LA FISICA TRA SETTECENTO ED OTTOCENTO 2

By robertorenzetti44 on 16 Maggio 2023 • ( 0 )

PARTE II: LAZARE CARNOT

Roberto Renzetti

PREMESSA

Un momento importante nella storia del pensiero scientifico è rappresentato da tutti gli eventi che accompagnarono la Rivoluzione Francese.

Abbiamo visto in ciò che ho raccontato sul Settecento che in Francia ebbe grandissimo sviluppo la scuola dei fisico matematici, quella cioè dei fondatori ella meccanica razionale come sviluppo sofisticato di applicazione dell’analisi matematica alla fisica di Newton. Risulta però chiaro che molte delle elaborazioni di tali scienziati ebbero carattere eminentemente teorico, anche perché ancora non ci si scontrava, soprattutto in Francia, nei problemi che ponevano le macchine

Euler, Lagrange e D’Alembert costruivano delle equazioni che formalmente sono quelle che oggi conosciamo come principio di conservazione dell’energia meccanica, ma che sostanzialmente e concettualmente non avevano grandi significati.

La tecnologia del calore ampliava invece la sua base fenomenologica e tra i primi a porsi il problema della conservazione dell’energia, nell’ambito della costruzione di macchine a vapore, fu proprio uno degli ideatori di queste macchine, J. Smeaton (1724-1792) nel 1759. Il lavoro di Smeaton, unito agli innumerevoli contributi empirici (e non) che da quella parte provenivano, servì anche esplicitamente alle definizioni dei concetti di lavoro e di potenza che, proprio in connessione con uno dei più intensi momenti di sviluppo delle macchine a vapore, facevano la loro comparsa nella fisica. Non mi dilungherò ora su questi aspetti, ma voglio sottolineare come la mole dei problemi posti dalla tecnologia di queste macchine ricadrà sulla scienza ufficiale come compito da dover risolvere appena qualche decennio dopo. Ciò che si trattava di capire era: come mai alcune trasformazioni energetiche avvengono con un bilancio positivo e altre con un bilancio negativo? come mai, cioè, alcune trasformazioni energetiche forniscono energia utilizzabile (bruciare un combustibile per ottenere vapore) mentre altre, non solo non ne forniscono, ma ne assorbono (utilizzare del vapore per far muovere una macchina o un telaio) ?. Certamente alla soluzione di questi problemi contribuì il diverso contesto teorico, politico, sociale, dei vari ambienti in cui vi si lavorò e la Francia, che si avviava a cambiamenti epocali, dette contributi formidabili, a partire dall’opera di Lazare Carnot i cui lavori marceranno in parallelo a quelli che abbiamo studiato di Rumford, il quale aveva indirizzato la propria attenzione alla natura del calore da problemi pratici.

LAZARE CARNOT

Lazare Nicolas Marguerite Carnot nacque nel 1753 a Nolay, in Borgogna, da una famiglia nota nel campo dell’avvocatura. A nove anni (1762), avendo già manifestato grandi interessi scientifici, entrò al Collegio degli Oratoriani d’Autun, dove si familiarizzò con l’opera di Leibniz. Iniziò qui ad apprendere la concezione economica di Leibniz secondo la quale un Paese avanzava nel progresso solo se promuoveva scienza e tecnologia insieme all’educazione di coloro che lavoravano, concezione che era stata fatta propria da Colbert che raccolse intorno all’Accademia di Francia i maggiori scienziati europei, finanziò le loro ricerche per far avanzare la scienza e la tecnologia francesi. Nel 1771, Carnot s’iscrisse alla Scuola del Genio militare di Mézière diretta dal grande geometra Gaspard Monge⁽¹⁾, che era stato allievo degli Oratoriani e quindi sostenitore degli ideali di Leibniz-Colbert e maestro di ideali repubblicani per varie generazioni di giovani In questa scuola Carnot conobbe Benjamin Franklin, in visita nel 1772, con il quale ebbe assidue frequentazioni a Parigi tra il 1783 ed il 1784, con proficue discussioni sul pensiero di Leibniz (Carnot ebbe a scrivere che i suoi personaggi ideali erano: Socrate, Archimede, Catone e Franklin). Nel 1773, Carnot lasciò Mézière con il grado de luogotenente. Nel 1783 fu promosso capitano e nel 1784 generale. Nel 1787 fu ammesso come membro dell’Accademia di Arras. Nel 1784, il capitano Carnot, si fece conoscere per aver scritto un’opera, l’Éloge de M. le Maréchal de Vauban, nella quale manifestava i suoi sentimenti repubblicani ma non tanto avversi al Re quanto a tutti i parassiti della corte che erano di impedimento all’evoluzione della Francia. Questo scritto fu premiato dall’Accademia di Dijon. Ancora nel 1784 Carnot si trovò ad aiutare i fratelli Mongolfier nelle loro imprese con i palloni aereostatici e scrisse un articolo nel quale ipotizzò l’importanza dell’aerostato per fini militari. Ancora in quegli anni vi su una sua importante collaborazione con Robert Fulton per la realizzazione di battelli a vapore. Ma già siamo negli anni in cui Carnot preparava il primo dei suoi lavori scientifici, Essai sur les machines en général, che vedrà la luce nel 1786 e sul quale tornerò più oltre, dopo aver delineato la vita civile e politica dello scienziato.

Lazare Carnot

Carnot aderì subito alla Rivoluzione con l’ideale di instaurare repubbliche in tutta Europa poiché per lui la Repubblica è l’unica possibilità d’élever à la dignité d’homme tous les individus de l’espèce humaine. Ma egli sapeva che la riuscita dei suoi ideali di stato repubblicano era inscindibile dall’elevamento delle condizioni materiali dei cittadini, condizioni che si sarebbero potute elevare solo con il progresso tecnico e scientifico della nazione. E tale progresso era legato al flusso energetico che alimentava l’economia. Se tale flusso era stabile, fisso, costante, come risultava, non c’era progresso possibile. Occorreva quindi pensare a nuove macchine che aumentassero tale flusso ed a questo dovevano dedicarsi gli uomini di scienza ed i tecnici. Occorre però dire che egli, più che a nuove macchine funzionanti con nuovi principi, pensava a utilizzare al meglio le macchine esistenti. Inoltre, e non è peregrino oggi, egli credeva che economia, ecologia e macchine non possono essere separate senza creare uno squilibrio fatale. Occorre perciò uno studio quantitativo approfondito degli argomenti in oggetto.

Nel 1791 fu eletto Presidente della Società degli Amici della Costituzione e, nello stesso anno, deputato alla Nuova Assemblea Legislativa (fino al 1792), della Convenzione nazionale (dal 1792 al 1795) essendo incaricato di occuparsi di problemi militari, di istruzione e diplomazia. Fu successivamente (1793) membro del Comitato di salute pubblica (insieme a Robespierre ed altri dieci), fu uno dei cinque del Direttorio (novembre 1795) e fu uno di coloro che votarono per ghigliottinare Luigi XVI (1793). Per i due anni successivi fu uno dei personaggi più influenti del governo francese fino, appunto, al 1797 quando fu destituito dalle sue funzioni da un colpo di Stato (quello del 18 fruttidoro o settembre).

