Fisicamente

di Roberto Renzetti

Roberto Renzetti

NEWTON: LA GESTAZIONE E PUBBLICAZIONE DEI PRINCIPIA

        Il primo tentativo di comprendere la gravitazione Newton lo fece negli anni mirabili del 1665-1666, quelli della leggenda della mela. L’intuizione fondamentale di Newton fu quella di mettere insieme la caduta di un oggetto, la Luna legata alla Terra e le leggi di Kepler. La Luna è evidentemente legata alla Terra da una qualche forza. Estrapolando ci si può chiedere se si tratta della stessa forza che lega la Terra al Sole e il Sole agli altri pianeti e così via. Insomma si tratta di capire se vi è una qualche unificazione tra forze, come si direbbe oggi.

        Kepler aveva stabilito che le orbite dei pianeti intorno al Sole sono ellittiche. Ma un moto su un’orbita quasi circolare (non rettilinea) deve prevedere delle forze centrifughe come Huygens aveva chiaramente stabilito. Queste forze si potevano calcolare (per una circonferenza) e quindi si aveva la possibilità di capire quanto dovevano essere intense le forze centripete, quelle che tiravano verso il centro. Infatti, per mantenere un’orbita, vi deve essere equilibrio tra le due forze. E Newton fece questi calcoli nell’approssimazione di orbite circolari (non troppo lontane da come in realtà sono). Per fare i conti in modo più attinente alla realtà realizzò un’esperienza in cui si poteva valutare la pressione esercitata da una piccola sfera ruotante all’interno di una sfera cava sulla superficie interna della sfera stessa. Con la terza legge di Kepler si calcolò la forza centripeta che avrebbe dovuto trattenere un pianeta nella sua orbita. Iniziò a capire che tale forza va come l’inverso del quadrato della distanza del pianeta dal Sole. Calcolò quindi la forza necessaria a mantenere la Luna in orbita intorno alla Terra e la confrontò con quella di gravità. Insomma, una linea di pensiero era stabilita anche se mancavano precisi raccordi, misure e calcoli. Visto il tutto a posteriori sembra che le cose stiano a posto ma incomplete. Ma Newton non portò avanti il suo lavoro che comunque era carente di un qualche dato sperimentale come la corretta lunghezza dell’arco di meridiano che sarebbe servita per una determinazione precisa della distanza della Terra dalla Luna. Se avesse disposto di una biblioteca, che non c’era nel luogo dove si era ritirato, avrebbe potuto avere dei dati che gli mancavano e si sarebbe accorto che la sola gravità non sarebbe bastata a controbilanciare la forza centrifuga della Luna intorno alla Terra. Inoltre vi era il problema di capire se la gravità, da sola, era in grado di originare la forza centrale che teneva la Luna intorno alla Terra o se fosse necessario ricorrere a qualche altra forza non nota (qui vi era il rischio che Newton avesse la tentazione di assegnare questa forza eventualmente non nota a qualche vortice di tipo cartesiano se non, peggio, a delle emanazioni di tipo kepleriano).

        Un fatto nuovo si verificò nel 1672. Nel 1667 Luigi XIV aveva fondato l’Osservatorio di Parigi e, nell’ambito delle attività di tale osservatorio, era stata affidata all’abate-astronomo Jean Picard (1620-1682) l’impresa di misurare un arco di meridiano per arrivare a determinare la grandezza della Terra. Picard, servendosi del metodo indicato nella Cosmographia di Francesco Maurolico (triangolazioni ed orientazione mediante la Stella Polare e la Stella Delta di Cassiopea) e di alcune misure già fatte da Snell, misurò la lunghezza di un arco del meridiano passante per Parigi (stabilì che un grado di meridiano corrispondeva ad una lunghezza di 111,196 chilometri con una precisione, come si vede, molto grande). Il lavoro era iniziato nel 1669 ed i risultati furono pubblicati proprio nel 1671 in una memoria dal titolo Mesure de la Terre. Questi risultati di Picard furono comunicati alla Royal Society da Oldenburg l’11 gennaio 1672 e Newton ebbe l’opportunità di rifare i suoi calcoli con molta maggiore precisione. Poiché si rese conto che tutto tornava il suo parossismo divenne tale che non riuscì materialmente a finirli dandone incarico ad un conoscente. Newton era arrivato a stabilire con esattezza la forza che lega la Luna alla Terra. E qui nasce subito un fatto del tutto incomprensibile: perché Newton tacque per quasi venti anni, fino alla pubblicazione dei Principia, senza far conoscere questo suo stupefacente risultato ? Vi doveva essere qualcosa che gli sfuggiva e che lo rendeva timoroso di squalificarsi per sempre. Intuiva che doveva esservi una attrazione universale ma egli lavorava solo con la forza di gravità. Come accordare le varie cose ? Inoltre vi era il problema di come tener conto della distanza Terra-Luna. In alcuni calcoli Terra e Luna erano considerate puntiformi ma quando si passava alla gravità, occorreva considerare la distanza tra i centri di Terra e Luna o quella tra le rispettive superfici ? Ed in ambedue i casi, qual era il raggio corretto della Terra ? Troppe incertezze. Newton preferì aspettare. Nel 1673 un’altro pezzo utile alla comprensione del problema si aggiunse: Huygens aveva pubblicato un suo lavoro sulle forze centrifughe, l’Horologium oscillatorium (l’altro, il De vi centrifuga, sarà pubblicato postumo nel 1703 ma forse alcuni risultati erano stati comunicati direttamente da Huygens a Newton). E la relazione trovata da Huygens è indispensabile per determinare la dipendenza dall’inverso del quadrato, occorre  metterla a sistema con la terza legge di Kepler per ricavare tale dipendenza.

        Per 6 anni questa ricerca sembrò cadere nel dimenticatoio da parte di Newton. Leggo da Hayli:

la seconda legge di Kepler o legge delle aree, enunciata nel caso delle ellissi planetarie, è vera per ogni movimento, purché la forza che si esercita su un punto materiale sia una forza centrale, passi cioè da un punto fisso; se questa forza e inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal centro d’attrazione al punto materiale, il movimento di questo avverrà secondo una sezione conica, cioè secondo un cerchio, una ellissi, una parabola o un’iperbole, essendo il centro di attrazione nel centro del cerchio o in uno dei fuochi della conica; inversamente un punto materiale che descrive una ellissi attorno ad uno dei suoi fuochi, come nel caso dei pianeti, è sottoposto ad una forza centrale diretta verso il fuoco, inversamente proporzionale al quadrato della distanza.

        Arriviamo ad una data molto importante, al 1684. Agli inizi di quell’anno vi era stato un incontro tra tre eminenti astronomi, fisici e matematici: Halley(1), Hooke e Wren(2). Avevano discusso della frontiera della conoscenza all’epoca, dell’argomento che tutti studiavano ma che aspettava una soluzione definitiva. Tutti e tre questi personaggi avevano studiato il problema ed erano arrivati, per vie diverse, a stabilire che la legge di attrazione cercata doveva avere un andamento con l’inverso del quadrato della distanza. Il problema comune era il conciliare tale legge con un’orbita ellittica. Si girava intorno alla forza di gravità e quindi agli oggetti in caduta e alla ricerca di analogia con la caduta della Luna sulla Terra per spiegarne la permanenza in orbita. Il tutto si originava da un passo del Dialogo sui Massimi Sistemi di Galileo nel quale si attribuisce a Platone un’origine del sistema planetario da un moto di caduta. Le conversazioni tra i tre  portarono ad un nulla di fatto. Ma Halley fu informato da Wren che Newton (che Halley aveva conosciuto nel 1682), si era in precedenza occupato del problema che li assillava e ciò lo convinse a recarsi a Cambridge per incontrarlo. La cronaca dell’incontro è raccontata da A. De Moivre(3). Halley chiese a Newton quale traiettoria orbitale dovrebbe seguire un corpo che ruota intorno ad un altro con lo attrae con una forza inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. Newton rispose che tale traiettoria era un’ellisse. Halley gli chiese come faceva a saperlo e Newton rispose che lo aveva calcolato. Si diresse allora verso il luogo dove conservava i calcoli ma … non li trovò. Si accordarono allora che Newton avrebbe rifatto i calcoli e li avrebbe inviati ad Halley. L’impegno fu mantenuto ed a novembre Halley li ebbe inoltre ricevette anche un trattato, scritto da Newton, De motu corporum in gyrum, in cui erano risolti una quantità incredibile di problemi di movimento di differenti pianeti. Il lavoro era chiaro e convincente ed Halley tornò a Cambridge per convincere Newton a presentare i suoi lavori alla Royal Society. Al ritorno a Londra, Halley fece una relazione alla Società delle scoperte di Newton e parlò anche del De motu che sarà la base su cui Newton costruirà i Principia tra il 1685 ed il 1686.

        Newton, in quest’opera che è un caposaldo della storia della scienza, era riuscito finalmente a integrare tutti i singoli pezzi in una elaborazione unica molto solida ed in grado di sfidare tutte le obiezioni. Integrando quanto ho già detto, Newton aveva fatto ulteriori passi in avanti: aveva mostrato che la forza che si esercita tra due sfere omogenee è la stessa che agisce tra due masse puntiformi sistemate al centro delle sfere suddette e che l’orbita che si ottiene da una legge dell’inverso del quadrato è una sezione conica(4). Aver stabilito ciò diventa facilmente una parte fondamentale della gravitazione universale: la forza di cui sopra, risulta proporzionale al prodotto delle masse  ed inversamente proporzionale alla distanza tra i centri delle masse medesime, risolvendo uno di quei dubbi che probabilmente lo aveva fermato anni prima. Con questo in mano, insieme ai dati sperimentali e le misure che venivano effettuate (Picard) ed ai risultati teorico-sperimentali di Huygens sulla forza centrifuga, Newton riuscì finalmente a confrontare la forza di gravità terrestre con quella che tiene legata la Luna alla Terra ed a trovare la loro identità. Da questo momento era stabilita un’attrazione universale, un qualcosa che valeva per quella mela come per la Luna, come per il Sole e tutto lo spazio.

        Credo convenga dire le cose in modo più particolare e semplice. Il fatto che i pianeti ed il Sole nello spazio potessero essere assimilati a punti materiali, poteva essere accettato senza troppa fatica date le enormi distanze. La cosa che turbava era una mela che cadeva  a due metri dal suolo. Come è possibile qui fare le approssimazioni planetarie ? L’idea geniale di Newton è quella di affermare che la mela non si trova a due metri dalla superficie della Terra ma a circa 7000 Km dal suo centro ! Insomma la Terra si assimila ad una massa concentrata nel suo centro. Quando si va a fare il conto della forza centrifuga della mela la distanza da considerare non è 2 metri ma circa 7.106 metri. Questo è il succo della stupenda intuizione di Newton che egli tratta nel Primo Libro (dei tre) dei Principia.

        In relazione a questa scoperta di enorme importanza, Newton riesce ad immaginare qualcosa di altrettanto evocativo da destare profonda emozione, perfino artistica. Egli ci presenta un esempio clamoroso del dove si può arrivare immaginando anche senza sperimentazione, un poco come Galileo che si diceva certo che anche senza esperienze le cose sarebbero andate in quel modo. Newton sta discutendo dei satelliti. Ed immagina un satellite artificiale per la Terra. Come metterlo in orbita? La figura che Newton ci offre spiega benissimo cosa egli pensi. 

