno un’impronta platonico-matematica ed agostiniana mentre a Parigi i domenicani aristotelici e naturalisti si impegneranno in teologia. Ma qualunque sia l’indirizzo di studi la costante sarà sempre del rapporto tra il sapere dell’uomo e la rivelazione cristiana con la conseguenza che, l’affinarsi di tali discorsi, porterà a sempre maggiori difficoltà per la Chiesa.

Da Geymonat. Un’immagine dell’università di Oxford (New College) da un codice miniato della fine del XIII secolo.

TOMMASO D’AQUINO (1225 – 1274)

       Tommaso d’Aquino è una personalità che, pur non dando alcun contributo alla conoscenza scientifica, anzi!, è importante prendere in considerazione perché sarà il riferimento fondamentale della Chiesa, mai venuto meno fino ad oggi. E non è che io mi occupi di teologia, è che queste posizioni saranno alla base non già di una sana contestazione delle idee scientifiche, ma della loro repressione violenta.

      Discepolo di Alberto Magno (circa 1200 – 1280), il conte Tommaso d’Aquino completò la sua opera che consistette principalmente nell’armonizzare, rendere coerente, Aristotele, letto attraverso Averroè (Ibn Rushd), Avicenna (al-Fārābī), Maimonide ed Avempace (Ibn Bājja), anche se mai citati, con il Cristianesimo⁽³⁾, opera alla quale contribuì anche Roberto di Lincoln o Grossatesta (1175-1273). Il Papa (Alessandro IV prima ed Urbano IV poi) premeva sui professori secolari perché emendassero Aristotele al fine di renderlo accettabile, ma i domenicani avevano un progetto più ambizioso, quello di eliminare le ristrettezze della visione agostiniana ed eliminare ciò che non va in Aristotele sostituendolo con qualcosa di accettabile. Tommaso rappresenta  il culmine della tradizione aristotelica con l’introduzione di qualcosa che è meno nobile della terra e sta quindi ad un livello più basso, l’Inferno, e di qualcosa che è più nobile dell’etere e sta quindi ad un livello più alto, il Paradiso. Si tratta di una sintesi puramente logica che non aggiunge nulla in termini di conoscenza dell’universo. E Tommaso non fece altro che confermare la tendenza medioevale ad assimilare la filosofia della natura  alla metafisica ed alla teologia e rendere lo studio del mondo circostante un puro esercizio intellettuale elaborato con la logica sillogistica. In definitiva è Dio che comprende in sé tutto l’universo che era di Aristotele ed è Dio che trasmette il moto ad esso. In altri punti dove vi era contrasto tra Aristotele e Chiesa, semplicemente si affermò che Aristotele aveva sbagliato. E Tommaso fa un bell’esercizio della sua logica sillogistica inventandosi 5 prove dell’esistenza di Dio. La prima è per noi d’interesse perché è strettamente connessa con il sistema del mondo di Aristotele.

La catena logica è la seguente:

• nel mondo esiste il mutamento;
• tutto ciò che si muove è mosso da altro;
• se ciò che è causa del moto, a sua volta, si muove, per il punto precedente è necessario che anch’esso sia mosso da qualche altro ente;
• tuttavia, non è possibile procedere all’infinito nell’identificazione delle cause del moto, perché, in tal modo, non si troverebbe mai l’origine del moto;
• ma senza l’origine del moto non ci sarebbe alcun moto, il che è contraddetto dall’esperienza;
• perciò è necessario inferire l’esistenza di un “primo motore”, che non sia mosso da nient’altro. Esiste quindi un “primum movens quod in nullo moveatur”. A tale moto tutti attribuiscono il nome di Dio (ente immutabile che non diviene ma è).

    Il moto delle sfere celesti è generato dalle Intelligenze angeliche. I corpi sublunari sono dislocati secondo la teoria dei luoghi naturali di Aristotele.

    L’organizzazione piramidale del cosmo è analogo alla verticalità dell’ordine spirituale di Dio perfetto; al gradino inferiore nella scala delle sostanze di carattere spirituale c’è l’anima umana. Più in dettaglio, per Tommaso il mondo è unitario e con esso l’intera natura. Il tutto è regolato da un Dio con i suoi angeli che sta ad un estremo mentre l’uomo e la volgare vita terrena all’altro. Lo stesso sistema del mondo era una rappresentazione di tutto ciò. Nell’alto dei cieli Dio in cima, poi gli angeli sempre più giù a seconda dei loro gradi, quindi il cielo delle stelle fino ad arrivare giù giù all’uomo, alla Terra e, sotto di essa a quanto di più orrido si potesse immaginare: specularmente a quanto accadeva nell’alto dei cieli vi era una gerarchia di angeli maledetti (i daemon, i diavoli) organizzati anche qui in gerarchie; più si scende e più si è malvagi, fino ad arrivare al Lucifero che occupa il centro della Terra (una tale descrizione è stata resa stupendamente da Dante).
 

    Con questo artificio molte accuse di materialismo e meccanicismo che venivano mosse ad Aristotele, piano piano andarono cadendo. A partire dal 1278 la sua dottrina divenne quella ufficiale dell’ordine dei domenicani. È interessante osservare una delle questioni che Tommaso pone nella sua Summa Theologica il fatto cioè che sembra impossibile che il corpo di Gesù sia asceso al cielo in quanto: 1) non si intravedono fori nelle sfere celesti; 2) perché i corpi che sono in stato di perfezione sono immobili e quindi non era appropriato al corpo di Gesù il movimento; 3) perché al di là dell’ultima sfera non vi è spazio ed il corpo di Gesù occupa spazio.

Non sembra possibile che Cristo sia asceso al Cielo. Infatti il Filosofo (Aristotele) dice (De Coelo, Libro Il) che le cose che sono in uno stato di perfezione posseggono il loro bene senza movimento. Ma Cristo era in uno stato di perfezione… quindi egli aveva il Suo bene senza movimento. Ma l’ascendere è movimento. Pertanto non sembra appropriato che Cristo sia asceso… Inoltre al di là dei cieli non c’è spazio, come è provato nel De Coelo I. Ma ogni corpo deve occupare dello spazio. Quindi il corpo di Cristo non è asceso al di là di tutti i cieli…
Inoltre due corpi non possono occupare il medesimo spazio. Ma dal momento che non è possibile passare da un posto ad un altro senza attraversare lo spazio intermedio, non sembra che Cristo possa essere asceso oltre tutti i cieli a meno che le sfere cristalline dei cieli non si siano aperte; il che è impossibile [Summa Theologica Parte III, Quaest. XXVII – LIX].
 

    E’ solo un esempio di come, con Tommaso, l’astronomia verrà strettamente legata alla teologia (si veda l’intera opera di Dante) e, più in generale, della trasformazione del mondo in senso teologico, non vi era infatti argomento, per quel che ci riguarda, di filosofia naturale, che non ricadesse nel regno della teologia. Secondo Tommaso⁽⁶⁾, poiché non é possibile che vi siano verità contraddittorie, religione e fede debbono andare d’accordo. Egli incita quindi a studiare la scienza perché ciò serve a consolidare la formazione religiosa ed a sradicare errori e superstizioni. La scienza a cui si fa riferimento è una scienza fondamentalmente empirica perché il modo che noi abbiamo di conoscere è fondamentalmente legato ai nostri sensi, all’esperienza che loro fanno durante la nostra vita. Tommaso limiterà drasticamente la regola benedettina affermando che coloro che sono sacerdoti debbono essere esonerati dal lavoro manuale:

… Il lavoro manuale è indirizzato a quattro scopi: primo e principale, ad ottenere i mezzi per sostentarsi … secondo, a vincere 1’ozio, che è colpevole di molti mali … , terzo, a imbrigliare i desideri, in quanto esso mortifica il corpo … , quarto infine, a fare delle opere di misericordia.
Se uno potesse mantenersi in vita senza mangiare, non sarebbe tenuto a lavorare con le mani. Lo stesso discorso vale per coloro i quali da altre fonti hanno quanto occorre per poter vivere in modo lecito. 
In quanto però il lavoro manuale ha per scopo di vincere l’ozio o di mortificare il corpo, esso di per sé non cade sotto l’obbligo del comandamento, in, quanto oltre al lavoro manuale esistono molti altri modi di mortificare il corpo o di vincere l’ozio.
Da ultimo, in quanto il lavoro ha per scopo le opere di misericordia, esso non cade sotto l’obbligo di comandamento se non, alla  peggio, nel caso in cui uno sia tenuto per un qualche dovere a  compiere. delle opere di misericordia e non abbia nessun altro mezzo per aiutare i poveri.
Se quindi la regola dell’ordine non contiene particolari norme sul lavoro manuale, i religiosi non sono altrimenti obbligati al lavoro manuale che i laici. [Summa Theologica]

      Nonostante le aperture di Tommaso verso la scienza, questa non decollava per svariati motivi. In primo luogo egli e gli altri pensatori erano a livelli culturali lontanissimi da quelli della gente; in secondo luogo l’insegnamento medioevale era centrato quasi esclusivamente sullo studio dei classici che ispiravano timore e rispetto per la loro autorità; in terzo luogo l’illimitata venerazione di cui godeva Aristotele non permetteva passi in avanti sostanziali; infine, e questo è un aspetto molto importante, da una parte non si disponeva di una adeguata conoscenza della matematica (si conquisterà solo nel Cinquecento) e dall’altro nessuno pensava ad intersecare processi di misura con la conoscenza della natura (non è la quantità che ci permette di conoscere l’essenza delle cose, aveva affermato Aristotele). In queste condizioni la scienza non poteva essere altra cosa che una descrizione e classificazione qualitativa alla quale l’unica dimostrazione necessaria era il ragionamento (che aiuta nella classificazione) e quindi il sillogismo (si noti che per Aristotele anche una dimostrazione geometrica è una classificazione). Inoltre la stessa organizzazione oligarchica dello stato può essere vista come giusta in quanto gerarchizzata e quindi costruita ad immagine della natura (ciò faceva molto piacere ad ogni potente).

    Naturalmente mentre da una parte Tommaso saccheggiava le conoscenze arabe, dall’altra scriveva la Summa contra Gentiles (1259-1264) in polemica con i mussulmani che non si convincono della verità della rivelazione. Quegli sconsiderati dovrebbero fa ricorso alla ragione umana per convincersi, ma non intendono farlo.

LA TEORIA DELL’IMPETUS  ⁽⁷⁾

    Sette secoli dopo la teoria di Filopono (VI secolo) alla quale ho precedentemente accennato, venne ripresa dagli arabi Di Spagna a partire da Avicenna. Il problema in discussione era relativo all’aristotelico moto violento, a cosa cioè  manteneva in moto un oggetto scagliato (un proietto). Ricordo che per Aristotele era l’aria che, aprendosi lungo la strada percorsa dal proietto, si richiudeva dietro di esso sospingendolo. Per Filopono invece ciò risultava inaccettabile e, se si lancia un proietto

“è necessario che una certa potenza motrice incorporea sia ceduta al proiettile dallo strumento che lo lancia; l’aria non contribuisce affatto a tal moto, e vi contrasta ben poco…“.

    Quindi il moto sarebbe possibile anche nel vuoto ed anche lì, dopo un poco, la potenza corporea ceduta al proiettile sarebbe venuta meno.

    Questa polemica viene ripresa da Avicenna che in proposito sostiene che la potenza che viene impartita al dato proietto è una qualità per la quale il corpo respinge ciò che gli impedisce di muoversi, una sorta di potenza prestata, una qualità trasmessa al proietto da chi lo lancia (come il calore comunicato ad un corpo o come il suono comunicato ad una campana – quest’ultima immagine è di Galileo che in gioventù abbracciò la teoria dell’impetus). Ma Avicenna modificò quanto sostenuto da Filopono affermando che quel movimento, se fosse avvenuto nel vuoto senza impedimenti, non si sarebbe esaurito come nell’aria ma sarebbe durato all’infinito. Inoltre egli tentò una valutazione quantitativa del fenomeno affermando, con il nostro linguaggio, che la velocità acquistata da un  proiettile scagliato doveva risultare inversamente proporzionale al suo peso e che se si ha a che fare con corpi in moto con la stessa velocità, essi percorrono distanze direttamente proporzionali al loro peso. Avempace, invece si mostrò d’accordo con Filopono affermando che la velocità acquisita da un corpo scagliato deve essere uguale alla potenza che gli viene ceduta alla quale deve essere sottratta la resistenza dell’aria. E ciò deve avvenire anche nel vuoto senza variazioni di velocità del corpo, dove tale corpo deve poter percorrere una data distanza come del resto mostrano le sfere celesti che si muovono con velocità finita pur essendo dotate di un moto moto senza resistenza.

