La meccanica ondulatoria

         Nella relazione di Planck, E = hν , abbiamo visto che si lega l’energia portata da un quanto di luce (questa dizione è di Einstein) con la frequenza dell’onda di radiazione; questo fatto mostra la strana situazione in cui si trovava la fisica agli inizi del secolo scorso, di fronte a due teorie della luce assolutamente antitetiche ed inconciliabili (quella corpuscolare e quella ondulatoria), ciascuna delle quali però era necessaria per spiegare alcuni fenomeni non giustificabili con l’altra (il fenomeno dell’interferenza era spiegabile solo con la teoria ondulatoria mentre quello dell’effetto fotoelettrico solo con una strana teoria corpuscolare della luce – tra l’altro questo fenomeno trovò spiegazione solo attraverso i quanti di luce di Einstein nel 1905).

       La dualità onda corpuscolo, già ammessa per la luce, ha un compito essenziale per tutti i problemi in cui entra in gioco l’energia. Di qui l’idea fondamentale formulata nel 1923 dal fisico francese Louis de Broglie: generalizzare la dualità precedente; associare cioè un’onda all’elettrone come a tutti i corpuscoli conosciuti.

       Tale idea fu accettata ed estesa  dal fisico austriaco Schrödinger a cui si deve  una trattazione com pleta di tali onde, e fu il punto di partenza della celebre meccanica ondulatoria. La trattazione fatta da Schrödinger delle onde suddette conduceva agli stessi risultati di Bohr.

       Prima di procedere, andando a meglio capire quanto qui sostenuto, è conveniente discutere brevemente della meccanica delle onde.

Le onde

        Tutti abbiamo gettato, almeno una volta, un sasso nell’acqua. Abbiamo visto dei cerchi concentrici crearsi intorno al punto in cui il sasso era entrato in acqua. Abbiamo osservato che questi cerchi si allontanano, aumentando il loro diametro, da quel punto con una velocità costante. Sappiamo che quelle protuberanze sull’acqua si chiamano onde.

        Facendo una sezione dello stagno centrata nel punto in cui il sasso è entrato in acqua, abbiamo la seguente figura (la parte tratteggiata rappresenta il piano dell’acqua prima del lancio del sasso: si vede quindi che dell’acqua si innalza dal piano originale mentre altra acqua si abbassa rispetto a questo piano):

Consideriamo ora solo il profilo dell’onda:

Come si vede vi sono dei punti in cui l’altezza dell’onda è massima (massimi) e dei punti in cui questa altezza è minima (minimi). La distanza tra due massimi o tra due minimi è chiamata lunghezza d’onda e si indica con λ. La semidistanza, perpendicolare alla precedente, tra un massimo ed un minimo è chiamata ampiezza dell’onda e si indica con A:

       La velocità v dell’onda è la velocità con cui (rifacendoci all’esempio del sasso in acqua) un massimo (o un mini mo) si allontana dal punto in cui è stato gettato il sasso in acqua:

        Supponiamo ora di avere come punto di riferimento sul lo specchio d’acqua un filo d’erba che emerge a poca distanza dal punto in cui gettiamo il sasso. Chiameremo frequenza dell’onda e la indicheremo con ν il numero di  massimi (o di minimi) che passano, in un secondo, per il filo d’erba. In termini matematici la frequenza di un’onda è data dalla sua velocità divisa per la sua lunghezza (infatti la frequenza è tanto maggiore quanto più grande è la velocità dell’onda e tanto maggiore quanto è più piccola la lunghezza dell’onda):  ν =  v/λ.

        Si potrebbe a questo punto fare un piccolo esperimento. Disponiamo di una bacinella molto larga e poco profonda. Rie mpiamo d’acqua questa bacinella e lasciamo che l’acqua formi uno specchio rimanendo perfettamente immobile. Poniamo a galleggiare sull’acqua un piccolo sughero. Se ora forniamo un impulso (p = F.t = m.v) al centro del piccolo specchio d’acqua (ad esempio colpendo la superficie dell’acqua con una matita tenuta  perpendicolarmente la superficie) si genereranno delle onde concentriche che via via  si allontaneranno dal centro della bacinella per arrivare ai bordi. A questo punto potremo os servare che il nostro sughero, al passaggio dell’onda, si innalzerà e si abbasserà successivamente al passaggio dei massimi e dei minimi dell’onda ma non si sposterà dal punto dove si trova. Possiamo ripetere più volte l’osservazione, colpendo successivamente più volte la superficie  dell’acqua con la matita, e troveremo sempre lo stesso risultato. L’impulso che noi abbiamo fornito all’acqua colpendola lo ritroveremo dopo un poco di tempo ai bordi della bacinella ma il sughero è oscillato (trasversalmente) rispetto alla sua posizione di equilibrio senza spostarsi longitudinalmente.

