di Galileo Galilei

Divisione della linea

Operazione I

Venendo alla dichiarazione particolare delle operazioni di questo nuovo Compasso Geometrico e Militare, primamente faremo principio da quella faccia di esso nella quale sono notate quattro coppie di linee con loro divisioni e numeri; e tra esse parleremo prima delle più interiori, denominate Linee Aritmetiche per esser le loro divisioni fatte in proporzione aritmetica, cioè con eguali eccessi, che procedono sino al numero 250, dalle quali trarremo diversi usi. E primamente:

Col mezo di queste linee potremo dividere una linea retta propostaci in quante parti eguali ne piacerà, operando in alcuno delli infrascritti modi.

Quando la proposta linea sia di mediocre grandezza, sì che non ecceda l’apertura dello Strumento, piglieremo con un compasso ordinario l’intera quantità di quella, e questo spazio applicheremo traversalmente, aprendo lo Strumento, a qualunque numero di esse Linee Aritmetiche, pur che sia tale, che sopra le medesime linee ve ne sia un minore, e da quello contenuto tante volte quante sono le parti in che si ha da dividere la linea proposta; ed aggiustato in tal guisa lo Strumento, e preso lo spazio traversale tra i punti di questo minor numero, questo senz’alcun dubbio dividerà la proposta linea nelle parti ordinateci. Come, per essempio:

Dovendo noi dividere la linea data in cinque parti eguali, pigliamo due numeri de’ quali il maggiore sia quintuplo dell’altro, come sariano 100 e 20, ed aperto lo Strumento aggiustiamolo in maniera, che la distanza già presa col compasso si adatti traversalmente alli punti segnati 100.100, e non movendo più lo Strumento, prendasi la distanza pur traversale tra li punti delle medesime linee segnati 20.20; perché indubitatamente questa sarà la quinta parte della linea proposta. E con simile ordine troveremo ogn’altra divisione: avvertendo di prendere numeri grandi, pur che non si passi 250, perché, così facendo, l’operazione riuscirà più facile ed esatta.

L’istesso potremo conseguire operando in un altro modo; e l’ordine sarà tale. Volendo dividere, per

essempio, la sottoposta linea AB, v. g., in 11 parti, prenderò un numero multiplice dell’altro undici volte, come saria 110 e 10, e presa

col compasso tutta la linea AB, l’accomoderò traversalmente, aprendo lo Strumento, alli punti 110; dipoi, non si potendo sopra le medesime linee prendere la distanza tra li punti 10, li quali vengono occupati dalla grandezza della nocella, in vece di questa si piglierà l’intervallo tra li punti 100.100, stringendo un poco il compasso; del quale fermata poi un’asta nel punto B, noterò con l’altra il segno C, onde la rimanente linea AC sarà la undecima parte di tutta l’AB; e similmente, fermata l’asta del compasso in A, segnerò verso l’altra estremità il punto E, lasciando la EB eguale alla CA. Dipoi, stringendo ancora un poco il compasso, prenderò l’intervallo traversale tra li punti 90.90 e questo trasporterò da B in D, e da l’A in F, ed averò due linee CD, FE, undecime parti ancor’esse della intera. E col medesimo ordine trasferendo di qua e di là le distanze prese tra li punti 80.80, 70.70, etc., troveremo le altre divisioni; come nella sottoposta linea distintamente si vede.

Ma quando ci fusse proposta una piccolissima linea da dividersi in molte parti, come sarebbe, per essempio, la seguente linea
AB, per dividerla, v. g., in 13
parti, potremo secondo

quest’altra regola procedere.

Prolunghisi occultamente essa linea AB sino in C; e misurate in essa altre linee, quante ci piaceranno, eguali alla AB, e siano nel presente essempio altre sei, sì che AC sia settupla di essa AB, è manifesto che di quelle parti, delle quali la AB contiene tredici, tutta la AC ne conterrà 91; onde, presa con un compasso tutta la AC, l’applicheremo traversalmente, aprendo lo Strumento alli punti 91.91, e, stringendo poi il compasso a un punto meno, cioè a li punti 90.90, trasporteremo questa distanza dal punto C verso A; perché, notando il termine verso A, si lascerà la novantunesima parte di tutta la CA, che è la tredicesima della BA, fuori, pur verso il termine A. E così, se ci piacerà, verremo stringendo di punto in punto il compasso all’89, 88, 87, etc., e trasporteremo questi intervalli dal termine C verso A, e si verranno di grado in grado ritrovando e notando le altre particelle della linea proposta AB.