    Averroè attaccò queste posizioni dal suo punto di vista aristotelico. Per lui, Avempace sbaglia a trattare la natura di un corpo dotato di peso come un qualcosa di distinto dalla materia che costituisce il corpo e sbaglia a mettere in relazione le cose materiali con l’Intelligenza immateriale che muove le sfere celesti. In realtà voler parlare di impedimento al moto corrisponde a non tener conto della distinzione aristotelica del moti (naturale e violento) in quanto, se si accettasse la posizione di Avempace, tutti i moti, avvenendo attraverso mezzi corporei, dovrebbero risultare violenti.

        Ho fatto questo cenno alle concezioni di questi studiosi in quanto, nell’Occidente cristiano, il punto di partenza per chi avesse voluto affrontare lo studio della Fisica e del De Coelo di Aristotele erano questi commenti ed in particolare quelli di Averroè che avevano una maggiore autorità. Ed è utile dire che questa polemica fu ripresa da Alberto Magno che si schierò decisamente con Averroè mentre Tommaso d’Aquino assunse la posizione di Avempace nel discutere di questioni metafisiche (cita tre volte questa teoria senza criticarla) ma negò l’impetus nei suoi commenti alla Fisica ed al De Coelo di Aristotele perché considerava contraddittorio un moto violento generato da un principio intrinseco. Anche qui tali posizioni avranno un grande peso negli sviluppi futuri dello studio del moto per l’enorme autorità che aveva acquistato Tommaso. Prima di andare oltre è però utile vedere un esempio dell’uso che fa Tommaso dell’impetus in questioni metafisiche. Come fa un embrione umano a venire dotato di un’anima ? La crea Dio quest’anima, aggiungendola al feto in un dato istante, o viene trasferita dal seme del padre ? Con Dijksterhuis, così lo spiega Tommaso:

Nell’ultimo caso una forza dovrebbe essere operante nel seme come strumento, e ciò diventerebbe impossibile, secondo le concezioni peripatetiche, non appena essa si fosse staccata dall’anima paterna, la quale costituisce il suo movens. In questo contesto viene citato il projectum separatum allo scopo di fare un paragone: come questo ha ricevuto dal projiciens una virtus movens intrinseca, allo stesso modo la virtus in semine patris può anch’essa essere una forza intrinseca permanente. Le opere di Tommaso d’Aquino contengono soltanto riferimenti casuali di questo genere; il problema del projectum separatum in quanto tale non viene mai sollevato.

         Beh, credo si sia capito che il livello delle argomentazioni è questo.

        Usciamo invece dalle discussioni estenuanti eminentemente teoriche ed occupiamoci di una questione di rilievo nella fisica di Aristotele  che interessò molto gli ambienti universitari, in particolare Oxford e Parigi: il luogo, il moto e le variazioni.  A questi temi dette un notevole contributo uno dei maestri dell’Università di Parigi, il canonico Giovanni Buridano (c. 1300 – c. 1358) con la ripresa della teoria dell’impetus che Filopono aveva avanzato secoli indietro. Egli iniziò una critica dell’opera di Aristotele, sulla strada aperta da Guglielmo di Occam (c. 1295 – c. 1349)⁽⁸⁾,  basata su osservazioni di fatti naturali non più ingenuamente empiriche ma mostrando la possibilità di intersecare l’interpretazione teorica al mero empirismo. Si tratta essenzialmente di una critica molto serrata all’idea aristotelica di movimento ma, si badi bene, tutta interna all’aristotelismo stesso. In realtà non si intaccano le basi profonde del filosofo greco ma si cerca al contrario di aggiornarle, di renderle più adatte ad eventuali nuove confutazioni.

      Dice Buridano nel suo Quaestiones octavi libri physicorum:

La prima esperienza è quella della trottola o il torno da fabbro; questo corpo gira a lungo, eppure non esce affatto dal luogo che occupa, sicché l’aria non si sposta per riempire qualche spazio che esso lascia vuoto.
Seconda esperienza: si lanci un giavellotto che abbia all’estremità posteriore una punta acuta come quella dell’estremità anteriore. Esso si muove come un giavellotto comune, avente una sola punta; eppure l’aria che lo segue non potrebbe certo spingerlo con forza, dato che la punta posteriore tende anch’essa a tagliare l’aria.
Terza esperienza: una barca spinta rapidamente contro la corrente di un fiume, non si arresta di colpo, e continua a muoversi per un bel tratto anche quando si cessa di spingerla. Eppure chi vi sta sopra, in piedi, non si sente affatto spinto posteriormente dall’aria, anzi sente che l’aria fa resistenza al moto del suo corpo […] Con la vostra mano vuota voi potete muovere l’aria molto più velocemente che se voi teneste in mano una pietra che vi ripromettete di gettare: supponiamo dunque che quest’aria – grazie alla velocità del suo moto – abbia impeto bastante per muovere rapidamente un sasso: allora spingendo quest’aria verso di voi con la stessa velocità io dovrei darvi una spinta assai impetuosa e sensibile; ma ciò non si verifica affatto.

      E prosegue spiegando in cosa consiste l’impetus:

Ogniqualvolta qualche agente mette in moto un corpo, esso gli impartisce un certo impetus, una certa potenza che è capace di muovere il corpo lungo la direzione impostagli fin dall’inizio, che sia verso l’alto, verso il basso, verso il lato o su un cerchio. Quanto più è grande la velocità che è impressa al corpo dall’agente, tanto più sarà potente l’impetus che gli sarà dato. È questo impetus che muove una pietra dopo che è stata scagliata e fino a che il moto giunge alla fine. Ma a causa della resistenza dell’aria e anche a causa della pesantezza, che inclina il moto della pietra in una direzione differente da quella in cui l’impetus è efficace, questo impetus decresce continuamente. Di conseguenza il moto della pietra rallenta senza interruzione. In definitiva, l’impetus è vinto e distrutto nel punto in cui la gravità lo domina, e da quel momento in poi quest’ultima muove la pietra verso il suo luogo naturale.[…]
Tutte le forme naturali e le disposizioni sono ricevute dalla materia in proporzione a se stessa. Di conseguenza, quanta più materia contiene un corpo, tanto più impetus è possibile impartirgli, e tanto più grande è l’intensità con cui può ricevere l’impetus. […]
Una piuma riceve un impetus così debole che è immediatamente distrutto dalla resistenza dell’aria. Allo stesso modo, se qualcuno getta proietti e mette in moto con uguali velocità un pezzo di legno e un pezzo di ferro, che hanno lo stesso volume e la stessa forma, il pezzo di ferro viaggerà più in là perché l’impetus che gli è impartito è più forte. È per la stessa ragione che è più difficile arrestare una grande ruota da fabbro che si muova rapidamente, che non una piccola. […]
L’esistenza dell’impetus sembra essere la causa per cui la caduta naturale dei corpi accelera indefinitamente. In verità, all’inizio della caduta il corpo si muove per la sola gravità. Quindi cade più lentamente. Ma ben presto questa gravità impartisce un certo impetus al corpo pesante, un impetus che è altrettanto efficace della gravità nel muovere il corpo. Quindi il moto diventa più rapido. Ma
quanto più rapido diventa, tanto più intenso diventa l’impetus. Quindi si può constatare che il moto sarà accelerato continuamente.

        Come si vede le obiezioni ad Aristotele sono dense di contenuti e saranno proprio queste argomentazioni, al di là delle intenzioni di chi le muoveva e delle prime spiegazioni, ad aprire la strada al principio di inerzia (che, attenzione, qui viene negato) che, per altri versi, risulterà importante per l’affermazione di una visione relativistica del moto ed in definitiva del mondo. E’ importante osservare che Buridano applicò la teoria dell’impetus all’intero sistema aristotelico del mondo. Secondo Buridano, fu Dio che avviò il movimento delle sfere celesti, movimento che ancora va avanti grazie all’impetus. Questo associare stesse leggi ai due mondi aristotelici (quello al di sopra e quello al di sotto del cielo della Luna) comincia a rompere quella separazione aristotelica aprendo la strada ad altre rotture più importanti tra cui quella di Copernico.

    Aristotele continuava a dominare dovunque e, come osserva giustamente Dijksterhuis, era relativamente semplice per un astronomo mettere in discussione qualche questione di carattere particolare; se il problema era solo una semplificazione dei conti, correzioni di Aristotele si potevano pure accettare, ma per il filosofo, il filosofo naturale, che doveva pensare di sostituire una immagine del mondo ad una immagine del mondo, il problema si presentava più difficile. Occorreva molto di più. Prove o indizi si dovevano accumulare ancora per secoli.

     Ancora nello stesso periodo altri contributi d’interesse vengono elaborati dal vescovo occamista ed allievo di Buridano, Nicola Oresme (c. 1323 – 1382). Tralasciando molte altre sue opere poco significative, sono d’interesse le sue Questioni sugli Elementi di Euclide e le De configurationibus qualitatum (opera che non fu mai stampata). Viene qui per la prima volta presentata una tecnica che pian piano rivoluzionerà i rapporti tra numeri e disegni. Egli per primo ricorse alla rappresentazione grafica per rendere evidenti le variazioni di certe qualità in funzione di alcuni parametri presi a riferimento. Per circa un secolo la Scolastica discuteva animatamente di qualità aristoteliche ora diventate forme. La variazione delle forme era argomento appassionante e per capirlo pensiamo ad una di queste forme, la velocità (ma andrebbe bene anche la temperatura). E’ evidente che, nel disquisire, si cercavano delle caratteristiche, dei modi per descrivere come variavano certe forme. Abbiamo già visto che gli strumenti matematici erano poveri ed in assenza di questi erano inevitabili lunghe ed estenuanti discussioni. Nonostante queste difficoltà ad Oxford (al Merton College tra il 1328 ed il 1350) si era riusciti a fornire a parole una legge di variazione di forme che riguarda una delle proprietà di quello che noi conosciamo come moto uniformemente accelerato (caduta di un grave), con l’accelerazione ancora non definita ma più o meno intesa come la velocità di una velocità. La legge può essere detta così (Boyer):

se un corpo si muove di moto uniformemente accelerato, la distanza percorsa sarà quella che avrebbe percorso un altro corpo dotato di moto uniforme per lo stesso intervallo di tempo con una velocità uguale a quella raggiunta dal primo corpo nell’istante di mezzo dell’intervallo temporale. Formulando tale regola con la terminologia moderna, diremmo che [in un moto uniformemente accelerato, ndr] la velocità media  è la media aritmetica della velocità iniziale e di quella finale. […Siamo cioè di fronte al] valore medio di una forma “uniformemente difforme”, ossia di una forma il cui tasso di variazione è costante.

     Si capisce bene che questa scoperta è quasi priva di significato se non la si formalizza per poi operare ancora su di essa. Oresme non ha gli strumenti matematici per scrivere ciò che abbiamo letto e che egli conosceva, ma mette in relazione le variazioni di intensità di una data forma (ad esempio: la velocità), distinguendo tra la sua extensio  e la sua intensio. Egli introduce un sistema di due rette perpendicolari (assi coordinati), una chiamata latitudo e l’altra longitudo,

sulle quali egli riporta nell’ordine i valori dell’extensio ed intensio. Ciò vuol dire che data una forma sull’asse longitudo, la sua latitudo è il grado maggiore o minore in cui quella qualità era posseduta e le discussioni vertevano sull’intensio o la remissio di essa, se cioè essa si era accresciuta o diminuita. Si capisce che questa modo di descrivere le cose discende da quanto realizzato in ambito geografico, ad esempio da Tolomeo. Egli ha in mente di rappresentate la quantità di una forma (o anche la quantità di una qualità) per mezzo di una rappresentazione geometrica che avrebbe originato una figura. Era tale figura al centro del suo interesse perché da essa si sarebbero capite meglio le proprietà intrinseche della forma che cambiava. Come è chiaro non siamo di fronte a degli assi cartesiani, qui non c’è alcuna associazione di una figura o curva con una legge matematica che lega insieme un paio di variabili. Ma si può dire che è iniziare a porre il problema di visualizzare graficamente alcune grandezze che variano, l’una in relazione all’altra. Con il suo metodo, detto latitudo formarum, Oresme dette una dimostrazione geometrica di quella legge trovata ad Oxford. Portando il tempo sulla longitudine e la velocità sulla latitudine, egli così ragiona: 

Ogni qualità, se sarà uniformemente difforme, ha la stessa quantità che avrebbe se fosse la qualità dello stesso soggetto o di uno uguale, uniforme secondo il grado del punto medio di tale soggetto. E intendo, secondo il grado del punto se la qualità sarà lineare. Se invece sarà la qualità di una supeficie, secondo il grado della linea media …
Dimostreremo in primo luogo questa proposizione per una qualità lineare.
Sia dunque una qualità rappresentabile con un triangolo ABC. Essa è una qualità uniformemente difforme che, nel punto B, termina a zero.

