Fisicamente

di Roberto Renzetti

PARTE I: LA MATEMATICA

Roberto Renzetti

LA TRASFORMAZIONE DEL MONDO ANTICO

    E’ utile ricapitolare un poco di storia greca. Eravamo arrivati, nel precedente articolo, alla fine della democrazia in Grecia con la morte di Pericle (429) ed il quasi simultaneo inizio delle guerre del Peloponneso (431) tra Atene e Sparta. Sparta sconfiggerà definitivamente Atene nel 404 ed imporrà suoi governi alla città. Seguiranno 70 anni di lotte tra varie città (Sparta, Atene, Tebe) per l’egemonia sul territorio greco che si concluderanno nel 362 con la sconfitta di Tebe. Nel frattempo, nel 359, era salito al trono di Macedonia Filippo II che, con mire verso la Persia, prima tentò di allearsi con Atene e poi passò alla conquista dell’intera Grecia che avverrà nel 338 quando una lega di tutte le città greche (meno Sparta), organizzata da Demostene, fu sconfitta a Cheronea. Solo due anni dopo (336) Filippo fu ucciso in un complotto: di questo momento di sbandamento tentarono di approfittare le città greche per ribellarsi al dominio macedone. Il regno era passato al giovane ventenne Alessandro, figlio di Filippo, che intervenne con durezza contro Tebe radendola al suolo. E questo fatto convinse subito Atene alla resa (335). Ancora un solo anno dopo Alessandro iniziò la campagna contro i la Persia. In breve tempo occupò la Fenicia distruggendo Tiro. Nel 332 a.C completò l’occupazione dell’Egitto e fondò una città sulla foce del Nilo, Alessandria. Nel 331 a.C. chiuse la campagna contro i persiani con la confitta di Dario III a Gaugamela (villaggio vicino alla mesopotamica Ninive, sulle rive del Tigri). In un altro anno si impadronì di tutte le principali città dell’antichità tra cui Babilonia, Ecbatana, Susa e Persepoli. Egli (dal 327 al 325) spinse poi le sue conquiste fino al fiume Indo dove, per la stanchezza dei suoi sodati, dovette

La massima estensione dell’impero di Alessandro (323 a.C.)

fermarsi. Tornato a Babilonia morì nel 323,  a soli 33 anni. Alla sua morte, in mancanza di eredi e di un capo riconosciuto, iniziarono guerre incrociate tra i generali di Alessandro che reclamavano la successione, i cosiddetti diadochi. Solo nel 301, con la battaglia di Ipso in Frigia, si ebbe una sistemazione definitiva della divisione dell’impero: Tolomeo I divenne re d’Egitto e Libia, Seleuco I di Siria e Babilonia, Cassandro re di Macedonia e Grecia, Lisimaco di Tracia ed Asia Minore. Da lì poi la situazione ebbe continui cambiamenti per continue lotte, guerre, congiure, … ma, per ciò che ci riguarda vi era una relativa calma nell’Egitto in cui si mantenne per circa 300 anni la dinastia dei Tolomei (fino a Cleopatra).

La suddivisione dell’impero di Alessandro tra i diadochi dopo la battaglia di Ipso (301 a.C.)

Ulteriori divisioni dell’impero macedone intorno al 200 a.C. in corrispondenza delle conquiste di Roma.

    Per quel che riguarda la Magna Grecia occorre solo fissare un paio di date. L’Italia meridionale fu interamente conquistata da Roma nel 272 con la definitiva ritirata di Pirro in Grecia. La Sicilia che aveva mantenuto una sua autonomia sotto il dominio di Siracusa, cadde definitivamente, a margine delle Guerre Puniche, sotto il dominio di Roma nel 212 con la conquista della medesima città.

    L’insieme di queste vicende comporta continui ed a volte repentini  cambiamenti ai quali si associano sempre rivolgimenti economici, sociali e culturali. Nonostante ciò si può affermare che l’attività scientifica mantiene suoi caratteri peculiari che le assicurano continuità e coerenza anche perché in nessuno dei tre regni in cui si dissolse l’impero di Alessandro vi fu il ripudio dell’eredità culturale e della tradizione ellenica e perché tale attività scientifica si svolge principalmente in un Paese, l’Egitto, ed in una città, Alessandria d’Egitto, molto marginalmente toccati dalle violente perturbazioni alle quali ho accennato. Tale città fu costruita a partire dal 332 presso le foci del Nilo su una terra fertile al centro di tutti i traffici. Essa, che nelle intenzioni poi realizzate doveva essere un ponte tra oriente ed occidente, diventerà la culla della civiltà ellenistica arrivando a contare, alla fine del III secolo, oltre mezzo milione di abitanti.

CITTA’, COMMERCI, TECNICA.

    C’è da notare che la fondazione di nuove città, già praticata in precedenza, divenne una costante della politica di Alessandro Magno(1). Lo scopo era triplice: da una parte si costruivano dei presidi avanzati in cui sistemare i veterani, con grandi riconoscimenti terrieri e di diritti distinguendoli dalla popolazione locale; dall’altra si costituivano entità con il fine di penetrazione economica e culturale; da ultimo queste città erano dei presidi tributari, una garanzia per il pagamento di imposte per le intere regioni che amministravano. E le imposte erano un elemento fondamentale per i regni ellenisti poiché con esse si mantenevano gli eserciti mercenari, il lusso delle corti e la burocrazia di palazzo. Una conseguenza non secondaria di ciò fu una ricaduta importante nel tessuto produttivo preesistente. Una nuova città con la tecnica architettonica ed urbanistica ellenistica, molto avanzata (che prevedeva una serie di edifici e monumenti che davano organizzazione e carattere alla città: teatri, palestre, terme, ippodromi, biblioteche, templi e altari, strade rettilinee che incrociavano ad angolo retto altre strade; e che, incontrando la cultura orientale, introdusse archi, volte, cupole, case a più piani divise in appartamenti e, dal secolo II a.C., i colonnati nei cortili interni delle case), che si inseriva in tessuti sostanzialmente agricoli, comportava il cambiamento della vita materiale di intere regioni per la mole di lavoro che si originava (al quale erano chiamati anche degli operai salariati, non più necessariamente schiavi), per il maggior numero di beni circolanti, per l’ulteriore sviluppo tecnico che ne derivava. Ben pochi furono però i benefici che arrivarono ai ceti più poveri. L’accumulo di ricchezza era per pochi con un solo evidente cambiamento. Mentre negli Stati del vicino oriente e dell’Egitto gran parte del territorio statale era spesso proprietà del sovrano che lo concedeva a vari coltivatori in cambio di prodotti ora, con i sovrani ellenistici, si estende la rete dei proprietari privati che era stata una delle caratteristiche della Grecia fino all’età di Pericle in cui vigeva il diritto di libera appropriazione delle terre (che aveva permesso il formarsi di patrimoni privati). Per altri versi, la pianificazione urbana a cui accennavo comportava problemi non indifferenti di approvvigionamento idrico e di fognature che sollecitavano soluzioni tecniche indifferibili. Inoltre i ceppi che si innestavano in queste città erano di persone colte con al seguito architetti ed ingegneri che conoscevano tecniche avanzate.

    Tra queste città merita attenzione, per quanto vedremo, la già citata Alessandria d’Egitto. L’architetto Dinocrate di Rodi propose ad Alessandro Magno un’opera fantastica ma irrealizzabile: scolpire il monte Athos in modo da rappresentare una figura umana avente in una mano una città e nell’altra un lago. Questa follia non si fece ma Alessandro fu colpito dalla fantasia di questo architetto tanto da metterlo a capo della progettazione di Alessandria. Secondo Pseudo-Cesare vi erano due strade principali larghe 30 metri che si incrociavano al centro della città.

Ai lati delle due strade vi erano portici imponenti tanto che la larghezza complessiva di ciascuna strada includendo il portico era di 60 metri. Queste strade erano illuminate per l’intera notte. La terraferma era unita all’Isola dove era situato il faro con una gigantesca diga lunga 7 stadi (Diga Eptastadio) sulla quale si poteva transitare. Ad una estremità dell’isola, dove si accedeva al Grande Porto, vi era il famoso faro (è l’isola che ha dato il nome al faro e i fari odierni si chiamano così

Ricostruzione del faro di Alessandria

da questo antenato) alto oltre 135 metri e visibile da oltre 50 km di distanza (una delle sette meraviglie del mondo antico(2)). L’altra estremità dell’isola chiudeva l’altro porto, quello rettangolare (kibotos). L’architetto aveva provveduto a  realizzare delle colline artificiali per rendere più mosso il paesaggio e, da tali colline, era possibile avere panoramiche sulla città e sul mare. Dei canali portavano acqua da Nilo, potabilizzata mediante vasche a sedimentazione, per case e fontane. Secondo vari studiosi ed urbanisti si tratta della prima città in senso moderno, non più un agglomerato di case intorno alla reggia ma una struttura polifunzionale da poter essere utilizzata di per sé. Alessandria fu una vera città cosmopolita con un nucleo principale di greci, egiziani ed ebrei a cui successivamente si aggiunsero siriani, persiani, romani, libici, cilici, etiopi, arabi, battriani, sciti, indiani.

    La circolazione di ricchezza, unita a conoscenze avanzate ed all’abbondanza di mano d’opera (schiavi o no) fu alla base di una grande rivoluzione economica. Con le conquiste di Alessandro, pur gestite dai suoi successori in regni frantumati (ma non come le antecedenti città-stato), si riuscì a diffondere, attraverso i mercanti greci, una lingua comune, il greco (dialetto attico con influenze ioniche: la koiné), inizialmente per esigenze economico commerciali, quindi per quelle della cultura e della tecnica. Nel circuito dei commerci, che poi ha profonde influenze politiche (ad esempio, di fronte all’affermarsi delle potenti monarchie assolute e prepotenti, il dibattito sul buon governo e sulla democrazia perse di significato(3)), entrarono molte nuove entità e gli scambi interessarono luoghi (dal Danubio all’Etiopia e dall’India e perfino dalla Cina fino alle coste atlantiche) e genti precedentemente esclusi: le popolazioni dell’Europa sud orientale (gli Sciti ed i Sarmati) e della costa settentrionale del Mar Nero (il Ponto Eusino), quelle dei Balcani meridionali e dei Carpazi (i Traci, i Daci, i Geti) , i regni e i territori al sud dell’Egitto, gli arabici ed infine gli indiani che a loro volta erano collegati con i loro opposti: le coste galliche ed ispaniche a nord e quelle di Cartagine, della Numidia e della Mauritania a sud del Mediterraneo. L’apertura all’Asia del circuito mediterraneo ebbe allora la stessa valenza che 1800 anni dopo ebbe la scoperta dell’America. Vi fu una interrelazione biunivoca tra accresciuti scambi e provvedimenti che li favorivano: da una parte fu introdotto un peso unico per le monete sia d’oro che d’argento, dall’altra fu incrementato un sistema bancario-creditizio per agevolare i commerci. Aumentò la rete di strade per le carovane sempre più numerose e con prodotti sempre più preziosi (incenso per profumare e disinfettare, perle, oro, seta), si estesero le vie navigabili lungo i fiumi e si ampliarono di molto le conoscenze geografiche.

    Le navi che veicolavano questi traffici, generalmente di 100 tonnellate, raggiunsero anche le 5000 tonnellate. Navi di tale stazza richiedevano porti adeguati che furono realizzati insieme a grandi fari, come quelli citati di Alessandria; a canali di comunicazione più rapida come quello che unì il Mediterraneo con il Mar Rosso; poi servivano infrastrutture di trasporto e furono costruiti edifici e ponti. Ogni genere di attività ricevette un forte impulso: la metallurgia, il tessile, i coloranti, l’artigianato artistico, la vetreria, l’oreficeria, i cosmetici, i mobili, l’abbigliamento di lusso. Questo fermento di attività produsse come conseguenza un primo sviluppo industriale della produzione dei beni. Sempre più lavoratori vengono occupati per produrre oggetti dal carattere sempre più specialistico. A questo proposito dice Lilley:

La suddivisione del lavoro si accentuò: per esempio non era più il muratore ad arrotare i propri utensili, né il tagliapietra a spazzare i detriti. L’impiego di schiavi nell’industria diminuì, sia pure solo per un certo tempo; e nelle fabbriche si impiegarono lavoratori sia liberi e salariati, sia egualmente liberi ma ingaggiati per un periodo di lavoro obbligatorio (sistema adottato dall’età del bronzo). Queste condizioni ebbero per effetto di stimolare l’inventiva meccanica, e nei tre secoli che seguirono il 330 a.C. il numero e l’importanza delle invenzioni furono incomparabilmente maggiori che in qualsiasi altro periodo compreso fra il 3000 a.C. e il tardo Medioevo.

Per la prima volta incominciamo a trovare descrizioni scritte abbastanza comprensibili di certi elementi meccanici, descrizioni che si aggiungono alle testimonianze archeologiche e a quelle letterarie occasionali, su cui si è basata la nostra storia delle epoche precedenti. Le classi colte, le sole che potessero lasciare queste testimonianze scritte, cominciarono finalmente a prendere qualche interesse alle questioni meccaniche. In teoria esse disprezzavano ancora tutto quanto riguardasse il lavoro manuale, ma in pratica era già così evidente l’importante posizione assunta dall’industria nell’economia generale, che qualcuno incominciò a rivolgere le proprie capacità speculative alle applicazioni industriali.

Alcuni mestieri o professioni vennero così ad acquistare rispettabilità e considerazione: per esempio quella dell’agrimensura. La distinzione fra il lavoratore e l’uomo della classe agiata, che aveva a sua disposizione tempo ed educazione, distinzione che aveva frustrato il progresso nell’età del bronzo e anche in quella del ferro, intorno al 450 a.C. era divenuta meno netta di prima. Essa rimase, tuttavia, ed ebbe anzi tendenza ad accentuarsi nuovamente quando l’interesse delle persone istruite per le questioni meccaniche andò gradatamente orientandosi, dall’invenzione e dal perfezionamento delle macchine utili, verso la costruzione di ingegnose curiosità e giocattoli meccanici. E, difatti, le più importanti invenzioni di questo periodo furono ancora opera di artigiani sconosciuti.

    Anche qui, come sempre e dovunque, grandi avanzamenti tecnici si ebbero con le tecniche di guerra. L’inizio di una produzione su vasta scala di materiali da costruzione e manufatti per attività lavorative e domestiche permise lo sviluppo di ceti artigianali sempre più specializzati nell’applicazione di varie tecnologie, dai quali furono reclutati i corpi militari impiegati nell’uso delle macchine da guerra, come ingegneri e architetti e, più in generale, tutti gli individui disposti a trasformarsi in professionisti specializzati nell’arte militare. Si svilupparono, a fianco delle balestre, grandi artiglierie a torsione (catapulte) e macchine da guerra dalla straordinaria complicazione o dimensione. Grandi balestre riuscivano a lanciare frecce di circa 2 metri di lunghezza. Le catapulte furono perfezionate al punto che riuscivano a lanciare palle di pietra di circa 80 Kg ad una distanza di circa 300 metri. L’uso delle catapulte per lanci di pietre o fuoco era noto ma  fu in età ellenistica che furono realizzate miscele incendiarie, prodotte con pece, zolfo, stoppa, segatura di pino e nafta, provenienti dall’Oriente. Fu realizzato anche un fuoco automatico che s’incendiava spontaneamente alla luce del sole. Furono costruite grandi torri d’assalto di dimensioni gigantesche (alcune avevano fino a 9 piani). Venivano messe in moto con ruote a gabbia di scoiattolo collegate a cinghie di trasmissione, mosse da soldati.

Da Klemm. Un sistema di ruote a gabbia di scoiattolo  del tipo utilizzato dagli eserciti dei regni ellenisti per muovere le grandi torri d’assalto. Nel disegno, tratto da un bassorilievo ritrovato a Capua, il meccanismo è utilizzato dai romani per sollevare colonne.

