Fisicamente

di Roberto Renzetti

Roberto Renzetti

PREMESSA

        Il Rinascimento vide il consolidarsi delle attività artigianali e commerciali che dall’Alto Medioevo si erano andate affermando ed avevano arricchito un nuovo ceto, la borghesia, che piano piano si proponeva come imprenditoriale e portatore di nuove istanze culturali. Il latifondo feudale venne sempre più attaccato. Si sentiva il bisogno di rompere con i vincoli statici del vecchio potere feudale, dell’intreccio di potere tra nobiltà e clero. La borghesia pretendeva spazi autonomi di espansione, spazi che riguardavano anche la richiesta e la ricerca di più ampie visioni culturali. Fu questa borghesia che si mostrò più interessata alla riscoperta dei classici, al qualcosa di nuovo di cui si sentiva fortemente il bisogno.

        Il forte impulso che ebbe la tecnica, il passaggio da produzioni con fortissimi connotati empirici alla voglia, da più parti avvertita, di tecniche e macchine sempre più affidabili e quindi alla richiesta di progettazioni più accurate, poneva la pressante richiesta di una scienza che si affermasse come supporto culturale alla produzione. La richiesta investiva anche ambiti culturali diversi. La vecchia cultura scolastica risultava chiusa ed opprimente per un ceto che aveva bisogno di espandersi. Le Università non rispondevano più, non si mostravano al passo con quanto nasceva e veniva proposto dal mondo civile. Gli insegnamenti dei docenti aristotelici erano fatti con un linguaggio metafisico che usava termini come sostanza ed accidentemateria e formaessenza ed esistenza  e vi erano manuali appositi che ponevano i problemi rimandando, per le soluzioni, alle opere di Aristotele indicandone la precisa referenza in cui cercare. La fisica era studiata per disputatio che prevedevano, ad esempio, interminabili sessioni per stabilire se il cioccolato era un liquido o un solido o cosa sarebbe cambiato nell’uomo se invece di avere cinque dita ne avesse avute sei. Uno studente che si iscriveva, qualunque fosse l’indirizzo di studi, doveva invariabilmente cominciare con logica, fisica e metafisica aristoteliche; proseguiva poi con la Meteorologia, con la Generatio et Corruptio e la Historia Animalium sempre di Aristotele; solo a questo punto, se aveva scelto medicina, poteva iniziare con Galeno ed Ippocrate.

        Fino ad allora uno “scienziato” veniva creato da un corso universitario lavorando su dispute infinite relative a questioni che quasi nulla avevano a che fare con quel mondo produttivo che invece andava crescendo. A partire dalla metà del ‘500 alle Università si affiancò la formazione che veniva data proprio dalle botteghe artigiane. È l’epoca degli ingegneri, degli architetti, degli idraulici, dei maestri d’opera la cui preparazione nasceva dalla soluzione di problemi pratici molto distanti dai sillogismi e, comunque, da ogni preparazione di tipo universitario. Questi “artisti”, per la prima volta accompagnarono la realizzazione delle loro opere con scritti, con elaborazioni teoriche che sarebbero diventate la base su cui altri avrebbero continuato, iniziando quel processo virtuoso di trasmissione di conoscenze che andava perfezionandosi. Ed è utile notare che questa esplosione di produzione, questa richiesta di nuovi saperi sempre più ancorati alla pratica, nasceva dalla crescente disponibilità di denaro che proveniva essenzialmente dalla Spagna che doveva armare i suoi eserciti con l’oro e l’argento proveniente dalle Americhe. Di queste ricchezze ne beneficiarono essenzialmente l’Italia e l’Olanda.

IRROMPE LA MATEMATICA

        Ancora nel XV secolo insigni educatori come Erasmo (1466 – 1536) e J. L. Vives (1492 – 1540) ritenevano non utile la matematica per la formazione delle persone poiché tendeva a distrarle dai fini pratici della vita. Gli stessi umanisti, che pure iniziarono a soffermarsi con interesse a guardare il mondo naturale circostante, si preoccuparono soprattutto della formazione morale dell’uomo aborrendo le dispute logiche che avevano luogo nelle prime università insieme agli insegnamenti della Scolastica. La sua riscoperta ebbe un duplice effetto spesso contraddittorio. Da una parte si intuirono le enormi possibilità ad essa collegate per lo studio della natura ma dall’altra si individuò la via più facile della numerologia e della mistica dei numeri. Ma questo duplice aspetto riguardava ogni tema che entrava all’attenzione degli studiosi in quell’epoca. Già si era manifestata una tale tendenza nella tradizione della Scuola Pitagorica. Ora di nuovo tornava l’armonia delle figure e delle proporzioni che con i numeri a lato avrebbero permesso di scoprire una qualche cabala nascosta, ad esempio nella Bibbia, una qualche formula magica che avesse permesso all’uomo di salvarsi o di scoprire una qualche verità trascendente. Le armonie divine dovevano avere una qualche relazione con cerchi, triangoli, quadrati ed altre figure geometriche tra cui, naturalmente, i solidi regolari. La stessa creazione doveva avere una matrice di matematica “spirituale” che era studiata a tal fine dai pitagorici del Rinascimento. Naturalmente su questo non vi era unità di pensiero. Coloro che ebbero approcci medici o chimici alla natura oscillavano tra la necessità delle chiavi matematiche di spiegazione delle osservazioni e la negazione di ogni influsso della matematica dei fenomeni. Un primo momento chiarificatore che servì a distinguere la matematica dalla numerologia si ebbe nella polemica tra Kepler e Rheticus. Secondo quest’ultimo l’astronomia copernicana non funzionava in quanto proponeva un mondo di 6 e non 7 pianeti (si ricordi che la Luna era considerata satellite e che il 7 era il numero perfetto dei pitagorici). Kepler, invece, distinse chiaramente le due cose rifiutando fermamente la numerologia (richiamandosi però ad una mistica che voleva la creazione del mondo come opera di Dio ed in quanto tale precedere la numerologia che era opera dell’uomo). Ciò che era in discussione era il primato di un principio esplicativo che molti individuavano nell’alchimia ed altri nella medicina(1). La matematica riuscì piano piano a farsi strada per la forte tradizione Platonica presente e per la sua immediata rapportabilità a temi mistici e religiosi. Resta comunque l’osservazione che per il suo stesso carattere e per la sua rappresentazione simbolica, la matematica restava limitata ad un ristretto numero di adepti che solo nel XVII secolo crebbe relativamente. Ma la matematica dei “classici”, alla quale occorre aggiungere opere originali, delle quali parleremo, che pian piano venivano elaborate: quelle di algebra di Tartaglia (1500-1557), di Cardano (1501-1576) e Viete (1540-1603) e l’invenzione dei logaritmi di Napier (1550-1617), da sola avrebbe potuto fare poco se non accompagnata da una miriade di testi di argomento vario che gradualmente erano riscoperti, tradotti e portati all’attenzione dei colti. Ma non tutti erano i canonici testi che oggi chiameremmo di argomento scientifico o quantomeno osservativo. Anzi, opere magiche, alchimistiche, astrologiche attrassero molto l’attenzione degli studiosi del tempo che spesso intrecciano loro conoscenze erudite in matematica con studi approfonditi nei vari rami suddetti.

        E’ di interesse osservare ancora che la matematica ebbe un merito fondamentale, quello di iniziare ad unificare un linguaggio che sempre più era per iniziati nelle varie tradizioni. Dai concetti astratti, dalle similitudini, dalle analogie, dai sillogismi, dalle proprietà di colori, suoni ed odori, dalle cause ed accidenti si passava sempre più ad un qualcosa che aveva un linguaggio univoco al quale non si poteva sfuggire con sofismi di varia natura. Furono essenzialmente i meccanicisti ad usare la matematica ed i suoi metodi ma, soprattutto, il suo linguaggio. E fu proprio la potenza predittiva di questo “linguaggio”, della sua univocità che permise, alla fine del Seicento l’affermarsi della tradizione meccanicista. Ma ciò non tragga in inganno: la scena era in gran parte occupata da altre vicende, da teologia, da magia, alchimia ed astrologia (le controversie su tali problematiche erano, all’epoca, forse più importanti di quella tra geocentrismo ed eliocentrismo). La scienza che noi oggi vogliamo vedere laica e scevra da inquinamenti irrazionali nasceva immersa in questa cultura (quanto si ritiene oggi scientifico nasceva mescolato al mistico addirittura nello stesso autore).

      Tutti gli autori concordano nel ritenere che, a partire da un certo momento storico (tra il Quattrocento ed il Cinquecento), i portati della tecnica nei campi della meccanica e dell’architettura civile e militare fecero riconoscere nella matematica uno strumento indispensabile. Particolarmente in Italia, dove meccanica, architettura ed arte avevano uno sviluppo clamoroso, si ponevano i problemi di misurazioni sempre più accurate di lunghezze, angoli, aree. Occorreva calcolare i volumi, fare degli studi prospettici, di simmetria. Si passò così dalle cose realizzate per mera intuizione alle cose progettate razionalmente con l’uso di proporzioni, simmetrie ed armonie. Fu nel Quattrocento, in Italia, che si iniziò la pubblicazione di svariate opere che facevano largo uso della matematica: opere di Brunelleschi, di Leon Battista Alberti, di Piero della Francesca (che ci fornì la “divina proporzione”, la sezione aurea), di Francesco di Giorgio Martini, di Luca Pacioli, di Biringuccio, di Agricola. Come si vede si tratta in massima parte di architetti ed artisti di varia natura che per la prima volta ci offrono opere che nascono ampiamente studiate e progettate con l’ausilio della matematica. È chiaro che la ricerca era delle migliori proporzioni, dell’armonia; è quindi evidente che sullo sfondo campeggia l’immagine del platonismo, sia nella sua veste pitagorica che in quella eudossiana. Elemento di grande importanza è che svariati autori iniziano a pubblicare trattati di matematica scritti in modo divulgativo, molto chiaro, accessibile a molti. La matematica inizia anche ad entrare come insegnamento impartito nelle Università, anche se non allo stesso rango di logica e dialettica (si pensi che come “matematico” Galileo guadagnava dalle cinque alle dieci volte meno dei suoi colleghi filosofi che insegnavano nella stessa Università). Gli studenti cominciano a diventare curiosi ed esigenti. Prima ci si accontentava dell’esposizione degli “Elementi” di Euclide, ora si volevano conoscere tutte le applicazioni pratiche della matematica, si volevano apprendere cose che poi, appena terminati gli studi, sarebbero state di immediata utilità. La domanda era così grande che addirittura sorse la professione di matematico pratico (il primo manuale di matematica pratica è l’Aritmetica di Treviso del 1478 – alla quale seguiranno gli Elementi di Euclide in latino nel 1482 – in cui compare la prima chiara spiegazione della moltiplicazione e della divisione!). E nel frattempo venivano pubblicate, in traduzione latina, opere di classici greci fino ad allora sconosciute. La prima edizione latina a stampa di Euclide vide la luce a Venezia nel 1482. Nella prima metà del Cinquecento vennero pubblicate traduzioni latine di Archimede, Apollonio e Diofanto e da F. Commandino (intorno al 1560) traduzioni di Euclide, Apollonio, Pappo, Erone, Archimede ed Aristarco. Pian piano i seguaci di Archimede crebbero. Ed ecco Niccolò Tartaglia, Guidobaldo dal Monte, Giambattista Benedetti, Giambattista Della Porta, Gerolamo Cardano.

Niccolò Tartaglia

Geronimo Cardano

        Sono tutti grandi matematici che porteranno l’algebra, la geometria e l’aritmetica a risultati del tutto insospettabili solo qualche decennio prima ed anche nel periodo più fulgido dei matematici greci. Si realizzò anche una svolta decisiva che vide l’algebra assumere il primato sulla geometria, a seguito proprio dei suoi più recenti successi (Tartaglia ci terrà a sottolineare che le sue elaborazioni non sono tratte né da Platone né da Plotino). Ed ecco ancora Bombelli, insieme all’intera scuola dei matematici bolognesi, che riesce ad affrancare la matematica dal suo uso pratico ed a farla marciare per sue linee di sviluppo totalmente indifferenti ad ogni applicazione pratica.

        Ma di tutto questo ci occuperemo nella terza parte di questo lavoro che partirà proprio dai contributi degli artisti e dei matematici per arrivare a tutte le premesse che saranno costruite per l’elaborazione dei lavori di Galileo.

GLI ARTISTI E GLI ARCHITETTI

    Vediamo qualcosa di questi artisti ed architetti, per capire meglio.

La cupola di Santa Maria del Fiore a Firenze di Brunelleschi

La cupola di Santa Maria del Fiore a Firenze di Brunelleschi. “Vedendo qui struttura sì grande, erta sopra e’ cieli, ampla da coprire con sua ombra tutti e’ popoli toscani, fatta sanza alcuno aiuto di travamenti o di copia di legname, quale artificio certo, se io ben iudico, come a questi tempi era incredibile potersi, così forse appresso gli antichi fu non saputo né conosciuto? [Leon Battista Alberti, De pictura]
 

La facciata di Santa Maria Novella di Leon Battista Alberti

La Madonna dell’uovo di Piero della Francesca

La Flagellazione di Piero della Francesca

Città ideale, attribuito a Piero della Francesca e alla sua scuola ma anche a Luciano Laurana e Bartolomeo di Giovanni Corradini

Natività di Cristo di Francesco di Giorgio Martini

Città ideale di Francesco di Giorgio Martini

Città ottagonale  a 16 vie radiali ed anulari a spirale. Da un disegno di Francesco di Giorgio Martini.

    Queste sono alcune delle cose di eccellenza fatte dagli artisti ed architetti del Rinascimento italiano precedentemente citati. Non è mio compito commentare queste meraviglie e non serve dire altro per ciò che è di nostro interesse. Vedere in queste opere, oltre all’infinita fantasia e creatività, una costruzione matematica che si occupa di geometria e prospettiva è fin troppo facile.

I MATEMATICI

    In ordine cronologico il primo nome che incontriamo è quello di Piero della Francesca (c. 1412 – 1492), uno dei massimi artisti del Quattrocento che fece della ricerca delle proporzioni guidate dalla matematica, che egli ritiene una scienza superiore e sicura, una delle caratteristiche delle sue opere. Sul finire della sua vita scrisse l’importante De Perspectiva Pingendi, il Libellus de quinque corporibus regularibus ed il De Abaco. Per Piero della Francesca non basta più l’occhio per costruire la prospettiva ma occorre servirsi della geometria. Infatti egli definisce la prospettiva una vera scientia e dedicò ad essa molto lavoro anche teorico, nei 3 volumi del De Perspectiva (che non fu mai pubblicata ma data in omaggio ai duchi di Montefeltro) che è un’opera in cui vi è un intreccio di geometria, con una

Una pagina del manoscritto De perspectiva Pingendi

precisa impronta euclidea, e disegno anche tecnico ammirevole. Il primo volume si occupa di geometria piana con molti disegni che lo illustrano, il secondo volume studia la rappresentazione prospettica dei solidi mentre il terzo prosegue con lo studio della prospettiva per corpi comunque complessi. Tralasciando il De abaco che è un semplice manuale di calcolo, è interessante dire qualcosa sul Libellus (pervenutoci in unica copia manoscritta in un codice rinvenuto nella Biblioteca Vaticana). Lo stesso titolo dice che l’autore si occupa qui dello studio e del disegno dei 5 solidi regolari (mai prima disegnati in forma stereometrica), che Platone aveva descritto nel Timeo e dei quali egli cerca relazioni, e dei solidi semiregolari. Ebbene, quest’opera fu nota fin dai primi anni del Cinquecento come opera di Luca Pacioli (1445 – dopo 1509) e non di Piero della Francesca.

Ritratto di Luca Pacioli attribuito a Jacopo de’ Barbari (secolo XVI)

    Giorgio Vasari ne Le vite (1550) racconta che Pacioli, che era in rapporti con Piero della Francesca,  nel 1509, pubblicò il suo famoso De divina proportione in

Il ritratto di Luca Pacioli (al centro) che compare sulla sinistra della Madonna nella Madonna dell’uovo.

lingua volgare, e che il Libellus entrò all’interno di questo lavoro come uno dei primi plagi della storia che conosciamo. E’ di grande interesse dire che quest’opera del Pacioli fu illustrata da Leonardo da Vinci, con il quale vi erano stretti rapporti

Tre disegni di Leonardo nell’opera di Pacioli, De divina proportione

di amicizia (ricordo che Pacioli tentò di istruire Leonardo in matematica). Discutere quindi dei lavori matematici di Piero della Francesca è discutere di Pacioli che, oltre al De divina proportione, aveva scritto già un’altra opera degna di nota: Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni,  e Proporzionalità (1494), opera che aveva regalato a Leonardo da Vinci perché imparasse la matematica. La Summa di Pacioli è una specie di enciclopedia delle matematiche (aritmetica ed algebra) pure ed applicate che, all’epoca, risultò molto utile e fu ampiamente utilizzata. In essa viene applicato il calcolo algebrico allo studio delle proprietà geometriche delle figure, fino alla risoluzione di equazioni di quarto grado. Fatto notevole è che in questa opera si espone sistematicamente, con dettagli ed esempi, ed in modo organico gli elementi pratici della contabilità a partita doppia (già nota ma in modo confuso ed empirico), con cenni al calcolo delle probabilità e dei logaritmi (la borghesia era sempre più ricca e la finanza e le banche erano in piena attività). Quest’ultima caratteristica, oltre a far assegnare a Pacioli il titolo di ragioniere, rese l’opera molto richiesta in tutta Europa dove trovò un continuatore in Stevin di Bruges. Ma l’opera per noi di maggior interesse,  per quanto anticipato, è il Libellus e particolarmente per il fatto che qui si studia la divina proporzione (oggi nota come sezione aurea) che Pacioli introduce così:

Divina proporzione, opera a tutti gli ingegni perspicaci e curiosi necessaria ove ciascun studioso di prospettiva, pittura, architettura, musica e altre matematiche soavissima sottile e ammirabile dottrina conseguirà e dilettarassi con varie questioni di segretissima scienza
 

    La divina proporzione ha una storia millenaria e, per quanto se ne sa, risale alla scuola di Pitagora che scoprì alcune proprietà del pentagono che era il simbolo della setta. Se nel pentagono si tracciano le cinque diagonali esse si incontreranno in cinque punti che, a loro volta, sono vertici di un altro pentagono regolare. Inoltre ognuno di questi punti divide la diagonale su cui si trova in due segmenti di diversa lunghezza la più lunga delle quali è media proporzionale tra l’intera diagonale e la parte rimanente. Cioè:

diversa lunghezza la più lunga delle quali è media proporzionale tra l’intera diagonale e la parte rimanente. Cioè, riferendoci alla diagonale EB ed al suo punto d’intersezione F con la diagonale AD:

EB : BF = BF : EF

ed una tale proporzione si può scrivere per ogni diagonale e per ogni punto in cui un’altra diagonale la interseca. Ebbene, quella parte di segmento medio proporzionale tra l’intero segmento e la parte rimanete individua una proporzione divina (in grecia si chiamava sezione e basta). Se si passa i numeri tale rapporto fornisce un numero Φ (leggi phi) che è un numero irrazionale con valore Φ = 1,618033989 … numero che si ricorderà avevamo trovato anche con i numeri della successione di Fibonacci (vedi articolo precedente). Una piccola osservazione di passaggio: si è discusso sul fatto se l’irrazionalità fosse stata scoperta dalla scuola pitagorica qui o nel caso della diagonale del quadrato ma la cosa è davvero difficile da risolvere in mancanza di documenti.

    La divina proporzione trovò adeguata sistemazione nella Proposizione 11 del Libro II degli Elementi di Euclide:

Dividere una retta data in modo che il rettangolo compreso da tutta la retta e da una delle parti sia uguale al quadrato della parte rimanente

e la dimostrazione che ne dà Euclide è diversa da quella che usualmente studiamo oggi, basata su una costruzione con riga e compasso(2).