 Sia D il punto medio della linea rappresentante il soggetto; il grado di intensità che agisce su questo punto è rappresentato dalla linea DE. La qualità che avrà ovunque il grado così designato può dunque essere rappresentata dal quadrilatero AFGB … Ma in virtu della 26ª proposizione del I libro di Euclide, i due triangoli EFC ed EGB sono uguali. Il triangolo maggiore, che rappresenta la qualità uniformemente difforme, e il quadrilatero AFGB, che rappresenta la qualità uniforme secondo il grado de1 punto medio, sono dunque uguali. Le due qualità che possono essere rappresentate l’una dal triangolo e l’altra dal quadrilatero sono perciò anch’esse uguali, come volevasi dimostrare.
Nello stesso modo si ragiona di una qualità uniformemente difforme terminata a entrambe le estremità a un certo grado …
A proposito della velocità, si può dire esattamente la stessa cosa come per una qualità lineare, solo che invece di dire “punto medio” bisognerà dire “istante medio del tempo che misura la velocità.”
È perciò evidente che ad ogni qualità o velocità uniformemente difforme corrisponde esattamente una qualità o velocità uniforme. [citato da Crombie]

Il disegno originale di Oresme nel suo manoscritto mai stampato

      Tornando a quanto anticipavo prima a proposito di ciò che interessava a Oresme (la figura e non l’andamento di una funzione), dice Boyer:

Mentre noi  diciamo che il grafico della velocità  di un moto uniformemente accelerato è una linea retta, Oresme scriveva: Qualsiasi qualità uniformemente difforme che termina con intensità zero viene immaginata come un triangolo rettangolo.

     Non vorrei però che si restasse soddisfatti di questa acquisizione cinematica. Il fatto più importante è in realtà l’acquisizione del concetto di variabilità continua delle grandezze in matematica. E’ una assoluta novità rappresentare con una linea geometrica una variazione continua.

      Ciò che ho detto è comunque tutto ciò che ebbe un qualche rilievo al chiudersi del XIV secolo. La teoria dell’impetus non ebbe maggiore trascendenza; essa nel XV secolo si diffuse a Padova, che era allora sotto il controllo non già della Chiesa ma di Venezia, e non produsse nulla di più di quanto si sapesse a Parigi. Il fatto è che le Università nate per far esplodere il meglio delle conoscenze, finite sotto gli insegnamenti di ordini religiosi o tomisti, erano diventati luoghi, lo ripeto, di inutili ed inconcludenti infinite disquisizioni.

      All’inizio del XV secolo ed oltre furono le persone dotte ed ancora gli artigiani, costituitisi come ceto borghese sempre più intraprendente, a dare importanti contributi al sorgere della scienza moderna. Serviva una nuova mentalità rispetto al mondo, non più quella statica ed immobile della rivelazione ma quella dell’imprenditore dinamico che ha bisogno di aprire i suoi orizzonti e le sue conoscenze. Nasce inoltre, nel mondo artigiano, l’esigenza di sperimentare processi produttivi, di sporcarsi le mani con prodotti artigiani sempre più raffinati che avevano dentro una quota parte sempre maggiore di scienza applicata ma ancora non formalizzata. Mentre, per parte loro, alcuni dotti⁽⁹⁾ metteranno a sempre più serrata critica le conoscenze tradizionali che dominavano ovunque. Il passo che si attendeva era quello del coniugare una matematica dotta con i processi sperimentali artigiani, un qualcosa completamente al di fuori della tradizione tomistica.

     Si deve qui tener conto che nel 1447 fu inventata la stampa a caratteri mobili  e che essa fu decisiva al diffondersi di conoscenze ed anche alla messa in discussione di esse: caso clamoroso fu proprio quello della Bibbia che fu letta direttamente dai cristiani ed in tempi brevi portò alla Riforma.

LEONARDO DA VINCI

    Nacque a Vinci, vicino Firenze nel 1452, studiò a Firenze dove incontrò matematici del calibro di Luca Paioli e Paolo Toscanelli. Lavorò a Milano presso la corte di Ludovico il Moro, fu a Roma alla corte di Papa Leone X e quindi in Francia dove morì nel 1519. Il suo spirito fu di libero pensatore, spirito che riuscì a coltivare perché operò sotto il regno di quel Papa che era uno degli ultimi finti tolleranti. Come dice Forti, una illusione, giacché la tolleranza dei papi era, in realtà, una tolleranza di modesta lega, connessa non solo alla cultura, ma anche all’amore per la ricchezza, lo sfarzo, l’esibizione e la dolce vita, più che non ispirata ad una superiore visione etica e sociale.

    L’idea che la natura si possa matematizzare emerge per la prima volta con chiarezza proprio in Leonardo, verso la fine del Quattrocento. Egli mostra di possedere un vero culto per la matematica e più volte ne tesse le lodi: 

Occorre servirsi dell’esperienza nella meccanica e che la meccanica è il paradiso delle scienze matematiche perché è proprio con la meccanica che si arriva al nocciolo della matematica. […] Chi biasima la somma certezza delle matematiche si pasce di confusione, e mai porrà silenzio alle contraddizioni delle sofistiche scienze, colle quali s’impara uno eterno gridore.[…] Nessuna umana investigazione si può dimandare vera scienza, s’essa non passa per le matematiche dimostrazioni […] Nessuna certezza è dove non si può applicare una delle scienze matematiche, over che non sono unite con esse matematiche […] Non mi legga chi non è matematico, nelli mia principi.

    Con Leonardo compare quindi una prima affermazione puntuale sulla necessità di usare la matematica per conoscere la natura. Per quanto se ne sa egli però non conosceva la matematica e, fino a tarda età, neppure il latino (omo senza lettere), un vero grave limite che Leonardo riconosce, criticando chi disquisisce e basta e rivendicando però la migliore scuola della sperienzia:

Sebbene, come loro, non sapessi allegare gli autori, molto più degnia cosa a leggere allegando la sperienzia, maestra ai loro maestri. Costoro vanno sgonfiati e pomposi, vestiti e ornati non delle loro, ma delle altrui fatiche; e le mia a me medesimo non conciedono; e se me inventore disprezzeranno, quanto maggiormente loro, non inventori ma trombetti e recitatori delle altrui opere, potranno essere biasimati [da Il Codice Atlantico, f. 117, r.b.].

In ogni caso, privo della conoscenza della matematica, egli non potrà fare il passo che pure ambisce fare e che gli è quotidianamente suggerito dalle macchine che progetta, dalla tecnica del mondo che lo circonda, dall’esperienza non ingenua che egli continuamente reclama: l’esperienza delle cose è un fatto ben diverso da ciò che noi pensiamo debba essere.

La scienza strumentale, over machinale, è nobilissima, e sopra tutte l’altre utilissima. […] E se tu dirai che le scienze, che principiano e finiscono nella mente abbiano verità, questo non si concede, ma si niega, per molte ragioni, e prima, che in tali discorsi mentali non accade esperienzia, senza la quale nulla dà di sé certezza. […] A me pare che quelle scienze sieno vane e piene di errori, le quali non sono nate dall’esperienzia, madre di ogni certezza, o che non terminano in nota esperienzia cioè che la loro origine o mezzo o fine non passa per nessuno dei cinque sensi. E se noi dubitiamo della certezza di ciascuna cosa che passa per li sensi, quanto maggiormente dobbiamo dubitare delle cose ribelli a essi sensi, come dell’essenzia di Dio e dell’anima e simili, per le quali sempre si discute e contende, e veramente accade che sempre, dove manca la ragione, supplisse le grida, la qual cosa non accade nelle cose certe. […] Ma prima farò alcuna esperienza, avanti che io più oltre proceda, perché mia intenzione è allegare prima l’esperienza, e poi colla ragione dimostrare perché tale esperienzia è costretta in tal modo ad operare. E questa è la vera regola come li speculatori delli effetti naturali hanno a procedere, e ancora che la natura comincia dalla ragione e termini nella sperienzia, a noi bisogna seguitare in contrario, cioè cominciando, come di sopra dissi, dalla sperienzia, e con quella investigare la ragione.

    Mentre le prime esaltazioni della matematica potrebbero far pensare ad una qualche adesione di Leonardo al platonismo, le ultime citazioni riguardanti lo sporcarsi le mani e il grande ruolo che l’esperienza riveste per lui, mostrano che il platonismo è negato dall’affermazione di un metodo sperimentale che Leonardo cerca di costruire. Sta piano piano accadendo ciò che avevo anticipato pagine indietro: si inizia a sentire la necessità di utilizzare la matematica nella spiegazione del mondo e iniziano ad intersecarsi le due tradizioni, quella platonica e quella aristotelica. Ma dietro i lavori di Leonardo si sente anche la forte esigenza di liberare il mondo naturale dalla teologia e dalle spiegazioni metafisiche.

    E come esempio dell’esperienza delle cose come un fatto ben diverso da ciò che noi pensiamo debba essere, egli afferma (e non si sa bene se la cosa gli provenisse da Cusano): noi pretendiamo che il Sole giri intorno alla Terra ed invece è immobile ed anche: nel tuo discorso hai a concludere la terra essere una stella quasi simile alla luna, e così proverai la mobilità del nostro mondo.. Questo scrive Leonardo prima che Copernico scriva una qualche cosa sull’argomento. E’ di interesse tutto ciò, a lato della poliedrica figura di Leonardo, per capire che i tempi stavano rapidamente maturando ed il raccolto già si cominciava ad intravedere.

      Leonardo proseguì anche gli studi di Giordano Nemorario sulle componenti delle forze, approfondendo il concetto della componente di un peso nel senso della traiettoria considerando anche la componente normale alla traiettoria stessa. Si deve a lui la decomposizione, nel piano inclinato, del peso secondo le sue componenti (parallela al piano e perpendicolare ad esso) e la scoperta del teorema, importante per la risoluzione numerica della composizione o scomposizione delle forze, che oggi possiamo enunciare così: il momento della risultante di due forze concorrenti rispetto ad un punto preso su una delle componenti, è uguale al momento dell’altra componente rispetto allo stesso punto. Questa scoperta è evidentemente legata proprio ai suoi lavori su macchine poiché, risulta evidente, che una tale proprietà non è empiricamente osservabile. Egli lavorò anche sui centri di gravità degli oggetti, con le carrucole, con le resistenze di travi e colonne, sia per trazione che per torsione che per appoggio. 