        Possiamo quindi iniziare a trarre una qualche conclusione: un’onda non trasporta materia ma energia.

        Supponiamo ora di avere a disposizione due onde con stessa lunghezza d’onda  che si propagano da uno stesso punto (nella figura sono riportate su piani diversi per rendere evidenti le due onde) se a massimi di un’onda corrispondono esattamente massimi dell’altra onda, si dice che le onde sono in fase;

se non c’è alcuna corrispondenza tra massimi e minimi, le onde si dicono sfasate;

se infine ai massimi di un’onda corrispondono via via i minimi dell’altra, le onde si dicono in controfase (massimo sfasamento);

        Vediamo come agiscono tra loro queste onde, vediamo qual è l’onda che si ottiene dalla somma algebrica tra le due.

        Se le due onde sono in fase si sommano tra loro originando un’onda con la stessa lunghezza d’onda, con ampiezza doppia ed ancora in fase con le prime due:

due onde, con la stessa lunghezza d’onda, in controfase si sottraggono, originando come risultato un’onda nulla:

due onde invece che siano semplicemente sfasate si sommano e si sottraggono a seconda della sfasatura punto per punto in un modo abbastanza complesso che non ci interessa analizzare, al di là della figura riportata:

 possiamo anche far vedere le tre situazioni con le onde componenti e quella risultante, sovrapposte:   

        Questi erano i concetti che interessava introdurre, per capire le idee geniali di De Broglie e di Schrödinger.

Onde o particelle?

        Ci sono delle differenze ovvie tra particelle ed onde, almeno ad una prima visione superficiale. Una particella è localizzata esattamente in qualche luogo; un’onda è distribuita in una regione di spazio senza confini definiti. Una particella ha una massa e delle dimensioni precise; un’onda è priva di massa e non ha delle dimensioni ben definite. Inoltre le quantità che abbiamo usato per definire le onde (lunghezza d’onda, ampiezza, frequenza) sembrano non avere alcun significato per le particelle.

       Nonostante ciò De Broglie con una brillante intuizione fuse le idee di onda e di particella. Prima di descrivere il funzionamento della Meccanica Ondulatoria vediamo di conciliare un poco le differenze tra onde e particelle.

       Sia le onde che le particelle possono muoversi da un luogo ad un altro con una velocità ben determinata.

       Sia le onde che le particelle possono trasportare energia da un punto ad un altro.  Dati allora due punti A e B,

possiamo trasferire impulsi, fornire energia, da A a B in due modi: con un’onda

  o con una palla (o altro oggetto materiale; in particolare: una particella) 

        Va detto comunque che l’onda non è una particella: le onde, in qualche modo, hanno delle caratteristiche corpuscolari ; le particelle, in qualche modo, hanno delle caratteristi che ondulatorie  ed i due concetti sono strettamente connessi.  

       Nella Meccanica Ondulatoria di De Broglie e di Schrödinger si possono considerare le particelle come pezzetti di materia purché vengano associati a delle onde. L’onda è in qual che modo (come vedremo) legata alla probabilità che la particella si trovi in qualche punto dell’onda stessa.

       Consideriamo allora un’onda con una determinata frequenza ν  e lunghezza d’onda λ

Quest’onda è diffusa in tutto lo spazio; a ciascun suo punto può quindi essere associata una particella: la probabilità di trovare la particella è la stessa in ciascun punto dell’onda, questa probabilità è costante e quindi la particella può trovarsi dovunque nello spazio occupato dall’onda.

        Consideriamo ora più onde di diverse frequenze che interferiscono fra di loro in modo tale che le loro ampiezze si elidano reciprocamente ovunque (operando in un modo analogo a quanto abbiamo visto per due onde sfasate tra di loro) all’infuori  che in un ristretto spazio Dx. Questo insieme di onde possiamo chiamarlo “pacchetto d’onde”. Allora la particella che è associata a queste onde si troverà sicuramente all’interno “del pacchetto”.