Il motivo principale per cui Carnot è ancora oggi ricordato è quello di grande stratega ed organizzatore dell’esercito. Il 20 aprile del 1792 Austria e Prussia attaccano la Francia per restaurare al trono la dinastia di Luigi XVI, prigioniero a Versailles. La situazione è molto grave e si aggrava quando ilo comandante in capo dell’Armata del Nord passa al nemico. In giugno Carnot viene incaricato, nel Comitato di Salute Pubblica, di occuparsi di questioni militari. Da questo momento fu Carnot ad occuparsi della difesa della Francia. Riorganizzò l’esercito immettendo giovani ufficiali, cacciando i raccomandati ed i promossi per meriti politici. Piuttosto che affrontare il nemico in battaglie all’aperto, preferì introdurre tattiche di guerriglia, rapidi movimenti di battaglioni resi più agili e mobili. Ma, in accordo con Monge ed in definitiva con l’idea di progresso per l’emancipazione delle nazioni, mise le conoscenze scientifiche e tecniche al servizio della difesa della Francia. In ultima analisi ciò volle dire mettersi sulla strada dell’industrializzazione. Chiamò a collaborare con sé i migliori ingegni dell’epoca: Berthollet, Chaptal, Monge, Prieur, Guyton, … Monge scrisse un manuale sulla fusione dei cannoni ed elaborò mappe fondamentali per lo spostamento sul territorio, Chaptal realizzò sistemi di fabbricazione della polvere da sparo, Carnot medesimo introdusse in ogni processo nuove tecnologie. In poco tempo Parigi si dotò di 258 fonderie in grado di produrre migliaia di cannoni al giorno. Nell’agosto 1793, in situazione disperata, Carnot e Prieur de la Côte presero il comando di un esercito completamente rinnovato per tattiche ed organizzazione ed in 5 mesi, nonostante i boicottaggi interni, riuscirono a capovolgere la situazione. Nell’ottobre-novembre di quell’anno, il nemico già si era reso conto dei cambiamenti radicali nell’esercito francese. Da notare che nel 1794, dopo due anni di preparazione, egli aveva fondato anche la Scuola nazionale d’aerostazione, che costituirà il primo esercito dell’aria del mondo. Quei palloni aerostatici che osservavano i movimenti delle truppe dall’alto ne erano un segnale che era accompagnato da un fuoco micidiale dei nuovi cannoni, Carnot lavorò poi soprattutto politicamente e diplomaticamente, concentrando tutto l’impegno dell’esercito contro la Gran Bretagna e cercando la pace con la Prussia e l’Austria e questa fu una delle carte vincenti e fu qui che a Carnot fu dato l’appellativo di Organizzatore della vittoria. E fu anche questa la preparazione che ebbe un generale di Carnot, Napoleone Bonaparte.

Dopo la vittoria, nel 1794 Carnot dedicò i suoi sforzi nella fondazione della Scuola Politecnica (che ebbe in origine il nome di École Centrale Des Travaux Publiques)e subito dopo il Conservatorio Nazionale di Arti e Mestieri, all’Ufficio delle Longitudini e per l’unificazione dei pesi e misure, istituzioni che dettero grande prestigio alla Francia negli anni a venire, fino ad oggi. Nel 1797, un anno dopo la nascita di suo figlio Sadi e della sua elezione alla presidenza del Direttorio, fu oggetto di accuse infamanti di tradimento che lo fecero fuggire dalla Francia. Si recò prima in Svizzera e quindi a Norimberga (Germania) dove pubblicò Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitesimal e da dove, nel 1799, lo richiamò Napoleone, asceso al potere, per affidargli il Ministero della Guerra e la formazione e l’addestramento degli ufficiali. Questa attività lo occupò per un solo anno. Carnot la abbandonò poiché non era in grado di lavorare con chi, come Napoleone, aveva rinunciato alle idee repubblicane. Si mise allora a scrivere riordinando tutti i suoi studi scientifici. Negli anni che vanno dal 1800 al 1806 furono pubblicate le sue opere principali, tra cui la seconda edizione ampliata dei suoi Essais del 1786, chiamati ora Principes fondamentaux de l’équilibre et du mouvement (1803). Altre sue opere di quel tempo sono: Sur la corrélation des figures géométriques (1801) [dove mostra che alcuni teoremi di Euclide possono essere ricondotti ad un unico teorema, il Teorema di Carnot], Géometrie de position (1803) [opera con la quale si pone, insieme a Monge, come uno dei creatori della geometria descrittiva], Mémoir sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq points quelconques pris dans l’espace; suivi d’un Essai sur la théorie des transversales (1806).

Nel 1814, verso la fine dell’Impero napoleonico, dopo un periodo di vita privata, Carnot fu nominato Governatore di Anversa (unica città che non cadde in mani inglesi per la strenua difesa organizzata da Carnot). Durante i Cento giorni fu ancora Ministro degli Interni. Caduto Napoleone egli rimase uomo di grande prestigio, tanto che fu nominato Presidente dell’Assemblea ed in questa carica riuscì a far approvare una Costituzione ad imitazione di quella degli Stati Uniti. Tentò anche di difendere Parigi dai britannici ma un traditore, Joseph Fouché, rese vano ogni sforzo. Venne quindi esiliato, prima a Varsavia, quindi a Magdeburgo (Sassonia prussiana). Nel 1818 iniziò a studiare a fondo le macchine a vapore delle quali discusse con il figlio Sadi che era andato a trovarlo. Morì a Magdeburgo nel 1823.

CONTRIBUTI SCIENTIFICI DI LAZARE CARNOT

Ho già accennato agli ideali che muovevano Carnot allo studio delle macchine. Riporto qui un brano che ho scritto qualche riga più su:

[Carnot] sapeva che la riuscita dei suoi ideali di stato repubblicano era inscindibile dall’elevamento delle condizioni materiali dei cittadini, condizioni che si sarebbero potute elevare solo con il progresso tecnico e scientifico della nazione. E tale progresso era legato al flusso energetico che alimentava l’economia. Se tale flusso era stabile, fisso, costante, come risultava, non c’era progresso possibile. Occorreva quindi pensare a nuove macchine che aumentassero tale flusso ed a questo dovevano dedicarsi gli uomini di scienza ed i tecnici. Occorre però dire che egli, più che a nuove macchine funzionanti con nuovi principi, pensava a utilizzare al meglio le macchine esistenti. Inoltre, e non è peregrino oggi, egli credeva che economia, ecologia e macchine non possono essere separate senza creare uno squilibrio fatale. Occorre perciò uno studio quantitativo approfondito degli argomenti in oggetto.

Le sue visioni politiche descrivono un programma scientifico che accompagnerà la vita di Lazare Carnot. Cerchiamo ora di vedere quanto egli elaborò nei suoi scritti scientifici.

Egli iniziò il suo lavoro sulle macchine riconoscendo una primogenitura ad Archimede e quindi a Leonardo. Ma, data questa premessa, egli non studiò una macchina ma le macchine. Intendo con ciò dire che egli non si soffermò su una particolare macchina, anche se si servì si una di esse per elaborare le sue teorie, ma che il suo fine fu più generale e cioè quello di capire cosa accomuna le macchine per poi ricavare come operare su di esse per ottenerne il risultato migliore. Per Carnot una macchina, in generale, è un sistema che permette la trasformazione di una energia qualunque in un lavoro utile per la società. E’ una prima schematizzazione estremamente utile per gli sviluppi che seguiranno. La macchina risulta una sorta di scatola che prevede una energia qualsivoglia in ingresso ed un qualcosa in uscita che sia utilizzabile dall’uomo per i fini che si propone.

Vi era un’altra questione preliminare che stava a cuore a Carnot, quella della semplicità espositiva che avrebbe permesso a più perone di leggere quanto scriveva. In un’epoca di grande formalizzazione, riuscire a uscire da complesse definizioni teoriche per scendere a livelli esplicativi basati sulle esperienze risultava una grande novità. Occorre però capire il cambiamento di contesto. Carnot padre (e vedremo che la cosa avrà un analogo più accentuato in Carnot figlio) lavora non facendo riferimento ai grandi fisici matematici del suo tempo ma, appunto, al popolo dei produttori di beni che avrebbero dovuto impossessarsi delle cose che venivano messe loro a disposizione. Inoltre è il primo scienziato ad affermare il carattere sperimentale dei principi della meccanica, in contrasto con quanto invece sostenevano Euler e D’Alembert.