        Leonardo è uno dei primi studiosi rinascimentali che si imbeve di classici. La sua meccanica si basa sull’assioma aristotelico della forza motrice proporzionale al peso del corpo mosso ed alla velocità che gli viene impressa. La sua dinamica proviene invece dalla teoria dell’impetus. I suoi studi di statica hanno chiari antecedenti in Giordano Nemorario ed in Pappo, mentre nell’idrostatica, oltre ad ispirarsi a Nemorario trasse spunti da Stratone. Leonardo studiò anche la geometria greca per quanto gli serviva per risolvere alcuni problemi relativi alla teoria delle lenti, ma qui si sentono gli influssi ancora di Aristotele e di Nicola Cusano. Le conoscenze matematiche di Leonardo sono dovute a Luca Pacioli, di cui dirò più avanti, che gli regalò una sua opera, la Summa. Può sembrare strano ma il nostro non prestò mai attenzione all’algebra: forse la trovava troppo difficile o troppo astratta. Egli studiò e si servì molto di Plinio così come riprese quasi interamente le teorie geometriche esposte nel Timeo di Platone. Ma Leonardo si occupò anche di geologia, dei movimenti della crosta terrestre riprendendo e ripresentando all’attenzione dei suoi contemporanei alcune vedute di Aristotele, Lucrezio, Ovidio, Senofane di Colofone, Eraclito, Eratostene, Strabone. Non sembra invece che Leonardo abbia letto Archimede. Quest’ultimo giocò un ruolo di estrema importanza nel Rinascimento perché portava in sé un modo di affrontare i problemi che non era immediatamente riconducibile né ad Aristotele né a Platone. Archimede è il portatore di una tradizione che non è esoterica, non ha riferimenti con magie o cose occulte, non cercava armonie matematiche né significati religiosi all’interno della matematica. Archimede era il matematico dell’antichità che era riuscito meglio a coniugare lavori teorici con ricerca ‘sperimentale’. E per questo diventò l’ideale del Cinquecento. Egli sceglieva problemi ben determinati e delimitati; quindi li manipolava matematicamente (non misurava direttamente, almeno così sembra); formulava poi delle ipotesi che diventavano (Euclide) degli assiomi e verificava per mezzo di semplici esperimenti. Da ciò deduceva qualche conseguenza che di nuovo andava a verificare sperimentalmente.
        Come si vede Archimede ha in sé tutta la potenzialità dell’essere riconosciuto maestro del Rinascimento. Eppure Leonardo non lo conobbe direttamente, anche perché mancavano ancora traduzioni del corpo principale della sua opera.
        Mi sono soffermato in particolare su Leonardo solo per far almeno intuire la vastità delle letture che erano diventate disponibili. Quanti problemi nuovi venivano posti da ogni parte, quale bisogno di leggere e conoscere vi fosse.

        Con Leonardo siamo nella fase di transizione dal periodo che abbiamo appena studiato al Rinascimento. Ma Leonardo è anche personaggio non facilmente inseribile in una storia della scienza. Le sue cose le conosciamo a posteriori. Egli fu un genio universale in tutto (meno che in matematica e nella comunicazione scritta) ma operò come un artigiano geloso della sua produzione che deve restare segreta ed in tal modo non creando alcuna scuola non formando allievi e continuatori. Altro è e deve essere lo spirito dello scienziato come si andrà affermando proprio nel Rinascimento. In questa epoca, oltre ad aprirsi alla comunicazione ed allo scambio di informazioni, si tratterà di riprendere le fila di molti discorsi iniziati, tentati, mai fatti. Di mettere insieme le conoscenze matematiche con le pratiche artigianali, con lo sviluppo delle macchine, con le sfide architettoniche. Dopo il piccolo Rinascimento del VI secolo quello che si annuncia è un altro Rinascimento.

      Ma di tutto questo ci occuperemo nella terza parte di questo lavoro che partirà proprio dai contributi degli artisti e dei matematici per arrivare a tutte le premesse che saranno costruite per l’elaborazione dei lavori di Galileo.

 NOTE

(1) Riporto di seguito le date approssimative di alcuni contributi scientifici succedutisi dal V al XV secolo. Alcune delle cose qui solo accennate le riprenderò nel testo quando riterrò che abbiano particolare rilevanza.

– II metà V sec. Il matematico e astronomo indiano Aryabhata (476-?), nell’opera intitolata Aryabhathiya, espone regole elementari di aritmetica, di algebra e di trigonometria piana.

– II metà IV sec. Teone di Alessandria, matematico e astronomo greco, menziona la precessione degli equinozi, e accetta il valore che di questa dà Tolomeo, un grado per secolo. È interessante osservare che, se si esclude Tolomeo stesso, Teone è uno dei due scrittori antichi che parli della maggior scoperta di Ipparco, e l’unico che la accetti.

– I metà V sec. I Siddhāntas sono le prime opere astronomiche indù condotte con impegno scientifico: si tratta di cinque trattati più o meno fortemente influenzati dall’astronomia tolemaica e dalla trigonometria greca, non privi però di originali innovazioni.

– II metà V sec. Aryabbata pensa che la rotazione dei cieli sia soltanto apparente, e dovuta alla rotazione della Terra sul proprio asse: questa ipotesi non sarà accettata dall’astronomia indù più tarda.

– II metà V sec. Proclo di Bisanzio suggerisce che la massima distanza di un pianeta dalla Terra è pari alla distanza minima del pianeta immediatamente successivo. di modo che tra le sfere non vi sarebbe spazio libero; tale idea godrà grande popolarità nel Medioevo. Proclo parla della precessione degli equinozi, che però nega.

– II metà V sec. Proclo Diadoco di Bisanzio, filosofo neoplatonico, matematico e astronomo, nel suo commentario agli Elementi di Euclide, discute di il postulato delle rette parallele, e ne tenta la dimostrazione.

– I metà VI sec. Nel trattato Sul sillogismo categorico e ipotetico, Manlio Severino Boezio (480-524) riassume i risultati delle dottrine logiche dell’antichità.

– I metà VI sec, Severino Boezio dà la regola per trovare il numero di combinazioni di n oggetti presi due alla volta.

– I metà VI sec. Ammonio di Alessandria, filosofo greco, divide le matematiche in quattro branche: aritmetica, geometria, astronomia e musica, classificazione che sarà accettata per tutto il Medioevo.

– I metà VI sec. A Damascio di Damasco (458?-533?), filosofo neoplatonico, è attribuita, senza sicuro fondamento, l’aggiunta agli Elementi di Euclide di un quindicesimo libro, sulla iscrizione dei solidi regolari.

– I metà VI sec. Giovanni Filopono, filosofo alessandrino, scrive il primo trattato sull’astrolabio, l’unico che ci sia giunto dai tempi antichi.

– I metà VI sec. Giovanni Filopono critica la teoria aristotelica della causa del moto e pone i fondamenti della teoria dell’impetus.

– I metà VI sec. Simplicio, discepolo di Ammonio, filosofo greco, spiega la stabilità dei corpi celesti con l’eccesso del loro impeto sulla loro gravità.

– I metà VI sec. Severino Boezio scrive manuali di aritmetica, musica, geometria ed astronomia che avrasnno grande influenza per tutto il Medioevo. 

– 530. Antemio di Tralles (?-534), matematico e ingegnere bizantino, dà un metodo di costruzione dell’ellisse sfruttando la costanza della somma dei raggi vettori partenti dai due fuochi.

– 595. Nell’iscrizione indiana di Gurgara compare la più antica testimonianza di numerazione posizionale.

– VII sec. Nel Siddhānta, un trattato dì algebra, Brabmagupta (598-660), indiano. espone il sistema di risolvere equazioni indeterminate di primo e secondo grado.

– I metà VII sec. Il De natura rerum del vescovo Isidoro di Siviglia (560-636) è un compendio di cosmografia, astronomia e meteorologia.

– II metà VII sec. La prima allusione ai nove numerali indù, al di fuori dell’India, è del filosofo e scienziato Severo Sebokh di Nisibe, che ne apprezza pienamente il valore.

– II metà VII sec. Severo Sebokht scrive un trattato sull’astrolabio, basato interamente su fonti greche.

– VIII sec. Nel De computo vel loquela digitorum, Beda il Venerabile (672-?) insegna un metodo per indicare i numeri ed eseguire semplici operazioni servendosi delle dita delle mani.

– I metà VIII sec. Una notevole teoria sulle maree si trova nel De temporum ratione del venerabile Beda, basato su Plinio, ma anche su personali osservazioni: contiene il primo riferimento all’intervallo medio tra il passaggio della Luna sul meridiano e la susseguente alta marea.

– c. 750. Traduzione in arabo dei libri astronomici Siddhānta indiani, per opera di Ibrāhim Al Fazari.

– VIII sec. Alcuino (735-804) compone le Propositiones ad acuendos iuvenes, raccolta di insegnamenti e problemi matematici per l’istruzione scolastica.

– II metà VIII sec. Ibrahim al Fazari, astronomo arabo, tra i primi a costruire astrolabi, è autore di vari trattati, sull’astrolabio, sulle sfere armillari, sul calendario.

 – 750. Con lo stabilirsi del califfato degli Abbasidi a Bagdad in questa città si radunano numerosi scienziati arabi facendone  il centro del pensiero scientifico.

– VIII o IX sec. L’arabo Jābir Ibn Haiyān scrive un trattato sulla natura delle forze magnetiche. 

– II metà VIII sec. Paolo Diacono (c. 720-797), storico benedettino, spiega le maree supponendo l’esistenza di abissi in cui l’acqua è assorbita, e da cui è rigettata due volte al giorno.

– c. 800. L’arabo Messahala (?-815) costruisce un astrolabio. 

– I metà IX sec. Al-Hajjāj ibn Yūsuf è il primo traduttore arabo degli Elementi di Euclide, e uno dei primi traduttori dell’Almagesto.

– 807. Il califfo arabo Hārūn-al Raschid offre in dono a Carlo Magno una clessidra di bronzo divisa in dodici parti.

– I metà IX sec. In gran parte basato su Euclide, Erone, Tolomeo, è il trattato di ottica geometrica e fisiologica di al-Kindi (?-873), conosciuto sotto il titolo latino di De aspectibus.

– I metà IX sec. Le prime tavole astronomiche arabe sono opera del matematico e astronomo al-Khwārizmī.

– I metà IX sec. Sahl al-Tabari (c. 838 – 923), astronomo e medico ebreo, è il primo traduttore dell’Almagesto in lingua araba.

– IX sec. Al Khwārizmī (?-850 c.), arabo, compone un trattato intitolato Al-gebr wa ‘l mukabala (da cui deriverà il nome di algebra) attraverso cui è introdotto in Occidente il sistema arabo-indiano di numerazione decimale. Egli introduce nella trigonometria la nozione di seno, già nota agli Indiani.

– c. 825. Le prime notizie del sistema di numerazione indiano si hanno dal trattato Algoritmi de numero Indorum, traduzione latina dì un originale arabo andato perduto.

– 832. Il califfo Al-Ma’mūn fonda a Bagdad la Casa della Saggezza dotata di un osservatorio astronomico. Si misura l’inclinazione dell’eclittica e il meridiano terrestre. 

– Metà IX sec. La misurazione della sfera, la trisezione dell’angolo, la determinazione di due medi proporzionali tra due quantità date sono problemi trattati nell’opera matematica dei Banū Mūsā.

– I metà IX sec. Abū Nasr al-Fārābī (?-951), filosofo arabo, scrive un trattato sul vuoto dove descrive i suoi esperimenti in materia e confuta l’esistenza del vuoto. In questo saggio è contenuta un’analisi dei risultati sperimentali basata sull’elasticità dell’aria.

– I metà IX sec. L’arabo al-Fārābī, originario del Turkestan, scrive un trattato di musica.

– IX sec. Le opere di fisica di Aristotele sono studiate dall’arabo Hunayn ibn Ishāq (809-877) e dai suoi numerosi collaboratori.

– 860. Il califfo Al-Musta’in affida al monaco nestoriano Qustā ibn Lūqā, di Baalbek l’incarico di tradurre la Meccanica di Erone. Nello stesso periodo viene tradotta in arabo da traduttore ignoto la Pneumatica di Filone. Per questa via numerosi altri testi greci scientifici vengono fortunatamente conservati.

– 860. Il Libro degli Artifizi, un trattato che riassume le cognizioni di meccanica, sviluppate dalla meccanica ellenistica, degli scienziati arabi è preparato a cura dei   Banū Mūsā (tre figli di Mūsā ibn Shakir). In questo trattato vengono descritti cento pezzi diversi di apparecchi scientifici.

– IX sec. Il geometra arabo Thābit ibn Qurra (c.826 – 901) nel Liber Charastonis formula la teoria della bilancia romana a bracci eguali.
 
– c. 860. Al-Māhānī, matematico e astronomo persiano, scrive commentari alle opere di Euclide e di Archimede; tenta vanamente di risolvere il problema di dividere per mezzo di un piano una sfera in due parti il cui rapporto sia dato.

 – 866. Giovanni Scoto Eriugena (?-870), irlandese, amplia il sistema di Eraclide ammettendo che anche Marte e Giove ruotano intorno al Sole.

– II metà IX sec. Alle otto sfere tolemaiche una nona è aggiunta da Thābit ibn Qurra, il cosiddetto primum mobile, allo scopo di spiegare l’immaginario fenomeno della trepidazione degli equinozi: questa erronea teoria è a lui in gran parte dovuta, e le sue ripercussioni saranno sensibili per secoli.

