Fisicamente

di Roberto Renzetti

1 – INTRODUZIONE

        Con il progressivo smantellamento dell’aristotelismo, soprattutto a seguito delle importanti scoperte nel campo dell’astronomia, della matematica, dell’anatomia e della meccanica, si sentiva l’esigenza di ricostruire un substrato concettuale, di riferimento, a tutto quanto di nuovo si veniva affermando. Il programma cartesiano per molti versi cercò di rispondere a questa esigenza. La concezione cartesiana del mondo cerca di dare una ragione più compiuta al sistema copernicano per inserirlo in una visione più generale di cui esso stesso risultasse conseguenza.

        Nel lavoro che segue intendo presentare la vita, il pensiero e l’opera di uno dei più grandi e noti pensatori del Seicento, René Descartes. E’ del tutto evidente che su tale personaggio sia stato scritto praticamente tutto e quindi è davvero complicato poter scrivere qualcosa di originale. Osservo però che andando a leggere le numerose opere che trattano il personaggio si trova quasi sempre il suo contributo alla filosofia mentre viene trascurato abbastanza il contributo di Descartes alla scienza, se si esclude quello alla matematica. Inoltre, soprattutto in autori francesi ci si scontra spesso con posizioni scioviniste che lungi dal far chiarezza complicano molto la comprensione del pensatore francese.

        Intendo quindi riprendere, in linea generale, il pensiero di Descartes ed andare quindi a cogliere, in particolare, i suoi contributi alla scienza della natura ed alla matematica.

2 – LA VITA E LA CRONOLOGIA DELLE OPERE

        René Descartes è noto come Cartesio per il costume che ancora si aveva nel Seicento di latinizzare il proprio nome e Descartes usava firmarsi Cartesius. Egli nacque nel 1596 a La Haye, villaggio francese nella regione della Touraine  sulla Loira, da famiglia che per le terre che aveva è definibile di petite noblesse (suo padre era consigliere al parlamento bretone di Rennes). Ad appena un  anno restò orfano della madre e della sua educazione si occupò la nonna. Malfermo di salute, si mostrò subito precoce nel chiedere e indagare su tutto e per questo suo padre lo chiamava “il filosofo”. Studiò a La Fleche nel  Collegio Reale Henri-le-Grand gestito dai gesuiti  tra il 1604 ed il 1612, Gli insegnamenti che aveva seguito erano: grammatica, retorica, latino, greco, ebraico, filosofia (all’interno della quale si studiava la scolastica e la fisica), matematiche e teologia. Descartes ebbe a dire in seguito:  «J’étais  dans  l’une  des  plus  célèbres  écoles  de  l’Europe»  ma,  ciò

Registro in cui è annotata la graduazione di Descartes

nonostante, giudicò i suoi studi incoerenti, sterili, dogmatici e poco adatti ad orientare lo spirito verso una ricerca seria sul mondo che ci circonda e quindi non in grado di sviluppare le capacità razionali (Discours de la Méthode). Dopo aver preso il diploma di scuola superiore, passò all’università di Poitiers dove nel 1616 conseguì il titolo di baccalaureato in legge (anche se, tra il 1615 ed il 1616, si era occupato prevalentemente di medicina). Non esercitò però la professione di avvocato e, dopo due anni di soggiorno in voluto isolamento a Parigi, anni nei quali iniziò a studiare il grande libro del mondo, preferì (1618) recarsi in Olanda (all’epoca alleata della Francia contro la Spagna) ed arruolarsi alla scuola di guerra di Maurizio di Nassau, principe d’Orange. Qui conobbe un medico, Isaac Beeckman, con il quale rimase in contatto per tutta la vita e condivise approfonditi interessi scientifici dei quali restano i primi scritti di Descartes in una corrispondenza con Beeckman e nei diari del medesimo Beeckman che forniscono un resoconto delle idee di Descartes su questioni scientifiche (matematica, fisica, logica). E’ da notare che Beckman, studioso di fisica e matematica, era rettore di una delle più prestigiose scuole d’Olanda ed uno scienziato all’avanguardia nelle conoscenze del suo tempo: era copernicano in cosmologia, sostenitore delle idee di Harvey(1) sulla circolazione del sangue in fisiologia e atomista in fisica (dove fin dal 1916 mostrò di aver capito il principio d’inerzia e la caduta dei gravi con uguale velocità). Oltre a Beeckman frequentò anche il matematico Faulhauer, conosciuto ad Ulm nel 1620, che lo erudì nei più recenti sviluppi dell’algebra, particolarmente nei lavori di Viète. Nel 1619 Descartes lasciò l’Olanda per recarsi in Danimarca, quindi si recò la Germania dove si arruolò nell’esercito del duca Massimiliano di Baviera allo scoppio della Guerra dei 30 anni(2). Tra il 1619 ed il 1620 egli iniziò a sviluppare i principi del suo sistema: i semplici ragionamenti che un uomo di buon senso può fare spontaneamente riguardo alle cose che si offrono alla sua attenzione sono di gran lunga più evoluti e vicini al vero delle cose che uno apprende nelle scuole. Si convinse che era necessario cancellare tutte le conoscenze acquisite per ripartire da zero e rimetterle insieme dopo averle controllate e ordinate secondo le esigenze della ragione. Racconta Descartes che questa ispirazione gli venne da tre sogni fatti a Neuburg, alla frontiere nord della Baviera, dove era di stanza l’esercito, la notte del 10 novembre 1619. In uno di essi, un violento uragano lo faceva volare lontano da Flèche e, mentre era in volo, egli guardava la tempesta osservandola, libero da superstizione, con gli occhi della scienza. Si svegliò e per giorni interi restò rinchiuso nella sua stanza molto riscaldata da una grande stufa in ceramica. Meditò lì dentro e, alla fine, uscì  pieno di entusiasmo per aver intravisto il fondamento di una scienza meravigliosa. Anche se non ci disse qual era il fondamento e quale la scienza, sembra che si trattasse dell’applicazione dell’algebra alla geometria e quindi all’invenzione (che sarà anche di Fermat) della geometria analitica e, più in generale, all’applicazione della matematica allo studio dei fenomeni naturali. Fu qui dunque che nacque il primo abbozzo del Discours de la Méthode. L’entusiasmo per l’illuminazione era tale che la fede ingenua di Descartes, come sostiene Mesnard, gli  fece far  voto di un pellegrinaggio a Loreto (tal cosa si realizzò nel 1623). Ed a seguito di tale illuminazione Descartes si convinse a lasciare definitivamente l’esercito (fine 1619).

        Tra il 1620 ed il 1622 viaggiò in Germania ed Olanda. Nel 1622 tornò in Francia e, dopo una permanenza a Parigi, si rimise in viaggio verso l’Italia. Di questo periodo abbiamo uno dei suoi primi scritti, De solidorum elementis, che si aggiunge ad altre brevi note (Olympiques), ad un suo vecchio scritto di musica, Abrégé de musique (del 1618 dedicato a Beeckman), un trattatello di scherma (Traité d’escrime del 1613, perduto) e ad altre brevi opere alcune prima perdute e quindi ritrovate nel 1859 (Cogitationes Privatae)ed altre perdute definitivamente.

         Tra l’autunno del 1623 ed il maggio del 1625, Descartes si recò a Venezia (per la cerimonia delle nozze del Doge con il mar Adriatico), a Roma (per l’apertura dell’Anno Santo il 24 dicembre 1624), a Firenze e, probabilmente – visto che alcuni lo negano – proprio a fare il pellegrinaggio a Loreto (nel qual caso, visto che il suo pellegrinaggio era frutto di un voto, esso sarebbe dovuto avvenire, come da costume dell’epoca, a piedi). In Italia non incontrò Galileo, che in quegli anni aveva grandissima fama ed era ancora lungi dalla condanna (1633) per il Dialogo sui due Massimi Sistemi del mondo, e non si sa neppure se lo avesse voluto incontrare. Dice Descartes che per quanto riguarda Galilei, vi dirò che non l’ho mai visto, né ho comunicato con lui in alcun modo. Eppure Galileo era ben conosciuto da Descartes perché nel 1610 egli era alunno dai gesuiti di Flèche, gesuiti che erano stati informati dai colleghi del Collegio Romano di Roma delle scoperte annunciate da Galileo nel Nuncius Sidereus. Ma risulta che Descartes nutrisse una certa invidia, mostrata in più occasioni, verso lo scienziato pisano. Descartes sosteneva, in definitiva, che non aveva quasi nulla da apprendere da Galileo.

        Dal 1625 al 1628 è di nuovo prevalentemente in Francia dove, avendo già conquistato fama di matematico, viene richiesto da circoli intellettuali con suo particolare gradimento.  In questo periodo strinse importanti relazioni tra l’altro con  il dottissimo frate dell’ordine dei Minimi (fondato da San Francesco di Paola nel 1436), Marin Mersenne, teologo appassionato di filosofia e problemi scientifici, il quale fu suo corrispondente per molti anni ed anche tramite con il mondo dotto dell’epoca che annoverava personalità del calibro di Hobbes, Galileo,

Marin Mersenne

Gassendi, Pascal, Fermat, Torricelli. Nell’estate del 1628 Descartes, tramite Marsenne fu invitato ad un incontro con il nunzio apostolico. Qui sostenne una disputa per demolire alcune concezioni di un ciarlatano (Chandoux) che impressionò molto il cardinale Pierre de Berulle tanto che quest’ultimo volle conoscerlo.. In questi anni egli redige gran parte delle Regulae ad directionem ingenii, opera che resterà incompiuta e sarà edita postuma nel 1701.

        Nel 1628 viaggia in Olanda e vi si trasferisce definitivamente nel 1629 prendendo dimora in diverse città e facendo conoscenza con le persone più colte e dotte del Paese. Descartes era convinto di poter vivere tranquillo in Olanda e di poter elaborare le sue idee ed i suoi scritti in quiete e libertà. Le cose non andarono così perché, a fianco dei molti amici ed estimatori, ebbe fieri nemici che arrivarono ad accusarlo di ateismo e di eresia (pelagianismo(3)) per aver sostenuto in particolare che l’anima è una entità separata dal corpo. Il fatto non era banale perché una tale accusa riportava al clima della controriforma caratterizzato da prese di posizione fortemente critiche nei confronti degli eccessi dell’inquisizione e del rigido controllo sulle opinioni religiose e sui comportamenti pratici dei singoli esercitato dal potere ecclesiastico. Si diffuse, infatti, come reazione a questo stato di cose, uno spirito di indipendenza e di diffusa irreligiosità che, specie dopo le terribili guerre di religione che avevano insanguinato la Francia, assunse caratteri decisamente anticattolici. In tale clima aveva avuto una grandissima eco la condanna per eresia di Cesare Vanini, un pensatore pugliese aderente al libertinismo (come Descartes in Francia(4)), che alla critica della fede tradizionale saldava atteggiamenti pratici e prospettive teoriche fortemente legati all’esaltazione della natura. Il filosofo fu denunciato e condannato, come ateo, ad avere tagliata la lingua, bruciato il corpo a fuoco lento e le ceneri sparse ai quattro venti. Egli venne bruciato a Toulouse il 9 febbraio del 1619. Le accuse che si riversavano su Descartes proprio in quegli anni erano molto pericolose.

La  firma di Descartes

        Nei primi nove mesi del 1629 Descartes redige il Trattato di metafisica o Della divinità che però non ci è pervenuto, anche se si può immaginare che il suo contenuto sia stato almeno in parte riversato nel Discours de la méthode. Venuto a conoscenza di un fenomeno di ottica (i pareli, quei dischi luminosi situati a destra e sinistra del Sole e dovuti a rifrazione dei raggi solari attraverso le nuvole composte da cristalli esagonali di ghiaccio) osservato a Frascati dal gesuita Scheiner, sospese la redazione del Trattato per dare la spiegazione del fenomeno (che poi ritroveremo nelle Météore).

        In questo periodo Descartes si occupa ancora di matematica cercando di riformare le notazioni che  ancora non erano agili. Egli introduce le lettere dell’alfabeto latino, prendendo le mosse dai lavori di Viète(5). Nel 1631 inizia ad elaborare la sua geometria analitica e a scrivere le Météores. A tal fine studia ottica scoprendo le leggi della rifrazione ed inizia a scrivere la Dioptrique. Durante l’inverno 1631-1632 si trovò ad Amsterdam dove, abitando nel quartiere dei macellai, ebbe modo di assistere a molte dissezioni che gli permisero di approfondire i suoi studi sulla fisiologia dei viventi. Dall’insieme di tali studi, tra il 1630 ed il 1633 verrà redatto il suo Traité du Monde o Traité de Lumière (che ha come ultimo capitolo il Traité de l’Homme). Ma qui si inserisce di nuovo Galileo perché, come già accennato, proprio nel 1633 si ha la sua brutale condanna dal Tribunale della Chiesa. Questa notizia convince Descartes a non pubblicare il suo Traité du Monde, che poi è l’insieme delle sue teorie fisiche ed astronomiche basate sul copernicanesimo (il Traité du Monde sarà pubblicato postumo nel 1664). Nel 1634 riceverà da Beeckman il Dialogo di Galileo, e, dopo averlo letto dirà che manca maggiormente laddove segue le opinioni tradizionali che quando se ne allontana(6). Comunque il Dialogo gli servirà per chiarire ed indirizzare meglio il suo pensiero.  Inizia allora a pensare al Discours il luogo dove vuole mostrare la potenza del suo metodo. E’ da notare che in questa epoca conosce ed inizia a frequentare ad Utrecht il diplomatico olandese Costantin Huygens, padre di Christian (1629-1695), colui che sarà un grande scienziato che subirà le influenze certamente della matematica di Descartes.

Descartes

        Gli anni successivi vedono la successiva pubblicazione del corpo principale delle opere di Descartes. La prima vera pubblicazione di Descartes è del 1637 e riguarda una delle sue massime opere, il Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la verité dans les sciences (dove il metodo è quello matematico) che ha come “appendici” tre importanti lavori che sono dei

prudenti estratti del suo Traité du Monde: la Dioptrique, le Météores e la Géométrie (l’opera uscì anonima a Leida per i tipi di Jan Marie). Osservo solo che rispetto al suo sogno di Neuburg sono passati circa 20 anni. Nel 1641 vengono pubblicate a Parigi le sue Méditations métaphysiques che contengono anche le sette Obiezioni che si erano avute alle medesime Méditations (nel 1640 si era

avuta una prima edizione dell’opera e ne aveva inviate varie copie a numerosi intellettuali) e le sue Risposte(7) a tali critiche. Oltre alle obiezioni che derivavano da una normale dialettica, vi erano degli accaniti avversari della nuova filosofia di Descartes tanto che, ad esempio, nel 1642 l’Università di Utrecht ne vietò l’insegnamento, accusando Descartes di ateismo e pubblicando la condanna nella Piazza della città (più tardi anche l’Università di Leida condannerà sul piano teologico Descartes, considerato “più che pelagiano e blasfemo“. Più in generale gli avversari di Descartes erano i gesuiti (che lo accusavano di essere papista e cattolico) ed i protestanti più rigorosi (che lo accusavano di avere simpatie protestanti, di ateismo ed eresia) in quanto per ambedue le categorie la filosofia scolastica era un baluardo della fede anche negli insegnamenti universitari. Nel 1644 pubblicò ad Amsterdam in latino i Principia Philosophiae (tradotti nel 1647 in francese come Les principes de la philosophie), dedicati ad una sua cara amica

conosciuta nel 1642, la principessa Elisabetta di Boemia in esilio in Olanda dal 1620, con la quale avrà una fittissima corrispondenza di grande valore filosofico. Nel 1649 pubblicò le Traité des passions de l’âme, libro che aveva iniziato a scrivere nel 1645 su sollecitazione della stessa amica principessa e che si occupava

di trovare corrispondenze e relazioni tra passioni e morale. Durante questo periodo si recherà tre volte in Francia (1644, 1647, 1648) per dei brevi soggiorni ed in uno di questi, nel 1647, conoscerà Pascal al quale consigliò l’esperienza del Puy de Dôme (variazione della pressione con l’altezza). A questo proposito circolano notizie non corrette secondo le quali Descartes avrebbe ispirato Pascal nelle sue esperienze sulla pressione. Devo ricordare che Pascal venne a conoscenza dei lavori sulla pressione di Torricelli da padre Mersenne nel 1644, proprio al momento della realizzazione della celebre esperienza di Torricelli (solo Rodis-Lewis accenna alla cosa). Della cosa Marsenne informò anche Descartes ma sia nei lavori di quest’ultimo che in quelli di Pascal, non si fa mai cenno a Torricelli. Nel settembre 1649 la Regina Cristina di Svezia, tramite l’ambasciatore di Francia in Svezia, Chanut, lo invita alla sua corte a Stoccolma. Egli deve conversare con la Regina. Ma la Regina ha abitudini mattiniere e Descartes conversa con lei per

Descartes e la regina Cristina, particolare del ritratto di Pierre Dumesnil

cinque ore ogni mattina alle cinque. Il palazzo reale è gelido, si devono attraversare lunghi corridoi non riscaldati e ampi cortili, e Descartes non sopportava il freddo. Si ammalò  di polmonite che, ahimé, gli venne curata con salassi. Morì a febbraio (qualcuno, recentemente, ha parlato di avvelenamento da arsenico al quale avrebbe collaborato proprio Chanut). La notizia della sua morte venne data ad Anversa da un anonimo cronista nel modo seguente: E’ morto in Svezia un folle che credeva di poter vivere quanto voleva. E, per buon peso, le sue opere furono messe all’Indice dalla S. Congregazione, donec corrigatur, nel 1663.

        Nel 1667 le spoglie di Descartes(8) furono restituite alla Francia per essere sepolte, dopo aver vagato per vari siti, a Saint Germain des Prés. Qualcuno ha osservato che i grandi sono ben accetti in patria solo quando sono morti.