LO STATO DELLA TECNICA DELLE MACCHINE IDRAULICHE NELLA SECONDA META’ DEL SETTECENTO

Le elaborazioni tecniche (e non solo di Carnot) iniziate in Inghilterra e pian piano estesesi anche in Francia nella seconda metà del Settecento riguardavano proprio i temi di cui si occupava Carnot e questi temi erano in stretta connessione con il mondo della produzione che, in Francia, guardava con preoccupazione i grandi progressi inglesi nel settore delle macchine che collocavano l’Inghilterra almeno 20 anni avanti alla Francia. In Inghilterra invece (ma anche in Francia) iniziava a manifestarsi un problema non dissimile da quello che viviamo oggi, la carenza di combustibile per le macchine a vapore, il carbone. La cosa era particolarmente sentita in Inghilterra tanto che, da quelle parti, si studiavano macchine che consumassero meno combustibile di quanto non ne consumassero le macchine a vapore di Watt. Come si può capire da questo approccio naif, si era ancora in alto mare dal punto di vista della comprensione degli elementi che producono il miglior rendimento in una macchina. In Francia, prima che si manifestasse il problema della carenza di combustibile, per il ritardo nell’introduzione del vapore rispetto all’Inghilterra, si presentava il problema della saturazione dei luoghi utilizzabili per installare ruote idrauliche. Tali ruote, per produrre beni, dovevano essere installate in centri urbani e nel corso d’acqua che attraversa una città non sono molti i siti in cui sistemare ruote idrauliche. A tale proposito scrive Cardwell, citando Hills, che nel 1788 c’era una ventina di opifici nel distretto rurale di Oldham, di cui ben undici sorgevano proprio ad Oldham, ma il loro numero era salito a 18 nel 1791. E poiché i migliori punti per lo sfruttamento dell’acqua erano già stati occupati, la maggior parte di questi opifici veniva azionata da cavalli. Oltre a questo aspetto, tali ruote producevano potenze che di rado arrivavano ai 10 cavalli-vapore.

Fu l’ingegnere inglese John Smeaton (1724 – 1792) il primo che sottopose a studio sperimentale le macchine per iniziare un cammino che piano piano portò

John Smeaton

alla comprensione dei molti problemi che vi sono. Nel 1759 sottopose alla Royal Society di Londra un suo lavoro (in due parti), per il quale fu premiato con laCopley Medal, An Experimental Enquiry Concerning the Natural Powers of Water and Wind to Turn Mills and Other Machines Depending on Circular Motion (Una ricerca sperimentale sulla naturale potenza dell’acqua e del vento
per muovere i mulini ed altre macchine, dipendenti dal moto circolare), in cui erano riportati i risultati dei suoi studi sperimentali su come ottenere il massimo rendimento (parola, come varie altre che incontreremo, ancora priva del significato tecnico che oggi noi le diamo) da una ruota alimentata da acqua corrente. I suoi studi continuarono per molti anni, con due altri articoli del 1776 e 1782.

Egli prese in considerazione una ruota idraulica con pale piatte, della quale si costruì dei modelli di legno da laboratorio di circa 60 cm di diametro, che poteva essere alimentata sia da sotto e da sopra, al fine di capire quale fosse

l’arrangiamento più conveniente e quali parametri entrassero in gioco perché la ruota potesse essere sfruttata al meglio. La ruota veniva azionata da un circuito chiuso di acqua messa in moto mediante una pompa a stantuffo azionata a mano. Con tale sistema era possibile misurare sia la quantità d’acqua somministrata (contando il numero di corse al minuto dello stantuffo necessario per mantenere costante il livello dell’acqua nel serbatoio di alimentazione) sia l’effetto o potenza sviluppata dalla ruota (misurando l’altezza raggiunta in un minuto dal piatto di una bilancia caricata da un numero variabile di pesi e collegata mediante una puleggia all’asse della ruota). Il suo procedimento era rigorosamente sperimentale perché egli fece una lunga e sistematica serie di esperimenti condotti facendo di volta in volta variare un solo parametro mantenendo costanti tutti gli altri.

Modello di Smeaton per misurare la potenza delle ruote idrauliche azionate da sotto. ABCD serbatorio; DE serbatoio per ricevere l’acqua sollevata dalla pompa; FG galleggiante graduato; HI asta per l’apertura della saracinesca; K spina di fissaggio per l’asta HI; GL parte superiore e pompa; MM leva della pompa; N dente di arresto di MM; O cilindro su cui si avvolge la fune che passa attorno alle pulegge P e Q e solleva R, piattello con pesi; W trave; S e T congegni per regolare il livello della ruota. Da Singer.

Sezione trasversale del modello precedente di Smeaton per misurare la potenza delle ruote idrauliche azionate da sotto (si metta a confronto con la figura precedente). XX cilindro della pompa di circa 13 centimetri di diametro e 28 di lunghezza; V pistone; Z valvola. Modificando opportunamente questo modello con un canale di alimentazione che portava l’acqua al di sopra della ruota a differenti quote fino ad un massimo di 90 cm, si poteva calcolare la potenza sviluppata da una ruota idraulica alimentata da sopra. Da Singer.

La questione che voleva risolvere Smeaton e che oggi può sembrare semplice nei suoi propositi non lo era per nulla nei fatti. Ci si doveva infatti scontrare con il nazionalismo inglese perché, affrontare tali temi, significava mettere in discussione l’autorità nientemeno che di Newton. Detto in linguaggio moderno, per Newton l’energia si conserva sempre perché il mondo è perfetto con spazi assoluti, vuoti ed assolutamente privi da resistenze. Se si fornisce un impulso ad un oggetto esso si mette in moto e continua tale moto all’infinito. Per studiare le ruote reali occorreva quindi trattare di moti reali e quindi tener conto di tutti quegli impedimenti che non compaiono nella fisica newtoniana ma compaiono, ad esempio, nella fisica di Huygens e Leibniz. Il problema diventa quindi delicato tanto è vero che Smeaton per sostenere le sue idee si fece molti nemici in Inglilterra.

I suoi studi lo portarono dapprima a concludere che:

– il rendimento di una ruota idraulica alimentata da sotto poteva variare dal 33% al 50% poiché molta forza viva era consumata dall’attrito e la velocità ideale di tale ruota era pari ai 2/5 della velocità del getto d’acqua, ma poteva aumentare sino ad 1/2 nel caso di ruote immerse in corsi d’acqua di grande portata;
– il rendimento di una ruota idraulica alimentata da sopra era invece compreso tra il 52% ed il 76%, ma in grado di crescere ancora in caso di aumento del raggio della ruota e di diminuzione della velocità di rotazione.

Egli scriveva:

Nelle stesse condizioni di quantità e di caduta d’acqua, l’effetto delle ruote azionate da sopra è in media doppio di quello delle ruote azionate da sotto. Più alta è la ruota in rapporto alla caduta totale, più grandi saranno i suoi effetti.

Si trattava poi di andare a studiare i parametri d’uso di una ruota reale che ha tutti i difetti di un oggetto reale, che subisce urti, è soggetta ad attriti ed a resistenze varie. Quanto trovato più su gli fece capire che nell’azione da sotto su una ruota vi era molta dispersione negli attriti, particolarmente delle pale piatte della ruota. Nel caso invece dell’alimentazione da sopra stabilì che era più conveniente avere delle pale che avessero forma di cassetti in cui trattenere l’acqua perché si aveva un maggior rendimento sfruttando il peso dell’acqua piuttosto che la sua forza viva. In questo ultimo tipo di ruota stabilì non esservi

Ruota alimentata da sopra con i cassetti ben evidenziati

vantaggio alcuno ad aumentare oltre un certo livello la caduta dell’acqua perché non c’è alcun vantaggio negli urti violenti dell’acqua veloce sui cassetti delle pale⁽²⁾. Così scriveva Smeaton:

Più grande sarà il diametro della ruota in rapporto alla caduta, più grande sarà la produzione di energia, poiché questa non dipende solo dalla forza viva del salto, ma soprattutto dal peso dell’acua nei cassetti […]. E’ consigliabile che l’acqua abbia una velocità un poco maggiore della velocità periferica della ruota, onde evitare che la ruota venga rallentata quando i cassetti colpiscono l’acqua e che si abbia una diminuzione della potenza prodotta a causa dell’acqua che viene versata nell’urto [citato da Singer].