– II metà IX sec. Al matematico e astronomo arabo Thābit ibn Qurra, vissuto a Bagdad, e alla scuola di traduttori di cui è il fondatore, si deve la traduzione in arabo di opere di Archimede, Euclide, Teodosio, Tolomeo. 

– Fine IX sec. Al Battānī, latinamente Albatenio (858-929), nell’opera Az-Zig, ossia Tavole Astronomiche, corregge i luoghi e i movimenti degli astri determinati da Tolomeo e compila delle carte celesti partendo dal meridiano di ar-Raqqali, sull’Eufrate, luogo delle sue osservazioni. Compie accurate osservazioni astronomiche, ottenendo risultati notevolmente precisi nel calcolo dell’inclinazione dell’eclittica e del valore della precessione degli equinozi. Dimostra la possibilità di eclissi solari anulari. 

– Fine IX sec. Nella parte del suo trattato di astronomia riguardante la trigonometria, Al Bāttānī (858-929), arabo, espone il teorema del coseno per i triangoli sferici.

– I metà X sec. Ibrāhīm ibn Sinān (908-946), matematico e astronomo mussulmano, scrive commentari all’Almagesto e al primo libro delle Coniche di Apollonio. Il suo metodo per la quadratura della parabola è il più semplice e il migliore scoperto prima dell’invenzione del calcolo integrale.

– c. 960. I 56 risultati possibili del getto di 3 dadi (senza tener conto delle permutazioni) sono enumerati a Cambray (Francia settentr.) dal vescovo Wibold, inventore di un gioco di dadi per monaci (gettando i dadi si sceglieva una virtù da praticare per 24 ore); la notizia è riferita dal cronista Balderico, XI sec.

– II metà X sec. La monaca benedettina Hrosvitha (935 – ?), storica e poetessa, fa cenno dei primi quattro numeri perfetti: 6, 28, 496, 8128; un numero si dice perfetto quando è uguale alla somma dei suoi fattori escluso il numero stesso.

– II metà X sec. Abū Sahl Al Kūhī, arabo, in un trattato di geometria tratta la trisezione dell’angolo e la cubatura del paraboloide ellittico.

– X sec. Abd Al-Rahmàn, astronomo arabo (903-986), nel suo Libro delle stelle fisse, fornisce dati così precisi che sono tuttora utili come confronto per la variazione di luminosità delle stelle.

– c. 970. Nel Libro di Euclide sulla bilancia, opera araba di ignoto autore, è contenuta una dimostrazione geometrica della legge sulla leva.

– 976. Il più antico documento europeo di data sicura contenente traccia dei numerali indù è un manoscritto latino, il Codex Virgilanus, scritto nella parte cristiana della Spagna.

– X sec. L’invenzione dell’arpa eolia è attribuita a un arcivescovo di Canterbury.

– X sec. Il matematico arabo Abū l’Wafā’ (940-997), nel Libro di costruzioni geometriche, studia la determinazione di quadrati equivalenti alla somma di altri e la costruzione di poliedri regolari e compila tavole di seni e tangenti trigonometriche.
 

– II metà X sec. Il problema della trisezione dell’angolo è risolto in modo puramente geometrico dal matematico arabo al-Sijrī (951-1024) per mezzo dell’intersezione di un circolo con un’iperbole equilatera.

– c. 988. Al Kūhī, matematico e astronomo arabo, capo dell’osservatorio costruito da Sharaf al-Dawla, è particolarmente interessato a quei problemi di Archimede e di Apollonio che conducono a equazioni di grado superiore al secondo: egli ne risolve alcune, e discute le condizioni di risolubilità.

– 988. Il sultano Sharaf al-Dawla fa costruire nel giardino del suo palazzo di Baghdad un osservatorio astronomico per osservare il corso dei sette pianeti.

– X sec. Gerberto di Aurillac (c. 930-1003) compone opere di aritmetica sull’uso dell’abaco e sulla divisione dei numeri e in un trattato di geometria insegna il sistema di trovare i lati di un triangolo rettangolo date l’ipotenusa e l’area.

– Inizio XI sec. Il mussulmano Ibn al Haitham (965-1039) compone un trattato di geometria dedicato alla curvatura del solido generato dalla rotazione di una parabola attorno al suo diametro.

– c. 1020. Un chiaro ragguaglio sull’uso dello zero nella letteratura scientifica sanscrita è contenuto nel Compendio di calcolo del matematico indiano Srīdhara (991-?) che contiene le proposizioni: a ± 0  =  a;  0 x a  =  0; a x 0 = 0.

– Inizio XI sec. Il grande filosofo arabo Abu-Ibn Sīnā, conosciuto in Occidente come Avicenna (980-1037), usa la regola del nove per provare l’esattezza delle addizioni e moltiplicazioni.

– Inizio XI sec. L’arabo Ibn-al-Haitham (965-1039), di Basra, noto in Europa con il nome di Alhazen, scrive l’Ottica, in cui espone le sue osservazioni: nel campo della riflessione ottica le leggi già conosciute da Euclide vengono estese al caso degli specchi concavi e parabolici; nel campo della rifrazione ne scopre la prima legge, deduce il principio che la luce sceglie il percorso più facile e più rapido e il principio d’inerzia, e studia il rettangolo delle forze; scopre l’aberrazione sferica; stabilisce il fuoco esatto del paraboloide; studia la lente d’ingrandimento e la rifrazione atmosferica. Egli, come pure Ibn Sīnā e Al-Birūni, contrariamente alle teorie ellenistiche (Euclide, Tolomeo), ritiene che i raggi luminosi provengono all’occhio dall’oggetto e non viceversa.

– Inizio XI sec. Ibn Sīnā osserva che se la luce è dovuta all’emissione di particelle dalla fonte luminosa, la sua velocità deve essere finita.

– Inizio XI sec. Ibn Sīnā nel suo trattato sulla meccanica espone i suoi studi di dinamica e ha chiara percezione del principio d’inerzia; inoltre descrive la costruzione di apparecchi scientifici tra cui uno strumento molto simile al nonio.

– XI sec.  Al-Birūni compie accurati studi sulla densità specifica, giungendo alla precisa determinazione del peso specifico di 17 tra pietre e metalli preziosi.

– I metà XI sec. La più antica opera, in Occidente, che tratti dell’abaco in modo completo è un sommario delle lezioni tenute a Parigi da Gerberto di Aurillac (c. 930-1003), scritto dal matematico Bernelino, suo allievo.

– I metà XI sec. Il matematico arabo Al-Bīrūnī (973-1048) riconduce il problema della costruzione di un ennagono regolare alla risoluzione di una equazione di terzo grado.

– I metà XI sec. L’astronomo arabo ibn Yūnus (?-1009) compie osservazioni astronomiche dall’osservatorio del Cairo, prepara tavole astronomiche e migliora il valore delle costanti astronomiche.

– XI sec.  Al-Bīrūnī (973-1048) discute la questione se la Terra ruoti sul suo asse o no, senza giungere a una definitiva conclusione.

– I metà XI sec. Radolfo di Liegi è probabilmente il primo scrittore a far cenno dell’astrolabio nell’Ovest latino.

– I metà XI sec. Abū Bakr al-Bāqilānī, teologo mussulmano (?-1013), estende i concetti dell’atomismo greco al moto e al tempo, che egli considera essenzialmente discontinui.

– I metà XI sec. Guido d’Arezzo (c. 990-1050) denomina le sette note ut re mi fa sol la si.

– 1029. L’astronomo arabo Al-Zarqāli (1029.1087) redige le tavole astronomiche dette toledane.
 
– XI sec. Al Karkhī (?-1029) in uno scritto di aritmetica determina la somma delle potenze prime, seconde e terze dei primi numeri della serie naturale.

– 1025. Le conoscenze di matematica e di geometria nell’Ovest latino sono illustrate da un’interessante corrispondenza tra due maestri di scuola, Ragimboldo di Colonia e Radolfo di Liegi. La loro geometria è poverissima, probabilmente al di sotto del livello della geometria greca prepitagorica.

– XI sec. Lo Pseudo-Boezio, un trattatello di geometria, parla dell’abaco a gettoni e ‘apici’ o ‘cifre d’abaco’.

– II metà XI sec. L’abate benedettino Ermanno di Reichenau (1013-1054) scrive un chiaro e conciso trattato sull’abaco, in cui non vi è cenno di numerali diversi dai numerali romani.

– 1070. L’arabo spagnolo Al-Zarqā1i costruisce un astrolabio universale a una sola lamina, particolarmente adatto per la navigazione, insieme con numerosi altri strumenti scientifici.

– Fine XI sec. Il religioso Teofilo nella Schedula diversarum artium dà una regola empirica per fabbricare campane che suonino la tonica, la terza, la quinta e l’ottava. 

– Inizio XII sec. Il poeta e matematico persiano Omar al·Khayyāmi (?-1123) sviluppa il sistema di calcolo dei radicali irrazionali, detta le regole per l’estrazione di radici d’indici arbitrari e classifica secondo vari tipi le equazioni di secondo e terzo grado, dandone in alcuni casi la soluzione.

– Inizio XII sec. Il poeta e matematico persiano Ornar al-Khayyami (Ornar Khayyam) compie alcuni studi sulla bilancia.

– I metà XII sec. Primo esempio di trattato ebraico specificamente dedicato al calendario è il Sefer ha-‘ibbur dell’ebreo spagnolo Abraham bar Hiyya. 

– I metà XII sec. La Hibbur ha-meshihah, opera principale dell’ebreo spagnolo Abraham bar Hiyya (?-1136) detto Savasorda, è soprattutto importante per la sua influenza sullo sviluppo delle matematiche nell’Europa cristiana; è infatti uno dei più antichi canali attraverso cui la trigonometria mussulmana raggiunge l’Occidente.

– c. 1120. L’inglese Adelardo di Bath frequenta le lezioni nella scuola araba di Cordova e ottiene una copia completa degli Elementi di Euclide che sarà il fondamento delle edizioni europee sino al 1533, anno della scoperta del testo originale.

– 1121-1122. L’arabo al-Khāzinī di Marw scrive il Libro della bilancia della saggezza, che costituisce il più importante trattato arabo di meccanica: in esso si tratta dettagliatamente dei metodi di pesatura accurata e delle determinazioni dei pesi specifici, e vengono descritti numerosi tipi di bilance di precisione; sono inoltre studiate la gravitazione, la teoria dei corpi galleggianti e la geodesia.

– XII sec. Giovanni di Siviglia, spagnoIo, scrive il Liber Alchoarismi de practica arithmeticae, contenente i primi esempi di estrazione di radici quadrate di numeri mediante frazioni decimali.

– I metà XII sec. Un notevole passo in avanti nel campo della trigonometria è compiuto da Jābir-ibn-Aflah, nell’introduzione al suo trattato di astronomia. Tra l’altro egli propone un nuovo metodo per la risoluzione di un triangolo rettangolo sferico. 

– I metà XII sec. Un’idea delle conoscenze di aritmetica in Occidente ci è data da un trattato di certo Ocreato, probabilmente allievo di Adelardo di Bath. In esso si trova l’uso dello zero combinato con quello dei numerali  romani. Questo trattato rappresenta una specie di stadio intermedio tra l’abaco e il sistema arabo di numerazione.

– I metà XII sec. Jābir-ibn-Aflah, arabo di Spagna, conosciuto col nome latino di Geber, è il maggior astronomo dell’epoca. Sottopone a severa critica il sistema tolemaico, di cui in quest’epoca si fanno sempre più evidenti le limitazioni. Il suo trattato di astronomia, Islāh al-Majistī, è tradotto in latino e in ebraico, e rimane per secoli in grande considerazione. Gli è pure attribuita l’invenzione di uno strumento astronomico detto turquet.

– I metà XII sec. Al-Khāzinī, fisico arabo, compila tavole astronomiche che danno la posizione delle stelle per l’anno 1115-1116 e per la latitudine di Marw.

– 1134. Giovanni di Siviglia traduce in latino il trattato astronomico dell’arabo Al-Farghānī.

– I metà XII sec. Muhammad al-Kharaqī (?-1138), matematico e astronomo mussulmano, riesuma la teoria secondo cui le sfere planetarie sono entità reali e non astrazioni matematiche.

– I metà XII sec. Abū-I-Salt (1067-1134) arabo di Spagna che vive però in Egitto e in Tunisia, scrive un trattato sull’astrolabio.