        Vediamo il ragionamento aiutandoci con una figura utilizzata dallo stesso Newton, con quell’enorme enorme potenza evocativa di cui dicevo che, per chi sa leggere la scienza, è una vera imponente opera d’arte:

        Se ci  mettiamo sulla cima di una montagna V e lanciamo un sasso o spariamo un proiettile, esso cadrà in D, in E, in F o in G a seconda della spinta che gli forniamo. Se la spinta è più grande ? Allora il proiettile continuerà a cadere … senza mai incontrare la Terra sotto di sé. Questa caduta continua è quella che sperimenta un satellite messo in orbita ed è quella che sperimenta la Luna che cade continuamente intorno alla Terra. Newton fece anche dei conti utilizzando tre dati: il periodo di rivoluzione della Luna intorno alla Terra, la distanza Terra-Luna, il raggio della Terra. Trovò alla fine il valore dell’accelerazione di gravità. Tutto questo a partire da un pregiudizio, da una ipotesi: il fenomeno di caduta è lo stesso per una mela, per un proiettile, per un satellite. La gravità unifica i tre fenomeni. E questa conclusione, che rappresenta uno dei primi tentativi di riportare la spiegazione dei fenomeni naturali a concetti generali, è fondamentale nell’epoca di Newton ed è permessa solo dalla matematica. Infatti, se Newton avesse sostenuto l’identità dei tre fenomeni con dei meri ragionamenti, non si sarebbe sottratto all’accusa di ricercare cause occulte.

        Con in mano la gravitazione universale, con tutta la meccanica costruita a lato, si apriva letteralmente un mondo di indagini e di formalizzazioni. Newton si buttò a capofitto dentro tali elaborazioni anche dimenticando i pasti ed il sonno (come ha raccontato il suo compagno di stanza a Cambridge, il suo omonimo Humphrey Newton), dividendo tale lavoro solo con le sue ricerche alchemiche.

        Dopo varie difficoltà di vario tipo (polemiche di priorità, perfezionismo di Newton, scelta della formulazione matematica, finanziamenti, …), alla fine, nell’estate del 1687 furono finalmente pubblicati i Philosophia naturalis Principia mathematica. L’opera era in latino e scritta in modo rigoroso, per chi già aveva confidenza con la materia trattata.

        Galileo ed Huygens avevano sviluppato una meccanica dei corpi sulla superficie della Terra; 1’opera di Newton se ne differenzia per la generalizzazione del principio d’inerzia, per l’introduzione del concetto di forza attraverso una definizione, alquanto discutibile, del concetto di massa e per l’estensione della validità delle leggi meccaniche a tutto l’universo.

        Per ciò di cui ci stiamo occupando Newton, nella prima parte dei Principia, affronta lo studio del moto dei corpi soggetti a forze centrali ed in particolare dimostra che, se vale la terza legge di Kepler (il quadrato del periodo di rotazione di un pianeta intorno al Sole è proporzionale al cubo della distanza di tale pianeta dal Sole medesimo), le forze centrali debbono risultare inversamente proporzionali ai quadrati delle distanze.

        Questo risultato verrà ripreso nella terza parte dei Principia(5), come vedremo nel prossimo paragrafo, nella quale Newton si occupò dell’applicazione ai pianeti delle leggi della meccanica precedentemente trovate, costruendo il suo sistema del mondo e la famosa legge di gravitazione universale.

        Questa legge dice che: due corpi di massa m ed M si attraggono reciprocamente con una forza F che è proporzionale, secondo una costante G, al prodotto delle masse dei due corpi ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza r che, appunto, separa i due corpi. La G rappresenta la costante gravitazionale [che sarà misurata con precisione da Henry Cavendish nel 1798 con una bilancia di torsione da lui stesso realizzata. Oggi disponiamo di misure accurate che per G forniscono: G = (6,67428 ± 0,0007).10-11m3.Kg-1.s-2].

LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE

            Newton, che era altro personaggio da Galileo, legato in vari modi alla metafisica, alla magia ed all’alchimia, non provava fastidio a leggere Kepler. Conosceva quindi le sue leggi, anche perché, rispetto a Galileo, erano trascorsi moltissimi anni (78, per la precisione). Le tre leggi di Kepler, che riguardano e descrivono il movimento nel suo insieme (si possono definire integrali), giocarono un ruolo importante nel processo che portò Newton a ricavare la legge di gravitazione universale che permette di dedurre dallo stato del sistema in un momento dato, lo stato immediatamente successivo (si può definire differenziale). Quella di Newton è la prima legge che viene formulata in grado di soddisfare il principio di causalità e di avviare ad un compiuto meccanicismo.

      Iniziamo con il ricordare le Leggi di Kepler:

1) i pianeti si muovono intorno al Sole in orbite ellittiche;

2) il raggio vettore che unisce il Sole e ciascun pianeta (o un pianeta ed i suoi satelliti) descrive aree uguali in tempi uguali;

3) i cubi delle distanze dal Sole di due o più pianeti stanno tra loro come i quadrati dei rispettivi periodi di rivoluzione [che si può anche dire: i quadrati dei tempi che i pianeti (o i satelliti) impiegano nella loro orbita variano col cubo delle loro distanze medie dal Sole (o dal rispettivo pianeta)]:

      

Tralascio la Prima legge di Kepler perché Newton partì, per i suoi calcoli, dal supporre le orbite circolari (modificò in seguito tale assunto) e seguo la linea di pensiero di Newton, servendomi del libro di Holton e Brush.

         Intanto, se si ammette la Prima Legge di Newton (che abbiamo visto), occorre ammettere che, in assenza di forze, un corpo seguirebbe indefinitamente muovendosi in linea retta (o restando immobile: qui si aprirebbe un altro vespaio di problemi relativo al sistema di riferimento ma della cosa ho trattato ampiamente altrove). Il fatto che un corpo sia costretto in un’orbita circolare mostra che esso è soggetto ad una forza che chiameremo centrale perché diretta, istante per istante, verso il centro della traiettoria del moto. Questa fu la conclusione a cui arrivò Newton a partire dalla Seconda legge di Kepler (vedi Principia, Libro I, Proposizioni  I e II). Per seguire il suo ragionamento serviamoci della figura seguente:

        Un corpo si muove in linea retta a velocità costante. Ad intervalli uguali di tempo Δt, percorrerà spazi uguali PQ = QR = RS = …. . Rispetto ad un punto fisso O (dovunque sia messo O), la linea che unisce O con il corpo mobile, spazzerà aree uguali in tempi uguali visto che i triangoli PQO, QRO, RSO, … sono tutti uguali per avere uguali basi ed uguali altezze. Supponiamo ora che tale corpo subisca un impulso (per un tempo Δt)  in Q a seguito dell’applicazione di una forza diretta lungo QO. La direzione del moto cambia in una direzione che si ottiene combinando vettorialmente la velocità iniziale che porterebbe l’oggetto in R con quella che, istantaneamente e se agisse da sola, sposterebbe il corpo da Q a Q’ (figura b). In definitiva il mobile va a finire in R’. Ciò che interessa ora è che l’area spazzata nel tempo suddetto Δt, non viene modificata poiché all’area del triangolo QRR’ che viene sottratta a ciò che si sarebbe avuto senza l’impulso, si aggiunge ora l’area del triangolo ORR’ che è uguale a quella sottratta (hanno la stessa base e la stessa altezza, poiché QQ’ risulta parallelo a RR’). Per la proprietà transitiva l’area OQR’ risulta poi uguale a OPQ. La cosa prosegue: l’oggetto in R’ riceve un altro impulso lungo R’O e tutto si ripete con il solo cambiamento dei triangoli. Possiamo allora concludere che forze centrali applicate in intervalli di tempo uguali non modificano le aree spazzate per unità di tempo. Ora non resta che rendere gli intervalli di tempo Δt piccoli a piacere (processo al limite per Δt tendente a zero) per ottenere una forza diretta verso il centro come una forza centripeta continua e per trasformare la linea spezzata in una curva continua.

        Siamo alla conclusione di Newton: dato che i pianeti, in accordo con la Seconda legge di Kepler, spazzano aree uguali in tempi uguali, la forza che agisce su di essi deve essere una forza centrale che agisce con continuità (riferendosi ad una ellisse e non ad una circonferenza in luogo del centro si dovrà considerare uno dei fuochi).

        Fin qui, dalla Seconda Legge di Kepler, Newton ha trovato che i pianeti sono soggetti a forze dirette verso il centro del moto. Vediamo come, a partire dalla Terza legge di Kepler, Newton ricava la nota legge dell’inverso del quadrato che regola tale forza (è una delle possibili ricostruzioni poiché non si conoscono documenti che testimonino cosa in realtà egli abbia fatto).

        Abbiamo visto che un oggetto che si muove di moto circolare ha una accelerazione centripeta data dalla relazione trovata da Huygens(7):

(3)       a = v2/R                                           

E la che compare in questa relazione è la velocità lungo una circonferenza di raggio R e cioè:

ed abbiamo trovato un risultato di grande importanza: la forza che il Sole esercita su ogni pianeta è inversamente proporzionale al quadrato della distanza del pianeta dal Sole.

        A questo punto Newton aveva trovato un risultato che valeva per tutti i pianeti rispetto al Sole ed evidentemente ciò che distingueva una forza da un’altra doveva essere la costante K, la massa m e la distanza R. Egli estese il risultato alla Terra con la Luna, ad ogni pianeta con i suoi satelliti e, cosa di notevole coraggio e spessore a due qualsiasi masse. Dice Newton:

Tutti i corpi dell’Universo si attraggono mutuamente con una forza gravitazionale, come quella esistente tra una pietra che cade e la Terra; di conseguenza, le forze centrali che agiscono sui pianeti non sono altra cosa che un’attrazione gravitazionale da parte del Sole.

        Restava da capire quale proprietà di un data massa determina la sua attrazione gravitazionale da parte di altre masse; quale proprietà della Terra determina il valore di 2Kt per la Terra; quale proprietà del Sole determina il valore  2Ks per il Sole. E Newton avanza l’idea che il prodotto 2K dipenda da qualche proprietà dei corpi e, se l’attrazione gravitazionale è una proprietà comune a tutti i corpi, quel prodotto può dipendere dalla quantità di materia del corpo, cioè dalla sua massa. La cosa più semplice è  partire dalla proporzionalità con la massa, cioè per la Terra dovrà valere (costante di proporzionalità tra 2K ed m):

(8)               4π2Kt =Gmt                            

per il Sole:

(9)                                          4π2Ks =Gms 

e così via per ogni altro pianeta.

        Da qui si ricava che la forza gravitazionale di attrazione che un corpo di massa m1esercita su un corpo di massa m2 ad una distanza R è:

e questa è la famosissima legge di gravitazione universale. Si tratta solo di determinare G, la costante gravitazionale, e la cosa sarà realizzata per la prima volta, come accennato, da Henry Cavendish nel 1798 (cento anni dopo!) con la sua bilancia di torsione (la difficoltà nasceva dal fatto che è estremamente difficile riportare la gravitazione in un laboratorio per effettuare delle misure e Cavendish riuscì in questa impresa).

        Tutto questo a me serviva solo per dire che il peso di una data massa è la forza con cui tale massa è attratta dalla Terra (avrei potuto semplicemente dirlo ma la cosa sarebbe risultata una specie di dogma di provenienza metafisica). Risulta evidente che mentre la massa si conserva, il peso varia da pianeta a pianeta e da luogo in luogo (basta avere a mente le immagini degli astronauti in condizioni di assenza di peso: il peso se ne va e la massa resta!). Cerchiamo di capire brevemente le due cose.

        Dalla (12) si vede che una data massa m1 sarà attratta da un dato pianeta che avrà una sua massa m2 e questo originerà il peso di m1. E’ evidente che, al cambiare pianeta, cambia m2 e quindi cambia la forza di attrazione, cioè il peso.