       Consideriamo un esempio relativo a quattro onde con quattro differenti valori della frequenza e della lunghezza d’onda

  Queste onde, come si vede dalla figura, originano un pacchetto ben localizzato (l’onda, somma delle quattro, rappresentata tratteggiata nella figura precedente e riportata separatamente nella figura seguente):

dove c’è l’onda, cioè dove c’è il pacchetto, si trova la particella; dove l’onda è nulla non può esservi particella. Considerando quindi un generico pacchetto si ha:

  Così l’altezza (meglio: l’intensità) dell’onda in un punto è legata alla probabilità che la particella si trovi in quel punto e questa è una idea che ebbe Max Born e sulla quale torneremo con maggiori dettagli più oltre.

      Dove l’onda è ampia (o forte) vi è una buona possibilità di trovare la particella. Dove l’onda è piccola (o debole) vi è una piccola probabilità di trovare la particella.

Come sono allora queste onde? Sono onde di probabilità. E questa è la prima grande idea della meccanica ondulatoria.

        Era questo un risultato del tutto inatteso: la nozione di probabilità si introduceva in microfisica facendo svanire le nozioni di posizione e di velocità, e scalzando il determinismo classico.

       La seconda, grande, idea della meccanica ondulatoria (De Broglie, 1924) fu lo stabilire una relazione tra la velocità v della particella e la lunghezza λ della sua onda:  

q  =  h/λ

 dove q = mv è l’impulso o la quantità di moto della particella (essendo m la sua massa e v la sua velocità), h la costante di Planck e λ la lunghezza dell’onda associata al corpuscolo.

        Si ha quindi:  

mv  =  h/λ     =>           v  =  h /λ m              =>       v   ~   1/λ

       Ora il pregio fondamentale della relazione di De Broglie sta nel fatto che si legano fra di loro, ed anche in una relazione molto semplice, la quantità di moto q, che è una caratteristica corpuscolare, con la lunghezza d’onda λ, che è naturalmente una proprietà ondulatoria. Le caratteristiche ondulatorie e corpuscolari di una particella sono legate insieme con una formula che ci dice che ogni e qualsiasi particella con quantità di moto q possiede un’onda associata di lunghezza d’onda λ  data dalla formula:

  λ  =   h/q

(la verifica sperimentale del comportamento ondulatorio degli elettroni e  quindi della relazione di De Broglie, si ebbe nel 1927 ad opera di C. Davisson e L. Germer. I due fisici riuscirono ad ottenere la diffrazione degli elettroni , fenomeno tipicamente ondulatorio, servendosi delle tecniche di diffrazione dei raggi X introdotte da von Laue nel 1912 e dai Bragg, padre e figlio, negli anni successivi). 

       Una prima conseguenza di questa relazione è che le particelle “lente”, cioè con bassa velocità v hanno grandi lunghezze d’onda  λ e, viceversa, particelle “veloci” hanno piccole λ:

       Più in generale tutti gli oggetti materiali in moto hanno una natura ondulatoria e conseguentemente una lunghezza d’onda associata. Come esempio si può calcolare la lunghezza d’onda che compete ad un uomo che corre i 100 metri piani (m = 66 Kg; v = 10 m/s):

λ  =  h/mv  =  (6,6.10^-27)/(6,6.10⁴.10³) cm  =  10^-34 cm

se si ricorda che il diametro di un atomo è dell’ordine di grandezza di 10^-8 cm e che le dimensioni di un nucleo sono dell’ordine di 10^-12 cm ci si rende subito conto dell’impossibilità, anche solo di pensare di poter sottoporre ad una qualche verifica sperimentale un tale dato.

       Calcoliamoci ora la lunghezza d’onda associata ad un elettrone (m  =  9.10^-28 g;  v  =  10⁸ cm/s):

λ  =  h/mv  =  (6,6.10^-27)/(9.10^-28.10⁸) cm  =  7,3 . 10^-8 cm

e ricordando anche qui le dimensioni atomiche, si vede subito che ora siamo a quell’ordine di grandezza che è anche quello  delle distanze interatomiche. E’ possibile allora pensare di sottoporre a verifica sperimentale queste dato: si tratta di provocare l’interferenza degli elettroni utilizzando delle particolari fenditure, quelle che separano due atomi in un cristallo. E’ ciò che riuscirono a realizzare nel 1927 Davisson e Germer, come già accennato, confermando così la teoria di De Broglie (altre  esperienze  si possono realizzare a conferma ella relazione di De Broglie ed una di queste va sotto il nome di effetto Compton (1923) sul quale però non mi soffermerò).