– XII sec. Ibn Rushd, detto Averroè (1126-1182), traduce l’Almagesto, opera astronomica di Claudio Tolomeo.  

– XII sec. Abraham ibn Ezra (1097-1167), ebreo spagnolo, scrive un trattato di aritmetica in cui usa il sistema arabo di numerazione e spiega la regola del tre.

– XII sec. Il matematico indiano Bha-skara (1114-?) compone un trattato di matematica che dalle operazioni aritmetiche giunge sino alle formule trigonometriche e alla soluzione di equazioni di primo e secondo grado in forma algebrica.

– 1145. Platone di Tivoli traduce in latino col nome di Liber embadorum, l’Hibbur ha-meshihah dell’ebreo spagnolo Abraham bar Hiyya (Savasorda). Questa traduzione fu una delle principali fonti di Leonardo Fibonacci, e quindi della matematica europea.

– 1145. L’Algebra di al-Khwārizmī è tradotta in latino da Roberto di Chester e Gherardo da Cremona.

– Inizio XII sec. Adelardo di Bath (1070-1142), inglese, venuto in contatto nei suoi viaggi con la scienza araba, esegue misure astronomiche, scrive il trattato Sull’uso dell’astrolabio, e traduce le tavole astronomiche di al-Khwārizmī, importanti perché implicano l’introduzione della trigonometria araba.

– 1155. Compare in Occidente la bussola con ago magnetico galleggiante sull’acqua e racchiusa in una scatola. 

– c. 1160. Gherardo da Cremona (1114-1187) compie la traduzione in latino dell’Almagesto di Tolomeo e degli Elementi di Euclide.

– XII sec. Nel commento dell’arabo Ibn Rushd, detto Averroè (1126-1198), alla Fisica di Aristotele l’attrazione magnetica è spiegata supponendo un’attrazione provocata nel ferro dalla calamita, che gli si trasmette attraverso il mezzo interposto: sono queste le basi del concetto di magnetizzazione e di campo magnetico, che saranno perfezionate dalla Scolastica.

– II metà XII sec. Il Practica geometriae Hugonis, di autore difficilmente identificabile, testimonia della lentezza con cui la geometria euclidea si ridiffonde in Occidente. L’opera denuncia cognizioni di geometria teorica estremamente vaghe, e nessuna traccia di influenza greco-araba, se si eccettua quel che riguarda l’astrolabio; essa rappresenta la pura tradizione latina, prima che sia sommersa dal ritorno della geometria euclidea attraverso la traduzione dei testi arabi.

– II metà XII sec. Al-Bitrūjī (?-1185), astronomo arabo originario di Pedroche in Spagna, scrive un trattato sulla configurazione dei corpi celesti, notevole perchè costituisce un tentativo di far rivivere in forma modificata la teoria delle sfere omocentriche e perché segna il culmine del movimento mussulmano antitolemaico.

– 1187-1193. Muhammad ibn al-Husain, matematico dell’Oriente mussulmano, scrive un’opera sulle coniche, il Trattato sui compassi perfetti. Il compasso perfetto è uno strumento col quale è possibile tracciare ogni specie di conica.

– 1194. In una lettera indirizzata al rabbino di Marsiglia, Maimonide (1135-1204), filosofo e scienziato ebreo, nega all’astrologia dignità scientifica, e la condanna come sistema di superstizione . 

– 1202. Leonardo da Pisa, detto Fibonacci (1175-?), pubblica il Liber Abaci in cui fa risaltare i vantaggi del sistema di numerazione araba e tratta problemi di aritmetica e di algebra sino alle equazioni di secondo grado.

 – 1206. L’arabo al-Jazarī completa il suo Libro della conoscenza degli ingegnosi apparecchi geometrici (meccanici) in cui sono descritti orologi ad acqua e apparecchi per far salire l’acqua. Non contiene originali studi di meccanica, ma vi si documenta la conoscenza delle pale, delle ruote dentate e degli alberi di trasmissione.

– I metà XIII sec. Il miglior ragguaglio sulle conoscenze pratiche di trigonometria nell’Ovest mussulmano ci è dato dai Principi e conseguenze, trattato di matematica e astronomia del marocchino al-Husan al-Marrākushī (?- c. 1262), personalità non molto originale, ma buon conoscitore delle opere di al-Khwārizmī, al-Farghānī, al-Battānī, al-Birūnī, ibn Sīnā, al-Zarqālī, Jābir ibn Aflah. Egli compila tavole di funzioni trigonometriche, una delle quali dà il valore del seno per ogni mezzo grado, e non solo menziona il seno e il seno verso, ma anche le frazioni che egli chiama seno complementare, seno eccedente.

– 1220. Nell’opera Practica geometriae Leonardo da Pisa lascia una compilazione delle conoscenze geometriche greche e arabe e insegna il metodo di determinare l’area di un triangolo in funzione dei suoi lati.

– 1220-1250. I 216 risultati possibili del lancio di 3 dadi, tenuto conto delle permutazioni, sono calcolati ed enumerati, ad Amiens, nel poema latino De Vetula, attribuito a Richard de Fournival (1200-1250).

– Inizio XIII sec. L’arabo al-Jazarī costruisce un orologio idraulico che indica la posizione del Sole e della Luna nelle costellazioni. 

– XIII sec. Jordanus Nemorarius (?-1237), tedesco, nell’Algoritmus demonstratus impiega le lettere dell’alfabeto per denotare le incognite, dando il primo esempio di algebra simbolica.

– I metà XIII sec. Il Carmen de Algoritmo di Alexandre de Villedieu, francescano francese morto nel 1240, è il primo testo latino in cui è definitivamente stabilito il numero delle operazioni, e in cui lo zero è considerato uno dei numerali: in sostanza vi si parla di dieci numerali, non di nove più lo zero, come negli scrittori precedenti.

– I metà XIII sec. Il fiammingo Gerardo di Brussels scrive il trattato De motu, in cui tenta di risolvere. prendendo le mosse da otto proposizioni, secondo lo stile euclideo, i problemi che più tardi saranno risolti con l’introduzione del concetto di moto angolare.

– XIII sec. Il grande risultato degli studi astronomici di questo periodo è la riaffermazione della validità delle teorie tolemaiche delle sfere eccentriche e degli epicicli che vincono il confronto con l’astronomia aristotelica delle sfere omocentriche nella rielaborazione di al-Bitrūjī. La critica al sistema tolemaico è per la parte negativa incontrovertibile, per la parte positiva assai meno soddisfacente. Verso la metà del secolo, l’opposizione antitolemaica si è esaurita nel vano sforzo di sostituire qualcosa di meglio alle teorie criticate, e il ritorno all’Almagesto, i cui principali sostenitori sono Bernardo di Verdun e Riccardo di Middleton, è pressoché generale: lo stesso Alberto Magno, diffusore nella latinità delle idee di Alpetragio (al-Bitrūjī), conclude infine a favore di Tolomeo, Ma non è un ritorno incondizionato: i difetti e i limiti del sistema sono ormai ben chiari agli astronomi dell’epoca. Ad analoghe. conclusioni si giunge in Oriente: Abū-l-Faraj, Nāsir al-din al-Tūsī, Qutb al-din al-Shīraāzī sono sostanzialmente dei tolemaici, pur non risparmiando le critiche.

– XIII sec. Giordano Nemorario (?-1237) fonda il principio della leva angolare sul postulato che la potenza capace di far scendere un peso verticalmente è incapace di farlo risalire a una altezza maggiore, basando sullo stesso principio l’equilibrio di due pesi su un piano inclinato.

– XIII sec. La riforma gregoriana del calendario è in gran parte preparata in questo periodo dagli studi che Ruggero Bacone intraprende stimolato dalle osservazioni di Roberto Grossatesta  (c. 1175·1253).

– 1245. Descrizione di macchine e automi nell’album di Vilars de Honnecourt. r

– 1245. Il francese Alberto Magno (1193-1280) riprende il concetto di campo magnetico e traccia il parallelo con il campo elettrico dell’ambra strofinata. E’ a conoscenza dell’esistenza di un magnete bipolare.

– 1258. Nāsir al-dīn al-Tūsī è nominato astronomo capo di un osservatorio eretto a Marāgha nell’Adharbāijān, per ordine del mongolo Hūlāgū Khan, dove compila le tavole astronomiche Ilkanian.

– II metà XIII sec. Il Tractatus optimus super totam astrologiam di Bernardo di Verdun, astronomo francescano, contiene un’accurata comparazione della teoria di Aristotele, elaborata da Averroè, con la teoria tolemaica, nella elaborazione di Ibn al-Haitham. Bernardo di Verdun conclude in favore dell’astronomia di Tolomeo. I suoi scritti e quelli del contemporaneo Riccardo di Middleton, francescano inglese, segnano l’inizio della completa supremazia tolemaica.

– 1263. Giovanni Bresciano collabora con l’ebreo Jacob ben Mahir nella traduzione del trattato sull’astrolabio di al-Zarqāli.
 
– II metà XIII sec. Nei Libros del saber de astronomia, enciclopedia astronomica attribuita ad Alfonso di Castiglia, si trova disegnata per la prima volta l’orbita di Mercurio in forma di ellissi con la Terra al centro.

– II metà XIII sec. Per incarico di Alfonso X, re di Castiglia, un gruppo di astronomi arabi ed ebrei compila nuove tavole stellari che saranno dette , tavole alfonsine.

– II metà XIII sec. La Storia delle geometrie non euclidee può esser fatta risalire fino al grande matematico arabo Nāsir al-dīn al-Tūsī (1201-1274), la cui discussione del V postulato di Euclide sarà ripresa da Gerolamo Saccheri quattro secoli e mezzo più tardi. Di al-Tūsī  è pure il primo manuale che tratti unicamente e specificamente di trigonometria.

– c. XIII sec. In alcuni manoscritti francesi di aritmetica compare il segno • per indicare la moltiplicazione di due numeri.

– II metà XIII sec. La diffusione in Occidente del sistema arabo di numerazione è graduale ma lenta, e a volte anche ostacolata; si ha notizia che il suo uso fu proibito a Padova e a Firenze.

– II metà XIII sec. Sulla base della traduzione di Adelardo di Bath, Giovanni Campano di Novara scrive un commentario agli Elementì di Euelide. Le considerazioni di Nemorarius sull’angolo formato da una curva e dalla sua tangente lo portano a studiare le quantità continue. Prova l’irrazionalità della sezione aurea attraverso un’induzione matematica terminante in una reductio ad absurdum.

– 1267. Ruggero Bacone (1213-1294), inglese, nell’Opus Maius riesce a determinare la posizione esatta del fuoco di uno specchio concavo. Parla, primo in Occidente, della camera oscura e studia l’arcobaleno.

– 1267. Trattazione della lente di ingrandimento nelle opere di Ruggero Bacone.

– 1269. Il francese Pietro di Maricourt nell’Epistola de magnete descrive le linee del campo di forza di un magnete naturale e dà la prima descrizione scientifica e rigorosa di una serie di esperimenti sul magnetismo.

– 1270-1278. L’ottica o prospettica di Vitellio (c. 1230 – ?), fisico e filosofo polacco, non rappresenta un reale progresso rispetto all’opera di Ibn al-Haitham, da cui in buona parte deriva. Tuttavia il trattato di Kepler Ad Vitellionem paralipomena è prova della sua importanza quale termine intermedio nella trasmissione dell’ottica greco-araba. Perfezionamento nella fabbricazione delle lenti e preparazione di occhiali dovuti ad Alessandro della Spina a Pisa e a Salvino degli Armati a Firenze.

 – 1290. L’unica determinazione sperimentale dell’obliquità dell’eclittica compiuta da un astronomo cristiano nel Medioevo è quella del francese Guglielmo di Saint-Cloud, uno dei fondatori della Scuola astronomica di Parigi: egli ottiene il risultato di 23° 34′, essendo il valore determinato per quell’anno secondo la formula di Le Verrier 23° 32′ 30″.

– c. 1300. Dai Capitolari delle Arti di Venezia risulta che la falsificazione degli occhiali di cristallo era severamente punita per tutelare la buona fama dei fabbricanti locali.

– 1302. Flavio Gioia introduce in occidente la bussola, secondo una notizia tradizionale.

– 1305. Fra Giordano da Rivalto, predicando in Santa Croce di Firenze, afferma che in Italia da almeno venti anni l’uso degli occhiali è abbastanza comune.