Dai suoi studi studi e soprattutto esperimenti, Smeaton trovò le dimensioni ottimali, le condizioni operative più convenienti perché una ruota idraulica desse la massima resa e trasse indicazioni progettuali utili quali riferimenti per quanti, da allora, si cimentarono nella costruzione di mulini; la più importante era l’indicazione di preferire, quando possibile, la ruota alimentata da sopra a quella alimentata da sotto. Osservo a parte che Smeaton, per primo definì la potenza come una forza in grado di produrre moto in un dato tempo (scriveva Smeaton nel 1759: Se si moltiplica il peso sollevato per l’altezza a cui esso può essere sollevato in un dato tempo, il prodotto è la misura della potenza che lo solleva).

Le ricerche sperimentali di Smeaton si estesero poi anche alle macchine a vapore. Egli riuscì, sempre con metodo scientifico, a raddoppiare quello che oggi chiamiamo il rendimento delle macchine a vapore, usando uno speciale impianto per l’alesatura dei cilindri e quindi per la tenuta. Riuscì poi a stabilire qual era la migliore combinazione tra diametro del cilindro, corsa dello stantuffo, velocità di funzionamento, superficie della caldaia, alimentazione d’acqua e consumo di carbone per una determinata resa di potenza. Nel realizzare i suoi esperimenti si accorse, non senza stupore, che il vapore presente nel cilindro non doveva essere condensato completamente se si voleva il massimo di potenza della macchina (la completa condensazione avrebbe dato il massimo impulso allo stantuffo ma avrebbe rallentato la macchina poiché, così raffreddato il cilindro, avrebbe poi avuto necessità di una maggiore quantità di vapore per essere riscaldato partendo dal completo raffreddamento. Con un residuo di vapore si perdeva nell’impulso dello stantuffo ma si guadagnava di più nella velocità della macchina). Inoltre Smeaton capì che era più efficiente un miscuglio di vapore ed aria in quanto quest’ultima, non condensando, si sarebbe naturalmente disposta a guisa di camicia isolante tra il vapore operativo e la fredda parete del cilindro (naturalmente occorreva disporre di una opportuna valvola di sfogo per eliminare l’aria che avrebbe altrimenti ingolfato la macchina stessa).

Gli studi di Smeaton furono alla base dei lavori dell’ingegnere militare Jean-Charles de Borda (1733 – 1799). Egli dette un importante contributo teorico unito a osservazioni sperimentali riuscendo a dare la formulazione delle equazioni che regolano la potenza erogata da una ruota, e quindi di un criterio per ottimizzare il suo rendimento. Borda, che già aveva iniziato a porsi problemi idraulici nella sua Mémoire sur l’écoulement des fluides par les orifices des vases pubblicata nelle Mémoires de l’Académie Royale des sciences di Parigi nel 1769, riprese i suoi studi più tardi e nella sua opera Memoire sur les roues hydrauliques (1797) fornì uno studio delle ruote idrauliche che completava la parte empirica fino ad allora sviluppata con una importante elaborazione teorica e studio sperimentale. Mentre il lavoro di Smeaton si era limitato alla raccolta accurata di dati empirici relativi a grandezze tecniche misurabili, Borda seguiva la tipica metodologia della fisica matematica, che prevede, per lo studio dei fenomeni, differenti momenti Occorre innanzitutto formulare il problema in termini di grandezze tecniche quantificabili o variabili; si può allora passare alla sua soluzione mediante l’analisi matematica; e quindi verificare empiricamente i risultati trovati attraverso la realizzazione di modelli sperimentali (prima di passare alla più impegnativa realizzazione del vero e proprio oggetto d’uso).

Jean-Charles de Borda

Borda riferì le sue ricerche ai soli corsi d’acqua di grande ampiezza rispetto alla larghezza della ruota, ovviamente in tal caso del solo tipo alimentata da sotto. Quando la ruota era alimentata da un canale della stessa larghezza, cioè alimentata ad alveo chiuso, Borda si rese conto che la forza dell’acqua era proporzionale alla velocità e non al suo valore al quadrato. Nella sua opera Memoire sur les roues hydrauliques, edita nel 1797, egli dimostrò che si poteva, ottenendo gli stessi risultati, misurare la potenza esprimibile dalla corrente non più con il prodotto della massa per la velocità (mv) della tradizione cartesiana ma con la vis viva di tradizione leibniziana, pari al prodotto della massa per la metà [il coefficiente ½ sarà introdotto successivamente da Gaspard-Gustave de Coriolis (1792-1843) nel suo Du calcul de l’effet des machines, ou Considérations sur l’emploi des moteurs et sur leur évaluation: pour servir d’introduction à l’étude spéciale des machines, Carilian-Goeury, Paris 1829 e soprattutto nella sua Mémoire sur le principe des forces vives dans les mouvements relatifs des machines, Journal de l’École Polytechnique, Vol 13, 268–302, 1832] del quadrato della velocità (½ mv²). La sua dimostrazione era una chiara falsificazione della teoria della resistenza dei fluidi di Newton e del fatto che la forza si sarebbe dovuta conservare. Inoltre i dati di Borda falsificavano anche quanto ipotizzato da Daniel Bernouilli e cioè che la vis viva si conserva. Risultava infatti che nel moto dei fluidi la vis viva non sempre si conserva. Se si considera, ad esempio, una corrente che percorre una tubazione che, ad un tratto, subisce un allargamento della sezione, si troverà che la velocità iniziale v del liquido si riduce a v’. Ciò vuol dire che la vis viva, in corrispondenza di quell’allargamento di sezione del tubo, diminuisce della quantità ½ m (v – v’)². Questo risultato fu di enorme importanza perché permetteva di avere finalmente un bilancio in grado di tornare. Se si teneva conto di quanto entrava e di quanto andava perso si era in grado di stabilire quanto era utilizzato proficuamente, di poter confrontare teoria con fatti sperimentali e di capire meglio quanto aveva ricavato Mariotte a proposito della perdita di forza nell’urto dell’acqua contro le pale della ruota idraulica. Insomma si era sulla strada di una più matura comprensione dei fenomeni e si cominciava ad ammettere una fisica che si confrontava con la realtà piuttosto che con entità metafisiche.

Le perdite di forza, le dissipazioni, i vincoli, le resistenze entrano con prepotenza nella fisica. In corrispondenza dei vincoli studiati dai fisici matematici con apparati formali impressionanti, anche la sperimentazione con la relativa formalizzazione fa la sua strada. Sempre sul finire del Settecento anche Charles Augustin Coulomb (1736 – 1806) aveva fatto degli studi importanti (iniziati nel

Charles Augustin Coulomb

1779) sull’attrito riguardanti la meccanica delle macchine e l’effetto che in esse provocherebbe l’assenza di urti ed attrito. La sua memoria, Théorie des machines simples, en ayant égard au frottement de leurs parties et à la roideur des cordages, era stata presentata nel 1781 all’Académie des Sciences di Parigi e premiata.

Una delle tavole che illustrano il lavoro di Coulomb sull’attrito nelle macchine semplici

Infine, non si può sottacere il fatto che nel 1775 l’Académie des Sciences di Parigi dichiarò che non sarebbe stato più preso in considerazione alcun progetto relativo al moto perpetuo. Chiunque lavorasse su questioni del genere mostrava ignoranza dei principi fondamentali della fisica.