    Nel corso dei secoli questa divina proporzione è stata utilizzata in architettura (Partenone) ed in opere d’arte (Fidia) ma è nel Rinascimento che essa assume un valore paradigmatico della ricerca di perfezione attraverso la matematica. E così, a partire da Leonardo, la troviamo in Piero della Francesca, in Leon Battista Alberti ed in svariati altri artisti che fanno le loro opere con delle suddivisioni delle scene rappresentate in base alla divina proporzione. Faccio un solo esempio perché questa discussione esula dallo scopo del lavoro. Riprendiamo la flagellazione di Piero della Francesca e consideriamo i punti A, B e C da me riportati. Se si

esegue una misura si scopre che il centro della scena, Gesù, è sistemato, rispetto alle due colonne in primo piano, nel punto C che suddivide il segmento AB secondo la divina proporzione, cioè: AB : AC = AC : BC. A prescindere dalle costruzioni prospettiche che sono alla base di tutte le opere rinascimentali, analoghe costruzioni a quella ora vista, si possono fare per la Gioconda, per l’Uomo Vitruviano, per l’Ultima Cena, ma anche per le facciate delle chiese come Santa Maria Novella, Sant’Andrea di Mantova, …

    Ecco allora che l’ideale rinascimentale inizia a delinearsi con chiarezza: la ricerca di perfezione, il bello, l’armonia, le proporzioni, tutti elementi sotto i quali soggiace la potenza della matematica che ora viene riconosciuta come fondamentale elemento di conoscenza. Esemplificativo di ciò è quanto sostiene il geometra platonico Petrus Ramus (Pierre de la Ramée, 1515 – 1572):

L’uomo è confinato nei limiti angusti del corpo, come in una prigione, ma la matematica lo libera, e lo rende più grande dell’intero universo […] E’ la matematica che gli offre il possesso della sua vera eredità originaria, paterna, e che lo illumina con le prove di questo prezioso possesso, gliene conferma la validità, adducendolo fino alla loro origine divina. L’uomo è sballottato qua e là, senza meta, dalla tempesta violenta delle passioni, la matematica gli restituisce la pace interiore, risolvendo armoniosamente i moti opposti dell’anima, e riconducendola sotto la guida della ragione, all’accordo e all’armonia [Istituzioni dialettiche]

     Siamo ancora in ambito platonico, in attesa di incontrare la tradizione empirica.

     Per concludere con Luca Pacioli, resta da dire che la sua Summa (ma anche gli altri suoi lavori) è d’interesse perché segna il confine con i tre secoli precedenti. Da questa opera si capisce che per centinaia d’anni non s’è fatto nulla e che, se si vuole avanzare, occorre partire da lì.

    Il momento era favorevole ed altre elaborazioni si susseguirono in quegli anni, tali da iniziare a costruire un importante corpo di conoscenze fondamentali per gli sviluppi applicativi che non tarderanno(3). Vi è qui da fare un importante inciso. Fino ad ora un qualunque lavoro di ricerca o compilazione diventava un manoscritto. L’autore dell’opera poteva, con somma fatica, farne una copia per donarla ad un amico o poteva pagare un copista che lavorasse per lui. Chi riceveva l’opera e la riteneva d’interesse poteva egli stesso fare analoga operazione di moltiplicazione. Di modo che la crescita del numero delle copie era spesso affidata a una sorta di casualità. Sul finire del Quattrocento entra in uso l’invenzione che nel 1450 era stata di Gutenberg, la stampa con caratteri mobili(4) che permette di disporre di molte più copie di uno stesso esemplare manoscritto con il non piccolo vantaggio di avere copie identiche, senza più il rischio di propagazione di errori e/o interpretazioni. La stampa comporta anche un qualcosa che Paolo Rossi ha bene evidenziato: la pubblicazione di incisioni che permettono di vedere ad un grande pubblico cose prima mai viste. Altro evento notevolissimo del finire del Quattrocento (1453) è la caduta di Costantinopoli con due conseguenze: il riversarsi in Occidente di molti manoscritti lì conservati (quelli che non sono andati distrutti) ed anche di vari studiosi in cerca di scampo. Altro evento che segnerà gli anni di cui discutiamo è la pubblicazione (1517) da parte di Lutero delle 95 tesi contro la corrotta Chiesa di Roma a che fa mercato di indulgenze; tale pubblicazione darà l’avvio alla Riforma protestante che nasce proprio per la diffusione della lettura della Bibbia che la stampa ha permesso ma anche per cause più profonde da ricercarsi: nell’ostilità della borghesia finanziaria all’insopportabile fiscalismo della Chiesa, nei nazionalismi che rifiutano la romanità, dalle rivolte sociali contro i proprietari terrieri, i nobili e la monarchia sempre alleati della Chiesa, nel rifiuto dei dotti dell’egemonia culturale della Chiesa. E’ su questa base che occorre giudicare da ora il successo e la diffusione delle elaborazioni di scienziati ed artisti. Più oltre entrerà in azione la Controriforma che, con l’Inquisizione, tenterà di soffocare ogni novità e dissenso, ma ora è la stampa che interessa per la moltiplicazione delle informazioni che permette. Già le opere di Pacioli erano state date a stampa e la prima opera stampata su argomento matematico fu l’Aritmetica di Treviso, scritta in dialetto veneziano da autore ignoto,  nel 1478. Su questa opera che ebbe una grande diffusione e che fu imitata  dall’Aritmetica tedesca  e dalla Bamberger Rechenbuch del 1483, occorre dire qualcosa. Essa mostra quali erano i livelli ordinari di conoscenza alla fine del Quattrocento: mentre non si parla di addizione e sottrazione, si dedica ampio spazio a moltiplicazione e divisione che, a quanto pare ed in modo che noi non siamo in grado di cogliere appieno, risultavano molto complesse. Viene trattata la moltiplicazione in colonna (per colonna), quella a croce (per croxetto), quella con la scacchiera (per scachiero) che si suddivide in cinque modi diversi, uno dei quali è quello da noi utilizzato. Vi sono poi due modi per fare divisioni, a seconda del numero delle cifre del divisore, quello in colonna e quello in battello (per batello). Vi sono poi trattate: la prova del 9, la regola del 3, il calcolo delle mescolanze per determinare la quantità di metalli preziosi nelle leghe. Seguono vari e diversi problemi, in gran parte di uso pratico.

    Al di là di pochi cenni, non occorre ora andare a ricercare risultati particolari di questo o quel matematico. Tanto vasta fu la loro opera che un tal lavoro richiederebbe uno spazio enorme. E’ invece utile indicare un clima, un nuovo entusiasmo che a partire dagli algebristi italiani del triangolo Venezia, Bologna, Milano si diffuse nel resto d’Italia e d’Europa. Serviva un qualche successo che desse fiducia ai nuovi scienziati e questo venne quando piano piano furono abbattuti i muri della risoluzione completa delle equazioni di secondo grado con l’introduzione dei numeri immaginari, con la scoperta di sistemi generali per la soluzione di equazioni di terzo e quarto grado, con l’introduzione di agili simbologie che permisero il decollo dell’algebra e la sua conquista del primato rispetto alla geometria. Solo qualche anno prima Pacioli vedeva come un sogno la soluzione generale delle equazioni di secondo grado. Ed ora era fatto. Questi successi dettero grande fiducia ai matematici ed essi inizarono un lavoro molto fruttifero su terreni vergini. Dopo oltre 1500 anni, per la prima volta iniziò a dissolversi il peso dell’inferiorità rispetto al sapere dei classici ellenisti. Anche ora era possibile fare cose egregie all’altezza di quelle eccellenti fatte dagli Euclide, Archimede, Apollonio. Ed era anche possibile volare molto oltre le cose egregie fatte dagli arabi. La paralisi che prendeva tutti perché sembrava che tutto fosse stato fatto e sembrava addirittura blasfemo confrontarsi con gli Elementi, era vinta. Ormai la matematica era tornata adulta e poteva nutrirsi dei suoi abbondanti prodotti che, da questo momento, non mancarono alimentando con essi anche le altre scienze che, nel contempo, crescevano.

Così era raffigurato lo scienziato agli inizi del Cinquecento in una tavola dell’edizione parigina di Boezio del 1503.

     Iniziarono Scipione Dal Ferro (1465 – 1526) e Nicolò Tartaglia(5) (c. 1499 – 1557) a dare, indipendentemente, la soluzione dell’equazione di terzo grado mancante del termine di secondo grado (ax – b = x3). Restava qualche difficoltà nei casi in cui comparivano le radici quadrate di numeri negativi. Furono Gerolamo Cardano (1501-1576) insieme al suo discepolo Ludovico Ferrari (1522-1565) che dettero il metodo di risoluzione delle equazione di terzo grado complete. E fu Rafael Bombelli (1526-1572) che dette il contributo decisivo alla risoluzione del problema delle radici ad indice pari di numeri negativi con l’introduzione dei numeri immaginari. Ciò permise di rimettere mano a tutto ciò che era restato in sospeso, come la soluzione di equazioni di secondo grado complete, quelle di terzo e quarto grado nei casi più generali. E’ il momento del passaggio definitivo dall’algebra sincopata all’algebra simbolica.

      L’opera che descrisse nel modo più ampio e completo gli ultimi sviluppi e successi dell’algebra è la famosa Ars Magna di Gerolamo Cardano(6) che segna la data d’inizio dell’algebra moderna. Troviamo in questa opera lo svolgimento di quella che oggi conosciamo come teoria generale delle equazioni algebriche. Si discute di relazioni tra soluzioni e coefficienti, del rapporto esistente tra grado di un’equazione e numero di soluzioni reali, del modo di trovare soluzioni approssimate, del modo di abbassare di grado un’equazione quando sia nota qualche sua radice, del modo di realizzare trasformazioni razionali delle equazioni. A questa opera il Cardano ne fece seguire delle altre che non ebbero però stesso valore dell’Ars magna a parte la Regula aliza, che ha un titolo enigmatico che qualcuno dice di provenienza araba (regola complicata). In essa Cardano studia ancora le equazioni irriducibili e risolve alcuni problemi di massimo. Servirà l’opera di Bombelli per completare la teoria delle equazioni, per la soluzione completa di quelle di quarto grado e per la soluzione di quelle irriducibili di terzo grado. Nel tentare tali soluzioni, tenendo anche d’occhio le difficoltà incontrate da Cardano (che per la verità aveva qua e là utilizzato senza enfasi qualche radice di numero negativo che egli chiamava quantità selvatiche, sofistiche e lontane dalla natura dei numeri), egli si scontrò con il problema dei numeri immaginari. Serviva molto coraggio a fare questo passo ed egli lo fece. Il rompicapo nasceva dal fatto che anche per avere soluzioni reali occorreva passare per questi numeri selvatici. E la cosa era stata messa in chiaro dallo stesso Cardano con esemplificazioni del tipo di quella che riporto di seguito. Supponiamo di avere l’equazione di terzo grado:

x3 + px – q = 0

nella sua risoluzione incontriamo l’espressione:

e, se siamo in un caso di irriducibilità (secondo membro sotto radice maggiore del primo membro), tale espressione è radice di numero negativo e quindi un numero immaginario. Il fatto è che ciò sussiste sempre, anche quando l’equazione ha poi soluzioni reali. Vediamo un esempio numerico. Sia data la:

x3 – 15x – 4 = 0

l’espressione vista prima è in questo caso:

anche se l’equazione ammette le tre soluzioni reali:

Bombelli lavorò molto su queste cose incomprensibili e inventò formule di trasformazione tali che gli permisero di risolvere il problema solo con l’introduzione di numeri immaginari (non voglio addentrarmi in tali questioni di grande rilevanza teorica; dico solo che, ad esempio, il quadrato di due numeri immaginari è un numero reale). A tal proposito rimane solo da dire che il nome immaginario fu introdotto da Descartes e che il simbolo (unità immaginaria)

fu introdotto da Leonard Euler.

     I risultati di Bombelli furono parzialmente pubblicati nei tre volumi della sua Opera d’Algebra del 1572 (ma scritta nel 1550). A questi ne seguirono altri due, importanti per l’apertura all’algebra moderna, nei quali si ricerca la giustificazione dei risultati nell’algebra stessa senza più passare per la geometria. E’ l’apertura completa alla geometria analitica (Descartes) ed all’analisi infinitesimale (Newton e Leibniz) che, infatti, non tarderanno ad emergere e ad imporsi (7).

     Il lavoro di questi algebristi fu continuato dal francese François Viète (1540 – 1603) seguace di Platone, di Diofanto e di Cardano che fece anche importanti incursioni nella trigonometria.

    Anche Viète si occupò della risoluzione di equazioni inaugurando lo studio di quelle a coefficienti negativi o irrazionali e di ogni artificio utile a semplificare equazioni di grado superiore (Isagoge in artem analyticam, 1591) . Lavorò anche a quelle che oggi conosciamo come scomposizioni di polinomi. A lui sono dovute le note formule:

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

e studi su espressioni di grado superiore al terzo. Studiò soluzioni approssimate di una qualsiasi equazione e iniziò a tentare la scomposizione in fattori di un polinomio qualunque. Introdusse un simbolismo ancora più agile a quello introdotto dagli italiani (una sorta di parentesi per individuare dei polinomi, un modo più semplice per indicare le radici, delle lettere al posto di numeri distinguendo le lettere per le incognite da quelle per i termini noti).

    Oltre all’algebra, come accennato, Viète dette contributi anche alla trigonometria (Canon mathematicus, 1571). A lui si deve il teorema del coseno per la risoluzione di triangoli qualunque, le formule della moltiplicazione degli archi che passano dal 2α e dal 3α all’nα con un utile strumento per la compilazione di tavole goniometriche, il teorema delle tangenti (che era già noto in Olanda), le formule di prostaferesi (che erano state introdotte da Werner), il teorema delle proiezioni (già enunciato da Thyco). Ma, al di là di supposte priorità, è importante sottolineare che ogni ramo della matematica nota è ormai maturo ed altri, fondamentali, se ne aprono. Come chiosa ai lavori di questo grande matematico, non è banale dire che era molto ricco e che le opere se le pubblicava a sue spese.

    Siamo a questo punto arrivati ad intersecare il Seicento, al momento in cui l’insieme del mio lavoro, che partiva 4000 anni prima, con egizi e babilonesi, termina. Eventuali raccordi sono abbastanza facili a questo punto ed io, con la matematica lascio. E’ invece importante passare ad un campo di indagine rimasto in ombra per molti secoli, l’astronomia.

L’ASTRONOMIA

        Abbiamo intravisto nella carrellata secolare fatta che in astronomia, dai tempi di Tolomeo, cioè da 1300 anni, non si è andati avanti. Si sono affinati degli strumenti. Si sono soprattutto fatte molte osservazioni che hanno precisato posizioni e cambiamenti nel cielo. Il complesso di fisica ed astronomia di Aristotele è dominante attraverso il sistema di Tolomeo. Qualcuno ha avanzato qualche obiezione, si è fatta qualche modifica ma quell’imponente impianto è lì con tutti i problemi che comportava e che gli arabi avevano iniziato a porsi. Soprattutto quello della descrizione di fenomeni che dovessero poi rappresentare la realtà e non mere costruzioni matematiche. Questo era uno dei problemi principali: si sono sempre salvate le apparenze secondo il dettato di Platone ma sempre si sono descritte le cose del cielo in modo assolutamente artificioso, con una matematica di cerchi e circonferenze che se soddisfano certe spiegazioni sembrano realisticamente impossibili. In modo dl tutto imprevisto, come un vero fulmine a ciel sereno, nel 1543 viene pubblicata un’opera di un canonico tedesco-polacco di nome Nicola Copernico, il De revolutionibus orbium coelestium.

NICCOLÒ COPERNICO

    E’ utile iniziare con una breve biografia. Niccolò Copernico (1473 – 1543) nacque da famiglia benestante a Torun, nella Prussia, ai confini con la Polonia ed in una territorio scosso da continui cambiamenti di frontiera a seguito di guerre, annessioni e cessioni di territorio.

    Aveva 10 anni quando morì suo padre e fu adottato dallo zio materno, canonico nella cattedrale di Fraunenburg nella regione di Ermland sotto il controllo della Prussia. Nel 1489 suo zio divenne vescovo di Ermland, una delle quattro diocesi prussiane (incastonata nella terra dei Cavalieri Teutonici), divenendo anche governatore della regione. Fece i suoi primi studi prima a Torun, quindi a Wloclawek, sulla Vistola. Alla fine del 1491 entrò all’Università di Cracovia, una delle più importanti d’Europa sulla quale aveva grande influenza l’umanesimo. Si iscrisse alla Facoltà delle Arti dove studiò in modo approfondito l’astronomia aristotelico – tolemaica. Lo zio, per avviarlo alla carriera ecclesiastica, nel 1496 lo

inviò a studiare Diritto Canonico (Giurisprudenza) a Bologna. Successivamente, nel 1500, Copernico si trasferì a Roma dove restò per un anno e subì il fascino di Pico della Mirandola. Nel 1501, tornato in patria, venne nominato canonico di Frauenburg ma riuscì immediatamente ad avere “licenza” di proseguire gli studi in Italia dove, a Padova, si iscrisse a Medicina laureandosi poi a Ferrara nel 1503 dove restò alcuni mesi per poi tornare a Padova. All’inizio del 1506 ritornò ad Ermland dove lo zio riuscì a farlo “comandare” come suo medico personale ad Heilsberg. Collaborò con lo zio in affari di governo (occupandosi anche di zecca e di monetazione): si trattava di mantenere la neutralità della regione di Ermland tra i Cavalieri Teutonici e la Polonia. Proprio ad Heilsberg, nel 1512, scrisse il Nicolai Copernici de hypothesibus motuum coelestium a se constitutis commentariolus (noto come Commentariolus) che è una specie di programma delle sue idee. Questo lavoro rimase sotto forma di manoscritto distribuito a pochi amici, solo recentemente ritrovato in tre copie distribuite in tre biblioteche (1877 Vienna, 1881 Copenaghen, 1962 Londra). Questo opuscolo conteneva sette petitiones principali:

1) Non esiste un solo centro di tutti gli orbi celesti o sfere (vale a dire: ci sono, a differenza di quanto affermava Tolomeo, due centri di rotazione: la Terra che è il centro di rotazione della Luna, il Sole che è il centro di rotazione degli altri pianeti).

2) Il centro della Terra non coincide con il centro dell’universo, ma solo con il centro della gravità e della sfera della Luna (questa petitio riapriva il problema di una spiegazione della gravità).

3) Tutte le sfere ruotano attorno al Sole (che è però eccentrico rispetto al centro dell’universo).

4) Il rapporto fra la distanza Terra-Sole e l’altezza del firmamento è minore del rapporto fra il raggio terrestre e la distanza Terra-Sole. Quest’ultima è pertanto impercettibile in rapporto all’altezza del firmamento (se l’universo ha così grandi dimensioni, non avverrà che il moto della Terra dia luogo a un moto apparente delle stelle fisse).

5) Tutti i moti che appaiono nel firmamento non derivano da moti del firmamento, ma dal moto della Terra. Il firmamento rimane immobile, mentre la Terra, con gli elementi a lei più vicini (l’atmosfera e le acque della sua superficie) compie una completa rotazione sui suoi poli fissi in un moto diurno.

6) Ciò che ci appare come movimento del Sole non deriva dal moto dello stesso Sole, ma dal moto della Terra e della nostra sfera con la quale (come ogni altro pianeta) ruotiamo attorno al Sole. La Terra ha, pertanto, più di un movimento.

7) L’apparente moto retrogrado e diretto dei pianeti non deriva dal loro moto, ma da quello della Terra. Il moto della sola Terra è sufficiente a spiegare tutte le disuguaglianze che appaiono nel cielo (i cosiddetti «moti retrogradi» dei pianeti diventano moti apparenti, dato che dipendono dal moto della Terra).
 

    In poco tempo dal Commentariolus gli derivò grande fama anche tra color che non lo avevano letto. Nello stesso anno morì lo zio e Copernico si trasferì a Frauenburg.

    Nel 1514, durante il papato di Leone X (quello della “Taxa Camarae“, il tariffario scandaloso della vendita delle indulgenze), venne invitato al Concilio Laterano per iniziare a discutere di Riforma del Calendario, Riforma che poi sarà realizzata nel 1582 (utilizzando anche i calcoli che compariranno nel suo De Revolutionibus del 1543). Egli rifiutò però di andare sostenendo di non disporre di osservazioni astronomiche sufficienti (e le cose stavano proprio così: Copernico basò i suoi lavori su moltissime osservazioni astronomiche di altri; egli ne realizzò solo 27). A questi anni, probabilmente, risale la prima stesura della sua opera fondamentale, il De Revolutionibus Orbium Coelestium che sembra sia stata completata intorno al 1530.

    Tra il 1516 ed il 1519 si trasferì ad Allenstein per prendersi cura dei beni della Chiesa (in questo periodo vi fu la pubblicazione delle Tesi di Lutero). Proprio nel 1519 scoppiò la guerra tra Cavalieri Teutonici e polacchi ed egli si ritirò dapprima nella fortezza di Frauenburg e quindi, fino alla fine della guerra (1525), ad Allenstein per occuparsi della vita politico – amministrativa della diocesi di Ermland.