LA BIBLIOTECA DI ALESSANDRIA

    Ad Alessandria, per iniziativa di Tolomeo I Soter (il salvatore), uno dei sovrani in cerca di gloria e per questo ben disposti verso le arti e i mestieri (come disse Filone nel 200 a.C.), nel 290 si iniziò a costruire la famosa Biblioteca all’interno di uno spazio chiamato Mousaion (Museo, così chiamato in onore delle Muse, come facevano i Pitagorici), centro di cultura greca  per le indagini mediche, astronomiche e biologiche (disponeva infatti di sale anatomiche, di un osservatorio, uno zoo, un orto botanico). Esso disponeva di alloggi per gli studiosi che vi risiedevano, di sale di lettura, di una mensa comune ed era finanziato, prima volta nella storia, dallo Stato che provvedeva anche ad un salario senza obbligo, sembra, di fare lezione in corsi regolari al fine di poter disporre di tempo per la ricerca e per intrattenere i visitatori che, in alcuni momenti, erano oltre cento. L’ambizione di Tolomeo era che questa biblioteca diventasse un centro di raccolta di tutto lo scibile umano. Vari studiosi del Liceo vennero chiamati alla Biblioteca di Alessandria da Tolomeo, tra essi Stratone di Lampsaco, ed altri via via ne furono attratti (il medico Erofilo, gli astronomi Aristillo e Timocaride, il geometra Euclide). La supervisione dei lavori fu di Demetrio di Falero che proveniva dal Liceo di Aristotele di Atene e conosceva i metodi di raccolta e catalogazione dei libri, rotoli, papiri, ecc. Egli per realizzare l’opera si circondò di un gran numero di persone preparate allo scopo, scribi, dotti, filologi. Riuscì anche a far trasferire gran parte della stessa biblioteca del Liceo ad Alessandria. L’opera fu proseguita da Tolomeo II a cui si devono due importanti iniziative: la copiatura di ogni scritto che arrivasse su qualsiasi nave al porto di Alessandria (gli originali venivano poi restituiti) e l’appello a tutti i sovrani del mondo perché inviassero libri alla biblioteca. La biblioteca arrivò ad avere approssimativamente 700.000 rotoli, tra opere originali e copie, provenienti da tutto il mondo, tutte tradotte in greco e divenne un centro di cultura che attrasse le migliori menti e persone colte dell’epoca portando la città di Alessandria a rivaleggiare con gli splendori di Atene(4).  Alcuni nomi di scienziati che lavorarono nel Museo e Biblioteca e che si aggiunsero ai primi già citati, furono: l’astronomo Conone di Samo, il medico Erasistrato, l’ingegnere Ctesibio, il matematico-geografo Eratostene, il matematico Apollonio di Perge, l’astronomo Ipparco, l’astronomo Sosigene, il fisico Erone, il matematico Menelao, il medico Sorano, l’astronomo Tolomeo, i matematici Diofanto, Pappo e Teone (padre di Ipazia). Anche Archimede, come racconta Diodoro, avrebbe studiato ad Alessandria per poi tornare a Siracusa per l’ottimo ambiente di studio che regnava in questa città. Egli comunque ebbe relazioni epistolari con gli scienziati di Alessandria.

    L’esempio della biblioteca si estese non solo a città dove permaneva una tradizione di studio e pensiero, come Siracusa e Cos, ma anche a nuovi centri (Antiochia, Pergamo(5), Rodi, Smirne, Efeso, …) che cercarono di attirare alle loro corti gli studiosi noti. L’effetto fu, per l’epoca, di una diffusione enorme della cultura. Questa diffusione, unita ai progressi materiali di cui dicevo poco fa, il miglioramento delle condizioni di lavoro ed il perfezionamento degli strumenti, produsse l’effetto dell’accantonamento delle filosofie platoniche ed aristoteliche. La dottrina delle cause finali (teleologia) fu soppiantata insieme alla teoria aristotelica del moto e la sua negazione del vuoto. Ma questa fu anche la causa della successiva perdita di gran parte di quelle opere fantastiche. Non erano scritte da filosofi(6) e restarono quindi fuori dagli interessi della società in decadenza che, come sempre, si rifugia nelle religioni, negli esoterismi, nell’astrologia(7) e nella magia (in quest’epoca inizia l’alchimia). Andarono perse o distrutte, essendo dimenticate per secoli. Ritornarono invece in auge gli Aristotele ed i Platone.

    Nel seguito dell’articolo, andrò a ricercare alcuni contributi che ritengo più significativi della scienza ellenistica. Piuttosto che seguire gli scienziati e la cronologia cercherò di affrontare le problematiche che si sono poste e le elaborazioni che ne sono scaturite negli ambiti di matematica, astronomia, geodesia e fisica.

LA MATEMATICA ELLENISTICA

    La prima eminente personalità che si presenta alla nostra attenzione è quella di Euclide della cui biografia purtroppo sappiamo molto poco. Conviene riportare l’unica fonte di cui disponiamo che è un commento di Proclo (V secolo d.C.):

Euclide, l’autore degli Elementi, non è molto più giovane (di Ermotimo da Colofone e Filippo da Medma); egli ha messo in ordine vari lavori di Eudosso, migliorati quelli di Teeteto ed inoltre date dimostrazioni indiscutibili di quanto i suoi predecessori non avevano provato con sufficiente rigore. Euclide fiorì sotto Tolomeo I, perchè è citato da Archimede, il quale nacque verso il termine del regno di questo sovrano ed inoltre si narra come Tolomeo chiedesse un giorno ad Euclide se per apprendere la geometria non esistesse una via più breve degli Elementi e ne ricevesse per risposta: In geometria non esistono cammini fatti pei re. Euclide è adunque posteriore ai discepoli di Platone, ma anteriore ad Eratostene ed Archimede, i quali erano contemporanei, come afferma Eratostene in qualche luogo. Euclide era di opinioni platonico e molto famigliare con la filosofia del Maestro tanto che pose per iscopo finale de’ suoi Elementi la costruzione delle figure platoniche (corpi regolari).

Si hanno di lui molte altre opere matematiche scritte con singolare precisione e piene di scienza teorica. Tali sono l’Ottica, la Catottrica, gli Elementi di musica ed anche i libri Sulle divisioni. Ma si ammirano specialmente i suoi Elementi di geometria per l’ordine che vi regna, per la scelta dei teoremi e problemi assunti come fondamentali giacchè egli non ha inseriti tutti quelli che era in grado di dare, ma bensì quelli soltanto che sono capaci di fungere da elementi, e anche per varietà dei ragionamenti i quali sono condotti in tutti i modi possibili e convincono ora partendo dalle cause, ora risalendo dai fatti, ma sono sempre inconfutabili, esatti e dotati del carattere più scientifico. Si aggiunga che egli adopera tutti i procedimenti della dialettica: il metodo di divisione per determinare le specie, quello di definizione per i ragionamenti essenziali, l’apodittico nel procedere dai principi alle cose ignote, l’analitico nel procedere inversamente dall’ignoto ai principi. Lo stesso trattato ci presenta anche esattamente distinte le varie sorte di proposizioni reciproche, ora più semplici ed ora più complicate, potendo le reciprocità aver luogo o fra i1tutto ed il tutto, o fra il tutto e una parte, o fra questa e quello, o infine fra una parte ed una parte. Che diremo poi del metodo di ricerca, dell’economia e dell’ordine da quello che precede a ciò che segue, della forza con cui è assodato ogni punto? Se tu vuoi aggiungervi o togliervi alcuna cosa, riconoscerai che ti allontani dalla scienza e ti lasci trascinare verso l’errore e l’ignoranza. – In realtà molte cose hanno l’apparenze di essere verità e scaturire dai principi della scienza, mentre in fatto si scostano da questi principi ed ingannano gli spiriti superficiali. Perciò Euclide ha esposti anche i metodi adoperati dalla mente chiaroveggente e coi quali devono famigliarizzarsi coloro che intraprendono lo studio della geometria, per ravvisare i paralogismi ed evitare gli errori. È nello scritto intitolato Yeudaria (Sofismi) che egli ha fatto questo lavoro, enumerando partitamente e con ordine i varii generi di ragionamenti erronei, esercitando su ciascuno la nostra intelligenza col mezzo di teoremi di ogni specie, ove oppone il vero al falso e fa concordare la dimostrazione della verità con la confutazione dell’errore. Questo libro ha pertanto siccome scopo di purificare ed esercitare l’intelligenza, mentre gli Elementi sono una guida sicura e completa per la contemplazione scientifica delle figure geometriche (Citato da Loria).
 

    In definitiva possiamo dire, intersecando queste notizie con qualche altra, che Euclide visse all’incirca tra il 330 ed il 260 e che gli Elementi furono scritti intorno al 300 a.C. Sembra anche chiaro che Euclide abbia realizzato una stupenda sintesi della geometria costruita nei secoli precedenti ma non pervenutaci se non per testimonianze indirette. Anche la costruzione di un libro di Elementi non è invenzione di Euclide. Se si tiene conto di quanto afferma Aristotele, che cioè in matematica con la parola elementi si intende l’insieme delle proposizioni iniziali dalle quali possano discenderne delle altre, l’intento di realizzare degli Elementi base della geometria deve essere stato di molti matematici. Noi abbiamo notizia ancora da Proclo di un testo di Elementi realizzato alla fine del V secolo a.C. da Ippocrate di Chio, di altri matematici come Archita di Taranto e Teeteto (IV secolo) che, come dice Proclo, aumentarono il numero dei teoremi e lavorarono per una presentazione più scientifica degli stessi. Da quanto abbiamo letto più su e da queste considerazioni discende che probabilmente molti teoremi e dimostrazioni degli Elementi non fossero stati scoperti da Euclide e che il suo principale contributo, e non è poco, sia stato quello di ordinare sistematicamente ciò di cui disponeva realizzando delle dimostrazioni definitive di alcuni teoremi qui riportati. Quindi, anche se altri tentarono la strada degli Elementi, fu Euclide che riuscì a darne una versione soddisfacente per l’organizzazione, le dimostrazioni e le costruzioni geometriche in casi di crescente difficoltà. Il risultato è una mostra metodica, coerente di un insieme considerevole di teoremi estremamente significativi. Fu proprio questa struttura completa e compatta dell’opera di Euclide, l’esposizione degli elementi della geometria elementare, che le garantì una enorme diffusione che la fece sopravvivere alle altre, agli altri Elementi. Ed è anche il motivo per cui, insieme alle altre opere, abbiamo perso  anche i dibattiti filosofici che le accompagnavano. Qualcosa lo sappiamo solo da qualche citazione di Platone ed Aristotele. Sappiamo ad esempio che si richiedevano dimostrazioni stringenti per ogni affermazione che si faceva. E qui viene fuori quanto più volte annunciato: ora le  proposizioni devono essere generali e ciascuna deve avere delle giustificazioni precise, delle dimostrazioni stringenti ed irrefutabili (come osserva Elkana, il pensiero assume a proprio oggetto il pensiero stesso e diventa pensiero di secondo livello). Tali dimostrazioni nel V e IV secolo coprirono gran parte dei teoremi noti e scoperti. E, da quell’epoca, si iniziò via via a sistematizzare e ad ad organizzare con ordine logico tutto ciò che si andava accumulando. Chi ha fatto questo o quel teorema ? Abbiamo idee vaghe. Non sappiamo ad esempio chi ha dato la prima dimostrazione del teorema di Pitagora e non sappiamo quale è stata la prima dimostrazione. Sappiamo invece da Archimede che alcuni teoremi  che mettono in relazione volumi di cono e cilindro o di piramide e prisma sono di Democrito e che le prime dimostrazioni di essi sono di Eudosso. Sappiamo che Eudosso usò il metodo di esaustione, fondato sulle proposizioni X, 1 degli Elementi, che sarà di Archimede, ma non sappiamo se fu lui ad inventarlo. Sappiamo che una delle parti più eleganti e profonde degli Elementi, quella che si occupa di proporzioni e che compare nel libro V degli Elementi di Eudosso, ma sappiamo anche che di proposizioni si discuteva da tempi remoti, anche se sembra indiscutibilmente di Eudosso l’applicabilità della teoria delle proporzioni di Eudosso sia a grandezze commensurabili che incommensurabili. E fin qui per ciò che sappiamo. Altri autori eventuali sono completamente scomparsi alla nostra conoscenza.

    Resta da discutere questa opera superba che porta dentro di sé l’enorme sapienza se non del solo Euclide, di tutti i geometri greci. E’ un’opera che ha avuto una diffusione paragonabile alla sola Bibbia e che, praticamente come è nata, è ancora studiata in tutte le scuole del mondo. Va sottolineato ciò che ho in vari modi anticipato. Per la prima volta siamo di fronte ad un’opera che rende la matematica una teoria scientifica che prende le mosse da alcune definizioni di base di alcuni enti geometrici che non necessitano di alcuna dimostrazione (postulati). Se si vogliono aggiungere altre affermazioni alle fondamentali occorrerà farlo con stringenti dimostrazioni, attraverso cioè una catena di implicazioni logiche che, a partire dai postulati, ci porti a ciò che si deve dimostrare. Gli enti fondamentali su cui Euclide lavora sono quelli che comunemente si disegnano con riga e compasso, cioè rette e circonferenze; tali enti entrano così in una teoria scientifica.

    Gli Elementi si compongono di 13 libri (i libri XIV e XV sono aggiunte postume). I primi quattro libri raccolgono le proposizioni fondamentali, i fondamenti della geometria piana: il libro I (di derivazione pitagorica) tratta della teoria dell’uguaglianza e dell’equivalenza tra figure piane e si chiude con una dimostrazione del teorema di Pitagora; il libro II (di derivazione pitagorica)contiene una parte oggi non più studiata, l’algebra chiamata geometrica che , appunto, è stata sostituita dall’algebra simbolica e trigonometrica; il libro III (di derivazione probabile da Ippocrate di Chio) discute delle proprietà del cerchio; il libro IV (di derivazione probabile da Ippocrate di Chio) tratta delle proprietà dei poligoni regolari. Il libro V si occupa della teoria generale delle proporzioni tra grandezze (è quello che avrebbe sviluppato Eudosso) mentre il libro VI applica le precedenti teorie alla geometria piana. Seguono tre libri aritmetici in cui si trattano i numeri naturali (interi positivi) e le loro proprietà. Il libro X classifica gli irrazionali che discendono dai radicali quadratici. Gli ultimi tre libri trattano di geometria solida ed in particolare il XII introduce il metodo di esaustione (dovuto, sembra, ad Eudosso e che vedremo in Archimede) ed il XIII tratta dei cinque solidi regolari con una dimostrazione di enorme impatto, quella che non è possibile avere più dei 5 solidi regolari noti.

    Naturalmente non entrerò nella discussione dell’intera opera limitandomi a qualche definizione, postulato e dimostrazione, così come le si possono leggere nell’opera originale. Ed inizio proprio dalla prima definizione per capire se e come vengono superate le difficoltà di Zenone-Democrito alle quali avevo accennato nell’articolo precedente:

I. Punto è ciò che non ha parti.

    Come osserva Frajese nelle note agli Elementi, questa definizione è ambigua e soggetta ad interpretazioni. I più ritengono che il punto, non avendo parti, non ha dimensioni e quindi siamo di fronte al punto idealizzato della geometria di precisione. Il fatto è che la stessa definizione viene usata (ad esempio da Platone nel Sofista ed in Repubblica) anche per l’unità. Su questo ente, nel Libro VII, Euclide dice:

II. Unità è ciò secondo cui ciascun ente è detto uno.

e qui Euclide sembra dire che l’uno non è in se stesso divisibile (Platone diceva che certi matematici si negano ad ammettere che l’uno possa essere divisibile per la paura che poi si possa pensare che l’uno non è uno ma composto di parti). Se si ammette che l’uno è divisibile esso diventa simultaneamente un multiplo. Qui nasce una possibile contraddizione che obbliga ad una definizione di indivisibilità per l’uno di modo che la serie dei numeri si immagina costituita da unità individuali piuttosto che da una continuità infinitamente divisibile.

    Sulla quantità egli dice poi che è una serie di unità e che l’uno non deve essere inteso come una quantità. Proclo distinguerà le due cose (punto ed unità), dopo aver sottolineato che sono identiche, affermando che il punto è l’unità che ha posizione. Queste definizioni sono pitagoriche e, se lo sono, il punto unità una diventa esteso e con dimensioni unitarie. In ogni caso questa definizione non viene mai usata nel seguito e sembra quasi un omaggio a Pitagora in apertura dell’opera. Infatti è la definizione III che ridefinisce il punto:

III. Estremi di una linea sono punti.

ed il punto, come estremo di una linea (è, dalla definizione II, una lunghezza senza larghezza), non ha dimensioni. Ma qui già Aristotele aveva avuto da ridire perché non si può spiegare ciò che è prima mediante ciò che viene dopo.

    Come si vede vi è ampio materiale di discussione già in queste prime parole. E tale discussioni potrebbero proseguire proficuamente per tutte le Definizioni e proseguire per i Postulati e le Nozioni comuni che vengono subito dopo. Preferisco però passare alle Proposizioni, cioè ai teoremi ed alle loro dimostrazioni. Quasi tutti tali teoremi sono quelli studiati in un qualunque corso di studi ma vi è il Teorema di Pitagora del quale Euclide presenta una dimostrazione non usuale nei testi scolastici in uso (proposizioni 47 il teorema diretto e 48 il teorema inverso)(8). In tali testi si usano semplici proporzioni tra lati di triangoli simili ricavati da altrettanto semplici costruzioni. Probabilmente Euclide non ha usato questo metodo di dimostrazione per la sistematicità che ha dato alla sua opera, opera nella quale le proporzioni, come accennato, vengono studiate nel Libro V. E’ d’interesse riportare la dimostrazione in oggetto che sembra sia dovuta allo stesso Euclide (si potrà osservare che questa dimostrazione contiene in sé quelli che sono noti oggi come i due teoremi di Euclide). Aggiungo che nella dimostrazione di Euclide vi sono, per ogni costruzione che fa, i rimandi ad ogni cosa che precede e che giustifica l’operazione. Tali rimandi li ho omessi.

