Roberto Renzetti

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La cinematica relativistica

(PDF)

L’elettrodinamica relativistica

(PDF)

(PDF).

L’inerzia di un corpo è dipendente dal suo contenuto di energia?

Alcune osservazioni

(PDF)

3 – LA CINEMATICA E LA DINAMICA RELATIVISTICHE  (918)

 – INTRODUZIONE

         In tutto ciò che seguirà considereremo soltanto sistemi inerziali, sistemi sui quali è valida la meccanica di Newton.

         Scelto un sistema inerziale (con buona approssimazione e per un tempo breve la Terra può essere considerata un tale sistema), tutti quei sistemi in moto rettilineo uniforme rispetto ad esso, saranno anch’essi sistemi  inerziali.

         Il principio galileiano di relatività ci dice che nessuno degli infiniti sistemi inerziali è privilegiato, pertanto nessuno di essi potrà essere considerato come assolutamente in quiete. Al contrario, per semplicità, noi possiamo collocarci su uno qualunque di questi sistemi inerziali e considerarlo come se fosse in quiete relativamente a tutti gli altri che saranno animati di moto rettilineo uniforme rispetto ad esso. Chiameremo con S il sistema (di coordinate Oxyz) considerato in quiete rispetto a noi e con S’ (di coordinate O’x’y’z’) un altro qualunque dei sistemi in moto con velocità v rispetto ad S. Indicheremo poi con T un osservatore che si trovi sul sistema S e con T’ un osservatore che si trovi sul sistema S’. Più in generale, ogni grandezza senza apice sarà relativa a misure effettuate da S, mentre ogni grandezza con apice sarà relativa a misure effettuate da S’.

           I postulati fondamentali che saranno alla base di quanto diremo sono:

          1) PRINCIPIO DI RELATIVITA’: tutte le leggi fisiche hanno la stessa forma in tutti i sistemi inerziali.

2) PRINCIPIO DI COSTANZA DELLA VELOCITA’ c DELLA LUCE: la velocità della luce nello spazio vuoto ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento risultando indipendente dalla velocità del corpo emittente (per essa daremo il valore approssimato: c  =  300.000 Km/sec   =   3.10⁸ m/sec   =  300 m/msec).

          Per il resto non daremo nulla per scontato: dovremo andare a vedere quali sono le conseguenze che questi due postulati comportano con l’osservazione che a tutt’oggi (1983) non sono mai stati smentiti dall’esperienza. Dovremo quindi ricostruire una fisica che discenda dall’ammissione dei due postulati precedenti, a partire dai concetti base posti tradizionalmente a fondamento della fisica.

         I problemi che in generale dovremo risolvere sono del tipo:

         – Siano dati i due riferimenti inerziali:

                 S in quiete,

                 S’ in moto rettilineo uniforme rispetto ad S.

           Supponiamo di conoscere la posizione (e cioè le coordinate) e la velocità di un oggetto in S, come si può calcolare la posizione (e cioè le coordinate) e la velocità di un oggetto in S’ ?

           Cerchiamo allora delle equazioni che trasformino le grandezze conosciute nelle grandezze cercate.

           Per semplicità ci riferiremo sempre ai due sistemi S ed S’ che si muovono uno relativamente all’altro mantenendo i loro assi rispettivamente paralleli in modo che l’asse O’x’ del sistema S’ scivoli lungo l’asse Ox del sistema S, nel suo verso positivo e con velocità v (problema unidimensionale). Secondo il principio di relatività tutto va come se l’asse Ox del sistema S scivolasse lungo l’asse O’x’ del sistema S’, nel suo verso negativo e con velocità -v.

        L’aver scelto spostamenti del tipo annunciato ci permetterà di porre y = y’ e z = z’.

– COME MISURARE IL TEMPO

        Abbiamo già detto che non dobbiamo dare niente per scontato, almeno per quel che riguarda la definizione dei concetti che sono alla base della fisica.Occorre dunque accordarci su di un metodo che ci permetta di misurare il tempo sia nei sistemi S ed S’, sia dal sistema S al sistema S’, sia dal sistema S’ al sistema S.

        Innanzitutto occorrerà disporre di orologi di assoluta precisione ed assolutamente identici. (919) La lettura diretta dell’orologio permetterà di dare il tempo di un dato luogo in un fissato sistema di riferimento: l’osservatore T di S leggerà direttamente il tempo sull’orologio che ha con sé e questo sarà il tempo del luogo di S in cui si trova T; analogamente per l’osservatore T’, esso opererà allo stesso modo per dare il tempo del luogo di S’ in cui egli si trova.

        E fin qui tutto è addirittura ovvio. L’unica cosa che può disturbare è forse la pignoleria delle specificazioni, lo scopo delle quali, d’altra parte, sarà chiaro più avanti.

        Supponiamo ora di trovarci su un dato riferimento S e di considerare in esso due luoghi A e B, distanti tanto da rendere impossibile il confronto diretto dei due orologi che ivi si trovano. Come si fa a sapere se i due orologi segnano lo stesso tempo? Possiamo pensare di disporre di un sistema televisivo a circuito chiuso: un dato orologio è inquadrato da una telecamera che invia le sue immagini ad un televisore che si trova vicino all’altro orologio; un’altra telecamera inquadrerà quest’ultimo orologio ed invierà le sue immagini ad un televisore posto vicino al primo orologio; già che ci siamo allarghiamo l’inquadratura di questa seconda telecamera in modo che essa riprenda, oltre all’orologio,   anche il televisore posto vicino ad essa (figura 44).

figura 44

         Se l’immagine ripresa dalla telecamera viaggiasse ad una velocità infinita non vi sarebbero problemi per stabilire l’accordo tra i due orologi. Basterebbe confrontare direttamente l’immagine televisiva con  l’orologio per sapere se i due orologi segnano lo stesso tempo. L’immagine viaggia però con una velocità grandissima ma finita, quella delle onde elettromagnetiche e quindi della luce. Ciò comporta che, riferendosi alla figura 44, un osservatore T che si trovi nel luogo A osserverà che i tre orologi che egli vede segnano tempi differenti: l’orologio 1 che egli ha di fronte segnerà un dato tempo; l’immagine 2 dell’orologio che si trova in B segnerà un tempo inferiore; l’immagine 3 dell’orologio che si trova in A, ripresa dalla telecamera B e quindi rinviata in A, segnerà un tempo ancora inferiore. Infatti: il tempo t₁  segnato dall’orologio 1 è quello letto all’istante dell’osservazione; il tempo t₂  segnato dall’immagine 2 è quello che segnava l’orologio di B quando, alcuni istanti prima (il tempo necessario alla luce per percorrere la distanza esistente tra B ed A), veniva ripresa la sua immagine dalla telecamera B; il tempo t₃ segnato dall’immagine 3 è quello che segnava l’orologio in A quando, ancora alcuni istanti prima (il tempo necessario alla luce per percorrere la distanza esistente tra A e B due volte, andata e ritorno), veniva ripresa la sua immagine dalla telecamera A.

        Cosa potrà sostenere, riguardo al tempo, l’osservatore T ?

Che non c’è nessuna regola che permetta di sincronizzare i due orologi A e B, a meno di ammettere che la velocità di propagazione dell’immagine sia la stessa sia nel verso AB che nel verso opposto M, in accordo con il principio di costanza della velocità della luce.

        Ammesso ciò i due orologi A e B segneranno lo stesso tempo quando:

t₂ – t₁ = t₃ – t₂

quando cioè l’intervallo t₂ – t₁ di tempo necessario all’immagine per propagarsi da A a B è uguale all’intervallo t₃ – t₂ di tempo necessario alla immagine per tornare da B ad A.

        Ciò vuol dire che i due orologi A e B saranno sincronizzati quando:

   t₂ = ½ (t₁ + t₃)

e cioè quando il tempo t₂ che l’osservatore T legge sull’immagine 2 è la media aritmetica dei tempi letti sull’orologio 1 e sulla immagine 3.

        Questo metodo di sincronizzazione può essere assunto come generale per qualunque luogo di S distinto da A e B.

        Si può aggiungere che:

1) se l’orologio A è sincrono con l’orologio B, anche l’orologio B sarà sincrono con l’orologio A;

2) se l’orologio A e’ sincrono con l’orologio B e con l’orologio C, anche gli orologi B e C saranno sincroni tra loro;

3) quanto detto equivale ad aver ammesso che il rapporto esistente tra l’intero tragitto percorso dall’immagine della telecamera per andare da A a B e tornare da B ad A ed il tempo complessivo t₃ – t₁ necessario a coprire questo tragitto ci fornisce la velocità c della luce:

c = 2.AB/(t₃ – t₁)

        E’ evidente che, per il principio di relatività, le cose che abbiamo detto si applicano esattamente allo stesso modo per la sincronizzazione di due orologi che si trovano in due luoghi A’ e B’ di un sistema S’ in moto relativo uniforme rispetto ad S.

         Ritorniamo al sistema S. Il fatto che in esso si possano sincronizzare due orologi ci permette di dire che è possibile parlare di eventi simultanei in S. Se cioè nei luoghi A e B di S si producono due eventi, essi saranno simultanei, per un osservatore situato nel luogo C (che si trova a metà strada tra A e B), quando egli vede sui suoi televisori l’immagine dell’orologio A e quella dell’orologio B segnare lo stesso tempo.  