Ma se finalmente la linea da dividersi fusse lunghissima, sì che eccedesse di molto la maggiore apertura dello Strumento, potremo in ogni modo prendere di essa la parte assegnataci, la quale sia, per essempio, la settima. Ora per trovarla, avendoci prima immaginati due numeri, l’uno settuplo dell’altro, quali sieno, v. g., 140 e 20, costituiscasi lo Strumento in qual si voglia apertura, e da esso presa con un compasso la distanza traversale tra li punti 140.140, veggasi quante volte questa è compresa nella gran linea proposta; e quante volte vi è contenuta, tante volte l’intervallo traversale tra li punti 20.20 si replichi sopra la gran linea, e si averà la sua settima parte, quando però l’intervallo, che si prese tra li punti 140, avesse misurato precisamente la data linea. Ma se non l’avesse misurata a punto, bisogneria prendere dell’avanzo la settima parte, secondo il modo di sopra dichiarato, e questa aggiugnere a quell’intervallo che fu sopra la gran linea più volte replicato; e si averà la settima parte a capello, secondo che si desiderava.

COME DI UNA LINEA PROPOSTA POSSIAMO PRENDERE QUALUNQUE PARTI CI VERRANNO ORDINATE.

Operazione II.

La presente operazione è tanto più utile e necessaria, quanto che senza l’aiuto del nostro Strumento saria difficilissimo trovar tali divisioni; le quali però con lo Strumento in uno instante si conseguiranno. Quando dunque ci bisognasse d’una linea proposta prendere qualunque parti ci venissero ordinate, come, per essempio, delle 197 parti doviamo prendere le 113, piglisi senz’altro con un compasso la lunghezza della data linea, ed aperto lo Strumento sin che tale lunghezza si accomodi traversalmente alli punti segnati 197, e più non lo movendo, prendasi con l’istesso compasso la distanza tra li punti 113.113; ché tanta senz’alcun dubio sarà la porzione della linea proposta, che alli centotredici centonovantasettesimi si agguaglia.

COME LE MEDESIME LINEE CI PRESTANO DUE, ANZI INFINITE, SCALE PER TRASPORTAR UNA PIANTA IN UN’ALTRA MAGGIORE O MINORE, SECONDO IL NOSTRO ARBITRIO.

Operazione III.

È manifesto che qualunque volta ci bisognasse cavare da un dissegno un altro maggiore o minore secondo qual si voglia proporzione, fa di mestiero che ci serviamo di due scale esattamente divise, l’una delle quali ci serva per misurare il disegno già fatto, e l’altra per notare le linee del disegno da farsi, tutte proporzionate alle loro corrispondenti del disegno proposto; e tali due scale avremo sempre dalle linee delle quali ora parliamo: ed una d’esse sarà la linea già sopra lo Strumento dirittamente divisa e ch’ha il suo principio nel centro dello Strumento; e questa, ch’è una scala stabile, ci servirà per misurare i lati della proposta pianta: l’altra, che sarà per disegnare la nuova pianta, deve esser mobile, cioè deve potersi crescere e diminuire ad arbitrio nostro, secondo che la nuova pianta dovrà esser o maggiore o minore; e tale scala mutabile sarà quella che dalle medesime linee avremo traversalmente, stringendo o allargando il nostro Strumento. Ma per più chiara intelligenza del modo d’applicare all’uso tali linee, ne metteremo un essempio.