Proposizione 47.

Nei triangoli rettangoli il quadrato dell’angolo opposto all’angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.

    Sia ABC un triangolo rettangolo avente l’angolo BAC retto; dico che il quadrato di BC è uguale alla somma dei quadrati di BA, AC.

La figura degli Elementi di Euclide per la dimostrazione del Teorema di Pitagora

    Infatti, si descrivano il quadrato BDEC su BC, e su BA, AC i quadrati GB, HC, per A si conduca AL parallela all’una o all’altra indifferentemente delle rette BD, CE, e si traccino le congiungenti AD, FC. Ora, poiché ciascuno dei due angoli BAC, BAG è retto, le due rette AC, AG, che giacciono da parti opposte rispetto alla retta BA, formano con essa, e coi vertici nel punto A, angoli adiacenti la cui somma è uguale a due retti; quindi CA è in linea retta con AG. Per la stessa ragione, pure BA è in linea retta con AH. E poiché l’angolo DBC è uguale all’angolo FBA – difatti ciascuno dei due è retto -, si aggiunga in comune ad essi l’angolo ABC; tutto quanto l’angolo DBA è quindi uguale a tutto quanto l’angolo FBC. Ora, poiché DB è uguale a BC, e FB a BA, i due lati DB, BA sono uguali rispettivamente ai due lati FB, BC; e l’angolo DBA è uguale all’angolo FBC, per cui la base AD è uguale alla base FC, ed il triangolo ABD è uguale al triangolo FBC (I, 4). Ma il parallelogrammo BL a è il doppio del triangolo ABD essi hanno difatti la stessa base BD e sono compresi fra le stesse parallele BD, AL -, mentre il quadrato GB è il doppio del triangolo FBC: difatti essi hanno, di nuovo, la stessa base F B e sono compresi fra le stesse parallele F B, GC. [Ma doppi di cose uguali sono uguali fra loro]; è quindi uguale anche il parallelogrammo BL al quadrato CB. Similmente, tracciate le congiungenti AE, BK, si potrà dimostrare che pure il parallelogrammo CL è uguale al quadrato HC; tutto quanto il quadrato BDEC è perciò uguale alla somma dei due quadrati CB, HC. Ed il quadrato BDEC è descritto su BC, mentre i quadrati CB, HC sono descritti su BA, AC. Quindi il quadrato del lato BC è uguale alla somma dei quadrati dei lati BA, AC.
    Dunque, nei triangoli rettangoli … (secondo l’enunciato). – C.D.D.

    Si può dire in modo più semplice quanto scritto da Euclide. La dimostrazione viene fatta mostrando che il quadrato costruito su AB è uguale al doppio del triangolo FBC o al doppio del triangolo ABD o al rettangolo che ha per lati BD e DL, e che il quadrato costruito su AC è uguale al doppio del triangolo BCK o al doppio del triangolo ACE o al rettangolo che ha per lati CE ed EL. Se ne ricava che la somma dei due quadrati è uguale alla somma dei due rettangoli e cioè al quadrato costruito su BC.

    Da questo teorema, con una operazione fatta successivamente ad Euclide, è facile tirare fuori quello che è noto come I Teorema di Euclide. Da questo risaliremo poi di nuovo alla dimostrazione del Teorema di Pitagora.

I Teorema di Euclide.

 Il quadrato costruito sopra un cateto di un triangolo rettangolo equivale al rettangolo che ha per lati l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa.

Dalla figura si vede che

  • Q equivale al doppio del triangolo DCB (perché hanno ugual base DC ed uguale altezza
    CA)
  • R equivale al doppio del triangolo ACG (perché hanno ugual base CG ed uguale altezza CH)
  • Ma risulta che
  • ACG = DCB (per il primo criterio di uguaglianza tra triangoli)
    Da cui segue subito la conclusione:
    Q equivale ad R.

Passiamo ora di nuovo al Teorema di Pitagora servendoci della figura seguente e fornendone un altro enunciato:

Teorema di Pitagora.

Il quadrato costruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo, equivale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Riferendoci alla figura, prolunghiamo l’altezza relativa all’ipotenusa (linea tratteggiata). Il quadrato costruito sull’ipotenusa risulta diviso in due rettangoli R ed R’.

Applicando ora il I Teorema di Euclide ora visto, si ha:

Q equivale ad R

Q’ equivale ad R’

da cui si ricava (poiché somme di poligoni equivalenti sono equivalenti):

Q + Q’ = R + R’

da cui si ricava ciò che volevamo dimostrare:

Q + Q’ equivale a BCDE.

    Questa dimostrazione sembra sia dell’arabo Nassir el Din e la provenienza araba di tale dimostrazione dovrebbe risultare dalle figure che troviamo in manoscritti arabi che sono del tutto simili all’ultima da me riportata:

    Vi è un’altra argomento che merita una breve discussione, quello relativo al V postulato, quello sulle rette parallele.

V. Risulti postulato che, se una retta venendo a cadere su due rette, forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti.

e, per non frastornare qualche lettore, dico subito che questo postulato (si mostra facilmente utilizzando la proprietà transitiva del parallelismo mostrata da Euclide nella Proposizione 30 del Libro I) è equivalente a quello che noi usualmente conosciamo:

V. Per un punto fuori di una retta passa una sola parallela alla retta stessa.

    Qui vi è un richiamo tacito ad Aristotele quando affermava che vi sono certi matematici che credono che possano tracciare parallele senza rendersi conto che in tal modo danno per scontate affermazioni che non si possono dimostrare se le parallele non esistono. Il problema quindi della dimostrabilità di affermazioni sulle parallele era già presente addirittura in Aristotele. E vari matematici (ad esempio Tolomeo e Proclo) tentarono di dimostrare questo quinto postulato di Euclide fino a quando (2100 anni dopo) fu dimostrata da Gauss (ma anche da Bólyai e Lobacevskij) l’impossibilità di dimostrarlo.

    Contrariamente a ciò che comunemente si crede, gli Elementi non sono esclusivamente un’opera geometrica e lo abbiamo già visto nel descriverli. E’ interessante vedere la dimostrazione che Euclide presenta dell’infinità dei numeri primi (attenzione ciò è utile per sbarazzarci di quanti ritengono che non era chiaro il concetto d’infinito nell’antichità e per capire cosa s’intende per infinito potenziale).

PROPOSIZIONE 20.

Esistono [sempre] numeri primi in numero maggiore di quanti numeri primi si voglia proporre [- cioè: La serie dei numeri primi è illimitata].

Siano A, B, C i numeri primi proposti; dico che esistono numeri primi in maggior numero che A, B, C [cioè che ne esiste almeno un altro, oltre ad A, B, C].

Infatti, si prenda il minimo comune multiplo di A, B, C, e sia esso K; si aggiunga a K l’unità U. Ora, il numero K + U o è primo o non lo è. Dapprima, sia un numero primo; si sono dunque trovati i numeri primi A, B, C, K + U che sono in maggior numero che A, B, C.
Ma sia adesso il caso in cui, per ipotesi, K + U non primo, per cui esso è diviso da un numero primo. Sia diviso dal numero primo D; dico che D non è uguale a nessuno dei numeri A, B, C. Infatti, se possibile, sia uguale [a qualcuno di essi]. Ma A, B, C dividono K; perciò anche D dividerebbe K. Ma D divide pure K + U; ossia D dividerebbe, pur essendo un numero, anche l’unità U che rimane di K + U [ossia dividerebbe anche la differenza fra i due numeri consecutivi K + U e K, vale a dire, pur essendo un numero, dividerebbe l’unità U]: il che è assurdo. Quindi D non è uguale a nessuno dei numeri A, B, C. Ed è, per ipotesi, primo.

Dunque, si sono trovati numeri primi, cioè A, B, C, D, più numerosi di quanti numeri primi si siano proposti, cioè A, B, C. – C.D.D.

    Si può osservare che in questa dimostrazione non compare il termine infinito ma si afferma che i numeri primi sono sempre di più di qualunque quantità prefissata di essi. Ciò vuol dire che si ha chiara la definizione di una quantità non finita attraverso questa definizione rigorosa dell’infinità di un insieme. Contrariamente, come fa notare Russo, a quanto afferma Morris Kline nel suo famoso Matematical thought from ancient to modern times. Dice Kline:

Nella scienza greca il concetto di infinità è poco capito e apertamente evitato. […] Il concetto di un processo senza fine atterriva [i greci] ed essi si ritraevano dinanzi “al silenzio degli spazi infiniti”.

Se il problema risiede nel non uso del termine infinito, allora non si è capito che l’infinito greco era quell’apeiron del quale abbiamo diffusamente parlato (usato nel senso di infinito matematico già nel Teeteto di Platone e nelle Coniche di Apollonio di Perge) e che, all’epoca di Euclide, si avevano ben presenti tutte le questioni sollevate da Zenone tanto che si arriva all’infinito attraverso quantità finite. Ed Euclide non è l’unico a trattare con rigore l’infinito. Ritroveremo argomentazioni di estremo interesse in Archimede.

E Kline, nel complesso, non è tenero con Euclide. Lo considera un mero compilatore di quanto fatto da altri senza apporti personali. Inoltre gli assegna svariati errori concettuali, nelle definizioni (vaghe alcune ed imprecise altre), in alcune ipotesi non ben esplicitate ed in alcune dimostrazioni errate. Non mi pare di aver letto in Kline il riconoscimento dei meriti di Euclide che invece trovo chiaramente spiegati in Russo che sa cogliere l’essenza del lavoro di Euclide:

Dal nostro punto di vista la principale caratteristica dell’opera di Euclide non consiste però nell’insieme dei risultati esposti, ma nel modo in cui essi sono connessi tra loro, formando “reti” indefinitamente estendibili di teoremi, ricavabili da un piccolo numero di affermazioni ben individuate. Per giudicare l’originalità degli Elementi occorre quindi chiedersi se una simile struttura (senza la quale, ripetiamolo, non è possibile estendere la teoria facendo “esercizi”; è questo il punto essenziale!) fosse stata ottenuta prima di Euclide.

Nei frammenti rimastici sulla matematica pre-euclidea non sono documentati insiemi di postulati analoghi a quelli di Euclide. […]

Non vi è motivo per supporre che l’unità logica degli Elementi (o quanto meno di larghe sezioni dell’opera), che evidentemente non è dovuta al caso ma è il frutto del lavoro consapevole dello stesso matematico cui dobbiamo la scelta dei postulati, non sia una novità, di grande importanza, introdotta da Euclide.

    Questo libro, veramente splendido, ebbe con il tempo un impatto duplice. Da una parte fu il libro di testo di tutti i giovani che iniziavano ad interessarsi alla matematica, dall’altra fu un modello del metodo che conosciamo come assiomatico-deduttivo. Ma, per ciò che abbiamo detto a proposito del V postulato, anche ipotetico in quanto Euclide era al corrente che alcune delle affermazioni di base della sua geometria erano già state messe in discussione o rifiutate da importanti filosofi greci.  E’ un poco il coronamento di quanto i filosofi, come Platone ed Aristotele in modi diversi, avevano richiesto nei secoli precedenti. La prova, la dimostrazione, con Aristotele che diceva, con qualche ragione, che non tutte le affermazioni possono essere provate perché il punto di partenza di ogni dimostrazione sono sempre alcune affermazioni indimostrabili (esse erano, per Aristotele, le definizioni, gli assiomi e le ipotesi). E gli Elementi partono dagli stessi presupposti richiesti da Aristotele (con gli assiomi aristotelici che diventano qui nozioni comuni e con le ipotesi che sono all’interno delle proposizioni).

    Altro grande matematico e non solo del secolo III è certamente Archimede che iniziamo a raccontare come uno dei creatori del calcolo che oggi conosciamo come infinitesimale.

SULLA VIA DEL CALCOLO INFINITESIMALE

    Archimede di Siracusa  (circa 287 a.C. –  212 a.C.) è figlio dell’astronomo Fidia che da giovane lo manda a studiare ad Alessandria e parente ed amico del tiranno di Siracusa, Gerone II. Fu allievo dei successori di Euclide e strinse amicizia con Conone di Samo ed Eratostene di Cirene. Tornato a Siracusa ebbe un incarico di ingegnere civile che gli permetteva il tempo libero necessario per i suoi studi. Fu l’artefice della costruzione di macchine da guerra (catapulte, balestre, ganci fissati a travi sporgenti e manovrati da carrucole, argani vericelli per arpionare le navi che si fossero avvicinate ed invenzione delle feritoie da cui si lanciava con gran frastuono ogni cosa)(9) contro gli assedianti Romani, guidati da Claudio Marcello. La città fu comunque espugnata e nelle vicende del saccheggio, nonostante ordine contrario di Marcello, Archimede fu ucciso da un soldato (in circostanze diverse, in gran parte fantastiche, a seconda dell’autore). Fu sepolto in una tomba fattagli preparare da Marcello in cui, secondo le sue volontà, vi era scolpita solo una sfera inscritta in un cilindro. La tomba fu ritrovata da Cicerone(10) nel 75 a.C. ma oggi, nonostante vicino Siracusa vi sia la località Tomba di Archimede, non si sa che fine abbia fatto.

    Varie opere di Archimede sono andate perdute. Oggi disponiamo dei seguenti suoi scritti: Della sfera e del cilindro (in due libri), Delle conoidi e delle sferoidiDelle spiraliDell’equilibrio dei piani e loro centro di gravità (in due libri), ArenarioQuadratura della parabola; Metodo sui teoremi meccanici (scoperto solo nel 1906 dal danese Heiberg in un palinsesto ad Istanbul), Galleggianti (in due libri), Misura del cerchio [l’ordine cronologico in cui sono state scritte da Archimede è molto dubbio]. A questo grande scienziato si deve l’introduzione sistematica di procedimenti infinitesimali, sulla strada aperta da Democrito e con un rigore ed una eleganza che destano ammirazione.

UNA OSSERVAZIONE SULLE FONTI

    Nel suo La Rivoluzione dimenticata, Russo ricorda in breve le vicende delle opere di Archimede che, lo ricordo, non possediamo in versione autografa. Scrive Russo:

Sembra che diversi degli scritti di Archimede (tra i quali La quadratura della parabola) siano sopravvissuti per secoli in un’unica copia: un codice preparato a Bisanzio nel IX secolo. Questo manoscritto, oggi scomparso, appartenne a Federico II di Svevia e dopo la battaglia di Benevento (1266) finì nella Biblioteca Vaticana; esisteva ancora nel XV secolo, quando fu copiato in Francia e in Italia, ma non se ne hanno più notizie nel secolo successivo. Di un altro manoscritto, che conteneva opere diverse e probabilmente era stato donato al papa insieme al primo, si perdono le tracce già nel XIV secolo. Da questo secondo manoscritto era stata derivata una versione latina del trattato sui galleggianti. La sola altra fonte per le opere di Archimede è il palinsesto, cui abbiamo già accennato, trovato da Heiberg nel 1906, successivamente perduto e recentemente ritrovato.

Se non avessimo alcune sue opere, la nostra conoscenza di Archimede si ridurrebbe alle notizie tramandate da autori come Plutarco, Ateneo, Vitruvio ed Erone; saremmo cioè esattamente nelle condizioni nelle quali ci troviamo, ad esempio, per Ctesibio: scienziato che, sulla base di queste stesse fonti, ci apparirebbe non meno interessante. Circostanze quali la conservazione per sei secoli di un codice posseduto successivamente da Bizantini, Normanni Svevi, Angioini, papi e umanisti fiorentini sono ben difficilmente ripetibili. In quanti altri casi non siamo stati altrettanto fortunati?

Quanto dice Russo si può integrare con Napolitani che racconta:

Nel 1269 Guglielmo di Moerbeke tradusse in latino, basandosi su due manoscritti greci (codice A e codice B) … quasi tutto il corpus archimedeo, con l’eccezione dello Stomachion, del Problema dei buoi, del Libro dei lemmi e – eccezione assai importante – del Metodo. È da notare che i Galleggianti erano contenuti solo nel codice B, di cui si sono perse le tracce dopo il 1311. La traduzione di Moerbeke attraversò varie vicende, fino ad approdare definitivamente, nel 1740, alla Biblioteca Vaticana, dove si trova tuttora. In particolare … esso servì come base all’edizione di alcune opere archimedee che Niccolò Tartaglia pubblicò a Venezia nel 1543. È bene osservare che Tartaglia lasciava intendere di aver tradotto egli stesso dal greco le opere che pubblicava e che fra di esse si trovava anche il testo del primo libro dei Galleggianti. Nel 1565 l’edizione di Tartaglia fu pubblicata nuovamente, postuma; e in quello stesso anno usciva il rifacimento della traduzione di Moerbeke dei Galleggianti,approntato dall’umanista e matematico Federico Commandino.