L’atomo ondulatorio

        Un elettrone è un particolare tipo di particella. Ora noi sappiamo che l’elettrone è una carica negativa mentre il nucleo di un atomo è carico positivamente. L’elettrone viene quindi attratto dal nucleo.  Allora l’elettrone non potrà trovarsi dovunque, ma avrà una maggiore probabilità di trovarsi vicino al nucleo.

       Questo elettrone non sarà più rappresentabile come un pezzetto di materia, ma conseguentemente alla sua natura ondulatoria, sarà rappresentato da onde che si sviluppano lungo determinate orbite intorno al nucleo. Su ogni orbita ci sarà una particolare on da:  la caratteristica fondamentale di questa onda è il fatto di essere un’onda stazionaria; ed un elettrone che si trova in una onda stazionaria si dice che si trova in uno stato stazionario.

       Ma cos’è un’onda stazionaria?

       Cerchiamo, prima di definirla.di costruircela in casa. Leghiamo una robusta striscia di gomma, ben tesa, a due punti fissi. Facciamo poi oscillare, con un movimento della mano in un punto vicino ad un estremo fisso, la striscia. Variando progressivamente il movimento della mano fino ad ottenere la frequenza giusta riusciremo a costruirci un’onda stazionaria, un’onda cioè che non muta la sua configurazione e che non si propaga.

       Disegniamo un’onda generica ad un certo istante (in blu) e ad un istante successivo (in rosso):

un’onda siffatta è un’onda che si propaga: non è quindi un’onda stazionaria.

       Le onde che otteniamo invece con la nostra striscia, per diverse frequenze, sono fatte nel modo illustrato nella figura seguente:

Le linee in grassetto indicano la posizione della striscia nei punti di massimo spostamento; le aree ombreggiate indicano invece le regioni interessate al moto della corda. In pratica vi sono dei punti  che si mantengono fissi e la striscia oscilla su e giù  mantenendo fissi quei punti. Queste onde sono caratterizzate da nodi (i punti fissi nel disegno) e ventri (i punti a cui cor risponde il massimo spostamento della striscia dalla posizione di risposo) che non si muovono rimanendo sempre nelle medesime posizioni. L’evoluzione temporale di queste onde è data da uno spostamento trasversale massimo in un verso ed uno spostamento trasversale massimo nel verso opposto passando per la posizione di equilibrio. In ciascun punto della striscia si hanno quindi delle oscillazioni periodiche ma l’impressione che noi abbiamo guardando l’onda che abbiamo costruita è che niente si muova sulla striscia.

        Sempre riferendoci alla nostra esperienza dobbiamo osservare che per mantenere l’onda è necessario continuare a fornire impulsi con la mano. Questo perché gli attriti (nei due punti a cui abbiamo fissato la striscia) e la resistenza dell’aria tendono a far smorzare le oscillazioni. Per questo le onde che creiamo in una vaschetta d’acqua o in una chitarra dopo un poco si annullano. Nel nostro mondo macroscopico, sulla Terra, con aria, attriti, gravità non esistono onde stazionarie se non le creiamo artificialmente fornendo in continuazione energia.

       Ma nel mondo dell’infinitamente piccolo, nel mondo atomico, dove ovviamente non ci sono né attriti né resistenza di aria, dove la gravità è trascurabile rispetto alle altre forze in gioco, allora potremo avere, anzi abbiamo, delle onde stazionarie. L’elettrone che si muove intorno ad un nucleo si muove “nella sua orbita” secondo un’onda stazionaria trovandosi quindi in uno stato stazionario.

       Ad un’onda stazionaria compete una determinata energia che, fintantoché si mantiene la stazionarietà dell’onda, non viene dissipata.

       L’elettrone quindi muovendosi intorno al nucleo secondo un’onda stazionaria non dissiperà energia, così come doveva accadere secondo la teoria classica di Lorentz, sotto forma di onde elettromagnetiche.

        Si ritrova quindi una brillante spiegazione alla prima delle due ipotesi di Bohr: un elettrone su una determinata orbita non emette od assorbe energia.