        Sempre dalla (12) si vede che la forza di attrazione che sente una data massa (il suo peso) dipende molto dalla distanza a cui tale massa si trova rispetto, ad esempio, alla Terra. Spostandoci sulla Terra, questa attrazione (il peso) sarebbe sempre la stessa solo se la distanza di ogni punto della Terra dal suo centro fosse sempre la stessa. Ma la Terra non è una sfera perfetta. Quindi il peso di un dato oggetto risulterà maggiore quanto più vicini ci troviamo al centro della Terra (più R è piccola, di gran lunga più grande è la forza attrattiva e quindi il peso). La cosa era stata empiricamente scoperta da Giovanni Richer nel 1671. Recatosi alla Cayenna per una spedizione scientifica, si accorse che il suo orologio a pendolo ritardava di due minuti e mezzo al giorno rispetto all’ora solare media. Di tale fenomeno, con la legge di gravitazione se ne comprendeva ora il motivo. Dall’esperienza di Richer, Huygens aveva stabilito che la Terra doveva essere schiacciata ai poli e rigonfia all’equatore (la cosa la verificò sperimentalmente mettendo a ruotare velocemente su se stesso un blocco d’argilla molle infilato su un asse rigido. Tale esperienza ebbe una grande influenza nello sviluppo delle teorie cosmologiche di Kant e Laplace). A questo proposito c’è la famosa querelle sull’oro. Se si comprasse l’oro a peso converrebbe comprarlo al Polo Nord e venderlo all’Equatore. Ma nessuno compra o vende l’oro a peso. Si comprano le masse d’oro. Parlo d’oro perché anche piccoli variazioni nel suo peso comporterebbero grandi variazioni di prezzo. Con le patate, per ora, non c’è alcun problema.

          Da questo momento la distinzione tra peso e massa diventa indiscutibile. Essa era tutta all’interno dei Principia ma per evidenziarla come meritava fu necessaria l’opera di Giovanni Bernouilli che nella sua Meditatio de natura centri oscillationis (1714) dice esplicitamente che il peso di un corpo si ottiene moltiplicando la sua massa per l’accelerazione di gravità (la g che abbiamo incontrato nella relazione 15 e che, misurata come lì indicato, vale all’incirca 9,81 m/sec2).

         E’ appena il caso di accennare al fatto che tramite la (12) è possibile calcolarsi la massa dei differenti pianeti, della stessa Terra e del Sole. E’ possibile anche calcolare le masse dei satelliti dei pianeti ma in tal caso i calcoli sono piuttosto complessi (come è complesso il calcolo di pianeti senza satelliti). Tramite la (12), a partire dalla perturbazione di alcune orbite planetarie, si sono potuti scoprire altri pianeti.

       Per molti versi Newton rappresenta l’apice di un determinato periodo storico, ma, per molti altri, egli va considerato come il capostipite di una nuova era, nella quale la scienza classica arrivò a maturazione, cominciando ad esistere indipendentemente da ipoteche teologico-metafisiche e ad esercitare un’enorme influenza nei più svariati campi dell’attività umana. Ma non basta. Newton intraprese anche una grossa, battaglia, qualche volta contraddittoria, contro tutti quei filoni di pensiero che avevano una precostituita concezione del mondo, base di riferimento indipendente da ogni indagine scientifica. Egli si batté contro ogni costrizione che volesse bloccare lo sviluppo razionale dell’indagine e del pensiero scientifico, per la libera espressione di ogni attività umana (certamente in questo avvantaggiato dal clima economico-politico-culturale dell’Inghilterra del XVII secolo).

GLI OSSERVATORI ASTRONOMICI

        Fino alla metà del XVII secolo le osservazioni del cielo avvenivano con mezzi e strumenti del singolo ricercatore che o era benestante e poteva comprarli o era anche un artigiano in grado di costruirseli. Non tutti ebbero la grande fortuna di Tycho che ebbe un osservatorio invidiabile ad Uraniborg nell’isola di Hveen realizzato tra il 1576 ed il 1580 al quale si aggiunse qualche anno dopo quello di Stjerneborg, ambedue finanziati dal re Federico II di Danimarca. Prima di questo si ha notizia dell’osservatorio realizzato a Norimberga da Johannes Regiomontanus e da Bernard Walther nel 1471. Nella stessa epoca di Thyco, Guglielmo IV di Hesse tentò di far realizzare un osservatorio ai due astronomi Rothman e Byrge. Ed in quegli anni anche a Danzica si costruì un osservatorio ad opera di Johannes Hevelius. Nel 1637 fu poi iniziata la costruzione dell’osservatorio di Copenaghen. Insomma, si può dire che a partire dalla metà del XVII secolo vi fu una sorta di gara emulativa e di prestigio nella costruzione degli osservatori. Ma la storia degli osservatori moderni inizia con quello di Parigi, che fu messo in cantiere da Colbert nel 1666 (in contemporanea con l’Accademia delle Scienze), reso funzionante nel 1672 e presto affidato all’astronomo italiano Gian Domenico Cassini(9). Qualche anno dopo, nel 1675, fu inaugurato l’Osservatorio di Londra, il  Greenwich(10), perché costruito su Greenwich Hill, una  collina di proprietà del Re Carlo II. Il primo direttore di esso fu Flamsteed.

L’osservatorio di Parigi

Telescopio dell’osservatorio di Parigi

Sala della meridiana nell’osservatorio di Parigi

L’osservatorio di Greenwich

Sala ottagonale dell’osservatorio di Greenwich al tempo di Flamsteed (l’osservatorio fu bombardato dai tedeschi nella Seconda Guerra Mondiale).

        Il proliferare di osservatori mostra come l’astronomia fosse diventata una scienza di prima grandezza sulla quale, per la sua utilità anche pratica si poteva investire ed anche molto. L’osservatorio era infatti il luogo dove si mettevano insieme gli strumenti più avanzati che la tecnica permetteva di produrre e dove ne venivano progettati continuamente, anche di grandi dimensioni. In tali laboratori potevano operare anche scienziati che non disponevano dei mezzi per procurarsi una qualche strumentazione. Si trattava di ampliare la base di coloro che dedicavano il loro ingegno alla scienza. Più avanti nel tempo gli osservatori furono aperti al pubblico. Tali iniziative tendevano a rendere i cittadini sempre più partecipi di ciò che si studiava e si faceva e la scienza uno strumento per l’emancipazione dell’uomo dalla schiavitù di astrologia, magia e religione. Entravamo nel secolo dell’Illuminismo.

LE COMETE

        Nel 1680 comparve nel cielo una vistosa cometa che, naturalmente, attrasse l’attenzione di tutti gli astronomi tra cui Newton. Nel lungo periodo di permanenza nel cielo  (da novembre 1680 al marzo 1681) essa fu studiata nelle posizioni, velocità e traiettoria (che riportò nei Principia) anche dallo stesso Newton. All’inizio ad occhio nudo, poi con il suo monocolo (era miope), quindi appassionatosi al fenomeno con un telescopio primadi tre piedi poi di sette piedi dotato di micrometro (fu qui che Newton apportò perfezionamenti al suo telescopio catottrico).

La cometa del 1680 nelle osservazioni della traiettoria fatte da Flamsteed e corrette da Halley.

        Flamsteed, direttore dell’Osservatorio di  Greenwich, espresse la sua opinione sul  moto di questi corpi celesti che sarebbe stato originato dall’azione magnetica del Sole che le costringeva a farle ruotare intorno a sé. Newton era invece contrario alla natura magnetica dell’azione anche ammettendo la funzione attrattiva del Sole medesimo. Ed è di estremo interesse leggere la motivazione con la quale Newton respingeva la natura magnetica del Sole. Egli scrisse che il Sole è un corpo veementemente caldo ed i corpi magnetici, quando vengono arroventati, perdono la loro virtù. Ma Flamsteed aveva colto un aspetto nuovo riguardante le comete. Fino ad allora, a parte le fantastiche teorie degli aristotelici e le becere superstizioni, le comete erano pensate come corpi estranei al sistema solare che non seguivano le stesse leggi dei pianeti e satelliti perché non in grado di ripetersi all’infinito, come le orbite quasi circolari, mantenendo la stabilità dei cieli. La loro traiettoria era creduta rettilinea (anche se con velocità variabili) come Kepler aveva sostenuto. E Newton a quell’epoca propendeva per questa teoria (ma con moto uniforme). Flamsteed realizzò, su dati osservativi, una svolta radicale: le comete, in vicinanza del Sole, invertono la loro direzione di marcia risultando un poco meno effimere di come si ritenevano. Ma come era possibile che nessuno si fosse accorto che i versi del moto di una cometa si invertono in prossimità del Sole ? La risposta ce la fornisce il fatto che Newton sospettasse che le comete di novembre e dicembre, che il signor Flamsteed considera una e la stessa cometa, fossero due comete diverse. Insomma si aveva il sospetto che non di un cambiamento di direzione si trattasse ma di due oggetti diversi, in moto rettilineo in direzioni opposte circa parallele. Flamsteed pensò che per avere un sostegno alla sua idea doveva rivolgersi a Newton che aveva conosciuto 6 anni prima. I contatti epistolari furono ripresi tramite un amico, James Crompton e furono di grande utilità per Newton che poté accedere a molti dati osservativi non solo della cometa che era in cielo. L’argomento divenne per lui di grande interesse tanto che vi dedicò molto tempo (informandosi di ogni osservazione anche nelle colonie d’America e leggendo tutta la letteratura disponibile) e molti studi almeno fino al 1690 inserendolo nei Principia come argomento scientifico finale  del terzo ed ultimo libro (dalla Proposizione XXXVIII, Problema XIX, Lemma IV, alla fine del libro terzo) ed anche come citazione all’interno dello Scolio Generale che conclude l’opera. La conversione di Newton all’idea di comete con moti curvilinei intorno al Sole sembra sia avvenuta intorno all’agosto 1684, dopo aver ricevuto a Cambridge una visita da parte di un suo fervente ammiratore, Edmond Halley (1656-1742). In ogni caso questa nuova visione, prima di essere ampiamente trattata nei Principia, comparve nel suo De motu corporum in gyrum(Scolio al Problema 4) dello stesso 1684 dove egli semplicemente accennava al fatto che alcune comete potessero ritornare. Ciò fa intendere che Newton avesse in mente, oltre a traiettorie ellittiche con grandissima eccentricità, delle traiettorie paraboliche ed iperboliche per le comete che apparivano una volta sola. Questo poneva il problema del riconoscimento e, nel De motu, Newton affermava di sapere se la stessa cometa ritornava ripetutamente. Nei Principia Newton trattò ampiamente il problema fornendone una completa teoria, sia per comete periodiche che per quelle non periodiche. Il risultato fu una ulteriore generalizzazione della gravitazione universale che Newton mostrò valere anche per le comete ormai trattate come quasi-pianeti. Quella gravitazione si estendeva quindi anche al di fuori del sistema solare visibile, costringendo a tali enormi distanze il ritorno della cometa, e non c’era ormai motivo di dubitare della sua validità dovunque nello spazio.

La cometa di Halley del 1682, passata nel 1986, ritornerà nel 2061

        Halley aveva seguito tutte le osservazioni della cometa ed aveva approfittato di un viaggio in Francia per arricchirle con altre fatte all’Osservatorio di Parigi. Seguace di Newton egli era convinto della correttezza della legge dell’inverso del quadrato (che conosceva dal De motu) e tentò l’applicazione di tale legge ai dati di cui disponeva. Riuscì a calcolarsi l’asse maggiore dell’orbita ellittica che si supponeva la cometa dovesse avere, l’angolo formato dal piano su cui giaceva tale orbita con il piano dell’eclittica e varie altre grandezze.

        Nel 1682 comparve in cielo una nuova cometa (quella oggi nota come cometa di Halley) che fu subito studiata da Newton e da Halley. Quest’ultimo poi riprese vari dati osservativi di comete apparse negli anni precedenti e si soffermò in particolare su una cometa le cui posizioni furono descritte da Kepler nel 1607. Halley si accorse che la cometa del 1682 sembrava avesse un’orbita identica a quella del 1607. Si chiese se la cometa del 1682 era la stessa del 1687 che percorreva la sua orbita con un periodo di 75 anni. Se così fosse stato si sarebbero dovute trovare tracce di un avvistamento di cometa nel 1532. Cercando con cura egli scoprì delle osservazioni di una cometa che Petrus Apianus (1501-1552) aveva fatto ad Ingolstadt (Baviera) nel 1531 e sulla quale aveva pubblicato un libro, Practica (Landshut, 1532), nel quale tra l’altro per la prima volta veniva evidenziato che la coda di una cometa è diretta sempre in direzione opposta al Sole. Halley non ebbe più dubbi tanto che azzardò la previsione del successivo passaggio della cometa nel 1758. Purtroppo egli non riuscì a vederla ma effettivamente la cometa si ripresentò passando al perielio il 12 marzo 1759 (ci si accorse poi che la cometa era stata vista anche nel 1456 e, risalendo indietro, vi erano molte notizie di suoi avvistamenti a partire dal 1066 quando la testimonianza della sua presenza proviene da un arazzo di Matilde di Bayeux illustrante la Conquista d’Inghilterra).