Il codice A andò perduto nel corso del XVI secolo, ma aveva lasciato dietro di sé una numerosa progenie. Non solo ne furono fatte varie copie nel corso del XV e del XVI secolo, ma verso il 1450 era stato tradotto in latino dall’umanista Jacopo di San Cassiano. Il testo greco di una copia di A e la traduzione di Jacopo servirono come base dell’editio princeps greco-latina del testo di Archimede che uscì a Basilea nel 1544. Da tale edizione mancava, ovviamente il testo dei Galleggianti.

Una pagina della traduzione di Moerbeke di circa il 1266  dei codici A e B di Archimede

    Prendo spunto da questo racconto e dalla triste conclusione per fare alcune considerazioni.

    Le opere dei grandi scienziati ellenisti, come più volte detto, sono in gran parte disperse. Ne abbiamo qualcuna spesso avuta da codici e trascrizioni postume e comunque sopravvissute ad ogni intemperie politico-religiosa quando non ad incendi, furti e danneggiamenti di vario genere. Le figure che seguono, ad esempio, mostrano come immagini sacre venivano sovrapposte ad un testo del palinsesto contenente alcune opere di Archimede (Palinsesto di Archimede). Da

Da Napolitani: Una pagina del Palinsesto di Archimede. Un palinsesto è un manoscritto che ha avuto sullo stesso supporto più di una scrittura; in questo caso un testo greco di preghiera del XIII secolo si sovrappone alla scrittura originale del trattato risalente al X secolo. Le pagine sono state spiegazzate, strappate,  sporcate di cera, bruciacchiate ed intaccate dai funghi. Varie preziose opere dell’antichità ci sono giunte grazie alla Chiesa in un senso diverso da ciò che comunemente si dice. Un decreto del Sinodo del 691 vietava la distruzione dei manoscritti delle sacre scritture o dei padri della chiesa, ad eccezione dei volumi imperfetti o danneggiati. Sotto tali testi sacri vi era spesso un’opera classica che ci è così pervenuta (sic!).

Da http://www.laportadeltempo.com/Scienza%20App/scie_060605.htm. Una pagina del Palinsesto di Archimede ancora ricoperta da un’immagine sacra. In questo caso, l’inchiostro sulla pergamena di pelle di capra è stata erosa con un acido debole, probabilmente succo di limone, e grattata via con una pietra pomice così da poter essere riutilizzata come libro di preghiere.

Da Napolitani. Una pagina del palinsesto di Archimede in cui è ben visibile il testo originale (in un verso della pagina) su cui è sovrascritto un testo sacro (nell’altro verso).

Da Napolitani. Lo stato di conservazione del Palinsesto di Archimede.  Il Palinsesto, dopo tutte le vicende raccontate nel testo, nel 1998 fu acquistato ad un asta di Christie’s da un anonimo acquirente americano. Il manoscritto è ora conservato nel Walters art museum di  Baltimora (http://www.thewalters.org/archimedes/frame.html) e si sta procedendo al suo restauro da parte dell’Università di Stanford con una tecnica combinata di digitalizzazione e raggi X. I raggi X vengono regolati alle frequenze necessarie per eliminare elettroni dalle orbite degli atomi di ferro (inchiostro sovrapposto), bario e zinco (immagini sacre). Al restauro lavora anche l’Istituto del restauro di Pisa, l’Isti- Cnr, mediante tecniche utilizzate in radioastronomia. L’Isti dispone di immagini multispettrali acquisite con tecniche sofisticate presso il Rochester institute of technology, nello stato di New York, e la Johns Hopkins university di Baltimora, nel Maryland, e ottenute registrando l’intensità della luce riflessa dall’antica pergamena a diverse lunghezze d’onda che si manifestano come diversi colori. Il restauro virtuale tentato a Pisa consiste nel cercare una combinazione delle immagini dalla quale possano riemergere quelle relative ai due testi.

un lato il materiale su cui si scriveva era prezioso, anche perché scarseggiava, dall’altra non capendo di cosa si trattava ritenevano fosse da buttare, da ultimo l’opera sistematica di distruzione che, da parte sua, il Cristianesimo ha operato su ogni opera dell’antichità classica.

    Resta una domanda: le opere che ci restano sono le più rappresentative dei livelli scientifici e tecnologici raggiunti da quegli scienziati ? Evidentemente una risposta certa a questa domanda non la si può dare per mancanza di controprove (almeno fino ad ora visto che io spero ancora di trovare altri scritti) ma si possono fare delle ipotesi non troppo fantastiche.

    Già ho altrove accennato ai costi ed alla irreperibilità del supporto per la scrittura. Le pratiche di riutilizzo di tali supporti con operazioni di raschiatura degli scritti precedenti (da qui il nome palinsesto) erano frequenti. Vi era inoltre il problema dell’ingombro di varie opere che si andavano accumulando in determinate biblioteche. A prescindere da furti e danni qualsiasi, varie opere si perdevano per i motivi suddetti. Quali ? Intanto è facile dire che le più complesse alla lettura e, in tal senso, quelle matematiche e di carattere tecnico in genere erano le più esposte. Vi era la pratica dei compilatori che facevano una sorta di sunti divulgativi e spesso lontani dal testo originale delle opere note ritenute più importanti. Tali sunti, per loro natura, erano di molto più facile lettura dell’opera da cui erano tratti. Quando si dovevano sgomberare dei settori di biblioteca per riutilizzare i supporti, le opere originali erano quelle che più rischiavano. Inoltre con il passare degli anni ed in periodi di obsolescenza di conoscenze e di deliberati attacchi alla scienza (per di più pagana!), alcuni testi passavano dall’essere ingombranti all’essere inutili. La domanda del cosa ci resta ha così una risposta molto amara: molto poco e neppure delle cose migliori. L’auge della scienza alessandrina si concentra in circa 150 anni dopo il 300 a.C., fino a quando non vi fu un primo violento attacco alla Biblioteca da parte di Tolomeo VIII, detto Fiscone (Pancione), nel 145. Questo personaggio decretò l’espulsione degli studiosi greci dalla Biblioteca con la conseguenza di una prima emorragia di cervelli che si rese sempre più esiziale. Più o meno alla stessa data la Grecia divenne una provincia di Roma con graduale spostamento dell’asse culturale (non scientifico!). Ebbene, senza memoria storica, senza contatto diretto con alcuni autori, è facile in un centinaio e più anni perdere completamente le conoscenze acquisite e ritrovarsi solo con quei riassunti (quando va bene). Esempi di strane vicende ne abbiamo e più oltre ne parlerò diffusamente quando mi occuperò di Erone che descrive delle macchine dietro le quali doveva esservi ben altra conoscenza precedente ma andata irrimediabilmente perduta (a meno di qualche fortunato ritrovamento).

    Ci troviamo quindi nella condizione di fare una storia condizionata. Da un lato sappiamo di clamorosi risultati che però appaiono come punte di iceberg, dall’altro manca appunto molto tessuto connettivo che ci fornisca l’idea della continuità e dell’evoluzione, anche controversa, delle conoscenze.

    Detto questo resta la delusione nel leggere alcuni storici della matematica che danno giudizi apodittici sull’esistente che, a mio giudizio, non può in nessun caso descrivere con un minimo di completezza le conoscenze scientifiche ed il livello della loro diffusione in quei fondamentali 150 anni.

IL METODO DI ESAUSTIONE

    Ho già avuto modo di accennare al metodo di esaustione quando, nell’articolo precedente, ho parlato di Democrito e quindi di Eudosso. Tale metodo, già utilizzato da Euclide nel libro X degli Elementi, permetteva di trovare aree o volumi di regioni curve mediante approssimazioni successive, con l’uso di poligoni inscritti e circoscritti (o poliedri) dei quali le aree (o volumi) erano note. Per trovare ad esempio l’area di un cerchio mediante approssimazione successiva, si inscrivevano e circoscrivevano ad esso dei poligoni regolari, dei quali si aumentava sempre più il numero dei lati (nel caso della sfera si usavano poliedri, aumentando sempre più il numero delle facce). La linea di pensiero è sempre stata la medesima: poiché non si riesce a calcolare in modo elementare un’area racchiusa da una superficie curva, si tende ad approssimare tale area con un certo numero di aree che sappiamo calcolare. Il problema è il livello dell’approssimazione. E’ evidente che un triangolo inscritto in un cerchio approssima malissimo l’area del cerchio. Meglio un quadrato, un pentagono, un esagono, …, meglio ancora tanti rettangolini … 

Successivamente si passò a superfici curve non approssimabili con poligoni regolari. Il problema divenne la suddivisione di tali superfici mediante i suddetti rettangolini che la approssimassero sempre meglio. Da questo punto si capì, anche

Se si vuole trovare l’area del poligono mistilineo ACDBA occorre sommare (Sn) l’area degli n  rettangolini aventi come base h  e come altezza i vari valori di m. Un’area siffatta è approssimata per difetto. Tale approssimazione è sempre migliore quanto più piccolo è h. Ma, al diminuire di H, crescono i rettangolini, cioè n. E’ a questo punto che occorre capire come proseguire per avere sempre migliori approssimazioni dell’area richiesta.

se la cosa fu inizialmente rifiutata concettualmente, che la migliore approssimazione si sarebbe avuta con rettangolini sempre più piccoli, nei quali una dimensione diventasse praticamente nulla … Ci volle molto a conquistare queste aree, queste quadrature, e la storia del calcolo racconta come si è riusciti a farlo

    Il metodo di esaustione, già trattato da Euclide  fu uno degli argomenti che più interessarono il matematico Archimede  nella ricerca di alcune aree (segmento parabolico, ellisse, …), di alcuni volumi e nello studio del  problema della tangente ad una spirale (quest’ultimo è uno dei primi problemi di calcolo differenziale mentre gli altri, e la gran maggioranza di quelli che incontreremo, relativi ad aree e cioè a quadrature, sono problemi di calcolo integrale).

LE QUADRATURE DI ARCHIMEDE

     Inizio a discutere un argomento di grande interesse perché è la famosa quadratura del cerchio che Archimede sviluppa in una sua breve opera che ha  proprio per titolo Misura del cerchio. E’ l’esempio più classico dell’uso del metodo di esaustione. Dice Archimede:

PROPOSIZIONE 1.

Ogni cerchio è uguale ad un triangolo rettangolo se ha il raggio uguale ad un cateto [del triangolo] e la circonferenza uguale alla base [all’altro cateto].

    Sia dato un cerchio di raggio r e lunghezza delle circonferenza pari a C. A questo punto non posso dire che ci proponiamo di trovare la sua superficie ma devo dire che ci proponiamo di dimostrare che la sua superficie è

Ed in questo consiste il metodo ipotetico deduttivo: si scopre un qualcosa per via empirica o con metodi poco ortodossi; si tratta di trovare delle giustificazioni con catene logiche o dimostrazioni che portino a quel risultato.

    Con un procedimento ormai noto, almeno nelle sue linee generali, utilizzando il metodo di esaustione, inscriviamo nel cerchio un poligono regolare. Tale poligono sarà divisibile in triangoli uguali, e noi sappiamo che l’area di tale poligono è la somma delle aree dei triangoli che lo costituiscono.

    Si vede subito che l’area di tutti i triangolini di figura è uguale a quella di un triangolo che ha per base la somma di tutte le basi dei triangoli (e cioè il perimetro P del poligono) e per l’altezza quella comune a tutti i triangoli (e cioè l’apotema a del poligono). Di modo che la figura seguente diventa

Aumentando ora indefinitamente il numero dei lati del poligono, questa si avvicinerà sempre più a quella del cerchio (si avrà coincidenza per P = C  ed  a = r). Facciamo un piccolo passo avanti e rendiamo più rigoroso il ragionamento effettuando una dimostrazione per assurdo. In tal modo non dobbiamo più dimostrare che l’area del cerchio è data dalla formula

(r x C)/2

ma dobbiamo mostrare che essa non può essere diversa da

(r x C)/2

    Ragioniamo seguendo una dimostrazione suggerita dal sito http://progettomatematica.dm.unibo.it/ARCHIMEDE/opera1.htm. Indicando con

A = (r x C)/2   

e con D l’area del cerchio, dobbiamo arrivare alla conclusione che sia assurdo che D sia maggiore di A e, analogamente, che ne sia minore. Da cui non ci resterà che affermare che D coincide esattamente con A, che era proprio quello che volevamo.

    Analizziamo i due casi separatamente:

  • Per dimostrare che l’area D non può essere minore di A, basterà vedere che per ogni sottoinsieme M minore di A, posso trovare un poligono inscritto nel cerchio (come abbiamo fatto sopra) che sia maggiore di A stesso, per cui, essendo l’area del cerchio maggiore del poligono, allora D sarà sicuramente maggiore di M (ricordando che vale per ogni M).
  • Analogamente si procede per dimostrare che D non può essere maggiore di A.

    L’unica conclusione possibile, allora, risulta la nostra di partenza e cioè che l’area del cerchio è esattamente uguale ad A, risultato a cui siamo arrivati proprio grazie al principio di esaustione

    Facciamo un altro piccolo passo in avanti e andiamo a definire in maniera rigorosa quanto detto sopra.

    Sia sempre A l’area del cerchio. Vogliamo dimostrare che si cade in un assurdo se si suppone che esista un intero positivo k tale che:

A = (r x C)/2 – k

     Infatti, consideriamo un poligono regolare, inscritto nel nostro cerchio, il cui apotema a sia maggiore di  (tale poligono esiste sempre perché, come abbiamo osservato, posso aumentare il numero di lati fino ad ottenere r) inoltre supponiamo che il perimetro P del nostro poligono sia maggiore di  C = k/r (ancora possibile perché aumentando la lunghezza dei lati posso ottenere P = C ).

    L’area del poligono è A’ = (a x P)/2 , quindi avremo

 Ma non finisce qui perché Archimede sa bene che il problema centrale per la quadratura del cerchio è la relazione esistente tra diametro e circonferenza o, per dirla in modo più banale, la conoscenza sempre più precisa di π.

    Egli si occupa della questione nelle altre due proposizioni, la 2 e la 3, del suo Misura del cerchio (scrivo le due proposizioni di seguito perché vi deve essere stato uno scambio di posto tra le due in quanto la 2 si dimostra con la 3).

PROPOSIZIONE 2.

Il cerchio ha rispetto al quadrato del diametro il rapporto che 11 ha rispetto a 14.

PROPOSIZIONE 3.

La circonferenza di ogni cerchio è tripla del diametro e lo supera ancora di meno di un settimo del diametro, e di più di dieci settantunesimi.

      Seguendo la breve dimostrazione di Frajese, abbiamo un cerchio al quale circoscriviamo un quadrato CDGH (risultando il quadrato del diametro): esso

risulta quadruplo del triangolo ACD. Si costruisce poi: DE = 2 CD ed: EF = 1/7 CD, sicché: CF = 3 CD + 1/7 CD = (3 + 1/7) CD = 22/7 CD. Per la proposizione 3, il segmento CF è approssimativamente uguale alla circonferenza del cerchio di diametro AB, quindi il triangolo ACF è approssimativamente uguale a detto cerchio, avendo la base uguale alla circonferenza approssimata e l’altezza uguale al raggio. Ma detto triangolo ACF sta al triangolo ACD nel rapporto 3 + 1/7 = 22/7, quindi se consideriamo il rapporto tra il triangolo ACF e il quadrato del diametro CD (quadrato che è quadruplo del triangolo ACD) il rapporto è quattro volte minore del precedente: può pertanto essere espresso dalla frazione 11 : 14 (dividendo per 2 il numeratore 22 e moltiplicando per 2 il denominatore 7).

    Ripetendo tali ragionamenti (nella proposizione 3) a partire da esagoni regolari inscritti e circoscritti ad una circonferenza (di raggio unitario), fino ad arrivare a poligoni di 96 lati (oltre, con il simbolismo dell’epoca, era molto complesso andare), Archimede riesce a trovare che il perimetro di tale poligono circoscritto vale 3 + 10/70 ed il perimetro del medesimo poligono inscritto vale 3 + 10/71. E’ evidente che la lunghezza C della circonferenza di raggio uno deve essere compresa tra questi due valori:

3 + 10/71 < C < 3 + 10/70

cioè (utilizzando la nostra notazione decimale):

3,1408 …< C < 3,1428 …

poiché le prime due cifre decimali sono comuni ai due estremi della disuguaglianza, esse devono essere certe. Ciò ci fornisce quindi il valore di π che è, appunto:
 

π = 3,14.

     Questo era un eccellente risultato che solo Claudio Tolomeo circa 400 anni  dopo (o forse Ipparco, circa 100 anni dopo) riuscì a migliorare portandolo a 3,1416.

***   

    Visto questo primo semplice esempio, seguo con il discutere un altro argomento ritenuto tra i maggiori successi di Archimede. E’ argomento di matematica che, come vedremo risulta essere al centro degli interessi dello scienziato siracusano.