       Cerchiamo allora una spiegazione alla seconda ipotesi di Bohr: l’elettrone può muoversi solo su determinate orbite, essendogli impedite tutte le altre.

       Ritorniamo alla nostra striscia di gomma e ricominciamo a farla oscillare. Le  onde che riusciamo a creare sono soltanto quelle relative a determinate frequenze e non a tutte le possibili. Per quanti sforzi possiamo fare si avranno soltanto quelle onde che hanno un numero intero di ventri.

        Supponiamo di aver creato un’onda stazionaria con tre ventri. Variamo di poco la frequenza facendo variare l’impulso che forniamo alla striscia con la nostra mano. Quello che otterremo è o un’onda con due ventri o una con quattro ventri, non ci sono vie di mezzo. Infatti una qualsiasi altra frequenza intermedia non farà altro che annullare qualsiasi onda sulla striscia.

       Allora, poiché ogni onda stazionaria ha una sua determinata energia, nel passare da un’onda stazionaria ad un’altra, si passa da un’energia ed un’altra ma non con continuità. Si avranno così dei salti energetici: nel passare da un’onda stazionaria con, ad esempio, tre ventri ad una con quattro si acquista energia (cioè all’onda stazionaria con maggior numero di ventri compete maggiore energia), facendo il salto inverso si perde energia.

       Cerchiamo allora la condizione di esistenza di un’onda stazionaria relativamente alla lunghezza della striscia di gomma che abbiamo usato per il nostro piccolo esperimento.

       Supponiamo che la striscia sia lunga L e che λ sia la lunghezza d’onda dello stato stazionario che stiamo considerando. Si avrà :

L  =  n λ      =>      λ   =  L/n

essendo n un numero intero e positivo, cioè un’onda per esistere deve avere una lunghezza d’onda λ sottomultiplo intero della lunghezza L della striscia.

       Applichiamo queste considerazioni all’elettrone nell’atomo. Consideriamo un’orbita elettronica di raggio r. La lunghezza di questa orbita sarà 2pr. La condizione per l’esistenza di un’onda stazionaria su questa orbita è:

 2πr   =  nλ       =>    λ   =    2πr/n

e questa è la condizione, di importanza fondamentale, di De Broglie.

        Si capisce quindi che soltanto le orbite che soddisfano alla condizione di De Broglie esisteranno.

        Ed ecco ritrovata l’altra ipotesi di Bohr, anche da un punto di vista formale. Infatti, mettendo insieme le due relazioni di De Broglie

q  =  h/λ              ;               λ    =   2πr/n

 si ritrova la condizione di Bohr di quantizzazione del momento angolare

 mvr  =  n h/2π

         Dalla prima relazione di De Broglie si trova:

q  =  h/λ            =>            λ  =  h/mv 

Sostituendo questo risultato nella seconda relazione di De Broglie si ha:

 h/mv  =  2πr/n             =>         mvr  =  n h/2π

che è la relazione di Bohr di quantizzazione del momento angolare.

         Il fatto poi che le onde associate all’elettrone possano avere soltanto determinate lunghezze spiega come mai l’elettrone possa avere soltanto determinate energie: infatti, finché l’elettrone è confinato nella sua orbita, esso non è soggetto ad alcun acquisto o perdita di energia essendo tutta la sua energia una energia di movimento, di tipo, cioè, cinetico.

        In base alla relazione di De Broglie ( λ =  h/mv) vista precedentemente, trovati i valori permessi per le lunghezze d’onda, si fa presto a trovare i valori permessi per le velocità e quindi per le energie.

        La costruzione dell’atomo ondulatorio è allora fatta.

        Questo modello venne immediatamente superato da tutto ciò che discese dai lavori di Schrödinger, il quale trattando matematicamente le onde di De Broglie nella sua ormai famosa “Equazione di Schrödinger” (che riporto per mera curiosità e per far vedere che la matematica cresce di difficoltà, passando alle equazioni differenziali alle derivate parziali):

trovò non più delle orbite intorno ad un nucleo, ma del le nuvole (che circondano a mò di buccia il nucleo) di probabilità intorno al nucleo stesso. Ogni orbita elettronica si può considerare come una nuvola che circonda il nucleo e le diverse orbite più interne (sulla forma di queste nubi di probabilità tornerò con qualche dettaglio più oltre.

       Cerchiamo ora di capire meglio ciò cominciando con l’introdurre il principio di indeterminazione.

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