La tomba di Descartes nella Cappella di San Benedetto a Sain Germain des Prés, Parigi

MEMORIAE RENATI DESCARTES

RECONDITIORIS DOCTRINAS

LAVDE

ET INGENII SVBTILITAT

PRAECELLENTISSIMI

QVI PRIMVS

A RENOVATIS IN EVROPA

BONARVM LITTERARVM STVDIIS

RATIONIS HVMANAE

IVRA

SALVA FIDEI CHRISTIANAE

AVTORITATE

VINDICAVIT ET ASSERVIT

NVNC

VERITATIS

QVAM VNICE COLVIT

CONSPECTV

FRVITVR

L’epitaffio sulla tomba di Descartes

3 – IL METODO DI DESCARTES  

        Vi è un generale accordo nel ritenere che Descartes rappresenti un cambiamento radicale della visione filosofica del mondo in opposizione all’aristotelismo ed alla scolastica. Si tratta di primi passi fondamentali per sradicare la mala pianta dell’autorità dei testi. Di fronte alla grande confusione che sul piano filosofico si era andata creando tra le persone colte sul finire del Cinquecento, ciascuno tra i più avveduti cerca un’uscita sul come affrontare il problema della ricerca della verità. Per iniziare a conoscere liberandosi dagli errori e confusioni del passato è partire da un qualche principio certo che sia la base da cui partire per le nuove elaborazioni. Questa base è trovata da Descartes nella razionalità dell’uomo (cogito ergo sum) che sa di esistere solo quando si accorge di essere in grado di pensare se stesso ed il mondo circostante. I dubbi devono venir meno ed essere superati con un approccio al mondo esterno che preveda che sono vere le cose che concepiamo in modo chiarissimo e distinto. Si tratta quindi di mettere in relazione la razionalità dell’uomo con il mondo esterno ed i suoi fenomeni per spiegarli. Nel far questo, mano a mano che la conoscenza avanza, ci si rende conto che non basta la sola razionalità ma serve anche l’esperienza. Si tratta di una specie di ritorno al buon senso (Mesnard) che si accompagna ad un modo nuovo di interrogare  e non solo di osservare, la natura. E’ un programma che Descartes enuncia chiaramente nella Parte Sesta del Discours che prevede, come dice egli stesso, di sostituire alla Filosofia speculativa che si insegna nelle scuole, una Filosofia pratica. E’ quindi un programma che ribalta il mondo della filosofia scolastica che credeva di conoscere mediante la manipolazione del linguaggio attraverso i sillogismi, con una realtà che si sarebbe dovuta adeguare alle conclusioni di contorti ragionamenti. E’ l’insieme di ragione ed esperienza (questa è la novità: l’esperienza non concepibile per se stessa e la ragione che non può prescindere da essa) che permette la conoscenza.

Non appena acquistai alcune generali nozioni di Fisica e, utilizzatele per la soluzione di alcuni problemi particolari, ebbi modo di notare fino a che punto posson condurre e quanto differiscono dai principi di cui fino ad ora ci si è serviti, stimai che non avrei potuto tenerle nascoste senza peccare gravemente contro quella legge che ci impone, per quanto è in noi, di procurare il bene generale di tutta l’umanità. Esse mi hanno infatti mostrato che è possibile giungere a conoscenze molto utili per la vita e che, al posto di quella Filosofia speculativa che si insegna nelle scuole, se ne può trovar una pratica, mediante la quale, conoscendo il potere e gli effetti del fuoco, dell’ acqua, dell’ aria, degli astri, dei cieli e di tutti gli altri corpi che ci circondano, così distintamente come conosciamo le tecniche di cui si servono i nostri artigiani, potremmo utilizzare nello stesso modo quei corpi a tutti gli usi cui sono adatti e divenir così quasi padroni e possessori della Natura. Ciò non è soltanto da desiderare per inventare una infinità di strumenti che ci farebbero godere senza fatica dei frutti della terra e di tutte le comodità che vi si trovano, ma anche, soprattutto, per conservare la salute, che è senza dubbio il primo e fondamentale bene della nostra vita. Perfino la mente, infatti, dipende così strettamente dal temperamento e dalla disposizione degli organi del corpo che, se è possibile trovare qualche mezzo capace di rendere  gli uomini più saggi e più abili di quanto lo sian stati fino ad oggi, penso che sia nella Medicina che debba cercarsi … Con tutte le conoscenze che ci restano ancora da acquisire, sarebbe possibile evitare molte malattie, tanto del corpo quanto dello spirito, e forse perfino l’indebolimento della vecchiaia se avessimo una sufficiente conoscenza delle loro cause e di tutti i rimedi di cui la Natura ci ha provveduti [Discours; 2; 542](9)

E’ un programma estremamente ampio che, si faccia attenzione, ha come fine principale l’uomo, nella sua natura esclusivamente terrena. Non è stata, credo, sottolineata a sufficienza questa preoccupazione di Descartes per alleviare le sofferenze dell’uomo. Egli si occupa, in definitiva, della morte che sarà argomento grave che occuperà anche i pensieri di Leibniz. Ma una vita non basta e per fare esperienze e per mettere insieme tutto ciò che ci occorre per i fini che egli si propone (alleviare la sofferenza dell’uomo) e quindi Descartes mette giù le sue conoscenze al fine che altri seguano sulla strada della conoscenza che è somma dei lavori di molte vite di studiosi. Così gli ultimi potranno partire dai risultati dei primi e l’umanità potrà progredire molto più di quanto non lo possa un singolo individuo. Ma qui nasce l’esigenza di passare dall’osservazione empirica ed ingenua di ciò che ci circonda a quella più raffinata che si acquisisce con l’esperienza:

le esperienze sono tanto più necessarie quanto più si è progrediti nella conoscenza. Infatti, agli inizi è meglio servirsi di quelle che si presentano da sé ai nostri sensi e che non si possono ignorare, sol che vi si presti un po’ d’attenzione, invece di cercarne altre più rare e studiate: queste infatti, quando non si conoscono ancora le cause delle più comuni e quando le circostanze da cui dipendono – come quasi sempre accade – sono così particolari e minute che riesce assai difficile notarle, spesso ingannano [Discours; 2; 543]

E ciò rappresenta un radicale cambiamento di rotta rispetto ad Aristotele e, soprattutto, agli aristotelici eh vengono qui bistrattati da Descartes.

Essi sono come l’edera, che non tende per nulla a salire oltre gli alberi che la sostengono e che spesso, anzi, giunta alla cime ridiscende [Discours; 2; 547]

Non ha infatti senso cercare risposte negli scritti di Aristotele a problemi nuovi o a questioni alle quali non ha mai pensato. Certamente ciò conviene alle menti deboli e non in grado di essere autonome. Conviene loro perché sono usi nascondersi dietro discorsi oscuri ed argomentazioni contorte pretendendo con ciò di contrastare menti sottili ed abili che utilizzano invece la ragione come strumento di continua analisi del mondo circostante. Sono come ciechi che, per battersi con un vedente, lo costringono in una cella sotterranea a lottare al buio. Per parte sua Descartes non ha intenzione di perdere tempo con tali personaggi:

dirò soltanto che ho deciso di impiegare il tempo che mi resta da vivere cercando d’acquistare una conoscenza della Natura che sia tale da poterne trarre per la Medicina norme più sicure di quelle seguite fino ad oggi; dirò pure che la mia inclinazione mi allontana tanto da qualsiasi altro progetto, soprattutto da quelli che non possono essere utili agli uni che nuocendo ad altri che, se qualche circostanza mi costringesse a dedicarmici, in nessun modo – credo – sarei capace di riuscirvi [Discours; 2; 553]

        Fin qui per ciò che riguarda aspetti fondamentali del metodo per conoscere il mondo naturale. Ma manca un altro aspetto che pure è ritenuto fondamentale da Descartes e del quale discute nella Parte Seconda, cioè prima di quanto ho discusso, dei Discours. Mi riferisco alla Matematica che viene introdotta con un discorso articolato che inizia nella Prima Parte e che vale la pena raccontare. Egli inizia con il passare in rassegna tutte le cose che ha studiato fin dalla gioventù. Dice di aver studiato in una delle più celebri scuole d’Europa, dove pensava dovessero trovarsi uomini dotti. Le lingue le ritiene importanti perché permettono di studiare libri antichi; le favole hanno invece il pregio di risvegliare l’ingegno che viene poi innalzato dallo studio delle gesta memorabili; la lettura dei buoni libri è come una conversazione con i saggi. Egli ha apprezzato anche l’Eloquenza e la Poesia ma ha considerato queste discipline più come doni naturali che non come un qualcosa che si acquisisce con lo studio. Con la Teologia il rapporto era diverso ed in qualche modo la ritenevo cosa utile per guadagnarsi il cielo. Ma la lasciò da parte perché in cielo vanno sia gli ignoranti che i dotti e perché le verità rivelate, superando di molto l’intelligenza umana, non avrebbe mai avuto il coraggio di sottoporle al vaglio della ragione. La Filosofia, poi, aveva visto cimentarsi i più illustri ingegni che continuavano a disquisire senza tirare fuori un qualcosa che abbia un senso definitivo e comunque egli non si sente capace di aggiungere qualcosa. Riguardo poi alle scienze che discendevano dalla filosofia le ha lasciate da parte perché non si costruisce nulla di buono con basi così incerte. Infine, dice, quanto alle false scienze, pensavo di conoscere già abbastanza bene il loro valore per non lasciarmi ingannare né dalle promesse di un Alchimista, né dalle predizioni di un Astrologo, né dalle imposture di un Mago, né dagli artifizi o dalle vanterie di quelli che vogliono far credere di sapere più di ciò che realmente sanno. … Per tutte queste ragioni appena l’età mi permise di uscire dalla tutela dei miei Precettori, abbandonai interamente lo studio delle lettere[Discours; 2; 503].

        Nel cercare il vero Metodo per giungere alla conoscenza di tutte le cose di cui la sua mente era capace Descartes affronta il problema della Matematica che non è però così entusiasmante per lui come potrebbe sembrare da una semplice vulgata perché anche questa scienza non lo soddisfa per come è formulata.

Quando ero più giovane avevo un po’ studiato, tra le parti della Filosofia, la Logica e, tra le Scienze Matematiche, l’Algebra e l’Analisi dei Geometri: tre arti o scienze che mi pareva dovessero contribuire in qualche modo al mio progetto. Quando però le esaminai mi avvidi che, quanto alla Logica, i suoi sillogismi e la maggior parte dei suoi precetti servono più a spiegare, agli altri quanto già si conosce o, addirittura – come l’arte di Lullo(10) -, a parlare senza discernimento delle cose che si ignorano anziché insegnarle. Per quanto questa scienza contenga realmente molti precetti ottimi e verissimi, tuttavia ve ne sono mescolati insieme tanti altri dannosi e superflui che separarli sarebbe quasi tanto arduo quanto trarre una Diana o una Minerva da un blocco di marmo non ancora sbozzato. Quanto poi all’Analisi degli antichi e all’Algebra dei moderni, oltre a riferirsi esclusivamente a materie astrattissime e che sembrano inutili, la prima è sempre talmente vincolata alla considerazione delle figure da non poter esercitare l’intelletto senza affaticare molto l’immaginazione, e la seconda è talmente assoggettata a certe regole e a certe cifre da divenire un’arte confusa e oscura, che confonde la mente invece di coltivarla. Per tutto questo stimai necessario cercare qualche altro Metodo che, comprendendo i vantaggi di queste tre scienze, fosse esente dai loro difetti. E poiché il gran numero delle leggi fornisce spesso scuse per i vizi, tanto che uno Stato è assai meglio ordinato quando, avendone solo pochissime, vi vengono strettamente osservate, così, in luogo di quel gran numero di precetti che conta la Logica, pensai che mi sarebbero stati sufficienti questi quattro che sto per enumerare, purché decidessi fermamente di non cessare mai, neppure una sola volta, di osservarli [Discours; 2; 510].

E siamo arrivati ai famosi quattro precetti che Descartes ritiene fondamentali per sviluppare il suo Metodo: 1 – non si deve mai ammettere per vera alcuna cosa che non sia del tutto evidente come tale per far ciò occorre bandire il Pregiudizio; 2 – ogni problema che si presenti al nostro studio va suddiviso in tanti piccoli problemi che si prestano ad essere indagati meglio separatamente, alla fine di tale processo sarà possibile ricomporre e studiare meglio il problema complessivo; 3 – per conoscere la natura occorre muoversi in modo induttivo partendo dallo studio delle cose più semplici e più facili per salire via via ai più complessi; 4 – in tale studio occorre considerare classi di fenomeni molto ampie in modo da non omettere nulla. Riporto di seguito i quattro precetti che, occorre dire, Descartes aveva già enunciato nelle sue Regulae ad directionem ingenii scritto nel 1629 e pubblicato postumo nel 1701, come vedremo nel prossimo paragrafo.           

Il primo prescriveva di non accettare mai per vera nessuna cosa che non conoscessi con evidenza esser tale: evitare cioè accuratamente la Precipitazione e la Prevenzione e non comprendere nei miei giudizi se non ciò che si fosse presentato alla mia mente con tale chiarezza e distinzione da non aver nessun motivo di metterlo in dubbio.

Il secondo consisteva nel dividere ciascuna difficoltà che stessi esaminando in tante piccole parti quanto fosse possibile e necessario per giungere alla miglior soluzione di essa.

Il terzo nel condurre con ordine i miei pensieri, cominciando dagli oggetti più semplici e più facili da conoscere, per salire a poco a poco, come per gradi, fino alla conoscenza dei più complessi, e supponendo poi un ordine anche tra quelli di cui gli uni non precedono naturalmente gli altri.

L’ultimo, infine, era di procedere in ogni caso ad enumerazioni così complete e a rassegne tanto generali da esser certo di non aver omesso assolutamente nulla 
[Discours; 2; 510-511].
 

        A parte il primo precetto, gli altri tre sono molto generici tanto che Leibniz dirà che era come consigliare ad un chimico di prendere quello che devi prendere, fare come devi fare, per ottenere ciò che desideri.

        Subito dopo aver enunciato i precetti, Descartes ritorna al ruolo della matematica, questa volta più convinto perché è proprio il suo Metodo che gli ha permesso di modificarla in modo da rispondere ai suoi fini di conoscenza del mondo.

tra tutti quelli che hanno cercato finora la verità nelle scienze, solo i Matematici sono riusciti a trovare alcune dimostrazioni, cioè alcune ragioni certe ed evidenti, non ebbi alcun dubbio che bisognava prendere le mosse da quelle da loro esaminate, quantunque non sperassi di trame altra utilità, se non quella di abituare il mio ingegno a nutrirsi di verità e a non contentarsi in nessun caso di false ragioni. Non per questo mi proposi di cercare di apprendere tutte quelle scienze particolari che di solito si dicono Matematiche, ma, osservando che, malgrado la diversità dei loro oggetti, tuttavia si accordano tutte nel limitarsi a considerare i diversi rapporti o proporzioni che vi si trovano, stimai che sarebbe stato meglio esaminare solo queste proporzioni in generale, supponendole esclusivamente in oggetti che servissero a rendermene più facile la conoscenza; anzi, senza limitarle in nessun modo a questi, per poterle poi applicare a tutti gli altri cui convenissero. Avendo poi osservato che, per conoscerle, avrei dovuto in certi casi considerarle ciascuna singolarmente, mentre in altri casi mi sarebbe stato sufficiente ricordarle e comprenderne molte insieme, pensai che, per meglio considerarle in particolare, avrei dovuto immaginarle come linee, giacché nulla intravedevo di più semplice e di più distintamente rappresentabile alla mia immaginazione e ai miei sensi; ma che, per ricordarle e comprenderne insieme molte, avrei dovuto esprimerle con alcune cifre, le più brevi che fosse possibile: in tale modo avrei preso quanto di meglio offrivano 1’Analisi dei Geometri e l’Algebra e avrei corretto i difetti dell’una per mezzo dell’ altra. Oso infatti affermare che 1’esatta osservanza di quei pochi precetti che avevo scelto mi permise di risolvere tutti i problemi di queste due scienze con tale facilità che nei due o tre mesi che impiegai ad esaminarli, avendo iniziato dai più semplici e generali – ogni verità trovata costituendo per me una regola utile per trovarne poi altre -, non solo venni a capo di molti che in altro tempo avevo giudicato difficilissimi, ma, verso la fine, mi sembrò anche di poter determinare, negli stessi problemi che ignoravo, con quali mezzi e fino a qual punto avrei potuto risolverli  [Discours; 2; 511-512].

Siamo quindi al quadro completo del Metodo di Descartes. Per il nostro occorre indagare la realtà servendosi della ragione, abbandonando l’autorità dei testi. Più avanzano le conoscenze meno bastano le osservazioni empiriche. Occorre allora sollecitare la realtà con le esperienze. Sullo sfondo, come tessuto connettivo, occorre trattare matematicamente ogni problema perché la matematica è la certa fonte della conoscenza e con essa si identifica la scienza della natura. E’ un’identificazione ampia perché la matematica serve sì a conoscere la natura ma essa stessa è prodotta allo stesso modo con cui si conosce la natura, dalla mente umana.

4 – LE REGULAE

        Ho già accennato al fatto che Descartes aveva scritto le Regulae ad directionem ingenii, prima dei Discours, nel 1629. Molte delle cose che sono nelle Regulae si ritrovano nella prefazione dei Dioscours ma nelle Regulae si può approfondire qualche aspetto del pensiero di Descartes, ad esempio quello che egli ha sulla matematica e che ho riportato nel paragrafo precedente. Tralasciando le Regole che non aggiungono nulla di nuovo a quanto detto, vediamo la Regola IV in cui Descartes spiega meglio la sua concezione della matematica.