    Seguiamo un suo ragionamento, quello per calcolare l’area di un segmento parabolico (si noti che il termine parabola non era di Archimede; in suo luogo egli usava la frase sezione del cono retto). Quest’area, come molte altre aree e volumi, si trova nel suo Metodo di Archimede sui teoremi meccanici ad Eratostene (ed era stata calcolata precedentementedallo stesso Archimede nel suo Quadratura della parabola). Osservo che si avrà a che fare con triangolazioni e questo fatto può farci capire in che considerazione era tenuto lo studio dei triangoli proprio al fine di poter procedere al calcolo di altre figure mediante triangolazioni.

     Il Metodo è una sorta di memoria scientifica scritta in una corrispondenza con Eratostene (del quale mi occuperò più oltre) per dar conto ad una persona di grande prestigio ad Alessandria i risultati di una ricerca geometrica dalle particolari caratteristiche, diverse da quelle note (nel dir questo ipotizzo, in accordo con alcuni studiosi (Knorr e Sato), che l’opera di cui mi occupo sia una delle ultime opere di Archimede. E’ lo stesso Archimede che, nella dedica ad Eratostene, spiegandogli quali teoremi intende dimostrare, segnala alcune questioni di metodo di grande interesse:

Vedendoti poi diligente ed egregio maestro di filosofia, e tale da apprezzare anche nelle matematiche la teoria che [ti] accada [di considerare], decisi di scriverti e di esporti nello stesso libro le caratteristiche di un certo metodo, mediante il quale ti sarà data la possibilità di considerare questioni matematiche per mezzo della meccanica. E sono persuaso che questo [metodo] sia non meno utile anche per la dimostrazione degli stessi teoremi. E infatti alcune delle [proprietà] che a me dapprima si sono presentate per via meccanica sono state più tardi [da me] dimostrate per via geometrica, poiché la ricerca [compiuta] per mezzo di questo metodo non è una [vera] dimostrazione: è poi più facile, avendo già ottenuto con [questo] metodo qualche conoscenza delle cose ricercate, compiere la dimostrazione, piuttosto che ricercare senza alcuna nozione preventiva. Perciò anche di quei teoremi, dei quali Eudosso trovò per primo la dimostrazione, intorno al cono e alla piramide, [cioè] che il cono è la terza parte del cilindro e la piramide [è la terza parte] del prisma aventi la stessa base e altezza uguale, non piccola parte [del merito] va attribuita a Democrito, che per primo fece conoscere questa proprietà della figura suddetta, senza dimostrazione.
 

    Vi sono alcune cose notevoli da sottolineare: Archimede comunica all’amico che si serve di un metodo meccanico per ricavare proprietà geometriche; Archimede ritiene utile tale metodo, anche se non rigoroso, almeno per capire a priori dove si va a parare. Egli quindi, e lo vedremo subito in un’applicazione, si fa una prima dimostrazione meccanica di ciò che intende dimostrare e, successivamente passa alla dimostrazione rigorosa. E cosa intende Archimede per metodo meccanico ? Intanto egli lo considera molto importante tanto da dare ad esso particolare enfasi proprio nella premessa ai teoremi che seguiranno. E’ un nuovo metodo geometrico che si affianca a quello classico in uso nella scuola alessandrina. Ed egli con la sua introduzione intende consigliarlo passando a successive esemplificazioni che ne mostrano la potenza esplicativa. E’ una combinazione di estensione di principi della meccanica (ad esempio della leva, con la ricerca dei centri di gravità) alla geometria e di geometria classica (chiamiamola euclidea) con il metodo di esaustione, e quindi con ragionamenti infinitesimali, al centro. Ogni figura viene considerata come composta da elementi infinitesimi (infinite linee nel caso di figure piane ed infiniti piani nel caso di figure solide). La parola infinito non compare però in Archimede. Egli usa le espressioni: la figura è composta da tutti i suoi elementi oppure la figura è riempita da tutti i suoi elementi (esempi: il triangolo è riempito da tutte le sue linee parallele alla base; il cilindro è composto da tutti i cerchi perpendicolari al suo asse).

    Dopo aver fatto questo, si individua un’altra figura (piana o solida) di cui si conoscano area o volume ed il baricentro e si dispone, rispetto a quella da studiare, in modo da giacere sul prolungamento di un suo diametro o di un suo asse. In questo modo le due figure (chiamiamone una X ed una B) avranno i loro baricentri situati su una stessa retta. Si procede ora all’operazione di segare le due figure con rette o piani paralleli (perpendicolari all’asse): ogni sezione sarà l’elemento infinitesimo dell’insieme delle due figure, con la parte di sezione di una delle due figure da considerare come elemento corrispondente della parte di sezione dell’altra figura.

      Rufini prosegue così la descrizione del metodo meccanico:

Si prolunga d’una lunghezza opportuna il diametro o l’asse, e il segmento ottenuto si considera come il giogo di una bilancia o l’asta di una leva di primo genere. Si tratta ora di stabilire sulla leva l’equilibrio fra gli elementi di X e quelli di B, fissato preventivamente il punto d’appoggio P, o fulcro della leva. Archimede sa che le due grandezze sospese ai bracci d’una leva si fanno equilibrio quando è uguale il prodotto delle loro superficie o volumi per la distanza del loro centro di gravità dal fulcro; in altre parole “quando i loro momenti rispetto al punto d’appoggio sono uguali.

Per determinare il momento di X si può procedere in questo modo: uno qualsiasi dei piani tra loro paralleli e perpendicolari alla leva abbia da P la distanza d e determini nella figura X la sezione v, e nella figura B la sezione u; V · dx e u · dx saranno gli elementi corrispondenti di X e di B.

Posto che

v : u = x : d



(relazione che negli esempi trattati da Archimede si riesce a stabilire con facili considerazioni geometriche), si avrà che ogni elemento di X sospeso alla leva alla distanza d da P farà equilibrio al corrispondente elemento di B situato al suo posto.

Si immaginino allora tutti gli elementi di X trasportati e sospesi tutti per il loro centro di gravità nello stesso punto della leva, situato alla distanza d da P, dalla parte opposta, rispetto a P, a quello a cui sono situati gli elementi di B, i quali rimangono invece al loro posto. Anche in questa posizione tutti gli elementi di X faranno equilibrio a tutti gli elementi di B.

Questo vuol dire che la figura X sospesa per il suo centro di gravità nello stesso punto in cui furon sospesi i suoi elementi fa equilibrio alla B situata al suo posto; i loro momenti saranno perciò uguali. Il momento di X rispetto a P sarà dunque V . d, se con V indichiamo la sua superficie o volume; e se b è la distanza nota da P del centro di gravità di B, sarà U . b il suo momento. Quindi:

V . d  =  U . b,

da cui

                       V=  U.b/d            oppure        d = U.b/V

che danno rispettivamente la superficie o il volume di X, o il suo centro di gravità se si conosce V.

    Vediamo allora in cosa consiste il Metodo attraverso il calcolo annunciato dell’area del segmento parabolico. Alla lettera ad Eratostene che ho precedentemente riportato, Archimede fa seguire, al solito, dei Lemmi (presupposti) e quindi le proposizioni (teoremi) da dimostrare.

    Tra tali teoremi, Archimede fornisce due dimostrazioni per la quadratura del paraboloide. La prima (proposizione 1), che egli definisce, appunto, meccanica, è basata sulla teoria della leva (che può ben essere una bilancia), con l’uso dei centri di gravità delle figure geometriche. La leva sarebbe la base AB del segmento parabolico, prolungata oltre A, ed A ne sarebbe il fulcro. Egli utilizza inoltre il concetto di momento (statico), cioè il prodotto della superficie o del volume per la distanza del suo baricentro dal punto. Quando una leva è in equilibrio, lo sono anche i momenti che, nel nostro caso, sono i momenti delle due figure prese in considerazione rispetto allo stesso punto (il fulcro). L’equilibrio dei  momenti (o il peso delle due superfici) riguarda ora i trapezi che sono in figura con quelli che si avrebbero sull’altro braccio della leva (bilancia). Questo equilibrio è sempre l’uguaglianza di due prodotti che si originano da una proporzione. Se chiamiamo con S  la superficie o il volume della grandezza nota e con S’ di quella da determinare e detti b e d le distanze dei baricentri dal fulcro è:

S . d = S’ . b

Da cui si ricava: S’ = (S . d)/b che è ciò che si cercava.

    Con questo metodo meccanico, Archimede determina la relazione tra il segmento parabolico ed il triangolo (ABC) che risulta formato dalla base del segmento parabolico (AB), dalla tangente in un estremo (BC) e dalla parallela all’asse della parabola (A2C2) passante per l’altro estremo (AC). Si supponga ora di tracciare rette perpendicolari alla base AB che staccano sulla superficie parabolica infiniti segmenti del tipo di AB1, e sul triangolo infiniti segmenti come CC1 (natura infinitesimale del problema). Questi segmenti sono i “fili” di Archimede (nel caso di un solido in luogo dei segmenti occorrerà prendere in considerazione le infinite fettine, estremamente sottili, che si ottengono sezionandolo, che Cavalieri chiamerà foglietti). La superficie del segmento parabolico ha lo stesso peso della somma dei pesi di tutti i fili del tipo di AB1 e la superficie del triangolo ha lo stesso peso della somma dei pesi di tutti i fili del tipo di CC1. Archimede riesce idealmente a costruire una bilancia su cui confronta i due pesi, trovando che il primo è 4/3 del secondo; di conseguenza conclude che l’area del segmento parabolico è 4/3 di quella del triangolo. Vediamo in sintesi la sua dimostrazione con il metodo meccanico. Egli, come aveva dimostrato in Quadratura della parabola, si propone di mostrare che il segmento parabolico ABC è i 4/3 del triangolo ABC. Riferiamoci alla figura seguente in cui è riportato il segmento

parabolico ABC. Consideriamo il punto medio D di AC. Da esso tracciamo l’asse BD della parabola e prolunghiamolo fino ad intersecare in E la tangente CF alla parabola in C. Tracciamo poi la parallela AF a BD passante per A, intersecante in F la tangente CF. Consideriamo ora la retta che parte da C e passa per il vertice B che poi intersecherà AF nel punto K. Su tale retta prendiamo il punto K tale che risulti HK = KC. Si consideri ora una retta qualunque MO parallela ad EBD. Dice Archimede che, poiché CBA è una parabola, poiché CF è ad essa tangente e CD è la metà della corda parallela alla tangente in B, vertice del segmento parabolico (o: la metà della corda coniugata al diametro BD,come diremmo oggi), ne consegue che EB = BD per quanto dimostrato da Euclide (in una parabola la sottotangente di un punto qualsiasi è divisa per metà dal vertice). Per lo stesso motivo e per il parallelismo tra FA ed MO risulta anche MN = NO e FK = KA. A questo punto Archimede fa riferimento ad una proporzione che egli stesso aveva dimostrato in Quadratura della parabola:

BD : BQ = AD2 : PQ2

dove Q è il punto d’intersezione tra la parallela ad AC (passante per P) e BD (si noti che sviluppando questa proporzione si trova l’equazione cartesiana di una parabola). Da questa relazione discende che:

CA : AO = MO : OP      e      CA : AO = CK : KN

da cui, utilizzando il fatto che  HK = KC, si ha:

HK : KN = MO : OP.

Archimede prosegue affermando che si deve considerare CH come il giogo di una bilancia (una leva), del quale K sia il fulcro. Il segmento OM, lasciato dove si trova in figura, equilibra il segmento OP trasportato parallelamente a se stesso fino ad avere il centro in H e coincidere con il segmento TG. Questo equilibrio vale per ogni sezione del triangolo ACF e del segmento parabolico ABC ottenute con tutte le rette perpendicolari ad AC. Se si considerano le due aree riempite da tali segmenti-sezioni, risulta che il triangolo lasciato dove si trova (o considerato concentrato nel suo baricentro X, trovato tagliando CK in modo da risultare CK = 3 KX, in accordo con quanto dimostrato nei trattati sull’equilibrio) fa equilibrio al segmento parabolico concentrato nel suo baricentro K. E questo si può scrivere:

Area Triangolo (AFC) : Area Seg. Par (ABC) = HK : KX

Ricordando che CK = 3 KX = HK, si trova:

Area Triangolo  (AFC) : Area Seg. Par (ABC) = 3 KX : KX

da cui:

Area Triangolo (AFC) = 3 Area Seg. Par (ABC) 

Ma, poiché:

 FK = KA  e  AD = DC

risulta:

Area Triangolo  (AFC) = 4  Area Triangolo  (ABC)

e, sostituendo nella proporzione precedente:

4  Area Triangolo  (ABC) = 3 Area Seg. Par (ABC) 

da cui la conclusione:

Area Seg. Par (ABC) = 4/3  Area Triangolo  (ABC).

    Dopo questa conclusione, Archimede afferma che qui si ha solo una apparenza di verità. Per far vedere che la cosa è vera, occorre passare alla dimostrazione geometrica che è quella che segue subito dopo.

    Passiamo ora a questa seconda dimostrazione, completamente geometrica (proposizioni dalla 18 alla proposizione 24) tratta da Rufini. Ora il segmento parabolico viene messo a confronto con il triangolo inscritto, avente la stessa base e la stessa  altezza del segmento parabolico.

Sia il segmento parabolico ABC, di cui A, C siano gli estremi, B il vertice, D il punto di mezzo della base (di modo che DB è l’asse della parabola). Si inscriva in esso il triangolo ABC. Nei segmenti AB, BC si inscrivano altri due triangoli AEB, BFC (E, F essendo le intersezioni dei segmenti paralleli all’asse condotti per i punti di mezzo di AB e BC).
Ora è (come Archimede ha ricavato in  precedenza e ci ricorda nella proposizione 19 e 21 rispettivamente):

BD = 4/3 E G, 

(ABC) = 8 (AEB) = 8 (BFC), 

ossia

(AEB) + (BFC) = 1/4 (ABC).

Si inscriva allo stesso modo un triangolo in ciascuno dei segmenti AE, EB, BF, FC; ognuno di tali triangoli sarà 1/8 del triangolo AEB o BFC; la loro somma sarà 1/16 del triangolo ABC. E così continuando, ogni volta la somma dei nuovi triangoli sarà 1/4 della somma precedente. Onde si avrà una superficie poligonale inscritta la cui area è

S= (1 + 1/4 + 1/42 + 1/43 + … + 1/4n-1) ABC

Se n è un numero finito si ha evidentemente

 Sn < P                         (proposizione 22) 

avendo indicato con P l’area del segmento parabolico. D’altra parte è in generale

 Sn =(4/3 – 1/3.1/4n-1)ABC

(risultato fornito nella proposizione 23 e, per il calcolo della serie, già noto).
Perciò se il numero dei triangoli inscritti diventa infinitamente grande si avrà un risultato che noi oggi enunceremmo così:

il limite, per n che tende ad infinito, di Sn = P = 4/3 (ABC).

Ma Archimede non fa questo passaggio al limite anche se concettualmente mostra di operare allo stesso modo, e dimostra lo stesso risultato mediante la doppia riduzione all’assurdo.
I. Sia, se è possibile, P > 4/3 (ABC).

Inscrivendo successivamente nel segmento ABC triangoli nel modo suddetto, e proseguendo l’operazione un numero di volte sufficientemente grande, potremo ottenere una superficie poligonale Sn tale che


P – Sn < P – 4/3 (ABC). 

Ma allora risulterebbe


Sn > 4/3 (ABC);


il che è impossibile, per quel che fu già dimostrato.


II. Si supponga allora P < 4/3 (ABC).

Inscrivendo, come prima, successivamente nel segmento ABC dei triangoli, otterremo alla fine una certa superficie Sn tale che si abbia

 Sn – P = [1/4n-1 (ABC)] < 4/3 (ABC) – P

Ma

 4/3 (ABC) = Sn + 1/3.1/4n-1 (ABC)


quindi

 4/3 (ABC) – Sn  <  4/3 (ABC) – P


e cioè


 Sn > P

Ma questo è impossibile. Dunque

  P = 4/3 (ABC)

Questo è uno dei risultati che Archimede conseguì. Essi furono dimenticati per quasi 2000 anni e, con somma fatica si ricostruirono a partire dal Seicento.

DELLA SFERA E DEL CILINDRO

    Un’applicazione più complessa del metodo di esaustione, per trovare dei risultati di grande interesse, la troviamo in Della sfera e del cilindro. Il libro è costruito alla maniera degli Elementi. Si comincia con 6 definizioni e 5 assunzioni (postulati) per poi passare alle proposizioni (i teoremi) che sono 34 nel Libro I e 9 nel Libro II. Occorre osservare che Archimede non enuncia postulati già enunciati da Euclide: i suoi sono nuovi. Se viene ripreso qualche postulato degli Elementi è solo per precisare qualcosa o per estenderlo. Il primo postulato  di Archimede recita:

Assumo che la minima fra tutte le linee aventi gli stessi estremi è la linea retta.

e la cosa si vede nella figura seguente:

Si tratta di una estensione della proposizione 20 del Libro I degli Elementi di Euclide dove si affermava che in ogni triangolo un lato è minore della somma degli altri due. Ora ad una spezzata che unisce due punti si sostituisce una curva qualunque.