         Stiamo parlando di eventi simultanei. La cosiddetta simultaneità sembra un concetto non solo innocuo ma anche ovvio. Eppure si faccia molta attenzione ad esso. Fino ad ora abbiano visto che per un osservatore su S si può parlare di eventi simultanei su S a patto di disporre di orologi sincronizzati.

         Dato il principio di relatività, un osservatore che si trovi in un luogo C’, a metà strada tra due luoghi A’ e B’ di un sistema S’, potrà allo stesso modo parlare di eventi simultanei su S’ (a patto, anche qui, che si disponga di orologi sincronizzati).

         Si osservi che l’analisi che siamo andati sviluppando è quanto si poteva ricavare da semplici conoscenze di meccanica classica: il principio di relatività cinematico e dinamico lo si conosceva dai tempi di Galileo; il fatto che la luce viaggi a velocità finita lo si sapeva dai tempi di Roemer; la costanza di c in tragitti di andata e ritorno era comune alle varie teorie elettromagnetiche nell’ipotesi di trovarsi in sistemi di riferimento in riposo rispetto all’etere. La novità è nello sviluppare concetti che nell’ambito della meccanica non erano mai stati portati a compimento ed in particolare nell’introduzione degli osservatori dentro i fenomeni fisici (prima di Einstein, infatti, per parlare di eventi simultanei in due luoghi distanti A e B si sarebbe semplicemente detto di eventi che hanno luogo quando le lancette degli orologi che si trovano nei due luoghi segnano la stessa ora, senza che qualcuno pensasse di rilevare direttamente questo sincronismo).

– LA RELATIVITA’ DELLA SIMULTANEITA’

        Consideriamo i due riferimenti S ed S’ in moto relativo (rettilineo ed uniforme) l’uno rispetto all’altro. Ammettiamo, al solito, che S sia in quiete rispetto a noi e che S’ si muova con velocità v rispetto ad S. Per fissare le idee, supponiamo che S’ sia un vagone di un treno al cui centro si trovi un osservatore T’, ed S il marciapiede di una stazione su cui si trovi un osservatore T (figura 45). Sia poi: L una lampada che si trovi esattamente al centro del vagone; A’ e B’ le due pareti contrapposte, nel senso della lunghezza del vagone; A e B due lampade poste sul marciapiede della stazione ed equidistanti da T. All’istante t = t’ = 0, in cui iniziamo a considerare la situazione, le

  Figura 45

origini O ed O’ dei due sistemi coincidono come mostra la figura e, appunto in questo istante, si accenda la lampada L e le lampade A e B (queste ultime mediante un interruttore azionato da T).

        Per quanto abbiamo detto a proposito di eventi simultanei, l’osservatore T, che si trova in S, dirà che l’accensione delle lampade A e B è simultanea (la luce emessa da A gli arriverà simultaneamente alla luce emessa da B); l’osservatore T’, che si trova in S’ dirà che la luce proveniente dalla lampada L ha illuminato simultaneamente le pareti A’ e B’ del vagone.

        Fermiamoci a quest’ultimo fenomeno, osservato come simultaneo da T’, e cerchiamo di descrivere come lo stesso fenomeno è osservato da T.

         Per fare ciò occorre introdurre nella sua interezza il principio di costanza della velocità della luce, ricordando che questa, velocità è anche indipendente dalla velocità del corpo emittente (nel nostro caso la lampada L).

        Riferiamoci alla figura 46 che descrive la situazione ad un tempo t ≠ 0 e t’ ≠ 0.   (920).

  Figura 46

        Per T la luce della lampada L è stata emessa quando occupava la posizione L₁ . Data la costanza di c questa luce si propagherà in tutte le direzioni con la stessa velocità indipendentemente dalla velocità della lampada (corpo emittente). Allora T non potrà far altro che osservare l’arrivo di questa luce prima sulla parete A’ del vagone e quindi sulla parete B’.  E questo perché, mentre la parete A’ va incontro alla luce emessa dalla lampada, la parete B’ si fa rincorrere dalla luce emessa dalla stessa lampada.  

        In definitiva, uno stesso fenomeno, percepito come simultaneo dall’osservatore T’, non risulta più simultaneo per un osservatore T. Prima però di trarre una conclusione più generale descriviamo come T’ osserva il fenomeno che T percepiva come simultaneo (l’accensione delle lampade A e B). Per fare ciò applichiamo il principio di relatività considerando il sistema S’ come se fosse in quiete ed il sistema S come se fosse in moto con velocità -v rispetto ad S’.  Riferiamoci alla figura 47 che descrive la situazione ad un tempo  t ≠ 0 e t’ ≠ 0.

     Figura 47

Per T’ le luci delle lampade A e B sono state emesse quando esse occupavano rispettivamente le posizioni A₁ e B₁. Anche qui, per il principio di costanza di c,  la luce emessa da A e B sarà  indipendente dalle velocità di A e B (corpi emittenti). Allora T’ non potrà far altro che osservare l’arrivo su T della luce emessa da A prima dell’arrivo della luce emessa da B e dovrà quindi concludere che la lampada A si è accesa prima della lampada B. Anche qui, mentre T si avvicina alla luce emessa da A, si va allontanando dalla luce emessa da B.

        Si può allora ancora dire che uno stesso fenomeno percepito come simultaneo dall’osservatore T,  non risulta più  simultaneo per un osservatore T’.

        Più in generale: eventi che risultano simultanei in un dato riferimento, non lo sono più quando sono osservati da un altro riferimento in moto relativo rispetto al primo.

          Ed,  in accordo con il principio di relatività, c’è perfetta reciprocità (se quest’ultima non ci fosse si sarebbe in grado di riconoscere lo stato di moto o di quiete di un dato sistema).

        Quali conseguenze immediate si possono trarre dall’importantissimo risultato della relatività della simultaneità ?

        Quando, ad esempio, vogliamo misurare la lunghezza di un’asta confrontandola con un regolo graduato noi facciamo l’ipotesi implicita ma necessaria che gli estremi del regolo debbano coincidere simultaneamente con gli estremi dell’asta da misurare. Ebbene questa operazione di misura per confronto è possibile eseguirla sempre su un dato riferimento nel quale, come abbiamo visto, ha senso parlare di simultaneità. Quando invece dobbiamo operare una tale misura da un sistema di riferimento S ad un sistema di riferimento S’, poiché ciò che era simultaneo in S non lo è più in S’, le misure dell’asta differiranno da quelle effettuate sull’asta a riposo in un dato riferimento.

        Analoghe considerazioni possono essere fatte per misure di tempo.

        Ma andiamo a vedere tutto ciò con maggiore dettaglio.

– LA RELATIVITA’ DEL TEMPO 

         Cerchiamo di ricavare alcuni risultati come conseguenza diretta di quanto fino ad ora discusso. Più avanti ritorneremo su di essi in un  modo più formale.

         Riferiamoci ancora all’esempio del vagone e del marciapiede e cerchiamo di seguire uno stesso fenomeno (l’emissione della luce da parte di una lampada) sia dal vagone che dal marciapiede. Per comodità grafica ci sarà utile un disegno nel quale le dimensioni del vagone sono modificate rispetto ai disegni precedenti (figura 48).

         Supponiamo che all’istante t =t’ = 0 le origini O ed O’ dei due riferimenti S ed S’ coincidano e che, in questo istante, la lampada L venga accesa. Il fenomeno da misurare è il tempo impiegato dalla luce per andare dalla lampada L all’osservatore T’ che si trova sul treno. Lo stesso fenomeno sarà  misurato e dall’osservatore T’ e dall’osservatore T che si trova sul marciapiede. Vediamo come opera l’osservatore T’ . Egli sa che il tragitto che deve percorrere la luce è d’

                                                     Figura 48

 e sa inoltre che la luce viaggia con velocità c. L’osservatore T’ si fa un rapido conto con le leggi della meccanica che conosce e, molto facilmente, trova:

  Dt’  = d’/c             =>             d’  =  c.  Dt’

Cosa osserverà T ? Per comprenderlo occorre riferirsi alla figura 49.

Figura 49

Quando la lampada viene accesa essa occupa la posizione L₁ . Nel tempo Dt che la luce impiega ad andare da L a T’, il vagone si sarà mosso con velocità v avendo percorso il tratto v Dt. In definitiva, per T, è come se la luce avesse percorso il tragitto obliquo d. L’osservatore T sa inoltre che la velocità della luce è c. Egli quindi per Dt troverà:

  Dt  = d/c         =>                    d  =c.Dt

In che relazione stanno D t’ e D t ? Basta considerare il triangolo rettangolo di vertici L₁, L, T’, per trovare successivamente (teorema di Pitagora):

                              (LT’)² = (L₁T’)² – (L₁L)²         

                                   d’²  =  d²  – (v Dt)²                

                            (c Dt’)²  =  (c Dt)²  –  (v Dt)²         

                                            Dt’^{2    =}   Dt² (1 – v²/c²)                     

       (1)                          Dt =  Dt’ (1 – v²/c²)^-½

Per capire cosa ciò significa occorre discutere il fattore (1 – v²/c²)^-½ . La quantità che sta sotto radice è nulla quando v=c . In questo caso, qualunque sia il tempo D t’ che misura T’, l’osservatore  misurerebbe un tempo Dt infinito. La quantità che sta sotto radice à negativa quando v>c. In questo caso avremmo un numero negativo sotto radice quadrata e quindi un numero immaginario (il tempo Dtsarebbe un tempo matematicamente immaginario e fisicamente privo di significato). Si può senz’altro concludere che, stando alle conoscenze attuali, è impossibile avere velocità v che superino quella c della luce. La radice dà per risultato il numero 1 quando v = 0, quando cioè si ha a che fare con due riferimenti in quiete l’uno relativamente all’altro. In questo caso la (1) diventerebbe Dt =  Dt’ e torneremmo al caso delle equazioni di trasformazione di Galileo. Più in generale risulta:

0  <   (1 – v²/c²)^-½  ≤  1

e tanto più è alta v, quanto più dal valore 1 ci si avvicina al valore 0. Allora, cosa significa la (1) ?