Ormai fiorisce un certo genere di Aritmetica che è chiamato Algebra, per operare con i numeri ciò che gli antichi facevano con le figure. Queste due (scienze) non sono niente altro che frutti spontanei, nati dai principi di questo metodo che sono naturalmente in noi; non mi meraviglio che (tali frutti) fino ad oggi siano maturati intorno agli oggetti semplicissimi di queste arti più felicemente che nelle altre, nelle quali maggiori ostacoli di solito li soffocano, dove però, tuttavia, se coltivati con grandissima cura, potranno senza dubbio giungere a maturazione perfetta  [Regulae; 2; 245].

Descartes osserva che ormai è nata l’algebra che ha sostituito la geometria, si lavora con  numeri e si è soppiantato l’uso delle figure che era degli antichi. Egli intende costruire un’altra matematica come annuncia subito dopo.

È ciò che ho incominciato a fare specialmente in questo trattato; infatti non terrei in gran conto queste regole, se fossero sufficienti a risolvere soltanto quei problemi di scarso valore coi quali i Calcolatori e i Geometri sono soliti giocare in modo ozioso; infatti in tal modo crederei di non aver fatto che occuparmi di cose futili, forse con maggior sottigliezza degli altri. Sebbene mi appresti qui a dire molte cose intorno alle figure e ai numeri, non potendosi richiedere esempi così evidenti né così certi da alcun’altra scienza, tuttavia chiunque avrà considerato attentamente il mio intendimento comprenderà facilmente che qui non penso affatto alla Matematica comune, ma espongo un’altra disciplina, di cui essi sono l’involucro più che le parti. Questa disciplina infatti deve contenere i primi rudimenti della ragione umana e deve estendersi per ricavare la verità da qualsivoglia oggetto; e, per parlare francamente, sono persuaso che questa sia più importante di ogni altra cognizione tramandataci dai nostri simili, in quanto è 1’origine di tutte le altre. Ho detto involucro, non perché voglia mascherare e confondere questa dottrina per sottrarla all’uomo comune, ma piuttosto perché voglio vestirla e adornarla in modo che possa essere più atta all’ingegno umano [Regulae; 2; 245].

Le argomentazioni di Descartes seguono nella Regola XII nella quale si inizia con un’affermazione di interesse: per la conoscenza delle cose si devono considerare solo due aspetti, ossia noi che conosciamo e le cose stessa da conoscere ed a tal fine noi disponiamo di quattro facoltà: l’intelletto, l’immaginazione, il senso e la memoria. Nella Regola XVI poi si passa a definire l’algebra che Descartes ha in mente, nella quale (come aveva fatto Viète) entrano le lettere in luogo dei numeri e la cosa non è per nulla banale in quanto, così operando l’algebra, da semplice strumento di calcolo, diventa algebra universale perché le sue operazioni si possono eseguire senza sapere cosa rappresentino le lettere e quindi ricavando dei risultati che poi sono applicabili a qualunque grandezza (astratta o fisica) quei numeri rappresentassero. In tal modo è possibile prevedere una generalizzazione dell’algebra proprio perché vi è una trattazione generale successivamente applicabile ad ogni trattazione quantitativa che preveda una misura. La trattazione matematica prevede poi che sia possibile disporre i risultati di operazioni in catene deduttive che, in quanto tali, possono essere assiomatizzate. Ed allora questo metodo diventa il medesimo di quello che si utilizza per conoscere la natura. Di conseguenza la conoscenza scientifica non può che procedere allo stesso modo della conoscenza matematica. Si tratta di partire da assiomi e deduzioni servendosi del calcolo algebrico. Leggiamo un brano di Descartes:

Per facilità ci serviremo dei caratteri abc, ecc., per esprimere le grandezze già note, e ABC, ecc., per designare quelle ignote; spesso premetteremo ai caratteri le cifre dei numeri 2, 3, 4, ecc., allo scopo di rendere esplicita la molteplicità di quelle e di nuovo (altre ne) aggiungeremo per il numero dei rapporti che in esse si dovranno intendere: così se scriverò 2a3, sarà come se dicessi il doppio della grandezza indicata con la lettera a contenente tre rapporti. Con tale accorgimento non solo compendieremo poi molte parole, ma – ciò che soprattutto importa – mostreremo i termini della difficoltà così puri e nudi che, anche senza omettere nulla di utile, non vi si troverà mai nulla di superfluo e che occupi invano la capacità dell’ingegno, quando la mente dovrà abbracciare molte cose in una volta  [Regulae; 2; 303].

        Ma se, nonostante questo programma così impegnativo, qualcuno andasse a cercare la matematica all’interno dell’opera scientifica di Descartes, rimarrebbe deluso e non per demerito di Descartes ma perché i problemi richiedevano una matematica che non era stata ancora sviluppata e che lo sarà a partire dal medesimo Descartes, da Fermat e quindi da Newton e Leibniz con la sublime invenzione del calcolo infinitesimale. Solo la meccanica permetteva qualche applicazione che già doveva fermarsi di fronte al semplice problema di calcolare una velocità istantanea.

        Fatto straordinario è che Descartes riuscì ad applicare il suo ideale di matematica con la matematica stessa introducendo l’algebra simbolica che si stava affermando nella geometria con l’armonica fusione delle due nella geometria analitica. Si tratta del definitivo sganciamento dalla geometria degli antichi e della creazione di un ramo d’indagine che avrebbe previsto strade evolutive proprie.

        E’ evidente che il pensiero filosofico, in questo caso l’epistemologia, di Descartes meriterebbe e merita molto maggiore spazio ma io mi sono proposto di ricercare quelle parti delle elaborazioni del nostro filosofo funzionali allo studio della natura fisica che egli affronta, oltre che ai supporti matematici da lui introdotti. Ma prima di fare ciò una osservazione deve essere fatta a modo di denuncia a proposito dei Discours. Quest’opera è costituita da una prefazione (quella che ho riassunto enucleando ciò che ritenevo d’interesse per i miei fini), nella quale si descrive il metodo che Descartes ha elaborato. Ma, subito dopo, in modo indissolubile, vi è l’esemplificazione del come applicare il suo metodo in tre monografie: La DioptriqueLes Météores, La Géométrie. Purtroppo, invece, vi è l’insano costume di presentare quasi sempre i Discours (a meno di non andare ad edizioni elaborate e costose) come se consistessero nella sola prefazione. E’ un modo scorretto di presentare le cose che ricrea ciò che Descartes combatteva: un mondo letterario in cui si discute sulle parole tralasciando l’esperienza che in questo caso sono le esemplificazioni di Descartes. E perché si saltano tali esemplificazioni ? Perché si tratta di scienza, di cose complesse che occorre studiare per capire di che si tratta e con le due culture rigidamente separate neppure ne vale la pena con ogni alibi idealistico.

5 – LA GÉOMÉTRIE

        La Géométrie rappresenta il primo esempio del Metodo di Descartes, anche se non troviamo qui applicate le quattro regole che egli si era dato nei Discours. E’ da notare che questa nuova geometria appare simultaneamente nello stesso anno ad opera di due grandi matematici come Descartes e Fermat e la cosa non è casuale e si dà spesso nella scienza quando i tempi sono maturi per una determinata scoperta. Inoltre vi erano stati vari momenti preparatori nell’opera di svariati matematici a partire dal francese Nicola Oresme. L’essenza di questo nuovo ramo della matematica consiste nella correlazione che viene trovata tra un luogo geometrico, sia esso curva o superficie, ed una equazione algebrica (o funzione, nome introdotto nel 1694 da Leibniz). Con la geometria analitica è possibile passare dall’algebra alla geometria e viceversa con operazioni di grande potenza esplicativa che permettono una illuminazione reciproca delle due scienze. E’ un notevole avanzamento rispetto alla geometria euclidea, che resta con tutta la sua validità, perché lì si richiedevano grandi sforzi di immaginazione, per di più validi caso per caso, e lunghe e complesse dimostrazioni per trovare delle proprietà, come quella di tangenza o perpendicolarità, che invece con la geometria analitica risultano banali e codificabili in modo del tutto generale. Descartes si stupisce che queste cose siano sfuggite agli antichi che, se avessero supposto questi metodi si sarebbero risparmiati di scrivere tanti volumi per scrivere i teoremi con i quali si imbattevano casualmente quando con il metodo analitico si ricavano tutti i teoremi e non solo qualcuno. Ma Descartes probabilmente non conosceva le enormi difficoltà simboliche che erano state incontrate dagli antichi e che non avevano permesso lo sviluppo di un’algebra. In ogni caso, se un merito va assegnato a Descartes rispetto a Fermat, è quello di aver compreso la rottura rispetto al passato con l’interpretazione culturale e filosofica di questo nuovo strumento che avvicina i fondamenti della matematica alla logica pura, separandoli dalla dipendenza dalle figure che esistono esternamente a noi e sono quindi oggetti propri dell’esperienza. Dice Descartes che la geometria euclidea è addirittura contraddittoria con i suoi principi fondanti: Quale Geometria non altera l’evidenza del suo oggetto con principi contraddittori, quando ritiene che le linee siano prive di larghezza e le superfici di profondità, che poi compone tuttavia le une dalle altre … ? La geometria perde per Descartes il suo primato sull’aritmetica e l’algebra. Ora le cose risultano invertite con in più il fatto che l’algebra comprende in sé la geometria e costituisce una scienza generale delle grandezze, quella che Descartes chiama mathesis universalis, di cui la geometria è un aspetto importante che riguarda qualità sensibili che devono invece essere riportate a qualcosa di più astratto come le equazioni algebriche.

        La Géométrie non è un trattato costruito in modo ordinato, completo e sistematico. Su di essa pesa la premessa e quindi la volontà di far risaltare il Metodo più che i contenuti che vengono trattati. E’ una raccolta di risultati acquisiti come esemplificativi del suo Metodo che punta a farne risaltare la sua fecondità. L’opera è divisa in tre libri.

        Egli inizia la  trattazione del Primo Libro (Problemi di costruzione che richiedono solo cerchi e linee rette) assumendo, come aveva fatto Bombelli, un segmento come unità di misura per tutte le lunghezze e quindi gettando le basi del metodo delle coordinate. Successivamente, sul cammino aperto da Viète, mostra che è possibile riportare le operazioni aritmetiche ad altrettante costruzioni e fornisce soluzioni grafiche per le equazioni di secondo grado. Ma non fissa, come siamo usi fare oggi, un sistema di coordinate perpendicolari (usa spesso coordinate oblique), non fa uso di ascisse ed ordinate negative e non fa alcun esempio di una qualche curva tracciata a partire dalla sua equazione.

        Alla fine di questo Libro Descartes enuncia il Problema di Pappo:

Date tre, quattro o più linee rette in un piano, trovare la posizione dei punti (luogo) da cui si possono costruire un ugual numero di segmenti, uno per ciascuna retta data, che formino un angolo noto con ciascuna delle rette date e tali che il rettangolo formato da due dei segmenti così costruiti stia in un rapporto dato con il quadrato del terzo segmento costruito se le rette sono tre; invece se vi sono quattro rette, che stia in un rapporto dato con il rettangolo formato dagli altri due. Oppure, se le rette sono cinque o sei, che il parallelepipedo costruito con tre di esse stia in un rapporto dato con il parallelepipedo costruito con le altre. In tal modo il problema può estendersi a un qualsiasi numero di linee.

Problema di Pappo come illustrato da La Géométrie, Libro I [Géométrie; 44; 302]

        Tale problema non era stato ancora risolto compiutamente (Apollonio lo aveva risolto nel caso di tre rette e Pappo lo aveva posto 500 anni dopo nella sua forma più generale) e Descartes inizia qui a risolverlo nel caso di quattro rette per poi, dopo molti calcoli, terminare di farlo nel Secondo Libro nel caso di 5 rette in due casi particolari (4 rette parallele a medesima distanza tra loro e la quinta perpendicolare ad esse, come mostrato nella figura seguente).

[Géométrie; 44; 315]

        Nel caso delle tre o quattro rette il punto P descrive una conica mentre per 5 o 6 rette è una curva di terzo grado. Il grado della curva sale all’aumentare del numero delle rette. Descartes derivò l’equazione generica della conica e specificò le condizioni cui dovevano soddisfare i coefficienti perché la conica fosse una retta, una parabola, un’ellisse o un’iperbole. Per risolvere il problema (caso di 4 rette sviluppato nel Libro Primo) Descartes parte dal segmento di retta AB prendendolo come riferimento e  chiamandolo x. Il segmento di retta CB è chiamato y ed è il segmento che si disegna a partire da una possibile posizione di C che taglia AB con un angolo dato. Il problema richiede di trovare il luogo di C al variare della posizione delle rette e quindi degli angoli che esse formano tra loro. Descartes mostra con considerazioni geometriche semplici come possono essere espresse le lunghezze delle altre linee che partono da C (e cioè CR, CQ e CS) in funzione di x ed y. Imponendo la condizione CP.CR = CS.CQ ottenne l’equazione di una conica generica nella forma di un’equazione algebrica di secondo grado in x e del tipo:

y2 = Ay + Bxy + Cx + Dx2

dove A, B, C e D sono semplici espressioni algebriche che discendono dalle quantità note. A questo punto Descartes osserva che se scegliamo un valore qualunque di x, otteniamo un’espressione quadratica che ci fornisce y e quindi con riga e compasso possiamo costruirla. Prendendo infiniti valori di x si ottengono infiniti valori di y e, di conseguenza un numero infinito di punti C. Il luogo di tutti

Costruzione con riga e compasso (l’insieme dei due strumenti costituisce il compasso di Descartes) del luogo che discende dal Problema di Pappo nel caso di 4 rette. Inizio del Libro Secondo [Géométrie; 44; 305].

questi punti è rappresentato dall’equazione precedentemente riportata. Ma, dopo 22 pagine di conti (siamo al Libro Secondo), Descartes non ci fornisce il modo di tracciare il luogo ottenuto affermando: Non pretendo dire tutto. Ho spiegato come si trovano gli infiniti punti per i quali passa la retta, e con questo credo di aver detto abbastanza per descriverlo. Ed inoltre lascia in sospeso almeno un problema. Egli aveva infatti assunto solo valori positivi per la x e la y ma i valori che si ottengono dall’equazione trovata prevedono valori negativi. Ciò vuol dire che la curva trovata esiste anche, come diremmo oggi, in quadranti diversi dal primo. Descartes suppone però che il luogo si trovi nel primo quadrante accennando appena ad eventualità differenti.

        Il Secondo Libro della Géométrie ha per titolo “Sulla natura delle linee curve”. In esso, oltre alla parte relativa al Problema di Pappo del quale ho già detto, vengono distinte le curve in geometriche e meccaniche (il corrispettivo di quelle che a partire da Leibniz saranno chiamate rispettivamente algebriche e trascendenti). Era stata la risoluzione del caso semplice del Problema di Pappo che aveva indotto Descartes a a sospendere una soluzione più generale per passare a discutere della natura delle curve. Infatti egli si era accorto che all’aumentare del numero delle rette, il luogo diventa una curva più complessa di una conica, cioè da una curva di grado superiore a due. Dopo aver assolto questa incombenza egli ritornerà sul problema di Pappo nel caso già discusso delle 5 rette. Il problema è qui l’ammissione dell’esistenza di curve anche se non è possibile disegnarle con riga e compasso, curve che nascono non tanto da mezzi meccanici ma dal ragionamento. Questo argomento viene concluso con l’affermazione che le curve geometriche sono quelle che possono essere scritte mediante un’unica equazione algebrica di grado finito in x ed e che quindi possono essere costruite in modo continuo ottenendo un’infinità di punti (risulta qui implicitamente il concetto di funzione) ed in tale categoria vengono riconosciute curve come le coniche, la concoide di Nicomede e la cissoide di Diocle; sono invece curve meccaniche tutte le altre, come la spirale e la quadratrice di Ippia(11). Descartes si sofferma poi a catalogare le curve geometriche. La prima classe, quella più semplice, è formata da curve in x ed y di primo e secondo grado. Vi è qui l’affermazione, non dimostrata, che le sezioni coniche sono curve di secondo grado. La seconda classe di curve è quella costituita da equazioni di terzo e quarto grado; la terza classe è costituita da curve con equazioni di quinto e sesto grado; … Il raggruppare due gradi per ogni classe partiva dalla convinzione, sbagliata, che fosse sempre possibile ridurre di un grado una data equazione (quando sia nota una radice x = a, mediante la divisione per  a) come accadeva per quelle di quarto grado riducibili al terzo (queste elaborazioni si trovano discusse nel Terzo Libro). Nelle sue elaborazioni, Descartes introduce nuove curve come la parabola cubica (o cartesiana che è il  luogo del Problema di Pappo nel caso particolare delle 5 rette delle quali quattro parallele ed una perpendicolare come da ultima figura) e gli ovali (di Descartes, molto utili in ottica dal punto di vista delle forme che devono assumere i corpi trasparenti per essere utili al miglioramento della vista; tali ovali sono ottenibili con il metodo che utilizzano i giardinieri per disegnare le aiuole – vedi figura seguente); si indica il procedimento generale per la costruzione dei più diversi problemi: intersezione di una circonferenza e una retta, di una circonferenza e una parabola, di una circonferenza e di una curva di grado maggiore e così di seguito; si studiano infine

[Géométrie; 44; 325]

i problemi di perpendicolarità e tangenza alle curve in un modo per la verità farraginoso. Per trovare la perpendicolare ad una data curva algebrica in un suo punto fisso P, egli considerava sulla curva un punto variabile Q e considerava poi l’equazione del cerchio avente il proprio centro variabile sull’asse delle ascisse (il solo che Descartes utilizzava ed osservo in proposito che i termini ascissaordinatacoordinate furono introdotti da Leibniz) e passante per P e Q. Uguagliando poi a zero il discriminante dell’equazione che determina l’intersezione del cerchio con la curva data, viene trovato il centro del cerchio quando Q coincide con P. Trovato il centro si trovano facilmente  tangente (il cerchio deve avere due intersezioni coincidenti con la curva nel punto di tangenza e la tangente sarà la perpendicolare al raggio in quel punto) e perpendicolare alla curva nel punto P. Riguardo alla determinazione della tangente, Descartes illustra prima il suo metodo con due esempi (ellisse e parabola) quindi lo generalizza. Al di là di quello che ho detto c’è una idea davvero fondamentale nel suo procedimento: l’ammissione che nel punto di tangenza vi sia una doppia intersezione tra retta tangente e curva. 