    Archimede, per proposizioni successive, passa al suo scopo principale che consiste nel voler dimostrare che il volume di una sfera è uguale ai 2/3 del volume del cilindro circoscritto ad essa. Il suo procedimento prevede la costruzione di poligoni con sempre un maggior numero di lati (il numero dei lati deve essere pari) inscritti e circoscritti ad  un cerchio e quindi la rotazione nello spazio di tale figura (nei disegni che riporto mi riferisco ai soli poligoni inscritti).

Da http://win.matematicamente.it/storia/archimede_sfera_cilindro.htm

In tale rotazione il cerchio genererà una sfera mentre i poligoni genereranno dei solidi inscritti e circoscritti che saranno coni e tronchi di cono. Secondo Archimede la somma dei volumi di tali solidi si approssimerà sempre più al volume della sfera quanto maggiore è il numero dei lati dei poligoni considerati. Sembra chiaro che Archimede traesse ispirazione dall’equivalente teorema di geometria piana secondo il quale la superficie del cerchio è equivalente a quella del triangolo rettangolo

Nel disegno in alto è mostrato il triangolo rettangolo equivalente all’area del  poligono inscritto; nel disegno centrale è mostrato il triangolo rettangolo equivalente all’area della circonferenza; nel disegno in basso è mostratail triangolo rettangolo equivalente all’area del  poligono circoscritto. Si mostra facilmente che, al crescere del numero dei lati dei poligoni inscritti e circoscritti, le aree dei tre triangoli diventano coincidenti.

avente come cateti la circonferenza rettificata e il raggio che, scritto con simbolismo moderno, è: 

C = π.r2 = ½.2π.r.r

Ma con i solidi le cose si complicano tanto che, prima di poter arrivare alla conclusione che egli sospetta, Archimede è costretto a costruire una gran quantità di postulati e teoremi preliminari. Solo nella proposizione 34 egli può enunciare ciò che vuole trovare:

PROPOSIZIONE 34.

Ogni sfera è quadrupla del cono avente base uguale al cerchio massimo della sfera, e per altezza il raggio della sfera.

Come semplice Corollario a questa proposizione segue la relazione tra sfera e cilindro che Archimede descrive così:

COROLLARIO.

Dimostrate queste cose, è evidente che ogni cilindro avente per base il circolo massimo della sfera e l’altezza uguale al diametro della sfera è una volta e mezza la sfera, e la sua superficie, comprese le basi, è una volta e mezza la superficie della sfera.

Infatti il cilindro suddetto è sestuplo del cono avente la stessa base e
 l’altezza uguale al raggio [della sfera]: la sfera, poi, s’è dimostrato essre quadrupla dello stesso cono (I, 34): è dunque evidente che il cilindro è una volta e mezza la sfera. Di nuovo, poiché la superficie del cilindro, eccetto le basi, si dimostra essere uguale al cerchio, il raggio del quale è medio proporzionale tra il lato del cilindro e il diametro della base (I, 13), [e poiché] il lato del suddetto cilindro circoscritto alla sfera è uguale al diametro della base: e il cerchio avente il raggio uguale al diametro della base è quadruplo della base, vale a dire del circolo massimo della sfera, dunque la superficie del cilindro, eccetto le basi, sarà quadrupla del circolo massimo, e tutta la superficie del cilindro insieme con le basi sarà sestupla del circolo massimo. Ma la superficie della sfera è quadrupla del circolo massimo (I, 33): dunque la superficie totale del cilindro è una volta e mezza la superficie della sfera.
 

La sfera è 4 volte il cono ed è anche 2/3 del cilindro.

A questo proposito osserva Frajese:
 

Questo corollario, che immediatamente si deduce dalle precedenti proposizioni 33 e 34, contiene i risultati più clamorosi: che il volume del cilindro circoscritto è uguale ad una volta e mezzo quello della sfera, c che la superficie totale dello stesso cilindro è uguale ad una volta e mezzo la superficie della sfera medesima (ossia che la superficie laterale del cilindro è uguale alla superficie della sfera). Conformemente le nostre formule:

Archimede osserva che il cilindro circoscritto è sestuplo del cono avente la stessa base e altezza uguale al raggio della sfera (infatti il cilindro è triplo del cono avente la stessa base e la stessa altezza, quindi è sestuplo del cono avente la stessa base e altezza metà). E poiché nella precedente I, 34 ha dimostrato che la sfera è quadrupla dello stesso cono, conclude che i volumi del cilindro circoscritto e della sfera stanno tra loro come 6 sta a 4, ossia che il cilindro è una volta e mezzo la sfera.

Per quanto riguarda, poi, le superficie, Archimede ricorda che nella I, 13 ha dimostrato che la superficie laterale Sl di un cilindro è uguale al cerchio avente per raggio la media proporzionale tra il diametro d della base e il lato h (= altezza) del cilindro stesso:

S = π.x2 = π.d.h = 2π.r.h

poiché d : x = x: h


Ma nel nostro caso il lato (= altezza) del cilindro è uguale al diametro di base, cioè: h = d. La proporzione continua scritta sopra diviene dunque: d : x = x : d e dà evidentemente: x = d. Pertanto la superficie laterale del cilindro è pd2. Ma questa è quadrupla di pr2 cioè è quadrupla del cerchio massimo della sfera, e quindi, per la I, 33, è uguale alla superficie della sfera. Risultato davvero suggestivo, questo dell’equivalenza tra la superficie della sfera e quella laterale del cilindro circoscritto. Se poi si aggiungono i due cerchi di base, si ha che la superficie totale del cilindro è uguale ad una volta e mezzo quella della sfera.

Per quel che riguarda la dimostrazione fornita da Archimede, riporto quella  presentata da http://win.matematicamente.it/storia/archimede_sfera_cilindro.htmE’ abbastanza sintetica e comprensibile.

    Ripartiamo dalla figura seguente:

e, dopo aver fatto le costruzioni di figura seguente, chiamiamo come indicato alcune grandezze di figura:
 

Per sommare coni e tronchi di cono (S+ S+ S+ …) Archimede ha un’idea brillante. Tutti i solidi che compongono il solido approssimante sono equivalenti a coni aventi tutti la stessa altezza. Più precisamente, i coni hanno per superficie di base la superficie del solido e altezza (h) la distanza del lato (l) del poligono dal centro della sfera come egli aveva precedentemente mostrato nelle proposizioni 23 e 24. In tal modo il problema viene spostato al calcolo della somma delle superfici di S1, S2, S3, … Archimede dimostra che ciascuna superficie Si è equivalente alla superficie di un cerchio il cui raggio è medio proporzionale tra il lato del poligono e un segmento Li tale che la somma di tutti gli Li corrisponde alla somma delle corde c+ c+ c+ …. (come già aveva mostrato nella proposizione 32). In un linguaggio algebrico più moderno e facendo uso del numero π.

S1 + S2 + S3 +…. = π. ℓ.(L1 + L2+ L3+ …) = π.ℓ.(c1 + c2 + c3 + …)


Il problema di sommare le corde c+ c+ c+ … viene risolto dimostrando che        ℓ. (c+ c+ c+ …) = d . A dove d è il diametro del cerchio e A è la retta che sottende la metà meno uno dei lati del poligono. All’aumentare del numero dei lati del poligono, d ed A tendono a coincidere, la superficie del solido approssimante si avvicina sempre di più alla superficie della sfera:

Il volume della sfera è quindi equivalente al volume del cono avente per base la superficie della sfera e altezza il raggio della sfera (come Archimede aveva mostrato nella proposizione 25):

V = 1/3. S.r = 1/3.4.π.r2.r = 4/3.π.r3

Per questo obiettivo manca ancora il risultato per il quale la superficie della sfera è uguale a quattro cerchi massimi (cosa mostrata nella proposizione 33). Dimostrato anche questo è facile concludere che la sfera è il doppio del cono avente avente per altezza il diametro della sfera e per base il cerchio massimo della sfera (come mostrato nella proposizione 26) e infine che la sfera è equivalente ai 2/3 del cilindro ad essa circoscritto.

    E’ un successo notevole quello di Archimede. Egli stesso lo riconosce come suo merito principale, tanto da dargli enfasi nella premessa e da chiedere quel bassorilievo di sfera inscritta in un cilindro sulla sua tomba. Ma i suoi lavori matematici ed i suoi successi non si fermarono qui (e mi riferisco solo a quel poco che conosciamo).

    Ritorneremo su Archimede per discutere altri aspetti della sua opera. Ma prima occorre studiare i contributi di altri matematici ellenistici.

L’ARENARIO

    L’Arenario (che vuol dire contatore di granelli) è un’opera di Archimede con delle caratteristiche particolari. Da una parte si occupa di Astronomia ed è l’unica testimonianza attendibile, sulla quale tornerò, del sistema astronomico di Aristarco di Samo. Dall’altra essa è incentrata sui numeri, sull’aritmetica, così poco sviluppata in Grecia. Archimede coglie la grave difficoltà che il simbolismo in uso per i numeri impediva, ad esempio e soprattutto, di indicare e chiamare per nome numeri molto grandi. Ricordo in breve il sistema di numerazione greco del periodo alessandrino (numerazione ionica). I numeri erano rappresentati con le lettere dell’alfabeto come mostrato nella figura seguente. E con tale sistema si poteva scrivere fino a 100 milioni (una miriade di miriadi cioè 10 000 . 10 000 = 100 000 000 che con nostro simbolismo è 108).

Da Pichot

   Sembra chiaro che all’invenzione dell’alfabeto e della relativa scrittura, che enormi passi in avanti fece fare al pensiero in genere, non corrispose che poca cosa in ambito di simbolismo numerico. La geometria, come abbiamo visto e continueremo a vedere, marciava bene: con le lettere che indicano segmenti e punti si può fare quasi tutto. Ma disporre delle sole lettere per indicare i numeri rende molto complesso lavorare con i numeri medesimi per tirarne fuori, ad esempio, un’algebra.

    Archimede introduce il suo lavoro spiegandone il motivo al suo amico Gelone, figlio del re Gerone di Siracusa. Leggiamo:

Alcuni pensano, o re Gelone, che il numero [dei granelli] della sabbia sia infinito in quantità: dico non solo quello dei [granelli di sabbia] che sono intorno a Siracusa e nel resto della Sicilia, ma anche di quello [dei granelli di sabbia] che sono in ogni regione, sia abitata sia non abitata. Vi sono poi alcuni che ritengono che quel numero non sia infinito, ma che non si possa nominare un numero che superi la sua quantità. È chiaro che se coloro che così pensano si rappresentassero un volume di sabbia di grandezza tale quale quella della Terra, avendo riempito tutti i mari e tutte le depressioni fino a raggiungere l’altezza delle più alte montagne, molto meno comprenderebbero che si possa nominare un numero che superi quella quantità.

Ma io tenterò di mostrarti, per mezzo di dimostrazioni geometriche che tu potrai seguire, che, dei numeri da noi denominati ed esposti negli scritti inviati a Zeusippo, alcuni superano non soltanto il numero [dei granelli] della sabbia aventi [nell’insieme] grandezza uguale alla Terra riempita come abbiamo detto, ma anche grandezza uguale al cosmo [intero]. Tu sai che dal più gran numero di astrologi vien chiamata cosmo la sfera il cui centro è il centro della Terra, e il [cui] raggio è uguale alla retta compresa tra il centro del Sole e il centro della Terra: questo l’hai appreso dalle dimostrazioni scritte dagli astrologi.

Archimede qui inizia una discussione sui grandi numeri dell’astronomia con i grandi numeri dei granelli di sabbia. Egli dice di aver trovato il modo di indicare e chiamare qualunque numero:

Accade dunque che i nomi dei numeri fino a diecimila ci sono stati tramandati, e al di sopra di diecimila sappiamo dire il numero delle miriadi fino alla miriade di miriadi [come ho appena ricordato, ndr]. I numeri ora detti, fino a una miriade di miriadi, siano chiamati «primi»: diecimila miriadi [= cento milioni] di «primi» si chiamino unità dei numeri «secondi». E contiamo le unità di questi numeri «secondi», e dalle unità [contiamo] le decine, e le centinaia e le migliaia e le decine di migliaia [= miriadi] fino alle miriadi di miriadi. Di nuovo poi anche le miriadi di miriadi dei numeri «secondi» si chiamino unità dei numeri «terzi», e contiamo le unità dei numeri «terzi» e dalle unità [contiamo] le decine e le centinaia e le migliaia e le decine di migliaia fino alle miriadi di miriadi. E nello stesso modo anche le miriadi di miriadi di numeri «terzi» si chiamino unità dei numeri «quarti», e le miriadi dei numeri quarti si chiamino unità dei numeri «quinti», e così sempre procedendo i numeri ricevono nomi fino a miriadi di miriadi di numeri [dell’ordine] di miriadi di miriadi.

I numeri conosciuti fino a questo punto sono sufficienti per lo scopo, ma si può anche procedere oltre. Infatti i numeri finora nominati vengan chiamati numeri del primo periodo e l’ultimo numero del primo periodo si chiami unità dei numeri «primi» del secondo periodo. E di nuovo anche le miriadi di miriadi dei numeri «primi» del secondo periodo si chiamino numeri «secondi» del secondo periodo. E similmente l’ultimo di questi si chiami unità dei numeri terzi del secondo periodo, e sempre così procedendo ricevano i nomi i numeri del secondo periodo fino alla miriade di numeri [dell’ordine] di una miriade di miriadi. Di nuovo poi anche l’ultimo numero del secondo periodo si chiami unità dei numeri «primi» del terzo periodo, e sempre così procedendo fino ad una miriade di miriadi [dell’ordine] di una miriade di miriadi del periodo «miriade di miriadi».

In tal modo, che è iterativo senza mai termine, si può scrivere e chiamare qualunque numero. In pratica quel miriade di miriadi (che per comodità indico con 108) è considerata come l’unità del suo sistema di numerazione. Egli chiama numeri primi (con significato diverso da quello che noi diamo) quelli che vanno da 1 a 108numeri secondi quelli che vanno da 108 a 108.10= 1016numeri terzi quelli che vanno da 1016 a 108.108.108 = 1024, e si prosegue così con numeri quartinumeri quinti, …. fino a che l’ordine non diventa la miriade di miriadi.  Tutti questi numeri saranno chiamati numeri del primo periodo e per nostra comodità li indichiamo come unità U del primo periodo. Ripetendo esattamente quanto ora fatto possiamo trovarci l’unità U del secondo periodo che avrà numeri compresi tra U e 100 milioni di miriadi di miriadi di U. Si dovranno cioè considerare i numeri primi del secondo periodo, i numeri terzi del secondo periodo, …. fini a passare al terzo periodo. E così via. A questo punto abbiamo una serie infinita di numeri (almeno potenzialmente) e dico questo ancora a proposito di chi parla di greci timorosi di fronte all’infinito. Archimede riesce a operare in aritmetica allo stesso modo in cui aveva operato Euclide in geometria. Così come la retta è sempre prolungabile, anche i numeri sono sempre prolungabili.

    Con questo apparato Archimede passa successivamente a stabilire quanti granelli di sabbia vi siano in un seme di un papavero (se ne stabiliscono 10.000), quanti in una sfera con il diametro di un dito (dentro la quale stanno 64 000 semi di papavero), quanti in una sfera con il diametro di uno stadio (più piccola di una sfera con diametro di diecimila dita), quanti nella sfera del cosmo avente raggio che va dal centro della Terra al centro del Sole (valutata da Arcimede con un diametro inferiore a 100 miriadi di miriadi di stadi), quanti infine nella sfera delle stelle fisse che Archimede valuta avere un diametro inferiore ad una miriade di volte il diametro del cosmo. In definitiva il sistema numerico realizzato da Archimede permette di dare il numero di granelli di sabbia che sarebbero contenuti nella sfera delle stelle fisse. Per dare tale numero basta addirittura il solo primo periodo fermandoci ai suoi numeri ottavi (l’ottavo dei numeri ottavi di esso che noi scriviamo 1063).  Ed Archimede conclude:

Queste cose poi, o re Gelone, ritengo che sembreranno incredibili ai molti [che siano] imperiti nelle matematiche, ma che saranno credibili, mediante le dimostrazioni, da coloro che son versati [nelle matematiche] e che abbiano meditato sulle distanze e sulle grandezze della Terra, del Sole, della Luna e di tutto il cosmo: perciò ho ritenuto che fosse bene che tu conoscessi queste cose.