Particolare dell’arazzo in cui, in alto a destra, è rappresentata la cometa di Halley (in basso vi sono personaggi che la indicano ed in alto vi è una scritta che dice questi stanno osservando la stella).

        La cometa pose dei problemi al suo studio perché, come oggi sappiamo, la sua massa è piccola. Ciò vuol dire che proprio la legge di gravitazione universale impone che non solo il Sole attragga i pianeti ma che anche i pianeti attraggano il Sole e si attraggano tra loro. Più in dettaglio una cometa sente molto l’attrazione dei pianeti, soprattutto di quelli grandi come Giove. L’effetto è che secondo a quale distanza la cometa passi da loro, la sua traiettoria risulti più o meno perturbata comportando ciò variazioni anche sensibili nel suo periodo. Dal punto di vista dei calcoli, essi possono solo essere ben approssimati dalla teoria delle perturbazioni, perché ancora oggi non siamo in grado di trattare in modo completo il problema dei tre corpi, non siamo cioè capaci di trattare con ogni dettaglio, ad esempio, le interazioni reciproche tra Sole, Terra e Luna. Figurarsi quando i corpi diventano molti. Riportando ciò ad una cometa, non siamo in grado di predire con estrema esattezza il momento in cui essa passerà al perielio della sua orbita (ma ci avviciniamo sempre più). Rispetto ai calcoli di Halley vi era stato un ritardo di 618 giorni. Un calcolo più preciso fu fatto dal matematico francese Clairaut che, proprio con la teoria delle perturbazioni, calcolò il passaggio per l’aprile del 1759 (con un errore di più o meno un mese).

        Il ritorno della cometa nel 1759 era una conferma totale della teoria della gravitazione universale di Newton ed uno splendido esempio della potenza della meccanica celeste.

DALLA TERRA AL SOLE ED ALLE STELLE

        Qua e là abbiamo visto il porsi del problema delle distanze di pianeti tra loro, con satelliti e dal Sole. Siamo quasi sempre rimasti al sistema solare con, fino a Copernico, quella sfera delle stelle fisse che chiudeva come in un guscio il sistema solare e di fatto limitava un universo finito. Le stelle si sapevano appunto fisse e nessuno poteva immaginare che fossero a distanze diverse dalla Terra. Quel guscio piano piano si è rotto verso un universo sempre sempre più grande, infinito. E’ solo nel XVIII secolo che le stelle diventano partecipi degli sviluppi dell’astronomia.

        Nella storia dell’astronomia la prima distanza che si tentò di calcolare fu quella della Terra dal Sole. Il metodo per farlo fu ideato da Ipparco di Nicea (185-127 a.C.) e, con alcuni aggiustamenti, fu utilizzato da Tolomeo, da Copernico, Tycho, quindi fino al XVII secolo. I risultati erano tutti molto sottostimati.

        Il metodo della parallasse di Ipparco, già utilizzato da Aristarco, era il seguente. La Terra, illuminata dal Sole, proietta dietro di sé un cono d’ombra che, in alcune occasioni, risulta attraversato dalla Luna (eclisse). Si trattava di misurare le dimensioni di tale cono, attraverso il tempo impiegato dalla Luna nell’attraversarlo durante un’eclisse totale e la distanza della Terra dalla Luna, calcolabile con il metodo trigonometrico che permette di trovare la distanza esistente tra un dato punto ed un punto inaccessibile (occorre osservare il punto inaccessibile da due differenti punti e misurare la distanza tra i due punti d’osservazione e gli angoli sotto i quali il punto inaccessibile viene visto).

Da:http://www.racine.ra.it/planet/testi/Imm/figura_7.gif

        Queste misure, soprattutto di angoli, sono estremamente delicate e praticamente impossibili da realizzare con la strumentazione disponibile fino al XVII secolo. Tolomeo, per la distanza Terra-Sole ricavò un valore pari a 1146 volte il raggio terrestre. Copernico trovò 1179. Tycho trovò 1150. Ed anche altre misure con tale metodo davano valori lontani dalla realtà. Era necessaria l’astronomia di precisione per riuscire nell’impresa e fu Gian Domenico Cassini(12) che riuscì a fornire il primo dato attendibile nel 1672.

        Egli disponendo già di un apparato fisico matematico adeguato (terza legge di Kepler) iniziò con il misurare la distanza della Terra da Marte servendosi del metodo riportato in nota 11 (l’ultimo, riferito in nota alla distanza Terra-Luna e da Cassini applicato alla distanza Terra-Marte). Conoscendo tale distanza, mediante la terza legge di Kepler si sarebbe potuti risalire a quella della Terra dal Sole.

In figura compare l’unità di distanza astronomica AU che è la distanza tra Terra e Sole e vale 150 milioni di km (circa).

        Per fare le sue misure della distanza di Marte dalla Terra, inviò a Cayenne, una città in Guyana francese, il suo collaboratore Jean Richer (1630?-1696) in modo da disporre di misure simultanee della posizione di marte da due punti di osservazione molto distanti. Si era in condizioni di Marte in opposizione e quindi di sua maggiore visibilità. La distanza calcolata era di circa 140 milioni di chilometri, con un errore di circa il 7% a quello da noi oggi accettato.

        Fatta tale misura, Cassini passò a calcolarsi la parallasse del Sole calcolando l’angolo sotto il quale è visto il Sole a sei mesi di distanza. Tale angolo, misurato con il metodo di Tolomeo (quello di Ipparco ripreso da Tolomeo), portava ad un angolo di circa 2 minuti e 30 secondi. Cassini trovò invece un valore estremamente più piccolo, solo 9 secondi. Con ciò il Sole si allontanava di un’enormità dalla Terra ed il sistema solare cresceva a dismisura.

          Qualche anno più tardi, nel 1716, Halley suggerì di considerare la distanza della Terra da Venere, per la sua maggiore vicinanza alla Terra, sfruttando il suo transito sul Sole (che però avviene un paio di volte ogni cento anni) che sarebbe avvenuto nel 1761 ed anche nel 1769 (anche Cassini sapeva che Venere era un pianeta più adatto per la minore distanza dalla Terra ma lo scartò perché quando esso si trovava più vicino alla Terra era nella posizione tra Terra e Sole, eventualità che ne rendeva molto difficile l’osservazione)(13).

I due punti d’osservazione di figura sono Parigi e l’Isola Rodrigues a circa 500 km dalle Mauritius (Oceano Indiano).

L’osservazione da due punti diversi avrebbe fornito la parallasse mediante le due traiettorie di Venere osservate (14).    

Se supponiamo un osservatore al punto P della seconda figura seguente, esso vedrà Venere percorrere la traiettoria AB (prima figura seguente). Un osservatore al punto P’ vedrà invece la traiettoria A’B’ (prima figura seguente).  Le due traiettorie sono essenzialmente parallele e l’osservazione è preferibile si faccia da due punti posti al di sopra ed al di sotto dell’equatore terrestre. Se D è la distanza tra le due traiettorie, con semplici calcoli trigonometrici, siamo in grado di misurare la distanza PV tra l’osservatore e Venere. Ma le cose non sono così semplici perché le due traiettorie sono molto vicine tra loro e distinguibili con difficoltà.

Halley capì che un’informazione equivalente al calcolo di D (attenzione che per semplicità parlo di lunghezze, in realtà si tratta di angoli sotto cui vediamo tali lunghezze) era quella della misura dei tempi dei transiti di Venere sia nella traiettoria AB che in quella A’B’. Dalla differenza dei tempi di transito, più semplici da misurare, si può risalire a D (i tempi di transito sono dell’ordine di grandezza di ore mentre la differenza dei tempi di transito è dell’ordine di grandezza dei minuti)(15). La proposta di Halley ebbe un seguito sia nel 1761 che nel 1769 quando Venere ebbe i suoi transiti sul Sole. Tali transiti non erano però visibili nell’Europa occidentale e per poterli misurare degli osservatori si recarono in Siberia, in California, altri ancora a Tahiti, alle Isole Madras, … La cosa risultò molto complessa i risultati di varie spedizioni diversi per quantità troppo grandi e non se ne fece nulla decidendo di rimandare tutto ai transiti del secolo seguente. Ma lo stesso avvenne nei transiti del 1874 e 1882.

        Che accade invece per misurare la distanza delle stelle dalla Terra ? Qui il problema si fa molto più difficile. Con il Sole ed i pianeti il metodo geometrico, se sostenuto da misure sufficientemente precise fornisce dei buoni risultati. Osservando una stella qualunque, i raggi visivi diretti verso di essa, da qualunque parte della Terra si osservi, sono sempre paralleli tra loro. Osservando invece a sei mesi di distanza, in due punti diametralmente opposti dell’orbita terrestre, con strumentazione molto avanzata, i raggi visivi formeranno un angolo piccolissimo ma misurabile per le stelle più vicine (si creerà un triangolo con vertici nei due punti diametralmente opposti dell’orbita terrestre e nella stella e con base il diametro dell’orbita. L’angolo piccolissimo sarà l’angolo che insiste sul vertice-stella e si chiama angolo di parallasse).

        Fu l’astronomo e matematico tedesco Friedrich Bessel (1784-1846) che, nel 1838, riuscì a determinare per la prima volta la parallasse stellare con una piccola stella della costellazione del Cigno (la numero 61). L’angolo di parallasse risultò di 0,314 secondi d’arco (intorno ad un terzo di un secondo) il che significava che quella stella aveva una distanza seicentomila volte superiore a quella della Terra dal Sole (alla velocità della luce un raggio luminoso emesso da quella stella impiega circa 10 anni a giungere sulla Terra). La strada era aperta e due anni dopo l’astronomo scozzeseThomas James Henderson (1798-1844) pubblicò i suoi risultati ottenuti prima di Bessel e non pubblicati per timore che fossero errati. Egli nel Capo di Buona Speranza (in Sud Africa, nell’altro emisfero) misurò la parallasse della brillante stella Alpha Centauri. La parallasse risultò di 0,97 secondi d’arco e ciò vuol dire che quella stella è più vicina alla Terra (la luce emessa da questa stella tarda solo 3 anni e 3 mesi per arrivare sulla Terra. Per fare un minimo confronto si pensi che la luce emessa dal Sole arriva sulla Terra dopo 8 minuti). Altra parallasse, quella di Vega (0,125 secondi d’arco), fu misurata in Russia nel medesimo periodo da Friedrich Georg Wilhelm von Struve (1763-1864). Tutto ciò vuol dire che le stelle sono fuori scala, sono incomparabili con le grandezze del sistema solare.

FRIEDRICH WILHELM HERSCHEL, ASTRONOMO STELLARE

        Una delle domande che nei primi anni del Settecento venne posta, sembra da Halley, era la seguente: se il Sole fosse altrettanto lontano di una stella, avrebbe la stessa luminosità ? Questa domanda implica l’ipotesi che il Sole non sia altro che una tra le tante stelle togliendo ulteriore centralità al sistema solare.