   Nel 1538 un tal Dantyszek, personaggio malato di fondamentalismo che odiava profondamente i luterani e chiunque fosse sospetto di qualche apertura mentale, fu eletto vescovo di Ermland. E Copernico risultava essere persona aperta. Proprio in quel periodo lo stesso Copernico aveva assunto una giovane persona di servizio, Anna Schilling. Iniziarono una serie di pettegolezzi che furono stroncati dal vescovo con il licenziamento di Anna. La cosa amareggiò moltissimo il già anziano Copernico e questa amarezza lo accompagnerà fino alla morte.

     Intanto le idee di Copernico che circolavano diffusamente avevano raccolto il favore di Papa Clemente VII. Nel 1536 il cardinale Nicola von Schoenberg scrisse a Copernico invitandolo ad esporle in modo più completo e dettagliato. Ma non tutti erano entusiasmi ed insieme alle critiche favorevoli vi erano anche violente stroncature che già intravedevano nelle cose sostenute da Copernico, persona che aveva frequentato ambienti liberali in Italia, qualcosa che era in contrasto con quanto affermato dalla Bibbia. Già nel 1539 lo stesso Lutero prese chiara posizione affermando che questo mentecatto vuole trasformare tutta l’arte dell’astronomiaE questo avviene oggi, chi vuole essere considerato saggio deve inventarsi qualcosa, e ciò è il meglio che si possa fare. Ma non c’è dubbio, come affermano le Sacre Scritture, che Giosuè comandò al Sole e non alla Terra di fermarsi (e giudizi analoghi furono anche di Calvino). Per parte sua, anche Calvino, senza citare Copernico, aveva intimato che le Scritture andavano intese alla lettera. E Copernico non osava pubblicare i suoi lavori in una epoca delicatissima in cui era molto facile finire sul rogo.

    Furono il giovane astronomo tirolese Retico (Retyk) ed il vescovo Giese, amico di Copernico, ambedue protestanti, a convincerlo a dare alle stampe la sua opera. Il lavoro di stampa iniziò nel 1542 seguito da vicino da Retico (vi furono però delle difficoltà iniziali: un protestante che si faceva portatore dell’opera di un cattolico!) il quale prima che l’opera vedesse la luce, dovette abbandonare. Ma nello stesso 1542 a Roma viene riorganizzata l’Inquisizione e viene costituito il Tribunale del Santo Uffizio (Paolo III) mentre partono i lavori per il Concilio di Trento (1544 – 1563) per avviare la Controriforma che vedrà subito il processo ai cardinali (Morone e Pole) fautori del dialogo con i protestanti e la conseguenza della proclamazione di Tommaso d’Aquino dottore della Chiesa (Paolo IV, 1565) e dell’istituzione della Congregazione dell’Indice (Pio V, 1571). Il seguimento della stampa dell’opera di Copernico passò, proprio allora, ad un teologo protestante molto erudito ed interessato all’opera di Copernico, Andreas Osiander. E questo personaggio è al centro di una brutta operazione di manipolazione del lavoro di Copernico perché, contro la volontà di Copernico, vi aggiunse una prefazione non firmata in modo che sembrasse dello stesso Copernico (e sembra abbia anche manipolato il titolo che doveva essere solo De Revolutionibus con particolare riferimento al moto della Terra, e non De Revolutionibus orbium coelestium riferite al generico moto delle varie sfere celesti). In questa prefazione praticamente si sosteneva che l’intera opera era basata su una finzione, su una ipotesi matematica utile per fare i conti. E questo avveniva quando Copernico era sul letto di morte (1543) ed era impedito a fare qualunque cosa. Ed appena morto Copernico il libro vide la luce con la manipolazione suddetta (il manoscritto originale, senza manipolazioni, fu poi ritrovato a Varsavia intorno al 1850). Solo due anni dopo, nel 1545, iniziò il Concilio di Trento (che si concluderà nel 1563) che dette il via alla Controriforma.

IL DE REVOLUTIONIBUS

     Entriamo ora in un campo che è stato discusso infinite volte. Ciò che segue riassume i termini della questione. La tesi centrale dell’opera di Copernico, la Terra in moto intorno al Sole immobile, rappresentò una svolta radicale ma più per le conseguenze che altri ne trassero che non per quello che lo stesso Copernico aveva detto. Egli, partendo da dati osservativi e per rispondere al vecchio problema del moto della sfera delle stelle fisse (tale sfera era considerata da Aristotele in moto pur occupando sempre lo stesso luogo), modificò le posizioni degli astri nel sistema astronomico aristotelico-tolemaico, senza preoccuparsi di conciliare ciò con tutti gli altri problemi che si aprivano con la nuova organizzazione planetaria. I ragionamenti che Copernico porta a sostegno della tesi che vuole la Terra in moto intorno al Sole immobile sono aristotelico-scolastici. Seguiamo questi ragionamenti:

– “Poiché il cielo è la dimora di tutti …, non si vede perché non si debba attribuire il moto più al contenuto che al contenente“.

– Se la Terra a causa del suo moto dovesse andare distrutta, a maggior ragione si dovrebbe distruggere la sfera delle stelle.

– La Terra non va distrutta a seguito del suo moto perché esso è naturale e non violento.

– La caduta non lungo la verticale che dovrebbero avere gli oggetti è spiegata con l’affermazione che l’aria segue il moto della Terra “perché l’aria, impregnata di terra e di acqua, vicina alla terra, segue le sue stesse leggi“.

– “La condizione di immobilità è considerata [da Aristotele] più nobile e divina della condizione di cambiamento ed instabilità, la quale quindi è più appropriata alla Terra che all’Universo“.

– Ci vorrebbe un motore enorme per muovere la sfera delle stelle.

– La Terra deve ruotare di moto naturale perché è sferica.

     Queste argomentazioni di Copernico creano moltissime difficoltà allo stesso aristotelismo e mostrano forzature dei ragionamenti. Se non sapessimo che Copernico è persona dottissima potremmo addirittura dubitare della sua conoscenza di Aristotele. Vediamo allora le difficoltà nei ragionamenti di Copernico.  

– Ha ragione Aristotele quando afferma che la Terra dovrebbe disintegrarsi a causa del suo moto e non la sfera delle stelle. Infatti la Terra è soggetta a generazione e corruzione oltre a possedere pesantezza, mentre la sfera delle stelle è eterea, eterna e per essa non esiste pesantezza.

– Allo stesso modo, un motore avrebbe mosso più facilmente le parti eteree dell’universo che non la Terra.

– Anche il Sole è sferico e perché dovrebbe essere immobile ?

– Il sistema infine, anche se nasceva dal proposito di rendere più semplici i calcoli, era complesso almeno quanto l’aristotelico-tolemaico.

     Nonostante il “conservatorismo” di Copernico, si aprivano grosse brecce nel sistema di Aristotele che qualcuno avrebbe dovuto sistemare se avesse abbracciato il nuovo sistema e questo perché, come ho ricordato più volte, il sistema astronomico aristotelico-tolemaico è un tutt’uno con la fisica di Aristotele. E’ impensabile modificare un pezzo dell’impianto senza rendersi conto dei guasti nell’altro. Vediamo quali erano i problemi che si aprivano e che, al momento, erano senza soluzione:

– Si mette in discussione l’esistenza di due tipi di mondi separati dal cielo della Luna (la Terra, nel suo moto, “si infila” in mezzo ai due mondi).

– Si distrugge la teoria dei quattro elementi e quella del moto ad essa collegata tramite la teoria dei luoghi naturali (perché ora un oggetto dovrebbe cadere sulla Terra?).

– Tutti i moti vengono considerati come naturali e la Terra che si muove di moto circolare viene a perdere le caratteristiche di peso e leggerezza.

– Con l’ammissione di immobilità dell’ultima sfera (quella delle stelle fisse), in accordo con Aristotele (l’infinito non può muoversi), si apre alla possibilità di un mondo “infinito”.

      Per dirla con Kuhn: Per Copernico la Terra in moto rappresenta un’anomalia in un universo aristotelico.

       Copernico inizialmente fu accettato grazie alla “prefazione” di A. Osiander. La cosa era in accordo con quanto sostenuto da Tommaso nella Summa Theologica (parte I, Quaest. XXXII, art. 1(8)). Secondo Tommaso vi è differenza tra un’ipotesi necessariamente vera (la fisica) ed un’ipotesi che invece si adatta ai fatti (la matematica). Si possono costruire tutte le ipotesi matematiche che si vogliono per spiegare i fatti astronomici purché non si cambi la fisica. E la Chiesa, da un certo punto, userà questo argomento come una clava.

    Vediamo qualche dettaglio di questa grande opera in sei libri di Copernico riferendoci alle parti discorsive del Libro I che sono in gran parte le stesse che Copernico aveva sviluppato nel Commentariolus (vi sono solo due differenze relative ai calcoli delle combinazioni degli epicicli e degli eccentrici per il moto dei pianeti).

    Dopo una breve introduzione in cui si esalta il cielo, Dio visibile, l’astronomia, regina delle scienze, Tolomeo il grande sistematore del cielo, … e dopo aver ricordato, con Plutarco, che il movimento delle stelle vince la perizia dei matematici, Copernico inizia con queste parole:

In principio va rilevato che il mondo è sferico, sia perché questa forma è la più perfetta di tutte, un’integrità totale, non bisognosa di alcuna commessura; sia perché è la forma più capace, che meglio conviene a tutto comprendere e custodire; sia anche perché ogni parte separata del mondo – intendo il Sole, la Luna e le stelle – sono ravvisate in tale forma; sia perché in essa tendono a determinarsi tutte le cose, come appare nelle gocce d’acqua e negli altri corpi liquidi, quando tendono a circoscriversi da soli. Perciò nessuno metterà in dubbio che tale forma sia da attribuirsi ai corpi divini.

parole che ci mettono subito in un mondo aristotelico perché la sfericità è una caratteristica di perfezione, perfezione che se assegnata all’universo prevede la sua finitezza in quanto non gli manca nulla, come sosteneva Aristotele. Più oltre si dice che tale sfericità è anche della Terra come mostrano le ombre delle eclissi e delle acque che sono su di essa come mostra l’America che è agli antipodi dell’India. Copernico prosegue discutendo del moto circolare che egli vuole assegnare alla Terra. Tutti sostengono, egli afferma, che la Terra è immobile ma la cosa non è stata risolta completamente. E qui vengono inserite considerazioni che riguardano la relatività del movimento, come un oggetto ritenuto immobile possa essere considerato in moto se osservato da altra situazione e viceversa per un oggetto in moto. Se si tiene conto di ciò si può ammettere un moto di ciò che è ritenuto immobile. Inoltre le irregolarità del moto dei pianeti possono essere dovute alla loro rotazione intorno ad un centro che non è la Terra ma spostato di un poco rispetto alla sfera delle stelle fisse, in modo tale che la Terra possa essere ammessa in rotazione con moto circolare alla stessa maniera dei pianeti. Dice Copernico:

Infatti, ogni mutazione locale apparente deriva o dal movimento della cosa guardata, o da quello di chi guarda, o da mutazione certamente ineguale di entrambi. Perché fra cose mosse in modo eguale nello stesso senso non si percepisce movimento, intendo dire fra l’oggetto veduto e colui che lo vede. Ora è proprio la Terra quella da cui è visto quel circuito celeste e offerto alla nostra vista. Se dunque si ipotizza qualche movimento della Terra, esso apparirà in tutte le cose che gli sono esterne come di eguale velocità, ma in senso opposto, come se quelle cose passassero via, quale è innanzi tutto la rivoluzione diurna. Questa, infatti, sembra trascinare l’intero mondo, fuorché la Terra e quelle cose che sono intorno ad essa. Ma se si ammettesse che il cielo non ha nulla di questo movimento, e invece la Terra ruota da occidente verso oriente, se qualcuno esaminasse seriamente quanto riguarda l’apparente sorgere e tramontare del Sole, della Luna e delle stelle, troverebbe che proprio così avviene. E poiché è il cielo quello che contiene e abbraccia tutto, il luogo comune di tutte le cose, apparirà subito perché si debba attribuire un movimento piuttosto al contenuto che al contenente, a ciò che è collocato piuttosto che a quello che colloca. [De revolutionibus, cap.V]

    Vi sono due cose in questo brano da sottolineare, la prima è quella specie di principio d’inerzia generalizzato che viene sostenuto in un paio di parole: la Terra e quelle cose che sono intorno ad essa. Se infatti non si ammette che, ad esempio, l’aria sia solidale al moto della Terra, varrebbero le obiezioni al suo moto che a suo tempo fecero tutti, compreso Tolomeo. L’altra questione è invece a quanto avevo annunciato qualche riga più su: i ragionamenti di tipo aristotelico che dovrebbero giustificare il moto della Terra (contenuta) piuttosto che la sfera delle stelle (contenente).

    Viene poi l’argomento della immensa grandezza della sfera delle stelle rispetto alla Terra. Ciò rende la terra come un punto e quindi diventa irragionevole pensare che sia la sfera delle stelle a fare una rotazione completa in 24 ore. Ma se la Terra ruota come gli altri pianeti e questo fosse il suo solo movimento, in un luogo dovrebbe sempre aversi la medesima ora con il Sole sempre nella medesima posizione. Occorre allora anche ammettere una rotazione della Terra su se stessa in 24 ore. Ma se a seguito di tale moto la Terra dovrebbe disgregarsi, a maggior ragione dovrebbe farlo la gigantesca sfera delle stelle ad eseguire lo stesso moto in 24 ore.

    Dal capitolo VII fino al IX si susseguono le risposte alle obiezioni che si sono sempre fatte al moto della Terra.

Perciò con varie altre ragioni gli antichi filosofi hanno cercato di sostenere che la Terra sta nel centro del mondo, e allegano come causa principale la gravità e la leggerezza. Senza dubbio, l’elemento della terra è il più pesante, e ad essa si portano tutte le cose pesanti, tendendo verso il suo centro interno. Infatti, poiché la Terra è rotonda e verso di essa i gravi, da tutte le parti e perpendicolarmente alla sua superficie, sono portati per loro natura, se non fossero trattenuti sulla superficie stessa, precipiterebbero verso il suo centro: come una linea retta perpendicolare alla superficie tangenziale della sfera conduce al centro. Ora le cose che si portano verso il centro sembra che necessariamente al centro siano in stato di quiete. Tanto più, dunque, l’intera Terra sarà in stato di quiete nel centro e ricevendo in sé tutte le cose che cadono, resterà immobile per il suo peso.

    Secondo la teoria del moto di Aristotele, agli elementi pesanti (terra ed acqua) conviene il moto rettilineo verso il basso, a quelli leggeri (aria e fuoco) quello rettilineo verso l’alto e solo ai corpi celesti il moto circolare intorno ad un centro. Ricordo che per Aristotele il moto o è violento o naturale. Violento, il moto della Terra non può essere, perché manca di motore esterno e perché ogni moto violento ha una durata limitata. Dunque, naturale. Ma il moto naturale può essere concepito in due modi, dall’alto in basso e in circolo. Il primo non è possibile, perché ha un principio ed una fine; quindi rientra nella classe del moto violento; dunque il moto naturale è in circolo. Ma la Terra, non può muoversi circolarmente, perché questa eventualità e smentita da varie osservazioni, come la sua posizione rispetto alle stelle fisse, ecc. Dunque, essendo esaurite tutte le ipotesi concettuali di ogni movimento possibile, si conclude che la terra sta ferma. Questa maniera di ragionare ha creato la mirabile costruzione della cosmologia antica, perfetta come un organismo logico, ma non ulteriormente perfettibile che nei suoi particolari, mentre nelle grandi linee essa è statica e immobile. In definitiva ogni cosa pesante come la Terra con tutto ciò che vi è sopra, non può essere dotata di moto circolare perché non sarebbe un moto naturale ma violento. Ma Copernico ricava dal fatto che gli astri sono sferici, che il movimento che più gli conviene è il circolare. Questo moto è infatti il più semplice, ed esprime, in atto, la semplicità di quella forma. Esso è inoltre naturale e indefettibile, mentre il moto retto non compete che ai corpi che sono espulsi fuori del loro luogo naturale o che vi ritornano. «Nulla ripugna tanto all’ordine e alla forma dell’universo, quanto l’essere fuori del proprio luogo. Perciò il moto retto non è dato se non alle cose che non stanno al loro posto e non son perfette per natura, perché si separano dal loro tutto e ne disertano l’unità». Il moto circolare è così sempre uguale, avendo una causa che non viene mai meno, quello in alto e in basso invece è accelerato (o ritardato), perché si affretta a cessare non appena il corpo ha conseguito il luogo naturale, in cui si arresta. Anche qui la dimostrazione procede con argomenti chiaramente aristotelici E cioè, mentre per Aristotele il moto retto apparteneva alle parti elementari, tendenti a congiungersi con la totalità del loro elemento, e il moto circolare al cielo, con una netta e insuperabile divisione tra il cielo e la terra, per Copernico, invece, il moto retto è delle parti, il circolare è del tutto, cioè dell’intero astro. Ciò implica una completa redistribuzione delle due specie di movimenti: v’è infatti un moto retto nei corpi celesti (quello delle rispettive parti verso il loro tutto) e un moto circolare nella terra (quello della totalità del globo terrestre); i due moti pertanto, invece di segnare un distacco tra due ordini di sostanze differenti, sono la prova di una sostanziale affinità di natura tra gli astri e la Terra. Il dualismo antico e medievale è, potenzialmente, superato. La Terra dunque si muove in circolo come gli altri astri. Ciò vuol dire che il moto diurno del cielo è mera apparenza; è la Terra, invece, che ruotando su se stessa, muta la propria posizione rispetto al cielo.

Se dunque – afferma Tolomeo d’Alessandria – la Terra ruotasse, almeno in una rivoluzione quotidiana, dovrebbe accadere il contrario di ciò che si è detto sopra. Infatti bisognerebbe che il movimento fosse velocissimo e la sua celerità fosse insuperabile, per far compiere in ventiquattro ore l’intero ambito terrestre. Ma le cose mosse da una rotazione repentina appaiono affatto incapaci di coesione, e piuttosto, se unite, [paiono portate] a disperdersi, quando non siano tenute ferme da qualcosa che le fermi; e da gran tempo – egli dice – la Terra dispersasi sarebbe fuggita dal cielo (il che è del tutto ridicolo!); tanto più gli esseri animati e tutte le altre masse separate non potrebbero assolutamente restare ferme. E nemmeno le cose che cadono in linea retta e perpendicolarmente giungerebbero al luogo destinato, che frattanto sarebbe stato sottratto dalla grande velocità. E vedremmo anche le nuvole ed ogni cosa che sta nell’aria portarsi sempre verso occidente.

    E qui Copernico dopo aver introdotto una autogiustificazione tanto banale quanto evidente: se la Terra girasse il suo moto non sarebbe più violento ma naturale, come quello dei quattro elementi, passa a discutere della temuta infinità dell’universo qualora la Terra si muovesse. La questione appesa ad una disputa non gli interessa, meglio lasciarla alle dispute dei naturalisti.

Invano, dunque, Tolomeo teme che la Terra si disperda e [con essa] tutte le cose terrestri nella rivoluzione che avviene, per azione della natura, che è ben diversa da quella dell’arte o da quella che può derivare per effetto dell’ingegno umano. Ma perché non si teme ciò, e anzi di più, per il mondo, il cui movimento deve essere tanto più veloce, quanto maggiore è il cielo della Terra? O forse il cielo è divenuto tanto immenso perché il movimento con indicibile veemenza lo allontana dal centro, e crollerebbe se stesse fermo? Certamente, se questa ragione fosse valida, anche la grandezza del cielo si allontanerebbe all’infinito. Infatti, quanto più per lo stesso impeto del movimento sarebbe portato in alto, tanto più veloce sarebbe il movimento, per la circonferenza sempre crescente che dovrebbe percorrere nello spazio di ventiquattro ore: e viceversa per il crescente movimento crescerebbe l’immensità del cielo.
Così la velocità aumenterebbe all’infinito la grandezza e la grandezza la velocità. Ma proprio per quell’assioma di fisica: «ciò che è infinito non può essere attraversato, né può essere in alcun modo mosso», il cielo necessariamente si arresterebbe.
Dicono però che fuori del cielo non c’è né corpo, né luogo, né vuoto, e assolutamente nulla, e quindi non c’è [luogo] dove possa estendersi il cielo; e allora sarebbe certo sorprendente se qualcosa potesse essere arrestato dal nulla. Ma se il cielo fosse infinito e finito solo per la concavità interna, forse diventerebbe ancor più facile capire che non c’è nulla fuori del cielo, perché tutto sarebbe in lui, di qualunque grandezza fosse, ma il cielo resterebbe immobile. Infatti la [ragione] principale su cui si fondano per dimostrare che il cielo è finito è il movimento. 