Il tempo  Dt  misurato da T risulta maggiore del tempo Dt’misurato da T’ e ciò vuol dire che il tempo, per l’osservatore T, trascorre più velocemente e, conseguentemente, per l’osservatore T’ più lentamente (dilatazione del tempo).

Di quanto Dt’ è minore di Dt ?

Dipende dalla velocità v con cui S’ si sposta rispetto ad S.

Facciamo un esempio numerico per capire l’ordine di grandezza di questa dilatazione del tempo. Consideriamo varie v:

v₁ = 360 Km/h  =  0,1 Km/sec  ->    velocità di un’auto di formula 1

v₂ = 3.600 Km/h   =  1 Km/sec  ->     velocità di un aereo supersonico

v₃ = 36.000 Km/h  =  10 Km/sec  ->      velocità di una astronave

v₄ = 650.000.000 Km/h ≈ 1 80.000 Km/sec ->   velocità dell’ordine di grandezza di quella della luce.

Risulta:

(1 – v₁²/c²)^-½  ≈  0,99999999999996   ->   D t’ = 0,99999999999996  D t

(1 – v₂²/c²)^-½ ≈ 0, 999999999996   ->  D t’ =  0,999999999996 D t

(1 – v₃²/c²)^-½  ≈  0,9999999996   ->  D t’ =  0,9999999996 D t

(1 – v₄²/c²)^-½ ≈  0,8    ->    D t’  =  0,8   D t         

Si vede subito che nei primi tr casi considerati la dilatazione, che pure esiste, è cosi piccola da risultare praticamente non rilevabile mediante gli strumenti di cui disponiamo. Viaggiando invece ad una velocità dell’ordine di grandezza di quella della luce, quando T misura 10 sec, T’ misurerà 8 sec.

        E’ importante allora osservare che gli effetti di dilatazione del tempo hanno sensibilmente luogo solo per riferimenti in moto relativo con velocità dell’ordine di grandezza di quella della luce.

        E’ anche importante sottolineare che, per il principio di relatività, vale la reciprocità del fenomeno di dilatazione; poiché l’esempio del vagone e del marciapiede può essere inteso, cose già sappiamo, come vagone in quiete e marciapiede in moto con velocità – v, anche l’osservatore sul vagone vedrà il tempo dilatarsi nel riferimento del marcia- piede.

        Avremo modo di tornare a discutere di ciò quando andremo a ritrovare la (1) mediante le trasformazioni di Lorentz e quando ci soffermeremo sul cosiddetto paradosso dei gemelli.

– LA RELATIVITÀ DELLE LUNGHEZZE

        Supponiamo che i nostri due osservatori T e T’ vogliano misurare la lunghezza del vagone su cui si trova T’.

        L’osservatore T’ opererà nel modo seguente:

– si sceglie come riferimento esterno un palo di sostegno dei cavi elettrici;

– misura quanto tempo D t’ è necessario affinché le due estremità del vagone passino attraverso il palo-traguardo di  riferimento;

– conoscendo la velocità v del vagone, calcola

  l’  =  v. Dt’

        L’osservatore T opererà nello stesso modo:

– si sceglie anche lui un palo di riferimento;

– misura il tempo D t necessario affinché le due estremità del vagone passino attraverso il palo-traguardo di riferimento;

– conoscendo la velocità v del vagone, calcola:

                      l  = v. Dt                        

        Ricordando la (1) e sostituendo il suo valore nella relazione precedente si trova:

  l  = v . Dt’ . (1 – v²/c²)^-½

  e ricordando che   l’  =  v. D t’, la lunghezza l del vagone misurata da T sarà:

 (2)                                                  l  =  l’ . (1 – v²/c²)^-½

E ciò vuol dire che misure di lunghezze effettuate da osservatori in moto o in quiete rispetto ad esse forniscono valori differenti. In  particolare un’asta rigida, che abbia una data misura di lunghezza quando è misurata in quiete, risulta contratta quando viene misurata in moto da un osservatore in quiete (la contrazione è nel verso del moto, le altre dimensioni non risultando modificate).

        Anche qui il principio di relatività assicura la perfetta reciprocità della contrazione per misure effettuate da riferimenti in moto relativo.

– LE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ

        Consideriamo, al solito, due riferimenti S ed S’. Questa volta tratteremo il problema in modo unidimensionale, cosi come annunciato nell’introduzione, di modo che senz’altro potremo porre y = y’ e z = z’.

        Riferiamoci alla figura 50.

                                                      Figura 50

All’istante t = t’ = 0 le origini dei due riferimenti coincidano (O ≡ O’) come mostrato in figura 50. A questo istante dall’origine O di S venga emesso un fotone nel verso positivo dell’asse x. Dopo un tempo t ≠ 0 questo fotone si troverà in un punto P di ascissa x  = ct.

        Anche nel sistema S’ il fotone risulta emesso al tempo t = 0 e anche in questo sistema, dopo un tempo t’ ≠ 0, esso si troverà in m punto P’ di ascissa x’ = ct’.

        Poiché la velocità della luce è indipendente dalla velocità del corpo emittente (P ≡ P’) possiamo considerare la situazione in figura 51.

                                                     Figura 51

        Come descrivono ciò le trasformazioni di Galileo ?

         Quali sono le formule che ci permettono di passare dalle coordinate di un riferimento alle coordinate di un altro riferimento ?

        Osservando S’ da S e ricordando che nelle trasformazioni di Galileo risulta t = t’, si ha (figura 51 ):

                                                  x’  =  x  –  vt

        Osservando S da S’ si ha (figura 51 ):

                                                   x  =  x’  + vt’

         Le trasformazioni di Galileo non tengono però conto della costanza di c. Dovremo allora considerare delle trasformazioni dello stesso tipo, nelle quali bisognerà  introdurre un fattore k da determinarsi.Si dovrà cioè avere:

                                                  x’  =  k(x – vt)  

(3)

                                               x  =  k(x’ + vt’)

          I motivi per cui si sono scelte queste particolari relazioni sono due:

        1) la relazione lineare tra x ed x’, essendo la più semplice, è la più spontanea;

        2) quando k = 1 si riottengono immediatamente le trasformazioni di Galileo»

         A ben guardare questo secondo motivo implica che k deve dipendere dalla velocità in modo tale che, per piccole velocità (v << c), k risulti uguale ad 1. Inoltre, per il principio di relatività, dovrà risultare

                                              k (v)  =  k (-v)

che vuol dire reciprocità nell’osservazione da un riferimento all’altro, reciprocità che era garantita dalle trasformazioni di Galileo (scambiando in ciascuna delle due trasformazioni x, x’, t, t’, v rispettivamente con x’, x, t’, t, -v, si ottiene ogni volta l’altra equazione).

        Per determinare il valore di k, ferma restando la verifica che dovremo fare sulla garanzia di reciprocità k(v) = k(-v) e sul fatto che si deve avere k = 1 per v << c, sviluppiamo le (3) cominciando con l’introdurre in esse i valori già trovati per x ed x’ (x = ct; x’ = ct’). Si ha:

                                     ct’  =  k(ct – vt)

                                   ct  =  k(ct’+ vt’)

e cioè:

                                       ct’ =  k(c – v)t

                                        ct  = k(c + v)t’

Moltiplicando membro a membro, si ottiene successivamente:

                                  (ct’)(ct)  =  [k(c – v)t][k(c + v)t’]      

                                          c²t’t = k²t’t(c² – v²)       

                                                1 = k²(1 – v²/c²)    

(4)                                             k = (1 – v²/c²)^-½             

(921) Si può subito vedere che questo valore di k verifica le due condizioni richieste. E’ quindi questo il fattore correttivo da introdurre nelle trasformazioni delle coordinate di Galileo per ottenere le trasformazioni di Lorentz per le coordinate.

        Sostituendo la (4) nelle (3) si trova:

                             x’ = (x – vt).(1 – v²/c²)^-½                                 

 (5)

                             x = (x’ + vt’).(1 – v²/c²)^-½  

Ritorniamo ora alle (3) e proponiamoci di vedere cosa diventano le trasformazioni di Galileo per il tempo (t = t’ e t’=t). Iniziamo con il sostituire alla x’ che compare nella seconda delle (3) il valore di x’ fornito dalla prima delle (3). Si ha:  

x = k [k(x – vt) + vt’]    =>    

t’ = (x – k²v + k²vt)/kv    =>   

  t’ = k [t – (x/v)(1 – 1/k²)    =>

(osservando che 1 – 1/k²  = 1 – (1 – v²/c²) = v²/c² , si ha):

  t’ = k [t – (v²/c²)x]               =>

[Si osservi che alla (6) si può arrivare anche risolvendo il sistema (5) rispetto alla variabile  t’]. 