Siaci dunque proposta la pianta ABCDE, alla quale se ne deve disegnare un’altra simile, ma sopra la linea FG, la quale sia omologa, cioè risponda alla linea AB. Qui è manifesto che bisogna servirsi di due scale l’una per misurar le linee della pianta ABCDE, e l’altra con la quale si misurino le linee della pianta da farsi, e questa deve esser dell’altra maggiore o minore secondo la proporzione della linea FG alla AB. Piglia dunque con un compasso la linea AB, la quale applica rettamente sopra la scala dello Strumento, ponendo un’asta del compasso nel centro dello Strumento, e l’altra sopra il punto dove cascherà, che sia, per essempio, al 60; dipoi prendi pur col compasso la linea FG, e posta una delle sue aste nel punto 60, apri lo Strumento sin tanto che l’altr’asta caschi giusto traversalmente

sopra l’altro corrispondente punto 60: né più si muterà tale costituzione dello Strumento, ma tutti gli altri lati della pianta proposta si misureranno sopra la scala retta, ed immediatamente si prenderanno le distanze corrispondenti ad essi traversalmente, per li lati della nuova pianta. Come, verbi gratia, vogliamo ritrovare la lunghezza della linea GH rispondente alla BC: prendi col compasso la distanza BC, e questa applica dal centro dello Stromento rettamente sopra la scala; e fermata l’altr’asta nel punto dove casca, quale sia, per essempio, 66, volta l’altr’asta all’altro punto 66, traversalmente rispondente, secondo la cui misura taglierai la linea GH, che risponderà alla BC in quell’istessa proporzione che la linea FG alla AB. Ed avvertiscasi, che quando si volesse trasportare una pianta piccola in un’altra assai maggiore, bisognerà servirsi delle due scale con ordine opposto, cioè usare la scala retta per la pianta da farsi, e la traversale per misurar le linee della pianta proposta.

Come, per essempio, aviamo la pianta ABCDEF, la quale
vogliamo trasportare in un’altra assai maggiore, cioè
sopra la linea GH che sia rispondente alla linea AB. Per
aggiustar le scale prendasi la linea GH, e veggasi quanti
punti contiene nella scala retta, e veduto contenerne, v.
g., 60, prendasi la sua rispondente AB, ed adattisi
traversalmente alli punti 60.60, né più si muova lo
Strumento: per trovar poi la linea HI, rispondente alla
BC, piglia col compasso essa BC, e va investigando a
quali punti si accomodi sopra la scala traversale; e
trovato accomodarsi, per essempio, alli punti 46, piglia
immediatamente l’intervallo de i punti 46 sopra la scala
retta; e troverai la lunghezza della linea HI rispondente
alla BC. E notisi, tanto per questa quanto per la precedente operazione, che non basta aver trovato la lunghezza HI, se non si trova ancora a qual punto si deve drizzare, acciò che costituisca l’angolo H eguale all’angolo B. Però, trovata che si averà essa linea HI, fermata un’asta del compasso nel punto H, si noterà con l’altra occultamente una porzione di arco, secondo che mostra la linea

puntata OIN; di poi si piglierà l’intervallo tra ‘l punto A e ‘l punto C, e si cercherà quanti punti sia sopra la scala traversale; e trovato essere, v. g., 89, si prenderà rettamente la distanza 89 col compasso; del quale fermata un’asta in G, si noterà con l’altra l’intersecazione dell’arco RIQ con l’arco primo OIN, fatta nel punto I, al quale si deve drizzar la linea HI: e sarà senza dubio l’angolo H eguale all’angolo B, e la linea HI proporzionale alla BC. E con tale ordine si troveranno li altri punti K, L, M, rispondenti all’angoli D, E, F.

REGOLA DEL TRE RISOLUTA COL MEZO DEL COMPASSO E DELLE MEDESIME LINEE ARITMETICHE.

Operazione IV.

Servonci le presenti linee non tanto per la resoluzione di diversi problemi lineari, quanto per alcune regole di aritmetica: tra le quali porremo questa, che risponde a quella nella quale Euclide c’insegna. Proposti tre numeri, trovare il quarto proporzionale; perché altro non è la regola aurea, che del tre domandano i prattici, che trovare il quarto numero proporzionale alli tre proposti. Dimostrando adunque il tutto con l’essempio, per più chiara intelligenza, diciamo:

Se 80 ci dà 120, che ci darà 100? Hai dunque tre numeri posti con quest’ordine 80 120 100: e per trovare il quarto numero che cerchiamo, prendi sopra lo Strumento rettamente il secondo numero de i proposti, cioè 120, ed applicalo trasversalmente al primo, cioè all’80; dipoi prendi trasversalmente il terzo numero, cioè 100, e misuralo rettamente sopra la scala; e quello che troverai, cioè 150, sarà il quarto numero cercato. E nota che l’istesso avverria se, in vece di prendere il secondo numero, pigliassi il terzo, e poi, in vece del terzo, pigliassi il secondo; cioè che l’istesso ci darà il secondo numero preso rettamente ed applicato al primo trasversalmente, pigliando dipoi il terzo trasversalmente e misurandolo rettamente, che ci daria il terzo rettamente preso e trasversalmente al primo applicato, pigliando poi il secondo trasversalmente e rettamente misurandolo: ché nell’uno e nell’altro modo troveremo 150. E ciò è bene aver avvertito, perché, secondo le diverse occasioni, questo di quello o quello di questo modo di operare ci tornerà più accomodato.

Possono, circa l’operazione di questa regola del tre, occorrere alcuni casi, li quali potriano partorir qualche difficoltà se non si avvertissero, dimostrando appresso come in essi si deva procedere. E prima, potria alcuna volta occorrere che, delli 3 numeri proposti, né il secondo né il terzo, preso rettamente, si potesse applicare trasversalmente al primo: come se si dicesse: 25 mi dà 60; che darà 75? dove tanto il 60 quanto il 75 passa il doppio del primo, cioè di 25, sì che né l’uno né l’altro di essi si può, rettamente preso, applicare trasversalmente ad esso 25. Onde, per conseguire l’intento nostro, piglieremo o il secondo o il terzo rettamente, e l’applicheremo al doppio del primo trasversalmente, cioè a 50 (e quando non bastasse al doppio, l’applicheremo al triplo, al quadruplo, etc.); dipoi, pigliando l’altro trasversalmente, affermeremo che quello che ci mostrerà misurato rettamente sarà la metà (o vero la terza o quarta parte) di quello che cerchiamo. E così, nel proposto essempio, 60 preso rettamente, applicato al doppio di 25, cioè a 50, trasversalmente, e subito preso il 75, pur trasversalmente, e questo misurato rettamente, troveremo che ci darà 90; il cui doppio, ciò è 180, è il quarto numero che si cercava.

Potria in oltre occorrere che il secondo o il terzo de i numeri proposti non si potesse applicare al primo, per esser esso primo troppo grande, sì che eccedesse il numero segnato sopra le linee, cioè 250: come se dicessimo: 280 mi dà 130; che mi darà 195? In tal caso, preso rettamente il 130, si butterà trasversalmente alla metà di 280, che è 140; dipoi si prenderà trasversalmente la metà del terzo numero, cioè di 195, che è 97 e mezo, e questo spazio, misurato rettamente, ci darà 90 e mezo: che è quello che si cercava.

Un’altra cautela sarà bene che ponghiamo, per servircene quando il secondo o terzo delli numeri proposti fusse molto grande, essendo li altri due mediocri: come quando si dicesse: Se 60 mi dà 390, che mi darà 45? Preso dunque 45 rettamente, si applicherà trasversalmente al 60; e non si potendo pigliare il 390 intero, lo piglieremo in pezzi, secondo che più ci piacerà: come, v. g., piglierò 90 trasversalmente, il quale, misurato rettamente, mi darà 67 e mezo, il che noterò da parte; piglierò poi trasversalmente 100, che, misurato rettamente, mi darà 75; e perché nel 390 vi è una volta 90 e tre volte 100, prenderò tre volte il 75 trovato, e di più 67 e mezo, che fu trovato in virtù del 90; e

tutta questa somma fa 292 e mezo, per il quarto numero che si cerca.

Ultimamente non resteremo di dire come si possa operare la medesima regola in numeri picciolissimi, ben che nello Strumento non si siano potuti notare i punti dal 15 in giù, mediante la nocella che unisce e collega le aste dello Strumento. Ma in questa occasione ci serviremo delle decine de i punti come se fussero unità: sì che dicendo, per essempio: Se 10 dà 7, che darà 13? non potendo pigliar 7 per buttarlo a 10, piglieremo 70, cioè 7 decine, e lo butteremo a 10 decine, cioè a 100; e subito pigliando 13 decine, torneremo a misurar questa distanza rettamente, e la troveremo contenere punti 91, che sono 9 ed un decimo, facendo, come si è detto, che ogni decina vaglia uno. E da tutti questi avvertimenti, quando si averanno bene in prattica, si potrà facilmente investigare la soluzione di tutte le difficoltà, che ci potessero in ogni caso occorrere.