Sia dunque finito o infinito il mondo, lasciamolo alle dispute dei naturalisti, avendo per certo che la Terra, conclusa nei suoi poli, è limitata da una superficie sferica. Perché, dunque, esiteremo ancora ad attribuirle una mobilità conforme per natura alla sua forma piuttosto che estendere l’intero mondo, di cui si ignorano i confini, né è possibile conoscerli, e perché non ammetteremo che della sua quotidiana rivoluzione vi è in cielo apparenza, in Terra verità? Le cose stanno come quando parla l’Enea di Virgilio, dicendo:

“Ci allontaniamo dal porto, terre e città retrocedono”. 

    Riguardo poi alle nuvole che dovrebbero scappare via insieme a tutte le cose non ancorate alla Terra, viene di nuovo avanzato quella specie di principio d’inerzia generalizzato, secondo il quale tutte le cose che stanno sulla Terra si muovono allo stesso modo. Inoltre, con Aristotele si vogliono ribaltare le cose, quando si afferma che il moto compete di più alle cose meno nobili che non a quelle nobili. Infine, riguardo alla la gravità, essa è un qualcosa che non esiste solo sulla Terra ma riguarda ogni corpo celeste o globo, pertanto ognuno avrà la sua di gravità.

Che diremo dunque delle nuvole e delle altre cose che stanno in aria, o cadono, oppure tendono verso l’alto? Nulla, se non che non soltanto la Terra con l’elemento acqueo ad essa unito si muove così, ma anche una parte non piccola dell’aria e tutte le cose che, allo stesso modo, hanno un rapporto con la Terra. Sia che l’aria vicina, mista di materia terrena ed acquea, segua la medesima natura della Terra, sia che il movimento dell’aria sia acquisito, ed essa ne partecipi senza resistenza per contiguità e per il movimento continuo della Terra.

A ciò si aggiunge ancora che la condizione d’immobilità è giudicata più nobile e divina di quella di mutazione e di instabilità, che meglio, perciò, si addice alla Terra che al mondo. Per di più sembra piuttosto assurdo attribuire movimento al contenente e collocante e non invece al contenuto e collocato, che è la Terra.

Poiché esistono, dunque, vari centri, anche per quel che riguarda il centro del mondo non sarà azzardato dubitare che esso sia quello della gravità terrestre o un altro. Per parte mia, credo che la gravità non sia altro che una certa brama naturale, attribuita alle parti dalla divina provvidenza dell’artefice di tutte le cose, affinché si riuniscano nella loro unità e integrità congiungendosi in forma di globo. E questa inclinazione è credibile sia insita anche nel Sole, nella Luna e negli altri splendori erranti, cosicché per la sua efficacia essi restano in quella rotondità con cui si presentano, sebbene in molti modi effettuino i loro circuiti.

    Nel capitolo X, dopo aver discusso di quale ordine assegnare ai vari pianeti, Copernico ci offre il disegno semplificato del suo sistema del mondo:

    E’ qui che leggiamo questo inno al Sole da parte di Copernico:

In mezzo a tutte le cose risiede il Sole. Chi mai porrebbe in questo bellissimo tempio una tale lampada in altro luogo migliore, donde potesse illuminare tutto insieme l’universo? Non senza ragione, taluni l’hanno chiamato lucerna del mondo; altri, mente; altri, rettore. Trismegisto ne ha fatto un dio visibile; l’Elettra di Sofocle lo ha chiamato onniveggente. Posto come su di un trono regale, esso governa la famiglia degli astri che gli si affaccenda intorno. La terra a sua volta non vien defraudata del servigio della luna. Essa si unisce col sole e ne vien fecondata di anno in anno. In tal modo noi troviamo sotto questo ordinamento un’ammirevole simmetria del mondo e un nesso armonico del movimento e della grandezza degli orbi, quali in nessun altro modo potrebbero trovarsi. 

    Nel capitolo XI Copernico descrive i moti della Terra che, secondo lui, dovrebbero essere ben tre. Il primo è la rotazione annua intorno al Sole; il secondo è la rotazione su se stessa in 24 ore per permettere l’alternanza del giorno e della notte; il terzo, che sarà dimostrato presto del tutto innecessario, è un moto del centro della Terra tale da mantenere il parallelismo dell’asse terrestre (inclinato come si sa) con se stesso al fine dell’alternarsi delle stagioni.

In (a) è mostrato cosa farebbe l’asse terrestre senza il terzo movimento ipotizzato da Copernico. Esso doveva riguardare l’asse terrestre ed essere tale (b) da mantenerlo sempre parallelo a se stesso.

    Nei capitoli XII e XIII iniziano conti, presentazione di tabelle di osservazioni (poche le sue, in gran parte riprese da ogni dato a sua disposizione), e dimostrazioni fatte con il sistema di Euclide. E qui finisce il Libro I. Poi vi sono gli altri 5 libri che sono tutti un susseguirsi di misure, di calcoli che giustificano questo e quel movimento, questa e quella posizione e la mancanza di quegli effetti che invece discenderebbero dall’ammissione di Terra immobile al centro dell’universo.

     Siamo di fronte ad un altro traguardo rinascimentale. Anche nell’astronomia si riescono a raggiungere le vette di Tolomeo, fino ad allora ritenute insuperabili. L’opera non è un abbozzo o un commentario. Ha un impianto nuovo con calcoli e determinazioni orbitali nuove. Finalmente si ha una univoca determinazione dell’ordine successivo dei pianeti nell’universo. Vi erano naturalmente degli errori ma essi discendevano dalle poche osservazioni fatte da Copernico e dall’aver preso per buone tutte quelle di Tolomeo. Inoltre non è proprio il Sole il centro del sistema di Copernico ma il centro dell’orbita della Terra che per lui  non coincide con il Sole (e ciò comportò errori a catena). Infine vi erano molte complicazioni con il mantenimento dei cerchi e dei moti uniformi. Da una parte spariva l’indigeribile equante ma dall’altra restavano cerchi che si sommavano a cerchi (si sono però ridotti a 34) e con la Terra che in qualche modo è determinante per i moti dei pianeti interni. Come ricorda Dreyer, Kepler osservò che se Copernico avesse avuto più fiducia in sé piuttosto che muoversi sulle orme di Tolomeo, avrebbe fatto cose eccelse. Ma Copernico, come disse a Retico, era cosciente dell’enorme lavoro che occorreva fare per accordare completamente la teoria con le osservazioni.

    Vediamo ora alcune difficoltà del sistema di Copernico. Intanto, come accennato esso non è eliocentrico perché non è il Sole al centro dell’universo. Più correttamente si può definire eliostatico. E’ vero che con questo sistema il moto retrogrado dei pianeti si risolve facilmente ed è anche vero che ora si dispone di una base per la determinazione delle distanze dei pianeti dal Sole e dalla Terra (lo dico tra parentesi: è certo che da questo momento i principi d’inerzia e di relatività sono al primo punto da dover risolvere per rendere accettabile il sistema copernicano). Riguardo alla pretesa maggiore semplicità di questo sistema rispetto a quello tolemaico, essa esiste solo se si considera lo schemino esemplificativo di cerchi concentrici. In realtà, eliminati gli equanti, occorre anche qui mantenere epicicli e deferenti per rendere conto delle orbite planetarie che non sono circolari e la simile complicazione si può osservare dal confronto delle figure seguenti. In A

Da I. B. Cohen.

è rappresentato il sistema tolemaico, in B quello copernicano. Senza entrare in spiegazioni complesse si vede che nei due sistemi occorre studiare e tener conto di varie circonferenze. Nella figura seguente si mostra che, in alcuni casi, vi è addirittura identità di trattazione, previo un mero scambio di ruoli tra Terra e Sole.

Da M. Boas. Nel sistema copernicano C è il Sole centro del sistema; B è la Terra; E un pianeta esterno. Nel sistema tolemaico C è la Terra; D è il Sole; E il centro dell’epiciclo del pianeta; P il pianeta. La linea che congiunge la Terra al pianeta, nel secondo caso, sarà parallela alla linea che congiunge la Terra al pianeta nel primo caso. L’angolo tra questa linea e la linea Terra-Sole sarà lo stesso in entrambi i sistemi. Di conseguenza la posizione apparente del pianeta è la stessa.

    Copernico fu molto ammirato. Gli avevano dato un epiteto non da poco, secondo Tolomeo. Ma le sue idee non trovarono immediatamente seguaci  a parte poche unità di neoplatonici, oltre Retico, in Germania, Thomas Digges(9) in Gran Bretagna, nessuno in Francia, Giordano Bruno, Giovanni Battista Benedetti, Francesco Patrizi (ed in genere tutti i filosofi della natura) in Italia. Non vengono pubblicati commenti, esposizioni e/o divulgazioni sul sistema di Copernico. Le ragioni di ciò trovano concordi gli storici in due fattori fondamentali: l’autorità di Aristotele difficile da scalzare e la Rivelazione che crea una grande paura in tutti ed infatti vi fu  l’immediata reazione del domenicano Giovanni Maria Tolosani, con entrature nel Sacro Palazzo, che mise in guardia contro Copernico (De veritate Sacrae Scipturae, 1546) e  quindi del gesuita padre Clavius (1537 – 1612) del Collegio Romano  (1581) che reiterò i pretesi pericoli delle posizioni copernicane (pur essendo Clavius un estimatore di Copernico). Tolosani, in particolare, sosteneva che una scienza inferiore ha bisogno della scienza superiore e Copernico, che risulta abile nella scienza matematica e astronomica, è difettoso nelle scienze fisiche e dialettiche, ed è imperito nelle Scritture. Questo testo lo lesse con attenzione il sodale e spregevole domenicano Tommaso Caccini che nel 1614 si scagliò con violenza contro Galileo e Copernico.

    Le chiese protestanti condannarono subito Copernico ma non intervennero sul piano dottrinale perché ritenevano evidenti e sufficienti gli argomenti fisici contrari al moto della Terra (e il fiammingo Simon Stevin lo affermò con chiarezza parlando, sul piano fisico, delle assurdità e delle complicazioni di Copernico che richiederebbero negli allievi astrazioni alle quali non sono abituati. Si tenga conto che ciò convinse gli stessi simpatizzanti di Copernico a continuare ad insegnare Tolomeo). Vi era anche una sorta di stato d’animo di chi si sente privato di sicurezze. Un conto è pensarsi stabilmente fermi, altro l’andarsene in giro a grandi velocità in giro per lo spazio. La perdita della centralità per la Terra e quindi per l’uomo deve aver giocato molto in termini psicologici. Tale centralità era anche legata all’unicità dell’uomo e quindi del racconto della Genesi. Inoltre questa costruzione faceva a meno del Primo motore, di quel motore immobile individuato in Dio che Tommaso aveva sistemato lì. La gerarchia dei costituenti l’universo crolla come sta crollando l’immutabile gerarchia sociale: la nobiltà ed il celro stanno per cedere completamente il passo alla borghesia. Tutto ora crollava e da queste macerie si poteva partire con grande pragmatismo per ricostruire su basi radicalmente differenti. E tal cosa la scienza riesce sempre a farla perché è nella sua natura ma non può farla la teologia.

GIORDANO BRUNO

    Chi scosse la coscienza dell’Europa intera assegnando una valenza molto superiore alla teoria copernicana, fu Giordano Bruno(1548 – 1600). Non nascondo la mia profonda ammirazione per questo grande personaggio, uno dei principali sostenitori di tutti i tempi del libero pensiero contro l’oppressione oscurantista. Di Bruno ho già parlato e scritto molto e qui dico l’essenziale rimandando a questi scritti che si possono trovare qui e qui, scritti nei quali vi è anche la biografia di Bruno.

    Il primo grande merito che va ascritto al fecondissimo pensatore di Nola è di aver propagandato, con forti argomenti e, per la verità, con l’aggiunta di molte idee originali, il copernicanesimo per tutta Europa. I contributi spettanti a Bruno, nella descrizione copernicana del mondo, riguardano prima di tutto il problema dell’infinità dell’universo e della pluralità di mondi e di soli.

    Egli prende le mosse da una critica serrata al concetto aristotelico di luogo ed al vecchio problema dell’ottava sfera. Come abbiamo visto, luogo è per Aristotele il limite adiacente al corpo contenente. Bruno osserva subito che mettendo insieme i due concetti che vogliono la finitezza del mondo insieme al fatto che al di là dell’ottava sfera non c’è nulla, si deve ricavare che il mondo è contenuto dal nulla. Dice Bruno (La cena delle ceneri, Londra 1584):

Se tu dici che non v’è nulla, il cielo, il mondo, certo, non sarà in parte di alcuna

ed aggiunge invece che:

Se il luogo non è la superficie ma un certo spazio, nessun corpo né alcuna parte del corpo, sia che il medesimo sia grandissimo o minimo, finito o infinito, sarà senza luogo.

Qual è allora il luogo-spazio per Bruno?

Uno è il loco generale, uno il spacio immenso che chiamar possiamo liberamente vacuo; in cui sono innumerabili ed infiniti globi, come vi è questo in cui vivemo e vegetamo noi. Cotal spacio lo diciamo infinito, perché non è raggione, convenienza, possibilità, senso o natura che debba finirlo… si diffonde per tutto, penetra il tutto ed è continente, contiguo e continuo al tutto, e che non lascia vacuo alcuno; eccetto se quello medesimo, come in sito e luogo in cui tutto si muove, e spacio in cui tutto discorre, ti piacesse chiamar vacuo, come molti chiamorno.

Ed ancora:

Uno dunque è il cielo, il spacio immenso, il seno, il continente universale, l’eterea regione per la quale il tutto discorre e si muove. Ivi innumerevoli stelle, astri, globi, soli e terre sensibilmente si veggono, ed infiniti raggionevolmente si argumentano. L’universo- immenso ed inifinito è il composto infinito che resulta di tal spacio e di tanti compresi corpi

Conseguenza immediata di tale concezione di spazio è da una parte il rifiuto della sfera delle stelle fisse:

Non son più né altramente fisse le altre stelle al cielo, che questa stella, che è la terra, è fissa nel medesimo firmamento, che è l’aria,

e dall’altra il rifiuto di ogni luogo privilegiato:

dimando se questo spacio che contiene il mondo, ha maggiore aptitudine di contenere un mondo, che altro spacio sia oltre,

cosicché l’universo copernicano solo per caso è qui e non altrove e quindi non c’è alcun motivo di considerarlo centro così come nessun altro sole va considerato come centro dell’universo. Si ha quindi a che fare con un universo infinito e popolato di infiniti mondi. In questo universo nessun luogo ha un privilegio particolare rispetto ad un altro. Vi sono infiniti soli ma vi sono anche infiniti pianeti e tra questi ve ne sono molti popolati.
    Certamente questo universo che parte da Copernico, avanza di molto lo spunto da cui era nato. In esso non c’è più quasi niente della vecchia tradizione aristotelica, neanche le sfere cristalline su cui erano incastonati i corpi celesti, poiché Bruno, dapprima con considerazioni diverse e poi da alcune scoperte di comete(10) di Tycho Brache (che vedremo subito dopo), argomentò l’impossibilità, appunto, della loro esistenza. Non c’è nulla da dire, le cose sostenute da Bruno hanno un notevole fascino ed una suggestione che si farà sentire molto, soprattutto dopo le scoperte galileiane col telescopio.

    Tra le altre molteplici cose, Bruno mette anche in discussione il fatto che le stelle siano «fisse». Egli dice:

Quindi accade quello errore, come a noi, che dal centro de l’orizonte, voltando gli occhi da ogni parte, possiamo giudicar la maggior e minor distanza da, tra, ed in quelle cose, che son più vicine, ma da un certo termine in oltre tutte ne parranno equalmente lontane; cossi, alle stelle del firmamento guardando, apprendiamo la differenza de’ moti e distanze d’alcuni astri più vicini, ma gli più lontani e lontanissimi ne appaiono immobili, ed equalmente distanti e lontani, quanto alla longitudine … Dunque che noi non veggiamo mollti moti in quelle stelle, e non si mostrino allontanarsi ed accostarsi l’une da l’altre, e l’une all’altre, non è perché non facciano cossi quelle come queste gli lor giri; atteso che non è raggione alcuna, per la quale in quelle non siano gli medesimi accidenti che in queste, per i quali medesimamente un corpo, per prendere virtù da l’altro, debba muoversi circa l’altro. E però non denno esser chiamate fisse perché veramente serbino la medesima equidistanza da noi e tra loro; ma perché il lor moto non è sensibile a noi. Questo si può vedere in esempio d’una nave molto lontana, la quale, se farà un giro di trenta o di quaranta passi, non meno parrà che la stii ferma, che se non si muove;se punto. Cossi, proporzionalmente, è da considerare in distanze maggiori, in corpi grandissimi e luminosissimi, de’ quali è possibile che molti altri ed innumerabili sino cossi grandi e cossi lucenti come il sole e di vantaggio. I circoli e moti di quali molto più grandi non si veggono; onde se in alcuni astri di quelli accade varietà d’approssimanza, non si può conoscere, se non per lunghissime osservazioni; le quali non son state cominciate, né perseguite, perché tal moto nessuno l’ha creduto, né cercato, né presupposto; e sappiamo che il principio de l’inquisizione è il sapere e conoscere, che la cosa sii, o sii possibile, e conveniente”, e da quello si cave profitto.

    Si osservino le ultime cose” che Bruno dice. Sono significative perché descrivono bene il «metodo» di Bruno: egli fa un’ipotesi ed attende poi verifiche sperimentali (le osservazioni); inoltre le osservazioni discendono da preesistenti giudizi e concezioni. Oltre a ciò Bruno ha modo di negare l’esistenza di ogni sorta di sfera cristallina:

Questi corpi mondani si muovono nell’eterea regione non affissi o inchiodati in corpo alcuno più che questa terra, che è un di quelli, è affissa.

    Infine elimina l’aristotelico «motore immobile» affermando che: «il primo principio non è quello che muove; ma, quieto ed immobile, da’ il poter muoversi».

    Bruno era certamente influenzato dalle opere dei grandi dell’antichità classica che proprio in quegli anni venivano ritrovate in biblioteche in cui erano rimaste sepolte per secoli. Di questi filosofi egli più volte si trova a tessere le lodi, sostenendo:

Sono amputate radici che germogliano, sono cose antique che rinvengono, sono veritadi occulte che si scuoprono: è un nuovo lume che, dopo lunga notte, spunta all’orizzonte ed emisfero de la nostra cognizione, e a poco a poco s’avvicina al meridiano de la nostra intelligenza

e certamente il riconoscimento di Bruno servì, come sostiene Kuhn, a scoprire e a spiegare l’affinità esistente tra la filosofia antica e quella moderna tra l’altro perché “il vuoto infinito degli atomisti forniva una dimora naturale al sistema solare copernicano o piuttosto a molti sistemi solari” (Kuhn).
    Il riconoscimento dell’affinità propagandata da Bruno servì alla trasformazione del cosmo copernicano finito in un universo infinito e multipopolato. In questo nuovo universo si sentiva il bisogno di una nuova fisica e Bruno avvertì ciò cominciando ad argomentare soprattutto riguardo a problemi cinematici e dinamici a sostegno della Terra in moto intorno al Sole. Per ciò che ci interessa più direttamente, egli svolse una grossa mole di lavoro, soprattutto per chiarire e risolvere alcuni problemi che più gli stavano a cuore: quelli che riguardavano la relatività della posizione, del moto e perfino del tempo e delle lunghezze. D’altra parte queste convinzioni relativistiche sono alla base anche della sua concezione dell’universo.
    Per Bruno l’affermare l’inesistenza di un centro per l’universo equivale a dire che non c’è nessun punto in cui si possa dare una descrizione particolare dell’universo stesso. A soccorrerlo su questa strada erano osservazioni naturali che si potevano effettuare sulla Terra. Queste osservazioni erano per lo più tratte dalla vita marinara, così come lo saranno per molti contemporanei, in particolare per Galileo, perché la navigazione aveva avuto enormi sviluppi in quell’epoca di grandi viaggi.
    Secondo Bruno ci possiamo rendere conto di che cosa significa il descrivere in modo diverso, a seconda di dove lo osserviamo, un avvenimento se solo pensiamo al fatto che da una barca che corre lungo un fiume sono le rive del fiume che sembrano marciare in verso opposto. Inoltre quando, di notte, due navi, con mare perfettamente calmo, cambiano la reciproca posizione c’è impossibile capire quale delle due si stia muovendo. Ciò è maggiormente vero se è impossibile vedere la costa, ed inoltre, per la verità, non siamo neanche in grado di dire se tutte e due insieme esse si stiano muovendo. Volendo poi riguardare le cose più in dettaglio, se ambedue le navi mantenendo fissa la loro posizione reciproca, si spostano, noi non siamo in grado di percepire questo movimento. In questo caso il moto e la quiete si equivalgono.
    E fin qui le argomentazioni portate sono abbastanza in linea con altri filosofi naturali del tempo di Bruno. Per quanto riguarda cioè il principio cinematico di relatività non ci sono problemi che alcuno possa porre. Ma Bruno fa un grande passo in avanti estendendo il principio di relatività alla dinamica. Questa cosa non era certamente facile perché per la sua soluzione doveva in qualche modo essere dato il principio d’inerzia. Ma Bruno lo intuì anche se partendo dalle considerazioni dell’impetus, per cui “la pietra porta con sé la virtù del motore“.

