Roberto Renzetti

            Si tratta di piccole dimostrazioni di matematica elementare (meglio: aritmetica) che, raccontate in modo intrigante, danno l’impressione che sia possibile la lettura del pensiero. Non si creda comunque che sia possibile fare tutte le operazioni richieste mentalmente. A volte occorrerà aiutarsi con carta e penna.

Una volta si trovavano molti libri su questi giochi, oggi è più difficile. Quanto racconterò è liberamente tratto da: R.V. Heath, Mathemagic, Simon & Schuster, New York 1923; W.W.R. Ball, Mathematical Recreations and Essay, MacMillan, London 1931.

            Da ora chiamerò con M il mago e con P il paziente.

GIOCO 1

M chiede a P di pensare un numero,

di moltiplicarlo per 5,

di sommargli 6,

di moltiplicarlo per 4,

di sommargli 9,

di moltiplicarlo per 5

di dirgli il risultato.

Supponiamo che P abbia pensato il 12, i calcoli successivi forniscono:

60, 66, 264, 273, 1365. Quindi P fornisce ad M il numero 1365.

M farà questi conti:

toglie 165 dal risultato quindi ha 1200,

divide per 100 ed ha 12;

quindi dice a P che il numero pensato è 12.

Dov’è il trucco ? Traduciamo in simboli ciò che abbiamo detto e cerchiamo di capire non più con un numero particolare ma con un numero generico.

Supponiamo che P scelga il numero a, le operazioni successive gli daranno:

a, 5a, 5a + 6, 20a + 24, 20a + 33, 100a + 165.

Come vedete, da questo numero finale, se tolgo 165 ottengo 100a, se poi divido per 100 ottengo a, cioè proprio e sempre il numero pensato da P.

GIOCO 2

Più difficile, ora M non chiede più quale è il risultato finale, ma sarà lui a dargli tale risultato.

M dice a P le seguenti cose in successione.

Pensa un numero,

sommagli 10,

moltiplicalo per 2,

sommagli il numero dei centesimi che hai nel borsellino,

moltiplica per 4,

aggiungi 20,

sommagli  la tua età in anni moltiplicata per 4,

dividi per 2,

sottrai il doppio dei centesimi che hai nel portafoglio,

sottrai 10,

dividi per 2,

sottrai la tua età in anni,

dividi per 2,

sottrai il numero che hai pensato.

A questo punto M deve dare il risultato di questi conti e dice: “Il risultato è 10, no?”. E P non potrà far altro che rispondere: “Si, ma come hai fatto ?”.

Ed il risultato è sempre 10 perché il trucco sta nel fatto che, a fronte di una straordinaria apparente complicazione nell’introduzione di strani numeri (età e centesimi), si lavora con conti successivi per annullare via via ogni precedente operazione con mascheramenti vari. E la chiave di tutto sta nel sottrarre alla fine il numero pensato. In questo modo quel numero sparisce e resta solo il risultato di operazioni programmate per dare 10 come risultato.

Faccio un esempio numerico: numero pensato 7. Operazioni successive (età 20 anni e 30 centesimi nel borsellino):

7, 17, 34, 64, 256, 276, 356, 178, 118, 108, 54, 34, 17, 10.

Vediamo ora questo generalizzando l’esempio (chiamo a il numero pensato, b il numero dei centesimi, c il numero degli anni). L’ordine successivo delle operazioni, prima viste solo con numeri, è:

a, a + 10, 2a + 20, 2a + 20 + b, 8a + 80 + 4b, 8a + 100 + 4b + 4c, 4a + 50 + 2b + 2c, 4a + 50 + 2c, 4a + 40 + 2c, 2a + 20 + c, 2a + 20, a + 10, 10.

GIOCO 3

M propone a P le seguenti successive operazioni.

Senza farmi vedere, lancia tre dadi e prendi nota dei tre numeri che vengono fuori associandoli ai singoli dadi. Con questi tre numeri fai le seguenti operazioni: moltiplica il numero del primo dado per 2; sommagli 5 e moltiplica ciò che viene per 5. A questa quantità somma il numero del secondo dado e moltiplica per 10. Al risultato sommagli 10 e dimmi il risultato. … Da questo risultato sarò in grado di dirti i tre numeri che sono venuti dai tre dadi.

Facciamo prima un esempio numerico e poi passeremo alla generalizzazione.

Supponiamo che i tre numeri che sono venuti fuori dal lancio dei tre dadi siano 2, 3 e 4.       I conti successivi che fa P gli danno: 4, 9, 45, 48, 480, 484. Quindi P dice ad M: “484”.

M deve sottrarre 250. Così ottiene 234. Ed allora M dice a P che i tre numeri che erano saltati fuori dai tre dadi erano 2, 3 e 4. E P deve ammettere che è proprio così.