ALTRI RISULTATI MATEMATICI DEL PERIODO ELLENISTICO

    Ci sarebbe da scrivere volumi e volumi su ciò che hanno fatto i due astri noti dei matematici alessandrini, Euclide ed Archimede. Credo che ciò cui ho accennato sia sufficiente per suscitare l’interesse degli appassionati ed andare ad approfondire sulle innumerevoli fonti. Resta da completare il panorama della matematica alessandrina almeno elencando altri risultati ed andando a studiare altri matematici che hanno dato contributi importanti. Tra questi ultimi, non vi è alcun dubbio, emerge Apollonio di Perge (262 – 190 a.C. circa). Perge era una città seleucida fondata dagli ittiti nel 1500 a.C. che si trovava sulla terraferma appena dietro l’isola di Rodi. Era un importante centro culturale della regione chiamata Pamphylia. Le poche notizie su Apollonio le abbiamo da un papiro scoperto ad Ercolano

    Giovanissimo Apollonio si recò ad Alessandria per studiare, attratto dalla fama di Euclide. Per un certo periodo studiò e lavorò anche a Pergamo, il secondo centro culturale dopo Alessandria. Uno dei suoi maestri fu Eudemo di Pergamo (da non confondersi con Eudemo di Rodi) che scrisse la Storia della Geometria, opera che conosciamo perché alcuni passi sono riportati da altri autori ma che è andata perduta. Conobbe ad Efeso il geometra Filonide di Laodicea e ad Alessandria ebbe dei suggerimenti per la sua opera dal geometra Nucrate. Ha avuto persone che lo hanno esaltato ed altre che lo hanno denigrato (come Eraclide che attribuisce quasi tutte le elaborazioni di Apollonio ad Archimede e comunque a conoscenze diffuse nell’ambiente dei geometri. Per parte sua, pur essendo un vanesio (come ci dice Pappo) egli si attribuisce proprio la sistemazione e la raccolta di risultati da Platone ad Archimede. Abbiamo invece qualche notizia in più sui suoi lavori. Egli scrisse dei lavori che ebbero una influenza molto grande sullo sviluppo e l’evoluzione della matematica; in particolare il suo famoso Conicorum Libri  (Trattato sulle coniche) in otto libri, che purtroppo abbiamo solo in parte (i primi sette dei quali i primi quattro in greco e tutti e sette in arabo), introdusse termini come parabolaellisse ed iperbole. In tale lavoro egli formulò dei teoremi che lo resero famoso fino al punto di farlo passare alla storia come il Grande Geometra. Le vicende dei libri di Apollonio non è diversa da quelle dei libri di Archimede e per rendere conto ancora delle difficoltà di reperire fonti e documenti, vale la pena accennare alle peripezie che hanno attraversato. Intanto i 4 libri in greco furono sistemati da un mediocre commentatore palestinese di nome Eutocio (circa 500 d.C.). La prima traduzione latina, pessima, su un testo portato da Costantinopoli dall’ambasciatore di Venezia Francesco Filadelfo nel 1427, fu fatta dal ricco letterato veneto G. B. Memo e vide la luce nel 1537. Qualche anno dopo (1566) fu il matematico Federico Commandino a dare migliore traduzione. Resta da dire dei testi in lingua araba (almeno i tre da aggiungere a questi primi quattro) che risalgono al IX secolo. Le prime notizie sui testi arabi provengono dall’Olanda (Leyda) e sono del 1629. Sappiamo che nel 1644 Padre Marsenne (maestro ed amico di Descartes) citò lavori di Apollonio non contenuti nei primi 4 libri in lingua greca. Nel 1658 un altro (?) manoscritto in arabo fu trovato nella biblioteca dei Medici a Firenze da Giovanni Alfonso Borelli. In esso, oltre ad altro scritto matematico (il Libro dei Lemmi di Archimede), vi erano i libri 5, 6 e 7 delle Coniche trascritti nel 994 dal matematico persiano Abalphat d’Ispahan (ma non era il testo integrale che fu ritrovato in seguito in altre biblioteche). Fu Viviani che si occupò del testo a disposizione, offrendolo in versione latina nel 1661. La

Una edizione dei primi 4 libri delle Coniche del 1655

Frontespizio dell’edizione del 1661 degli ultimi 3 libri delle Coniche tradotte da Borelli

prima edizione latina completa delle Coniche è dovuta all’astronomo inglese Halley (1710) e la cosa riscosse un grande interesse perché l’altro astronomo, Kepler, aveva assegnato la forma di ellisse alle orbite planetarie. Riguardo al libro 8 perduto, se stiamo a quanto Apollonio scrive nella prefazione del 7, doveva trattarsi di esercizi e problemi conici di applicazione di quanto svolto teoricamente nel libro 7.

    Solo un’altra opera di Apollonio ci è pervenuta, ancora in lingua araba: la Sezione di un rapporto. Sappiamo invece da Pappo quali sono per certo le opere perdute: Sezione di un’areaSulla sezione determinataTangenzeInclinazioniLuoghi piani(11).

    Le Coniche meritano un qualche approfondimento. Intanto va detto che esse erano note da almeno 150 anni, al solito senza dimostrazioni ma come figure empiriche ricavate da sezioni di cono fatte in modo particolare. Anche se non sappiamo come, Menecmo (380-320 a.C. circa), allievo di Eudosso e maestro di Alessandro Magno al quale sembra si deve la scoperta delle coniche, le concepiva come intersezioni di un piano, perpendicolare ad una generatrice, con tre tipi di coni: si otteneva l’ellisse se il cono era acutangolo, la parabola se il cono era rettangolo e l’iperbole con un cono ottusangolo. Sembra anche che le coniche vennero scoperte al fine di risolvere il problema della duplicazione del cubo. Per quanto ne sappiamo anche Euclide, Aristeo (seconda metà del IV secolo) ed Archimede avevano idee simili a quelle di Menecmo ed in particolare si riferivano a particolari intersezioni con tre tipi diversi di coni. Ad Apollonio è dovuta la scoperta che le coniche sono generate mediante sezione di un piano, inclinato diversamente rispetto all’asse, con qualsiasi tipo di cono (non necessariamente retto), come si può apprezzare dalla figura seguente (è d’interesse l’invenzione della coppia di generatrici, o cono a doppia falda che si prolunga indefinitamente, per ottenere l’iperbole). Vi sono altri preliminari d’interesse: dobbiamo ad Apollonio i nomi di ellisseiperbole e parabola. Gli antichi nomi facevano

riferimento a proprietà delle curve o a loro apparenze figurative (ad esempio l’ellisse veniva chiamata scudo)(12). Anche gli asintoti sono stati scoperti da Apollonio e la cosa è di particolare interesse soprattutto per la futura messa in discussione del V postulato di Euclide e la nascita delle geometrie non euclidee. Altre proprietà delle coniche furono dimostrate dal nostro geometra, come la costanza della somma o della differenza dei raggi focali rispettivamente nell’ellisse e nell’iperbole (libro 7, Prop. 12, 13, 29, 30)

in ogni ellisse la somma, e in ogni iperbole la differenza, dei quadrati costruiti su due diametri coniugati qualsiasi, è uguale alla somma, rispettivamente alla differenza, dei quadrati costruiti sugli assi.

    Il nome fuoco, invece, non gli appartiene, fu dato da Kepler; in luogo di fuoco Apollonio usava la dizione “punti generati dall’applicazione”. Non sappiamo se conoscesse il fuoco della parabola e sembra certo che non avesse idea delle direttrici.

    L’apertura del primo libro delle Coniche è la dedica ad Eudemo in cui viene descritta per sommi capi l’opera. Leggiamo:

Apollonio ad Eudemo, salute.

Se la tua sa1ute è buona e se tutto il resto va come tu desideri, mi congratulo con te; quanto a noi stiamo passabilmente. Ti ho visto, durante il tempo che ho passato a Pergamo con te, assai desideroso di conoscere i nostri lavori sulle coniche; ti mando dunque il primo libro dopo averlo corretto; gli altri seguiranno, quando ne saremo soddisfatti; tu non hai dimenticato, penso, ciò che ti avevo detto: che ho composto questo trattato dietro richiesta del geometra Naucrate, all’epoca in cui egli era venuto ad Alessandria e divideva le nostre occupazioni; che avendo redatto in tutto otto libri, noi lo abbiamo subito informato, ma costretti a far presto poiché egli stava per imbarcarsi, non abbiamo potuto perfezionarli, al contrario abbiamo scritto tutto ciò che si presentava alla nostra mente, con l’intenzione di ritornarci sopra più tardi. Pubblichiamo dunque questi libri, ora che abbiamo il tempo, via via che li correggiamo. Ma poiché accade che molti di quelli che sono in relazione con noi, hanno avuto ugualmente comunicazione del primo e del secondo libro prima che fossero stati ritoccati, non ti stupire se tu li trovi in altre redazioni.

Di questi otto libri, i primi quattro seguono un ragionamento elementare; il primo comprende la generazione delle tre sezioni e delle opposte 
[i due rami dell’iperbole, studiati sistematicamente insieme, per la prima volta, da Apollonio proprio mediante l’invenzione della coppia di generatrici, ndr], come le loro proprietà principali, il tutto esposto più ampiamente e più generalmente che negli altri trattati sulla materia. Il secondo libro concerne i diametri e gli assi delle sezioni, le asintote ed altre questioni d’uso generale o indispensabile per le limitazioni [le limitazioni sono ciò che oggi chiamiamo la discussione dei problemi, ndr]; tu saprai dal primo libro quali sono le linee che io chiamo diametri e quelle che io chiamo assi. Il terzo contiene un gran numero di teoremi particolari che servono sia per la sintesi dei luoghi solidi, sia per le limitazioni; la maggior parte ed i più belli sono nuovi; ricercandoli avevamo coscienza che Euclide non aveva effettuato la sintesi del luogo a tre e quattro linee(13), ma soltanto quella d’una parte di questo luogo scelta a caso e ciò in un modo assai infelice; il fatto è che non era possibile fare la sintesi completa, senza ciò che noi abbiamo trovato di nuovo. Il quarto libro determina in quanti modi le sezioni coniche possono incontrarsi tra loro e con una circonferenza di cerchio, e risolve inoltre altre questioni, nessuna delle quali è stata trattata da quelli che ci hanno preceduto, in quanti punti una sezione conica o una circonferenza di cerchio incontra delle sezioni opposte.

Gli ultimi libri appartengono a teorie più ricercate; l’uno tratta, infatti, con ampio svolgimento dei minimi e dei massimi con sviluppo, l’a1tro dell’uguaglianza e della similitudine delle sezioni coniche; il seguente di teoremi di limitazione, l’ultimo infine di problemi determinati sulle coniche. Per il resto quando saranno tutti pubblicati sarà possibile a quelli che li studieranno, apprezzarli a seconda del giudizio che ne daranno. Saluti.
 (Citato da Taton).

    E’ subito da notare che Apollonio considera il suo lavoro (i primi 4 libri) come un’introduzione elementare. Ciò fa evidentemente supporre che vi fossero precedenti trattazioni.

    Altra premessa che merita di essere letta è quella al  libro 5 (nel frattempo l’amico Eudemo è morto e le dediche, a partire dal libro 4, sono ad Attalo, re di Pergamo):

Ho inserito in questo V libro delle proposizioni relative alle rette massima e minima. Voi dovete sapere che i miei predecessori ed i miei contemporanei hanno trattato solo superficialmente la ricerca delle rette più corte, ed hanno soltanto provato quali rette sono tangenti alle sezioni e, inversamente quale proprietà hanno in quanto sono tangenti. Da parte mia ho provato questa proprietà nel I libro (senza fare nessun uso tuttavia nelle prove della teoria delle linee più corte), per quanto desiderassi metterle in stretto rapporto con la parte del soggetto in cui io tratto la creazione delle tre sezioni coniche; volevo dimostrare che in ciascuna delle tre sezioni innumerevoli proprietà e necessarie conseguenze appaiono in relazione con il diametro trasverso d’origine. Ho diviso le proposizioni nelle quali discuto le linee più corte in classi e ho trattato ogni caso con un’accurata dimostrazione. Ho anche collegato la loro ricerca con quella delle linee più lunghe, perchè ho considerato che quelli che coltivano questa scienza ne hanno bisogno per l’analisi e le limitazioni dei problemi, così come per la sintesi, D’altronde il soggetto è uno di quelli degni di studio per se stessi(14).

    A proposito di questo libro 5 vi è da riportare ciò che scrive Heath:

è il più ragguardevole dei libri ancora esistenti. Parla delle perpendicolari delle sezioni coniche considerandole come linee diritte minime e massime che vengono tracciate fino alla curva partendo da punti particolari. Esso comprende una serie di teoremi che, sebbene non siano stati elaborati secondo i metodi geometrici più puri, fanno si che si giunga a determinare l’evoluta di ciascuna delle tre sezioni coniche, cioè le equazioni cartesiane delle evolute possono essere facilmente dedotte dai risultati ottenuti da Apollonio.
Non vi è alcun dubbio che il libro sia del tutto originale e che sia un vero e proprio tour de force geometrico
.

    E’ comunque piuttosto difficile leggere il testo originale delle Coniche, in quanto:

Il trattato è una grande opera classica che merita di essere più conosciuto di quello che è adesso. Ciò che ostacola la sua lettura nella forma originale è principalmente il fatto che la sua esposizione è molto vasta (contiene 387 teoremi separati) e ciò, in parte, a causa dell’abitudine greca di dimostrare casi particolari di un teorema generale separatamente dal teorema stesso, ma ancor più a causa della pesantezza delle enunciazioni di complicati teoremi in termini generici (senza l’aiuto di lettere che denotano punti particolari) e anche a causa dell’elaboratezza della forma Euclidea, alla quale Apollonio aderisce completamente.

    Non entrerò nei dettagli dell’opera di Apollonio, per i quali rimando agli Appunti di Geometria Classica del prof. Carlo Marchini dell’Università di Parma che si possono leggere qui o qui, ma alcune osservazioni devo farle in relazione a quando discutevo più indietro a proposito della concezione di infinito presso i greci. Gli storici, tra cui Boyer e Kline, negano che tale concetto appartenesse ai greci che avrebbero avuto una qualche paura a discuterne e quindi ad ammetterlo. Al massimo un qualche infinito potenziale … Se leggiamo la prima definizione che incontriamo nel libro 1 delle Coniche, scopriamo invece che abbiamo a che fare con degli infiniti in atto molto precisi.

Definizione I.1 Se, da un certo punto, si conduce a una circonferenza di un cerchio, non situato nello stesso piano di quel punto, una retta prolungata da una parte all’altra, e se, restando fisso il punto, la retta circolando seguendo la circonferenza, riprende la posizione da cui essa ha iniziato a muoversi, chiamo superficie conica quella che, descritta dalla retta, è composta da due superficie opposte che seguono il vertice, di cui ciascuna cresce verso l’infinito, la retta generatrice essendo essa stessa prolungata verso l’infinito. Chiamo vertice di questa superficie il punto fisso, e il suo asse la retta condotta dal punto e il centro del cerchio.

    Quella retta è trattata con il participio passato di prolungare e quindi essa è un infinito in atto. Inoltre, poco oltre si parla esplicitamente di infinito. E questo è un chiaro segno di un superamento deciso del passato superamento che risulta anche evidente dal fatto che, quasi quasi, rende restìo Apollonio a trattare il cerchio tra le coniche. Ma come, le rette e  circonferenze di tradizione platonica, dove vanno a finire ? Egli tratta decisamente la circonferenza come caso particolare di conica e non assegna ad essa altre proprietà che quelle che ha in senso geometrico. Nelle definizioni il nostro ha cura di definire diametri e centri relativi ad ogni curva, dimenticando queste come proprietà di una particolare curva. La geometria euclidea resta solo per le applicazioni di algebra geometrica, per il resto si va molto al di là, aprendo a spazi infiniti.

     Possiamo dire che la geometria di Apollonio non differisce sostanzialmente da quella elaborata da Descartes nel 1637, 1800 anni dopo. La novità maggiore, oltre alla flessibilità del simbolismo (i geometri dell’inizio dell’Evo Moderno disponevano di tutta l’algebra rinascimentale mentre Apollonio poteva solo utilizzare l’algebra geometrica che abbiamo visto in Euclide ed Archimede), è l’introduzione di assi coordinati di riferimento che utilizzano anche valori negativi per ascisse ed ordinate, ed i numeri relativi non erano in uso tra i matematici Greci. Osserva Boyer che è possibile dire che nella geometria greca le equazioni sono determinate da curve, ma non che le curve siano definite da equazioni.

    Vi sono molti altri contributi matematici dei quali siamo debitori agli scienziati alessandrini ma l’economia di questo lavoro mi fa fermare qui, rimandando all’ampia bibliografia che riporto. Nel seguito del lavoro (la seconda parte di questo articolo) andrò ad indagare le altre scienze sviluppate da tali scienziati, ad iniziare dall’astronomia.