    Cerchiamo di capire qual era la difficoltà che Bruno doveva superare.

    Secondo la fisica aristotelica ed anche secondo gli scolastici e comunque coloro che contestavano il copernicanesimo, tutte le esperienze dinamiche che uno può pensare o fare sulla Terra, portano inevitabilmente ad affermare che la Terra stessa è ferma. E’ evidentemente la dinamica aristotelica priva di principio di inerzia, alla base di questa erronea conclusione. Bruno parte anche qui da un’osservazione tratta dalla vita marinara. Egli suppone di avere una nave che marci a gran velocità. Su questa nave un marinaio getta un grave dall’alto dell’albero maestro. Questo grave cadrà con una traiettoria perpendicolare al piano della nave, mantenendosi parallelo all’albero, ed andando a finire ai piedi di esso. Tutto ciò andrà in modo non differente da quando la nave è ferma. Allo stesso modo, osserva Bruno, quando la nave, ora vista, è in corsa, se qua1cuno spicca un salto a piedi pari ricadrà esattamente dove era prima di saltare. In definitiva, secondo Bruno:


le cose che hanno fissioni o simili appartenenze alla nave, si muovono con quella e se così non fosse, come abbiamo detto: quando la nave corre per il mare, giammai alcuno potrebbe trarre per diritto qualche cosa da un canto di quella all’altro, e non sarebbe possibile che uno potesse fare un salto, o ritornare co’ piè, onde li tolse.
 

    Certamente Bruno non possedeva i concetti di moto rettilineo uniforme, di accelerazione od altro di simile, ma certamente nelle cose ora viste c’è un abbozzo del principio dinamico di relatività che verrà poi formulato con maggiore precisione da Galileo. Egli comunque insiste ancora sul concetto che tutti gli oggetti hanno la velocità del corpo che li trasporta portando un’altra esperienza ideale a sostegno della sua tesi e sviluppando, quindi, con maggiore precisione i problemi connessi con i moti relativi. Bruno suppone che una barca, trasportata dalla corrente di un canale, marci velocemente vicinissima alla sponda. Sulla nave c’è un certo osservatore O e sulla riva un osservatore O’. Ambedue gli osservatori tengono le braccia tese: O verso la riva e O’ verso la nave. Ciascun osservatore ha nella mano una palla di ferro. Appena O e O’ passano a sfiorarsi con le mani, lasciano cadere la palla di ferro che hanno in mano, in modo che ambedue le palle cadano sulla coperta della nave. Cosa osserva O dalla nave? La palla che egli ha lanciato è caduta perpendicolarmente sulla coperta della nave. Mentre la palla lasciata da O’ ha seguito, per O, una traiettoria obliqua tant’è vero che è più indietro rispetto a quella lasciata da O. Pare incredibile, ma qui Bruno riesce e ribaltare il problema. Con una notevole capacità di persuasione, fa capire che cambiando punto di osservazione è sulla terra ferma che si hanno deviazioni dalla caduta al suolo lungo una traiettoria verticale; su una nave, invece, anche se è in moto, le cose vanno come se essa stesse “ferma”. In definitiva per Bruno la palla che O fa cadere non è dotata solo del moto di caduta ma anche di un moto orizzontale che ha anche quando si stacca dalla mano perché mantiene “la virtù del motore” e non perché c’è qualche sorta di spinta che l’aria dà come sosteneva Aristotele.

    In definitiva Bruno fu il più grande propagandatore di Copernico per tutta Europa e fu anche colui che mise in profondo allarme la Chiesa sul potenziale distruttivo per il tomismo del copernicanesimo. La  messa in discussione di un punto di quel sistema avrebbe fatto crollare tutta la base filosofica colta che sorreggeva la Chiesa medesima e che, in modo assolutamente incomprensibile, continua ancora a sostenere.
 

TYCHO BRAHE

        Anche per Tycho inizio con una biografia brevissima. Tycho Brahe (1546 – 1601) nacque a Knudstrop, in Danimarca, nel 1546. È il giovane discendente di una famiglia nobile e ricca, piuttosto disinteressata alla scienza ed alla cultura in genere (come l’intera nobiltà danese). Il giovane Tycho invece iniziò subito ad appassionarsi all’astronomia (fu l’eclisse di Sole del 1560 che lo colpì profondamente) affascinato dall’idea che questa scienza permettesse di studiare e prevedere i moti dei pianeti. A soli 13 anni, nonostante l’opposizione della famiglia  

(non era ritenuto degno di un nobile lostudiare) e con l’unico appoggio di uno zio, entrò all’Università di Copenaghen per studiare lettere. Ma l’eclisse gli fece cambiare idea ed egli passò subito allo studio dell’Astronomia e di quanto gli poteva servire a sostegno della sua grande passione. Proseguì i suoi studi a Lipsia, Wittenberg, Rostoch ed a Basilea. Nel 1563 fece la sua prima osservazione celeste importante: la congiunzione Giove – Saturno. Fu allora che iniziò a rendersi conto della non esattezza delle tavole astronomiche di cui si disponeva: rispetto alle “Tavole Prussiane” (elaborate da Reinhold) del 1551 questa congiunzione doveva aver luogo con una differenza di svariati giorni, differenza che diventava di un mese rispetto alle “Tavole Alfonsine” del XII secolo. Ed in quegli anni altri studiosi si erano sempre più convinti che occorresse una seria revisione delle tavole astronomiche. Molti procedettero con correzioni alle tavole esistenti. Tycho invece si rese conto della necessità di ricominciare a costruire tavole con osservazioni completamente nuove con tecniche e metodi di osservazione diversi e più accurati. Mentre per Copernico un errore di 10 minuti era accettabile, per Tycho si inizia a ragionare in termini di frazioni di minuto e per far ciò non bastano le buone intenzioni ma strumenti molto più avanzati. Nel 1572 egli osservò una nuova stella nella costellazione di Cassiopea. Ciò gli valse l’ammirazione ed il successivo sostegno economico del re Federico II. Questi gli regalò una piccola isola, Hveen, sulla quale finanziò la costruzione di un edificio, Uraniborg, progettato da Thyco,

L’isola di Hveen

L’osservatorio di Uraniborg

L’osservatorio di Uraniborg. Si noti che l’osservatore è seduto su una sedia di marmo fissa al suolo e che l’osservazione veniva fatta sulla fetta di cielo che andava passandogli davanti attraverso la piccola fessura in alto a sinistra.

Due strumenti utilizzati da Thyco

per l’osservazione del cielo. Con le rendita assicuratagli dal re, Thyco, oltre a circondarsi di una trentina di collaboratori, fece costruire apparecchiature avanzatissime e di grandi dimensioni, fermo restando che le osservazioni avvenivano ad occhio nudo. Non è che vi fossero strumenti nuovi dal punto di vista dei principi. Erano appunto le grandi dimensioni di essi che riducevano di molto gli errori nelle osservazioni (una piccola deviazione di un millimetro nella lettura di uno strumento si traduceva in errori di vari minuti nella posizione dell’oggetto osservato). Egli si dotò di un quadrante che aveva un raggio di 6 metri, di una sfera armillare del diametro di 5,5 metri, di un sestante di quasi due metri di raggio,… Altra novità era relativa al fatto che gli strumenti erano fissati al luogo dove erano situati, allo stesso modo che la sedia di marmo che serviva per l’osservazione. Anche della stabilità si preoccupò Tycho ed in questo senso vari strumenti li sistemò in sotterranei (come l’osservatorio di Stjerneborg, costruito successivamente da Thyco). L’ostacolo maggiore era la misura del tempo ed egli si affidò a clessidre a mercurio: il peso del mercurio che usciva da un piccolo foro gli forniva la misura del tempo. Utilizzò il piombo in polvere ma questo elemento lo deluse. Fece costruire anche grandi orologi uno dei quali marcava anche i secondi con la sua ruota principale che aveva un metro di diametro e 1200 denti; il problema era però la mancanza della conoscenza delle proprietà del pendolo come regolatore del moto (a questo proposito sarà fondamentale il contributo di Galileo ed Huygens). L’osservatorio di Uraniborg fu terminato nel 1580 ed in esso Thyco

L’osservatorio di Uraniborg (castello del cielo) visto dall’alto (da http://www.vialattea.net )

L’edificio costruito successivamente da Thyco, Stjerneborg (castello delle stelle) (da http://www.vialattea.net )

Sezioni dei due laboratori di Thyco (da http://www.vialattea.net )

lavorò incessantemente per 17 anni consecutivi. Durante questo periodo si sposò con una non nobile, Cristina, e la cosa fu duramente osteggiata da tutta la nobiltà danese. Ma lo stesso re venne in sostegno di Thyco. E così, con Cristina, Thyco ebbe ben 8 figli. I problemi di Thyco iniziarono con la morte nel 1588 di Federico II. Molte invidie di nobili lo costrinsero ad abbandonare il suo osservatorio (1597). Egli si recò in Bohemia dove poté godere, per poco tempo ancora, della protezione di Rodolfo II che gli trovò una degna sistemazione a Praga come matematico imperiale. Egli riuscì comunque a portarsi dietro tutti i suoi manoscritti ed anche parte dei suoi collaboratori, ai quali se ne aggiunsero altri, tra i quali Kepler. Si spense all’età di 55 anni per essere persona educata che non si alzò da tavola per non mancare di rispetto, anche se gli era esplosa la vescica.

    Scrisse: De Nova et Nullius Aevi Memoria Prius Visa Stella (Copenhagen, 1573); De Mundi Aetherei Recentioribus Phaenomenis (Uraniborg, 1588); Astronomiae Instauratae Mechanica (Wandsbeck, 1598); Astronomiae Instauratae Progymnasmata (Praga 1602).

CONTRIBUTI DI THYCO ALLO SVILUPPO DELL’ASTRONOMIA

      Non vi è dubbio che Thyco sarà sempre ricordato per la immensa quantità di osservazioni fatte con la migliore strumentazione disponibile descritta nella sua Astronomia instauratae mechanica del 1598 (tra l’altro a lui si deve l’aver riconosciuto per la prima volta l’influenza della rifrazione atmosferica nelle osservazioni, anche se nello sviluppare tale concetto mise insieme alcuni errori che nascevano dalla non conoscenza dell’atmosfera medesima). Queste osservazioni saranno alla base della costruzione delle nuove tavole astronomiche che saranno pubblicate da Kepler nel 1627 con il nome di Tavole Rudolfine. Egli, oltre alle osservazioni continue delle posizioni dei vari pianeti, elaborò un catalogo delle posizioni di quasi 800 stelle. Detto questo vediamo quali furono le idee cosmologiche di Tycho. Egli partiva da un pregiudizio: la limitatezza dell’universo. Tale pregiudizio, unito alla non osservazione della parallasse stellare lo convinsero a non accettare il sistema copernicano. Se infatti l’universo è relativamente piccolo, le stelle sono “vicine” alla Terra che, secondo Copernico, si muove di moto circolare intorno al Sole. Se il sistema copernicano corrispondesse al vero, osservando le stelle dalla Terra in posizioni diametralmente opposte della sua supposta orbita, si dovrebbe avere il fenomeno di parallasse stellare: osservando cioè le stelle dalla Terra in posizioni diametralmente opposte della supposta orbita, si dovrebbero vedere proiettate sulla volta celeste in posizioni, anche se di poco, diverse. Unendo la stella osservata con quelle due posizioni della Terra si verrebbe a formare un angolo, chiamato di parallasse: Con un universo piccolo, tale angolo deve essere tanto grande da poter essere misurato. Tycho non riuscì a misurarlo e ne concluse che la Terra è ferma. Il problema stava nella enorme distanza di una stella che rendeva quell’angolo così piccolo da non poter essere apprezzato dagli strumenti di cui Tycho disponeva. Occorreranno altri 300 anni perché una tale parallasse potesse venir misurata. Per ammettere la non osservazione della parallasse bisognava ammettere che la distanza delle stelle dalla Terra fosse stata 700 volte la distanza tra Saturno ed il Sole, cosa che a Tycho sembrò impossibile. Questo fatto lo portò ad elaborare un nuovo sistema astronomico, ibrido tra quello tolemaico e quello copernicano. La Terra risulta immobile al centro dell’universo mentre la Luna ed il Sole gli girano intorno. I pianeti, invece, ruotano tutti intorno al Sole (vedi figura). Un tale sistema ebbe scarso successo ma servì in qualche modo a far comprendere meglio quello copernicano e risultò l’ultima spiaggia per chi proprio non voleva abbandonare il sistema tolemaico.

Il sistema tychonico (da http://www.vialattea.net )

Il sistema tychonico

    È interessante  anche qui vedere quali sono i motivi che Tycho addusse contro il moto della Terra, oltre quello per lui probante della non osservazione della parallasse. Intanto la sua fede nella Bibbia era ferrea. Inoltre non riusciva a concepire “una Terra grave e pigra muoversi nello spazio“. Vi era poi la questione degli oggetti lasciati cadere da una torre che proprio non volevano saperne di discostarsi dalla verticale. Ed infine il fatto che egli non riusciva proprio a concepire i tre moti che la Terra avrebbe dovuto avere secondo Copernico. Vediamo invece dove un tale sistema aiuta all’affermazione di quello copernicano. Si può subito rendersi conto che nel suo sistema astronomico l’orbita del Sole interseca quelle di Mercurio, Venere e Marte. Ciò comporta in ogni modo la distruzione delle sfere cristalline aristoteliche dove tali pianeti sarebbero stati incastonati. Egli si rende conto di ciò e sarà il primo a trasformare il significato del termine latino ‘orbis‘ da quello di sfera a quello di orbita. Questo fatto non è per nulla banale, ma dirompente. Infatti le sfere cristalline sostengono i pianeti a determinate distanze relative; quando le sfere vengono meno cos’è che sorregge i pianeti ? A partire da questo momento è aperto il problema dell’individuazione delle forze che agiscono nella dinamica planetaria. Un appunto solo prima di terminare con Tycho è relativo agli oroscopi, a quella pratica che ha riguardato e riguarderà la maggior parte degli astronomi dell’antichità. Egli sosteneva, a sostegno di essi che: “Il Sole, la Luna e le stelle bastano per i nostri usi. Sarebbe inutile mettere insieme i pianeti in una marcia maestosa, regolati da loro belle leggi, se non avessero un’utilità propria e diretta che è l’oggetto dell’astrologia“. In altra parte sostiene che anche le comete devono avere una qualche influenza sulle vicende terrene, perché la natura non fa nulla invano. Infine avanza la strana idea che le stelle hanno la virtù di stimolare le forze dei pianeti.

Un oroscopo fatto da Thyco

    Nello stesso anno della morte di Tycho, Kepler scriveva al suo amico Maestlin (20 dicembre 1601) dicendo:

L’opera più importante di Tycho sono le sue osservazioni, altrettanti grossi volumi che annate impiegate in questo lavoro […] Puoi vedere in qual modo Dio dispensi i suoi doni. Nessuno può tutto. Tycho ha fatto come Ipparco, ha gettato le fondamenta dell’edificio e ha compiuto un lavoro enorme. Questo Ipparco aveva bisogno di un Tolomeo che edificasse, su quella base, le teorie degli altri cinque pianeti. Io l’ho fatto mentre egli era ancora in vita.

JOHANN KEPLER

      Kepler (1571 – 1630) nacque a Weil der Stadt in Württemberg nel 1571. La sua famiglia era protestante e di modeste condizioni economiche. Dal 1579 studiò a Tubinga dove divenne un seguace di Copernico. La tentazione dell’epoca di seguire una carriera ecclesiastica fu rifiutata da Kepler perché si rese immediatamente conto della ristrettezza delle visuali del clero luterano. Scelse lo studio della scienza accettando (1594) l’incarico di soprintendente di matematica della Stiria ed insegnò a Graz (ma sembra che la matematica non fosse il suo forte: gli alunni disertavano le sue lezioni), “arrotondando”, come quasi tutti gli astronomi dell’epoca, facendo oroscopi e predizioni (e poiché qualche predizione si avverava, venne preso in considerazione come buon astrologo).

    Nel 1595, all’età di 24 anni, pubblicò la sua prima opera, il “Mysterium Cosmographicum“, con la quale credette di aver svelato i segreti del sistema planetario. In realtà ciò che aveva fatto era la scoperta che vi sono una mole di ragioni per abbandonare il sistema tolemaico e per abbracciare quello copernicano, ragioni però molto tecniche che non rappresentavano comunque alcuna “prova”, almeno agli occhi del grande pubblico. Il Mysterium fu mandato sia a Tycho che a Galileo ma aveva un grave difetto, soprattutto se visto con gli occhi di un personaggio che è uscito dalle pastoie del misticismo, della numerologia, della magia, dell’animismo e dell’ermetismo: è intriso di tutte le cose dette in modo esasperato, tanto che oggi ci vuole davvero uno sforzo di ottima volontà a rintracciare i contributi scientifici originali, che pure vi sono. Un esempio lampante di ciò che dico è il breve rapporto epistolare che Galileo intrattenne con Kepler. Si scrissero nel 1597 (mentre Galileo si trovava a Padova); ambedue confidarono il loro essere copernicani; Kepler apertamente, Galileo titubante perché non si azzardava ad avanzare una qualche teoria senza avere delle sensate esperienze e dimostrazioni a sostegno di essa. Ma la lettura di queste lettere, specialmente quella di Galileo a Kepler dell’agosto 1597 (in cui Galileo si mostra entusiasta del lavoro di Kepler) e quella di Kepler a Galileo dell’ottobre dello stesso anno, mostra due caratteri diversi, Galileo che faticosamente tentava di uscire dal 1500, Kepler che, pur muovendosi con idee “moderne”, era pienamente impantanato in quel clima. Sta di fatto che Galileo provava quasi fastidio a leggere gli scritti del suo collega, noiosi, contorti, difficili e prolissi, scritti dai quali si faceva una enorme fatica a ricavare qualcosa di utile. Vi sono inoltre moltissimi calcoli errati che poi si sistemano compensandosi fortunosamente. La differenza tra i due si nota facilmente leggendo un qualunque brano di Kepler e confrontandolo con un qualunque brano di Galileo. E questo anche per rispondere a qualche critico che, oggi, rimprovera a Galileo di non aver tenuto conto dell’ellitticità delle orbite planetarie che Kepler aveva scoperto.

       Ma veniamo ad alcune delle cose che fanno da spessa cornice ai contributi scientifici di Kepler. Innanzitutto la mistica dei numeri governa il mondo. Si tratta di immaginare un mondo di orbite che si incastrano alternativamente con i cinque solidi regolari (vedi figure). Si inizia con la sfera di Saturno che è circoscritta ad un cubo; nel cubo è inscritta la sfera di Giove che, a sua volta, è circoscritta ad un tetraedro; questo tetraedro è circoscritto alla sfera di Marte che, a sua volta, è inscritta in un dodecaedro; al dodecaedro, per circoscrizioni ed inscrizioni successive, segue la sfera della Terra, l’icosaedro, la sfera di Venere, l’ottaedro, la sfera di Mercurio, quindi il Sole al centro dell’intero sistema (si osservi che, per permettere l’eccentricità delle orbite ellittiche che Kepler scopre, occorre ammettere che ogni sfera abbia uno spessore tale da poter contenere appunto l’eccentricità dell’orbita). 

Dal Mysterium Cosmographicum (II edizione, Tubinga 1597). In alto a destra  è riportata in dettaglio la parte più interna della figura grande.

Un disegno che mostra le successive inscrizioni di solidi regolari e sfere

Da Harmonices mundi

       I conti, con i dati osservativi di Copernico e, soprattutto, con l’enorme mole di quelli di Tycho, gli tornavano in modo abbastanza approssimato. È poi interessante osservare che anche numero di pianeti e di solidi erano in accordo. Ancora non si conoscevano i pianeti al di là di Saturno. E mentre i pianeti sono cresciuti di numero, i solidi regolari sono restati 5. Ma tant’è. Egli diceva:

 Io mi impegno a dimostrare che Dio, nel creare l’Universo e nel regolare l’ordine del cosmo, aveva in vista i cinque corpi regolari della geometria, così come sono conosciuti dai tempi di Pitagora e Platone, e che Egli ha stabilito, in accordo con le loro dimensioni, il numero dei cieli, le loro proporzioni e le relazioni dei loro movimenti.