        Si può in conclusione dire che questo Secondo Libro è quello che contiene i risultati più importanti e più vicini alla moderna concezione di geometria analitica.

        Il Terzo Libro della Géométrie ha per titolo “Sulla costruzione di problemi solidi e supersolidi” (implicanti cioè problemi di grado maggiore o uguale al terzo). Il titolo è deviante perché questo libro ha carattere eminentemente algebrico e si occupa della teoria generale delle equazioni integrando in un quadro sintetico tutti i progressi accumulati dalla matematica negli ultimi due o tre secoli. In pratica è trattata la soluzione delle equazioni di grado superiore al secondo mediante intersezioni di curve. Si tratta però della riproposizione dei lavori dei grandi algebristi italiani del Cinquecento con svariati contributi originali tanto che pare esagerato il giudizio di Leibniz sull’intera opera: «Descartes non ha scoperto nulla nel campo dell’algebra, giacché la speciosa appartiene a Viète; la risoluzione delle equazioni del terzo e del quarto grado, a Scipione Dal Ferro e a Luigi da Ferrara [Lodovico Ferrari, ndr]; la riduzione di una equazione ad un polinomio uguagliato a zero, ad Harriot l’inglese; il metodo delle tangenti, o dei massimi e minimi a Fermat».

        Più in dettaglio in quest’ultimo libro, Descartes: definisce una equazione e mostra come, facendo passare tutti i membri al primo termine ed uguagliando a zero, si riesca a lavorare meglio; discute su cosa è una radice e quante radici reali (chiamando vere le positive e false le negative) e quante immaginarie deve avere un’equazione; mostra come sia possibile scrivere un’equazione sotto forma di prodotto di radici; enuncia quella che è nota come la “regola dei segni di Descartes” (che era già nota e nemmeno importante e che Descartes enuncia così: “in ogni equazione algebrica vi possono essere tante radici vere quante sono le variazioni dei segni + e – che si incontrano; e tante false quante volte due segni + o due segni – si susseguono); fornisce il metodo per la risoluzione grafica di equazioni complete di terzo e quarto grado e per risolvere equazioni di sesto grado con l’ausilio di una parabola e della sua cubica; … Tutte le trattazioni sono molto concise perché, come egli dice, ha voluto solo esemplificare dicendo molto in poco senza scrivere un grosso libro. E conclude quindi, al suo solito: E spero che i posteri mi saranno grati non soltanto di quanto ho loro spiegato, ma anche delle cose che ho volutamente omesso per lasciar loro il piacere di inventarle.

6 – LA DIOPTRIQUE
 

        E’ questa esemplificazione del Metodo che lo stesso Descartes considera come la più importante. Alla Dioptrique egli dedica ogni cura e tutto il suo tempo tanto che l’opera può essere considerata un vero e proprio Trattato di Ottica, più sistematico e meno frammentario della Géométrie. Inoltre, contrariamente che la Géométrie, Descartes si pronone qui di fare opera divulgativa tale che possa essere usata anche dagli artigiani senza preparazione specifica ma che hanno avuto un ruolo fondamentale nella realizzazione del telescopio. E’ probabilmente quest’ultimo aspetto che gli impedisce una corretta applicazione del Metodo che ha illustrato nella premessa dei Discours. Ci si sarebbe aspettati prima una discussione sulla natura della luce e solo dopo la necessità della sua rifrazione. Egli invece ricorre a paragoni ed esempi di vita quotidiana, utili didatticamente ma lontani dal Metodo.

Poiché la realizzazione delle cose che dirò dipende dal lavoro degli artigiani che normalmente non hanno studiato, io m’imporrò di rendere comprensibile a tutti e di non omettere nulla né supporre come noto, ciò che uno dovrebbe aver appreso da altre scienze. E perciò io inizierò dalla spiegazione della luce e dei suoi raggi; quindi, dopo aver descritto brevemente le parti dell’occhio, mi soffermerò in cosa consiste la visione; ed infine, dopo aver fatto una rassegna di tutte le cose che possono perfezionarla, spiegherò come esse possono essere realizzate nelle invenzioni che illustrerò [Dioptrique; 12; 100]

        E Descartes passa a dare le analogie che gli occorrono per illustrare la natura della luce, tutte le sue proprietà che l’esperienza ci ha fatto conoscere e per dedurne tutte le altre.

         La prima analogia che Descartes fa è quella della persona che si aggiri di notte senza alcuna illuminazione o di un cieco (l’analogia risale a 2000 anni prima). La luce è come un bastone nelle mani di un cieco: l’azione vivace che passa attraverso l’aria ed arriva ai nostri occhi agisce nello stesso modo che la resistenza fatta da un bastone di un cieco quando incontra dei corpi. In questa visione i colori non sono propri dei corpi ma del diverso modo in cui i corpi riflettono il movimento della luce per rinviarcelo agli occhi. E ciò, ancora con l’analogia del bastone, corrisponde al fatto che il bastone si accorge di toccare un albero, una pietra, dell’acqua, …

Per poter fare un paragone vi invito a riflettere come la luce, nei corpi così detti luminosi, è soltanto un certo movimento o una azione molto rapida o molto viva che passa davanti ai nostri occhi per mezzo dell’aria o di altri corpi trasparenti, come il movimento o la resistenza dei corpi incontrati dal cieco passano verso la sua mano grazie al bastone. E ciò vi impedirà di considerare strano che la luce possa estendere i suoi raggi, in un solo attimo, dal sole fine a noi: sapete infatti che l’azione con cui si muove una delle estremità del bastone passa istantaneamente all’altra estremità, e la stessa cosa dovrebbe accadere anche se tra la terra e il cielo esistesse maggiore distanza di quanta ne esiste. E neppure vi stupirete vedendo, per mezzo suo, ogni specie di colore; potreste anche credere che nei corpi, così detti colorati, questi colori non sono che il diverso modo in cui i corpi ricevono e rinviano la luce verso gli occhi, pensando che per il cieco le differenze notate, mediante il bastone, tra alberi, pietre, acqua e altre simili cose, non sono molto rilevanti dalle differenze esistenti tra il rosso,  il giallo, il verde e tutti gli altri colori. Ma le differenze in tutti questi corpi sono soltanto i diversi modi di muoversi o di resistere ai movimenti di quel bastone. E da ciò potrete dedurre che non è necessario supporre il passaggio di qualche cosa di materiale dagli oggetti agli occhi, per permetterci di vedere i colori e la luce: non è neppure necessario che in tali oggetti si dia qualche cosa di simile all’idea o ai sentimenti che ce ne facciamo, o per lo meno che nulla dei corpi sentiti dal cieco debba passare lungo il bastone fino alla mano, e che la resistenza o il movimento di quei corpi, unica causa dei sentimenti che prova, non abbiano alcuna somiglianza con le idee che se ne fa. Così il vostro spirito sarà liberato da tutte quelle immagini svolazzanti nell’aria, chiamate specie intenzionali, che tanto tormentano la immaginazione dei filosofi. E potrete anzi facilmente decidere, relativamente al luogo da dove l’azione proviene, quale sia la causa del sentimento della vista. Come il cieco può sentire i corpi che lo circondano, non soltanto per l’azione di quei corpi che si muovono contro il bastone, ma anche per l’azione della mano, quando questi corpi gli resistono, cosi anche gli oggetti della vista si possono sentire non soltanto per l’azione che, esistente negli occhi, tende verso essi. Tuttavia poiché questa azione non è altro che la luce, dobbiamo rilevare che può trovarsi soltanto negli occhi di quelli che vedono nelle tenebre della notte, come i gatti; quanto agli uomini, vedono generalmente soltanto per l’azione che viene dagli oggetti: infatti l’esperienza ci mostra che sono gli oggetti che devono essere luminosi o illuminati per essere visti, e non gli occhi per vederli… (12)[Dioptrique; 12; 101-102]

        Con la stessa analogia Descartes ci fornisce anche la sua concezione sul modo di propagazione della luce dalla sorgente all’osservatore che viene considerato istantaneo:

Per poter fare un paragone vi invito a riflettere come la luce, nei corpi cosiddetti luminosi, è soltanto un certo movimento o una azione molto rapida o molto viva che passa davanti ai nostri occhi per mezzo dell’aria o di altri corpi trasparenti, come il movimento o la resistenza dei corpi incontrati dal cieco passano verso la sua mano grazie al bastone. E ciò vi impedirà di considerare strano che la luce possa estendere i suoi raggi, in un solo attimo, dal sole fine a noi: sapete infatti che l’azione con cui si muove una delle estremità del bastone passa istantaneamente all’altra estremità, e la stessa cosa dovrebbe accadere anche se tra la terra e il cielo esistesse maggiore distanza di quanta ne esiste [Dioptrique; 12; 101]

        Subito dopo questa viene una seconda analogia che serve a Descartes per spiegare la trasparenza dei corpi e la propagazione della luce nella materia. Si serve di un tino, con due fori A e B come in figura, pieno di grappoli ed acini

[Dioptrique; 12; 103]

 d’uva. Quando si pigia il tutto dai fori esce del liquido. Egli dice che,

poiché non esiste vuoto in  Natura, come quasi tutti i filosofi ritengono, e poiché non vi sono pori che si possano apprezzare negli oggetti che ci circondano, l’esperienza può mostrarci chiaramente che questi pori devono risultare riempiti di qualche materia sottilissima e fluidissima, estendentesi senza soluzione di continuità dagli Astri fino a noi [Dioptrique; 12; 103]

        Prima di proseguire qui è d’obbligo fermarsi per fare alcune osservazioni(13). Descartes fa delle assunzioni molto importanti che avranno notevoli ricadute nella storia del pensiero non solo scientifico. Ciò che egli dice non è certo una novità: si inserisce nella lunga tradizione aristotelica. La prima è la questione della luce che, in quanto propagantesi istantaneamente, è ritenuta avere una velocità infinita. E questa ammissione va di pari passo con l’altra, con l’azione a contatto tra acino ed acino (tra corpuscolo e corpuscolo, come vedremo) e con il rifiuto della possibile esistenza del vuoto. Non si capisce bene, se non come un’acritica accettazione della tradizione, questa posizione di Descartes. Queste affermazioni di principio da dove gli provengono ? Quale parte del suo Metodo le ammette ? Egli dice esplicitamente nelle regole che si era dato nel Metodo, addirittura al primo posto: Non accettare ami nulla per vero che io non sapessi chiaramente come vero. Aveva aggiunto poi che occorreva sperimentare ma ecco che, come capita qualcosa davvero complesso e sul quale vi era solo l’affermata tradizione, Descartes va tranquillamente sulla via della tradizione e quindi di un pregiudizio dannoso per ogni sviluppo futuro.

        Descartes continua con la sua analogia portandola oltre. Egli dice che (si veda la figura precedente) come le parti del vino che sono in C  tendono a scendere in linea retta verso A nel medesimo istante in cui questo foro è aperto e nello stesso tempo per il foro B, e che le parti di vino che sono in D ed in E tendono anch’esse, nello stesso istante ad uscire attraverso questi due fori, senza che nessuna di queste azioni sia impedita dalle altre né dalla resistenza dei grappoli che sono nel recipiente. Anzi, questi grappoli, nonostante siano pressati, non scendono come il vino verso i fori e gli acini dell’uva nel tino rappresentano nel suo modello le parti più grossolane dell’aria. Così tutte le parti della materia che tocca il lato del Sole volto verso di noi, tendono in linea retta verso i nostri occhi nel medesimo istante che sono aperti, senza impedirsi le une con le  altre e anche senza essere impedite dalle parti grossolane dei corpi trasparenti, che  sono tra i due.

        Descartes passa poi a definire i raggi luminosi come quelle infinite linee rette, che nell’analogia sono i segmenti di retta – EB, CB, DB ed EA, CA, DA – disegnati in figura, che si dipartono dai corpi luminosi verso i corpi illuminati. I raggi luminosi sono le rette lungo le quali si esercita l’azione della luce. Tali raggi sono poi deviati o smorzati quando incontrano un ostacolo, come fa una pietra o una palla. Egli, dopo aver detto che i raggi vanno trattati come si trattano i movimenti di pietre e palle, inizia ad introdurre la sua terza analogia che gli serve appunto per la spiegazione di riflessione e rifrazione. Secondo questa terza analogia, la luce è assimilata ad una palla da tennis (in ogni figura della Dioptrique vi è un omino con una racchetta che scaglia una palla in modo che la sua traiettoria sostituisca quella 

della luce) quindi ad un corpuscolo e, contemporaneamente, non è corpuscolare (senza essere ondulatoria). Da una parte, cioè,  la sua vorrebbe essere una teoria emissionistica, dall’altra il modello esplicativo della luce di Descartes implicava che la luce si propagasse tramite il mezzo. Data la sua teoria dell’universo tutto pieno, sarebbe stata impensabile una eventuale propagazione di corpuscoli nel vuoto. Vedremo subito a quale contraddizione porterà la sua teoria a proposito di velocità di propagazione della luce in differenti mezzi, Cartesio afferma che la luce  viaggia più velocemente nell’acqua e nel vetro che non nell’aria, viaggia cioè più velocemente nei mezzi più densi. Ma prima di discutere questa vicenda, descrivo meglio le teorie di Cartesio sulla luce. Ogni qualcosa che si trova sulla Terra è permeata da questo etere che entra nei meandri più reconditi, nei suoi pori, come dice Cartesio. All’interno di questi pori le particelle di etere non stanno ferme ma ruotano e deviano, con alcune regole. Quando si muovono di moto rettilineo, la loro velocità propria di rotazione è all’incirca uguale a quella di rotazione. Ma quando ci si trova sulla superficie di separazione tra i corpi in considerazione ed il loro esterno allora le particelle di etere, che si trovano nella condizione di non avere loro simili nelle vicinanze, a seconda del verso di rotazione che si trovano ad avere, avranno una velocità di traslazione che diventerà più o meno grande di quella di traslazione. Da queste variazioni di velocità vengono fuori i differenti colori che sono appunto spiegati con le diverse velocità di rotazione e di traslazione delle particelle d’etere (e questo è il modo con cui vengono spiegati i colori con la seconda analogia). Il colore è quindi una conseguenza della condizione del moto. Con un disegno di D’Agostino è possibile avvicinarsi a comprendere l’argomento: le situazioni del primo e del secondo disegno sono

identiche, cambia solo  il verso di rotazione della particella ma, a questo cambiamento di verso, corrisponde un cambiamento sostanziale nel moto finale della particella medesima.  Egli dice che ci sono corpi  …che riflettono i raggi senza portare alcun mutamento alla loro azione, i bianchi, mentre altri vi apportano un mutamento simile a quello che subisce una palla quando viene frisata, quelli cioè che sono rossi o gialli o azzurri o di simili colori… I colori, pertanto, sono dovuti al diverso modo con cui i corpi ricevono la luce e la riflettono agli occhi di chi vede di modo che le percezioni visive sono dovute a “corpuscoli” che colpiscono i sensi che a loro volta inviano informazioni all’epifisi. Il mondo circostante viene quindi semplificato e ridotto a semplici immagini con una prima chiara distinzione tra l’oggetto del conoscere ed il soggetto che lo fa. La cosa risulterà insoddisfacente a quasi tutti i contemporanei (Hooke, Huygens, Boyle, Newtonma questo è altro discorso.

        Il discorso della Dioptrique prosegue ma le cose si fanno confuse (Huygens confesserà di non aver capito quale sia l’idea di Descartes sulla natura della luce, se essa sia materiale o se consista in solo movimento. Certamente in molti furono d’accordo nel ritenere che la Dioptrique piuttosto che essere un’esemplificazione del Metodo è stato un affossamento del medesimo). In un primo tempo Cartesio sembra aderire alle concezioni dei pitagorici: qualcosa fuoriesce dai nostri occhi, colpisce gli oggetti e, tornando indietro, ci annuncia gli oggetti medesimi. Più oltre però egli sembra virare verso le concezioni platoniche, quando dice:

gli oggetti della vista possono essere sentiti non soltanto per mezzo dell’azione che, essendo in essi, tende verso gli occhi, ma anche per mezzo di quella che, essendo negli occhi, tende verso essi. Tuttavia, poiché quest’azione non è altro che la luce, bisogna notare che si trova soltanto negli occhi di coloro che possono vedere nelle tenebre della notte, come i gatti; e che gli uomini ordinari non vedono che per l’azione che viene dagli oggetti

       Passiamo ora alla trattazione che Descartes fa della riflessione, della rifrazione e della riflessione totale(14) (ma, come osserva Ronchi, non della luce ma delle palle da tennis che, alla fine del discorso, ritornano luce senza tener conto di quella sciocchezza che è la gravità). Per la riflessione la cosa era semplice ed era stata trovata e confermata più volte in passato. Egli ci offre la figura già vista del tennista ed una breve discussione in cui si afferma che gli angoli di incidenza e di riflessione risultano uguali. Per la rifrazione abbiamo la solita figura del tennista con la seguente ipotesi: supponiamo che una palla, spinta da A verso B, incontri nel punto B non più la superficie della terra, ma una tela CBE, così debole e sottile che la palla abbia la forza di romperla e di attraversarla, perdendo solo una parte della sua velocità. Questa analogia prevede che la palla, entrando nella

sostanza che è al di là della tela perda velocità e, a seguito di tale perdita, dice Descartes, la palla andrà a finire in I e la cosa è manifestamente sbagliata oltre ché contraddittoria come, con estrema chiarezza, osserverà Fermat in una lettera a Mersenne. L’argomento di Fermat è il seguente: entrando in una sostanza nella quale la velocità della palla diminuisce, essa dovrebbe andare a finire in un punto compreso tra D e G; l’andare in I prevede che la palla, entrando nella tela, aumenti la sua velocità. La supposizione che fa Descartes della luce che viaggi a minore velocità nell’aria che in una sostanza più densa, come l’aria è esattamente il contrario di ciò che accade.