Cerchiamo di capire supponendo che i numeri che forniscono i singoli dadi siano a, b, c. Le operazioni successive danno: 2a, 2a + 5, 10a + 25, 10a + b + 25, 100a + 10b + 250, 100a + 10b +  c + 250. Togliendo 250 a questo numero, rimane 100a + 10b + c. Questo numero si può scrivere, usando le potenze di 10, così: 10²a + 10¹b + 10⁰c . Ora, in un numero composto da 3 cifre, la prima cifra sono le centinaia, la seconda le decine e la terza le unità. Le centinaia sono la seconda potenza  di 10, le decine la prima e le unità la potenza zero. In definitiva è facile concludere che i numeri sono a, b, c.

GIOCO 4

Vediamo ora come sia possibile che il mago M possa sapere l’età del paziente P ed il denaro che ha nel portafoglio.

M dice a P: moltiplica la tua età per 2, somma 5, moltiplica il risultato per 50, somma la quantità di centesimi metallici che hai nel portafoglio (tutte le monetine di taglio inferiore ad 1 euro), sottrai il numero dei giorni di un anno (365) e dimmi il risultato.

Facciamo un esempio numerico per vedere cosa accade a P e cosa fa M. Poi generalizziamo.

Supponiamo che P abbia 35 anni ed abbia nel portafoglio 76 centesimi. I conti che fa sono: 70, 75, 3750, 3826, 3461. Quest’ultimo numero è quello che comunica ad M.

M somma a questo numero 115 ed ottiene 3576. Dice quindi a P che ha 35 anni ed ha 76 centesimi nel portafoglio. P è sbalordito ed ammette che le cose stanno così.

Generalizziamo chiamando a l’età di P e b i centesimi che ha nel portafoglio. I conti che fa P sono: 2a, 2a + 5, 100a + 250, 100a + b + 250, 100a + b + 250 – 365, 100a + b – 115.

M, aggiungendo 115 a questo risultato, ottiene 100a + b. Ciò vuol dire che, per ottenere il numero a 4 cifre di un risultato, a deve essere un numero di due cifre (due cifre moltiplicate per cento danno le migliaia) ed anche b deve essere di due cifre, le centinaia.

Alla fine a è l’età (prime due cifre del numero a 4 cifre) e b è il numero dei centesimi (ultime due cifre del numero a 4 cifre).

GIOCO 5

Sono d’interesse delle operazioni che danno sempre lo stesso risultato.

M dice a P: pensa un numero di 3 cifre. Ora invertile (l’ultima cifra diventa la prima e viceversa) e togli dal numero maggiore il minore. Al risultato ottenuto sommagli il numero che si ottiene invertendo le sue cifre. Ricordati qual è il risultato.

Vediamo intanto il conto che fa P nell’ipotesi che abbia pensato il numero 853. Si ha: 853, 358, 853 – 358 = 495, 495 + 594 = 1089.

M chiede a P se il risultato che ha ottenuto è 1089. E P deve rispondere che si.

Cerchiamo di capire, generalizzando, perché data la domanda il risultato sarà sempre 1089. Chiamiamo allo scopo le tre cifre del numero iniziale con a, b, c (supponiamo che a sia maggiore di c). In accordo con quanto visto nel gioco 3, tale numero si può scrivere:

10²a + 10¹b + 10⁰c

cioè:

100a + 10b + c.

Invertendo le cifre, il numero diventa:

100c + 10b + a.

Sottraendo dal precedente  questo numero si ottiene:

100a + 10b + c – 100c – 10b – a

che dà:

100a – 100c + c – a

A questo numero si può sottrarre ed aggiungere una medesima quantità senza che il numero cambi. Sottraiamo quindi 100 ed aggiungiamo 90 e 10:

100a – 100c – 100 + 90 + 10 + c – a.

Possiamo ora mettere in evidenza tra i primi tre termini  di questo numero  il 100:

100 (a – c – 1) + 90 + (10 + c – a).

Invertendo le cifre di questo numero si ottiene.

100 (10 + c – a) + 90 + (a – c – 1).

Sommiamo ora i due ultimi numeri:

100 (a – c – 1) + 90 + (10 + c – a) + 100 (10 + c – a) + 90 + (a – c – 1),

sviluppando si trova:

900 + 180 + 9

essendosi eliminate le a e le c.

In definitiva, la somma ultima dà ciò che avevamo anticipato e cioè:  1089.

GIOCO 6

M dice a P: pensa un numero di tre cifre che abbia la prima e l’ultima cifra diverse. Ora inverti l’ordine delle cifre, sottrai il numero minore dal maggiore e dimmi la prima cifra del risultato.

Vediamo con un esempio.

P pensa il 742 e, successivamente, trova: 742, 247, 742 – 247 = 495. Dice a P la prima cifra di questo numero e cioè 4.

M risponde che le altre due cifre sono 9 e 5, vero ?

P annuisce sconsolato.

Generalizzando, supponiamo che le tre cifre che compongono il numero siano a, b, c (con a maggiore di c). Il numero sarà allora:

100a + 10b + c.