    Ed in accordo con Pitagora e Platone vi è una visione dell’Universo intrisa di misticismo. Il Sole è Dio Padre e per questo merita di stare al centro dell’Universo; la Sfera delle stelle è il Figlio mentre l’Etere, attraverso cui lo spirito del Sole muove i pesanti pianeti, è lo Spirito Santo. Inoltre, riprendendo temi che già erano stati di Hermes Trismegisto e Marsilio Ficino, afferma:

Il Sole è il corpo più bello, è l’occhio del mondo. In quanto fonte della luce o lanterna risplendente, adorna ed abbellisce gli altri corpi del mondo… Per quanto riguarda il calore, il Sole è il focolare del mondo… La sfera delle stelle fisse trattiene il calore affinché non si disperda ed è simile ad una parete, ad una pelle o ad un abito del mondo… Il Sole è l’unico luogo che noi giudicheremmo degno di Dio altissimo, qualora egli si compiacesse di avere una dimora materiale e scegliesse un luogo in cui abitare con gli angeli benedetti… Il Sole è l’unico luogo degno di diventare la casa di Dio.

     Ma i numeri e la geometria forniscono a Kepler argomenti contro l’infinità dei mondi sostenuta da Bruno. Dice Kepler:

La geometria è una ed eterna, splendente nella mente di Dio… Nella geometria poi, dopo la sfera vi è una famiglia di figure che è la più perfetta di tutte, quella dei cinque corpi solidi euclidei. Ebbene questo nostro mondo planetario è disposto secondo la regola ed il modello di questi solidi [descritti più su]… A quale scopo sarebbero infiniti, se ciascuno racchiudesse in sé ogni perfezione [come questo nostro] ?”

      Il Libro V di “Harmonices Mundi“, che Kepler pubblicò nel 1619 e che contiene l’enunciato della sua terza legge, ha questo indice:

1 – Sulle cinque figure solide regolari.

2 – Sulle affinità tra esse ed i rapporti armonici.

3 – Compendio sulla dottrina astronomica necessaria per speculare sulle armonie celesti.

4 – In quali cose pertinenti ai moti planetari le semplici consonanze sono state espresse e che tutte quelle consonanze che sono presenti nel canto si trovano nei cieli.

5 – Che le chiavi della scala musicale, o gradi del sistema, e i generi delle consonanze, il maggiore e il minore, sono espressi in certi moti.

6 – Che i singoli Toni e Modi musicali sono in qualche modo espressi dai singoli pianeti.

7 – Che i contrappunti o armonie universali di tutti i pianeti possono esistere ed essere diversi l’uno dall’altro.

8 – Che i quattro tipi di voci sono espressi nei pianeti; soprano, contralto, tenore e basso.

9 – Dimostrazione che al fine di garantire questa armonica disposizione, quelle vere eccentricità planetarie che qualunque pianeta ha come proprie, e non altre, devono essere stabilite.

10 – Epilogo relativo al Sole, per mezzo di molto fertili congetture.

 

Una pagina di Harmonices Mundi

Un oroscopo fatto da Kepler

      E tutta questa impalcatura musicale gli serve per mostrare che i pianeti ruotando intorno al Sole, cantano le lodi del Signore. È un canto eterno ed intonato. Noi non riusciamo a sentirlo ma esso è dato dai rapporti speciali che esistono tra velocità e distanze dei pianeti dal Sole. Ogni pianeta ha una sua melodia (vedi figura) e la Terra, in particolare percorre la sua orbita intonando eternamente un MI-FA-MI e da questo Kepler conclude che “da questo si può capire che la MI-seria e la FA-mine regnano dovunque in questo mondo“.

La scrittura delle note da parte di Kepler in Harmonices Mundi

Da I. B. Cohen.  La traduzione delle note precedenti nei simboli a noi noti.

      L’universo di Kepler resta finito e sostanzialmente aristotelico, nonostante le fondamentali novità introdotte e di cui dirò alla fine di questo scritto.

     Concludo questa parte relativa al tormentato misticismo di Kepler con due considerazioni che fece nel 1610 quando fu informato della scoperta di Galileo dei satelliti di Giove. Inizialmente ebbe un sussulto ed esclamò: “Che abbia avuto ragione Bruno?“. Quindi scrisse: “Perché [tali satelliti] dovrebbero ruotare intorno a Giove se su questo pianeta non vi è nessuno a contemplare tale spettacolo?“.

    Ma torniamo alla succinta biografia del nostro astronomo. Lo avevamo lasciato con la pubblicazione del Mysterium nel 1595. Nel 1598 l’Arciduca Ferdinando d’Austria, dopo un pellegrinaggio a Loreto, iniziò una campagna di persecuzione contro i protestanti. Kepler, cacciato dalla Stiria, fuggì e si rifugiò a Praga, luogo dove Tycho esercitava come matematico imperiale al servizio di Rodolfo II di Bohemia. Nel 1600 Tycho lo chiamò a Praga perché gli facesse da assistente. Un anno dopo Tycho moriva e lasciava a Kepler l’enorme eredità di tutti i suoi manoscritti di dati osservativi. Nel 1602, Rodolfo II lo nominò al posto di Tycho (alla cui memoria fu sempre fedele, anche se Galileo non si mostrò d’accordo con questo).

    A parte una piccola opera di ottica del 1604 (Ad Vitellionem paralipomena), Kepler lavorava intensamente ad elaborare i dati di Tycho e nel 1609 pubblicò Astronomia Nova aitiologhtoV seu Physica coelestis (la parola greca che è nel titolo significa che egli non si accontenta di una descrizione cinematica ma intende ricercare anche le cause che producono i fenomeni celesti), opera nella quale, dallo studio delle posizioni di Marte, ricava le prime sue due leggi (orbite ellittiche e costanza della velocità aereolare) solo in questo ambito ristretto.

(1ª legge) Le orbite dei pianeti sono delle ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi (questa legge fu stabilita da Kepler nel 1605).

(2ª legge) Le aree spazzate dal segmento che unisce un pianeta con il Sole (raggio vettore) sono proporzionali ai tempi impiegati a spazzarle (questa legge fu la prima ad essere trovata da Kepler nel 1602).

    E’ interessante notare che Kepler studiò per molti anni i suoi dati su Marte perché le osservazioni non si accordavano con nulla ed in particolare facevano vacillare per intero il sistema di Tycho. Ma la sua guerra con Marte la vinse proprio con la scoperta delle due leggi precedenti. Fu successivamente che Kepler si rese conto che queste leggi funzionavano bene anche per gli altri pianeti, con il riconoscimento della correttezza non già del sistema di Tycho ma di quello di Copernico. Riguardo alla scoperta delle orbite ellittiche, le cose stanno pressappoco così. Kepler aveva iniziato con criticare Copernico per non aver fatto coincidere il centro dell’universo con il Sole. Egli riteneva che la forza che muoveva i pianeti provenisse da lì e quindi quello dovesse essere il centro. Ma con alcune misure si rese conto che il centro esatto non era il Sole S ma un centro C spostato (poi individuato come uno dei fuochi dell’ellisse). A questo punto Kepler credeva ancora ad un orbita circolare. Ma i dati lo portavano a sistemare il centro della circonferenza in C e non in S. Il problema era il seguente: perché i pianeti ruotano intorno a C se la forza che li muove procede da S ? Fu qui che Kepler escogitò la soluzione, supponendo che ogni pianeta fosse soggetto a due influenze

contraddittorie: da una parte la forza del Sole ed un altra che doveva essere localizzata nel medesimo pianeta. La concomitanza delle due influenze faceva sì che il pianeta alcune volte si avvicinava ed altre si allontanava dal Sole. Proseguendo in queste considerazioni e con la convinzione che dal Sole emana la forza principale che muove i pianeti, esso doveva agire con maggiore forza sul pianeta quando esso era più vicino e minore quando era più lontano con conseguenze sulle velocità del pianeta, maggiori a più piccola distanza e viceversa. E furono queste ultime considerazioni che Kepler poté verificare con le osservazioni, dalle quali uscì fuori per prima la seconda legge. E questo sembrava più accettabile della distruzione delle circonferenze, anche se, lungo il lungo cammino della Astronomia Nova, alla fine del capitolo 44, deve ammettere che l’orbita di Marte è ovale. E su questo ovale lottò ancora mesi. Finché il 4 luglio 1603 non scrisse all’ amico Fabricius queste parole: se la forma fosse semplicemente una ellisse perfetta, tutte le risposte potrebbero stare nei lavori di Apollonio ed Archimede. Ma dovette ancora lavorare molto per riuscire a trovare una legge matematica che descriveva il moto di Marte intorno al Sole. Ci riuscì dopo anni di interminabili calcoli anche se non si rese conto che quella formula descriveva proprio un’ellisse. Per ironia della sorte questa formula fu rifiutata da Kepler che fece tabula rasa di tutto e ricominciò i suoi calcoli a partire dall’ipotesi che l’orbita fosse ellittica ! Dopo altro periodo di lavoro (in totale 4 anni) si accorse che dove era arrivato era proprio a quella formula che aveva rifiutato.

    Nel 1610 scrisse Dissertatio cum Nuntio Sidereo. Accoglieva con entusiasmo i lavori di Galileo ma, come già detto, non lo convincevano i satelliti di Giove. Sempre nello stesso anno, nella “Narratio“, dopo varie osservazioni al telescopio, darà ragione completa a Galileo.

    Nel 1611 scrisse la Diottrica.

    Nel 1615 scrisse la Stereometria doliorum, un trattato sulla cubatura delle botti che darà un certo impulso a ricerche di analisi infinitesimale.

    Tra il 1618 ed il 1620 pubblicò il ponderoso Compendio di astronomia copernicana nel quale estese le sue due prime leggi a tutti i pianeti. È da notare che questo libro sarà messo all’Indice nel 1632, in occasione del Processo a Galileo. Solo nel 1821 fu tolto da tale Indice.

    Nel 1619 pubblicò un trattato sulle comete ma, soprattutto, le Harmonices Mundi in cui è enunciata la sua terza legge che mette in relazione periodi di rotazione dei pianeti intorno al Sole con distanze di essi dal Sole medesimo.

(3ª legge) I quadrati dei tempi T, impiegati dai pianeti a percorrere la loro orbita, sono direttamente proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle ellissi descritte dai pianeti. 

    Nel 1627 pubblicò le Tavole Rudolfine, che sostituiranno definitivamente le precedenti e che per circa 100 anni saranno la bibbia di astronomi e naviganti. Quest’ultima opera vide la luce ad Ulm. Prima che in questa città egli aveva soggiornato a Linz ma anche da lì dovette fuggire a seguito di ulteriori persecuzioni di protestanti da parte dei cattolici. Le peregrinazioni che dovette affrontare in quell’epoca per tentare di vedere riconosciuti dei suoi diritti gli minarono la salute. Si spense nel 1630 a Regensburg (Baviera). Ma qui già siamo in epoca moderna nella quale opera o sta per operare: Galileo, Descartes, Huygens, Leibniz, Newton, …. Dal Seicento la scienza ricomincia ad acquistare autorità e a diventare motore di progresso civile e morale nonostante gli ostacoli, a volte criminali, delle varie chiese del mondo.

      È doveroso ricordare che Kepler contribuì molto ad eliminare dal sistema copernicano molte difficoltà e stonature che rappresentavano ancora un retaggio delle filosofia aristotelica e della cosmologia tolemaica. Come Tycho mise in dubbio l’esistenza delle sfere che sostengono i pianeti e iniziò a parlare di “orbite” ed aggiunse anche il fatto che nell’universo non si hanno moti uniformi. Fu il primo a capire che era necessario individuare una causa che rendesse conto di questo moto dei pianeti su determinate orbite, oltre ad aver capito (ed iniziato con ciò ad eliminare le pitagorico-platoniche circonferenze) l’esistenza di orbite ellittiche.

PRIMI PASSI IN FISICA

    La fisica è il capitolo della scienza che più tarda ad affermarsi svincolato da certe tradizioni aristotelico scolastiche. Inoltre, tale capitolo non godeva di importanti eredità dalla scienza classica: escludendo Archimede si aveva a che fare piuttosto con dei tecnici. Vi erano, comunque e come abbiamo visto, varie insoddisfazioni relative alla fisica di Aristotele ma quell’edificio era impressionante per come era tenuto insieme in modo solido. Sembrava inattaccabile,m soprattutto da quando era diventato un quasi dogma per la Chiesa. I tentativi fatti di qualche cambiamento riguardavano o fenomeni nuovi che Aristotele non aveva potuto prevedere o elaborazioni marginali o il problema del moto con tutto ciò che oggi conosciamo come cinematica e dinamica (gli sviluppi dei concetti di massa e peso li ho trattati qui). Su quest’ultimo capitolo la cosa più importante che era stata fatta riguardava la teoria dell’impetus, quindi la messa in discussione del concetto aristotelico di luogo, la prima affermazione della relatività del moto, la scoperta di alcuni teoremi di statica e cose del genere.

    Durante il Cinquecento vi è ancora molto poco da dire sulle novità in fisica le quali riguardano ancora gli argomenti che ho accennato (lo sviluppo storico dell’ottica l’ho trattato qui). E’ evidente che occorrerà aspettare il Seicento, la ricaduta impressionante del lavoro di Copernico che, come ho accennato, descriveva un universo differente senza preoccuparsi del rivolgimento completo che ne conseguiva proprio in termini di fisica. Più il sistema copernicano si faceva strada, più non si capivano bene le leggi del movimento,  e neanche se dovessero esservi o no delle leggi. Prima era tutto finalizzato ed ordinato, ora si aprivano abissi di ignoranza su tutto. Davvero non si capiva da che parte cominciare a descrivere il mondo circostante; era chiara solo la lezione del fare molta attenzione all’empirismo ingenuo. Sarà Galileo che indirizzerà lo studio della natura su binari certi a partire dai problemi che la stessa astronomia poneva.

    I contributi cinquecenteschi alla meccanica sono alcune cose degli italiani Tartaglia, Cardano, Dal Monte, Commandino, Maurolico e  Benedetti (11) e del fiammingo Stevin.

    Nel 1537 Nicolò Tartaglia nel suo libro Nova Scientia, occupandosi di problemi di meccanica e balistica si convinse che la traiettoria di un proiettile risulta curva fin da quando il proiettile lascia la bocca che lo ha sparato, aprendo la strada al problema della composizione dei movimenti. La visione affermata in precedenza era nota come tripartita: tre momenti distinti del moto del proiettile, come mostrato

 in figura. Per Tartaglia il moto violento, quello della prima fase, si incurva a causa della pesantezza del proiettile, fin dall’inizio anche se tale curvatura non riusciamo ad apprezzarla ad occhio. Se così non fosse, nella traiettoria tripartita avremmo a che fare con pezzi di traiettoria rettilinea che, con un angolo, lascia spazio alla

successiva traiettoria rettilinea, una spezzata, insomma. In definitiva Tartaglia richiede che la curva che descrive il moto del proiettile sia continua. Egli resta nell’alveo della tradizione ma non così il modo di presentare le cose che, per la prima volta, subiscono un trattamento di tipo geometrico, alla Euclide. Inoltre egli rifugge da dibattiti filosofici per rivolgersi a coloro che operavano praticamente con le questioni oggetto di discussione.

     Nel 1580 Giovanni Battista Benedetti (1530 – 1590) introdusse il concetto di forza centrifuga in meccanica, dimostrando che un corpo ruotante, lasciato a se stesso, si sposta in linea retta secondo la tangente della traiettoria circolare. Nel far questo fece un grande sforzo di matematizzare le cose che studiava. Più tardi, nel 1585, nel Diversarum speculationum mathematicarum et phvsicarum liber, dimostrò l’indipendenza della velocità di un grave dal suo peso, spiegando l’accelerazione di un corpo cadente con una serie di successivi impeti. Nel far questo mette in discussione le concezioni assolute di Aristotele su peso e leggerezza, sostituendoli con la relatività di peso e leggerezza in funzione della densità dei corpi e del mezzo in cui si trovano. Qui sentiamo chiaramente gli influssi di Archimede che permettono di superare le concezioni di Aristotele. Benedetti è un fiero sostenitore dell’impetus (da lui modificato come qualcosa che esiste in linea retta e non su moti circolari nei quali l’impetus si ritrova solo nell’andarsene un oggetto per la tangente) ed un avversario delle concezioni aristoteliche del moto: il mezzo è sempre un ostacolo e mai un sostegno al moto. Più in generale, per Benedetti la critica ad Aristotele è soprattutto su una cosa: il non aver capito la fondamentale importanza della matematica, un fondamento indistruttibile, nella descrizione della natura. Senza la matematica non si hanno dei riferimenti precisi e, ad esempio, non si capisce se un corpo in caduta acceleri nella misura in cui si avvicini alla meta o nella misura in cui si allontani dal punto di partenza. Insomma Aristotele ha sbagliato tutto con la sua teoria del moto ed ha fatto un errore più grande di tutti negando il vuoto per l’impossibilità di moto o per un moto a velocità infinita in esso. Il moto si avrebbe ugualmente e tale moto sarebbe solo aiutato di quella parte che ora occorre sottrarre come resistenza del mezzo in cui l’oggetto si muove. E la sua critica si estende alla teoria dei luoghi naturali di Aristotele, teoria che comporta la sua falsa cosmologia che prevede inoltre un universo finito. Perché Aristotele dice queste cose false ? Perché non apprezzava la matematica e non capiva il carattere attuale dell’infinito. Se si dispone, infatti, di un segmento esso può essere iterativamente diviso a metà e ciò vuol dire che la molteplicità dell’infinito è tanto reale come quella del finito. Insomma, si vede che siamo già vicini al nuovo secolo. E’ lontano Aristotele tanto quanto è vicino Galileo.

    Nel 1586 il fiammingo Simon Stevin (1548 – 1620) nei Principi di statica enuncia la teoria del piano inclinato (già indagato da Nemorario) e del parallelogramma delle forze, fondamenti della statica moderna. E’ famoso l’apparato di Stevin a proposito dell’equilibrio sui piani inclinati. Stevin lavorava alla costruzione di dighe, fortificazioni, mulini ad acqua. Per il suo lavoro erano indispensabili macchine che fossero in grado di alzare grandi pesi. Stevin cercò di trovare una macchina che realizzasse il moto perpetuo. Per eliminare ogni facile ironia occorre dire che all’epoca non vi era

nulla di teorico che impedisse di pensare tale cosa. Non siamo a conoscenza degli apparati che costruì per realizzare la sua impresa ma, è certo, egli seppe trarre vantaggio dagli insuccessi iniziando con l’accettare l’impossibilità del moto perpetuo e quindi ricavando da un apparato che avrebbe potuto dare moto perpetuo, le leggi del massimo che si sarebbe potuto ottenere e cioè l’equilibrio. Egli realizzò così due piani inclinati poggianti sullo stesso piano e con medesima altezza, tali che messi insieme avessero formato un prisma triangolare. Appoggiò sul sistema una catena chiusa con pesanti maglie in grado di scivolare con pochissimo attrito lungo i due piani inclinati. A prima vista sembrerebbe che la catena dovrebbe scivolare sulla sinistra della figura perché lì vi è maggiore peso (12 maglie invece di sei). Se ciò avvenisse avremmo realizzato il moto perpetuo perché sempre sulla sinistra vi sarebbero il doppio delle maglie che a destra. Stevin ebbe a scrivere wonder en is gheen wonder (un meraviglia che non meraviglia). Si era reso conto che il peso delle maglie opera tanto meno quanto minore è l’inclinazione del piano. Pertanto i pesi sistemati su piani inclinati si mantengono in equilibrio se sono proporzionali alle lunghezze dei piani. Se uno dei piani è perpendicolare alla base, allora il tratto verticale di catena rappresenta la forza che mantiene in carico sopra il piano obliquo: la forza sta quindi al carico come l’altezza del piano inclinato alla sua lunghezza. Questa conclusione è molto importante. Elaborandola si arriva alla regola del parallelogrammo delle forze che Stevin formulò nel 1585 (vedi tratta da Stevin) ma che dovette attendere il 1687 (Varignon) per averne una formulazione moderna.