Si può quindi dire che, quando i problemi si pongono e diventano pressanti, iniziano ad addensarsi una grande quantità di lavori che tentano di affrontarli e risolverli. E quanto visto è relativo a sistemi meccanici in uso nello sfruttamento dell’energia dell’acqua fluente. Ma, ancora nel Settecento, problemi analoghi di massimo rendimento si ponevano nello studio delle macchine a vapore.

Le miniere inglesi della Cornovaglia non erano in grado di soddisfare le richieste di carbone ed il suo prezzo aumentava tanto che la realizzazione di una nuova macchina che consumasse meno avrebbe fatto felici sia gli industriali che i proprietari di miniere. Fu Arthur Woolf (1766 – 1837) che nel 1803 realizzò una macchina ad espansione composta (cioè a due cilindri) che sembrava rispondere alle esigenze suddette e che suscitò grande ammirazione in Francia. Infatti su una macchina a bilanciere con due cilindri funzionanti affiancati, il risparmio di combustibile era dell’ordine del 50% rispetto ad una macchina di Watt⁽³⁾. Sua originale invenzione fu l’uso di pressioni di vapore superiori a quelle fino ad allora utilizzate (poco superiori a quella atmosferica) e che potevano arrivare alle 4 atmosfere.

Macchina a doppio effetto di Hornblowers entrata in funzione nel 1782. Essendo più complessa era più costosa di una macchina di Watt ed il fatto che veniva alimentata con la stessa bassa pressione del vapore di una macchina di Watt non la rendeva più economica. Fu su questa macchina che lavorò Woolf, dopo che era scaduto il brevetto di Watt, aggiungendole il condensatore separato, applicandole l’effetto a duplice espansione ed alimentandola con vapore a pressioni più elevate rendendola più economica di una macchina di Watt. La resa di tale macchina era circa il doppio di una macchina di Watt di uguale potenza. Ciò vuol dire che si consumava circa la metà di carbone.

Macchina a vapore di Woolf⁽⁴⁾

I due cilindri della macchina di Woolf

Il confronto di questa macchina con quella di Watt in termini di resa, iniziò un confronto tra tutti i vari tipi di macchine e la ricerca di quale avesse resa maggiore e cosa si potesse fare per ottenerla. Il confronto tra tutte le macchine operanti in Cornovaglia convinse tutti che la migliore resa era della macchina di Woolf e quindi di una macchina operante ad alta pressione e ad espansione multipla (inizialmente l’espansione era doppia: dopo che il vapore ad alta pressione aveva fatto abbassare lo stantuffo dentro un piccolo cilindro, veniva fatto entrare in un cilindro di diametro molto maggiore mantenuto a bassa pressione; in tal modo il vapore veniva fatto agire in due fasi successive, prima ad alta e poi a bassa pressione).

RIPRENDIAMO A CONSIDERARE I CONTRIBUTI SCIENTIFICI DI LAZARE CARNOT

Quanto ho detto nel paragrafo precedente a proposito delle macchine a vapore non è immediatamente legato ai lavori di Lazare Carnot ma rende conto del grande interesse che, sul finire del Settecento ed agli inizi dell’Ottocento, si aveva per le macchine idrauliche e non ed in definitiva per quello che oggi chiameremmo il loro massimo rendimento. Infatti, trovata una macchina di Woolf che consumava meno combustibile a parità di lavoro fatto rispetto ad una macchina di Watt, ci si chiedeva fino a che punto poteva aumentare il rendimento di una macchina, poteva cioè aversi un apparato in grado di fare lo stesso lavoro consumando ancora meno.

Il programma di Carnot è ben espresso in queste sue domande:

«Quale è il modo migliore di impiegare una data potenza motrice, il cui effetto naturale è noto, applicandola a una macchina in movimento? Cioè quale è il sistema per farle produrre il maggior effetto possibile?»

Per rispondere a tali quesiti Carnot proseguì l’analisi teorica del moto delle macchine idrauliche e si propose di dimostrare le condizioni ottimali di funzionamento di una qualsiasi macchina. Egli determinò che la massima efficienza di una macchina idraulica si ottiene quando l’azione di una forza continua (come la gravità) viene trasmessa senza urti o turbolenze, ma per gradi insensibili (allo stesso modo di una serie di piccoli urti), definendo i criteri per trovare il massimo rendimento di qualsiasi ruota idraulica conosciuta. Infatti Lazare Carnot, come farà poi suo figlio Sadi, non si riferisce ad una macchina particolare, non sta progettando un determinato apparato, ma si sta riferendo ad una intera classe di macchine.

Dice Carnot:

«Le macchine sono utilissime, non aumentando l’effetto di cui le potenze sono naturalmente capaci, ma nel modificare tale effetto […] in modo conveniente al fine che uno si propone […] nel modo più vantaggioso».

E ciò vuol dire che occorre superare il concetto astratto di forza introdotto dalla meccanica newtoniana per avvicinarsi all’uso pratico di essa nel senso di Leibniz e Bernouilli. Segue ancora Carnot:

«La scienza delle macchine in generale, così come l’intera meccanica, si riduce alla questione seguente: conoscendo il moto di un sistema virtuale qualunque di corpi – cioè quello che assumerebbe ciascuno di tali corpi se fosse libero – trovare il moto reale che si avrà […] considerando tale quello che esiste in natura»

Se si pensa a ciò che accadrebbe in un universo newtoniano si trovano risultati che non hanno nulla a che vedere con la realtà. Infatti, applicando una forza per un dato tempo (un impulso) ad un corpo, esso si muoverebbe all’infinito in uno spazio vuoto. In realtà noi dobbiamo tener conto degli attriti e di ogni altra resistenza al moto che, in un mondo reale, sono delle vere e proprie forze attive (dice Carnot: L’attrito e le altre resistenze … possono essere considerate come delle forze attive). E qui Carnot si riallaccia direttamente agli studi cui ho accennato nel paragrafo precedente e quindi alla concezione di Huygens e Leibniz di vis viva in opposizione a quella di forza che si conserva di Newton (Carnot dice esplicitamente nella Prefazione ai suoi Principes del 1803 che la forza è una nozione metafisica ed oscura perché non si capisce bene cosa vuol dire univocamente causa poiché di cause ve ne sono moltissime. Infatti mentre siamo in grado di capire cosa vuol dire il rapporto tra due quantità di moto non siamo in grado di intendere cosa vuol dire il rapporto tra due cause).⁽⁵⁾

L’attenzione di Carnot non è quindi puntata sull’inizio del moto ma nel suo svolgersi. Su una intuizione che era già stata di D’Alembert (1743), Carnot separò lo studio delle cause del moto dal moto medesimo. L’inizio del moto dice poco, anche perché è proprio il concetto di forza che Carnot non riesce a digerire mentre accetta in modo intuitivo il concetto di massa così che è possibile per lui trattare, con una certa tranquillità, la quantità di movimento mv o, come la chiama anche Carnot, forza di percussione. Anzi, sono proprio le masse le entità in cui risiederebbero le forze (dice Carnot: Le forze risiedono in masse determinate), di modo che sono le variazioni di quantità di moto (sottinteso: nel tempo) che definiscono le forze (dice Carnot: Sotto il semplice nome di forze o potenze o forze propriamente dette comprendiamo le quantità di moto e le forze motrici o, se si vuole le forze di percussione e di pressione quando invece vogliamo parlare di forza viva dobbiamo dire chiaramente il viva⁽⁶⁾). E la meccanica non è altro che la teoria delle leggi dello scambio di movimenti, essendo comunque coscienti che, cambiando modo di vedere nel senso detto, occorrerà cambiare varie cose nella meccanica assiomatizzata di Newton (occorrerà, ad esempio, partire con lo studio della dinamica lasciando la statica come caso particolare in cui tutti i movimenti si annullano). Sarà anche necessario ricorrere all’esperienza ed ai ragionamenti che possono confermarla o confutarla o che ci possono aiutare nel metodo induttivo. Ma vediamo in dettaglio le successive definizioni di Carnot e le relative elaborazioni e conclusioni.