        Per cogliere meglio il significato della domanda di Halley, seguiamo qualche sviluppo storico sullo studio delle stelle. Nell’antichità abbiamo notizia da Plinio che fu Ipparco il primo a redigere un catalogo di stelle e costellazioni (circa 130 a.C.). Il catalogo ci è stato tramandato da Tolomeo e riporta 1022 stelle classificate per costellazioni e per ordine di grandezza (l’apparente luminosità). Inoltre Ipparco dette dei nomi alle stelle e nell’uso degli antichi le raggruppò in costellazioni con nomi di persone, animali o cose (tale uso è rimasto fino ad oggi). I nomi delle stelle che erano nelle costellazioni venivano dati con complicate perifrasi(16) mentre oggi è entrato l’uso della notazione di Johannes Bayer (1572-1625) che propose di chiamare in ogni costellazione le singole stelle con lettere greche, poi con lettere romane, quindi cifre. Il catalogo di Ipparco enumera 20 costellazioni boreali con 360 stelle in totale, 13 costellazioni zodiacali con 346 stelle (vi era Ofiuco oltre a quelle note), 15 costellazioni australi con 316 stelle (in totale 48 costellazioni e, appunto, 1022 stelle). Ipparco quindi si fermò a catalogare solo le stelle più brillanti perché, ad occhio nodo si vedono oltre 7000 stelle (si osservi che nel fare questa catalogazione Ipparco confrontò i suoi dati con quelli dell’astronomo alessandrino Timorachis di circa 150 anni precedente e scoprì che ogni stella risultava spostata di circa 2 gradi sulla sfera celeste. A questo fenomeno Ipparco dette il nome di precessione degli equinozi). Il catalogo di Ipparco fu ripreso da Tolomeo (che aggiunse che esistevano altre stelle che egli chiamò informi, in quanto non appartenenti a costellazioni e che non elencava le ignote costellazioni dell’estremo sud) e quindi da Copernico, senza modifiche di rilievo. Thyco aggiunse la costellazione di Antinoo (già nota ai greci) e la Chioma di Berenice. Ma la prima introduzione metodica di nuove costellazioni è dovuta a Bayer che nel 1603 pubblicò Uranometria, un atlante celeste di grande pregio. In esso erano elencate 1277 stelle, quattro corpi indicati come nebulosi (due dei quali poi confermati come due nebulose) e figuravano 12 nuove costellazioni nell’emisfero australe (utilizzate da tempo dai naviganti) delle quali una dell’estremo sud. Altre otto costellazioni furono aggiunte nel 1624 da Jakob Bartschius, genero di Kepler, ma solo tre di esse sono state mantenute.

La giraffa, una delle costellazioni introdotte e mantenute da Jakob Bartschius.

        A questo punto è inutile seguire perché gli atlanti di stelle e nuove costellazioni si susseguirono con ritmi sempre più stringenti, anche perché, dalla scoperta di Galileo che con il telescopio il cielo si ingrandiva, le stelle si moltiplicarono. E proprio con il perfezionamento dei telescopi il numero delle stelle visibili dalla Terra crebbe di molto rispetto a quanto precedentemente noto. Nel 1712 Flamsteed pubblicò Historia Coelestis Britannica (alla quale seguì postumo nel 1729 l’Atlas Coelestis, con tutte le ultime osservazioni) un catalogo pieno di stupende tavole che illustrano le costellazioni e che permette di sapere quali costellazioni e stelle erano allora note. Leggo dal sito Atlas Coelestis:

Questo del Flamsteed può essere considerato il primo atlante moderno; riporta circa 3300 stelle, il doppio di quello dell’ Hevelius, e per la prima volta le stelle vi vengono collocate attraverso le loro coordinate equatoriali: ascensione retta e declinazione, il cui reticolo viene sovrapposto nelle tavole a quello polare eclittico. Questa innovazione fu possibile attraverso l’introduzione nell’osservazione dell’orologio a pendolo, che permetteva di risalire alla differenza di ascensione retta partendo dalla differenza fra i tempi del passaggio delle stelle al meridiano. Un secolo prima il Bayer inseriva nel suo atlante le due Nubi di Magellano; ora Flamsteed, nella tavola dedicata ad Andromeda, alla destra di Andromeda, disegna una stellina, la galassia M31, il primo oggetto non stellare ad apparire in una carta celeste di un importante atlante.

La precisione delle posizioni degli astri è corretta entro il margine di 10″ e ciò fu ottenuto dall’autore grazie all’utilizzo di un enorme cerchio murale, munito di cannocchiale, di due metri di raggio, i cui gradi riportavano suddivisioni di cinque minuti primi.

Agevole diventa l’uso delle tavole che, riportando delle scale graduate le cui tacche misurano il quarto di grado, permettono di apprezzare subito ad occhio la posizione della stella.

        Come esempio riporto una delle tavole, quella in cui compare un particolare della tavola dedicata alla costellazione del Toro:

        Al catalogo di Flamsteed si affiancò qualche anno dopo quello dell’astronomo francese La Caille che produsse un catalogo,Coelum Australe Stelliferum (pubblicato postumo nel 1763), che riguardava il cielo australe ed elencava circa 10 mila stelle (includendo 42 nebulose) e 14 nuove costellazioni. Nell’Ottocento vi furono altri cataloghi molto più precisi, con un numero di stelle molto maggiore, che vanno almeno citati: quello del tedesco F. Argelander (Bonner Durchmusterung – 1859) e quello dello statunitense Benjamin Apthorp Gould (Uranometria Argentina – 1886).

        E le stelle non sono tutte uguali differendo solo per la magnitudo. Alcune di esse subiscono variazioni periodiche in colore e luminosità (stelle variabili). Vi sono poi le Novae stelle prima non visibili poi improvvisamente luminosissime per breve tempo (che di fatto rappresentano l’esplosione di una stella). Ed a proposito delle Novae vi sono delle considerazioni di Laplace che ci riallacciano alla domanda di Halle. Scriveva Laplace (1796):

 Quali prodigiosi cambiamenti dovettero verificarsi alla superficie di quei grandi corpi per rendersi visibili alla distanza che ce ne separa ? Di quanto devono essi sorpassare quelli che noi osserviamo alla superficie del Sole […] ?

ed aggiungeva:

Pare che gli astri, lungi dall’essere disseminati nello spazio a distanze pressoché eguali, siano raccolti in diversi gruppi formati ciascuno da più miliardi di stelle. Il nostro sole con le stelle più luminose, fa probabilmente parte di uno di codesti gruppi, che, visto dal punto dove noi ci troviamo, sembra circondare il cielo assumendo la forma della Via Lattea. Il gran numero di stelle che si scoprono tutte insieme nel campo di un forte telescopio diretto verso quella formazione, ci prova che la sua profondità è immensa e che sorpassa di mille volte la distanza di Sirio dalla terra. Sempre più allontanandosi, tali gruppi finirebbero per offrire l’aspetto di una luce bianca e continua, raccolta in un piccolo diametro, giacché l’irradiazione coprirebbe e farebbe sparire, anche nei migliori telescopi, gl’intervalli tra le stelle. È dunque verosimile che le nebulose siano, nella maggior parte dei casi, gruppi di stelle visti da molto lontano; i quali presenterebbero, a distanze minori, lo stesso aspetto della Via Lattea. Le distanze mutue delle stelle che formano ciascun gruppo sono almeno centomila, volte maggiori che la distanza dal Sole alla Terra; si può dunque giudicare della prodigiosa estensione di tali gruppi in base all’innumerevole moltitudine di stelle che si osservano nella Via Lattea. Se poi si riflette alla piccola ampiezza apparente ed al gran numero delle nebulose, le quali distano le une dalle altre di intervalli incomparabilmente maggiori della distanza mutua esistente tra le stelle che le compongono, l’immaginazione è cosi sopraffatta dall’immensità dell’universo che trova difficoltà ad assegnargli dei limiti. 

        Quanto letto è la formulazione dell’ipotesi della nebulosa di Kant e Laplace, che per primo elaborò Kant nel 1755 e che qui trova una magistrale descrizione. Dentro tale ipotesi vi è la degradazione del Sole a semplice stella tra i miliardi di esse. Il mondo è esploso ed ormai non ha più confini. Sarà compito dell’astrofisica ampliarlo ulteriormente nel secolo seguente ed ancora oggi.

        Ma c’è di più. A tutto ciò si deve aggiungere la scoperta di Halley del 1718. Confrontando le posizioni di alcune stelle in osservazioni recenti con la posizione trovata nei secoli precedenti, egli scoprì che le stelle non sono fisse, che si muovono a volte anche in modo sensibile, ma nei secoli. Vi è poi l’altra scoperta, iniziata da Fabricius nel 1506: le stelle evolvono. Esse presentano variazioni di luminosità e di molte altre variabili.

        Per concludere, a tutt’oggi sono riconosciute internazionalmente 88 costellazioni che, occorre dirlo, sono raggruppamenti artificiali di stelle. I veri risultati riguardano la classificazione delle singole stelle, fissando con esattezza la loro posizione nello spazio e la loro distanza con riferimento alla sfera celeste.

Herschel

        Uno dei massimi studiosi di stelle, e non solo, fu l’astronomo tedesco Friedrich Wilhelm Herschel (1738-1822). La sua eccezionale carriera iniziò il 13 marzo 1781 quando, osservando nel cielo la costellazione dei Gemelli con un telescopio che si era costruito (diametro di 17 centimetri e distanza focale dello specchio pari a 2,3 metri) da più di 200 ingrandimenti, vide una stella con un aspetto che lo sorprese, sembrava un disco. Tornò ad osservare l’oggetto celeste il giorno successivo e trovò che si era spostato un poco. Dal che trasse la conclusione che si trattasse di una cometa e, come accade sempre per avvistamenti di comete che richiedono ulteriori osservazioni per stabilirne la traiettoria e per confrontarla con altre del passato, Herschel informò del fenomeno le Philosophical Transactions di Londra (Account of a Comet, Volume 71, pp. 492-501).  Fu il magistrato, matematico ed astronomo francese Jean Baptiste Gaspard Bochart de Saron (nato nel 1730 e ghigliottinato nel 1794), esperto in calcoli sulle comete, che per primo escluse che l’oggetto individuato fosse una cometa. Il problema fu risolto dall’astronomo russo Anders Johan Lexell (1740-1784): si trattava di un pianeta del sistema solare, già osservato per 19 volte precedentemente anche da Flamsteed e Pierre-Charles Le Monnier (1715-1799) e sempre scambiato come stella, quello che successivamente fu chiamato Urano dall’astronomo tedesco Johann Elert Bode (1816-1874). Il calcolo dell’orbita di Urano fatto da Lexell, unita alle osservazioni, mostrò che tale orbita risultava perturbata (presentava una deviazione di 15″) e che quindi doveva esservi un altro pianeta ancora più distante. E tale pianeta, Nettuno, fu scoperto il 31 agosto del 1846 dall’astronomo e matematico francese Urbain Jean Joseph Le Verrier (1811-1877), sollecitato ad affrontare il problema da Arago (calcoli simili faceva J.C. Adams in Gran Bretagna che arrivò però due giorni dopo !). E’ interessante dire che il lavoro di Le Verrier fu solo un lavoro matematico sulle perturbazioni dell’orbita di Urano rispetto alla legge di gravitazione universale e la sua scoperta non fu l’osservazione telescopica del pianeta(17). Su dati di Le Verrier, passati a Johan Galle dell’Osservatorio di Berlino che disponeva al momento del miglior telescopio, Heinrich d’Arrest ed il suo assistente Galle osservarono il pianeta (fra Capricorno ed Acquario) il 23 settembre del 1846 ad un grado di scarto rispetto alle predizioni matematiche. Scoperto il pianeta iniziarono studi sull’orbita da confrontare con quelli dell’orbita di Urano. Vi erano ancora delle anomalie che Nettuno non spiegava completamente. Vi doveva essere un altro pianeta. A partuire dal 1906 fino alla sua scomparsa l’astronomo americano Percival Lowell e collaboratori frugarono il cielo dovunque ma non trovarono nulla, fino alla scomparsa di Lowell nel 1916. L’impresa di ricercare il pianeta passò, nel 1929, al giovane Clyde Tombaugh. Questi utilizzò il confronto di foto notturne del cielo per cercare oggetti che avessero cambiato posizione. Il 18 febbraio 1930 Tombaugh trovò il pianeta (sulla natura del quale oggi si discute) e comunicò la notizia, dopo minuziosi controlli, il 13 marzo 1930. Il pianeta fu chiamato Plutone, su suggestione di Venetia Burney, una bambina inglese di 11 anni appassionata di mitologia, ed in suo onore Disney chiamò Pluto il cane di Topolino e Glenn T. Seaborg chiamò Plutonio uno degli elementi transuranici (già era accaduto con l’uranio, così chiamato dopo la scoperta di Urano, e con il nettunio, così chiamato dopo la scoperta di Nettuno).