NOTE

(1) Alcune città fondate da Alessandro Magno o in suo onore: Alessandria di Isso (o Alessandria la Piccola o Alessandria nella Margiana, presso la città di Mary (antica Merv), nel Turkmenistan; Alessandria degli Arî, oggi Herat, e Alessandria di Aracosia, oggi Kandahar, in Afghanistan; Alessandria al Caucaso, poco a nord dell’odierna Kabul, in Afghanistan; Alessandria Escata, all’estremo confine nord-orientale dell’impero di Alessandro, sulla destra del fiume Syrdarja, oggi Hodzent, nel Tagikistan; Alessandria Bucefala, sulla destra del fiume Chenab, a sud dell’odierna Rawalpindi, in Pakistan; Alessandria, sul fiume Indo, presso l’odierna Khanpur, in Pakistan; Alessandria, a ovest del delta dell’Indo, sul Mar Arabico; Alessandria nella Carmania, a nord dello stretto di Hormuz, in Iran; Alessandria al Tigri, o di Susiana, presso la foce del fiume Tigri (Khuzistan-Iran); Alessandria del Parapamiso (Begram-Afghanistan); Alessandria dell’Osso (Termez-Uzbekistan); Alessandria dello Iassarte (Chodzent-Leninabad-Tadzikistan); Alessandria degli Orito (a sud di Bela- Pakistan); Alessandria Troade, nei pressi dell’antica Troia, fondata nel 310 a.C. da Antigono, generale di Alessandro Magno, col nome di Antigoneia, fu successivamente chiamata Alessandria da Lisimaco, altro generale di Alessandro. Le sue rovine (mura, terme, acquedotti) si trovano presso l’odierna Eski Stambul [http://www.summagallicana.it/lessico/a/Alessandria%20di%20Egitto.htm]. Altre città ma con nomi diversi da Alessandria, fondate da Alessandro e  dai diadochi furono: Lisimachia, Nicomedia, Amasra, Stratonicea, Filetarea, Eupatoria, Nicea, Kadi, Docimio, Filomello, Laodicea, Attalia Seleucia, Tolemaide, Antiochia, Arsinoe, Nicopoli, Caonia, Cirro, Orthosia, Gadara, Berenice, Pafos, Aretusa, Tigranocerta, Dura Europos, Opi (tutte queste nell’Asia Minore); poi Arsinoe in Egitto, Apamea in Partia, Nicea in Pakistan.

(2) Una pianta che riporta le sette meraviglie del mondo antico:

(3) L’obsolescenza della democrazia comporta  la decadenza dell’eloquenza politica in cui aveva eccelso Demostene, la fine della commedia a sfondo politico e sociale, la riduzione a retorica o a genere erudito della storiografia. Dice Geymonat:

La commedia «nuova» porta sulla scena dei teatri le passioni e gli intrighi della vita quotidiana, e, descrivendo i caratteri individuali, si sofferma con particolare compiacimento su analisi psicologiche. Fuori del teatro prospera la produzione di novelle avventurose, di romanzi di viaggi e di amore. Non più alla città ed al popolo, ma alle cerchie ristrette dei dotti di corte si rivolgono i poeti maggiori (Callimaco, Apollonio Rodio, Nicandro), che riempiono le loro composizioni di raffinate preziosità mitologiche e scientifiche, e si fanno protagonisti di polemiche assieme letterarie ed erudite.

La frattura fra individuo e società è ormai decisiva: la confusione e la nuova differenziazione dei ceti, la dissoluzione delle vecchie comunità cittadine tolgono ogni sostanzialità all’etica tradizionale, intesa come coscienza comune di una collettività, che lo sforzo della ragione eleva a realtà universale. D’altro canto il nuovo stato monarchico, con i suoi orizzonti immensamente allargati, con la sua organizzazione assolutistico-burocratica, non riesce ad imporre la sua disciplina alle coscienze instaurando un’etica nuova: il saggio del periodo ellenistico, costretto alla apoliticità, finirà col sentirsi e proclamarsi « cittadino del mondo ».

Nel nuovo ambiente l’individuo trova aperte davanti a sé, per l’espansione delle proprie energie intellettuali, due strade: o concentrarsi in un campo di ricerche specializzate, affidandosi alla concretezza di un sapere particolare, oppure ripiegarsi in sé, cercando nell’io, o perlomeno attraverso l’io, il senso della vita e del mondo. Sono due vie sostanzialmente nuove, per cui il pensiero umano giungerà a conquiste formidabili nel settore delle scienze particolari ed alla fondazione del concetto di personalità che, ripreso dal cristianesimo, avrà importanza fondamentale nello sviluppo della civiltà moderna.

(4) Una parte di questi preziosi rotoli andò danneggiata ed altra parte saccheggiata durante una guerra civile nel 145; altra bruciò durante l’assedio di Cesare (48 a.C.); un’altra ancora, al tempo di Teodosio il Grande, fu distrutta da una folla di cristiani fanatici e fondamentalisti al seguito del patriarca Cirillo e nell’occasione fu fatta a pezzi la direttrice della biblioteca, la matematica Ipazia (415 d.C.), e il resto dall’emiro Amr ibn al-As, che (come raccontano A.Schopenauer e L.Canfora) avendo chiesto ad Omar califfo d’Egitto (646 d.C.) cosa fare della Biblioteca, ebbe questa risposta: «Se il contenuto dei libri si accorda con il libro di Allàh, noi possiamo farne a meno, dal momento che il libro di Allàh è più che sufficiente. Se invece contengono qualcosa di difforme, non c’è alcun bisogno di conservarli. Procedi e distruggili». Si dice che i rotoli furono usati come combustibile per i bagni termali di Alessandria, che, secondo Eutichio, erano circa quattromila, e ci vollero sei mesi per bruciarli tutti.

(5) Pergamo si dotò di una importante biblioteca, ad imitazione di quella di Alessandria. E’ notevole il fatto che, di fronte al blocco delle esportazioni di papiro da parte dell’Egitto, in questa città si iniziò ad usare un materiale che deriva dalla concia di pelli di animali, la pergamena (membranum pergamenum) in sostituzione del papiro. La pergamena, già nota in Asia,  resterà in uso fino all’invenzione della carta.

(6) Cicerone avrà da lamentarsi di Stratone perché ha abbandonato l’etica, che è la parte più importante della filosofia, e si è dedicato allo studio della natura.

Le correnti di pensiero principali che si svilupparono dopo Aristotele furono, oltre all’Epicureismo al quale ho accennato quando ho parlato di Democrito, lo Stoicismo e, in epoca più tarda, il Neoplatonismo.

Stoicismo (300 a.C. – 200 d.C.). La concezione stoica della natura è basata sull’idea materialistica che soltanto i corpi materiali possono esercitare o subire azioni e solo a contatto diretto. L’intero universo è un cosmo ordinato, governato da un principio di razionalità e di legge. Lo stoicismo è fertile terreno per l’astrologia ed esso  la sosterrà in modo convinto. Secondo gli stoici l’uomo può conoscere il suo futuro. Nell’universo platonico fu tolto quel pezzo che lo qualificava: il contributo della matematica.

Neoplatonismo (Plotino – 204 – 270 d.C.). Plotino si considera un seguace di Platone riuscendo a so n vi sono differenze sostanziali tra Platone ed Aristotele. Egli tenta quindi di unificare i due sistemi in un sistema unico. Ne nasce qualcosa di diverso che fornisce il punto di partenza per tutta quella serie di filoni di pensiero che, non avendo più la minima connessione con la realtà sensibile, tesero a ritardare lo sviluppo delle scienze della natura. Vi è una sostanziale indifferenza per i fatti che la natura ci offre oltre al disprezzo per il loro studio empirico. Si postula una antitesi tra materia e spirito, con il conseguente rifiuto della prima. Viene anche teorizzato l’ascetismo. Si è affascinati per l’occulto e si ha una tendenza crescente ad affidarsi alla magia ed alle sue pratiche. Si studia la demonologia con la pratica di sortilegi e l’invocazione di demoni.

(7) Dice in proposito Bertrand Russel:

Anche la maggioranza dei migliori filosofi finì con il credere nell’astrologia. Ciò implicava, dato che era possibile predire il futuro, una fede nella necessità e nel fato, che contrastava con la prevalente fede nella fortuna. Nessun dubbio che la maggioranza credesse in entrambe e non notasse l’incongruenza.

La confusione portò inevitabilmente al decadimento morale, ancor più che all’indebolimento intellettuale. Le epoche di prolungata incertezza, mentre sono compatibili con il più alto grado di santità in pochi individui, sono nemiche delle prosaiche virtù quotidiane dei «rispettabili» cittadini. Sembra che non ci sia più alcuna utilità nel risparmio, quando domani tutto ciò che vien messo da parte potrà andar disperso; nessun vantaggio nell’onestà, quando l’uomo verso cui la mettete in pratica quasi certamente vi truffa; nessuno scopo ad aderire stabilmente ad una causa, quando nessuna causa è importante o ha la possibilità di una stabile vittoria; nessun argomento in favore della sincerità, quando solo un’abile tergiversazione rende possibile di preservare la vita e la fortuna. L’uomo, la cui virtù non ha altra origine se non nella prudenza terrena, diventerà, in un mondo simile, un avventuriero se ne ha il coraggio ed altrimenti cercherà l’oscurità come un pavido opportunista.

    L’ultimo capoverso, preso a sé, dovrebbe far riflettere nei tempi che viviamo.

(8) Nella nota 33, a pag. 147 degli Elementi, Frajese ci fornisce questa notizia:

È particolarmente suggestiva l’ipotesi dello Zeutheu, secondo la quale fu proprio il desiderio di giustificare e dimostrare il teorema di Pitagora che condusse i geometri greci a costruire un complesso di proposizioni concatenate l’una all’altra, risalendo fino a quelle più semplici (procedimento di analisi), sicché poi con procedimento inverso (di sintesi) da dette semplici proposizioni iniziali (postulati) si potesse discendere, per gradi di complessità maggiore, fino al detto teorema di Pitagora. Sarebbe stato quindi proprio detto teorema (nella ricerca della sua giustificazione logica) a dare l’avvio alla geometria razionale. E la memorabile comunicazione di Zeuthen s’intitola appunto: Théorème de Pythagore, origine de la géométrie scientifique (Congr. internazionale, Ginevra, 1904). Questo teorema, detto universalmente di Pitagora, ha ricevuto poi numerosissime dimostrazioni, sulle quali qui non ci fermiamo.

(9) La vicenda degli specchi ustori è una leggenda. Esperienze accurate eseguite, ad esempio, da Buffon (1747) con una combinazione di 128 specchi piani mostrarono l’impossibilità pratica di bruciare una nave. Egli riuscì solo a bruciare una tavola di pino incatramato posta a 50 metri di distanza. Sembra che le navi romane fossero incendiate da fuoco scagliato mediante le catapulte (catapulte che avevano una impressionante potenza di lancio, tanto da non far avvicinare le navi. Ma se qualcuna riusciva, subentravano i ganci descritti nel seguito)

Affresco di Giulio Parigi (1600) dello Stanzino delle Matematiche nella Galleria degli Uffizi (Firenze).

Ricostruzione fanatastica degli specchi ustori di Archimede fatta da Padre Atanasio Kircher in Ars magna lucis et umbrae, Roma 1646.

Le leggende dell’assedio di Siracusa si sono moltiplicate, come quella che voleva le navi romane tirate su dall’acqua come pesci da giganteschi ami o da braccia meccaniche.

Affresco di Giulio Parigi (1600) dello Stanzino delle Matematiche nella Galleria degli Uffizi (Firenze).

Le figure seguenti (dal sito http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Claw/illustrations.htmlmostrano invece alcune ricostruzioni (che possono invece avere una qualche attendibilità) del sistema dei ganci per le navi che attaccavano Siracusa. 

(10) Quando ero questore in Sicilia mi misi a cercare la sua tomba invasa dalle erbe e dagli sterpi, che i siracusani non conoscevano e anzi negavano che esistesse. Avevo infatti sentito parlare di alcuni versi incisi sulla tomba che spiegavano perché essa fosse sormontata da una sfera e da un cilindro. Fuori da Porta Agrigentina c’è un gran numero di sepolture, e a forza di cercare e di guardare notai finalmente una piccola colonna che a pena superava la boscaglia di sterpi, e su di essa erano raffigurati una sfera e un cilindro. (Marco Tullio Cicerone, Tusculanae Disputationes, V, 23).

(11) Tangenze esiste ancora in lingua araba e il biografo del decimo secolo Ibn Al Nadim racconta che altre tre opere furono tradotte in arabo ma nessuna di queste esiste più. Da quest’opera si può capire quanto Apollonio fosse andato oltre il grande Euclide. Nel Libro III degli Elementi di Euclide si mostra come disegnare una tangente a tre determinate linee. In Tangenze, si mostra come costruire il cerchio che è tangente a tre oggetti qualsiasi, laddove gli oggetti sono punti, o linee, o cerchi stessi. Ipsicle (II secolo a.C.) riferisce di un’opera di Apollonio, che paragona un dodecaedro ad un icosaedro inscritti nella stessa sfera, i quali, come l’opera Coniche furono pubblicati in due edizioni. Altri antichi autori riferiscono di un’opera generale di Apollonio nella quale vengono discusse le basi della matematica come ad esempio il significato degli assiomi e le definizioni, di un’ altra sull’elica cilindrica e di un’altra ancora sui numeri irrazionali. Eutocio (VI secolo d.C.) riferisce di un libro Rapida Enunciazione nella quale Apollonio avrebbe ottenuto un’approssimazione di p migliore di quella ottenuta da Archimede.

Merita un cenno il fatto che uno dei luoghi che erano trattati in Luoghi piani era quello oggi noto come il Cerchio di Apollonio: il luogo dei punti tali che il rapporto delle loro distanze da due punti fissi sia costante (e diverso da uno), luogo illustrato in figura.

(12) Dice Boyer:

Nella storia della matematica i concetti sono più importanti della terminologia, ma il cambiamento di nome delle sezioni coniche dovuto ad Apollonio ebbe un significato che andava al di là di una semplice questione terminologica. Per circa un secolo e mezzo le curve erano state indicate con generici appellativi che non andavano al di là di banali descrizioni della maniera in cui erano state scoperte: sezioni di un cono acutangolo (oxytome), sezioni di un cono rettangolo (orthotome), e sezioni di un cono ottusangolo (amblytome). Archimede aveva continuato a usare questa terminologia (anche se si dice che abbia usato il termine parabola come sinonimo di sezione di un cono rettangolo). Fu Apollonio (forse seguendo un suggerimento di Archimede) che introdusse i nomi di ellisse e di iperbole in relazione a queste curve. I termini “ellisse”, “parabola”, e “iperbole” non vennero coniati per l’occasione; essi rappresentavano adattamenti di termini che erano stati precedentemente usati, forse dai pitagorici, nella soluzione di equazioni di secondo grado mediante l’applicazione di aree. Ellipsis (che significa mancanza) era stato usato quando un rettangolo di area data veniva adagiato su un segmento dato in modo che ne differiva per difetto di un quadrato (o di altra figura specificata), mentre il termine hyperbola (che significa “lanciare al di là”) era stato adottato per il caso in cui l’area da applicare eccedeva il segmento. Il termine parabola (che significa” porre accanto” o “confrontare”) era stato usato per indicare l’assenza sia di eccesso sia di difetto. Apollonio introdusse queste parole in un contesto nuovo usandole come termini per indicare le sezioni coniche. L’equazione moderna della parabola con vertice all’origine è y2 = ℓx (ove ℓ è il latus rectum o parametro, ora spesso rappresentato da 2p, o talvolta anche da 4p). Ossia, la parabola ha la proprietà per cui, qualunque punto della curva si scelga, il quadrato costruito sull’ordinata è esattamente uguale al rettangolo formato dall’ascissa x e dal parametro ℓ. [Per le equazioni dell’ellisse e dell’iperbole, similmente riferite a un vertice come origine, risulta invece]
per l’ellisse y2 <  ℓx e per l’iperbole y2  >  ℓx.  Furono le proprietà delle curve rappresentate da queste disuguaglianze che indussero Apollonio a dar loro, più di duemila anni fa, quei nomi che ancor oggi sono loro rimasti .

(13) Lo studio di questi luoghi a tre o quattro rette furono la base da cui mosse la Geometria analitica di Descartes. E’ Pappo che ci racconta di cosa si tratta:

Se si conducono da uno stesso punto linee rette sotto angoli dati verso tre rette date di posizione, e se il rapporto del rettangolo compreso sotto due delle rette così condotte col quadrato dell’ultima è dato, il punto apparterrà ad un luogo solido dato di posizione, cioè ad una delle tre linee coniche. D’altra parte, se le rette sono condotte sotto angoli dati verso quattro rette date di posizione, e se il rapporto del rettangolo compreso sotto due delle rette condotte col rettangolo compreso sotto le altre due è dato, il punto apparterrà ugualmente ad una sezione di cono data di posizione.

E ciò vuol dire che i luoghi a tre e a quattro linee sarebbero i luoghi di punti tali che il prodotto delle loro distanze da due rette date siano uguali o al quadrato (a tre) delle loro distanze da una terza retta, o dal prodotto (a quattro) delle distanze da altre due rette assegnate.

(14) E’ d’interesse raccontare che, mentre appariva la traduzione latina di questo libro di Apollonio nel 1661, per vie completamente diverse da quelle puramente geometriche e cioè meccaniche (matematica applicata), arrivava a medesimi risultati Huygens studiando i meccanismi dell’orologio a pendolo (Horologium del 1658 ed Horologium Oscillatorium del 1673).

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