REGOLA DEL TRE INVERSA, RISOLUTA COL MEZO DELLE MEDESIME LINEE.

Operazione V.

Con non dissimile operazione si risolveranno i quesiti della regola del tre inversa: eccone un essempio. Quella vittovaglia che basteria per mantenere 60 giorni 100 soldati, a quanti basteria giorni 75? Questi numeri, disposti alla regola, stariano in quest’ordine 60 100 75. E l’operazione dello Strumento richiede che pigli rettamente il primo numero, cioè 60, e l’applichi trasversalmente al numero terzo, cioè 75; e non movendo lo Strumento, piglia trasversalmente il 100, che è il secondo, e misuralo rettamente, e troverai 80: qual’è il numero cercato. Dove si deve parimente avvertire, che ‘l medesimo ritroveremo applicando il secondo rettamente al terzo trasversalmente, e poi misurando rettamente il primo trasversalmente preso. Devesi oltre a ciò notare, che tutti gli avvertimenti posti sopra circa la regola del tre si devono ancora in questa per l’appunto osservare.

REGOLA PER TRASMUTAR LE MONETE.

Operazione VI.

Col mezo di queste medesime Linee Aritmetiche possiamo trasmutar ogni spezie di moneta l’una nell’altra con maniera molto facile e spedita: il che si conseguirà con l’aggiustar prima lo Strumento, pigliando rettamente il prezzo della moneta che vogliamo trasmutare, ed accomodandolo trasversalmente al prezzo di quella in cui si ha da fare la trasmutazione; come, acciò più distintamente il tutto s’intenda, dichiareremo con un essempio. Vogliamo, v. g., trasmutare scudi d’oro in ducati veneziani: e perché il prezzo o valuta dello scudo d’oro è lire 8, e la valuta del ducato lire 6, soldi 4, è necessario (poi che il ducato non è misurato precisamente dalle lire, entrandovi soldi 4) risolvere l’una e l’altra moneta, e valutarla con li soldi, considerando come il prezzo dello scudo è soldi 160, e quello del ducato 124. Per aggiustar dunque lo Strumento alla trasmutazione di scudi d’oro in ducati, piglia rettamente la valuta dello scudo, cioè 160, ed applicala, aprendo lo Strumento, trasversalmente al valore del ducato, cioè a 124, né più moverai lo Strumento: dipoi qualunque somma di scudi proposta trasmuterai in ducati, pigliando la detta somma trasversalmente e misurandola rettamente. Come, per essempio, vogliamo sapere quanti ducati faccino 186 scudi: piglia 186 per traverso e misuralo rettamente, e troverai 240; e tanti ducati faranno li detti scudi.

REGOLA DE GL’INTERESSI SOPRA INTERESSI,
CHE ALTRIMENTI SI DICE DE I MERITI A CAPO D’ANNO.

Operazione VII.

Assai speditamente potremo risolvere le questioni di questa regola con l’aiuto delle medesime Linee Aritmetiche, e ciò con due diverse maniere di operare, come con due seguenti essempi faremo chiaro e manifesto. Cercasi quanto siano per guadagnare 140 scudi in 5 anni a ragione di 6 per 100

l’anno, lasciando gl’interessi sopra il capitale e sopra li altri interessi, acciò che continuamente guadagnino. Per trovar dunque quanto cerchiamo, piglia rettamente il primo capitale, cioè 140, e questo butta trasversalmente al 100; e senza mover lo Strumento, piglia subito, pur trasversalmente, la distanza tra li punti 106, che è il 100 con l’interesse, e torna di nuovo ad aprir lo Strumento, e questo intervallo, ch’ultimamente pigliasti col compasso, ributtalo al 100; ed aprendo un poco più il compasso, piglia trasversalmente la distanza tra li punti 106, e di nuovo aperto un poco più lo Strumento, butta questa distanza pur ora trovata al 100; ed aprendo il compasso, piglia il 106; ed in somma va replicando questa medesima operazione tante volte, quanto è il numero de gli anni del merito; ed essendo, nel presente essempio, il merito per anni cinque, devi reiterar l’operazione cinque volte. Ed in ultimo, misurando rettamente l’intervallo ch’averai preso, troverai comprender punti 187 e un terzo: e tanti scudi saranno doventati li 140 posti da principio, col guadagno de i sei per cento, nello spazio di anni cinque. E nota, che se ti tornasse più comodo di servirti, in cambio del 100 e 106, del 200 e 212, come spesse volte occorrerà, il medesimo sarà ritrovato.