Invertendo le cifre si ha:

100c + 10b + a.

La differenza è:

99a – 99 c,

cioè:

99 (a – c).

Per quanto detto è implicito che a e c sono delle unità. Pertanto la loro differenza sarà uno dei seguenti numeri: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Pertanto l’unica coppia di numeri finali con cui possiamo avere a che fare è data da una di queste unità moltiplicata per 99, cioè: 99, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891. Si noterà subito che in tutti questi numeri (meno il primo) la cifra intermedia è il 9 e la somma tra la prima e l’ultima cifra fa sempre 9. Come conseguenza immediata, se noi conosciamo la prima cifra del numero di tre cifre, conosciamo anche le altre due.

GIOCO 7

Fornisco qui una proprietà (senza dimostrarla) che useremo: “Se un numero è multiplo di 9, anche la somma delle sue cifre deve essere multiplo di 9“. Si pensi ad esempio a 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, …, 126, 234, 18954, ….. Ebbene il mago M userà ora questa proprietà.

 M dice a P: pensa un numero, aggiungici alla fine uno zero, sottrai il numero che hai pensato, aggiungi 54 (o qualunque altro multiplo di 9). Togli una cifra qualunque dal risultato e dimmi le altre cifre.

P  pensa il numero 5238 e fa le operazioni richieste: 5238, 52380, 52380 – 5238  =  47142, 47142 + 54  = 47196, 47196.

P dice allora ad M: 4, 1, 9, 6 (è 7 la cifra che P non comunica ad M).

M somma queste cifre ed ottiene 20, sottrae il 20 dal più vicino multiplo di 9 per eccesso (nel nostro caso: 27), ed ottiene 7. Dice allora a P: la cifra mancante è 7.

Naturalmente P, sempre più sconsolato annuisce.

Cerchiamo ora di capire il trucco generalizzando.

Supponiamo che le cifre del numero pensato da P siano a, b, c.. Questo numero sarà: 100a+10b+c. Aggiungere lo zero vuol dire moltiplicare per 10 per ottenere: 1000a+100b+10c. Sottraendo il numero iniziale si ha: 900a+90b+9c. Ora occorre sommare un numero multiplo di 9. Questo numero possiamo rappresentarlo con 9n. Abbiamo così: 900a+90b+9c+9n. Questo numero lo possiamo anche scrivere nel modo seguente: 9(100a+10b+c+n) ed esso è evidentemente un multiplo di 9. Per il principio enunciato, anche la somma delle sue cifre dovrà essere multiplo di 9. Così noi dobbiamo sommare le cifre che ci vengono fornite da P, dobbiamo individuare il più vicino (per eccesso) multiplo di 9 e sottrarre da questo multiplo il numero ottenuto dalla somma delle cifre. Questo numero sarà quello mancante.

GIOCO 8

Vediamo una variante del gioco precedente.

M dice a P: pensa un numero, togligli la somma delle sue cifre, disponi le cifre del numero che ottieni in un ordine qualsiasi e a questo ultimo numero aggiungi 31 (M deve farsi mentalmente questo semplice conto: deve dividere 31 per 9 e ricordare che il resto è 4)⁽*⁾, ora togli una cifra qualunque al risultato che non sia un 9 e dimmi la somma delle altre.

P pensa il numero 1234567 e procede così: 1234567 – 28 = 1234539, 5923143, 5923174,  5923174 (avendo tolto il 5), 26. Quindi è 26 il numero che P comunica ad M.

M toglie il 4 (quel resto di 31 diviso 9) ed ottiene 22, dal primo multiplo in eccesso di 9, 27, toglie il 22 ed ottiene 5. M dice a P. 5.

Ed ancora P deve annuire.

(*) M può utilizzare qualunque altro numero oltre al 31. L’importante è che lo divida poi mentalmente per 9 e si ricordi del resto, per togliere questo resto dalla somma delle cifre che P gli fornisce prima di sottrarre questa somma dal seguente multiplo di 9.

GIOCO 9

M dice a P : pensa un numero primo maggiore di 3, elevalo al quadrato, sommagli 17, dividilo per 12 e ricordati a mente il resto che ottieni.

P pensa 11 e calcola: 11, 121, 138, 138 : 12 = 11 (con resto 6).

M, senza aver avuto alcuna informazione da P, dice che il resto ottenuto da P è 6.

P annuisce di nuovo.

In questo trucco si fa uso di un’altra proprietà che enunciamo senza dimostrare: “Ogni numero primo maggiore di 3 è un numero che si può scrivere nella forma 6n ± 1” (essendo n un numero intero). Il quadrato di tale numero sarà quindi: 36n²± 12n +1.  Se dividiamo questo numero per 12, abbiamo come resto 1. E poiché M ha chiesto a P di sommare 17 che diviso per 12 dà come resto 5, il resto finale deve essere questo 5 e l’1 di cui prima. In modo che esso sarà 5 + 1 = 6.

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