– 1302-1310. Una teoria sull’arcobaleno assai simile a quella di al-dīn all-Shīrazī ma frutto di una elaborazione indipendente, è proposta dall’ottico tedesco Dietrich di Freiberg (? – c. 1311).

– Inizio XIV sec. Kamāl-al-Din al-Fārisī (? – 1320) nell’Introduzione allo Studio dei segni celesti studia la rifrazione della luce attraverso un mezzo trasparente e attribuisce l’arcobaleno alla rifrazione dei raggi luminosi.

– 1311. L’arabo al-Fārisī  pubblica un sommario dell’Ottica di Al-Haitham commentato e corredato con proprie osservazioni, dove suggerisce l’uso di lenti iperboliche per ovviare all’aberrazione di sfericità. 

– I metà XIV sec. Il filosofo e fisico francese Giovanni Buridan (? – c.1358) applica la nozione dell’impeto ai corpi celesti e sostiene che il loro moto ha avuto inizio con l’impulso divino, e non avrà mai fine mancando qualsiasi resistenza, senza bisogno di ipotizzare altri miracolosi interventi.

– 1320. L’astronomo e matematico francese Jean de Linières compila tavole astronomiche per il meridiano di Parigi derivate dalle tavole Alfonsine.

– 1320. Riccardo Wallingford, matematico inglese, costruisce un orologio astronomico cbe indica il movimento del Sole e della Luna, il crescere e decrescere delle maree.

– Fine XIII sec. Il monaco bizantino Massimo Planude (c. 1260-1310) nel Manuale del Calcolo fa uso dei numeri arabi e dello zero che sul suo esempio si diffonderanno nell’impero di Oriente.

– I metà XIV sec. Thomas Bradwardine (1290-1347), inglese, nella Geometria speculativa studia la determinazione degli angoli dei poligoni stellati e l’iscrizione di poliedri regolari nella sfera. Dimostra che a parità di perimetro l’area di una figura piana aumenta coll’aumentare del numero dei lati, e che il circolo ha l’area maggiore di ogni altra figura isoperimetrica.

– I metà XIV sec. Il primo trattato originale di trigonometria in lingua  latina è il Quadripartitum de sinibus demonstratis del matematico inglese Riccardo Wallingford (1292-1335). che può essere considerato, insieme con Levi ben Gerson, il fondatore della moderna trigonometria europea.

– II metà XIII sec. La teoria dell’impeto di Giovanni Filopono (VI sec.), vaga anticipazione del concetto d’inerzia, è rispiegata dopo più di sette secoli di abbandono da Petrus Joannis Olivi (1248-1298), fisico e filosofo francese.

– II metà XIII sec. Giovanni Campano di Novara è il probabile autore di un commentario all’Armonica, il trattato di Tolomeo sulla musica.

– II metà XIII sec. L’Idrostatica di Archimede è tradotta in latino direttamente dal greco dal domenicano fiammingo Guglielmo di Moerbeke (c. 1215- 1286 c.).

– XIV sec. Francesco Stabili detto Cecco d’Ascoli (1269-1327), nel poema nell’Acerba, considera l’eco un fenomeno di riflessione del suono. 

– XIV sec. Giovanni Buridan spiega il movimento dei corpi con la nozione dell’impeto impresso al mobile, che, tanto maggiore quanto più il corpo contiene materia, diminuisce per cause esterne, come la resistenza dell’aria.

– I metà XIV sec. Tommaso Bradwardine ritiene che la superficie libera di un liquido in equilibrio statico abbia forma sferica e sia concentrica alla Terra e all’universo.

– XIV sec. Nel Liber jordani de ratione ponderis di ignoto autore, è studiato il problema della valutazione del peso apparente di un grave su un piano inclinato.

– 1324. Nella cattedrale di Beauvais in Francia è installato un orologio meccanico a pesi.

– XIV sec. Levi ben Gerson (1288-1344), ebreo, in uno scritto sulla trigonometria piana enuncia il principio della proporzionalità dei lati di un triangolo rettangolo ai seni degli angoli opposti.

– XIV sec. Emanuele Moschopulo, bizantino, compone un trattato sui quadrati magici in cui espone le regole per la costruzione di quadrati aritmetici.

– XIV sec. Guglielmo d’Ockham (1280-1347) inglese, critica la teoria aristotelica del movimento causato da un principio intrinseco al mobile, sostenendo la necessità di un motore distinto dal mobile.

– XIV sec. Nel trattato De Tribus Praedicamentis, l’inglese William Heytesbury distingue la velocità di un mobile dall’accelerazione che può subire.

– XIV sec. Nelle Quaestiones acutissimae, Alberto di Sassonia (1316-1390), tedesco, sostiene, criticando Aristotele, che la gravità non dipende dalla distanza dal centro della Terra del corpo cadente. 

– I metà XIV sec. In un manoscritto di difficile attribuzione si afferma che l’opportunità di usare le frazioni sessagesimali deriva dal maggior numèro di fattori che ha il numero 60 rispetto ad altri numeri: se non fosse per questo motivo, si potrebbero adoperare ad esempio i numeri 10 o 12.

– 1328. Alberto di Sassonia nel Tractatus proportionum distingue nettamente il moto rettilineo uniforme dal moto rettilineo vario.

– 1340-1390. Alberto di Sassonia distingue tra calore e temperatura e parla di trasmissione del calore per irraggiamento.

– 1341. Il bizantino Nicola Artavasde, nella Lettera Aritmetica, espone le regole per eseguire le operazioni aritmetiche sino all’estrazione della radice quadrata.

– 1343. Jean de Meurs, matematico e musicista francese, spiegando un modo di estrarre la radice quadrata di 2, e dopo aver dato il risultato in numeri sessagesimali 1° 24′ 50″, aggiunge che a se si dice essere 1414 la radice quadrata di 2, si deve considerare la prima unità come un intero, il 4 successivo come decimi, e così via. È questa la più chiara anticipazione dell’idea delle frazioni decimali fino a quella di Stevin, circa due secoli e mezzo più tardi.

– 1350. Un catalogo di 48 stelle con le loro posizioni per l’equinozio d’inverno è compilato dall’astronomo francese Jean de Linières su proprie personali osservazioni.

– 1354. Viene installato sulla cattedrale di Strasburgo un orologio meccanico in cui a ogni battere delle ore un gallo canta tre volte agitando le ali.

– c. 1360. Un’anticipazione delle frazioni decimali e del calcolo esponenziale è contenuta in un breve trattato matematico di Immanuel Bonfils di Tarascona, ebreo provenzale; egli divide i numeri in tre classi: le unità intere, gli interi e le frazioni; le unità intere sono i numeri da 1 a 9 mentre i numeri della forma a.10ⁿ sono interi o frazioni secondo che l’esponente sia positivo o negativo.

– XIV sec. Nell’ Algoritmus Proportionum, Nicola Oresme (1323-1382), francese, espone la teoria delle quantità irrazionali fondata sull’uso metodico degli esponenti frazionari.

– XIV sec. Nel De difformitate qualitatum, il francese Nicola di Oresme (1323-1382) emette l’ipotesi che la caduta dei corpi sia un moto uniformemente accelerato, formulando la legge del rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato.

– II metà XIV sec. Il fisico tedesco Temone enuncia il principio che l’acqua non può alzarsi al di sopra del livello d’origine: motivo per cui le sorgenti non possono essere dovute all’infiltrarsi verso la superficie di acque sotterranee, ma probabilmente al riemergere di acque piovane.

– 1370. Nel palazzo reale di Parigi è installato un orologio meccanico con bilanciere e scappamento a ruota. 

– c. 1370.    Il primo accenno alle quattro e dimensioni è  contenuto nel  trattato De
uniformitate et difformitate intensionum del matematico e fisico francese Nicola Oresme che respinge tale concetto.

– 1373. Nel commentario alla Divina Commedia di Benvenuto de’ Rambaldi (c. 1336-I390) si trova un accenno alle probabilità considerate in relazione al lancio simultaneo di tre dadi.

– 1410. Prosdocimo de’ Baldomandi (1380-?) compone un trattato di aritmetica in cui compare la somma di una progressione geometrica.

 – 1420. Ulugh Begh, nipote di Tamerlano, fa costruire a Samarcanda un grande osservatorio astronomico con strumenti notevoli per dimensioni e precisione.

– 1440-1456. La stampa a caratteri mobili è inventata in Europa, a Magonza, da J. G. Gutenberg (1400-1468), tedesco, costruttore del primo torchio da stampa.

– 1456. Georg Purbach (1423-1461), austriaco, scrive un trattato di astronomia intitolato Theoricae novae planetorum in cui rivede le inesattezze delle tavole stellari tolemaiche.

– c. 1464. Johann Müller (1436-1476), tedesco, detto Regiomontano, nel trattato De triangulis omnimodis, dà la prima la esposizione sistematica della trigonometria piana e sferica.

– XV sec. Niccolò da Cusa (1401-1464), tedesco, ammette la possibilità del movimento della Terra.

– XV sec. Niccolò da Cusa detto il Cusano (1401-1464) costruisce il batometro, ingegnoso strumento per misurare la profondità dei mari e dei fiumi, utilissimo per la navigazione.

– 1468. Paolo del Pozzo Toscanelli (1397-1482) colloca uno gnomone sulla sommità della cupola di S. Maria del Fiore a Firenze che si rivela molto preciso per la notevole altezza dal suolo.

– 1472. Johan Müler, latinamente Regiomontano (1436-1476), tedesco, osserva l’apparizione della grande cometa poi detta di Halley, iniziando la moderna astronomia cometale.

– 1478. Prima opera a stampa di aritmetica, di ignoto autore in dialetto veneziano, pubblicata a Treviso.

– 1484. La più antica notazione del segno delle radici quadrate e cubiche con l’indice che le determina compare nel trattato di Nicolas Chuquet (1445-1500), francese, intitolato Le triparty en la science des nombres. Vi compare anche la prima idea di logaritmo come confronto tra una progressione aritmetica e una progressione geometrica.

– 1489. Johann Widmann (1460-?), tedesco, nell’ Aritmetica mercantile fa uso per la prima volta dei segni + e – per indicare eccesso e difetto.

– 1494. Luca Pacioli (1445-dopo il 1509) pubblica a Venezia la Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni e Proportionalità, composta nel 1487, in cui applica il calcolo algebrico allo studio delle proprietà geometriche delle figure, arrivando alle equazioni di quarto grado. È il primo trattato generale di aritmetica e algebra, presenta per la prima volta la contabilità a partita doppia e accenna al calcolo delle probabilità e ai logaritmi. Molto studiato dai contemporanei.

– Fine XV sec. A Norimberga s’inizia la fabbricazione di strumenti scientifici per opera di artigiani specializzati.

– Fine XV sec. Nei numerosi studi di statica e dinamica Leonardo da Vinci (1452-1519) si occupa delle condizioni di equilibrio su un piano inclinato, della teoria dei centri di gravità e delle macchine semplici, del moto dei proiettili e della caduta dei gravi.

– Fine XV sec. Leonardo da Vinci precisa le condizioni nelle quali si verifica nelle campane e nelle corde vibranti la risonanza all’unisono.

(2) Ormai le Università non erano più le libere Università del loro nascere; vista la loro crescente importanza queste, con il beneplacito ed il sostegno delle varie case regnanti, erano ormai passate tutte sotto il controllo diretto della Chiesa (principalmente francescani e domenicani erano tra i gestori di queste istituzioni): I divieti di insegnamento o le condanne avevano effetti immediati sulla diffusione, ai livelli culturali più elevati, delle dottrine di Aristotele e degli aristotelici. Inoltre, proprio all’inizio del XIII secolo cominciarono a diffondersi per l’Europa svariati movimenti religiosi giudicati eretici dalla Chiesa. Tra questi i principali erano: i Catari (Albigesi, Manichei, Patarini, …) ed i Valdesi. Nel 1209 una ‘crociata’ contro gli Albigesi si era conclusa con orrendi massacri. Ma l’aspetto più importante di ciò è che nel 1233 Gregorio IX fondò il Tribunale dell’Inquisizione che nel 1235 venne affidato come ‘privilegio’ ai domenicani e poi esteso ai francescani. Si iniziò subito con la pratica della tortura che fu ufficialmente autorizzata e riconfermata da Innocenzo IV (1252), Alessandro IV (1259), Clemente IV (1265).