L’altro modo di operare non richiede altra mutazione nello Strumento che un solo primo accomodamento; e procedesi così. Servendoci del medesimo quesito posto sopra, per aggiustar lo Strumento piglia 100 col suo primo interesse, cioè 106, rettamente; ed aperto lo Strumento, applicalo trasversalmente al 100, né mai più moverai lo Strumento. Piglia poi trasversalmente la somma de i denari proposta, che fu 140, e misurala rettamente; e vederai già il guadagno del primo anno esser 148 e due quinti, comprendendo però anche il capitale. Per trovar il secondo anno, piglia trasversalmente questo 148 e due quinti, e senz’altro misuralo rettamente; e troverai 157 e un terzo per il secondo anno. Piglia poi questo medesimo numero 157 e un terzo trasversalmente, e torna a misurarlo rettamente; e troverai 166 e tre quarti per il capitale e guadagno del terzo anno. Torna a pigliar questo 166 e tre quarti trasversalmente, e misuralo rettamente; ed averai per il quarto anno 176 e tre quarti. Finalmente piglia questo trasversalmente, e torna a misurarlo rettamente; ed averai per il quinto anno, tra capitale e guadagno, 186 e un terzo. E così, volendo per più anni, andrai replicando l’operazione. E nota, che quando il primo capitale proposto fusse somma tale che eccedesse il numero de i punti 250, segnati sopra le Linee Aritmetiche, devi operare a pezzi, pigliando la metà, il terzo, il quarto, il quinto, o altra parte della somma proposta; ché in fine, pigliando due, tre, quattro, o cinque, o più volte, quello che trovi, verrai in cognizione di quello che desideri.

DELLE LINEE GEOMETRICHE, CHE SEGUONO APPRESSO, E LORO USI ; E PRIMA, COME COL MEZO DI ESSE POSSIAMO CRESCERE O DIMINUIRE IN QUALUNQUE DATA PROPORZIONE TUTTE LE FIGURE SUPERFICIALI.

Operazione VIII.

Le linee che seguono appresso le Aritmetiche, di sopra dichiarate, sono dette Linee Geometriche, per esser divise secondo la geometrica proporzione procedente sino al 50; dalle quali trarremo diverse utilità: e prima ci serviranno per trovar il lato di una figura superficiale che ad un’altra proposta abbia una data proporzione; come saria, per essempio, sendoci proposto il triangolo ABC,

vogliamo trovar il lato di un altro, che ad esso abbia proporzione sesquialtera. Piglinsi due numeri nella data proporzione, e siano, per essempio, 12 ed 8; e presa con un compasso la linea BC, adattisi, aprendo lo Strumento, alli punti delle Linee Geometriche 8.8, e senza punto muover l’apertura, prendasi l’intervallo tra li punti 12.12; perché, se faremo una linea di tal grandezza lato di un triangolo, rispondente alla linea BC, sarà la sua superficie indubitatamente sesquialtera del triangolo ABC. E questo medesimo intendasi di ogn’altra sorte di figura; e delli cerchi ancora faremo questo medesimo, servendoci delli loro diametri o semidiametri come de i lati delle figure rettilinee. E notisi, per le persone più vulgari, che la presente operazione è quella che c’insegna crescere o diminuire tutte le piante superficiali; come, v. g., avendo una pianta, la quale contiene, per essempio, 10 campi di terreno, ne

vorremmo disegnare una che ne contenesse 34. Piglia qualunque linea della pianta di 10 campi,

applicala trasversalmente alli punti 10 delle presenti Linee Geometriche, e senza più muover lo Strumento, prendi l’intervallo trasversale tra li punti 34 delle medesime linee, e sopra una tal lunghezza descrivi la tua pianta simile alla prima, secondo la regola che di sopra nella terza operazione fu insegnato; ed averai la pianta cercata, capace precisamente di 34 campi.

Categorie:Galileo Galilei