Una porzione della costellazione dei Gemelli osservata ad occhio nudo.

La stessa porzione dei Gemelli osservata con un telescopio. Osservo che scoprire qui Urano è una impresa !

        Tornando ad Urano, esso presentava un’orbita quasi circolare con un raggio circa 19 volte la distanza Terra-Sole, quasi il doppio della distanza di Saturno dal Sole. Il sistema solare si ingrandiva enormemente e, detto di passaggio, i solidi regolari incastrati l’un l’altro di Kepler crollavano miseramente perché, a fronte del numero dei solidi che resta costante, il numero dei pianeti aumenta.

        La fama che venne ad Herschel per questa scoperta gli fornì la disponibilità di costruire telescopi a riflessione sempre più grandi, sempre più perfezionati e potenti, con cura maniacale per gli specchi. Il più grande di tali strumenti fu costruito in 4 anni ed era lungo 12 metri, aveva un diametro di 1, 47 metri ed uno specchio che pesava 5000 kg. Con questo strumento Herchel scoprì i satelliti di Urano, all’inizio creduti in numero di sei poi risultati quattro (Ariel, Oberon, Titania, Umbriel) ed oggi diventati quindici. Scoprì anche due nuovi satelliti di Saturno (Mimante ed Encelado) che si andavano ad aggiungere ai cinque già scoperti da Huygens e Cassini (oggi si conoscono sessanta satelliti di Saturno).

Telescopio di Herchel con ingrandimenti fino a 6000 volte.

        Fin qui alcuni dei contributi di Herschel all’astronomia planetaria che sono comunque trascurabili rispetto al fatto che egli fondò l’astronomia stellare.

        I primi studi sulle stelle di Herschel riguardarono una scoperta di un secolo e mezzo prima fatta dal gesuita Giovanni Battista Riccioli (1598-1671) che nel 1650 individuò la prima stella doppia, la Mizar dell’Orsa Maggiore (Almagestum novum, astronomiam veterem novamque complectens, Bologna 1651). Osservando la stella con un buon cannocchiale Riccioli si rese conto che essa appariva formata da due stelle molto vicine. Qualche anno dopo Huygens trovò che la stella θ di Orione è composta da 4 stelle e nel 1664 Hooke trovò che anche la stella ψ dell’Ariete è doppia. E via via tali osservazioni sporadiche si accumulavano. Il problema consisteva nel capire se la coppia di stelle fosse una coppia che nasceva dalla particolare osservazione dalla prospettiva, e quindi se le due stelle fossero in realtà lontane  e non interagenti tra loro oppure se la coppia fosse una coppia fisica con le due stelle che si attraevano tra loro come aveva suggerito l’astronomo ceco Christian Mayer (1719-1783) che, oltre a fornire il primo catalogo di stelle doppie, aveva parlato di due soli che ruotano uno intorno all’altro. La soluzione della questione venne da Herschel e dai suoi 40 anni (dal 1782 al 1822) di osservazioni metodiche (con la importante collaborazione della sorella Karoline Lucretia, 1750-1848). Il 9 giugno del 1803 fu pubblicato un suo articolo, Account of the Changes that have happened during the last Twenty-Five Years in the Relative Situation of Double Stars; with an Investigation of the Cause to which they are owing (Resoconto dei cambiamenti che sono avvenuti negli ultimi venticinque anni nella situazione relativa di stelle doppie, con un’analisi delle cause a cui queste sono dovute, Philosophical Transactions, p. 339), nel quale si diceva:

Molte stelle doppie sono doppie solo apparentemente ma devono essere considerate come una combinazione reale i due stelle intimamente legate una all’altra mediante la reciproca attrazione.

        Secondo Herschel la più piccola delle due stelle, la compagna, doveva ruotare intorno alla più grande in accordo con le leggi di Kepler e per cinque di tali stelle calcolò il periodo di rotazione (variabile dai 342 anni per la compagna di Castore ai 1681 anni per la compagna della ε della costellazione di Boote). Naturalmente, oltre a queste coppie fisiche, esistono anche coppie ottiche ma le prime sono più numerose delle altre. Nel 1820 ebbe la conferma di quanto sostenuto nel 1803, egli trovò lo spostamento di alcune compagne su archi ellittici mostrando la validità della gravitazione universale in tutto lo spazio. Dalle scoperte di Herschel iniziarono i cataloghi di stelle doppie tra i quali è notevole quello pubblicato dalla Astronomical Society di Londra nel 1874 che contiene ben 10300 stelle doppie. Va osservato che molte di esse sono costituite da due stelle aventi masse simili e ciò distingue di molto il sistema da quello solare dove i pianeti hanno masse trascurabili rispetto al Sole. In tali stelle si ha rotazione intorno al baricentro del sistema e letteralmente le stelle si girano intorno.

        Herschel si dedicò anche allo studio della Via Lattea che si presenta come un anello di stelle. Già l’astronomo britannico Thomas Wright (1711-1786) nel 1750 aveva sostenuto che tale apparenza ingannava e Herschel stabilì che la Via Lattea è la galassia, un disco immenso ripieno di miliardi di stelle, nel quale si trova il sistema solare (l’idea fu ripresa da Kant e poi fa Laplace). Fece tremila sondaggi per avere prove sperimentali di ciò ed in essi si vede la popolazione di stelle crescere regolarmente verso la Via Lattea a partire dalle stelle che sono più vicine a noi fino a quelle con minore luminosità

        Ad Herschel si deve ancora il primo catalogo di nebulose. Egli lavorò a questo progetto dal 1786 al 1802 e catalogò 2500 nebulose. Si tratta di ammassi di stelle osservabili con il suo telescopio ed egli intuì che alcune stelle potevano non appartenere all’ammasso ed avere dimensioni paragonabili a quelle delle galassie. Riuscì anche a distinguere tra gli ammassi di stelle ed ammassi di gas catalogandone un centinaio.

        Altra importante scoperta di Herschel riguarda il moto delle stelle ed anche del Sole con il sistema solare che si sposta verso la stella τ della costellazione di Ercole a 20 km al secondo. Egli mostrò anche il modo di fare questo calcolo avvertendo in simultanea che alcuni spostamenti di stelle devono essere studiati sapendo che appaiono proprio perché è il sistema solare con i suoi osservatori che si sposta(18).

        Siamo così arrivati ad un universo che solo 200 anni prima era del tutto impensabile. Infinito dappertutto con perdite di luoghi privilegiati e conseguenze clamorose anche in ambiti non scientifici. Sparisce il Dio delle religioni monoteiste, ad esempio, e le persone di buona volontà possono ricercare liberamente senza costrizioni magiche, superstiziose o teologiche. La libertà di pensiero che proviene dall’Illuminismo autorizza anche a credere a chi e cosa si vuole senza costrizioni alcune ma l’Universo è molto più grande di qualunque credenza e l’Uomo, con la sua intelligenza, pazienza e costanza, lo va scoprendo passo passo(19). Non siamo che all’inizio. In un successivo articolo studierò il passaggio dall’astronomia all’astrofisica.

Roberto Renzetti


NOTE

(1) Edmond Halley (1656-1742) matematico, fisico ed astronomo inglese noto per aver stabilito che gli avvistamenti di una cometa nel 1456, 1531 1607 e 1682 erano relativi alla stessa cometa, e ne predisse il ritorno nel 1758. Quando in quell’anno tale cometa riapparve prese il nome di cometa di Halley.

(2) Christopher Wren (1632-1723) è principalmente un architetto noto per aver contribuito alla ricostruzione di Londra dopo il grande incendio del 1666. Si occupò anche di matematica ed astronomia.

(3) Abraham de Moivre (1667-1754) è un matematico francese i cui studi contribuirono all’elaborazione del calcolo delle probabilità. Il suo nome è legato a una formula per il calcolo della potenza di un numero complesso.

(4) E’ molto interessante sottolineare ciò che discende dalla scoperta di Newton. Quando sulla Terra lanciamo un sasso con una data velocità orizzontale, potrebbe apparire che la sua traiettoria sia parabolica. di acustica. Riguardo a quest’ultimo argomento, va notato che egli riuscì a ricondurre l’acustica ad un capitolo della meccanica.

Uguagliando i secondi membri delle (3) e (4) si trova successivamente:

Si noti a margine che dalla relazione:

conoscendo alcuni dati relativi alla Terra, intesa come il pianeta 1, è possibile ricavare la massa del Sole.

Serve conoscere il raggio R1 (= 1,5.1011 m) della Terra, il tempo T1 che la Terra impiega a fare un giro completo intorno al Sole (= 3,15.107 sec) e la costante gravitazionale G (= 6,67.10-11 N.m2/Kg2). Per MS si trova:

MS ~ 2.1030 Kg.

Si comprende così l’interesse per le misure dell’arco di meridiano terrestre che forniva anche T1. Per la misura di G occorrerà attendere i lavori di Cavendish.

(7) Calcoliamoci l’espressione dell’accelerazione centripeta in un moto circolare, riferendoci alla figura seguente (è un altro modo rispetto a quello che abbiamo visto nell’articolo precedente quando ho trattato Huygens):

Abbiamo a che fare con un oggetto che si muove uniformemente lungo una traiettoria circolare; la figura (a) mostra due successive posizioni di tale oggetto lungo la sua traiettoria; supponiamo che il tratto Δ s tra le due successive posizioni sia percorso nel tempo Dt, tempo nel quale la velocità è passata dal valore v1 al valore v2. Per calcolare l’accelerazione [questo è un moto a velocità costante ma quando si dice questo ci si riferisce alla velocità angolare – l’angolo percorso nell’unità di tempo – vi è invece la velocità periferica che cambia istante per istante – si tratta solo di cambiamenti di direzione e verso ] che sarà diretta verso il centro (accelerazione centripeta)  occorre calcolarsi la variazione della velocità vettoriale Δ v, nel tempo Δ t, cioè: Δ v/Δ t. La quantità Δ v è data da Δ v = v–  v1. Per ricavare questa quantità ci si deve riferire alla figura (b):

 Δ v = v+ (- v1) =  v–  v1

Si osservi ora che il triangolo di figura (b) con lati Δ v, v1, v2 è simile al triangolo di figura (a) con lati corrispondenti  Δ s, R1, R2. I triangoli risultano simili perché sono ambedue isosceli ed hanno i lati v1 e v2, rispettivamente perpendicolari a R1 ed R2; dunque gli angoli q compresi sono uguali. Ricordando che lati corrispondenti di triangoli simili sono tra di loro in proporzione, risulta:

Δv/Δs =v/R => Δv = v/R. Δs  

Dividendo ambo i membri per Δ t si ottiene:

Δv/Δt = v/R. (Δs/Δt) = v/R.v   

avendo tenuto conto che Δ s/Δ t = v. Non resta ora che trarre le conclusioni, osservando che Δv/Δ t = a:

a = v2/R

che è l’espressione della accelerazione centripeta in un moto circolare. Occorre dire che questa accelerazione è responsabile, istante per istante, di cambiamenti di direzione e verso e non del modulo della velocità.

Una osservazione sulla figura va fatta. Le due posizioni dell’oggetto in rotazione sono prese distanti per rendere la cosa visibile nella figura stessa. Per vedere bene che la direzione dell’accelerazione è verso il centro, sarebbe stato necessario prendere due posizioni vicinissime tra loro. In tal caso si sarebbe visto che tale direzione, coincidente con quella di  Ddi figura (b), si sarebbe sovrapposta a quella del raggio R(si tenga conto che R1 ed R2 sono chiamati così per dar conto delle due posizioni di cui si parla; in realtà è la stessa lunghezza e vale R).