        Ma vediamo in dettaglio ciò che dice Descartes in riferimento alla figura seguente che ricalca la precedente ma è più chiara.

Supponiamo che la palla, scagliata da A, colpisca la tela (o passi da aria ad acqua) in B e perda qui metà della sua velocità. Supponiamo poi, con linguaggio moderno, di seguire le componenti orizzontali e verticali della velocità separatamente (supponiamo che il suo movimento differisca completamente dalla sua determinazione a muoversi da un lato piuttosto che dall’altro, con la conseguenza che le loro quantità devono essere esaminate separatamente [Dioptrique; 12; 113]). A questo punto Descartes afferma che la componente orizzontale del moto della palla (la determinazione della palla a muoversi da sinistra a destra) non cambia a seguito dell’urto contro la tela, mentre sarà l’altra componente, quella verticale (che fa tendere la palla dall’alto in basso) che cambierà in qualche modo a seguito dell’urto con la tela. Poiché la palla perde metà velocità nell’urto, necessiterà il doppio del tempo per raggiungere qualunque punto della circonferenza (come D o I) di quello che impiega per andare da A a B. Nel doppio del tempo percorrerà due volte la distanza da sinistra a destra (la componente orizzontale, dopo l’urto, sarà il doppio di quella prima dell’urto, cioè BE = 2 CB e ciò comporta che la palla deve andare a finire in I.

        Descartes a questo punto apre una parentesi relativa alla palla lanciata in direzione HB che non subisce deviazione, andando a finire in G e sulla palla lanciata con un angolo î maggiore di quello di figura tanto da aversi la riflessione totale, con la palla che viene riflessa anziché rifratta.

        E continua: Ma facciamo qui ancora un’altra ipotesi e pensiamo che la palla, essendo stata in primo luogo spinta da A verso B, sia spinta di nuovo, trovandosi nel punto B dalla racchetta CBE [dalla superficie della tela o dell’acqua verso il basso, ndr], in modo da aumentare la forza del suo movimento per esempio di un terzo [sarebbe stato corretto dire della metà perché, come mostra Dijksterhuis (pag. 227), dire un terzo è un errore, ndr], di modo che essa possa fare il cammino, che prima faceva in tre momenti , in due momenti. Ciò vuol dire, come prosegue Descartes, che la palla può camminare, ad esempio, dentro l’acqua, più veloce che nell’aria. E, in analogia con quanto visto prima, poiché ora la velocità aumenta e non diminuisce, la palla andrà a finire in I che questa volta è situato nell’arco DG (vedi figura seguente).

        Dice Cartesio (quasi letteralmente) che, poiché la palla va da A a B ed arrivata in B prende la direzione I, vuol dire che la forza  con cui entra nel mezzo più denso (quello che si trova al di sotto della linea CBE), sta a quella con cui la palla esce dal corpo meno denso (quello che è al di sopra della suddetta linea), come la distanza che c’è tra AC ed HB sta a quella che c’è tra HB ed FI, cioè come la linea CB sta a BE. Ora, poiché AH = CB ed EB = IG, il rapporto CB/BE equivale, in linguaggio moderno, al rapporto tra i seni rispettivamente degli angoli di incidenza ABH e di rifrazione GBI. E la legge della rifrazione esprime proprio, come già detto, la costanza di questo rapporto per una data coppia di mezzi. Il fatto che Descartes non parli di seni ma si limiti a rapporti geometrici può essere in linea con il suo proposito di voler spiegare agli artigiani ai quali indica la misura di lunghezze piuttosto che grandezze un poco complesse come seni di angoli.

        Dopo questa discussione Descartes fa tutta una serie di costruzioni geometriche fino ad arrivare a disegnare due circonferenze affiancate e con raggi diversi(15).

        Per ciò che a noi occorre è più utile il disegno che prevede due semicirconferenze con raggi diversi e che corrisponde esattamente al ragionamento di Descartes. Attenzione che, come mostra Shea, questo è esattamente il ragionamento che aveva fatto Claude Mydorge tra il 1626 ed il 1631 a Parigi e del quale aveva messo al corrente Mersenne con una lettera datata tra il febbraio e marzo 1630; come suo solito Mersenne aveva informato della cosa Descartes e Descartes ne fa buon uso, come al solito anche qui, non citando mai la fonte.

        Come si può apprezzare,  la semicirconferenza in basso ha raggio maggiorato rispetto a quella in alto. E la cosa risponde ad un preciso ragionamento, al solito, tutto a priori. Consideriamo un tempo molto breve, tempo nel quale avviene il fenomeno (e qui sarebbe d’interesse capire l’istantaneo come si coniuga con un tempo piccolo ma finito anche perché non abbiamo ancora a disposizione gli infinitesimi e comunque Descartes non ne fa cenno). Dividiamo questo tempo in due parti uguali. Nella prima parte di tempo la luce si propaga da A a B. Nella seconda parte di tempo, da B a C. E perché accade questo ? Perché cioè il tragitto BC è maggiore di quello AB ? Perché c’è l’ammissione a priori che la luce cammini a velocità maggiore nei mezzi più densi (più veloce nel vetro o acqua che non nell’aria)(16). E quanto più veloce ? Proprio la quantità necessaria per fare sì che il segmento AP sia uguale a PQ ! E perché ? Ma perché la componente orizzontale di tale velocità (vocabolario di oggi), cioè AP e QC , si è conservata (infatti AP = QC). Girando il discorso per far sì che AP sia uguale a PC è necessario che risulti BC > AB. E quella costante n1,2 che c’era nella legge di Snell(17), che cosa vuol dire ora ? Essa misura la maggiore velocità della luce nei mezzi più densi. La cosa non è da poco perché permette di avere la possibilità di sottoporre ad esperienza l’intera legge ed i presupposti teorici che erano dietro di essa (un vero e proprio experimentum crucis, come avrebbe detto Newton). Si tratterà di capire la correttezza dell’ipotesi di luce più veloce nei mezzi più densi.  

         In una opera finita di scrivere posteriormente alla Dioptrique, e cioè Il mondo o Trattato sulla luce (composta tra il 1629 ed una data non precisata ma posteriore al 1637 in quanto si fa qui riferimento alla Dioptrique che è del 1637, e non pubblicata in vita), Cartesio non aggiunge praticamente nulla a ciò che aveva scritto nella Dioptrique(18).

        Il lavoro di Descartes prosegue con argomenti dei quali non mi occupo. Si parla di fisiologia dell’occhio, dei sensi, fino a suggestive figure che ci raccontano

 come si formano le immagini nella retina, per poi passare al cervello.      

        Arrivati a questo punto si è chiusa la parte didascalica che Descartes ha dedicato  agli artigiani e si può passare alla tecnica che permette di costruire gli strumenti ottici, fine dal quale era partito ed al quale aveva già dato un contributo nella Géométrie, quando aveva trattato degli ovali. Egli dice

 Tutto il nostro modo di comportarci nella vita dipende dai vostri sensi, e fra questi quello della vista è il più universale ed il più nobile, e non vi è dubbio che le invenzioni che possono servire a migliorarlo siano della più alta importanza. E nulla può potenziarlo più di quanto possa farlo quel meraviglioso cannocchiale, in uso da pochissimo tempo, ma che ci ha già permesso di scoprire nuovi astri nel cielo e nuovi oggetti al di sopra della terra, molto più numerosi di quanti se ne siano visti fino ad ora: in modo di dare una più ampia e più perfetta conoscenza della Natura

        Sul modo di costruzione degli strumenti, anche secondo lo storico francese Pierre Mesnard, egli si rifece agli studi del napoletano Giovanbattista Della Porta (Magia Naturale 1558) e, soprattutto, a quelli del milanese Gerolamo Sirturi (Telescopium 1618) che sono identici a quelli riportati da Descartes. Di suo vi sono i tentativi di ottenere un cannocchiale mediante riempimento del tubo, al quale è applicata una pseudocornea, di acqua e, in una prova successiva, mediante un blocco di vetro(19). Ciò al fine di rendere lo strumento simile agli umori che sono nell’occhio con una visione stoica dei problemi secondo cui dobbiamo estendere le facoltà dei sensi.

7 – LES MÉTÉORES

        L’ultima esemplificazione del Metodo che troviamo nei Discours è lo scritto le Météores che si occupa di fenomeni meteorologici. Si ritrovano qui alcune cose che Descartes aveva scritto nel suo Traité du Monde o Traité de Lumière scritto tra il 1631 e 1633 ma pubblicato postumo nel 1664 per l’intervenuta condanna a Galileo che spaventò Descartes. Ricordo che nei primi nove mesi del 1629 Descartes aveva redatto il Trattato di metafisica o Della divinità che però non ci è pervenuto, anche se si può immaginare che il suo contenuto sia stato almeno in parte riversato nel Discours de la méthode. Venuto a conoscenza di un fenomeno di ottica (i pareli, quei dischi luminosi situati a destra e sinistra del Sole e dovuti a rifrazione dei raggi solari attraverso le nuvole) osservato a Frascati dal gesuita Scheiner, sospese la redazione del Trattato per dare la spiegazione del fenomeno (che poi ritroveremo nelle Météore). Discuterò nei paragrafi seguenti il Traité du Monde ma ora mi serve dire che in questo lavoro viene presentata la concezione della materia di Descartes. Si sente nelle Météores da un lato la ripresa dei temi metafisici e dall’altro dei temi propri della sua teoria della materia. Egli tenta qui di dare un fondamento metafisico alla teoria della materia e, per farlo, come nella Dioptrique, non sviluppa completamente il tema (come aveva fatto nel Traité du Monde) dà delle indicazioni d’insieme sulla struttura  dei corpi terrestri,  sui vapori e sulle esalazioni che essi provocano nell’atmosfera e che sono la causa dei fenomeni meteorologici. Come dice Dijksterhuis, “l’essenziale della teoria può essere ridotto al seguente assioma: tutte le differenze d’ordine fisico o chimico che i corpi presentano tra loro possono essere ricondotte a caratteristiche di forma e di grandezza delle loro parti costituenti (che si distinguono solo per forma e grandezza) e al modo in cui esse subiscono l’azione della materia sottile che riempie i loro intervalli e che differisce soltanto quantitativamente dalle specie più grosse. Un tale assioma deriva in maniera necessaria dalla tesi che l’essenza della materia è l’estensione, che materia e spazio sono identici e che il vuoto è inconcepibile. E questa dottrina poggia a sua volta su una concezione che nega carattere di oggettività a tutte le qualità che siano diverse da quelle geometriche e cinematiche. E’ chiaro che l’autore vede nei processi materiali l’ordre che ne rende possibile la trattazione deduttiva; quanto ai processi meteorologici, essi, come mostra il saggio, sembrano per loro natura prestarsi difficilmente alla misura.
      Quest’ultima interviene in un solo momento, nel quale è rilevabile un’applicazione più diretta dei principi del metodo: a proposito della famosa teoria dell’arcobaleno, che Descartes giunge a formulare combinando le teorie meteorologiche con quelle ottiche della Dioptrique, e che costituisce uno dei suoi contributi più importanti alla fisica. Come è naturale attendersi, essa ha più valore dal punto di vista geometrico che dal punto di vista dell’ottica fisica: la teoria del cromatismo, infatti, che serve a spiegare i colori dell’arcobaleno, è insufficiente.
        Tuttavia il saggio riveste, malgrado le spiegazioni a volte insufficienti, una grande importanza storica: infatti fa rientrare, in modo coerente e sistematico, nell’àmbito del pensiero scientifico tutti i fatti meteorologici nei quali assai spesso non si vedevano che fenomeni di carattere soprannaturale, inspiegabili dal punto di vista fisico”.

        Ma torniamo al fenomeno (osservazione di quattro paraeli(20)) scoperto da Christoph Scheiner a Frascati la sera del 20 marzo 1629, fenomeno che venne fatto conoscere in Francia ed Olanda da Nicolas Claude Fabri de Peirsec con varie lettere che contenevano la figura seguente, che descriveva il fenomeno. La visione dell’arco intorno al Sole, che gli somigliava ad un arcobaleno, eccitò Descartes al

punto da indurlo a lasciare un lavoro che stava scrivendo per dedicarsi a tale fenomeno. Egli era mosso dall’idea che se fosse riuscito a capire la natura dell’arcobaleno, avrebbe potuto non  solo spiegare i paraeli ma praticamente tutta l’ottica. Si mise subito al lavoro ma dovette aspettare proprio le Météores (1637) per dar conto dei suoi studi. Infatti troviamo lo studio dell’arcobaleno nel discorso ottavo, De l’arc-en-ciel, delle Météores e vi è subito da osservare che sarebbe stato forse d’interesse legare questo argomento alla Dioptrique ma probabilmente ciò non è avvenuto perché Descares non ha riletto l’insieme dei suoi lavori prima della pubblicazione. In ogni caso questo questo lavoro di Descartes è importante solo per questo discorso ottavo. Il resto, come già accennato, è un’utile mettere insieme i vari fenomeni meteorologici ma senza alcuna trascendenza. Occupiamoci quindi di questo arcobaleno che viene così introdotto da Descartes:

L’arco iris è una meraviglia della natura molto intrigante, ed è da tanto tempo che che si sono avuti ingegni che hanno tentato di dargli una spiegazione, senza successo, che non ho potuto scegliere tema migliore per mostrare che con il mio metodo possiamo arrivare a conoscere ciò che è sfuggito a tutti gli autori le cui opere sono giunte fino a noi.

        Come molti studiosi, fin da tempi remoti, avevano fatto, Descartes fa riferimento all’arcobaleno che si origina in particolare condizioni quando si beve ad una fontana con l’osservazione empirica del fenomeno che si costruisce sulle goccioline d’acqua diffuse nell’aria. Descartes dice che, per studiare il fenomeno, ha allora pensato di costruirsi una grande goccia d’acqua riempiendo con acqua un vaso di cristallo di grande dimensioni. Anche qui la cosa era stata già fatta da vari studiosi precedenti, tra cui Witelio (1230 – ?) ed il siciliano Francesco Maurolico (1494-1575). Il polacco Witelio era autore di un trattato di prospettiva (Vitellionis perspectivae libri decem, Norimberga 1533) ispirato a quello dell’arabo Alhazén. Maurolico aveva invece portato avanti studi molto approfonditi sull’arcobaleno, particolarmente nei Problemata ad perspectivam et iridem pertinentia (1568, ma editi in Francia proprio nel 1611). In ogni caso Descartes sosteneva il vaso-goccia con la mano distanziata al massimo dal volto ed osservava che quando la muoveva girandola, gli appariva sempre una macchia brillante in un punto (nella parte bassa del recipiente) tale che la linea che univa tale punto all’occhio formava un angolo di 42° con la linea che univa l’occhio al Sole. Il risultato di Maurolico (45° ed anche la scoperta dei sette colori in luogo dei tre che fino ad allora erano dati) era migliorato, anche se Maurolico non è citato, ma il fatto rilevante non è questo caso particolare ma la generalizzazione che Descartes fa: tutte le gocce sospese nell’aria devono comportarsi in tal modo. Come osserva Shea, l’audacia di tale ipotesi nasce dal fatto che non si tiene conto degli effetti d’insieme e quindi della deformazione delle gocce quando sono in grande quantità e premono tra loro.

        A questo punto arriviamo alla nota figura che Descartes ci offre. Il cerchio che si osserva in alto di un arcobaleno è il suo recipiente (sferico e di cristallo) pieno d’acqua. Come una grande goccia situata materialmente lì per spiegare le riflessioni e le rifrazioni della luce che presiedono il fenomeno.

L’arcobaleno di Descartes [Météores; 12; 186](21)

        Riferendoci alla figura ed in particolare al cerchio-goccia, la macchia che Descartes aveva visto nel recipiente-goccia è, nel disegno, situata nel punto D del cerchio quando l’angolo DEM (che è uguale all’angolo FDE) è di 42°. Dice Shea:

Se quest’angolo aumentava di poco, la macchia spariva, ma se diminuiva un poco, non si cancellava immediatamente ma si divideva in due bande meno brillanti nelle quali si percepisce il giallo, l’azzurro ed altri colori. Descartes osservava anche una macchia rossa più tenue quando l’angolo KEM era di circa 52°. Quando tale angolo aumentava o diminuiva, accadeva la stessa cosa che avveniva in D, solo che all’inverso., cioè un leggero aumento produceva più tenuamente altri colori ed una leggera diminuzione cancellava tutti i colori. Descartes concludeva che, quando l’atmosfera è satura di gocce d’acqua, debbono apparire macchie rosse  in tutte le gocce che si trovano in punti tali che la linea che le unisce con l’occhio formi un angolo di 42° o 52° con la linea EM, di modo che si produrrà un arcobaleno primario che passerà per D (con il colore rosso nella sua parte superire ed il violetto in quella inferiore), ed un arcobaleno secondario più in alto, con i colori invertiti (il rosso nella parte inferiore ed il violetto nella superiore). [Shea; 6; 285-286]

        A questo passaggio, Descartes ne fa seguire un altro, di grande interesse, il seguire la traiettoria del raggio di luce che entra nel cerchio-goccia in B, prima di uscire in D. Nel far questo suppose, e la cosa è audace, che il vetro del recipiente con gli effetti rifrattivi che comporta non c’entrasse nel fenomeno che si poteva discutere come se si avesse solo acqua. Anche se il tutto è implicito e non abbiamo una qualche discussione della cosa. Interponendo successivamente dei corpi opachi nelle varie traiettorie della luce, capì che il raggio incidente AB si rifrangeva entrando nel recipiente in B, avanzava poi verso C, dove si rifletteva completamente fino ad arrivare a D dove si rifrangeva di nuovo quando usciva. Il fenomeno dell’arcobaleno primario era dunque dovuto ad una riflessione e due rifrazioni nelle gocce sospese nell’aria. Descartes passò poi a spiegare l’arcobaleno secondario trovando che esso era dovuto a due riflessioni e due rifrazioni nelle gocce.