        Con lo stesso procedimento ora visto (ma anche risolvendo il sistema (5) rispetto alla variabile t), sostituendo questa volta alla x che compare nella prima delle (3) il valore fornito dalla seconda delle (3), si trova  

E  questa  è  solo  un’ulteriore  verifica  del  principio  di  relatività.  Per ottenere la (7) bastava infatti sostituire nella (6) ai valori t’, t, x, v, rispettivamente i valori t, t’, x’, -v.

        Si può subito, anche qui, osservare che per piccole v (v << c) si ottiene subito la trasformazione di Galileo per il tempo (t = t’).

        Riassumendo, le trasformazioni di Lorentz possono essere cosi scritte:

z’ = z

        Il primo gruppo delle (8) si riferisce a misure effettuate da S’, il secondo gruppo a misure effettuate da S.

        Useremo ora queste equazioni di trasformazione per ricavare alcuni risultati, a partire da quelli, come la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze, già trovati per altra via.

NOTE

(918) Per quel che riguarda questo paragrafo non darò espliciti riferimenti bibliografici di volta in volta. C’è una letteratura cosi vasta che è praticamente impossibile riportarla tutta. Cercherò, soltanto di dire le cose nel migliore modo  possibile dei modi che sono stati ideati da altri ed in particolare tra i testi di bibliografia che vanno dal 187 al 227 (oltre, naturalmente, quelli già citati e cioè bibl. 91, 92, 94, 178, 180). A livello superiore sono i testi di bibl. dal 228 al 234 (oltre ai già citati 176 e 179). I testi 235 e 236, soprattutto il secondo, sono una utile rassegna dei vari esperimenti a sostegno della relatività, anche se non ne condivido l’impostazione didattica. I testi 239 e 240 si occupano di questioni filosofiche connesse con la relatività, mentre i testi 237 e 238 trattano di svariate verifiche sperimentali della teoria. Infine i testi dal 241 al 250 si occupano di questioni diverse attinenti la relatività.

(919) I migliori orologi attualmente a nostra disposizione sono i cosiddetti orologi atomici il cui principio di funzionamento si basa sull’oscillazione di determinati atomi (cesio) indotta per mezzo di onde elettromagnetiche di frequenza opportunamente scelta (in fase con una delle frequenze proprie dell’atomo stesso in modo da essere in condizione di risonanza). Per una trattazione semplice ed esauriente dell’argomento si veda bibl. 193 e 243. Si noti che disponendo di svariati orologi atomici solo dopo 150.000 anni essi daranno letture differenti in media di un secondo. Questa precisione può essere ulteriormente aumentata costruendo orologi atomici molto più costosi. Si noti infine che quando si parla di orologi identici si sottintende l’espressione quando sono confrontati in quiete.

(920) Quanto scritto non è casuale. Non possiamo infatti dire t =t’ ≠ 0 poiché non sappiamo nulla sui tempi t e t’ ed in particolare nulla sappiamo sul loro essere o meno uguali. Si ricordi che il criterio di sincronizzazione valeva per un dato riferimento e non per il passaggio da un riferimento ad un altro.

(921) Per la radice abbiamo considerato la sua determinazione positiva perché il segno negativo lascerebbe inalterati i risultati comportando solo una riflessione delle coordinate (un andamento, cioè, simmetrico rispetto all’asse delle velocità v).

La dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze

(PDF).

La composizione relativistica delle velocità

(PDF).

NECESSITA’ DI UNA NUOVA DINAMICA

        Abbiamo visto che i postulati di Einstein modificano radicalmente  l’ordinaria cinematica. E’ evidente che anche la dinamica dovrà essere riformulata in conseguenza delle modificazioni cinematiche.

         Per capire questa affermazione possiamo fare una esemplificazione qualitativa.

        La seconda legge di Newton, come comunemente la si conosce, è nella forma seguente

                                                   F  =  m.a.

        Proviamo ad utilizzarla così come è in questioni che invece necessiterebbero di una trattazione relativistica.

        Supponiamo di applicare una forza F costante ad un dato oggetto di data massa m. Questa massa acquisterà, una accelerazione costante a. La forza continui ad essere costante: l’accelerazione seguirà ad essere costante ed accelerazione costante vuol dire variazione costante di velocità nel tempo. In pratica il nostro oggetto aumenterà con continuità la sua velocità. Dopo un certo tempo, più o meno lungo a seconda dell’intensità di F, l’oggetto arriverà a possedere la velocità della luce; qualche istante dopo questa velocità verrà superata (se la forza imprime alla nostra massa un’accelerazione dell’ordine di quella di gravità, e cioè circa 10 m/s², occorrerà circa un anno perché essa raggiunga la velocità della luce).

        Da questo banale ragionamento risulta evidente che la seconda legge di Newton, almeno in questa formulazione, non  è in accordo con il secondo postulato di Einstein (la velocità della luce non risulterebbe più una velocità limite).

        Proviamo ad usare un’altra definizione per la forza: la variazione della quantità di moto (p) nell’unità di tempo. Vediamo a cosa ci porta questa definizione in una visione non relativistica:

(15)                 F =  Dp/Dt  =  D(mv)/Dt  =  d(mv)/dt = dp/dt

[si tenga conto che negli ultimi due membri abbiamo eseguito un passaggio al limite].

        Nei passaggi intermedi della (l5) abbiamo il prodotto di una massa per una velocità (quantità di moto) sotto il segno D che indica variazione della quantità che segue. La velocità è una grandezza che può variare, la massa è rigorosamente costante (principio di conservazione della massa di Lavoisier): di conseguenza possiamo portare la costante fuori dal segno di variazione ottenendo:

  F = m (Dv/Dt) = ma

 ed in questo modo abbiamo ritrovato la seconda legge di Newton.  

         Ma questa era la relazione che non frizionava e, se ben si osserva, essa è ottenuta dalla precedente (variazione della quantità di moto nell’unità di tempo) per quel passaggio nel quale, ammettendo la sua costanza, portavamo la massa fuori dal segno di variazione. Già altre volte abbiamo avvertito che non bisogna dare nulla per scontato; facciamo così anche questa volta. Riprendiamo quindi la formulazione (15) e vediamo se essa funziona in una discussione qualitativa del primo esempio che abbiamo discusso (una massa sottoposta ad una forza costante). Ora anche la massa compare sotto il segno D di variazione; quindi, applicando una forza costante al nostro  oggetto, esso non dovrà necessariamente arrivare alla velocità della luce poiché ora c’è anche la massa che può variare in modo tale da compensare la mancata acquisizione, da parte dell’oggetto, di un aumento di velocità.

         Le cose potrebbero sembrar sistemate (a patto di rinunciare al principio di conservazione della massa): partiamo dalla (15) e tutto torna.

        Attenzione però ad una nuova difficoltà che si presenta. Fino ad ora abbiamo discusso la nostra esemplificazione nell’ipotesi implicita che l’oggetto sia in moto rispetto ad un riferimento in quiete (quello di noi che l’osserviamo). E se l’oggetto fosse in moto rispetto ad un riferimento S’ in moto con velocità v rispetto a noi (sistema S) che l’osserviamo ?

        In questo caso bisognerebbe tener conto anche della composizione delle velocità ed ancora ci troveremmo nella condizione di dover modificare la (15). Si può allora dire che se da una parte è vero che bisogna partire dalla (15) per una definizione della forza, dall’altra sarà necessario modificarla per far si che le leggi della meccanica, in accordo con il principio di relatività, siano le stesse in tutti i sistemi inerziali.

        Non e’ però agevole partire da una ridefinizione della quantità di moto tale che la nuova formulazione risulti invariante per una trasformazione di Lorentz (è chiaro che qualunque sia la nuova forma che daremo alla quantità di moto essa dovrà soddisfare il principio di relatività). Allo stesso modo non è possibile, ad esempio, partire dal principio di azione e reazione poiché in generale (a parte cioè le forze di contatto) questo principio implica forze agenti a distanza  e quindi la simultaneità tra due eventi che, come sappiamo, è relativa per eventi che si svolgono su riferimenti in moto l’uno relativamente all’altro. Dovremo quindi prendere in considerazione solo azioni istantanee a contatto (le azioni di campo ad esempio). Nel cercare le equazioni del moto dovremo sempre tener conto che per v << c si dovranno riottenere le leggi della meccanica classica confermate dall’esperienza (per v << c). Infine possiamo decidere a priori sulla validità o meno di alcuni principi fondamentali nella fisica classica (conservazione della quantità di moto, conservazione dell’energia, …), fermo restando che ogni risultato che troveremo dovrà essere controllato con l’esperienza, e cercare nuovi principi di conservazione (almeno: nuovi nella forma).  

        II fenomeno che si presta meglio a ricavare una nuova dinamica è quello dell’urto tra due masse.

        Classicamente sappiamo che in un sistema isolato i processi d’urto portano ad affermare la conservazione della quantità di moto (o terzo principio della dinamica). Questa conservazione, come abbiamo visto all’inizio di questo lavoro, è invariante per una trasformazione di Galileo. Inoltre un urto è un processo che, con ottima approssimazione, può essere considerato come istantaneo e non pone quindi problemi di simultaneità. Nell’urto poi la forza risultante è nulla e quindi non ci troviamo nella difficoltà annunciata di dover trovare direttamente equazioni di trasformazione per le forze.

        Inizieremo quindi a studiare dei processi d’urto nell’ipotesi che la conservazione della quantità di moto sia valida anche in una trattazione relativistica. Occorrerà trovare una formulazione per la legge di conservazione che sia invariante per una trasformazione di Lorentz (in accordo con il principio di relatività). Nel far ciò seguiremo, in parte, il procedimento sviluppato da Lewis e Tolman nel 1909 (Phil.  Mag, 18, 510).