Il moto viene chiamato da Carnot movimento geometrico⁽⁷⁾ (dice Carnot: una specie di scienza intermedia tra la geometria ordinaria e la meccanica) perché il moto reale rappresenta l’insieme del movimento descritto dalla sua geometria che è indispensabile conoscere per poter meglio utilizzare una macchina.

La forza deve essere considerata in due accezioni: forza sollecitante e forza resistente. Essa deve essere intesa come una successione di impulsi infinitesimi.

Il momento d’attività di un mobile, istante per istante, è il prodotto della sua quantità di moto in quell’istante per la velocità che esso deve avere l’istante successivo stimata a partire dalla sua velocità attuale. Si può osservare che ha le dimensioni di una forza viva. Esso è in pratica la forza che si utilizzerebbe effettivamente per produrre un lavoro utile o la forza sollecitante a cui deve essere sottratta la forza resistente⁽⁸⁾.

Mediante queste definizioni, Carnot ridefinisce il funzionamento delle macchine in modo estremamente semplificato al fine di riuscire a dare lo stato di un sistema in un istante dato.

Nella Prefazione al suo lavoro sulle macchine del 1803, Principes fondamentaux de l’équilibre et du mouvement (dal quale sono tratte tutte le citazioni di questo paragrafo),dice:

«Con l’aiuto di queste definizioni arrivo a delle proposizioni molto semplici; e le deduco da una medesima equazione fondamentale […] Da tale equazione ricavo poi un principio generale di quiete e di movimento nelle macchine propriamente dette».

E, con queste premesse, Carnot stabilisce che l’equilibrio generale dei processi si ottiene quando il lavoro per unità di tempo consumato è uguale alla somma del lavoro utile prodotto per unità di tempo più il lavoro perso a causa dell’attrito ed altri fattori. Le sue parole a questo proposito sono:

«Qualunque sia il cambiamento ottenuto (…) il momento d’attività consumato per unità di tempo (…) sarà sempre uguale alla metà della quantità la cui somma delle forze vive sarà aumentata durante questo tempo (…) meno la metà della quantità di cui sarebbe aumentata questa stessa somma di forze vive, se ciascuno dei corpi fosse mosso liberamente sulla curva che descrive (…) e la somma delle forze vive dopo l’urto è sempre minore di quanto era prima. C’è dunque sempre perdita di forze vive (…) uguale alla somma delle forze vive che si avrebbe se ciascun corpo si muovesse liberamente con una velocità uguale a quella che ha perso per l’urto».

E ciò vuol dire che, per l’urto di corpi rigidi, la perdita totale di forza viva è uguale alla somma delle forze vive dovute alle velocità perdute. E questo teorema, stabilito da Carnot, è raccontato da Mach nel modo seguente:

La somma delle forze vive di un sistema di masse varia nell’urto se si tratta di masse anelastiche invece si conserva per le masse perfettamente elastiche. È possibile misurare la diminuzione delle forze vive che si determina nell’urto di masse anelastiche, o, in generale, quando i corpi si muovono dopo l’urto con velocità comune. Siano M, m le masse, C, c le loro rispettive velocità prima dell’urto, u la loro velocità comune dopo l’urto. La perdita di forza viva è

[1] ½ MC²+ ½ mc² – ½ (M + m)u².

Poiché

la [1] può essere sostituita da

Carnot ha espresso questa perdita con

[2] ½ M(C – u)² + ½ m(u – c)².

Le espressioni

½ M(C – u)², ½ m(u – c)²

designano le forze vive prodotte dal lavoro delle forze interne. Quindi la perdita di forza viva nell’urto è equivalente al lavoro prodotto dalle forze interne, cioè dalle cosiddette forze molecolari. Se confrontiamo le espressioni [1] e [2], ricordando che (M + m) u= MC + mc, otteniamo un’uguaglianza. La formula di Carnot è importante per la valutazione delle perdite dovute all’urto di parti di macchine.

Con questi sviluppi Carnot fornisce le prime definizioni di energia potenziale, energia cinetica, lavoro, potenza, ingresso ed uscita, … E’ il primo ad utilizzare il bilancio del lavoro per misurare ciò che le forze e le potenze possono o non possono fare ed anche a fornire una formulazione della conservazione dell’energia meccanica che esiste se si mettono in conto le perdite.

In definitiva Carnot arriva a due condizioni per ottenere dalle macchine idrauliche i migliori rendimenti possibili:

– La potenza deve sempre trasmettersi senza percussioni e tutti gli urti devono essere evitati (dice Carnot: «Per ottenere l’effetto più grande possibile, si deve evitare ogni urto o cambiamento brusco di ogni genere (…) o perdita di movimento d’attività [lavoro, ndr] inutilmente assorbito. Bisogna diminuire (…) gli attriti (…) e la resistenza»). L’acqua entra quindi nel motore ideale con la stessa esatta velocità degli elementi mobili che lo compongono: per esempio, nel caso della ruota idraulica, con la velocità di movimento delle pale.

– L’energia cinetica sottratta dal getto d’acqua che fuoriesce dalla macchina deve essere minima: almeno in situazione ideale l’acqua uscente dovrebbe avere velocità nulla.

Sembra evidente che tutto il lavoro di Carnot, risulti come negazione della possibilità di moto perpetuo. Ma Carnot vi dedica esplicitamente delle pagine (essendo completamente in linea con quanto dichiarato dall’Accademia delle Scienze di Parigi nel 1775)⁽⁹⁾. Egli è un galileiano che sa che la natura non si fa prendere in giro dalle macchine e che quindi è illusorio mettersi empiricamente a costruire macchine che amplifichino sempre di più gli effetti conseguenti a sollecitazioni, senza tenere bene a mente i dati dell’osservazione scientifica e la sperimentazione tecnica. Il problema è rovesciato: vi sono prima le leggi della fisica e poi le macchine che devono tendere ad avvicinarsi sempre più al limite ideale che la scienza fornisce. E Carnot esemplifica con la leva quanto dice. Proprio con questa macchina semplice si può facilmente osservare che una macchina perde sempre in tempo o in velocità quanto ci fa guadagnare in forza e tale principio fondamentale è valido per tutte le macchine⁽¹⁰⁾. Dice Carnot:

«Quando un corpo agisce su un altro, o direttamente o attraverso un qualche corpo intermedio, questo corpo intermedio, in generale è ciò che si chiama macchina: il movimento che perde ad ogni istante ciascuno dei corpi applicati a questa macchina, è in parte assorbito dalla macchina stessa ed in parte ricevuto dagli altri corpi del sistema»

è perciò illusorio pensare di avere come risultato di un’azione qualcosa che sia più grande dell’azione stessa, visto che parte dell’azione se n’è andata dentro la macchina che mi ha permesso l’operazione che chiedevo. Ed il mezzo per radicare quest’errore

«è senza dubbio quello di attaccarlo all’origine, mostrando che non solo in tute le macchine conosciute ma anche in tutte le macchine possibili c’è una legge inevitabile (…) e le riflessioni che io propongo su questa legge mi conducono a dire una cosa sul moto perpetuo e faccio vedere non solo che ogni macchina a se stessa deve arrestarsi, ma sono in grado di dire qual è l’istante in cui si ferma».

Lazare Carnot nell’ultima parte della sua vita, a partire dal 1818, si occupò di macchine a vapore e non vi è dubbio che di tale macchine discusse con suo figlio Sadi, come vedremo. Il suo interesse era lo stesso di ciò che ho qui riportato ma legato alle macchine idrauliche o meglio esemplificato con macchine idrauliche.