(8) Newton si occupò anche di ottica lungo tutto l’arco della sua vita. I suoi primi scritti in proposito sono nel primo volume delle trascrizioni delle lezioni che egli tenne a Cambridge dal 1669 al 1672. Le lezioni in oggetto hanno carattere eminentemente tecnico. In esse si studiano le lenti ed i loro difetti, soprattutto aberrazioni cromatica (sulla sferica non seppe o non volle risolvere il problema in quanto non era di natura geometrica ma strettamente tecnica, legato alla molatura dei cristalli). Studiò obiettivi e modi per perfezionare gli strumenti ottici e fece il passaggio alla tecnica catottrica per la costruzione di telescopi (telescopio a riflessione e non più a visione diretta) perché con esso era possibile appunto eliminare l’aberrazione cromatica.

In questo telescopio, che migliora di gran lunga le prestazioni di un telescopio ordinario, la radiazione proveniente, ad esempio,  da un pianeta entra da S e, dopo essersi riflessa sullo specchio concavo M,  si focalizza sullo specchio R disposto a 45°, per poi essere definitivamente inviata all’occhio dell’osservatore O.

Disegno del telescopio catottrico di Newton fatto da Oldenburg, segretario della Royal Society con cui Newton era in corrispondenza (da Mamiani).

        Risulta chiaro che per capire ed eliminare l’aberrazione cromatica occorreva conoscere bene il ruolo svolto dai colori ed il loro comportamento nei punti di curvatura della lente nel telescopio a visione diretta (soprattutto ai suoi bordi), dove tende ad assomigliare ad un  prisma. In particolare occorre aver capito il rapporto esistente tra la diversa rifrangibilità dei raggi ed i colori. E Newton aveva studiato l’aberrazione cromatica in una memoria del 1671-72 (New Theory about Light and Colors) in cui descrive gli esperimenti fatti con luce, prisma e dispersione dei colori (già nota da molto tempo) attraverso di esso.

        Successivamente egli tornò su questo telescopio perfezionandolo collocando al suo fondo in luogo degli specchi metallici, uno specchio di vetro argentato.

        Non ne ho parlato ma è necessario ricordare che la fondazione dell’analisi matematica è dovuta a Newton (e Leibniz). Con gli strumenti dell’analisi molti conti, estremamente laboriosi e circonvoluti, diventeranno molto più comprensibili e rapidi aiutando di molto la ricerca teorica sullo spazio.

        C’entra poco ma occorre dire che un barbaro tedesco, l’idealista Hegel (con la degna compagnia di Goethe), si accanì contro Newton. Mescolando sciovinismo, idealismo ed ignoranza della matematica, caricarono a testa bassa, rivendicando la superiorità del misticismo kepleriano a quella indegna operazione di Newton, iniziata con Galileo, che pretendeva di descrivere il mondo attraverso la matematica. Le tesi del barbaro furono esposte dapprima in una operetta, Dissertatio de orbitis planetarum (1801), vera accozzaglia di sciocchezze, e pi ripresa ed ampliata all’intero corpo della fisica newtoniana nell’Enciclopedia delle scienze filosofiche (vedi bibliografia). Cito questo perché l’odio della matematica con la conseguente menomazione alla comprensione di molte questioni è stato istillato dagli idealisti nel nostro Paese. E purtroppo ancora oggi resta.

(9) Con Cassini venne a lavorare in Francia il danese Olaf Roemer. Fu un astronomo di grandissimo valore che è noto per la prima misura della velocità della luce (1676) utilizzando le eclissi di Io, un satellite di Giove. Tale risultato si mostrerà di eccezionale importanza per altre ricerche astronomiche e si accompagnò ad altri risultati che più o meno nell’arco di una cinquantina d’anni si conseguirono (in gran parte presso l’Accademia delle Scienze di Parigi): le dimensioni della Terra, il suo appiattimento ai poli, la diminuzione di peso all’equatore, …

(10) In questo osservatorio lavorò James Bradley (1693-1792) che scoprì (1728) l’aberrazione della luce proveniente da una stella, la composizione cioè della velocità della Terra nella sua orbita con quella della luce (misurata da Roemer) proveniente da una stella osservata, e la nutazione dell’asse terrestre (1749). E’ giusto ricordare il costruttore degli strumenti che permisero a Bradley misure così precise delle stelle. Si tratta di George Graham (1673—1751), famoso orologiaio inglese, che Laplace definì artista. A lui si deve il grande settore con cui Bradley scoprì l’aberrazione delle stelle (vedi figura).

(11) Il contenuto di questa nota è tratto da:

http://pls.dima.unige.it/ftrig/Funzioni%20trigonometriche/3187/index.html

Ipparco utilizzò il metodo della parallasse, già usato da Aristarco di Samo circa un secolo prima, per determinare la distanza Terra-Luna, che gli consentì, successivamente, di stabilire la distanza tra la Terra e il Sole.

Tale metodo, sfruttato dall’astronomo durante un’eclissi lunare, prevede che si osservi la posizione della Luna, rispetto alle stelle fisse, contemporaneamente da due punti di vista differenti sulla Terra. Attraverso la triangolazione trigonometrica, tenendo in considerazione l’orientazione terrestre, la posizione e l’inclinazione dei due punti, si determina che :

distanza Terra-Luna BE = distanza punti di osservazione AB/tgAÊB

Quindi, Ipparco determinò che la Luna distava dalla Terra circa 60 raggi terrestri, che equivalgono a 38400 Km, grazie anche alla sua determinazione, piuttosto accurata, del valore di parallasse p della Luna (circa 57’). Confrontando questo valore con quello trovato in precedenza da Aristarco, passò, quindi, al calcolo della distanza Terra-Sole. Tenendo in considerazione che, quando la Luna è al primo quarto, l’angolo Terra-Luna-Sole è di 90°, è possibile misurare l’angolo Terra-Luna-Sole (Ω) con un goniometro, mentre la distanza Terra-Luna BE è già nota:

distanza Terra-Sole AC = distanza Terra-Luna AE/cos AÊC

Egli ottenne una distanza Terra-Sole di circa 1200 raggi terrestri, quindi 7680000 Km, che fu adottata da Tolomeo e da Copernico e che rimase per 1400 anni, fino all’avvento di Cassini nel XVII secolo, il quale scoprì che il valore era 20 volte inferiore a quello reale. Tuttavia, Ipparco, pur non avendo determinato un valore valido, riuscì a dare un’idea delle proporzioni delle distanze e applicò brillantemente la trigonometria in campo astronomico.

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Riporto di seguito altri problemi di distanze risolti con conoscenze di trigonometria elaborate più avanti nel tempo rispetto agli astronomi incontrati fin qui.

Distanza tra due punti separati da un ostacolo

Vogliamo determinare la distanza x tra due punti A e B separati da un ostacolo, ma ambedue accessibili.

Fissiamo un punto C, distante dai punti A e B rispettivamente b ed a e dal quale i due punti siano visibili; misuriamo l’angolo ABC = γ

Del triangolo ABC sono noti due lati e l’angolo compreso, perciò la distanza AB è calcolabile con il teorema del coseno o di Carnot.

Se i due punti A e B sono visibili l’uno dall’altro, ma solo B è accessibile, come nel caso della figura sottostante,

Se i due punti A e B sono visibili l’uno dall’altro, ma solo B è accessibile, come nel caso della figura sottostante,

si misura una base BC = a tale che da C sia visibile il punto A, poi si misurano gli angoli β e AĈB = γ e dal triangolo ABC, col teorema dei seni, si ottiene:

x : sen γ = a : sen [180º- ( β+ γ)] 

x = a sen γ / sen ( β+ γ)

Calcolo della distanza della Terra dalla Luna

Vogliamo trovare la distanza di un punto A della Terra (punto accessibile) da un punto L inaccessibile, ma visibile, quale può considerarsi la Luna.  A tal fine,  usiamo il metodo seguito nella distanza tra due punti separati da un ostacolo; però, trattandosi di una distanza piuttosto grande (qualche centinaia di migliaia di chilometri), conviene prendere sulla Terra la base AB di parecchi chilometri, per avere angoli di visuale non troppo piccoli. Prendiamo come base la corda AB che sottenda un arco di meridiano terrestre nel cui piano (piano meridiano) vi sia anche il punto L che rappresenta la Luna, come possiamo osservare nella figura sottostante.

Per trovare la lunghezza  di AB si considera  il triangolo  ABC, dove C è il centro della terra.

Con osservazioni astronomiche si misurano le latitudini di A (λ1 ) e di B (λ2) e se A, B sono da bande opposte dell’equatore si ha AĈB = λ1+ λ2.

Si trovano poi le lunghezze dei raggi CA e CB dato che si conoscono le latitudini di A e B; a questo punto, del triangolo ABC si conoscono quindi due lati e l’angolo compreso, per cui si trovano: la misura c di AB  e le misure di CAB = α e di CBA = β; poi si misurano direttamente gli angoli α’ e  β’  che le verticali CA e CB formano rispettivamente con le visuali AL e BL.

Infine si ha LÂB = 180°- (α + α’) e  ABL = 180°- (β + β’ ) ; così del triangolo ABL si conoscono un lato e i due angoli adiacenti e risolvendo il triangolo si ottiene la distanza AL di circa km 384100 cioè circa 60,27 volte il raggio equatoriale terrestre.

(12) Le scoperte astronomiche di Gian Domenico Cassini (1525-1712) sono numerose ed estremamente importanti. Scoprì 4 satelliti di Saturno (Giapeto, Rea, Dione, Teti); scoprì la divisione degli anelli di Saturno; scoprì la grande macchia rossa sul pianeta Giove; scoprì la rotazione differenziale dell’atmosfera di Giove. Occorre ricordare che Cassini fu un precursore della teoria delle comete come corpi che descrivevano orbite ellittiche molto schiacciate intorno al Sole.

(13) Edmond Halley, A new Method of determining the Parallax of the Sun, or his Distance from the Earth, Philosophical Transactions, Vol. XXIX, n° 348, p. 454, 1716. Vi è una nota in fondo a questo articolo che riferisce del transito di Venere sul Sole nel 1761. Secondo le osservazioni il metodo proposto da Halley era molto più complesso di quanto teorizzato:

* The transit of Venus in 1761 proved much less favourable to the proposed purpose than Dr. Halley expected. The motion of Venus’s node not being well known, she passed much nearer the sun’s centre than he supposed she would; which made the places he pointed out for observing the total duration not proper for the purpose; indeed the entrance of Venus on the sun could not be seen at Hudson’s Bay. He made a mistake too in the calculation, in taking the sum instead of the difference, of the angle of the ecliptic with the parallel to the equator, and the angle of Venus’s path..

(14) Venere si vede proiettata sul Sole come una macchia scura che va spostandosi (in realtà si tratta della combinazione dei due moti, quello del Sole e quello di Venere):

Venere è visibile sulla destra del disco del Sole, più o meno alla linea dell’equatore solare. Da http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/image/0406/venustransit_cortner_big.jpg

(15) Se fosse stato possibile misurare l’angolo PVP’ il conto, riferendoci alla figura, si sarebbe potuto fare nel modo seguente.

        La distanza tra i due osservatori P e P’ è d ~ 13000 km. La relazione che vale per piccoli angoli è:

d/r = arcsec θ/206,265

e da essa si può ricavare r, cioè la distanza della Terra da Venere. Considerando ora la figura seguente:

 e la terza legge di Kepler:

(RV/RT)3 = (TV/TR)2

si trova:

[(RT – r)/RT]3 = (TV)2

dove TV si misura in anni ed avendo eliminato TR perché vale 1 anno.

Risolvendo per RT si trova un valore prossimo ai 150 milioni di km.