        L’insieme di queste elaborazioni potrebbe essere conclusivo di un lavoro brillante ma Descartes ce lo presenta solo come una discussione preliminare di una domanda che viene subito posta: perché appare una macchia rossa solo in quelle parti delle gocce che rispondono alla condizione già detta dei 42° ? oppure, che è lo stesso, perché le linee che formano quell’angolo si mantengono per ogni goccia sempre in modo da dare proprio quell’angolo per arrivare infine colorate all’occhio dell’osservatore mediante archi che rappresentano altrettante sezioni del cono visuale che ha il vertice nell’occhio ?

        Qui interviene ancora il modo contorto di operare di Descartes. Egli aveva in mano gli strumenti per risolvere il problema che erano le leggi della riflessione e della rifrazione (qui Snell avrebbe potuto risolvere il problema se solo avesse pensato ad applicare la sua legge della rifrazione alla spiegazione dell’arcobaleno). Ma non dice apertamente che utilizza queste leggi. Fa invece una esposizione tortuosa del suo modo di pensare per arrivare a dire che per risolvere la questione occorre passare attraverso lo studio della luce con il prisma, facendo finta di dimenticare che quest’opera viene dopo la Dioptrique in cui si è parlato diffusamente di rifrazione e di colori:

allora, al ricordare che un prisma o un triangolo di cristallo operano in modo che si vedano colori simili, centrai la mia attenzione in uno che avesse la forma MNP, le due facce MN ed NP del quale sono 

 piane ed inclinate l’una rispetto all’altra di un angolo di circa 30 o 40 gradi di modo che, se i raggi del sole ABC attraversano MN secondo angoli retti o quasi retti, in modo da non subire alcuna sensibile rifrazione, essi ne devono subire una assai grande nell’uscire attraverso NP  [Météores; 12; 188-189]

        Probabilmente, in accordo con quanto ipotizza Shea, anche qui Descartes vuole fare un percorso completo di dimostrazione del suo Metodo (ottava regola) e quindi dice che si è ricordato del prisma … per introdurlo qui come qualcosa di nuovo in un percorso di pensiero che non deve mai far ricorso ad altri pensieri o risultati. Ed il prisma gli serve proprio per ricreare un fenomeno analogo a quello che offre la natura al fine di poter studiare la natura attraverso lo studio di fenomeni anloghi.

        L’esperienza di figura mostra uno spettro ottenuto dalla rifrazione della luce solare dopo il passaggio nel prisma e nella fenditura DE. Lo spettro ha il rosso in F e l’azzurro in H. Da qui Descartes ricava varie conclusioni che estende automaticamente alle gocce d’acqua. D’interesse per il seguito de le Météores è il tentativo di capire perché il rosso è in F e l’azzurro in H. Qui non vi sono esperienze analoghe, non vi sono altri fenomeni da seguire ed interpretare, ogni spettro ha sempre un rosso da una parte ed un azzurro da parte opposta. Ed allora Descartes inizia a costruire teorie che però si rifanno a quel suo Traité du Monde o Traité de Lumière che, come accennato, tratterò nel prossimo paragrafo. Per ora mi serve solo dire che Descartes considera le particelle d’aria come sferiche e che la pressione si trasferisce, in un universo totalmente pieno, con azione a contatto da particella a particella per trasmettere anche le azioni della luce (l’azione o il moto di una certa materia sottilissima, della quale bisogna immaginare  le parti come piccole palline che ruotano nei pori dei corpi terrestri e queste palline possono ruotare in in diversi modi secondo le diverse cause che determinano tale rotazione; e questo l’ho già discusso nel paragrafo precedente). Ciò che accade, nella teorizzazione di Descartes, è che le palline alterano il loro moto rotatorio quando entrano in contatto con i punti D ed E della fenditura mostrata nella figura precedente. Tale modificazione del moto rotatorio delle palline di luce è all’origine dei colori che osserviamo. Poiché nella concezione della materia di Descartes le particelle di una medesima sostanza (in questo caso l’aria) devono avere tutte le medesime caratteristiche di forma e dimensione, l’unica cosa che è ammessa variare è la loro velocità e questa è la causa che viene trovata dal nostro autore. Egli fa il ragionamento che illustra con a figura seguente:

Supponiamo che YY sia la superficie di separazione tra aria ed acqua e si consideri la pallina di luce in alto a sinistra (si noti che dentro di essa vi sono, in un certo ordine, i numeri 1, 2, 3, 4), che indichiamo con 1234, spinta obliquamente da V ad X. Essa, quando colpisce YY, si mette a girare poiché la parte 3 della pallina frena entrando nell’acqua mentre la parte 1 segue per ancora un istante con la stessa velocità. Conseguenza è, come detto, che la pallina girerà in verso orario e cioè nell’ordine 1234. Immaginiamo ora che questa pallina sia circondata da quattro palline Q, R, S, Y delle quali Q ed R si muovono ancora alla velocità iniziale ed S e T sono già frenate. Allora Q, che preme con la sua parte 1 (non riportata in figura ma situata come nella pallina che partiva da V) sulla parte 4 di 1234 che sta entrando in YY, ed S che sostiene da sotto la parte 2, fanno aumentare la rotazione della pallina 1234, e le palline R e T non disturbano tale rotazione, infatti R è nella disposizione di andare verso X più velocemente che la pallina 1234, e T più lentamente. Queste sono le cose che dice Descartes e Shea osserva che qui vi è un lapsus perché sono Q ed R a far aumentare la rotazione di 1234 e non Q ed S. Si può aggiungere un’osservazione che ci riporta ad una concezione della luce che Descartes ci aveva fornito nella prima parte della Dioptrique. Lì Descartes ci aveva parlato di propagazione istantanea della luce ed anche se qui le parole che utilizza sono ambigue (egli non usa mai caratteristiche definite per le palline del tipo più velocepiù lenta … ma parla di tendono a muoversisono nella disposizione … Che vorrebbe dire infatti pallina di luce che va più piano o che va più lenta ? Tutto questo sembra in contraddizione con la precedente affermazione di propagazione istantanea della luce e sembra quasi si introducano elementi potenziali che originano da Parmenide.

        In ogni caso, dopo questa discussione Descartes conclude sui colori e, riferendosi alla figura con il prisma e la fenditura vista più su, dice:

Tutto ciò mostra con sufficiente chiarezza, mi sembra, che la natura dei colori che compaiono in F consiste solo nel fatto che le particelle della materia sottile che trasmette le azioni della luce tendono a ruotare con più forza di quanto non si muovano in linea retta, di modo che quelle che hanno una tendenza più forte a ruotare originano il colore rosso e quelle che solo hanno una tendenza solo leggermente più forte alla rotazione originano il giallo [Météores; 12; 192]

        Resta il problema del capire come mai l’arcobaleno è originato da raggi che fanno quegli angoli di 42°. Descartes capì che occorreva determinare le traiettorie dei raggi che andavano a cadere in punti differenti della goccia per poi stabilire con quale angolo entravano nei nostri occhi. Egli aveva osservato che dopo una riflessione e due rifrazioni (arcobaleno primario), si vedono molti più raggi che formano angoli intorno ai 42° che raggi che formano angoli minori e nessuno che formi un angolo maggiore. Nel caso invece di due riflessioni e due rifrazioni (arcobaleno secondario) aveva osservato lo stesso che nel caso precedente, con l’unica differenza che qui l’angolo era all’incirca di 52°. Tali calcoli erano stati fatti con la legge della rifrazione ed in particolare dopo aver stabilito che il rapporto tra il seno dell’angolo d’incidenza e quello di rifrazione, nel passaggio aria acqua, è di circa 4/3 (più precisamente risultava dalle esperienze 250/187).

        Per mostrare i ragionamenti ed i conti fatti egli si serve della figura seguente:

che, al solito, rappresenta una grande goccia di acqua, con il Sole, non rappresentato, che si trova in basso rispetto alla figura e del quale sono rappresentati due raggi paralleli, EF ed AC. Con una serie di calcoli, geometrici e trigonometrici, e misure Descartes stabilisce proprio ciò che si era proposto: molti raggi si concentrano intorno al valore di 41°30′. Dando poi un valore di 17′ al raggio apparente del Sole, egli può stabilire che l’angolo massimo dell’arcobaleno primario è 41°47′ e l’angolo minimo del secondario è 51°37′.

        Ed a questo punto, dopo che lo ha trascurato non citandolo per tutto l’armamentario sperimentale che gli ha messo a disposizione, Descartes cita Maurolico per criticarlo aspramente (sic!). Egli afferma che le sue misure (45° e 56°) dimostrano la poca fede che possiamo avere nelle osservazioni che non sono accompagnate dalla spiegazione corretta. Anche qui vi sarebbe molto da discutere, ad esempio, nella possibilità di sostenere l’affermazione contraria. Galileo ad esempio pensava che occorresse una teoria ma se poi l’esperimento non si accordava con essa, la teoria era da scartare. Ma Descartes mantiene Aristotele nel cuore, come vedremo ancora, perché di esperimenti di oggetti in caduta se ne erano fatti a migliaia e la teoria aristotelica che sorreggeva questi esperimenti affermava che a maggiore peso maggiore velocità di caduta. Per 2000 anni ! E poi ? Cosa cambia, l’esperimento più raffinato o la teoria ? o tutti e due ? Naturalmente il discorso si farebbe lunghissimo tanto quanto un trattato di epistemologia.

        Prima di mettere fine al suo lavoro, Descartes accenna alla spiegazione di alcune osservazioni che qualcuno affermava di aver fatto: l’arcobaleno invertito.

        Egli sostiene che la spiegazione di tale fenomeno si deve ai raggi del sole che, riflessi dalla superficie di un lago, si dirigono verso le gocce di pioggia quando i raggi diretti non possono arrivare a tali gocce a seguito di qualche nuvola interposta.

        Non c’è dubbio che il tutto è un successo di Descartes. Restano comunque molte ombre relative a ciò che dicevo; al fatto cioè che la luce pur trattata meccanicamente resta nel limbo aristotelico delle qualità per i suoi cambiamenti nel passaggio da un mezzo ad un altro. Ma Descartes è nella zona di transizione tra tradizione e cambiamento. A fronte di indubbi successi sul piano esplicativo che di fatto rappresentano un superamento dell’aristotelismo, egli resta ancora impantanato in molte spiegazioni che fanno riferimento all’autorità dei testi più che alla ragione.

        Nella Seconda Parte di questo lavoro mi occuperò della discussione di altre opere di Descartes, con particolare riferimento al Traité du Monde o Traité de Lumière in cui Descartes ci presenta le sue concezioni meccaniche.


NOTE

(1) Anche la medicina ebbe in Harvey il suo Lutero e Copernico. Naturalmente non si può pretendere un distacco completo dalle concezioni antiche che fanno capo da un lato ad Aristotele e dall’altro a Galeno (138 -201). Consideriamo quest’ultimo per avere un riferimento affidato alla sperimentazione ed alla dissezione di animali ritenuti più simili all’uomo (scimmie ?). Non intraprese mai (che si sappia) dissezioni umane e quindi la sua medicina è costruita in gran parte per analogia con quella degli organi interni degli animali. Galeno è un aristotelico che assegna funzioni teleologiche agli organi. Ma non accetta Aristotele quando questi assegna al cuore una parte importante nella fisiologia umana. Galeno sposta nel fegato il suo centro d’interesse, fegato che produrrebbe il sangue e lo purificherebbe. Il sangue ha una sorta di circolazione che lo porta al cuore, dove si riscalda e quindi ai polmoni che invece tendono a raffreddarlo. L’uomo è dotato di tre spiriti: quello animale che partendo dal cervello raggiunge i vari organi attraverso i nervi; quello vitale che si dirama dal cuore attraverso le arterie; quello naturale che parte dal fegato ed è propagato dalle vene. Ognuno dei tre spiriti è separato dall’altro. Tutto questo (succintissimamente raccontato) era basato su le suddette osservazioni sperimentali di Galeno. Ma dal II secolo fino al XV, la sua opera, quando fu riscoperta, tradotta e commentata divenne argomento di dispute aristoteliche basate sul sillogismo (questo era generalmente il modo di procedere nelle Università). Il ritorno alla “sperimentazione”, questa volta con certe dissezioni su cadaveri di uomini, fu innanzitutto opera degli “artisti-artigiani” a partire dal Trecento (che spesso lavoravano per il sistema giudiziario). Durante il Rinascimento (1531) si dispose dell’intero corpo delle opere di Galeno tradotto e ciò accese un vivo interesse intorno al corpo ed alla funzione dei suoi organi. Ma già Leonardo aveva lavorato su questioni anatomiche ed a lui seguì l’opera più nota del Rinascimento, la “Fabrica” (1543) di Vesalio (1514-1574), il padre dell’anatomia moderna. Uno tra i problemi che Vesalio sollevò, fuori dalla tradizione galenica, era il capire il passaggio del sangue dal sistema arterioso al venoso, attraverso il cuore. Egli sezionò vari cuori ma non trovò i pori di cui parlava Galeno. Tuttavia il passaggio da un sistema all’altro avveniva. Altra questione sollevata da Vesalio fu sullo spirito animale che si irradiava dal cervello. Molte traduzioni dal greco riportavano “anima” introducendo elementi metafisici nel corpo. Vesalio ebbe il coraggio di sbarazzarsi di tale cosa evitando ogni controversia teologica. Nella cattedra di Padova si successero a Vesalio prima Fallopio (1523 – 1563), quindi Fabrizi d’Acquapendente (1537 – 1619) e fu proprio allievo di quest’ultimo William Harvey (1578 – 1657).

   Harvey (1628) prende le mosse dal pregiudizio aristotelico del cuore come centro dell’organismo e dalla visione platonica del movimento in circolo. Riuscì, attraverso osservazioni in autopsie, a scoprire la circolazione del sangue riuscendo a ridare al cuore (“il sole del microcosmo” come egli lo chiama) quella dignità che gli era stata tolta da Galeno: è il battito del cuore che permette la circolazione del sangue ! La cosa la suffragò con variate esperienze che lo convinsero che il cuore può operare non certo come pompa (questo lo avrebbe messo nel novero dei meccanicisti) ma come sovrano del corpo e come luogo dove il sangue recupera le sue qualità. Falsificò poi la teoria del sangue prodotto dal fegato con un semplice conto che confrontò quanto sangue passava dal cuore con quanto ne avrebbe dovuto produrre il fegato: quest’ultima quantità risultava enorme per un organo così piccolo. Insomma, a parte alcuni dettagli (relazione tra vene ed arterie che avrebbero avuto bisogno dei lavori con il microscopio di Malpighi – 1628/1694 – per stabilire l’esistenza di capillari), si erano gettate le basi della rivoluzione harveyana. (che però, per il disinteresse dello stesso Harvey nel farla conoscere, dovette aspettare ancora circa 100 anni prima che fosse conosciuta dal gran pubblico. La pratica medica, anche la sua, seguì con i salassi anche se si cominciò a comprendere il meccanismo dell’avvelenamento: seguì anche con strane cure, di derivazione paracelsiana, che prevedevano l’imposizione della mano di un morto per una malattia cronica su di un malato di tumore).

        Si può certamente dire che i lavori di Harvey partono da concezioni aristoteliche, concezioni nelle quali il moto circolare assume un valore fondamentale proprio perché è l’intero mondo organizzato in quel modo. La circolazione del sangue rende il microcosmo assimilabile al macrocosmo e la funzione vivificante e rigenerativa del Sole viene nel microcosmo sostituita dal cuore che , come detto, è “il sole del microcosmo” in accordo con le tesi ficiniane. Tra l’altro è nel cuore che troviamo la localizzazione dell’anima

        In definitiva, un convinto aristotelico, con le premesse di Aristotele e con strane assonanze ermetiche (per un aristotelico), è uno che inizia una delle più importanti rivoluzioni scientifiche dell’età barocca.

(2) Sono esistite ed esistono tuttora dei sospetti relativi a contatti o addirittura all’affiliazione di Descartes ad una discussa confraternita. Descartes ha sempre negato ma la cosa era comunque d’obbligo, anche per motivi di prudenza. I Rosa-Croce erano un ordine segreto, nato probabilmente nel XV secolo ma fattosi conoscere nel 1614 con la pubblicazione clandestina di due libelli, Fama Fraternitatis e Confessio Fraternitatis. Il nome dell’ordine definisce anche il simbolo che è appunto una rosa ed una croce con  la croce che

Uno dei tanti possibili simboli dei Rosa-Croce

Altro simbolo dei Rosa-Croce. E’ d’interesse notare che qui, alla rosa ed alla croce, sono sovrapposti simboli massonici (il compasso) ed alchemici (il gabbiano che per alimentare i suoi piccoli con il suo sangue si becca il corpo).

rappresentava il sapere, la scienza e  la rosa l’amore. La Società dei Rosa-Croce, almeno nel secolo XVII, era costituita (pare) da un piccolo numero di aderenti che condividevano stesse idee di modernità. Erano probabilmente riformatori religiosi e morali, che utilizzavano la comunicazione che ritenevano più evoluta ed addirittura di carattere scientifico per far conoscere le proprie idee. I loro scritti, spesso di carattere alchemico, sono impregnati di esoterismo, di misticismo ed occultismo. Quando i messaggi diventavano ermetici implicavano significati reconditi che sarebbero stati compresi solo dagli iniziati (e questa sembra una contraddizione rispetto al proposito di far conoscere le proprie idee, ma non lo è se lo spirito è quello di ricercare gli eletti).