Il lavoro di Carnot troverà continuatori importanti. In meccanicaJean Victor Poncelet e Gustave Gaspard Coriolis che circa 25 anni più tardi pubblicheranno, rispettivamente Cours de mécanique appliquée (1827) e Du calcul de l’effet des machines (1829). A questi lavori seguiranno: la Mécanique industrielle (1839) di Poncelet, che elaborerà e riformulerà molte idee introdotte da Coriolis; ed una seconda edizione del precedente lavoro di Coriolis, Traité de la mécanique des corps solides et du calcul de l’effet des machines (1844) in cui vennero sviluppate e precisate le considerazioni sulla conservazione della forza viva e sulla trasmissione del lavoro. Altri scienziati che elaborarono la meccanica delle macchine furono: Jean Nicolas Pierre Hachette (1769 – 1834) con Traité élementaire des machines (1811), Claude-Louis Navier (1785 – 1836) con Résumé des lecons sur l’application de la mécanique (1826), Pierre Charles François Dupin (1784 – 1873) con Géometrie et mécanique des arts et métiers (1826).

Sul fronte invece della macchine a vapore si muoverà il figlio di Lazare, Sadi Carnot che darà un fondamentale contributo alla nascita della scienza del calore, la termodinamica. Di Sadi Carnot mi occuperò nel seguente articolo mentre non entrerò nei dettagli degli sviluppi della meccanica perché esulano dai miei scopi.

Roberto Renzetti

NOTE

(1) Gaspard Monge (1746 – 1818) proveniva da una modesta famiglia famiglia (suo padre era un venditore ambulante). Studiò dagli Oratoriani e, notato per la sua abilità nel fare mappe, fu ammesso alla scuola di formazione di Mézière (i suoi natali furono d’ostacolo per l’ammissione alla scuola militare). Poiché era di umili origini non era considerato adatto a comprendere il calcolo ma dette prove strabilianti di sé inventando metodi proiettivi straordinari (geometria descrittiva) tanto da convincere i militari a nominarlo professore (1768) a patto che le scoperte di Monge restassero un segreto militare. Nel 1780 fu nominato professore all’Università di Parigi e nel 1781 pubblicò il suo primo lavoro che trattava delle line di curvatura di superfici. Aderì da subito alla Rivoluzione e nel 1792 divenne Ministro della Marina della Repubblica Rivoluzionaria, mettendo a completa disposizione la scienza per la difesa della medesima.

Caricatura di Monge realizzata da un suo studente dell’École Polytechnique intorno ai primi dell’Ottocento

Cadde in disgrazia durante il periodo del Terrore. Passato quel tempo tornò in Francia e gli fu permesso l’insegnamento inferiore. Fu poi mandato in Italia e quindi andò al seguito di Napoleone fino alla sua definitiva sconfitta. Tornato in Francia insegnò alla prestigiosa Scuola Politecnica e pubblicò le sue due opere fondamentali: Applicazione dell’algebra alla geometria (1805) e Applicazione dell’analisi alla geometria che ebbe 4 edizioni, l’ultima del 1819, che riuscì ad essere rivista da Monge prima della pubblicazione e che contiene soluzioni di alcune equazioni differenziali del secondo ordine alle derivate parziali.

Morì a Parigi nel 1818.

(2) Fu il fisico francese Edme Mariotte (1620 – 1684) il primo ad aver intuito che una parte rilevante della forza di un getto d’acqua contro una superficie (le pale della ruota idraulica) si perdeva a causa dell’urto e quindi non era utilmente trasformata. Egli studiò in modo approfondito e per la prima volta il fenomeno e nel suo lavoro Traité du mouvement des eaux (1686), che vide la luce due anni dopo la sua morte, determinò due proprietà fondamentali del fenomeno:

– quando un getto d’acqua urta su una superficie, una parte rilevante dell’energia che il getto stesso contiene di disperde, quindi non partécipa alla forza che la superficie riceve;
– la forza che un getto d’acqua produce quando urta contro una superficie è proporzionale al quadrato della velocità dell’acqua.

Oltre non riuscì ad andare in termini di formalizzazione.

Altri suoi contributi erano stati descritti nel suo Trattato della percussione o dell’urto tra corpi (1670). Mariotte si mosse sulla strada aperta dagli scienziati italiani ed in particolare da Torricelli. Egli è considerato il padre del metodo sperimentale in Francia (così lo definì Condorcet) e l’accuratezza delle sue osservazioni relative al moto dei fluidi, lo rendono anche il fondatore dell’idraulica francese.

(3) In realtà Woolf, allo scadere del brevetto, aveva applicato una delle scoperte dello stesso Watt del 1782 che proponeva utilizzazioni diverse del vapore immettendone nel cilindro in quantità necessaria solo ad una parte della sua espansione, lasciando la successiva espansione all’inerzia. Così operando scendeva la potenza motrice ma diminuiva la quantità di combustibile necessario al suo funzionamento. Il risparmio citato nel testo riguarda macchine di Woolf sviluppate successivamente e nel continente da Humphrey Edwards, un ex socio di Woolf.

(4) Riporto la descrizione del funzionamento della macchina di Woolf con le parole di Robert Fox:

La macchina di Woolf era costituita da due cilindri, di cui il più grande aveva generalmente un diametro di circa un metro. Nello schema seguente i pistoni sono rappresentati nella fase in cui hanno raggiunto il massimo di espansione.

Disegno schematico di una macchina a vapore di Woolf. Da Fox.

A questo punto le valvole A (aperte per tutto l’intervallo di tempo in cui il pistone sale) sono chiuse e le valvole B (chiuse durante 1’espansione del pistone) sono aperte. Il vapore proveniente dalla caldaia, con una pressione di circa tre atmosfere, viene così introdotto nella parte superiore (I) del cilindro più piccolo e comincia a spingere il pistone verso il basso. In tal modo il vapore che si trova nella regione (II) sotto il pistone, la cui pressione era inizialmente di tre atmosfere, si diffonde nella parte superiore (III) del cilindro più grande, spingendo il pistone di questo cilindro verso il basso, contro il vuoto parziale creato dal fatto che la regione (IV) sotto il pistone è collegata al condensatore. Nella sua diffusione dalla zona II alla zona III la pressione del vapore diminuisce progressivamente fino a un valore di poco inferiore alla pressione atmosferica. Quando i pistoni hanno raggiunto la massima compressione (questo avviene nello stesso istante poiché i due pistoni operano rigorosamente in fase), le valvole A vengono aperte e le valvole B vengono chiuse. Il vapore della caldaia spinge allora il pistone più piccolo verso 1’alto, contro la pressione che diminuisce progressivamente nella zona I, e il vapore nella zona IV spinge il pistone più grande verso 1’alto, contro il vuoto parziale della zona III. Grazie alla pompa P a basso consumo, 1’acqua condensata, che giunge al condensatore dal pistone più grande, torna ad alimentare la caldaia.

(5) Le idee di Carnot e particolarmente quella di forza, hanno avuto grande influenza nella storia della fisica. Basti ricordare i nomi di Laplace, Barré de Saint-Venant, Coriolis, Kirchhoff, Hertz, Mach, Perrin.

(6) E’ di grande interesse leggere il paragrafo (paragrafo 59 di pag. 37) dei Principes che segue questa considerazione sulla forza viva vi sono praticamente definite le energie potenziali e cinetiche. Leggiamo:

59. Possiamo osservare che la forza viva può presentarsi o sotto la forma mv2 di una massa per il quadrato di una velocità, o sotto la forma P.h di una forza motrice [il peso] moltiplicata per una distanza [quella a cui si trova il peso]. Nel primo caso abbiamo la forza viva propriamente detta; nel secondo si potrebbe si potrebbe dare ad essa la denominazione particolare di forza viva latente.