(16) Cito alcune perifrasi per indicare alcune stelle della costellazione del Leone:

Quella che si trova all’estremità del muso
Quella che si trova nella gola
La più boreale di quelle che stanno nella testa
La più meridionale di tutte
La stella del ginocchio destro
Quella che sta nell’artiglio anteriore destro
Quella situata all’estremità della coda.
………………………

(17) Le Verrier provò a studiare anche le anomalie dell’orbita di Mercurio. Egli suppose, sbagliando, che vi fosse anche qui uno sconosciuto pianeta che chiamò Vulcano ad originare le perturbazioni. I problemi di Mercurio erano ben altri e solo con la relatività generale di Einstein si compresero.

Ricordo che, come hanno mostrato Kowal e Drake (1980), dallo studio minuzioso dei manoscritti galileiani, Galileo fu il primo ad osservare Nettuno in due occasioni (28 dicembre 1612 e 27 gennaio 1613). Recentissimamente (luglio 2009), il prof. David Jamieson dell’Università di Melbourne ha mostrato con un appunto originale di Galileo che lo scienziato pisano aveva anche capito che si trattava di un pianeta dal disegno di un tratto di orbita dell’astro osservato.

(18) In chiusura di questo articolo, non si può fare a meno di almeno accennare ad altri importanti contributi che si ebbero sul finire del Settecento da parte dei fisici matematici francesi, Euler, D’Alembert, Lagrange e Laplace.

Leonhard Euler (1707-1783) da grande matematico qual era dedicò molti suoi sforzi a calcolare con precisione l’orbita della Luna che presenta notevolissime difficoltà. Siamo in presenza qui del problema dei tre corpi (Terra, Luna, Sole) che già abbiamo visto risultare un rompicapo per Newton. Sviluppò un calcolo approssimato che pubblico a Pietroburgo nella sua opera Novae tabulae motuum solis et lunae del 1753. Il calcolo fu successivamente perfezionato e pubblicato in De theoria lunae ad majorem perfectionis gradum evehenda (1780). Euler si occupò anche delle orbite dei pianeti che, perturbate da altri pianeti, non risultano più delle ellissi perfette. Tentò una teoria generale ma non vi riuscì (il problema sarà risolto successivamente da Lagrange).

Jean le Rond d’Alembert (1717-1783) lavorò ancora al problema dei tre corpi nelle sue Recherches sur différentes points importants du système du monde (1754) e su tale problema lavorarono vari altri scienziati tra cui A.C. Clairaut (1713-1765) che sull’argomento scrisse Théorie de la lune (1752) e che si occupò anche delle perturbazioni della Terra dovute alla Luna ed a Venere ottenendo per la prima volta il valore della massa della Luna e di Venere. A d’Alembert si deve anche uno studio analitico rigoroso della appena scoperta nutazione dell’asse terrestre da parte di Bradley (Recherches sur la précession des équinoxes et sur la nutation de l’axe de la terre – 1749). In questo lavoro d’Alembert dimostrava che sia il fenomeno della nutazione che quello della precessione degli equinozi erano originati dall’attrazione che la Luna esercita sul rigonfiamento equatoriale della Terra. 

Giuseppe Luigi Lagrange (1736-1813) si occupò diffusamente di meccanica celeste risolvendo il problema della librazione della Luna (le piccole oscillazioni lunari dovute alla costanza della rotazione su se stessa ma alla variabilità della sua rotazione intorno alla Terra dovuta alle differenti velocità che nascono dall’ellitticità dell’orbita. A seguito di ciò, dalla Terra noi non vediamo sempre il 50% della superficie lunare ma solo il 42%; l’altro 42% non lo vediamo mai mentre un 18% oscilla tra visibilità ed invisibilità), affrontando  un problema a sei corpi, studiando e risolvendo, naturalmente in modo approssimato, il moto di quattro satelliti di Giove, sotto l’azione di Giove e del Sole, ed occupandosi diffusamente del problema a tre corpi, del moto della Luna e delle comete.

Pierre Simon Laplace (1749-1827) completò ed estese la meccanica newtoniana trattandola con il calcolo differenziale. Egli ricavò le espressioni matematiche per il calcolo dei moti e delle posizioni degli astri tenendo conto anche della teoria delle perturbazioni dimostrando che le distanze medie dai pianeti dal Sole sono sempre le stesse (Traité de mécanique céleste – 1799-1825). Altra opera fondamentale di Laplace fu l’Exposition du système du monde del 1796, nella quale vi è un’esposizione chiara ed esauriente ma senza formule di quanto sarà trattato nel Traité de mécanique céleste. In quest’opera viene avanzata, con cautela perché non discendente da osservazioni particolari o da calcoli, la teoria di Laplace della nebulosa, teoria che era stata anche di Kant, alla quale ho accennato nel testo.

(19) In quanto ho scritto non deve sfuggire che sono in pratica spariti i ricercatori italiani. Dove la Chiesa detiene il potere non esiste ricerca libera. E la cosa è confermata dall’assenza di ricercatori di un altro Paese in cui la Chiesa era dominante, la Spagna. Se si estende quanto ho detto ad altri Paesi cattolici si trova che la tragica verità è confermata.


BIBLIOGRAFIA

(1) – Paul Couderc – Le tappe dell’astronomia – Garzanti 1954. Il libro è tratto dall’originale francese  Histoire de l’astronomie, Presses Universitaires de France 1945.

(2) – Carl B. Boyer – Storia della matematica – Mondadori 1980

(3) – Ludovico Geymonat (coordinato  da) – Storia del pensiero filosofico e scientifico – Garzanti 1970

(4) – U. Forti – Storia della scienza – Dall’Oglio 1968

(5) – Marguerite Rutten – La science des chaldéens – Presses Universitaires de France 1970

(6) – René Taton (diretta da) – Storia generale delle scienze –  Casini 1964

(7) – André Pichot – La nascita della scienza – Dedalo 1993

(8) – P. Bakouline, E. Kononovitch, V. Moroz – Astronomie Générale – MIR, Mosca 1981

(9) – M. Ch. Delaunay – Cours élémentaire d’astronomie – Masson & Garnier, Parigi 1876.

(10) – Giovanni V. Schiaparelli – L’astronomia nell’Antico Testamento – U. Hoepli  1903

(11) – J. L. E. Dreyer – Storia dell’astronomia da Talete a Keplero – Feltrinelli 1980

(12) – P.S. de Laplace – Compendio di storia dell’astronomia – Universale economica, Milano 1953.

(13) – Paul Couderc – L’astrologia – Garzanti 1977

(14) – Kocku von Stuckrad – Storia dell’astrologia – Mondadori 2005

(15) – Boll, Bezold, Gundel – Storia dell’astrologia – Laterza 1979

(16) – Thomas L. Heath – Greek Astronomy – Dover 1991

(17) – S.F. Mason – Storia delle scienze della natura – Feltrinelli 1971

(18) – Aristotele – Fisica, Del cielo – Laterza 1973

(19) – A. E. Taylor – Aristotle – T. C. & E. C. Jack 1919

(20) – John L. Ackrill – Aristotele – il Mulino 1993

(21) – Werner Jaeger – Aristóteles – Fondo de Cultura Economica (Mexico) 1993

(22) – Jonathan Lear – Atistotle. The desire to understand – Cambridge University Press 1988

(23) – Giulio Preti – Storia del pensiero scientifico – Mondadori 1975

(24) – Thomas Kuhn – La rivoluzione copernicana – Einaudi 1972

(25) – G. Loria – Le scienze esatte nell’antica Grecia – Cisalpino Goliardica 1987

(26) – Lucio Russo – La rivoluzione dimenticata – Feltrinelli, 2001

(27) – G. de Santillana – Le origini del pensiero scientifico – Sansoni, 1966

(28) – F. Arago – Grandes Astronómos de Newton a Laplace – Austral, Buenos Aires 1945.

(29) – Peter Gorman – Pythagoras. A Life – Routledge & Kegan, London 1978

(30) – E. J. Dijksterhuis – Il meccanicismo e l’immagine del mondo dai Presocratici a Newton – Feltrinelli 1971

(31) – Geoffrey E. R. Lloyd – La scienza dei greci – Laterza 1978

(32) – Geoffrey E. R. Lloyd – Metodi e problemi della scienza greca – Laterza 1993

(33) – Niccolò Copernico – De revolutionibus orbium coelestium – Einaudi 1970

(34) – Nicolas Copernico – Sobre las revolutiones de los orbes celestes – Editora Nacional, Madrid 1982

(35) – Nicolas Copernico, Thomas Digges, Galileo Galilei  – Opuscolo sobre el movimiento de la Tierra – Alianza Editorial, Madrid 1983

(36) – Antonio Bertin – Copernico – Accademia 1973

(37) – Max Caspar – Kepler – Dover 1992

(38) – Arthur Koestler – The Sleepwalkers – Hutchinson Publisching Group 1959

(39) – J. L. Dreyer – Storia dell’astronomia da Talete a Keplero – Feltrinelli 1980

(40) – Richard S. Westfall – La rivoluzione scientifica del XVII secolo – il Mulino 1984

(41) – Richard S. Westfall – Newton – Einaudi 1989

(42) – Paolo Rossi – La rivoluzione scientifica da Copernico a Newton – Loescher 1979

(43) – Paolo Rossi – La nascita della scienza moderna in Europa – Laterza 2000

(44) – Maurizio Mamiani – Storia della scienza moderna – Laterza 2002

(45) – Eugenio Garin – La cultura filosofica del Rinascimento italiano – Sansoni 1992

(46) – V. Ferrone, P. Rossi – Lo scienziato nell’età moderna – Laterza 1994

(47) – I. Bernard Cohen – La nascita di una nuova fisica – Il Saggiatore 1974

(48) – Maurizio Mamiani – Newton – Giunti Lisciani 1995

(49) – A. Koyré – Dal mondo del pressappoco all’universo della precisione – Einaudi 1967.

(50) – A.C. Crombie – Da S. Agostino a Galileo – Feltrinelli 1970.

(51) – Marie Boas – Il Rinascimento scientifico 1450-1630 – Feltrinelli, 1973.

(52)  – J. Kepler – El secreto del universo – Alianza Editorial, Madrid 1992.

(53) – Max Jammer – Storia del concetto di forza – Feltrinelli 1971

(54) – Max Jammer – Storia del concetto di spazio – Feltrinelli 1966

(55) – Ana Rioja, Javier Ordóñez – Teorías del Universo – Sintesis, Madrid 1999

(56) – Anna Maria Lombardi – Keplero – Codice 2008

(57) – I. Bernard Cohen – La rivoluzione newtoniana – Feltrinelli 1982

(58) – Alexander Koiré – Studi newtoniani – Einaudi 1972

(59) – Ernst Mach – La meccanica nel suo sviluppo storico-critico – Boringhieri 1968

(60) – G. Canguilhem – Introduzione alla storia delle scienze – Jaca Book 1973

(61) – Mary B. Hesse – Forze e campi – Feltrinelli 1974.

(62) – Maurice Daumas (a cura di) – Storia della scienza – Laterza 1976

(63) – Nicola Abbagnano (coordinata da) – Storia delle scienze – UTET 1965

(64) – I. Bernard Cohen – La rivoluzione della scienza – Longanesi 1988

(65) – A.R. Hall e M. Boas Hall – Storia della scienza – il Mulino 1979

(66) – Charles Singer – Breve storia del pensiero scientifico – Einaudi 1961

(67) – Salvo D’Agostino – Dispense di Storia della Fisica (a.a. 1972/73) – IFUR 1972.

(68) – A. Rupert Hall – Da Galileo a Newton – Feltrinelli 1973

(69) – Hugh Kearney – Science and Change 1500 – 1700 – Weidenfeld and Nicolson. 1971

(70) – H. Butterfield – Le origini della scienza moderna – il Mulino 1962

(71) – Jay Orear – Fisica generale – Zanichelli 1982

(72) – Paolo Rossi (diretta da) – Storia della scienza – UTET 1988

(73) – Newton – Principi matematici di Filosofia Naturale – UTET 1965

(74) – James Gleick – Isaac Newton – Codice 2004

(75) – G.W.F. Hegel – Le orbite dei pianeti – Laterza 1984.

(76) – G.W.F. Hegel – Enciclopedia delle scienze filosofiche – Laterza 1967.

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