    Nella sua Statica, Stevin si occupò anche delle condizioni di equilibrio della leva riconducendole a quelle di una bilancia a bracci uguali. Un prisma retto omogeneo viene supposto sospeso per il suo centro (vedi figura), che è nello

stesso tempo il suo centro di gravità, T. È evidente che sarà in in equilibrio. Dividiamolo mentalmente in sei parti uguali con le rette AD, FG, GH, IK, LM, VO, BC. Uniamo, ancora mentalmente, le quattro parti di sinistra e le due parti di destra: i loro centri di gravità rispettivi saranno in S e in X. Sostituiamo ciascuno di tali corpi con un peso uguale sospeso al centro di gravità di ciascuno, questi essendo uniti da una sbarra rigida: l’equilibrio non ne sarà modificato. Ora, la distanza che separa T da S e da X è inversamente proporzionale ai pesi sospesi. E questa proposizione ha valore generale qualunque sia la forma dei corpi in questione o la maniera in cui sono sospesi alla rigida della bilancia.

    Stevin è anche noto per essersi occupato di idrostatica e sempre con lo stesso spirito, quello della ricerca delle condizioni di equilibrio. Nel 1605 dimostrò che la pressione di un liquido sul fondo di un recipiente è indipendente dalla forma del recipiente e proporzionale al peso specifico del liquido (paradosso idrostatico).

    I lavori di Stevin avrebbero avuto certamente attenti lettori se solo fossero state scritte in lingua diversa dall’olandese che per il suo sciovinismo (la ritiene la lingua più antica del mondo e la più adatta a scrivere di scienza) egli si ostina ad utilizzare. Purtroppo, oltre a questo inconveniente le sue opere furono pubblicate molto tardi tra il 1605 ed il 1608 ed addirittura dopo la sua morte (1634) in traduzione francese.

    Nell’ultimo quarto del Cinquecento iniziarono anche i contributi di Galileo, fortificazioni, meccaniche, compasso geometrico, bilancia idrostatica… ma vanno tutti nel senso delle cose ora dette: contributi importanti ma non significativi. Non vi sono novità d’interesse e comunque tali da meritare una trattazione dettagliata. Con il nuovo secolo, con i lavori del Galileo copernicano, inizia il fondamento della nuova fisica. Ma di tutto questo ho trattato già abbondantemente in altre pagine che si possono trovare in questo indice, dove tra l’altro si possono trovare le opere di Giordano Bruno, tutte le opere di Galileo compresa la sua corrispondenza.


NOTE

(1) Questi aspetti sono stati studiati in dettaglio nel mio Religione, magia e scienza nel Rinascimento italiano.

(2) Riferendoci alla figura la costruzione si fa nel modo seguente. Dato il segmento AB si tracci il cerchio di pari diametro e tangente ad esso in B, quindi la secante

per A passante per il centro C del cerchio. La parte esterna della secante (AE) è la sezione aurea del segmento, essendo la tangente (AB) media proporzionale tra l’intera secante (AD) e la sua parte esterna (AE) [per il teorema della tangente e della secante che si trova in Euclide, Elementi, Libro III, Proposizione 36]. Essendo poi ED = AB e per le proprietà delle proporzioni (scomponendo ed invertendo) risulta:

AD : AB = AB : AE    =>   (AD – AB) : AB = (AB – AE) : AE    =>

=>    AS : AB = SB : AS     =>    AB : AS = AS : SB

e l’ultima espressione è proprio quella che ci fornisce la divina proporzione.

Osservo a parte che esempi di divina proporzione ve ne sono in natura e nella musica.

(3) Riporto qui i contributi di vari matematici noti e meno noti con le loro opere fino alla metà del Seicento in modo da fornire un minimo quadro d’insieme dello sviluppo della matematica, anche se il mio lavoro si fermerà alla fine del Cinquecento. Alcuni dei matematici qui citati, per l’interesse che hanno ai fini di questo lavoro, li riprenderò diffusamente nel testo.

– 1484. La più antica notazione del segno delle radici quadrate e cubiche con l’indice che le determina compare nel trattato di Nicolas Chuquet (1445-1500), francese, intitolato Le triparty en la science des nombres. Vi compare anche la prima idea di logaritmo come confronto tra una progressione aritmetica e una progressione geometrica.

– 1489. Jobann Widmann (1460-?), tedesco, nell’ Aritmetica mercantile fa uso per la prima volta dei segni + e – per indicare eccesso e difetto.

– 1505. Nel trattato di trigonometria De triangulis per maximorum circulorum segmenta constructis, il tedesco Johann Werner (1468-1528) enuncia le formule per trasformare in un prodotto la somma o la differenza di due coseni (formule di prostaferesi).

– 1515. Scipione Dal Ferro (1465-1526), in una lettera a Pompeo Bolognetti, indica il metodo per risolvere un caso particolare di equazione cubica.

– 1518. Heinrich Schreiber (1496- ?), tedesco, in un trattato di aritmetica abbandona la considerazione generale della duplicazione e della bisezione come speciali operazioni, intendendole come casi speciali della moltiplicazione e divisione.

– 1525. Albrecht Dürer (1471-1528), celebre pittore tedesco, nelle Istituzioni geometriche si avvale per la rappresentazione di poliedri regolari non solo della prospettiva, ma anche dello sviluppo su un piano.

– 1526. Girolamo Cardano (1501-1576) scrive a Padova il trattato De Ludo Aleae, sui giuochi d’azzardo.

– 1527. Il triangolo aritmetico dei coefficienti delle potenze del binomio è stampato sul frontespizio della 1ª edizione di un’Aritmetica del matematico tedesco Petrus Apianus (1495-1552).

– 1530. Christopher Rudolf (? -1552), tedesco, in una raccolta di problemi aritmetici insegna che la divisione di un numero per 10 e 100 si può agevolmente effettuare collocando una virgola in posizione opportuna e introduce per disegnare la radice quadrata il segno √.

– 1532. Nel De Rebus Mathematicis, il francese Oronzio Fineo (1494-1555) studia l’inserzione tra due seguenti rettilinei di due medie proporzionali e la determinazione del rapporto tra circonferenza e diametro del cerchio.

– 1534. Anton Maria Fiore, in possesso della regola di Dal Ferro per risolvere equazioni cubiche. lancia una matematica disfida a Niccolò Tartaglia relativa alla soluzione di problemi implicanti equazioni di terzo grado a cui Tartaglia risponderà vittoriosamente esponendo la regola della soluzione.

– 1539. Girolamo Cardano nella Practica arithmeticae studia le operazioni sui numeri interi, frazionari e irrazionali.

– 1542. Nel De crepuscolis liber Pedro Nuñez (1502-1578), spagnolo, rende noto un procedimento per stimare la parte frazionata di un intervallo del cerchio graduato.

– 1544. Il tedesco Michael Stifel (1487-1567) nell’Arithmetica integra introduce la denominazione di esponente, adotta simboli per più numeri generali e loro potenze e avvia il calcolo logaritmico fondato sul confronto tra due progressioni, aritmetica l’una e geometrica l’altra; egli costruisce pure una tavola dei coefficienti binomiali fino al 17° ordine ed espone le regole per elevare a potenza un binomio.

– 1545. Girolamo Cardano nel trattato di algebra intitolato Ars magna, discute le radici negative e immaginarie delle equazioni, stabilendo le relazioni che legano le radici ai coefficienti di un’equazione, ed espone il sistema di soluzione algebrica delle equazioni di terzo grado, che gli era stato confidato da Tartaglia sotto il vincolo del segreto.

– 1545. Luigi Ferrari (1520-1565). allievo del Cardano, a 25 anni trova la soluzione dell’equazione di 4° grado.

– 1546. Niccolò Fontana, detto Tartaglia (1500-1557), nel nono libro dei Quesiti et inventioni diverse, enuncia il sistema di soluzione delle equazioni cubiche ridotte, da lui trovato nel 1534 per rispondere alla sfida di Anton Maria Fiore.

– 1551. Johannes Reticus (1514-1557), tedesco, nel Canon doctrinae triangulorum definisce le linee trigonometriche mediante un triangolo rettangolo mettendone in luce la connessione non con archi di cerchio, ma con gli angoli da essi sottesi.

– 1556. In uno scritto sull’algebra, Jacques Pélétier (1517-1582), francese, scopre che, se una equazione algebrica ha l’unità per coefficiente della massima potenza dell’incognita e interi tutti gli altri coefficienti, ogni sua radice sarà un divisore del termine noto.

– 1556. Le due prime parti del General Trattato di Numeri et Misure, di Niccolò Tartaglia sono pubblicate a Venezia. Contengono: il triangolo aritmetico di Tartaglia, per calcolare le prime 11 potenze del binomio.

– 1557. In un trattato di aritmetica l’inglese Robert Recorde (1510-1558) introduce l’uso del segno = per indicare uguaglianza di due quantità: poiché mai due cose possono essere più eguali di due parallele.

– 1558. Appare l’opera Due Brevi e Facili Trattati, il Primo d’Aritmetica, l’Altro di Geometria di G. F. Peverone, contenente tra l’altro la soluzione di un semplice problema di calcolo delle probabilità.

– 1560. Le ultime quattro parti del General Trattato di Numeri et misure, di Niccolò Tartaglia, sono pubblicate postume, da manoscritti dell’autore.

– 1572. Raffaele Bombelli (1530-1572) pubblica un trattato di Algebra in cui espone il metodo per risolvere le equazioni biquadratiche e bicubiche, introduce il concetto di numeri immaginari o complessi e dà il procedimento dell’estrazione delle radici quadrate mediante lo sviluppo in frazioni continue.

– 1575. Francesco Maurolico (1495- 1575), negli Arithmeticorum libri duo, applica per primo il principio di induzione matematica, dimostrando che la somma dei primi  numeri dispari è eguale al quadrato di n.

– 1585. Il belga Simon Stevin (1548-1620) a Leida espone, in un trattato di aritmetica intitolato La Disme, la teoria delle frazioni decimali, auspicando che esse sostituiscano le normali frazioni anche nei sistemi di misura. Rifiuta inoltre che solo i numeri interi siano veramente numeri, e afferma la continuità degli insiemi di numeri reali.

-1589. Giacomo Zabarella (1533-1589) nei De rebus naturalibus libri, considera la logica come disciplina strumentale della conoscenza scientifica.

– 1591. Il francese François Viète (1540-1603) nel trattato In artem analyticam isagoge, dà la prima esposizione di algebra simbolica, in cui le lettere sono usate per indicare tanto le quantità conosciute quanto le incognite usate nel calcolo algebrico e introduce il nome di polinomio.

– 1592. Galileo Galilei lascia la cattedra di matematica di Pisa per l’ostilità dei colleghi e la scarsa retribuzione ed è nominato lettore di matematica all’Università di Padova, dove si tratterrà per diciotto anni da lui detti i più felici e fecondi della sua vita.

– 1593. François Viète nello scritto di trigonometria Ad logisticen speciosam notae priores, enuncia le formule trigonometriche della moltiplicazione degli archi.

– 1593. Adrien van Rooman (1561-1615), olandese, studiando il problema della quadatura del cerchio trova il valore di π per un poligono di 251.658.240 lati, uguale a 3,1415926635597931.

– 1593. Adrien van Rooman lancia una sfida agli algebristi proponendo il problema della soluzione di una equazione di quarantacinquesimo grado che è risolto brillantemente da François Viète che trova ventitrè soluzioni.

– 1595. Il tedesco Bartholomäus Pitiscus (1561-1613) pubblica a Francoforte il primo libro intitolato alla trigonometria: Trigonometriae sive de dimensione triangulorum libri quinque.

– 1596. Ludolph van Ceulen (1540-1610), maestro di scherma olandese, nel De cerchio dà le formule trigonometriche della trisezione degli archi.

– 1596. Nell’Opus palatinum de triangulis, Valentin Otho (1550- ?)tedesco, costruisce una tavola trigonometrica calcolando i seni, le tangenti e le secanti di 10 minuti, 10 secondi, essendo il raggio 1010.

– 1598. Adrien van Rooman in uno scritto di algebra espone la procedura per calcolare potenze quadratiche, cubiche e di grado superiore.

– 1600. Guidobaldo Dal Monte (1545-1607) nei Perspectivae libri sex dimostra che la proiezione centrale di un sistema di rette parallele è un fascio di rette concorrenti.

– 1604. In un capitolo dedicato allo studio delle coniche nei Ad Vitellionem in paralipomena John Kepler (1571-1630),  tedesco, enuncia quello che sarà chiamato principio di continuità, mostrando come esempio che una parabola è al tempo stesso caso limite di una ellissi o di una iperbole.

– 1606. Nelle Operazioni del compasso geometrico e militare, Galileo Galilei (1564-1642) descrive il funzionamento del compasso a settore da lui inventato.

– 1608. Il tedesco Pietro Rothe nell’Arithmetica Philosophica scopre che il numero delle radici di una equazione algebrica non può superare il grado dell’equazione. 

– 1612. Claude Bachet de Meziriac (1581-1638), francese, descrive in uno scritto di aritmetica il metodo per risolvere il problema dei resti, di determinare cioè un numero conoscendo i resti che si ottengono dalla divisione per dati numeri.

– 1613. Nel Trattato del modo brevissimo di trovare le radici quadrate dei numeri,  Pietro Antonio Cataldi (1552-1626) espone un sistema di estrarre la radice quadrata di un numero mediante frazioni continue. 

– 1613. François d’Aiguillon (1556-1627), belga, studia i sistemi di proiezione ortogonale e centrale, detta in seguito proiezione stereografica.

– 1614. John Napier (1550-1617) o Nepero, inglese, nell’opera Mirifici logarithmorum canonis descriptio, espone i principi del calcolo logaritmico, dando le tavole dei logaritmi dei seni e delle tangenti di tutti gli angoli del primo quadrante calcolati a sette decimali.

– 1615. Nella Nova stereometria doliorum, Johan Kepler determina il volume di certi recipienti mediante il sistema degli infinitesimi al posto del precedente e lungo metodo di esaustione.

– 1615· Nel postumo scritto di François Viète sulle equazioni algebriche si dimostra come da un’equazione se ne possa derivare un’altra le cui radici siano eguali a quelle della precedente aumentate o moltiplicate di una o per una quantità data.

– 1617. John Napier costruisce dei regoli numerati, detti bastoni di Neper, per effettuare delle moltiplicazioni, e li descrive nei Rabdologiae seu numerationis per virgulas libri duo, dove viene introdotto l’uso della virgola per i numeri decimali.

– 1617. Le tavole dei logaritmi decimali dei primi 1000 numeri calcolati con otto decimali sono pubblicate dall’inglese Henry Briggs (1561-1631).

– 1620. L’inglese Francis Bacon (1561-1626) nel Novum organum, fonda la nuova logica della scienza naturale essenzialmente basata sull’induzione.

– 1620. Nel Canon triangulorum dell’inglese Edward Gunter (1581- ?) inventore del regolo calcolatore è contenuta una tavola dei seni e tangenti in cui compaiono per la prima volta i termini coseno e cotangente.

– 1620. Compaiono a Praga le tavole di antilogaritmi di Jost Bürgi (1552- 1632), svizzero, calcolate indipendentemente da John Napier tra il 1603 e il 1611.

– 1623. Edward Gunter costruisce un regolo per il calcolo logaritmico.

– 1624. Henry Briggs pubblica a Londra l’Arithmetica logaritmica contenente le tavole logaritmiche a base 10, con 14 cifre decimali dei numeri da 1 a 20.000 e da 90.000 a 100.000.

– 1628. L’olandese Adriaan Vlacq (1603-1667) completa le tavole logaritmiche del Briggs, calcolando i logaritmi dei 70.000 numeri mancanti.

– 1629. Il francese Pierre Fermat (1601-1665) concepisce i principi essenziali della geometria analitica, a quanto egli stesso dichiara nel 1636, scrivendo a Roberval, ma non pubblica niente sull’argomento.

– 1629. Albert Girard (1595-1632), francese, nell’Invention nouvelle en algebre, introduce per primo l’uso delle parentesi algebriche, spiega il metodo di scomposizione in un polinomio nei suoi fattori ed enuncia il teorema che ogni equazione algebrica ha tante radici quante sono le unità del suo grado (teorema fondamentale dell’algebra); usa, inoltre, il segno – inserito tra numeratore e denominatore per indicare un numero frazionario.

– 1630. Il francese Richard de La Maine, insegnante di matematica a Londra, nell’opera Grammologia, descrive un regolo calcolatore circolare.

– 1631. Thomas Harriot (1560-1621), inglese, nella Artis analyticae praxis, introduce i segni > e < per indicare maggiore e minore e rende noto un procedimento per approssimare le radici di equazioni algebriche.

– 1631. L’inglese William Oughtred (1575-1660) nella Clavis mathematica introduce il simbolo x, della croce di S. Andrea, per indicare la moltiplicazione.

– 1632. Lo spagnolo Jean de la Faille (1597-1652), in uno scritto sul centro di gravità delle parti di un circolo e dell’ellissi, determina il baricentro di un settore circolare dimostrando che si trova sulla corrispondente bisettrice alla distanza dal centro espressa da 2/3 raggio corda/arco

– 1632. Nella sezione dedicata alla trigonometria sferica del trattato Directorium generale uranometricum, Bonaventura Cavalieri (1598-1647) dimostra l’espressione dell’area del triangolo sferico.

– 1633. In una appendice all’opera Cerchi di proporzione, William Oughtred descrive per la prima volta un regolo calcolatore rettilineo.

– 1635. Bonaventura Cavalieri nella Geometria degli indivisibili, rappresenta le grandezze geometriche come totalità di elementi primordiali, gli indivisibili, supposti animati da movimento, la flussione, dalla cui somma derivano le regole per il calcolo delle lunghezze delle aree dei volumi di figure a contorno curvilineo.

– 1636. In una lettera a Roberval, Fermat espone le sue idee nuove e importantissime, sulla geometria analitica, sul calcolo infinitesimale e sui massimi e minimi.

– 1636. Gerard Desargues (1593-1662), francese, in uno studio sulla prospettiva, costruisce proiezioni assonometriche fondate sulla disposizione che di ogni punto della figura da proiettare si conoscono le coordinate cartesiane ortogonali.

– 1637. René Descartes (1596-1650), francese, pubblica come appendice al Discours de la méthode, la Géométrie contenente i fondamenti della geometria analitica e il metodo per trasformare un problema geometrico in problema algebrico sino alla risoluzione geometrica delle equazioni di secondo grado. L’opera contiene pure una teoria delle equazioni algebriche in cui la notazione è praticamente quella moderna.

– 1637. Pierre Fermat compone il trattato Ad locos planos et solidos isagoge, dove, indipendentemente da Descartes, pone i fondamenti della geometria analitica col metodo delle coordinate.

– 1639. Blaise Pascal (1623-1662), francese, scrive a sedici anni l’Essay pour les coniques, di una sola pagina, che contiene il teorema di Pascal sull’esagono iscritto in una conica, il mistico esagramma.

– 1639. Gerard Desargues in uno scritto di geometria, stabilisce i fondamenti della geometria proiettiva formulando i teoremi sul quadrangolo iscritto in una conica e sui triangoli omologici.

– 1642. Le origini dell’algebra combinatoria sono contenute nel lavoro fatto dall’inglese John Wallis (1616- 1703) per decifrare corrispondenza dei Realisti intercettata durante la Guerra Civile.

– 1642. Blaise Pascal costruisce la prima macchina per eseguire meccanicamente calcoli aritmetici, basata su un sistema di ruote dentate collegate fra loro. Con questa macchina si potevano ottenere totali fino alle centinaia di migliaia.

– 1643. Bonaventura Cavalieri nelle Exercitationes geometricae enuncia il principio degli indivisibili poggiante sull’ipotesi che una grandezza può essere divisa in un infinito numero di parti

– 1644. Evangelista Torricelli (1608-1647) nella Opera geometrica dimostra la finitezza del solido generato dalla rotazione di un arco indefinito di iperbole equilatera intorno a un asintoto ed esegue la quadratura della cicloide e della coclea.

– 1646. In una lettera a M. Ricci, Evangelista Torricelli enuncia il teorema relativo alla determinazione del centro di gravità di ogni figura geometrica per mezzo del rapporto di due integrali.

– 1647. In una lettera al Cavalieri, Evangelista Torricelli descrive le proprietà della curva logaritmica da lui chiamata hemyperbole logarithmica dimostrando che essa ha la subtangente costante ed effettuando la quadratura e cubatura del solido generato dalla sua rotazione.

– 1647. Il frate belga Gregorio di San Vincenzo (1584-1667) nell’Opus geometricum studia le proprietà di una nuova classe di curve piane di quarto ordine, le parabole virtuali, e dimostra la possibilità della quadratura dell’iperbole con l’uso dei logaritmi.

– 1648. Pierre Fermat in una lettera al Cavalieri espone la regola per quadrare le parabole di ordine superiore e il metodo di cubatura dei solidi generati dalla rotazione di qualsiasi parabola intorno al suo asse.