(7) Il movimento geometrico è senza alcun effetto sulle azioni reciproche che si esercitano o potrebbero esercitarsi tra i corpi del sistema; dipende soltanto dalle condizioni di vincolo tra i corpi del sistema (da Dugas e Costabel in bibliografia 14).

Il movimento geometrico viene così descritto dal medesimo Carnot:

«Il est évident que cette propriété appartient successivement aux mouvements que j’appelle ici géométrique, et que ce serait par conséquent en avoir une idée très fausse, que de les regarder comme des mouvements simplement possibles, c’est-à-dire, compatibles avec l’impénétrabilité de la matière : car, supposons, par exemple, que tout le système se réduise à deux globes adjacents, et se poussant l’un l’autre, il est clair que si l’on force ces corps à se séparer, ou à se mouvoir en sens contraire l’un de l’autre, ce mvt ne sera pas impossible, mais qu’en même temps les corps ne peuvent le prendre sans cesser d’agir l’un sur l’autre : ce mvt n’est donc pas propre à remplir le but qu’on se propose, qui est de ne rien changer à l’action réciproque des corps». page 46 dei Principes.

Il modo con cui è esemplificato il momento geometrico distinto da quello non geometrico da: http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Mvtgeo.JPG

(8) Dice Carnot:

«Parmi les forces appliquées à une machine en mouvement, les unes sont telles, que chacune d’entre elles fait un angle aigu avec la vitesse du point où elle est appliquée; (…) j’appellerai les premières forces mouvantes ou sollicitantes; et les autres, forces résistantes (…). On observera que les forces sollicitantes peuvent être dirigées dans le sens même de leurs vitesses, puisque alors l’angle formé par leurs concours est nul, et par conséquent aigu ; et que les forces résistantes peuvent agir dans le sens directement opposé à celui de leurs vitesses (…). On voit par-là, que si on fait prendre un mouvement géométrique à un système quelconque de puissance, chacune d’elles sera sollicitante ou résistante à l’égard de ce mouvement géométrique, suivant que l’angle formé par cette force et sa vitesse géométrique, sera aigu ou obtus. Si une force P se meut avec la vitesse u, et que l’angle formé par le concours de u et P soit z, la quantité P cos(z) u dt dans laquelle dt exprime l’élément de temps, sera nommée moment d’activité, consommé par la force P pendant dt(…). Lorsqu’il s’agira d’un système de forces appliquées à une machine en mouvement,(…) le moment d’activité (total),…, est la même chose que la différence entre le moment d’activité consommé par les forces sollicitantes, et le moment d’activité, consommé en même temps par les forces résistantes, considéré comme une quantité positive».

Da: http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Carnotmoment.JPG

(9) Riporto il documento approvato dall’Accademia delle Scienze di Parigi del 1775:

L’Accademia ha approvato quest’anno la risoluzione di non esaminare alcuna soluzione di problemi sui seguenti argomenti:

La duplicazione del cubo, la trisezione dell’angolo, la quadratura del cerchio o alcuna macchina per dimostrare il moto perpetuo.

Consideriamo doveroso da parte nostra spiegare i motivi che ci hanno condotto a questa determinazione.

“La costruzione di una macchina del moto perpetuo è assolutamente impossibile. Anche ammesso che l’attrito e la resistenza del mezzo non distruggessero infine l’effetto della potenza motrice primaria, tale potenza non potrebbe produrre un effetto uguale alla sua causa; se, poi, si desidera che l’effetto di una potenza sia quello di agire continuamente, l’effetto dev’essere infinitamente piccolo in un tempo dato. Se si riuscissero a eliminare l’attrito e la resistenza, il primo moto impartito a un corpo continuerebbe sempre; esso non agirebbe però in relazione ad altri corpi e l’unico moto perpetuo possibile in quest’ipotesi (che non potrebbe esistere in natura) sarebbe assolutamente inutile e non potrebbe quindi realizzare l’obiettivo che i costruttori di queste macchine del moto perpetuo si propongono. L’inconveniente di queste ricerche è di essere enormemente dispendiose, tanto che esse hanno rovinato più di una famiglia; spesso la meccanica, che avrebbe potuto rendere grandi servigi al pubblico, ne ha sperperato i mezzi, il tempo e la genialità.

Sono questi i motivi principali che hanno dettato la determinazione dell’ Accademia. Affermando di non volersi più occupare di questi argomenti, i membri dell’Accademia non fanno altro che dichiarare la loro opinione circa la completa inutilità delle fatiche profuse da coloro che se ne occupano. È stato detto spesso che, nel tentativo di risolvere problemi chimerici, sono state trovate molte verità utili; è questa un’opinione che ha avuto origine in un’epoca in cui era ignoto il metodo appropriato per scoprire la verità, metodo che oggi è invece ben noto. È più che probabile che il giusto modo per scoprire le verità sia quello di cercarle. Ma la quadratura del cerchio è l’unico, fra i problemi ripudiati dall’Accademia, suscettibile di dare origine a qualche ricerca utile; e, se un geometra dovesse risolvere tale problema, la determinazione dell’Accademia non farebbe che accrescerne il merito, in quanto dimostrerebbe l’opinione che i geometri hanno della difficoltà, per non dire insolubilità, del problema.”

(10) Dice Carnot:

«(…) tout le monde répète que dans les machines en mouvement on perd toujours en temps ou en vitesse ce qu’on gagne en force ; mais après la lecture des meilleurs éléments de mécanique, qui semble être la vraie place où doivent se trouver la preuve et l’explication de ce principe, son étendue et même sa vraie signification sont-elles faciles à saisir? Sa généralité a-t-elle, pour la plupart des lecteurs, cette évidence irrésistible qui doit caractériser les vérités mathématiques ? S’ils éprouvaient cette conviction frappante, ne verrait-on pas des mécaniciens instruits de ces ouvrages, renoncer incessamment à leurs projets chimériques ? Ne cesseraient-ils pas de croire ou de soupçonner de moins, malgré tout ce qu’on leur dit, qu’il y a dans les machines quelque chose de magique ? Les preuves qu’on leur donne du contraire ne s’étendent qu’aux machines simples ; ne croient-ils pas celles-ci capables d’un grand effet; mais on ne leur fait pas voir qu’il doit en être de même dans tous les cas imaginables, et l’on se contente d’une analogie : voilà pourquoi ces mécaniciens espèrent toujours que leur sagacité leur fera découvrir quelque ressource inconnue, quelque machines qui ne soit pas comprise dans les règles ordinaires ; ils se croient d’autant plus surs de la rencontrer, qu’ils s’éloignent davantage de tout ce qui paraît avoir de la relation avec les machines usitées, parce qu’ils s’imaginent que la théorie établie pour celles-ci, ne peut s’étendre à des constructions qui leur semblent n’y avoir aucun rapport ; c’est en vain qu’on leur dit que toute machine se réduit au levier : cette assertion est trop vague et trop tirée, pour qu’on s’y rende sans un examen profond ; ils ne peuvent se persuader que des machines qui paraissent n’avoir rien de commun avec celles qu’on nomme simples, soient sujettes à la même loi, ni qu’on puissent prononcer sur l’inutilité d’un secret dont ils n’ont pas fait de confidence à personne : de là vient que les idées les plus bizarres, les plus éloignées de la simplicité si avantageuse aux machines, sont celles qui leur fournissent le plus d’espoir. Le moyen de déraciner cette erreur, est sans doute de l’attaquer dans sa source même, en montrant que non seulement dans toutes les machines connues, mais encore dans toutes les machines possibles, c’est une loi inévitable (…). Les réflexions que je propose sur cette loi, me conduisent à dire un mot du mouvement perpétuel, et je fais voir non seulement que toute machine abandonnée, à elle-même doit s’arrêter, mais j’assigne l’instant même où cela doit arriver».