La conservazione relativistica della quantità di moto. Nuova definizione di massa.

(PDF).

Ancora sulla massa.

L’inerzia dell’energia.

(PDF).

Relazione esistente tra Energia, Quantità di moto e Massa a riposo.

Particelle con massa a riposo nulla. 

(PDF).

L’equazione fondamentale della Dinamica relativistica.

(PDF).

Le equazioni di trasformazione per la quantità di moto e l’energia.

Le equazioni di trasformazione per la massa e la forza.

(PDF).

Alcune verifiche sperimentali:

-la costanza della velocità della luce,

-l’esperienza di Michelson-Morley,

-l’esperienza di Fizeau,

-l’aberrazione stellare,

-l’effetto Doppler,

-il paradosso dei muoni,

-il paradosso dei gemelli.

(PDF).

E’ possibile osservare la contrazione delle lunghezze?

Equivalenza massa-energia.

Un esempio di elettrodinamica relativistica.

(PDF).

IL PROSEGUIMENTO DEL PROGRAMMA RELATIVISTICO DI EINSTEIN

        Quanto abbiamo visto in quest’ultimo capitolo deve averci convinto che se da una parte Einstein prende le mosse dalle asimmetrie elettromagnetiche, dall’altra egli si pone sulla strada della formulazione di una nuova meccanica. Non sembra possa esserci dubbio che egli si muove sulla strada dei Kirchhoff, degli Hertz e dei Mach, più che su quella dagli Abraham e dei Kaufmann con i loro programmi elettromagnetici.

        E certo che, nel momento in cui il programma elettromagnetico sembrava essere il punto di rottura con la tradizione meccanicista, il tornare a riprendere la meccanica per modificarla ed aggiornarla doveva sembrare un’operazione alquanto reazionaria.

        In ogni caso i lavori di Einstein non caddero nel vuoto: da una parte si tentò con ogni mezzo di confutarli, dall’altra si iniziò a svilupparli e ad ampliarli con il contributo di un numero sempre maggiore di sostenitori.

        Qualche mese dopo la pubblicazione del secondo lavoro di Einstein del 1905 sulla relatività, W. Kaufmann pubblicò sugli Annalen i risultati di sue esperienze. (926)  Egli, all’inizio della sua memoria, affermava  (927):

 “Avanzo qui necessariamente il risultato generale delle misure che si descrivono nel seguito: i risultati delle misure non sono compatibili con l’ipotesi fondamentale di Lorentz ed Einstein”.

Secondo Kaufmann i valori che sia Lorentz sia Einstein assegnavano alle masse longitudinale e trasversale degli elettroni erano errati; le sue esperienze mostravano un notevole accordo con i valori calcolati da Abraham nell’ipotesi di pura massa elettromagnetica.

Fu Planck il primo ad intervenire a sostegno dei lavori relativistici di Einstein. Nel 1906 egli pubblicò due lavori. In uno di essi  (928)   mise in discussione la correttezza delle conclusioni, di Kaufmann a seguito dell’inattendibilità della precisione delle sue misure; nell’altro lavoro (929), come abbiamo già detto nel paragrafo 3 del capitolo precedente (vedi nota 884), corresse l’errore nel quale era incorso Einstein nel suo primo lavoro del 1905 e relativo al modo di ricavarsi le equazioni di trasformazione per la seconda legge [in breve: Einstein lavorava su F = m.(dv/dt) mentre Planck lavorò su  F = d(mv)/dt].

           Lo stesso Einstein intervenne nel 1907  (930) sulla stroncatura sperimentale del.suo lavoro ad opera di Kaufmann. Dice Einstein: (931)

“si potrà affermare con certezza se esiste un errore sistematico insospettato o se i fondamenti della teoria della relatività non si accordano con l’esperienza, soltanto quando si disponga di un gran numero di osservazioni…”

e, con una affermazione che ha una valenza epistemologica più generale, aggiunge che le teorie di Abraham e Kaufmann hanno una piccola probabilità di essere corrette,

“perché le loro ipotesi fondamentali rispetto alla massa degli elettroni in moto sono inspiegabili in termini di sistemi teorici che inglobino un insieme più ampio di fenomeni.”

Mentre Einstein si difendeva in questo modo, continuava a portar avanti il suo programma.

          Nel 1907 tornò ancora sull’equivalenza massa-energia (932). Egli prende in esame un sistema in cui abbiano luogo processi meccanici ed elettromagnetici e dimostra che la condizione per cui la sua relazione abbia validità è la conservazione del moto del baricentro del sistema. Nel 1907 affermò  (933)  che una dimostrazione generale della validità del suo principio ancora non si era potuta trovare perché i fisici erano ancora distanti dall’intendere il mondo in base al principio di relatività.

 Intanto in Gran Bretagna ci si cominciò ad occupare di relatività. Nel 1908 O.N. Lewis (1875-1946), utilizzando la teoria della pressione di radiazione, provò che un corpo, il quale assorda energia da radiazione, aumenta la sua massa in accordo con la relazione di Einstein.  (934) Nel 1909 G. N. Lewis e R.C. Tolman (1881-1948) ritornarono ulteriormente sul modo di ricavare la seconda legge della dinamica (935)  ad opera di Einstein. Infatti, nonostante il lavoro di Planck del 1906, era ancora necessario scrollarsi di dosso molte incrostazioni classiche. Il lavoro dei due fisici britannici fu molto importante poiché andò a ricavare l’intera dinamica sulla base del principio di conservazione della quantità di moto, a partire dalla cinematica delle trasformazioni di Lorentz. Non si usa più quindi la seconda legge ma la conservazione della quantità di moto. Essa viene assunta ad invariante relativistica e da essa si procede appunto a ricavare l’intera dinamica, compresa l’equazione del moto. Un criterio di controllo che viene introdotto dai nostri è la validità delle leggi classiche nel limite v << c.

        Sempre nel 1908 ancora Planck tornò sull’equivalenza massa-energia. (936)   

        Ed ancora in quell’anno, esperienze alla Kaufmann, realizzate con maggior cura dal fisico tedesco A. H. Bucherer, sembrarono confermare i lavori di Einstein e Lorentz.  (937)

        Nel frattempo nascevano i primi paradossi legati alla nuova meccanica relativistica. Furono proprio Lewis e Tolman a metterli in evidenza nel loro lavoro del 1909. Nel 1911 questi primi paradossi trovarono una spiegazione in un lavoro di A. Sommerfeld (1868-1951) e M. Von Laue (1879-1960). (938)

        In mezzo a tutte queste polemiche cresceva e si affermava la teoria della relatività. Essa era ormai entrata in tutti gli istituti di ricerca con piena autorità.

        Ma non si possono concludere queste pagine senza accennare ad uno dei contributi più importanti per gli sviluppi futuri, quello di H, Minkowskij (1864-1909) del 1908.  (939)

        Da quanto visto a proposito delle trasformazioni di Lorentz, dovrebbe risultar chiaro che i concetti di spazio (distanze, coordinate,…) non sono scindibili da quelli di tempo [si rivedano le stesse trasformazioni (8) e si noti come per trasformare la coordinata spaziale x’ occorre introdurre il tempo t e come per trasformare il tempo t’ occorre introdurre la coordinata spaziale x]. Che spazio e tempo siano legati insieme per definire un dato evento è poi ben noto anche nell’ambito della fisica classica, dove, per definire univocamente un dato evento, oltre alle coordinate spaziali x, y, z, del luogo in cui si verifica, occorre dare anche la coordinata temporale t dell’istante in cui ha luogo l’evento. Una particolare quaterna, ad esempio x₁, y₁, z₁, t₁ , denoterà un dato evento P₁  ed un’altra quaterna, ad esempio x₂, y₂ , z₂, t₂, ne denoterà un altro P₂.

         In uno spazio ordinario (euclideo) a tre dimensioni (x, y, z) la distanza al quadrato s² tra due punti P₁ = (x₁ ; y₁ ; z₁ ) e P₂ = (x₂; y₂; z₂ ) è data da:  

(55 bis)                  s² = (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂  – z₁)²   

e se poniamo:

x₂  – x₁ = x  ;   y₂ – y₁ = y   ;    z₂ – z₁ = z

la precedente relazione si può scrivere:

(55)                                s² =  x² + y² + z²

che equivale ad aver considerato la distanza di un punto P = (x, y, z) dall’origine degli assi.

         Se ora vogliamo dare la lunghezza s²  per un altro qualsiasi riferimento (euclideo) con gli assi comunque orientati, le componenti x, y, z varieranno a seconda del riferimento rispetto al quale vogliamo dare s² , ma s²  resterà invariante nel suo valore e nella sua orientazione.

           Quanto detto non è altro che l’affermazione dell’invarianza della lunghezza dei segmenti in uno spazio euclideo (che definisce la metrica di quello spazio) e, per altri versi, l’invarianza della lunghezza ed orientazione di un segmento per una trasformazione di Galileo. (940)

          Se invece di avere punti in uno spazio euclideo, abbiamo degli eventi, è possibile costruirsi una geometria rappresentativa, ad esempio, della distanza tra due eventi ? E’ possibile, in questa nuova geometria, trovare un elemento invariante che definisca una nuova metrica ? In parole molto povere è questo il problema che si è posto ed ha risolto Minkowkij  (941) costruendo una geometria in uno spazio a quattro dimensioni, espressione della teoria einsteniana della relatività.