– 1649. In una traduzione latina della Géométrie di Descartes, Franz van Shooten (? -166I), olandese, enuncia le formule per la trasformazione delle coordinate. 

– 1652. Samuele Morland inventa una macchina calcolatrice capace di addizionare e sottrarre.

– 1653. Nel Trattato sul triangolo aritmetico Blaise Pascal applica le proprietà del triangolo da lui inventato al calcolo delle successive potenze di un binomio.

– 1654. Il Cavaliere de Méré propone a Pascal e Fermat il problema di come ripartire guadagni e perdite tra due giocatori che debbano interrompere una partita. Nella corrispondenza seguita tra loro, Pascal e Fermat gettano le basi del calcolo delle probabilità.

– 1656. John Wallis, sulle orme del Cavalieri, approfondisce, nella Arithmetica infinitorum, i metodi di calcolo degli integrali e introduce nell’analisi il concetto di limite. Egli usa il simbolo ∞ per indicare l’infinito e propone di esprimere  il numero π come prodotto di infiniti fattori.

– 1657. John Wallis nella Mathesis universalis sive arithmeticum opus integrum, espone in forma aritmetica il contenuto dei libri II e V di Euclide che costituiscono il fondamento dell’algebra geometrica e della teoria delle proporzioni.

– 1657. Nell’opera Canones sinuum, un trattato di trigonometria, William Oughtred fa uso delle attuali notazioni per le funzioni trigonometriche di seno, coseno e tangente, e introduce il segno : per indicare la divisione.

– 1657. Christian Huygens (1629-1695), olandese, nel De ratiocinio in ludo aleae introduce nel calcolo della probabilità, applicato al gioco di azzardo, il concetto di speranza matematica.

– 1658. Nel trattato Sulla cicloide Blaise Pascal studia la proprietà della curva descritta da un punto di una circonferenza che rotola su una linea retta.

– 1658. Blaise Pascal, nella memoria Potestatum numericarum summa, studia l’effettuazione della somma delle potenze simili dei termini di una progressione aritmetica.

– 1659. L’olandese Johan Hudde (1628-1704) enuncia la regola generale per riconoscere se una data equazione abbia due o più radici eguali (regola di Hudde).

– 1659 Pietro Mengoli (1625-1686) nella Geometria speciosa svolge la teoria dei logaritmi naturali detti anche neperiani.

– 1659. Nell’Algebra tedesca di Johann Rahn compare il segno ÷  per indicare la divisione.

– 1659· Jobn Wallis in uno scritto sulla cicloide espone il sistema per rettificare la cicloide e dimostra che l’area compresa tra la concoide esterna e la propria base è infinita, mentre è finito il volume che essa genera ruotando intorno alla base.
 

(4) La tecnica di Gutenberg consiste nel fondere i singoli caratteri dei segni da riprodurre in modo da rendere possibile comporre una matrice in cui essi siano, appunto, “mobili”, ovvero riposizionabili e riutilizzabili per praticare altre stampe. Tale procedimento prevede che, per ogni lettera o segno, venga fabbricato un punzone di metallo molto duro, recante all’estremità la lettera o il segno incisi a rilievo. Il punzone viene, poi, battuto sulla cosiddetta punzonatura: un supporto di metallo meno duro, dove il segno rimane impresso in un incavo, che costituisce la matrice. In essa — introdotta in un apposito apparecchio, detto staffa — vengono fusi i caratteri tipografici nelle quantità necessarie. Questi risultano, così, a rilievo, come il punzone dal quale traggono origine. I singoli caratteri tipografici mobili vengono poi accostati a rovescio, nella sequenza necessaria a formare parole e frasi e comporre la pagina, in una forma, il compositoio. Questo è un contenitore allungato, inizialmente in legno, poi in metallo, che serve a comporre le righe del testo da stampare. La composizione viene poi bagnata con un inchiostro abbastanza liquido (quello usato da Gutenberg era composto da un pigmento macinato in una vernice di olio di lino, una tecnica impiegata in quel tempo dai pittori fiamminghi)tanto da non rimanere attaccato al supporto metallico, ma da poter essere impresso sul foglio di carta con l’aiuto di un tipo di torchio fino a quel momento adoperato per la spremitura dell’uva. Dopo il processo di stampa, la sequenza dei caratteri viene scomposta: i caratteri sono, così, pronti per essere riutilizzati. La tecnica della stampa di Gutenberg può essere ridotta sinteticamente al sistema punzone-matrice-carattere-torchio, che si basa sull’uso di tre materiali essenziali: leghe metalliche per la costruzione degli strumenti del sistema tipografico, inchiostro grasso, carta. I punzoni sono di ottone e di bronzo, metalli soggetti a deteriorarsi dopo aver battuto le matrici che inizialmente sono di piombo e, dunque, soggette anch’esse ad una rapida usura per le continue colate. Sembra, però, che già l’allievo diretto di Gutenberg, Peter Schoeffer, sostituisca l’ottone e il bronzo con l’acciaio, introducendo inoltre le matrici di rame. Inizialmente i caratteri sono fabbricati in stagno, poi, per una maggiore resa, in una lega di stagno e piombo, alla quale, in seguito, viene aggiunto l’antimonio. [Il brano è tratto dal sito: http://digilander.libero.it/davis2/lezioni/storia/moderna/invenzione%20della%20stampa.htm].

(5)  Nicolò Tartaglia si chiamava in realtà Nicolò Fontana. Venne soprannominato Tartaglia per un difetto di pronuncia che aveva a seguito di un colpo di sciabola ricevuto alla mascella da un soldato francese, durante il sacco di Brescia, quando era ancora un ragazzo (1512). Era di famiglia poverissima e non potendo seguire alcuno studio regolare, fu un completo autodidatta che per primo tradusse in lingua volgare gli Elementi di Euclide (Venezia 1543) con importanti commenti, traduzione che si può trovare per intero nel meritorio progetto di liberliber http://www.liberliber.it/biblioteca/e/euclides/ euclide_megarense_acutissimo_philosopho_solo_introduttor_etc/pdf/euclid_p.pdf

Tartaglia è noto per il suo triangolo, introdotto nella sua General trattato di numeri e misure del 1556, che fornisce i coefficienti dello sviluppo del binomio (a + b)n. Il triangolo era già noto comunque tra gli arabi ed in Cina. Anche in Germania vi erano stati libri che lo avevano introdotto prima di Tartaglia: l’Aritmetica di Bienewitz (Apianus) del 1527 e l’Arithmetica integra di Stiefel del 1544.

(6) Cardano era un benestante e fece studi regolari fino ad arrivare ad insegnare a Milano ed a Padova. Era un aristotelico e seguace di AvicennaEra un geniale creatore in ogni ramo dello scibile che pubblicò 138 opere che non erano che la metà di quelle che scrisse. Ebbe purtroppo delle vicende che egli stesso racconta nella sua Autobiografia. Fu accusato di pedofilia (egli dice … sul conto mio si andasse divolgando quanto male usassi dei fanciulli) e rischiò l’Inquisizione ma non per questo, bensì per l’accusa di essere uno stregone, per avere disapprovato con durezza i processi alle streghe e, come no, di essere un eretico. Ebbe provocazioni notturne con irruzioni in casa di ignoti personaggi che lo svegliavano per chiedergli l’assoluzione di streghe condannate per aver provocato degli incantesimi. A circa 70 anni fu imprigionato (1570) e si salvò per l’amicizia dei Cardinali Borromeo e Morone. Dopodiché se ne andò a Roma sotto la protezione di Papa Pio V (sic!) che gli assegnò anche una pensione, ma con l’obbligo di non pubblicare più nulla. Poiché era anche astrologo (ed in genere un mago che credeva a vari fenomeni paranormali e normali) e dal suo oroscopo risultava dovesse morire nel 1576, sembra si sia ucciso per non smentire i suoi oroscopi.

(7) Sulla storia del calcolo infinitesimale si può vedere il mio: Appunti per una brevissima storia della nascita e dello sviluppo del Calcolo Sublime. 

(8) Summa Theologica,

            Quaestio 32

            Proemium

[29771] Iª q. 32 pr. Consequenter inquirendum est de cognitione divinarum personarum. Et circa hoc quaeruntur quatuor. Primo, utrum per rationem naturalem possint cognosci divinae personae. Secundo, utrum sint aliquae notiones divinis personis attribuendae. Tertio, de numero notionum. Quarto, utrum liceat diversimode circa notiones opinari.

           Articulus 1

Ad primum sic proceditur. Videtur quod Trinitas divinarum personarum possit per naturalem rationem cognosci. Philosophi enim non devenerunt in Dei cognitionem nisi per rationem naturalem, inveniuntur autem a philosophis multa dicta de Trinitate personarum. Dicit enim Aristoteles, in I de caelo et mundo, per hunc numerum, scilicet ternarium, adhibuimus nos ipsos magnificare Deum unum, eminentem proprietatibus eorum quae sunt creata. Augustinus etiam dicit, VII Confes., ibi legi, scilicet in libris Platonicorum, non quidem his verbis, sed hoc idem omnino, multis et multiplicibus suaderi rationibus, quod in principio erat verbum, et verbum erat apud Deum, et Deus erat verbum, et huiusmodi quae ibi sequuntur, in quibus verbis distinctio divinarum personarum traditur. Dicitur etiam in Glossa Rom. I, et Exod. VIII, quod magi Pharaonis defecerunt in tertio signo, idest in notitia tertiae personae, scilicet spiritus sancti, et sic ad minus duas cognoverunt. Trismegistus etiam dixit, monas genuit monadem, et in se suum reflexit ardorem, per quod videtur generatio filii, et spiritus sancti processio intimari. Cognitio ergo divinarum personarum potest per rationem naturalem haberi.

[29773] Iª q. 32 a. 1 arg. 2 Praeterea, Ricardus de sancto Victore dicit, in libro de Trin., credo sine dubio quod ad quamcumque explanationem veritatis, non modo probabilia, imo etiam necessaria argumenta non desint. Unde etiam ad probandum Trinitatem personarum, aliqui induxerunt rationem ex infinitate bonitatis divinae, quae seipsam infinite communicat in processione divinarum personarum. Quidam vero per hoc, quod nullius boni sine consortio potest esse iucunda possessio. Augustinus vero procedit ad manifestandum Trinitatem personarum, ex processione verbi et amoris in mente nostra, quam viam supra secuti sumus. Ergo per rationem naturalem potest cognosci Trinitas personarum.

[29774] Iª q. 32 a. 1 arg. 3 Praeterea, superfluum videtur homini tradere quod humana ratione cognosci non potest. Sed non est dicendum quod traditio divina de cognitione Trinitatis sit superflua. Ergo Trinitas personarum ratione humana cognosci potest.

[29775] Iª q. 32 a. 1 s. c. Sed contra est quod Hilarius dicit, in libro II de Trin., non putet homo sua intelligentia generationis sacramentum posse consequi. Ambrosius etiam dicit, impossibile est generationis scire secretum, mens deficit, vox silet. Sed per originem generationis et processionis distinguitur Trinitas in personis divinis, ut ex supra dictis patet. Cum ergo illud homo non possit scire et intelligentia consequi, ad quod ratio necessaria haberi non potest, sequitur quod Trinitas personarum per rationem cognosci non possit.

[29776] Iª q. 32 a. 1 co. Respondeo dicendum quod impossibile est per rationem naturalem ad cognitionem Trinitatis divinarum personarum pervenire. Ostensum est enim supra quod homo per rationem naturalem in cognitionem Dei pervenire non potest nisi ex creaturis. Creaturae autem ducunt in Dei cognitionem, sicut effectus in causam. Hoc igitur solum ratione naturali de Deo cognosci potest, quod competere ei necesse est secundum quod est omnium entium principium, et hoc fundamento usi sumus supra in consideratione Dei. Virtus autem creativa Dei est communis toti Trinitati, unde pertinet ad unitatem essentiae, non ad distinctionem personarum. Per rationem igitur naturalem cognosci possunt de Deo ea quae pertinent ad unitatem essentiae, non autem ea quae pertinent ad distinctionem personarum. Qui autem probare nititur Trinitatem personarum naturali ratione, fidei dupliciter derogat. Primo quidem, quantum ad dignitatem ipsius fidei, quae est ut sit de rebus invisibilibus, quae rationem humanam excedunt. Unde apostolus dicit, ad Heb. XI, quod fides est de non apparentibus. Et apostolus dicit, I Cor. II, sapientiam loquimur inter perfectos, sapientiam vero non huius saeculi, neque principum huius saeculi; sed loquimur Dei sapientiam in mysterio, quae abscondita est. Secundo, quantum ad utilitatem trahendi alios ad fidem. Cum enim aliquis ad probandam fidem inducit rationes quae non sunt cogentes, cedit in irrisionem infidelium, credunt enim quod huiusmodi rationibus innitamur, et propter eas credamus. Quae igitur fidei sunt, non sunt tentanda probare nisi per auctoritates, his qui auctoritates suscipiunt. Apud alios vero, sufficit defendere non esse impossibile quod praedicat fides. Unde Dionysius dicit, II cap. de Div. Nom., si aliquis est qui totaliter eloquiis resistit, longe erit a nostra philosophia; si autem ad veritatem eloquiorum, scilicet sacrorum, respicit, hoc et nos canone utimur.

[29777] Iª q. 32 a. 1 ad 1 Ad primum ergo dicendum quod philosophi non cognoverunt mysterium Trinitatis divinarum personarum per propria, quae sunt paternitas, filiatio et processio; secundum illud apostoli, I ad Cor. II, loquimur Dei sapientiam, quam nemo principum huius saeculi cognovit, idest philosophorum, secundum Glossam. Cognoverunt tamen quaedam essentialia attributa quae appropriantur personis, sicut potentia patri, sapientia filio, bonitas spiritui sancto, ut infra patebit. Quod ergo Aristoteles dicit, per hunc numerum adhibuimus nos ipsos etc., non est sic intelligendum, quod ipse poneret ternarium numerum in divinis, sed vult dicere quod antiqui utebantur ternario numero in sacrificiis et orationibus, propter quandam ternarii numeri perfectionem. In libris etiam Platonicorum invenitur in principio erat verum, non secundum quod verbum significat personam genitam in divinis, sed secundum quod per verbum intelligitur ratio idealis, per quam Deus omnia condidit, quae filio appropriatur. Et licet appropriata tribus personis cognoscerent, dicuntur tamen in tertio signo defecisse, idest in cognitione tertiae personae, quia a bonitate, quae spiritui sancto appropriatur, deviaverunt, dum cognoscentes Deum, non sicut Deum glorificaverunt, ut dicitur Rom. I. Vel, quia ponebant Platonici unum primum ens, quod etiam dicebant esse patrem totius universitatis rerum, consequenter ponebant aliam substantiam sub eo, quam vocabant mentem vel paternum intellectum, in qua erant rationes omnium rerum, sicut Macrobius recitat super somnium Scipionis, non autem ponebant aliquam substantiam tertiam separatam, quae videretur spiritui sancto respondere. Sic autem nos non ponimus patrem et filium, secundum substantiam differentes, sed hoc fuit error Origenis et Arii. Sequentium in hoc Platonicos. Quod vero Trismegistus dixit, monas monadem genuit, et in se suum reflexit ardorem, non est referendum ad generationem filii vel processionem spiritus sancti, sed ad productionem mundi, nam unus Deus produxit unum mundum propter sui ipsius amorem.

[29778] Iª q. 32 a. 1 ad 2 Ad secundum dicendum quod ad aliquam rem dupliciter inducitur ratio. Uno modo, ad probandum sufficienter aliquam radicem, sicut in scientia naturali inducitur ratio sufficiens ad probandum quod motus caeli semper sit uniformis velocitatis. Alio modo inducitur ratio, non quae sufficienter probet radicem, sed quae radici iam positae ostendat congruere consequentes effectus, sicut in astrologia ponitur ratio excentricorum et epicyclorum ex hoc quod, hac positione facta, possunt salvari apparentia sensibilia circa motus caelestes, non tamen ratio haec est sufficienter probans, quia etiam forte alia positione facta salvari possent. Primo ergo modo potest induci ratio ad probandum Deum esse unum, et similia. Sed secundo modo se habet ratio quae inducitur ad manifestationem Trinitatis, quia scilicet, Trinitate posita, congruunt huiusmodi rationes; non tamen ita quod per has rationes sufficienter probetur Trinitas personarum. Et hoc patet per singula. Bonitas enim infinita Dei manifestatur etiam in productione creaturarum, quia infinitae virtutis est ex nihilo producere. Non enim oportet, si infinita bonitate se communicat, quod aliquid infinitum a Deo procedat, sed secundum modum suum recipiat divinam bonitatem. Similiter etiam quod dicitur, quod sine consortio non potest esse iucunda possessio alicuius boni, locum habet quando in una persona non invenitur perfecta bonitas; unde indiget, ad plenam iucunditatis bonitatem, bono alicuius alterius consociati sibi. Similitudo autem intellectus nostri non sufficienter probat aliquid de Deo, propter hoc quod intellectus non univoce invenitur in Deo et in nobis. Et inde est quod Augustinus, super Ioan., dicit quod per fidem venitur ad cognitionem, et non e converso.

[29779] Iª q. 32 a. 1 ad 3 Ad tertium dicendum quod cognitio divinarum personarum fuit necessaria nobis dupliciter. Uno modo, ad recte sentiendum de creatione rerum. Per hoc enim quod dicimus Deum omnia fecisse verbo suo, excluditur error ponentium Deum produxisse res ex necessitate naturae. Per hoc autem quod ponimus in eo processionem amoris, ostenditur quod Deus non propter aliquam indigentiam creaturas produxit, neque propter aliquam aliam causam extrinsecam; sed propter amorem suae bonitatis. Unde et Moyses, postquam dixerat, in principio creavit Deus caelum et terram, subdit, dixit Deus, fiat lux, ad manifestationem divini verbi; et postea dixit, vidit Deus lucem, quod esset bona, ad ostendendum approbationem divini amoris; et similiter in aliis operibus. Alio modo, et principalius, ad recte sentiendum de salute generis humani, quae perficitur per filium incarnatum, et per donum spiritus sancti.


(9)  Sarà l’inglese Thomas Digges il primo che, nel 1576, disegnerà un universo in cui le stelle non sono più sistemate su di un cerchio che fa da corona all’intero sistema solare, ma sparse al di fuori dell’ultima sfera che è quella dell’ultimo pianeta. Digges giustifica questo con motivi teologici e non astronomici. Egli dice:

Il disegno del sistema copernicano fatto da Thomas Digges (1543-1575) nella sua opera A perfit Description of the Caelestiall Orbes del 1576. Da notare che l’opera è in inglese e quindi si iniziano a volgarizzare le conoscenze.

   La sfera delle stesse fisse infinitamente eccelsa si estende sfericamennte in altezza ed è quindi l’immobile edificio della felicità, ornata di innumerevoli maestose luci, esternamente risplendenti, di gran lunga superiori al nostro sole in quantità e qualità, la vera corte degli angeeli celesti, priva di dolore e colma di assoluta ed eterna gioia; dimora degli eletti

ed aggiunge che noi:

non saremo mai in grado di ammirare a sufficienza l’immensità… di quell’orbe fisso ornato di mille luci che si estende verso l’alto in altezza sferica infinita. Delle quali luci celesti bisogna pensare che noi percepiamo soltanto quelle situate nelle parti inferiori dell’orbe medesimo, così che, nella misura in cui sono più alte, sembrano di quantità viepppiù minore, finché, essendo la nostra vista incapace di andare a concepire oltre, la massima parte di esse ci rimane invisibile a cagione della distanza inaudita.

    Il mondo appare dunque infinito con “centro” nel Sole. Ebbene proprio questa è una incongruenza del resto già presente ai predecessori medioevali, in quanto ciò che è infinito non ha centri o luoghi privilegiati. A buona ragione ogni punto dell’infinito è suo centro allo stesso modo che nessun punto gode di questa caratteristica.

(10)  La cometa che, dal di fuori del sistema solare, entra in esso passando intorno al sole ed andandosene di nuovo verso lo spazio, rappresenta, un corpo materiale che deve attraversare, appunto, le varie sfere. Facendo ciò queste ultime devono andare in frantumi.

(11) Oltre a quanto dirò nel testo, ricordo che:

Sulle questioni studiate da Tartaglia intervenne nel 1570 anche Girolamo Cardano che, nell’Opus novum de motuum ponderum sonorum, studiando il moto di un proiettile, riconobbe l’influenza del mezzo resistente sul moto e la velocità dei proiettili.

Nel 1577, nei Mechanicorum libri, Guidobaldo Dal Monte (1545 – 1607) trattò problemi di statica, studiando le condizioni di equilibrio dei corpi con numerose applicazioni della leva.


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