(3)  Secondo Pelagio Britannico (circa 360-427), gli uomini non erano predestinati (come sostenuto da Sant’Agostino), ma potevano, invece, solamente con la propria volontà (liberum arbitrium) e per mezzo di preghiere ed opere buone, evitare il peccato e giungere alla salvezza eterna: non era necessario l’intervento della Grazia divina (una cosa analoga era stata sostenuta anche da Origene all’inizio del III secolo con la conseguente condanna dell’origenismo da parte del vescovo di Alessandria, Teofilo, nel 401). Il pelagianismo inoltre negava la trasmissione del peccato originale, che aveva danneggiato solo Adamo e non tutto il genere umano. Poiché non sussisteva il peccato originale, il battesimo era visto da Pelagio come un momento di accoglimento nella Chiesa: tuttavia, se il bambino moriva senza battesimo, era ugualmente accolto in paradiso (notizie tratte da http://www.eresie.it/it/id232.htm ).

(4) Descartes non deve essere confuso con un misogino e/o bigotto. Egli ebbe una vita movimentata, ebbe varie donne e risultano vari figli lasciati senza essere riconosciuti in giro per l’Europa. Non prese moglie perché, come disse ad una signora che lo interrogava in proposito, preferiva la verità alla bellezza. Una sola figlia, Francine, che ebbe con la sua domestica Elena Jans, fu riconosciuta. Essa nacque nel 1635 e fu battezzata in una chiesa protestante. Gli procurò il più grande dolore della sua vita, quando morì a soli 5 anni.

Sotto altri aspetti Descartes, che usava portare il cappello a larghe falde con piuma di struzzo e la spada, non disdegnava i duelli. Più volte fu aggredito da briganti e più volte seppe difendersi con successo.

Si è molto discusso sulla credenza religiosa di Descartes. Sembra si possa dire che fosse cattolico che tentava di suggerire alle gerarchie una maggiore apertura filosofica e comprensione verso la scienza.

(5) E’ importante osservare che tutti i cambiamenti di notazione introdotte fino al cinquecento erano fondamentalmente delle abbreviazioni di parole comuni. In questo periodo le richieste sempre crescenti della scienza stimolavano i matematici a utilizzare una notazione simbolica, ma il miglioramento era progressivo ed in alcuni casi intermittente. Molte variazioni furono effettuate accidentalmente ed è chiaro che gli studiosi di questa epoca non erano in grado di apprezzare quello che il simbolismo poteva significare per l’algebra. Spesso i nuovi simboli introdotti non
venivano adottati in modo immediato dai matematici contemporanei (Kline, pag. 303). Cioè l’algebra simbolica non ha soppiantato di colpo quella sincopata. Le prime abbreviazioni utilizzate nel XV secolo sono p (per più), m (per meno) e ae (per uguale). Alcuni autori (Kline, pag. 303; Loria, pag. 468) ritengono che i segni + e – vennero introdotti dai tedeschi per denotare i pesi in eccesso o in difetto delle cassette e furono poi adottati dai matematici Widman (XV sec.) e Stifel (1486? – 1567); altri, invece, attribuiscono l’invenzione di questi segni a Leonardo da Vinci (1452 – 1519). Il segno = fu introdotto nel 1557 da Recorde (1510 – 1558) che scrisse il primo trattato inglese di algebra; Viète (1540 – 1603), che all’inizio utilizzava la parola aequalis, poi adottò il simbolo ~ per indicare l’uguaglianza; Descartes usava α . Il segno x del prodotto è dovuto a Oughtred (1574 – 1660) e i segni > e < per denotare le disuguaglianze furono introdotti da Harriot (1560 – 1621). Le parentesi tonde compaiono nel 1544, le parentesi quadre e graffe, utilizzate da Viète risalgono al 1593 circa. La radice quadrata √ e radice cubica 3c appaiono nel XVII secolo con Descartes (Cfr. Kline, pag. 304). I simboli per le incognite e le sue potenze ebbero un’evoluzione molto lenta. Gli algebristi del cinquecento utilizzavano le parole radixrescosa o tanto per denotare l’incognita e i simboli generalmente derivavano da abbreviazioni: R (da res) indicava x, Z (da census) x2 e C (da cubus) x3. Gli esponenti vennero introdotti gradualmente. Chuquet (1445? – 1500?) nella sua opera Triparty scriveva 83 , 105 , 120 e 71m per indicare 8 x3 , 10 x5 , 12 e 7 x-1. Bombelli usava un piccolo semicerchio dentro il quale veniva scritto l’esponente della potenza. Stevin (1548 – 1620) utilizzava anche gli esponenti frazionari: 1/2 per la radice quadrata ed 1/3 per la radice cubica e così via. Nella costruzione del linguaggio algebrico il cambiamento più significativo fu introdotto con il simbolismo da Viète. Egli fu il primo ad usare deliberatamente e sistematicamente le lettere, non soltanto per rappresentare l’incognita e le sue potenze ma anche per i coefficienti generici. Di solito utilizzava le consonanti per i termini noti e le vocali per le incognite. Il linguaggio simbolico veniva utilizzato non solo per risolvere equazioni ma anche per provare regole generali. Questo autore chiamava la sua algebra simbolica logistica speciosa in contrasto con la logistica numerosa: considerava che l’algebra è un metodo per operare sulle specie o le forme delle cose, l’aritmetica, la numerosa, si occupa invece dei numeri. In questo modo l’algebra diventò lo studio dei tipi generali di forme e di equazioni, perché quello che si applica al caso generale è valido in tutti gli infiniti casi particolari (Kline, pag. 305).                                                 

Tratto da: http://dipmat.math.unipa.it/%7Egrim/AlgebraMalisaniIt.pdf

(6) Descartes ha modo di riferirsi a Galileo ed al suo Dialogo all’inizio della Parte sesta del Discours quando dice:

Tre anni or sono, quando avevo già ultimato il trattato relativo a tutti questi argomenti e cominciavo a rivederlo per consegnarlo ad un editore, appresi che certe persone, per le quali ho deferenza e la cui autorità può sulle mie azioni quasi quanto la ragione sui miei pensieri, avevano disapprovato un’opinione di Fisica pubblicata poco tempo prima da un altro studioso [non lo cita ma si tratta di Galileo, ndr] ora non dico di condividere tale opinione, ma soltanto che prima di questa censura non vi avevo notato nulla che potessi immaginare come pregiudizievole alla Religione e allo Stato e, conseguentemente, nulla che mi avrebbe impedito di adottarla, se la ragione me ne avesse persuaso. Ciò mi fece temere che tra le mie opinioni se ne trovasse pure qualcuna su cui mi fossi ingannato, nonostante la gran cura che ho sempre avuto di non accettarne mai di nuove che non fossero dimostrabili con somma certezza e di non metterne in iscritto nessuna che potesse nuocere a qualcuno. Ciò è stato sufficiente a farmi mutare la decisione già presa di pubblicarle. Infatti, pur essendo assai forti le ragioni che mi avevano spinto a quella risoluzione, la mia naturale tendenza, che mi ha sempre fatto odiare il mestiere di scrivere libri, me ne fece subito trovar altre che mi scusavano nella mia rinuncia. Queste ragioni, sia in favore della pubblicazione sia contrarie, sono tali che non solo io ho qualche interesse a esporle qui, ma anche il pubblico ha forse interesse a conoscerle [Discours; 2; 540-541(9)]

(7) La prima obiezione era di un prete cattolico di Alkmaar in Olanda; la seconda obiezione era la sintesi di varie obiezioni di filosofi e teologi raccolte da padre Mersenne; la terza obiezione è di Thomas Hobbes (1588-1679); la quarta obiezione era del filosofo e teologo Arnauld; la quinta obiezione è di Pierre Gassendi (1592-1655), filosofo e fisico atomista; la sesta obiezione è di diversi filosofi e teologi; la settima obiezione è del gesuita Pierre Bourdin (il quale criticava la filosofia di Descartes in dibattiti pubblici a Parigi e a questi attacchi Descartes aveva risposto appellandosi alla massima autorità dei gesuiti di Francia, P. Dinet che diventerà confessore di Luigi XIII restando sempre protettore di Descartes. Infatti, dopo la settima obiezione, nelle Méditations, viene  l’estratto di una lettera di Descartes a padre Dinet proprio sulla vicenda della settima obiezione. La posizione di Descartes è altera, di uno che non ha bisogno di nessuno, ma che, avendo già fornito prove della sua capacità, vorrebbe sapere se si vuole o no che egli spieghi la sua filosofia e se i gesuiti sono disponibili a difenderla al suo fianco).

(8) Si trattava di una piccola cassa di rame lunga 80 cm in cui vi erano i resti di Descartes privi del cranio. Questo, successivamente ritrovato, è esposto nel Musée de l’Homme (che fu realizzato da Cuvier) con tutte le firme dei suoi successivi possessori.

Il cranio di Descartes al Musée de l’Homme

(9) Le opere di Descartes furono raccolte e pubblicate in 12 volumi a Parigi, per le edizioni Leopold Cerf, tra il 1897 ed il 1913 (René Descartes, Oeuvres a cura di Charles Adam e Paul Tannery). Per citare le opere di Descartes si utilizza questa edizione di riferimento che viene indicata, dal cognome dei due curatori, con AT, seguita da un numero romano che indica il volume e da un numero arabo che indica la pagina a cui ci si riferisce. Io scriverò invece: il nome dell’opera, un numero che rappresenta il testo di bibliografia dal quale ho tratto il brano seguito dalla pagina di tale testo. Se il riferimento è ad opere in lingua straniera, la traduzione è mia.

(10) Il riferimento esplicito è al pensatore di Maiorca Raimond Lull (1223-1315) che fu alchimista ed iniziatore della Cabala cristiana. E’ famoso per aver sviluppato l’arte della memoria alla quale si rifece Giordano Bruno. Scrisse tra l’altro, un Trattato della Quinta Essenza e il Liber de segretis naturae seu de quinta essentia  tentando di far accettare l’alchimia mediante una disquisizione sul “libero arbitrio” dell’uomo: “Perciò la Alchimia, che è la vera arte nel promuovere il sapere, non può essere condannata dalla Chiesa, in quanto la scelta tra il bene ed il male appartiene al libero arbitrio dell’uomo; quest’ultimo è frutto della sua ignoranza, ma l’ignoranza umana stessa è stata voluta dalla giustizia di Dio e quindi è un bene dal punto di vista del Dio Padre Onnipotente”.

Mi sono soffermato un poco su Lull per tornare alla vicenda dell’affiliazione di Descartes alla Confraternita di Rosa-Croce (vedi nota 2). Infatti Lull era tenuto in massimo conto da tale associazione e Descartes raccomandò al suo amico Beeckman di leggere proprio alcune opere di Lull. Ma anche l’altro amico di Descartes, il matematico Johannes Faulhaber, era un estimatore di Lull e confessò in una lettera a Descartes del 1618 che non vedeva l’ora di mettersi in contatto con membri della Società dei Rosa-Croce e se ciò non accadeva voleva dire che così vuole Dio (sic!).

(11) La cissoide di Diocle (2° secolo a.C.) e la concoide di Nicomede (2° secolo a.C.) sono due curve che si presentano nella soluzione del problema di Delo della duplicazione del cubo. Anticamente erano considerate meccaniche ma la cosa non è corretta.

      La spirale di Archimede (3° secolo a.C.) e la quadratrice di Ippia (5° secolo a.C.) sono due curve trascendenti e furono introdotte per lo studio dei classici problemi di quadratura del cerchio, trisezione dell’angolo e duplicazione del cubo

Spirale di Archimede 

                   Quadratrice di Ippia           

(12) Anche se questa posizione può sembrare ingenua, rappresenta una qualche novità. Infatti fino ad allora la luce era stata pensata bianca o incolore ed i colori erano caratteristiche dei corpi che non riguardavano la luce stessa. Si era all’epoca verificata una frattura nell’ambito della filosofia in senso lato: la luce era stata lasciata da studiare ai filosofi naturali (ai fisici) mentre i colori erano restati prerogativa dei filosofi in senso stretto. Uno degli ultimi filosofi che riprenderà la luce in modo estraneo alla fisica sarà Goethe.

(13) Ma non insisto troppo su queste cose perché poco chiare soprattutto in quanto manca ogni raccordo tra una analogia ed un’altra, cosicché non sappiamo bene, alla fine, come considerare la teoria della luce di Cartesio. Provo a spiegarmi. La pressione di una pallina sulla successiva (ad esempio nel tino) è una concezione che potremmo definire a contatto e comunque si tratta di trasferimenti di energia e non di materia. Il bastone e le palline scagliate (delle quali parlerò tra un istante) sono azioni materiali. La seconda è addirittura corpuscolare. Tra l’altro come si raccorda una propagazione istantanea con una pallina di luce scagliata dal Sole ? Park dice le cose seguenti (pag. 186):

«Si capisce il motivo per cui Cartesio si serve di analogie per spiegare i due modi così diversi che abbiamo di sperimentare la luce. Il primo è come un’illuminazione, originata da qualche sorgente, che riempie la stanza di luce. È possibile immaginare questo tipo di luce come una pressione o tendenza a muoversi. Il secondo è come un raggio attraverso il foro di un infisso, oppure il tipo di raggio che avevano usato i filosofi per spiegare la visione sin dai tempi di Alkindi. È difficile pensare in termini di pressione per un elemento così direzionato, è molto più semplice immaginarlo come un lancio di palline da tennis. Cartesio afferma nella sua comparazione che i modelli non sono inconciliabili e inventa una fisica della tendenza: si presume che le tendenze (qualsiasi cosa possano essere) si espandono nello spazio secondo percorsi simili a quelli che seguirebbero le palline da tennis. La discussione è in termini aristotelici: la tendenza a muoversi è la potenzialità, il moto è la realtà, ma la realtà è contenuta nella potenzialità e non vi è differenza nelle leggi che governano entrambe. E la nozione di luce come tendenza che si propaga nello spazio senza alcun moto ricorda la moltiplicazione delle species di Ruggero Bacone. Se ricordate, secondo Bacone si muovono come l’ombra si muove dietro all’uomo mentre cammina. Dentro l’armatura di un tale ragionamento c’era poco che Cartesio non potesse spiegare. Difatti l’analogia della pallina da tennis gli offre subito un felice appiglio. Colpite la pallina in modo da imprimerle un moto rotatorio. Nella luce, dichiara, la combinazione di moto lineare e rotatorio determina i colori, un concetto mai sostenuto da alcuna dimostrazione.
Nello spiegare la luce con tre paragoni che non hanno tra loro niente in comune e lasciano il lettore all’oscuro, Cartesio fa trapelare la sua educazione giovanile. … Il mondo medioevale concepiva l’intero creato come un sistema di analogie intese a insegnare all’umanità come vivere e conoscere Dio. Un argomento basato sull’analogia era considerato più che un semplice modo di esprimersi per immagini vivide, ma si correlava piuttosto in modo tacito o esplicito a un cosmo che era fondato sull’analogia. Non intendo affermare che Cartesio volesse giustificare in tal modo le sue teorie sulla luce, ma l’analogia permea tutto il suo pensiero. Eppure avrebbe potuto approfittare di un’osservazione semplice e saggia fatta da Aristotele: “Nell’inventare un modello possiamo presumere quello che vogliamo, ma dovremmo evitare l’impossibile”».

        Per Cartesio la luce, ormai divenuta oggetto fisico, ha quindi una velocità infinita (siamo nel 1637), la sua propagazione doveva essere istantanea (questa è la parola usata da Cartesio nella Dioptrique) e ciò vuol dire che non si ha propagazione. La cosa veniva ricavata da Cartesio dall’ombra della Terra, immaginata nella situazione astronomica aristotelica, proiettata sulla Luna in una eclisse. Se la luce del Sole che ci viene riflessa dalla Luna durante la durata di una eclisse marciasse con una velocità infinita noi vedremmo, come vediamo, l’eclisse quando Sole, Terra e Luna sono allineati. Se invece la luce avesse una velocità finita (e qui Cartesio ha il pregiudizio di una velocità relativamente piccola), essa, quando dal Sole ha superato la Terra per raggiungere la Luna, impiegherà del tempo per percorrere il tragitto fino alla Luna e del tempo per tornare sulla Terra di modo che noi possiamo vedere il fenomeno. Cartesio fa l’ipotesi che il tempo necessario alla luce per fare il tragitto Terra-Luna-Terra sia di una ora. Ciò vuol dire che noi vedremmo l’eclissi un’ora dopo che la luce ha lasciato la Terra per andare sulla Luna ed allora Cartesio si chiede cosa accade nel frattempo del Sole. L’astro avrebbe percorso un’ora della sua traiettoria, tempo che farebbe si che non vi sarebbe più allineamento tra i tre corpi celesti. Poiché da sempre quei tre corpi risultano allineati, Cartesio conclude che la la luce ha velocità infinita.

        Vi è qui da osservare che il pregiudizio è sempre stato di grave ostacolo alla ricerca. E Cartesio si chiude una strada che poteva essere fertile, a seguito del suo metodo che prevedeva delle regole per fare filosofia che non andavano d’accordo con il metodo sperimentale. Vi era anche il fatto che Cartesio aveva in odio il solo nome di Galileo. Egli probabilmente seppe da Marsenne che Galileo sperimentava sulla velocità della luce e questo fatto gli fece affermare qualcosa che contrastava con le ipotesi del pisano. In ogni caso il ragionamento di Cartesio che ho riportato verrà confutato da Huygens nel suo Trattato sulla luce (scritto nel 1678 e pubblicato nel 1690) proprio sul terreno che Cartesio amava poco, quello sperimentale con misure di distanze e di velocità.