          In analogia con quanto la (55) dice a proposito della distanza tra due punti, se dobbiamo calcolare la distanza tra due eventi P₁ = (x₁ , y₁, z₁, t₁) e P₂ = (x₂ , y₂ , z₂ , t₂) si può procedere nel modo indicato di seguito.

          Supponiamo che in un riferimento S, ad un dato istante t  =  t₁ = 0, venga emessa dall’origine O un’onda luminosa (quest’onda venga emessa nell’istante in cui l’origine  O’ di un altro riferimento S’, in moto con velocità v rispetto ad S, coincide con l’origine O di S). Dopo un tempo t  ≠ 0 il segnale luminoso si troverà, in un punto P di S le cui coordinate soddisfano l’equazione:

(x² + y² + z²)^1/2 = ct  =>

(56)                             x² + y² + z² – c²t² = 0

la quale, più in generale, quando non si consideri più l’onda luminosa come partita dall’origine O degli assi ed al tempo t = 0, si può scrivere

(56 bis)           (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂  – z₁)² –c²(t₂ – t₁)² = 0      

Ebbene, data la costanza di c, si può facilmente vedere che la (56) è invariante rispetto ad una trasformazione di Lorentz mentre non lo è per una di Galileo. In S’ si ha allora:

            x’² + y’² + z’² – c²t’² = 0

e, anche qui, più in generale:

  (x’₂ – x’₁)² + (y’₂ – y’₁)² + (z’₂  – z’₁)² –c²(t’₂ – t’₁)² = 0

Si può allora assumere la (56) come elemento invariante che definisce la nuova metrica, di modo che la distanza tra due eventi P  e P  sarà ora data dalla quantità:

(57)                                   s² =  x² + y² + z² – c²t²

Si può anche andare oltre (ma noi non ci addentreremo su questa strada) ed introdurre la grandezza immaginaria u = i c t; con questa posizione la (57) diventa:

(57 bis)                             s² =  x² + y² + z² + u²   

e le cose vanno come se avessimo,a che fare con uno spazio a 3 + 1 dimensioni in cui, in luogo di considerare gli ordinari vettori a tre dimensioni, dovremo ora considerare dei vettori a quattro dimensioni o quadrivettori.

        Sembrerebbe tutto a posto e la possibilità di poter trattare la nuova geometria in perfetta analogia con quella euclidea sembrerebbe ovvia. Il fatto però che una delle coordinate (u) sia una grandezza immaginaria comporta delle grandi differenze. Vediamone qualcuna.

        Confrontando la (57) con la (56) si trova subito che, quando s = 0, risulta:

x² + y² + z² = c²t²

relazione che, per come l’abbiamo introdotta, rappresenta il tragitto percorso da un’onda luminosa. Ciò vuol dire che ad una distanza s nulla tra due eventi non corrisponde necessariamente il fatto che i due eventi coincidano. Diamo allora ad s il nome di geodetica (per distinguere la distanza s ora introdotta dalla distanza s che in geometria euclidea era sempre rappresentata da un segmento di retta). Si può con ciò dire che la propagazione della luce avviene secondo una geodetica di lunghezza nulla e che la propagazione della luce è l’unico fenomeno caratterizzato da s = 0. Tenendo presente la (57 bis) si può affermare che tutti gli altri moti sono caratterizzati da s² > 0 (nel caso, infatti, in cui risultasse s² < 0 si avrebbe un risultato immaginario,  a conferma del fatto che non sono ammesse velocità superiori a quella della luce). Se si pensa poi al cammino che la luce segue nel passaggio da un mezzo ad un altro con indici di rifrazione differenti, si trova che la linea più breve unente due punti nei due mezzi non è la retta ma la geodetica. Ciò vuol dire che mentre nella geometria euclidea la retta era il cammino più breve tra due punti, nella nuova geometria è la geodetica che gode di questa proprietà.

         Dicevamo che abbiamo ora a che fare con uno spazio a 3+1 dimensioni, e diciamo 3+1 e non 4 per dare il senso della distinzione esistente tra spazio e tempo contemporaneamente a quello della loro interdipendenza. Questo continuo spazio-temporale a 3+1 dimensioni fu chiamato da Minkowski, universo.  (942) Un evento in questo spazio prende il nome di punto d’universo. La linea che segue l’evoluzione temporale di un dato punto in questo spazio si chiama linea d’universo. Un piccolo tratto s di una linea d’universo è la già nota geodetica.

        II principio di relatività di Einstein può allora essere enunciato nel modo seguente: una geodetica, data da un elemento di traiettoria e dal tempo impiegato a percorrerla, è invariante qualunque sia il riferimento rispetto al quale la si consideri.

        Come esemplificazione si può ricavare la contrazione delle lunghezze utilizzando i diagrammi di Minkowskij nell’ipotesi di y = z = 0 (fatto che non modificherà la sostanza delle nostre conclusioni perché le trasformazioni di Lorentz, cosi come le abbiamo ricavate, ci dicono che y = y’ e z = z’ e ciò vuol dire che non si hanno modificazioni sugli assi y e z perpendicolari alla direzione del moto traslatorio preso in considerazione). Con questa posizione dovremo considerare uno spazio a due dimensioni x, ct (riferimento S) ed x’, ct’ (riferimento S’) cosi facendo il nostro spazio sarà rappresentato dall’asse x (ed x’) mentre l’universo sarà costituito dal piano x, ct (ed x’, ct’). Un moto uniforme a velocità v nell’universo x, ct sarà rappresentato da una retta non passante per l’origine degli assi, se al tempo t = 0 l’oggetto in moto occupava l’ascissa x = x ₀; sarà invece rappresentato da una retta passante per l’origine, se al tempo t = 0  si aveva x  = 0 (figura 77).  (943)

Figura 77

Si noti che sull’asse delle ascisse dovrebbe figurare la quantità ct; per semplicità abbiamo utilizzato per x una unità di misura che rende uguale ad 1 la velocità della luce c; misurando infatti la x in secondi luce, c risulterà uguale ad un secondo-luce al secondo. Con questa posizione la bisettrice del 1° e 3° quadrante, rappresentata dall’equazione x = t, sarà la retta che ci fornisce la propagazione della luce (figura 78).

Figura 78

Poiché c è la massima velocità raggiungibile, questa retta sarà quella che avrà la massima pendenza tra tutte le possibili rette che si possono tracciare nel nostro piano.

Un altro sistema di riferimento S’ si muova rispetto al nostro sistema S (il sistema S è solo l’asse x !) con velocità costante v e a t  =  t’  = 0 risulti anche che le origini dei due riferimenti coincidano. Nel nostro universo (x, t) il moto del riferimento S’ sarà rappresentato da una retta passante per l’origine e con una pendenza tanto maggiore quanto più è grande la velocità di S’ rispetto ad S (ben inteso questa pendenza non potrà mai superare i 45°). Questa retta è la linea d’universo x = vt e può essere considerata come l’asse t’ dell’universo (x’, t’). Se vogliamo completare il nuovo universo delibiamo disporre di un asse x’. La condizione per costruire quest’asse è la costanza della velocità della luce che comporta che la retta che descrive la propagazione della luce (asse della luce) sia ancora bisettrice del nuovo universo. La costruzione cosi fatta è mostrata in figura 79. Chiediamoci ora:

Figura 79

Com’è possibile passare da un universo ad un altro? Quale fattore di proporzionalità lega i due universi? Riferiamoci alla figura 80.

Figura 80

        Consideriamo un’asta rigida di lunghezza OA situata immobile sull’asse delle x dell’universo (x, t). Le linee d’universo degli estremi O ed A di quest’asta saranno delle rette parallele (nell’universo in cui l’asta risulta in quiete la sua lunghezza non varia nel tempo). In particolare la linea d’universo di O sarà lo stesso asse t, mentre la linea d’universo di A sarà la retta x = a, parallela all’asse t, (più in generale, la linea d’universo di qualunque punto in quiete sull’asse x sarà una retta parallela all’asse t). Stando così le cose, su S’ l’asta avrà le sue estremità in O’ ed A’ (a t’ = 0). La linea d’universo di A’ sarà la retta x’ = a’, parallela all’asse t’; questa retta intersecherà l’asse t in A”, fatto che equivale a dire che A’ è osservato in A” dal sistema S (a t = 0). Se la lunghezza OA’ per l’osservatore su S vale:

OA’ = k.OA

la lunghezza OA”  varrà, per l’osservatore su S’:

OA” = k.OA’

Per il principio di relatività queste due lunghezze dovranno fornire una stessa misura. Si dovrà cioè avere:

(58)                 OA” = k.OA’ = k.(k.OA) = k².OA

Dal triangolo rettangolo OAA’ si può ricavare:

AA’ = OA.tgα

mentre dal triangolo rettangolo A’AA” si trova:

AA” = AA’.tgα

di modo che:

(59)                                         AA” = OA.tg²α

Dalla figura 80 e ricordando la (58) si trova poi:

(60)              AA” = OA – OA” = OA – k².OA = OA.(1-k²)

Confrontando la (60) con la (59) si ricava:

(61)                            tg²α = 1 – k²      =>         k² = 1 – tg²α

Riferendoci ora alla figura 77 (quando ancora non avevamo posto c = 1 secondo-luce al secondo) la pendenza di una retta era data da v = tg α; con la posizione fatta a proposito dell’unità di misura di c, e quindi di x, si ha che (c numericamente vale 1):

v/c = tgα

Con questo risultato la (61 ) diventa:

 k² = 1 – v²/c²    ->     k = (1 – v²/c²)^1/2

In questo modo, se si indica con d la lunghezza, dell’asta nel riferimento in cui è in quiete (d = OA), la lunghezza dell’asta in moto, osservata da un sistema in quiete, risulterà (OA’ = k.OA => d’  =  k.d):

d’ = d.(1- v²/c²)^1/2

ed allo stesso modo si può procedere per trovare tutti gli altri risultati della relatività. (944)

Ma ora non ci interessa tanto soffermarci su questo punto guanto sottolineare la grande potenza che fornisce al calcolo la rappresentazione geometrica di Minkowskij, la completa portata non tanto della quale quanto del metodo geometrico indotto balzerà agli occhi nell’ambito degli sviluppi dell’altra relatività di Einstein, quella generale. (945)

        Dopo i lavori di Minkowskij il calcolo si protese sempre più a risolvere i problemi della nuova fisica. Vennero ripresi alcuni lavori del passato (1901) sul calcolo tensoriale e sulle trasformazioni affini di G. Ricci Curbastro (1853-1925) e T. Levi Civita (1873-1941); altri se ne realizzarono ad opera di A. Sommerfeld nel 1910, di G. Hessenberg (1917), di T. Levi Civita (1917) e B. Weyl (1918) soprattutto nel campo dei metodi geometrici.

        II lavoro di Einstein stava dando vita ad una messe di risultati inattesi. Si pensi ad esempio alla spiegazione che Sommerfeld riuscì a fornire della struttura fine degli spettri atomici (1916) mediante l’introduzione dei metodi relativistici nella trattazione del moto dell’elettrone intorno al nucleo (prendendo le mosse dal modello atomico di Bohr).

        Ma Einstein stava preparando una relatività che non fosse più limitata a sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme gli uni rispetto agli altri; una relatività, per questo chiamata generale, estesa a sistemi di riferimento dotati di un moto qualsiasi gli uni rispetto agli altri (introduzione delle accelerazioni). La relatività generale è insieme una teoria della relatività ed una della gravitazione. Essa fu costruita con contributi successivi di Einstein ma il suo corpo principale è in un lavoro del 1916. (946)

        Noi non ci occuperemo di quest’altro affascinante capitolo della fisica non ancora completamente scritto (a tutt’oggi si è all’affannosa ricerca delle onde gravitazionali). Semplicemente riporteremo alcuni brani dell’introduzione che Einstein appose al suo lavoro del 1916. Meglio di ogni altro discorso descrive i limiti della relatività ristretta e la necessità di una relatività generale.

        Nella prima parie del suo lavoro,  “Osservazioni sulla teoria della relatività ristretta“, Einstein dice:

 “La modificazione alla quale la teoria della relatività ristretta ha assoggettato la concezione dello spazio e del tempo è invero di vasta portata, ma un punto importante non è stato ancora sviscerato. Infatti le leggi della geometria, anche secondo la teoria della relatività ristretta, debbono venir interpretate direttamente come leggi che si riferiscono alle possibili posizioni relative dei corpi rigidi a riposo, e, più in generale, le leggi della cinematica debbono venir interpretate come leggi che descrivono le relazioni tra i campioni di lunghezza e gli orologi. A due prefissati punti materiali di un corpo rigido fisso corrisponde sempre una distanza che ha un valore ben definito, valore che non dipende dal luogo in cui si trova il corpo né dall’orientamento e che non dipende nemmeno dal tempo.

         Vedremo tra poco che la teoria della relatività generale non può rimanere fedele a questa semplice interpretazione fisica dello spazio e del tempo.”

        Fatte queste premesse, Einstein passa alle “Ragioni che esigono un’estensione del postulato della relatività.” Egli dice:

“Nella meccanica classica vi è un innato difetto epistemologico, che fu chiaramente precisato (forse per la prima volta) da E. Mach, e che si ripercuote anche nella teoria della relatività ristretta.”

Quando ci troviamo in un riferimento S₁  in rapida rotazione (sia questo riferimento una sfera) e ne osserviamo un altro S₂ , anch’esso in rapida rotazione, esso ci apparirà in forma di un ellissoide di rivoluzione.

“Qual è la ragione di tale diversità tra i due corpi ?”

Se andiamo ad indagare ci accorgiamo che:

“la sola risposta soddisfacente alla domanda formulata sopra non può avere che la forma seguente: il sistema fisico costituito da S₁ ed S₂ non rivela in se stesso nessuna causa immaginabile, alla quale possa farsi risalire il diverso comportamento di S₁  ed S₂ . La causa deve quindi risiedere al di fuori di questo sistema.”

Si potrebbe pensare all’esistenza di altre masse, masse distanti (947), che modificano le forme di S₁ ed S₂  e che potrebbero essere assunte come causa principale o fittizia dei diversi comportamenti di S₁ ed S₂. Ora, poiché

“di tutti gli spazi immaginabili R₁, R₂, … comunque in moto relativo gli uni rispetto agli altri, non ve ne è nessuno che possa essere considerato come privilegiato a priori, senza far risorgere l’obiezione epistemologica sopra citata, [e’ necessario ammettere che]:

Le leggi della fisica debbono essere di natura tale che esse si possano applicare a sistemi di riferimento comunque in moto.

Seguendo questa via giungiamo ad una generalizzazione della teoria della relatività”.

Supponiamo infine di avere un riferimento K rispetto al quale una data massa si muova di moto rettilineo uniforme. Supponiamo poi di avere un riferimento K’ in moto uniformemente accelerato rispetto a K.

“Allora, relativamente a K’, una massa sufficientemente distante dalle altre masse avrà un moto accelerato tale che la sua accelerazione e la direzione di questa siano indipendenti dalla natura materiale e dallo  stato fisico della massa. Un osservatore in riposo rispetto a K’, può concludere che egli si trova su un sistema di riferimento realmente accelerato ? La risposta è negativa; infatti la relazione sopra citata delle masse liberamente mobili rispetto a K’ può essere interpretata ugualmente bene nel seguente modo. Il sistema di riferimento K’ non è accelerato, ma la regione spazio-temporale in questione subisce l’influenza di un campo gravitazionale, il quale genera il moto accelerato dei corpi rispetto a K’.

         Questo punto di vista ci è reso possibile in quanto l’esperienza ci insegna che esiste un campo di forza, il campo gravitazionale, il quale gode della notevole proprietà di imprimere la medesima accelerazione a tutti i corpi. Il comportamento meccanico dei corpi rispetto a K’  è lo stesso di quello che si osserva in presenza di sistemi che siamo soliti considerare a riposo oppure privilegiati. Quindi dal punto di vista fisico, l’ipotesi suggerisce essa stessa prontamente che i sistemi K e K’ possono entrambi con egual diritto essere considerati a riposo, vale a dire che essi hanno egual diritto di venir scelti quali sistemi di riferimento per la descrizione dei fenomeni fisici.

         Si vede da queste considerazioni che nell’istituire la teoria della relatività generale saremo condotti ad una teoria della gravitazione, in quanto siamo capaci di produrre un campo gravitazionale semplicemente cambiando il sistema delle coordinate. Si vede altresì che il principio di costanza della velocità della luce nel vuoto deve venir modificato , in quanto si constata facilmente che la traiettoria di un raggio di luce rispetto a K’ deve essere in generale curvilinea, se rispetto a K la luce si propaga lungo una linea retta con determinata velocità costante.”

Fatte queste premesse, Einstein avverte che sarà necessario abbandonare l’ordinaria geometria euclidea ed anche quella dello spazio-tempo di Minkowskij

“per sostituirla con una concezione più generale, onde enunciare chiaramente il postulato della relatività generale, supponendo che la teoria della relatività ristretta si applichi al caso limite in cui sia assente il campo gravitazionale. “

Inoltre

“nella teoria della relatività generale, lo spazio ed il tempo non possono venir definiti in modo tale che le differenze tra le coordinate spaziali possano venir direttamente misurate mediante il campione di lunghezza scelto come unità di misura, e la differenze tra le coordinate temporali possano venir direttamente misurate da un orologio campione.”

Quanto detto porta ad esigere il postulato di relatività generale:

“Le leggi generali della misura debbono potersi esprimere mediante equazioni che valgano per tutti i sistemi di coordinate, cioè che siano covarianti a qualunque sostituzione (covarianti in modo generale).”

E da questo punto inizia l’elaborazione della nuova teoria che, praticamente, impegnerà Einstein fino alla morte (1955).

        Egli, prima di tutti e quando tutti entusiasticamente avevano accettato la sua teoria della relatività ristretta, si rese conto di alcuni difetti di essa (già dal 1908). La stessa definizione di sistema inerziale lo

lasciava scettico; questi sistemi, di difficile definizione e che comunque restano privilegiati, erano un qualcosa che non tornava all’esigenza, oltreché di simmetria, di equivalenza che aveva Einstein. Inoltre la gravitazione, sulla quale pure molti studiosi avevano lavorato e lavoravano da anni (si ricordi ad esempio Poincaré), non riusciva a trovar posto nella relatività ristretta. Infine l’identità, riconosciuta sperimentalmente, tra massa inerziale e gravitazionale (la cui distinzione fece per primo Galileo), non era in alcun modo prevista dalla teoria.