(3) La collaborazione tra fede e ragione è il punto centrale della filosofia di Tommaso, punto reclamato continuamente, anche di recente, sia dal Papa polacco che da quello tedesco. Tommaso e tutta la scolastica intendono provare le verità divine per via razionale. La religione impone verità di fede indiscutibili, alle quali nemmeno la ragione può appellarsi, in quanto essa non può nulla contro la verità annunciata agli uomini da Dio.
Come è possibile allora conciliare le esigenze della conoscenza scientifica (considerata aristotelicamente) con i dogmi indiscutibili imposti dalla fede? L’indagine del mondo naturale, infatti, può entrare in conflitto con le verità di fede: qualora l’evidenza di un fenomeno contrasti con le Sacre Scritture, quali parti prendere? Possibile che Dio abbia creato un mondo che entri talvolta in contrasto con le sue stesse leggi? Tommaso ritiene che Dio non possa essere così malevolo da produrre il contrasto tra l’indagine naturale e la verità divina, ovvero il contrasto tra ragione e fede. Tra filosofia e teologia non vi è dunque opposizione, seppure quest’ultima sia superiore alla prima perché portatrice di verità annunciate agli uomini direttamente da Dio. Egli non ha creato l’uomo per dotarlo di una logica ingannatrice e falsa, se una verità naturale appare talvolta in contrasto con le verità di fede, questo contrasto non è dovuto a un errore di Dio, ma piuttosto a un errore umano. Di fronte ad una contraddizione evidente tra fede e ragione, l’uomo deve quindi imparare a vedere la questione in un diverso aspetto, partendo dal presupposto che l’errore è dovuto ad un insufficiente approfondimento del problema.

In altri termini la natura creata da Dio non può essere in contrasto ma solamente in accordo con le verità da Egli stesso trasmesse agli uomini. Ogni presunta discrepanza tra le due dimensioni consiste in un errore umano.

Detto questo il metodo privilegiato per indagare la realtà è rappresentato dalla ragione, la quale ha pieno diritto di indagine naturale ed ontologica, ma solo nell’ambito ed entro i confini tracciati dalle verità di fede (i dogmi). [Tratto da: http://www.forma-mentis.net/Filosofia/Tommaso.html]

(4) Si è discusso molto sull’origine della parola seno. Due sono le versioni più accreditate. Secondo la prima si tratta di un acrostico delle iniziali della parola che indica una corda semi-inscripta  (il seno è infatti la misura della semicorda  inscritta nel cerchio). Da ciò seguirebbe s-ins, da cui sinus. Secondo l’altra versione gli arabi chiamarono quella lunghezza con la parola jîba derivata come semplice trascrizione fonetica dall’indiano jīva. Ma la parola jîba, in arabo, poteva essere letta come jaib che in arabo vuol dire seno (nel senso di golfo, insenatura). Traducendo poi in latino è venuto fuori il sinus che, in latino, ha lo stesso significato del jaib.

(5)  Non vado oltre, perché esula dai fini che i sono proposto, a ricostruire l’affascinante cammino della scienza arabo-mussulmana a cui tanto l’Europa deve. Ricordo solo che la morte del matematico al-Kashi, avvenuta nel 1436, comportò la fine del lungo ed importante contributo scientifico di quelle popolazioni. Al collasso politico che subì il mondo arabo-mussulmano dopo 800 anni dalla sua nascita, si accompagnò quello culturale e scientifico che fu addirittura più grave. Vi sono due eccellenti libri che parlano della scienza araba ed io li riporto in bibliografia. Quello di Djebbar si occupa della scienza sviluppata prevalentemente in territorio afro-asiatico mentre quello di Vernet (in lingua castigliana) si occupa degli sviluppi della scienza araba in Spagna.

(6) L’abaco è uno strumento simile al pallottoliere che ha avuto una lunga storia e grande importanza per il calcolo. Riporto di seguito due ricostruzioni simili di un abaco romano. Vi erano delle palline scorrevoli su delle linee differenti, la prima

delle quali rappresentava le unità, la seconda le decine, la terza le centinaia e così via. Vi erano poi dei totalizzatori. Questa macchinetta che divenne anche portatile, fu rimpiazzata nel medioevo da una tavola su cui erano incise delle linee orizzontali (vedi figura) rappresentanti le successive potenze di 10. Su tali linee si

disponevano delle pietruzze che potevano essere spostate da un lato all’altro (vi era anche la possibilità di disporre le pietruzze tra linea e linea, ciò forniva valori intemedi). Nella figura seguente è rappresentato l’uso dell’abaco:.

Da: Jacob Köbel’s, Rechenbiechlin, Augsburg, 1514

Nella figura seguente riporto una pagina del libro di Robert Recorde, Ground of artes

(1558) in cui si spiega l’uso dell’abaco. Nella pagina riprodotta si inizia a spiegare l’addizione con le prime cose da fare per sommare 2659 con 8342.

(7) Avverto subito che quanto dirò fa parte di una riscoperta successiva e che, all’epoca, non ebbe particolare risonanza. Dico questo al fine di mettere a tacere alcuni personaggi che, al seguito di uno storico di parte come il cattolico Duhem, tentano di squalificare Galileo con illazioni relative a sue scoperte già fatte. Naturalmente, poiché Duhem oltre che cattolico è anche uno sciovinista francese, tali scoperte che anticipano Galileo sarebbero state fatte da francesi. Ebbene, assegnati tutti i meriti alle Scuole di Oxford e Parigi (Duhem e con lui l’altro francese Koyré li assegnano alla sola Parigi mentre l’inglese Rupert Hall ad Oxford), è incontestabile che con Galileo i problemi affrontati salgono clamorosamente alla ribalta e non si può poi dimenticare che solo studi recenti hanno portato alla luce i contributi delle due Scuole suddette, segno evidente del loro scarso peso specifico negli sviluppi del pensiero scientifico del ‘600.

(8) Guglielmo di Occam, come del resto Buridano, è noto per altre cose sviluppate in ambito della filosofia (rasoio di Occam e asino di Buridano) e per l’influenza che ha avuto su alcuni seguaci. Anche se, rispetto alla concezione di spazio o più in particolare di luogo, Guglielmo di Occam si muove nell’ambito della fisica di Aristotele, si può riconoscere in alcuni suoi scritti l’introduzione di alcuni elementi nuovi e degni di nota. Ad esempio egli sostiene che la causa del moto non può risiedere nell’apparato che lancia un proiettile perché questo agente può essere distrutto subito dopo il lancio senza che questo venga interrotto o alterato. Ma tale causa non può neppure risiedere nel mezzo in cui si muove: quindi il proietto non può essere distinto dal suo motore.

        L’adesione all’idea aristotelica di luogo è invece evidente dal brano seguente che richiama immediatamente il discorso di Aristotele del sasso nell’acqua. Dice Guglielmo di Occam parlando di una nave all’ancora:

Benché nuove masse d’acqua salgano continuamente intorno alla nave e quantunque la nave non occupi sempre la stessa posizione rispetto alle parti del fiume, in quanto queste si muovono costantemente, tuttavia, rispetto al fiume nel suo insieme, la nave finché è ancorata giace nello stesso luogo.

E continua:

Se tu sei fermo, anche se tutta l’aria che ti circonda si muove, o anche se si muove un qualche corpo che ti sta intorno, tu occupi sempre lo stesso luogo; infatti sei sempre alla medesima distanza dal centro e dai poli dell’universo. Rispetto a questi punti, quindi, il luogo è detto immobile.

        Come si vede, mentre si afferma una completa adesione alle concezioni di Aristotele, si sviluppano degli argomenti che cominciano ad introdurre alla comprensione della relatività del moto; tra l’altro è interessante il fatto che viene usata la distanza rispetto al riferimento assoluto (Terra-Ultima sfera) come elemento che permette l’individuazione del luogo.

(9) Per alcune posizioni d’interesse che saranno in seguito riprese anche da Giordano Bruno, è interessante citare il tedesco Cardinale di Cusa o Nikolaus Krebs o Nicolò Cusano  (1401-1464), personaggio che più ha fatto discutere sotto il profilo delle paternità. E’ stato lui. Non è stato lui. Chi lo sa?

            E’ tutto ciò poco importante. Spesso i discorsi sulle paternità sono poco costruttivi. I discorsi sulle idee sono più creativi. Ebbene con Cusano abbiamo per la prima volta (ma dire per la prima volta non è significativo) una immagine complessiva del mondo che sembra affrancarsi dall’aristotelismo. Dico sembra, perché, in realtà, c’è una messa in discussione su basi teologiche e non fisiche di Aristotele.

            Cusano accoglie la teoria dell’impetus e, fatto notevole, nega la distinzione tra sostanze sublunari soggette a generazione e corruzione e sostanze celesti incorruttibili. Nega che l’universo debba avere un centro ed arriva a dire che il nostro pianeta si muove come altri corpi, anche se noi non ce ne avvediamo, perché il moto [che è relativo] non può essere avvertito altro che mediante il confronto con altri corpi.

            Riguardo all’universo egli ne sostiene una specie di infinità. Infatti, poiché “infinito” è una qualità del solo Dio, l’universo, creato da Dio, non può essere altrettanto infinito. Esso può essere, al più, “interminato” nel senso di illimitato e non racchiuso da alcun involucro esterno e anche nel senso di non ultimato, di un qualcosa in continua evoluzione.

            E’ certamente un grande passo avanti ma, ripeto, su una sfera teologica. Tanto è vero che quando si tratta di andare a cercare il centro del mondo, Cusano lo individuerà in Dio. Ciò gli permetterà, sì, di affermare il moto della Terra, ma solo perché è più importante che al centro dell’universo ci sia Dio.

            Egli dice:

…considerati vari moti degli orbi è impossibile che la macchina del mondo abbia per centro fisso ed immobile o questa terra sensibile, o l’aria o qualunque altra cosa.

E continua:

…benché il mondo non sia infinito, non può tuttavia essere concepito come finito, poiché manca di confini fra i quali venir chiuso.

        Poiché il mondo è illimitato (l’infinito è, appunto, caratteristica di Dio), allora è impossibile avere un punto privilegiato a cui riferire i moti:

E poiché noi non possiamo osservare il movimento se non in comparazione ad alcunché di fisso, ai poli od ai centri, lo presupponiamo nelle misurazioni dei moti: donde ci avvediamo di sbagliare in tutte le cose procedendo per congetture e ci stupiamo allorché la posizione delle stelle non si accorda con le regole degli antichi….

           Quindi, in definitiva, in assenza di alcunché di fisso o di luoghi privilegiati, da cui descrivere il mondo, quest’ultimo avrà una rappresentazione di un certo tipo a seconda da che luogo lo si andrà a descrivere. Queste descrizioni del mondo, evidentemente almeno molteplici, avranno la caratteristica, ciascuna, di non essere quella “vera” poiché, semplicemente, non ha senso parlare di vera immagine del mondo ma solo di relativa immagine del mondo.

            Anche per ciò che riguarda i moti, conseguentemente, si ha a che fare con la relatività:

Ed a noi è ormai manifesto che in verità questa terra si muove, benché non ci appaia. Infatti noi non apprendiamo il moto se non per comparazione ad alcunché di fisso. Poiché se qualcuno, stando su una nave in mezzo ad una corrente, ignorasse che l’acqua scorre e non vedesse le rive, come potrebbe sapere che la nave si muove?.
 

          Manca evidentemente il principio d’inerzia, mancano i concetti di moto rettilineo uniforme e di accelerazione, ma si stanno facendo dei passi in avanti.

            La conclusione a cui arriva Cusano è quindi molto avanzata:

...la macchina del mondo avrà, per così dire, il proprio centro in ogni luogo, e in nessun luogo la circonferenza, poiché il suo centro e circonferenza è Dio, il quale è ovunque ed in nessun luogo.

           In definitiva ogni descrizione del mondo da un luogo o da un altro è equivalente. Ogni determinazione di alto o basso o concetti collegati è quindi relativa a chi (ed al luogo da cui si) fa la descrizione.

            Ed in ultima analisi il mondo non ha confini e non ha centro (la Terra di conseguenza non ha ruoli particolari di alcun genere).

            Sono certamente idee avanzate, ma, ripeto, in chiave ancora tutta teologica. Bisognerà ancora aspettare, almeno l’opera di Giordano Bruno, perché queste cose divengano dirompenti.
 

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