        La luce è conseguenza della teoria del mondo considerato come un tutto pieno eternamente in moto a vortici (una specie di maionese). La materia è estensione e l’estensione deve essere materia. Conseguenza di queste assunzioni a priori è che la luce diventa un oggetto materiale, fisico e quindi studiabile. La trasmissione istantanea della luce, di cui ho detto, è pensata come una pressione esercitata dalle particelle di una materia sottile che riempie l’universo, l’etere (ecco che questa entità metafisica entra nella fisica e la tormenterà per oltre 250 anni). E l’etere è inteso come un corpo rigido ideale. La prima particella preme sulla seconda che preme sulla successiva e così via (resta aperto il problema dell’origine del moto). L’intero discorso di Cartesio sembra voler non considerare la luce come entità a sé ma solo in quanto gli permetterà poi di studiare gli strumenti ottici. Così egli ci dice le cose sulla luce servendosi di analogie.

        Più in generale vi è da dire che in Italia, in genere, vi è molto savoir faire che spesso è addirittura controproducente. Gli storici della scienza francesi (da Duhem a Koyré, ad esempio) hanno un tale intollerabile sciovinismo che avrebbero bisogno di essere riportati alla ragione con documenti. Una esemplificazione delle sciocchezze che sono in grado di mettere su l’ho data in Alcuni elementi di giudizio su Galileo e in Torricelli, il peso dell’aria ed il vuoto. Voglio ora aggiungere due considerazioni. La prima, come già ho accennato nel testo, è relativa alla infinita gelosia che Cartesio aveva nei riguardi di Galileo e la cosa è documentata da una lettera di Cartesio a Marsenne del 1638 (E.N. Vol. 16, pagg. 124-125), nella quale, ad un anno della condanna di Galileo, Cartesio dice: che non ha preso nulla da lui, che non trova nulla nei suoi libri che gli faccia invidia, che non c’è nessuna cosa fatta da lui che vorrebbe confessare come sua, che le maree sono tirate per i capelli, molte cose che dice egli l’aveva già detto nel suo Il mondo, anche quella dimostrazione sulla caduta dei gravi … e la ripete dicendo delle clamorose sciocchezze e cioè che se in tre tempi un grave percorre un certo spazio, nel quarto percorre uno spazio uguale al già percorso.

        Ma a parte questi pettegolezzi vi sono aspetti molto più importanti da sottolineare. Cartesio, che resta un grandissimo matematico, nelle spiegazioni della filosofia naturale fa rientrare dalla finestra ciò che Galileo con estrema fatica aveva cacciato dalla porta: la metafisica. L’universo diventa una deduzione dalle sue elaborazioni teoriche. E le leggi particolari sono quelle perché Dio lo vuole. Una sorta di Aristotele aggiornato a duemila anni dopo che, naturalmente, trova inutile l’esperienza. In proposito Pitoni scrive (pagg. 147-150):

“107. Le conseguenze del sistema cartesiano non potevano essere che quelle stesse del metodo aristotelico ; per quanto il Descartes si voglia vantare come il « grande liberatore dell’intelligenza europea » (Buckle), come « colui che vide, per il primo, nell’intero universo, anche nei fenomeni vitali, soltanto materia e movimento » (Huxley). E valga il vero: nella 35a lettera al Mersenne, il Descartes sa che l’alcole e l’essenza di trementina sono più rifrangenti dell’acqua, per quanto più leggieri; ma non per questo volle modificare la sua teoria, secondo la quale la rifrazione cresce colla densità. Il Mersenne vuol pubblicare la notizia del telescopio a specchio, immaginato dallo Zucchi ; ma la cosa, secondo il Descartes, non è pratica, dunque non se ne farà di nulla. Una vescica chiusa si gonfiava quando veniva portata a grande altezza, perché, secondo i seguaci della scuola sperimentale, l’aria esterna era rarefatta; ma il Descartes aveva abbandonata la rarefazione, dunque, diceva il P. Mersenne, la spiegazione è falsa. Il Torricelli aveva dato la spiegazione esatta dei venti; questa par troppo semplice al Descartes, ed allora immagina che essi siano generati dalla dilatazione, agitazione, rotazione delle particelle di vapor acqueo. L’Alberti assegna la vera origine delle fonti ? Sono invece le acque del mare che s’infiltrano sotterra, evaporano fin sotto le cupole dei monti, si condensano e zampillano. Mersenne e Petit lanciano una palla con un cannone verticale, e non la vedono ricadere ? Il Descartes afferma che la palla è divenuta più leggiera ed ha fatto « come  le cicogne, che volano più facilmente nelle alte  regioni, che nelle basse ». Egli attraversa le Alpi ; ode lo strepito delle valanghe e lo assomiglia al fragore del tuono ? Il tuono è dunque prodotto dal cadere, rotolare, rimbalzare delle nubi, le une sulle altre. E si porrebbe continuare la raccolta, a dimostrare quale concetto avesse il Descartes delle prove di fatto, e come si giurasse in lui mentre prima si giurava in Aristotile. Cosa c’è dunque di comune fra il Galilei, per il quale il fatto è tutto e la teoria lo segue, sia pure che la ragione talvolta, cogli elementi sicuri già posseduti, intuisca e prevenga, e il Descartes? Se il Galilei avesse metodicamente raccolto tutte quelle sue preziose osservazioni, indicazioni, regole del modo di giungere alla verità, che sono sparse nei suoi molti scritti, pochi parlerebbero di Francesco Bacone. Se il Galilei avesse costituito un sistema, sia pur fantasioso, destinato a render ragione di tutto, a spiegare ogni cosa, in modo che gli sfaccendati avessero potuto con quattro premesse azzardarsi a trinciar sentenze sopra qualunque argomento, Renato Descartes avrebbe perduto molto della sua importanza.
Galileo precede il Locke ed afferma che ogni idea ci viene dai sensi. Il Descartes (Méditation), scrive invece, che le idee di molte cose (numeri, figura, movimento, ecc.) non si sono affatto sviluppate in noi per l’intermediario dei sensi e sono perciò necessariamente vere. Galileo in una lettera rimasta famosa, separa la ricerca del mondo sensibile dalla fede nell’ultra sensibile. Il Descartes non si sente mai perfettamente libero nei suoi pensieri, e se parla di cose scientifiche si premunisce contro le obiezioni di eresia ; e se parla di ricerche metafisiche, si colloca sotto la protezione dei decani della Sacra Facoltà di Teologia della Sorbona, quella stessa che per ordine del cardinale Richelieu aveva dichiarato falsa la dottrina del moto della Terra. Il Galilei ha un primo processo coll’Inquisizione, e poi viene colpito dal secondo e terribile ; e pure non si piega ma riesce di mandare alle stampe, con fatiche incredibili, l’ultima e più gloriosa opera sua. Il Descartes voleva trattare del sistema copernicano nel suo trattato De Mundi; ma dopo la condanna del Galilei stimò bene di non farne di niente. I teologi protestanti lo attaccarono e poco mancò che non facessero bruciare a Leida le opere sue per mano del boia; il fatto in Italia non era raro, ma i nostri non temevano, né cedevano : il Descartes invece, si rifugia a Stockolm. Né come indagatore, né come uomo si può il Descartes neppur lontanamente paragonare al Galilei.
E qual’è il suo valore nella meccanica? Basti, a giudicarne, ciò che il Descartes scrive in una sua lettera del 1640: se a sostenere un corpo posato su di un piano inclinato ci vogliono 40 libbre ed il corpo ne pesa 100, la pressione da esso esercitata sul piano sarà di 60 lb. Nei Principia phiosophica (1644), mentre ormai le idee esatte avevano pacifico dominio in Italia, sostiene, che se un piccolo corpo ne urta un altro grande ed in riposo torna poi indietro colla stessa velocità, mentre il corpo urtato rimane in equilibrio. L’esperienza, nei limiti stessi posti dal Descartes, era contraria ; nia il Descartes partiva dai suoi principii filosofici per arrivare a tanto, dunque non volle ricredersi. Il Duhem vuol fargli onore d’avere indicato chiaramente, che il principio delle velocità virtuali vale soltanto per tratti infinitesimi: ma questo concetto si trova affermato in molti punti dell’opere del Galilei.
Ma l’Italia, oramai divisa ed asservita, declinava politicamente e il suo popolo decadeva; la Francia invece sorgeva a dettare il gusto all’Europa, a imporle la sua lingua e i suoi autori; perciò il Descartes sarà il filosofo futuro e il Galilei, se non sarà dimenticato, passerà in seconda linea”.

(14) La riflessione totale è discussa sperimentalmente nel modo seguente:

Cosa che è stata sperimentata con disappunto, quando facendo sparare dei pezzi d’artiglieria, per giuoco, verso il fondo di un fiume, sono stati feriti coloro che erano dall’altra parte sulla riva.

(15) Shea afferma che questi ragionamenti di Cartesio furono copiati ad un tal Claude Mydorge che li aveva fatti tra il 1626 ed il 1631. Cartesio ne era venuto a conoscenza tramite il solito Padre Mersenne come risulta dalla corrispondenza di quest’ultimo.

(16) Cartesio non ne parla, perché aveva l’abitudine di utilizzare tutto ciò che gli serviva preso da chiunque senza mai citarlo, ma questa ammissione di velocità della luce maggiore in mezzi più densi nasceva da un’analogia che all’epoca era quasi generale: quella di suono e luce. Era ben noto che più il mezzo è denso più il suono si propaga velocemente. Questa analogia fu molto travagliata perché ad un certo punto, quando si iniziò a lavorare con le macchine da vuoto, ci si accorse che il suono non si propaga più in assenza di aria contrariamente alla luce. Ricordo in proposito l’invenzione del 1654 della prima macchina pneumatica, o pompa da vuoto, ad opera di Otto von Guericke (a seguito dell’esperienza di Torricelli del 1644). Perfezionata nel giro di poco tempo da personaggi come Boyle, Hooke, e Huyghens, la pompa permise di svolgere importanti esperimenti sulle proprietà dell’aria e del vuoto. Il primo che dimostrò  che il suono non si propaga nel vuoto fu un discepolo ed amico di Galileo, Gianfrancesco Sagredo (l571-1620). Egli si serviva di una specie di campanello che era situato all’interno di una campana di vetro dalla quale l’aria veniva quasi completamente tirata via per mezzo di un forte riscaldamento. Fu proprio Torricelli a far notare che un raggio di luce, contrariamente al suono passa attraverso il vuoto. 

Le parole usate da Cartesio per giustificare la cosa sono:

Come una palla perde più del suo moto urtando contro un corpo molle che contro uno duro, e che essa ruzzola meno facilmente sopra un tappeto che sopra una tavola tutta nuda, così l’azione di questa materia sottile può essere impedita più dalle parti dell’aria, che, essendo come molli e sconnesse, non le oppongono molta resistenza, che non da quelle dell’acqua che gliene oppongono di più; e ancor più da quelle dell’acqua che da quelle del vetro o del cristallo… .

(17) Descartes non scoprì la rifrazione ma fece conoscere, per primo, la legge che aveva ricavato il matematico ed astronomo olandeseWillebrord van Royen Snell (1580-1626), pubblicandola nella Dioptrique e senza entrare in dettagli matematici. Egli la scrisse come oggi la conosciamo, introducendo il rapporto tra i seni degli angoli di incidenza e rifrazione. Riferendoci alla figura, si ha:

e con Descartes l’indice di rifrazione n acquista un significato più pregnante. E’ sempre l’indice di rifrazione ma risulta legato alla velocità della luce nei differenti mezzi in cui si propaga. Più precisamente è il rapporto tra la velocità della luce nel mezzo più denso e la stessa velocità nell’aria (come vedremo tra un poco, rapporto tra una velocità maggiore ed una velocità minore).

(18) Quelle che seguono sono le cose che Cartesio aggiunge:

Quanto alla riflessione e alla rifrazione ne ho già trattato a sufficienza altrove [nella Dioptrique]. Tuttavia, dato che per rendere il mio discorso più comprensibile, invece di parlare dei raggi luminosi, mi sono servito allora come esempio del movimento di una palla, mi resta ora da richiamare la vostra attenzione sul fatto che l’azione o inclinazione a muoversi, trasmessa da un luogo a un altro mediante diversi corpi in contatto fra loro, che si trovano senza interruzione in tutto lo spazio posto fra i due luoghi, segue esattamente la stessa via attraverso la quale la medesima azione potrebbe far muovere il primo di questi corpi se gli altri non fossero sulla sua strada; con la sola differenza che al corpo, per muoversi, occorrerebbe del tempo, mentre l’azione che ha in sé può, per mezzo dei corpi che lo toccano, diffondersi istantaneamente a qualunque distanza. Ne segue che, come una palla, giocando a pallacorda, rimbalza se batte contro il muro, e subisce rifrazione se obliquamente entra nell’acqua o ne esce, così, anche i raggi della luce incontrando un corpo che non li lascia passare oltre devono subir riflessione, e quando entrano obliquamente in un luogo dove trovano maggiori o minori possibilità di diffusione rispetto a quello da cui escono, devono, nel punto dove il mutamento si verifica, deviare e subire rifrazione.

(19) Lo sciovinista francese Pierre Mesnard non è esente da sciocchezze e, a questo proposito, riesce a dire:

Ma Galileo non era un gran conoscitore della geometria e non si è reso conto che le lenti emisferiche del suo cannocchiale erano ben lungi dal corrispondere alle migliori condizioni geometriche necessarie per l’allestimento di un telescopio.

Cosa dire ? Niente …

(20)  Il fenomeno ottico paraelio (sundog in inglese, parhelio in spagnolo, parhélies in francese) ha luogo quando il Sole, verso sera, filtra i suoi raggi attraverso nubi sottili costituite da cristalli esagonali di ghiaccio con i loro assi principali disposti verticalmente ed il raggio di luce entra perpendicolarmente a tale asse:

Cristallino di ghiaccio attraversato dalla luce perpendicolarmente al suo asse

Ogni cristallino di ghiaccio si comporta come un prisma di 60° e separa i colori della luce del Sole

          Si deve tener conto che i cristallini di ghiaccio possono essere di forme diverse:

ed il fenomeno ha luogo solo quando i cristallini sono del tipo piano (quello in basso di figura) anche se gli angoli diedri dei vari tipi si mantengono a 120°.

        Questi cristallini  non sono in posizioni stabili ma continuamente mossi dalle correnti d’aria. Quando una maggioranza di essi è disposta rispetto ai raggi solari come nelle figure precedenti, allora si ha il fenomeno che è comunque raro e difficilmente persistente nel tempo. Tutti quei raggi che all’incidere in un cristallo piatto, lo fanno attraverso una delle sue facce laterali ed escano rifratti per la faccia laterale seguente a quella contigua, arriveranno all’occhio dell’osservatore in forma di macchia luminosa colorata o paraelio. In queste condizioni si ha luogo alla circostanza che il tragitto del raggio luminoso continua all’interno del cristallo parallelamente alla faccia intermedia. La deviazione che il raggio rifratto subisce rispetto alla sua traiettoria d’incidenza è di 21°7′. In definitiva, in ogni cristallino,  ha luogo una rifrazione come se si avesse a che fare con un prisma di 60° con conseguente separazione dei colori dello spettro solare (si hanno immagini alla stessa altezza angolare del Sole, rossicce al loro interno). La somma degli effetti su tutti i cristallini origina un cerchio che contorna il Sole (nell’osservazione di Scheiner erano tre) accompagnato da quattro macchie nelle vicinanze del Sole di luce tremolante, i paraeli, che sono immagini rifratte dello stesso Sole.

Sommando l’effetto di più cristallini di ghiaccio si formano le immagini del Sole alle sue destra e sinistra

Due foto che mostrano un cerchio che contorna il Sole (alone) e due paraeli, uno a destra e l’altro a sinistra del Sole

        I fenomeni che si possono avere a seguito della rifrazione sui cristalli di ghiaccio sono diversi, alcuni dei quali mostrati in figura

Parahelia = Paraelio; Circulo parahelico = Circolo paraelico; Halo = Alone; Pilar = Pilastro

Ho già detto dei paraeli. Dico in breve dei fenomeni ottici mostrati in figura.

– Si ha il circolo paraelico come fenomeno di riflessione su cristallini piatti nei quali i raggi solari si comportano come nella figura seguente:

– Si ha il pilastro come fenomeno di riflessione su cristallini piatti o prismatici nei quali i raggi del sole si comportano come nelle due figure seguenti:

– Si ha l’arco tangente come fenomeno di rifrazione su cristallini prismatici nei quali i raggi solari si comportano come nella figura seguente:

– Si ha l’alone di 22° o di 46° quando si hanno rispettivamente le situazioni seguenti di cristallini e raggi solari:

Le notizie sono tratte dai due siti spagnoli (ma vi sono anche ricchi siti in francese ed in inglese):

http://www.tutiempo.net/silvia_larocca/Temas/Consultas11.htm

http://mujerdebandera.com/index.php

In lingua italiana, su questioni che riguardano scienza in senso lato, internet offre molto poco.

(21) E’ divertente la didascalia a tale figura che riporta Park e che torna con una serie di osservazioni che da anni facciamo sugli approcci alla didattica che hanno: spiegare ogni piccolezza per la paura che i discenti siano turbati da minimi salti logici. Scrive Park in tale didascalia:  Ingannevole diagramma grafico che spiega la formazione di arcobaleni primari e secondari (una goccia di pioggia non è mai così grande).   


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