        Questi fattori contribuirono a spingerlo sulla strada della relatività generale. Per rendere conto dell’enorme portata di questo passo è interessante ricordare un aneddoto citato da Infeld. Il collaboratore di Einstein (Infeld, appunto) gli disse: (948)

“Ritengo che la teoria della relatività speciale sarebbe stata enunciata con pochissimo ritardo, anche se non l’aveste enunciata voi “

A questa affermazione Einstein rispose?

“Si, è vero, ma non così per la teoria della relatività generale. Io dubito che sarebbe stata nota ancora oggi. “

E ritengo credibile Einstein in questa osservazione.

        E’ interessante infine notare che anche nella formulazione della relatività generale Einstein utilizza il suo consueto metodo di ricerca di principi generali (in questo caso è inevitabile il bisticcio di parole).

Per sua stessa affermazione fu proprio l’equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale, insieme alle insoddisfazioni che gli nascevano dalla relatività ristretta e che abbiamo appena ricordato, che lo condussero alla nuova elaborazione.  (949)

        Appena tre anni dopo la pubblicazione del suo articolo venne la prima prova sperimentale di quanto ivi sostenuto. L’astrofisico britannico A. Eddington (1882-1944), che seguì l’eclisse totale di Sole del 1919 all’isola di  Principe  (Africa Occidentale),  misurò uno  spostamento apparente delle stelle situate, al momento, dietro il Sole, a seguito del campo gravitazionale del Sole medesimo.  (950)  Un raggio di luce (quello proveniente da una stella) risultava incurvato quando passava vicino al campo gravitazionale del Sole.

        Altre verifiche vennero successivamente: spostamento del perielio di Mercurio, spostamento delle linee spettrali verso il rosso, rallentamento degli orologi ad alta quota rispetto agli orologi al livello del mare,… Ma, appunto, noi non ci occuperemo di tutto ciò  avvertendo soltanto che, a fronte dei molti successi, molti problemi si aprirono  con la relatività generale, soprattutto d’ordine cosmologico. Lo stesso Einstein lavorò, come già detto, fino agli ultimi anni della sua vita in un tentativo che aveva rappresentato il sogno della sua vita: il tentativo di costruire una “teoria del campo unificato“. Non vi riuscì e, a quanto sembra, ancora oggi siamo lontani dal possedere una teoria che riesca ad unificare, a comprendere in una teoria unitaria, le varie forze che conosciamo in natura (ed è ancora quella gravitazionale la più sfuggente).

        Per concludere il paragrafo e con esso il lavoro, non voglio ricordare la pur importante esperienza di vita di Einstein ma, mi si permetta, solo il suo costante impegno umano e civile che, se da una parte lo vide schierato in una strenua difesa del suo amato popolo ebraico (ma mai del Sionismo), dall’altra lo portò a concludere la sua vita, con un saggio dal titolo “Perché il socialismo“. (951)

NOTE

(926) W. Kaufmann – Sulla costituzione degli elettroni – Annalen der Physik, 19, 1906; pagg. 487-553.

(927) Citato da Holton (bibl. 127, pag. 187).

(928) M. Planck – Riguardo alle misure di Kaufmann sulla deviazione dei raggi  β… – Physikalische Zeitschrift, 7, 1906; pagg. 753-761.

(929) M. Planck – Il principio di relatività e la legge fondamentale della meccanica – Berichte der Deutschen Physilcalischen Gesellschaft 1906; pagg. 136 -141.

(930) A. Einstein – Sul principio di relatività e sulle conseguenze che da esso discendono – Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik, 4. 1907; pagg. 411-462

(931) Citato da Holton (bibl. 127, pag. 188).

(932) A. Einstein – II principio di conservazione del centro di massa e l’inerzia dell’energia – Annalen der Physik, 20, 1906; pagg. 627 – 633.

(933) A. Einstein – Il passaggio dal principio  di relatività all’inerzia dell’energia – Annalen der Physik, 23, 1907; pagg. 371-372. 

(934) G. N. Lewis, su Philosophical Magazine, 16, 1908 ; pag. 705.

(935) G. N. Lewis,  R. C. Tolman – Il principio di relatività e la meccanica non-newtoniana – Philosophical Magazine, 18, 1909; pagg. 510-523.

(936) M. Planck, su Berichte der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, 10, 1908; pag. 728.

(937) A. H. Bucherer – Misure sui raggi di Becquerel. Conferma sperimentale della teoria di Lorentz e di Einstein -. Physikalischen Zeitschrift, 9, 1908; pagg. 755-762. Altre esperienze che confermarono ulteriormente i risultati precedenti furono realizzate da Bucherer nel 1909. Anche altri sperimentatori giunsero, negli stessi anni, alle stesse conclusioni.

(938) M. Von Laue, su Berichte der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, 1911; pag. 513.

(939) H. Minkowskij – Spazio e tempo – Discorso pronunciato all’ ottantesima assemblea degli scienziati e dei medici tedeschi a Colonia (21 settembre 1908). Traduzione inglese in bibl. 131 pagg. 73-91. Un precedente cenno a quanto Minkowskij sostenne a Colonia era stato fatto dallo stesso autore in una comunicazione del 5 novembre 1907 all’Accademia di Gottinga.

(940) Ricordando le trasformazioni di Galileo (x’ = x – vt; y’ = y; z’ = z; t’ = t)  trasformando la (55 bis) per un riferimento S’, in moto con velocità v rispetto al riferimento S nel quale è data la (55 bis), si trova che s’² =  x’² + y’² + z’² ,  avendo posto  x’₂ – x’₁ = x’ ;   y’₂ – y’₁ = y’ ;  z’₂  – z’₁ = z’. Si può facilmente vedere che la (55) è invariante per una trasformazione di Galileo. Analogamente, se alla (55 bis) si applicano le trasformazioni di Lorentz (8), si trova che la (55) non è invariante per una tale trasformazione (si ricordi la contrazione delle lunghezze).

(941) Sviluppi importanti sulla strada aperta da Minkowski.j furono realizzati da Born con tre articoli del 1909 da P. Frank (1909); da A. Sommerfeld che ne fece una trattazione sistematica. (1910)

(942) L’universo è stato chiamato anche  “cronotopo” utilizzando una parola coniata da V. Gioberti nel 1857; la parola è stata ripresa da E. Troilo nel 1920 ed applicata alla relatività.

(943) Per quel che segue mi sono rifatto a bibl. 212.

(944) Per la dilatazione dei tempi e la composizione delle velocità vedi bibl. 212. Si tenga poi conto che il testo 196 di bibl. tratta tutta la cinematica in modo semplice con i diagrammi di Minkowskij. Molti altri testi dedicano poi svariate pagine all’argomento. Si può in  particolare vedere bibl. 94, pagg. 189-201 e bibl. 190 (articolo di O. Frisch).

(945) Anche se Einstein dovrà sostituire la geometria pseudoeuclidea (o iperbolica) di Minkowskij con quella sferica di Riemann.

(946) A. Einstein – I fondamenti della teoria della relatività generale – Annalen der Physik, 4, 49, 1916; pagg. 769-822. Traduzione italiana in bibl. 174, pagg. 509-559 (tutte le citazioni che seguiranno saranno tratte da questa traduzione). Lavori precedenti di Einstein che trattano in modo più o meno esteso delle questioni che saranno poi argomento del lavoro del 1916 sono del 1911 (Annalen der Physik, 4, 35, 1911; pag. 898), del 1914, insieme con M. Grossmann che si occupò della parte strettamente matematica (Zeitsch. Math. Phys., 63, 1914; pag. 215), del 1915 (Stzgsb. Ak. Berlin, 41, 1915; pagg. 778 ed 844).

Altri lavori seguirono poi quello del 1916; tra di essi ricordiamo:

Einstein – Il principio di Hamilton e la teoria della relatività generale – Sitz. Preuss. Akad. Wissenschaften, 1916; pagg. 1111-1116.

Einstein – Considerazioni cosmologiche sulla teoria della relatività generale – Sitz. Preuss. Akad. Wiss., 1917; pagg. 142-152.

A. Einstein – Generalizzazione della teoria della gravitazione – Appendice II  al volume di Einstein II significato della Relatività, Princeton, 1953 (quarta edizione). Questi ultimi tre lavori sono tradotti in italiano in bibliografia 174.

(947) Si noti che qui c’è un evidente riferimento alle masse nascoste introdotte da Hertz.

(948) Vedi bibl. 199, pag. 58. Si noti che l’oggi cui si riferisce Einstein è situabile intorno agli anni ’40.

(949) Quanto qui riportato è sostenuto da Einstein in una lettera al suo amico Besso del 28 agosto 1918 (citata da Holton in bibl. 127, pag. 179).  In conclusione del lavoro non si possono non ricordare anche gli enormi contributi dati da Einstein alla teoria dei calori specifici dei solidi ed alla formulazione delle statistiche quantistiche  (statistica di Bose-Einstein).

(950) II fenomeno è osservabile solo durante una eclisse totale di Sole, poiché allora risultano visibili le stelle che si trovano dietro il Sole. Si noti che la deflessione del raggio di luce risulta dal confronto con la posizione delle stelle, ad esempio di notte, quando il Sole non si trova più lungo la congiungente la stella con la Terra.

(951) II saggio fu scritto nel 1944 per la rivista Monthly Review (New York). Esso è riportato nella sua traduzione in italiano in bibl. 161, pagg. 225-233.

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